圆的一般方程ppt课件
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圆的一般方程PPT课件
复习提问： 1、说出圆心坐标是（a，b）,半径为r的 圆的标准方程. 2、把圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2 展开，那么它可以写成哪种形式的方程？
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
问题1:形如(1)的方程都表示圆吗?
(1)
(0, 0) ,(1 ,-1),且圆心在直线x+y-3=0上,
求圆的方程,并写出它的圆心坐标和半径.
想一想:
已知圆在两坐标轴上的四个截距之和为2, 且经过点P(4,2) 、Q(-1,3).求圆的方程.
课本:P101 例4
Good bye……
作业:P102 9,10
练 习
4
-6
-3
2或-2
例1. △ABC的三个顶点坐标为A (4, 3)、B (5, 2)、 C (1, 0)，求其外接圆的方程. 比一比:若设出标准方程,再代入三点坐标,好不 好? 练一练:求过点O(0,0) 、M(1,1) 、N(4,2)的圆 的方程.
例2.若圆x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0过点
①当D2+E2－4F>0时，方程表示以（ 圆心、 为半径的圆.
②当D2+E2－4F=0时，方程表#43;E2－4F<0时，方程不表示任何曲线.
问题2:圆的标准方程与一般方程各有什么优 缺点? 圆的标准方程的优点在于图形特征一目了 然:可由方程直接读出圆心和半径. 圆的一般方程突出了方程形式上的特点： （1）x2和y2系数相同，都不等于0； （2）没有xy 这样的二次项.
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
问题1:形如(1)的方程都表示圆吗?
(1)
(0, 0) ,(1 ,-1),且圆心在直线x+y-3=0上,
求圆的方程,并写出它的圆心坐标和半径.
想一想:
已知圆在两坐标轴上的四个截距之和为2, 且经过点P(4,2) 、Q(-1,3).求圆的方程.
课本:P101 例4
Good bye……
作业:P102 9,10
练 习
4
-6
-3
2或-2
例1. △ABC的三个顶点坐标为A (4, 3)、B (5, 2)、 C (1, 0)，求其外接圆的方程. 比一比:若设出标准方程,再代入三点坐标,好不 好? 练一练:求过点O(0,0) 、M(1,1) 、N(4,2)的圆 的方程.
例2.若圆x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0过点
①当D2+E2－4F>0时，方程表示以（ 圆心、 为半径的圆.
②当D2+E2－4F=0时，方程表#43;E2－4F<0时，方程不表示任何曲线.
问题2:圆的标准方程与一般方程各有什么优 缺点? 圆的标准方程的优点在于图形特征一目了 然:可由方程直接读出圆心和半径. 圆的一般方程突出了方程形式上的特点： （1）x2和y2系数相同，都不等于0； （2）没有xy 这样的二次项.
《圆的一般方程》课件1 (北师大版必修2).ppt
点到直线距离公式
y
S Q l : Ax By C 0
d
R
P0 (x0,y0)
O
d
| A x0 B y0 C | A B
2 2
x
注意： 化为一般式．
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y) O x
C
( x a) ( y b) r
2 2
2
标准方程 若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
2 2
( x 2 ) ( y 3)
2
2
2
不表示任何图形
圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D x y 2 2
2
2
2
E 4
2
4F
（1）当
D
2
E
2
4F 0
时，表示圆，
D
2
E D 圆 心 - , 2 2
2 2
展开得
x y 6 x 8 y 19 0
2 2
x y Dx Ey F 0
2 2
任何一个圆的方程都是二元二次方程 反之是否成立？
圆的一般方程
(1) x y 2 x 4 y 1 0
2 2
配方得
( x 1) ( y 2 ) 4
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
r
E 2
2
4F
（2）当 （3）当
D
2
E
2
4F 0
时，表示点
E D - , 2 2
y
S Q l : Ax By C 0
d
R
P0 (x0,y0)
O
d
| A x0 B y0 C | A B
2 2
x
注意： 化为一般式．
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y) O x
C
( x a) ( y b) r
2 2
2
标准方程 若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
2 2
( x 2 ) ( y 3)
2
2
2
不表示任何图形
圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D x y 2 2
2
2
2
E 4
2
4F
（1）当
D
2
E
2
4F 0
时，表示圆，
D
2
E D 圆 心 - , 2 2
2 2
展开得
x y 6 x 8 y 19 0
2 2
x y Dx Ey F 0
2 2
任何一个圆的方程都是二元二次方程 反之是否成立？
圆的一般方程
(1) x y 2 x 4 y 1 0
2 2
配方得
( x 1) ( y 2 ) 4
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
r
E 2
2
4F
（2）当 （3）当
D
2
E
2
4F 0
时，表示点
E D - , 2 2
人教版高中数学2.4.2 圆的一般方程 课件-人教A版高中数学选择性必修第一册(共27张PPT)
解得 = -2,
= 12.
