高等数学 换元积分法
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大学高等数学ppt课件第三章2第二类换元积分法-分部积分法
例3 求不定积分
dx 4x2 3
解 令 x 3 sec u, (0 u ) 则 dx 3 secu tan udu
2
2
2
原式 1 secudu 2 1 ln secu tan u C 2
2x
u
4x2 3
3
Hale Waihona Puke 1 ln 2x 4x2 3 C
例1 求不定积分 4 x2 dx
解 令 x 2sin u, ( u ) 则 dx 2cosudu
2
2
原式 2cosu 2cosudu 4cos2 udu
2
x
u
2 1 cos 2udu
2u sin 2u C
4 x2
辅助三角形
所以 ex sin xdx ex sin x cos x C
2
◆一般规律
幂函数三角函数dx, 幂函数指数函数dx 令幂函数为 u 幂函数对数函数dx, 幂函数反三角函数dx 令幂函数为 v 指数函数三角函数dx
两次使用分部积分公式，返回到原积分，变形，得解 注意：第一次使用分部积分公式时，u与dv可任选，但 第二次使用分部积分公式时，u与dv的选择，必须与第一次 的选择同类。
2
(1
1 )du u2 1
2u
arctanu
C
2( x 1 arctan x 1) C
dx
例2 求不定积分 3 x 1
直接令根式为u， 化根式为有理式
解 令 u 3 x , 则 x u3, dx 3u2du
原式
3u2 du 3 u 1
高等数学-4_2换元法
4
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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结束
例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
第二节 第一换元积分法
形，三角函数公式
通过问题驱
动的方式引
导学生主动
进行课堂小
结，在总结
锻炼学生总
结归纳能
力。
课 堂练 习（20 分
钟）
与学生共同形成课堂小结：
分钟）
分的性质进行简单的凑微分计 计 算 例 题 中
算
的各类不定
积分，并总
例 1：求不定积分 ���2���
结其中出现
例 2：求不定积分
的一些数学
3
计算方法，
x 2e x dx
如 恒 等 变
形，巧妙配
例 3：求不定积分
方换元，三
e x
角函数公式
x dx
的应用等。
根据基本积
分表和不定
积分的性质
进行简单的
2. 第一换元积分法的概念（20 分钟）
教学内容
3. 第一换元积分法的例题讲解（40 分钟）
4. 第一换元积分法的课堂练习（20 分钟）
5 .课堂小结（5 分钟）
重点难点
重点：第一换元积分法；
难点：会用第一换元积分法求函数的不定积分。
课前预习
课前任务
教师活动
布置学习任务，
为讲授新课做准
备，并达到预习
知识的效果。
任务 1：复习不定
积分的概念及求
简单不定积分的
方法。
任务 2 ：预习第
一还原积分法，
尝试理解其思想
1.发布课前学习任务
2. 观察统计学生完成情况，并
根据学生都得留言反馈对教学
进行针对性微调
课中学习
学生活动
信息化手段计
按照教师发
利用学习通发布学习
布要求，完
任务，并形成数据统
通过问题驱
动的方式引
导学生主动
进行课堂小
结，在总结
锻炼学生总
结归纳能
力。
课 堂练 习（20 分
钟）
与学生共同形成课堂小结：
分钟）
分的性质进行简单的凑微分计 计 算 例 题 中
算
的各类不定
积分，并总
例 1：求不定积分 ���2���
结其中出现
例 2：求不定积分
的一些数学
3
计算方法，
x 2e x dx
如 恒 等 变
形，巧妙配
例 3：求不定积分
方换元，三
e x
角函数公式
x dx
的应用等。
根据基本积
分表和不定
积分的性质
进行简单的
2. 第一换元积分法的概念（20 分钟）
教学内容
3. 第一换元积分法的例题讲解（40 分钟）
4. 第一换元积分法的课堂练习（20 分钟）
5 .课堂小结（5 分钟）
重点难点
重点：第一换元积分法；
难点：会用第一换元积分法求函数的不定积分。
课前预习
课前任务
教师活动
布置学习任务，
为讲授新课做准
备，并达到预习
知识的效果。
任务 1：复习不定
积分的概念及求
简单不定积分的
方法。
任务 2 ：预习第
一还原积分法，
尝试理解其思想
1.发布课前学习任务
2. 观察统计学生完成情况，并
根据学生都得留言反馈对教学
进行针对性微调
课中学习
学生活动
信息化手段计
按照教师发
利用学习通发布学习
布要求，完
任务，并形成数据统
高等数学 - 06 不定积分的积分方法
２．第二换元积分法 第 换 积 方 是 择 的 分 量 u =ϕ( x), 但 一 元 分 法 选 新 积 变 对 些 积 数 需 作 反 式 换 ， 令 =ϕ(t), 有 被 函 则 要 相 方 的 元 即 x 把 t作 新 分 量 才 积 结 ， 为 积 变 ， 能 出 果 即 x =ϕ ( t )
似 (4) 类 得
∫
cot xdx = ln| sin x | +C.
