“坐标法”在平面向量选择填空题中的妙用-刘运科
坐标法在平面向量运算中的应用(公开课教案)
坐标法在平面向量运算中的应用（专题复习）一、教学目标1．知识与技能：运用坐标法解决平面向量的数量积、夹角、模、参数等有关的值、范围、最值等高考热点问题。
2．过程与方法：通过实例讲解，让学生在用坐标法、基向量法及其它方法解决向量问题过程中，体会坐标法的优越性，并掌握用坐标法解决平面向量有关问题。
3．情感、态度与价值观：通过本节的学习，让学生体验坐标法在平面向量运算中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。
二、教学重点难点重点：运用坐标法解决平面向量有关问题。
难点：恰当建立直角坐标系，将平面向量有关的问题用坐标法解决。
三、教学过程（一）回归教材1.向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底. 对于平面内的一个向量a ，由平面基本定理，有且只有一对实数x 、y ，使得x y =+a i j 这样，平面内的任一向量a 都可以由x 、y 唯一确定，我们把有序数对(,)x y 叫做向量a 的 坐标，记作(,)x y =a .显然，i =（1,0），j =（0,1），0 = （0,0）2.平面向量的坐标运算(1) 若11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则1212(,)x x y y ±=±±a b ， a(2) 若11(,)A x y ,22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--.(3) 若向量11(,)a x y =，22(,)b x y =，则1212x x y a y b +=(4) 向量的夹角公式：21cos a b a b x θ==+ (5)向量的模：221a a a a x ==⋅=+(6)平面向量的平行与垂直问题：若11(,)a x y =，22(,)b x y =//a b ，则12210x y x y -= a b ⊥，则121200x x y a b y ==+⇒λ）（21,x x λλ=3.平面几何问题的向量坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能将向量有关的几何问题转化为相应的代数运算，从而使问题得到解决。
如何运用坐标系解决高考数学中的几何问题
如何运用坐标系解决高考数学中的几何问题几何问题在高考数学考试中占据了很大的比例，要想在数学考试中获得更好的成绩，就必须要熟练掌握坐标系的运用方法。
在解决几何问题时，坐标系可以帮助我们更加清晰明了地理解问题，同时解题思路也更加清晰。
本文将详细介绍如何运用坐标系解决高考数学中的几何问题。
一、坐标系的引入坐标系是一种直角坐标系，它可以帮助我们更加清晰地理解和描述几何问题。
在引入坐标系之前，我们需要先了解平面直角坐标系的相关概念和公式。
平面直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成，通常被称为x轴和y轴。
坐标轴的交点被称为原点，它的坐标为(0,0)。
x轴的正方向向右，负方向向左；y轴的正方向向上，负方向向下。
图1展示了一个平面直角坐标系的例子。
图1：平面直角坐标系的示意图在平面直角坐标系中，我们可以用(x,y)来表示一个点的位置，其中x表示该点在x轴上的位置，y表示该点在y轴上的位置。
例如，点A的坐标为(3, 4)，它表示该点在x轴上的位置为3，而在y 轴上的位置为4。
二、关于平面几何问题在平面几何问题中，我们通常需要求出某个角度的大小、某两点之间的距离、某条直线的方程等问题。
但是，这些问题通常是比较抽象的，常常难以通过简单的数学公式来解决。
这时，我们可以通过引入坐标系来帮助我们解决问题。
三、坐标系的应用1. 求两点之间的距离假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们可以通过勾股定理求得线段AB的长度：d = √{(x2 - x1)² + (y2 - y1)²}例如，求出A(3, 4)和B(6, 8)之间的距离，可以用以下公式计算：d = √{(6-3)² + (8-4)²} = √{3² + 4²} = 5因此，线段AB的长度为5。
2. 求直线的斜率对于一条直线，我们可以用公式y=kx+b来表示，其中k表示该直线的斜率，b表示该直线在y轴上的截距。
用坐标方法解决几何问题课件 高二上学期数学湘教版(2019)选择性必修第一册
例1 如图所示， 是 的直径， 是 的一条弦，且 ， 为垂足.以 为坐标原点，直径 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系.设 的半径为 ， ，则 的方程为 ，设 ， ,则 ， ，
即 ， 是关于 的方程 的两根，解方程得 ，不妨设 ， ，则 的中点坐标为 ，即 .故 是 的中点，即 是 的中点.
已知 的边 长为4，若 边上的中线为定长3，求顶点 的轨迹方程.
[解析] 以直线 为 轴， 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系（如图），则 ， ，设 ， 的中点 .
① ， . ②将①代入②，整理得 . 点 不能在 轴上， .综上，点 的轨迹是以 为圆心，6为半径的圆，去掉 和 两点.轨迹方程为 .
[解析] 以点 为坐标原点，射线 为 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，如图.
设点 ，则 ， ，由 ，化简并整理得 ，
于是得点 的轨迹是以点 为圆心，2为半径的圆，其面积为 ，所以点 的轨迹围成的区域的面积为 .
一般地，求轨迹方程就是找等量关系求等式.先把等量关系用坐标表示出来，再进行变形化简，就得到相应的轨迹方程.求轨迹方程的关键就是建立坐标系，找等量关系.
3.设圆 的圆心为 ，点 在圆上，则 的中点 的轨迹方程是______________________.
[解析] 由条件知 ，设 ，根据中点坐标公式可得点 ， 点 在圆上， ，整理得 ，即 , 的中点 的轨迹方程为 .
