2020年九年级数学中考冲刺专题：应用几何知识解决实际问题(包含答案)

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2020年中考数学九年级三轮冲刺：《三角形综合》(四)

三轮冲刺：《三角形综合》（四）1．已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，AD＝AE，连接BD、CE，若∠DAE＝∠BAC，求证：BD＝CE；（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，连接BE、CE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，CE⊥AD于点F，AE＝4，，求BE的长；（3）如图3，在△BCD中，∠CBD＝∠CDB＝45°，连接AD，若∠CAB＝45°，求的值．2．在等边△ABC中，点E，F分别在边AB，BC上．（1）如图1，若AE＝BF，以AC为边作等边△ACD，AF交CE于点O，连接OD．求证：①AF＝CE；②OD平分∠AOC；（2）如图2，若AE＝2CF，作∠BCP＝∠AEC，CP交AF的延长线于点P，求证：CE＝CP．3．如图（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点D，E分别是AB，AC的中点，过点B作直线DE的垂线段BM，垂足为M，点F是直线ED上一动点，作Rt△BFG，使∠BFG ＝90°，∠FGB＝30°，连接GD．【观察猜想】如图（2），当点F与点D重合时，则的值为．【问题探究】如图（1），当点F与点D不重合时，请求出的值及两直线GD、ED夹角锐角的度数，并说明理由．【问题解决】如图（3），当点F、G、A在同一直线上时，请直接写出的值．4．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的高与中线．（1）如图1，求证：AE＝AD；（2）如图2，点F在AD的延长线上，连接BF，CF，若BE＝CF，求证：∠AEB＝∠AFB；（3）在（2）的条件下，如图3，过点A作BF的平行线交CF于点G，若FG＝6，求BE 的长．5．如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD为斜边BC上的高线．（1）求证：AD2＝BD⋅CD；（2）如图2，过A分别作∠BAD，∠DAC的角平分线，交BC于E，M两点，过E作AE的垂线，交AM于F．①当tan C＝时，求的值；②如图3，过C作AF的垂线CG，过G点作GN∥AD交AC于M点，连接MN．若∠EAD＝15°，AB＝1，直接写出MN的长度．6．已知等边△ABC和等腰△CDE，CD＝DE，∠CDE＝120°．（1）如图1，点D在BC上，点E在AB上，P是BE的中点，连接AD，PD，则线段AD与PD之间的数量关系为；（2）如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，P是BE的中点，连接AD，PD，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点D在△ABC内部，点E和点B重合，点P在BC下方，且PB+PC为定值，当PD最大时，∠BPC的度数为．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．动点P从点A出发，沿AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点A重合时，过点P作PD⊥AC于点D、PE ∥AC，过点D作DE∥AB，DE与PE交于点E．设点P的运动时间为t秒．（1）线段AD的长为．（用含t的代数式表示）．（2）当点E落在BC边上时，求t的值．（3）设△DPE与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）若线段PE的中点为Q，当点Q落在△ABC一边垂直平分线上时，直接写出t的值．8．在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交边BC于点D，分别过D作DE∥AC交边AB 于点E，DF∥AB交边AC于点F．（1）如图1，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；（2）如图2，若AD＝4，点H，G分别在线段AE，AF上，且EH＝AG＝3，连接EG交AD于点M，连接FH交EG于点N．（i）求EN•EG的值；（ii）将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM′，求证：H，F，M′三点在同一条直线上9．已知：△ABC与△ABD中，∠CAB＝∠DBA＝β，且∠ADB+∠ACB＝180°．提出问题：如图1，当∠ADB＝∠ACB＝90°时，求证：AD＝BC；类比探究：如图2，当∠ADB≠∠ACB时，AD＝BC是否还成立？并说明理由．综合运用：如图3，当β＝18°，BC＝1，且AB⊥BC时，求AC的长．10．如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D．（1）点E、F分别在DA、DC的延长线上，且AE＝CF，连接BE、AF，猜想线段BE和AF 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，连接EF，将△DEF绕点D顺时针旋转角α（0°＜α＜90°），连接AE、CE，若四边形ABCE恰为平行四边形，求DA与DE的数量关系；（3）如图3，连接EF，将△DEF绕点D逆时针旋转，当点A落在线段EF上时，设DE与AB交于点G，若AE：AF＝3：4，求的值．参考答案1．（1）证明：如图1中，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴EC＝BD．（2）解：如图2中，连接BD．∵AE＝AD，∠EAD＝60°，∴△AED是等边三角形，∴∠DEA＝∠CDE＝60°，∵EF⊥AD，∴∠FEA＝∠DEA＝30°∵∠DAE＝∠BAC，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴∠BDA＝∠AEC＝30°，EC＝BD，∴∠EDB＝90°，∵AE＝4，AF＝2，AC＝，∠EFA＝∠AFC＝90°，∴EF＝＝＝2，CF＝＝＝，∴EC＝BD＝3，∴BE＝＝＝．（3）解：如图3中，作CM⊥CA，使得CM＝CA，连接AM，BM．∵CA＝CM，∠ACM＝90°，∴∠CAM＝45°，∵∠CAB＝45°，∴∠MAB＝45°+45°＝90°，设AB＝AC＝m，则AM＝m，BM＝＝m，∵∠ACM＝∠BCD＝90°，∴∠BCM＝∠ACD，∵CA＝CM，CB＝CD，∴△ACD≌△MCB（SAS），∴AD＝BM＝m，∴＝＝．2．（1）证明：①如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠BAC＝60°，∵AE＝BF，∴△ABF≌△CAE（SAS），∴AF＝EC．②如图1中，∵△ABF≌△CAE，∴∠BAF＝∠ACE，∵∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝∠OCA+∠BAF＝∠BAC＝60°，又∵△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝∠DAC＝∠DCA＝60°，∴∠AOE＝∠ADC，∵∠AOE+∠AOC＝180°，∴∠ADC+∠AOC＝180°，∴A，D，C，O四点共圆，∴∠AOD＝∠ACD＝60°，∠COD＝∠CAD＝60°，∴∠AOD＝∠COD，∴OD平分∠AOC．（2）证明：如图2中，取AE的中点M，连接CM．∵AE＝2CF，AM＝ME，∴AM＝CF，∵∠CAM＝∠ACF＝60°，AC＝CA，∴△ACM≌△CAF（SAS），∴∠ACM＝∠CAF，∵∠CME＝∠CAM+∠ACM＝60°+∠ACM，∠CFP＝∠ACF+∠CAF＝60°+∠CAF，∴∠CME＝∠CFP，∵EM＝CF，∠PCF＝∠CEM，∴△CME≌△PFC（ASA），∴CE＝PC．3．解：【观察猜想】如图（2）中，结论：当点F与点D重合时，则的值为2．理由：设BM＝a．∵AE＝EC，AD＝DB，∴DE∥BC，∴∠BDM＝∠ABC＝30°，∵BM⊥EM，∴∠BMD＝90°，∴BD＝2BM＝2a，DM＝BM＝a，在Rt△GDB中，∵∠GDB＝90°，∠G＝30°，∴GD＝BD＝2a，∴＝＝2．故答案为2．【问题探究】如图（1）中，结论：的值为2，两直线GD、ED夹角锐角的度数为60°．理由：延长GD交BF的延长线于P．在Rt△BDM中，设BM＝a，则BD＝2a，DM＝a，在Rt△BGF中，设BF＝b，则BG＝2b，FG＝，在△BGD与△BFM中，∵BG：BF＝2b：b＝2a：a＝BF：BM，∠DBG＝60°﹣∠FBD＝∠FBM，∴△BGD∽△BFM，∴DG：FM＝BD：BM＝2a：a＝2：1，即的值为2，∵△BGD∽△BFM，∴∠PFD＝∠MFB＝∠BGD，则在△PDF与△PBG中，∠PDF＝∠PBG＝60°．故的值为2，两直线GD、ED夹角锐角的度数为60°．【问题解决】结论：的值为4+或4﹣．如图（3）﹣1中，当点G在线段AF上时，∵△BDG∽△BMF，∴∠BDG＝∠BMF＝90°，∴GD⊥AB，∵AD＝BD，∴GD垂直平分线段AB，∴GA＝GB，设BF＝x，则BG＝2x＝AG，FG＝，∴BG：AF＝2x：＝4﹣．如图（3）﹣2中，当点G在线段AF的延长线上时，设BF＝x，同法可得：BG＝AG＝2x，GF＝x，∴AF＝2x﹣x，∴BG：AF＝2x：（2x﹣x）＝4+．∴的值为4+或4﹣．4．（1）证明：如图1中，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°，∵BD＝CD，∴AD⊥BC，∴AD＝AC，∵BE是△ABC的中线，∴AE＝EC＝AC，∴AD＝AE．（2）证明：如图2中，作BP⊥CA交CA的延长线于P．∵∠P＝90°，∠BCP＝30°，∴BP＝BC＝CD，∵∠FDC＝∠P＝90°，BE＝CF，BP＝CD，∴Rt△BPE≌Rt△CDF（HL），∴∠BEP＝∠CFD，∵DF⊥BC，CD＝DB，∴FB＝FC，∴∠BFD＝∠CFD，∴∠AEB＝∠AFB．（3）解：如图3中，设AG交BE于H，交BC于M，作CN∥AD交AM的延长线于G．∵AG∥BF，∴∠GAF＝∠AFB，∵∠FAB＝∠AFC，∴∠GAF＝∠AFG，∴GA＝GF＝6，∵CN∥AF，∴∠N＝∠FAG，∠GCN＝∠AFG，∴∠N＝∠GCN，∴CG＝GN，∴CF＝AN＝BE，∵∠ACB＝30°，∠DCN＝90°，∴∠BAE＝∠ACN＝120°，∵∠AEB＝∠AFC＝∠N，∴△BAE≌△ACN（AAS），∴AE＝CN＝AD，∵∠ADM＝∠MCN＝90°，AMD＝∠CMN，∴△ADM≌△NCM（AAS），∴AM＝MN，∵∠N+∠NMG＝90∠NCG+∠MCG＝90°，∴∠GMC＝∠GCM，∴CG＝GM＝GN，∴AG＝3GN＝6，∴CG＝GN＝2，∴BE＝CF＝FG+CG＝6+2＝8．5．（1）证明：如图1中，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∵∠B+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠C，∴△BAD∽△ACD，∴＝，∴AD2＝BD•CD．（2）①解：如图2中，作EH⊥AB于H，MG⊥AC于G．∵AD⊥BC，∴∠tan C＝＝，∴可以假设AD＝3k，CD＝4k，则AC＝5k，BD＝k，AB＝k，∵MA平分∠CAD，MD⊥AD，MG⊥AC，∴DM＝MG，∵∠ADM＝∠AGM＝90°，AM＝AM，∴Rt△MAD≌Rt△MAG（HL）∴AD＝AG＝3k，设MD＝MG＝x，则CG＝2k，CM＝4k﹣x，在Rt△CMG中，∵CM2＝MG2+CG2，∴（4k﹣x）2＝x2+（2k）2，∴x＝k，∴DM＝k，同法可得DE＝k，∴＝＝．②如图3中，∵AE平分∠BAD，∠EAD＝15°，∴∠BAD＝30°，∵AD⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠DAC＝60°，∠C＝30°，∵MA平分∠CAD，∴∠MAC＝∠MAD＝30°，∴∠MAC＝∠MCA＝30°，∴∠AMB＝∠MAC+∠MCA＝60°＝∠B＝∠BAM，∴MA＝MC，△ABM是等边三角形，∴AM＝BM，∵GN∥AD，∴∠GNC＝∠DAC＝60°，∵CG⊥AG，∴∠AGC＝90°，∴∠ACG＝60°＝∠CNG，∴△CGN是等边三角形，∴NC＝CG，∵AC＝2CG，∴AN＝CN，∵BM＝MC，∴MN＝AB＝．6．解：（1）结论：AD＝2PD．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵∠EDC＝120°，∴∠EDB＝180°﹣120°＝60°，∴∠B＝∠EDB＝∠BED＝60°，∴△BDE是等边三角形，∵BP＝PE，∴DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∵DE＝DC，DE＝DB，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠PAD＝∠BAC＝30°，∴AD＝2PD．（2）结论成立．理由：延长DP到N，使得PN＝PD，连接BN，EN，延长ED到M，使得DM＝DE，连接BD，BM，CM．∵DE＝DC＝DM，∠MDC＝180°﹣∠EDC＝60°，∴△DCM是等边三角形，∵CA＝CB，CM＝CD，∠DCM＝∠ACB＝60°，∴∠BCM＝∠ACD，∴△BCM≌△ACD（SAS），∴AD＝BM，∵PB＝PE，PD＝PN，∴四边形BNED是平行四边形，∴BN∥DE，BN＝DE，∵DE＝DM，∴BN＝DM，BN∥DM，∴四边形BNDM是平行四边形，∴BM＝DN＝2PD，∴AD＝2PD．（3）如图3中，作∠PDK＝∠BDC＝120°，且PD＝PK，连接PK，CK．∵DB＝DC，DP＝DK，∠BDC＝∠PDK，∴∠BDP＝∠CDK，∴△PDB≌△KDC（SAS），∴PB＝CK，∵PB+PC＝PC+CK＝定值，∴P，C，K共线时，PK定值最大，此时PD的值最大，此时，∠DPB＝∠DKP＝∠DPK＝30°，∠BPC＝∠DPB+∠DPK＝60°．故答案为60°．7．解：（1）如图1中，在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∵PD⊥AC，∴cos A＝＝，∴＝，∴AD＝4t，故答案为4t．（2）如图2中，当点E落在BC上时，∵DE∥AB，PE∥AD，∴四边形APED是平行四边形，∴DE＝AP＝5t，AD＝PE＝4t，∴＝，∴＝，解得t＝1，∴当点E落在BC边上时，t的值为1．（3）①如图1中，当0＜t≤1时，重叠部分是△PDE，∵PE∥AD，∴∠DPE＝∠ADP＝90°，∵DE＝5t，PE＝4t，∴PD＝3t，∴S＝•PD•PE＝×3t×4t＝6t2．②如图3中，当1＜t≤2时，S＝•（MN+PD）•PN＝[3t+3t﹣（10﹣5t）]•（10﹣5t）＝﹣18t2+48t﹣24．综上所述，S＝．（4）①如图4﹣1中，当点Q落在线段AC的垂直平分线MN上时，由题意：＝，可得＝，解得t＝．②如图4﹣2中，当点Q落在线段AB的垂直平分线MN上时，由题意：＝，可得＝，解得t＝③如图4﹣3中，当点Q落在线段BC的垂直平分线上时，AP＝PB，此时t＝1，综上所述，满足条件的t的值为或或1．8．（1）解：四边形AEDF的形状是菱形；理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴四边形AEDF是菱形；（2）（i）解：连接EF交AD于点Q，如图2所示：∵∠BAC＝60°，四边形AEDF是菱形，∴∠EAD＝30°，AD、EF相互垂直平分，△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝∠AEF＝∠AFE＝60°，∵AD＝4，∴AQ＝2，在Rt△AQE中，cos∠EAQ＝，即cos30°＝，∴AE＝＝＝4，∴AE＝AF＝EF＝4，在△AEG和△EFH中，，∴△AEG≌△EFH（SAS），∴∠AEG＝∠EFH，∴∠ENH＝∠EFH+∠GEF＝∠AEG+∠GEF＝60°，∴∠ENH＝∠EAG，∵∠AEG＝∠NEH，∴△AEG∽△NEH，∴＝，∴EN•EG＝EH•AE＝3×4＝12；（ii）证明：如图3，连接FM'，∵DE∥AC，∴∠AED＝180°﹣∠BAC＝120°，由（1）得：△EDF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝∠FED＝∠EFD＝60°，由旋转的性质得：∠MDM'＝60°，DM＝DM'，∴∠EDM＝∠FDM'，在△EDM和△FDM'中，，∴△EDM≌△FDM'（SAS），∴∠MED＝∠DFM'，由（i）知，∠AEG＝∠EFH，∴∠DFM'+∠EFH＝∠MED+∠AEG＝∠AED＝120°，∴∠HFM'＝∠DFM'+∠HFE+∠EFD＝120°+60°＝180°，∴H，F，M′三点在同一条直线上．9．提出问题：解：在△DBA和△CAB中，∵．∴△DBA≌△CAB（AAS），∴AD＝BC；类比探究：结论仍然成立．理由：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E．∵∠ADB+∠ACB＝∠AEB+∠BEC＝180°，∴∠ADB＝∠AEB．∵∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，∴△DBA≌△EAB（AAS），∴BE＝AD，∵∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE，∴AD＝BC．综合运用：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E．由（2）得，AD＝BC＝BE＝1．在Rt△ACB中，∠CAB＝18°，∴∠C＝72°，∠BEC＝∠C＝72°．由∠CFB＝∠CAB+∠DBA＝36°，∴∠EBF＝∠CEB﹣∠CFB＝36°，∴EF＝BE＝1．在△BCF中，∠FBC＝180°﹣∠BFC﹣∠C＝72°，∴∠FBC＝∠BEC，∠C＝∠C，∴△CBE∽△CFB．∴＝，令CE＝x，∴1＝x（x+1）．解得，x＝，∴CF＝．由∠FBC＝∠C，∴BF＝CF．又AF＝BF，∴AC＝2CF＝+1．10．解：（1）BE＝AF，BE⊥AF，理由如下：延长FA交BE于H，∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠ACD＝45°，AB＝AC，∴∠BAE＝∠ACF＝135°，又∵AB＝AC，AE＝CF，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF＝BE，∠EBA＝∠FAC，∵∠BAF＝∠ABE+∠BHA＝∠BAC+∠CAF，∴∠BAC＝∠BHA＝90°，∴BE⊥AF；（2）∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AD＝BC，∵四边形ABCE恰为平行四边形，∴AE＝BC＝2AD，AE∥BC，∴∠EAD＝∠ADB＝90°，∴DE＝＝＝AD；（3）如图3，连接BE，过点E作EH⊥AB于H，DN⊥AB于N，由图1可得：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AD＝BD＝CD，AD⊥CD，又∵AE＝CF，∴DE＝DF，∴△DEF是等腰直角三角形，∴∠DFE＝∠DEF＝45°由图3可得：∠EDF＝∠BDA＝90°，∴∠ADF＝∠BDE，又∵AD＝BD，DE＝DF，∴△ADF ≌△BDE （SAS ）， ∴BE ＝AF ，∠DFE ＝∠BED ＝45°， ∴∠AEB ＝90°， ∵AE ：AF ＝3：4，∴设AE ＝3a ，AF ＝BE ＝4a ， ∴AB ＝＝＝5a ，∵AD ＝BD ，∠ADB ＝90°，DN ⊥AB ， ∴DN ＝BN ＝AN ＝a ，∵S △ABE ＝AE ×BE ＝AB ×EH ， ∴EH ＝＝a ，∴AH ＝＝a ，∵∠BED ＝∠AED ＝45°， ∴， ∴BG ＝，AG ＝，∴GH ＝a ，GN ＝a ，∴EG ＝＝a ，DG ＝＝a ，∴＝＝．1、在最软入的时候，你会想起谁。

2020年中考数学三轮冲刺题型专练几何综合与实践专题(含答案)