sec x(sec x +tan x) sec2 x +sec xtan x dx = ∫ dx (5) ∫sec xdx = ∫ tan x +sec x tan x +sec x
1 =∫ d(tan x +sec x) = ln| sec x +tan x | +C . (tan x +sec x)
微 法 用 的 点 于 题 未 明 该 凑 分 运 时 难 在 原 并 指 应 把 需 解 经 , 果 熟 列 哪 部 凑 dϕ(x),这 要 题 验 如 记 下 一 一 分 成 些 分 ,解 中 会 我 以 示 微 式 题 则 给 们 启 ． 1 2 dx 1 = 2d( x)， dx = d(ax +b)， xdx = d(x )， x 2 a 1 x x dx = d(ln| x |)， sin xdx = −d(cos x)， e dx=d(e )， x cos xdx = d(sin x)， 2 xdx =d(tanx)， 2 xdx =− (cotx) sec csc d ， dx dx = d(arcsin x)， = d(arctanx)． 2 2 1+ x 1− x 下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧． 下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧．
高等数学-换元积分法
解
න = න
1
= −න
( )′
1
= −න
= − | | + ．
同理可得 | | = + ．
8
01 第一类换元积分法
例3
解
1
求不定积分
．
2
令 2 = ，则 = ， = .
2
+1−1
න
=න
= න
1+
1+
1 + 2
1
= න(1 −
) = − | 1 + | +
1+
= 2 − | 1 + 2| + ．
14
02 第二类换元积分法
通过变量代换去掉根号的主要形式有：
而
= 5，考虑将被积函数恒等变形，得
1
1
1
1
1
= ⋅
⋅5= ⋅
⋅ (5 − 2)′
5 − 2 5 5 − 2
5 5 − 2
此时令 = 5 − 2， 得到
4
01 第一类换元积分法
1
1
1
න
= න
(5 − 2)′
5 − 2
5 5 − 2
1
1
= න
( 5 − 2)
0，又设[()] ′ ()的一个原函数为()，则
න()
= ()
න[()] ′ () = [() + ]=−1()
该公式称为第二换元公式． 其中 = −1 ()为函数
= ()的反函数.
න = න
1
= −න
( )′
1
= −න
= − | | + ．
同理可得 | | = + ．
8
01 第一类换元积分法
例3
解
1
求不定积分
．
2
令 2 = ，则 = ， = .
2
+1−1
න
=න
= න
1+
1+
1 + 2
1
= න(1 −
) = − | 1 + | +
1+
= 2 − | 1 + 2| + ．
14
02 第二类换元积分法
通过变量代换去掉根号的主要形式有：
而
= 5，考虑将被积函数恒等变形，得
1
1
1
1
1
= ⋅
⋅5= ⋅
⋅ (5 − 2)′
5 − 2 5 5 − 2
5 5 − 2
此时令 = 5 − 2， 得到
4
01 第一类换元积分法
1
1
1
න
= න
(5 − 2)′
5 − 2
5 5 − 2
1
1
= න
( 5 − 2)
0，又设[()] ′ ()的一个原函数为()，则
න()
= ()
න[()] ′ () = [() + ]=−1()
该公式称为第二换元公式． 其中 = −1 ()为函数
= ()的反函数.
高等数学 4-2换元积分法
说明：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分 说明：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.
4
例 12
求 cos 3 x cos 2 xdx.
∫
解： cos A cos B =
1 [cos( A − B ) + cos( A + B )], 2
cos 3 x cos 2 x =
1 (cos x + cos 5 x), 2 1 1 1 ∫ cos 3x cos 2 xdx = 2 ∫ (cos x + cos 5x)dx = 2 sin x + 10 sin 5 x + C.
第一类换元公式（凑微分法） 第一类换元公式（凑微分法）
说明：使用此公式的关键在于将 说明：使用此公式的关键在于将 g ( x ) dx 化为
∫
∫ f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)dx.
∫
解（一） sin 2 xdx =
∫ ∫ ∫
1 1 ∫ sin 2 xd (2 x) = − 2 cos 2 x + C; 2
=
1 1 − cos x ln + C. 2 1 + cos x
类似地可推出 sec xdx = ln(sec x + tan x ) + C. 例 14
2 2 设 f ′(sin x) = cos x, 求 f (x) .
∫
解：令 u = sin x ⇒
2
cos 2 x = 1 − u ,
f ′(u ) = 1 − u , 1 f (u ) = ∫ (1 − u )du = u − u 2 + C , 2 1 f ( x) = x − x 2 + C. 2 1 例 15 求 ∫ dx. x 2 4 − x arcsin 2
4
例 12
求 cos 3 x cos 2 xdx.
∫
解： cos A cos B =
1 [cos( A − B ) + cos( A + B )], 2
cos 3 x cos 2 x =
1 (cos x + cos 5 x), 2 1 1 1 ∫ cos 3x cos 2 xdx = 2 ∫ (cos x + cos 5x)dx = 2 sin x + 10 sin 5 x + C.
第一类换元公式（凑微分法） 第一类换元公式（凑微分法）
说明：使用此公式的关键在于将 说明：使用此公式的关键在于将 g ( x ) dx 化为
∫
∫ f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)dx.