所以这个圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
课堂小结
(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).
小试牛刀
1.圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是
.
2. 若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,以4为半径的圆,
则F=
.
3.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件?
答案:(1)A=C,且均不为0; (2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0.
2.几个常见圆的一般方程
(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0),
(2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);
(3)圆心在x轴上的圆的方程,x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);
(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);
∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.
因此,当m=2时,它表示一个点;
当m≠2时,原方程表示圆,
此时,圆的圆心为(2m,-m),
1
2
半径为 r=
2 + 2 -4 = 5|m-2|.
(方法2)原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,
因此,当m=2时,它表示一个点;
= 12.
所以这个圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
课堂小结
(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).
小试牛刀
1.圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是
.
2. 若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,以4为半径的圆,
则F=
.
3.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件?
答案:(1)A=C,且均不为0; (2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0.
2.几个常见圆的一般方程
(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0),
(2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);
(3)圆心在x轴上的圆的方程,x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);
(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);
∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.
因此,当m=2时,它表示一个点;
当m≠2时,原方程表示圆,
此时,圆的圆心为(2m,-m),
1
2
半径为 r=
2 + 2 -4 = 5|m-2|.
(方法2)原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,
因此,当m=2时,它表示一个点;
2.4.2圆的一般方程 课件(共18张PPT)
解:设M的坐标为(x, y) , 点A坐标是(x0，y0).
由于点B的坐标是(4 , 3) , 且M是线段AB
x0 4
y0 3
的中点, 所以
x
y
2
2
x0 2 x 4
因为点A在圆上运动 , 所以A的
于是有:
y0 2 y 3 坐标满足圆的方程 , 即:
( x0 1) y0 4 (2 x 4 1) (2 y 3) 4
(3)圆心(a , - 3a ), 半径 | a | .
练习：判断下列方程分别表示什么图形?
2
2
(1) x + y = 0
2
2
(2) x + y - 2 x + 4 y - 6 = 0
2
2
2
(3) x + y + 2ax - b = 0
(1)原点(0,0)
(2)表示圆 , 坐标为(1,-2) , 半径是 .
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y 2by 0
2
2
2
2
(3) x 2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
y
一点，也就是点M属于集合
| OM | 1 M
{M |
}
| AM | 2
A x
由两点间的距离公式，得
C O
x y
2
2
1
化简得 x2+y2+2x3＝0
由于点B的坐标是(4 , 3) , 且M是线段AB
x0 4
y0 3
的中点, 所以
x
y
2
2
x0 2 x 4
因为点A在圆上运动 , 所以A的
于是有:
y0 2 y 3 坐标满足圆的方程 , 即:
( x0 1) y0 4 (2 x 4 1) (2 y 3) 4
(3)圆心(a , - 3a ), 半径 | a | .
练习：判断下列方程分别表示什么图形?
2
2
(1) x + y = 0
2
2
(2) x + y - 2 x + 4 y - 6 = 0
2
2
2
(3) x + y + 2ax - b = 0
(1)原点(0,0)
(2)表示圆 , 坐标为(1,-2) , 半径是 .
