【精品】高三数学经典讲义理科拓展专题教师版
2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书全套打包下载第13章 选修系列
第十三章选修系列 选修4-4坐标系与参数方程第1讲 坐标系1．坐标系 (1)伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．(2)极坐标系在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）Ｗ. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 4．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.导师提醒熟记几种简单曲线的极坐标方程曲线图形 极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆 ρ＝r(0≤θ<2π)圆心为(r ，0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos θ(－π2≤θ<π2) 圆心为(r ，π2)，半径为r 的圆ρ＝2r sin θ(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线(1)θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R )，(2)θ＝α和θ＝π＋α过点(a ，0)，与极轴垂直的直线ρcos θ＝a(－π2<θ<π2)过点(a ，π2)，与极轴平行的直线ρsin θ＝a(0<θ<π)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( ) (2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝⎛⎭⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析：选 A.y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为ρsin θ＝1－ρcos θ，即ρ＝1sin θ＋cos θ，由0≤x ≤1，得0≤y ≤1，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.故选A. 在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( )A ．ρsin θ＝1B ．ρsin θ＝ 3C ．ρcos θ＝1D ．ρcos θ＝ 3解析：选 A.先将极坐标化成直角坐标表示，P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平等于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________．解析：法一：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2. 法二：由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2，知圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2. 答案：⎝⎛⎭⎫1，－π2在极坐标系中A ⎝⎛⎭⎫2，－π3，B ⎝⎛⎭⎫4，2π3两点间的距离为________．解析：法一(数形结合)：在极坐标系中，A ，B 两点如图所示，|AB |＝|OA |＋|OB |＝6.法二：因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3的直角坐标为A (1，－3)，B (－2，23)．所以|AB |＝（－2－1）2＋（23＋3）2＝6.答案：6平面直角坐标系中的伸缩变换(自主练透)1．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后的图形．(1)5x ＋2y ＝0； (2)x 2＋y 2＝1.解：伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12xy ′＝13y ，则⎩⎨⎧x ＝2x ′y ＝3y ′，(1)若5x ＋2y ＝0，则5(2x ′)＋2(3y ′)＝0，所以5x ＋2y ＝0经过伸缩变换后的方程为5x ′＋3y ′＝0，为一条直线．(2)若x 2＋y 2＝1，则(2x ′)2＋(3y ′)2＝1，则x 2＋y 2＝1经过伸缩变换后的方程为4x ′2＋9y ′2＝1，为椭圆． 2．求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标． 解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′，代入曲线C ：x 2－y 264＝1，得x ′29－y ′216＝1，即曲线C ′的方程为x 29－y 216＝1，因此曲线C ′的焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)．3．将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1的一个伸缩变换公式为φ：⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax （a >0），Y ＝by （b >0），求a ，b 的值．解：由⎩⎨⎧X ＝ax ，Y ＝by 得⎩⎨⎧x ＝1aX ，y ＝1bY ，代入x 2＋y 2＝1中得X 2a 2＋Y 2b 2＝1，所以a 2＝9，b 2＝4，因为a >0，b >0，所以a ＝3，b ＝2.(1)平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，整理得y ′＝h (x ′)为所求．(2)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解．极坐标与直角坐标的互化(师生共研)(1)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l的距离．(2)把曲线C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0化为极坐标方程．【解】 (1)由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2，所以y －x ＝1. 由点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)， 所以d ＝|2＋2＋1|2＝522.即点A 到直线l 的距离为522. (2)将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可． (2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．1．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22(ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，故直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎨⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)， 将(0，1)转化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2即为所求． 2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2.(1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2.所以O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.求曲线的极坐标方程(师生共研)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1(0≤θ＜2π)，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 【解】 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得 ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)由(1)知，M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点．(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式． (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．1．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的极坐标方程．解：设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 2．圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，且圆C 经过极点．求圆C 的极坐标方程． 解：圆心C 的直角坐标为(2，2)，则设圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝r 2， 依题意可知r 2＝(0－2)2＋(0－2)2＝4，故圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4，化为极坐标方程为ρ2－22ρ(sin θ＋cos θ)＝0， 即ρ＝22(sin θ＋cos θ)．极坐标方程的应用(师生共研)(2019·山西八校第一次联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝4＋5sin α(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程； (2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B 两点，求△AOB 的面积． 【解】 (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25， 即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ. (2)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，π3. 把θ＝π6代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋3 3.所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋33，π6. 把θ＝π3代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋43，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋43，π3. 所以S △AOB ＝12ρ1ρ2sin ∠AOB＝12(4＋33)(3＋43)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π6 ＝12＋2534.极坐标应用中的注意事项(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正半轴重合；③取相同的长度单位．(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0，2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)建立一一对应关系．1．(2019·长春质量检测)在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin 2θ)＝4，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程和C 2的普通方程； (2)极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B (ρ2，θ0＋π2)都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值． 解：(1)由题意可得，曲线C 1的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1，C 2的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)由点A ，B 在曲线C 1上，得ρ21＝41＋3sin 2θ0，ρ22＝41＋3sin 2（θ0＋π2），则1ρ21＝1＋3sin 2θ04，1ρ22＝1＋3cos 2θ04，因此1ρ21＋1ρ22＝1＋3sin 2θ04＋1＋3cos 2θ04＝54.2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(其中φ为参数)，曲线C 2：x 28＋y 24＝1.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (且点A ，B 均异于原点O )，当0<α<π2时，求|OB |2－|OA |2的最小值．解：(1)曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ， 同理，可得C 2的极坐标方程为ρ2＝81＋sin 2θ.(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C 1的极坐标方程得|OA |2＝4cos 2α， 联立θ＝α(ρ≥0)与C 2的极坐标方程得|OB |2＝81＋sin 2α，则|OB |2－|OA |2＝81＋sin 2α－4cos 2α＝81＋sin 2α－4(1－sin 2α)＝81＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)－8≥281＋sin 2α×4（1＋sin 2α）－8＝82－8(当且仅当sin α＝2－1时取等号)．所以|OB |2－|OA |2的最小值为82－8.[基础题组练]1．将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C . (1)求曲线C 的标准方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与直线l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎨⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的标准方程为x 2＋y 24＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线的斜率为k ＝12， 于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ.2．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积． 解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.3．(2019·湖南湘东五校联考)平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M (－2，－4)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ.(1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA |·|MB |＝40，求倾斜角α的值．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝－4＋t sin α(t 为参数)，ρsin 2θ＝2cos θ，即ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的直角坐标方程得y 2＝2x .(2)把直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得 t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 由一元二次方程根与系数的关系得，t 1t 2＝20sin 2α， 根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝20sin 2α＝40，得α＝π4或α＝3π4.又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin 2α>0，所以α＝π4.4．(2019·太原模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2：x 2＋y 2－2y ＝0，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (均异于原点O )．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)当0<α<π2时，求|OA |2＋|OB |2的取值范围．解：(1)因为⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝sin φ(φ为参数)，所以曲线C 1的普通方程为x 22＋y 2＝1.由⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ得曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ. 因为x 2＋y 2－2y ＝0，所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (2)由(1)得|OA |2＝ρ2＝21＋sin 2α，|OB |2＝ρ2＝4sin 2α， 所以|OA |2＋|OB |2＝21＋sin 2α＋4sin 2α＝21＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)－4， 因为0<α<π2，所以1<1＋sin 2α<2，所以6<21＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)<9，所以|OA |2＋|OB |2的取值范围为(2，5)．[综合题组练]1．(应用型)(2019·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程； (2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |. 解：(1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )(tan θ＝3)．(2)由⎩⎨⎧ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，所以1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27. 2．在直角坐标系中，已知曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋22cos β，y ＝1＋22sin β(β为参数)，在极坐标系中，直线l 1的方程为α1＝θ，直线l 2的方程为α2＝θ＋π2. (1)写出曲线M 的普通方程，并指出它是什么曲线；(2)设l 1与曲线M 交于A ，C 两点，l 2与曲线M 交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝1＋22cos β，y ＝1＋22sin β(β为参数)，消去参数β，得曲线M 的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝8，所以曲线M 是以(1，1)为圆心，22为半径的圆． (2)设|OA |＝ρ1，|OC |＝ρ2，因为O ，A ，C 三点共线，则|AC |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2 (*)，将曲线M 的方程化成极坐标方程，得ρ2－2ρ(sin θ＋cos θ)－6＝0，所以⎩⎨⎧ρ1＋ρ2＝2（sin θ＋cos θ），ρ1ρ2＝－6，代入(*)式得|AC |＝28＋4sin 2θ.用θ＋π2代替θ，得|BD |＝28－4sin 2θ，又l 1⊥l 2，所以S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |，所以S 四边形ABCD ＝12（28＋4sin 2θ）（28－4sin 2θ）＝249－sin 22θ，因为sin 22θ∈[0，1]，所以S 四边形ABCD ∈[83，14]．3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t y ＝3＋12t (t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为(23，θ)，其中θ∈(π2，π)． (1)求θ的值；(2)若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值． 解：(1)由题意知，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，即ρ＝4sin θ. 由ρ＝23，得sin θ＝32， 因为θ∈(π2，π)，所以θ＝2π3.(2)由题，易知直线l 的普通方程为x ＋3y －43＝0，所以直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0.又射线OA 的极坐标方程为θ＝2π3(ρ≥0)， 联立，得⎩⎨⎧θ＝2π3（ρ≥0）ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0，解得ρ＝4 3. 所以点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2π3， 所以|AB |＝|ρB －ρA |＝43－23＝2 3.4．(综合型)(2019·长沙模拟)在极坐标系中，已知曲线C 1：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，C 2：ρ＝1(0≤θ≤π)，C 3：1ρ2＝cos 2θ3＋sin 2θ.