2020中考数学三轮冲刺题型专练几何综合与实践专题（含答案）1. 综合与实践问题探究：(1)如图①，点A 是线段BC 外一动点，若AB ＝a ，BC ＝b ，求线段AC 长的最大值(用含a ，b 的式子表示)；(2)如图①，点A 是线段BC 外一动点，且AB ＝1，BC ＝4，分别以AB 、AC 为边作等边①ABD 、等边①ACE ，连接CD 、BE .①求证：CD ＝BE ；①求线段BE 长的最大值；问题解决：(3)如图①，在平面直角坐标系中，已知点A (2，0)、B (5，0)，点P 、M 是线段AB 外的两个动点，且P A ＝2，PM ＝PB ，①BPM ＝90°，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标．第1题图(1)解：①点A 是线段BC 外一动点，且AB ＝a ，BC ＝b ，则AC ≤AB ＋BC ，且当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，此时AC 的长的最大值为：AB ＋BC ＝a ＋b ；(2)①证明：①①ABD ，①ACE 都是等边三角形，①AD ＝AB ，AC ＝AE ，①BAD ＝①EAC ＝60°，①①DAC ＝①BAE ，在①CAD 和①EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ①CAD ＝①EAB AC ＝AE，①①CAD ①①EAB (SAS)，①CD ＝BE ；①解：①CD ＝BE ，①线段BE 长的值最大值即为线段CD 长的最大值，此时BE 的最大值为：BD ＋BC ＝AB ＋BC ＝5；(3)解：如解图①，连接BM ，①PB ＝PM ，①MPB ＝90°，第1题解图①①可以将①APM 绕点P 顺时针旋转90°得到①PBN ，连接AN ，则①APN 是等腰直角三角形，①PN ＝P A ＝2，BN ＝AM ，①线段AM 的长的最大值即为线段BN 长的最大值，由(1)的结论可知，当点N 在线段BA 的延长线上时，线段BN 的值最大，且此时的最大值为AB ＋AN 的值．①A (2，0)，B (5，0)，①OA ＝2，OB ＝5，AB ＝3，①AN ＝2AP ＝22，①最大值为22＋3；如解图①中，作PE ①x 轴于点E ，第1题解图①①①APN 是等腰直角三角形，①PE ＝AE ＝12AN ＝2， ①OE ＝OA －AE ＝2－2，①P (2－2，2)，即线段AM 的最大值为22＋3，此时P 的坐标为(2－2，2)．2.综合与探究问题背景在综合实践课上，老师让同学们根据如下问题情境，写出两个教学结论：如图①，点C在线段BD上，点E在线段AC上．①ACB=①ACD=90°，AC=BC；DC=CE，M，N分别是线段BE，AD上的点．“兴趣小组”写出的两个教学结论是：①①BCE①①ACD；①当CM，CN分别是①BCE和①ACD 的中线时，①MCN是等腰直角三角形．解决问题（1）请证明“兴趣小组”所写的两个结论的正确性．类比探究受到“兴趣小组”的启发，“实践小组”的同学们写出如下结论：如图②，当①BCM=①ACN时，①MCN是等腰直角三角形．（2）“实践小组”所写的结论是否正确？请说明理由．感悟发现“奋进小组”认为：当点M，N分别是BE，AD的三等分点时，①MCN仍然是等腰直角三角形请你思考：（3）“奋进小组”所提结论是否正确？答：．（填“正确”、“不正确”或“不一定正确”．）（4）反思上面的探究过程，请你添加适当的条作，再写出使得①MCN是等腰直角三角形的数学结论．（所写结论必须正确，写出1个即可，不要求证明）图① 图② 备用图第2题图（1）证明：在①BCE 和①ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,CD CE ACD BCE AC BC ①①BCE ①①ACD （SAS ），①BE =AD ，①EBC =①DAC ，①CM ，CN 分别是①BCE 和①ACD 的中线，①BM =21BE ，AN =21AD ， ①BM =AN ，在①BCM 和①ACN 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,AN BM NAC MBC AC BC ①①BCM ①①ACN （SAS ），①CM =CN ，①BCM =①ACN①①BCM +①MCE =90°，①①ACN +①MCE =90°，①MC ①CN ．①①MCN 是等腰直角三角形．（2）解：实践小组”所写的结论正确．理由：①①BCE ①①ACD ，①①EBC =①DAC ，在①BCM 和①CAN 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,ACN BCM AC BC NAC MBC ①①BCM ①①ACN （ASA ），①CM =CN ，①①BCM +①MCE =①ACB =90°，①①ACN +①MCE =90°，①MC ①CN ．①①MCN 是等腰直角三角形．（3）解：不一定正确．【解法提示】当BM =31BE ，AN =31AD 时， ①MCN 仍然是等腰直角三角形．当BM =31BE ，DN =31AD 时，①MCN 不是等腰直角三角形．（4）解：答案不唯一．比如：当CM ，CN 分别是①BCE ，①ACD 的高时，①MCN 是等腰直角三角形；当CM ，CN 分别是①BCE ，①ACD 的角平分线时，①MCN 是等腰直角三角形；理由：只要证明①BCM ①①ACN （AAS ），即可推出①BCM =①ACN ，推出①MCN =90°，①CM =CN ，①①MCN 是等腰直角三角形．3. 综合与实践问题情境：如图①，在纸片①ABCD 中，AD ＝5，S ①ABCD ＝15，过点A 作AE ①BC ，垂足为E ，沿AE 剪下①ABE ，将它平移至①DCE ′的位置，拼成四边形AEE ′D .独立思考：(1)试探究四边形AEE ′D 的形状；深入探究：(2)如图②，在(1)的四边形纸片AEE ′D 中，在EE ′上取一点F ，使EF ＝4，剪下①AEF ，将它平移至①DE ′F ′的位置，拼成四边形AFF ′D ，试探究四边形AFF ′D 的形状；拓展延伸：(3)在(2)的条件下，求出四边形AFF ′D 的两条对角线的长;(4)若四边形ABCD 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图①中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论.图① 图② 图①第3题图解：(1)四边形AEE ′D 是矩形；理由：①四边形ABCD 是平行四边形，①AD ①BC ，且AD ＝BC ，①BE ＝CE ′，①EE ′＝BC ＝AD ，且AD ①EE ′，①四边形AEE ′D 是平行四边形，又①AE ①BC ，①四边形AEE ′D 是矩形．(2)四边形AFF ′D 是菱形，①已知AD ＝5，S ①ABCD ＝15，①AE ＝S ①ABCD AD ＝155＝3， ①将①AEF 平移至①DE ′F ′，①AF ＝DF ′，AF ①DF ′，①四边形AFF ′D 是平行四边形．在Rt①AEF 中，由勾股定理得AF ＝AE 2＋EF 2＝32＋42＝5. ①AF ＝AD ＝5，①四边形AFF ′D 是菱形． (3)如解图①，连接AF ′，DF ，第3题解图①①E′F＝EE′－EF＝5－4＝1，DE′＝3，在Rt①DE′F中，DF＝E′D2＋E′F2＝32＋12＝10，又EF′＝EF＋FF′＝4＋5＝9，AE＝3，在Rt①AEF′中，AF′＝AE2＋EF′2＝32＋92＝310.（4）答案不唯一.如解图②，在BC上取一点E，连接AE,然后将①ABE平移至①DCE´位置.结论：四边形AEE´D为平行四边形第3题解图②4.综合与实践数学活动— 移动中探究线段关系问题情境：数学课上，老师出示了一个问题：如图①，在①ABC中，①ACB＝90°，CD①AB 于点D，AC＝BC，点E，F分别在AC，BC上，①EDF＝90°，求DE与DF的数量关系．独立思考：(1)①请根据以上信息，解答老师提出的问题；①若CF=1,CE=2,请直接写出CD的长.(3)探索求证：如图①，在①ABC中，①ACB＝90°，CD①AB于点D，AC＝BC，延长BC到点F，沿CA方向平移线段CF到EG，且点G在边BA的延长线上，求证：DE＝DF，DE①DF；第4题图 (4)拓展延伸：如图①，在①ABC 中，①ACB ＝90°，CD ①AB 于点D ，①B ＝30°，延长BC 到点F ，沿CA 方向平移线段CF 到EG ，且点G 在边BA 的延长线上，直接写出线段 DE 与DF 之间的位置关系和数量关系．(1)①解：①①EDC ＋①CDF ＝①EDF ＝90°，①CDF ＋①FDB ＝90°，①①EDC ＝①FDB .由题可知①ACB 是等腰直角三角形，CD 是AB 边上的中线，①①ECD ＝①B ＝45°，CD ＝BD ，在①EDC 和①FDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧①EDC ＝①FDB ，CD ＝BD ，①ECD ＝①B ，①①EDC ①①FDB (ASA)．①DE ＝DF ；【一题多解】①①ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD ①AB ，①AD ＝CD ，①A ＝①DCF ＝45°，①①EDF ＝90°，①①ADE ＋①CDE ＝①CDF ＋①CDE ＝90°，①①ADE ＝①CDF ，在①ADE 和①CDF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,CDF ADE CD AD DCF A ①①ADE ①①CDF (ASA)，①DE ＝DF ；①解：CD 的长为223; 【解法提示】①知①ADE ①①CDF ，①BF =CE =2,①BC =CF +BF =3,①AC =BC ,①ACB =90°，①CD =223. (3)证明：①①ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD ①AB ，①DA ＝DB ＝DC ，①ABC ＝①BAC ＝①ACD ＝①BCD ＝45°，①①DAE ＝①DCF ＝135°，又①①GAE ＝45°，①AEG ＝①ACF ＝①ACB ＝90°，①①AEG 是等腰直角三角形，①AE ＝EG ，由平移可知CF ＝EG ＝AE ，在①DAE 和①DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DA ＝DC ，①DAE ＝①DCF ，AE ＝CF ，①①DAE ①①DCF (SAS)，①DE ＝DF ，①ADE ＝①CDF ，①①ADE ＋①ADF ＝①CDF ＋①ADF ，①①FDE ＝①CDA ＝90°，①DE ①DF ；(4)解：DE ①DF ，DF ＝3DE .【解法提示】由CD ①AB ，AC ①BC ，①B ＝30°，可得①ACD ＝30°，则有CD AD ＝3，由平移可知①FGE ＝90°，FC ＝GE ，则有①AGE ＝90°－60°＝30°，GE AE ＝CF AE ＝ 3. ①CF AE ＝CD AD ＝ 3. 又①①FCD ＝①EAD ＝①CDB ＋①B ＝120°，①①CFD ①①AED ，①DF DE ＝3，即DF ＝3DE ，同(2)可证得DE ①DF .5. 综合与实践问题情境：综合实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题进行数学活动，如图①，在三角形纸片ABC 中，AB ＝AC ，①B ＝①C .操作发现：(1)创新小组将图①中的①ABC 以点B 为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到①DBE ，再将①ABC 以点A 为旋转中心，顺时针旋转角度α，得到①AFG ，连接DF ，得到图①，试判断四边形AFDE 的形状；(2)实践小组将图①中的①ABC 以点B 为旋转中心，逆时针旋转90°得到①DBE ，再将①ABC 以点A 为旋转中心，顺时针旋转90°得到①AFG ，连接DF ，DG ，AE ，得到图①，发现四边形AFDB 为正方形，①请你证明这个结论；①若AB =4,①ABC =60°，求BE 的长;拓展探究：(3)请你在实践小组操作的基础上，再写出图①中的一个特殊四边形，并证明你的结论．第5题图(1)解：四边形AFDE 是平行四边形；理由：①①DBE 是由①ABC 绕点B 逆时针旋转角度α得到的，①AFG 是由①ABC 绕点A顺时针旋转角度α得到的，①DE＝AC＝AF，①BAF＝α，①DBE＝①ABC＝α，①DEB＝①C＝α，①①DEB＝①BAF，①DE①AF，①DE＝AF，①四边形AFDE是平行四边形；(2)①证明：①①DBE是由①ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，①AFG是由①ABC绕点A顺时针旋转90°得到的，①①DBA＝①F AB＝90°，DB＝AB＝AF，①①DBA＋①F AB＝180°，①DB①AF，①四边形AFDB是平行四边形，①DB＝AF，①四边形AFDB是菱形，①①DBA＝90°，①菱形AFDB是正方形；①解：如解图，过点D作DH①BE于点H,由旋转知，①DBE①①ABC,①BD=DE=AB=AC,①ABC=①DBE=60°,①在Rt①DBH中，BH=2，①BE=2BH=4;第5题解图(3)解：四边形AEDG是平行四边形．证明：①四边形ABDF是正方形，①①DF A ＝①DBA ＝90°，AB ＝DF ，又①①DBE ＝①AFG ，①①EBA ＝①GFD ，在①ABE 和①DFG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DF ，①EBA ＝①GFD ，BE ＝GF ，①①ABE ①①DFG (SAS)；①AE ＝DG ，又①DE ＝AG ，①四边形AEDG 是平行四边形．6. 综合与实践独立思考：(1)已知正方形ABCD ，如图①，点E 和F 分别是边AB 和AD 边上的点，且AE ＝AF ，则线段DF 与BE 之间有怎样的关系？请直接写出结论；合作交流：(2) 如图①，等腰直角三角形F AE 绕直角顶点A 顺时针旋转α，当0°＜α＜90°时，连接BE 、DF ，此时(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图①，等腰直角三角形F AE 绕直角顶点A 顺时针旋转α，当α＝90°时，连接BE 、DF ，若AE ＝5，则当直线DF 垂直平分EB 时，直接写出AD 的值；(4)如图①，等腰直角三角形F AE 绕直角顶点A 顺时针旋转α，当90°＜α＜180°时，连接BD 、DE 、FB ，得到四边形BDEF ，则顺次连接四边形BDEF 的各边中点所组成的四边形是什么特殊的四边形？直接写出结论．第6题图解：(1)DF ＝BE ，且DF ①BE .【解法提示】①四边形ABCD 是正方形，①AD ＝AB ，AD ①AB ，①AE ＝AF ，①DF ＝BE ，且DF ①BE ；(2)(1)中的结论成立．证明如下：第6题解图①如解图①，延长DF 交AB 于点H ，交BE 于点G ，由题意可知①DAF ＝①BAE ，在①DAF 与①BAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧DA ＝BA ①DAF ＝①BAE ，AF ＝AE①①DAF ①①BAE (SAS)，①DF ＝BE ，①ADF ＝①ABE ，①①ADF ＋①DHA ＋90°＝①ABE ＋①BHG ＋①HGB ，且 ①DHA ＝①BHG ，①①HGB ＝90°，即①DGB ＝90°，即DF ①BE ，①DF ＝BE ，且DF ①BE ；(3)AD ＝52＋5.【解法提示】连接BD ，如解图①，①直线DF 垂直平分BE ，①AD ＋AE ＝BD ，BD ＝2AD ，①AE ＝(2－1)AD ，①AE ＝5，①AD ＝52＋5.(图① 图①第6题解图(4)正方形．【解法提示】连接BE、DF，如解图①，与(2)同理得出BE＝DF，BE①DF，结合中位线的性质可知，顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是正方形．7.综合与实践：数学活动：“标准纸”尺寸的研究问题情境：A4纸是我们学习、工作中最常用的纸张之一，小明通过网络搜索得到“A4纸是由国际标准化组织的ISO 216定义的，其长宽比是2①1，规格为210 mm×297 mm，如图①所示，A0纸是面积为1 m2，长宽比为2①1的纸张，接下来的A1，A2，A3等纸张尺寸，都是定义成将编号少一号的纸张沿着长边对折，然后保留最接近的毫米值．”于是，我们定义：长与宽之比为2①1的矩形纸片称为“标准纸”．如图①所示A组纸都是“标准纸”．第7题图操作判断：(1)如图①所示，矩形纸片ABCD(AD＝2AB)是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点B与点D重合，再展开，折痕EF交AD于点E，交BC于点F，交BD于点O，分别连接BE和DF，判断四边形BFDE是哪种特殊的四边形，并说明理由；探究发现：(2)如图①所示，在(1)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A 与点C重合，再展开，折痕MN交AD边于点M，交BC边于点N，交BD也是点O，然后将四边形ENFM剪下，探究纸片ENFM是否为“标准纸”，说明理由；第7题图①(3)通过以上操作探究，请你写出一个有关“标准纸”的结论，例如“标准纸”长和宽的比值为2①1.解：(1)四边形BFDE 是菱形；证明：当点B 与点D 重合时，折痕EF 垂直平分BD ，①OB ＝OD ，①BOF ＝①DOE ＝90°.①在矩形ABCD 中，AD ①BC ，①①OBF ＝①ODE .在①BOF 和①DOE 中，⎩⎪⎨⎪⎧①OBF ＝①ODE ，OB ＝OD ，①BOF ＝①DOE ，①①BOF ①①DOE (ASA)，①OE ＝OF ，①OB ＝OD ，①四边形BFDE 是平行四边形．①EF ①BD ，①四边形BFDE 是菱形；(2)纸片ENFM 是“标准纸”；理由如下：由(1)可知，OE ＝OF ，同理可证，OM ＝ON ，①四边形ENFM 是平行四边形．①四边形ABCD 是矩形，①①DAB ＝①DOE ＝90°，①ODE ＝①ADB ，①tan①ODE ＝OE OD ＝AB AD. ①AD ＝2AB ，①OE ＝22OD ，①EF ＝22BD ，同理可得，MN ＝22AC ， ①四边形ABCD 是矩形，①AC ＝BD ，①EF ＝MN .①四边形ENFM 是矩形，①①EMF ＝90°.①tan①FEM ＝MF ME ＝OD OE＝2， ①MF ＝2ME ，①纸片ENFM 是“标准纸”；(3)答案不唯一，例如：①所有的“标准纸”形状都相似；①图①中四边形ENFM 的面积是四边形ABCD 面积的一半；①A0纸与A1纸的面积之比为2①1；①A3纸与A2纸的周长之比为1① 2.8. 综合与实践：折叠中的数学．已知在矩形纸片ABCD 中，AB ＝24 cm ，BC ＝10 cm.任务一：先将矩形纸片上下对折，然后左右对折，再沿对角线对折，展开得到图中的折痕四边形EFGH (如图①)，求菱形EFGH 的面积．任务二：如图①，将矩形纸片ABCD 先沿对角线AC 对折，再将纸片折叠使点A 与点C 重合得折痕EF ，则四边形AECF 必为菱形，请加以证明．任务三：请通过一定的操作，构造一个菱形EFGH (不同于任务一中的特殊图形)，使菱形的四个顶点分别落在矩形ABCD 的四条边上(即点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，且不与矩形ABCD 的顶点重合)．第8题图（1）请简述操作的方法，并在图①中画出菱形EFGH .(2)求菱形EFGH 的面积的取值范围．解：任务一：如解图①，由折叠性质可得：HF ＝AB ＝24 cm ，GE ＝BC ＝10 cm .①S 菱形EFGH ＝12HF ·GE ＝12×24×10＝120 cm 2， ①菱形EFGH 的面积为120 cm 2.第8题解图① 第8题解图①任务二：证明：如解图①，设两折痕的交点为O ，由折叠性质可得：EF ①AC ，OA ＝OC ，①四边形ABCD 是矩形，①DC ①AB .①①ECO ＝①F AO .在①EOC 和①FOA 中，⎩⎪⎨⎪⎧①ECO ＝①F AO OC ＝OA①EOC ＝①FOA， ①①EOC ①①FOA (ASA)．①OE ＝OF ，①OE ＝OF ，OC ＝OA ，①四边形AECF 是平行四边形．又①EF ①AC ，①平行四边形AECF 是菱形．任务三：(1)如解图①，将矩形纸片分别沿着对角线AC ，BD 折叠，设两折痕的交点为O ，展开后沿经过点O 的直线FH 折叠，展开后再沿经过点O 且与FH 垂直的直线EG 折叠，而后展开得到的折痕四边形EFGH 就是符合要求的菱形．第8题解图①(2)①四边形ABCD 是矩形，四边形EFGH 是菱形，①①GDH ＝①GOH ＝90°，①O ，G ，D ，H 四点共圆，①①GHO ＝①GDO ，①tan①GHO ＝tan①GDO ，①OG OH ＝BC DC ＝1024＝512，设OG ＝5k ，则OH ＝12k ，①FH ＝24k ，GE ＝10k ，①S 菱形EFGH ＝12FH ·GE ＝120k 2，在Rt①ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝242＋102＝26， ①OA ＝12AC ＝13. 当OH ①AD 时，OH ＝12AB ＝12， ①12＜OH ＜13，①12＜12k ＜13，①1＜k ＜1312，①1＜k 2＜169144， ①120＜120k 2＜8456，即菱形EFGH 的面积大于120 cm 2且小于8456cm 2.9. 如图，等边三角形ABC 中，点D 、E 、F 、分别为边AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，①DMN 为等边三角形图① 图①图①第9题解图（1）如图①，当点M 在点B 左侧时，请你判断EN 与MF 有怎样的数量关系？（2）如图①，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M 在点C 右侧时，请你在图①中画出相应的图形，并判断（1）的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．解：（1）EN 与MF 相等，证明：如解图①，连接DE 、DF ，①①ABC 和①DMN 为等边三角形，①DM =DN ，①MDN =60°，①点D 、E 、F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，①①DEF 是等边三角形，①①MDF =①NDE ，在①DMF 和①DNE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DE DF NDE MDF DN DM ， ①①DMF ①①DNE ，①EN =MF ；第9题图解①（2）成立，证明：如解图①，连接DE ，DF ，EF ．第1题解图①①①ABC 是等边三角形，①AB =AC =BC ． ①D ，E ，F 是三边的中点，①DE ，DF ，EF 为三角形ABC 的中位线． ①DE =DF =EF ，①FDE =60°．又①MDF +①FDN =60°，①NDE +①FDN =60°， ①①MDF =①NDE ．在①DMF 和①DNE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,DN DM NDE MDF DE DF ， ①①DMF ①①DNE ，①MF =NE ；（3）画出图形如解图①，MF 与EN 相等的结论仍然成立．由（2）得，①DMF ①①DNE ，①MF =NE .第9题解图①10. 综合与实践问题背景如图①，等腰①ABC 中，AB ＝AC ，①BAC ＝120°，作AD ①BC 于点D ，则D 为BC 的中点，①BAD ＝12①BAC ＝60°，于是BC AB ＝2BD AB ＝ 3. 迁移应用(1)如图①，①ABC 和①ADE 都是等腰三角形，①BAC ＝①DAE ＝120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接BD .①求证：①ADB ①①AEC ；①请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式．拓展延伸(2)如图①，在菱形ABCD 中，①ABC ＝120°，在①ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF .试判断①CEF 的形状；（3）如图①，若AE ＝5，CE ＝2，求BF 的长．第10题图(1)①证明：由题意可知：AD ＝AE ，AB ＝AC ，①①DAE ＝①BAC ，①①DAB ＝①EAC ，①①ADB ①①AEC ；①解：CD ＝3AD ＋BD ；【解法提示】①AD ＝AE ，①DAE ＝120°，①DE ＝3AD ，①DE ＝DC －EC ，①DC －EC ＝3AD ，由①知，①ADB ①①AEC ，①EC ＝DB ，①DC －DB ＝3AD ，即CD ＝3AD ＋BD .（2）解：①EFC 为等边三角形.理由如下：如解图，连接BE ，作BG ①AE 于点G .设CE 与BF 相交于点N ，第10题解图①C 、E 关于BM 对称，①BE ＝BC ，CF ＝EF ，①3＝①4，在菱形ABCD 中，①①ABC ＝120°，AB ＝BC ，①AB ＝BC ＝BE ，又①BG ①AE ，①①1＝①2，①①GBF ＝①2＋①3＝12①ABC ＝60°， ①在四边形GBNE 中，①GEN ＝360°－①EGB －①ENB －①GBN ＝120°，①①FEN ＝60°，又①EF ＝FC ，①①EFC ＝60°，①①EFC 为等边三角形；（3）解：①AE ＝5，CE ＝2，①EG ＝12AE ＝52，EF ＝CE ＝2， ①GF ＝EG ＋EF ＝92， ①①BGF ＝90°，①GFB ＝30°，①BF＝GFcos30°＝3 3.。

