高考数学数学集训三
2024年高考适应性训练数学试题(三)
试卷类型: A2024年高考适应性训练数 学 试 题 （三）本试卷共19题，满分150分，共6页．考试用时120分钟． 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1. 已知集合(){}2,A x y y x ==，集合(){},B x y y x ==，则集合AB 子集的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4 2. 小王夫妇开设了一家早餐店，经统计，发现每天茶叶蛋的销量()2100050XN ，（单位：个），估计300天内每天茶叶蛋的销量约在950到1100个的天数大约为 （附：若随机变量()2X Nμσ～,，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈）A ．236B ．246C ．270D ．2753. 已知单位向量,a b 满足1-=a b ，则a 在b 方向上的投影向量为A.12b B. bC.12a D. -aA. (1.5,2)B. (2,2.5)C. (2.5,3)D. (3,3.5) 5. 已知()()2f x xg x =为定义在R 上的偶函数，则函数()g x 的解析式可以为A. ()221ln 1x g x x +=-B. ()2121xg x =-+ C. ()22,0,,0x x x g x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩ D. ()|2||2|g x x x =--+6. 将函数()πcos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则A ．()2πcos 23g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()g x 在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()g x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．直线π4x =是()g x 图象的一条对称轴 7. 设0.50.2a =，0.20.5b =，0.5log 0.2c =，则A. a c b >>B. c b a >>C. c a b >>D. b c a >>8． 已知圆222 ()2p E x y r ++=:与抛物线22(0)C y px p =>:相交于两点,A B ，分别以,A B 为切点作E 的切线12,l l . 若12,l l 都经过C 的焦点F ，则cos AEB ∠=A.2B. 12- C. 2- D.12二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
高考数学(广东专用,文科)大一轮复习配套课时训练：第五篇 数列 大题冲关集训(三)(含答案)
大题冲关集训(三)1.(2012年高考重庆卷)已知 {a n}为等差数列,且a1+a3=8,a2+a4=12.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记{a n}的前n项和为S n,若a1,a k,S k+2成等比数列,求正整数k的值. 解:(1)设数列{a n} 的公差为d,由题意知解得a1=2,d=2.所以a n=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.(2)由(1)可得S n===n(1+n),因a1,a k,S k+2成等比数列,所以=a 1S k+2.从而(2k)2=2(k+2)(k+3),即k2-5k-6=0.解得k=6 或k=-1(舍去),因此k=6.2.(2013年高考福建卷)已知等差数列{a n}的公差d=1,前n项和为S n.(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1;(2)若S5>a1a9,求a1的取值范围.解:(1)因为数列{a n}的公差d=1,且1,a1,a3成等比数列,所以=1×(a 1+2),即-a 1-2=0,解得a1=-1或a1=2.(2)因为数列{a n}的公差d=1,且S5>a1a9,所以5a 1+10>+8a1,即+3a 1-10<0,解得-5<a1<2.3.(2013清远市调研)已知数列{a n}的各项均为正数,且a1=1,当n≥2时,都有a n=a n-1+2n-1,记T n=++…+.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明:T n<2.(1)解:当n≥2时,∵a n=a n-1+2n-1,∴a2-a1=2×2-1,a3-a2=2×3-1,…,a n-a n-1=2×n-1,各式相加得a n-a1=2(2+3+…+n)-(n-1),∴a n-a1=2×-(n-1),∴a n=n2.又当n=1时,a1=1满足上式,故a n=n2.(2)证明:T n=1+++…+<1+++…+=1+1-+-+…+-=2-<2.4.(2013泰安二模)已知等差数列{a n}的首项a1=3,且公差d≠0,其前n 项和为S n,且a1,a4,a13分别是等比数列{b n}的b2,b3,b4项.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)证明:≤++…+<.(1)解:设等比数列的公比为q,∵a1,a4,a13分别是等比数列{b n}的b2,b3,b4,∴(a1+3d)2=a1(a1+12d).又a1=3,∴d2-2d=0,∴d=2或d=0(舍去).∴a n=3+2(n-1)=2n+1.等比数列{b n}的公比为==3,b1==1.∴b n=3n-1.(2)证明:由(1)知S n=n2+2n,∴==（-）,∴++…+==（1+--）=-（+）<.∵+≤+=,∴-（+）≥,∴≤++…+<.5.(2013深圳二调)各项为正数的数列{a n}满足=4S n-2a n-1(n∈N*),其中S n为{a n}前n项和.(1)求a1,a2的值;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)是否存在正整数m,n,使得向量a=(2a n+2,m)与向量b=(-a n+5,3+a n)垂直?请说明理由.解:(1)当n=1时,=4S 1-2a1-1,即(a1-1)2=0,解得a1=1.当n=2时,=4S-1=4a1+2a2-1=3+2a2,解得a2=3或a2=-1(舍去).(2)由=4S n-2a n-1, ①=4S n+1-2a n+1-1. ②②-①得-=4a+2a n=2(a n+1+a n).即(a n+1-a n)(a n+1+a n)=2(a n+1+a n),∵数列{a n}各项均为正数,∴a n+1+a n>0,a n+1-a n=2,∴数列{a n}是首项为1,公差为2的等差数列,∴a n=2n-1.(3)∵a n=2n-1,∴a=(2a n+2,m)=(2(2n+3),m)≠0,b=(-a n+5,3+a n)=(-(2n+9),2(n+1))≠0.∴a⊥b⇔a·b=0⇔m(n+1)=(2n+3)(2n+9)=[2(n+1)+1][2(n+1)+7]⇔m(n+1)=4(n+1)2+16(n+1)+7⇔m=4(n+1)+16+.∵m,n∈N*,∴n+1=7,m=4×7+16+1,即n=6,m=45.当且仅当n=6,m=45时,a⊥b.6.(2013佛山质检(二))环保刻不容缓,或许人类最后一滴水将是自己的泪水.某地水资源极为紧张,且受工业污染严重,预计20年后该地将无洁净的水可用.当地决定重新选址建设新城区,同时对旧城区进行拆除,已知旧城区的住房总面积为64a m2,每年拆除的数量相同;新城区计划第一年建设住房面积a m2,前四年每年以100%的增长率建设新住房,从第五年开始,每年都比上一年增加a m2.设第n(n≥1,且n ∈N)年新城区的住房总面积为a n m2,该地的住房总面积为b n m2.(1)求{a n}的通项公式;(2)若每年拆除4a m2,比较a n+1与b n的大小.解:(1)设第n年新城区的住房建设面积λn m2,则当1≤n≤4时,λn=2n-1a;当n≥5时,λn=(n+4)a.所以,当1≤n≤4时,a n=(2n-1)a;当n≥5时,a n=a+2a+4a+8a+9a+…+(n+4)a=a,故a n=(2)1≤n≤3时,a n+1=(2n+1-1)a,b n=(2n-1)a+64a-4na,显然有a n+1<b n.n=4时,a n+1=a5=24a,b n=b4=63a,此时a n+1<b n.5≤n≤16时,a n+1=a,b n=a+64a-4na,a n+1-b n=(5n-59)a.所以,5≤n≤11时,a n+1<b n;12≤n≤16时,a n+1>b n;n≥17时,显然a n+1>b n,故当1≤n≤11时,a n+1<b n;当n≥12时,a n+1>b n.7.(2013东莞市高三模拟)已知数列{a n}的首项a1=5,前n项和为S n,且S n+1=2S n+n+5.(1)证明:数列{a n+1}是等比数列;(2)令f(x)=a1x+a2x2+…+a n x n,求函数f(x)在点x=1处的导数f'(1),并比较2f'(1)与23n2-13n的大小.(1)证明:由已知S n+1=2S n+n+5,可得n≥2,S n=2S n-1+n+4两式相减得S n+1-S n=2(S n-S n-1)+1即a n+1=2a n+1,从而a n+1+1=2(a n+1),当n=1时,S2=2S1+1+5,所以a2+a1=2a1+6,又a1=5,所以a2=11,从而a2+1=2(a1+1),故总有a n+1+1=2(a n+1),n∈N*,又a1=5,a1+1≠0,从而=2即数列{a n+1}是等比数列.(2)解:由(1)知a n=3×2n-1,因为f(x)=a1x+a2x2+…+a n x n,所以f'(x)=a1+2a2x+…+na n x n-1,从而f'(1)=a1+2a2+…+na n=(3×2-1)+2(3×22-1)+…+n(3×2n-1)=3(2+2×22+…+n×2n)-(1+2+…+n),令T n=2+2×22+…+n×2n,2T n=22+2×23+3×24+…+n×2n+1,错位相减得,T n=(n-1)2n+1+2,f'(1)=3(n-1)·2n+1-+6,∴2f'(1)-(23n2-13n)=12(n-1)·2n-12(2n2-n-1)=12(n-1)·2n-12(n-1 )(2n+1)=12(n-1)[2n-(2n+1)].当n=1时,2f'(1)=23n2-13n;当n=2时,2f'(1)<23n2-13n,当n≥3时,n-1>0,又由函数y=2x与y=2x+1得2n>2n+1,所以(n-1)[2n-(2n+1)]>0,从而2f'(1)>23n2-13n.。
高考数学(理)三轮冲刺课时训练：解三角形(3)(含答案)
解三角形课时提升训练（3）1、如图，已知中，，，，、、分别是边、、上的点，是内接正三角形，则的边长的取值范围是．2、已知分别是的三个内角所对的边，若且是与的等差中项，则= 。
3、在△中，为边上一点，，，＝2．若△的面积为，则∠＝________．4、在中，且．．所对边分别为，若，则实数的取值范围为．5、在中有如下结论：“若点M为的重心，则”,设分别为的内角的对边，点M为的重心.如果,则内角的大小为6、在△ABC中，是角所对的边，已知，，P是△ABC的内切圆上一点，则的最大值为7、给出下列命题：（1）在△ABC中，若A＜B，则sinA＜sinB；（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数y=sin2x的图象；（3）在△ABC中, 若AB=2,AC=3,∠ABC=,则△ABC必为锐角三角形;（4）在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点；其中正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号)。
8、连结的直角顶点与斜边的两个三等分点，所得线段的长分别为和，则长为（）．A． B． C． D．9、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若=，则△ABC的形状为（）A、正三角形B、直角三角形C、等腰三角形或直角三角形D、等腰直角三角形10、设是的重心，且，则的大小为（）A．45 B．60 C．30 D．1511、已知函数，对于曲线上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断：①△ABC一定是钝角三角形②△ABC可能是直角三角形③△ABC可能是等腰三角形④△ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④12、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.（Ⅰ）求证:；（Ⅱ）若,且最大边的边长为，求最小边的边长.13、平面上有四个互异的点A、B、C、D，满足（－）·（－）＝0，则三角形ABC是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形D．等边三角形1、 2、 3、 4、 5、 6、88 7、（1）（3）（4） 8、B 9、B 10、B 11、B12、解：（Ⅰ）∵,∴，…2分∴,∴,∴= (Ⅱ)，整理得，∴，∴，∴或而使，舍去，∴，…………6分∵,∴，∴,，∴，………………… 7分∵===，…∴,∴,∵，∴，………∴由正弦定理，∴，∴最小边的边长为. ……13、解：由（－）·（－）＝0得（－）·（+）＝0即（－）·＝0，（－）·（+）＝0，即＝0，||＝||，故为等腰三角形，选B．。
2023届山东省高考模拟练习(三)数学试题
A. B. C. D.
8.函数 ，若方程 只有三个根 ，且 ，则 取值范围是( ).
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（1）求证：AE⊥平面PBC；
（2）是否存在点F使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°？若存在试确定点F的位置；若不存在请说明理由．
20.（本小题满分12分）端午假期即将到来某超市举办“高考高粽”有奖促销活动凡持高考准考证考生及家长在端午节期间消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次抽奖箱里有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球有3个黑球有7个）抽奖方案设置两种顾客自行选择其中的一种方案．
9.直线 与圆 交于 两点， 为圆上任意一点，则( ).
A.线段 最短长度为 B. 的面积最大值为
C.无论 为何值， 与圆相交D.不存在 ，使 取得最大值
10.正方体 的边长为2，Q为棱 的中点，点 分别为线段 上两动点(含端点)，记直线 与面 所成角分别为 ，且 ，则( ).