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y 2by 0
2
2
2
2
(3) x 2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
y
一点，也就是点M属于集合
| OM | 1 M
{M |
}
| AM | 2
A x
由两点间的距离公式，得
C O
x y
2
2
1
化简得 x2+y2+2x3＝0
高一数学圆的一般方程PPT 课件
装修公司完成的部分包括：基础装修、设计部分和相应的水电改造费用。当前，这一部分的支出，消费者只需多找几家不同类型的装修公司，
通过比较它们的报价来确定适合自己价位的装修公司。基础装修，这是家居装修必须进行的项目，这部分只占家装总费用的一小部分；设计部
分，是体现风格和品位的项目，但是也不能一味地增加设计项目；一 般来说 ，新 房水电改造少一些，旧房就多一些，越旧的也越多。
思考6:方程 x2 y2 Dx Ey F 0
(D2 E2 4F 0)叫做圆的一般方程，其 圆心坐标和半径分别是什么？
圆心为( D , E ) ，半径为 1 D2 E2 4F
22
2
思考7:当D=0，E=0或F=0时，
圆 x2 y2 Dx Ey F 0 的位置分别
思考4:方程 x2 y2 Dx Ey F 0 可化
为 (x D)2 ( y E )2 D2 E2 4F ，
2
2
4
它在什么条件下表示圆？
思考5:当D2 E2 4F 0或 D2 E2 时4F， 0 方程 x2 y2 Dx Ey F表示0 什么图 形？
有什么特点？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
思考2:一般地，已知点A(x1，y1)， B程(如x2，何y？2)，则y以线P段AB为直径的圆方
B
A
o
x
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
成都装修公司 成都装修公司
课件圆的一般方程
D 2
2
(3).当 D2 E2 4F 0 时，此方程没有实数解，因而它
不表示任何图形。
综上所述，方程 x2 y2 Dx Ey F 0 表示的曲线
不一定是圆，只有当 D2 E2 4F 0 它才表示的 曲线是圆。
圆的一般方程
1.我们把方程 x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E 2 4F 0
二元二次方程不一定表示圆。
同学们一定要记住这些重要结论呀！
圆的标准方程与圆的一般方程的比较
方程 圆心 半径 优点
圆的标准方程 圆的一般方程
x a 2 y b 2 r2
x2 y2 Dx Ey F 0
D2 E 2 4F 0
a.b
x
D
2
y
E
2
D2
E2
4F
2 2
4
我们可以将它分为以下情况
(1).当
D2 E2 4F 时0 ，此方程表示以
为 D E
2
2
圆心。
(2).当 D2 E2 4F 0时，此方程只有实数解，x y E 即只表示一个点。
(2)圆的一般方程与圆的标准方程可以互相转化；熟 练应用配方求出圆心坐标和半径。
(3)用待定系数法求出圆的方程时需要灵活选用方程 的形式。
作业
习题7.6第5 6 8题。
r
D . E
2
2
1
2 D2 E2 4F
大家好好比较一下圆的标准方程和一般方程的优点
例题讲解
例1.求三点 A（0 0）B（1 1）C（4 2） 的圆的方程并球这个圆的半径长和圆心坐标？ 分析：已知曲线类型；应用待定系数法。
圆的一般方程(共25张PPT)
2 2
栏目 导引
第四章
圆与方程
题型三
例3
有关圆的轨迹问题
等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是
B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹
是什么．
【解】 设另一端点 C 的坐标为 (x， y)．依题意，得 |AC| ＝ |AB|.由两点间距离公式，得 x－ 42＋ y－ 22 ＝ 4－ 32＋ 2－ 52， 整理得 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 10.
栏目 导引
第四章
圆与方程
【方法感悟】
1．圆的一般方程的特点 (1)圆的一般方程体现了圆方程形式上的特点：①x2与y2 的系数相同且不为0；②没有xy项． (2)圆的一般方程必须满足D2＋E2－4F＞0这个条件． (3)
栏目 导引
第四章
圆与方程
2．求与圆有关的轨迹问题常用的方法 (1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标 系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．
栏目 导引
第四章
圆与方程
这是以点 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，如图所示，又因 为 A、 B、 C 为三角形的三个顶点，所以 A、 B、 C 三点不共 线．即点 B、 C 不能重合且 B、 C 不能为圆 A 的一直径的两 个端点．因为点 B、 C 不能重合，所以点 C 不能为 (3,5)．
栏目 导引
第四章
圆与方程
又因为点 B、 C 不能为一直径的两个端点， x＋ 3 y＋ 5 所以 ≠ 4，且 ≠ 2，即点 C 不能为 (5，－ 1)． 2 2 故端点 C 的轨迹方程是 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 10(除去点 (3,5)和 (5， － 1))， 它的轨迹是以点 A(4,2)为圆心， 10为半径的圆， 但除去 (3,5)和 (5，－ 1)两点．
栏目 导引
第四章
圆与方程
题型三
例3
有关圆的轨迹问题
等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是
B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹
是什么．
【解】 设另一端点 C 的坐标为 (x， y)．依题意，得 |AC| ＝ |AB|.由两点间距离公式，得 x－ 42＋ y－ 22 ＝ 4－ 32＋ 2－ 52， 整理得 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 10.