设C 1与C 2交于点M . (1)求点M 的极坐标；(2)若直线l 过点M ，且与曲线C 3交于不同的两点A ，B ，求|MA |·|MB ||AB |的最小值． 解：(1)曲线C 1：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，可得x －y ＝1，C 2：ρ＝1(0≤θ≤π)，可得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，由⎩⎨⎧x －y ＝1，x 2＋y 2＝1（y ≥0），可得点M 的直角坐标为(1，0)，因此点M 的极坐标为(1，0)． (2)由题意得，曲线C 3的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1.设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入曲线C 3的直角坐标方程并整理得(3sin 2α＋cos 2α)t 2＋(2cos α)t －2＝0.设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－2cos α3sin 2α＋cos 2α，t 1t 2＝－23sin 2α＋cos 2α，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝23sin 2α＋cos 2α，|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2cos α3sin 2α＋cos 2α2－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23sin 2α＋cos 2α ＝231＋sin 2α3sin 2α＋cos 2α.所以|MA |·|MB ||AB |＝331＋sin 2α.因为0≤α<π，所以0≤sin 2α≤1.所以当α＝π2时，sin α＝1，此时|MA |·|MB ||AB |有最小值，最小值为66.第2讲 参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称 普通方程 参数方程直线 y －y 0＝k (x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (t 为参数)圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝R 2⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θy ＝y 0＋R sin θ(θ为参数且0≤θ<2π)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t y ＝b sin t (t 为参数且0≤t <2π)抛物线y 2＝2px (p >0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt (t 为参数) 导师提醒1．关注直线参数方程的三个应用及一个易错点 (1)三个应用：已知直线l 经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α，点M (x ，y )为l 上任意一点，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． ①若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则|M 0M 1→| |M 0M 2→|＝|t 1t 2|，|M 1M 2→|＝|t 2－t 1|＝（t 2＋t 1）2－4t 1t 2；②若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝t 1＋t 22； ③若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0.(2)一个易错点：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义．2．掌握圆的参数方程的两种应用(1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．(2)求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量．( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM的斜率为 3.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上解析：选B.由⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎨⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1，2)，在直线y ＝－2x 上．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．解析：直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过点(3，0)， 则3－a ＝0， 所以a ＝3. 答案：3椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |min ＝________．解析：由⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)得，x 225＋y 29＝1，当AB ⊥x 轴时，|AB |有最小值． 所以|AB |min ＝2×95＝185.答案：185如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．解析：圆的半径为12，记圆心为C ⎝⎛⎭⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ， y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)参数方程与普通方程的互化(自主练透) 1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)． 解：(1)由t 2－1≥0⇒t ≥1或t ≤－1⇒0<x ≤1或－1≤x <0.由⎩⎨⎧x ＝1t ①，y ＝1t t 2－1②，①式代入②式得x 2＋y 2＝1.其中⎩⎨⎧0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎨⎧－1≤x <0，－1<y ≤0.(2)由x ＝2＋sin 2θ，0≤sin 2θ≤1 ⇒2≤2＋sin 2θ≤3⇒2≤x ≤3，⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ⇒⎩⎨⎧x －2＝sin 2θ，y ＝－1＋1－2sin 2θ⇒ ⎩⎨⎧x －2＝sin 2θy ＝－2sin 2θ⇒2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)． 2．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．解：曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1， 曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4. 直线l 的普通方程为x －y ＋25＝0.(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得(2x －2)2＋y 2＝4，即(x －1)2＋y 24＝1，再将所得曲线向左平移1个单位长度， 得曲线C 1：x 2＋y 24＝1，则曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设曲线C 1上任一点P (cos θ，2sin θ)， 则点P 到直线l 的距离 d ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5sin （θ＋φ）|2≥102⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝－12，所以点P 到直线l 的距离的最小值为102.将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．参数方程的应用(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率． 【解】 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0. ①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4（2cos α＋sin α）1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．(2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长l ＝|t 1－t 2|；②弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； ③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.1．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255. 2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117，由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.参数方程与极坐标方程的综合应用(师生共研)(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a ，1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t2，y ＝1＋2t 2(t 为参数，a ∈R )．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA |＝2|PB |，求实数a 的值．【解】 (1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t 2，y ＝1＋2t2(t 为参数，a ∈R )，所以曲线C 1的普通方程为x －y －a ＋1＝0.因为曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0， 所以ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0， 又ρcos θ＝x ，ρ2＝x 2＋y 2， 所以x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x . (2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝a ＋2t 2，y ＝1＋2t 2，得t 2－22t ＋2－8a ＝0.Δ＝(22)2－4(2－8a )>0，即a >0，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝22，t 1t 2＝2－8a ，根据参数方程中参数的几何意义可知|PA |＝|t 1|，|PB |＝|t 2|， 所以由|PA |＝2|PB |得t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，所以当t 1＝2t 2时，有⎩⎨⎧t 1＋t 2＝3t 2＝22，t 1t 2＝2t 22＝2－8a ，解得a ＝136>0，符合题意， 当t 1＝－2t 2时，有⎩⎨⎧t 1＋t 2＝－t 2＝22，t 1t 2＝－2t 22＝2－8a ，解得a ＝94>0，符合题意．综上所述，a ＝136或a ＝94.(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．1．(2019·长沙模拟)平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝3＋t cosπ4，y ＝t sin π4(t 为参数)，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)求直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程是x 24＋y 2＝1.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos π4，y ＝t sin π4代入x 24＋y 2＝1得，52t 2＋6t －1＝0，Δ＝(6)2－4×52×(－1)＝16>0.设方程的两根是t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－265，t 1t 2＝－25， 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝⎝⎛⎭⎫－2652－4×⎝⎛⎭⎫－25＝6425＝85. 2．(2019·西安模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2(t 为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝21－cos θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)设M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，求|M 1M 2|的最小值． 解：(1)因为ρ＝21－cos θ，所以ρ－ρcos θ＝2， 即ρ＝ρcos θ＋2.因为x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2＋y 2，所以x 2＋y 2＝(x ＋2)2，化简得y 2－4x －4＝0.所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2－4x －4＝0.(2)因为⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2，所以2x ＋y ＋4＝0.所以曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＋4＝0.因为M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，所以|M 1M 2|的最小值等于点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离的最小值． 不妨设M 2(r 2－1，2r )，点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离为d ，则d ＝2|r 2＋r ＋1|5＝2[（r ＋12）2＋34]5≥325＝3510，当且仅当r ＝－12时取等号．所以|M 1M 2|的最小值为3510. [基础题组练]1．在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k(m为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝1k （x ＋2）.消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2（cos 2θ－sin 2θ）＝4，ρ（cos θ＋sin θ）－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110，代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.2．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2＜1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4＜α＜3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α(α为参数，π4＜α＜3π4)． 3．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 过点P (1，0)且与曲线C 交于A ，B 两点，若|PA |＋|PB |＝5，求直线l 的倾斜角α.解：(1)由ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y ⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2.故曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)由条件可设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入圆的方程，有t 2－2t sin α－1＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2sin α，t 1t 2＝－1，|PA |＋|PB |＝|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4sin 2α＋4＝5，解得sin α＝12或sin α＝－12(舍去)，故α＝π6或5π6.4．(2019·合肥质检)在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6.(1)写出曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程； (2)若过点A ⎝⎛⎭⎫22，π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，求|AP ||AM |·|AN |的值．解：(1)由题意可得曲线C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程可得，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ4＝1.因为曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ4＝1；曲线D 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.(2)点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，π4，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22cos π4＝2，y ＝22sin π4＝2，所以A (2，2)．因为直线l 过点A (2，2)且倾斜角为π3，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3(t 为参数)，代入x 29＋y24＝1可得，314t 2＋(8＋183)t ＋16＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1＋t 2＝－32＋72331，t 1t 2＝6431，所以|AP ||AM |·|AN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22|t 1t 2|＝4＋9316.[综合题组练]1．(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)．在以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点M 在直角坐标系中的坐标为(2，2)，若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，求|MA |·|MB |的值．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t消去参数t 可得y ＝3(x －2)＋2，所以直线l 的普通方程为3x －y ＋2－23＝0. 因为ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ，所以ρ2sin 2θ＋4ρsin θ＝ρ2. 因为ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)将⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t 代入抛物线方程x 2＝4y 中，可得(2＋12t )2＝4(2＋32t )，即t 2＋(8－83)t －16＝0.因为Δ>0，且点M 在直线l 上，所以此方程的两个实数根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2，所以t 1t 2＝－16， 所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝16.2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos。
【精品】高三数学经典讲义解析几何专题教师版
