指数函数、对数函数、幂函数综合教学案
高一数学 幂函数、指数函数和对数函数教案
高一数学幂函数、指数函数和对数函数教案
④当 a<0， 分母为奇数时， 函数在第一、 三象限各象限内单调递减 （但不能说在定义域 R 内单调递减） ； ❸a 为偶数时,该函数为偶函数 {x|x≠0}。
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4高一数学幂函数、指数函源自和对数函数教案易学国际儿童大学
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对数函数
定义 对数的定义：一般地，如果 ax=N（a>0，且 a≠1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数， 记作 x=logaN，读作以 a 为底 N 的对数，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 对数函数：一般地，函数 y=logax（a>0，且 a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂为自变量，指数为因 变量，底数为常量的函数，叫对数函数。其中 x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。它实际上就是指数 函数的反函数，可表示为 x=ay。因此指数函数里对于 a 的规定，同样适用于对数函数。 定义域、值域和底数的取值范围 定义域：值域：底数： （0，∞）R 常用对数和自然对数 通常我们将以 10 为底的对数叫常用对数（common logarithm),并把 log10N 记为 lgN。另外，在科学技术中常使用以 无理数 e=2.71828· · · 为底数的对数， 以 e 为底的对数称为自然对 数（natural logarithm)，并且把 logeN 记为 In N。 性质 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系： 当 a>0，a≠1 时，aX=N→X=logaN。（N>0） 由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论： 在实数范围内，负数和零没有对数； a 的对数为 1，即：logaa＝1 1 的对数为 0，即：loga1=0 定点：函数图像恒过定点（1，0） 。 单调性：a>1 时，在定义域上为单调增函数； 0<a<1 时，在定义域上为单调减函数。 奇偶性：非奇非偶函数 周期性：不是周期函数 对称性：无 最值：无 两句经典话：底真同对数正，底真异对数负。 也就是说：若 y=logax（其中 a>0,a≠1，x0） 当 0<a<1, 0<x<1 时，y=logax>0; 当 a>1, x>1 时，y=logax>0; 当 0<a<1, x>1 时，y=logax<0;
(教师用书)高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数教案 苏教版必修1
第3章指数函数、对数函数和幂函数3．1指数函数3．1.1 分数指数幂(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解根式、分数指数幂的概念；(2)掌握分数指数幂和根式之间的互化；(2)掌握分数指数幂的运算性质．2．过程与方法(1)通过与初中所学的知识(平方根、立方根)进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质．(2)通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念和指数幂的性质．3．情感、态度与价值观(1)培养学生观察、分析、抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；(2)通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；(3)让学生体验数学的简洁美和统一美．●重点、难点重点：根式、分数指数幂的概念及运算性质．难点：运用分数指数幂运算性质化简求值．(教师用书独具)●教学建议1．关于分数指数幂概念的引入的教学 建议教师由初中学习的a ，3a 入手引入．2．分数指数、无理数指数是指数概念的又一次扩充，也是学生学习的重点所在． 建议教师在教学中要让学生反复理解有理数指数幂的意义，分数指数不同于因式的乘积，而是根式的一种新写法，教学中可以通过根式和分数指数的互化来巩固加深对这一概念的理解．关于负分数指数幂和有理数指数幂的意义可以在正分数指数幂的基础上引导学生自己得出．对于无理数指数幂的理解是个难点，可以充分借助科学计算器等计算工具初步理解无限趋近这一重要数学思想．3．正分数指数幂、负分数指数幂以及根式定义(1)必须抓好定义中的底数a >0，并解释清楚a 为什么必须大于0，并不是所有的a <0都无意义，不要使学生进入一个误区，误认为a <0时以上定义均无意义．(2)根式的概念是教学的难点，在教材的基础上，可以再举几个实例加深理解，n 次方根的性质实质是平方根、立方根性质的推广，教学时可以以平方根、立方根为基础加以说明．(3)使学生明确三个概念之间的联系，分数指数幂与根式只是形式不同，它们之间是可以互化的，a －m n ＝1a mn＝1n a m(a >0，m ，n 均为正整数)．(4)关于有理数指数幂的运算性质的教学建议教师先复习幂的推广过程，同时要强调限制条件的变化，建议让学生用自己的语言叙述指数运算的三条性质．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正1．4的平方根是什么？8的立方根是什么？ 【提示】 ±2,22．我们知道x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，试想x 3＝a ，x 4＝a ，x 5＝a …，x 如何定义？ 【提示】 x 分别叫做a 的立方根，四次方根、五次方根…3．因(±2)4＝16，则±2都是16的四次方根吗？16的平方根是多少？正数偶次方根都是两个吗？【提示】 是，±4，是． 4．一个数的奇次方根有几个？ 【提示】 一个． 1．n 次实数方根一般地，如果一个实数x 满足x n＝a (n >1，n ↔N *)，那么称x 为a 的n 次实数方根．需要注意的是，0的n 次实数方根等于0.2．根式的定义式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．1．计算a 4和5a 10(a >0)． 【提示】a 4＝ a 2 2＝a 2＝a 42；5a 10＝5a 2 5＝a 2＝a 105.2．根据a －n＝1a n ，计算m －43.【提示】 m －43＝1m 43.一般地，我们规定(1)a m n＝na m(a >0，m ，n 均为正整数)．(2)a －m n ＝1a m n(a >0，m ，n 均为正整数)．(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义．1．计算33×3－5和33＋(－5)，它们之间有什么关系？【提示】 33×3－5＝19，33＋(－5)＝19，相等．2．计算(22)12和22×12，它们之间有什么关系？【提示】 (22)12＝412＝2,22×12＝21，相等．有理数指数幂的运算性质 (1)a s a t＝as ＋t，(2)(a s )t ＝a st， (3)(ab )t＝a tb t，其中s ，t ↔Q ，a >0，b >0.(1)5 －3 5；(2)4 －3 2；(3)4 π－4 2；(4) a －b 2.【思路探究】 根据根式的定义，注意偶次根式与奇次根式的不同，用根式的性质解题． 【自主解答】 (1)5 －3 5＝－3； (2)4 －3 2＝432＝3； (3)4 π－4 2＝4－π；(4) a －b 2＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b a >b ，0 a ＝b ，b －a a <b .1．求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个．2．根式运算中，经常会遇到开方与乘方并存情况，应注意两者运算顺序是否可换，如对ma n仅当a ≥0时，恒有ma n＝(ma )n，若a <0，则不一定．3．根式的性质，n 为奇数时na n＝a ，n 为偶数时，nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0 ，－a a <0 .计算下列各式的值(1)3 －8 3＝________；(2) －10 2＝________； (3)4 3－π 4＝________；(4) m －n 2(m >n )＝________. 【解析】 3－8 3＝－8； －10 2＝102＝10；43－π 4＝|3－π|＝π－3； m －n 2＝m －n .【答案】 (1)－8 (2)10 (3)π－3 (4)m －n(1)13x 5x 2 2；(2)(4b －23)－23(b >0)；(3)a 3a 4a (a >0)．【思路探究】 各小题中均含有根式，可将根式化为分数指数幂形式，根据分数指数幂的运算性质求解．【自主解答】 (1)原式＝13x x 252＝13xx 45＝13x95＝1 x 95 13＝1x 35＝x －35. (2)原式＝[(b －23)14]－23＝b －23×14×(－23)＝b 19.(3)法一 原式＝ a 3aa 14＝a a 54 13＝(a 1＋512)12＝a 1724. 法二 原式＝(a3a 4a )12＝a 12(3a 4a )12＝a 12[(a 4a )13]12＝a 12a 16(a 14)16＝a 12＋16＋124 ＝a 1724.1．此类问题应熟练应用a m n＝na m (a >0，m ，n ↔N*，且n >1)求解．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．2．一般来说，应化根式为分数指数幂，利用幂的运算性质运算．用分数指数幂的形式表示下列各式(a >0 ，b >0)：(1)38－4；(2)4 －2 60；(3)a 33a 2；(4)a a ；(5) ab 3ab 5. 【解】 (1) 38－4＝8－43＝(23)－43＝2－4；(2)4 －2 60＝2604＝215；(3)a33a 2＝a 3a 23＝a 113；(4)a a ＝aa 12＝a 32＝a 34；(5) ab 3ab 5＝ ab 3a 12b 52＝ a 32b 112＝a 34b 114.求值计算下列各式：(1)(0.064)－13－(－78)0＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12；(2)3a92a －3÷ 3a －73a 13(a >0)．【思路探究】 先化简各个分数指数幂，然后再进行四则运算，注意一般先将小数化为分数．【自主解答】 (1)原式＝[(0.4)3]－13－1＋(－2)－4＋2－3＋[(0.1)2]12＝(0.4)－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(2)原式＝[a 13×92a 13×(－32)]÷[a 12×(－73)a 12×133]＝a 96－36＋76－136＝a 0＝1.进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用，一般地进行分数指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．化简求值：(1)a 23b 12(－3a 12b 13)÷(13a 16b 56)(a >0，b >0)；(2)(0.064)－13－(－78)0＋(8116)14＋|－0.01|12.【解】 (1)原式＝(－3÷13)a 23＋12－16b 12＋13－56＝－9a .(2)原式＝(0.43)－13－1＋[(32)4]14＋(0.12)12＝0.4－1－1＋32＋0.1＝3.1.已知a 2＋a －2＝4，求下列各式的值．(1)a ＋a －1； (2)a 2＋a －2； (3)a 32－a －32a 12－a －12.【思路探究】 从已知式子和所求式子的特征可以看出，将已知条件式变形平方后可得a ＋a －1，而由a ＋a －1平方后又可得a 2＋a －2，因此可利用整体代换法求解．【自主解答】 (1)∵a 12＋a －12＝a ＋1a ＝4，∴(a ＋1a)2＝a ＋1a＋2＝16.∴原式＝a ＋1a＝14.(2)∵(a ＋1a )2＝a 2＋1a2＋2＝196，∴原式＝a 2＋1a2＝194.(3)∵a 32－a －32＝(a 12)3－(a －12)3，∴a 32－a －32a 12－a －12＝ a 12－a －12 a ＋a －1＋a 12·a －12a 12－a －12＝a ＋a －1＋1＝15.条件等式的求值是代数式中的常见题型．对该类问题一定要分析已知条件，通过将已知条件变形(如平方、因式分解等)寻找已知式和待求式的关系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”的思想方法去求值，可以简化解题过程．已知x 12＋x －12＝3，求x 32＋x －32－3x 2＋x －2－2的值． 【解】 ∵x 12＋x －12＝3，∴两边平方，得(x 12＋x －12)2＝9，∴x ＋x －1＝7.对x ＋x －1＝7两边平方， 得x 2＋x －2＝47.将x 12＋x －12＝3两边立方，得x 32＋x －32＋3(x 12＋x －12)＝27，即x 32＋x －32＝18.∴原式＝18－347－2＝13.不理解na (n 为偶数，a >0)的意义致误求481的值． 【错解】481＝±3.【错因分析】 认为481表示81的4次方根，81的4次方根应表示为±481，而481是其中之一．【防范措施】 当n 为偶数时．正数a 的n 次方根表示为±n a ，而na 只是其中之一． 【正解】 481＝3.1．分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算．利用分数指数幂进行根式的运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算性质进行计算，最后的结果再用根式表示．2．应用公式进行根式的变形时，应注意公式成立的条件，以减少运算的失误．三条运算性质必须记准、记熟、会用、用活．3．条件代数式化简的方法：条件代数式灵活化简很重要，在解化简求值问题时常用的方法有：有“求值后代换”或“整体代换”.1．16的4次方根是________． 【解析】 ∵(±2)4＝16， ∴16的4次方根是±2. 【答案】 ±22．化简 π－4 2＋3 π－4 3的结果为________． 【解析】 原式＝|π－4|＋(π－4)＝4－π＋π－4＝0. 【答案】 03．已知a >0且a ＋a －1＝2，则a 2＋a －2＝________. 【解析】 a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝4－2＝2. 【答案】 24．化简： a 23b －1 －12a －12b 136ab5(其中各字母均为正数)．【解】 原式＝ a 23b －1 －12a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16b 12＋13－56＝a－1＝1a.一、填空题1．求下列各式的值： (1)5－32＝________； (2) －3 4＝________；(3) 2－3 2＝________.【解析】 (1)5－32＝5－25＝－2； (2) －3 4＝34＝9；(3) 2－3 2＝|2－3|＝3－ 2. 【答案】 (1)－2 (2)9 (3)3－ 2 2．计算23×31.5×612的结果是________． 【解析】 原式＝2×312×(32)13×(3×4)16＝2(1－13＋13)×3(12＋13＋16)＝2×3 ＝6. 