4.台风中心从 地以 的速度向东北（东偏北 ）方向移动，离台风中心 内的地区为危险区，城市 在 地正东 处，则城市 处于危险区的时长为多少？
[答案] 其轨迹为线段 的垂直平分线，其方程为 .
问题2： 已知动点 到点 的距离等于点 到点 的距离的2倍，你能求出点 的轨迹方程吗？
高中数学平面向量及其应用的解题技巧
高中数学平面向量及其应用的解题技巧高中数学中，平面向量是一个重要的概念，它在各个数学分支中都有广泛的应用。
掌握平面向量的解题技巧，不仅能够帮助我们更好地理解数学知识，还能够提高解题的效率和准确性。
本文将从基本概念、解题方法和应用举例三个方面，介绍高中数学平面向量的解题技巧。
一、基本概念平面向量是空间中的一个有向线段，可以用有序数对表示。
在平面直角坐标系中，向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
向量的模表示向量的长度，记作|AB|或||AB||。
向量的方向可以用与x轴正方向的夹角表示。
二、解题方法1. 向量的表示与运算在解题过程中，我们需要掌握向量的表示与运算方法。
例如，已知向量A(3,4)和向量B(-2,1)，求向量A与向量B的和、差以及数量积。
解答：向量A与向量B的和为A+B=(3+(-2),4+1)=(1,5)；向量A与向量B的差为A-B=(3-(-2),4-1)=(5,3)；向量A与向量B的数量积为A·B=3×(-2)+4×1=-6+4=-2。
2. 向量的模和方向在解题过程中，我们需要计算向量的模和方向。
例如，已知向量A(3,4)，求向量A的模和方向。
解答：向量A的模为|A|=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5；向量A的方向可以用与x轴正方向的夹角表示，tanθ=4/3，所以θ=arctan(4/3)≈53.13°。
3. 向量的共线与垂直在解题过程中，我们需要判断向量的共线与垂直关系。
例如，已知向量A(3,4)和向量B(6,8)，判断向量A与向量B是否共线或垂直。
解答：向量A与向量B的方向相同，且比值相等，即3/6=4/8=1/2，所以向量A与向量B共线。
三、应用举例1. 平面向量的线性运算已知向量A(2,3)和向量B(1,2)，求2A-3B的模和方向。
解答：2A-3B=2(2,3)-3(1,2)=(4,6)-(3,6)=(1,0)；2A-3B的模为|2A-3B|=√(1²+0²)=√1=1；2A-3B的方向与x轴正方向平行，即与x轴的夹角为0°。
平面向量的坐标表示及坐标运算
平面向量的坐标表示及坐标运算一个平面上的向量可以用坐标的形式表示出来。
一般而言，在平面上的向量都可以用一个坐标向量来表示，用一对数字表示向量的大小和方向，可以是极坐标，也可以是直角坐标。
极坐标是把向量投影到平面上，以圆心为原点，向量的起点到圆心的距离表示大小，圆心到向量的角度表示方向。
在不同情况下，极坐标可以取不同的圆心，比如笛卡尔坐标系的极坐标，其圆心就是笛卡尔坐标系的原点；也可以取向量的起点为圆心，这样的极坐标叫作空间极坐标。
直角坐标是指将一个向量从起点投射到X轴，再从X轴投射到Y 轴，X轴上的距离表示向量的X成分，Y轴上的距离表示向量的Y成分。
这样就把一个向量表示为两个正数（或零）的组合，例如（3，4），即表示一个向量，其X成分为3，Y成分为4。
二、坐标运算1.量加法：当两个向量的起点在同一个点时，他们的坐标向量可以相加，即：（a，b）+（c，d）=（a+c，b+d）。
2.量减法：同样地，当两个向量的起点在同一个点时，他们的坐标向量可以相减，即：（a，b）-（c，d）=（a-c，b-d）。
3.放向量：缩放向量意味着将向量的大小变更，而不改变向量的方向，可以用缩放系数来表示，令K为缩放系数，则：K*（a，b）=（Ka，Kb），即对向量的每个成分乘以一个系数，就可以完成缩放的运算。
4.量的模：向量的模也称为向量的长度，表示向量大小的一个数值，它可以用欧式距离来表示，欧式距离计算公式的定义为：||A||=√（a^2+b^2），其中a和b分别表示向量的X和Y成分。
5.量的夹角：向量的夹角指向量之间的夹角，可以用弧度表示，也可以用角度表示，计算向量的夹角可以用余弦定理来计算，其计算公式定义为：cosθ=AB/||A||*||B||。
6.量的点积：点积用来表示两个向量的关系，可以用X和Y在向量上的分量来表示，它的计算公式定义为：AB=a*b+c*d，其中a，b，c，d分别表示两个向量的X和Y成分。
三、总结以上，就是平面向量的坐标表示及坐标运算的相关内容，在了解了平面向量的坐标表示方式以及如何进行坐标运算后，我们可以更加熟练的处理向量的坐标运算，也可以更清楚的理解向量的含义。
高中数学向量坐标题解题方法
高中数学向量坐标题解题方法高中数学向量坐标解题方法在高中数学学习中，向量坐标是一个重要的概念，它不仅在几何中有广泛的应用，还与代数和物理等学科有密切的联系。
掌握向量坐标的解题方法，对于提高数学成绩和解决实际问题非常有帮助。
本文将从基础概念、解题步骤和应用举例三个方面，详细介绍高中数学向量坐标解题方法。
一、基础概念在解题前，首先需要了解向量坐标的基础概念。
向量坐标通常表示为(x, y)，其中x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。
通过这种表示方法，我们可以将向量的运算转化为代数运算，方便求解。