高三数学寒假班（教师版）（一）直线①直线方程的适用范围，只有点法向式和一般式可以表示坐标平面内的所有直线 ②倾斜角的范围：[0,)π ③两直线夹角的范围：[0,2π（二）圆弦长公式：（三）椭圆①定义：1212||||22||PF PF a c F F +=>=【1212||||||PF PF F F +=表示的是线段】，222a b c =+ ②1||[,]PF a c a c ∈-+ ③焦点三角形面积122tan2PF F S b θ=△，12F PF θ=∠（四）双曲线①定义：1212||||||22||P F P F a c F F-=<=【1212||||||||PF PF F F -=表示的是两条射线】，222c a b =+②1||[,)PF c a ∈-+∞③焦点三角形面积122cot2PF F S b θ=△，12F PF θ=∠④渐近线（五）抛物线①定义中注意定点不在直线上，在直线上的时候表示的是直线 ②焦点弦公式12||AB x x p =++或12||AB y y p =++ （六）其他注意事项1、弦长公式1212||||x AB x x y y =-==-= 2、椭圆、双曲线、抛物线焦点位置的讨论解析几何知识梳理1、直线与圆锥曲线的概念、性质类问题【例1】设i ，j 分别表示平面直角坐标系x ，y 轴上的单位向量，且25a i a j -+-=，则2a i+的取值范围为． 【难度】★★ 【答案】⎤⎥⎦【解析】由25a i a j -+-=，可得a 在坐标平面上的轨迹为线段AB 【注意，不是椭圆】2a i +看成线段上的动点P 到定点(2,0)Q -的距离，数形结合即可得答案⎤⎥⎦． 其中min2a i +为点Q 到直线AB 的距离；max2a i +为QB ．【例2】平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2C x py =()0p >交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的ca的值为 ． 【难度】★★ 【答案】32【例3】如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的 取值范围是（ ）A ．[1,1)-B ．{}1,0-C ．(,1][0,1)-∞- D．[1,0](1,)-+∞【难度】★★ 【答案】A例题解析【解析】①两平行直线：0λ=（符合） ②圆：1λ=（符合） ③椭圆ⅰ）焦点在x 轴的椭圆：(1,)λ∈+∞（不符合）ⅱ）焦点在y 轴的椭圆：(0,1)λ∈（符合）④双曲线ⅰ）等轴双曲线：1λ=-（符合）ⅱ）渐近线较陡：(1,0)λ∈-（符合）ⅲ）渐近线较平：(,1)λ∈-∞-（不符合）【例4】在平面直角坐标系中有两点(A -、(1B ，以原点为圆心、(0)r r >为半径作一个圆，与射线(0)y x =<交于M ，与x 轴正半轴交于N ，则当r 变化时||||AM BN +的最小值为 ．【难度】★★【答案】【解析】y =的倾斜角为120︒，OB l 的倾斜角为60︒ 易证BOM BON △≌△，∴||||BM BN =∴|||||||||'||||'|AM BN AM BM A M BM A B +=+=+≥='(A -【例5】设圆O 1和圆O 2是两个相离的定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹可能是①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是（ ）A ．① ③B ．② ③C ．① ②D ．① ② ③ 【难度】★★★ 【答案】C【解析】（1）12r r =，① 动圆与这两个圆都外切，此时轨迹为一条直线（12O O 的中垂线）② 动圆与这两个圆都内切，情况同①③ 动圆与这两个圆一个外切、一个内切， 设动圆半径为R ，12r r r == 则111222||2PO R r PO R rPO PO r PO R r PO R r ⎧=+=-⎧⎪⇒-=⎨⎨=-=+⎪⎩⎩或，此时轨迹为一条双曲线（2）12r r ≠（以12r r >为例进行分析） ① 动圆与这两个圆都外切， 11121222||PO R r PO PO r r PO R r =+⎧⇒-=-⎨=+⎩此时轨迹为双曲线的一支② 动圆与这两个圆都内切， 11122122||PO R r PO PO r r PO R r =-⎧⇒-=-⎨=-⎩此时轨迹为双曲线的一支③ 动圆与这两个圆一个外切、一个内切，则111112122222||PO R r PO R r PO PO r r PO R r PO R r ⎧=+=-⎧⎪⇒-=+⎨⎨=-=+⎪⎩⎩或， 此时轨迹为一条双曲线 综上，选C【巩固训练】1．已知曲线C ：22||||1x x y y a b-=，下列叙述中错误的是（ ）． A ．垂直于x 轴的直线与曲线C 只有一个交点B ．直线y kx m =+（,k m ∈R ）与曲线C 最多有三个交点 C ．曲线C 关于直线y x =-对称D ．若111(,)P x y ，222(,)P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x ->-【难度】★★ 【答案】C2．给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=，则ABC ∆面积的最大值为 ． 【难度】★★【答案】【解析】∵BC 为定值，∴BC 边上的高最长 由3,2,3OB OC OB OC ==⋅=，可得60BOC ∠=︒利用余弦定理，可求得BC =11sin 22BOC S OB OC BOC BC OH =⋅⋅⋅∠=⋅⋅△，解得OH =max 1()(4)22ABC S BC OH =⋅⋅+=△2、圆锥曲线解答题【例6】已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为(,0)F c -,c a =，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆2224b x y +=截得的线段的长为c ，||FM ．（1）求直线FM 的斜率； （2）求椭圆的方程；（3）设动点P 在椭圆上，若直线FP，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围． 【难度】★★【答案】（1）由已知有2213c a =，又由222a b c =+，可得223a c =，222b c =，设直线FM 的斜率为(0)k k >，则直线FM 的方程为()y k x c =+，由已知有22222c b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得k = （2）由（1）得椭圆方程为2222132x y c c+=，直线FM 的方程为()y k x c =+，两个方程联立，消去y ，整理得223250x cx c +-=，解得53x c =-或x c =， 因为点M 在第一象限，可得M的坐标为c ⎛⎫⎪⎝⎭，=，解得1c =， 所以椭圆方程为22132x y +=（3）设点P 的坐标为(,)x y ，直线FP 的斜率为t ，得1yt x =+，即(1)y t x =+(1)x ≠-, 与椭圆方程联立22(1)132y t x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得22223(1)6x t x ++=，又由已知，得t =>312x -<<-或10x -<<， 设直线OP 的斜率为m ，得ym x=，即(0)y mx x =≠， 与椭圆方程联立，整理可得22223m x =-．①当3,12x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，有(1)0y t x =+<，因此0m >，于是m =，得m ∈ ②当()1,0x ∈-时，有(1)0y t x =+>，因此0m <，于是m =,m ⎛∈-∞ ⎝综上，直线OP的斜率的取值范围是22,,⎛⎛-∞ ⎝【例7】已知双曲线C 的右顶点为(1,0)A ，左焦点为F ，过A 且倾斜角为150︒的直线l 与双曲线C 的另一个交点为B ，线段AB 的中点的横坐标是18-． （1）求双曲线C 的标准方程； （2）求AFB ∠的大小；（3）若动点B '在双曲线C 的左支上，设AFB FAB λ''∠=∠，问λ的值是否随点B '的位置改变而改变？试说明理由． 【难度】★★【答案】（1）直线l的斜率tan150k =︒=l 的方程为1)y x =-， 设双曲线C 的标准方程为2221(0)y x bb-=>，点B 的坐标为11(,)x y ，则由2221)1y x y x b ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得222(31)2130b x x b -+--=，得122131x b +=--，由121112318x b +=-=--，解得b =C 的标准方程为2213y x -= （2）由（1）知直线l 与双曲线C 的交点的横坐标满足方程 2450x x +-=，解得125,14x x =-=，得点B 的坐标为5(4-， 又点F 的坐标为(2,0)-，所以直线BF 的斜率为BF k =60AFB ∠=︒； （3）满足AFB FAB λ''∠=∠的2λ=不随点B '位置的改变而改变．证明：设点00(,)B x y '，则22013y x -=， 当B F x '⊥轴时，(2,3)B '-±，AFB '∆为等腰三角形，2AFB FAB ''∠=∠； 当B F x '与轴不垂直时，B F '的斜率为00tan 2B F y k FAB x ''=∠=+， AB '的斜率为001AB y k x '=-，所以00tan 1AB yB AF k x ''∠=-=--， 0022002()12tan tan 21tan 1()1y x FAB FAB y FAB x -'-∠'∠=='-∠---，将220013y x -=代入上式，整理得：00tan 22y FAB x '∠=+， 所以tan tan 2AFB FAB ''∠=∠，故在AFB '∆∠中，2AFB FAB ''∠=∠，因此，当动点B '在双曲线的左支上时，满足AFB FAB λ''∠=∠的2λ=不随点B '位置的改变而改变．【例8】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>> 经过点3(1,)2M，且其右焦点与抛物线22:4C y x = 的焦 点F 重合，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,P Q 两点． （1）求椭圆1C 的方程；（2）设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点(,0)N n，使得QP NP PQ NQ ⋅=⋅？ 若存在，求出n 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）过点0(4,0)P且不垂直于x 轴的直线与椭圆交于,A B 两点，点B 关于x 轴的对称点为E ， 试证明：直线AE 过定点．【难度】★★★【答案】（1）由题意，得：(1,0)F所以222291411a b a b ⎧⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（2）设直线PQ 的方程为：(1),(0)y k x k =-≠，代入22143x y +=，得：2222(34)88120k x k x k +-+-=2222(8)4(34)(812)0k k k ∆=--+-> 恒成立． 设1122(,),(,),P x y Q x y 线段PQ 的中点为33(,)R x y ，则2123332243,(1)23434x x k kx y k x k k +===-=-++， 由QP NP PQ NQ ⋅=⋅ 得：()(2)0PQ NQ NP PQ NR ⋅+=⋅=， 所以直线NR 为直线PQ 的垂直平分线，直线NR 的方程为：222314(3434k k y x k k k +=--++， 令0y =得：N 点的横坐标22213344k n k k ==++， 因为2(0,)k ∈+∞，所以234(4,)k +∈+∞，所以1(0,4n ∈． 所以线段OF 上存在点(,0)N n 使得QP NP PQ NQ ⋅=⋅，其中1(0,)4n ∈．（3）证明：设直线AB 的方程为：(4),(0)y k x k =-≠，代入22143x y +=，得：2222(34)3264120k x k x k +-+-=， 由2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=--+->，得：11(,22k ∈-， 设334444(,),(,),(,)A x y B x y E x y -，则22343422326412,3434k k x x x x k k -+==++，则直线AE 的方程为343334()y y y y x x x x +-=--，令0y =得：343443344333343434(4)(4)(8)x x x y x y x k x x k x x y x y y y y k x x -+⋅-+⋅-=-⋅+==+++-2222343423426412322424()34341328834k k x x x x k k k x x k -⋅-⋅⋅-+++===+--+， 所以直线AE 过定点(1,0)．【巩固训练】3．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>> 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B两点，2ABF △的周长为8，且12AF F △面积最大时，12AF F △为正三角形． （1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ， 且与直线4x =相交于点Q ．试探究：① 以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系？② 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求 出M 的坐标；若不存在，说明理由．【难度】★★ 【答案】（1）当三角形面积最大时，为正三角形，所以(0,),2,48A b a c a ==224,3a b ∴==，椭圆E 的方程为22+=143x y（2）①由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得方程222(43)84120k x kmx m +++-=由直线与椭圆相切得220,0,430.m k m ≠∆=⇒-+=求得43(,)k P m m -，(4,4)Q k m +，PQ 中点到x 轴距离223(222m d k m=++ 2222212()(1)0(4302)2kPQ d k m m k m-=->-+=⇒≠． 所以圆与x 轴相交．（2）②假设平面内存在定点M 满足条件，由对称性知点M 在x 轴上，设点M 坐标为1(,0)M x ，1143(,(4,4)k MP x MQ x k m m m=--=-+．由0MP MQ ⋅=得2111(44)430kx x x m-+-+= 所以211144430x x x -=-+=，即11x =所以定点为(1,0)M ．解析几何的考查离不开对相关定义的理解，所以复习的时候必须要弄清相应的定义，尤其是注意事项，如设点斜式的时候勿忘斜率不存在的情况；椭圆、双曲线中三个基本量a,b,c 的关系式的区别等等。
【精品】高三数学经典讲义理科拓展专题学生版
高三数学寒假班（学生版）一、三角恒等变换1、半角的正弦、余弦公式：sincos 22αα==21cos sin 22αα-=，21cos cos 22αα+=） 2、半角的正切、余切公式：sin 1cos tan21cos sin ααααα-==+ 1cos cot 2sin ααα+= 21cos tan21cos ααα-=+ 3、万能置换公式：22tan2sin 1tan 2ααα=+ 221tan 2cos 1tan 2ααα-=+ 22tan2tan 1tan 2ααα=-4、积化和差公式：()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦ ()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ=-+--⎡⎤⎣⎦5、和差化积公式：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+= s i ns i n 2c o s s i n 22αβαβαβ+--=cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+= c o s c o s 2s i n s i n 22αβαβαβ+--=- 二、参数方程、极坐标方程1、参数方程的定义在直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点M 的坐标y x ,都是某个变数t 的函数)1()()(⎩⎨⎧==t g y t f x ，并且对于t 的每一个允许值，由方程组（1）所确定的点),(y x M 都在曲线C 上，那么，方程（1）文理科拓展知识梳理就叫做曲线C 的参数方程．联系y x ,之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点),(y x M 的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2、通过“消去参数”可以把曲线C 的参数方程化为普通方程； 3、通过“选取参数”，可以把曲线C 的普通方程化为参数方程． 4、常见的圆锥曲线的参数方程(1)．圆()()22200x x y y r -+-=：00cos sin x x r y y r θθ=+⎧⎨=+⎩(2)．椭圆22221x y a b+=()0a b >>：cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩(3)．双曲线22221x y a b-=：sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩(4)．抛物线()220y px p =>222x pt y pt⎧=⎨=⎩5、直线的参数方程(1)．点斜式：经过点),(000y x P 的直线参数方程的一般形式是：00x x at y y bt=+⎧⎨=+⎩(t 是参数)(2)．标准式：若直线l 经过点000(,)P x y ，倾斜角为α，则直线参数方程的标准形式是：00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 是参数)．其中点P 对应的参数t 的几何意义是：有向线段0P P 的数量若点P 1、P 2、P 是直线l 上的点，它们在上述参数方程中对应的参数分别是，和、t t t 21则1212PP t t =-；当点P 分有向线段12PP 成定比λ时，λλ++=121t t t ；当点P 是线段P 1P 2的中点时，221t t t +=6、几种坐标系(1)．直线上的点的坐标 (2)．平面直角坐标系: (),x y (3)．极坐标系:(),ρθ cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩7、极坐标的定义若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为，),(θρ直角坐标为),(y x ，则=x θρcos ，=y θρsin ，ρ=tan yxθ=8、极坐标系中两点间的距离公式若点M )(11θρ，、N )(22θρ，，则=MN )cos(221212221θθρρρρ--+9、直线的极坐标方程(1)．经过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程是：θα=或θπα=+ (2)．经过点)0(，a ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是：a =θρcos (3)．经过点)2(π，a 且平行于极轴的直线的极坐标方程是：a =θρsin(4)．经过点)(00θρ，且倾斜角为α的直线的极坐标方程是：)sin()sin(00αθραθρ-=- 10、圆的极坐标方程(1)．圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是r =ρ(2)．圆心在点(0)a ，，半径为a 的圆的极坐标方程是θρcos 2a = (3)．圆心在点()2a π，，半径为a 的圆的极坐标方程是θρsin 2a =(4)．圆心在点)(00θρ，，半径为r 的圆的极坐标方程是200202)cos(2r =--+θθρρρρ三、空间向量3.、空间向量的坐标表示 （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令=(a 1,a 2,a 3),，则),,(321b b b =∥()②空间两点的距离公式：.（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果那么向量叫做平面的法向量. 4、空间向量的应用（1）设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．（2）设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．（3）设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角，就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．（4）点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算．（5）在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．（6）点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=),,(332211b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅a)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔0332211=++⇔⊥b a b a b a b a 222321a a a ++==a a =⇒⋅=232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅⋅>=<212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=ααα⊥α⊥α1、半角公式的应用【例1】已知1cos 2α=，求sin ,cos ,tan 222ααα的值。
高考理科数学培优专题讲解全套通用版课件PPT
C.{x|-2<x<2} D.{x|2<x<3}
解析:由题意得N={x|-2<x<3},则M∩N={x|-2<x<2},故选C. 答案:C
2.(2019全国Ⅱ,理1)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则
A∩B=( )
A.(-∞,1)
B.(-2,1)
C.(-3,-1)
D.(3,+∞)
高考理科数学总复习课件PPT
专题一 第1讲 集合与常用逻辑用语
松院小学：钱扬泉
近五年高考试题统计与命题预测
年份 卷别 题号 考查角度
命题预测
Ⅰ 1 集合的交集运算
2019 Ⅱ
1,7
集合的交集运算;充要条件 的判断
Ⅲ 1 集合的交集运算
Ⅰ 2 集合的补集运算
2018 Ⅱ 2 集合的表示方法
Ⅲ 1 集合的交集运算
Ⅰ
1,3
集合的交并运算;命题真假 判断
2017 Ⅱ 2
集合的交集运算
Ⅲ 1 集合的概念及交集运算
Ⅰ 1 集合的交集运算
2016 Ⅱ 2 集合的并集运算
Ⅲ 1 集合的交集运算
Ⅰ3 2015 Ⅱ 1
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第3章 导数及其应用 第3节 定积分与微积分基本定理
A.1 m
49
C.
4
m
4
B.
3
m
D.2 m
s间的运动路程为(
)
答案:C
2t,0 ≤ t < 1,
解析:由题中图像可得 v(t)= 2,1 ≤ t ≤ 3,
由变速直线运动的路程公式,
1
t + 1,3 < t ≤ 6,
3
可得
6
1
3
s=∫1 v(t)dt=∫1 2tdt+∫1
2
=t
2
1
1
2
+
2|13
1
3
∣
6
2
40
×64= 3 .