【答案】 63．如果x －23＝4，则x 的值是________．【解析】 ∵x －23＝4，∴x ＝(14)32＝18.【答案】 184．(2013·南通高一检测)化简3a92a －3(a >0)＝________. 【解析】 ∵a >0，∴原式＝3a 92a －32＝3a 3＝a .【答案】 a5．若x >0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝________.【解析】 原式＝(2x 14)2－(332)2－4x －12＋1＋4x －12＋12＝4x 12－27－4x 12＋4＝－23.【答案】 －236．计算：4－23＋4＋23＝________.【解析】 原式＝ 3－1 2＋ 3＋1 2＝(3－1)＋(3＋1)＝2 3. 【答案】 2 37．已知10m ＝2,10n＝3，则103m －n 2的值是________．【解析】 由于10m ＝2,10n＝3， 所以103m －n 2＝(103m －n )12＝[(10m )3÷10n ]12＝(23÷3)12＝(83)12＝263. 【答案】2638．化简：a 3b 23ab 2a 14b 12 4a －13b 13(a >0，b >0)＝________.【解析】 原式＝ a 3b 2a 13b 23 12ab 2a －13b 13＝a 53b43a 23b73＝ab －1＝a b .【答案】 ab二、解答题9．(1)化简3xy 2xy －1xy (xy )－1；(2)计算2－12＋ －4 02＋12－1－ 1－5 0－823.【解】 (1)原式＝[xy 2(xy －1)12]13(xy )12－1＝x 13y 23|x |16|y |－16|x |－12|y |－12＝x 13|x |－13＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，－1，x <0.(2)原式＝12＋12＋2＋1－1－382＝2＋2－4＝22－4.10．(2013·天门高一检测)已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值．【解】a －b a ＋b ＝ a －b 2a ＋b a －b＝a ＋b －2aba －b .∵a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，∴a ＋b ＝6，ab ＝4.(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝62－4×4＝20. 又a >b >0，∴a －b ＝2 5. ∴原式＝6－2×225＝55.11．已知函数f (x )＝2x ＋2－x 2，g (x )＝2x －2－x2.(1)求证：[f (x )]2－[g (x )]2＝1；(2)求证：f (2x )＝[f (x )]2＋[g (x )]2，g (2x )＝2f (x )g (x )．【证明】 (1)[f (x )]2－[g (x )]2＝[f (x )＋g (x )]·[f (x )－g (x )]＝2x ·2－x＝1. (2)由f (x )＋g (x )＝2x ，f (x )－g (x )＝2－x， 平方相加得2{[f (x )]2＋[g (x )]2}＝22x＋2－2x＝2f (2x )，即f (2x )＝[f (x )]2＋[g (x )]2； 平方相减得4f (x )g (x )＝22x－2－2x＝2g (2x )，即g (2x )＝2f (x )g (x ).(教师用书独具)已知pa 3＝qb 3＝rc 3，且1a ＋1b ＋1c ＝1.求证：(pa 2＋qb 2＋rc 2)13＝p 13＋q 13＋r 13.【思路探究】 令pa 3＝qb 3＝rc 3＝k ，用等量代换分别表示出所证等式左、右两边的量，最后化简判断．【自主解答】 令pa 3＝qb 3＝rc 3＝k ，则pa 2＝ka，qb 2＝k b，rc 2＝k c，∴所证等式左边＝(k a ＋k b ＋k c )13＝[k (1a ＋1b ＋1c )]13＝k 13，所证等式右边＝(k a 3)13＋(k b 3)13＋(k c 3)13＝k 13(1a ＋1b ＋1c )＝k 13， ∴(pa 2＋qb 2＋rc 2)13＝p 13＋q 13＋r 13.对于“恒等式”，如本例，我们往往令它等于一个常数k ，然后以k 为“媒介”化简，这样可以使问题很容易解决．已知3a·2b＝3c·2d＝6，求证(a －1)(d －1)＝(b －1)·(c －1)． 【证明】 ∵3a·2b＝3×2，∴3a －1·2b －1＝1，∴(3a －1·2b －1)d －1＝1，即3(a －1)(d －1)·2(b －1)(d －1)＝1.①又3c ·2d＝3×2， ∴3c －1·2d －1＝1， ∴(3c －1·2d －1)b －1＝1，即3(c －1)(b －1)·2(d －1)(b －1)＝1.②由①②可知3(a －1)(d －1)＝3(c －1)(b －1)，∴(a －1)(d －1)＝(c －1)(b －1).3.1.2 指数函数第1课时 指数函数的概念、图象与性质(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质． (2)体会数形结合的思想． 2．过程与方法(1)能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索指数函数图象特征． (2)展示函数的图象，让学生观察，进而研究指数函数的性质．3．情感、态度与价值观(1)在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．(2)培养学生观察问题，分析问题的能力． ●重点、难点重点：指数函数的概念及性质．难点：指数函数性质的归纳、概括及应用．(教师用书独具)●教学建议1．关于指数函数的概念的教学建议教师先复习正整数指数函数的定义，类比此定义，引出此概念，并分析其定义的特点，以加深认识层次．2．关于指数函数的图象与性质的教学建议教师从实例y ＝2x，y ＝(12)x 出发，让学生画出其图象，引导学生对比观察，类比正整数指数函数图象性质，再得出一般指数函数的图象及性质，在教学过程中要注意多运用现代教学工具，直观教学．3．关于函数图象变换的教学建议教师结合具体函数如y ＝2x，y ＝(12)x 的图象让学生观察总结规律，并给予相应的训练，强调注意点，以强化记忆．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!错误!课标解读1.理解指数函数的定义(重点)．已知y ＝2x，y ＝(13)x .1．上面两个关系式是函数式吗？ 【提示】 是．2．这两个函数在形式上有何共同特点？ 【提示】 底数为常数，指数为自变量．一般地，函数y ＝a x(a >0，a ≠1)叫做指数函数，它的定义域是R .1．试作出函数y ＝2x(x ↔R )和y ＝(12)x (x ↔R )的图象．【提示】2．两函数图象有无交点？【提示】 有交点，其坐标为(0,1).3.两函数的图象与x 轴有交点吗？ 【提示】 没有交点，图象在x 轴上方．4．两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？【提示】 定义域都是R ；值域是(0，＋∞)；函数y ＝2x是增函数，函数y ＝(12)x 是减函数．(1)y ＝10x ；(2)y ＝10x ＋1；(3)y ＝－4x；(4)y ＝x x；(5)y ＝x α(α是常数)； (6)y ＝(2a －1)x(a >12，a ≠1)．【思路探究】 依据是否符合y ＝a x(a >0，a ≠1)的形式逐一给出判断． 【自主解答】 (1)y ＝10x符合定义，是指数函数； (2)y ＝10x ＋1中指数是x ＋1而非x ，不是指数函数；(3)y ＝－4x中4x的系数为－1而非1，不是指数函数；(4)y ＝x x中底数和指数均是自变量x ，不符合指数函数定义，不是指数函数． (5)y ＝x α中底数是自变量，不是指数函数． (6)∵a >12且a ≠1，∴2a －1>0且2a －1≠1.∴y ＝(2a －1)x(a >12，a ≠1)符合指数函数的定义，是指数函数．判断一个函数是否为指数函数，只需判定其解析式是否符合y ＝a x(a >0，a ≠1)这一结构形式，其具备的特点为：指数函数⇒底数a 是一个常数，不含自变量x ，a >0，a ≠1a x的系数为1指数位置是x 且它的系数为1函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，求a 的值． 【解】 ∵函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a ＋3＝1，a >0，a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝2，a >0，a ≠1，∴a ＝2.(1)(56)－0.24与(56)－14；(2)(1π)－π与1；(3)(0.8)－2与(54)－12.【思路探究】 因为是两个指数幂比较大小，故解答本题可利用指数函数的图象与性质或通过寻求第三个数，将两数进行比较．【自主解答】 (1)考察函数y ＝(56)x .∵0<56<1，∴函数y ＝(56)x在(－∞，＋∞)上是减函数．又－0.24>－14，∴(56)－0.24<(56)－14. (2)考察函数y ＝(1π)x ，∵0<1π<1，∴函数y ＝(1π)x在(－∞，＋∞)上是减函数．又－π<0，∴(1π)－π>(1π)0＝1.(3)先考察函数y ＝0.8x. ∵0<0.8<1，∴函数y ＝0.8x在(－∞，＋∞)上是减函数． 又－2<0，∴0.8－2>0.80＝1. 再考察函数y ＝(54)x.∵54>1，∴函数y ＝(54)x在(－∞，＋∞)上是增函数． 又－12<0，∴(54)－12<(54)0＝1.综上可知0.8－2>(54)－12.比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断．(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较．比较下列各组数的大小 (1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,1.250.2；(3)1.70.3,0.93.1.【解】 (1)由于底数1.7>1，所以指数函数y ＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数． 又因为2.5<3，所以1.72.5<1.73. (2)1.250.2＝0.8－0.2，由于0<0.8<1，所以指数函数y ＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数，所以0.8－0.1<1.250.2.(3)由指数函数的性质得1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90<1，所以1.70.3>0.93.1.【思路探究】 分a >1和0<a <1两种情况，并结合指数函数的单调性求解． 【自主解答】 (1)当0<a <1时，由a 2x ＋1≤ax －5，知2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6. (2)当a >1时，由a2x ＋1≤ax －5，知2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6. 综上所述，x 的取值范围是： 当0<a <1时，{x |x ≥－6}； 当a >1时，{x |x ≤－6}．解指数不等式问题，需注意三点：(1)形如a x >a y 的不等式，借助y ＝a x的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论；(2)形如a x >b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x的单调性求解；(3)形如a x >b x的形式，利用图象求解．把题设条件“a2x ＋1≤ax －5”换成“a2x ＋1≤1”，其余条件不变，求相应问题．【解】 (1)当0<a <1时，由a 2x ＋1≤1＝a 0，得2x ＋1≥0，解得x ≥－12.(2)当a >1时，由a2x ＋1≤1＝a 0，得2x ＋1≤0，解得x ≤－12.综上所述，当0<a <1时，x 的取值范围是{x |x ≥－12}；当a >1时，x 的取值范围是{x |x ≤－12}.对指数函数的概念理解不深刻致误判断下列函数是否为指数函数．①y ＝2x＋2；②y ＝x 12；③y ＝(13)－x .【错解】 ①②是指数函数，③不是指数函数．【错因分析】 忽略了指数函数的解析式是单项式，误认为①是指数函数；忽略了自变量在指数位置，误认为②是指数函数；没有将y ＝(13)－x 变形为y ＝3x，误认为③不是指数函数．【防范措施】 对指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的解析式，要把握如下特点：①自变量在指数位置，②底数是大于0且不等于1的常数，③解析式是单项式且系数为1.【正解】 ①②不是指数函数，③是指数函数．1．准确理解指数函数的定义在指数函数的定义表达式y ＝a x(a >0，且a ≠1)中，a x前的系数必须是1，自变量x 在指数的位置上，否则不是指数函数．2．幂的大小比较幂的大小比较常用的方法有：作差(商)法，函数单调性法，中间值法以及数形结合法． 3．解型如a f (x )>ag (x )(a >0且a ≠1)的不等式，主要依据指数函数的单调性，当a >1时，可转化为f (x )>g (x )，当0<a <1时，可转化为f (x )<g (x ).1．下列函数中是指数函数的序号是________． (1)y ＝x 4；(2)y ＝2－x；(3)y ＝－2x；(4)y ＝(－2)x ；(5)y ＝πx.【解析】 (1)(3)不满足指数函数的基本形式，即y ＝a x，故不是指数函数； (4)中a ＝－2<0，不是指数函数；函数y ＝2－x＝(12)x ，则(2)中函数是指数函数，(5)显然也是指数函数，故(2)(5)是指数函数．【答案】 (2)(5)2．函数f (x )＝5x＋1的值域为________．【解析】 ∵5x>0，∴5x＋1>1，即函数的值域为(1，＋∞)． 【答案】 (1，＋∞)3．(2013·宿迁高一检测)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．【解析】 ∵0<5－12<1， ∴f (x )＝a x在R 上单调递减，又f (m )>f (n )，∴m <n . 【答案】 m <n4．比较下列各组数的大小． (1)(23)－1.8与(23)－2.6；(2)(56)－23与1；(3)1.80.4与0.75.1.【解】 (1)考察函数y ＝(23)x，它在R 上是单调减函数．∵－1.8>－2.6， ∴(23)－1.8<(23)－2.6. (2)考察函数y ＝(56)x，它在R 上是单调减函数．∵－23<0，∴(56)－23>(56)0＝1，∴(56)－23>1.(3)由指数函数性质知 1.80.4>1.8＝1,0.75.1<0.7＝1，故1.80.4>0.75.1.一、填空题1．函数y ＝(a －2)x是指数函数，则a 的取值范围是________． 【解析】 由题意，得a －2>0且a －2≠1， ∴a >2且a ≠3. 【答案】 a >2且a ≠32．若指数函数f (x )的图象经过点(2,9)，则f (1)＝________. 【解析】 设f (x )＝a x(a >0且a ≠1)， 由a 2＝9得a ＝3， ∴f (x )＝3x，则f (1)＝3. 【答案】 33．函数y ＝2x－8的定义域为________， 【解析】 由2x－8≥0得x ≥3. 【答案】 [3，＋∞) 4．不等式0.52x>0.5x －1的解集为________．