2020年九年级数学三轮冲刺复习培优练习：《几何相似综合压轴》(二)

2020年九年级数学三轮冲刺复习培优练习：《几何相似综合压轴》（二）1．如图在锐角△ABC中，BC＝6，高AD＝4，两动点M、N分别在AB、AC上滑动（不包含端点），且MN∥BC，以MN为边长向下作正方形MPQN，设MN＝x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y．（1）如图（1），当正方形MPQN的边P恰好落在BC边上时，求x的值；（2）如图（2），当PQ落△ABC外部时，求出y与x的函数关系式（写出x的取值范围）并求出x为何值时y最大，最大是多少？2．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C 重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE 于点F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．3．如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，O是AB上一点，且AO＝2．（1）求点O到直线AC的距离OH的长；（2）若P是边AC上一个动点，作PQ⊥OP交线段BC于Q（不与B、C重合），设AP＝x，CQ＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）在（2）的条件下，当AP为多少时能使△OPQ与△CPQ相似．4．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，∠ADC＝145°，对角线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°，连接EG，若△EFG的面积为2，求FH的长．5．在△ABC中，∠ABC＝90°，（1）如图1，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM～△BCN；（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，PM⊥PA交AC于点M，＝，求的值；（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，AD：BC：AC＝2：3：5，求的长．6．已知△ABC，过△ABC的顶点B作直线MN∥AC，D为BC边上一点，连结AD，作∠ADE＝∠BAC交直线MN于点E，DE交AB于点F．（1）如图1，请找出图中与∠BED相等的角（直接写出，不必证明）；（2）如图2，当△ABC是等边三角形时，请探究出线段AD，DE之间的数量关系，并证明；（3）如图3，当AB＝AC＞BC时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（4）当AB＝kAC时，请直接写出此时AD，DE之间的数量关系．（用含k的式子表示）7．在△ABC中，∠ABC＝90°，如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，则△ABM～△BCN；（1）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC＝，求tan C的值；（2）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC＝，，直接写出tan∠CEB的值．8．某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个有联系的问题，请你帮助他们解决：（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点E，F分别在AB，DC上，点G，H分别在AD，BC上且EF⊥GH，求的值．（2）如图2，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将矩形对折，使得B、D重叠，折痕为EF，求EF的长．（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝8，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．9．如图1，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）求证：△AMF∽△BGM；（2）若AM＝2，AF＝3，求BG的长；（3）如图2，连接FG，在（2）条件下，若α＝45°，求△EFG的面积．10．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为每秒2cm和1cm，FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．（1）连接EF，若运动时间t＝秒时，求证：△EQF是等腰直角三角形；（2）连接EP，当△EPC的面积为3cm2时，求t的值；（3）在运动过程中，当t取何值时，△EPQ与△ADC相似．参考答案1．解：（1）当PQ恰好落在边BC上时，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．∴＝，即＝，∴x＝．（2）设BC分别交MP，NQ于E，F，则四边形MEFN为矩形．设ME＝NF＝h，AD交MN于G（如图2）GD＝NF＝h，AG＝4﹣h．∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．∴＝，即＝，∴h＝﹣x+4．∴y＝MN•NF＝x（﹣x+4）＝﹣x2+4x（2.4＜x＜6），配方得：y＝﹣（x﹣3）2+6．∴当x＝3时，y有最大值，最大值是6．2．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠ACB，∴△BAD∽△DCE．（2）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∵△CDE∽△ABD，∴△ABD∽△CBA，∴＝，即＝，解得，BD＝，∵DE∥AB，∴＝，即＝，解得，AE＝；（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．理由如下：如图3，作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则四边形AMHN为矩形，∴∠MAN＝90°，MH＝AN，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝8，在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝＝＝6，∴tan B＝＝，∵∠ADE＝∠B，∴tan∠ADE＝＝，∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF＝90°＝∠AMD，∵∠DAF＝90°＝∠MAN，∴∠NAF＝∠MAD，∴△AFN∽△ADM，∴═＝，即＝，解得，AN＝，∴MH＝AN＝，∴CH＝CM﹣MH＝，∵FD＝FC，FH⊥CD，∴CD＝2CH＝7，∴BD＝BC﹣CD＝9．3．解：（1）如图1，过点O作OH⊥AC，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AHO＝90°，∴△AOH∽△ABC，∴，即，∴OH＝；（2）如图2，过点O作OD⊥AC，由（1）可得OD＝，∵∠BCA＝∠ODA＝90°，∠A＝∠A，∴△AOD∽△ABC，∴，∴，∴AD＝，∴PD＝x﹣，∵PQ⊥OP，∴∠OPD+∠CPQ＝90°，又∵∠PQC+∠CPQ＝90°，∴∠OPD＝∠PQC，且∠ACB＝∠PDO＝90°，∴△POD∽△QPC，∴，∴∴y＝﹣x2+x﹣（＜x＜4）（3）如图3，当OQ∥AC时，△OPQ∽△CPQ，∵OQ∥AC，∴△QOB∽△CAB，∴，∴＝，∴CQ＝，∴＝﹣x2+x﹣，∴x＝，∴AP＝；如图4，作PE⊥OQ于点E，当PQ平分∠CQO时，△OPQ∽△CPQ，∵∠CQP＝∠PQE，PC⊥BC，PE⊥OQ，∴PC＝PE，∵∠POQ＝∠CPQ，∠DOP＝∠CPQ，∴∠POQ＝∠DOP，又∵PD⊥OD，PE⊥OE，∴PD＝PE，∴PC＝PD，即点P为CD的中点，由AP﹣AD＝AC﹣AP，∴2AP＝AC+AD＝4+，∴AP＝，综上所述：当△OPQ与△CPQ相似时，AP为．4．（1）解：如图1所示：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝＝2，∠ABC＝90°，AC＝5，∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，①当∠ACD＝90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，∴＝＝，或＝＝2，∴CD＝10，或CD＝2.5②当∠CAD＝90°时，同理：AD＝2.5或AD＝10；（2）证明：∵∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝35°，∴∠A+∠ADB＝145°∵∠ADC＝145°，∴∠BDC+∠ADB＝145°，∴∠A＝∠BDC，∴△ABD∽△DBC，∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）解：∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∴△EFH与△HFG相似，∵∠EFH＝∠HFG，∴△FEH∽△FHG，∴＝，∴FH2＝FE•FG，过点E作EQ⊥FG于Q，如图3所示：∴EQ＝FE•sin60°＝FE，∵FG×EQ＝2，∴FG×FE＝2，∴FG•FE＝8，∴FH2＝FE•FG＝8，∴FH＝2．5．（1）证明：∵AM⊥MN，∴∠MAB+∠MBA＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBN+∠MBA＝90°，∴∠MAB＝∠NBC，又∠AMB＝∠BNC＝90°，∴△ABM～△BCN；（2）解：过点P作PD⊥AM于D．∴∠BAP+∠APB＝∠CPM+∠APB＝90°，∴∠BAP＝∠CPM＝∠C，∴MP＝MC，∵PM⊥PA，PD⊥AM，∴△PDM∽△APM，∵＝＝＝，设DM＝2a，则DP＝a，由勾股定理得，PM＝＝3a，∴CD＝DM+CM＝DM+PM＝5a，则＝，∵∠CDP＝∠CBA＝90°，∠C＝∠C，∴△CDP∽△CBA，∴＝＝；（3）解：过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，∵∠DEB＝90°，∴CH∥AG∥DE，∴＝＝，∵BC：AC＝3：5，∴BC：AB＝3：4，由（1）可知，△ABG∽△BCH，∴＝＝＝，设BG＝4m，CH＝3m，AG＝4n，BH＝3n，∵AB＝AE，AG⊥BE，∴EG＝BG＝4m，∴GH＝BG+BH＝4m+3n，∵＝，∴＝，解得，n＝2m，AG＝4n＝8m，BH＝3n＝6m，由勾股定理得，BC＝＝3m，BE＝2BG＝8m，∴＝．6．解：（1）∠BAD＝∠BED，理由为：如图1，记DE与AB的交点为F，证明：∵MN∥AC，∴∠EBA＝∠BAC，∵∠BAC＝∠ADE，∴∠EBA＝∠ADE，又∵∠AFD＝∠EFB，∴△EBF∽△ADF，∴∠BED＝∠BAD；（2）AD＝DE，理由：如图2，在BA上取一点Q，使DB＝DQ，∴∠ABC＝∠DQB，∴∠BDQ＝180°﹣2∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，∴∠BDQ＝∠BAC，∵∠ADE＝∠BAC，∴∠BDQ＝∠ADE，∴∠BDE＝∠QDA，在△BED和△QAD中，，∴△BED≌△QAD（AAS），∴AD＝DE；（3）（2）中的结论仍然成立，即：AD＝DE，理由：如图3，在BA上取一点Q，使DB＝DQ，∴∠ABC＝∠DQB，∴∠BDQ＝180°﹣2∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，∴∠BDQ＝∠BAC，∵∠ADE＝∠BAC，∴∠BDQ＝∠ADE，∴∠BDE＝∠QDA，在△BED和△QAD中，，∴△BED≌△QAD（AAS），∴AD＝DE；（4）作∠BDQ＝∠ADE，交AB于点Q，如图4所示，∴∠BDQ﹣∠EDQ＝∠ADE﹣∠EDQ，即∠BDE＝∠ADQ，∵∠BED＝∠BAD，∴△BED∽△QAD，∴＝，∵∠ABC＝∠QBD，∠BDQ＝∠ADE＝∠BAC，∴△BDQ∽△BAC，∴＝＝k，∴＝k，即DE＝kAD．7．解：（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，∴∠BAM+∠ABM＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠CBN＝90°，∴∠BAM＝∠CBN，∵∠AMB＝∠NBC，∴△ABM∽△BCN；（2）如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N．∴∠BAP+∠1＝∠CPM+∠1＝90°，∴∠BAP＝∠CPM＝∠C，∴MP＝MC∵tan∠PAC＝＝＝＝，设MN＝2m，PN＝m，根据勾股定理得，PM＝＝3m＝CM，∴tan C＝＝；（3）在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，∵∠DEB＝90°，∴CH∥AG∥DE，∴＝同（1）的方法得，△ABG∽△BCH∴＝＝＝，设BG＝4m，CH＝3m，AG＝4n，BH＝3n，∵AB＝AE，AG⊥BE，∴EG＝BG＝4m，∴GH＝BG+BH＝4m+3n，∴＝，∴n＝2m，∴EH＝EG+GH＝4m+4m+3n＝8m+3n＝8m+6m＝14m，在Rt△CEH中，tan∠BEC＝＝．8．解：（1）如图1，过点G作GM⊥CB于M，过点E作EN⊥CD于点N，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，且GM⊥BC，EN⊥CD，∴四边形DCMG是矩形，四边形ABMG是矩形，四边形AEND是矩形，四边形BCNE是矩形，∴GM＝CD＝AB，EN＝AD＝BC，∵EF⊥GH，∠BCD＝90°，∴∠EFC+∠GHC＝180°，且∠DFE+∠EFC＝180°，∴∠EFN＝∠GHC，且∠ENF＝∠GMH＝90°，∴△EFN∽△GHM，∴；（2）如图2，连接BD交EF于点O，DE，BF，∵将矩形对折，使得B、D重叠，∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BEF，∴∠DFE＝∠DEF，∴DF＝DE，且BE＝DE，∴BE＝DF，且AB∥CD，∴四边形DFBE是平行四边形，且DF＝DE，∴四边形DFBE是菱形，∴BO＝DO，EO＝FO，BD⊥EF，∵DE2＝AE2+AD2，∴DE2＝9+（4﹣DE）2，∴DE＝，∵BD＝＝＝5，∴DO＝BO＝，∴OE＝＝＝，∴EF＝2OE＝；（3）如图3，过点D作EF⊥BC，交BC的延长线于F，过点A作AE⊥EF，连接AC，∵∠ABC＝90°，AE⊥EF，EF⊥BC，∴四边形ABFE是矩形，∴∠E＝∠F＝90°，AE＝BF，EF＝AB＝8，∵AD＝AB，BC＝CD，AC＝AC，∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ADE+∠CDF＝90°，且∠ADE+∠EAD＝90°，∴∠EAD＝∠CDF，且∠E＝∠F＝90°，∴△ADE∽△DCF，∴，∴AE＝2DF，DE＝2CF，∵DC2＝CF2+DF2，∴16＝CF2+（8﹣2CF）2，∴CF＝4（不合题意舍去），CF＝，∴BF＝BC+CF＝＝AE，由（1）可知：＝＝．9．证明：（1）∵∠AMD＝∠B+∠D，∠BGM＝∠DMG+∠D，又∠B＝∠A＝∠DME＝α，∴∠AMF＝∠BGM，∴△AMF∽△BGM；（2）解：∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝2，∵△AMF∽△BGM，∴＝，∴BG＝＝＝；（3）如图2，过点M作MH⊥AE于H，∵∠A＝∠B＝45°，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝2AM＝4，∴AC＝BC＝4，且AF＝3，BG＝，∴CF＝1，CG＝，∵∠A＝45°，MH⊥AC，AM＝2，∴AH＝HM＝2，∴CH＝2，∵∠ACB＝∠AHM＝90°，∴HM∥CB，∴△ECG∽△EHM，∴，∴＝∴CE＝4，∴EF＝CE+CF＝5，∴S＝EF×CG＝×5×＝．△EFG10．（1）证明：若运动时间t＝秒，则BE＝2×＝（cm），DF＝（cm），∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC＝8（cm），AB＝DC＝6（cm），∠D＝∠BCD＝90°∵∠D＝∠FQC＝∠QCD＝90°，∴四边形CDFQ也是矩形，∴CQ＝DF，CD＝QF＝6（cm），∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝8﹣﹣＝6（cm），∴EQ＝QF＝6（cm），又∵FQ⊥BC，∴△EQF是等腰直角三角形；（2）解：由（1）知，CE＝8﹣2t，CQ＝t，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝，在Rt△CPQ中，tan∠ACB＝＝＝，∴PQ＝t，∵△EPC的面积为3cm2，＝CE×PQ＝×（8﹣2t）×t＝3，∴S△EPC∴t＝2秒，即：t的值为2秒；（3）解：分两种情况：Ⅰ．如图1中，点E在Q的左侧．①∠PEQ＝∠CAD时，△EQP∽△ADC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB，∵△EQP∽△ADC，∴∠CAD＝∠QEP，∴∠ACB＝∠QEP，∴EQ＝CQ，∴CE＝2CQ，由（1）知，CQ＝t，CE＝8﹣2t，∴8﹣2t＝2t，∴t＝2秒；②∠PEQ＝∠ACD时，△EPQ∽△CAD，∴＝，∵FQ⊥BC，∴FQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴＝，即＝，解得：PQ＝t，∴＝，解得：t＝；Ⅱ．如图2中，点E在Q的右侧．∵0＜t＜4，∴点E不能与点C重合，∴只存在△EPQ∽△CAD可得＝，即＝，解得t＝，综上所述，t的值为2秒或秒或秒时，△EPQ与△ADC相似．。

2020年浙江省中考数学几何综合题冲刺训练含解析

（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；
（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．
7、如图，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．
∴A，G，C共线，AB-AE=AD-AH，
∴HD=EB，
延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，
∴GC⊥MN，∠NGO=∠AGE=30°，
∴ =cos30°= ，
∵GC=2OG，
∴ = ，
∵HGND为平行四边形，
∴HD=GN，
∴HD：GC：EB=1：：1．
①请探究AD与BD之间的位置关系：；
②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，则线段AD的长为；
【拓展延伸】
（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．
∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，
∴∠B＝∠BCD＝90°，
由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．
在Rt△ABF中，BF＝＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，
在Rt△EFC中，则有：（8﹣x）2＝x2+42，
（1）当MN∥B′D′时，求α的大小．
（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l与点G，延长C′B′交AB于点E，连接EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．