A.存在点 使得 B. 为定值
（2）若小杰消费恰好满1000元试比较说明小杰选择哪一种抽奖方案更合算？
21.（本小题满分12分）已知点N为圆C1：（x+1）2+y2＝16上一动点圆心C1关于y轴的对称点为C2点MP分别是线段C1NC2N上的点且 • ＝0 ＝2 ．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）过点A（﹣20）且斜率为k（k＞0）的直线与点M的轨迹交于AG两点点H在点M的轨迹上GA⊥HA当2|AG|＝|AH|时证明： ＜k＜2．
2024年高考第三次模拟考试高三数学(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{}4A x x =∈<N ，{}21,B x x n n A ==-∈，P A B = ，则集合P 的子集共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个2.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分隔率，黄金分割率的值也可以用2sin18°表示，即12sin182-=,设12m =,则2tan 811tan 81=+（）A.4mB.2m C.m3.若5(4)(2)x m x --的展开式中的3x 的系数为600-,则实数m =（）A.8.B.7C.9D.104.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（）A ．518B ．625C ．925D ．895.设n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和．若20232023S =，则4202014a a +的最小值为（）A.52B.5C.9D.926.已知函数()()()sin f x x x ωω=+，若沿x 轴方向平移()f x 的图象，总能保证平移后的曲线与直线1y =在区间[]0,π上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数ω的取值范围为（）A.82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.[)2,47.已知()6116,ln ,log 71ln 510115a b c =+==-,则（）A.a b c >> B.b c a>> C.a c b >> D.c a b>>8.已知正方体1121ABCD A B C D -的棱长为2,P 为线段11C D 上的动点，则三棱锥P BCD -外接球半径的取值范围为（）A．,24⎤⎥⎣⎦B．4⎣C．1⎣D．4⎣二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．已知复数123,,z z z ,下列说法正确的有（）A.若1122z z z z =,则12||||z z =B.若22120z z +=,则120z z ==C.若1213z z z z =,则10z =或23z z =D.若1212||||z z z z -=+,则120z z =10.已知抛物线2:4C x =y 的焦点为F ,准线为l ,过F 的直线与抛物线C 交于A,B 两点，M 为线段AB 中点，,,A B M '''分别为A,B,M 在ι上的射影，且||3||AF BF =,则下列结论中正确的是A.F 的坐标为(1,0)B.||2||A B M F '''=C.,,,A A M F ''四点共圆D.直线AB 的方程为313y x =±+11.对于[]()0,1,x f x ∈满足()()()11,23x f x f x f x f ⎛⎫+-== ⎪⎝⎭，且对于1201x x ≤≤≤．恒有()()12f x f x ≤．则（）A ．10011011002i i f =⎛⎫=⎪⎝⎭∑B ．112624f f⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．118080f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1113216016f ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分．12.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布2(100,)N σ．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为.（若2~(,)X N μσ，则{||2}0.9545)P X μσ-<=13.ABC △中，,,a b c ,分别为角,,A B C的对边，若3A π=，a b c +=+，则ABC △的面积S 的最小值为.14.函数sin cos ()e e x x f x =-在(0,2π)范围内极值点的个数为.四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分13分)己知函数()ln f x x ax =-,其中a R ∈.(I)若曲线()y f x =在1x =处的切线在两坐标轴上的截距相等,求a 的值;(II)是否存在实数a ,使得()f x 在(0,]x e ∈上的最大值是-3?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.16.(本小题满分15分)某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m （2m >且*m ∈N ）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A ，否则该组标为B ，记询问的某组被标为B 的概率为p ．（i ）试用含m 的代数式表示p ；（ii ）若一共询问了5组，用()g p 表示恰有3组被标为B 的概率，试求()g p 的最大值及此时m 的值．17.(本小题满分15分)如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，2AB AD ==，13AA =，11π3BAA BAD DAA ∠=∠=∠=，点P 满足1221333DP DA DC DD =++ ．(1)证明：O ，P ，1B 三点共线；(2)求直线1AC 与平面PAB 所成角的正弦值．18.(本小题满分17分)已知椭圆22:11612x y E +=的左右焦点分别为12,F F ,点A 在椭圆E 上,且在第一象限内,满足1|| 5.AF =(1)求12F AF ∠的平分线所在的直线l 的方程；(2)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异的两点,若存在,请找出这两点；若不存在请说明理由；(3)已知双曲线M 与椭圆E 有共同的焦点,且双曲线M 与椭圆E 相交于1234,,,P P P P ,若四边形1234P P P P 的面积最大时,求双曲线M 的标准方程.19.(本小题满分17分)已知数列{}n a ,记集合()(){}*1,,...,1,,N i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈.（1）若数列{}n a 为1,2,3,写出集合T ；（2）若2n a n =,是否存在*,N i j ∈,使得(),512S i j =？若存在,求出一组符合条件的,i j ；若不存在,说明理由；（3）若n a n =,把集合T 中的元素从小到大排列,得到的新数列为12,,...,,...m b b b ,若2024m b ≤,求m 的最大值．。
打卡第三天-【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练(新高考通用)解析版
【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通用）新高考真题限时训练打卡第三天一、单选题（本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（2020·海南·高考真题）设集合A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B ⋂=（）A ．{1，3，5，7}B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{1，2，3，5，7，8}【答案】C【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【详解】因为A{2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，所以{}2,3,5A B = 故选：C【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.2．（2020·海南·高考真题）()()12i 2i ++=（）A ．45i +B ．5iC ．5i-D ．23i+【答案】B【分析】直接计算出答案即可.【详解】()()212i 2i 2i 4i 2i 5i ++=+++=故选：B【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.3．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A ．2种B ．3种C ．6种D ．8种【答案】C【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C =种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A =种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种故选：C 【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.4．（2019·全国·高考真题）设α，β为两个平面，则//αβ的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．5．（2020·山东·统考高考真题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（）A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.6．（2019·全国·高考真题）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴ 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x \的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．二、多选题（本题共2小题，每小题5分，共10分。
高考数学：专题三 第一讲 等差数列与等比数列配套限时规范训练
专题三 数列、推理与证明 第一讲 等差数列与等比数列（推荐时间：50分钟）一、选择题1．等比数列{a n }的公比q ＝2，a 1＋a 2＋a 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．42B ．63C ．84D ．1682．(2012·浙江)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列3．已知等比数列{}a n 中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8的值为( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 24．在函数y ＝f (x )的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝4x 2C ．f (x )＝log 3xD ．f (x )＝⎝⎛⎭34x5．首项为－24的等差数列{a n }从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( )A.83≤d <3B.83<d <3C.83<d ≤3D.83≤d ≤3 6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．57．已知正项数列{a n }的前n 项的乘积T n ＝⎝⎛⎭⎫14n n62-(n ∈N *)，b n ＝log 2a n ，则数列{b n }的前n 项和S n 中的最大值是( )A ．S 6B ．S 5C ．S 4D ．S 38．(2012·四川)设函数f (x )＝2x －cos x ，{a n }是公差为π8的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 5)＝5π，则[f (a 3)]2－a 1a 5等于( ) A ．0B.116π2C.18π2D.1316π2 二、填空题9．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项a n ＝____________ (n ∈N *)．10．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝______；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝__________.11．(2011·江苏)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．12．在数列{a n }中，a n ＝4n －52，a 1＋a 2＋…＋a n ＝an 2＋bn ＋c ，n ∈N *，其中a ，b 为常数，则ab ＋c ＝______________________________________________________________.三、解答题13．在数1和正实数a 之间插入n 个正实数，使得这n ＋2个数构成等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作b n ，且a n ＝log a b n . (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .14．(2012·山东)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m,92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m .答案1．C 2．C 3．C 4．D 5．C 6．D 7．D 8．D 9．－2n ＋10 10．－2 2n －1－1211. 33 12．－113．解 (1)设t 1，t 2，…，t n ＋2构成等比数列，其中t 1＝1，t n ＋2＝a ，则b n ＝t 1·t 2·…·t n ＋1·t n ＋2，① b n ＝t n ＋2·t n ＋1·…·t 2·t 1.②①×②并利用t i ·t n ＋3－i ＝t 1t n ＋2＝a (1≤i ≤n ＋2)，得b n 2＝(t 1t n ＋2)·(t 2t n ＋1)·…·(t n ＋1t 2)·(t n ＋2t 1)＝a n ＋2，又b n >0，∴b n ＝a()221+n ，a n ＝12(n ＋2)．(2)∵b n ＋1b n ＝()()221321++n n a a ＝a 12(常数)；∴{b n }为等比数列． 当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时，S n ＝2122311a a a n-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-.14．解 (1)因为{a n }是一个等差数列，所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，所以a 4＝28. 设数列{a n }的公差为d ，则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9. 由a 4＝a 1＋3d 得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8(n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若9m <a n <92m ，则9m ＋8<9n <92m ＋8， 因此9m －1＋1≤n ≤92m －1，故得b m ＝92m －1－9m －1. 于是S m ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝9×1－81m 1－81－1－9m1－9＝92m ＋1－10×9m＋180.。
2023新教材高考数学二轮专题复习强化训练3排列组合二项式定理
强化训练3 排列、组合、二项式定理一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2022·山东泰安模拟](x －1x)22展开式中的常数项为( )A ．C 1122 B ．－C 1122 C ．C 1222D ．－C 12222．3名男生2名女生站成一排照相，则2名女生相邻且都不站在最左端的不同的站法共有( )A ．72种B ．64种C ．48种D ．36种3．六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志愿者，则安排方式共有( )A ．15种B ．90种C ．540种D ．720种4．[2022·湖南益阳一模]为迎接新年到来，某中学2022年“唱响时代强音，放飞青春梦想”元旦文艺晚会如期举行．校文娱组委员会要在原定排好的8个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来的8个节目的出场顺序不变，则不同排法的种数为( )A ．36B ．45C ．72D ．905．[2022·山东德州二模]已知a >0，二项式(x ＋ax2)6的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为( )A ．36B ．30C ．15D ．106．[2022·山东淄博一模]若(1－x )8＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 8(1＋x )8，则a 6＝( )A ．－448B ．－112C ．112D ．4487．[2022·河北沧州二模](x －2x－1)5的展开式中的常数项为( )A ．－81B ．－80C ．80D ．1618．[2022·湖北十堰三模]甲、乙、丙、丁共4名学生报名参加夏季运动会，每人报名1个项目，目前有100米短跑、3 000米长跑、跳高、跳远、铅球这5个项目可供选择，其中100米短跑只剩下一个参赛名额，若最后这4人共选择了3个项目，则不同的报名情况共有( )A．224种B．288种C．314种D．248种二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．[2022·河北唐山二模]已知(x－2x2)n的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则( )A．n＝9B．n＝11C．常数项是672D．展开式中所有项的系数和是－110．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( )A．若任意选科，选法总数为C24B．若化学必选，选法总数为C12 C13C．若政治和地理至少选一门，选法总数为C12 C12C13D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为C12 C12＋111．[2022·广东·华南师大附中三模]已知(a＋2b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为( )A．7 B．8C．9 D．1012．[2022·湖北荆州三模]已知二项式(2x－1x)n的展开式中共有8项，则下列说法正确的有( )A．所有项的二项式系数和为128B．所有项的系数和为1C．第4项和第5项的二项式系数最大D ．有理项共3项三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2022·山东烟台三模]若(1－ax )8展开式中第6项的系数为1792，则实数a 的值为________．14．[2022·辽宁辽阳二模]某话剧社计划在今年7月1日演出一部红色话剧，导演已经选好了该话剧的9个角色的演员，还有4个角色的演员待定，导演要从8名男话剧演员中选3名，从5名女话剧演员中选1名，则导演的不同选择共有________种．15．[2022·浙江卷]已知多项式(x ＋2)(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 2＝______，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝______．16．[2022·河北保定一模]2022年北京冬奥会的某滑雪项目中有三个不同的运动员服务点，现需将10名志愿者分配到这三个运动员服务点处，每处需要至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法一共有________种．强化训练3 排列、组合、二项式定理1．解析：（x －1x）22展开式中的常数项为C 1122 （－1）11＝－C 1122 .答案：B2．解析：将2名女生捆绑在一起，故2名女生相邻有A 22 种站法，又2名女生都不站在最左端，故有A 13 种站法，剩下3个位置，站3名男生有A 33 种站法，故不同的站法共有A 22 A 13 A 33 ＝36种． 答案：D3．解析：先从六名志愿者中选择两名志愿者到北京参加活动，有C 26 ＝15种方法，再从剩下的4名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有C 24 ＝6种方法，最后从剩下的2名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有C 22 ＝1种方法．由分步乘法原理得共有15×6×1＝90种方法．答案：B4．解析：采用插空法即可：第1步：原来排好的8个学生节目产生9个空隙，插入1个教师节目有9种排法； 第2步：排好的8个学生节目和1个教师节目产生10个空隙，插入1个教师节目共有10种排法，故共有9×10＝90种排法． 答案：D5．解析：令x ＝1，则可得所有项的系数和为（1＋a ）6＝64且a >0，解得a ＝1， ∵（x ＋1x 2）6的展开式中的通项T k ＋1＝C k 6 x 6－k（1x2）k ＝C k 6 x 6－3k ，k ＝0，1， (6)∴当k ＝2时，展开式中的常数项为C 26 ＝15. 答案：C6．解析：（1－x ）8＝（x －1）8＝[（1＋x ）－2]8＝a 0＋a 1（1＋x ）＋a 2（1＋x ）2＋…＋a 8（1＋x ）8，a 6＝C 28 ·（－2）2＝112.答案：C7．解析：（x －2x －1）5＝（x －2x －1）（x －2x －1）（x －2x －1）（x －2x －1）（x －2x－1），所以展开式中的常数项为（－1）5＋C 15 C 14 ×（－2）×（－1）3＋C 25 C 23 ×（－2）2×（－1）＝－81.答案：A8．解析：分两种情况讨论：①不选100米短跑，四名学生分成2名、1名、1名三组，参加除100米短跑的四个项目中的三个，有C 24 A 34 ＝144种；②1人选100米短跑，剩下三名学生分成2名、1名两组，参加剩下四个项目中的两个，有C 14 C 23 A 24 ＝144种．故他们报名的情况总共有144＋144＝288种． 答案：B9．解析：由C 2n ＝C 7n ，可得n ＝9，则选项A 判断正确；选项B 判断错误； （x －2x2）n 的展开式的通项公式为C k 9 x 9－k （－2）k x －2k ＝（－2）k C k 9 x 9－3k，令9－3k ＝0，则k ＝3，则展开式的常数项是（－2）3C 39 ＝－672.选项C 判断错误； 展开式中所有项的系数和是（1－212）9＝－1.判断正确．答案：AD10．解析：若任意选科，选法总数为C 12 C 24 ，A 错误； 若化学必选，选法总数为C 12 C 13 ，B 正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为C 12 （C 12 C 12 ＋1），C 错误；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为C 12 C 12 ＋1，D 正确． 答案：BD11．解析：当（a ＋2b ）n的展开式中第4项和第5项的二项式系数相等且最大时，n ＝7； 当（a ＋2b ）n的展开式中第5项和第6项的二项式系数相等且最大时，n ＝9； 当（a ＋2b ）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大时，n ＝8. 答案：ABC12．解析：由题设n ＝7，则T k ＋1＝C k 7 （2x ）7－k（－1x）k ＝（－1）k 27－k C k7 x7－3k2，A ．所有项的二项式系数和为27＝128，正确； B ．当x ＝1，所有项的系数和为（2－1）7＝1，正确；C ．对于二项式系数C k 7 ，显然第四、五项对应二项式系数C 37 ＝C 47 最大，正确； D ．有理项为7－3k2∈Z ，即k ＝0，2，4，6共四项，错误．答案：ABC13．解析：因为T 6＝T 5＋1＝C 58 （－ax ）5＝C 58 （－a ）5x 5＝C 38 （－a ）5x 5， 所以有：C 38 （－a ）5＝－56a 5＝1 792， 所以a 5＝－32, 解得a ＝－2. 答案：－214．解析：依题意，可得导演的不同选择的种数为C 38 ·C 15 ＝280. 答案：28015．解析：因为（x ＋2）（x －1）4展开式中x 2的系数为a 2，所以a 2＝C 34 （－1）3＋2C 24 （－1）2＝8.在多项式（x ＋2）（x －1）4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5中，令x ＝0，得a 0＝2；令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0.所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－a 0＝－2.答案：8 －216．解析：根据题意得，这10名志愿者分配到三个运动员服务点处的志愿者数目为2，4，4或3，3，4，所以不同的安排方法共有C 210 C 48 C 44 A 22 A 33 ＋C 410 C 36 C 33 A 22 A 33 ＝22 050. 答案：22 050。
【每日一练】经典高考数学基础训练(3)(含参考答案)