栏目 导引
第四章
圆与方程
【方法感悟】
1．圆的一般方程的特点 (1)圆的一般方程体现了圆方程形式上的特点：①x2与y2 的系数相同且不为0；②没有xy项． (2)圆的一般方程必须满足D2＋E2－4F＞0这个条件． (3)
栏目 导引
第四章
圆与方程
2．求与圆有关的轨迹问题常用的方法 (1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标 系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．
栏目 导引
第四章
圆与方程
这是以点 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，如图所示，又因 为 A、 B、 C 为三角形的三个顶点，所以 A、 B、 C 三点不共 线．即点 B、 C 不能重合且 B、 C 不能为圆 A 的一直径的两 个端点．因为点 B、 C 不能重合，所以点 C 不能为 (3,5)．
栏目 导引
第四章
圆与方程
又因为点 B、 C 不能为一直径的两个端点， x＋ 3 y＋ 5 所以 ≠ 4，且 ≠ 2，即点 C 不能为 (5，－ 1)． 2 2 故端点 C 的轨迹方程是 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 10(除去点 (3,5)和 (5， － 1))， 它的轨迹是以点 A(4,2)为圆心， 10为半径的圆， 但除去 (3,5)和 (5，－ 1)两点．
圆的一般方程 课件
2.注意轨迹方程与轨迹的区别 求轨迹不但要把方程求出来,而且要通过方程说明方程表示的 曲线;求轨迹方程只需求出方程即可.如本例,易漏掉对轨迹的说 明而失分.
【类题试解】已知圆O的方程为x2+y2=9,求经过点A(1,2)的弦
的中点P的轨迹.
【解析】设动点P的坐标为(x,y)，根据题意可知AP⊥OP.
则a的取值范围是( ) A.a<1 B.a>1 C.-2<a<
5 D.-2<a<04
2 3
【解题探究】1.怎样由圆的一般方程得出其圆心和半径? 2.题2中二元二次方程在什么条件下表示圆? 探究提示: 1.只要将圆的一般方程化为标准方程即可求出圆心和半径. 2.二元二次方程表示圆需满足D2+E2-4F>0.
【知识点拨】 对圆的一般方程的三点说明 (1)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0体现了圆的形式上的 特点: ①x2与y2的系数相同且不为零; ②没有xy项; ③参数D,E,F满足D2+E2-4F>0. (2)圆的标准方程明确表达了圆的圆心与半径,而一般方程则体 现出了明显的代数结构形式,经过一定的代数运算才能求出圆 心和半径.
【解析】1.选B.将圆的方程化为标准方程:(x-1)2+(y+2)2=5,
可知其圆心坐标3;4a2-4( a2+a-1)>0时表示圆的方程,故-a+1>0,
5
解得a<1.
4
【互动探究】题2中的方程变为x2+(a+2)y2+2ax+a=0,若它表 示一个圆,则a的值是什么? 【解析】由二元二次方程表示圆可知首先a+2=1, 即a=-1,同时还需满足(-2)2-4×(-1)>0,满足要求,故a=-1.
圆的一般方程PPT教学课件
2 的方程，并画出曲线.
图解
例3.已知直线:lx 2y 3 0, 圆 C:x2 y2 2x 0， 若 点 P 在圆C上，试确定点的P 坐 标 ， 使点P到直线l的距离最 小 ， 并 求这个最小值。
图 例4 线与圆
1、点与圆的位置关系 设圆C：(x a)2 (y b)2 r2，点M（x0,y0 )到 圆 心 的 距 离 为 d ， 则 有:
图解
例5.已知圆与直线xy 3 和 两 坐 标 轴 都 相 切 ， 求圆 的标准方程.