2020年春人教版九年级数学中考冲刺检测(一)Word版附答案

中考冲刺检测（一）(时间：120分钟分数：120分)一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案1.如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为( )2．下列各图是选自历届世博会会徽中的图案，其中是中心对称图形的是( )3．在一个不透明的盒子里有2个红球和n 个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是15，则n 的值为( )A ．3B ．5C ．8D ．104．已知点A(1，－3)关于x 轴的对称点A′在反比例函数y ＝kx的图象上，则实数k 的值为( )A ．3B ．13C ．－3D ．－135．一元二次方程x 2－2x －3＝0的解是( )A ．x 1＝－1，x 2＝3B ．x 1＝1，x 2＝－3C ．x 1＝－1，x 2＝－3D ．x 1＝1，x 2＝36．由于国家出台对房屋的限购令，我省某地的房屋价格原价为2400元/平方米，通过连续两次降价a%后，售价变为2000元/平方米，下列方程中正确的是( )A ．2400(1－a%2)＝2000B ．2000(1－a%2)＝2400C ．2400(1－a%)2＝2000D ．2400(1＋a%)2＝20007．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B ′的值为( )A ．13B ．12C ．14D ．24（第7题图）（第8题图）（第9题图）（第10题图）8．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 为反比例函数y ＝kx(k ＞0)上不同的三点，连接OA ，OB ，OC ，过点A 作AD⊥y 轴于点D ，过点B ，C 分别作BE ，CF 垂直x 轴于点E ，F ，OC 与BE 相交于点M ，记△AOD，△BOM ，四边形CMEF 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则( )A ．S 1＝S 2＋S 3B ．S 2＝S 3C ．S 3＞S 2＞S 1D ．S 1S 2＜S 329．如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过点C 作CD⊥AB 交AB 于点D ，已知cos ∠ACD ＝35，BC ＝4，则AC 的长为( )A ．1B ．203C ．3D ．16310．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是( )A ．20B ．22C ．24D ．2611．)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2 3 ，BC ＝2，以AB 的中点O 为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为( )A ．534 －π2B ．534 ＋π2C ．2 3 －π D．4 3 －π2（第11题图）（第12题图）（第16题图）（第17题图）（第18题图）12．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴交于点(－3，0)，其对称轴为直线x ＝－12 ，结合图象分析下列结论：①abc ＞0；②3a ＋c ＞0；③当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；④一元二次方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根分别为x 1＝－13 ，x 2＝12 ；⑤b 2－4ac 4a＜0；⑥若m ，n(m ＜n)为方程a(x ＋3)(x －2)＋3＝0的两个根，则m ＜－3且n ＞2.其中正确的结论有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)13．若关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AC ＝9，cos A ＝13，那么AB ＝________．15．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是________．16．如图，直线MN 与⊙O 相切于点M ，ME ＝EF 且EF∥MN，则cos E ＝________．17．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CM 是∠BCD 的平分线，且CM⊥AB，M 为垂足，AM ＝13 AB ，若四边形ABCD 的面积为157，则四边形AMCD 的面积为________．18．如图，A ，B 两点在反比例函数y ＝k 1x 的图象上，C ，D 两点在反比例函数y ＝k 2x的图象上，AC ⊥y 轴于点E ，BD ⊥y 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝1，EF ＝3，则k 1－k 2的值是________．三、解答题(本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19．(6分)计算：(－3)0×6－16 ＋|π－2|.20．(6分)解方程．(1)x 2＋3x －4＝0(用配方法); (2)(2x －1)2－x 2＝0(用因式分解法).21．(8分)如图，已知菱形ABCD 的对称中心是坐标原点O ，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y ＝k x (k≠0)的图象与AD 边交于E(－4，12)，F(m ，2)两点．(1)求k ，m 的值；(2)写出函数y ＝kx图象在菱形ABCD 内x 的取值范围．22．(8分)桌面上有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，再将它们背面朝上洗匀．(1)随机翻开一张卡片，正面所标数字大于2的概率为________；(2)随机翻开一张卡片，从余下的三张卡片中再翻开一张，求翻开的两张卡片正面所标数字之和是偶数的概率；23．(8分)如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1∶ 3 ，AB＝10米，AE＝15米．(i＝1∶ 3 是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)(1)求点B距水平面AE的高度BH；(2)求广告牌CD的高度(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732)24．(10分)在△ABC中，∠A＝∠B＝30°，∠MCN＝60°，∠MCN的两边交AB边于E，F 两点，若∠MCN绕C点旋转．(1)画出△BCF绕点C顺时针旋转120°后的△ACK；(2)在(1)中，若AE2＋EF2＝BF2，试求证：BF＝ 2 CF；(3)在(2)的条件下，若AC＝ 3 ＋1，求EF的长．25．(10分)在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，⊙O 的切线BP与AC的延长线交于点P，连接DE，BE.(1)求证：BD＝DE；(2)求证：∠AED＝∠BCP；(3)已知sin ∠BAD＝55，AB＝10，求BP的长．26．(10分)如图，抛物线y ＝14x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A(5，0)，B(－1，0)两点，过点A 作直线AC⊥x 轴，交直线y ＝2x 于点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)求点A 关于直线y ＝2x 的对称点A′的坐标，判断点A′是否在抛物线上，并说明理由．(3)点P 是抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段CA′于点M ，是否存在这样的点P ，使四边形PACM 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案(A)2．下列各图是选自历届世博会会徽中的图案，其中是中心对称图形的是(C)3．在一个不透明的盒子里有2个红球和n 个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是15，则n 的值为(C)A ．3B ．5C ．8D ．104．已知点A(1，－3)关于x 轴的对称点A′在反比例函数y ＝kx的图象上，则实数k 的值为(A)A ．3B ．13C ．－3D ．－135．一元二次方程x 2－2x －3＝0的解是(A)A ．x 1＝－1，x 2＝3B ．x 1＝1，x 2＝－3C ．x 1＝－1，x 2＝－3D ．x 1＝1，x 2＝36．由于国家出台对房屋的限购令，我省某地的房屋价格原价为2400元/平方米，通过连续两次降价a%后，售价变为2000元/平方米，下列方程中正确的是(C)A ．2400(1－a%2)＝2000B ．2000(1－a%2)＝2400C ．2400(1－a%)2＝2000D ．2400(1＋a%)2＝20007．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B ′的值为(A)A ．13B ．12C ．14D ．24（第7题图）（第8题图）（第9题图）（第10题图）8．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 为反比例函数y ＝kx(k ＞0)上不同的三点，连接OA ，OB ，OC ，过点A 作AD⊥y 轴于点D ，过点B ，C 分别作BE ，CF 垂直x 轴于点E ，F ，OC 与BE 相交于点M ，记△AOD，△BOM ，四边形CMEF 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则(B)A ．S 1＝S 2＋S 3B ．S 2＝S 3C ．S 3＞S 2＞S 1D ．S 1S 2＜S 329．如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过点C 作CD⊥AB 交AB 于点D ，已知cos ∠ACD ＝35，BC ＝4，则AC 的长为(D)A ．1B ．203C ．3D ．16310．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是(D)A ．20B ．22C ．24D ．2611．)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2 3 ，BC ＝2，以AB 的中点O 为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为(A)A ．534 －π2B ．534 ＋π2C ．2 3 －π D．4 3 －π2（第11题图）（第12题图）（第16题图）（第17题图）（第18题图）12．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴交于点(－3，0)，其对称轴为直线x ＝－12 ，结合图象分析下列结论：①abc ＞0；②3a ＋c ＞0；③当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；④一元二次方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根分别为x 1＝－13 ，x 2＝12 ；⑤b 2－4ac 4a＜0；⑥若m ，n(m ＜n)为方程a(x ＋3)(x －2)＋3＝0的两个根，则m ＜－3且n ＞2.其中正确的结论有(C)A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个三、解答题(本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．(6分)计算：(－3)0×6－16 ＋|π－2|. 解：原式＝1×6－4＋π－2＝π.20．(6分)解方程．(1)x 2＋3x －4＝0(用配方法); (2)(2x －1)2－x 2＝0(用因式分解法).解：x 1＝－4，x 2＝1; 解：x 1＝1，x 2＝13.21．(8分))如图，已知菱形ABCD 的对称中心是坐标原点O ，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y ＝k x (k≠0)的图象与AD 边交于E(－4，12)，F(m ，2)两点．(1)求k ，m 的值；(2)写出函数y ＝kx图象在菱形ABCD 内x 的取值范围．解：(1)∵点E(－4，12 )在y ＝k x 图象上，∴k ＝－4×12＝－2.∴反比例函数的解析式为y ＝－2x .∵点F(m ，2)在y ＝－2x的图象上，∴m ＝－1.(2)函数y ＝kx 图象在菱形ABCD 内x 的取值范围是－4＜x ＜－1或1＜x ＜4.22．(8分)桌面上有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，再将它们背面朝上洗匀．(1)随机翻开一张卡片，正面所标数字大于2的概率为________；(2)随机翻开一张卡片，从余下的三张卡片中再翻开一张，求翻开的两张卡片正面所标数字之和是偶数的概率；解：(1)12；(2)画树状图：由树状图可知共有12种等可能的结果，符合条件的有4种情况，翻开的两张卡片正面所标数字之和是偶数的概率是P ＝412 ＝13 .23．(8分)如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD ，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60°，沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i ＝1∶ 3 ，AB ＝10米，AE ＝15米．(i ＝1∶ 3 是指坡面的铅直高度BH 与水平宽度AH 的比)(1)求点B 距水平面AE 的高度BH ；(2)求广告牌CD 的高度(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732)解：(1)在Rt△ABH中，i＝tan ∠BAH＝13＝33.∴∠BAH＝30°.∴BH＝12AB＝5.答：点B距水平面AE的高度BH为5米．∴CD＝CG＋GE－DE＝5 3 ＋15＋5－15 3 ＝20－10 3 ≈2.7(米).答：广告牌CD高约2.7米．。

浙江省绍兴市2020年九年级数学中考基础冲刺训练(含答案)

2020年浙江省绍兴市数学中考基础冲刺训练一．选择题（每题4分，满分40分）1．﹣3的绝对值是（）A．﹣3 B．3 C．D．2．2019年“五一”假期期间，我市共接待国内、外游客6.632万人次，实现旅游综合收入502亿元，则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是（）A．5.02×102B．5.02×106C．5.02×108D．5.02×10103．下列图形都是由大小相同的正方体搭成的，其三视图都相同的是（）A．B．C．D．4．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（）实验次数100 200 300 500 800 1000 2000 频率0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球C．抛一枚硬币，出现正面D．抛一个质地均匀的正六面体骰子（六个面上分别标有1，2，3，4，5，6），向上的面点数是55．如图所示，∠α的度数是（）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°6．在平面直角坐标系中，一次函数y ＝﹣2x +1的图象经过P 1（﹣1，y 1），P 2（2，y 2）两点，则（） A ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1＝y 2D ．y 1≥y 27．抛物线y ＝（x ﹣1）2+3关于x 轴对称的抛物线的解析式是（） A ．y ＝﹣（x ﹣1）2+3 B ．y ＝（x +1）2+3 C ．y ＝（x ﹣1）2﹣3D ．y ＝﹣（x ﹣1）2﹣38．如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A 、B 、C 为格点．作△ABC 的外接圆⊙O ，则的长等于（）A ．πB ．πC ．πD ．π9．正方形具有而矩形不一定有的性质是（） A ．四个角都是直角 B ．对角线互相平分 C ．对角线互相垂直D ．对角线相等10．如图，一架云梯AB 长为25米，顶端A 靠在墙AC 上，此时云梯底端B 与墙角C 距离为7米，云梯滑动后停在DE 的位置上，测得AE 长为4米，则云梯底端B 在水平方向滑动了（）米A ．4B ．6C ．8D ．10二．填空题（满分30分，每小题5分） 11．分解因式：x 2+2x +1＝．12．已知﹣4＜x ＜3，则正整数x 所有可能的值为．13．我国的《洛书》中记载着世界最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格中使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，如图的幻方中，字母m所表示的数是．14．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为．15．如图，已知直线y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，矩形ABCD的对称中心为M，双曲线y＝（x＞0）正好经过C，M两点，则直线AC的解析式为：．16．如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，…，依此递推，则第6层中含有正三角形个数是，第n层中含有正三角形个数是．三．解答题 17．计算和解方程：（1）（）﹣2﹣﹣（π﹣2017）0+tan30°（2）3（x ﹣2）2＝4﹣2x18．张琪和爸爸到曲江池遗址公园运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，张琪继续前行5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家张琪和爸爸在整个运动过程中离家的路点y 1（米），y 2（米）与运动时间x （分）之间的函数关系如图所示（1）求爸爸返问时离家的路程y 2（米）与运动时间x （分）之间的函数关系式；（2）张琪开始返回时与爸爸相距多少米？19．（8分）某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h ），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为，图①中m 的值为；（Ⅱ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数．20．（8分）如图所示，直线AC∥DE，DA⊥AC，隧道BC在直线AC上．某施工队要测量隧道BC的长，在点D处观测点B，测得∠BDA＝45°，在点E处观测点C，测得∠CEF＝53°，且测得AD＝600米，DE＝500米，试求隧道BC的长．【参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈】参考答案一．选择1．解：|﹣3|＝3．故﹣3的绝对值是3．故选：B．2．解：502亿＝50200000000＝5.02×1010．故选：D．3．解：A．主视图是3个正方形，左视图是两个正方形，俯视图是5个正方形，故本选项不合题意；B．主视图是2个正方形，左视图是3个正方形，俯视图是4个正方形，故本选项不合题意；C．三视图都相同，都是有两列，从左到右正方形的个数分别为：1、2；符合题意；D．左视图和俯视图相同，有两列，从左到右正方形的个数分别为：2、1；左视图有两列，从左到右正方形的个数分别为：1、2，故本选项不合题意．故选：C．4．解：A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意；B、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是，符合题意；C、抛一枚硬币，出现正面的概率为，不符合题意；D、抛一个质地均匀的正六面体骰子（六个面上分别标有1，2，3，4，5，6），向上的面点数是5的概率是，不符合题意，故选：B．5．解：∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D∴30°+20°＝40°+α，∴α＝10°故选：A．6．解：∵一次函数y＝﹣2x+1的图象经过P1（﹣1，y1），P2（2，y2）两点，∴y1＝3，y2＝﹣3．∵3＞﹣3，∴y1＞y2．故选：A．7．解：∵y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），∴关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，∴所求抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣3．故选：D．8．解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，∴AB＝AC＝BC＝，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴连接OC，则∠COB＝90°，∵OB＝∴的长为：＝故选：A．9．解：A、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项不符合题意；B、正方形和矩形的对角线互相平分，故本选项不符合题意；C、正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不互相垂直，故本选项符合题意．D、正方形和矩形的对角线都相等，故本选项不符合题意；故选：C．10．解：在直角△ABC中，已知AB＝25米，BC＝7米，∴AC＝＝＝24米，在直角△CDE中，已知AC＝CE+EA＝24米，DE＝AB＝25米，AE＝4米，∴CE＝AC﹣AE＝20米，∴CD＝＝＝15米，∴BD＝15﹣7＝8米故云梯底端B在水平方向滑动了8米，故选：C．二．填空11．解：x2+2x+1＝（x+1）2．故答案为：（x+1）2．12．解：∵﹣4＜x＜3，∴正整数x所有可能的值为1，2，故答案为1，2．13．解：根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15，∴第3列第三个数为：15﹣8﹣5＝2，∴m＝15﹣2﹣7＝6．故答案为：6．14．解：∵四边形CDEF是正方形，∴CD＝ED，DE∥CF，设ED＝x，则CD＝x，AD＝5﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴，x＝，故答案为：．15．解：在y＝﹣x+1中，令x＝0，得y＝1，令y＝0，x＝3，∴A（3，0），B（0，1），∴OA＝3，OB＝1，过C作CE⊥y轴于E，∵四边形ABCD是矩形，∴∠CBA＝90°，∴∠CBE+∠OBA＝∠OBA+∠BAO＝90°，∴∠CBE＝∠BAO，∵∠BEC＝∠AOB＝90°，∴△BCE∽△ABO，∴＝，设CE＝x，则BE＝3x，∴C（x，3x+1），∵矩形ABCD对称中心为M，∴M（，），∵双曲线y＝（x＞0）正好经过C，M两点，∴x（3x+1）＝，解得：x1＝1，x2＝﹣（舍）∴C（1，4），设直线AC的解析式为：y＝kx+b，把A（3，0）和C（1，4）代入得：，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x+6，故答案为：y ＝﹣2x +6．16．解：第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，…，每一层比上一层多12个，故第6层中含有正三角形的个数是6+12×5＝66（个），第n 层中含有正三角形个数是6+12（n ﹣1）＝12n ﹣6，故答案为：66，12n ﹣6．三．解答17．解：（1）原式＝4﹣3﹣1+＝1；（2）移项得：3（x ﹣2）2+2（x ﹣2）＝0，（x ﹣2）[3（x ﹣2）+2]＝0，x ﹣2＝0，3（x ﹣2）+2＝0， x 1＝2，x 2＝．18．解：（1）设爸爸返回的解析式为y 2＝kx +b ，把（15，3000）（45，0）代入得，解得，∴爸爸返问时离家的路程y 2（米）与运动时间x （分）之间的函数关系式为：y 2＝﹣100x +4500；（2）设线段OB 表示的函数关系式为y 1＝k ′x ，把（15，3000）代入得k ′＝200， ∴线段OB 表示的函数关系式为y 1＝200x ，当x ＝20时，y 1﹣y 2＝200x ﹣（﹣100x +4500）＝300x ﹣4500＝300×20﹣4500＝1500， ∴张琪开始返回时与爸爸相距1500米．19．解：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为：4÷10%＝40，m%＝＝25%，故答案为：40，25；（Ⅱ）平均数是：＝1.5，众数是1.5，中位数是1.5；（Ⅲ）800×＝720（人），答：该校每天在校体育活动时间大于1h的学生有720人．20．解：在Rt△ABD中，AB＝AD＝600，作EM⊥AC于M，则AM＝DE＝500，∴BM＝100，在Rt△CEM中，tan53°＝，∴CM＝800，∴BC＝CM﹣BM＝800﹣100＝700（米）答：隧道BC长为700米11 / 11。

2020年中考数学三轮冲刺培优练解直角三角形实际应用集训题三(10题含答案)

2020年中考数学三轮冲刺培优练解直角三角形实际应用集训题三1.如图，已知斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）2.如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60°，然后他从P处沿坡脚为45°的上坡向上走到C处，这时，PC=20m，点C与点A在同一水平线上，A、B、P、C在同一平面内.（1）求居民楼AB的高度；（2）求C、A之间的距离.（结果保留根号）3.如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°．朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测量器的高度忽略不计）4.学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：（1）在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH=30°；（2）在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器（C、D与B在同一直线上，且C、D之间的距离可以直接测得），测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH=45°；（3）测得测倾器的高度CF=DG=1.5米，并测得CD之间的距离为288米；已知红军亭高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB．（取1.732，结果保留整数）5.某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD（CD⊥AE）,在课外活动时间测得下列数据：如图,从地面E点测得地下停车场的俯角为30°,斜坡AE的长为16米,地面B点（与E点在同一水平线）距停车场顶部C点（A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直）1.2米，试求该校地下停车场的高度AC及限高CD（≈1.73，结果精确到0.1米）6.如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等.测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB=14米.求居民楼的高度(精确到0.1米，3参考数据：≈1.73).7.如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向．已知CD=120m，BD=80m，求木栈道AB的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin32°≈，cos32°≈，tan32°≈，sin42°≈，cos42°≈，tan42°≈）8.A、B两市相距150千米,分别从A、B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图,风景区区域是以C为圆心,45千米为半径的圆,tanα=1.627，tanβ=1.373．为了开发旅游,有关部门设计修建连接AB两市的高速公路.问连接AB高速公路是否穿过风景区，请说明理由．9.在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度．（精确到0.1）（参考数据：≈1.414，≈1.732）10.由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC的长．参考答案1.解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴AH:PH=5：12，设AH=5km，则PH=12km，由勾股定理，得AP=13km．∴13k=26m．解得k=2．∴AH=10m．答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．（2）延长BC交PQ于点D．∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ．∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH．∵∠BPD=45°，∴PD=BD．设BC=x，则x+10=24+DH．∴AC=DH=x﹣14．在Rt△ABC中，tan76°=BC:AC，即x:(x-14)≈4.0，解得x≈19，答：古塔BC的高度约为19米．2.解：（1）过点C作CE⊥BP于点E，在Rt△CPE中，∵PC=20m，∠CPE=45°，∴sin45°=，∴CE=PC•sin45°=20×=20m，∵点C与点A在同一水平线上，∴AB=CE=20m，答：居民楼AB的高度约为20m；（2）在Rt△ABP中，∵∠APB=60°，∴tan60°=，∴BP==m，∵PE=CE=20m，∴AC=BE=（+20）m，答：C、A之间的距离为（+20）m.3.4.5.【解答】解：连接AC，∵∠ABE=90°，∠E=30°，∴AB=0.5AE=8，∴AC=8﹣1.2=6.8，∴CD=AC•sin∠EAB=6.8×≈5.9，答：地下停车场的高度AC为6.8米，限高CD约为5.9米．6.解：7.解：8.解：AB不穿过风景区．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠ACD=α，∠BCD=β，则在Rt△ACD中，AD=CD•tanα，在Rt△BCD中，BD=CD•tanβ，∵AD+DB=AB，∴CD•tanα+CD•tanβ=AB，∴CD==（千米）．∵CD=50＞45，∴高速公路AB不穿过风景区．9.10.解：。

2020年九年级中考数学压轴专题几何探究题(含答案)

