天津市2012届高三第三次六校联考数学(理)试题

数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共40分）． 1．复数i34ia z +=∈+R ，则实数a 的值是（ ）． A ．43-B ．43C ．34D ．34-2．下列有关命题的说法正确的是（ ）． A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“存在x ∈R ，使得210x x ++<”的否定是：“对任意x ∈R ， 均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．3．若某程序框图如图所示，则输出的p 的值是（ ）．A ． 21B ．26C ． 30D ． 554．在等差数列{}n a 中，()()3456814164336a a a a a a a ++++++=， 那么该数列的前14项和为（ ）．A ．20B ．21C ．42D ．845．若二项式321nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，只有第六项系数最大，则展开式中的常数项是（ ）．A ．150B ．210C ．220D ．2506．设F 是抛物线C 1：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，点A 是抛物线与双曲线C 2：22221x y a b -= （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ）．（第3题图）A．B C．2D．27．若()1e,1x-∈，lna x=，ln12xb⎛⎫= ⎪⎝⎭，lne xc=，则（）．A．c b a>>B．b a c>>C．a b c>>D．b c a>>8．设()y f x=在(,1]-∞上有定义，对于给定的实数K，定义(),()(),()Kf x f x Kf xK f x K≤⎧=⎨>⎩，给出函数1()24x xf x+=-，若对于任意(,1]x∈-∞，恒有()()Kf x f x=，则（）．A．K的最大值为0B．K的最小值为0C．K的最大值为1D．K的最小值为1二、填空题（每题5分，共30分）．9．某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________________．10．如下图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是______________．（第10题图）11．若曲线1C ：cos 1sin x r y r θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数，0r >）与曲线2C：2x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）有公共点，则r 的取值范围是____________．12．如图，PA 是圆O 的切线，A 是切点，直线PO 交圆O 于B 、C 两点，D 是OC 的中点，连结AD 并延长交圆O 于点E ，若PA =30APB = ，则AE =________．13．如图，在△ABC 中，=3NC ，P 是BN 上的一点，若AP =m AB +112AC ，则实数m 的值为___________．14．已知函数()f x 的定义域为[()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示：（第14题图）下列关于()f x 的命题： ①函数()f x 是周期函数； ②函数()f x 在[]0,2是减函数；③如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点；⑤函数()y f x a =-的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 其中正确命题的序号是_______________．二、填空题（每题5分，共30分）．9．_____________ 10．_____________ 11．_____________12．_____________ 13．_____________ 14．_____________ 三、解答题．15．（本小题满分13分）已知函数()f x =4x ⋅cos 4x 2cos 4x+．（Ⅰ）若()1f x =，求2cos()3x π-的值； （Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足1cos 2a C cb +=，求()f B 的取值范围．16（本小题满分13分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分. 现从盒内任取3个球（Ⅰ）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；（Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列和数学期望.17．（本小题满分13分）如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA = 1，PD＝ 2 ，E为PD上一点，PE = 2ED．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D－AC－E的余弦值；（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF // 平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．EPD BA18．（本小题满分13分）已知曲线)0()0,0(1:222222221≥=+≥>>=+x r y x C x b a by a x C ：和曲线都过点A （0，－1），且曲线1C 所在的圆锥曲线的离心率为23. （Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的方程；（Ⅱ）设点B,C 分别在曲线1C ，2C 上，21,k k 分别为直线AB,AC 的斜率,当124k k =时，问直线BC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 、{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求证：数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （Ⅱ）设2n n n T S S =-，求证：1n n T T +>；（Ⅲ）求证：对任意的n N *∈都有21122nn S n ++≤≤成立．20．（本小题满分14分）已知函数()()ln 1f x x ax =+-的图象在1x =处的切线与直线210x y +-=平行． （Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）若方程()()134f x m x =-在[]2,4上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）设常数1p ≥，数列{}n a 满足()1ln n n n a a p a +=+-（n ∈+N ），1ln a p =．求证：1n n a a +≥．数学答案（理科）一、选择题1—4 BDCB 5---8 BADD二、填空题9.18 10.π12836+ 11. ⎫+∞⎪⎪⎣⎭12.7710 13.113 14.② 三、解答题15.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意得：2()cos cos 444x x x f x =+111cos sin()2222262x x x π=++=++……3分若()1f x =，可得1sin()262x π+=， 则22cos()2cos ()1332x x ππ-=--212sin ()1262x π=+-=- ………6分 （Ⅱ）由1cos 2a c c b +=可得222122a b c ac b ab +-+=,即222b c a bc +-= 2221cos 22b c a A bc +-∴==，得2,33A B C ππ=+= ……9分2003236262B B B πππππ<<⇒<<⇒<+<13()sin()(1,)2622B f B π∴=++∈ ………13分16、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）12713937=-=C C P ………….. 