∫
解（一） sin 2 xdx =
∫ ∫ ∫
1 1 ∫ sin 2 xd (2 x) = − 2 cos 2 x + C; 2
=
1 1 − cos x ln + C. 2 1 + cos x
类似地可推出 sec xdx = ln(sec x + tan x ) + C. 例 14
2 2 设 f ′(sin x) = cos x, 求 f (x) .
∫
解：令 u = sin x ⇒
2
cos 2 x = 1 − u ,
f ′(u ) = 1 − u , 1 f (u ) = ∫ (1 − u )du = u − u 2 + C , 2 1 f ( x) = x − x 2 + C. 2 1 例 15 求 ∫ dx. x 2 4 − x arcsin 2
高等数学《换元法》课件
4.2 换元积分法
4.2.1 第一类换元法（凑微分法） 4.2.2 第二类换元法
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基本思路
设F(u) f (u),
可导, 则有
dF[( x)] f [( x)]( x)dx
F[ ( x)] C F (u) C u( x)
f (u)du u( x)
第一类换元法 第二类换元法
de x
(8)
f (ln x)1dx x
dln x
例6 求
解
原式 =
1
dln x 2ln
x
1 2
d(1 2ln x) 1 2ln x
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例7
求
e3
x
x
dx
.
解
原式 = 2 e3
xd
x
2 3
e
3
x d(3
x) 2e3 3
x C
例8 求 sec6 xdx .
解 原式 = (tan2 x 1)2dsetca2nxxd x
三角代换外, 还可利用公式 ch2 t sh2 t 1
采用双曲代换 x ash t 或 x a ch t
消去根式, 所得结果一致.
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例19 求
a2 x4
x2
dx
.
解
令
x
1 t
,则
令x a sin t,t ( , )
22
原式
a2
1 t2
1
t4
t
1 4
(1
2cos
2x
cos2
2
x)
1 4
(1
2cos 2x
4.2.1 第一类换元法（凑微分法） 4.2.2 第二类换元法
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基本思路
设F(u) f (u),
可导, 则有
dF[( x)] f [( x)]( x)dx
F[ ( x)] C F (u) C u( x)
f (u)du u( x)
第一类换元法 第二类换元法
de x
(8)
f (ln x)1dx x
dln x
例6 求
解
原式 =
1
dln x 2ln
x
1 2
d(1 2ln x) 1 2ln x
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例7
求
e3
x
x
dx
.
解
原式 = 2 e3
xd
x
2 3
e
3
x d(3
x) 2e3 3
x C
例8 求 sec6 xdx .
解 原式 = (tan2 x 1)2dsetca2nxxd x
三角代换外, 还可利用公式 ch2 t sh2 t 1
采用双曲代换 x ash t 或 x a ch t
消去根式, 所得结果一致.
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例19 求
a2 x4
x2
dx
.
解
令
x
1 t
,则
令x a sin t,t ( , )
22
原式
a2
1 t2
1
t4
t
1 4
(1
2cos
2x
cos2
2
x)
1 4
(1
2cos 2x
高等数学 第五章 第2节 换元积分法(中央财经大学)
f (u ) ∈ C ( I ), 又 u = ϕ ( x) 在区间 J 上可微 , 且 ϕ ( J ) ⊂ I , 则在区间 J 上有
∫ f (ϕ (x))ϕ ′( x) d x = ∫ f (u) d u
= F (u ) + C = F (ϕ ( x)) + C. 该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。
∫
f ( x) d x = F (ϕ −1 ( x)) + C ,
其中， −1 ( x) 是 ϕ (t ) 的反函数； 是积分常数。 ϕ C 该定理描述的是不定积分第二换元法。
例 解
计算
∫
dx x2 + a2
(a > 0).
此题可以用 第一换元法 计算。
现在采用第二换元法计算。
2
π π 令 x = a tan t，则 d x = a sec t d t， － < t < ，故 2 2
(u = cos x) ;
(8)
(u = sin x) ;
(9) (10)
(u = tan x) ; (u = tan x) ;
∫
例 解
计算
∫
sin 10 x cos 3 x d x.
令 u = sin x, 则 d u = cos x d x, 于是 sin 10 x cos3 x d x = ∫ u 10 (1 − u 2 ) d u = ∫ (u10 − u 12 ) d u 1 11 1 13 = u − u +C 11 13 1 11 1 = sin x − sin 13 x + C . 11 13
(u = sin x) ; (u = cos x) ; (u = tan x) ; (u = sin x) ; (u = cos x) ; (u = tan x) ;
高等数学：第三节 定积分的换元法、分部积分法
（1）换元的基本思路是方便有效地找出被积函
数的原函数。这与不定积分的换元思路相同。
（2）换元的同时一定要相应地变换积分的上、 下限。
（3）同不定积分的换元法不同的是，在用换元 法求出原函数后，不必代回原来的变量，这使 问题变得更加方便、简单。
（4）同不定积分一样，d x 可看作对 x 的微分 .