2020中考数学压轴专题几何探究题（含答案）1. 我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．第1题图(1)概念理解：请你根据定义举一个“等邻角四边形的”例子；(2)问题探究：如图①，在等邻角四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ，AD 、BC 的中垂线恰好交于AB 边上一点P ，连接AC 、BD ，试探究AC 与BD 的数量关系，并说明理由．(3)应用拓展：如图②，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∠C ＝∠D ＝90°，BC ＝BD ＝3，AB ＝5，将Rt △ABD 绕着点A 顺时针旋转角α(0°)得到Rt △AB ′D ′(如图③)，当凸四边形AD ′BC 为“等邻角四边形”时，求出它的面积．解：(1)矩形；(答案不唯一)(2)AC ＝BD ；如解图①所示，连接PD 、PC ， ∵PE 是AD 的垂直平分线，PF 是BC 的垂直平分线， ∴P A ＝PD ，PB ＝PC ，∴∠P AD ＝∠PDA ，∠PBC ＝∠PCB ，∴∠DPB ＝180°－∠DP A ＝∠P AD ＋∠PDA ＝2∠P AD ，同理可得∠APC ＝2∠PBC ， ∵∠DAB ＝∠ABC ，即∠P AD ＝∠PBC ，∴∠APC ＝∠DPB ，在△APC 和△DPB 中，⎩⎪⎨⎪⎧PA ＝PD ∠APC ＝∠DPB PB ＝PC，△APC ≌△DPB (SAS)， ∴ AC ＝BD .第1题解图①(3)①当∠AD ′B ＝∠D ′BC 时，如解图②所示，延长AD ′交CB 的延长线于点E ，过点D ′作DF ⊥CE 于点F ， ∠ED ′B ＝∠EBD ′， ∴EB ＝ED ′，∵∠C ＝∠EFD ′，∠EAC ＝∠ED ′F ， ∴△ED ′F ∽△EAC ，则D ′F AC ＝ED ′AE，设EB ＝ED ′＝x ，由勾股定理可知，在Rt △ACB 中，AC ＝AB 2－BC 2＝52－32＝4，则AD ′＝4，CE ＝3＋x ，AE ＝4＋x ，在Rt △ACE 中，AC 2＋CE 2＝AE 2，即42＋(3＋x )2＝(4＋x )2，整理得：2x －9＝0，解得x ＝92，EB ＝ED ′＝92，∴AE ＝172，∴D ′F 4＝92112，∴D ′F ＝3617，S 四边形AD ′BC ＝S △ACE －S △D ′BE ＝12AC ·CE －12D ′F ·BE ＝12×4×(3＋92)－12×92×3617＝15－8117＝17417；第1题解图②②当∠D ′BC ＝90°时，如解图③所示，过点D ′作D ′E ⊥AC ，交AC 于点E ， ∴四边形ECBD ′是矩形，∴ED ′＝BC ＝3，在Rt △AED ′中，根据勾股定理得AE ＝AD′2－ED′2＝42－32＝7，∵S 四边形AD ′BC ＝S △AED ′＋S 矩形ECBD ′＝12AE ·ED ′＋EC ·BC ＝372＋12－37＝12－372.综上所述，当凸四边形AD 为等邻角四边形时，它的面积为17417或12－372.第1题解图③2. (1)发现如图①，点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ，AB ＝b .填空：当点A 位于________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为________(用含有a ，b 的式子表示)； (2)应用点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝3，AB ＝1.如图②所示，分别以AB ，AC 为边作等边三角形ABD 和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值；(3)拓展如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且P A＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．第2题图(1)解：CB的延长线上，a＋b；【解法提示】∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC＋AB＝a＋b.(2)解：①DC＝BE，理由如下：∵△ABD和△ACE均为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，∴△CAD≌△EAB(SAS)，∴DC＝BE；②BE长的最大值是4；【解法提示】∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB 的延长线上，∴CD长的最大值为BD＋BC＝AB＋BC＝4.(3)解：AM长的最大值是3＋22，点P的坐标是(2－2，2)．【解法提示】如解图①，构造△BNP≌△MAP，则NB＝AM，P A＝PN，∴∠APN＝90°，由(1)得出当点N在BA的延长线上时，NB有最大值(如解图②)，可得AN＝22，∴AM＝NB＝3＋22，过点P作PE⊥x轴于点E，PE＝AE＝2，∴点P的坐标是(2－2，2)．第2题解图3.如图，△ABC是边长为4 cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6 cm.点D从O点出发，沿OM的方向以1 cm/s的速度运动．当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE.(1)求证：△CDE是等边三角形；(2)当6<t<10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；(3)当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．第3题图(1)证明：∵△BCE是由△ACD逆时针旋转60°得到的，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴△CDE是等边三角形；(2)解：存在．理由如下：∵△BCE是由△ACD逆时针旋转60°得到的，∴AD＝BE，又∵△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△BDE＝BD＋BE＋DE＝BD＋AD＋CD＝AB＋CD，∵AB＝4为定值，∴当CD最小，即CD⊥AB时，△BDE的周长最小，∵△ABC是等边三角形，∴当CD最小，即CD⊥AB时，易得CD＝23，∴△BDE的最小周长为23＋4；(3)解：存在．理由如下：如解图，过点C作CF⊥OM于点F，则CF＝23，∴BD＝||t－6，t－10，BE＝AD＝||DE＝CD＝CF2＋DF2＝12＋（t－8）2，①当∠DEB＝90°时，BD2＝BE2＋DE2，即(t－10)2＝(t－6)2＋12＋(t－8)2，第3题解图解得t1＝2，t2＝6(不合题意，舍去)；②当∠EBD＝90°时，DE2＝BD2＋BE2，即12＋(t－8)2＝(t－10)2＋(t－6)2，解得t3＝6，t4＝10(两者均不合题意，舍去)；③当∠BDE＝90°时，BE2＝BD2＋DE2，即(t－6)2＝(t－10)2＋12＋(t－8)2，解得t5＝14，t6＝10(舍去)．综上所述，存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形，此时t＝2或14.4.如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起(图①)，△ABD不动．(1)若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC(图②)，证明：MB＝MC；(2)若将图①中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC(图③)，判断并直接写出MB、MC的数量关系；(3)在(2)中，若∠CAE的大小改变(图④)，其他条件不变，则(2)中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．第4题图（1）证明：如解图①，连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，第4题解图①∴ AD ＝AE ， AB ＝AC ， ∠BAD ＝∠CAE ，又∵MD ＝ME ，∴∠MAD ＝∠MAE (三线合一)， ∴∠MAD －∠BAD ＝∠MAE －∠CAE ，即∠BAM ＝∠CAM ，在△ABM 和△ACM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAM ＝∠CAM AM ＝AM， ∴△ABM ≌△ACM (SAS )， ∴MB ＝MC ；第4题解图②(2)解：MB ＝MC ；【解法提示】如解图②，延长DB 、AE 相交于点E ′，延长EC 交AD 于点F ， ∴BD ＝BE ′，CE ＝CF ，又∵M 是ED 的中点，B 是DE ′的中点， ∴MB ∥AE ′，∴∠MBC ＝∠CAE ，同理：MC ∥AD ， ∴∠BCM ＝∠BAD ，又∵∠BAD ＝∠CAE ， ∴∠MBC ＝∠BCM ， ∴MB ＝MC .(3)解：MB ＝MC 还成立．理由如下：如解图③，延长BM 交CE 于点F ，第4题解图③∵CE ∥BD ， ∴∠MDB ＝∠MEF ， ∠MBD ＝∠MFE ，又∵M 是DE 的中点， ∴MD ＝ME ，在△MDB 和△MEF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MBD ＝∠MFE ∠MDB ＝∠MEF MD ＝ME， ∴△MDB ≌△MEF (AAS)， ∴MB ＝MF ＝12BF ，又∵∠ACE ＝90°，∴∠BCF ＝90°， ∴MC ＝12BF ，∴MB＝MC.5.在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的动点(与点A，C不重合)，连接BE.(1)将射线BE绕点B顺时针方向旋转45°，交直线AC于点F.①依题意补全图①；②小研通过观察、实验，发现线段AE，FC，EF存在以下数量关系：AE与FC的平方和等于EF的平方．小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：想法1：将线段BF绕点B逆时针旋转90°，得到线段BM，要证AE，FC，EF的数量关系，只需证AE，AM，EM的数量关系．想法2：将△ABE沿BE翻折，得到△NBE，要证AE，FC，EF的关系，只需证EN，FN，EF的关系．…请你参考上面的想法，用等式表示线段AE，FC，EF的数量关系并证明；(一种方法即可)(2)如图②，若将直线．．AC于点F.小研完成作图后，发现直线AC上存在三．．BE绕点B顺时针旋转135°，交直线条线段(不添加辅助线)满足：其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系．第5题图解：(1)①补全图形，如解图①；图① 图②第5题解图②AE 2＋FC 2＝EF 2；证明：如解图②，过B 作MB ⊥BF 于点B ，使BM ＝BF ，连接AM 、EM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝90°，∠1＝∠2＝45°，AB ＝BC ，∵∠3＝45°，∴∠MBE ＝∠3＝45°，在△MBE 和△FBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝BF ∠MBE ＝∠3BE ＝BE，∴△MBE ≌△FBE (SAS )，∴EM ＝EF ，∵∠4＝90°－∠ABF ，∠5＝90°－∠ABF ，∴∠4＝∠5，在△AMB 和△CFB 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝BF ∠4＝∠5AB ＝CB，∴△AMB ≌△CFB (SAS)，∴AM ＝FC ，∠6＝∠2＝45°，∴∠MAE ＝∠6＋∠1＝90°，在Rt △MAE 中，AE 2＋AM 2＝EM 2，∴AE 2＋FC 2＝EF 2；(2)AF 2＋EC 2＝EF 2.【解法提示】如解图③，过B 作MB ⊥BE ，使BM ＝BE ，连接ME 、MF 、AM ，∵直线BE 绕点B 顺时针旋转135°，交直线AC 于点F ，∴∠FBE ＝45°，∴∠MBF ＝90°－45°＝45°，∴∠FBE ＝∠MBF ，在△MBF 和△EBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝BE ∠MBF ＝∠FBE ，BF ＝BF∴△MBF ≌△EBF (SAS)，∴MF ＝EF ，∵∠MBA ＝90°－∠ABE ，∠EBC ＝90°－∠ABE ，∴∠MBA ＝∠EBC ，在△AMB 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝BE ∠MBA ＝∠EBC AB ＝CB，∴△AMB ≌△CEB (SAS )，∴AM ＝EC ，∠BAM ＝∠BCE ＝45°，∴∠MAE ＝∠BAM ＋∠BAC ＝90°，∴∠MAF ＝90°，在Rt △MAF 中，AF 2＋AM 2＝MF 2，∴AF 2＋EC 2＝EF 2.第5题解图③6.在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F.(1)依题意补全图形；(2)小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE＝DF.小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE＝DF；想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE＝DF；想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE＝DF；…请你参考上面的想法，帮助小华证明DE＝DF(选一种方法即可)；(3)在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系．解：(1)补全图形，如解图①；第6题解图(2)想法1：证明：如解图②，过点D作DG∥AB，交AC于点G，∵点D是BC边的中点，∴DG＝12AB，∴△CDG是等边三角形，∴∠EDB＋∠EDG＝120°，∵∠FDG＋∠EDG＝120°，∴∠EDB＝∠FDG，∵BD＝DG，∠B＝∠FGD＝60°，∴△BDE≌△GDF，∴DE＝DF；想法2：证明：如解图③，连接AD，作点E关于线段AD的对称点P，点P在边AC上，∵点D是BC边的中点，AB＝AC，∴直线AD是△ABC的对称轴，∴△ADE≌△ADP，∴DE＝DP，∠AED＝∠APD，∵∠BAC＋∠EDF＝180°，∴∠AED＋∠AFD＝180°，∵∠APD＋∠DPF＝180°，∴∠AFD＝∠DPF，∴DP＝DF，∴DE＝DF；第6题解图想法3：证明：如解图④，连接AD，过D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，∵点D是BC边的中点，∴AD平分∠BAC，∵DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，∴DM＝DN，∵∠A＝60°，∴∠MDE＋∠EDN＝120°，∵∠FDN＋∠EDN＝120°，∴∠MDE ＝∠FDN ，∴Rt △MDE ≌Rt △NDF ，∴DE ＝DF ；(3)当点F 在AC 边上时，BE ＋CF ＝12AB ；当点F 在AC 的延长线上时，BE －CF ＝12AB . 【解法提示】①当点F 在AC 边上时，如解图⑤，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，作DN ⊥AC 于点N ， ∵∠B ＝∠C ＝60°，BD ＝DC ，∠BDM ＝∠CDN ＝30°，∴△BDM ≌△CDN ，∴BM ＝CN ，DM ＝DN ，又∵∠EDF ＝120°＝∠MDN ，∴∠EDM ＝∠NDF ，又∵∠EMD ＝∠FND ＝90°，∴△EDM ≌△FDN ，∴ME ＝NF ，∴BE ＋CF ＝BM ＋EM ＋NC －FN ＝2BM ＝BD ＝12AB ；图⑤ 图⑥第6题解图②当点F 在AC 的延长线上时，如解图⑥，过D 作DM ⊥AB 于点M ，作DN ⊥AC 于点N ，∵∠B ＝∠DCN ＝60°，BD ＝DC ，∠BDM ＝∠CDN ＝30°，∴△BDM ≌△CDN ，∴BM ＝CN ，DM ＝DN ，又∵∠EDF ＝120°＝∠MDN ，∴∠EDM ＝∠NDF ，又∵∠EMD ＝∠FND ＝90°，∴△EDM ≌△FDN ，∴ME ＝NF ，∴BE －CF ＝BM ＋EM －(FN －CN )＝2BM ＝BD ＝12AB ，综上所述，当点F 在AC 边上时，BE ＋CF ＝12AB ；当点F 在AC 的延长线上时，BE －CF ＝12AB . 7. 我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图①，在△ABC 中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“极化值”就等于AO 2－BO 2的值，可记为ABAC ＝AO 2－BO 2.第7题图(1)在图①中，若∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，AO 是BC 边上的中线，则ABAC＝________，OCOA＝________；(2)如图②，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，求AB AC、BA BC的值；(3)如图③，在△ABC中，AB＝AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON＝13A A O，已知ABAC＝14，BN BA＝10，求△ABC的面积．解：(1)0 ，7；【解法提示】∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，∴BC＝AB2＋AC2＝10，在Rt△ABC中，AO是BC边上的中线，∴AO＝BO＝5，∴AB AC＝AO2－BO2＝0，如解图①，取AC的中点D ，连接OD ，则OD ∥AB ，OD ＝12AB ＝4，CD ＝12AC ＝3，∴OC OA ＝OD 2－CD 2＝16－9＝7.第7题解图(2)如解图②，作底边BC 上的中线AE ，由题意可知AE 是∠BAC 的平分线、BC 边上的高． ∵AB ＝ΑC ＝4，∠BAC ＝120°，∴在Rt △ABE 中，∠AEB ＝90°，∠ABC ＝30°，∴AE ＝12×4＝2，BE ＝32×4＝23， ∴AB AC ＝AE 2－BE 2＝22－(23)2＝－8.过点B作AC边上中线BM，过点M作MN⊥BC于点N，∴AM＝CM＝1×4＝2.2在Rt△MNC中，∠MNC＝90°，∠C＝30°，×2＝1，CN＝22－12＝ 3.∴MN＝12∵BC＝2BE＝43，∴BN＝BC－CN＝43－3＝33，BM2＝12＋(33)2＝28.∴BA BC＝BM2－AM2＝28－22＝24；(3)如解图③，过点B作△ABN的AN边上中线BM，∵在△ABC中，AB＝AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON＝13AO，第7题解图③∴AM＝MN＝NO，AO⊥BC，即AO＝3NO.∵AB A AC ＝14，BNBA ＝10，∴ AO 2－BO 2＝14，即(3ON )2－BO 2＝9ON 2－BO 2＝14，①∵BM 2－MN 2＝OM 2＋BO 2－MN 2＝(2ON )2＋BO 2－ON 2＝3ON 2＋BO 2＝10，②由①、②得⎩⎪⎨⎪⎧9ON 2－BO 2＝143ON 2＋BO 2＝10， ∴ON 2＝2，即ON ＝2，BO ＝2，∴BC ＝4，AO ＝32，∴S △ABC ＝12BC ·AO ＝12×4×32＝6 2. 8. 问题发现：如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AC 、BC 为边向外侧作正方形ACDE 和正方形BCFG .(1)△ABC和△DCF面积的关系是________；(请在横线上填写“相等”或“不相等”)(2)拓展探究：若∠C≠90°，(1)中的结论还成立吗？若成立，请结合图②给出证明；若不成立，请说明理由；(3)解决问题：如图③，在四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC与BD的和为10，分别以四边形ABCD的四条边为边向外侧作正方形ABFE、正方形BCHG、正方形CD JI、正方形DA LK；运用(2)中的结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．第8题图解：(1)相等；【解法提示】∵四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，∴AC＝DC，BC＝FC，∠ACD＝∠BCF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCF＝90°＝∠ACB.∴12AC·BC＝12DC·CF，∴S△ABC＝S△DFC.(2)成立．理由如下：如解图，延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P，过点D作DQ⊥FC于点Q，∴∠APC＝∠DQC＝90°.∵四边形ACDE，四边形BCFG均为正方形，∴AC＝CD，BC＝CF，∠ACP＋∠PCD＝90°，∠DCQ＋∠PCD＝90°，∴∠ACP＝∠DCQ.第8题解图在△APC 和△DQC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APC ＝∠DQC ∠ACP ＝∠DCQ AC ＝DC，∴△APC ≌△DQC (AAS)，∴AP ＝DQ .又∵S △ABC ＝12BC ·AP ，S △DFC ＝12FC ·DQ ， ∴S △ABC ＝S △DFC ；(3)图中阴影部分的面积和有最大值．理由如下：由(2)中的结论可知：S △K D J ＝S △ADC ，S △FBG ＝S △ABC ，S △AE L ＝S △ABD ，S △CH I ＝S △BDC ，∴S 阴影＝S △K DJ ＋S △FBG ＋S △AEL ＋S △CHI ＝S △ADC ＋S △ABC ＋S △ABD ＋S △BDC ＝2S 四边形ABCD .设AC ＝m ，则BD ＝10－m ，∵AC ⊥BD ，∴S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝12m ·(10－m )＝－12m 2＋5m ＝－12(m －5)2＋252. ∵－12<0，∴S四边形ABCD有最大值，最大值为252.＝25，∴S阴影＝2×252∴阴影部分的面积和有最大值，最大值为25.9.问题背景如图①，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE ≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．类比探究如图②，在正△ABC的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点(D，E，F 三点不重合)．(1)△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；(2)△DEF是否为正三角形？请说明理由；(3)进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探索a，b，c满足的等量关系．第9题图解：(1)△ABD≌△BCE≌△CAF.证明：如解图①，第9题解图①∵△ABC为正三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC.∵∠ABD＝∠ABC－∠2，∠BCE＝∠ACB－∠3，而∠2＝∠3，∴∠ABD＝∠BCE.又∵∠1＝∠2，∴△ABD≌△BCE(ASA)；(2)△DEF是正三角形．理由如下：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，∴∠ADB＝∠BEC＝∠CF A，∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，∴△DEF是正三角形；(3)如解图②，作AG⊥BD，交BD延长线于点G，第9题解图②由△DEF 是正三角形得到∠ADG ＝60°，(或者∠ADG ＝∠1＋∠ABD ＝∠2＋∠ABD ＝60°.)∴在Rt △ADG 中，DG ＝12b ，AG ＝32b . ∴在Rt △ABG 中，c 2＝(a ＋12b )2＋(32b )2， ∴c 2＝a 2＋ab ＋b 2.10. 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ(0°＜θ＜180°)，得到△A ′B ′C .(1)设△ACA ′和△BCB ′的面积分别为S 1和S 2.若θ＝40°，请求出S 1S 2的值； (2)如图①，设A ′B ′与CB 相交于点D ，且AB ∥CB ′：①求证：CD ＝B ′D ；②求BD 的长；(3)如图②，设AC 中点为点M ，A ′B ′中点为点N ，连接MN ，MN 是否存在最大值，若存在，求出MN 的值，判断出此时AA ′与BB ′的位置关系；若不存在，请说明理由．第10题图(1)解： ∵△ABC 绕顶点C 顺时针旋转40°，得到△A ′B ′C ， ∴CA ＝CA ′，CB ＝CB ′，∠ACA ′＝∠BCB ′＝θ，∴△ACA ′∽△BCB ′，∴S △ACA ′∶S △BCB ′＝AC 2∶BC 2＝32∶42＝9∶16；∴S 1S 2＝916； (2)①证明：∵AB ∥B ′C ，∴∠ABC ＝∠BCB ′；由旋转的性质得∠ABC ＝∠DB ′C ，即∠BCB ′ ＝∠DB ′C ；∴CD ＝B ′D ；②解：根据勾股定理可得A ′B ′＝AB ＝5，据题意可得∠BCB ′ ＋∠BCA ′ ＝∠DB ′C ＋∠CA ′B ′＝90°，∴∠BCA ′ ＝∠CA ′B ′，∴CD ＝A ′D ＝B ′D ＝12A ′B ′＝52， ∴ BD ＝BC －CD ＝32； (3)解：存在，∵∠A ′CB ′＝90°，点M 为AC 的中点，∴CM ＝12AC ＝32， ∵△A ′B ′C 是由△ABC 绕顶点C 顺时针旋转所得，∴A ′B ′＝AB ＝5，第10题解图如解图，连接CN ，可得MN ≤CM ＋CN ，∴只有当点N 在MC 的延长线上时，MN ＝CM ＋CN ，此时MN 最大，∵点N 为A ′B ′的中点，∴CN ＝12 A ′B ′＝52，MN ＝CM ＋CN ＝4，即MN 的最大值为4.此时AA ′⊥BB ′.。

2020中考数学压轴专题：几何综合(含答案)