突破技巧利用定积分求平面图形面积的4个步骤
对点训练2(2021贵州贵阳模拟)已知函数y=2cos x,x∈[0,2π]和y=2的图像围
成的一个封闭的平面图形的面积是(
A.4π
B.2π
C.4
D.2
)
答案:A
解析:画出函数y=2cos x,x∈[0,2π]的图像与直线
y=2围成的一个封闭的平面图形,如图所示,根据
1
1
)=3,S3=∫0
3
3
2
x
2
)=3,
(e -1)dx=(e
1
-x)|0 =(e-1)-(1-0)=e-2,
x
4
(2)依题意,∫1
2
f(x)dx=∫1
4
(-x+2)dx+∫2
1-(-3)2 dx,
2
设 y= 1-(-3) ,所以(x-3)2+y2=1(2≤x≤4,y≥0),
4
所以∫2
高中数学全套讲义 选修1-2 数系扩充简单 教师版
目录目录 (1)考点一虚数单位i、复数 (2)考点二复数的代数表示法及其几何意义 (4)课后综合巩固练习 (7)考点一 虚数单位i 、复数1. i 是数学中的虚数单位，i 2=-1，所以i 是-1的平方根．我们把a+bi 的数叫做复数，把a=0且b ≠0的数叫做纯虚数，a ≠0，且b=0叫做实数．复数的模为 2.负数的运算1）复数的加法，若M=a+bi ，N=c+di ，那么M+N=（a+c ）+（b+d ）i ，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．2）复数的乘法，若M=a+bi ，N=c+di ，那么M •N=（ac-bd ）+（ad+bc ）i ，与多项式乘法类似，只不过要加上i ．形如a+bi （a ，b ∈R ）的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b=0，则a+bi 为实数；若b ≠0，则a+bi 为虚数；若a=0，b ≠0，则a+bi 为纯虚数． 2、复数相等：a+bi=c+di ⇔a=c ，b=d （a ，b ，c ，d ∈R ）．3、共轭复数：a+bi 与c+di 共轭⇔a=c ，b+d=0（a ，b ，c ，d ∈R ）．4、复数的模： →OZ的长度叫做复数z=a+bi 的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|= ⎷ a 2+b 2．1．（2019春•泉州期末）若(2)(1)z m m i =-++为纯虚数，则实数m 的值为( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2【分析】由实部为0且虚部不为0列式求解实数m 的值． 【解答】解：(2)(1)z m m i =-++为纯虚数，∴2010m m -=⎧⎨+≠⎩，解得2m =，故选：D ．⎷ a 2+b 2【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．2．（2019春•哈尔滨期中）已知复数12z i =+，则z 的虚部是( )A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-解：12z i =+故选：D ．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．3．（2019•青羊区校级模拟）设i 是虚数单位，m ，n 为实数，复数z m ni =+为虚数，则()A ．0m =B ．0n ≠C ．0m =且0n ≠D ．0mn ≠【分析】根据复数的有关概念进行判断即可． 【解答】解：若复数是虚数，则0n ≠， 故选：B ．【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用虚数的定义是解决本题的关键．比较基础． 4．（2019•沈阳三模）已知i 为虚数单位，则232019i i i i +++⋯+等于( )A ．iB ．1C ．i -D ．1-【分析】利用等比数列前n 项和化简，再由虚数单位i 的性质及复数代数形式的乘除运算化简得答案．故选：D ．【点评】本题考查等比数列前n 项和，考查虚数单位i 的性质，是基础题． 5．（2019•遂宁模拟）已知复数z 满足12iz i =+，则z 的虚部是( )A ．i -B ．1-C ．2D ．2i -【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：由12iz i =+，z ∴的虚部是1-．故选：B ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．6．（2019•吉林三模）若2(6)(2)z m m m i =+-+-为纯虚数，则实数m 的值为()A ．2-B ．2C ．3D ．3-【分析】根据复数为纯虚数的充要条件列出方程组，求出m 的值即可． 【解答】解：2(6)(2)z m m m i =+-+-为纯虚数，∴26020m m m ⎧+-=⎨-≠⎩，解得3m =-，故选：D ．【点评】本题考查复数为纯虚数的充要条件，牢记复数的基本概念是解题的关键，属于基础题．7．（2019•江门一模）i 是虚数单位，20191()(1i i+=- ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i 的性质计算． 解：115043i i =-． 故选：B ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，是基础题．考点二 复数的代数表示法及其几何意义1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是1，y 轴的单位是i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z=a+bi →复平面内的点z （a ，b ）→平面向量oz ． 2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意： （1）|z|=|z-0|=a （a ＞0）表示复数z 对应的点到原点的距离为a ； （2）|z-z 0|表示复数z 对应的点与复数z0对应的点之间的距离．8．（2019春•淄博期末）在复平面内，复数(13)(z i i i =+为虚数单位）对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：(13)3z i i i =+=-+，∴复数z 对应的点的坐标为(3,1)-，位于第二象限．故选：B ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．9．（2019春•汉中期末）复数2(1)z i =+在复平面内对应的点在()A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：22(1)122z i i i i =+=++=，∴复数2(1)z i =+在复平面内对应的点的坐标为(0,2)，在虚轴上．故选：B ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．10．（2019春•齐齐哈尔期末）若复数z 满足24iz i =+（其中i 为虚数单位），在在复平面内z 对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．∴在复平面内z 对应的点的坐标为(4,2)-，位于第四象限．故选：D ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．11．（2019春•宁德期末）已知复数(12)(1)z i i =+-，则其共轭复数z 对应的点在复平面上位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：(12)(1)1223z i i i i i =+-=-++=+，故选：D ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．12．（2019春•石家庄期末）在复平面内，复数1ii -的对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：i 故选：D ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．课后综合巩固练习1．（2019春•通州区期末）在复平面内，复数1(i i -为虚数单位）的共轭复数对应的点位于第 象限．【分析】直接由已知的复数得到其共轭复数，然后指明在复平面内对应点的坐标．故答案为：一．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义和共轭复数的概念，属基础题． 2．（2019春•杨浦区校级期末）复数1!2!10!1091i i i ⨯+⨯+⋯+⨯的虚部是 10 ．【分析】根据41i =知，要求复数1!2!10!1091i i i ⨯+⨯+⋯+⨯的虚部，只需求出1!2!3!1098i i i ⨯+⨯+⨯的虚部．【解答】解：41i =，故4!5!10!761i i i ⨯+⨯+⋯+⨯均为实数，∴要求复数1!2!10!1091i i i ⨯+⨯+⋯+⨯的虚部，只需求出1!2!3!1098i i i ⨯+⨯+⨯的虚部．1!2!3!26109810981710i i i i i i i ⨯+⨯+⨯=++=-+．∴复数1!2!10!1091i i i ⨯+⨯+⋯+⨯的虚部是10．故答案为：10．【点评】本题考查复数幂的运算，考查了虚数单位i 的性质，属基础题．3．（2019春•九江期末）若复数22(2)(2)()a a a a i a R -+--∈为纯虚数，则a = 0 ．【分析】直接利用实部为0且虚部不为0求解． 【解答】解：复数22(2)(2)()a a a a i a R -+--∈为纯虚数，∴222020a a a a ⎧-=⎨--≠⎩，解得0a =．故答案为：0．【点评】本题考查复数的基本概念，考查一元二次方程的解法，是基础题．4．（2019春•宁县校级期中）2019i = i -【分析】复数2019i 可化为45043()i i ，根据41i =得出结果即可．【解答】解：20194504345043()ii i i i ⨯+===-．故答案为：i -．【点评】本题考查了复数的运算，关键是知道41i=，属基础题．5．（2019春•宁县校级期中）已知x ，y R ∈，若3(2)x i y i +=-，则x y +== 5【分析】根据复数相等可得023x y =⎧⎨-=⎩，然后计算x y +即可．【解答】解：因为3(2)x i y i +=-，所以023x y =⎧⎨-=⎩，所以05x y =⎧⎨=⎩，所以5x y +=． 故答案为：5．【点评】本题主要考查两个复数相等的充要条件，属基础题 6．（2019•海安县校级模拟）在复平面内，复数11i-对应的点位于第 一 象限． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案． 解：1故答案为：一．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．7．（2019春•常州期中）若复数z 满足23z z i +=-其中i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数，则z 在复平面内对应的点位于第 四 象限．答案．【解答】解：设(,)z a bi a b R =+∈，。
13参数方程(高2019届理科数学总复习特级教师优秀讲义)
高2019届理科数学总复习讲义第十三讲 参数方程一、 知识提要1、参数方程的意义。
一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 取的每一个允许值，由方程组所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程，我们把直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程． 2、要区别参数方程是参数）t t y t f x ()()(⎩⎨⎧==ϕ与含参数的方程0),,(=t y x F 的概念，前者表示一条确定的曲线，后者却表示具有某一共同属性的曲线系。
3、参数方程化为普通方程0),(=y x F ，只要消去参数即可。
应特别注意由参数t 确定y x ,的取值范围。
保证方程的等价性。
4、利用参数求轨迹方程。
在轨迹问题中。
动点坐标y x ,有时不容易找到关系，但如果选取适当的参数，往往可以起到桥梁作用，从而通过轨迹的参数方程得到普通方程（建系、设点、选参、列式、转化）。
5、常见几种曲线的参数方程⑴ 直线的参数方程是参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα，表示过点),,(000y x P 倾角为α的直线，t 的几何意义是位移，即由t 所确定的点P 到0P 的距离为t ；若直线与圆锥曲线交于两点B A 、，对应1t 和2t ，则弦长21t t AB -=；若0P 是AB 的中点，则021=+t t ；若M 是AB 的中点，则)(2121t t t M +=。
(2) 圆222cos (sin x r x y r y r θθθ=⎧+=⇔⎨=⎩为参数，圆心角）。
圆θθθ(sin cos )()(222⎩⎨⎧+=+=⇔=-+-r b y r a x r b y a x 为参数，圆心角）。
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第6章 数列 第1节 数列的概念
增素能 精准突破
考点一
由an与Sn的关系求通项公式
典例突破
例1.(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2n+2-3,则an=
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+an=-2,则数列{an}的通项公式
an=
.
(3)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=-1, + =Sn + (Sn≠0),则
∴an=3×2n-1-2(n≥2).又a1=1也满足上式,∴an=3×2n-1-2.
(3)因为
则
1
an+1=an+
,即
(+1)
1
an-an-1=
-1
1
a3-a2=
2
−
−
1
an+1-an=
1
1
,an-1-an-2=
-2
−
−
1
,
+1
1
1
,an-2-an-3=
-1
-3
1
1
,a2-a1=1- ,
有关项的值或者前n项的和.
对点训练3(2021广西柳州模拟)在数列{an}中,a1=1,a2=3,a3=5,anan+3=1,则
log5a1+log5a2+…+log5a2 021=(
1
-1
3
1
+1
3
1
,a3=
3
1
2
1
- +1
2
1
=-2,a4=
∴数列{an}的周期为 4,且
- -1
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第9章 解析几何 第5节 椭圆
第五节 椭圆
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
1.了解椭圆的实际背景,感受椭圆
在刻画现实世界和解决实际问题
中的作用.
2.经历从具体情境中抽象出椭圆
的过程,掌握椭圆的定义、标准方
程及简单几何性质.
3.通过椭圆的学习,进一步体会数
形结合的思想.
4.了解椭圆的简单的应用.
衍生考点
由题意可知△OAF2∽△PBF2.
1
又|AF2|=2|F2B|,∴|OF2|=2|F2P|.∴|F2P|= .
2
又2 =
把点 B
||
|2 |
=
1
1 =b,∴|BP|= b.∴点
2
||
2
2
坐标代入椭圆方程 2
又 c=1,故 b2=2.
2
所以椭圆方程为
3
+
2
=1.
2
+
2
=1
因为椭圆经过P1,P2两点,所以点P1,P2的坐标满足椭圆方程,
则
6 + = 1,①
解得
3 + 2 = 1,②
2
所以所求椭圆的方程为
9
1
= ,
9
1
= 3.
核心素养
1.椭圆的定义及应用
1.直观想象
2.椭圆的标准方程及应用 2.逻辑推理
3.椭圆的几何性质及应用 3.数学运算
强基础 增分策略
常数通常用2a表示
1.椭圆的定义
(1)文字语言:平面内到两定点F1,F2的距离之和 等于
常数(大于|F1F2|)
教师目录高考数学(理科)二轮复习讲义
板块一核心修养引领复习明方向一、数学抽象、直观想象二、逻辑推理、数学运算三、数学建模、数据剖析板块二核心考点专题打破拿高分专题一三角函数、三角恒等变换与解三角形第1讲三角函数的图象与性质(小题)第2讲三角恒等变换与解三角形(小题)第3讲三角恒等变换与解三角形(大题)标准答题比如 1 三角恒等变换与解三角形专题二数列第1讲数列、等差数列与等比数列 (小题)第2讲数列乞降及数列的简单应用(大题)标准答题比如2数列专题三立体几何与空间向量第1讲空间几何体、空间中的地点关系(小题)第2讲立体几何(大题)标准答题比如3立体几何与空间向量专题四概率与统计第1讲概率与统计(小题)第2讲概率与统计(大题)标准答题比如4 概率与统计专题五分析几何第1讲直线与圆(小题)第2讲圆锥曲线的方程与性质(小题)第3讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题)第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题)标准答题比如5 圆锥曲线专题六函数与导数第1讲函数的图象与性质(小题) 第2讲根本初等函数、函数的应用(小题)第3讲导数的简单应用(小题)第4讲导数的热门问题(大题)标准答题比如6 函数与导数专题七系列4选讲第1讲坐标系与参数方程(大题)第2讲不等式选讲(大题)板块三根基考点练透加速不失分第1讲会合、复数与常用逻辑用语第2讲不等式第3讲平面向量第4讲程序框图与推理证明第5讲计数原理第6讲古典概型与几何概型第7讲数学文化板块四回归教材博得高考回扣1 会合、常用逻辑用语、不等式与推理证明回扣2 复数、程序框图与平面向量回扣3 三角函数、三角恒等变换与解三角形回扣4 数列回扣5 立体几何与空间向量回扣6 概率与统计回扣7 分析几何回扣8 函数与导数高考22题逐题特训12+4分项练(一)三角函数与解三角形(二)数列(三)立体几何(四)概率与统计(五)分析几何(六)函数与导数[80分]12+4标准练[80分]12+4标准练(一)[80分]12+4标准练(二)[80分]12+4标准练(三)[80分]12+4标准练(四)[80分]12+4标准练(五)[80分]12+4标准练(六)解答题打破练(一)三角函数与解三角形(二)数列(三)立体几何与空间向量(四)概率与统计(五)直线与圆锥曲线(六)函数与导数(七)坐标系与参数方程(八)不等式选讲[70分]解答题标准练[70分]解答题标准练(一)[70分]解答题标准练(二)[70分]解答题标准练(三)[70分]解答题标准练(四)。
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第3章 导数及其应用 指点迷津(三) 在导数应用中如何构造函数
-
()
g(x)=sin 在(0,π)内是递减的.
g(x)为偶函数,
=
π
3
π
sin
3
<
π
6
π
sin
6
,则 f
π
-3
>- 3
π
6
.
二、具体函数关系式构造
这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式,通过具体的关系式去解决
不等式及求值问题.
π π
,
例6.已知α,β∈ - ,且αsin
α-βsin β>0,则下列结论正确的是(
F(x)=xnf(x),F'(x)=nxn-1f(x)+xnf'(x)=xn-1[nf(x)+xf'(x)];
()
'()· - -1 ()
F(x)= ,F'(x)=
2
=
'()- ()
.
+1
结论:(1)如果题目中出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x);
所以切点坐标为(0,-2),所以(a-c)2+(b-d)2 的最小值为
|0-2-2|
1+1
2
=8.
本 课 结 束
(0,+∞)上也是递减的.根据f(-4)=0可得F(-4)=0,F(4)=0,根据函数的单调性、
奇偶性可得函数图像,根据图像可知xf(x)>0的解集为(-∞,-4)∪(0,4).
