广东省佛山一中2015届高三上学期9月月考数学试卷(理科)

广东省佛山一中2015届高三上学期9月月考数学试卷（理科）一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，总分40分；每个小题仅有一个最恰当的选项，请将你的答案填涂在答题卡上）1．（5分）已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B=[3，+∞），则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0，1，2} B．{0，1} C．{1，2} D．{1}2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于一、三象限的角平分线轴对称，z1=1+2i，则z1z2=（）A．4+5i B．4i C．5i D．53．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．命题“∀x≥0，x2+x﹣1＜0”的否定是“∃x0＜0，x02+x0﹣1≥0”C．命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为假命题D．若“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题4．（5分）若x∈（2，4），则下列结论正确的是（）A．2x＞x2＞log2x B．x2＞log2x＞2x C．l og2x＞x2＞2x D．x2＞2x＞log2x5．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）+2．当0≤x＜2时，f（x）=1，则f=（）A．2013 B．2014 C．2015 D．20166．（5分）已知函数g（x）=|e x﹣1|的图象如图所示，则函数y=g′（x）图象大致为（）A． B．C．D．7．（5分）设函数D（x）=，关于函数D（x）有以下四个结论：①D（x）值域为[0，1]；②D（x）是周期函数；③D（x）是单调函数；④D（x）是偶函数；其中正确的结论个数为（）A．0B．1C．2D．38．（5分）如图，对于曲线Ψ所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得α≥∠AOB 对于曲线Ψ上的任意两个不同的点A、B恒成立，则称角α为曲线Ψ的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线Ψ的相对于点O的“确界角”．已知曲线C：f（x）=（其中e=2.71828…是自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线C的相对于点O的“确界角”为（）A．B．C．D．二、填空题：（本题共6个小题，每小题5分，共30分，请将你的答案写在答卷上相应位置）9．（5分）=．10．（5分）dx=．11．（5分）已知函数f（x）=+（a﹣1）x（a∈R）是区间（1，4）上的单调函数，则a的取值范围是．12．（5分）若函数f（x）=（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）﹣3恰有两个零点，则k的取值范围为．13．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是．14．（5分）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b是奇函数”．则函数f（x）=x3+3x2﹣x﹣2图象的对称中心坐标为．三、解答题：本题共6小题，共80分，请在答卷的相应位置作答）15．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若∀x∈[0，]，都有f（x）﹣c≤0，求实数c的取值范围．16．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE 与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值．17．（14分）某公司从一批产品中随机抽出60件进行检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]．（1）求图中x的值，并根据频率分布直方图估计这60件抽样产品净重的平均数、众数和中位数；（2）若将频率视为概率，从这批产品中有放回地随机抽取3件，求至多有2件产品的净重在[96，98）的概率；（3）若产品净重在[98，104）为合格产品，其余为不合格产品．从这60件抽样产品中任选2件，记ξ表示选到不合格产品的件数，求ξ的分布列及数学期望．18．（14分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．19．（14分）已知函数f（x）=（a∈R），（1）若a=，求函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）的单调区间．20．（14分）已知函数f（x）=+lnx﹣1（a是常数，e≈=2.71828）．（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a=1时，方程f（x）=m在x∈[，e2]上有两解，求实数m的取值范围；（3）求证：n∈N*，ln（en）＞1+．广东省佛山一中2015届高三上学期9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，总分40分；每个小题仅有一个最恰当的选项，请将你的答案填涂在答题卡上）1．（5分）已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B=[3，+∞），则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0，1，2} B．{0，1} C．{1，2} D．{1}考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：计算题；集合．分析：由已知中U为全集，A，B是集合U的子集，及图中阴影，分析阴影部分元素满足的性质，可得答案．解答：解：由已知中阴影部分在集合A中，而不在集合B中，故阴影部分所表示的元素属于A，不属于B（属于B的补集）即（C R B）∩A={1，2}．故选C．点评：题考查的知识点是Venn图表达集合的关系及运算，其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于一、三象限的角平分线轴对称，z1=1+2i，则z1z2=（）A．4+5i B．4i C．5i D．5考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：先求出z2=2+i，再计算z1z2．