2020中考数学压轴专题：几何综合（含答案）1. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点P 是AC 上的一个动点(点P 与A 、C 不重合)，连接BP ，分别过点B 、C 作BP 、AC 的垂线BQ 、CQ ，两垂线交于点Q ，连接QP ，交BC 于点E . (1)求证：CQ ＝AP ； (2)求证：△CPB ∽△CEQ ；(3)若AB ＝22，在点P 的运动过程中，是否存在一点P ，使得CE ＝38BC ？若存在，请求出△ABP 的面积，若不存在，请说明理由．第1题图(1)证明：∵在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，∴∠A ＝∠ACB ＝45°， ∵BQ ⊥BP , CQ ⊥AC ， ∴∠QCB ＝∠A ＝45°，∵∠ABP ＋∠PBC ＝∠QBC ＋∠PBC ＝90°， ∴∠ABP ＝∠QBC . 又∵BA ＝BC ， ∴△BAP ≌△BCQ (ASA). ∴CQ ＝AP ；(2)证明：由(1)得，∠QCB ＝∠ACB ＝45°，又∵∠PCQ ＋∠PBQ ＝180°， ∴P 、C 、Q 、B 四点共圆， ∴∠CQP ＝∠PBC ， ∴△CPB ∽△CEQ ； (3)解：存在．理由如下：由CE ＝38BC ，可得CE ＝38BC ＝38AB ＝324，由勾股定理可得，AC ＝AB 2＋BC 2＝4；设AP ＝CQ ＝x ，则PC ＝4－x ，由(2)得△CPB ∽△CEQ ， ∴CP CE ＝BCCQ ，即4－x 324＝22x ，可得x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝3或1，第1题解图如解图，过点P 作PD ⊥AB 于D ，易得△APD ∽△ACB ， ∴PD BC ＝AP AC，即PD ＝AP ·BC AC ＝AP ·224＝22AP ，当AP ＝3时，可得PD ＝322，此时S △ABP ＝12AB ·PD ＝12×22×322＝3，当AP ＝1时，可得PD ＝22，此时S △ABP ＝12AB ·PD ＝12×22×22＝1. ∴存在满足CE ＝38BC 的点P ，此时△ABP 的面积为3或1.2. 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点P 是线段BC 延长线上任意一点，以AP 为直角边作等腰直角△APD ，且∠APD ＝90°，连接BD . (1)求证：AC AP ＝AB AD；(2)在点P 运动过程中，试问∠PBD 的度数是否会变化？若不变，请求出它的度数，若变化，请说明它的变化趋势；(3)已知AB ＝2，设CP ＝x ，S △PBD ＝S . ①试求S 关于x 的函数表达式； ②当S ＝38时，求△BPD 的外接圆半径．第2题图(1)证明：如解图，设AD 与PB 交于点K .∵CA ＝BC ，∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＝45°，∵P A ＝PD ，∠APD ＝90°，∴∠PDK ＝∠P AD ＝∠ABK ＝45°，∵∠AKB ＝∠DKP ， ∴△AKB ∽△PKD ， ∴AK PK ＝BKDK， ∴AK KB ＝PKDK，∵∠AKP ＝∠BKD ， ∴△AKP ∽△BKD ，∴∠BDK ＝∠APK ，∠P AK ＝∠DBK ＝45°， ∴∠ABD ＝∠ABK ＋∠DBK ＝90°， ∴∠ABD ＝∠ACP ，∵∠ADB ＝∠APC ， ∴△ABD ∽△ACP ， ∴AC AP ＝ABAD； (2)解：∠PBD 的度数是定值，恒为45°.理由：由(1)可知△AKP ∽△BKD ， ∴∠P AK ＝∠DBK ＝45°，∴在点P 运动过程中，∠PBD 的度数是定值，且∠PBD ＝45° (3)解：①在Rt △ABC 中，∵AB ＝2，∴BC ＝AC ＝1，在Rt △ACP 中，P A ＝AC 2＋PC 2＝1＋x 2，∵△ABD ∽△ACP ， ∴AC AB ＝PCBD，∴12＝x BD， ∴BD ＝2x ，∴S ＝S △ABD ＋S △APD －S △ABP ＝12·2·2x ＋12·1＋x 2·1＋x 2－12(1＋x )·1＝12x 2＋12x .②如解图，取AD 的中点O ，连接OB 、OP .第2题解图∵∠ABD ＝∠APD ＝90°， ∴OB ＝OA ＝OP ＝OD ，∴点O 是△PBD 的外接圆的圆心， ∵S ＝38，∴12x 2＋12x ＝38，解得x ＝12或－32(舍去)，∴PC ＝12，由(2)可知BD ＝2x ， ∴BD ＝22，在Rt △ABD 中， AD ＝AB 2＋BD 2＝（2）2＋（22）2＝102， ∴OD ＝12AD ＝104，∴△PBD 的外接圆的半径为104. 3. 如图①，点P 在∠MON 的平分线上，且OP ＝2，以P 为顶点作∠APB, 与∠MON 的两边分别交于点A 、B ，其中∠APB 绕点P 旋转时，始终满足OA ·OB ＝OP 2.(1)已知∠MON＝α，求∠APB的度数(用含α的代数式表示)；(2)如图②，若∠MON＝90°，求出四边形OAPB面积的最小值．第3题图解：(1)∵OA·OB＝OP2，∴OA OP ＝OP OB，∵OP平分∠MON，∴∠AOP＝∠POB，∴△AOP∽△POB，∴∠P AO＝∠BPO，∴∠APB＝∠APO＋∠BPO＝∠APO＋∠P AO，在△APO中，由三角形内角和定理得：∠APO＋∠P AO＝180°－∠AOP，∵∠MON＝α，∴∠AOP＝12α，∴∠APB＝180°－12α；(2)∵(AO－BO)2＝AO－2AO·BO＋BO≥0，∴AO＋BO≥2AO·BO＝2OP2＝4，第3题解图如解图，过点P作PG⊥OM、PH⊥ON，垂足分别为G、H，∵∠MON＝90°，OP平分∠MON，∴PG＝PH，∠POH＝45°，∴S四边形APBO＝S△APO＋S△POB＝12OA·PG＋12OB·PH＝12(OA＋OB)·PH，∴S四边形APBO≥12×4·PH＝2PH，∵OP平分∠MON，∠MON＝90°，又∵∠PHO＝90°，PO＝2，∴PH＝OH＝2，∴S四边形APBO≥22，即四边形APBO面积的最小值为2 2.4. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且∠EPB＝90°，PM⊥AD，PN⊥AB.(1)求证：四边形PMAN是正方形；(2)求证：EM＝BN；(3)若点P在线段AC上移动，其他不变，设PC＝x，AE＝y，求y关于x的解析式，并写出自变量x的取值范围．第4题图(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝90°，AC 平分∠BAD ， ∵PM ⊥AD ，PN ⊥AB ，∴PM ＝PN ，∠PMA ＝∠PNA ＝90°， ∴四边形PMAN 是矩形， ∵PM ＝PN ，∴四边形PMAN 是正方形；(2)证明：∵四边形PMAN 是正方形， ∴PM ＝PN ，∠MPN ＝90°， ∵∠EPB ＝90°， ∴∠MPE ＝∠NPB ，在△EPM 和△BPN 中，⎩⎨⎧∠PME ＝∠PNBPM ＝PN∠MPE ＝∠NPB， ∴△EPM ≌△BPN (ASA)， ∴EM ＝BN ；(3)解：如解图，过P 作PF ⊥BC 于F ，第4题解图∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，∠PCF＝45°，∴AC＝12＋12＝2，△PCF是等腰直角三角形，∴AP＝AC－PC＝2－x，BN＝PF＝22x，∴EM＝BN＝22x，∵∠P AM＝45°，∠PMA＝90°，∴△APM是等腰直角三角形，∴AP＝2AM＝2(AE＋EM)，即2－x＝2(y＋22x)，解得y＝1－2x，∴x的取值范围为0≤x≤2，2∴y＝1－2x(0≤x≤22)．5. 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝102，直线MN过点A且MN∥BC，以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且点D在直线MN上(不与点A重合)，如图①，DE与AC交于点P，设BD＝x，DP ＋BC＝y，cos∠ADP＝z.(1)猜想y关于x(2)如图②，DE与CA的延长线交于点P，以上y关于x的函数表达式仍成立吗？请证明；(3)如图③，DE与AC的延长线交于点P，BD与AP交于点Q，若此时x＝BD＝202，求S△ABQ的值．第5题图解：(1)y 关于x 的函数表达式为y ＝x ＋20，z 关于x 的函数表达式为z ＝10x，证明：如解图①，过点D 作DF ⊥AD 交AB 于点F ，交BC 于点G ， ∵AD ∥BC ，∠ABC ＝45°， ∴∠BAD ＝∠AFD ＝45°，∴△ADF 是等腰直角三角形，∴AD ＝DF ，∠DAP ＝45°＋90°＝135°，∠DFB ＝180°－45°＝135°， ∵∠BDP ＝∠ADF ＝90°， ∴∠ADP ＝∠FDB ，在△ADP 和△FDB 中，⎩⎨⎧∠ADP ＝∠FDBAD ＝FD∠DAP ＝∠DFB， ∴△ADP ≌△FDB ， ∴DP ＝BD ＝x ，∵AB ＝AC ＝102，∠BAC ＝90°，∴BC ＝AB 2＋AC 2＝20，∴y ＝x ＋20， ∵AD ∥BC ，∴DG ＝22AB ＝22×102＝10，在Rt △BDG 中，cos ∠BDG ＝DG DB ＝10x ，∵∠ADP ＝∠BDG ，∴z ＝cos ∠ADP ＝cos ∠BDG ＝10x ；第5题解图①(2)y 关于x 的函数表达式仍然成立，第5题解图②如解图②，过点D 作DF ⊥MN ，交AB 延长线于点F ， ∵由(1)知∠BAD ＝45°，∴∠AFD ＝45°，∴DA ＝DF ，∵∠FDB ＋∠BDA ＝90°，∠BDA ＋∠ADP ＝90°， ∴∠FDB ＝∠ADP ，∵∠DAP ＝90°－∠BAD ＝45°，在△ADP 和△FDB 中，⎩⎨⎧∠DAP ＝∠DFBDA ＝DF∠ADP ＝∠FDB， ∴△ADP ≌△FDB ， ∴DP ＝BD ＝x ， ∵BC ＝20， ∴y ＝x ＋20成立；第5题解图③(3)如解图③，过点B 作BT ⊥MN 于点T ， ∵MN ∥BC ，∠ABC ＝45°， ∴∠TAB ＝∠ABC ＝45°， ∵AB ＝102， ∴AT ＝BT ＝10， ∵BD ＝202， ∴在Rt △BTD 中，DT ＝BD 2－BT 2＝107，∵MN ∥BC ， ∴△AQD ∽△CQB ， ∴AQ QC ＝ADBC， ∴AQAC －AQ＝DT －AT BC ，∴AQ102－AQ＝107－1020，解得AQ ＝402－10143，∴S △ABQ ＝12AB ·AQ ＝12×102×402－10143＝400－10073.6. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，DC ＝8，菱形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边AB ，CD ，DA 上，AH ＝2，连接CF .(1)若DG ＝2，求证：四边形EFGH 为正方形； (2)若DG ＝6，求△FCG 的面积．第6题图(1)证明：∵四边形EFGH 为菱形，∴HG ＝EH ， ∵AH ＝2，DG ＝2， ∴DG ＝AH ，在Rt △DHG 和Rt △AEH 中，⎩⎨⎧HG ＝EH DG ＝AH ， ∴Rt △DHG ≌Rt △AEH ， ∴∠DHG ＝∠AEH ， ∵∠AEH ＋∠AHE ＝90°， ∴∠DHG ＋∠AHE ＝90°， ∴∠GHE ＝90°，∴四边形EFGH 为正方形；(2)解：如解图，过点F 作FQ ⊥CD 交DC 的延长线于Q ，连接GE ，第6题解图∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB ∥CD ， ∴∠AEG ＝∠QGE ，即∠AEH ＋∠HEG ＝∠QGF ＋∠FGE ， ∵四边形EFGH 为菱形， ∴HE ＝GF ，HE ∥GF ， ∴∠HEG ＝∠FGE ， ∴∠AEH ＝∠QGF ，在△AEH 和△QGF 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠Q∠AEH ＝∠QGF HE ＝FG， ∴△AEH ≌△QGF ， ∴AH ＝QF ＝2， ∵DG ＝6，CD ＝8， ∴CG ＝2，∴S △FCG ＝12CG ·FQ ＝12×2×2＝2.7. 如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，延长AC 到E ，使得CE ＝BD ，连接DE 交BC 于F . (1)求证：CE ＝2CF ；(2)当∠A ＝60°，AB ＝6，将△CEF 绕点C 逆时针旋转角α(0°≤α≤360°)，得到△CE ′F ′，当点F ′恰好落在直线AC 上，连接BE ′，求此时BE ′的长．第7题图(1)证明：如解图①，过D作DG∥BC交AC于G，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵DG∥BC，∴∠GDC＝∠BCD，∴∠GDC＝∠GCD，第7题解图①∴DG＝GC.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，∴∠ADG＝∠AGD，∴AD＝AG，∴BD＝CG，∵CE＝BD，∴CG＝CE，∵DG∥BC，∴CF是△EDG的中位线，∴DG＝2CF，∴CE＝CG＝DG＝2CF；(2)解：①当点F旋转到线段AC上点F′处时，如解图②所示，∵∠F′CE′＝∠FCE＝120°，∠ACD＝30°，∴∠DCE′＝90°＝∠CDB，∴AB∥CE′，∵BD＝CE＝CE′，∴四边形BDCE′是矩形，∴BE′＝CD＝32AB＝32×6＝33；第7题解图②当点F旋转到线段AC的延长线上的点F′处时，如解图③，连接AE′，易得四边形ADCE′是矩形，∴AE′＝DC＝33，∠E′AC＝30°，∠BAE′＝90°，在Rt△ABE′中，由勾股定理得BE′＝AB2＋AE′2＝62＋（33）2＝37.8. 如图，在▱ABCD中，AC⊥CD，点E在射线CB上，点F在射线DC上，且∠EAF＝∠B.(1)当∠BAD＝135°时，若点E在线段CB上，点F在线段DC上，求证：BE＋22DF＝AD；(2)当∠BAD＝120°时，若点E在线段CB上，点F在线段DC上，求AD、BE、DF之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；(3)当∠BAD＝120°时，连接EF，直线AF与直线BC交于点Q，当AB＝3，BE＝2时，请分别求出EQ和EF的长．第8题图(1)证明：∵∠BAD ＝135°，且∠BAC ＝90°，∴∠CAD ＝45°，即△ABC 、△ADC 都是等腰直角三角形； ∴AD ＝2AC ，且∠D ＝∠ACB ＝45°；又∵∠EAC ＝∠DAF ＝45°－∠F AC ， ∴△AEC ∽△AFD ， ∴AE AF ＝EC FD ＝AC AD ＝12，即EC ＝22FD ； ∴BC ＝BE ＋22DF ，即BE ＋22DF ＝AD ； (2)解：2BE ＋DF ＝AD ；理由如下：如解图①，取BC 的中点G ，连接AG ；第8题解图①易知：∠DAC ＝∠BCA ＝30°，∠B ＝∠D ＝60°；在Rt △ABC 中，G 是斜边BC 的中点，则： ∠AGE ＝60°，AD ＝BC ＝2AG ；∵∠GAD ＝∠AGE ＝60°＝∠EAF ， ∴∠EAG ＝∠F AD ＝60°－∠GAF ；又∵∠AGE ＝∠D ＝60°，∴△AGE ∽△ADF ，得：AG AD ＝EG FD ＝12；即FD ＝2EG ；∴BC ＝2BG ＝2(BE ＋EG )＝2BE ＋2EG ＝2BE ＋DF ，即AD ＝2BE ＋DF ；(3)解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝30°，AB ＝3，则BC ＝AD ＝6，EC ＝4.①当点E 、F 分别在线段BC 、CD 上时，如解图②，过F 作FH ⊥BQ 于H ；同(2)可知：DF ＝2EG ＝2，CF ＝CD －DF ＝1；在Rt △CFH 中，∠FCH ＝60°，CH ＝12，FH ＝32；易知：△ADF ∽△QCF ，由DF ＝2CF ，可得CQ ＝12AD ＝3；∴EQ ＝EC ＋CQ ＝4＋3＝7；在Rt △EFH 中，EH ＝EC ＋CH ＝92，FH ＝32；由勾股定理可求得：EF ＝21；②当点E 、F 分别在CB 、DC 的延长线上时，如解图③；分别过点A 、F 作BC 的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵∠EAF ＝∠GAD ＝60°， ∴∠EAG ＝∠F AD ＝60°＋∠F AG ，又∵∠EGA ＝∠D ＝60°，∴△EAG ∽△F AD ，得：EG FD ＝AG AD ＝12；即FD ＝2EG ＝10，FC ＝10－CD ＝7；在Rt △FCN 中，∠FCN ＝60°，易求得FN ＝732，NC ＝72，GN ＝12；在等边△ABG 中，AM ⊥BG ，易求得AM ＝332，MG ＝32，MN ＝MG －GN ＝1；由△AMQ ∽△FNQ ，得：AM FN ＝MQ NQ ＝37，即QN ＝710，MQ ＝310； EQ ＝EB ＋BM ＋MQ ＝2＋32＋310＝195；由勾股定理得EF ＝57；综上可知：EQ ＝7或195，EF ＝21或57.图②图③第8题解图9. 如图①，已知△ACB和△DCE为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE.(1)求证：AD＝BE；(2)求∠AEB的度数；(3)如图②，若△ACB和△DCE为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM⊥DE于点M，连接BE.①计算∠AEB的度数；②写出线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．图① 图②第9题图(1)证明：∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°. ∴∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，⎩⎨⎧AC ＝BC∠ACD ＝∠BCE CD ＝CE∴△ACD ≌△BCE (SAS)， ∴AD ＝BE . (2)∵△ACD ≌△BCE∴∠ADC ＝∠BEC . ∵△DCE 为等边三角形， ∴∠CDE ＝∠CED ＝60°.∵点A ，D ，E 在同一条直线上， ∴∠ADC ＝120°， ∴∠BEC ＝120°，∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝60°. (3)①如解图，∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，且∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACD ＝∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，⎩⎨⎧CA ＝CB∠ACD ＝∠BCE CD ＝CE， ∴△ACD ≌△BCE (SAS)， ∴AD ＝BE ，∠ADC ＝∠BEC . ∵△DCE 为等腰直角三角形， ∴∠CDE ＝∠CED ＝45°. ∵点A ，D ，E 在同一直线上， ∴∠ADC ＝135°， ∴∠BEC ＝135°，∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝90°，第9题解图②∵CD ＝CE ，CM ⊥DE 于M ， ∴DM ＝ME ， ∵∠DCE ＝90°， ∴DM ＝ME ＝CM ， ∴AE ＝AD ＋DE ＝BE ＋2CM .10. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝2，∠ABC ＝120°，动点P 在线段BD 上从点B向点D 运动，PE ⊥AB 于点E ，四边形PEBF 关于BD 对称，四边形QGDH 与四边形PEBF 关于AC 对称．设菱形ABCD 被这两个四边形盖住部分的面积为S 1，BP ＝x ：(1)对角线AC 的长为________；S 菱形ABCD ＝________；(2)用含x 的代数式表示S 1；(3)若点P 在移动过程中满足S 1＝12S 菱形ABCD 时，求x 的值．第10题图解：(1)23；23；【解法提示】∵菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝2，∠ABC ＝120°，∴∠AOB ＝90°，∠ABO ＝60°，∴AO ＝AB ·sin60°＝3，BO ＝AB ·cos60°＝1，∴AC ＝2AO ＝23，BD ＝2BO ＝2，∴S 菱形ABCD ＝23·22＝23， (2)由题意可得∠ABO ＝60°，BP ＝x ，∠PEB ＝90°，∴BE ＝BP ·cos60°＝x 2，PE ＝BP ·sin60°＝3x 2， ∴当0＜x ≤1时，S 1＝12x ·3x 22×4＝3x 22，当1＜x ≤2时，S 1＝12x ·3x 22×4－2（x －1）·2×33（x －1）2＝－36x 2＋43x 3－233，综上所述，S 1＝⎩⎨⎧3x 22 0＜x ≤1－3x 26＋43x 3－233 1＜x ≤2；(3)∵菱形的面积是23， ∴令32x 2＝3，解得x 1＝2＞1(舍去)，x2＝－2(舍去)，令－32＋433x－233＝3，解得x1＝4＋6＞2(舍去)，x2＝4－6，6x时，x的值是4－ 6.即若点P在移动过程中满足S1＝12S菱形ABCD。

2020年中考数学三轮冲刺培优练解直角三角形实际应用集训题四(10题含答案)