（5）上述换元公式也可反过来使用。
a
0
0
a
0 [ f (x ) f ( x) ]d x
即
a
a
f ( x)d x [ f ( x) f ( x) ] d x
a
0
a
a
即
f (x)d x [ f (x) f (x) ] d x
a
0
（1）若 f (x) 为偶函数，即 f (x ) f ( x )
a
a
a f (x)d x 2 0 f (x)d x
则
b
f (x)d x F(b) F(a)
a
由不定积分换元法有 f [ (t)] '(t)d t F[ (t)] c
f [ (t)] '(t)d t F[ (t)]
F[( )] F[( )]
b
F(b) F(a) a f (x)d x
几点注记：
b
a
f ( x)d x
f [ (t)] '(t)d t
第四节 定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法 不定积分的换元法
• 第一类换元公式
u (x)
f [(x)] '(x) d x
f (u) du (1)
• 第二类换元公式
x (t)
f (x) d x f [ (t) ] '(t)dt (2)
高教社2024高等数学第五版教学课件-4.2 换元积分法
如果由基本积分公式可以求得
න = +
那么
⋅ ])([ ′ ()＝[()] +
将上述过程联立起来，写成下面四个步骤:
න
⋅ ′
= )(])([
凑微分
令=
=
换元
න
= () +
回代
])([ ′ () = [ + ]ȁ=−1() = −1
这种方法称为第二类换元积分法.
+ .
忽略变量符号的不同,下列示意图反映了这两类换元法之间的关
系,从左到右就是第一类换元法,从右到左则是第二类换元法.
第
类
一
元
换
法
令=()
′
)( = )(])([ = )( ])([
（8） = (− ) = −
（9） 2 =
（10）
1
1+ 2
=
在熟练掌握了上述四个步骤以后，我们可以省略第二步“换元”,从而把
这四个步骤简化为两步:
න
∙ ′ = න
=
+
例3 求
( )3
.
解法一
( )3
) (= 3
令=ln
回代 1
1 4
3
=
= 4 + = 4 ( )4 +
解法二
( )3
) (= 3
1
= ( )4
分析
( 3 + 1) ≠ ( 3 + 1) + ,因为[( 3 + 1)]′ ≠ ( 3 + 1).
高等数学-定积分的换元积分法与分部积分法
当 = 0时， = 0；当 = 4时， = 2.
4
2
2
2
න
= න
⋅ 2 = 2 න
0 1+
0 1+
0 1+
2
1
2
− + ( 1 + )
= 2 න ( − 1 +
) = 2
0
2
1+
0
4
= 2 − 2 + ( 1 + 2) − 1 = 2 3.
(3)()在区间[, ]（或[, ]）上有连续的导数，
且 ′ () ≠ 0，
则有
)(
=
])([ ′ ().
(5.3)
3
01 定积分的换元积分法
注 (1) (5.3)式从左往右相当于不定积分中的第二类换
元积分法，从右往左相当于不定积分中的第一类换
2
2
5
01 定积分的换元积分法
1
例2 求定积分 න
4 − 2 .
0
解 令 = 2 ，则 = 2 ，
当 = 0时， = 0；当 = 1时， =
1
න
0
6
4 − 2 = න
0
.
6
4 − 4 2 ⋅ 2
6
6
= 4 න 2 = 2 න (1 + 2 )
定积分及其应用
第3讲
定积分的换元
积分法与分部积分法
本节内容
01 定积分的换元积分法
02 定积分的分部积分法
2
高等数学A4.2-换元积分法(1)
d
x
(5)
4
dx x2
11 2x 2x
(6)
dx 4x x2
d(x 2) 4 (x 2)2
2. 求 提示: 法1
法2
法3
第二节换元积分法
3.求
第二节换元积分法
解: 原式
f f
(x) ( x)
1
f
(x) f (x) f 2(x)
解：利用凑微分法 , 得
原式 = 令
第二节换元积分法
常用的几种配元形式:
(1) f (ax b)dx
(2) f (xn )xn1 dx
(3)
f
(x n
)1 x
dx
(4) f (sin x)cos xdx
(5) f (cos x)sin xdx
第二节换元积分法
万 能 凑 幂 法
(6) f (tan x)sec2 xdx
）
4. ax f (ax )dx ( )
5． csc2xf (cot2 x)dx ( )
6.
1 1+x2
f
(arctan
x)dx=（
）
第二节换元积分法
7.
1 f (arcsin x)dx ( 1-x2
)
8. sec x tan x f (sec x)dx ( )
9. f (x) f (x)dx ( )
万能凑幂法
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法 (4) 巧妙换元或配元
第二节换元积分法
思考与练习
1. 下列各题求积方法有何不同?