【解析】 由0.52x >0.5x －1，得2x <x －1，解得x <－1.∴原不等式的解集为{x |x <－1}．【答案】 {x |x <－1}5．函数y ＝16－4x的值域是________． 【解析】 ∵4x>0， ∴0≤16－4x<16， ∴y ＝16－4x↔[0,4)． 【答案】 [0,4)6．下列图中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝(ba)x的图象只可能为________．【解析】 由指数函数y ＝(b a)x的图象知0<b a<1，∴a ，b 同号，二次函数y ＝ax 2＋bx 的对称轴是直线x ＝－b 2a ，而0>－b 2a >－12，∴②③④都不正确． 【答案】 ①7．当x >0时，(a 2－1)x<1恒成立，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 ∵x >0时，(a 2－1)x<1恒成立． ∴0<a 2－1<1，解得1<a <2或－2<a <－1. 【答案】 1<a <2或－2<a <－18．(2013·临沂高一检测)函数y ＝(13)x －3x在区间[－1，1]上的最大值为________．【解析】 因y ＝(13)x 与y ＝－3x 在[－1, 1]上为减函数，故函数y ＝(13)x －3x在[－1,1]上单调递减，∴y max ＝(13)－1－3－1＝83.【答案】 83二、解答题9．设f (x )＝3x，g (x )＝(13)x .(1)在同一坐标系中作出f (x )、g (x )的图象；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？【解】 (1)函数f (x )与g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝(13)－1＝3；f (π)＝3π，g (－π)＝(13)－π＝3π； f (m )＝3m ，g (－m )＝(13)－m ＝3m .从计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．10．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，其中a ＞0，a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域； (3)比较f (2)与f (b 2＋2)的大小． 【解】 (1)函数图象过点(2，12)，所以a2－1＝12，则a ＝12. (2)f (x )＝(12)x －1(x ≥0)，由x ≥0得，x －1≥－1， 于是0＜(12)x －1≤(12)－1＝2.所以函数的值域为(0,2]．(3)∵f (x )＝(12)x －1是减函数，且b 2＋2≥2，∴f (b 2＋2)≤f (2)．11．函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．【解】 (1)若a >1，则f (x )是增函数，由题意可得f (2)－f (1)＝a2，即a 2－a ＝a 2，解得a ＝32.(2)若0<a <1，则f (x )是减函数，故f (1)－f (2)＝a2，即a －a 2＝a2，解得a ＝12.综上所述，a ＝12或a ＝32.(教师用书独具)求下列函数的定义域、值域． (1)y ＝21x －1； (2)y ＝52x －1；(3)y ＝(12)2x －x 2；(4)y ＝9x＋2×3x－1.【思路探究】 本题主要考查指数型函数的定义域与值域，求值域时，关键由定义域、单调性和指数函数的值域求解．【自主解答】 (1)要使函数有意义，则x －1≠0，即x ≠1，∴函数的定义域为{x |x ≠1，且x ↔R }．∵x ≠1，1x －1≠0，∴21x －1≠1. ∴函数的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(2)由2x －1≥0，得函数的定义域为{x |x ≥12}．∵2x －1≥0，∴2x －1≥0，∴y ＝52x －1≥1.∴函数的值域为{y |y ≥1}． (3)函数的定义域为R .∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，∴y ＝(12)2x －x 2≥12.∴函数的值域为{y |y ≥12}．(4)函数的定义域为R .令t ＝3x ，则t >0，y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，其对称轴为－1. 当t >0时，函数y ＝(t ＋1)2－2为单调增函数， ∴当t >0时，y ＝(t ＋1)2－2>1－2＝－1. ∴函数的值域为{y |y >－1}．一般来说，求复合函数的值域，通常先求函数的定义域A ，再由函数的定义域A 求内函数的值域B ，然后以内函数的值域作为外函数的定义域求出原函数的值域，如第(4)小题是由函数y ＝t 2＋2t －1和函数t ＝3x复合而成，先求得原函数的定义域为R ，再由x ↔R ，得t >0(即得到内函数的值域B )，然后由t >0，得到原函数的值域为{y |y >－1}．(1)函数y ＝21x －3的定义域是________，值域是________． (2)函数y ＝(23)－|x |的值域是________，【解析】 (1)由x －3≠0，得x ≠3， ∴定义域为{x |x ≠3}． 又1x －3≠0，∴21x －3≠1， ∴y ＝21x －3的值域为{y |y >0且y ≠1}． (2)定义域为x ↔R ， ∵|x |≥0，∴－|x |≤0， ∴y ＝(23)－|x |的值域为{y |y ≥1}．【答案】 (1){x |x ≠3} {y |y >0且y ≠1} (2){y |y ≥1}第2课时 指数函数的图象与性质的应用(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)掌握函数图象的平移变换与对称变换．(2)熟练掌握指数形式的函数定义域、值域的求法以及单调性、奇偶性判断． (3)会解指数函数型的应用题．2．过程与方法(1)让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．(2)培养学生观察问题，分析问题能力．3．情感、态度与价值观(1)认识从特殊到一般的研究方法．(2)了解数学在生产实际中的应用．●重点、难点重点：指数形式的函数图象、性质的应用．难点：判断单调性．(教师用书独具)●教学建议1．关于函数图象变换的教学建议教师结合教材例3总结基本函数图象的变换规律，即y＝f(x)的图象通过平移得到y＝f(x＋a)与y＝f(x)＋a的图象，通过对称可得到y＝f(－x)，y＝－f(x)与y＝－f(－x)的图象，并比较它们变换的不同之处．2．关于指数函数单调性应用的教学建议教师在教学时，对学生特别强调底数a的范围对于单调性的影响，以便利用单调性进行数的大小比较以解不等式，对于含有参数的不等式要注意分类讨论．3．关于指数函数型模型的应用题的教学建议教师在加强学生对函数概念的理解和指数函数性质的运用时，同时要强调面对具体的问题，对其中蕴含的一些数学模型进行思考和作出判断，建立合理的数学模型，通过数学的方式解决实际应用题．●教学流程通过例1及其变式训练，使学生掌握与指数函数有关的几种党风函数的变换方法⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握运用指数函数解决实际应用问题的方法⇒通过例3及其互动探究，使学生掌握综合运用指数函数的性质解决有关问题的方法⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正利用函数f (x )＝(2)x的图象，作出下列各函数的图象．(1)f (x －1)；(2)f (x ＋1)；(3)－f (x )； (4)f (－x )；(5)f (x )－1.【思路探究】 解答本题的关键在于分清楚变换过程，先画出y ＝(12)x的图象，再画出所要作的图象．【自主解答】 图象如图所示：函数图象变换的规律：(1)对于左右平移变换，可以简单记作：左加右减，它只变其中的x ，如y ＝3x 2――→左移2个单位y ＝3(x ＋2)2；(2)对于上下平移变换，可简单记作：上加下减，它是作用于解析式整体上的，如y ＝3x 2――→上移2个单位y ＝3x 2＋2；(3)对于对称变换的特点：关于x 轴对称：“y ”变为“－y ”；关于y 轴对称：“x ”变为“－x ”．可简单记作关于哪个轴对称，哪个轴对应的变量不变，即对称变换只分别作用于x 和y ，与它们的系数无关．已知函数y ＝(12)|x |，作出函数图象，求定义域、值域，并探讨y ＝(12)x (x ≥0)与y ＝(12)|x |的图象的关系．【解】 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥0，2x ，x <0的图象如图所示，定义域为R ，值域为(0,1]．图象间的关系：将y ＝(12)x(x ≥0)的图象翻折到y 轴左侧(右侧的图象不动)，得到y ＝(12)|x |的图象.(1)试写出x 年后该城市人口总数y 万人与x 之间的函数关系式；(2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．【思路探究】本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N，年平均增长率为P，则对于x年后的人口总数y，可以用y＝N(1＋P)x表示．【自主解答】(1)1年后城市人口总数为：y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)．2年后城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2，同理3年后城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)3，…故x年后的城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为：y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127≈113(万人)．答：(1)x年后该城市人口总数y万人与x之间的函数关系式为y＝100(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数约为113万人．解决实际应用题的步骤：(1)领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；(2)根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；(3)对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；(4)检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答．某人承包了一片荒山，承包期限为10年，准备栽种5年可成材的树木．该树木从树苗到成材期间每年的木材增长率为18%，以后每年的木材增长率为10%，树木成材后，既可出售树木，重栽新树苗，也可让其继续生长至承包期满，问：哪一种方案可获得较多的成材木材量？(参考数据：1.15≈1.61)【解】不妨设新树苗的木材量为Q，若连续生长10年，则木材量为N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；若生长5年重栽新树苗，则木材量为M＝2Q(1＋18%)5，则M N ＝2Q 1＋18% 5Q 1＋18% 5 1＋10% 5＝21.15≈21.61>1.所以M>N，即生长5年重栽新树苗可获得较多的成材木材量.若函数y ＝2x－1为奇函数．(1)确定a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域； (4)讨论函数的单调性．【思路探究】 先由f (－x )＝－f (x )求出a 的值，再分别解决其他问题． 【自主解答】 先将函数y ＝a ·2x －1－a2x－1化简为y ＝a －12x －1.(1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0， 即a －12－x－1＋a －12x －1＝0. ∴2a ＋1－2x1－2x ＝0.∴a ＝－12.(2)∵y ＝－12－12x －1，∴2x－1≠0.∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)∵x ≠0，∴2x－1>－1.又∵2x－1≠0，∴0>2x－1>－1或2x－1>0. ∴－12－12x －1>12或－12－12x －1<－12，即函数的值域为{y |y >12或y <－12}．(4)当x >0时，设0<x 1<x 2， 则y 1－y 2＝12x 2－1－12x 1－1＝2x 1－2x 22x 2－1 2x 1－1. ∵0<x 1<x 2， ∴1<2x 1<2x 2.∴2x 1－2x 2<0,2x 1－1>0,2x 2－1>0. ∴y 1－y 2<0.因此y ＝－12－12x －1在(0，＋∞)上递增．由于y ＝f (x )是奇函数，从而y ＝－12－12x －1在(－∞，0)上也是递增的．1．在解答第(3)问时注意应用指数函数y ＝2x的值域．在解答第(4)问时注意作差变形是解题的关键．2．与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(值域)等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解.将本题中函数改为f (x )＝a －22x＋1(x ↔R )试解答下面问题： (1)证明：对于任意a ，f (x )在R 上为增函数； (2)试确定a 的值，使f (x )为奇函数． 【解】 (1)设x 1、x 2↔R ，x 1<x 2， ∴f (x 2)－f (x 1)＝a －22x 2＋1－(a －22x 1＋1) ＝2 2x 2－2x 12x 2＋1 2x 1＋1.由于指数函数y ＝2x在R 上是增函数，且x 1<x 2， ∴2x 1<2x 2，2x 2－2x 1>0.又由2x>0，得2x 1＋1>0,2x 2＋1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)． ∵此结论与a 取值无关，∴对于任意实数a ，f (x )在R 上为增函数． (2)若f (x )为奇函数， 则f (－x )＝－f (x )， 即a －22－x ＋1＝－a ＋22x＋1， 变形，得2a ＝22x ＋1＋22－x ＋1＝2＋2·2x2x ＋1＝2，解得a ＝1.∴当a ＝1时，f (x )为奇函数.忽略指数函数的值域致误已知方程9x －2·3x＋3k －1＝0有两个实数解，试求实数k 的取值范围． 【错解】 令t ＝3x ，则原方程可化为t 2－2t ＋3k －1＝0， 要使方程有两个实数解，则Δ＝(－2)2－4(3k －1)≥0， 解得k ≤23.【错因分析】 换元后t ＝3x >0.Δ≥0只能保证方程t 2－2t ＋3k －1＝0有两个实数解，不能保证原方程有两个实数解．【防范措施】 用换元法解题时，一定要利用原变量的范围确定中间变量的范围，这样才可达到等价变换的效果．【正解】 令t ＝3x，则t >0.原方程有两个实数解，即方程t 2－2t ＋3k －1＝0有两个正实数解， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝ －2 2－4 3k －1 ≥0，t 1＋t 2＝2>0，t 1t 2＝3k －1>0，解得13<k ≤23.1．图象变换法作图的一般步骤是：选取函数；写变换过程；画图象． 2．利用函数的单调性规律判断y ＝f (a x)型或y ＝a f (x )型函数的单调性，是一种重要的题目类型，解决该问题的主要方法是“换元法”．3．