结构力学[第四章静定结构的位移计算]课程复习

第四章静定结构的位移计算
一、基本内容及学习要求
本章内容包括：变形体系的虚功原理及其在线性变形体系中的应用，静定结构在荷载作用下的位移计算，线性变形体系的互等定理。

通过本章学习应达到如下要求：
(1)重点掌握变形体系虚功原理中广义力和广义位移、虚功、力状态和位移状态、外力虚功和虚应变能、虚力原理和单位荷载法等概念，掌握位移计算的一般公式[(4—3)]和应用特点。

(2)计算静定结构在荷载作用下的位移，要求概念清楚、应用熟练。

包括正确选取计算位移的虚拟状态，理解虚设广义力与所求广义位移问的对应关系；掌握结构在荷载下的位移计算公式[(4—4)～(4—6)、第四版式(4—5)～(4—7)]及其与式(4—3)的关系；正确运用图乘法计算梁、刚架的位移。

(3)了解主要互等定理的含义。

二、学习指导
(一)位移计算中的叠加原理
线性变形体系同时受多个荷载作用时，其位移计算可以应用叠加原理。

如图
4．1a所示梁在荷载F
P1，和F
P2
共同作用下的位移△K等于F
P1
，和F
P2
单独作用时
(图4．1 b、c)产生的位移△K
1和△K
2
之和，即
除计算位移外，叠加原理在计算结构的反力和内力时也经常用到。

叠加原理
应用仅限于线性变形体系，如果在公式推导过程中用到叠加原理，则该公式只适
用于线性变形体系。

本章只讨论线性变形体系的位移计算。

非线性变形体系中结构的内力、位移与荷载间不是线性关系，因此不能叠加。

如图4．2所示梁发生纵横弯曲时跨中的挠度和弯矩分别为
(二)结构位移计算是几何问题
图4．3 a所示结构，荷载作用下C点的位移可用如下方法求得：先依原几
何尺寸求出各杆内力；根据胡克定律算出杆件变形后的长度，设分别为ι
AB'
、ι
AC'、ι
B'C'
，(图4．3b)；再以过A点的水平线为基准，用变形后的杆长为边长作
△
AB'C'。