2.xf(x),
()
是比较简单常见的f(x)与x之间的函数关系式,如果碰见复杂的,
第03讲 平面向量基本定理及其拓展(爪子定理)(高阶拓展)(教师版) 2025年高考数学一轮复习学案
第03讲平面向量基本定理及其拓展（“爪子定理”）（高阶拓展）（3类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分【备考策略】1.理解平面向量基本定理及其意义2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3.掌握基底的概念及灵活表示未知向量4.会综合应用平面向量基本定理求解【命题预测】本节一般考查平面向量数量积基本定理的基底表示向量、在平面几何图形中的应用问题，易理解，易得分，需重点复习。
1.平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（1）．基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一． 2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减运算或数乘运算.3. 形如AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r条件的应用（“爪子定理”）“爪”字型图及性质：（1）已知,AB AC uuu r uuu r 为不共线的两个向量，则对于向量AD uuu r，必存在,x y ，使得AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r 。
则,,B C D 三点共线Û1x y +=当01x y <+<，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间当1x y +>，则D 与A 位于BC 两侧1x y +=时，当0,0x y >>，则D 在线段BC 上；当0xy <，则D 在线段BC 延长线上（2）已知D 在线段BC 上，且::BD CD m n =，则n m AD AB AC m n m n=+++uuu r uuu r uuu r 3、AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r中,x y 确定方法（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定,x y（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解B1．（2024高三·全国·专题练习）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）．A ．()10,0e =r，()21,2e =-r B ．()11,2e =-r ，()25,7e =r C ．()13,5e =r，()26,10e =r D ．()12,3e =-r，213,24e æö=-ç÷èør 【答案】B【分析】不共线的非零向量可以作为向量的基底.【详解】因为()11,2e =-r 与()25,7e =r不共线，其余选项中1e r 、2e r 均共线，所以B 选项中的两向量可以作为基底．故选：B【点睛】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题.2．（2024高三·全国·专题练习）如果12,e e r r是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）A ．1e r 与12e e +r r B ．122e e -r r 与122e e +r r C ．12e e +r r 与12e e -r r D ．123e e +r r 与1226e e +r r 【答案】D【分析】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案.【详解】选项A 中，设121=e e e l +r r r，无解，则两向量不共线；选项B 中，设()12122=2e e e e l -+r r r r，则=11l l ìí=-î，无解，则两向量不共线；选项C 中，设()1212=e e e e l +-r r r r，则=11l l ìí=-î，无解，则两向量不共线；选项D 中，()121213262e e e e +=+r r r r，所以两向量是共线向量．故选:D .【点睛】本题考查了基底的涵义，考查了两向量是否共线的判定.本题的关键是判断两向量是否共线.3．（2023高三·福建·阶段练习）下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（ ）A ．()1,2a =r ，()0,0b =r B ．()1,2a =r，()1,2b =--r C ．()1,2a =r，()5,10b =r D ．()1,2a =r，()1,2b =-r 【答案】D【分析】根据平面向量基本定理可知，表示平面内的任意向量的两个向量不能共线，结合选项，即可判断.【详解】表示平面内的任意一个向量的两个向量不能共线，A.向量b r是零向量，所以不能表示平面内的任意向量，故A 错误；B.a b =-r r，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故B 错误；C.5b a =r r，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故C 错误；D.不存在实数l ，使b a l =r r，所以向量,a b r r 不共线，所以可以表示平面内的任意向量，故D 正确.故选：D1．（2023·陕西西安·一模）设R k Î，下列向量中，可与向量()1,1q =-r组成基底的向量是（ ）A ．(),b k k =rB ．(),c k k =--rC ．()221,1k d k =++u rD ．()221,1k e k =--r 【答案】C【分析】根据构成基地向量的条件不共线的两个非零向量解决.【详解】对于AB 项，若0k =时，()0,0b =r，()0,0c =r 不满足构成基向量的条件，所以AB 都错误；对于D 项，若1k =±时，()0,0e =r不满足构成基向量的条件，所以D 错误；对于C 项，因为2R,10k k "Î+¹，又因为()()()2211110k k +´--+´¹恒成立，说明d u r 与q r 不共线，复合构成基向量的条件，所以C 正确.故选：C2．（2023高三·全国·专题练习）设{}12,e e u r u u r为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ）A ．12e e +u r u u r 和12e e -u r u ur B ．1224e e +u r u u r 和2124e e -u u r u rC ．122e e +u r u u r 和1212e e +u r u u r D ．122e e -u r u u r 和2142e e +u u r u r【答案】C【分析】根据基底的概念确定正确答案.【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，C 选项中，12121222e e e e æö+=+ç÷èøu r u u r u r u u r ，即122e e +u r u u r 和1212e e +u r u u r 为共线向量，所以它们不能作为基底.其它选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为基底.故选：C1．（2022·全国·高考真题）在ABC V 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==uuu r uuu r r r ，，则CB uuu r=（ ）A ．32m n-r r B ．23m n -+r r C ．32m n +r r D ．23m n +r r【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =uuu r uuu r，即()2CD CB CA CD -=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以CB uuu r =3232CD CA n m -=-uuu r uuu r r u r 23m n =-+r r ．故选：B ．2．（全国·高考真题）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =uuu vA ．3144AB AC-uuuv uuu v B ．1344AB AC-uuuv uuu v C ．3144+AB AC uuuv uuu v D ．1344+AB AC uuuv uuu v 【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+uuu v uuu v uuu v，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+uuu v uuu v uuu v，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+uuu v uuu v uuu v ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-uuu v uuu v uuu v，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v1113124444BA BA AC BA AC uuuv uuu v uuu v uuu v uuu v =++=+，所以3144EB AB AC =-uuu v uuu v uuu v，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.3．（2024·陕西安康·模拟预测）在ABC V 中，M 是AB 的中点，3,AN NC CM =uuu r uuu r 与BN 相交于点P ，则AP =uuu r（ ）A ．3155AB AC +uuu r uuu r B ．1355AB AC +uuur uuu r C ．1324AB AC +uuur uuu r D ．3142AB AC +uuur uuu r 【答案】B【分析】根据向量的线性运算、三点共线等知识列方程组，由此求得正确答案.【详解】设AP AB AC l m =+uuu r uuu r uuu r ，由M 是AB 的中点，得2AB AM =uuu r uuuu r，由3AN NC =uuu r uuu r，得43AC AN =uuu r uuu r ，所以2AP AM AC l m =+uuu r uuuu r uuu r，且43AP AB AN l m =+uuu r uuu r uuu r ，由CM 与BN 相交于点P 可知，点P 在线段CM 上，也在线段BN 上，由三点共线的条件可得21413l m l m +=ìïí+=ïî，解得1535l m ì=ïïíï=ïî，所以1355AP AB AC =+uuu r uuu r uuu r .故选：B1．（广东·高考真题）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC a =uuu v v ，BD b =uuu v v ，则AF =uuu vA ．1142a b+v v B ．2133a b+v vC ．1124a b+vv D ．1233a b+v v【答案】B【分析】利用平面几何知识求解【详解】如图，可知222()333AF AC CF AC CD AC AB AC AO OB =+=+=-=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r =2112112132232233AC AC BD a a b a b æöæö--=--=+ç÷ç÷èøèøuuu r uuu r uuu r r r r rr ，选B.【点睛】本题考查向量的运算及其几何意义，同时要注意利用平面几何知识的应用，2．（2024·山西吕梁·三模）已知等边ABC V 的边长为1，点,D E 分别为,AB BC 的中点，若3DF EF =uuu r uuu r ，则AF =uuu r （ ）A ．1526AB AC +uuur uuu r B ．1324AB AC +uuur uuu r C ．12AB AC+uuur uuu r D ．1322AB AC+r r 【答案】B【分析】取{},AC AB uuu r uuu r为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可.【详解】在ABC V 中，取{},AC AB uuu r uuu r为基底，则2,,60AC AB AC AB ===ouuu r uuu r uuu r uuu r ，因为点,D E 分别为,AB BC 的中点，3DF EF =uuu r uuu r,所以1124DE AC EF ==uuu r uuu r uuu r ，所以()11132424AF AE EF AB AC AC AB AC =+=++=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .故选：B.3．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）在ABC V 中，点M 是AB 的中点，N 点分AC 的比为:1:2,AN NC BN =与CM 相交于E ，设,AB a AC b ==uuu r uuu r r r ，则向量AE =uuu r（ ）A ．1132a b+r r B ．1223a b+rr C ．2155a b+rr D ．3455a b+rr【答案】C【分析】由三点共线性质以及平面向量基本定理解方程组即可得解.【详解】由题意,,B E N 三点共线，所以存在R l Î，使得()113AE AB AN AB AC l l l l -=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，同理,,C E M 三点共线，所以存在R m Î，使得()112AE AC AM AC AB m m m m -=+-=+uuu r uuu r uuuu ruuu r uuu r，由平面向量基本定理可得1213m l lm -ì=ïïí-ï=ïî，解得21,55l m ==，所以2155AE a b =+uuu r rr .故选：C.1．（全国·高考真题）设D 为ABC V 所在平面内一点，且3BC CD =uuu r uuu r，则（ ）A. 1433AD AB AC =-+uuu r uuur uuu rB. 1433AD AB AC=-uuu r uuu r uuu rC. 4133AD AB AC =+uuu r uuu r uuu rD. 4133AD AB AC=-uuu ruuur uuu r 答案：A解析：由图可想到“爪字形图得：1344AC AB AD =+uuu r uuu r uuu r ，解得：1433AD AB AC=-+uuu r uuur uuu r 2. 如图，在ABC V 中，13AN NC =uuu r uuu r ，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+uuu r uuu r uuu r，则实数m 的值为（ ）A.911 B.511C.311D.211解：观察到,,B P N 三点共线，利用“爪”字型图，可得AP mAB nAN =+uuu r uuu r uuu r ，且1m n +=，由13AN NC =uuu r uuu r 可得14AN AC =uuu r uuu r ，所以14AP mAB nAC =+uuu r uuu r uuu r ，由已知211AP mAB AC =+uuu r uuu r uuu r 可得：12841111n n =Þ=，所以311m =答案：C3. 如图，在ABC V 中，13AN NC =uuu r uuu r ，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+uuu r uuu r uuu r，则实数m 的值为（ ）A.911 B.511C.311D.211解：观察到,,B P N 三点共线，利用“爪”字型图，可得AP mAB nAN =+uuu r uuu r uuu r ，且1m n +=，由13AN NC =uuu r uuu r 可得14AN AC =uuu r uuu r ，所以14AP mAB nAC =+uuu r uuu r uuu r ，由已知211AP mAB AC =+uuu r uuu r uuu r 可得：12841111n n =Þ=，所以311m =答案：C1．（2024·云南昆明·一模）在ABC V 中，点D 满足4AD DB =uuu r uuu r，则（ ）A ．1344CD CA CB=+uuu r uuu r uuu r B ．3144CD CA CB=+uuu r uuu r uuu r C ．1455CD CA CB =+uuu ruuu r uuu r D ．4155CD CA CB=+uuu ruuu r uuu r 【答案】C【分析】利用平面向量的加减法则，根据向量定比分点代入化简即可得出结果.【详解】如下图所示：易知()()4441455555CD CA AD CA AB CA AC CB CA CA CB CA CB =+=+=++=+-+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ；即可得1455CD CA CB =+uuu r uuu r uuu r.故选：C2．（2024·广东广州·一模）已知在ABC V 中，点D 在边BC 上，且5BD DC =uuu r uuur ，则AD =uuu r（ ）A ．1566AB AC +uuur uuu r B ．1566AC AB +r r C ．1455AB AC +uuur uuu r D ．4155AB AC +uuur uuu r 【答案】A【分析】根据向量的线性运算即可.【详解】在ABC V 中，BC AC AB uuu r uuu r uuu r =-，又点D 在边BC 上，且5BD DC =uuu r uuur，则()55156666AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，故选：A.A ．13,22x y ==C ．13,22x y =-=-【分析】用向量的线性运算把向量AD uuu r分解成AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r 形式即可得答案.【详解】∵3,2AD AB BD BD BC =+=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，∴()33132222AD AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，故选：B ．【分析】分点内分与外分线段BC 讨论，再由向量的线性运算求解即可.【详解】当D 点在线段BC 上时，如图，()331313444444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b ®®=+=+=+-=+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以114334m n ==，当D 点在线段BC 的延长线上时，如图，()331313222222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b ®®=+=+=+-=-+=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，则112332m n -==-，故选：BC.1．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量1e u r 、2e u ur ，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（ ）A ．122e e +u r u u r 和12e e -u r u u r B ． 123e e +u r u u r 和213e e +u ur u r C ． 