【每日一练】经典高考数学基础训练(3)(含参考答案)一、选择题:1．设集合{ EMBED Equation.DSMT4 |{2,1,0,1,2},{|12},()S T x R x S T =--=∈+≤= S 则CA ．B ．C ．D ．2．已知向量，若与共线，则等于A ．B ．C ．D ．43．函数在=1处的导数等于A ．2B ．3C ．4D ．54．设：，：关于的方程有实数根，则是的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数的最小正周期为，则该函数的图象A ．关于点对称B ．关于直线对称C ．关于点对称D ．关于直线对称6．一个四边形的四个内角成等差数列，最小角为，则最大角为A ．B ．C ．D ．7．函数的零点所在的区间是A ．B ．C ．D ．8．函数的值域是A ．B ．C ．D ．9．如果我们定义一种运算： 已知函数，那么函数的大致图象是10．4只笔与5本书的价格之和小于22元，而6只笔与3本书的价格之和大于24元，则2只笔与3本书的价格比较（ ）A ．2只笔贵B ．3本书贵C ．二者相同D ．无法确定二、填空题:11．函数的单调减区间是；12．定义在R上的奇函数f(x)满足，若则________；13．知抛物线和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，抛物线的顶点为坐标原点，则双曲线的标准方程是.14．设是等比数列的前项和,对于等比数列,有真命题若成等差数列,则成等差数列。
请将命题补充完整,使它也是真命题，命题若成等差数列,则成等差数列(只要一个符合要求的答案即可) 三、解答题已知数列是等差数列，且，是数列的前项和．() 求数列的通项公式及前项和；() 若数列满足，且是数列的前项和，求与．答案一、选择题1.B2.A3.C4.A5.B 6。
A 7.B 8.D 9.B 10.A10.设每支笔x元，每本书y元，有二、填空题：11．（－1，1）12. －1 13.14.案不唯一三、解答题：解：()设数列的公差为，由题意可知：,解得：…………………………3分∴……………………………………5分…………………………………………7分() ………………………………9分……12分。
高考数学专题训练 (3)
专题训练3一、选择题： 1．复数i1iz =-在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2.已知命题:p x R ∃∈,使sin 2x =命题:q x R ∀∈,都有210.x x ++> 给出下列结论： ① 命题“q p ∧”是真命题 ② 命题“q p ⌝∧”是假命题 ③ 命题“q p ∨⌝”是真命题 ④ 命题“q p ⌝∨⌝”是假命题 其中正确的是A ．① ② ③B ．③ ④C ．② ④D ．② ③3．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题正确的是 A.,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ B.,,m n m n αα⊥⊥若则‖C.,,m n m n αα若则‖‖‖D.,,m m αβαβ若则‖‖‖ 4．右图的程序框图输出结果S 等于 A. 20 B. 35 C. 40 D. 455．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.13 B. 23C. 1D.2 6.设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 2a 、4a 是方程220x x --=的两个根，则5S等于 A.52 B.5 C.52- D.-5 7. 已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，双曲线221x y a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是A ．19 B ．125C ．15D ．13 8．甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如图 所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 A ．66 B ．65 C ．64 D ．63俯视图侧视图正视图9.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC A.一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形，也可能是直角三角形10．从集合{1，2，3，4，5}中随机抽取一个数为a ，从集合{1，2，3}中随机抽取一个数为b ，则b a >的概率是A ．45 B ．35 C ．25 D ．1511．把函数x x y cos 3sin -=的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π12．定义在R 上的奇函数)(x f 对任意R x ∈都有)4()(+=x f x f ，当 )0,2(-∈x 时，x x f 2)(=，则)2011()2012(f f -的值为 A ． 21- B ．21C ．2D ．2-二、填空题.本大题共有4个小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在答题卡的相应位置.13．某个容量为100的样本的频率分布直方图如图所示，则数据在区间[8,10)上的频数是14.设变量y x ,满足约束条件311x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩,则目标函数42z x y =+的最大值为15.已知圆224260x y x y +---=的圆心在直线022=-+ab by ax 上,其中0,0>>b a ，则ab 的最小值是16.已知向量a ),cos 21x x --=（,b ),1(t =，若函数=)(x f b a ⋅在区间)2,0(π上存在增区间，则t 的取值范围为一、选择题: BDBAC AADCD DA二、填空题: 13. 30 14. 10 15. 4 16. )21,∞-（。
【高考冲刺】普通高等学校招生全国统一考试高考模拟卷(三)-理科数学(附答案及答题卡)
上有
且仅有"个零点$则符合条件的正整数 的值为!!!!!! 三解答题共7$分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
一必考题共6$分
!7!本小题满分!#分
如图所示$在平面四边形 "$)+ 中$+"*"$$)+)"5)
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'&回答第卷时$将答案写在答题卡上$写在本试卷上无效# (&考试结束后$将本试卷和答题卡一并交回#
第卷
一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一
项是符合题目要求的
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高考数学全程考评特训卷滚动过关检测三集合常用逻辑用语不等式函数与导数三角函数与解三角形含解析
滚动过关检测三 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2022·河北保定模拟]已知P ＝{1,2,3}，Q ＝{y |y ＝2cos θ，θ∈R }，则P ∩Q ＝( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{2,3} D ．{1,2,3}2．[2022·广东清远一中月考]“cos α＝32”是“cos 2α＝12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知a ＝log 35，b ＝log 23，c ＝2－0.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．c <a <bD ．a <b <c4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 5．[2022·山东淄博模拟]函数f (x )＝(e x＋e －x)tan x 的部分图象大致为( )6．[2022·河北衡水中学模拟]已知cos θ－sin θ＝43，则θ的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．[2022·湖南株洲模拟]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若23a cos C －3b cos C ＝3c cosB ，则角C 的大小为( )A.π6B.π4 C.π3 D.2π38．[2022·皖南八校联考]已知函数f (x )＝(3a )x－x 3a(a >1)，当x ≥2e 时，f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围为A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e 3，＋∞ C ．(1，e) D.⎝⎛⎦⎥⎤1，2e 3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列说法正确的有( )A ．终边在y 轴上的角的集合为θ⎪⎪⎪θ＝π2＋2k π，k ∈ZB ．已知3a ＝4b＝12，则1a ＋1b＝1C ．已知x ，y ∈R ＋，且1x ＋4y＝1，则x ＋y 的最小值为8D ．已知幂函数f (x )＝kx a的图象过点(2,4)，则k ＋a ＝3 10．[2022·辽宁丹东模拟]已知a ，b ∈R ，且3a <3b<1，则( ) A ．a 2<b 2B ．ln|a |>ln|b |C.b a ＋ab>2 D ．a ＋b ＋2ab >011．[2022·河北石家庄一中月考]对于△ABC ，有如下判断，其中正确的判断是( ) A ．若cos A ＝cos B ，则△ABC 为等腰三角形B ．若△ABC 为锐角三角形，有A ＋B >π2，则sin A ＞cos BC ．若a ＝8，c ＝10，B ＝60°，则符合条件的△ABC 有两个D ．若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 是钝角三角形12．[2022·辽宁沈阳模拟]函数f (x )为定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝x [f (x )－f (2)]，则( )A ．函数h (x )＝f (x )cos x 为奇函数B ．f (x )的解析式可能是f (x )＝e x＋e －x－x 2C ．函数g (x )有且只有3个零点D ．不等式g (x )≤0的解集为[－2,2]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0log 2x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. 14．[2022·湖北石首一中月考]在△ABC 中，已知sin A sin B sin C ＝357，则此三角形最大内角度数为________．15．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝________. 16．[2022·浙江杭州模拟]函数f (x )＝2x－x 2的零点个数为________，若函数f (x )＝a x －x 2(a >1)恰有两个零点，则a ＝________.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)[2022·北京海淀模拟]设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＝3b cos A . (1)求角A 的大小；(2)再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△ABC 的面积． 第①组条件：a ＝19，c ＝5； 第②组条件：cos C ＝13，c ＝42；第③组条件：AB 边上的高h ＝3，a ＝3.18．(12分)[2022·山东日照模拟]已知函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．19．(12分)[2021·新高考Ⅰ卷]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b 2＝ac ，点D 在边AC 上，BD sin∠ABC ＝a sin C .(1)证明：BD ＝ b ； (2)若AD ＝2DC ，求cos∠ABC .20．(12分)已知：f (x )＝3sin(π＋x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x －12.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝1，a ＝2，求△ABC 面积的最大值．21.(12分)[2022·湖北九师联盟]已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－x ＋1. (1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的极值；(2)证明：有且只有两条直线与函数f (x )，g (x )的图象都相切．22．(12分)[2022·广东茂名五校联考]已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－ax . (1)当a ＝3时，求曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程；(2)若x 1，x 2(x 1<x 2)是函数f (x )的两个极值点，证明：f (x 1)－f (x 2)>ln a 28＋64－a 416a2.滚动过关检测三 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形1.答案：B解析：因为P ＝{1,2,3}，Q ＝{y |y ＝2cos θ，θ∈R }＝{y |－2≤y ≤2}，所以P ∩Q ＝{1,2}． 2．答案：A解析：由cos2α＝12可得2cos 2α－1＝12，解得：cos α＝±32，所以“cos α＝32”是“cos2α＝12”的充分不必要条件． 3．答案：C解析：因为1<log 35<log 3332＝1.5，log 23>log 2232＝1.5，所以a <b ，又因为c ＝2－0.3<20<1，故c <a <b .4．答案：B解析：∵f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2，A >0，∴A ＝2；∵f (x )最小正周期T ＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫13π12－π3＝π，∴ω＝2πT ＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)， ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π－2π3(k ∈Z )， 又|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.5．答案：D解析：因为f (x )＝(e x ＋e －x)tan x ，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，定义域关于原点对称，且f (－x )＝(e x＋e －x)tan(－x )＝－f (x )， 所以函数为奇函数，故排除C 选项， 当x ＝0时，f (0)＝0，故排除B 选项； 当x ＝1时，f (1)>0，故排除A. 6．答案：D解析：由cos θ－sin θ＝43，平方得：sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝169，则1－sin2θ＝169，即sin2θ＝－79<0，则2k π＋π<2θ<2k π＋32π或2k π＋32π<2θ<2k π＋2π，k ∈Z ，即有k π＋π2<θ<k π＋34π或k π＋34π<θ<k π＋π，k ∈Z ，当k 为偶数时，θ位于第二象限，sin θ>0，cos θ<0，cos θ－sin θ<0，不成立， 当k 为奇数时，θ位于第四象限，sin θ<0，cos θ>0，成立． ∴角θ的终边在第四象限． 7．答案：A解析：因为23a cos C －3b cos C ＝3c cos B ，所以23sin A cos C －3sin B cos C ＝3sin C cos B ，所以23sin A cos C ＝3sin(C ＋B )＝3sin A ，因为A ，C ∈(0，π)，所以sin A ≠0，cos C ＝32，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6.8．答案：D解析：f (x )≥0即(3a )x ≥x 3a ，则x ln(3a )≥3a ln x ，则ln3a 3a≥ln x x ，令g (x )＝ln x x (x ≥1)，g ′(x )＝1－ln xx2(x ≥1)，当x ∈(1，e)，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(e，＋∞)，g ′(x )<0，g (x )单调递减，∵a >1，∴3a >3>e ，又g (3a )≥g (x )，∴3a ≤x (x ≥2e)恒成立，∴a ∈⎝⎛⎦⎥⎤1，2e 3.9．答案：BD解析：终边在y 轴上的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪θ＝π2＋k π，k ∈Z ，故选项A 不正确；因为3a ＝4b＝12，所以a ＝log 312，b ＝log 412，则1a ＋1b＝log 123＋log 124＝log 1212＝1，故选项B 正确；因为x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝5＋y x ＋4x y≥5＋2y x ·4xy＝9，当且仅当y ＝2x ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为9，故选项C 不正确；因为幂函数f (x )＝kx a的图象过点(2,4)，所以k ＝1,2a＝4，即a ＝2，所以k ＋a ＝3，故选项D 正确．10．答案：BC解析：已知a ，b ∈R ，且3a<3b<1，所以a <b <0，对于A 选项，a 2>b 2，故错误；对于B 选项，|a |>|b |，y ＝ln x 为增函数，所以ln|a |>ln|b |，故正确；对于C 选项，b a ，a b 均为正数，且不相等，所以b a ＋a b>2，故正确；对于D 选项，a ＋b ＝－(－a －b )<－2－a－b，所以a ＋b ＋2ab ＜0，故错误．11．答案：ABD解析：若cos A ＝cos B ，则b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22ac，整理得：a ＝b ，故△ABC 为等腰三角形，故A 正确；若△ABC为锐角三角形，有A ＋B >π2，整理得A >π2－B ，故sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，则sin A ＞cos B ，故B 正确；由于a ＝8，c ＝10，B ＝60°，利用余弦定理求出b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝221，故△ABC 唯一，故C 错误；sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，利用正弦定理：a 2＋b 2＜c 2，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，故C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故△ABC 是钝角三角形，故D 正确．12．答案：BC解析：对A ，因为y ＝cos x 是偶函数，且f (x )为定义在R 上的偶函数，所以h (x )＝f (x )cos x 为偶函数，故A 错误；对B ，f (x )＝e x＋e －x－x 2，f (－x )＝e －x＋e x －x 2＝f (x )，则此函数满足f (x )是偶函数，f ′(x )＝e x －e －x－2x ，f ″(x )＝e x ＋e －x －2≥2－2＝0，所以f ′(x )为R 上的增函数，在[0，＋∞)上，f ′(x )≥f ′(0)＝0，所以此函数也满足在[0，＋∞)上单调递增，故B 正确；对C ，设函数h (x )＝f (x )－f (2)，h (2)＝f (2)－f (2)＝0＝h (－2)，所以h (x )在R 上有且只有两个零点，当x ＝0时，g (0)＝0，所以g (x )＝x [f (x )－f (2)]在R 上有且只有三个零点，故C 正确；对D ，因为x [f (x )－f (2)]≤0，所以当x <0时，f (x )－f (2)≥0，则x ≤－2；当x ≥0时，f (x )－f (2)≤0，即f (x )≤f (2)，可得0≤x ≤2，故x [f (x )－f (2)]≤0的解集为(－∞，－2]∪[0,2]，故D 错误．13．答案：12解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0log 2x ，x >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212＝－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ()－1＝12.14．答案：120°解析：在△ABC 中，利用正弦定理可得：a b c ＝357，∴△ABC 的最大内角为∠C ，不妨设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 230k 2＝－12， ∵0°<∠C <180°，∴∠C ＝120°. 15．答案：－119解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝13，∴sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝89，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝－13.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝－13－89＝－119.16．答案：3 e 2e解析：函数f (x )＝2x －x 2的零点个数，即y ＝2x 与y ＝x 2两个函数图象的交点个数，根据指数函数与二次函数的图象，当x ≤0时，y ＝2x 单调递增，值域为(0,1]，而y ＝x 2单调递减，值域为[0，＋∞)，两个函数图象有一个交点；当x >0时，f (2)＝22－22＝0，f (4)＝24－42＝0，函数f (x )有两个零点； 综上，函数f (x )＝2x －x 2的零点个数为3个．函数f (x )＝a x －x 2(a >1)恰有两个零点，等价于y ＝a x (a >1)与y ＝x 2两个函数图象恰有两个交点． 因为指数函数y ＝a x (a >1)图象与抛物线y ＝x 2在(－∞，0]上有且只有一个交点， 即函数f (x )＝a x －x 2(a >1)在(－∞，0]上有且只有一个零点， 所以问题转化为：当x >0时，f (x )＝0，即a x＝x 2有且只有一个实根，方程两边取对数，可得x ln a ＝2ln x ，从而问题等价于该方程有且只有一个实根， 即直线y ＝x ln a 与曲线y ＝2ln x 有且只有一个公共点， 所以直线y ＝x ln a 为曲线y ＝2ln x 的切线，设切点为(m,2ln m )，由y ′＝2x ，则切线的斜率为2m＝ln a ，又切点(m,2ln m )在切线y ＝x ln a 上，则2ln m ＝m ln a ， 联立求解得a ＝e 2e.17．解析：(1)由a sin B ＝3b cos A ⇒sin A sin B ＝3sin B cos A ，因为sin B ≠0，化简得tan A ＝3，A ＝π3.(2)若选①，则a ＝19，c ＝5，A ＝π3，由余弦定理可得2bc cos A ＝b 2＋c 2－a 2，代入数据化简得b ＝2或3，根据大边对大角原则判断，b ＝2或3都成立，故选①不成立；若选②，则cos C ＝13，c ＝42，A ＝π3，求得sin C ＝223，由正弦定理可得a sin A ＝csin C ，解得a ＝33，由sin B＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝3＋226， 因为A ＝π3，cos C ＝13，C 唯一，则B 唯一，三角形存在且唯一确定，S △ABC ＝12ac sin B ＝12×33×42×3＋226＝32＋43；若选③，由AB 边上的高h ＝3可得sin A ＝hb，解得b ＝2，又a ＝3，由余弦定理可得2bc cos A ＝b 2＋c 2－a 2，代值化简得c ＝1＋6或1－6(舍去)，三角形存在且唯一确定，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×(1＋6)×32＝3＋322.18．解析：(1)由图可知，函数f (x )图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，故cos φ＝32， 由于0＜φ＜π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，令πx ＋π6＝k π(k ∈Z )，则x ＝k －16(k ∈Z )，令k ＝1，得x ＝56，由图可知，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32与⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，32关于直线x ＝56对称，所以0＋x 02＝56，解得x 0＝53. (2)g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sinπx＝cosπx cos π6－sinπx sin π6－sinπx＝－32sinπx ＋32cosπx＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋5π6，由－12≤x ≤13得－π2≤πx ≤π3，π3≤πx ＋5π6≤7π6，所以g (x )的最大值为3sinπ2＝3，最小值为3sin 7π6＝－32. 19．解析：(1)由题设，BD ＝a sin C sin∠ABC ，由正弦定理知：c sin C ＝b sin∠ABC ，即sin C sin∠ABC ＝cb，∴BD ＝acb，又b 2＝ac ， ∴BD ＝b ，得证．(2)由题意知：BD ＝b ，AD ＝2b 3，DC ＝b 3， ∴cos∠ADB ＝b 2＋4b 29－c 22b ·2b 3＝13b 29－c 24b 23，同理cos∠CDB ＝b 2＋b 29－a 22b ·b 3＝10b 29－a22b 23， ∵∠ADB ＝π－∠CDB ，∴13b 29－c 24b 23＝a 2－10b 292b 23，整理得2a 2＋c 2＝11b 23，又b 2＝ac ， ∴2a 2＋b 4a 2＝11b 23，整理得6a 4－11a 2b 2＋3b 4＝0，解得a 2b 2＝13或a 2b 2＝32，由余弦定理知：cos∠ABC ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝43－a 22b2，当a 2b 2＝13时，cos∠ABC ＝76>1不合题意；当a 2b 2＝32时，cos∠ABC ＝712； 综上，cos∠ABC ＝712.20．