第十五课 张骞通西域与丝绸之路
一、张骞出使西域
{第一次：联合大月氏夹击匈奴
1、出使的原因 （前138年）
第二次：招引乌孙对付匈奴
（前119年）
2、出使的经过3、Fra bibliotek响 —开辟丝绸之路
二、丝绸之路
1、丝绸之路的概况
(1)d r 点M在圆外 (2)d r 点M在圆上 (3)d r 点M在圆内
设 圆 C:( x a )2 ( y b )2 r2 , 直 线 l： Ax By C 0, 圆 心 (a,b)到 直 线 l的 距 离 为d， 则有几何特征：
(1)d r 直线与圆相交； (2)d r 直线与圆相切； (3)d r 直线与圆相离；
渭城朝雨浥轻尘，
客舍青青柳色新。 劝君更尽一杯酒， 西出阳关无故人。
凉州词 王之涣
黄河远上白云间， 一片孤城万仞山。 羌笛何须怨杨柳， 春风不度玉门关。
西域：阳关、玉门关以西包括今天的 新疆、中亚地区。
张骞拜别汉武帝图
张骞出使西域图
张骞出使西域路线图
丝绸之路的得名：
19世纪，德国地理学家李希霍芬第一次把从 中国中原地区，经新疆而抵中亚的陆上通道翻译 为“silkroad”,翻译成中文就是“丝绸之路”。这 就 是丝绸之路得名的由来，后来所指范围逐渐扩大， 另外还有草原丝绸之路和海上丝绸之路。
图解
例3.已知直线:lx 2y 3 0, 圆 C:x2 y2 2x 0， 若 点 P 在圆C上，试确定点的P 坐 标 ， 使点P到直线l的距离最 小 ， 并 求这个最小值。
图 例4 线与圆
1、点与圆的位置关系 设圆C：(x a)2 (y b)2 r2，点M（x0,y0 )到 圆 心 的 距 离 为 d ， 则 有:
图解
例5.已知圆与直线xy 3 和 两 坐 标 轴 都 相 切 ， 求圆 的标准方程.
第十五课 张骞通西域与丝绸之路
一、张骞出使西域
{第一次：联合大月氏夹击匈奴
1、出使的原因 （前138年）
第二次：招引乌孙对付匈奴
（前119年）
2、出使的经过3、Fra bibliotek响 —开辟丝绸之路
二、丝绸之路
1、丝绸之路的概况
(1)d r 点M在圆外 (2)d r 点M在圆上 (3)d r 点M在圆内
设 圆 C:( x a )2 ( y b )2 r2 , 直 线 l： Ax By C 0, 圆 心 (a,b)到 直 线 l的 距 离 为d， 则有几何特征：
(1)d r 直线与圆相交； (2)d r 直线与圆相切； (3)d r 直线与圆相离；
渭城朝雨浥轻尘，
客舍青青柳色新。 劝君更尽一杯酒， 西出阳关无故人。
凉州词 王之涣
黄河远上白云间， 一片孤城万仞山。 羌笛何须怨杨柳， 春风不度玉门关。
西域：阳关、玉门关以西包括今天的 新疆、中亚地区。
张骞拜别汉武帝图
张骞出使西域图
张骞出使西域路线图
丝绸之路的得名：
19世纪，德国地理学家李希霍芬第一次把从 中国中原地区，经新疆而抵中亚的陆上通道翻译 为“silkroad”,翻译成中文就是“丝绸之路”。这 就 是丝绸之路得名的由来，后来所指范围逐渐扩大， 另外还有草原丝绸之路和海上丝绸之路。
高一数学_圆的一般方程课件ppt
方程x
2
y
2
D E Dx Ey F 0表示点( , ) 2 2
2
(3)当D E 4F 0时,2方程x 2y2
Dx Ey F 0不表示任何图形.
圆的一般方程：
x2 ＋y
2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2+E2-4F>0）
圆的一般方程与标准方程的关系：
令 2a D,2b E , a b r F得
2 2 2
2 y 2 Dx Ey F 0 x
再想一想，是不是任何一个形如：
x
2
y
2
Dx Ey F 0
的方程表示的曲线都是圆？
将上式配方整理可得：
2 2 D 2 E 2 4F D E (x ) ( y ) 4 2 2
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.
知a、b、r
（x-a)2+(y-b)2=r2
圆的方程 配 方 展 开
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F
D2+E2 －4F>0
2 2
形式特点：（1）x2和y2的系数相同，不等于0 （2）没有xy这样的项。 (3) D2+E2-4F>0
练习： 求过点A(5, 1),圆心为(8, 3)的圆的方程，
并化一般方程。
设圆的方程为 x 8) ( y 3) r (
2 2
2
把点(5,1)代入得r 13,
2
( x 8) ( y 3) 13
2
y
2
D E Dx Ey F 0表示点( , ) 2 2
2
(3)当D E 4F 0时,2方程x 2y2
Dx Ey F 0不表示任何图形.