本节知识在日常生活、生产中应用广泛，可涉及增长率、销售、税收等各个方面，在解决各类问题时，要细心分析，联系已学的知识及方法，将实际问题解决.1．函数y ＝2x ＋1的图象是图中的________．(填序号)【解析】 y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x的图象向左平移一个单位得到的，故②正确．【答案】 ②2．某工厂一月份产值为a 万元，这一年内的月平均增长率为x ，则该工厂十二月份的产值为________万元．【解析】 由题意，二月份的产值为a (1＋x )， 三月份的产值为a (1＋x )(1＋x )＝a (1＋x )2， ⋮十二月份的产值为a (1＋x )11. 【答案】 a (1＋x )113．函数f (x )＝1－23x ＋1在R 上是________函数(填“奇”或“偶”)．【解析】 因为f (x )＝1－23x ＋1＝3x－13x ＋1，所以f (－x )＝3－x－13－x ＋1＝13x －113x ＋1＝1－3x1＋3x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝1－23x＋1在R 上是奇函数． 【答案】 奇4．求函数y ＝4－x －2－x＋1，x ↔[－3,2]的最大值和最小值． 【解】 令2－x＝t ，由x ↔[－3,2]知，t ↔[14，8]，∴y ＝4－x－2－x＋1＝(2－x )2－2－x＋1＝t 2－t ＋1＝(t －12)2＋34，∴当t ＝12时，y min ＝34，当t ＝8时，y max ＝57. 综上函数的最大值为57，最小值为34.一、填空题1．函数y ＝4x－1的图象是由函数y ＝4x的图象向________平移________个单位长度得到的．【解析】 将函数y ＝4x的图象向下平移1个单位长度得到函数y ＝4x－1的图象． 【答案】 下 12．定义域为R 的函数y ＝f (x )的值域为[1,2]，则函数y ＝f (x ＋2)的值域为________． 【解析】 ∵函数y ＝f (x ＋2)的图象可由y ＝f (x )的图象向左平移两个单位得到，故f (x )与f (x ＋2)的值域相同．【答案】 [1,2]3．某种细菌在培养的过程中，每20 min 分裂一次(一个分裂为两个)，经过3 h ，这样的细菌由一个分裂为________个．【解析】 由题意可知，经过3 h ，细菌共分裂了9次，这时这样的细菌由一个分裂为29＝512个．【答案】 5124．(2013·南通高一检测)已知f (x )＝e x －e －x2，则下列正确说法的序号是________．①奇函数，在R 上为增函数 ②偶函数，在R 上为增函数 ③奇函数，在R 上为减函数 ④偶函数，在R 上为减函数【解析】 f (x )＝e x －e －x2＝12e x －12(1e )x，由f (－x )＝e －x－e x 2＝－e x －e－x2＝－f (x )，。
数学总复习配套教案2.9指数函数、对数函数及幂函数(3)
第二章函数与导数第9课时指数函数、对数函数及幂函数（3）(对应学生用书（文）、（理)24~25页)考情分析考点新知①对数函数在高考中的考查主要是图象和性质，同时考查数学思想方法,以考查分类讨论及运算能力为主;考查形式主要是填空题，同时也有综合性较强的解答题出现，目的是结合其他章节的知识，综合进行考查.②幂函数的考查较为基础，以常见的5种幂函数为载体，考查求值、单调性、奇偶性、最值等问题是高考命题的出发点．①理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性；掌握对数函数图象通过的特殊点。
②知道对数函数是一类重要的函数模型。
③了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x的相互关系（a〉0，a≠1）.④了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x－2的图象，了解它们的变化情况。
1。
（必修1P112测试8改编）已知函数f(x）＝log a x（a〉0，a ≠1）,若f（2）〉f（3),则实数a的取值范围是________．答案:（0，1)解析:因为f(2)〉f （3）,所以f （x ）＝log a x 单调递减,则a∈（0,1）． 2。
（必修1P 89练习3改编）若幂函数y ＝f(x)的图象经过点错误!，则f(25）＝________．答案：15解析：设f （x)＝x α，则错误!＝9α，∴ α＝－错误!，即f(x ）＝x －错误!，f （25）＝错误!。
3. (必修1P 111习题15改编）函数f （x ）＝ln 1－x 1＋x 是________(填“奇”或“偶”)函数．答案：奇解析：因为f(－x ）＝ln 错误!＝ln 错误!错误!＝－ln 错误!＝－f （x ），所以f(x ）是奇函数．4。
（必修1P 87习题13改编）不等式lg(x －1）〈1的解集为________.答案：（1，11)解析：由0〈x －1〈10，∴ 1〈x<11.5。
（必修1P 87习题14改编)对于任意的x 1、x 2∈(0，＋∞)，若函数f(x ）＝lgx,则错误!与f 错误!的大小关系是______________________.答案：错误!≤f 错误!解析：(解法1）作差运算；（解法2）寻找错误!与f 错误!的几何意义,通过函数f （x ）＝lgx 图象可得．1。
指数函数幂函数对数函数增长的比较教案
指数函数幂函数对数函数增长的比较教案
指数函数、幂函数和对数函数增长的比较教案
教学目标
通过本教案的学习，学生将能够：
理解指数函数、幂函数和对数函数的定义；
理解指数函数、幂函数和对数函数的增长特点；
比较指数函数、幂函数和对数函数在不同增长情况下的差异。
教学步骤
1.引入
引导学生回顾函数的基本概念，并复习函数的图像、定义域和值域的表示方法。
2.指数函数
定义：指数函数是形如y=a^x的函数，其中a是常数且大于0，x是自变量。
指数函数的图像特点：
当a>1时，函数呈现上升的指数增长趋势；
当0<a<1时，函数呈现下降的指数增长趋势。
3.幂函数
定义：幂函数是形如y=x^a的函数，其中a是常数，x是自变量。
幂函数的图像特点：
当a>1时，函数呈现上升的幂函数增长趋势；
当0<a<1时，函数呈现下降的幂函数增长趋势。
4.对数函数
定义：对数函数是形如y=log<sub>a</sub>(x)的函数，其中a是常数且大于0，x是自变量。
对数函数的图像特点：
当a>1时，函数呈现上升的对数增长趋势；
当0<a<1时，函数呈现下降的对数增长趋势。
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质学习幂函数的定义，了解幂函数的基本形式f(x) = x^a。
探讨幂函数的性质，包括奇偶性、单调性、周期性等。
1.2 幂函数的图像与性质绘制常见幂函数的图像，观察图像的特点。
分析幂函数的单调区间、极值等性质。
第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质学习指数函数的定义，了解指数函数的基本形式f(x) = a^x。
探讨指数函数的性质，包括单调性、稳定性、特殊点等。
2.2 指数函数的图像与性质绘制常见指数函数的图像，观察图像的特点。
分析指数函数的单调性、渐近线等性质。
第三章：对数函数3.1 对数函数的定义与性质学习对数函数的定义，了解对数函数的基本形式f(x) = log_a(x)。
探讨对数函数的性质，包括单调性、反函数关系、对数规则等。
3.2 对数函数的图像与性质绘制常见对数函数的图像，观察图像的特点。
分析对数函数的单调性、渐近线等性质。
第四章：对数运算法则4.1 对数的基本运算法则学习对数的加法、减法、乘法、除法等基本运算法则。
探讨对数运算的性质，如对数的中项定律、对数的换底公式等。
4.2 对数的复合运算法则学习对数的复合运算，如对数的乘方、对数的开方等。
探讨复合运算的性质，如对数的乘方公式、对数的开方公式等。
第五章：对数函数的应用5.1 对数函数在求解方程中的应用学习使用对数函数求解指数方程、对数方程等。
探讨对数函数在求解方程时的性质，如对数函数的单调性、对数函数的零点等。
5.2 对数函数在解决实际问题中的应用学习使用对数函数解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
探讨对数函数在解决实际问题时的应用方法和对数函数的近似计算等。
第六章：幂函数的应用6.1 幂函数在几何中的应用学习幂函数在几何中的作用，如计算体积、面积等。
探讨幂函数在几何问题中的解题方法。
6.2 幂函数在物理中的应用学习幂函数在物理中的作用，如温度、速度等。
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案一、教学目标知识与技能：1. 理解幂函数、指数函数的定义和性质。
2. 掌握对数的定义和性质，了解对数函数的图像和应用。
3. 掌握对数的运算法则，并能应用于实际问题中。
过程与方法：1. 通过实例和图形，培养学生的观察和分析能力，提高学生对幂函数、指数函数和对数函数的理解。
2. 通过小组讨论和探究活动，培养学生的合作和沟通能力，提高学生对对数运算法则的掌握。
情感态度与价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心，激发学生对幂函数、指数函数和对数函数的学习热情。
2. 培养学生的耐心和细心，提高学生在解决实际问题中的数学应用能力。
二、教学内容第一节：幂函数1. 幂函数的定义和性质2. 幂函数的图像和应用第二节：指数函数1. 指数函数的定义和性质2. 指数函数的图像和应用第三节：对数函数1. 对数的定义和性质2. 对数函数的图像和应用第四节：对数的运算法则1. 对数的加法和减法法则2. 对数的乘法和除法法则3. 对数的幂法则三、教学重点与难点重点：1. 幂函数、指数函数和对数函数的定义和性质。
2. 对数的运算法则。
难点：1. 对数函数的图像和应用。
2. 对数的幂法则的理解和应用。
四、教学方法与手段教学方法：1. 讲授法：讲解幂函数、指数函数和对数函数的定义和性质。
2. 案例分析法：分析实际问题中的应用，展示对数函数的图像。
3. 小组讨论法：分组讨论对数的运算法则，促进学生之间的交流和合作。
教学手段：1. 多媒体课件：展示幂函数、指数函数和对数函数的图像和实例。
2. 练习题：提供练习题，帮助学生巩固所学知识和技能。
1. 课堂参与度：观察学生在课堂中的积极参与和提问情况，评价学生的学习兴趣和主动性。
2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的正确率和解题思路，评价学生的理解和应用能力。
3. 小组讨论报告：评估学生在小组讨论中的表现和合作能力，以及对数运算法则的理解和应用。
幂函数指数函数和对数函数单元教学设计
活动意图说明： 点评 考察定义，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为常数这三个条件，才是幂函数．如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3，y ＝⎝⎛⎭⎫x 24都不是幂函数． 环节二：教师活动2知识点二 五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)12y x ＝；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 12y x ＝y ＝x －1定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶性奇偶 奇非奇非偶奇 单调性增在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减增增在(0，＋∞) 上减， 在(－∞，0) 上减知识点三 一般幂函数的图象特征一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称； (5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 学生活动学生把自己的作图结果展示并比较，讨论，校对。
教师最后可以用课件动态展示结果。
并得出正确的图像。
学生先相互讨论，如有不足老师再提醒或补充。
活动意图说明学生通过作图从熟悉的图像到陌生的图像进一步学会做图和看图，学会图像这个工具进一步研究性质。
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案一、教学目标：1. 理解幂函数、指数函数和对数函数的概念及其性质。
2. 掌握对数的定义及其运算法则。
3. 能够运用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题。
二、教学内容：1. 幂函数：定义、性质及应用。
2. 指数函数：定义、性质及应用。
3. 对数函数：定义、性质及应用。
4. 对数的运算法则：乘法法则、除法法则、幂法则、对数换底公式。
三、教学重点与难点：1. 重点：幂函数、指数函数和对数函数的概念及其性质，对数的运算法则。
2. 难点：对数函数的应用，对数的运算法则的推导和应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解幂函数、指数函数、对数函数的定义、性质和对数运算法则。
2. 利用例题和练习题，让学生通过自主学习和合作交流，巩固所学知识。
3. 运用信息技术辅助教学，展示函数图像，增强学生对函数性质的理解。
五、教学过程：1. 导入：通过复习幂函数、指数函数的概念和性质，引出对数函数的概念。
2. 新课讲解：讲解对数函数的定义、性质和对数运算法则，结合实例进行解释。
3. 例题讲解：分析并解决有关对数函数的例题，让学生掌握对数函数的解题方法。
4. 练习与讨论：学生自主完成练习题，合作交流解题心得，教师进行点评和指导。
6. 课后作业：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对幂函数、指数函数、对数函数概念及其性质的掌握情况。
2. 练习题完成情况：检查学生对对数函数及其运算法则的应用能力。
3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的巩固程度。
七、教学反思：2. 针对学生的薄弱环节，调整教学策略，提高教学效果。
3. 探索更多有效的教学方法，激发学生的学习兴趣。
八、拓展与延伸：1. 引导学生思考实际生活中的幂函数、指数函数和对数函数现象，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。
2. 介绍对数函数在其他学科领域的应用，如物理学、生物学等，拓宽学生的知识视野。
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案一、教学目标：1. 理解幂函数、指数函数和对数函数的定义及性质。
2. 掌握对数的定义、性质及运算法则。
3. 能够运用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题。
二、教学内容：1. 幂函数的定义与性质2. 指数函数的定义与性质3. 对数的定义与性质4. 对数的运算法则5. 实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 重点：幂函数、指数函数和对数函数的定义与性质，对数的运算法则。
2. 难点：对数函数的理解和应用，对数运算法则的推导。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解幂函数、指数函数、对数函数的定义与性质。
2. 采用案例分析法，分析实际问题中的幂函数、指数函数和对数函数。
3. 采用小组讨论法，探讨对数运算法则的推导。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引入幂函数、指数函数和对数函数的概念。
