圆的一般方程ppt课件

温故知新 形成概 念
x a2 y b2 r 2
展开得
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0
x2 y2 Dx EEy F 0
任何一个圆的方程都是上述二元二次方程
这个方程就是圆的一般方程
合作探究 深化概 念
思考1：圆的标准方程和一般方程如何 相互转化？
x a2 y b2 r2
配展 方开
x2 y2 Dx Ey F 0
巩固1：将下列各圆方程化为标准方程， 并求圆的半径和圆心坐标.
(1)x2 y2 6x 0,
(2)x2 y2 2by 0,
(3)x2 y2 2ax 2 3ay 3a2 0
圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0
(D2 E2 4F 0)
巩固2：下列方程各表示什么图形？
(1) x2 y2 2y 1 0
(2) x2 y2 2x 4y 6 0 (3) x2 y2 2ax b2 0
对比探究 深化概念
不一定表示圆.
思考2：方程 x2 y2 Dx Ey F 0
在什么条件下表示圆？
圆的一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0

x

D 2
2



y

E 2
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D2

E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
o
x
问题2：能否用 M点坐标表示 出 A 点坐标？
问题3：你能求出M点坐标 (x, y)所满足的关系式吗？
课堂小结
1.圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0
(其中D2 E 2 4F 0)
2.用待定系数法求圆方程的基本步骤
（1）设圆方程 ；（2）列方程组； （3）解出系数，写出方程.
典例探究1
例1：求过点 O0,0, A1,1, B4,2 的圆的方程，并求圆的
半径长和圆心坐标. 解：设圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F 0
将 O, A, B 的坐标依次代入方程，得
F 0 D E F 2 0 4D 2E F 20 0
3.求轨迹方程的基本步骤
（1）设出动点坐标 x, y ； （2）求出动点坐标 x, y 所满足的
关系式.
作业布置
作业1：已知在点 P 在圆C :x2 y2 8x 6y 21 0 上运动，O 为坐标原点，求线段OP 的 中点M 的轨迹方程.
作业2：习题4.1A组、B组.
标准方程：x a2 y b2 r2
一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E2 4F 0)
1.圆的标准方程带有明显的几何特征， 明确指出了圆心和半径.
2.圆的一般方程表现出明显的代数形 式与结构，突出了方程形式上的特点， 更适合方程理论的运用.
(1)x 32 y2 9,圆心- 3，0，半径为 3.
(2)x2 y b2 b2,圆心0,b，半径为b.
(3)x a2 y 3a 2 a2,圆心 a, 3a ，半径为a .
合作探究 深化概念
形如 x2 y2 Dx Ey F 0 的方程
创设情境 引入新课
温故知新 形成概念
问题1：直线方程有几种形式？ 问题2：直线的一般式方程是什么形式？
Ax By C 0其中A, B不同时为0
关于 x, y的二元一次方程 问题3：圆心为 Ca,b ，半径为 r 的圆的
标准方程是什么？
x a2 y b2 r2
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
典例探究2
例2:已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）, 端点A在圆 (x 1)2 y2 4 上运动，求线段AB的
中点M的轨迹方程.
y
B 问题1: A点坐标满足什么关系式?
M x, y Ax0 , y0
圆心
-
D 2
,

E 2

r
D2 E2 4F 2
（2）当
D2 E2 4F
0 时，表示点

-
D 2
,

E 2

（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
合作探究 深化概念
思考2：方程 x2 y2 Dx Ey F 0
在什么条件下表示圆？
D 8 E 6 F 0
所以，所求圆的方程是 x2 y2 8x 6y 0 .
配方得：x 42 y 32 25
所求圆的半径为5，圆心坐标为（4，-3）.
小结：求圆的方程
待定系数法
设方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)