2020年中考数学三轮冲刺培优练解直角三角形实际应用集训题四1.如图，为了测量某建筑物BC的高度，小明先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地而上向建筑物前进了50m到达D处，此时遇到一斜坡，坡度i=1：，沿着斜坡前进20米到达E处测得建筑物顶部的仰角是45°，（坡度i=1：是指坡面的铅直高度FE与水平宽度DE的比）．请你计算出该建筑物BC的高度．（取=1.732，结果精确到0.1m）．2.如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD,其中AD∥BC,坝顶BC=10米,坝高20米,斜坡AB的坡度i=1:2.5,斜坡CD的坡角为30°．（1）求坝底AD的长度（结果精确到1米）；（2）若坝长100米，求建筑这个大坝需要的土石料（参考数据：）3.如图,旗杆AB的顶端B在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点D处,某校数学课外兴趣小组的同学正在测量旗杆的高度,在旗杆的底部A处测得点D的仰角为15°,AC=10米,又测得∠BDA=45°.已知斜坡CD的坡度为i=1：，求旗杆AB的高度（,结果精确到个位）．4.慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．5.如图，A、B两个小岛相距10km，一架直升飞机由B岛飞往A岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的hkm，当直升机飞到P处时，由P处测得B岛和A岛的俯角分别是45°和60°，已知A、B、P和海平面上一点M都在同一个平面上，且M位于P的正下方，求h（结果取整数，≈1.732）6.如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度.如果这时气球的高度CD为90米.且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离.7.如图，甲船在港口P的南偏东60°方向，距港口30海里的A处，沿AP方向以每小时5海里的速度驶向港口P；乙船从港口P出发，沿南偏西45°方向驶离港口P．现两船同时出发，2小时后甲船到达B处，乙船到达C处，此时乙船恰好在甲船的正西方向，求乙船的航行距离（≈1.41，≈1.73，结果保留整数）．8.周末，小明一家去东昌湖划船，当船划到湖中C点处时，湖边的路灯A位于点C的北偏西64°方向上，路灯B位于点C的北偏东44°方向上，已知每两个路灯之间的距离是50米，求此时小明一家离岸边的距离是多少米？（精确到1米）（参考数据：sin64°≈0.9，cos64°≈0.4，tan64°≈2.1，sin44°≈0.7，cos44°≈0.7，tan44°≈1.0）9.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号.已知A、B两船相距100(3＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上.(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，请保留根号)；(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC航行去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)?10.如图,大楼AN上悬挂一条幅AB,小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°,沿坡面向下走到坡脚E处,然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°,此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：（即tan∠DEM=1：），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度（结果精确到1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）参考答案1.解：过E作EF⊥AB于F，EG⊥BC与G，∵CB⊥AB，∴四边形EFBG是矩形，∴EG=FB，EF=BG，设CG=x米，∵∠CEG=45°，∴FB=EG=CG=x，∵DE的坡度i=1：，∴∠EDF=30°，∵DE=20，∴DF=20cos30°=10，BG=EF=20sin30°=10，∴AB=50+10+x，BC=x+10，在Rt△ABC中，∵∠A=30°，∴BC=AB•tan∠A，即x+10=（50+10+x），解得：x≈18.3，∴BC=28.3米，答：建筑物BC的高度是28.3米．2.解：（1）作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则四边形BEFC是矩形，∴EF=BC=10米，∵BE=20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，∴AE=50米，∵CF=20米，斜坡CD的坡角为30°，∴DF==20≈35米，∴AD=AE+EF+FD=95米；（2）建筑这个大坝需要的土石料：×（95+10）×20×100=105000米3．3.解：延长BD，AC交于点E，过点D作DF⊥AE于点F．∵i=tan∠DCF==，∴∠DCF=30°．又∵∠DAC=15°，∴∠ADC=15°．∴CD=AC=10．在Rt△DCF中，DF=CD•sin30°=10×=5（米），CF=CD•cos30°=10×=5，∠CDF=60°．∴∠BDF=45°+15°+60°=120°，∴∠E=120°﹣90°=30°，在Rt△DFE中，EF===5∴AE=10+5+5=10+10．在Rt△BAE中，BA=AE•tanE=（10+10）×=10+≈16（米）．答：旗杆AB的高度约为16米．4.解：（1）由题意得，四边形CDBG、HBFE为矩形，∴GB=CD=1.7，HB=EF=1.5，∴GH=0.2，在Rt△AHE中，tan∠AEH=，则AH=HE•tan∠AEH≈1.9a，∴AG=AH﹣GH=1.9a﹣0.2，在Rt△ACG中，∠ACG=45°，∴CG=AG=1.9a﹣0.2，∴BD=1.9a﹣0.2，答：小亮与塔底中心的距离BD（1.9a﹣0.2）米；（2）由题意得，1.9a﹣0.2+a=52，解得，a=18，则AG=1.9a﹣0.2=34.4，∴AB=AG+GB=36.1，答：慈氏塔的高度AB为36.1米．5.解：6.解：7.8.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，设CDx米，在Rt△ACD中，∵∠ACD=64°，∴AD=CD•tan64°=tan64°x（米），在Rt△BCD中，∴∠DCB=44°，∴BD=CD•tan44°=tan44°x（米），∵AB=AD+BD，∴AB=tan64°x+tan44°x=50×2=100，解得：x≈32，答：此时小明一家离岸边的距离约32米．9.解：10.解：过点D作DH⊥AN于H，过点E作FE⊥于DH于F，∵坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：，∴EF=10米，DF=10米，∵DH=DF+EC+CN=（10+30）米，∠ADH=30°，∴AH=×DH=（30+30）米，∴AN=AH+EF=（40+30）米，∵∠BCN=45°，∴CN=BN=20米，∴AB=AN﹣BN=20+30≈71米，答：条幅的长度是71米．。

2020年九年级数学中考专题训练：实际应用题型专题

2020年九年级数学中考专题训练：实际应用题型专题实际应用1.某超市计划购进甲、乙两种品牌的新型节能台灯20盏，这两种台灯的进价和售价如下表所示：设购进甲种台灯x盏，且所购进的两种台灯都能全部卖出．（1）若该超市购进这批台灯共用去1000元，问这两种台灯购进多少盏？（2）若购进两种台灯的总费用不超过1100元，那么超市如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？（3）最终超市按照（2）中的方案进货，但实际销售中，由于乙品牌的台灯销售前景不容乐观，超市计划对乙品牌台灯进行降价销售，当毎盏台灯最多降价多少元时，全部销售后才能使利润不低于550元？2.某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如表，设其中甲种商品购进x件，该商场售完这200件商品的总利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？（3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（50<a<70）出售，且限定商场最多购进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案．3.某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．4.某企业接到一批零件的加工任务，要求在20天内完成，这批零件的出厂价为每个6元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，在6天的培训期内，新工人小亮第x天能加工80x个零件，培训后小亮第x天内加工的零件个数为（50x+200）个．（1）小亮第几天加工零件数量为650个？（2）如图所示，设第x天每个零件的加工成本是P元，P与x 之间的函数关系可用图中的函数图象来刻画，若小亮第x 天创造的利润为w元，求出w与x之间的函数表达式．（3）试确定第几天的生产利润最大？最大利润是多少？（利润=出厂价-进价）5.如图，某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制函数图像，其中日销售量y(kg)与销售时间x(天)之间的函数关系如图①所示，销售单价p(元/kg)与销售时间x（天）之间的函数关系如图②所示．(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式；(2)分别求出第10天和第15天的销售金额；(3)若日销售量不低于24 kg 的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元？6.某公司今年四月份出售A 、B 两种型号电动自行车，已知两种型号电动自行车的销售数量相同，B 型车的售价比A 型车低400元，B 型车的销售总额是A 型车销售总额的54。

专题一相似角三角形测量高度在实际问题应用 2020年中考数学冲刺几何题型专项突破相似三角形应用(解析版)

2020年中考数学冲刺几何题型专项突破相似三角形应用专题一相似角三角形测量高度在实际问题应用1、学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为()A.0.2 mB.0.3 m答案C解析∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠ABO=∠CDO=90°.又∵∠AOB=∠COD,∴△ABO∽△CDO.则,∵AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,∴.解得CD=0.4,故选C.2、如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，AB：AC＝1：9，则建筑物CD的高是（）A．96m B．10.8m C．12m D．14m【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴，即，解得：CD＝10.8m，故选：B．3、如图，身高1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，则树的高度为（）A．4.8 m B．6.4 m C．8 m D．10 m【解答】解：由题意可得，＝，即树高＝＝8m，故选：C．4、如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子DA恰好与甲影子CA在同一条直线上，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙两同学相距（）米．A．1 B．2 C．3 D．5【解答】解：设两个同学相距x米，∵△ADE∽△ACB，∴，∴，解得：x＝1．故选：A．5、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺【解答】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，∴，解得x＝45（尺）．故选：B．6、如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她想到了物理学中平面镜成像的原理，她在与旗杆底部A同一水平线上的E处放置一块镜子，然后推到C处站立，使得刚好可以从镜子E看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.6m，她离镜子的水平距离CE＝1.2m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝3.6m，且A、C、E三点在同一水平直线你上，则旗杆AB的高度为（）A．2.7m B．3.6m C．4.8m D．6.4m【解答】解：由题意可得：AE＝1.5m，CE＝1.2m，DC＝1.6m，∵△ABC∽△EDC，∴，即，解得：AB＝4.8m，故选：C．7、如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树AB的高度，他沿着树影CB由C向B走，当走到点D时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，此时，AEC三点恰好在一条直线上，经测得CD＝1米，BD＝3米，则树的高度AB为（）A．3米B．4米C．4.5米D．6米【解答】解：根据题意，可知：△ABC∽△EDC，∴＝，即＝，∴AB＝6．故选：D．8、某数学课外活动小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5m的同学的影长为1.35m，由于大树靠近一幢建筑物，因此树影的一部分落在建筑物上，如图，他们测得地面部分的影长为3.6m，建筑物上的影长为1.8m，则树的高度为（）A．5.4 m B．5.8 m C．5.22 m D．6.4 m【解答】解：如图，BD＝3.6米，CD＝1.8米，∵同一时刻测得一身高为1.5米的同学的影长为1.35米，∴CD：DE＝1.5：1.35，即1.8：DE＝1.5：1.35，∴DE＝1.62，∵CD∥AB，∴CD：AB＝DE：BE，即1.8：AB＝1.62：（1.62+3.6），∴AB＝5.8（米）．故选：B．9、如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE＝BC＝0.6米，求A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝12米，然后沿直线CG后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得GE＝2米，小明身高EF＝1.6米，则凉亭的高度AB约为（）A．9米B．9.6米C．10米D．10.2米【解答】解：由题意∠AGC＝∠FGE，∵∠ACG＝∠FEG＝90°，∴△ACG∽△FEG，∴AC：EF＝CG：GE，∴＝，∴AC＝9.6米，∴AB＝AC+BC＝9.6+0.6＝10.2米．故选：D．10、如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE ＝30cm，EF＝15cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝7m，则树高AB＝（）m．A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【解答】解：∵∠DEF ＝∠BCD ＝90°，∠D ＝∠D ， ∴△DEF ∽△DCB ， ∴BC ：EF ＝DC ：DE ，∵DE ＝30cm ＝0.3m ，EF ＝15cm ＝1.5m ，AC ＝1.5m ，CD ＝7m ， ∴，∴BC ＝3.5米，∴AB ＝AC +BC ＝1.5+3.5＝5m ，故选：D ．11、如图，某一时刻一根2m 长的竹竿EF 的影长GE 为1.2m ，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B 在地面上的影子点D 与B 到垂直地面的落点C 的距离是3.6m ，求树AB 的长．【分析】先利用△BDC ∽△FGE 得到BC 3.6＝21.2，可计算出BC ＝6m ，然后在Rt △ABC 中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB 的长．【解答】解：如图，CD ＝3.6m ，∵△BDC ∽△FGE ，∴BC CD ＝EF GE ，即BC 3.6＝21.2，∴BC ＝6m.在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，∴AB ＝2BC ＝12m ，即树长AB 是12m.12、红用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度．如图，在水平地面点E 处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE ＝20m.当她与镜子的距离CE ＝2.5m 时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B .已知她的眼睛距地面高度DC ＝1.6m ，请你帮助小红测量出大楼AB 的高度(注：入射角＝反射角)．13、如图，某一时刻，旗杆AB影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m，在墙面上的影长CD为2m.同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m.请帮助小明求出旗杆的高度．14、星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由．【分析】设计相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可．在距离纪念碑AB 的地面上平放一面镜子E ，人退后到D 处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A .若人眼距地面距离为CD ，测量出CD 、DE 、BE 的长，就可算出纪念碑AB 的高．【解答】解：设计方案例子：如图，在距离纪念碑AB 的地面上平放一面镜子E ，人退后到D 处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A .若人眼距地面距离为CD ，测量出CD 、DE 、BE 的长，就可算出纪念碑AB 的高．理由：测量出CD 、DE 、BE 的长，因为∠CED ＝∠AEB ，∠D ＝∠B ＝90°，易得△ABE ∽△CDE .根据CDAB ＝DEBE ，即可算出AB 的高．15、如图，在相对的两栋楼中间有一堵墙，甲、乙两人分别在这两栋楼内观察这堵墙，视线如图1所示．根据实际情况画出平面图形如图2（CD ⊥DF ，AB ⊥DF ，EF ⊥DF ），甲从点C 可以看到点G 处，乙从点E 可以看到点D 处，点B 是DF 的中点，墙AB 高5.5米，DF ＝100米，BG ＝10.5米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离之差（结果精确到0.1米）【解答】解：由题意可知∠ABG＝∠CDG＝90°．又∵∠AGD为公共角，∴△ABG∽△CDG．∴＝．∵DF＝100米，点B是DF的中点，∴BD＝BF＝50米，∵AB＝5.5米，BG＝10.5米，∴＝，∴CD≈31.69（米）．又∵∠ABD＝∠EFD＝90°，∠EDF为公共角，∴△ADB∽△EDF，∴＝＝，∴EF＝2AB＝11（米）∴CD﹣EF≈20.7（米）答：甲、乙两人的观测点到地面的距离之差约为20.7米．16、为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离B（树底）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝3.2米，观察者目高CD＝1.6米，求树AB的高度．【解答】解：过点E作EF⊥BD于点E，则∠1＝∠2，∵∠DEF＝∠BEF＝90°，∴∠DEC＝∠AEB，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴∠CDE＝∠ABE＝90°，∴△CDE∽△ABE，∴＝，∵DE＝3.2米，CD＝1.6米，EB＝8.4米，∴＝，解得AB＝4.2（米）．答：树AB的高度为4.2米．17、如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米．（1）求路灯A的高度；（2）当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是多少？【解答】解：（1）设BC＝x米，AB＝y米，由题意得，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，身高MC＝NE＝1.5米，∵△ABD∽△MCD，△ABF∽△NEF，∴，，，，解得，∴路灯A的高度为6米．（2）如图，连接AG交BF延长线于点H，∵△ABH∽△GFH，GF＝1.5米，BH＝3+3+2+FH＝8+FH，∴，，解得（米）．答：当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是米．18、某学校的学生为了对小雁塔有基本的认识，在老师的带领下对小雁塔进行了测量．测量方法如下：如图，间接测得小雁塔地部点D到地面上一点E的距离为115.2米，小雁塔的顶端为点B，且BD⊥DE，在点E处竖直放一个木棒，其顶端为C，CE＝1.72米，在DE的延长线上找一点A，使A、C、B三点在同一直线上，测得AE＝4.8米．求小雁塔的高度．【解答】解：由题意可得：△AEC∽△ADB，则＝，故＝，解得：DB＝43，答：小雁塔的高度为43m．。

2020年九年级中考数学几何压轴之几何探究题(含答案)

∴ △ABD≌△ CAF(AAS)；归纳证明 :∵∠ 1=∠ 2=∠ BAC,∠1=∠BAE＋ ∠ ABE, ∠ BAC=∠ BAE＋∠ CAF,∠2=∠FCA＋∠ CAF, ∴ ∠ABE=∠ CAF,∠BAE=∠FCA, 在 △ABE 和△CAF 中,
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
2. 特例探究 :如图 ①,已知在△ABC 中,AB=BC,
∠ ABC=90°,D 为 AC 边的中点 ,连接 BD,判断△ABD 是什么三角形,并说明理由;
归纳证明 :如图 ②,已知在△ABC 中,AB=BC,∠ ABC=90°,把 Rt△DEF 的直角顶点 D 放在 AC 的
中点上,DE 交 AB 于 M,DF 交 BC 于 N,连接 BD．证明:DM=DN；
拓展应用 :在图 ②中,AC=4,其他条件都不发生变化 ,请直接写出 Rt△DEF 与△ABC 的重叠部分
的面积．
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第 2 题图
特例探究 :解:△ABD 是等腰直角三角形．
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2020 中考数学几何压轴之几何探究题（含答案）
1. 两个全等的直角三角形 ABC 和 DEF 重叠在一起,其中∠A=60°,AC=1,固定△ABC 不动,将△DEF 进行如下操作:
(1)操作发现如图①,△DEF 沿线段 AB 向右平移(即 D 点在线段 AB 内移动),连接 DC、CF、FB,四边形 CDBF 的形状在不断变化,但它的面积不变化,请求出其面积； (2)猜想论证如图②,当 D 点移到 AB 的中点时,请你猜想四边形 CDBF 的形状,并说明理由； (3)拓展研究如图③,将△DEF 的 D 点固定在 AB 的中点,然后绕 D 点按顺时针方向旋转△DEF,使 DF 落在 AB 的边上,此时 F 点恰好与 B 点重合,连接 AE,求 sinα 的值.

2020年中考数学三轮冲刺培优练解直角三角形实际应用集训题一(10题含答案)

2020年中考数学三轮冲刺培优练解直角三角形实际应用集训题一1.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：3．（参考数据：2=1.414，3=1.732）（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．2.自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）3.如图,天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米,小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走.已知山的西端的坡角是45°,东端的坡角是30°,小军的行走速度为米/秒.若小明与小军同时到达山顶C处,则小明的行走速度是多少？4.如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°．求这两座建筑物AB，CD的高度．（结果保留小数点后一位，≈1.414，≈1.732．）5.为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i=1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．6.如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为31°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是68°，求信号塔PQ的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48，tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）7.某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC=414m，AB=300m，求出点D到AB的距离．（参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）8.已知B港口位于A观测点的东北方向,且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16千米,一艘货轮从B港口以48千米/时的速度沿如图所示的BC方向航行,15分后到达C处,现测得C处位于A观测点北偏东75°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长（精确大0.1千米）（参考数据： 1.41，1.73，≈ 2.24，≈2.45）9.在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里？（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里？（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截，问B 军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？10.如图，南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处．（1）求渔船B航行的距离；（2）此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西60°方向，A渔船在点D的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注：结果保留根号）参考答案1.解：2.解：3.【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，∵∠A=45°，CD⊥AB，∴AD=CD=x米，∴AC=x．在Rt△BCD中，∵∠B=30°，∴BC===2x，∵小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，∴=，解得a=1米/秒．答：小明的行走速度是1米/秒．4.解：延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，在Rt△AED中，AE=BC=40m，∠EAD=45°，∴ED=AEtan45°=20m，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=40m，∴AB=40≈69.3m，则CD=EC﹣ED=AB﹣ED=40﹣20≈29.3m．答：这两座建筑物AB，CD的高度分别为69.3m和29.3m．5.解：6.7.解：8.解：9.解：（1）在RT△OBC中，∵BO=80，BC=60，∠OBC=90°，OC===100，∵OC=×100=50∴雷达的有效探测半径r至少为50海里．（2）作AM⊥BC于M，∵∠ACB=30°，∠CBA=60°，∴∠CAB=90°，∴AB=BC=30，在RT△ABM中，∵∠AMB=90°，AB=30，∠BAM=30°，∴BM=AB=15，AM=BM=15，∴此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为15海里．（3）假设B军舰在点N处拦截到敌舰．在BM上取一点H，使得HB=HN，设MN=x，∵∠HBN=∠HNB=15°，∴∠MHN=∠HBN+∠HNB=30°，∴HN=HB=2x，MH=x，∵BM=15，∴15=x+2x，x=30﹣15，∴AN=30﹣30，BN==15（﹣），设B军舰速度为a海里/小时，由题意≤，∴a≥20．∴B军舰速度至少为20海里/小时．10.解：。

2020中考数学高分分项突破试卷几何压轴题汇总含答案与解析

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２０２０中考高分分项突破
航航数学试卷几何压轴题汇总及答案与解析

2020年九年级数学中考三轮冲刺：《四边形综合训练》(解析版)