2. 讲解：讲解幂函数、指数函数和对数函数的定义与性质。
3. 案例分析：分析实际问题中的幂函数、指数函数和对数函数。
4. 小组讨论：探讨对数运算法则的推导。
6. 练习：布置课后作业，巩固所学知识。
教学反思：在教学过程中，关注学生的学习反馈，针对学生的掌握情况，调整教学节奏和难度。
注重引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
加强实际问题中的应用，提高学生的解决问题的能力。
对数函数的理解和应用是教学难点，可通过举例、小组讨论等方式，帮助学生理解和掌握。
六、教学评价：1. 课后作业：布置相关的习题，巩固学生对幂函数、指数函数、对数函数的理解和应用。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括思考问题的深度和广度，以及团队合作能力。
七、教学资源：1. 教材：提供相关的教材或教学参考书，以便学生可以在家中复习和学习。
2. 课件：制作详细的课件，辅助学生理解和记忆幂函数、指数函数、对数函数的概念和性质。
3. 实际问题案例：收集一些实际问题，用于课堂分析和讨论，帮助学生理解函数的应用。
幂函数、指数函数和对数函数 指数函数 教案
幂函数、指数函数和对数函数·指数函数·教案教学目标1．通过教学，使学生掌握指数函数的定义，会画指数函数的图象，掌握指数函数的性质．2．通过例题，使学生学会利用函数的性质，比较两个数的大小的方法，从而加深学生对函数性质的理解．3．通过教学，使学生进一步了解学习一种新的函数的基本方法．4．通过函数的图象，让学生观察归纳函数的性质，提高学生画图、看图、用图的能力，提高学生观察归纳的能力．教学重点与难点教学重点是指数函数的定义，图象及性质．难点是弄清底数a对于函数值变化的影响，区分a＞1与0＜a ＜1时，函数值变化的不同情况．能应用函数的性质解决问题．教学过程设计师：首先我们回忆关于零指数、负指数、分数指数幂的意义及其运算性质．师：要注意字母的允许值范围．a0=1（a≠0），零的零次幂没有幂的意义．那么它们的运算性质呢？生：am·an=am+n；am÷an=am-n；（am）n=amn；（ab）n=anbn．其中m，n为有理数．师：请同学们回忆，什么是幂函数？生：函数y=xα叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数．师：幂函数是我们在高中所学的第一个函数．今天我们再学习一种新的函数．请同学们先考虑以下问题：例1 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞分裂的个数y与x的函数关系是什么？生：y与x的函数关系是y=2x．例2 一种放射性物质随着时间而不断衰减．已知它经过一年剩留的质量约是原来的84％，请问：若有1克这种放射性物质，经过x年，剩留的质量y与x的函数关系是什么？师：经过1年，剩留量y=1×84％=0.84；经过2年，y=0.84×0.84=0.842．经过x年呢？生：经过x年，剩留量y=0.84x．师：以上两例中所涉及到的函数里，指数是自变量，底数分别为2和0.84．它们与幂函数不同的是：自变量x出现在指数位置上，而底数是一个大于零且不等于1的常数．我们称这样的函数为指数函数、由此得到：定义：函数y=ax叫做指数函数，其中a是一个大于零且不等于1的常量．对这个定义我们要说明两点：（1）当a＞0，x是无理数时，ax是一个确定的实数，对于无理指数幂，过去学过的有理数指数幂的性质和运算法则都适用．有关概念和定理证明在课本中从略．由于指数已经扩充到有理数和无理数，所以在底数大于零的前提下，x可以是任意实数，因此指数函数的定义域是全体实数集R．（2）为什么要规定底数a大于零且不等于1呢？请同学们思考一下．生：若a=0，当x=0时，ax无意义．师：还有吗？生：若x＜0时，ax（a=0）无意义．师：好．请同学们再考虑a＜0的情形．师：好．当a＜0，且x是分母为偶数的既约分数时，在实数范围内函数值ax不存在．如果a=1，则y=1x=1是一个常量．对它也没有研究的必要．根据上述原因，我们规定指数函数y=ax中的底数a＞0且a≠1．同幂函数一样，下边我们根据函数的解析式描绘指数函数的图象．我们考虑几个特殊的指数函数的图象．师：画函数图象都有哪些方法呢？生：描点法与图象变换法．师：对．当我们学习一种新的基本初等函数时，都是采用描点法画出其函数图象．在画图时，首先要列出x、y的对应值表，然后用描点法画出图象．在列表时，要考虑函数的定义域．因为x∈R，所以y=2x中可取x=…y=10x，当x=2，3时，y=100，1000，画起来就不方便了．但是点取请同学们计算与x对应的y值．列表如下．…根据上表，在同一坐标系里，作函数图象．师：我们画出了三个具有代表性的指数函数图象．现在我们根据这些图象，观察分析指数函数图象的特征，从而得到指数函数的性质．请同学们先观察这三个函数图象有哪些共同的特点．生：图象都在x轴的上方．师：由此可以说明指数函数具有什么性质呢？生：函数值y＞0．师：很好．从图象上看，曲线都在x轴的上方，并且向下与x轴无限地接近，所以函数的值域y=ax＞0．继续观察还有什么共同的特点？生：图象都过一个点．师：这个点的坐标是什么？生：（0，1）．师：这说明什么呢？生：当x=0时，y=1．师：对．在指数函数中，当x=0时，y=ax=a0=1（a＞0且a≠1）．现在我们再观察这三个函数图象中有哪些不同的特点呢？图象是下降的．师：很好．对于指数函数，当a=2和10，即a＞1时，函数在定义（-∞，+∞）上是减函数．再继续观察还有什么特征？生：……师：在图象上画一条直线y=1．生：当底数是2和10时，在第一象限，图象都在直线y=1的上边，师：图象在直线y=1的上边，说明了什么？图象在直线y=1的下边，且在x轴的上边，又说明了什么呢？生：图象在直线y=1的上边．说明y＞1；在直线y=1的下边且在x轴的上边，说明0＜y＜1．师：对．由此我们可以得出：当a=2和10，即a＞1时，若x＞0，；若x＜0，则y＞1．我们通过观察图象的特征，将结论归纳如下：师：根据上述结论，我们知道指数函数的图象及性质应视a＞1和0＜a＜1两种情形而不同，这是指数函数至关重要的一个特点．因此，今后我们在研究指数函数的问题时，要特别注意它们底数的取值范围，从而得到相应的结论，以达到解决问题的目的．例2 比较下列各题中两个值的大小．（1）1.72.5和1.73；（2）0.8-0.1和0.8-0.2师：请同学们观察（1）中两个数的底数和指数的特点．生：这两个数的底数是相同的，指数不同．师：根据这一特点，如何比较这两个数的大小呢？生：可根据函数y=1.7x是增函数的性质来比较大小．师：对．针对这两个数的底数都是1.7，我们构造一个函数y=1.7x，利用这个函数在（-∞，+∞）上是增函数．只要比较自变量2.5与3的大小，即可比出1.72.5与1.73的大小．请一名同学写出解题过程．生：（板书）．解因为函数y=1.7x在（-∞，+∞）上是增函数，且2.5＜3，所以1.72.5＜1.73师：非常好．要求同学们按照这样的格式写出作业答案．下面请同学比较第（2）组两个数的大小，请同学回答．生：因为函数y=0.8x在（-∞，+∞）上是减函数，又-0.1＞-0.2，所以0.8-0.1＜0.8-0.2．师：当我们比较两个数的大小时，若这两个数的底数相同，而指数不同，则可以构造一个指数函数，当底数a＞1，函数在定义域内是增函数；当底数0＜a＜1，函数在定义域内是减函数，再比较自变量的大小，利用函数单调性，即可比出函数值的大小，我们把这种方法简称为“函数法”．例3 比较下列各题中两个数值的大小．（1）0.8-0.3和4.9-0.1；（2）0.90.3和0.70.4师：请同学们观察（1）中两个数的特点，它们与例2中两个数的区别是什么？生：例2中每组数的底数都相同，指数不同，而这道题目中的两个数底数、指数都不相同．师：例3（1）中两个数的底数、指数都不相同，不便于利用指数函数的单调性直接比较大小，那么，请同学们仔细观察分析一下这两个数有什么特点．生：在0.8-0.3中，因为底数0.8∈（0.1），而指数-0.3＜0，由指数函数的第三个性质可知0.8-0.3＞1．在4.9-0.1中，因为底数4.9＞1，而指数-0.1＜0，也可由指数函数的第三个性质知4.9-0.1＜1．因此0.8-0.3＞4.9-0.1．师：非常好．这组数是根据指数函数中第三条性质，由底数与指数的范围，判断出一个数比1大，而另一个数比1小，由此得出结论．那么请同学们继续观察（2）中两个数值有什么特点，如何判断它们的大小．生：在0.90.3中，0＜0.9＜1，0.3＞0，由指数函数性质知0.90.3＜1；在0.70.4中，0＜0.7＜1，0.4＞0，因此0.70.4＜1．师：两个数都小于1，能否比较出0.90.3与0.70.4两个数的大小吗？生：不能．师：（1）中两个数，一个比1大，一个比1小，即1在这两个数之间，我们才能比较出两个数的大小．（2）中两个数都比1小，即1不在这两个数之间，因此就不能判断这两个数的大小．那么能不能找到一个数，介于0.90.3和0.70.4之间呢？生：可以取0.70.3．师：请你比较一下．生：因为函数y=x0.3在[0，+∞）上是增函数．师：这是个什么函数呢？生：幂函数．师：好．请继续说．生：且0.9＞0.7，所以0.90.3＞0.70.3．又因函数y=0.7x在（-∞，+∞）上是减函数，且0.3＜0.4，所以0.70.3＞0.70.4．故0.90.3＞0.70.4．师：非常好．他另选了一个数0.70.3，使得0.90.3比它大，而0.70.4比它小，从而比较出这两个数的大小．在比较0.90.3与0.70.3时，利用了幂函数在第一象限的单调性，这两个数的指数相同，而底数不同；在比较0.70.3与0.70.4时，利用了指数函数在定义域上的单调性，这两个数的底数相同，而指数不同．这一技巧同学们要注意．还有什么不同的选取方法吗？生：可以取0.90.4．师：请你简述一下．生：考察0.90.3与0.90.4，可根据指数函数y=0.9x在（-∞，+∞）上是减函数，判断知：0.90.3＞0.90.4；考察0.90.4与0.70.4，可根据幂函数y=x0.4在[0，+∞）上是增函数，判断知：0.90.4＞0.70.4．因此得：0.90.3＞0.70.4．师：很好．由例3中的两组数比大小可以看到：要比较两个数a和c的大小，可在a和c之间选取适当的数b，如果a＞b且c＜b，那么a＞c；如果a＜b且c＞b，那么a＜c．选取这样的数b不是唯一的，我们把这种方法简称为“中间量”法．当我们要比较两个数的大小时，可根据数的不同特点，采取不同的方法．练习请同学们口答下列问题：1．指出下列各个幂中，哪个大于1？哪个小于1？哪个等于1？并简述理由．2．指出下列各题中m和n的大小，并说明理由．（1）1.4m＞1.4n；（2）m1.4＞n1.4；（3）0.6m＞0.6n；（4）m-0.6＞n-0.6生：因为指数函数y=1.4x在（-∞，+∞）上是增函数，且1.4m＞1.4n，所以m＞n．生：因为幂函数y=x1.4在[0，+∞）上是增函数，且m1.4＞n1.4，所以m＞n．生：因为指数函数y=0.6x在（-∞，+∞）上是减函数，且0.6m＞0.6n，所以m＜n．生：因为幂函数y=x-0.6在[0，+∞）上是减函数，且m-0.6＞n-0.6，所以m＜n．师：今天的课就讲到这里，最后我们重温这节课所学的内容．生：今天讲了什么是指数函数（复述）．师：指数函数的定义，我们是通过两个实例引入的，说明它是来自于实践，而又用于实践．掌握定义要注意：（1）它与幂函数的区别，幂函数的底数是自变量；指数函数的指数是自变量；（2）指数函数的定义域是R；（3）指数函数的底数a＞0且a≠1．数的图象，并根据图象观察归纳了指数函数的性质，请同学回答指数函数的性质．生：（复述性质）……师：对上述性质，要求同学们必须熟练掌握应用，但不要求死记硬背．函数图象是研究函数的直观工具，利用图象便于记忆函数的性质和变化规律，因此大家脑子里要有图，能够数形结合，会画图，会看图，会用图，这样才能提高对函数思想方法的认识，并利用它来解决问题．例2、例3都是利用函数性质解决问题的．“函数法”、“中间量法”都是比较两个数的大小的常用方法，要求掌握．作业：课本P70第1，2题．师：作业题1是作图题，作两个指数函数的图象．这样我们共画了五个指数函数图象，请同学们比较这五个函数图象．下节课，我们共同讨论结果．（答案：（1）底数是互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．（2）当底数大于1时，底数越大的图象越靠近y轴；当底数大于0且小于1时，底数越小的图象越靠近y 轴．）补充题：1．比较下列各题中两个数的大小．（1）5.10.9和0.30.2；（2）0.71.3和0.8-0.1；（3）3.30.7和3.40.3；（4）0.62.4和0.72.3．（答案：（1）＞；（2）＜；（3）＜；（4）＜．）2．已知0.9＜a＜1，x=aa，y=ax，试比较a，x，y的大小．（提示：因为0.9＜a＜1，所以函数y=ax是减函数，又0＜a＜1，所以a1＜aa＜a0=1，即a＜x＜1．故aa ＞ax＞a，即x＞y＞a．）课堂教学设计说明1．本节课的整体设计是按照一般研究函数的规律设计的．由实例引入定义，再根据定义并利用描点法画出函数图象，通过图象得到函数的性质．学生在学习函数时，往往感到比较困难、抽象，不易理解和掌握．要让学生掌握学习函数的一般规律，再继续学习新的函数，学生就能顺理成章，而不会产生无所适从的感觉．2．本节的容量较大，为了提高效率，可采用现代化教学手段，利用投影仪或电脑．在引导学生观察分析了三种典型函数的图象性质之后，将得到的结论直接投影出来，课上的引例、例题、练习题、作业题也都可投影出来．但要注意一定要体现过程教学．比如画函数图象，不要一下就把图象投影出来，这样不利于学生掌握图象的画法，既使用了投影仪或电脑，也要将建立坐标系（要强调三要素）、描点、用光滑曲线将这些点连接起来的整个过程展现出来．又如函数性质的教学，一定先让学生观察图象，分析特点．从而提高学生观察归纳的能力和看图用图的意识．例题的解答也要让学生去分析，发现解法．这样有利于学生尽快掌握函数的性质，掌握比较两个数大小的方法，让学生在观察的过程中，发现的过程中，解决问题的过程中，建立起学好函数、学好数学的信心．。
幂函数教学设计(优秀5篇)
讲授新课前，做一份完美的教案，能够更大程度的调动学生在上课时的积极性。
白话文为大家精心整理了幂函数教学设计（优秀5篇），希望能够帮助到大家。
幂函数教学设计篇一1、总体设计说明幂函数是函数教学的最后一个函数，在通过学习了指数函数与对数函数之后，同学们已经基本掌握了研究函数的一般方法，因此幂函数是交给学生自主研究的一个重要的契机。
函数的学习，目的在于通过对几个基本初等函数的研究让学生掌握研究一个陌生函数的方法。
基于以上认识，确定本节课的教学目标如下（1）引导学生从具体实例中概括典型特征，形成幂函数的概念，并用数学符号表示。
（2）运用数学结合的思想，让学生经历从特殊到一般，具体到抽象的研究过程，运动研究函数的一般方法，掌握幂函数的图像特征与性质。
（3）能够利用幂函数的性质比较两个数的大小教学重点与难点如下教学重点：通过让学生经历几个特殊幂函数的研究过程，抽象概括幂函数的图像与性质教学难点：根据具体的幂函数的图像与性质归纳出一般幂函数的图像与性质本节课的教学采用开放式的自主学习方式，通过引导学生对几个具体的幂函数的研究让学生归纳出一般幂函数的图像与性质。
本节课的教学过程分为三个阶段：一是概念建构；二是实验探究；三是性质应用2、教学过程剖析2.1创设情境建构概念问题1 (1)正方形的边长a与面积S之间是函数关系吗？（2）正方体的边长a与体积V之间是函数关系吗？【设计意图】从实际的问题引入，让学生感受幂函数与实际的联系，初步感受幂函数学生找到两个变量之间的函数关系，并给出函数的解析式：和。
师：我们把形如的函数称为幂函数。
直接给出定义，这里其实可以让学生再举几个类似的函数的例子，通过多个实例再让学生抽象幂函数的定义会更好。
师：我们研究问题一般是从特殊到一般，具体到抽象的一个过程，因此我们可以先研究几个特殊的幂函数，比如最特殊，图像长什么样子？生：是一条直线。
师：你确定是一条直线吗？生：是一条直线去掉一个点师：为什么？生：定义域中x不能取到0。