二、解题步骤解题时，我们可以按照以下步骤进行：1. 确定向量的起点和终点：根据题目给出的信息，确定向量的起点和终点，并将其表示为坐标点。
2. 求取向量的坐标差：将终点的坐标减去起点的坐标，得到向量的坐标差。
3. 根据题目要求进行运算：根据题目要求，进行向量的加减、数乘、模长计算等运算。
4. 结合几何意义进行分析：根据向量的几何意义，分析题目中的问题，得出结论。
三、应用举例下面通过具体的题目来说明向量坐标解题方法。
例1：已知点A(1, 2)和点B(4, 5)，求向量AB的坐标。
解析：根据解题步骤，首先确定向量的起点和终点，即A(1, 2)和B(4, 5)。
然后求取向量的坐标差，即(4-1, 5-2)，得到向量AB的坐标为(3, 3)。
例2：已知向量AB的坐标为(2, 3)，求向量BA的坐标。
解析：根据解题步骤，首先确定向量的起点和终点，即A和B。
由于向量BA 与向量AB的坐标相反，所以向量BA的坐标为(-2, -3)。
例3：已知向量AB的坐标为(3, 4)，求向量AB的模长。
解析：根据解题步骤，首先确定向量的起点和终点，即A和B。
然后求取向量的坐标差，即(3, 4)，得到向量AB的坐标。
根据向量的模长公式，模长等于坐标差的平方和的平方根。
所以向量AB的模长为√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。
用坐标运算解决高考向量问题
用坐标运算解决高考向量问题作者：周文建来源：《中学教学参考·理科版》2018年第01期[摘要]平面向量是高考的一个考点，也是近年高考中的一个热点、难点问题.用坐标运算能解决高考中的向量问题.[关键词]坐标运算；向量问题；高考[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2017）02003601平面向量一直是高考中的一个考点，也是近年高考中的一个热点、难点问题.有的学生在解决平面向量问题时，使用常规的向量运算法，更多的学生相对更喜欢使用向量的坐标运算来解决问题.我们可以采用特值法或者将平面向量转化成向量的坐标运算.【例1】（2015年北京高考题理科第13题）在△ABC中，点M，N满足AM=2MC，BN=NC.若MN=xAB+yAC，则x= ，y= .题目所给的已知条件中，没有说明三角形是什么三角形，用一般三角形来解决问题，只能采用常规的方法，较烦琐.而应用平面向量基本定理来解决则会事半功倍.解题思路如下.MN=MA+AB+BN=-23AC+AB+12BC=-23AC+AB+12（AC-AB）=12AB-16AC笔者发现大部分学生对于平面向量基本定理的应用都存在很大的问题，他们更喜欢应用向量的坐标表示方法，用坐标表示向量，进而应用坐标运算来解决问题.但是本题所给三角形没有说具体形状，就没有办法应用坐标方法.笔者认为，既然没说三角形是什么形状，也就是说直角三角形也是满足题意的.不妨假设三角形ABC为直角三角形，建立坐标系.解法如下.试题分析：（特殊化）不妨设AC⊥AB，AB=4，AC=3.利用坐标法，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立直角坐标系，A（0，0），M（0，2），C（0，3），B（4，0），N （2，32），则MN=（2，-12），AB=（4，0），AC=（0，3），则（2，-12）=x（4，0）+y（0，3），4x=2，3y=-12，∴x=12，y=-16.应用特殊值加向量的坐标方法来解决此类问题，可以把思维难度很高的向量基本逻辑运算转化成直角坐标运算来解决，从而降低题目本身的难度，使学生能够很快入手，轻松解决此类问题.现行高考中理科立体几何解答题就可以应用这个方法（建立坐标系）来解决，也是现在绝大部分教师建议学生应用的方法.既然立体几何可以应用这一方法，笔者认为在高考的客观题中也应应用此方法解决此类问题.但是如果像本题，不能直接建立坐标系，需要使用特殊情况来建立坐标系的方法，只能局限于客观题.【例2】（2016年天津高考题第7题）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则AF·BC的值为（）.若应用向量的坐标运算方法则可以如下解决.【坐标运算】建立以BC为x轴，其中点为坐标原点的坐标系，则有此题应用坐标运算的方法，只需要一步就可以得到答案，而用常规方法则至少需要四步.【例3】（2014年新疆维吾尔自治区高考第一次适应性检测第16题）若D为三角形ABC 的边BC的中点，三角形ABC所在的平面内有一点P满足，则λ的值为 .分析：题中没有说明三角形ABC的形状，不妨设三角形ABC是以角A为直角的等腰直角三角形，建立以A为坐标原点，有向线段AB方向为x轴正方向，有向线段AC方向为y轴正方向的平面直角坐标系.综上可知，用坐标运算解决高考向量问题，可收到事半功倍的效果. （责任编辑黄桂坚）。
高考数学运用坐标法巧解平面向量题导学案(4页)