解析：(1)因为f (x )＝3sin(π＋x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x －12，所以f (x )＝3(－sin x )(－cos x )＋sin 2x －12＝32sin2x ＋1－cos2x 2－12＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )；(2)因为f (A )＝1，所以f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，又因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，在三角形ABC 中，利用余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－42bc ＝12，整理得：b 2＋c 2－4＝bc ，又因为b 2＋c 2≥2bc ，所以b 2＋c 2－4≥2bc －4，即bc ≥2bc －4， 所以bc ≤4，当且仅当b ＝c 时等号成立，S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ，所以S △ABC ≤3，当且仅当a ＝b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值 3.21．解析：(1)h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －x 2＋x －1的定义域为(0，＋∞)， 且h ′(x )＝1x －2x ＋1＝－2x 2＋x ＋1x＝－x －12x ＋1x.当0<x <1时，h ′(x )>0；当x >1时，h ′(x )<0，所以h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以x ＝1是h (x )的极大值点， 故h (x )的极大值为h (1)＝－1，没有极小值.(2)证明：设直线l 分别切f (x )，g (x )的图象于点(x 1，ln x 1)，(x 2，x 22－x 2＋1)， 由f ′(x )＝1x ，得l 的方程为y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，即l ：y ＝1x 1·x ＋ln x 1－1；由g ′(x )＝2x －1，得l 的方程为y －(x 22－x 2＋1)＝(2x 2－1)(x －x 2)， 即l ：y ＝(2x 2－1)x －x 22＋1. 比较l 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝2x 2－1ln x 1－1＝－x 22＋1，消去x 2，得ln x 1＋1＋x 124x 21－2＝0.令F (x )＝ln x ＋1＋x24x2－2(x >0)，则F ′(x )＝1x －1＋x2x3＝2x ＋1x －12x3.当0<x <1时，F ′(x )<0；当x >1时，F ′(x )>0，所以F (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以F (x )min ＝F (1)＝－1<0.因为F (e 2)>ln(e 2)－2＝0，所以F (x )在(1，＋∞)上有一个零点；由F (x )＝ln x ＋12x ＋14x 2－74，得F (e －2)＝－2＋e 22＋e 44－74＝e 2－42＋e 4－74>0，所以F (x )在(0,1)上有一个零点． 所以F (x )在(0，＋∞)上有两个零点，故有且只有两条直线与函数f (x )，g (x )的图象都相切． 22．解析：(1)a ＝3时，f (x )＝ln x ＋x 2－3x ，f (1)＝－2， 所以切点坐标为P (1，－2)．f ′(x )＝1x＋2x －3，f ′(1)＝0，于是所求切线的斜率k ＝0. 又因为所求切线过点P (1，－2)，所以曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝－2. (2)f ′(x )＝2x 2－ax ＋1x，∵x 1，x 2是函数f (x )的两个极值点， ∴x 1，x 2是函数f ′(x )两个大于0的零点， ∴x 1，x 2是方程2x 2－ax ＋1＝0的两个不同正解，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝a2 ①x 1x 2＝12 ②，且⎩⎪⎨⎪⎧a 2>0Δ＝a 2－8>0⇒a >2 2.由①，②可得x 1－x 2＝x 1－12x 1，x 1＋x 2－a ＝x 1＋x 2－2(x 1＋x 2)＝－(x 1＋x 2)＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12x 1， 所以f (x 1)－f (x 2)＝ln x 1＋x 21－ax 1－ln x 2－x 22＋ax 2＝ln x 1x 2＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2－a )＝ln(2x 21)－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－12x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12x 1＝ln(2x 21)－⎝⎛⎭⎪⎫x 21－14x 21＝ln(2x 21)＋1－4x 414x 21. 又∵x 1<x 2且x 1＋x 2＝a 2，∴0<x 1<a4.令2x 21＝t ⎝⎛⎭⎪⎫0<t <a 28，则f (x 1)－f (x 2)＝ln t ＋1－t 22t . 构造函数h (t )＝ln t ＋1－t 22t ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<t <a 28，h ′(t )＝1t －1＋t 22t 2＝－t －122t2≤0，∴h (t )是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 28上的减函数．∴h (t )>h ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 28，且t →a 28时，h (t )→h ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 28，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 28＝ln a 28＋64－a 416a 2，∴f (x 1)－f (x 2)>ln a 28＋64－a 416a2.。
全品高考数学考前专题限时训练含答案作业手册
全品高考数学考前专题限时训练含答案(基础+提升)作业手册(共75页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-专题限时集训(一)[第1讲 集合与常用逻辑用语](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．已知全集U ＝{x ∈Z |1≤x ≤5}，集合A ＝{1，2，3}，∁U B ＝{1，2}，则A ∩B ＝( )A ．{1，2}B ．{1，3}C ．{3}D ．{1，2，3}2．命题“对任意x ∈R ，都有x 3＞x 2”的否定是( )A ．存在x 0∈R ，使得x 30＞x 2B ．不存在x 0∈R ，使得x 30＞x 2C ．存在x 0∈R ，使得x 30≤x 2D ．对任意x ∈R ，都有x 3≤x 23．若p ：(x －3)(x －4)＝0，q ：x －3＝0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知集合M ＝{x |x ≥x 2}，N ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，则M ∩N ＝( ) A ．(0，1) B ．[0，1] C ．[0，1) D ．(0，1]5．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x 2－x ＝0}，则集合A ∩B 的子集个数是________．提升训练6．已知全集I ＝{1，2，3，4，5，6}，集合M ＝{3，4，5}，N ＝{1，2，3，4}，则图11中阴影部分表示的集合为( )图11A ．{1，2}B ．{1，2，6}C ．{1，2，3，4，5}D ．{1，2，3，4，6}7．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＝0，x ∈R ，则满足A ∪B ＝{－1，0，1}的集合B 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．98．命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是( )A ．若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠acB ．若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠acC ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列D ．若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列9．已知集合M ＝{y |y ＝lg(x 2＋1)}，N ＝{x |4x＜4}，则M ∩N 等于( ) A ．[0，＋∞) B ．[0，1) C ．(1，＋∞) D ．(0，1]10．已知集合M ＝{x |x 2－3x ＝0}，集合N ＝{x |x ＝2n －1，n ∈Z }，则M ∩N ＝( ) A ．{3} B ．{0} C ．{0，3} D ．{－3}11．若a ，b 为实数，则“ab ＜1”是“0＜a ＜1b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 12．给出如下四个判断： ①∃x 0∈R ，e x 0≤0；②∀x ∈R ＋，2x ＞x 2；③设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1＜0，B ＝{x |x 2－2x ＋1－a 2＜0，a ≥0}，则“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的必要不充分条件；④a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a －b |＞1，则π3＜θ≤π．其中正确判断的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．413．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是________________________________________________________________________．14．若集合P ＝{0，1，2}，Q ＝(x ，y )⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＞0，x －y －2＜0，x ，y ∈P ，则集合Q 中元素的个数是__________．15．命题“存在实数x ，使得不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1≤0”是假命题，则实数m 的取值范围是________．专题限时集训(二)[第2讲 平面向量与复数](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．复数5i1＋2i的虚部是( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i2．若复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则在复平面内z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．在△ABC 中，“AB →·BC →＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．向量a ＝(3，－4)，向量|b|＝2，若a·b ＝－5，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．π3 B ．π6C ．2π3D ．3π45．已知平面向量a ，b ，若|a |＝3，|a －b |＝13，a ·b ＝6，则|b |＝________，向量a ，b 夹角的大小为________．提升训练6．复数5i －2的共轭复数是( )A ．－2＋iB ．2＋iC ．－2－iD ．2－i7．在复平面内，复数z ＝(1＋2i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8．已知复数z 1＝(2－i)i ，复数z 2＝a ＋3i(a ∈R )．若复数z 2＝kz 1(k ∈R )，则a ＝( )A ．32B ．1C ．2D ．139．如果复数2－b i1＋2i(b ∈R ，i 为虚数单位)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A ． 2B ．23C ．－23D ．210．已知△ABC 的三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为AB 边上任意一点，则CP →·(BA →－BC →)的最大值为( )A ．8B ．9C ．12D ．1511．已知向量a ·(a ＋2b )＝0，|a |＝|b |＝1，且|c －a －2b|＝1，则|c |的最大值为( )A ．2B ．4C ．5＋1D ．3＋112．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若（1＋a i ）（1－i ）b ＋i＝2－i ，则a ＋b i ＝________．13．在△ABC 中，AB ＝2，D 为BC 的中点．若AD →·BC →＝－32，则AC ＝________．14．已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若DE →＝2EC →，CF →＝2FB →，则AE →·AF →的值为________．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(3，a )，a ∈R ，点P 满足OP →＝λOA →，λ∈R ，|OA →|·|OP →|＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．专题限时集训(三)[第3讲 不等式与线性规划](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋1)＞0}，则A ∩B ＝ ( ) A ．(0，1) B ．(1，2)C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．已知全集U ＝R ，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1＜0，N ＝{x |x 2－x ＜0}，则集合M ，N 的关系用图示法可以表示为( )图313．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则目标函数z ＝x －2y 的最大值为( )A ．32 B ．1 C ．－12D ．－24．若a ＜b ＜0，则下列不等式不成立的是( )A ．1a －b ＞1aB ．1a ＞1bC ．|a |＞|b |D ．a 2＞b 25．若x ＞0，y ＞0，则x ＋yx ＋y 的最小值为( )A ． 2B ．1C ．22D ．12提升训练6．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＜0}，集合B ＝{x |2x ＋1＞1}，则∁B A ＝( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)7．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋5≤0}，B ＝{y |y ＝2x＋2}，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．[1，2) C ．[1，5] D ．(2，5]8．已知向量a ＝(m ，1－n )，b ＝(1，2)，其中m ＞0，n ＞0．若a ∥b ，则1m ＋1n的最小值是( )A ．2 2B ．3＋22C ．4 2D ．3＋29．已知M (x ，y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ＋1≥0，2x ＋y －4≤0表示的平面区域内的动点，则(x ＋1)2＋(y＋1)2的最大值是( )A ．10B ．495C ．13D ．1310．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a 2＋b 2＝3c 2，则cos C 的最小值为( )A ．12B ．14C ．32 D ．2311．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，x ＋2y －a ≤0，若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为6，则a ＝________．12．已知x ，y 均为正实数，且xy ＝x ＋y ＋3，则xy 的最小值为________．13．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，则x ＋2y －6x －4的最大值是________．14．已知函数f (x )＝x (x －a )(x －b )的导函数为f ′(x )，且f ′(0)＝4，则a 2＋2b 2的最小值为________．15．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为8，则ab 的最大值为________．专题限时集训(四)[第4讲 算法、推理证明、排列、组合与二项式定理](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．给出下面类比推理的命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”，类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”，类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”，类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”； ④“若x ∈R ，则|x |<1⇒－1<x <1”，类比推出“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1”． 其中类比正确的为( ) A ．①② B ．①④ C ．①②③ D ．②③④2．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 展开式中的常数项是( )A ．15B ．60C ．120D ．2403．执行如图41所示的程序框图，其输出结果是( )A ．－54B ．12C ．54D ．－124．现有3位男生和3位女生排成一行，若要求任何两位女生和任何两位男生均不能相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的排法总数是( )A ．20B ．40C ．60D ．805．观察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…．根据上述规律，第n 个等式为____________．提升训练6．阅读如图42所示的程序框图，若输入n 的值为1，则输出的S 的值为( ) A ．176 B ．160 C ．145 D ．1177．已知a n ＝3n ＋2，n ∈N *，如果执行如图43所示的程序框图，那么输出的S 等于( )A ．B ．37C ．185 D8．阅读如图44所示的程序框图，则输出s 的值为( ) A ．12 B ．32C ．－ 3D ．39．6个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为( )A ．12B ．18C ．24D ．3610．⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 的展开式中各项系数之和为A ，所有偶数项的二项式系数和为B ．若A ＋B ＝96，则展开式中含有x 2的项的系数为 ( )A ．－540B ．－180C ．540D ．18011．对任意实数x ，都有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2＝________． 12．航天员拟在太空授课，准备进行标号为0，1，2，3，4，5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，且最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________．(用数字作答)13．观察下列等式： 121＝1，12＋221＋2＝53，12＋22＋321＋2＋3＝73，12＋22＋32＋421＋2＋3＋4＝93，则第n 个等式为__________________．14．阅读如图45所示的程序框图，若输入i ＝5，则输出的k 的值为________．图4515．有n个球(n≥2，n∈N*)，任意将它们分成两堆，求出两堆球数的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出这两堆球数的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求出这两堆球数的乘积，直到不能分为止，记所有乘积之和为S n．例如，对于4个球有如下两种分法：(4)→(1，3)→(1，1，2)→(1，1，1，1)，此时S4＝1×3＋1×2＋1×1＝6；(4)→(2，2)→(1，1，2)→(1，1，1，1)，此时S4＝2×2＋1×1＋1×1＝6．于是发现S4为定值6，则S5的值为________．专题限时集训(五)A[第5讲 函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．已知定义在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ∈R ，（1－i ）x ，x ∉R ，则f (1＋i)＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．2＋i2．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 B ．y ＝sin x C ．y ＝x 3D ．y ＝log 12x3．已知a ＝，b ＝，c ＝log 23则( ) A ．a ＞b ＞c B ．c ＞b ＞a C ．c ＞a ＞b D ．a ＞c ＞b4．已知函数y ＝f (2x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4 x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝________．提升训练6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x，则f (－3)＝( )A ．18B ．－18C ．8D ．－87．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，x 12，x ＞0，若f (x )＞1，则x 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)8．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减，且是偶函数的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝－x 3C ．y ＝－lg|x |D ．y ＝2x9．设a ＝log 32，b ＝log 23，c ＝log 125，则( )A ．c ＜b ＜aB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a10．定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1．若函数y ＝|log 2x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0，2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为( )A ．152B ．154C ．3D ．3411．设函数f (x )＝2C 图5112．已知函数f (x )对定义域内的任意x ，都有f (x ＋2)＋f (x )＜2f (x ＋1)，则函数f (x )可以是( )A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝x sin x13．函数f (x )＝16－x －x2的定义域是________． 14．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (m )＜f (1) 的实数m 的取值范围是________．15．设函数f (x )＝a ln x ＋b lg x ＋1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2014)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12014＝________．专题限时集训(五)B[第5讲 函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“函数y ＝|f (x )|的图像关于y 轴对称”是“y ＝f (x )为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列函数中，既是偶函数又在区间(1，2)上单调递增的是( ) A ．y ＝log 2|x | B ．y ＝cos 2xC ．y ＝2x －2－x 2D ．y ＝log 22－x 2＋x3．f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝( ) A ．0 B ．3 C ．－1 D ．－24．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝( )A ．12B ．45C ．2D ．95．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________．提升训练6．