高中数学《指数函数对数函数幂函数》教案苏教版必修
第二十九课时 指数函数、对数函数、幂函数 【学习导航】学习要求1、进一步巩固指数、函数，幂函数的基本概念。
2、能运用指数函数，对数函数，幂函数的性质解决一些问题。
3、掌握图象的一些变换。
4、能解决一些复合函数的单调性、奇偶性等问题。
【精典范例】例1、已知f(x)=x 3·(21121+-x )； (1)判断函数的奇偶性；(2)证明：f(x)>0.【解】：(1)因为2x －1≠0，即2x ≠1，所以x ≠0，即函数f(x)的定义域为{x ∈R|x ≠0} . 又f(x)=x 3(21121+-x )=1212·23-+x x x ， f(－x)=1212·21212·2)(33-+=-+---x x x x x x =f(x)， 所以函数f(x)是偶函数。
(2)当x>0时，则x 3>0，2x >1，2x －1>0，所以f(x)=.01212·23>-+x x x 又f(x)=f(－x),当x<0时，f(x) =f(－x)>0.综上述f(x)>0.例2、已知f(x)=),(1222·R x a a x x ∈+-+若f(x)满足f(－x)=－f(x). (1)求实数a 的值；(2)判断函数的单调性。
【解】：(1)函数f(x)的定义域为R ，又f(x)满足f(－x)= －f(x)，所以f(－0)= －f(0)，即f(0)=0.所以0222=-a ，解得a=1， (2)设x 1<x 2,得0<2x 1<2x 2,则f(x 1) －f(x 2)=121212122211+--+-x x x x =)12)(12()22(22121++-x x x x 所以f(x 1) －f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2).所以f(x)在定义域R 上为增函数.例3、已知f(x)=log 2(x+1)，当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动时，点(23y ，x )在函数y=g(x)的图象上运动。
指数函数对数函数幂函数教案
1．形如(0,0)xy a a a =>≠的函数叫做指数函数，其中自变量是x ，函数定义域是R ，值域是(0,)+∞．2.指数函数(0,0)xy a a a =>≠恒经过点(0,1)． 3.当1a >时，函数xy a =单调性为在R 上时增函数； 当01a <<时，函数xy a =单调性是在R 上是减函数． 二、对数函数1． 对数定义：一般地，如果a （10≠>a a 且）的b 次幂等于N , 即N a b =，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作 b N a =log ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
着重理解对数式与指数式之间的相互转化关系，理解，b a N =与log a b N =所表示的是,,a b N 三个量之间的同一个关系。
2. 对数的性质：（1）零和负数没有对数；（2）log 10a =；（3）log 1a a =这三条性质是后面学习对数函数的基础和准备，必须熟练掌握和真正理解。
3. 两种特殊的对数是：①常用对数：以10作底 10log N 简记为lg N②自然对数：以e 作底（为无理数），e = 28…… ，log e N 简记为ln N ． 4.对数恒等式（1）log b a a b =；（2）log a N a N =要明确,,a b N 在对数式与指数式中各自的含义，在指数式b a N =中，a 是底数，b 是指数，N 是幂；在对数式log a b N =中，a 是对数的底数，N 是真数，b 是以a 为底N 的对数，虽然,,a b N 在对数式与指数式中的名称不同，但对数式与指数式有密切的联系：求对数log a N 就是求b a N =中的指数，也就是确定a 的多少次幂等于N 。
1．幂函数的概念：一般地，我们把形如y x α=的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数；注意：幂函数与指数函数的区别．2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点(1,1)；（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上单调递增；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上 单调递减；（3）当2,2α=-时，幂函数是 偶函数 ；当11,1,3,3α=-时，幂函数是 奇函数 ．四、精典范例例1、已知f(x)=x 3·(21121+-x )； (1)判断函数的奇偶性；(2)证明：f(x)>0.【解】：(1)因为2x －1≠0，即2x ≠1，所以x ≠0，即函数f(x)的定义域为{x ∈R|x ≠0} .又f(x)=x 3(21121+-x )=1212·23-+x x x ， f(－x)=1212·21212·2)(33-+=-+---x x x x x x =f(x)， 所以函数f(x)是偶函数。
高中数学 对数、对数函数、幂函数单元教学设计 教案
必修1对数、对数函数、幂函数部分单元教学设计一、教材分析1、本单元教学内容的X围第三章的主要内容是指数函数、对数函数和幂函数这三种函数模型.本章共分四大节，共14课时.第一大节3.1指数与指数函数分2小节（3.11-3.12）共4课时.初中已经学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念的基础上，本节复习了正整数指数幂、零指数、负整数指数幂的概念，并且复习了正整数指数幂的运算法则.有了这些知识，本章将指数幂的概念和运算性质逐步扩充到有理指数幂以及实数指数幂. 接着通过两个具体的例子引入了指数函数，并对指数函数的图象和性质进行了研究.第二大节3.2对数与对数函数分3小节（-3.2.3），共5课时，该节首先学习对数和对数的运算法则，然后再学习对数函数及其图象和性质，对数函数的图象是在画指数函数图象的对应值表的基础上描绘的，对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础讲授的.接着，通过对指数函数与对数函数的关系的研究给出了反函数的含义，并对这两种函数的增长差异进行了比较.通过考查已经学过的函数，引出了幂函数的概念，然后研究了幂函数的图象和性质.函数的应用（Ⅱ）也安排了1个课时，举例说明了指数函数、对数函数和幂函数在经济学、物理学等领域中的应用.为了加强数学的应用意识，体现函数作为刻画现实世界变量之间相互关系的数学模型的作用，在第四大节的“探索与研究”中安排了“如何建立数学模型”的内容，在章末安排了“实习作业”.另外，在本章内容的讲解过程中，特别注意通过一些社会生活中的实例来展示指数函数、对数函数和幂函数作为函数模型的广泛应用.为了体现数学文化的作用，本章安排了两个阅读材料，通过介绍对数方法产生的历史以及建立对数与指数的联系的过程，引导学生体会数学与社会生产生活之间的紧密联系，认识对数在人类社会发展、科技进步中的作用，以及社会生产生活的需要对数学发展的促进作用.另外，通过介绍对数方法先于指数概念，对数的发明没有应用指数与对数的互逆关系这一历史，可以让学生体会数学发展的不同轨迹，从而激发学生的学习兴趣.2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用本章内容是在学完函数概念以及函数基本性质后的情况下，较为系统地研究指数函数、对数函数、幂函数，它是函数内容学习的继续和深入（第二阶段）．基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)是高中数学的基础，是刻画现实世界变化规律的重要模型，由于我们生活在充满变化的现实世界中，其中有一类具有重要的运动变化的关系，如GDP的增长问题、人口增长问题、细胞分裂、考古中所用的14C的衰减、药物在人体内残留量的变化等，结合实际问题，可以感受观察、抽象概括并建立数学模型的过程和方法，通过计算工具，感知指数函数、对数函数以及幂函数增长的差异，体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同的函数类型增长的含义．体会函数在数学和其他学科中的重要性，体现数学的应用价值．学生在以前学习中，已经经历过“数”的扩充过程，由正整数到整数，由整数到有理数，再由有理数到实数，从而形成一个优美的体系，本章继续体现这样扩充的思路，实现指数概念的扩充进而进一步研究幂函数概念，依据两个原则：①数学发展的需要；②基本运算能无限制地进行，把“指数函数、对数函数、幂函数”科学地组织起来，再一次体现充满在整个数学中的组织化、系统化的精神．本章是在上一章学习函数及其性质的基础上，具体研究指数函数、对数函数、幂函数这三个高中阶段重要的函数．这是高中函数学习的第二个阶段，目的是使学生在这一阶段获得较为系统的函数知识，并初步培养函数应用意识，为今后的学习打下坚实的基础，同时使学生对函数的认识由感性上升到理性．可以说这一章起到了承上启下的重要作用，本章所涉及到的一些重要思想方法，对学生掌握基础的数学语言，学好高中数学起着重要的作用．3、本单元教学内容总体教学目标学生通过本章学习，可以了解指数函数、对数函数等的实际背景，理解指数函数、对数函数、幂函数的概念与基本性质，了解五种幂函数，体会建立和研究一个函数的基本过程和方法，同时会用它们解决一些实际问题．一知识目标2．理解有理数指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质．3．经历由指数得到对数的过程，理解对数的概念，掌握对数的运算性质．4．经历由正整数指数函数逐步扩充到实数指数函数的过程，由指数函数的概念、图象与性质得到对数函数的概念、图象与性质的过程，并通过具体实例去了解指数函数模型、对数函数模型的实际背景，掌握指数函数和对数函数的概念、图象以及性质．5．收集现实生活中普遍使用的指数函数和对数函数的模型实例，了解它们的广泛应用．6．利用计算工具、比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．7．了解指数y=a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y=log a x (a >0，且a ≠1)的图象关系，初步了解指数函数和对数函数互为反函数的关系．8．通过特殊的幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =21x ，y =1x 了解幂函数9．引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数、幂函数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．10．鼓励学生运用现代信息技术学习、探索和解决问题．例如，利用科学计算器、计算机画出指数函数、对数函数和幂函数的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质．(二)能力目标1．培养学生观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力．2．培养学生数形结合、辩证思维和动手实践的能力．3．培养学生应用函数思想方法解决实际问题的能力．(三)价值目标1．培养学生积极学习、刻苦钻研的学习毅力等良好的意志品质．2．培养学生观察分析、抽象概括能力，数形结合、归纳总结能力和实践与探索能力．3．学会理论联系实际，学以致用，在解决实际问题的过程中，逐步理解、认识函数思想方法，了解数学的应用价值．4、本单元教学内容重点和难点分析重点：指数函数和对数函数的性质.难点：无理指数幂的含义以及指数和对数的关系.5、本单元内容《新课标》与《大纲》的比较（1）本单元内容《新课标》与《大纲》的目标对比（2）变化之处1．加强的内容(1)加强了函数模型的背景和应用的要求．了解指数函数模型的实际背景，了解对数函数模型的实际背景；认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义；让学生通过收集生活中普遍使用的函数模型实例体会函数模型应用的现实意义．要求学生了解无理数指数幂的意义，感受用有理数指数幂逼近无理指数幂的过程，通过“过剩近似值”与“不足近似值”两个方向逼近，认识无理指数幂是一个确定的实数，明确有理数指数幂的运算性质在无理数X围内也是成立的，大纲只要求掌握有理数指数幂的运算．在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解．新课标在指数函数与对数函数的内容上与原大纲有较大区别，新课标更侧重于指数型函数与对数型函数的教学．(2)加强了信息技术整合的要求．明确指出了要运用信息技术进行教学，如：能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点；能借助计算器用二分法求相应方程的近似解等．这都体现了加强与信息技术整合的要求，加强了函数模型的背景和应用的要求.在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，有利于加深学生对函数概念的理解．2．削弱的内容(1)削弱了对定义域、值域的过于繁难的，尤其是人为的过于技巧化的训练．(2)削弱了反函数的概念，只要求知道指数函数x a y =（1,0≠>a a 且）与对数函数xlog y a =（1a ,0a ≠>且）是互为反函数；不要求形式化的理解其概念，也不要求求已知函数的反函数,复合函数的概念仍放到“导数及其应用”的相关内容中．对于对数函数内容的要求也有所降低．这都是为了尽可能地减轻学生的负担．（1）增加了幂函数(y =x ，y =x 2，y =x 3，y =21x ，y =1-x )的内容；（2）换底公式又恢复为教学内容.6.教学建议1．指数函数、对数函数等有其丰富的实际应用价值，在教学中，应让学生充分感受指数函数的应用，如通过GDP 的增长问题、14C 的衰减，考古、地震、pH 的测定等，体现数学的应用价值．2．应强调在基本初等函数学习中所蕴涵的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、逼近的思想(有理指数幂逼近无理指数幂)、数形结合的思想(用指数函数、对数函数、幂函数的图象探究指数函数的性质)、归纳思想、类比思想(如从指数的运算律类比对数的运算律)等．引导学生用类比的思想方法，将指数函数、对数函数、幂函数的研究方法统一起来，并加以归纳总结．在本章教学中尤其应注意加强数形结合、几何直观等数学思想方法的学习要求，可先从分析具体的函数图象与性质入手，观察分析、体验探索、归纳概括，进而得到的基本初等函数的图象与性质．这是教学的重点之一，强调指数函数和对数函数的底数a 对函数值变化的影响，这是教学的难点，应注意贯穿分类讨论的思想方法，化解难点、突出重点．3．教学过程中要注意发挥信息技术的优势，尽量利用计算机或计算器等创设教学情境，绘制指数函数、对数函数、幂函数的图象，为学生的数学探究与数学思维创设有利的环境和条件．4．教材中对反函数的概念要求作了较大的调整和降低，只要求知道指数函数xa y =（1,0≠>a a 且）与对数函数x y a log =（1,0≠>a a 且）是互为反函数，对反函数的形式化的符号和推理不作一般性的要求。
高考数学二轮复习(2)指数函数、对数函数、幂函数教案