换元积分法
2x)
1
3
2 (1 2x) d(1 2x)
1 令u 1 2 x
3
u du
1
u4
C
2
8
回代 1 (Biblioteka 2x)4 C. 8例3求
1 3x
dx 1
。
解 将dx凑成 dx 1 d(3x 1) ，则 3
1 3x
dx 1
1 3
d(3x 1) 3x 1
1 令u3x1 1du 1 ln u C
t
C,
将 Q(0) 0 代入可得 C 2 ，于是有
Q(t) 2 cost 2 2 (1 cost)
二、第二类换元积分法
定理2 若 f (x) 是连续函数，x (t) 有连续的导数(t) 0 ，其反
函数 t 1(x) 存在且可导，又设 f (t)(t)dt F(t) C ，则
例11 【电路中的电量】如果导线在时刻t的电流为i(t) 2sint， 那么，流过该导线的电量 Q(t) 随时间变化的规律如何？(其 中 Q(0) 0)
解 在 [t ，t t] 时间段内，流过导线的电量为 dQ i(t)dt ，则
Q(t)
i(t)dt
2 sin
tdt
2
sin
td(t)
2
cos
高等数学
换元积分法
引例 【太阳能能量】预测太阳能的能量Q相对于太阳能接触的表 面面积s的变化率为 dQ 0.05 ，其中 Q(0) 0 。求太阳能的能
ds s 100 量Q的函数表达式
解
Q
0.05 ds s 100
一、第一类换元积分法（凑微分法）
例如 e2xdx ，在基本积分公式中有 exdx ex C ，比较 e2xdx 和 exdx 我们发现，只是 的幂次相差一个常数因子 ex，
高等数学 第六章 积分法 6-2 不定积分的换元积分法(2)
第6章 章
第二节 不定积分的换元积分法
一、第一类换元积分法（凑积分法） 第一类换元积分法（凑积分法） 二 、第二类换元积分法 基本积分表（ 三 、基本积分表（Ⅱ）
二、第二类换元法
1. 引例
∫
1− x2 d x = ?
解 作变量代换： 作变量代换： 令 x = sint ( t < π ) 则 d x = cos t dt, ，
为去根式
解 令 x = asint , t ∈(− , ), 则 dx = acos t dt 2 2 x 2 2 2 2 2 = acos t sint = a − x = a − a sin t a 2 1+ cos 2t 2 2 I = ∫ acos t ⋅ acos t dt a ∫ dt ∫ cos t d = a x 2 t 2 t sin2t ) +C =a ( + 2 4 a2 − x2 x a2 − x2 sin2t = 2sint cos t = 2 ⋅ ⋅ a2 − x2 a a cos t = 2 x 1 a a = arcsin + x a2 − x2 + C. a 2 2
令 t = 1+ x2, 则 x2 = t 2 −1, xd x = t dt,
∫
(t2 −1)2 dx = ∫ t dt = ∫ (t4 − 2t2 + 1)dt t 1+ x2
x5
1 15 23 = t − t + t + C= (8− 4x2 + 3x4 ) 1+ x2 + C. 15 5 3
中 其 t = ψ−1( x)是x = ψ(t)的 函 . 反 数 端 分 得 后 其 右 积 求 之 ， 中t须 反 数 =ψ −1( x)回 . 用 函 t 代
第二节 不定积分的换元积分法
一、第一类换元积分法（凑积分法） 第一类换元积分法（凑积分法） 二 、第二类换元积分法 基本积分表（ 三 、基本积分表（Ⅱ）
二、第二类换元法
1. 引例
∫
1− x2 d x = ?
解 作变量代换： 作变量代换： 令 x = sint ( t < π ) 则 d x = cos t dt, ，
为去根式
解 令 x = asint , t ∈(− , ), 则 dx = acos t dt 2 2 x 2 2 2 2 2 = acos t sint = a − x = a − a sin t a 2 1+ cos 2t 2 2 I = ∫ acos t ⋅ acos t dt a ∫ dt ∫ cos t d = a x 2 t 2 t sin2t ) +C =a ( + 2 4 a2 − x2 x a2 − x2 sin2t = 2sint cos t = 2 ⋅ ⋅ a2 − x2 a a cos t = 2 x 1 a a = arcsin + x a2 − x2 + C. a 2 2
令 t = 1+ x2, 则 x2 = t 2 −1, xd x = t dt,
∫
(t2 −1)2 dx = ∫ t dt = ∫ (t4 − 2t2 + 1)dt t 1+ x2
x5
1 15 23 = t − t + t + C= (8− 4x2 + 3x4 ) 1+ x2 + C. 15 5 3
中 其 t = ψ−1( x)是x = ψ(t)的 函 . 反 数 端 分 得 后 其 右 积 求 之 ， 中t须 反 数 =ψ −1( x)回 . 用 函 t 代
高等数学积分技巧
高等数学积分技巧高等数学中的积分是一个重要的概念和工具，它在数学和其他学科中都有广泛的应用。