高考数学运用坐标法巧解平面向量题导学案【考纲考情分析】最新考纲：1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.会用坐标表示向量的加法、减法与数乘运算.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角.考向预测：平面向量的线性运算、共线定理及其应用、平面向量数量积的综合应用仍是2020年考查的热点.学科素养：重点考查学生数学运算的素养.【学习目标】1.通过典例,体会运用坐标法解题的简洁性和重要性.2.会建立恰当的坐标系解题.【决胜高考】示例1：[2019•新课标Ⅲ 13]已知→→b a ,为单位向量，且 0=⋅→→b a ，若=⋅-=→→→→→c a b a c cos ,52则对点训练1 [2017•山东,12]已知→→21,e e 是互相垂直的单位向量，若→→→→+-21213e e e e λ与的夹角为60°，则实数λ的值是________．示例2 ： [2018天津卷，8] 如图，在平面四边ABCD 中,1,120,,===∠⊥⊥︒AD AB BAD CD AD BC AB 若点E 为边CD 上的动点，则→→⋅BE AE 的最小值 ( )3.1625.23.1621.D C B A对点训练2：已知直角梯形ABCD 中，的中点是线段的三等分点，靠近上是线段DC F A AD E BCD CD AB ,60,//︒=∠=⋅==→→EF EB AD AB 则若,3,2示例3 [2017•新课标Ⅲ 12]在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若→→→+=AD AB AP μλ则μλ+ 的最大值为 （）A ．3B ．22C ．5 D ．2对点训练3[2017•新课标Ⅱ 12]已知ABC ∆ 是边长为2的等边三角，P 为平面ABC 内一点， 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅→→→PC PB PA 的最小值是（） A.2- B.32- C.43- D.1-【课堂小结】谈谈你的收获？ 方法、 思想【作业布置】必做题：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD,CD=2 , ,4π=∠BAD 若 →→→→⋅=⋅AD AB AC AB 2 , 则=⋅→→AC AD选做题：A,B,O 是平面内不共线的三点，且 ,2,→→→→==b OB a OA 点P 关于点A 的 对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，则=→PR【达标检测】1.[2015·新课标全国Ⅱ，13)] 设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，。
坐标法在高中数学解题中的应用
坐标法在高中数学解题中的应用作者：***来源：《理科爱好者(教育教学版)》2020年第04期【摘要】数学学科作为高中阶段的基础学科，对于学生理性思维能力和创造能力的培养有重要作用。
新课程改革对高中数学的教学思路和教学方法提出了更高的要求。
坐标法作为数形结合教学方法中的重要内容，可以有效深入学生对课本知识的理解与运用，所以高中数学教师应该重点关注这一方法。
本文对坐标法在高中数学解题中的应用进行了深入的讨论研究。
【关键词】高中数学;坐标法;解题能力;应用探讨对于高中数学而言，建立知识间的联系是解决数学问题的关键。
通过坐标法将抽象的内容立体化，展现问题中的数量关系，能加深学生对知识的理解和分析，帮助学生迅速解题[1]。
教师要在课堂上积极引导学生形成数学思维，灵活使用坐标法，促进学生深入思考，提高学生的数学解题水平。
1 以坐标法解决向量问题向量问题具有代数和几何的双重特征，利用坐标法解决向量问题，既要考虑代数也要重视几何。
根据题目中的条件在坐标中标明向量的方向和长度，能使向量间的关系更加清晰，更利于使用运算法则快速求解。
教师在讲解向量问题时，要先多动手示范，以坐标表示向量，引导学生逐渐形成这种思维习惯;然后要让学生自己练习，把已知向量画在坐标系中，分析坐标系中暗含的等量关系，利用计算规则逐步得出答案。
如在教学“平面向量”时，笔者设置了这样一道例题：已知平面上三点A、B、C满足、、，则的值等于多少？学生无法直接从题目中看出这些向量之间的关系，不能确定计算时向量的方向。
于是笔者让学生先将这些向量在坐标图中表示出来，如图1所示。
学生根据坐标图理清了三个向量的位置以及数量关系。
据此学生能准确计算了：因为、、，所以△ABC为直角三角形且∠ABC=90°，即AB⊥BC，所以。
借助坐标图不仅能使复杂的数字关系具体化、生动化，而且能揭示出潜在的数量关系，进而以简便方法得到最终结果。
2 以坐标法解决函数问题高中函数问题既是贯穿课本的重点，也是学生做题时的难点。
高中数学平面坐标系的运用及解题方法
高中数学平面坐标系的运用及解题方法一、引言在高中数学学习中，平面坐标系是一个非常重要的概念和工具。
它不仅可以帮助我们理解几何图形的性质，还可以解决各种数学问题。
本文将重点介绍平面坐标系的运用及解题方法，通过具体的例题分析，帮助高中学生更好地掌握这一知识点。
二、平面坐标系的基本概念平面坐标系由横轴和纵轴组成，通常用x轴和y轴表示。
其中，x轴是水平方向的直线，y轴是垂直方向的直线。
坐标系的原点是两条轴的交点，通常用字母O表示。
每个点在平面坐标系中都可以表示为一个有序数对(x, y)，其中x表示点在x 轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。
三、平面坐标系的运用1. 表示点和图形平面坐标系可以帮助我们准确地表示点和图形。
例如，对于点A(2, 3)，我们可以在坐标系中找到x轴上的2和y轴上的3，然后在这两个位置上画一个点，就表示了点A。