函数y ＝1x －sin x的大致图像是( )AC 图527．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f （x ），则f (2014)＝( )A ．－2－ 3B ．－2＋3C ．2－ 3D ．2＋38．设a ＝14，b ＝log 985，c ＝log 83，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2012x －1＝3x ，则f (2014)＝( )A ．0B ．2010C ．－2010D ．201410．已知函数y ＝f (x )，若对于任意的正数a ，函数g (x )＝f (x ＋a )－f (x )都是其定义域上的增函数，则函数y ＝f (x )可能是( )A ．y ＝2xB ．y ＝log 3(x ＋3)C ．y ＝x 3D ．y ＝－x 2＋4x －611．若a ＞2，b ＞2，且12log 2(a ＋b )＋log 22a ＝12log 21a ＋b ＋log 2b2，则log 2(a －2)＋log 2(b －2)＝( )A ．2B ．1C ．12D ．0 12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )在区间(－∞，a )上是增函数，且函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1＜a ，x 2＞a ，且|x 1－a |＜|x 2－a |时，有( )A ．f (x 1)＞f (x 2)B ．f (x 1)≥f (x 2)C ．f (x 1)＜f (x 2)D ．f (x 1)≤f (x 2)13．若x ，y ∈R ，设M ＝x 2－2xy ＋3y 2－x ＋y ，则M 的最小值为________．14．设函数f (x )的定义域为D ，若存在非零实数l ，使得对于任意x ∈M (M ⊆D )，有x ＋l ∈D ，且f (x ＋l )≥f (x )，则称f (x )为M 上的“l 高调函数”．如果定义域是[0，＋∞)的函数f (x )＝(x －1)2为[0，＋∞)上的“m 高调函数”，那么实数m 的取值范围是________． 15．函数f (x )＝2sin πx 与函数g (x )＝3x －1的图像的所有交点的橫坐标之和为________．专题限时集训(六)[第6讲 函数与方程、函数模型及其应用](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．函数f (x )＝2x＋4x －3的零点所在的区间是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 3．函数f (x )＝tan x －1x 在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数f (x )与g (x )的图像在R 上连续，由下表知方程f (x )＝g (x )的实数解所在的区间是( )A ．(－1C ．(1，2) D ．(2，3)5．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点为x ＝2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是x ＝0和x ＝________．提升训练6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)7．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝2x－12x ＋a ，则函数f (x )的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数f (x )＝4－a x ，g (x )＝4－log b x ，h (x )＝4－x c的图像都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，若函数f (x )，g (x )，h (x )的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝( )A ．76B ．65C ．54D ．329．若直角坐标平面内的两个不同的点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图像上；②P ，Q 关于原点对称．则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(注：点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ＞0，－x 2－4x ，x ≤0，则此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对10．若关于x 的方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x －kx －1＝0有五个互不相等的实根，则k 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，14 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－18∪⎝ ⎛⎭⎪⎫18，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 11．已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________．12．已知定义在R 上的函数f (x )为增函数，且对任意x ∈(0，＋∞)，有f [f (x )－log 2x ]＝1恒成立，则函数f (x )的零点为________．13．已知函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，若函数f (x )＝2x ·g (ln x )＋1－x 2，则函数f (x )的零点个数为________．14．已知函数f (x )＝2x，x ∈R ．(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 分别有一个解、两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．15．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图61所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度)．(1)求θ关于x的函数关系式．(2)已知对花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比值为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？16．如图62所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径r＝310 mm，滴管内液体忽略不计．(1)如果瓶内的药液恰好156 min滴完，问每分钟滴下多少滴？(2)在条件(1)下，设开始输液x min后，瓶内液面与进气管的距离为h cm，已知当x＝0时，h＝13，试将h表示为x的函数．(注：1 cm3＝1000 mm3)专题限时集训(七)[第7讲 导数及其应用](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－4 C ．－2 D ．22．曲线f (x )＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( ) A ．(1，0) B ．(2，8)C ．(2，8)或(－1，－4)D ．(1，0)或(－1，－4)3．如图71所示，阴影区域是由函数y ＝cos x 的一段图像与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是( )A ．1B ．2C ．π2 D ．π4．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A ．12B ．1C ．－2D ．3 5．曲线y ＝ln x －1在x ＝1处的切线方程为____________．提升训练6．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝( )A ．1B ．12C ．0D ．－17．函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图像大致是( )D图728．如图73所示，长方形的四个顶点为O (0，0)，A (4，0)，B (4，2)，C (0，2)，曲线y ＝x 经过点B ．现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是( )A ．512B ．12C ．23D ．349．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在区间[－1，1]上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．0＜a ＜34B ．12＜a ＜34C ．a ≥34D ．0＜a ＜1210．方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫作函数f (x )的“新驻点”．如果函数g (x )＝x ，h (x )＝ln (x ＋1)，φ(x )＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是( )A ．α<β<γB ．α<γ<βC ．γ<α<βD ．β<α<γ11．已知定义在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有f (x )＜f ′(x )·tan x 成立，则( )A ．3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＞2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 B ．f (1)＜2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin 1 C ．2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 D ．3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 12．函数f (x )＝2ln x ＋x 2在点x ＝1处的切线方程是________．13．由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，x ＝1围成的封闭图形的面积为________．14．已知函数f (x )＝x 2＋2x ，g (x )＝x e x． (1)求f (x )－g (x )的极值；(2)当x ∈(－2，0)时，f (x )＋1≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围．15．已知函数f(x)＝x ln x．(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，且x1≠x2，证明：f（x2）－f（x1）x2－x1＜f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22．16．设函数f(x)＝e x－ax－2．(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，k为整数，且当x＞0时，(x－k)f′(x)＋x＋1＞0恒成立，求k的最大值．专题限时集训(八)[第8讲 三角函数的图像与性质](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．函数y ＝sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 的最小正周期是( ) A ．π2B ．2πC ．πD ．4π2．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈R )的图像上所有的点向左平移π4个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍，所得的函数图像的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π12(x ∈R ) B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋5π12(x ∈R ) C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π12(x ∈R ) D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋5π24(x ∈R ) 3．为了得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，可将函数y ＝sin 2x 的图像( ) A ．向左平移5π6 B ．向右平移 5π6C ．向左平移 5π12D ．向右平移5π124．已知向量a ＝(sin θ，cos θ)，b ＝(2，－3)，且a ∥b ，则tan θ＝________．5．若点P (cos α，sin α) 在直线y ＝－2x 上，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________． 提升训练6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)的部分图像如图81所示，其 中A ，B 两点之间的距离为5，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[6k －1，6k ＋2](k ∈Z )B ．[6k －4，6k －1](k ∈Z )C ．[3k －1，3k ＋2](k ∈Z )D ．[3k －4，3k －1](k ∈Z )7． 已知P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上异于坐标原点O 的任意一点，直线OP 的倾斜角为θ．若|OP |＝d ，则函数d ＝f (θ)的大致图像是( )A B图82 8．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图像向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32 B ．－12 C ．12 D ．329．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，满足f (x )＝－f (x ＋π)，f (0)＝12，则g (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值与最小值之和为( )A ．3－1B ．3－2C ．23－1D ．210．将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图像向左平移m 个单位⎝⎛⎭⎪⎫m ＞－π2，若所得的图像关于直线x ＝π6对称，则m 的最小值为( )A ．－π6B ．－π3C ．0D ．π1211．如图83所示，直角三角形POB 中，∠PBO ＝90°，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点，若AB 等分△OPB 的面积，且∠AOB ＝α，则αtan α＝________．12．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，则函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上的最小值为 ________ ．13．已知α∈R ，sin α＋3cos α＝5，则tan 2α＝________．14．已知函数f (x )＝4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －23cos 2x －1，且π4≤x ≤π2．(1)求f (x )的最大值及最小值；(2)求f (x )在定义域上的单调递减区间．15．已知函数f (x )＝23cos x sin x ＋2cos 2x ．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3的值； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．16．在平面直角坐标系xOy 中，点A (cos θ，2sin θ)，B (sin θ，0)，其中θ∈R ．(1)当θ＝2π3时，求向量AB →的坐标；(2)当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求|AB →|的最大值．专题限时集训(九)[第9讲 三角恒等变换与解三角形](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．在钝角三角形ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A ．14 B ．32C ．34 D ．122．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝2，A ＝45°，B ＝105°，则c ＝ ( )A ．32B ．1C ． 3D ．6＋223．函数f (x )＝sin 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小值为( ) A ．0 B ．－1 C ．－ 2 D ．－24．若cos 2θ＝13，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( )A ．1318B ．1118 C ．59D ．1 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若sin 2A ＋sin 2C －sin 2B ＝3sin A sinC ，则B ＝________．提升训练6．已知sin 2α＝13，则cos 2 ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A ．13 B ．－13 C ．23 D ．－237．已知△ABC 的外接圆O 的半径为1，且OA →·OB →＝－12，C ＝π3．从圆O 内随机取一点M ，若点M 在△ABC 内的概率恰为334π，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形8．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，其对边分别为a ，b ，c ．若(sin A ＋sin B )(sinA －sinB )＝sinC (2sin A －sin C )，则B ＝( )A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π39．在△ABC 中，若AB →·AC →＝7，||AB →－AC →＝6，则△ABC 的面积的最大值为( )A ．24B ．16C ．12D ．810．已知△ABC 的重心为G ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则A 等于( )A ． π6B ．π4C ． π3D ．π211．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos(π－α)＝－45，则tan 2α＝______ ． 12．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，AB 边上的高为43，则AC ＋BC ＝________．13．已知∠MON ＝60°，由此角内一点A 向角的两边引垂线，垂足分别为B ，C ，AB ＝a ，AC ＝b ，若a ＋b ＝2，则△ABC 外接圆的直径的最小值是________．14．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2B2＝3sin B ，b ＝1．(1)若A ＝5π12，求c ；(2)若a ＝2c ，求△ABC 的面积．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ．(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．16．如图91所示，已知OPQ 是半径为3，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点(不与P ，Q 重合)，ABCD 是扇形的内接矩形，记∠COP ＝x ，矩形ABCD 的面积为f (x )．(1)求函数f (x )的解析式，并写出其定义域；(2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值及相应的x 值．专题限时集训(十)[第10讲数列、等差数列、等比数列](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．若等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5＝8，S3＝6，则a9＝( ) A．8 B．12C．16 D．242．等比数列{a n}中，a2＝1，a8＝64，则a5＝( )A．8 B．12C．8或－8 D．12或－123．已知等差数列{a n}中，a3＋a4－a5＋a6＝8，则S7＝( )A．8 B．21C．28 D．354．已知数列{a n}为等差数列，且a1＋a7＋a13＝π，则tan(a2＋a12)的值为( )A． 3 B．－ 3C．33D．－335．等比数列{a n}满足对任意n∈N*，2(a n＋2－a n)＝3a n＋1，a n＋1＞a n，则数列{a n}的公比q ＝________．提升训练6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＋a4＋a9＝24，则S9＝ ( )A．36 B．72C．144 D．707．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S n＋2－S n＝36，则n＝( ) A．5 B．6C．7 D．88．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，若a2＝2，2a3＋a4＝16，则a5＝( ) A．4 B．8C．16 D．329．在数列{a n}中，“a n＝2a n－1(n＝2，3，4，…)”是“{a n}是公比为2的等比数列”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a m＋1a m－1＝2a m(m≥2)，数列{a n}的前n项积为T n，若T2k－1＝512(k∈N*)，则k的值为( )A．4 B．5C．6 D．711．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝11，S11＝9，则S20＝________．12．已知等比数列{a n}的前n项积为T n，若a3a4a8＝8，则T9＝________．13．已知等比数列{a n}中，a4＋a8＝⎠⎛24－x2dx，则a6(a2＋2a6＋a10)＝________．14．已知数列{a n }的首项为1，其前n 项和为S n ，且对任意正整数n ，有n ，a n ，S n 成等差数列．(1)求证：数列{S n ＋n ＋2}为等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且3a n ＋1＋2S n ＝3(n 为正整数)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若∀n ∈N *，32k ≤S n 恒成立，求实数k 的最大值．16．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝2且a2，a4，a8成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若{b n－(－1)n a n}是等比数列，且b2＝7，b5＝71，求数列{b n}的前2n项和．专题限时集训(十一)[第11讲 数列求和及数列的简单应用](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为( )A ．70B ．75C ．100D ．1202．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A ．12B ．10C ． 8D ．2＋log 3 53．等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ＝1，2，3，…)，若当首项a 1和公差d 变化时， a 5＋a 8＋a 11是一个定值，则下列选项中为定值的是( )A ．S 17B ．S 16C ．S 15D ．S 144．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n （n ＋2），则S 10等于( )A ．1112B ．1124C ．175132D ．1752645．设等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ．若a 1＝1，a 3＝4，S k ＝63，则k ＝________．提升训练6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 35＝S 3992 ，a ＝(1，a n )，b ＝(2014，a 2014)，则a ·b 的值为( )A ． 2014B ． －2014C ． 1D ．07．已知一次函数f (x )＝kx ＋b 的图像经过点P (1，2)和Q (－2，－4)，令a n ＝f (n )f (n＋1)，n ∈N *，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，当S n ＝625时，n 的值为( )A ．24B ．25C ．23D ．268．已知幂函数y ＝f (x )的图像过点(4，2)，令a n ＝f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，则当S n ＝10时，n 的值是( )A ． 110B ． 120C ． 130D ． 1409．已知a n ＝⎠⎛0n (2x ＋1)d x(n∈N *)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n＝n －8，则b n S n 的最小值为( )A ．－3B ．－4C ．3D ．410．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *，则数列{a n }的前n 项和可以表示为( )A ．B ．C ．D ．11．