掌握一些积分技巧可以帮助我们更好地解决问题，简化计算过程。
本文将介绍一些常用的高等数学积分技巧。
一、换元积分法换元积分法是解决复杂积分的常用方法之一。
它通过引入一个新的变量来简化被积函数的形式，从而使积分计算更加容易。
换元积分法的基本思想是将被积函数中的自变量用一个新的变量表示，然后求出新的变量对应的微分，最后将原函数转化为新的变量的函数进行积分。
例如，对于形如∫f(g(x))g'(x)dx的积分，我们可以令u=g(x)，则du=g'(x)dx，原积分可以转化为∫f(u)du，这样就可以通过对u的积分来求解原积分。
二、分部积分法分部积分法是解决积分中乘积形式的函数的常用方法。
它通过将乘积形式的函数进行分解，然后利用积分的性质进行计算。
分部积分法的基本公式为∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx。
例如，对于形如∫xsin(x)dx的积分，我们可以令u(x)=x，v'(x)=sin(x)，则u'(x)=1，v(x)=-cos(x)，根据分部积分法的公式，原积分可以转化为x(-cos(x))-∫(-cos(x))dx，最终可以得到原积分的解。
三、三角函数积分法三角函数积分法是解决涉及三角函数的积分的常用方法。
它通过利用三角函数的性质和积分的性质来简化计算过程。
常见的三角函数积分公式包括：1. ∫sin(x)dx=-cos(x)+C2. ∫cos(x)dx=sin(x)+C3. ∫tan(x)dx=-ln|cos(x)|+C4. ∫cot(x)dx=ln|s in(x)|+C利用这些公式，我们可以将复杂的三角函数积分转化为简单的函数积分，从而更容易求解。
四、分式分解法分式分解法是解决含有分式的积分的常用方法。
它通过将复杂的分式进行分解，然后利用积分的性质进行计算。
高等数学积分计算方法
高等数学积分计算方法积分作为微积分的一个重要概念，在高等数学中占据着重要地位。
积分的计算方法多种多样，根据被积函数的性质和形式的不同，我们可以采用不同的方法进行求解。
本文将重点介绍高等数学中常用的积分计算方法，包括常见的积分换元法、分部积分法、三角代换法等，帮助读者更好地理解和掌握积分计算的基本技巧。
1. 积分换元法积分换元法是积分计算中常用的一种方法，通过引入新的变量或者代换来简化被积函数，从而使积分计算变得更加容易。
一般情况下，选择合适的代换变量是积分换元法的关键。
例如，对于形如$\\int{f(x)dx}$的积分，如果能找到一个合适的代换变量t=t(t)，使得t(t)tt=t′(t)tt，那么原积分就可以转化为$\\int{g'(x)dt}$的形式，从而得到积分的解。
2. 分部积分法分部积分法是另一种常用的积分计算方法，适用于求解乘积形式的积分。
根据分部积分公式$\\int{u dv} = uv - \\int{v du}$，我们可以将一个积分转化为另一个积分，从而简化计算过程。
通常情况下，选择合适的t和tt是应用分部积分法的关键。
通过反复应用分部积分法，我们可以将原积分逐步分解为易于求解的部分，最终得到积分的解。
3. 三角代换法三角代换法是解决含平方根和二次函数的积分的常用方法之一。
通过引入三角函数的形式，我们可以将复杂的积分转化为简单的三角函数积分，从而便于求解。
在选择三角代换时，我们需要根据被积函数的形式和性质灵活选择适当的三角函数和代换变量，以确保积分计算的顺利进行。
通过综合运用以上介绍的积分计算方法，我们可以更加灵活地处理各种类型的积分。
当然，在实际应用中，对于复杂积分的计算，我们可能需要结合不同的方法和技巧，甚至进行多次积分换元和分部积分操作，以求得最终的解析表达式。
因此，熟练掌握积分计算方法，并不断练习和实战，是提高数学水平和解题能力的重要途径之一。
综上所述，高等数学中的积分计算方法包括积分换元法、分部积分法、三角代换法等多种技巧，通过灵活运用这些方法，我们可以更好地处理各类积分计算问题，提高解题效率，深入理解数学原理。
《换元积分法》课件
确定新变量
在原积分中，选择一个易于积分的变量替换 原积分中的变量，以简化积分过程。
选择新变量原则
选择的新变量应使得积分过程更简单、直观，便于 计算。
常见新变量选择
对于形如$int f(x) dx$的积分，常见的新变 量选择有$t = g(x)$或$x = g(t)$，其中 $g(x)$是原函数$f(x)$的可导函数。
要点二
计算简便
通过换元，可以将复杂积分转化为简单积分，降低计算难 度。
换元积分法的优缺点
• 易于理解：换元积分法的原理相对直观， 易于理解。
换元积分法的优缺点
需要选择合适的换元
选择合适的换元是关键，如果选择不当，可能导致计算 过程复杂化。
对初学者有一定难度
换元积分法涉及到变量替换，对初学者来说可能有一定 的学习难度。
新积分计算的注意事项
在计算新积分的过程中，需要注意积分的上下限是否发生变化，以及积分的计算是否正 确。
04
换元积分法的实例
实例一：计算定积分
总结词
换元积分法在计算定积分中的应用
VS
详细描述
通过换元积分法，可以将复杂的定积分转 化为容易计算的定积分，从而简化计算过 程。例如，利用三角换元法将复杂的定积 分转化为简单的定积分。