同样地，我们可以通过坐标系来表示线段、直线、圆等图形。
2. 判断图形的性质平面坐标系可以帮助我们判断图形的性质。
例如，对于直线L：y = 2x + 1，我们可以通过找到两个点，连接它们并延长，来画出这条直线。
然后，我们可以观察直线的斜率和截距，从而判断直线的斜率大小、与x轴和y轴的交点等性质。
3. 求解方程平面坐标系可以帮助我们求解方程。
例如，对于方程2x + y = 5，我们可以将y 置为0，求解得到x的值；或者将x置为0，求解得到y的值。
这样，我们就可以通过坐标系找到方程的解。
四、解题方法1. 利用坐标系画图在解决与平面坐标系相关的问题时，我们可以首先利用坐标系画出相关的图形。
通过图形的形状和位置，我们可以更好地理解问题，并找到解题的思路和方法。
2. 利用坐标系建立方程在解决与平面坐标系相关的方程问题时，我们可以利用坐标系建立方程。
通过观察图形和已知条件，我们可以列出方程，然后通过求解方程得到问题的答案。
3. 利用坐标系进行推理在解决与平面坐标系相关的推理问题时，我们可以利用坐标系进行推理。
坐标系在高考数学中的应用
坐标系在高考数学中的应用在高考数学中，坐标系是一个非常重要的概念，同时也是一个非常基础的概念。
坐标系可以用来描述平面几何中的点、直线和图形，因此在高考数学的学习过程中，学生一定要深入理解坐标系的概念和应用，并且能够熟练运用。
首先，我们来看坐标系在平面几何中的应用。
坐标系是由两条互相垂直的坐标轴和它们的交点所形成的，通常情况下，我们通常使用直角坐标系来进行平面几何的计算。
在学习过程中，我们可以通过坐标系来确定平面中任意一点的位置，也可以通过点之间的距离公式，计算出两个点之间的距离。
接下来，我们来看坐标系在解析几何中的应用。
解析几何是高中数学教育中的一个非常重要的分支，它的核心是利用坐标系来进行几何问题的分析和求解。
在解析几何中，我们可以通过为几何对象建立数学模型来简化几何的求解过程。
轨迹、方程及直线与曲线的判定都可以通过建立解析式来进行计算，而这些解析式都是基于坐标系的。
同时，在解析几何中，我们也可以通过海龙公式、斯图尔特定理等公式来进行几何问题的求解，而这些公式都是基于坐标系的。
最后，我们来看坐标系在向量几何中的应用。
向量几何是高中数学中的另一个重要分支，它可以用来描述空间中的向量和向量之间的几何关系。
在向量几何中，我们首先需要建立一个坐标系来表示向量以及它们与其他向量之间的关系。
在建立坐标系后，我们可以通过向量的坐标、向量的大小以及向量的点积、叉积等概念来进行向量几何的计算。
坐标系的建立为向量几何提供了重要的数学工具，使得向量的计算变得更加简便和高效。
综上所述，坐标系是高考数学中一个非常重要的概念，它在平面几何、解析几何和向量几何中都有广泛的应用。
在学习过程中，我们一定要深入理解坐标系的概念和应用，并且能够熟练运用。
只有这样，我们才能在高考数学中取得更好的成绩。
巧借坐标运算,妙解向量问题
２０２４年１月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀巧借坐标运算,妙解向量问题◉广东省深圳市红山中学㊀陈㊀晨㊀㊀摘要:利用坐标运算法解决平面向量问题是比较常见的一种技巧,也是解决平面向量中重点与难点问题的一大 法宝 ．结合实例剖析,通过平面直角坐标系的构建与对应坐标的表示,合理数学运算,减少逻辑推理,实现平面向量解题的程序化运算处理,指导数学教学与解题研究．关键词:平面向量;坐标;运算;数量积㊀㊀平面向量自身同时兼备 数 的基本属性与 形 的结构特征,是衔接代数与几何的一个纽带,更是数形结合的典范之一．而利用坐标运算法来处理平面向量的一些相关问题,将相应的平面几何的 形 的问题加以符号化处理㊁坐标化表示,转化为 数 的问题,进行数量化应用与数学运算处理,使得推理应用问题转化为数学运算问题,可以更加深入地解决一些复杂的综合性㊁创新性等平面向量应用问题．１参数值的问题在平面向量中,涉及向量线性关系的系数㊁线段的比例关系等相关参数值的求解,以及对应参数的代数关系式的求解问题,经常可以借助平面直角坐标系的构建,利用坐标运算法来进行数学运算与逻辑推理等．图１例１㊀ ２０２３届广东省六校联盟(广东省实验中学㊁广州二中㊁中山纪念中学等)高三上学期第三次联考数学试卷 如图１,在平面四边形A B C D 中,øB A D ＝５π６,øB A C ＝π６,A B ＝３,A D ＝２,A C ＝４,A C ң＝λA B ң＋μA D ң,则λ＋μ＝(㊀㊀)．A．２㊀㊀㊀B ．２３㊀㊀㊀C ．４㊀㊀㊀D．６分析:根据平面几何图形,合理构建平面直角坐标系,将平面图形中的线段长度与角度关系转化为对应的点的坐标,利用坐标运算来确定相应的向量,结合向量的坐标运算构建对应参数的关系式,进而确定图２所求关系式的值．解析:如图２所示,以点A 为坐标原点,A B 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则A (０,０),B (３,０),D (－３,１),C (２３,２),于是A C ң＝(２３,２),A B ң＝(３,０),A D ң＝(－３,１)．由A C ң＝λA B ң＋μA D ң,可得３λ－３μ＝２３,μ＝２,{解得λ＝４,μ＝２．{因此λ＋μ＝６．故选择答案:D ．点评:解决此类问题的方法比较多,可以通过 数 的思维来应用,也可以通过 形 的特征来分析．