123e e -u r u u r 和2126e e -u u r u r D ． 1e u r 和12e e +u r u u r 【答案】C【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可.【详解】对A ：不存在实数l ，使得()12122e e e e l +=-u r u u r u r u u r ，故122e e +u r u u r 和12e e -u r u u r不共线，可作基底；对B ：不存在实数l ，使得()122133e e e e l +=+u r u u r u u r u r，故123e e +u r u u r 和213e e +u ur u r 不共线，可作基底；对C ：对 123e e -u r u u r 和2126e e -u u r u r ，因为21,e e u r u u r是不共线的两个非零向量，且存在实数2-，使得()21122326e e e e =---u r u u u u r u rr ，故123e e -u r u u r 和2126e e -u u r u r共线，不可作基底；对D ：不存在实数l ，使得()112e e e l =+u r u r u u r ，故1e u r 和12e e +u r u u r 不共线，可作基底.故选：C.2．（2024·浙江绍兴·二模）已知四边形ABCD 是平行四边形，2EC BE =uuu r uuu r ，2DF FC =uuu r uuu r ，记AB a uuu r r=，AD b =uuu r r ，则EF =uuu r（ ）A ．1233a b -+r r B ．1233a b--r rC ．2133a b+r rD ．2133a b-r r 【答案】A【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解即得.【详解】在ABCD Y 中，2EC BE =uuu r uuu r ，2DF FC =uuu r uuu r ，AB a uuu r r=，AD b =uuu r r ，所以12123333EF CF CE CD CB a b =-=-=-+uuu r u ruuu uu r uuu u r r r r uu .故选：A3．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，2,EB AE BF FC ==uuu r uuu r uuu r uuu r ，记,AB a AD b ==uuu r uuu r r r ，则EF =uuu r（ ）A ．2132a b-r r B ．2132a b+rr C ．1132a b+r r D ．1223a b+r r 【答案】B【分析】由向量的线性运算，用,AB AD uuu r uuu r 表示EFuuu r【详解】因为2,EB AE BF FC ==uuu r uuu r uuu r uuu r，则有211,322EB AB BF BC AD ===uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以2132EF EB BF a b =+=+uuu r uuu r r uur ru .故选：B ．4．（2024·山东济南·二模）在ABC V 中，E 为边AB 的中点，23BD BC =uuu r uuu r ，则DE =uuu r（ ）A ．1263AB AC -+uuu r uuu r B ．5163AB AC +uuur uuu r C ．1263AB AC+uuur uuu r D ．1263AB AC-uuur uuu r 【答案】D【分析】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得解.【详解】因为E 为边AB 的中点，23BD BC =uuu r uuu r，所以()212131262233DE DB BE CB AB AB AC A C B AB A =+=-=---=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu u u uuu r uuu r uuu r u r r uu r u .故选：D.5．（2024·全国·模拟预测）已知等边三角形ABC 的边长为2，P 为ABC V 的中心，PE AC ^，垂足为E ，则PE =uuu r（ ）A ．1233AB AC -+uuur uuu r B ．1136AB AC-+uuu r uuu r C ．1163AB AC-+uuur uuu r D ．2133AB AC-+r r 【答案】B【分析】连接AP 并延长，交BC 于点D ，根据P 为ABC V 的中心，易得D 为BC 的中点，E 为AC 的中点，利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：如图所示：连接AP 并延长，交BC 于点D ，因为P 为ABC V 的中心，所以D 为BC 的中点．又,PE AC E ^\为AC 的中点，1223PE AE AP AC AD \=-=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，()1211123236AC AB AC AB AC =-´+=-+uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ，故选：B ．6．（2024·陕西安康·模拟预测）在梯形ABCD 中，3,DC AB E =uuu r uuu r 为线段AD 的中点，2DF FC =uuu r uuu r ，则EF =uuu r （ ）A ．12BA BC-+uuu r uuu r B ．12BA BC-+uuur uuu r C ．1122BA BC-+uuur uuu r D ．32BA BC-+uuu r uuu r【答案】A【分析】先用向量和三角形减法法则得EF DF DE =-uuu r uuu r uuu r ，再对它们进行线性运算转化为5122EF BA BD -+=uuu r uuur uuu r ，此时继续找到3BD BC BA =+uuu r uuu r uuu r，从而可得结果.【详解】由图可得：EF DF DE =-uuu r uuu r uuu r，由2,DF FC E =uuu r uuu r 为线段AD 的中点可得，2312EF DC DA =-uuu r uuu r uuu r ，再由3DC AB =uuu r uuu r可得，()()215133222EF BA BA BD BA BD =´---=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ，又因为3BD BC CD BC BA +==+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，代入得：()5113222EF BA BC BA BA BC =-++=-+uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r ，故选：A.7．（2024·四川·模拟预测）已知平行四边形ABCD 中，E 为AC 中点.F 为线段AD 上靠近点A 的四等分点，设AB a =uuu r r，AD b uuu r r =，则EF =uuu r （ ）A ．1142a b--r r B ．3142a b--rr C ．1124a b--r r D ．1324a b--r r 【答案】C【分析】利用向量的线性运算可得答案.【详解】如图所示，由题意可得AC AB AD a b =+=+uuu r uuu r uuu r rr ，而()111111242424EF EA AF CA AD a b b a b =+=+=-++=--uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r r r r r ，故选：C.8．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在梯形ABCD 中，//AB CD 且满足2AB DC =uuu r uuur，E 为AC 中点，F 为线段AB上靠近点B 的三等分点，设AB a =uuu r r，AD b uuu r r =，则EF =uuu r （ ）．A ．2132a b-r r B ．3146a b-rr C ．51122a b -rr D ．1126a b-r r【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】如图所示，由题意可得1122AC AD DC AD AB b a =+=+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r r ，而121125123223122EF EA AF CA AB b a a a b æö=+=+=-++=-ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r rr r r .故选：C ．9．（2024·广东汕头·三模）已知四边形ABCD 是平行四边形，2BE EC =uuu r uuu r ，DF FC =uuu r uuu r ，则EF =uuu r（ ）A ．1123AB AD -+uuur uuu r B ．1123AB AD --uuur uuu r C ．1132AB AD-+uuur uuu r D ．1132AB AD--uuur uuu r 【答案】A【分析】根据给定条件，利用向量的加法，结合共线向量求解即得.【详解】在ABCD Y 中，由2BE EC =uuu r uuu r ，DF FC =uuu r uuur ，得11113223EF EC CF BC CD AB AD =+=+=-+uuu r uuu r uuu r uuu u uu r uuu u r r uu r .故选：A10．（2024·广东佛山·模拟预测）在ABC V 中，,AB a AC b ==uuu r uuu r rr ，若2,2AC EC BC DC ==uuu r uuu r uuu r uuu r ，线段AD 与BE 交于点F ，则CF =uuu r（ ）A ．1233a b+r r B ．1233a b-rrC ．1233a b-+r r D ．1233a b--r r【答案】B【分析】根据中线性质得出23AF AD = r r，再由平面向量线性运算即可求得结果.【详解】如下图所示：由2,2AC EC BC DC ==uuu r uuu r uuu r uuu r可得,D E 分别为,BC AC 的中点，由中线性质可得23AF AD = r r，又()()1122AD AB AC a b =+=+uuu r uuu r uuu r r r ，所以()()211323AF a b a b =´+=+uuu r r r r r ，因此()112333CF CA AF b a b a b =+=-++=-uuu r uuu r uuu r r r rr r .故选：B一、单选题1．（2024·福建漳州·模拟预测）在ABC V 中，D 是边BC 上一点，且2,BD DC E =是AC 的中点，记,AC m AD n ==uuu r uuu r u r r ，则BE =uuu r（ ）A ．533n m-r u r B ．732n m-r u r C ．732m n-u r r D ．532m n-u r r 【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算法则进行运算即可.【详解】1()2BE AE AB AC AC CB =-=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()113322AC CD AC AD AC =--=---uuu r uuu r uuu ruuu r uuu r 553322AC AD m n =-=-uuu r uuu r r r ，故选：D ．2．（2024·辽宁·二模）已知平行四边形ABCD ，点P 在BCD △的内部（不含边界），则下列选项中，AP uuu r可能的关系式为（ ）A ．1355AP AB AD=+uuu r uuu r uuu r B ．1344AP AB AD=+uuu r uuu r uuu rC ．2334AP AB AD=+uuu r uuu r uuu rD ．2433AP AB AD=+uuu r uuu r uuu r【答案】C【分析】根据题意，设AP xAB y AD =+uuu r uuu r uuu r，结合平面向量的基本定理，逐项判定，即可求解.【详解】设(,R)AP xAB y AD x y =+Îuuu r uuu r uuu r，由平面向量的基本定理，可得：当1x y +=时，此时点P 在直线BD 上；当01x y <+<时，此时点P 在点A 和直线BD 之间；当12x y <+<时，此时点P 在点C 和直线BD 之间；当2x y +=时，此时点P 在过点C 且与直线BD 平行的直线上，对于A 中，由向量1355AP AB AD =+uuu r uuu r uuu r ，满足13155+<，所以点P 在ABD △内部，所以A 错误；对于B 中，由1344AP AB AD =+uuu r uuu r uuu r ，满足13144+=，所以点P 在BD 上，所以B 错误；对于C 中，由2334AP AB AD =+uuu r uuu r uuu r ，满足231234<+<，所以点P 可能在BCD △内部，所以C 正确；对于D 中，由2433AP AB AD =+uuu r uuu r uuu r ，满足24233+=，此时点P 在过点C 且与直线BD 平行的直线上，所以D错误.故选：C.3．（2023·湖南·一模）在ABC V 中，点D 满足2,AD DB E =uuu r uuu r 为BCD △重心，设,BC m AC n ==uuu r uuu r r r ，则AE uuu r可表示为（ ）A ．1233m n+r r B ．1233m n-+r rC ．5899m n-+r rD ．5899m n+r r 【答案】C【分析】根据向量的线性运算、三角形的重心等知识求得正确答案.【详解】()211211323333AE AC CE AC CD CB AC CB CA CB æö=+=+´´+=+++ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .()2199n m =+×-+r r ()()158399n m m n -+×-=-+rrr r .故选：C4．（22-23高三上·全国·阶段练习）在平行四边形ABCD 中，2BE ED =uuu r uuu r ，2AF AC AB =+uuu r uuu r uuu r，若(),EF AB AD l m l m =+ÎR uuu r uuu r uuu r ，则lm=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】D【分析】根据向量的加减运算及数乘运算可得8133EF AB AD =+ r r r，从而得解.【详解】223AF AC AB AB AD AB AB AD =+=++=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，Q 22()AE AB BE AB ED AB AD AE =+=+=+-uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu r，\2331AE AD AB =+uuur uuu ruuu r ，\113283333EF AF AE AB AD AD AB AB AD =-=+--=+uuur uuu ruuur uuur uuu ruuu ruuu r uuu r uuu r ，Q EF AB AD l m =+uuu r uuu r uuu r，83l \=，13m =，8l m \=．故选：D ．5．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60ABC Ð=o ，,E F 分别为,AB BC 上的点，3BE EA =uuu r uuu r ，3BF FC =uuu r uuu r．若线段EF 上存在一点M ，使得()12DM DC xDA x =+ÎR uuuu r uuu r uuu r ，则DM CA ×uuuu r uuu r 等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A【分析】以,BE BF uuu r uuu r 为基底可表示出BM uuuu r，由三点共线可构造方程求得x，将所求数量积化为()1324BA BC BA BC æö--×-ç÷èøuuur uuu r uuu r uuu r ，根据数量积的定义和运算律可求得结果.【详解】3BE EA =uuu r uuu r Q ，3BF FC =uuur uuu r ，43BA BE \=uuu r uuu r ，43BC BF =uuu r uuu r ，1112422233x DM DC xDA AB xCB BA xBC BE BF \=+=+=--=--uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ，()24133BM BD DM BA BC DM BE x BF \=+=++=+-uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r，,,E M F Q 三点共线，()241133x \+-=，解得：34x =，1324DM BA BC \=--uuuu r uuu r uuu r ，()221311324244DM CA BA BC BA BC BA BA BC BC æö\×=--×-=--×+ç÷èøuuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r 84cos 60122=--+=o .故选：A.6．（2024·河北衡水·模拟预测）在ABC V 中，D 是BC 的中点，直线l 分别与,,AB AD AC 交于点,,M E N ，且43AB AM =uuu r uuuu r ，2,AE ED AC AN l ==uuu r uuu r uuu r uuu r，则l =（ ）A ．85B ．53C ．74D ．52【答案】B【分析】根据向量运算法则，利用,AM AN uuuu r uuu r 表示AE uuu r，结合向量三点共线的定理列式运算求解.【详解】由2AE ED =uuu r uuu r，得()21144333393AE AD AB AC AM AN AM AN l l æö==+=+=+ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r .因为,,M E N 共线，所以4193l+=，解得53l =.故选：B.7．（2024·宁夏银川·模拟预测）在ABC V 中，2BD DC =uuu r uuu r，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于点E 、F ，且,AE mAB AF nAC ==uuu r uuu r uuu r uuu r，其中0m >，0n >，则2m n +的最小值为（ ）A ．2BC ．3D ．83【答案】C【分析】根据题意以,AB AC uuu r uuu r 为基底表示出AD uuu r ，再根据,,E F D 三点共线，利用共线定理可得12133m n+=，再由基本不等式即可求得2m n +的最小值为3.【详解】如下图所示：因为2BD DC =uuu r uuu r，易知()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，又,AE mAB AF nAC ==uuu r uuu r uuu r uuu r，所以12123333AD AB AC AE AF m n +=+=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，易知,,E F D 三点共线，利用共线定理可得12133m n+=，又0m >，0n >，所以()1212245252223333333333m n m n m n m n n m æö+=++=+++³=´+=ç÷èø；当且仅当2233m nn m=，即1m n ==时，等号成立，所以2m n +的最小值为3.故选：C二、多选题8．