解答：解：∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于一、三象限的角平分线轴对称，z1=1+2i，∴z2=2+i，∴z1z2=（1+2i）（2+i）=5i，故选：C．点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．3．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．命题“∀x≥0，x2+x﹣1＜0”的否定是“∃x0＜0，x02+x0﹣1≥0”C．命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为假命题D．若“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题考点：复合命题的真假；四种命题间的逆否关系；命题的否定．专题：简易逻辑．分析：通过复合命题的定义，四种命题的关系，命题的否定，逐项进行判断．解答：解：对于A：否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错误；对于B：否定是“∃x0≥0，x02+x0﹣1≥0”，故B错误；对于C：逆否命题为：若“sin x≠sin y，则x≠y”，是真命题，故C错误；A，B，C，都错误，故D正确，故选：D．点评：本题考查了复合命题的定义，四种命题的关系，命题的否定，是一道基础题．4．（5分）若x∈（2，4），则下列结论正确的是（）A．2x＞x2＞log2x B．x2＞log2x＞2x C．l og2x＞x2＞2x D．x2＞2x＞log2x考点：不等式比较大小．专题：函数的性质及应用．分析：如图所示，当x∈（2，4），x2＞2x＞4．而log2x＜2．即可得出．解答：解：如图所示，当x∈（2，4），x2＞2x＞4．而log2x＜2．综上可得：x2＞2x＞log2x．故选：D．点评：本题考查了指数函数、幂函数、对数函数的单调性，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．5．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）+2．当0≤x＜2时，f（x）=1，则f=（）A．2013 B．2014 C．2015 D．2016考点：抽象函数及其应用；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据递推式f（x+2）=f（x）+2进行递推，结合当0≤x＜2时，f（x）=1，从而可求出所求．解答：解：因为f（x+2）=f（x）+2，所以f=f+2=f+4=…=f（0）+2014，而当0≤x＜2时，f（x）=1，则f=1+2014=2015．故选C．点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，解题的关键是熟练运用递推式f（x+2）=f（x）+2，同时考查了分析问题的能力．6．（5分）已知函数g（x）=|e x﹣1|的图象如图所示，则函数y=g′（x）图象大致为（）A． B．C．D．考点：函数的图象．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义：表示切线斜率，结合原函数图象可得切线斜率的变化情况，从而可得正确选项．解答：解：根据函数图象可知当x＜0时，切线的斜率小于0，且逐渐减小，当x＞0时，切线的斜率大于0，且逐渐增加，故选C．点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及函数图象的应用，同时考查了分析问题的能力．7．（5分）设函数D（x）=，关于函数D（x）有以下四个结论：①D（x）值域为[0，1]；②D（x）是周期函数；③D（x）是单调函数；④D（x）是偶函数；其中正确的结论个数为（）A．0B．1C．2D．3考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：由函数值域的定义易知①错误；由函数周期性定义可判断②正确；由函数单调性定义，易知③错误；由偶函数定义可证明④正确；解答：解：∵函数D（x）=，∴D（x）值域为{0，1}，故①错误；∵D（x+1）=D（x），∴T=1为其一个周期，故②正确；∵D（）=0，D（2）=1，D（）=0，显然函数D（x）不是单调函数，故③错误；∵D（﹣x）=D（x），故D（x）是偶函数，故④正确；故正确的结论有2个，故选：C点评：本题主要考查了函数的定义，偶函数的定义和判断方法，函数周期性的定义和判断方法，函数单调性的意义，属基础题8．（5分）如图，对于曲线Ψ所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得α≥∠AOB 对于曲线Ψ上的任意两个不同的点A、B恒成立，则称角α为曲线Ψ的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线Ψ的相对于点O的“确界角”．已知曲线C：f（x）=（其中e=2.71828…是自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线C的相对于点O的“确界角”为（）A．B．C．D．考点：分段函数的应用．专题：导数的综合应用．分析：画出函数f（x）的图象，过点O作出两条直线与曲线相切；，再由两直线的夹角公式即可得到所求的“确界角”．解答：解：画出函数f（x）的图象，过点O作出两条直线与曲线相切，设它们的方程分别为y=k1x，y=k2x，当x＞0时，y′=f′（x）=，设切点为（m，n），则对应的切线方程为，令x=0，y=0，则，解得m=e，即切线斜率k1=，则切线y=k1x 的倾斜角为，当x≤0时，函数的导数f′（x）=，设切点为（a，b），（a＜0）则切线斜率k=f′（a）=，则对应的切线方程为y﹣（）=（x﹣a），令a=b=0，则﹣（）=﹣•a，即，则，解得a=，则y=k2x的斜率k2=f′（）=×=，则切线y=k2x的倾斜角为，由两直线的夹角θ=﹣=，故选：B点评：本题考查新定义“确界角”及应用，考查导数的应用：求切线，利用导数的几何意义是解决本题的关键．．二、填空题：（本题共6个小题，每小题5分，共30分，请将你的答案写在答卷上相应位置）9．（5分）=7．考点：对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数的运算性质和幂的运算性质，化简计算即可．解答：解：=+=+=+=7，故答案为：7．点评：本题主要考查了对数函数和幂的运算性质，属于基础题．10．（5分）dx=π2﹣2．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：根据定积分的计算法计算即可．