单纯形法基本原理

工程优化设计中单纯形法的基本原理

张云龙

（大连海洋大学土木工程学院辽宁大连116023)

摘要：从实例出发提出线性规划的数学模型，给出图解法的基本原理，进而重点讲述它的标准解法——单纯形法。在此基础上进一步讨论单纯形法的推广，即大M法和两相法。

关键词：线性规划图解法单纯形法大M法

THE BASIC PRINCIPLES OF SIMPLEX METHOD TO THE ENGINEERING OPTIMIZE DESIGN

ZHANG Yun-long

(Dalian Ocean University, College of Civil Engineering, Liaoning, Dalian 16023)

Abstract: From the instance of the starting linear programming mathematical model of the basic principles of the graphic method, and then focus on the standard solution - simplex method. To promote further discussion on this basis, the simplex method, that is, the big M method and two-phase method.

Key Words: Linear programming；Graphic method；Simplex Method; Big M Method

1引言

在工程优化设计问题中，当约束集由一组线性函数所确定时，其最优化问题的求解已有比较系统的技巧。如果连目标函数也是线性的，也即线性规划问题，则是目前对规划问题研究最透彻最完善的一类问题，而且有比较成熟的解法。线性规划在工程实例中的应用已相当广泛。

虽然大多数设计问题是非线性的，但对线性规划的研究仍然占据突出地位。其原因是：有一部分实际问题，诸如运输问题，分配问题等，确实可以用线性规划问题来求解。尤为重要的是，对于几乎所有规划问题的讨论都与线性规划有关，有时用线性逼近法去直接求解非线性问题；有时则利用线性规划，作为求解在最优化过程中所提出的那些子问题的一个工具，例如，可用来求解可行方向法中的方向寻求问题等错误!未找到引用源。。

因此，深刻理解线性规划问题及其标准解法——单纯形法，显得尤为关键。

2线性规划问题

2.1数学模型

线性规划主要解决：如何利用现有的资源，使得预期目标达到最优。例如，美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品。已知各制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试工序及每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况，如表1-1所示。问该公司应制造两种家电各多少件，使获取的利润最大？

表1-1 工时及利润简表

解题过程：设公司制造Ⅰ、Ⅱ两种家电分别为1,x 2x 件。 问题：1?x = 2?x =可使得利润Z 最大？ 设备A 的工时限制： 2515x ≤ 设备B 的工时限制： 126224x x +≤ 调试工序的时间限制：125x x +≤ 利润： 122Z x x =+ 即要求：12max 2Z x x =+ 目标函数即为：12max 2Z x x =+

约束条件：s.t. 21

21212515

6224

5,

x x x x x x x ≤⎧⎪+≤⎪⎨

+≤⎪⎪≥⎩

其中，约束条件可记 s. t. (subject to), 意思为“以…为条件”、“假定”、“满足”之意。 从数学的角度来看上述的例子

①每一个问题都有一组变量—称为决策变量，一般记为12,,

,.n x x x 对决策变量每一组

值：(0)(0)

(0)12(,,

)T n x x x 代表了一种决策方案。通常要求决策变量取值非负，即

0,(1,2,

).i x i n ≥=

②每个问题中都有决策变量需满足的一组约束条件—线性的等式或不等式。

③都有一个关于决策变量的线性函数—称为目标函数。要求这个目标函数在满足约束条件下实现最大化或最小化。将约束条件及目标函数都是决策变量的线性函数的规划问题称为线性规划。有时也将线性规划问题简记为LP （linear programming)其数学模型为：

1122max(min)n n Z c x c x c x =+++

11112211211222221122

(,)(,)..(,)0,(1,2,,)n n n n m m mn n m

j a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b

x j n +++≤=≥⎧⎪+++≤=≥⎪⎪

⎨

⎪+++≤=≥⎪≥=⎪⎩

上述模型的简写形式为：1

max(min)n

j j

j Z c x

==

∑

1

(,)(1,2,,).0(1,2,

,)

n

ij j i j j a x b i m s t x j n =⎧≤=≥=⎪⎨⎪≥=⎩

∑

若

令

12(,,

,);n C c c c =12;n x x X x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12

;m b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭11

12

121

222121

2

(,,,)n n n m m mn a a a a a a A P P P a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪

== ⎪ ⎪⎝⎭

则线性规划问题的矩阵形式：max(min)Z CX =

(,).0

AX b

s t X ≤=≥⎧⎨

≥⎩

2.2 线性规划问题的标准形式

LP 问题的数学模型的标准形式为：1122max n n Z c x c x c x =++

+

1

(1,2,

,,0)

.0

(1,2,

,)

n

ij j i i j j a x b i m b s t x j n =⎧==≥⎪⎨⎪≥=⎩

∑且

⑴ 若目标函数为 1122min n n Z c x c x c x =++

+，则可以引进新的目标函数,

Z Z '=-则Z 的最小值即为Z ’的最大值，即：min max Z Z '=。从而目标函数变换为：

1122max n n Z c x c x c x '=----

⑵ 当约束条件中含有不等式时， 如：12max 33Z x x =+

()()12

12

2101.21420(1,2)

i

x x s t x x x i +≤→⎧⎪

+≤→⎨⎪≥=⎩