而利用坐标运算法解决平面向量中对应参数值的求解问题时,关键是将直观形象的平面几何图形放置于对应的平面直角坐标系中,借助相应的坐标表示,化逻辑推理为数学运算,借助坐标运算来分析与求解．２向量模的问题在平面向量中,涉及向量的模或模的取值范围(或最值)的求解问题,经常可以借助平面直角坐标系的构建,合理引入向量的坐标,进而利用坐标运算法来进行数学运算与逻辑推理等．例２㊀已知平面向量a ,b ,c 满足|c |＝１,且满足a c ＝２,b c ＝１,则|a ＋b |的最小值为．分析:根据题设条件,通过合理构建对应的平面直角坐标系,并引入向量a ,b 的坐标,结合向量的数量积公式确定相关参数的值,利用向量模的公式构建对应的关系式以及利用函数的基本性质来确定相应的最值问题．解析:依题建立相应的平面直角坐标系,不失一般性,不妨设c ＝(１,０),a ＝(x ,y ),b ＝(m ,n ),其中x ,y ,m ,n ɪR ．结合条件a c ＝２,b c ＝１,利用向量数量积的坐标公式,可得a c ＝x ＝２,b c ＝m ＝１．因为a ＋b ＝(x ＋m ,y ＋n ),所以|a ＋b |２＝(x ＋m )２＋(y ＋n )２＝９＋(y ＋n )２ȡ９,当且仅当y ＋n ＝０时,等号成立．所以|a ＋b |ȡ３,即|a ＋b |的最小值为３．故填答案:３．点评:借助适当的平面直角坐标系的构建并引入向量的坐标,为和向量的模合理构建对应的函数关系式,进而结合参数之间的关系与表示,利用函数的基５４学习指导２０２４年１月上半月㊀㊀㊀本性质来分析与转化．通过代数思维中的坐标运算来处理此类向量模的相关问题,借助纯粹的代数运算即可达到目的,目标明确．３数量积的问题在平面向量中,涉及平面向量的数量积以及数量积的线性关系式等的求解㊁取值范围(或最值)的确定问题,经常可以借助平面直角坐标系的构建,利用坐标运算法来进行数学运算与逻辑推理等．例３㊀ ２０２３届山东省潍坊市高考模拟考试数学试卷(２０２３年潍坊东营一模) 单位圆O :x ２＋y ２＝１上有两定点A (１,０),B (０,１)及两动点C ,D ,且O Cң O D ң＝１２,则C A ң C B ң＋D A ң D B ң的最大值是(㊀㊀)．A．２＋６B ．２＋２３C ．６－２D．２３－２分析:根据平面向量自身 数 的基本属性,通过数学运算,借助坐标法来转化与应用,巧妙引入点或夹角等参数,通过点的坐标㊁向量的坐标及其对应的运算㊁数量积公式等,综合三角函数等其他知识来应用．解析:根据O C ң O D ң＝１２,可得|O C ң||O D ң|c o søC O D ＝c o søC O D ＝１２,则øC O D ＝π３．不失一般性,设点C (c o s θ,s i n θ),θɪ[０,２π),则点D 的坐标为(c o s (θ＋π３),s i n (θ＋π３))．于是C A ң C B ң＋D A ң D B ң＝(１－c o s θ,－s i n θ)(－c o s θ,１－s i n θ)＋(１－c o s (θ＋π３),－s i n (θ＋π３))(－c o s (θ＋π３),１－s i n (θ＋π３))＝２－co s θ－s i n θ－c o s (θ＋π３)－s i n (θ＋π３)＝２＋(３２－３２)s i n θ－(３２＋３２)c o s θ＝２－６s i n (θ＋φ)ɤ２＋６,此时t a n φ＝２＋３,当且仅当s i n (θ＋φ)＝－１时,等号成立,即C A ң C B ң＋D A ң D B ң的最大值是２＋６．故选择答案:A ．点评:通过题目条件合理引入对应的点或夹角等参数,进而利用平面向量数量积的坐标公式,将已知条件转化为涉及参数的代数关系式,结合函数的图象与性质㊁三角函数的有界性或不等式的基本性质等来确定对应关系式的最值问题．此类问题利用代数思维往往更加方便,利用相应的数学运算即可得到最终结论．４创新应用问题创新意识与创新应用是新时代的一个主旋律．在平面向量中,涉及平面向量问题的创新应用也是一大主阵地,挖掘创新本质,合理构建平面直角坐标系,坐标运算法有时也是解决向量创新应用问题的一个不错的选择．例４㊀(２０２２届浙江省杭州市高三年级下学期４月教学质量检测数学试卷)对于二元函数f (x ,y ),m i n x {m a x y{f (x ,y )}}表示f (x ,y )先关于y 求最大值,再关于x 求最小值．已知平面内非零向量a ,b ,c ,满足:a ʅb ,a c |a |＝２b c |b |．记f (m ,n )＝|m c －b ||m c －n a |(m ,n ɪR ,且m ʂ０,n ʂ０),则m i n m{m a x n{f (m ,n )}}＝．分析:根据题目条件,巧妙建立相应的平面直角坐标系,引入对应向量的坐标参数,利用向量投影的几何意义并结合题设条件确定相关向量c 的坐标关系,进而利用平面向量的坐标运算㊁向量模的公式等构建对应的函数解析式,结合创新定义并利用函数的基本性质加以分步处理,分层解决．解析:依题建立相应的平面直角坐标系x O y ,结合a ʅb ,不失一般性,可设平面向量a ＝(a ,０),b ＝(０,b ),a ,b ɪR ．结合关系式a c |a |＝２b c|b |,借助向量投影的几何意义,可知c 在a 方向上的投影恰为c 在b 方向上投影的两倍,故可设c ＝(２t ,t ),t ɪR ,于是f (m ,n )＝|m c －b ||m c －n a |＝|m (２t ,t )－(０,b )||m (２t ,t )－n (a ,０)|＝５m ２t ２－２m t b ＋b ２５m ２t ２－４m n t a ＋n ２a ２＝５m ２t ２－２m t b ＋b２m ２t ２＋(２m t －n a )２．