高考数学二轮复习（2）指数函数、对数函数、幂函数教案【专题要点】1.理解函数的概念，了解映射的概念.2. 了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系.4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.【考纲要求】1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；4．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义；1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；2．结合具体函数，了解奇偶性的含义；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；【教法指引】本节内容在高考中占有一定比重，而且二分法是新增内容，应引起重视，同时对反函数的考查要求降低，本节多数题目将会以小题目出现，重点仍将是考查函数的性质，二分法，函数的定义域，以及函数的综合应用等知识点基本函数：一次函数、二次函数、指数函数与对数函数，它们的图象与性质是函数的基石，判断、证明与应用函数的三大特性（单调性、奇偶性、周期性）是高考命题的切入点，有单一考查，也有综合考查.函数的图象、图象的变换是高考热点，应用函数知识解其他问题，特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力，这类问题在高考中具有较强的生存力.配方法、待定系数法、数形结合法、分类讨论等，这些方法构成了函数这一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性，这均符合高考试题改革的发展趋势.特别在“函数”这一章中，数形结合的思想比比皆是，深刻理解和灵活运用这一思想方法，不仅会给解题带来方便，而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现.复习函数时要注意：1.深刻理解一些基本函数，如二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质，对数与形的基本关系能相互转化.2.掌握函数图象的基本变换，如平移、翻转、对称等.3.二次函数是初中、高中的结合点，应引起重视，复习时要适当加深加宽.二次函数与二次方程、二次不等式有着密切的联系，要沟通这些知识之间的内在联系，灵活运用它们去解决有关问题.4.含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点，复习时应适当加强这方面的训练，做到条理清楚、分类明确、不重不漏.5.利用函数知识解应用题是高考重点，应引起重视.【典例精析】1.函数的性质与图象函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。
高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.3 幂函数高一数学教案
3.3 幂函数一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象不经过第四象限．( )(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．( )(3)指数函数y＝a x的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．( )[答案] (1)√ (2)× (3)×[提示] (1)由幂函数的一般式y ＝x α(α为常数)及图象可知，当x >0时，y >0，即图象不经过第四象限．(2)y ＝x －1不经过(0,0)点，故错误．(3)y ＝x 12，定义域为[0，＋∞)，与指数有关，故错误． 2．若y ＝mx α＋(2n －4)是幂函数，则m ＋n ＝________. 3[由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，2n －4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.]3．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(2,8)，则f (－2)＝________.－8 [8＝2α，所以α＝3，所以f (x )＝x 3，f (－2)＝(－2)3＝－8.]幂函数的概念【例1】 已知y ＝(m 2＋2m －2)x m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．思路点拨：由幂函数的定义列式求解．[解] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，m 2－1≠0，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝32，∴m ＝－3，n ＝32为所求．1．幂函数y ＝x α要满足三个特征 (1)幂x α前系数为1；(2)底数只能是自变量x ，指数是常数； (3)项数只有一项．2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f (x )＝x α，根据条件求出α.1．下列函数是幂函数的有________．(填序号) ①y ＝x 2x；②y ＝2x 2；③y ＝x 2；④y ＝x 2＋1；⑤y ＝－1x；⑥y＝x 23.③⑥ [根据幂函数的定义，只有③⑥符合题意．] 2．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，22，则f (100)＝________.110 [由题知2α＝22＝2－12，∴α＝－12. ∴f (x )＝x －12，∴f (100)＝100－12＝1100＝110.]比较大小(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1312与⎝ ⎛⎭⎪⎫1412；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1；(3)0.25－14与6.2514；(4)0.20.6与0.30.4.思路点拨：可以借助幂函数的单调性或中间量进行比较．[解] (1)∵y ＝x 12是[0，＋∞)上的增函数，且13>14，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1312>⎝ ⎛⎭⎪⎫1412. (2)∵y ＝x －1是(－∞，0)上的减函数， 且－23<－35，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1. (3)0.25－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－14＝212，6.2514＝2.512.∵y ＝x 12是[0，＋∞)上的增函数，且2<2.5， ∴212<2.512，即0.25－14<6.2514.(4)由幂函数的单调性，知0.20.6<0.30.6，又y ＝0.3x是减函数，∴0.30.4>0.30.6，从而0.20.6<0.30.4.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数： (1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数； (2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数；(3)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．3．比较下列各组中两个数的大小：(1)3－52，3.1－52；(2)a 1.5，(a ＋1)1.5(a ＞0)； (3)(－0.88)53，(－0.89)53.[解] (1)因为函数y ＝x －52在(0，＋∞)内是减函数，所以3－52＞3.1－52.(2)函数y ＝x 1.5在(0，＋∞)内是增函数，又a ＞0，a ＋1＞a ， 所以(a ＋1)1.5＞a 1.5.(3)函数y ＝x 53 在R 上为增函数， 所以(－0.88)53＞(－0.89)53.幂函数的图象与性质1．做幂函数y ＝x 23的图象应该怎么做？[提示] ①因为0<23<1，故函数y ＝x 23在第一象限内是单调递增的，并且在(0,1)上应在y ＝x 的上方，在(1，＋∞)上应在y ＝x 的下方．②函数的定义域为R ，且为偶函数，故将y 轴右侧的图象关于y 轴对称到y 轴左侧，即得到y ＝x 23的图象(略)．2．从上述过程能否归纳出作幂函数y ＝x α的图象的步骤？[提示] ①先看α，按α<0,0<α<1，α>1来分类(α＝0，α＝1两种特殊情况可直接作图)，并确定在第一象限的图象的形状．②再看定义域以及函数的奇偶性，结合奇偶性利用图象变换得到函数在y 轴左侧的图象．3．作出y ＝x －13的图象(草图)，并说明若x －13>y －13时，x ，y 与0的大小关系有多少种？[提示] y ＝x －13在第一象限内的图象单调递减，且为奇函数，草图如下，从图象可以看出，若x －13>y －13，则有以下情况 ①0<x <y ；②x <y <0；③x >0>y . 【例3】 已知幂函数y ＝x3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的取值范围．思路点拨：据题中条件→列出不等式组→求出m →利用幂函数的单调性→对底数分类讨论→得a [解] ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴3m －9<0，解得m <3. 又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称，∴3m －9为偶数，故m ＝1.∴有(a ＋1)－13<(3－2a )－13.∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a ，或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.所以a的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，321．本题在解答过程中易出现忽略对底数的分类讨论而产生漏解．2．求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质．解决此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性或奇偶性(图象对称性)求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围．4.已知x 2>x 13，则x 的取值范围是______．(－∞，0)∪(1，＋∞) [作出函数y ＝x 2和y ＝x 13的图象(如图所示)，易得x <0或x >1.]1．幂函数y ＝x α的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律 在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f (1)＝1.(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)如果α<0，幂函数在x ＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( ) A ．y ＝x －3B ．y ＝－x 3C ．y ＝2x 3D ．y ＝x 3－1.A [幂函数是形如y ＝x α的函数，观察四个函数只有A 中函数是幂函数．]2．已知幂函数y ＝x α的图象过点(2，2)，则f (4)的值是_____． 2 [将点(2，2)代入幂函数可得f (2)＝2α＝2，解得α＝12，即幂函数为f (x )＝x 12，可得f (4)＝412＝2.]3．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是________．(填序号)(1)y ＝x 12；(2)y ＝x 4；(3)y ＝x －1；(4)y ＝x 3.(2) [(1)为非奇非偶函数，(3)为不过(0,0)的奇函数，(4)为奇函数，只有(2)符合题意．]4．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2323，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2523，比较a ，b ，c 的大小关系．[解]∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 在R 上为减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2323<⎝ ⎛⎭⎪⎫2313，即a <b ，∵f (x )＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2323>⎝ ⎛⎭⎪⎫2523，即a >c ，所以b >a >c .。
幂函数指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案教学目标1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质．2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程．3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题．教学重点与难点重点是对数定义、对数的性质和运算法则．难点是对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导．教学过程设计师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，求20年后国民生产总值是原来的多少倍？生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+7.2％）20=1.07220，所以20年后国民生产总值是原来的1.07220倍．师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习的指数问题．师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍？师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍．列方程1.072x=4．我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题．师：（板书）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式．师：请同学谈谈对对数这个定义的认识．生：对数式logaN实际上就是指数式中的指数b的一种新的记法．生：对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算．（此刻并不奢望学生能说出什么深刻认识，只是给他们自己一个去思维认识对数这个定义的机会．）师：他们说得都非常好．实际上ab=N这个式子涉及到了三个量a，b，N，由方程的观点可得“知二求一”．知道a，b可求N，即前面学过的指数运算；知道b（为自然数时），N可求a，即初中学过的开记作logaN=b．因此，对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为logaN，读作：以a为底N的对数．请同学注意这种运算的写法和读法．师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．为了更深入认识并记忆对数这个概念，请同学们填写下列表格．（打出幻灯）练习1 把下列指数式写成对数形式：练习2 把下列对数形式写成指数形式：练习3 求下列各式的值：（两名学生板演练习1，2题（过程略），一生板演练习三．）因为22=4，所以以2为底4的对数等于2．因为53=125，所以以5为底125的对数等于3．（注意纠正学生的错误读法和写法．）师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R．