3分（Ⅱ）记 “取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球， 1个黑色球”为事件C ，则 122123243399C C C C 5()()()C C 42P B C P B P C +=+=+=. ………….. 6分 （Ⅲ）ξ可能的取值为0123，，，. ………….. 7分 3639C 5(0)C 21P ξ===， 123639C C 45(1)C 84P ξ===，213639C C 3(2)C 14P ξ===， 3339C 1(3)C 84P ξ===. ………….. 11分ξ的分布列为:ξ的数学期望545310123121841484E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= . …13分 17、（本小题满分13分）解：（Ⅰ） PA = PD = 1 ,PD = 2 ,∴ PA 2 + AD 2 = PD 2, 即：PA ⊥ AD ---2分 又PA ⊥ CD , AD , CD 相交于点D,∴ PA ⊥ 平面ABCD -------4分 （Ⅱ）过E 作EG//PA 交AD 于G ， 从而EG ⊥ 平面ABCD ，且AG = 2GD , EG = 13 PA = 13 , ------5分 连接BD 交AC 于O, 过G 作GH//OD ，交AC 于H ， 连接EH ． GH ⊥ AC , ∴EH ⊥ AC ,∴∠ EHG 为二面角D —AC―E 的平面角． -----6分 ∴tan ∠EHG = EG GH = 22 ．∴二面角D —AC―E 的平面角的余弦值为36-------8分 （Ⅲ）以AB , AD , PA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．则A （0 ，0， 0），B （1，0，0） ，C （1，1，0），P （0，0，1），E （0 , 23 ,13 ）,AC = （1,1,0）,= （0 , 23 ,13 ） ---9分设平面AEC 的法向量= （x, y,z ） , 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0，即：⎩⎨⎧=+=+020z y y x ， 令y = 1 , 则 = （- 1,1, - 2 ）-------------10分 假设侧棱PC 上存在一点F, 且＝ λ ， （0 ≤ λ ≤ 1）, 使得：BF//平面AEC, 则⋅ ＝ 0．又因为：BF ＝ BC + CF ＝ （0 ，1，0）+ （-λ,-λ,λ）= （-λ,1-λ,λ）, ∴⋅ ＝λ+ 1- λ- 2λ = 0 , ∴λ = 12 ,所以存在PC 的中点F, 使得BF//平面AEC ． ----------------13分18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得21b =，24a =，21r =． ……2分所以曲线1C 的方程为2214x y +=（0x ≥）． ……3分 曲线2C 的方程为221x y +=（0x ≥）． ……4分（Ⅱ）将11y k x =-代入2214x y +=，得()22111480k x k x +-=．……5分 设()11,A x y ，()22,B x y ，则10x =，1221841k x k =+，212122141141k y k x k -=-=+．所以2112211841,4141k k B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． ……7分将21y k x =-代入221x y +=，得()2222120k x k x +-=．设()33,C x y ，则232221k x k =+，2232322111k y k x k -=-=+，所以212222221,11k k C k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． ……9分因为214k k =，所以21122118161,161161k k C k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭则直线BC 的斜率22111111122111614116141188416141BCk k k k k k k k k k ---++==--++， ……11分 所以直线BC 的方程为：21122111418141441k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭，即1114y x k =-+．…12分 故BC 过定点()0,1． ……13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：由1n n b a =-得1n n a b =+代入11(1)n n n a a a +-=-得1(1)n n n b b b +=+ 整理得11n n n n b b b b ++-=，----------------------------------------------------------------1分 ∵0n b ≠否则1n a =，与12a =矛盾 从而得1111n nb b +-=, ---------------------------------------------------------------------3分 ∵1111b a =-= ∴数列1{}nb 是首项为1，公差为1的等差数列------------------4分 （Ⅱ）∵1nn b =，则1n b n =． 111123n S n =++++∴2n n n T S S =-＝111111111(1)231223n n n n+++++++-+++++ ＝111122n n n+++++ ---------------------------------------------------6分 证法1：∵1111111()2322122n n T T n n n n n n+-=+++-++++++++ ＝11121221n n n +-+++＝11102122(21)(22)n n n n -=>++++ ∴1n n T T +>．-----------------------------------------------------------------8分证法2：∵2122n n +<+ ∴112122n n >++ ∴1111022221n n T T n n n +->+-=+++ ∴1n n T T +>．---------------------------------------------------------------8分（Ⅲ）用数学归纳法证明： ①当1n =时2111111,1,122222n n S n +=+=++=+，不等式成立；-----------9分 ②假设当n k =（1k ≥，k N *∈）时，不等式成立，即21122k k S k +≤≤+，那么当1n k =+时 1121111222k k k S ++=+++++11112212k k k +≥+++++ 112111222k k k k ++>++++个122=++12=+---------------------------------------------------------12分 1121111222k k k S ++=+++++11112212k k k +≤+++++ 2111222k k k k <++++个＝1(1)2k ++∴当1n k =+时，不等式成立由①②知对任意的n N *∈,不等式成立．---------------------------------------------------14分 20．（本小题满分14分） （Ⅰ）a x x f -+=11)('， 1a 21-a -2121)1(f '=∴=-=∴由题意知a ---------3分 （Ⅱ）由（1）m x x x x x f =-+∴-+=)1(ln 4,)1ln()(原方程为，设x x x g -+=))1ln(4)(，得xxx x g +-=-+=13114)('， 0)3(',0)('g 3x 2,0)('g 4x 3=>≤≤<≤≤∴g x x 时，当时当，上是减函数。