因此可得,当２m t ＝n a 时,m a x n{f (m ,n )}＝５m ２t ２－２m t b ＋b２m ２t２＝(bm t－１)２＋４,进而可得,当bm t＝１,即m t ＝b 时,m i n m {m a x n {f (m ,n )}}＝４＝２．所以m i n m{m a x n{f (m ,n )}}＝２,当且仅当n a ＝２m t ＝２b 时,等号成立．故填答案:２．点评:通过建系,利用坐标运算法,合理把握创新应用问题的实质,是处理此类平面向量中创新问题比较常用的一种通技通法．借助坐标运算法来解决平面向量的综合应用问题,通过点㊁向量等的坐标化处理,由 形 转化为 数 ,利用代数思维来解决平面向量中的 数 或 形 的相关问题,避免变幻莫测的直观图形和繁杂的逻辑推理等,实现平面几何问题的代数化,由变化多端的平面向量应用问题转化为对应坐标的代数运算问题,方向性强,思维单一,技巧易懂,方法灵活,值得借鉴与推广．Z６４。
高中数学学习中的向量与坐标应用技巧
高中数学学习中的向量与坐标应用技巧随着数学技能在高中阶段的提升，向量与坐标成为了数学学习中的重要概念。
向量和坐标不仅在数学理论中有着广泛的应用，还在实际问题中起到了关键的作用。
本文将介绍在高中数学学习中的向量与坐标应用技巧，帮助学生更好地理解和应用这些概念。
一、向量与坐标的基本概念在开始介绍应用技巧之前，让我们先来回顾一下向量与坐标的基本概念。
向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。
向量的大小用模表示，方向用箭头所指的方向表示。
坐标是描述一个点在平面上或者空间中位置的一组数值，通常表示为 (x, y) 或者 (x, y, z)。
二、向量与坐标在几何中的应用1. 向量的共线与垂直判断在几何中，判断两个向量是否共线非常重要。
共线表示两个向量具有相同的方向或者完全相反的方向。
判断方法：两个向量的方向相同或者相反，且模的比值相等，即可判断两个向量共线。
同样，判断两个向量是否垂直也是常见的几何问题。
判断方法：两个向量的内积为零时，可以推导出两个向量垂直。
2. 坐标系与平移变换在坐标系中，向量的坐标表示了向量在该坐标系下的位置。
平移变换是将平面上的点按照指定的方向和距离进行移动。
应用技巧：通过向量的加法和减法，可以实现点的平移变换。
将给定点的坐标与向量相加或者相减，得到平移后的点的坐标。
3. 矢量的数量积与向量的夹角数量积是向量的一个重要运算，用于计算两个向量的数量特征。
应用技巧：通过计算数量积，可以求得两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值。
三、向量与坐标在解析几何中的应用1. 直线的方程与向量表示直线可以通过方程或者向量表示。
应用技巧：利用两点坐标的差向量，可以确定一条直线的方向向量。
然后，通过一点确定直线的位置向量，进而得到直线的向量方程。
2. 平面的方程与向量表示平面的方程可以用一般式、点法式和向量法式表示。
应用技巧：在向量法式中，通过平面上的两个向量及其共线关系，可以得到平面的向量法式。
利用点法式，可以通过平面上的一点和法向量表示平面方程。
专题1-4 坐标法在平面向量中最值问题的应用-2018版小
3．已知 是单位向量， ，若向量 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
故本题正确答案为A。
4．已知在三角形 中， ，边 的长分别为方程 的两个实数根，若斜边 上有异于端点的 两点，且 ，则 的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
.
因为点 到 边的距离 ，
(二)利用坐标法求解数量积的最值问题．
例2．如图，等边 的边长为2，顶点 分别在 轴的非负半轴， 轴的非负半轴上滑动， 为 中点，则 的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
(三)利用坐标法求角的取值范围．
例3.已知非零向量 满足 ，若函数 在 上存在极值，则 和 夹角的取值范围是（）
A． B． C． D．
7．在非等腰直角△ABC中，已知C=90°，D是BC的一个三等分点，若cos∠BAD= ，则sin∠BAC=_________.
【答案】
【解析】
点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．学科@网
(2) 常用来求向量的模．
8．在平面内，定点 ， ， ， 满足 ， ，动点 ， 满足 ， ，则 的最大值为__________．
，当 与过圆心 时 最大，此时 为 ， ，
2．已知向量 满足 ，若 ，则 的最小值是（）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】试题分析：建立如所示的平面直角坐标系,则由题设得 ,再由题设 可得点 （向量 对应的点,其中 ）在以 为直径的圆上,圆心坐标为 ,半径 ,向量 对应的点为 , 的几何意义是圆上动点 与点 的连线段的最小值.由于 ,所以 的最小值为 .