师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．）生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab=N中N总是正数．师：要特别强调的是：零和负数没有对数．师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？（根据本班情况决定是否设置此问．）生：因为若a＜0，则N取某些值时，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，b不存在，如log02不存在；当N为0时，b可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N 不为1时，b不存在，如log13不存在，N为1时，b可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1．（此回答能培养学生分类讨论的数学思想．这个问题从ab=N出发回答较为简单．）师：下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数．师：（板书）对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……．练习4 计算下列对数：lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125．师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想．生：2log24=4．这是因为log24=2，而22=4．生：3log327=27．这是因为log327=3，而33=27．生：10lg105=105．生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125．师：非常好．这就是我们下面要学习的对数恒等式．师：（板书）alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线）（再次鼓励学生，并提出更高要求，给出严格证明．）（学生讨论，并口答．）生：（板书）证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab=alogaN=N．师：你是根据什么证明对数恒等式的？生：根据对数定义．师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知识只有定义，所以显然要利用定义加以证明．而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指数等式，从而转化成对数等式，再进行证明．师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件．生：a＞0，a≠1，N＞0．师：接下来观察式子结构特点并加以记忆．（给学生一分钟时间．）师：（板书）2log28=？2log42=？生：2log28=8；2log42=2．师：第2题对吗？错在哪儿？师：（继续追问）在运用对数恒等式时应注意什么？（经历上面的错误，使学生更牢固地记住对数恒等式．）生：当幂的底数和对数的底数相同时，才可以用公式alogaN=N．（师用红笔在两处a上重重地描写．）师：最后说说对数恒等式的作用是什么？生：化简！师：请打开书74页，做练习4．（生口答．略）师：对对数的定义我们已经有了一定认识，现在，我们根据定义来进一步研究对数的性质．师：负数和零有没有对数？并说明理由．生：负数和零没有对数．因为定义中规定a＞0，所以不论b是什么数，都有ab＞0，这就是说，不论b是什么数，N=ab永远是正数．因此，由等式b=logaN可以看到，负数和零没有对数．师：非常好．由于对数定义是建立在指数定义的基础之上，所以我们要充分利用指数的知识来研究对数．师：（板书）性质1：负数和零没有对数．师：1的对数是多少？生：因为a0=1（a＞0，a≠1），所以根据对数定义可得1的对数是零．师：（板书）1的对数是零．师；底数的对数等于多少？生：因为a1=a，所以根据对数的定义可得底数的对数等于1．师：（板书）底数的对数等于1．师：给一分钟时间，请牢记这三条性质．师：在初中，我们学习了指数的运算法则，请大家回忆一下．生：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am·an=am+n．同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am ÷an=am-n．还有（am）n=amn；师：下面我们利用指数的运算法则，证明对数的运算法则．（板书）（1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和．即loga（MN）=logaM+logaN．（请两个同学读法则（1），并给时间让学生讨论证明．）师：（分析）我们要证明这个运算法则，用眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们只学了定义和性质，显然性质不能证明此式，所以只有用定义证明．而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运算法则加以证明，因此，我们首先要把对数等式转化为指数等式．师：（板书）设logaM=p，logaN=q，由对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以M·N=ap·aq=ap+q，所以loga（M·N）=p+q=logaM+logaN．即loga（MN）=logaM+logaN．师：这个法则的适用条件是什么？生：每个对数都有意义，即M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．师：观察法则（1）的结构特点并加以记忆．生：等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．师：非常好．例如，（板书）log2（32×64）=？生：log2（32×64）=log232+log264=5+6=11．师：通过此例，同学应体会到此法则的重要作用——降级运算．它使计算简化．师：（板书）log62+log63=？生：log62+log63=log6（2×3）=1．师：正确．由此例我们又得到什么启示？生：这是法则从右往左的使用．是升级运算．师：对．对于运算法则（公式），我们不仅要会从左往右使用，还要会从右往左使用．真正领会法则的作用！师：（板书）（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数．师：仿照研究法则（1）的四个步骤，自己学习．（给学生三分钟讨论时间．）生：（板书）设logaM=p，logaN=q．根据对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以师：非常好．他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的．大家再想一想，在证明法则（2）时，我们不仅有对数的定义和性质，还有法则（1）这个结论．那么，我们是否还有其它证明方法？生：（板书）师：非常漂亮．他是运用转化归结的思想，借助于刚刚证明的法则（1）去证明法则（2）．他的证法要比书上的更简单．这说明，转化归结的思想，在化难为易、化复杂为简单上的重要作用．事实上，这种思想不但在学习新概念、新公式时常常用到，而且在解题中的应用更加广泛．师：法则（2）的适用条件是什么？生：M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．师：观察法则（2）的结构特点并加以记忆．生：等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．师：（板书）lg20-lg2=？师：可见法则（2）的作用仍然是加快计算速度，也简化了计算的方法．师：（板书）例1 计算：生：（板书）解（1）log93+log927=log93×27=log981=2；（3）log2（4+4）=log24+log24=4；（由学生判对错，并说明理由．）生：第（2）题错！在同底的情况下才能运用对数运算法则．（板书）生：第（3）题错！法则（1）的内容是：生：第（4）题错！法则（2）的内容是：师：通过前面同学出现的错误，我们在运用对数运算法则时要特别注意什么？生：首先，在同底的情况下才能从右往左运用法则（1）、（2）；其次，只有在正因数的积或两个正数的商的对数的情况下，才能从左往右运用运算法则（1）、（2）．师：（板书）（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．即loga（N）n=n·logaN．师：（分析）欲证loga（N）n=n·logaN，只需证Nn=an·logaN=（a·logaN）n，只需证N=alogaN．由对数恒等式，这是显然成立的．师：（板书）设N＞0，根据对数恒等式有N=alogaN．所以Nn=（alogaN）n=an·logaN．根据对数的定义有loga（N）n=n·logaN．师：法则（3）的适用条件是什么？生：a＞0，a≠1；N＞0．师：观察式子结构特点并加以记忆．生：从左往右仍然是降级运算．师：例如，（板书）log332=log525=5log52．练习计算（log232）3．（找一好一差两名学生板书．）错解：（log232）3=log2（25）3=log2215=15．正确解：（log232）3=（log225）3=（5log22）3=53=125．（师再次提醒学生注意要准确记忆公式．）师：（板书）（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．即师：法则（4）的适用条件是什么？生：a＞0，a≠1；N＞0．师：法则（3）和法则（4）可以合在一起加以记忆．即logaNα=αlogaN（α∈R）．（师板书）例2 用logax，logay，logaz表示下列各式：（生板书）解（注意（3）的第二步不要丢掉小括号．）（师板书）例3 计算：（生板书）解（1）log2（47×25）=log247+log225=7log24+5log22=7×2+5×1=19．师：请大家在笔记本上小结这节课的主要内容．作业课本P78．习题第1，2，3，4题．课堂教学设计说明本节的教学过程是：1．从实际问题引入，给出对数定义；2．深刻认识对数定义；3．对数式与指数式的互化；4．对数恒等式alogaN=N；5．对数的性质；6．对数运算法则；7．例题·小结·作业．通过本节课，应使学生明确如何学习一种运算（从定义、记法、性质、法则等方面来研究）；如何学习公式或法则（从公式推导，适用条件，结构特点和记忆以及公式作用四方面来研究）．针对高中数学内容多、密度大、进度快的特点，应使学生尽早地掌握适应高中数学的学习方法．。
幂函数指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
生：根据对数定义．
师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知识只有定义，所以显然要利用定义加以证明．而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指数等式，从而转化成对数等式，再进行证明．
师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件．
教学过程设计
师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，求20年后国民生产总值是原来的多少倍？
生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+7.2％）20=1.07220，所以20年后国民生产总值是原来的1.07220倍．
师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习的指数问题．
师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍？
师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍．列方程
1.072x=4．
我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题．
师：（板书）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作
练习4计算下列对数：
lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125．
师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想．
生：2log24=4．这是因为log24=2，而22=4．
生：3log327=27．这是因为log327=3，而33=27．
生：10lg105=105．
因为22=4，所以以2为底4的对数等于2．
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指数函数、对数函数、幂函数综合教学案
学习目标：熟练掌握指对幂函数性质并能进行综合应用； 数形结合思想、分类讨论、化归思想的运用。
一.前置作业：
1.比较下列各组数的大小：
（1）2.03.0，3.02.0，2.02.0 （2）3log
2.0，1.02.02,
3.0log
2.已知幂函数242)173(m m x m m y --+=的图像不过原点，则m = 。
3.已知函数)(x f y =满足：当4≥x 时，x x f 2)(=；当4<x 时，)1()(+=x f x f ， 则)3log 2(2+f = 。
4.已知⎪⎩
⎪⎨⎧<->=1,21,81log )(x x x x x f ，则关于x 的方程41)(=x f 的解为 。
5.若3232)23()1(+<+a a ，则实数a 的取值范围是 。
6.若关于x 的方程1)21
(12-=-x a 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围 是 。
7.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≠><-+-≥=)1,0()0(,33)
0(,)(a a x a x x x a x f 是R 上的减函数，则a 的取值范围是 。
8.定义运算()()
b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，则函数()33x x f x -=⊗的值域为 。
二.例题选讲
例1：用表示{}c b a ,,min 三个数c b a ,,中最小值。
设{})0(,10,2,2min )(≥-+=x x x x f x ，则)(x f y =最大值为 。
例2：已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-,其中)10(≠>a a 且,设()()()h x f x g x =-.
(1)求函数()h x 的定义域; (2)判断该函数的奇偶性;
(3)判断该函数的单调性; (4)解不等式)1()2(+>x h x h .
例3:已知定义在R 上的函数)(x f y =满足:)()(log
2为常数a x a x x f +=, (1)求函数)(x f y =的解析式;
(2)如果函数)(x f y =为偶函数,求a 的值
(3)当函数)(x f y =为偶函数,讨论函数)(x f y =的单调性.
:例4：设函数122
)(++-=x a x b x f 是奇函数。
（1）求b a ,的值； （2）判断)(x f 当0>a 时在的奇偶性，并加以证明；。