换元积分法的定义
换元积分法的定义
换元积分法是通过引入新的变量替换原来的变量，将复杂的积分转化为容易积分的积分，从而解决定积分问题的 一种方法。
换元积分法的步骤
首先，根据题目要求，选择适当的变量替换原来的变量；然后，根据新的变量，确定积分上下限；最后，进行定 积分计算。
换元积分法的公式
三角换元公式
确定新积分上下限
上下限变换原则
根据新变量的定义，将原积分的上下 限代入新变量的表达式中，得到新的 积分上下限。
在原积分中，选择一个易于积分的变量替换 原积分中的变量，以简化积分过程。
选择新变量原则
选择的新变量应使得积分过程更简单、直观，便于 计算。
常见新变量选择
对于形如$int f(x) dx$的积分，常见的新变 量选择有$t = g(x)$或$x = g(t)$，其中 $g(x)$是原函数$f(x)$的可导函数。
要点二
计算简便
通过换元，可以将复杂积分转化为简单积分，降低计算难 度。
换元积分法的优缺点
• 易于理解：换元积分法的原理相对直观， 易于理解。
换元积分法的优缺点
需要选择合适的换元
选择合适的换元是关键，如果选择不当，可能导致计算 过程复杂化。
对初学者有一定难度
换元积分法涉及到变量替换，对初学者来说可能有一定 的学习难度。
新积分计算的注意事项
在计算新积分的过程中，需要注意积分的上下限是否发生变化，以及积分的计算是否正 确。
04
换元积分法的实例
实例一：计算定积分
总结词
换元积分法在计算定积分中的应用
VS
详细描述
通过换元积分法，可以将复杂的定积分转 化为容易计算的定积分，从而简化计算过 程。例如，利用三角换元法将复杂的定积 分转化为简单的定积分。
换元积分法的定义
换元积分法的定义
换元积分法是通过引入新的变量替换原来的变量，将复杂的积分转化为容易积分的积分，从而解决定积分问题的 一种方法。
换元积分法的步骤
首先，根据题目要求，选择适当的变量替换原来的变量；然后，根据新的变量，确定积分上下限；最后，进行定 积分计算。
换元积分法的公式
三角换元公式
确定新积分上下限
上下限变换原则
根据新变量的定义，将原积分的上下 限代入新变量的表达式中，得到新的 积分上下限。
利用换元积分法求定积分的步骤
一、引言在高等数学中，积分是一个重要的概念，它是微积分的核心内容之一。
而换元积分法是求解定积分的一种重要方法，它可以将复杂的积分转化为简单的积分，从而求出积分的值。
本文将详细介绍换元积分法的基本思路和步骤，并通过实例来演示如何应用换元积分法求解定积分。
二、换元积分法的基本思路换元积分法是指通过将被积函数中的自变量用一个新的变量来代替，从而将原来的积分转化为一个新的积分，然后通过求解新的积分来得到原来的积分的值。
具体来说，换元积分法的基本思路可以概括为以下三个步骤：1. 选择合适的代换变量2. 将被积函数用代换变量表示3. 求解新的积分三、换元积分法的具体步骤1. 选择合适的代换变量选择合适的代换变量是换元积分法的关键步骤。
一般来说，选择的代换变量应该能够将原来的积分转化为一个形式更简单的积分。
常见的代换变量有三种：(1) 代换变量为函数的导数当被积函数中含有形如$u'$的因式时，可以考虑将$u$看作是$x$的一个函数，即$u=u(x)$，然后令$u'=f(x)$，这样就可以将原来的积分转化为一个更简单的积分。
(2) 代换变量为三角函数当被积函数中含有形如$\sqrt{a^2-x^2}$或$\sqrt{a^2+x^2}$的因式时，可以考虑将$x$表示成三角函数的形式，即$x=a\sin\theta$或$x=a\cos\theta$，然后将被积函数用$\theta$表示。
(3) 代换变量为指数函数当被积函数中含有形如$e^{ax}$的因式时，可以考虑将$x$表示成指数函数的形式，即$x=\f rac{1}{a}\ln u$，然后将被积函数用$u$表示。
2. 将被积函数用代换变量表示将被积函数用代换变量表示是换元积分法的第二个步骤。
具体来说，需要将被积函数中的自变量用代换变量表示，并将原来的积分变为新的积分。
这一步需要根据选择的代换变量来确定具体的代换公式。
3. 求解新的积分将被积函数用代换变量表示后，就可以将原来的积分转化为一个新的积分。
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dx = d(4 + x) 4+x 4+x
(2)
dx 4 + x2
=
1 2
x 4 + x2
dx
=
1 2
d(4 + x2 ) 4 + x2
4
x2 +x
2
dx
=
[1−
4
4 + x2
]d
x
(6)
dx 4 − x2
=
1 4
[1+1
2−x 2+x
]dx
=
d(2x ) 1 + (2x)2
dx 4x − x2
d(x − 2) 4 − (x − 2)2
+C
2009年7月3日星期五
5
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∫ 例4 求 2xex2 dx 答案：ex2 + C
例5 求 ∫ tan xdx 和 ∫ cot xdx
例6
∫求 dx
a2 + x2
.