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形的面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2014＝________ ．12．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________．13．已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（－1）nsin πx 2＋2n ，x ∈[2n ，2n ＋1），（－1）n ＋1sin πx 2＋2n ＋2，x ∈[2n ＋1，2n ＋2）(n ∈N )，若数列{a m }满足a m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2(m ∈N *)，且{a m }的前m 项和为S m ，则S 2014－S 2006＝________．14．已知数列{a n }与{b n }，若a 1＝3，且对任意正整数n 满足a n ＋1－a n ＝2, 数列{b n }的前n 项和S n ＝n 2＋a n ．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n ．15． 已知函数f (x )＝4x，数列{a n }中，2a n ＋1－2a n ＋a n ＋1a n ＝0，a 1＝1，且a n ≠0, 数列{b n }中， b 1＝2，b n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n ．16． 中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2012年人口总数为45万，专家估计实施 “放开二胎” 新政策后人口总数将发生如下变化：从2013年开始到2022年每年人口比上年增加0．5万，从2023年开始到2032年每年人口为上一年的99%．(1)求实施新政策后第n 年的人口总数a n 的表达式(注：2013年为第一年)．(2)若新政策实施后2013年到2032年的人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问2032年后是否需要调整政策？＝(1－10≈专题限时集训(十二)A[第12讲 空间几何体的三视图、表面积及体积](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．某几何体的三视图如图121所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)可得这个几何体的体积是( )A ．13 cm 3B ．23 cm 3C ．43 cm 3D ．83cm 3 1 1222．图122是一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A ．7π B ．8π C ．9π D ．11π3． 一只蚂蚁从正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点 C 1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是( )图12A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④4． 某四棱锥的三视图如图125所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则( )图125A ．2∈A ，且4∈AB ．2∈A ，且4∈AC ． 2∈A ，且25∈AD ．2∈A ，且17∈A提升训练5．如图126所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱长和底边长均为2，且侧棱 AA 1⊥底面A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为( )A ． 3B ．2 3C ．4D ．43图12 127 6．某几何体的三视图如图127所示，则它的体积是( )A ．8＋433B ．8＋423C ．8＋233D ．3237．若某棱锥的三视图(单位：cm)如图128所示，则该棱锥的体积等于( )A ．10 cm 3B ．3． 30 cm 3 D ．40 cm 398．一个简单组合体的三视图及尺寸如图129所示，则该组合体的体积为( ) A ．42 B ．48 C ．56 D ．449． 某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1210所示，其中俯视图是中心角为60°的扇形， 则该几何体的侧面积为( )A ．12＋103πB ．6＋103π C ． 12＋2π D ．6＋4π图1210 图121110． 如图1211所示，边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，△AED ，△EBF ，△FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使A ，B ，C 三点重合于点A ′．若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为( )A． 2 B．62C．112D．5211．边长是22的正三角形ABC内接于体积为43π的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为________．专题限时集训(十二)B[第12讲 空间几何体的三视图、表面积及体积](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．某空间几何体的三视图如图1212所示，则该几何体的体积为( ) A ．83 B ．8 C ．323D ．1612 图12132．一个几何体的三视图如图1213所示，则该几何体的体积为( ) A ．13 B ．23C ．2D ．1 3． 图1214 ( )14A ．3＋π6B ． 3＋43πC ．33＋43πD ．33＋π64． 一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系O xyz 中的坐标分别是(0，0，0)，(1，2，0)，(0，2，2)，(3，0，1)，则该四面体以yOz 平面为投影面的正视图的面积为( )A ．3B ．52C ． 2D ．72提升训练5．一个几何体的三视图如图1215所示，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为( )A ．32B ．1C ．52D ．1215 1216 6．一个几何体的三视图如图1216所示，则它的体积为( ) A ．203 B ．403C ．20D ．407． 已知某几何体的三视图如图1217所示，其中俯视图是圆，则该几何体的体积为( )A ．π3B ．2π3C ． 23D ．1317 18 8．图1218是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( ) A ．54 B ．27 C ．18 D ．99． 用一个边长为4的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为1的鸡蛋(视为球体)放在其上(如图1219所示)，则鸡蛋中心(球心)与蛋托底面的距离为___________．图1210． 直三棱柱ABC A 1B 1C 1的各顶点都在同一个球面上．若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积为________．11．如图1220所示，已知球O是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为________．专题限时集训(十三)[第13讲空间中的平行与垂直](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．能够得出平面α与平面β一定重合的条件是：它们的公共部分有( )A．两个公共点B．三个公共点C．无数个公共点D．共圆的四个公共点2．直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为( )A．a⊥b，且a与b相交 B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥b D．a与b不一定垂直3．a，b，c表示不同直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③a⊥c，b⊥c，则a∥b；④a⊥M，b⊥M，则a∥b．其中为真命题的是( )A．①② B．②③ C．③④ D．①④4．设α，β，γ为平面，m，n为直线，则m⊥β的一个充分条件是( )A．α⊥β，α∩β＝n，m⊥nB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥β，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α5．已知m，n，l是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，给出下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m⊥l，n⊥l，则m∥n；③若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中真命题有( )A．0个 B．1个C．2个 D．3个提升训练6．已知α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A．存在一条直线l，l⊂α，l∥βB．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥βC．存在一条直线l，l⊥α，l⊥βD．存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β7．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β8．在正方体中，二面角A1BDA的正切值是( )A． 2 B．22C． 2 D．129．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题：①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③如果m ⊂α，n ⊄α，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交；④若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α，且n ∥β．其中为真命题的是 ( )A ．①②B ．②③C ． ③④D ．①④10．如图131所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等图13211．如图132所示，已知三个平面α，β，γ互相平行，a ，b 是异面直线，a 与α，β，γ分别交于A ，B ，C 三点，b 与α，β，γ分别交于D ，E ，F 三点，连接AF 交平面β于点G ，连接CD 交平面β于点H ，则四边形BGEH 必为________．12． 在三棱锥C ABD 中(如图133所示)，△ABD 与△CBD 是全等的等腰直角三角形，O 为斜边BD 的中点，AB ＝4，二面角A BD C 的大小为60°，并给出下面结论：①AC ⊥BD ；②AD ⊥CO ；③△AOC 为正三角形；④ cos ∠ADC ＝34；⑤四面体ABCD 的外接球的表面积为 32π．其中正确的是________．13． 已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，且俯视图如图134所示．关于该四棱锥的下列说法中：①该四棱锥中至少有两组侧面互相垂直；②该四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形；③该四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面；④该四棱锥的四个侧面不可能都是等腰三角形．其中，所有正确说法的序号是________________．14．如图135所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB ＝2，CE＝EF＝1．(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BD F．15．如图136所示，平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是AE，的交点．(1)求证：GH∥平面CDE；(2)求证：BD⊥平面CDE．16．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，CD＝3，点E是线段AB的中点，G为CD的中点，现沿ED将△AED折起到△PED位置，使PE⊥EB．(1)求证：平面PEG⊥平面PCD；(2)求点A到平面PDC的距离．专题限时集训(十四)[第14讲 空间向量与立体几何](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1． 直线l 1的方向向量s 1＝(1，0，－2)，直线l 2的方向向量s 2＝(－1，2，2)，则直线l 1，l 2所成角的余弦值是( )A ．53B ．－53C ． 23D ．－232．平面α，β的法向量分别是 n 1＝(1，1，1)，n 2＝(－1，0，－1)，则平面α，β所成锐二面角的余弦值是( )A ．33B ．－33C ． 63D ．－633．已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则平面ABC 的单位法向量是( )A ．±(1，1，1)B ．±⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，22C ．±⎝⎛⎭⎪⎫33，33，33 D ．±⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，33 4．已知a ，b 是两个非零的向量，α，β是两个平面，下列命题中正确的是( )A ．a ∥b 的必要条件是a ，b 是共面向量B ．a ，b 是共面向量，则a ∥bC ．a ∥α，b ∥β，则α∥βD ．a ∥α，b ∥β，则a ，b 不是共面向量5．若a ⊥b ，a ⊥c ，l ＝αb ＋β c (α，β∈R )，m ∥a ，则m 与l 一定( ) A ．共线 B ．相交 C ． 垂直 D ．不共面提升训练6． 如图141所示，三棱锥A BCD 的棱长全相等，E 为AD 的中点，则直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A ．36B ．32C ． 336D ．127． 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为( )A ．120B ．1010C ． －1010D ．－1208． 对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则x ＝2，y ＝－3，z ＝2是P ，A ，B ，C 四点共面的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件9．已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →＝________．10．在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB＝BC ＝1，AD ＝12，则平面SCD 与平面SBA 夹角的余弦值是_________．11．平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，且∠BAD ＝45°，以BD 为折线，把△ABD 折起到△A 1BD 的位置，使平面A 1BD ⊥平面BCD ，连接A 1C ．(1)求证：A 1B ⊥DC ；(2)求二面角B A 1C D 的大小．图1412．如图143所示，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，AB ＝2AD ＝4，BD ＝23，PD ⊥底面ABCD ．(1)证明：平面PBC ⊥平面PBD ；(2)若二面角P BC D 的大小为 π4，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值．。
高考数学全程训练计划：天天练3 函数的概念及表示
天天练3 函数的概念及表示小题狂练③一、选择题1．[2019·惠州二调]已知函数f(x)＝x ＋1x －1,f(a)＝2,则f(－a)＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 答案：D解析：解法一 由已知得f(a)＝a ＋1a －1＝2,即a ＋1a ＝3,所以f(－a)＝－a －1a －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4.解法二 因为f(x)＋1＝x ＋1x ,设g(x)＝f(x)＋1＝x ＋1x ,易判断g(x)＝x ＋1x 为奇函数,故g(x)＋g(－x)＝x ＋1x －x －1x ＝0,即f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0,故f(x)＋f(－x)＝－2,所以f(a)＋f(－a)＝－2,故f(－a)＝－4.2．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B解析：①中当x>0时,每一个x 的值对应两个不同的y 值,因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时,y 的值有两个,因此不是函数图象,③④中每一个x 的值对应唯一的y 值,因此是函数图象．故选B.3．[2019·河南豫东、豫北十所名校段测]设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，0＜x≤9，f x －4，x ＞9，则f(13)＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值为( )A ．1B ．0C ．－2D ．2 答案：B解析：因为f(13)＝f(13－4)＝f(9)＝log 39＝2,2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2log 313＝－2,所以f(13)＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2－2＝0.故选B.4．[2019·山东潍坊青州段测]函数f(x)＝ln(x －1)＋12－x的定义域为( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2] 答案：A解析：函数f(x)＝ln(x －1)＋12－x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，2－x ＞0的解集,解得1＜x ＜2,所以函数f(x)的定义域为(1,2)．故选A.5．[2019·福建省六校联考]下列函数中,满足f(x 2)＝[f(x)]2的是( ) A ．f(x)＝lnx B ．f(x)＝|x ＋1| C ．f(x)＝x 3D ．f(x)＝e x答案：C解析：解法一 对于函数f(x)＝x 3,有f(x 2)＝(x 2)3＝x 6,[f(x)]2＝(x 3)2＝x 6,所以f(x 2)＝[f(x)]2,故选C.解法二 因为f(x 2)＝[f(x)]2,对选项A,f(22)＝ln4,[f(2)]2＝(ln2)2,排除A ；对选项B,则有f(12)＝|12＋1|＝2,[f(1)]2＝|1＋1|2＝4,排除B ；对选项D,则有f(12)＝e,[f(1)]2＝e 2,排除D.故选C.6．[2019·重庆二诊]如图所示,对应关系f 是从A 到B 的映射的是( )答案：D解析：A 到B 的映射为对于A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应,所以不能出现一对多的情况,因此D 表示A 到B 的映射．7．已知函数y ＝f(x ＋2)的定义域是[－2,5),则y ＝f(3x －1)的定义域为( ) A ．[－7,14) B ．(－7,14] C.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，83 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，83答案：D解析：因为函数y ＝f(x ＋2)的定义域是[－2,5),所以－2≤x＜5,所以0≤x＋2＜7,所以函数f(x)的定义域为[0,7),对于函数y ＝f(3x －1),0≤3x－1＜7,解得13≤x＜83,故y ＝f(3x －1)的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，83,故选D.8．[2019·山东德州模拟]设函数y ＝9－x 2的定义域为A,函数y ＝ln(3－x)的定义域为B,则A∩∁R B ＝( )A ．(－∞,3)B ．(－∞,－3)C ．{3}D ．[－3,3) 答案：C解析：由9－x 2≥0解得－3≤x≤3,可得A ＝[－3,3],由3－x>0解得x<3,可得B ＝(－∞,3),因此∁R B ＝[3,＋∞)．∴A∩(∁R B)＝[－3,3]∩[3,＋∞)＝{3}．故选C.二、非选择题9．[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝log2(x 2＋a)．若f(3)＝1,则a ＝________. 答案：－7解析：∵ f(x)＝log2(x 2＋a)且f(3)＝1,∴ 1＝log2(9＋a),∴ 9＋a ＝2,∴ a＝－7.10．[2019·南阳模拟]已知函数y ＝f(x)满足f(x)＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3x,则f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝－x －2x(x≠0)解析：由题意知函数y ＝f(x)满足f(x)＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3x,即f(x)－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x,用1x 代换上式中的x,可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f(x)＝3x,联立得,⎩⎪⎨⎪⎧fx －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f x ＝3x，解得f(x)＝－x －2x(x≠0)．11．[2019·河南开封模拟]f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x<2，log 3x 2－1，x≥2，则f(f(2))的值为________．答案：2解析：∵当x≥2时,f(x)＝log 3(x 2－1),∴f(2)＝log 3(22－1)＝1<2,∴f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2.12．[2019·湖北黄冈浠水县实验高中模拟]已知函数f(x)的定义域为(－1,0),则函数f(2x ＋1)的定义域为________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12解析：∵函数f(x)的定义域为(－1,0), ∴由－1<2x ＋1<0,解得－1<x<－12.∴函数f(2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.课时测评③一、选择题1．下列各组函数中表示同一函数的是( ) A ．f(x)＝x 2,g(x)＝(x)2B ．f(x)＝1,g(x)＝x 2C ．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥0，－x ，x<0，g(t)＝|t|D ．f(x)＝x ＋1,g(x)＝x 2－1x －1答案：C解析：选项A 中,f(x)＝x 2的定义域是R,g(x)＝(x)2的定义域是{x|x≥0},故f(x)与g(x)不表示同一函数,排除A ；选项B 中,f(x)与g(x)定义域相同,但对应关系和值域不同,故f(x)与g(x)不表示同一函数,排除B ；选项D 中,f(x)＝x ＋1的定义域为R,g(x)＝x 2－1x －1的定义域为{x|x≠1},故f(x)与g(x)不表示同一函数,排除D ；选项C 中,f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥0，－x ，x<0可化为f(x)＝|x|,所以其与g(t)＝|t|表示同一函数．故选C.2．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x>0，x ，x≤0，若f(a)＋f(3)＝5,则实数a ＝( )A ．2B ．－1C ．－1或0D ．0 答案：B解析：解法一 因为f(a)＋f(3)＝5,又f(3)＝23－2＝6,所以f(a)＝－1,所以⎩⎪⎨⎪⎧2a－2＝－1，a>0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，a≤0，解得a ＝－1,故选B.解法二 因为f(3)＝23－2＝6,f(2)＝22－2＝2,所以f(2)＋f(3)＝2＋6＝8≠5,所以a≠2,排除A ；因为f(0)＝0,所以f(0)＋f(3)＝0＋6＝6≠5,所以a≠0,排除C,D.故选B.3．函数f(x)＝(x －2)0＋23x ＋1的定义域是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 C ．R D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2∪(2,＋∞)答案：D解析：要使函数f(x)有意义,只需⎩⎪⎨⎪⎧x≠2，3x ＋1>0，所以x>－13且x≠2,所以函数f(x)的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2∪(2,＋∞),故选D.4．[2019·湖南邵阳模拟]设函数f(x)＝log 2(x －1)＋2－x,则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为( )A ．[1,2]B ．(2,4]C ．[1,2)D ．[2,4) 答案：B解析：∵函数f(x)＝log 2(x －1)＋2－x 有意义,∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2－x≥0，解得1<x≤2,∴函数的f(x)定义域为(1,2],∴1<x 2≤2,解得x∈(2,4],则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为(2,4]．故选B.5．