工程力学llx1219-2-29

δW = ∑ Qs δqs = Q1δq1 + Q2 δq2 + … + Qn δqn
s
令独立变分δq1≠0,而δq2=δq3=…=δqn=0, 在此变更 下, 计算所有主动力的元功之和δW1, 则有
δW1= Q1δq1
Q1= δW1 / δq1
类似地可求得Q2、Q3、…等等。
■
主动力有势时的广义力
ri = ri(q1, q2, …, qn,t)
i=1,2, … ,N
于是用广义坐标的独立变分表示的虚位移为
δ ri =
∑
s =1
n
∂ ri δqs ∂qs
i
i=1,2, …,N
δW = ∑ Fi • δri
n N ∂ri ∂ri δW = ∑ Fi • ( ∑ δqs ) = ∑ ( ∑ Fi • )δqs ∂qs i =1 s =1 ∂qs s =1 i =1
• ∂ri ∂ 1 d ∂ 1 2 ( mi vi ) = mi v i • ( mi vi2 ) + • dt ∂ q 2 ∂qs ∂qs 2 s
• ∂ri ∂ 1 d ∂ 1 2 2 + ( mi vi ) = mi v i • ( mi vi ) • ∂qs ∂qs 2 dt ∂ q 2 s
δ ri =
∑
s =1
i
n
∂ ri δqs ∂qs
i i i i
i=1,2, …,N
∑ ( F − m a ) • δr = 0
∂ri ∑ (Qs − ∑ mi ai • ∂q )δqs = 0 s i s dvi ∂ri Qs − ∑ mi • = 0 s = 1, 2, • • •, n dt ∂qs i
拉格朗 日关系 式(2)
∂vi d ∂ri = ∂qk dt ∂qk
dvi ∂ri Qs − ∑ mi • =0 dt ∂qs i
∂ri dvi ∂ri d d ∂ri ( mi vi • ) = mi + mi vi • • dt dt ∂qs dt ∂qs ∂qs
∂ri = • ∂qs ∂ qs
若全部主动力均为有势力,设势能函数为 V(xi,yi,zi),则有
∂V ∂V ∂V ∂V = −( Fi = − i+ j+ k) ∂ri ∂xi ∂ yi ∂zi
∂ri Qs = ∑ Fi • ∂qs i =1
N
s=1,2, …,n 上式即为主动力有势时的广义力表达式。
∂V ∂ri • = −∑ ∂qs i =1 ∂r i
对i求和并移项得
∂ri d ∂ 1 ∂ 1 2 2 ∑ mi vi • ∂q = ∑ [ dt • ( 2 mi vi ) − ∂q ( 2 mi vi )] i i s s ∂ qs
•
引入系统动能
T =
∑
i
1 2 m i vi 2
s = 1, 2, • • •, n
dvi ∂ri Qs − ∑ mi • =0 dt ∂qs i
d ∂T ∂ T − = Qs • dt ∂ qห้องสมุดไป่ตู้∂ q s s
s = 1, 2, • • •, n
上式称为第二类拉格朗日方程(Lagrange’s equation of the second kind)。当主动力有势时,因 为 ∂V Qs = − s=1,2, …,n
∂qs
d ∂ (T − V ) ∂ (T − V ) − =0 • ∂qs dt ∂ q s
例1 两个质量均为m的质 点由刚度为c的弹簧连结, 可沿半径为r的水平固定 圆环无摩擦滑动,弹簧原长 为r。试求系统的拉格朗 日函数。 m φ1 φ2
m
m φ1
2
m φ2
mr • 2 • 2 (1) (ϕ 1 + ϕ 2 )× 2 2 2 ϕ1 + ϕ 2 2 mr • 2 • 2 cr ( 2) (ϕ1 + ϕ 2 ) − (1 − 2 cos ) 2 2 2 2 mr • 2 • 2 2 2 ϕ1 + ϕ 2 (3) (ϕ1 + ϕ 2 ) + 2cr cos × 22 2 mr • 2 • 2 2 2 ϕ1 + ϕ 2 ( 4) (ϕ1 + ϕ 2 ) − 2cr cos × 2 2
例3 质量为3m的方木置于光滑水平面上,用刚度 为c的弹簧与固定墙连结。半径为r,质量为m的均 质圆柱可沿方木内半径为R的圆形空腔作无滑动 的滚动。试求系统的拉格朗日函数。
x
φ