圆的一般方程：
x2 ＋y
2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2+E2-4F>0）
圆的一般方程与标准方程的关系：
令 2a D,2b E , a b r F得
2 2 2
2 y 2 Dx Ey F 0 x
再想一想，是不是任何一个形如：
x
2
y
2
Dx Ey F 0
的方程表示的曲线都是圆？
将上式配方整理可得：
2 2 D 2 E 2 4F D E (x ) ( y ) 4 2 2
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.
知a、b、r
（x-a)2+(y-b)2=r2
圆的方程 配 方 展 开
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F
D2+E2 －4F>0
2 2
形式特点：（1）x2和y2的系数相同，不等于0 （2）没有xy这样的项。 (3) D2+E2-4F>0
练习： 求过点A(5, 1),圆心为(8, 3)的圆的方程，
并化一般方程。
设圆的方程为 x 8) ( y 3) r (
2 2
2
把点(5,1)代入得r 13,
2
( x 8) ( y 3) 13
圆的一般方程(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右 边 ，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示 为圆心， 为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解 声 手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
授课老师：
时间：2024年9月1日
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第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右 边 ，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示 为圆心， 为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解 声 手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
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标准方程：x a2 y b2 r2
一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E2 4F 0)
1.圆的标准方程带有明显的几何特征， 明确指出了圆心和半径.
2.圆的一般方程表现出明显的代数形 式与结构，突出了方程形式上的特点， 更适合方程理论的运用.
3.求轨迹方程的基本步骤
（1）设出动点坐标 x, y ； （2）求出动点坐标 x, y 所满足的
关系式.
作业布置
作业1：已知在点 P 在圆C :x2 y2 8x 6y 21 0 上运动，O 为坐标原点，求线段OP 的 中点M 的轨迹方程.
作业2：习题4.1A组、B组.
o
x
问题2：能否用 M点坐标表示 出 A 点坐标？
问题3：你能求出M点坐标 (x, y)所满足的关系式吗？
课堂小结
1.圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0
(其中D2 E 2 4F 0)
2.用待定系数法求圆方程的基本步骤
（1）设圆方程 ；（2）列方程组； （3）解出系数，写出方程.
创设情境 引入新课
温故知新 形成概念
问题1：直线方程有几种形式？ 问题2：直线的一般式方程是什么形式？
Ax By C 0其中A, B不同时为0
关于 x, y的二元一次方程 问题3：圆心为 Ca,b ，半径为 r 的圆的
标准方程是什么？
x a2 y b2 r2
典例探究1
例1：求过点 O0,0, A1,1, B4,2 的圆的方程，并求圆的
半径长和圆心坐标. 解：设圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F 0
将 O, A, B 的坐标依次代入方程，得
F 0 D E F 2 0 4D 2E F 20 0
不一定表示圆.
思考2：方程 x2 y2 Dx Ey F 0
在什么条件下表示圆？
圆的一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0
Байду номын сангаас
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
(1)x 32 y2 9,圆心- 3，0，半径为 3.
(2)x2 y b2 b2,圆心0,b，半径为b.
(3)x a2 y 3a 2 a2,圆心 a, 3a ，半径为a .
合作探究 深化概念
形如 x2 y2 Dx Ey F 0 的方程
圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0
(D2 E2 4F 0)
巩固2：下列方程各表示什么图形？
(1) x2 y2 2y 1 0
(2) x2 y2 2x 4y 6 0 (3) x2 y2 2ax b2 0
对比探究 深化概念
圆心
-
D 2
,
E 2
r
D2 E2 4F 2
（2）当
D2 E2 4F
0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
合作探究 深化概念
思考2：方程 x2 y2 Dx Ey F 0
在什么条件下表示圆？
x a2 y b2 r2
配展 方开
x2 y2 Dx Ey F 0
巩固1：将下列各圆方程化为标准方程， 并求圆的半径和圆心坐标.