[2019·陕西西安长安区质量检测大联考]已知函数f(x)＝－x 2＋4x,x∈[m,5]的值域是[－5,4],则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞,－1)B ．(－1,2]C ．[－1,2]D ．[2,5] 答案：C解析：∵f(x)＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4,∴当x ＝2时,f(2)＝4,由f(x)＝－x 2＋4x ＝－5,解得x ＝5或x ＝－1,∴结合图象可知,要使函数在[m,5]上的值域是[－5,4],则－1≤m≤2.故选C.6．[2019·新疆乌鲁木齐一诊]函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x<2，－log 3x －1，x≥2，则不等式f(x)>1的解集为( )A ．(1,2) B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43 D ．[2,＋∞)答案：A解析：当x<2时,不等式f(x)>1即e x －1>1,∴x－1>0,∴x>1,则1<x<2；当x≥2时,不等式f(x)>1即－log 3(x －1)>1, ∴0<x－1<13,∴1<x<43,此时不等式无解．综上可得,不等式的解集为(1,2)．故选A.7．[2019·定州模拟]设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2，x<0，－e x，x≥0，若f(f(t))≤2,则实数t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0,ln2]B ．[ln2,＋∞) C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12 D ．[－2,＋∞) 答案：A解析：令m ＝f(t),则f(m)≤2,则⎩⎪⎨⎪⎧m<0，log 2m 2≤2或⎩⎪⎨⎪⎧m≥0，－e m≤2，即－2≤m<0或m≥0,所以m≥－2,则f(t)≥－2,即⎩⎪⎨⎪⎧t<0，log 2t 2≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧t≥0，－e t≥－2，即t≤－12或0≤t≤ln2,所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0,ln2]．故选A. 8．[2019·福建福清校际联盟模拟]定义函数f(x),g(x)如下表：则满足f(g(x))>g(f(x))的x A ．0或1 B ．0或2 C ．1或7 D ．2或7 答案：D解析：由表格可以看出,当x ＝0时,g(0)＝2,f(g(0))＝f(2)＝0,同理g(f(0))＝g(1)＝1,不满足f(g(x))>g(f(x)),排除A,B.当x ＝1时,f(g(1))＝f(1)＝2,g(f(1))＝g(2)＝7,不满足f(g(x))>g(f(x)),排除C.当x ＝2时,f(2)＝0,g(2)＝7,f(g(2))＝f(7)＝7,同理g(f(2))＝g(0)＝2,满足f(g(x))>g(f(x))． 当x ＝7时,f(g(7))＝f(0)＝1,g(f(7))＝g(7)＝0,满足f(g(x))>g(f(x))．故选D. 二、非选择题9．[2019·唐山五校联考]函数y ＝110x－2的定义域为________．答案：(lg2,＋∞)解析：依题意,10x>2,解得x>lg2,所以函数的定义域为(lg2,＋∞)． 10．已知函数f(3x ＋2)＝x 2－3x ＋1,则函数f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝19x 2－13x 9＋319解析：设t ＝3x ＋2,则x ＝t －23,所以f(t)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232－3·t －23＋1＝19t 2－13t 9＋319,所以函数f(x)的解析式为f(x)＝19x 2－13x 9＋319.11．对于每个实数x,设f(x)取y ＝4x ＋1,y ＝x ＋2,y ＝－2x ＋4三个函数中的最小值,用分段函数写出f(x)的解析式,并求f(x)的最大值．解析：由直线y ＝4x ＋1与y ＝x ＋2求得交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，73；由直线y ＝x ＋2与y ＝－2x ＋4,求出交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，83. 由图象可看出：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥23x ＋2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<x<234x ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤13f(x)的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝83.。
打卡第二天-【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练(新高考通用)原卷版
【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通用）新高考真题限时训练打卡第二天Ⅰ 真题知识点分析 Ⅰ 真题限时训练 Ⅰ 自查自纠表题号 题型 对应知识点1 单选题 交集；2 单选题 复数的基本概念；3 单选题 向量加法的法则；向量减法的法则；4 单选题 推理案例赏析；5 单选题 对数型复合函数的单调性；6 单选题 求双曲线的离心率或离心率的取值范围；7 多选题 根据折线统计图解决实际问题；8 多选题 由图象确定正（余）弦型函数解析式；9 填空题 函数奇偶性的应用； 10 填空题 组合体的切接问题； 11 解答题 求等比数列前n 项和；12 解答题 抛物线的焦半径公式；根据韦达定理求参数； 13 解答题累加法求数列通项；由递推关系证明等比数列；写出简单离散型随机变量分布列；Ⅰ 真题限时训练新高考真题限时训练打卡第二天难度：较易 建议用时:60分钟一、单选题（本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．（2020·山东·统考高考真题）2i12i-=+（ ） A ．1 B ．−1 C ．i D ．−i 3．（2020·海南·高考真题）在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =（ ）A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +4．（2019·全国·高考真题）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是 A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．（2020·海南·高考真题）已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞6．（2019·全国·高考真题）设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2D ．5二、多选题（本题共2小题，每小题5分，共10分。
2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷(3)
2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（3）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．[2024届·安徽马鞍山·模拟考试]已知S 是全体复数集C 的一个非空子集，如果,x y S ∀∈，总有x y +，x y -，x y S ⋅∈，则称S 是数环.设F 是数环，如果①F 内含有一个非零复数；②,x y F ∀∈，且0y ≠，有xF y∈，则称F 是数域.由定义知有理数集Q是数域.（1）求元素个数最小的数环 S ；（2）证明：记{}|,Qa ab =+∈Q ，证明：Q是数域；（3）若1F ，2F 是数域，判断12F F 是否是数域，请说明理由.答案：（1）{}0；（2）证明见详解；（3）12F F 不一定是数域，证明见详解解析：（1）因为 S为数环，可知 S 不是空集，即 S 中至少有一个元素a ∈C ，若0a =，则0000000S +=-=⨯=∈，可知{}0为数环；若0a ≠，则0a a -=，可知 S中不止一个元素，不是元素个数最小的数环；综上所述：元素个数最小的数环为{}˜0S =.（2）设x a =+，y c =+，,,,a b c d ∈Q ，可知,x y Q∈，则有：()()())x y a c a c b d +=+++=+++，()()())x y a c a c b d -=+-+=-+-，()()())3x y a c ac bd ad bc ⋅=++=+++，因为,,,Q a b c d ∈，则a c +，b d +，a c -，b d -，ac bd +，ad bc +∈Q ，可知x y +，x y -，x y Q⋅∈，所以Q 是数环；若220c d +≠，可知0y ≠，满足①；若0y ≠，则2233a c x ac bd y c d +--==+-因为,,,Q a b c d ∈，则22223,33ac bd bc adc d c d--∈--Q ，可知x Qy∈，满足②；综上所述：Q是数域.（3）不一定是数域，理由如下：①若1F =Q ，2F=R ，显然1F ，2F 均为数域，且12FF =R 是数域；②设x a =+，y c =+，,,,a b cd ∈Q，可知,x y Q∈，则有：()()())x ya c a c bd +=+++=+++，()()())x y ac a c b d-=+-+=-+-，()()())2x y a c ac bd ad bc ⋅=++=+++，因为,,,Q a b c d ∈，则a c +，b d +，a c -，b d -，acbd +，ad bc +∈Q ，可知x y +，x y -，x y Q⋅∈，所以Q 是数环；若220c d +≠，可知0y ≠，满足①；若0y ≠，则2222a c x ac bdy c d --==-，因为,,,Q a b c d ∈，则2222ac bd c d --，222bc adc d-∈-Q，可知xQy∈，满足②；综上所述：Q是数域.例如：1F Q =，2F Q =，例如1Q+，1Q，但12112F F = ，所以12F F 不是数域；综上所述：12F F 不一定是数域.2．在平面直角坐标系中，两点()11,P x y ，()22,Q x y 的“曼哈顿距离”定义为1212x x y y -+-，记为PQ ‖‖，如点(1,2)P -，(2,4)Q --的“曼哈顿距离”为5，记为5PQ =‖‖.（1）若点(0,2)P ，M 是满足2PQ ≤‖‖的动点Q 的集合，求点集M 所占区域的面积.（2）若动点P 在直线2y x =-上，动点Q 在函数e x y =的图像上，求PQ ‖‖的最小值.（3）设点(,)P a b ，动点Q 在函数22([2,2])y x x =∈-的图像上，PQ ‖‖的最大值记为(,)M a b ，求(,)M a b 的最小值.答案：（1）8（2）3（3）8116解析：（1）设点(,)Q x y .由2PQ ≤‖‖，得|||2|2x y +-≤.||||2x y +=的图像是以原点为中心，顺次连接四点(2,0)，(0,2)，(2,0)-，(0,2)-所形成的正方形.将其上移2个单位长度即得|||2|2x y +-=的图像.所以点集M 所占区域是以四点(2,2)，(0,4)，(2,2)-，(0,0)为顶点的正方形及其内部，面积为8.（2）设()11,2P x x -，()22,e x Q x ，则21212e x PQ x x x =-+--‖‖.将PQ ‖‖看成关于1x 的函数，则PQ ‖‖在12x x =或21e 2x x =+时取得最小值，即2min 2e2x PQ x =-+‖‖.令()e 2x f x x =-+，则()e 1x f x '=-.当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>.所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，则min ()(0)3f x f ==，此时20x =.所以PQ ‖‖的最小值为3.（3）设点()2,2Q x x ，[2,2]x ∈-，则2||2PQ a x b x =-+-‖‖，[2,2]x ∈-.若存在实数a ，b ，使(,)M a b t =，则2||2PQ a x b x t =-+-≤‖‖对任意的[2,2]x ∈-成立.令14x =-，则1148a b t ++-≤.令2x =，则|2||8|a b t -+-≤.所以1111963812|2||8|2|8|4848488t a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫≥++-+-+-=++-+-+-≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以8116t ≥.令0a =，7916b =，则279||216PQ x x =+-‖‖是[2,2]-上的偶函数.当[0,2]x ∈时，若279216x ≤，即27932x ≤，则227918181221641616PQ x x x ⎛⎫=+-=--+≤ ⎪⎝⎭‖‖，当且仅当14x =时等号成立；若279432x ≤≤，则2798121616PQ x x =+-≤‖‖，当且仅当2x =时等号成立.所以存在实数a ，b 且0a =，7916b =，使得(,)M a b 的最小值为8116.3．已知定义域为[0,2]的函数()f x 满足如下条件：①对任意的[0,2]x ∈，总有0()4f x <≤；②(2)3f =；③当10x ≥，20x ≥，122x x +≤时，()()()12124f x x f x f x +≤+-恒成立.已知正项数列{}n a满足=，且1min 1()3a f x =，28a =，令1n b =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若n c =，求证：()()()3411145(2)2n n f c f c f c n n +-+++≥-+≥ .答案：（1）{}n a 的通项公式()2121,1411,2n n k k n a n -==⎧⎪=⎨⎡⎤--≥⎪⎢⎥⎣⎦⎩∏；{}n b 的通项公式4nnb =（2）证明见解析解析：（1）不妨设12x x <，则21(0,2]x x -∈，()2104f x x ∴<-≤，()()()()121211f x f x f x f x x x ∴-=--+()()()()121121440f x f x x f x f x x ≥--+-=--≥⎡⎤⎣⎦，若()2140f x x --=，即()214f x x -=，此时(2)4f =，这与(2)3f =矛盾，()2140f x x ∴--≠，故()2140f x x -->，()()12f x f x ∴>，()f x ∴在区间[0,2]上单调递减，min ()(2)3f x f ∴==，11a ∴=.=，141⎫=⎪⎪⎭，即14n n b b +=，{}n b ∴是以114b ==为首项，4为公比的等比数列，4n n b ∴=.又1n b =，()21411n n n a a +⎡⎤∴=--⎢⎥⎣⎦，∴当2n ≥时，()()()()22221121122411411411411nn n n k n n n k a a a ------=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=----==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∏ .又当1n =时，11a =，故()2121,1411,2n n k k n a n -==⎧⎪=⎨⎡⎤--≥⎪⎢⎥⎣⎦⎩∏.（2）由（1）可得82n n c ==.∴当2n ≥时，12n n c c +=，且02n c <≤，()4n f c ∴≤，()2(2)3f c f ==，又()()()()1111224n n n n n f c f c f c c f c ++++==+≤-，()()1424n n c f c f +∴-≤-⎡⎤⎣⎦，即()()1424n n f c f c +-≥-⎡⎤⎣⎦，()()()1211144422n n n f c f c f c +-∴-≤-≤≤-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ，()11142n n f c +-∴-≤，即()11142n n f c +-≥-，()()()34211142142142n n f c f c f c +-⎧≥-⎪⎪⎪≥-⎪∴⎨⎪⎪⎪≥-⎪⎩ ，()()()134111112214(1)451212n n n c f c f c n n f -+-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴+++≥--=-+- .5．我们将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”.已知椭圆2:12E y +=的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为D .（1）若椭圆22:12x y F s +=与椭圆E 在“一簇椭圆系”中，求常数s 的值；（2）设椭圆22:(01)2x G y λλ+=<<，过A 作斜率为1k 的直线1l 与椭圆G 有且只有一个公共点，过D 作斜率为2k 的直线2l 与椭圆G 有且只有一个公共点，求当λ为何值时，12k k +取得最小值，并求其最小值；（3）若椭圆22:1(2)2x y H t t+=>与椭圆E 在“一簇椭圆系”中，椭圆H 上的任意一点记为00)(,C x y ，求证：ABC △的垂心M 必在椭圆E 上.答案：（1）4s =或1（2）当12λ=时，12k k +（3）证明见解析解析：（1）因为椭圆E 的离心率22e =，故由条件得，当2s >22=，解得4s =；当02s <<22=，解得1s =.综上，4s =或1.（2）易得(A ，(0,1)D ，所以直线1l ，2l的方程分别为1(y k x =，21y k x =+，由122(2y k x x y λ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()222211112420k x x k λ+++-=，又直线1l 与椭圆G 相切，则10∆=，又01λ<<，即1k =.由22212y k x x y λ=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222124220k x k x λ+++-=，又直线2l 与椭圆G 相切，则20∆=，又01λ<<，即2k =故1212k k =，12k k +≥=12k k =时取等号，此时12λ=.所以当12λ=时，12k k +.（3）显然椭圆22:124x y H +=.因为椭圆H 上的任意一点记为()00,C x y ，所以2200124x y +=.①设ABC △的垂心M 的坐标为(),M M x y ，连接CM ，AM，因为(A，B ，故由CM AB ⊥得0M x x =.又0M x x =≠，AM BC ⊥1=-，（*）将0M x x =代入（*），得202M x y y =-，②由①②得02M y y =.将0M x x =，02M y y =，代入①得2212M M x y +=，即ABC △的垂心M 在椭圆E 上.6．[2024春·高三·湖北武汉·月考]利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将0.31化为分数是这样计算的：设0.31x = ，则31.31100x = ，即31100x x +=，解得310.3199= .这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，每局比赛的结果互不影响.规定：净胜m 局指的是一方比另一方多胜m 局.（1）如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；（2）如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜()3,2,1,0,1,2,3i i =---局.设甲在净胜i 局时，继续比赛甲获胜的概率为i P ，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为i X ，期望为()i E X .①求甲获胜的概率0P ；②求()0E X .答案：（1）2081（2）①89；②()07E X =解析：（1）4局结束比赛时甲获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局甲胜，概率为21221216C 33381⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭⨯；4局结束比赛时乙获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局乙胜，概率为2122114C 33381⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以恰好4局结束比赛的概率16420818181+=.（2）①在甲在净胜-2局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛获胜的概率为1P -；若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，根据全概率公式，2123P P --=，同理1022133P P P --=+，0112133P P P -=+，1202133P P P =+，212133P P =+，由1202133P P P =+，212133P P =+，得104377P P =+，与0112133P P P -=+联立消去1P ，得015817213P P -=+，又2123P P --=，1022133P P P --=+，即1067P P -=，因此089P =，所以甲获胜的概率为89.②在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛至结束，还需要()1E X -局，共进行了()11E X -+局；若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，共进行了1局，则2121()[()1]133E X E X --=++⨯，即212()()13E X E X --=+，同理10221()[()1][()1]33E X E X E X --=+++，即10221()()()133E X E X E X --=++，01121()[()1][()1]33E X E X E X -=+++，即01121()()()133E X E X E X -=++，12021()[()1][()1]33E X E X E X =+++，即12021()()()133E X E X E X =++，2121()1[()1]33E X E X =⨯++，即211()()13E X E X =+，联立12021()()()133E X E X E X =++与211()()13E X E X =+，得10315()()77E X E X =+，联立212()()13E X E X --=+与10221()()()133E X E X E X --=++，得10612()()77E X E X -=+，代入01121()()()133E X E X E X -=++，得000315612()()7721()[[13773E X X E X E ++=++，所以0()7E X =.。
2022高考数学基础知识综合复习优化集训3二次函数与一元二次方程