所得
C'
点就是结构变形后C的新位置，
CC'
即为C点的位移。

位移计算就是在一定支承条件下根据杆件变形求解结构某点位置的变化，研究的是结构几何量间的关系，故属几何问题。

不过上述方法并无实用价值，需要寻找计算位移的其他途径，以下根据虚功原理推出的单位荷载法就是结构力学中最常用的一种。

推导过程虽复杂但应用却十分简便，因而成为关注的重点。

(三)虚功的概念
教材第三版§4—3(第四版§4—1)指出当做功的力与其相应的位移彼此独
立无关时，就把这种功称为虚功。

若力和位移这两个独立因素分属同一结构两种
彼此无关的状态，则力状态的力和位移状态相应位移的乘积就是虚功(W=F
P
△)，
它是一种似功非功的物理量。

而图4．4a所示梁在集中荷载F
P
下作用点由K达到K'时，荷载FP在竖向位移△上做功时因位移由荷载引起，两者并不独立，故此功不属虚功而是实功。

在线性变形体系(图4．4b)中有
表达式中力和位移乘积前的系数不同，显示虚功和实功的重要差别。

初学者对虚功比较生疏，学习时应多加思考。

(四)虚功中的力状态和位移状态
构成虚功的两种状态中，力系所属状态称为力状态(或第一状态)，位移所属状态称为位移状态(或第二状态)。

图4．5a、b所示简支梁分别受两种荷载作用并相应发生位移。

若F
P1
先作用，
待梁达到平衡后再作用F
P2，F
P2
使梁发生新变形并在F
P1。

方向上产生位移△
12
：(图
4．5c)，则F
P1在F
P2
引起的位移△
12
：上所做虚功之值等于F
P1
△
12。

此时将力F
P1
看作取自图a所示的力状态，位移△
12
看作取自图b所示的位移状态。

反之若先作用F
P2后作用F
P1
做虚功的力为F
P2
而相应位移为△
21
，则图b为力
状态而图a为位移状态。

由此可知，所谓力状态和位移状态要根据所讨论虚功的力和位移所在的状态确定。

(五)变形体系的虚功原理和单位荷载法
力状态的外力在截面上引起内力，位移状态的位移来自杆段发生的变形。

变形体系(力状态的)外力在(位移状态的)位移上所做的虚功W，恒等于相应(力状态的)内力因(位移状态的)变形产生的虚应变能V，这就是变形体系的虚功原理。

虚功方程W=V是变形体系虚功原理的表达形式，其两种应用是：
(1)当位移状态虚设，位移满足几何约束条件且已知时，虚功方程反映力状态中力系的平衡条件。

这就是与静力平衡条件等价的虚位移原理。

(2)当力状态虚设，力系满足静力平衡条件且已知时，虚功方程反映位移状态中位移的变形协调条件。

这就是与变形协调条件等价的虚力原理。

从虚力原理推导出的单位荷载法可用来计算位移状态中的位移。

这种方法通过计算反力和内力求解位移，把几何问题转化为平衡问题，既利用已学过的内力分析知识，又使位移计算较为简单，所以在结构力学中得到了广泛应用。

(六)结构位移计算的一般公式及其应用
位移计算的一般公式[教材式(4—3)]为
计算结构在荷载作用下的位移要考虑多个荷载叠加，故教材第三版式(4—4)～(4—6)[第四版式(4—5)一(4—7)]只适用于线性变形体系。

计算步骤是：
(1)掌握教材第三版§4—2(第四版§4—1)所述广义力和广义位移的对应关系，根据实际状态欲求的位移选定相应的虚拟力状态。

(2)分别画(列)出结构在虚拟状态和实际状态下的内力图(内力表达式)。

(3)用图乘法(积分法)计算结构的位移。

梁和刚架的位移计算通常采用图乘法，而拱和曲杆结构则需使用积分法。

采用积分法时应注意内力表达式的写法。

如对图4．7a、b所示结构两种状态应选取相同的坐标系及内力正负号规定，并使列出的内力表达式尽量简单。

(七)图乘法
图乘法在梁和刚架的位移计算中占有重要地位，必须熟练掌握。

教材第三版§4—5(第四版§4—4)指出图乘法的应用条件中，要特别注意“yc必须从直线图形上取得”。

图乘法技巧中最重要的是建立图形叠加和分解的概念。

如图4．8a所示悬臂梁AB
段的弯矩图可以分解为三个图形进行叠加(图4．8b)，将其视为在均布荷载q、梁B截面弯矩M和剪力FQ共同作用下产生(图4．8c)。

弯矩M=1/2qb2引起的
弯矩图为矩形ABbα
1，剪力F
Q
=qb引起的弯矩图为三角形△α
1
α
2
b，均布荷载q
引起的弯矩图α
2α
3
b是标准抛物线图形。

按照区段叠加法，AB段的弯矩图也可
以分解为梯形ABbα，减去抛物线与虚线α
3
b所围成的图形。

两种方式结果相同，但后者计算较为简便。

在对图4．9a、b进行图乘时，不宜把图a所示的M图分解为三角形△KIk 和△IHh，而应将它分解为△KHk和△khH。

这样不但面积容易计算，而且形心对
应的竖标)y
1和)y
2
也容易求出。

标准抛物线图形的判别应根据抛物线顶点处的切线是否与基线平行(重合)
认定，此时弯矩图切线在切点的斜率等于零，由dM/dx=F
Q
知该处的剪力必定为零。

如图4．10所示刚架AC柱顶剪力F
QCA
=0，故AC段弯矩图是标准抛物线图形。

(八)互等定理
互等定理中最基本的是功的互等定理。

互换力状态和位移状态可以得出两种虚功，线性变形体系中这两种虚功互等就是功的互等定理。

其他的互等定理可根据功的互等定理导出。

如图4．11 a 、b 所示两种状态，若以图a 为力状态、图b 为位移状态，则得外力虚功W 12=FP δ12=δ12；反之若以图b 为力状态、图a 为位移状态，外力虚功为W 21=M δ21=δ21。

根据功的互等定理W 12=W 21，故得δ12=δ21即位移互等定理。

应用互等定理要注意力和位移的对应关系。

如对图4．12a 、b 应用反力互等定理，由于支座2在图a 中的反力影响系数r 21与图b 中的位移△=1相应，支座1在图b 中的反力偶影响系数r 12与图a 中的位移φ=1相应，故r 12=r 21。

而图a 中支座2虽存在反力偶，图b 支座1处也有反力存在，却因另一状态未发生相应位移，因此不做虚功也不存在互等。