【答案】
坐标法在平面向量问题中的巧用
坐标法在平面向量问题中的巧用潘秀梅【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2017(000)008【总页数】1页(P6)【作者】潘秀梅【作者单位】山东省寿光市第一中学【正文语种】中文平面直角坐标系是沟通代数性质和几何性质的桥梁,坐标法是通过建立直角坐标系,把几何问题转化为代数问题,使得几何运算完全代数化的一种方法.在解决平面向量问题时运用坐标法,往往会收到化繁为简的效果．下面结合例题谈谈这种方法在具体问题中的应用．求数量积是平面向量的基本题型,题目中往往会给出一些几何条件,可以据此构造直角坐标系，将几何关系通过坐标的方式表示出来,即将几何关系代数化后再求解．例1 (2014年江苏卷) 如图1,在平行四边形ABCD中则的值是________．以AB为x轴,过点A与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系,则B(8,0),D(5cos A,5sin A)．由可得进而求得P(2+5cos A,5sin A),所以本题求解的关键是通过建立直角坐标系,将题目中的条件用坐标表示出来．动态向量数量积的取值范围也是高考常考题型,求解的一般方法是建立直角坐标系,将数量积问题转化为线性规划问题,再求相应的取值范围．例2 已知梯形ABCD中点P在阴影区域(含边界)中运动,则的取值范围为________．根据梯形的对称性,建立如图2所示直角坐标系,则设点P(x,y),则有所以接下来可利用线性规划知识求解：令易知z在点D取得最大值，在点B取得最小值，可求得即的取值范围为平面向量数量积的取值范围和最值问题经常和线性规划综合考查,求解中要灵活运用坐标变换、转换思想来简化问题．对于有些几何条件少或者没有几何条件的向量题,就要求我们对向量的某些“几何特征”特别敏感,比如向量的模、夹角或向量之间的关系等．例3 已知a、b是平面内2个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)(b-c)=0,则|c|的最大值是( ).假设以O为坐标原点,建立如图3所示直角坐标系，则a=(1,0),b=(0,1).设c=(m,n),则即m2+n2=m+n．根据基本不等式有(m+n)2≤2(m2+n2),当且仅当m=n时等号成立．所以(m2+n2)2≤2(m2+n2),化简可得所以|c|的最大值是正确选项为C．本题借助不等式a2+b2≥2ab的等价变形,求出向量模的取值范围．平面向量与几何问题的综合考查通常涉及向量的夹角、平行、垂直、共线等问题，高考试卷中也常常会出现与此相关的求最值、求取值范围的题目,根据题目条件,适当建立直角坐标系,将几何问题坐标化、符号化、数量化后,问题常可迎刃而解．。
2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板 专题23 坐标法在向量中的应用 含解析
【高考地位】坐标的引入使向量真正成为数形结合的载体，它可以让向量运算完全代数化,把关于向量的代数运算与数量（向量的坐标）的代数运算联系起来，从而把数与形紧密结合起来，这样很多几何问题，就转化为我们熟悉的数量的运算. 在高考选择题和填空题中经常出现，其试题难度属中高档题. 【方法点评】方法 坐标法使用情景：一般平面向量解题模板：第一步 利用已知条件建立适当的直角坐标系并写出各点的坐标；第二步 将几何问题转化为平面向量的运算并进行求解；第三步 得出结论.例1已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，即1t=时取等号．2【点评】将平面向量数量积用坐标表示,从而转化为代数运算,进而用不等式知识求解。
例 2 已知AB是圆22:(1)1-+=的直径，点P为直线C x y⋅的最小值是（）-+=上任意一点，则PA PB10x yA．12-B．2C．D．【答案】D【解析】考点：向量数量积【方法点睛】本题主要考察了向量数量积的坐标表示，属于基础题型，用向量法解决一些简单的平面几何问题时，有坐标系，可直接设点的坐标,代入数量积的坐标表示，转化为坐标法解决问题，如果没有坐标系，可根据图像建立坐标系，再转化为数量积的坐标表示问题。
例3 在等腰直角ABC ∆中，90=∠ABC ，2==BC AB ，N M 、为AC边上两个动点，且满足2||=MN ,则BN BM ⋅的取值范围为 .【答案】3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：如图，分别以,BC BA 所在边的直线为轴,y 轴建立直角坐标系，则(0,2),(0,0),(2,0)A B C ,直线AC 的方程为20x y +-=，设(,2)M t t -，(1,1)N t t +-,则01t ≤≤,所以(,2),(1,1)BM t t BN t t =-=+-，213(1)(2)(1)2()22BM BN t t t t t ∴⋅=++--=-+，由于01t ≤≤，所以当12t =时有最小值为32,0t =或1t =时有最大值为,故答案为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.考点：1。
坐标方法在解题中的应用
坐标方法在解题中的应用
陈贤才
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2010(000)003
【摘要】在平面解析几何中，除了研究有关直线的性质外，主要是研究圆锥曲线的有关性质．坐标法是一种很重要的方法．解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题：一类是满足给定条件的点的轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质．运用坐标法解决问题的步骤是：首先在平面上建立坐标系，把已知点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程；
【总页数】1页(P95)
【作者】陈贤才
【作者单位】江苏省昆山第一职业高级中学,215316
【正文语种】中文
【中图分类】G633.65
【相关文献】
1.坐标表格法在解古典概型题中的应用
2.探讨蒙特卡罗方法在解微分方程边值问题中的应用
3.例举向量坐标法在解高考题中的应用
4.圆的极坐标方程在解竞赛题中的应用
5.以形助数化难为易——坐标方法在解题中的应用
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
坐标助你轻松攻克向量问题
坐标助你轻松攻克向量问题
梁宗明
【期刊名称】《数理天地：高中版》
【年(卷),期】2016(000)007
【摘要】向量坐标的引入使向量代数化，将数与形紧密结合起来，可使几何问题的解答化为数量运算．恰当的在向量问题中使用坐标法，就能够化繁为简、化难为易，轻松攻克向量问题．
【总页数】2页(P23-23,25)
【作者】梁宗明
【作者单位】甘肃省兰州市兰化一中,730060
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.三字箴言助你攻克托福阅读
2.三招助你攻克中考英语阅读堡垒
3.坐标法——轻松攻克向量问题
4.三招助你攻克中考英语阅读堡垒
5.几何分析助你解决向量问题
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。