答案： 1 arctan x + C
a
a
∫ 例7 （补充题）求 dx (a > 0).
a2 − x2
∫ ∫ ∫ 解:
dx =
dx =
a2 − x2 a 1 − (ax)2
d (ax)
1
−
(
x a
)
2
=
arcsin
x a
+
C
∫ 例8 （课本 例7）求
dx . x2 − a2
答案： 1 ln 2a
x−a x+a
+C
2009年7月3日星期五
6
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常用的几种配元形式:
(1)
∫
f (ax + b)dx =
1 a
∫
f (ax + b)d(ax + b)
⎤ ⎥⎦
dx
∫=
f f
(x) ′( x)
⋅
f
′2
(
x)
− f ′′(x) f ′2(x)
f
(
x)
dx
=
∫
f (x) f ′(x)
d(
f f
′((xx)))
=
1 2
⎡ ⎢⎣
f (x) f ′(x)
⎤ ⎥⎦
2
+
C
2009年7月3日星期五
20
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4. 求下列积分:
∫ ∫ 1) x2 1 dx = 1 1 d (x3 +1) x3 +1 3 x3 +1
sin sin
x
2
x
=
1 2
∫
⎡ ⎢⎣
1 1+ sin
x
+1 1− sin
x
⎤ ⎥⎦
⎤ ⎥⎦
d
sin
x
= 1 [ ln 1+ sin x − ln 1− sin x ]+ C
2 = 1 ln 1+ sin x + C
2 1− sin x
2009年7月3日星期五
11
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解法 2
∫ sec xdx
2
(1
−
1
1 +t
2
)
d
t
= 2t − 2 arctan t + C
= 2[ 1+ sin2 x − arctan 1+ sin2 x ]+ C
2009年7月3日星期五
22
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2009年7月3日星期五
7
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(6) ∫ f (tan x)sec2 xdx = ∫ f (tan x) dtan x
∫ ∫ (7) f (ex )exdx = f (ex ) dex
(8)
∫
f (ln x)1dx = x
∫
f (ln x)
dln x
例9（补充题）求
∫
x
dx (1+ 2 ln
公式
∫ f [ϕ(x)]ϕ′(x)dx = ∫ f (ϕ(x))dϕ(x)
= ∫ f (u)du u = ϕ(x)
(也称配元法 , 凑微分法)
2009年7月3日星期五
4
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∫ 例1 求 2sin 2x dx =. − cos 2x + C
提示：令 u = 2x
例2
求
∫
1
1 −2
dx x
= − ln(1+ e−x ) + C
− ln(1+ e−x ) = − ln[e−x (ex +1)] 两法结果一样
2009年7月3日星期五
10
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∫ 例13（课本 例14）求 sec xdx .
解法1 （与课本解法不一样）
∫ sec
xdx
=
∫
cos x cos2 x
dx
=
∫
1
d −
. x)
解: 原式 =
∫1+dl2nlxn x
=
1 2
∫
d(1+ 2 ln x) 1+ 2 ln x
= 1 ln 1+ 2 ln x + C 2
2009年7月3日星期五
8
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∫ 例10（补充题） 求
e3
x
dx.
x
∫ ∫ 解: 原式 = 2 e3 x d x = 2 e3 x d(3 x) 3
9
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∫ 例12（补充题）求
dx 1+ ex
.
解法1
∫ ∫ ∫ ∫ dx
1+ ex
=
(1+ ex ) − ex 1+ ex
dx=
dx −
d(1+ ex ) 1+ ex
= x − ln(1+ ex ) + C
解法2
∫ ∫ ∫ dx
1+ ex
=
e−x 1+ e−x
dx = −
d(1+ e−x ) 1+ e−x
=
∫ d x
x11(1 + x−10 )
=
−1 10
d x−10 1+ x−10
2009年7月3日星期五
19
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3.求
∫
⎡ ⎢⎣
f (x) − f ′(x)
f ′′(x) f 2 (x) f ′3(x)
⎤ ⎥⎦
d
x.
∫ 解: 原式 =
f f
(x) ′( x)
⎡ ⎢⎣
1
−
f
′′(x) f (x) f ′2(x)
= x + ln x − ln 1+ x ex + C
分析:
1 xex (1+ xex )
=
1+ xe
xex − xe x (1+ xex
x
)
=
1 x ex
−
1
1 + xe
x
(x +1)ex dx = xex dx + ex dx = d(xex )
2009年7月3日星期五
16
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内容小结 常用简化技巧:
∫ ∴ f [ϕ (x)]ϕ′(x)dx = F[ϕ (x)] + C = F (u)+ C u=ϕ(x) ∫= f (u)du u=ϕ (x)
第一类换元法
∫ ∫ f [ϕ(x)]ϕ′(x) dx
f (u) du
第二类换元法
2009年7月3日星期五
3
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一、第一类换元积分法
定理1 设 f (u) 有原函数 , u = ϕ (x)可导, 则有换元
x
+
1 4
sin
2
2
x
=
1 8
(1
−
cos
8x)
− sin 2
2x cos 2x
+
1 8
(1
−
cos
4
x)
∫ ∫ ∴原式 =
1 4
dx
−
1 64
cos8x d(8x)
∫ ∫ −
1 2
sin2 2x d(sin 2x)
−
1 32
cos 4x d(4x)
=
1 4
x−
1 64
sin
8x
−
1 6
sin
3
2x
∫ 或
csc xdx = ln tan x + C 2
(课本 例13 )
2009年7月3日星期五
12
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例14（补充题）求
∫
(x2
x3
+
a
2
)
3 2
dx
.
∫ ∫ 解:
原式 =
1 2
x2 dx2 (x2 + a2)32
=1 2
(
x2 (x
+ a2 2 +a