（2024·河北廊坊·模拟预测）如图，在矩形ABCD 中，6,4,AB BC E ==是BC 的中点，F 是DC 上的一点，且2DF FC =，则下列说法正确的是（ ）A ．23AF AB AD=+uuu r uuu r uuu r B ．13AF AB AD=+uuu r uuu r uuu r C ．28AE AF ×=uuu r uuu rD ．32AE AF ×=uuu r uuu r【答案】AD【分析】利用向量加法法则运算判断AB ，先用加法法则求得12AE AB AD =+uuu r uuu r uuu r，再利用数量积的定义及运算律求解判断CD.【详解】2233D AF AD DF A C AB D AD =+==++uuu r uuu uuu r uuu r uuu r uuu u u r rr u ，故A 正确，B 错误；因为1122AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，所以1223AE AF AB AD AB AD æöæö×=+×+ç÷ç÷èøèøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 22124824032233AD AB AD AB =++×=++=uuu r uuur uuu r uuu r ，故C 错误，D 正确.故选：AD.三、填空题9．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）如图，在ABC V 中，2,3,3AB AC AB AC ==×=uuu r uuu r，点D 是BC 的中点，点E 在边AC 上，3,AE AC BE =uuu r uuu r交AD 于点F ，设(),BF AB AC l m l m =+ÎR uuu r uuu r uuu r ，则l m += ；点G 是线段BC 上的一个动点，则BF FG ×uuu r uuu r的最大值为 ．【答案】12-/0.5- 98【分析】利用平面向量的基本定理计算即可得空一，利用平面向量数量积的运算律计算即可得空二.【详解】设,AF mAD BF nBE ==uuu r uuu r uuu r uuu r ，由题意可知112222m m AD AB AC AF AB AC =+Þ=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，133n BE AE AB AC AB BF AC nAB =-=-Þ=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，则()1322n m m AF AB BF AC n AB AB AC =+=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，因为AB AC 、不共线，所以有13223142n m m m n n ìì==ïïïïÞííïï=-=ïïîî，此时3131414424BF AC AB l l m m ì=-ïï=-ÞÞ+=-íï=ïîuuu r uuu r uuu r ；可设()[]()0,1BG k BC k AC AB k ==-Îuuu r uuu r uuu r uuu r ，则()2221334444k k BF FG k AC AB BF AC AB AC k AB AC AB BF æöéù×=--×-=-×+-ç÷ëûèøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，92794168k =-£当C G 、重合时取得等号.故答案为：12-；98.10．（2024·天津·模拟预测）如图，在ABC V 中，2AB =，5AC =，3cos 5CAB Ð=，D 是边BC 上一点，且2BD DC =uuu r uuu r.若34BP AD =uuu r uuu r ，记(),PD AB AC l m l m =+ÎR uuu r uuu r uuu r ，则l m += ；若点P 满足BP uuu r 与AD uuu r共线，PA PC ^uuu r uuu r，则BP ADuuu r uuu r 的值为.【答案】34-/0.75- 34或316【分析】把2BD DC =uuu r uuu r 两边用,,AD AB AC uuu r uuu r uuu r 表示即可得解；利用共线向量建立BP uuu r ，AD uuu r之间的数乘关系，进而结合第一空把,PA PC uuu r uuu r 用,AB AC uuu r uuu r表示，利用垂直向量点积为零可得解．【详解】2BD DC =uuu r uuu r，∴()2AD AB AC AD -=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，∴1233AD AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，则()232312343433PD BD BP BC AD AC AB AB AC æö=-=-=--+ç÷èøu u u u u u uuu r uuu r uuu r uuu r u u r uuu r r uu r uu r 111126AB AC =-+uuur uuu r ，又PD AB AC l m =+uuu r uuu r uuu r ，∴111,126l m =-=，所以34l m +=-；∵BP uuu r 与AD uuu r共线，∴可设BP xAD =uuu r uuu r，x ÎR ，∵1233AD AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，∴233x x BP AB AC =+uuu r uuu r uuu r，∴PA PB BA=+uuu r uuu r uuu r BP AB=--uuu r uuu r =2133x x AB AC æö-+-ç÷èøuuur uuu r ，PC PA AC =+uuu r uuu r uuu r =21133x x AB AC æöæö-++-ç÷ç÷èøèøuuur uuu r ，∴PA PC ×uuu r uuu r =222422111133333x x x x x AB AB AC AC æöæöæöæö+++-×--ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøuuur uuu r uuu r uuu r ，①∵32,5,cos 5AB AC CAB ==Ð=，∴24AB =uuu r，225AC =uuu r ，6AB AC ×=uuu r uuu r ，②把②代入①并整理得：∴2128829PA PC x x ×=--uuu r uuu r ，∵PA PC ^uuu r uuu r ，∴0PA PC ×=uuu r uuu r，∴21288209x x --=，解得：1233,416x x ==-，∴BP x AD=uuu r uuu r 34=或316，故BP ADuuu ruuu r 的值为34或316．故答案为：34-；34或316．1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB a =uuu r r ，AD b =uuu r r，则EF uuu r 等于（ ）A ．()12a b+r r B ．()12a b-r r C ．()12b a-r r D ．12a b+r r 【答案】A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结AC ，则AC 为ABC V 的中位线，\111222EF AC a b ==+uuu r uuu r r r ，故选：A2．（全国·高考真题）在ABC V 中，AB c =uuu v v ，AC b =uuu v v ．若点D 满足2BD DC =uuu v uuu v ，则AD =uuu v（ ）A ．2133b c+v v B ．5233c b-v v C ．2133b c-v vD ．1233b c+v v【答案】A【详解】试题分析：，故选A ．3．（·全国·高考真题）在ABC V 中，D 是AB 边上一点.若12,3AD DB CD CA CB l ==+uuu r uuu r uuu ruuur uuu r ，则l 的值为（ ）A ．23B ．13C ．13-D ．23-【答案】A【分析】利用向量的加法的法则，以及其几何意义，把CD uuu r 化为1233CA CB +uuur uuu r ，和已知的条件作对比，求出l值．【详解】解：Q 12,3AD DB CD CA CB l ==+uuu ruuu r uuu ruuur uuu r，22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-uuu ruuu ruuu ruuu ruuur uuu r uuu r uuuu r2133CA CB +=uur uuur ，23l \=，故选：A ．4．（全国·高考真题）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB Ð．若CB a =uuu v v ，CA b =uuuv v ，1=v a ，2b =v ，则CD =uuu vA ．1233a b+v v B ．2133a b+v vC ．3455a b+v vD ．4355a b+v v【答案】B【详解】如图所示，由题设条件知∠1＝∠2，∴BD DA＝CB CA＝12，∴BD uuu r ＝13BA uuu r ＝13(CA uuu r －CB uuu r )＝13b －13a ，∴CD uuu r ＝CB uuu r ＋BD uuu r ＝a ＋13b －13a ＝23a ＋13b .5．（安徽·高考真题）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===uuu v v uuu v v uuu v uuu v ，M 为BC 的中点，则MN =uuuu v _______．（用a bvv 、表示）【答案】1144MN a b=-+r uuuu v r 【详解】解：343A =3()AN NC AN C a b ==+uuu r uuu r uuu r uuu r rr 由得，12AM a b =+uuuu r r r ，所以3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+uuuu r r r r r r r 。
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第2章 函数的概念与性质 第2节 函数的单调性与最值
-2 + 1, ≤ -1,
解析:(1)函数 y= 3,-1 < < 2,
2-1, ≥ 2.
作出函数的图像如图所示.
根据图像可知,函数y=|x+1|+|x-2|的值域为[3,+∞).
1
(2)∵f(x)=- +b(a>0)在 2 ,2
∴f(x)min=f
1
2
=
上是增加的,
1
,f(x)max=f(2)=2,即
基本步骤为①取值:任取x1,x2∈D,且x1≠x2;②作差:求Δf=f(x1)-f(x2);
定义法 ③变形(通常是通分、因式分解和配方);④定号:即判断
⑤下结论:即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性.
导数法 可导函数可以利用导数证明
f
x
的正负;
对点训练1判断并证明函数f(x)=ax2+
解:函数 f(x)=ax
就说函数f(x)在区间D上是增加的 就说函数f(x)在区间D上是减少的
图像
描述
自左向右看图像 逐渐上升
自左向右看图像 逐渐下降
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间D上是 增加的
y=f(x)的单调区间.
或 减少的
,那么称
D
为
微点拨1.单调性定义中的x1,x2的三个特征:一是任意性;二是有大小,即
,
( )'(-1)- (-1)' (-1)-
(方法 2 导数法)f'(x)=
(-1)2
=
(-1)2
当a>0时,f'(x)<0,函数f(x)在(-1,1)上是减少的;
当a<0时,f'(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上是增加的.
北师版高考总复习一轮理科数精品课 第3章 导数及其应用 第2节 第1课时 利用导数研究函数的单调性
含参的函数的单调性
典例突破
例2.(2021山东历城二中月考)已知函数f(x)=ln x+ax2-(a+2)x+2(a为常数).
(1)若f(x)在(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直,求a的值;
(2)若a>0,讨论函数f(x)的单调性.
解:(1)由题意知
1
( -1)(2-1)
f(x)定义域为(0,+∞),f'(x)= +2ax-(a+2)=
所以实数 a 的取值范围是
7
-1,- 16
.
突破技巧利用函数单调性求参数取值范围的两类热点问题的处理方法
(1)函数f(x)在区间D上存在递增(减)区间.
方法一:转化为“f'(x)>0(<0)在区间D上有解”;
方法二:转化为“存在区间D的一个子区间使f'(x)>0(或f'(x)<0)成立”.
(2)函数f(x)在区间D上是递增(减)的.
第三章
第二节
第1课时 利用导数研究函数的单调性
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
1.了解函数单调性和导数的关系;
能利用导数研究函数的单调性,
会求函数的单调区间(其中多项
式函数一般不超过三次).
2.了解函数在某点取得极值的必
要条件和充分条件;会用导数求
函数的极大值、极小值.
3.会求闭区间上函数的最大值、
1
1
1
x>2时,f'(x)>0,当 <x<2时,f'(x)<0,
(2021年整理)高三理科数学培养讲义：第2部分_专题6_第16讲_导数的综合问题
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第16讲导数的综合问题高考统计·定方向题型1 “辅助函数法”证明不等式■核心知识储备·构造辅助函数的四种方法（1)移项法：证明不等式f（x）〉g（x）(f(x)<g（x））的问题转化为证明f（x）－g（x）>0（f（x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x）＝f(x）－g(x)；（2）构造“形似”函数：对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数;（3)主元法:对于(或可化为)f(x1，x2）≥A的不等式，可选x1(或x2）为主元，构造函数f(x，x2)（或f（x1，x））；(4)放缩法:若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数．■高考考法示例·【例1】（2018·郑州质量预测）已知函数f（x)＝e x－x2。
（1）求曲线f(x)在x＝1处的切线方程；(2）求证：当x＞0时，错误!≥ln x＋1。
[解］（1)f′(x）＝e x－2x，由题设得f′(1)＝e－2，f(1)＝e－1，故曲线f(x）在x＝1处的切线方程为y＝（e－2）x＋1.(2)∵f′（x)＝e x－2x,f″(x）＝e x－2，∴f′(x）在(0，ln 2）上单调递减，在（ln 2，＋∞）上单调递增，所以f′（x)≥f′(ln 2)＝2－2ln 2＞0，所以f（x)在[0,1]上单调递增，所以f(x）max＝f（1)＝e－1，x∈[0,1]．又f（x）过点（1，e－1),且y＝f(x）在x＝1处的切线方程为y＝(e－2)x＋1，故可猜测:当x＞0，x≠1时，f(x）的图象恒在切线y＝(e－2）x＋1的上方．下证:当x＞0时,f(x）≥(e－2）x＋1，设g(x)＝f(x)－（e－2)x－1，x＞0，则g′（x)＝e x－2x－(e－2)，g″(x）＝e x－2,g′（x）在（0，ln 2）上单调递减,在(ln 2，＋∞）上单调递增，又g′（0)＝3－e＞0，g′(1）＝0,0＜ln 2＜1,∴g′（ln 2)＜0，所以,存在x0∈(0,ln 2）,使得g′（x0)＝0，所以,当x∈(0,x0)∪（1，＋∞）时，g′（x）＞0；当x∈（x0,1）时,g′（x）＜0,故g（x）在（0，x0)上单调递增,在（x0,1)上单调递减，在(1，＋∞）上单调递增，又g（0）＝g(1）＝0，∴g(x）＝e x－x2－(e－2）x－1≥0，当且仅当x＝1时取等号，故错误!≥x，x＞0.又x≥ln x＋1，即错误!≥ln x＋1,当x＝1时，等号成立．（2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x－1－a ln x.(1）若f（x)≥0，求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n，错误!错误!·…·错误!＜m，求m的最小值．[解](1)f(x)的定义域为（0，＋∞），①若a≤0，因为f错误!＝－错误!＋a ln 2＜0,所以不满足题意．②若a>0，由f′（x)＝1－错误!＝错误!知，当x∈（0，a）时，f′(x）<0;当x∈（a,＋∞）时，f′（x)〉0.所以f(x）在(0,a)单调递减,在（a，＋∞)单调递增．故x＝a是f（x）在（0，＋∞）的唯一最小值点．由于f(1)＝0,所以当且仅当a＝1时,f(x)≥0，故a＝1.(2)由(1）知当x∈(1，＋∞)时，x－1－ln x〉0。
(2021年整理)高三理科数学培养讲义：第2部分_专题5_第11讲_圆锥曲线的定义、方程及性质
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第11讲圆锥曲线的定义、方程及性质高考统计·定方向题型1 圆锥曲线的定义、标准方程■核心知识储备·1．圆锥曲线的定义(1）椭圆：｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a（2a＞｜F1F2｜)；(2)双曲线：|｜PF1|－|PF2｜|＝2a（2a＜|F1F2|)；(3)抛物线：|PF|＝|PM|,点F不在直线l上，PM⊥l于M.2．求解圆锥曲线标准方程“先定型,后计算”所谓“定型”,就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．■高考考法示例·【例1】（1）△ABC的两个顶点为A（－4,0)，B(4，0)，△ABC的周长为18，则C点轨迹方程为（）A．错误!＋错误!＝1(y≠0）B。
错误!＋错误!＝1（y≠0）C．错误!＋错误!＝1（y≠0）D。
错误!＋错误!＝1(y≠0）（2)如图2。
5。
2，过抛物线y2＝2px(p〉0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若｜BC｜＝2｜BF|，且｜AF｜＝3,则此抛物线方程为（ )图2.52A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝错误!x(1）D(2）C[(1)∵△ABC的两顶点A(－4,0)，B(4,0），周长为18，∴|AB｜＝8,｜BC｜＋|AC|＝10.∵10>8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝8，即a＝5,c＝4，∴b＝3.∴C点的轨迹方程为错误!＋错误!＝1(y≠0)．故选D.（2）如图分别过点A，B作准线的垂线,分别交准线于点E,D，设错误!＝a，则由已知得错误!＝2a，由抛物线定义，得错误!＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中, ∵错误!＝|AF｜＝3，错误!＝3＋3a，∴2错误!＝错误!，即3＋3a＝6,从而得a＝1，错误!＝3a＝3.∴p＝错误!＝错误!错误!＝错误!，因此抛物线方程为y2＝3x,故选C．］[方法归纳］1．准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．2．求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法,可结合草图确定．1．如图2。
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第3章 第2节 第2课时 利用导数研究函数的极值、最大(小)值
∴切线方程为y-1=1×(x-0),即x-y+1=0.