解答：解：dx=（4x++4）dx=（2x2+lnx+4x）=（8+ln2+8）﹣（2+0+4）=10+ln2，故答案为：10+ln2点评：本题主要考查了定积分的计算，关键时求出原函数，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）=+（a﹣1）x（a∈R）是区间（1，4）上的单调函数，则a的取值范围是（﹣∞，2]∪[5，+∞）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：求导，判断函数的单调性，由题意可得4≤a﹣1或a﹣1≤1，解得即可．解答：解；∵f（x）=+（a﹣1）x∴f′（x）=x2﹣ax+（a﹣1）=（x﹣1）[x﹣（a﹣1）]，∵f（x）是区间（1，4）上的单调函数，∴a﹣1≤1或a﹣1≥4，∴a≤2或a≥5．故答案为（﹣∞，2]∪[5，+∞）．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性求参数的范围问题，属于基础题．12．（5分）若函数f（x）=（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）﹣3恰有两个零点，则k的取值范围为（﹣2，2）．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：由题意得：（x+1）2+2+k=0无解，x2+2x+k﹣1=0有2个解，得不等式组，解出即可．解答：解：∵f（x）=（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）﹣3=（x2+2x+k+3）（x2+2x+k﹣1）=[（x+1）2+2+k]（x2+2x+k﹣1）恰有两个零点，∴（x+1）2+2+k=0无解，x2+2x+k﹣1=0有2个解，∴，解得：﹣2＜k＜2，故答案为：（﹣2，2）．点评：本题考查了函数的零点问题，一元二次方程的根的情况，是一道中档题．13．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是[10，30]．考点：相似三角形的性质．专题：解三角形．分析：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：，（0＜x＜40）．矩形的面积S=x（40﹣x），利用S≥300解出即可．解答：解：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：，解得y=40﹣x，（0＜x＜40）∴矩形的面积S=x（40﹣x），∵矩形花园的面积不小于300m2，∴x（40﹣x）≥300，化为（x﹣10）（x﹣30）≤0，解得10≤x≤30．满足0＜x＜40．故其边长x（单位m）的取值范围是[10，30]．故答案为[10，30]．点评：本题考查了相似三角形的性质、三角形的面积计算公式、一元二次不等式的解法等基础知识与基本技能方法，属于基础题．14．（5分）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b是奇函数”．则函数f（x）=x3+3x2﹣x﹣2图象的对称中心坐标为（﹣1，1）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：设f（x）的对称中心为点P（a，b），由f（﹣x+a）+f（x+a）﹣2b=0，得：（6a+6）x2+2a3+6a2﹣2a﹣4﹣2b=0，得方程组解出即可．解答：解：设f（x）=x3+3x2﹣x﹣2 的对称中心为点P（a，b）则函数y=f（x+a）﹣b=（x+a）3+3（x+a）2﹣（x+a）﹣2﹣b是奇函数，由f（﹣x+a）﹣b=﹣[f（x+a）﹣b]，∴f（﹣x+a）﹣b=﹣f（x+a）+b，∴f（﹣x+a）+f（x+a）﹣2b=0，∴（6a+6）x2+2a3+6a2﹣2a﹣4﹣2b=0，∴，解得：，故答案为：（﹣1，1）．点评：本题考查了函数的对称性问题，函数的奇偶性问题，考查了充分必要条件，是一道中档题．三、解答题：本题共6小题，共80分，请在答卷的相应位置作答）15．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若∀x∈[0，]，都有f（x）﹣c≤0，求实数c的取值范围．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1可化简为2sin（2x+），从而可求函数f （x）的最小正周期；（2）先求得f（x）=2sin（2x+）在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，f（0）=1，f（）=2，f（）=﹣1，所以函数f（x）在区间[0，]上的最大值为2，从而可求实数c的取值范围．解答：解：（1）由f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）=（2sinxcosx）+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数f（x）的最小正周期为π．（2）因为f（x）=2sin（2x+）在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f（0）=1，f（）=2，f（）=﹣1，所以函数f（x）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为﹣1，故c≥f（x）max=2．点评：本题主要考察两角和与差的正弦函数和三角函数的周期性及其求法，属于中档题．16．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE 与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE；（Ⅱ）建立空间直角坐标系D﹣xyz，分别求出平面BEF的法向量为和平面BDE的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…（5分）（Ⅱ）解：因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知DE=3，AF=．则A（3，0，0），F（3，0，），E（0，0，3），B（3，3，0），C（0，3，0），所以=（0，﹣3，），=（3，0，﹣2）．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令z=，则=（4，2，）．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，=（3，﹣3，0）．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（12分）点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．17．（14分）某公司从一批产品中随机抽出60件进行检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]．