优化集训3 二次函数与一元二次方程基础巩固1.不等式-2x 2+x+3<0的解集是( )A.{x|x<-1}B.x x>32C.x -1<x<32D.x x<-1或x>322.(2018年11月浙江学考)关于x 的不等式|x|+|x-1|≥3的解集是( )A.(-∞,-1]B.[2,+∞)C.(-∞,-1]∪[2,+∞)D.[-1,2]3.使式子√2x 的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(0,+∞)B.(-∞,-1]∪[0,+∞)C.(-1,0)D.[-1,0]4.不等式组{x (x +2)>0,|x |<1的解集为( )A.{x|-2<x<-1} B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1}D.{x|x>1}5.在R 上定义运算 :a b=ab+2a+b ,则不等式x (x-2)>0的解集为( )A.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2)6.若0<t<1,则关于x 的不等式(t-x )x-1t>0的解集是( )A.1t ,tB.t ,1tC.(-∞,t )∪1t,+∞D.-∞,1t∪(t ,+∞)7.若不等式-2x 2+bx+1>0的解集为x -12<x<m ,则实数b ,m 的值分别是( )A.1,1 B.1,-1C.-1,1D.-1,-18.设二次不等式ax 2+bx+1>0的解集为x -1<x<13,则ab 的值为( )A.-6B.-5C.6D.59.若不等式ax 2+bx+c>0的解集是(-4,1),则不等式b (x 2-1)+a (x+3)+c>0的解集为( ) A.-43,1B.(-∞,1)∪43,+∞C.(-1,4)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)10.方程x=x 3的解集是 ,不等式x>x 3的解集是 .11.不等式ax 2+5x+c>0的解集为x13<x<12,则a= ,c= . 12.(2017年11月浙江学考)若不等式|2x-a|+|x+1|≥1的解集为R ,则实数a 的取值范围是 . 13.若关于x 的不等式-x 2+mx-1>0有解,则实数m 的取值范围是 .14.若关于x 的不等式ax<b 的解集为(-2,+∞),则b a= ,此时关于x 的不等式ax 2+bx-3a>0的解集为 .15.若关于x的不等式x2+2x<ab +16ba对任意的a>0,b>0恒成立,则实数x的取值范围是 .16.若关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0的解集为全体实数R,则实数k的取值范围是 .17.解下列不等式:(1)2x2+5x-3<0;(2)-2<x2-3x≤10.18.已知函数f(x)=mx2-2√2x+m-1.(1)若对所有的实数x,不等式f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围;(2)若∀m∈[-2,2],不等式f(x)<0都成立,求实数x的取值范围.素养提升19.(2020学军中学月考)已知不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为( )A.(-∞,-2]∪[5,+∞)B.[-1,4]C.(-∞,-1]∪[4,+∞)D.[-2,5]20.若关于x的不等式x2+ax+5≤4的解集为A,且A只有两个子集,则实数a的值为 .21.若不等式a2+8b2≥λb(a+b)对任意的a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围是 .22.已知函数f(x)=mx2+mx+(m-1).(1)若f(2)=6,求使得不等式f(x)<0成立的x的取值集合;(2)若函数f(x)的图象恒在x轴下方,求实数m的取值范围.23.已知关于x的不等式ax2-4ax+1<0的解集为A,其中a∈R.(1)若A={x|x<-2或x>b},求a,b的值;(2)若A=⌀,求实数a的取值范围.24.某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120√6t吨(0≤t≤24).(1)从供水开始到第几小时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张的现象,问在一天的24小时内,有几小时会出现供水紧张的现象?25.已知M 是关于x 的不等式2x 2+(3a-7)x+3+a-2a 2<0的解集.(1)若0∈M ,求实数a 的取值范围;(2)在(1)问条件下,试用a 表示该不等式的解集.优化集训3 二次函数与一元二次方程1.D 解析由不等式-2x 2+x+3=-(2x-3)(x+1)<0得x>32或x<-1,所以不等式的解集为x x<-1或x>32.故选D .2.C 解析当x ≥1时,x+x-1≥3,解得x ≥2,此时有x ≥2;当0≤x<1时,x+1-x=1≥3不成立,所以此时无解;当x<0时,-x+1-x ≥3,解得x ≤-1,所以此时有x ≤-1.所以不等式的解集为(-∞,-1]∪[2,+∞).故选C.3.C 解析要使式子有意义,则-x 2-x>0,解得-1<x<0.故选C.4.C 解析由|x|<1可得-1<x<1;由x (x+2)>0可得x<-2或x>0.由{x <-2或x >0,-1<x <1可得0<x<1.故选C.5.C 解析由a b=ab+2a+b 可知x (x-2)=x (x-2)+2x+x-2>0,即有x 2+x-2>0,解得x<-2或x>1.故选C.6.B 解析由0<t<1可知,不等式(t-x )x-1t >0,t<x<1t .所以其解集为t ,1t.故选B.7.A 解析由题可得,因为不等式-2x 2+bx+1>0的解集为x -12<x<m ,所以相应的方程-2x 2+bx+1=0的两个实数解为-12和m.由根与系数的关系可知-12m=-12,解得m=1,-12+m=-12+1=12=b 2,解得b=1.故选A.8.C 解析由三个二次的关系可知,方程ax 2+bx+1=0的两个根为-1,13.由根与系数的关系可得-1+13=-b a ,-1×13=1a,解得a=-3,b=-2,所以ab=6.故选C.9.A 解析由不等式ax 2+bx+c>0的解集为(-4,1)可知a<0,且-4,1是方程ax 2+bx+c=0的两个根.所以-4+1=-b a ,-4×1=c a,即b=3a ,c=-4a.所以所求解的不等式即为3a (x 2-1)+a (x+3)-4a>0,化简为3x 2+x-4<0,解得-43<x<1.故选A.10.{-1,0,1} (-∞,-1)∪(0,1) 解析由x=x 3可得x=0或x 2=1,解得x=0或x=-1或x=1,所以方程的解集为{-1,0,1}.不等式x>x 3可转化为{x >0,1>x 2或{x <0,1<x 2,解得0<x<1或x<-1,所以不等式的解集为(-∞,-1)∪(0,1).11.-6 -1 解析因为不等式ax 2+5x+c>0的解集为x13<x<12,所以其对应的方程ax 2+5x+c=0的实数解为13和12.由根与系数的关系可知,13+12=56=-5a,解得a=-6;13×12=16=c a =-c 6,解得c=-1.12.(-∞,-4]∪[0,+∞) 解析因为不等式|2x-a|+|x+1|≥1的解集为R ,则{|a +2|≥1,¿a 2+1∨≥1,解得a ≤-4或a ≥0.13.(-∞,-2)∪(2,+∞) 解析因为不等式有解,所以Δ=m 2-4>0,解得m<-2或m>2.14.-2 (-1,3) 解析因为关于x 的不等式ax<b 的解集为(-2,+∞),所以有a<0,b a=-2.将-2a=b代入不等式ax 2+bx-3a>0,结合a<0化简可得x 2-2x-3<0,解得-1<x<3,所以该不等式的解集为(-1,3).15.(-4,2) 解析因为关于x 的不等式x 2+2x<a b +16b a对任意的a>0,b>0恒成立,所以x 2+2x<a b +16b amin.由基本不等式可知a b +16ba≥2√16=8,当且仅当a=4b 时,等号成立,即x 2+2x<8,解得-4<x<2.16.[0,1] 解析由题知,当k=0时,f (x )=8>0满足条件;当k ≠0时,要使满足条件,则{k >0,Δ=36k 2-4k (k +8)≤0,解得0<k ≤1.综上可知,0≤k ≤1.17.解(1)由题(2x-1)(x+3)<0可得-3<x<12,所以不等式的解集为-3,12.(2)由-2<x 2-3x ≤10可知{x 2-3x +2>0,x 2-3x -10≤0,解得{x >2或x <1,-2≤x ≤5,解得-2≤x<1或2<x ≤5.所以不等式的解集为[-2,1)∪(2,5].18.解(1)由题,当m=0时,f (x )=-2√2x-1不符合题意;当m ≠0时,要使满足条件,则{m <0,Δ=8-4m (m -1)<0,解得m<-1,即m 的取值范围为(-∞,-1).(2)要使满足条件,则{-2x 2-2√2x -3<0,2x 2-2√2x +1<0,可知这样的x 不存在.所以x ∈⌀.19.B 解析因为不等式x 2-2x+5≥a 2-3a 对任意实数x 恒成立,所以x 2-2x+5=(x-1)2+4≥4≥a 2-3a ,解得-1≤a ≤4.故选B.20.±2 解析因为A 只有两个子集,所以可知集合A 是单元素集合.因为A 是不等式x 2+ax+5≤4的解集,即x 2+ax+5≤4的解集只有一个元素,所以Δ=a 2-4=0,解得a=±2.21.[-8,4] 解析若b=0,则有a 2≥0对任意的a ∈R 恒成立满足条件,则λ∈R ;若b ≠0,则该不等式可转化为a b2-λa b+8-λ≥0对任意的a ,b ∈R 恒成立.所以要满足条件,只需Δ=λ2-32+4λ≤0,解得-8≤λ≤4.综上,实数λ的取值范围是[-8,4].22.解(1)因为f (2)=4m+2m+m-1=6,解得m=1.所以f (x )=x 2+x<0,解得-1<x<0,所以使得不等式f (x )<0成立的x 的取值集合为(-1,0).(2)因为函数f (x )的图象恒在x 轴下方,所以当m=0时,f (x )=-1<0满足条件;当m ≠0时,要使满足条件,则{m <0,Δ=m 2-4m (m -1)<0,解得m<0.综上可知,m ≤0,即m 的取值范围为(-∞,0].23.解(1)因为不等式ax 2-4ax+1<0的解集为A={x|x<-2或x>b },所以可知其相应的方程ax 2-4ax+1=0的两个实数解为-2和b.所以-2+b=--4a a=4,解得b=6;-2b=-12=1a ,解得a=-112.(2)因为A=⌀,即不等式ax 2-4ax+1<0无解.当a=0时,f (x )=1>0满足条件;当a ≠0时,要使满足条件,则{a >0,Δ=16a 2-4a ≤0,解得0<a ≤14.综上可知,0≤a ≤14,即a 的取值范围为0,14.24.解(1)设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨,则y=400+60t-120√6t .令√6t =x ∈[0,12],则x 2=6t ,所以y=10x 2-120x+400=10(x-6)2+40.所以当x=6,即t=6时,y min =40.所以从供水开始到第6小时,蓄水池中的水量最少,最少水量为40吨.(2)由(1)可得,10x 2-120x+400<80,即x 2-12x+32<0,解得4<x<8,即4<√6t <8,解得83<t<323.所以可知从供水开始第83小时到323小时,即有8个小时会出现供水紧张的现象.25.解(1)因为0∈M,所以3+a-2a2=-(2a-3)(a+1)<0,解得a<-1或a>32,即a的取值范围为(-∞,-1)∪32,+∞.(2)因为2x2+(3a-7)x+3+a-2a2<0,即有(2x-a-1)(x+2a-3)<0,所以当a<-1时,a+12<0,3-2a>0,所以此时不等式的解集为a+12,3-2a;当a>32时,a+12>0,3-2a<0,所以此时不等式的解集为3-2a,a+12.11。
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数学集训三一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数)2)(1(ai i z +--=为纯虚数，则实数a 的值为A ．－1B ．2C ．1D ．－22．下列命题中真命题的个数是②存在棱锥，其所有面均为直角三角形 ③任意的圆锥都存在两条母线互相垂直 ④任意的三棱柱都可以分割为三个体积相同的三棱锥 A ．1 B ．2 C ．3D ．43．已知432104422104,)3(a a a a a x a x a x a a x +---+++=-则等于A ．256B ．120C ．136D ．164．为了调查黑龙江省高三学生数学学习情况，在某次模拟考试中，黑龙江省普通高中有24000名学生参加，市重点高中有12000名学生参加，省重点高中有8000名学生参加，若采用分层抽样取一个容量为220的样本进行调查，则抽取的普通高中学生为 A ．60名 B ．120名 C ．40名 D ．60名 5.给出右面的程序框图，那么，输出的数是A .3B . 5C .7D .96．在公差不为零的等差数列022,}{11273=+-a a a a n 中，数列}{n b 是等比数列，且77a b =，则)log(86b b 的值为A ．2B ．4C ．8D ．167．已知函数)20,0()sin()(πϕωϕω<<>++=B x A x f 的图象如图所示，则=)(x fA ．2)42sin(4++πx B ．2)42sin(4+--πx C ．4)42sin(2++πx D ．4)42sin(2++-πx8．某教师一天上3个班级的课，每班开节，如果一开共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有排法有 A ．474种 B ．77种 C ．462种 D ．79种 9．已知)(x f 满足),1()1(x f x f --=+且当1>x 时，),1lg(1)(-=x x f 则)(x f 图象为10．已知点A （1，0），椭圆134:22=+y x C ，过点A 作直线交椭圆C 于P 、Q 两点，2=，则直线PQ 的斜率为A ．25B ．252 C ．252±D ．25±11．如图一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在271=t 分钟时的瞬时变化率（ ）（注：1.3≈π） A ．27分米/分钟 B ．9分米/分钟C ．81分米/分钟D ．99分米/分钟12．已知a =110tan ，求50tan 时，同学甲利用两角差的正切公式求得：aa 31350tan +-=；同学乙利用二倍角公式及诱导公式得aa 2150tan 2-=；根据上述信息可估算a 的范围是A ．（32,--∞- ）B ．（3,32--- ）C ．)2,3(--D ．)3,2(--第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区 域内（含边界）的黄豆数为375颗，以此实验数据为 依据可以估计出该不规则图形的面积为 平 方米。
14．抛物线O x y ,42=为坐标原点，A ，B 为抛物线上两个动点，且OB OA ⊥，当直线AB 的倾斜角为45°时，AOB ∆的面积为 。
15．已知数列n a 的前n 项和为n S ，若),)(1(,2121+∈--==N n n n a n S a n n 则=5S 16．已知当x 很小的时候，标准正态分布密度函数2221)(x ex f -=π可用函数)21(21)(2x x g -=π近似，若随机变量ξ服从标准正态分布，则下列说法中正确的是 。
①当01>x 时，有())0(2111x p x x p ≤≤=≤≤-ξξ②当021>>x x 时，有)(1)(12x p x p ≤->≥ξξ③当21,x x 很小且21x x <时，有)]6)6[(21)(31132221x x x x x x p ---≈≤≤πξ④当21,x x 很小且21x x <时，有)(21)(2121x x x x p -≈<≤πξ三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知在东西方向上有M ，N 两座小山，山头上各有一个发射塔A ，B ，塔顶A ，B 的海拔高度分别为AM=100米和BN=200米，在水平面上有一条公路为西偏北30°方向行驶了1003米后在点Q 处测得发射塔顶B 处的仰角为θ,且θ=∠BQA ,经测量2tan =θ求两发射塔顶A,B 的直线距离.18．（本小题满分12分）第11届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪建筑华章，欢乐相约世界”为主题，于2009年12月24日正式开园。
在建园期间，甲、乙、丙三个工作队负责从冰冻的松花江中采出尺寸相同的冰块。
在冰景制作过程中，需要对冰块进行雕刻，有时冰块会碎裂，假设冰块碎裂后整块冰块就不能使用，定义：冰块利用率=,所采冰块总数使用的冰块数假设甲、乙丙工作队所采冰块分别占采冰总量的25%、35%、40%，各队采出的冰块利用率分别为0.8，0.6，0.75，（1）在采出的冰块中有放回地抽取三块，其中由甲工作队采出的冰块数记为ξ，求ξ的分布列及其数学期望；（2）在采出的冰块中任取一块，求它被利用的概率。
19．（本小题满分12分）已知棱台ABCD —''''D C B A 及其三视图尺寸如图所示，P 、Q 分别为CB B B ,'的中点。
（1）填写棱台各顶点字母，并证明：PQ//平面;''D D AA （2）求二面我A DD B --'的正切值。
20．已知椭圆方程为13422=+y x ，右焦点F （1，0），准线上一点)33,4(C ，过点F 的直线l 交椭圆与A 、B 两点。
（1）若直线l 的倾斜角为π32，A 点纵坐标为正数，求;CAF S ∆ （2）证明直线AC 和直线BC 斜率之和为定值，并求此定值。
21．定义：),()(,,),,0(,ln ),(axx F x f R y x x xy y x F =∈+∞∈+=（其中0≠a ）。
（1）求)(x f 的单调区间； （2）若21)(-<x f 恒成立，试求实数a 的取值范围； （3）记)()('x f x f 为的导数，当a=1时，对任意的*N n ∈，在区间)](',1[n f 上总存在k 个正数421,,,a a a ，使∑=≥ki i a f 12010)('成立，试求k 的最小值。
请考生在第22，23，24三题中任选一题做答，写出必要的解答过程，如果多做，则按 所做的第一题计分 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明明选讲如图所示，在︒=∠∆90,ACB ABCD Rt 中，点O 为三角形外的一点，以O 为圆心，OC 为半径的圆与边AB 相切，切点为E ，圆O 与边BC 相交于D 点，直径EF 与边BC 交于G点，连接AC 。
（1）求证：A 、E 、G 、C 四点共圆； （2）求证：AG//ED 。
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2:1y x C （θ为参数），曲线⎩⎨⎧+-=+==ααsin 1cos 12t y t x C （t 为参数）（1）若4π=a ，求曲线C 2的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）曲线C 1和曲线C 2的交点记为M ，N ，求|MN|的最小值。
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 解不等式：.|log ||||log ||x x x x +<+数学答案（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）B C A B D B C A D D B C二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.83 14. 58 15. 25616. ①②③ 三．解答题（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17.解：在AMP Rt ∆中，30oAPM ∠=,100=AM 3100=∴PM (3)分连结QM ，在PQM ∆中，60oQPM ∠=，又PQ =PQM ∴∆为等边三角形QM ∴= (6)分在AMQ Rt ∆中，由222AQ AM QM =+得200AQ =又在Rt BNQ ∆中，tan 2θ=，200BN =，BQ ∴=……… 9分在BQA ∆中，22222cos BA BQ AQ BQ AQ θ=+-⋅=（BA ∴=答：,A B两塔顶间的直线距离是. ……… 12分18.解：(1)任取一块冰是由甲工作采出的冰块的概率为14依题意0,1,2,3ξ=，且1(3,)4B ξ ………1分3313()(0,1,2,3)44k kkP k C k ξ-⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭27(0)64P ξ==27(1)64P ξ==9(2)64P ξ==1(3)64P ξ==ξ∴的分布列为ξ0 1 2 3P2764 2764 964 164……… 5分13344E ξ∴=⨯= ……… 6分 （2）用1A 表示事件“冰块是由甲工作队采出的”；2A 表示事件“冰块是由乙工作队采出的”；3A 表示事件“冰块是由丙工作队采出的”，用B 表示事件“采出的冰块能被利用”， ……… 8分则()10.25P A =， ()20.35P A =，()30.40P A =,()10.8P B A =,()20.6P B A =,()30.75P B A = ……… 10分123()()()()P B P BA P BA P BA =++112233()()()()()()P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.80.350.60.40.75=⨯+⨯+⨯0.71=答：采出的冰块能被利用的概率是0.71. ……… 12分19. 解：（解法一）（1）字母如图所示．……… 2分∵梯形A ADD ''、A ABB ''、A B C D ''''、ABCD 均为直角梯形， 且182A B DC AB ''===，2D C A B DC ''''== 连结B C '、PQ ，则PQ ∥B C '，又∵//A B DC ''，且A B DC ''=，∴A B CD ''为矩形 ∴//B C A D ''，∴//PQ A D '又PQ ⊄平面A ADD ''，A D '⊂平面A ADD ''∴PQ ∥平面A ADD ''． ……… 6分 （2）延长,,DD AA BB '''交于一点G ，∵B A ''⊥面ADG ，作A H '⊥D D '于H ，连结HB '，则HB DD ''⊥则∠B HA ''为二面角B DD A '--的平面角． ……… 9分 在Rt △D A G ''中，易得12,5A G A D '''==∴1151222A H D G ''⨯⨯=⨯⨯，即6013A H '= ∴26tan 15AB B HA A H ''''∠=='．即二面角B DD A '--的正切值为2615. ……… 12分另解：由三视图得：BA ⊥面A ADD ''，作AH DD '⊥，垂足为H ，连BH∵,,DD AH DD AB AB AH H ''⊥⊥=D∴DD '⊥面BAH ，∴DD BH '⊥∴BHA ∠为二面角B DD A '--的平面角12sin 13D DA '∠=,∴12120sin 101313AH AD D DA '=⋅∠=⨯=∴1326tan 1612015AB BHA AH ∠==⨯= ……… 12分 （解法二）（1）(0,16,0),(0,8,12),B B '(10,8,0)C ，∴(0,12,6),(5,12,0)P Q(5,0,6)=-，又平面AA D D ''的法向量1n (0,1,0)=，则PQ ⋅ 1n 0=，∴PQ⊥1n又PQ ⊄平面AA D D ''，∴//PQ 平面AA D D '' ……… 6分（2）(10,0,0),(5,0,12)D D '，∴(10,16,0),(5,16,12)BD BD '=-=-设平面BDD '的法向量2n (,,)x y z =则10160516120BD x y BD x y z ⎧⋅=-=⎪⎨'⋅=-+=⎪⎩，所以一个法向量2n 10(8,5,)3= ∴<1n ,2n >的大小是二面角B DD A '--的平面角的大小，设为θ ∴cos cos θ=<1n ,2n >==sin θ== ∴26tan 5θ=， 即二面角B DD A '--的正切值为2615. ……… 12分 20. 解：(1)（解法一）椭圆上顶点A '，A F k '=l 的斜率2tan 3k π==2n 2n∴A '与A 重合.ACF AOF CFE AOEC S S S S =-- 梯形()111222OA CE OE OA OF FE CE =+⋅-⋅-⋅= ……4分（解法二）直线AF：1)y x =-，2AF =点C 到直线AF的距离d ==12ACF S AF d =⋅= ………4分（解法三）设准线与x 轴交于点E ,过点AD ,AF e AD=cos3AD EF AF π=+,1cos3e EF AF e π∴=-13,,22EF e AF ==∴= …2分36,tan CE EF CF CFE CFE ==∴=∠==3AFC π∴∠=162sin 23CAF S π∆∴=⨯⨯⨯=(2) ①若直线为0y =时，经验证，AC BC k k +=②若直线不为0y =时，设直线l 方程为1x my =+，设1122(,),(,)A x y B x y22134120x my x y =+⎧⎨+-=⎩ 整理得：22(34)690m y my ++-= ，223636(34)0m m ∆=++>恒成立 设1122(,),(,)A x y B x y12122269,3434m y y y y m m ∴+=-=-++ ………6分 11111144(1)3AC y y y k x my my ===--+- 同理，223BC y k my =- ………8分1212AC BC k k ∴+== ………10分2222269(3)()2()34346993()()3434m m m m m m m m m --++++=---+++==∴直线AC 与直线BC的斜率之和为定值………12分21.解：（1）21()ln (0)f x x x x a =+>，则2212()x a f x x a x ax+'=+= ………1分 ①当0a >时，()0f x '>对(0,)x ∈+∞恒成立，()f x 在(0,)+∞上递增②当0a <时，令()0f x '=，则2x =， ………2分x ∈时，()0f x '>，()f x为增函数；)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 为减函数 综上，0a >时，()f x 增区间为(0,)+∞；0a <时，()f x增区间为，减区间为)+∞. ………4分 （2）由（1）知0a >时，()f x 在(0,)+∞递增，且1x =时，1(1)0,f a =>则11(1),()22f f x >-∴<-不恒成立，故0a < ………5分 又()f x 的极大值即()f x最大值21((ln 222f a =+ 1()2f x <- 恒成立，只须[]max 1()2f x <-∴ln 02<，即012<< ∴20a -<< ………6分（3）当1a =时，2()ln f x x x =+，1()2f x x x '=+令()()g x f x '=，则21()2g x x'=- ………8分 当[1,)x ∈+∞时，()0g x '> ∴1()2f x x x'=+在[1,)+∞上是增函数 当*n N ∈时，1()2f n n n'=+> ∴()f x '在[1,()]f n '上是增函数 ………10分当1n =时，(1)3f '=∴当[1,(1)],1,2,3,,i a f i k '∈= 时，19()((1))(3)3i f a f f f ''''≤==则为使得k 最小，需19(),1,2,3,,3i f a i k '== ，则1920103k ≥，又*k N ∈，所以min 318k = 当1n >时，()(1)f n f ''>，∴当[1,()],1,2,3,,i a f n i k '∈= 时，1()(())(2)i f a f f n f n n ''''≤=+则为使得k 最小，需1()(2),1,2,3,,i f a f n i k n''=+= ， 则1(2)2010f n k n '+⨯≥，又119(2)(3)3f n f n ''+>=又*k N ∈，所以min 318k < 当318k <时，对1n =时，不存在k 个正数，使得1()2010kii f a ='≥∑ 所以，min 318k = ………12分22. 证明：（1） 圆O 与边AB 相切于点E ，∴90AEG ∠=又 90ACG ∠= ∴180AEG ACG ∠+∠= ∴A 、E 、G 、C 四点共圆. ………5分（2） A 、E 、G 、C 四点共圆，∴AEC AGC ∠=∠又 AB 是圆O 的切线，∴AEC EDC ∠=∠∴ EDC AGC ∠=∠∴//AG ED ………10分23. 解：（1）12()11412x t x y y πα⎧=+⎪⎪=∴∴-=+⎨⎪=-+⎪⎩ 为参数∴ 曲线2C 的普通方程是2y x =- ………2分它表示过(1,1)-，倾斜角为4π的直线 ………3分 （2）解法一：曲线1C 的普通方程为224x y += …5分设(1,1)G -，过G 作MN OG ⊥，以下证明 此时MN 最小 过G 作直线M N ''，M N ''与MN 不重合M N ''=MN =在Rt OG G '∆中，OG OG '> MN M N ''∴< ………8分此时，MN ==………10分 另解：曲线1C 的普通方程为224x y += ………5分 将1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩代入224x y +=中，得22(1cos )(1sin )4t t αα++-+= ………7分 22(cos sin )20t t αα∴+--=12MN t t =-==………9分4MN MN πα∴==当时，最小 ………10分24.解：由已知得0>x ，∴原不等式化为x x x x 33log log +<+ ………2分（1）当3log 0x ≥时，33log log x x x x +<+不成立 ………4分（2）当0log 3<x 时，x x x x 33log log -<+此不等式等价于⎩⎨⎧->+-<+x x x x x x x x 3333log log log log 即⎩⎨⎧><<010x x 10<<∴x ………8分故原不等式的解集为{}01x x << ………10分 另解：由绝对值不等式性质333log log log 001x x x x x x x +<+⇔<⇔<< ∴原不等式的解集为{}01x x << ………10分。