(2)F(x)=g(x)-f(x)=ax-excos x,则F'(x)=a-ex(cos x-sin x),
令h(x)=F'(x),h'(x)=-[ex(cos x-sin x)+ex(-sin x-cos x)]=2exsin x,
∵x∈
π π
则由图像可得当x∈(-π,2)时,f'(x)≤0,当x∈(2,2π)时,f'(x)≥0,
故函数f(x)在(-π,2)上是减少的,在(2,2π)上是增加的.
则函数f(x)在定义域[-π,2π]上,先递减后递增,有极小值f(2),无极大值.
考向2 已知函数求极值
例2已知函数f(x)=x-1+ (a∈R,e为自然对数的底数),求函数f(x)的极值.
所以函数f(x)在(-∞,ln a)上是减少的,在(ln a,+∞)上是增加的,
故函数f(x)在x=ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,函数f(x)在x=ln a处取得极小值ln a,无极大值.
规律方法 求函数f(x)极值的一般解题步骤
又 0<a<1,所以 ln a<0,所以-1<ln
1
a<0,所以e <a<1.
规律方法 已知函数极值点或极值求参数的2个要领
列式
验证
根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数
法求解
因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系
数法求解后必须验证根的合理性
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第3章 导数及其应用 解答题专项一 第1课时 利用导数证明不等式
则
-1
h'(x)=(1-x)· +1-ln(1-x)=-ln(1-x),
1-
所以h'(0)=0,当x∈(-∞,0)时,h'(x)<0,
当x∈(0,1)时,h'(x)>0,
所以x=0为h(x)的唯一极小值点,也是最小值点,
所以当x∈(-∞,0)∪(0,1)时,h(x)>h(0)=0,即x+ln(1-x)>xln(1-x),
1
e
上是增加的,
1
=- .
e
-x 2
设函数 h(x)=xe -e ,则 h'(x)=e-x(1-x).
所以当 x∈(0,1)时,h'(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,h'(x)<0.
故 h(x)在(0,1)是增加的,在(1,+∞)是减少的,
从而 h(x)在(0,+∞)的最大值为
1
h(1)=-e .
2
x+e
−
1
g'(x)=
1
e
e (e-2)+e 2
,
2
e e
2
− 2
e
+
2e -1
x+
>1(x>0),
=
1
(x>0),只需证明
e
g(x)min>0.
令h(x)=ex(ex-2)+ex2(x>0),则h'(x)=ex(ex+e-2)+2ex>0,
故h(x)在(0,+∞)上是增加的,
老杨数学 高考数学专题讲义
高考数学专题讲义以下是一个可能的高考数学专题讲义案例，供您参考：一、导数及其应用1.导数的概念和性质2.导数的定义、导数的几何意义、导数的运算性质等。
3.导数在解题中的应用4.利用导数研究函数的单调性、极值与最值、曲线的切线方程等。
5.综合题型解析6.导数与其他知识点的结合，如函数、不等式、数列等，以及压轴题的解题思路等。
二、数列与不等式1.数列的概念与性质2.等差数列、等比数列的定义与性质，数列的通项公式和求和公式等。
3.不等式的性质与解法4.不等式的性质、不等式的解法、不等式的证明等。
5.数列与不等式的综合题型6.数列与不等式的结合题型，如数列求和、不等式证明等。
三、解析几何1.直线与圆2.直线的方程、圆的方程，直线与圆的位置关系等。
3.圆锥曲线4.椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和性质等。
5.解析几何中的最值问题6.利用圆锥曲线的性质求最值等。
四、立体几何1.空间几何体的性质与计算2.空间几何体的表面积、体积的计算等。
3.空间向量及其应用4.空间向量的加法、数乘、向量的模，向量的数量积、向量积等。
5.立体几何中的证明与计算问题6.利用空间向量证明题目，如垂直证明、角度计算等。
五、概率与统计1.概率的基本概念与计算方法2.概率的定义、概率的加法公式、概率的乘法公式等。
3.随机变量的分布及其性质4.离散型随机变量、连续型随机变量的分布及其性质等。
5.统计的基本概念与方法6.总体与样本、统计量及其性质、参数估计和假设检验等。
六、三角函数与解三角形1.三角函数的基本概念与性质2.角度的弧度制、三角函数的定义、三角函数的图象与性质等。
3.三角函数的恒等变换4.同角三角函数的关系、诱导公式、两角和与差的三角函数等。
5.解三角形6.正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等，以及解三角形的实际应用。
七、平面向量1.平面向量的基本概念与性质2.向量的定义、向量的模、向量的方向、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等。
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高三数学寒假班（教师版）一、三角恒等变换1、半角的正弦、余弦公式：sincos 22αα==21cos sin 22αα-=，21cos cos 22αα+=） 2、半角的正切、余切公式：sin 1cos tan21cos sin ααααα-==+ 1cos cot 2sin ααα+= 21cos tan21cos ααα-=+ 3、万能置换公式：22tan2sin 1tan 2ααα=+ 221tan 2cos 1tan 2ααα-=+ 22tan2tan 1tan 2ααα=-4、积化和差公式：()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦ ()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ=-+--⎡⎤⎣⎦5、和差化积公式：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+= s i ns i n 2c o s s i n 22αβαβαβ+--=cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+= c o s c o s 2s i n s i n 22αβαβαβ+--=- 二、参数方程、极坐标方程1、参数方程的定义在直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点M 的坐标y x ,都是某个变数t 的函数)1()()(⎩⎨⎧==t g y t f x ，并且对于t 的每一个允许值，由方程组（1）所确定的点),(y x M 都在曲线C 上，那么，方程（1）文理科拓展知识梳理就叫做曲线C 的参数方程．联系y x ,之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点),(y x M 的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2、通过“消去参数”可以把曲线C 的参数方程化为普通方程； 3、通过“选取参数”，可以把曲线C 的普通方程化为参数方程． 4、常见的圆锥曲线的参数方程(1)．圆()()22200x x y y r -+-=：00cos sin x x r y y r θθ=+⎧⎨=+⎩(2)．椭圆22221x y a b+=()0a b >>：cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩(3)．双曲线22221x y a b-=：sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩(4)．抛物线()220y px p =>222x pt y pt⎧=⎨=⎩5、直线的参数方程(1)．点斜式：经过点),(000y x P 的直线参数方程的一般形式是：00x x at y y bt=+⎧⎨=+⎩(t 是参数)(2)．标准式：若直线l 经过点000(,)P x y ，倾斜角为α，则直线参数方程的标准形式是：00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 是参数)．其中点P 对应的参数t 的几何意义是：有向线段0P P 的数量若点P 1、P 2、P 是直线l 上的点，它们在上述参数方程中对应的参数分别是，和、t t t 21则1212PP t t =-；当点P 分有向线段12PP 成定比λ时，λλ++=121t t t ；当点P 是线段P 1P 2的中点时，221t t t +=6、几种坐标系(1)．直线上的点的坐标 (2)．平面直角坐标系: (),x y (3)．极坐标系:(),ρθ cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩7、极坐标的定义若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为，),(θρ直角坐标为),(y x ，则=x θρcos ，=y θρsin ，ρ=tan yxθ=8、极坐标系中两点间的距离公式若点M )(11θρ，、N )(22θρ，，则=MN )cos(221212221θθρρρρ--+9、直线的极坐标方程(1)．经过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程是：θα=或θπα=+ (2)．经过点)0(，a ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是：a =θρcos (3)．经过点)2(π，a 且平行于极轴的直线的极坐标方程是：a =θρsin(4)．经过点)(00θρ，且倾斜角为α的直线的极坐标方程是：)sin()sin(00αθραθρ-=- 10、圆的极坐标方程(1)．圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是r =ρ(2)．圆心在点(0)a ，，半径为a 的圆的极坐标方程是θρcos 2a = (3)．圆心在点()2a π，，半径为a 的圆的极坐标方程是θρsin 2a =(4)．圆心在点)(00θρ，，半径为r 的圆的极坐标方程是200202)cos(2r =--+θθρρρρ三、空间向量3.、空间向量的坐标表示 （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令=(a 1,a 2,a 3),，则),,(321b b b =∥()②空间两点的距离公式：.（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果那么向量叫做平面的法向量. 4、空间向量的应用（1）设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．（2）设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．（3）设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角，就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．（4）点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算．（5）在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．（6）点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=),,(332211b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅a)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔0332211=++⇔⊥b a b a b a b a 222321a a a ++==a a =⇒⋅=232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅⋅>=<212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=ααα⊥α⊥α1、半角公式的应用【例1】已知1cos2α=，求sin,cos,tan222ααα的值。
【难度】★★【答案】1sin,22cos22tan2ααα===±===±===【巩固训练】1．已知1sin,233απαπ=<<，求sin cos22αα+的值【难度】★★【答案】1sin,23cos3απαπα=<<⇒=32322αππαππ<<⇒<<sin22αα⇒==若cos3α=，则sin cos22αα+=))11⎡⎤=+=⎣⎦例题解析若cos α=，则sin cos 22αα+=))11⎡⎤=+=⎣⎦综上：sin cos22αα+=2、积化和差、和差化积公式的应用【例2】12cos 12sin ππ-=【难度】★★【答案】12cos 12sin ππ-＝125sin 12sin ππ-＝212512sin212512cos 2ππππ-+＝)6sin(4cos 2ππ-＝22-.【巩固训练】1．函数sin()cos 6y x x π=-的最小值等于_____________.【难度】★★ 【答案】34-3、参数方程【例3】求直线11:()5x tl t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标，及点P 与(1,5)Q -的距离【难度】★★【答案】将代入得，得，而，得【例4】已知点是圆上的动点； （1）．求的取值范围（2）．若恒成立，求实数的取值范围 【难度】★★【答案】(1)设圆的参数方程为，(2)【巩固训练】1．点P 在椭圆221169x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离 【难度】★★【答案】设，则即，当时，； 15x ty =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩0x y --=t =(1P +(1,5)Q -PQ ==(,)P x y 222x y y +=2x y +0x y a ++≥a cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩22cos sin 1)1x y θθθϕ+=++++121x y ≤+≤cos sin 10x y a a θθ++=+++≥(cos sin )1)141a a πθθθ∴≥-+-=+-∴≥(4cos ,3sin )P θθ12cos 12sin 245d θθ--=d =cos()14πθ+=-max 12(25d =当时，2．已知直线与直线相交于点，又点(1,2)A ，则【难度】★★ 【答案】524、极坐标方程【例5】在极坐标系中，点A 的极坐标为(2,0)，直线l 的极坐标方程为(cos sin )20ρθθ++=，则点A 到直线l 的距离等于 ． 【难度】★★ 【答案】22【巩固训练】1．在极坐标系中，过点4π⎫⎪⎭且与圆2cos ρθ=相切的直线的方程为_______________.【难度】★★ 【答案】sin 1ρθ=5、空间向量的坐标表示【例6】已知正方体''''ABCD A B C D -的边长为a （1）求'AC AA ⋅；（2）求''AC AC ⋅；（3）求'AC AC ⋅. 【难度】★【答案】以'A 为原点，分别以''''',,A B A D A A 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则cos()14πθ+=min 12(25d =113:()24x tl t y t=+⎧⎨=-⎩为参数2:245l x y -=B AB =()()()()''0,0,0,0,0,,,,0,,,A A a C a a C a a a（1）()()',,00,0,0AC AA a a a ⋅=⋅-=；（2）()()''2,,0,,02AC AC a a a a a ⋅=⋅=（3）()()'2,,0,,2AC AC a a a a a a ⋅=⋅-=【巩固训练】1．已知点()0,7,0A -、()2,1,1B -、()2,2,2C ，求平面ABC 的一个法向量。