（1）求图中x的值，并根据频率分布直方图估计这60件抽样产品净重的平均数、众数和中位数；（2）若将频率视为概率，从这批产品中有放回地随机抽取3件，求至多有2件产品的净重在[96，98）的概率；（3）若产品净重在[98，104）为合格产品，其余为不合格产品．从这60件抽样产品中任选2件，记ξ表示选到不合格产品的件数，求ξ的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）运用频率分布直方图，求解即可．（2）根据概率分布关系，结合对立事件求解运算．（3）求出随机变量的取值，判断求解对应的概率的值，再求期望的数值．解答：解：（1）由已知图可知：（x+0.075+0.1+0.125+0.15）×2=1，解得x=0.05故估计这60件抽样产品净重的平均数为97×0.1+99×0.2+101×0.3+103×0.25+105×0.15=101.3（克）众数为101）设中位数为a，则0.1+0.2+（a﹣100）×0.15=0.5，解得，（2）恰好抽取到3件产品的净重在[96，98）的概率为，故至多有2件产品的净重在[96，98）的概率为1﹣0.001=0.999（3）这60件抽样产品中，不合格产品有60×（0.1+0.15）=15件，合格产品有45件．ξ的可能取值为0，1，2，3，．点评：本题综合考查了概率的求解，应用求解平均数、众数和中位数，[96，98），分布列及数学期望等相关知识．18．（14分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．考点：函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性．专题：应用题．分析：（Ⅰ）由f（5）=11代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；（Ⅱ）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．解答：解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以+10=11，故a=2（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量y=所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而，f′（x）=10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]=30（x﹣6）（x﹣4）于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：x （3，4）4 （4，6）f'（x）+0 ﹣f（x）单调递增极大值42 单调递减由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．点评：本题函数解析式的建立比较容易，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题．19．（14分）已知函数f（x）=（a∈R），（1）若a=，求函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）的单调区间．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数求函数的极值，求导f′（x）=，令f′（x）=0，解得x=﹣1或x=3，即可得出函数的极值；（2）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论．解答：解：f（x）的定义域为R，f′（x）=．（1）若a=，则f （x）=，f′（x）=．令f′（x）=0，解得x=﹣1或x=3．当x变化时，f′（x），f （x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，3） 3 （3，+∞）f′（x）+0 ﹣0 +f（x）递增极大值递减极小值递增∴当x=﹣1时，f（x）取得极大值f（﹣1）=，当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=﹣．（2）设g（x）=ax2﹣2ax﹣1①若a=0，则f （x）=，f′（x）=﹣＜0，f （x）的减区间为（﹣∞，+∞）．②若a＞0，则△=4a2+4a＞0，g（x）=ax2﹣2ax﹣1的两个零点为x1=1﹣，x2=1+．令f′（x）＜0解得x1＜x＜x2，所以f（x）的减区间为（x1，x2）③若a＜0，i）当﹣1≤a＜0时，则△≤0，g（x）≤0恒成立，f′（x）≤0恒成立，所以f （x）的减区间为（﹣∞，+∞）．ii）当a＜﹣1时，则△＞0，令f′（x）＜0解得x＜x2或x＞x1，所以f（x）的减区间为（﹣∞，x2）和（x1，+∞）．故当a＞0时，f （x）的减区间为（x1，x2）；当﹣1≤a≤0时，f （x）的减区间为（﹣∞，+∞）；当a＜﹣1时，f（x）的减区间为（﹣∞，x2）和（x1，+∞）．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值等知识，考查学生对分类讨论思想的运用能力及运算求解能力，属于难题．20．（14分）已知函数f（x）=+lnx﹣1（a是常数，e≈=2.71828）．（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a=1时，方程f（x）=m在x∈[，e2]上有两解，求实数m的取值范围；（3）求证：n∈N*，ln（en）＞1+．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）先根据x=2是函数f（x）的极值点求出a的值，然后利用导数求出切线的斜率，从而可求出切线方程；（2）利用导数研究函数的单调性，求出函数f（x）的最小值，以及区间端点的函数值，结合图象可得m的取值范围；（3）等价于，若a=1时，由（2）知f（x）在[1，+∞）上为增函数，可证得，从而可得结论．解答：解：（1）．因为x=2是函数f（x）的极值点，所以a=2，则f（x）=，则f（1）=1，f'（1）=﹣1，所以切线方程为x+y﹣2=0；（2）当a=1时，，其中x∈[，e2]，当x∈[，1）时，f'（x）＜0；x∈（1，e2]时，f'（x）＞0，∴x=1是f（x）在[，e2]上唯一的极小值点，∴[f（x）]min=f（1）=0．又，，综上，所求实数m的取值范围为{m|0＜m≤e﹣2}；（3）等价于，若a=1时，由（2）知f（x）=在[1，+∞）上为增函数，当n＞1时，令x=，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0，即，∴．故即，即．点评：本题主要考查了利用导数研究的切线方程，以及利用导数研究函数的最值和不等式的证明，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力．。