m •2 •• 2 •2 (1) [8 x + 3( R − r ) ϕ + 4( R − r ) xϕ cos ϕ ] 4 c 2 − x + mg ( R − r ) cos ϕ 2 3 •2 3 c 2 2 •2 (2 × ) 2 mx + 4 m( R − r ) ϕ − 2 x + mg ( R − r )cos ϕ 3 • 2 3 2• 2 c 2 (3 × ) 2 mx + 4 mr ϕ − 2 x + mg ( R − r )cos ϕ m •2 •• 2 •2 ( ×4 ) 2 [ 4 x + ( R − r ) ϕ + 2( R − r ) xϕ cos ϕ ] c 2 − x + mg ( R − r ) cos ϕ 2
▲拉格朗日关系式
首先将ri 表示为广义坐标和时间的函数
i = 1, 2 , • • • , N ri = ri ( qs , t ) s = 1, 2 , • • • , n dri ∂ri • ∂ri qs + vi = =∑ ∂t dt s ∂qs
拉格朗 日关系 式(1)
∂ri = • ∂qs ∂ qs
理论力学
拉格朗日方程(一)
12 拉格朗日方程
12.1 动力学普遍方程 ■ 动力学普遍方程
考虑由N个质点组成的质点系,对其中每个质点 应用达朗贝尔原理得
Fi +FNi－miai = 0
用δri点乘上式两边,并对i求和得
i=1,2, …,N
∑(Fi +FNi－miai)·δri = 0
如果假设质点系所受的约束是理想约束,则得
N
n
定义
∂ri Qs = ∑ Fi • ∂qs i =1
N
称为质点系对应于广义坐标qs的广义力 (generalized force)。于是
δW = ∑ Fi • δri = ∑ Qs δqs
i s
由此可得所谓广义坐标形式的虚功原理:
∑ Q δq
s s
s
=0
Qs = 0
s=1,2, …,n
即具有定常、理想约束的完整系统平衡的充分 必要条件是所有广义力都等于零。 广义力的计算主要还是用于动力学问题,可根 据定义计算,但更常用的是所谓几何法。由
∂vi
dri ∂ri • ∂ri qs + vi = =∑ ∂t dt s ∂qs
∂vi ∂ ∂ri • ∂ ∂ri =∑ ( ) qs + ( ) ∂qk ∂qk ∂t s ∂qk ∂qs
d ∂ri ∂ ∂ri • ∂ ∂ri =∑ ( ) qs + ( )= dt ∂qk ∂t ∂qk s ∂qs ∂qk
N
∂V Qs = − ∂qs
当全部主动力均为有势力时,虚功原理变为
∂V • δri = − δV = 0 δW = ∑ Fi • δri = − ∑ i ∂r i i
即保守系统的势能函数在平衡位置取驻值。还 可进一步证明, 如果势能函数取极小值, 则平衡 是稳定的。
12.2 拉格朗日方程
本节将从动力学普遍方程导出拉格朗日方程。
s = 1, 2, • • •, n
引入拉格朗日函数(Lagrange’s function): L=T－V, 最后得到
d ∂L ∂L − =0 • dt ∂ q ∂qs s
s = 1, 2, • • •, n
上式即为主动力有势时的拉氏方程。一般情况下, 方程中的拉格朗日函数是广义坐标、广义速度和 时间的函数。 第二类拉格朗日方程是一组标量方程,适用于 具有理想约束的完整系统。它的最大优点是微 分方程的数目已减少到最小程度,并且不必考虑 未知的约束力,常用于求解比较复杂的非自由质 点系的动力学问题。
例2 质量为3m半径为R的均质圆柱可沿水平面作 无滑动的滚动,中心O用刚度为c的弹簧与固定墙 连结。质量为m 的小球用长为2R的轻杆连结,可绕 O转动。试求系统的拉格朗日函数。
O
○
x
φ
9 •2 c 2 2 •2 (1 × ) 4 mx + 2mR ϕ − 2 x − 2mgR cos ϕ c 2 •2 • • 2 •2 (2 × )2m( x + R ϕ + Rxϕ cos ϕ ) − 2 x + 2mgR cos ϕ m •2 •• 2• 2 (3) (11x + 8 R ϕ + 8 Rxϕ cos ϕ ) 4 c 2 − x + 2mgR cos ϕ 2 m •2 •• 2 •2 (4 × ) 4 (11x + 8R ϕ + 8Rxϕ cos ϕ ) c 2 + x − 2mgR cos ϕ 2
习题: P.294 18-3,10,20,21 P.190 综-20,21
∂vi
∂vi d ∂ri = ∂qk dt ∂qk
• ∂vi ∂ri ∂vi d ( mi vi • • ) = mi v i • + mi vi • ∂qs ∂qs dt ∂q
s
d ∂ 1 2 ( mi vi ) = • dt ∂ q 2 s
由此可得
∂ 1 2 ( mi vi ) = ∂qs 2
∑(Fi －miai)·δri = 0