(1)x2 y2 6x 0,
(2)x2 y2 2by 0,
(3)x2 y2 2ax 2 3ay 3a2 0
温故知新 形成概 念
x a2 y b2 r 2
展开得
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0
x2 y2 Dx EEy F 0
任何一个圆的方程都是上述二元二次方程
这个方程就是圆的一般方程
合作探究 深化概 念
思考1：圆的标准方程和一般方程如何 相互转化？
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
典例探究2
例2:已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）, 端点A在圆 (x 1)2 y2 4 上运动，求线段AB的
中点M的轨迹方程.
y
B 问题1: A点坐标满足什么关系式?
M x, y Ax0 , y0
D 8 E 6 F 0
所以，所求圆的方程是 x2 y2 8x 6y 0 .
配方得：x 42 y 32 25
所求圆的半径为5，圆心坐标为（4，-3）.
小结：求圆的方程
待定系数法
设方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)
一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E2 4F 0)
1.圆的标准方程带有明显的几何特征， 明确指出了圆心和半径.
2.圆的一般方程表现出明显的代数形 式与结构，突出了方程形式上的特点， 更适合方程理论的运用.
3.求轨迹方程的基本步骤
（1）设出动点坐标 x, y ； （2）求出动点坐标 x, y 所满足的
关系式.
作业布置
作业1：已知在点 P 在圆C :x2 y2 8x 6y 21 0 上运动，O 为坐标原点，求线段OP 的 中点M 的轨迹方程.
作业2：习题4.1A组、B组.
o
x
问题2：能否用 M点坐标表示 出 A 点坐标？
问题3：你能求出M点坐标 (x, y)所满足的关系式吗？
课堂小结
1.圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0
(其中D2 E 2 4F 0)
2.用待定系数法求圆方程的基本步骤
（1）设圆方程 ；（2）列方程组； （3）解出系数，写出方程.
创设情境 引入新课
温故知新 形成概念
问题1：直线方程有几种形式？ 问题2：直线的一般式方程是什么形式？
Ax By C 0其中A, B不同时为0
关于 x, y的二元一次方程 问题3：圆心为 Ca,b ，半径为 r 的圆的
标准方程是什么？
x a2 y b2 r2
典例探究1
例1：求过点 O0,0, A1,1, B4,2 的圆的方程，并求圆的
半径长和圆心坐标. 解：设圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F 0
将 O, A, B 的坐标依次代入方程，得
F 0 D E F 2 0 4D 2E F 20 0
不一定表示圆.
思考2：方程 x2 y2 Dx Ey F 0
在什么条件下表示圆？
圆的一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0
Байду номын сангаас
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
(1)x 32 y2 9,圆心- 3，0，半径为 3.
(2)x2 y b2 b2,圆心0,b，半径为b.
(3)x a2 y 3a 2 a2,圆心 a, 3a ，半径为a .
合作探究 深化概念
形如 x2 y2 Dx Ey F 0 的方程
圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0
(D2 E2 4F 0)
巩固2：下列方程各表示什么图形？
(1) x2 y2 2y 1 0
(2) x2 y2 2x 4y 6 0 (3) x2 y2 2ax b2 0
对比探究 深化概念
圆心
-
D 2
,
E 2
r
D2 E2 4F 2
（2）当
D2 E2 4F
0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
合作探究 深化概念
思考2：方程 x2 y2 Dx Ey F 0
在什么条件下表示圆？
x a2 y b2 r2
配展 方开
x2 y2 Dx Ey F 0
巩固1：将下列各圆方程化为标准方程， 并求圆的半径和圆心坐标.
(1)x2 y2 6x 0,
(2)x2 y2 2by 0,
(3)x2 y2 2ax 2 3ay 3a2 0
温故知新 形成概 念
x a2 y b2 r 2
展开得
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0
x2 y2 Dx EEy F 0
任何一个圆的方程都是上述二元二次方程
这个方程就是圆的一般方程
合作探究 深化概 念
思考1：圆的标准方程和一般方程如何 相互转化？
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
典例探究2
例2:已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）, 端点A在圆 (x 1)2 y2 4 上运动，求线段AB的
中点M的轨迹方程.
y
B 问题1: A点坐标满足什么关系式?
M x, y Ax0 , y0
D 8 E 6 F 0
所以，所求圆的方程是 x2 y2 8x 6y 0 .
配方得：x 42 y 32 25
所求圆的半径为5，圆心坐标为（4，-3）.
小结：求圆的方程
待定系数法
设方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)