三轮冲刺：《四边形综合训练》1．已知四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AO．点E、F为矩形边上的两个动点，且∠EOF＝60°．（1）如图1，当点E、F分别位于AB、AD边上时，若∠OEB＝75°，求证：DF＝AE；（2）如图2，当点E、F同时位于AB边上时，若∠OFB＝75°，试说明AF与BE的数量关系；（3）如图3，当点E、F同时在AB边上运动时，将△OEF沿OE所在直线翻折至△OEP，取线段CB的中点Q．连接PQ，若AD＝2a（a＞0），则当PQ最短时，求PF之长．（1）证明：如图1中，在OD上取一点K，使得OK＝OE，连接DK．∵四边形ABCD是矩形，∴OD＝OA，∠DAB＝90°，∵AD＝AO，∴AD＝AO＝OD，∴△OAD是等边三角形，∴∠DOA＝∠EOF＝∠DAO＝∠ADO＝60°，∴∠DOK＝∠AOE，∠OAE＝90°﹣60°＝30°，∵OD＝OA，OK＝OE，∴△DOK≌△AOE（SAS），∴DK＝AE，∠ODK＝∠OAE＝30°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵∠OEB＝75°，∴∠OEB＝∠BOE＝75°，∵∠EOF＝60°，∴∠DOK＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∴∠DFO＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∠DKO＝∠ODK+∠DOK＝75°，∴∠DFK＝∠DKF＝75°，∴DF＝DK，∴DF＝AE．（2）解：结论：AF＝2BE．理由：如图2中，将△OAF绕点O逆时针旋转120°得到△OBJ，连接JE．∵∠AOB＝120°，∠EOF＝60°，∴∠BOJ+∠BOE＝∠AOF+∠BOE＝60°，∴∠EOJ＝∠EOF，∵OF＝OJ，OE＝OE，∴△EOF≌△EOJ（SAS），∴∠OEF＝∠OEJ，∵∠OFB＝75°，∠OBF＝30°，∴∠BOF＝75°，∴∠BOE＝75°﹣60°＝15°，∴∠FEO＝∠BOE+∠OBE＝45°，∴∠OEF＝∠OEJ＝45°，∴∠JEB＝∠JEF＝90°，∵∠OBJ＝∠OAF＝30°，∠OBE＝30°，∴∠EBJ＝60°，∴∠EJB＝90°﹣60°＝30°，∴BJ＝2BE，∵AF＝BJ，∴AF＝2BE．（3）解：如图3中，连接BP．由翻折可知：OE＝OP，∠EOF＝∠EOP＝60°，∴∠FOP＝∠AOB＝120°，∴∠AOF＝∠BOP，∵OA＝OB，∴△OAF≌△OBP（SAS），∴∠OBP＝∠OAF＝30°，AF＝BP，∵∠OBC＝60°，∴∠PBC＝30°，如图3﹣1中，当QP⊥PB时，PQ的值最小，作FH⊥OA于H，OM⊥PF于M．在Rt△PQB中，∵∠QPB＝90°，∠PBQ＝30°，BQ＝BC＝AD＝a，∴PB＝AF＝BQ•cos30°＝a，在Rt△AFH中，则有AH＝AF•cos30°＝a，FH＝AF＝a，∴OH＝OA﹣AH＝2a﹣a＝a，∴OF＝＝＝a，∵OF＝OP，OM⊥PF，∴FM＝MP＝OF•cos30°＝a，∴FP＝2FM＝a．2．如图，点E在矩形ABCD对角线AC上由A向C运动，且BC＝2，∠ACB＝30°，连结EF，过点E作EF⊥DE，交BC于点F（当点F与点C重合时，点E也停止运动）（1）如图1，当AC平分角∠DEF时，求AE的长度；（2）如图2，连结DF，与AC交于点G，若DF⊥AC时，求四边形DEFC的面积；（3）若点E分AC为1：2两部分时，求BF：FC．解：（1）如图1中，作DM⊥AC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝CD，AD＝BC＝2，∵∠ACB＝30°，∴AB＝CD＝BC•tan30°＝2，AC＝2AB＝4，在Rt△CDM中，∵∠CMD＝90°，∠DCM＝60°，CD＝2，∴∠CDM＝30°，∴CM＝CD＝1，DM＝CM＝，∵∠DEF＝90°，EM平分∠DEF，∴∠DEM＝∠DEF＝45°，∴EM＝DM＝，∴AE＝AC﹣EM﹣CM＝3﹣．（2）如图2中，∵DF⊥AC，∴∠DGC＝90°，在Rt△CDG中，∵CD＝2，∠DCG＝60°，∴∠CDG＝30°，∴CG＝CD＝1，DG＝，∴FG＝CG•tan30°＝，∵∠FEG+∠DEG＝90°，∠EDG+∠DEG＝90°，∴∠FEG＝∠EDG，∵∠EGF＝∠DGE＝90°，∴△EGF∽△DGE，∴＝，∴＝，∴EG＝1，∴S＝•DF•CE＝×2×＝．四边形DEFC（3）①如图1﹣1中，若AE：CE＝1：2，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N．∵AB＝CD＝2，AC＝4，AE：EC＝1：2，∴AE＝，EC＝，在Rt△CEN中，∵∠ECN＝30°∴CN＝EC＝，EN＝CN＝，∴DN＝2﹣＝，在Rt△CEM中，∵∠ECM＝30°，∴EM＝EC＝，CM＝EM＝，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝∠NEM＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠END＝∠EMF＝90°，∴△END∽△EMF，∴＝，可得MF＝，∴CF＝CM﹣MF＝，BF＝2﹣CF＝，∴BF：CF＝4：5．②若AE：CF＝2：1时，同法可得BF：CF＝8：1．综上所述，BF：CF＝4：5或BF：CF＝8：1．3．已知在平行四边形ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数．（2）如图2，在（1）的条件下，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，连结AF，若AB＝4cm，求△APF的面积．（3）如图3，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DPC＝∠PCB，∵CP平分∠BCD，∴∠PCD＝∠PCB，∴∠DPC＝∠DCP，∴DP＝DC，∵CD＝CP，∴PC＝CD＝PD，∴△PDC是等边三角形，∴∠D＝∠B＝60°；（2）作CH⊥AD于H，则DH＝PD＝CD＝2，由勾股定理得，CH＝＝＝2，∴S△PCD＝×4×2＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD，∴S△PBC ＝S△FAB＝S平行四边形ABCD，∴S△ABP +S△PCD＝S平行四边形ABCD，∴S△APF +S△ABP＝S△ABP+S△PCD，∴S△APF ＝S△PCD＝4（cm2）；（3）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴PD∥BC．要使四边形PDQB是平行四边形，则PD＝BQ，设运动时间为t秒，①当0＜t≤3时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝6﹣2t，∴6﹣0.5t＝6﹣2t，解得t＝0，不合题意，舍去；②当3＜t≤6时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣6，∴6﹣0.5t＝2t﹣6，解得，t＝4.8；③当6＜t≤9时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝18﹣2t，∴6﹣0.5t＝18﹣2t，解得，t＝8；④当9＜t≤12时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣18，∴6﹣0.5t＝2t﹣18，解得，t＝9.6；综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．4．实践与探究在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H．①求证：△ADB≌△AOB；②求点H的坐标．解：（1）∵A（5，0），B（0，3），∴OA＝5，OB＝3，∵四边形AOBC是矩形，∴OB＝AC＝3，OA＝BC＝5，∠C＝90°，∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到的，∴AD＝OA＝5，在Rt△ACD中，CD＝＝＝4，∴BD＝5﹣4＝1，∴D（1，3）；（2）①由旋转可知，OA＝DA，∠AOB＝∠ADE＝90°，∴∠AOB＝∠ADB＝90°，在Rt△AOB与Rt△ADB中，，∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）；②∵△ADB≌△AOB，∴BD＝BO＝AC，在△BDH与△ACH中，，∴△BDH≌△ACH（AAS），∴DH＝CH，∵DH+AH＝AD＝5，∴CH+AH＝5，设CH＝x，则AH＝5﹣x，在Rt△ACH中，（5﹣x）2＝x2+32，解得，x＝，∴BH＝5﹣＝，∴点H的坐标为（，3）．5．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足+|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动．（1）a＝ 4 ，b＝ 6 ，点B的坐标为（4，6）；（2）当点P移动3.5秒时，求出点P的坐标；（3）在移动过程中，若点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间．解：（1）由题意得，a﹣4＝0，b﹣6＝0，解得，a＝4，b＝6，∴OA＝4，OB＝6，∵四边形OABC为长方形，∴点B的坐标为（4，6），故答案为：4；6；（4，6）；（2）∵点P的速度是每秒2个单位长度，∴点P移动3.5秒时，移动的距离为：3.5×2＝7，则CP＝7﹣6＝1，∴点P的坐标（1，6）；（3）当点P在OC上时，移动的时间为：4÷2＝2（秒），当点P在BA上时，移动的时间为：（6+4+6﹣4）÷2＝6（秒），综上所述，点P到x轴的距离为4个单位长度时，点P移动的时间为2秒或6秒．6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为长方形，A（10，0），C（0，4），D是OA的中点，点P在线段BC上运动．（1）B的坐标为（10，4）；（2）当∠POD＝30°时，求CP的长；（3）当△DPO是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标．解：（1）∵四边形OABC是长方形，∴AB＝OC，BC＝OA，∠BAO＝90°∵A（10，0），C（0，4），∴OA＝BC＝10，OC＝AB＝4，∴B（10，4），故答案为（10，4）．（2）如图1中，∵∠POD＝30°，∠COA＝90°，∴∠COP＝90°﹣30°＝60°，∴PC＝OC•tan60°＝4．（3）①OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP＝PD ≠5；②OD是等腰三角形的一条腰时：若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，在直角△OPC中，CP＝＝＝3，则P的坐标是（3，4）；若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，过D作DM⊥BC于点M，在直角△PDM中，PM＝═＝3，当P在M的左边时，CP＝CM﹣PM＝5﹣3＝2，则P的坐标是（2，4）；当P在M的右侧时，CP＝CM+PM＝5+3＝8，则P的坐标是（8，4）．所以满足条件的点P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．7．如图1，长方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，B点坐标是（8，4），将△AOC 沿对角线AC翻折得△ADC，AD与BC相交于点E．（1）求证：△CDE≌△ABE（2）求E点坐标；（3）如图2，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C→O运动（到点O停止），是否存在点P，使得△POA的面积等于△ACE的面积，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，说明理由．解：（1）证明：∵四边形OABC为矩形，∴AB＝OC，∠B＝∠AOC＝90°，∴CD＝OC＝AB，∠D＝∠AOC＝∠B，又∠CED＝∠ABE，∴△CDE≌△ABE（AAS），∴CE＝AE；（2）∵B（8，4），即AB＝4，BC＝8．∴设CE＝AE＝n，则BE＝8﹣n，可得（8﹣n）2+42＝n2，解得：n＝5，∴E（5，4）；＝•CE•AB＝×5×4＝10，（3）∵S△ACE＝•OA•y P＝10，∴S△POA∴×8×y P＝10，∴y P＝，∴满足条件的点P的坐标为（8，）或（0，）．8．【问题探究】小敏在学习了Rt△ABC的性质定理后，继续进行研究．（1）（i）她发现图①中，如果∠A＝30°，BC与AB存在特殊的数量关系是BC＝AB；（ii）她将△ABC沿AC所在的直线翻折得△AHC，如图②，此时她证明了BC和AB的关系；请根据小敏证明的思路，补全探究的证明过程；猜想：如果∠A＝30°，BC与AB存在特殊的数量关系是BC＝AB；证明：△ABC沿AC所在的直线翻折得△AHC，（2）如图③，点E、F分别在四边形ABCD的边BC、CD上，且∠B＝∠D＝90°，连接AE、AF、EF，将△ABE、△ADF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形，连接AC，若∠EAF＝30°，AB2＝27，则△CEF的周长为 6 ．解：（1）（i）BC＝AB，理由如下：在AB上截取BD＝BC，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，且BD＝BC，∴△BCD是等边三角形，∴CD＝BD，∠BDC＝∠BCD＝60°，∴∠ACD＝30°＝∠A，∴AD＝CD，∴BD＝AD＝BC，∴BC＝AB；（ii）∵将△ABC沿AC所在的直线翻折得△AHC，∴△ABC≌△AHC，∴AB＝AH，∠BAC＝∠HAC＝30°，BC＝CH，∴∠BAH＝60°，且AB＝AH，∴△ABH是等边三角形，∴AB＝BH，∴BC＝BH＝AB；（2）∵将△ABE、△ADF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形，∴AB＝AD，BE+DF＝EF，∠BAD＝2∠EAF＝60°，∵AB＝AD，AC＝AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝CD，∵AB2＝27，∴AB＝3，∵tan∠BAC＝，∴BC＝3＝CD，∴△CEF的周长＝EC+CF+EF＝EC+CF+BE+DF＝BC+CD＝6．故答案为：6．9．在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，P是CD边上一点，连结PA，分别过点B，D 作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分别为点E，F，如图①（1）求证：BE＝DF+EF；（2）若点P在DC的延长线上，如图②，上述结论还成立吗？如果成立请写出证明过程；如果不成立，请写出正确结论并加以证明．（3）若点P在CD的延长线上，如图③，那么这三条线段的数量关系是EF＝BE+DF．（直接写出结果）（1）证明：∵BE⊥PA，DF⊥PA，∴∠BEA＝∠AFD＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE+∠DAF＝90°，又∵∠AFD＝90°，∴∠ADF+∠DAF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（AAS），∴BE＝AF，AE＝DF，∵AF＝AE+EF，∴BE＝DF+EF；（2）解：上述结论不成立，正确结论为：DF＝EF+BE；理由如下：∵BE⊥PA，DF⊥PA，∴∠BEA＝∠AFD＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠DAF＝90°，又∵∠AFD＝90°，∴∠ADF+∠DAF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（AAS），∴BE＝AF，AE＝DF，∵AE＝AF+EF，∴DF＝BE+EF．（3）解：EF＝BE+DF．理由如下：∵BE⊥PA，DF⊥PA，∴∠BEA＝∠AFD＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE+∠DAF＝90°，又∵∠AFD＝90°，∴∠ADF+∠DAF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（AAS），∴BE＝AF，AE＝DF，∵EF＝AF+AE，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．10．已知A（a，0），B（0，b），且a、b满足．（1）填空：a＝﹣3 ，b＝ 3 ；（2）如图1，将△AOB沿x轴翻折得△AOC，D为线段AB上一动点，OE⊥OD交AC于点E，求S．四边形ODAE（3）如图2，D为AB上一点，过点B作BF⊥OD于点G，交x轴于点F，点H为x轴正半轴上一点，∠BFO＝∠DHO，求证：AF＝OH．（1）解：∵，∴a+3＝0，且a+b＝0，∴a＝﹣3，b＝3，故答案为：﹣3，3；（2）解：∵A（a，0），B（0，b），∴A（﹣3，0），B（0，3），∴OA ＝OB ＝3，∵OD ⊥OE ，∴∠AOB ＝∠DOE ＝90°，∴∠AOE ＝∠BOD ，∵△AOB 沿x 轴翻折得△AOC ，∴OA ＝OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝90°，∴∠OBD ＝∠OAE ＝45°，在△OBD 和△OAE 中，，∴△OBD ≌△OAE （ASA ），∴S △AOE ＝S △OBD ，∴S 四边形ODAE ＝S △AOB ＝×OA ×OB ＝×3×3＝；（3）证明：过点O 作OP 平分∠AOB 交BF 于P ，如图2所示：∵OP 平分∠AOB ，∴∠AOP ＝∠BOP ＝45°，∵OB ＝OA ，∴△OAB 是等腰直角三角形，∴∠OAD ＝45°，∴∠BOP ＝∠OAD ，∵BG ⊥OD ，∴∠OBP +∠BOG ＝90°，∵∠AOD +∠BOG ＝90°，∴∠OBP ＝∠AOD ，在△BOP 和△OAD 中，， ∴△BOP ≌△OAD （ASA ），∴OP ＝AD ，在△PFO 和△DHA 中，，∴△PFO≌△DHA（AAS），∴OF＝AH，∴AF＝OH．11．在正方形ABCD和正方形AEFG中，点B在边AG上，点D在线段EA的延长线上，连接BE．（1）如图1，求证：DG⊥BE；（2）如图2，将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，使点B恰好落在线段DG上．①求证：DG⊥BE；②若AB＝2，AG＝3，求线段BE的长．（1）证明：延长EB，交DG于H，如图1所示：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AD＝AB，AG＝AE，∠DAG＝∠BAE＝90°，在△DAG和△BAE中，∴△DAG≌△BAE（SAS）∴∠DGA＝∠BEA，又∵∠DGA+∠GDA＝90°，∴∠BEA+∠GDA＝90°，∴∠DHE＝90°，∴DG⊥BE；（2）①证明：设AG交BE于N，如图2所示：由旋转的性质得：∠BAD＝90°，AB＝AD，∵∠BAD＝90°，∠GAE＝90°，∴∠BAD+∠BAG＝∠GAE+∠BAG，即∠DAG＝∠BAE，在△DAG和△BAE中，，∴△DAG≌△BAE（SAS），∴∠AGD＝∠AEB，又∵∠BNG＝∠ANE，∴∠GBE＝∠GAE＝90°，∴DG⊥BE；②解：如图3，连接AC，交DG于点M，∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，∴AC⊥BD，AD＝AB＝2，且△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝DM＝AD＝，在Rt△AMG中，，∴，由①知，△DAG≌△BAE，∴．12．如图1矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动，点Q从点B以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，如果P、Q同时出发，设运动时间为ts．（1）当t＝2时，求△PBQ的面积；（2）当t为何值时，△DPQ是以PQ为底的等腰三角形；（3）当运动3s时，P点停止运动，Q点以原速立即向B点返回，在返回的过程中，DP 是否能平分∠ADQ？若能，求出点Q运动的时间；若不能，请说明理由．解：（1）∵当t＝2时，AP＝t＝2，BQ＝t＝2，∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4，∴△PBQ的面积＝×2×4＝4；（2）∵△DPQ是以PQ为底的等腰三角形，∴DP＝DQ，∴DP2＝DQ2，∴AP2+AD2＝DC2+CQ2，∴144+t2＝36+（12﹣t）2，∴t＝，∴当t＝时，△DPQ是以PQ为底的等腰三角形；（3）如图，过点P作PE⊥DQ于点E，连接PQ，∵DP平分∠ADQ，∴∠ADP＝∠QDP，且∠A＝∠DEP＝90°，DP＝DP，∴△ADP≌△EDP（AAS）∴AP＝PE，AD＝DE＝12cm，∵点P运动3s，∴AP＝3cm，∴PB＝AB﹣AP＝3cm＝PE，且PQ＝PQ，∴Rt△PQE≌Rt△PQB（HL）∴BQ＝EQ，∵DQ2＝DC2+CQ2，∴（12+BQ）2＝36+（12﹣BQ）2，∴BQ＝，∴t＝3+＝．13．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，则BE，EF，DF之间的数量关系是EF＝BE+DF．（2）如图2，若E，F分别是边BC，CD延长线上的点，其他条件不变，则BE，EF，DF 之间的数量关系是什么？请说明理由．（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动命令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观察到舰艇甲、乙分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O连线的夹角∠EOF＝70°，试求此时两舰艇之间的距离．解：（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，如图1所示：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF，故答案为：EF＝BE+DF；（2）BE，EF，DF之间的数量关系是：EF＝BE﹣DF；理由如下：在CB上截取BM＝DF，连接AM，如图2所示：∵∠B+∠D＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，∴∠BAD＝∠MAF，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠MAF＝2∠EAF，∴∠MAE＝∠EAF，在△FAE和△MAE中，，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴EF＝EM＝BE﹣BM＝BE﹣DF，即EF＝BE﹣DF；（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，如图3所示：∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝∠AOB，∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合（1）中的条件，即结论EF＝AE+BF成立，∴EF＝1.5×（60+80）＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．14．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ADC＝90°，AD∥BC．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）如图，点E在BC上，连接AE，以AE为斜边作等腰Rt△AEF，点F在正方形ABCD 的内部，连接DF，求证：DF平分∠ADC；（3）在（2）的条件下，延长EF交CD的延长线于点H，延长DF交AE于点M，连接CM 交EF于点N，过点E作EG∥AF交DC的延长线于点G，若∠BGE+2∠FEC＝135°，DH＝1，求线段MN的长．解：（1）∵AD∥BC，BC＝AD∴四边形ABCD是平行四边形∵∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形∵AB＝BC∴矩形ABCD是正方形；（2）如图2，过点F作RT⊥AD于R，交BC于T，作FK⊥CD于K，则∠ARF＝∠DRF＝∠DKF＝∠CKF＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°，AD＝CD∴∠ETF＝∠CTF＝90°∴四边形DRFK和四边形CKFT是矩形，∴CK＝FT∵△AEF是以AE为斜边的等腰直角三角形，∴∠AFE＝90°，AF＝FE∴∠AFR+∠EFT＝∠AFR+∠FAR＝90°∴∠EFT＝∠FAR∴△AFR≌△FET（AAS）∴AR＝ET＝CK∴AD﹣AR＝CD﹣CK即DR＝DK∴矩形DRFK是正方形∴DF平分∠ADC；（3）如图3中，在AB上取一点K，连接KE，使得∠KEB＝∠FEC，作FT⊥BC于T，MP⊥AB于P，MW⊥BC于W，NR⊥BC于R，连接CF，延长BC到J，使得BE＝CJ，连接GJ．由（2）可知，B，D，F共线，∵∠AEF＝45°，∠KEB＝∠FEC，∴2∠FEC+∠AEK＝135°，∵2∠FEC+∠BGE＝135°，∴∠AEK＝∠BGE，∵AF∥EG，∴∠AFE＝∠FEG＝90°，∴∠GEC+∠FEC＝90°，∵∠KEB+∠BKE＝90°，∴∠CEG＝∠KEB，∵∠BKE＝∠KAE+∠KEA，∠CEG＝∠BGE+∠CBG，∴∠CBG＝∠BAE，∵BA＝BC，∠ABE＝∠BCG，∴△ABE≌△BCG（ASA），∴BE＝CG＝CJ，∵∠GCJ＝90°，∴∠J＝∠ADF＝45°，∵AD∥EJ，AF∥EG，∴∠DAF＝∠JEG，∵BE＝CJ，∴EJ＝BC＝AD，∴△DAF≌△JEG（ASA），∴AF＝EG＝EF，∵FT⊥EC，∴∠ETF＝∠ECG＝90°，∴∠FET+∠CEG＝90°，∠CEG+∠CGE＝90°，∴∠FET＝∠CGE，∴△FTE≌△ECG（AAS），∴ET＝CG，FT＝EC，∵AD＝DC，∠ADF＝∠CDF，DF＝DF，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴AF＝FC，∵FT⊥EC，∴ET＝TC＝CG＝BE，∴tan∠FET＝＝2，∵∠HSD＝∠HEC，∴tan∠HSD＝＝2，∵DH＝1，∴DS＝，∵SD∥BE，\∴＝＝＝2，∴BE＝1，∴BE＝ET＝TC＝1，∴AB＝BC＝3，∴AE＝＝＝，∵＝＝3，∴AM＝，EM＝，∵MP⊥AB，MW⊥BC，则四边形BWMP是正方形，BP＝MP＝MW＝BW＝，∴CW＝BC﹣BW＝，∴tan∠MCW＝＝，∵tan∠NER＝＝2，可以假设ER＝m，NR＝2m，∵tan∠NCR＝＝，∴CR＝6m，∴EC＝7m＝2，∴m＝，∵CM＝＝＝，CN＝＝＝，∴MN＝CM﹣CN＝﹣＝．15．平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，b），C（0，c），且满足：+（2b﹣a﹣c）2+|b﹣c|＝0，E、D分别为x轴和y轴上动点，满足∠DBE＝45°．（1）求A、B、C三点坐标；（2）如图1，若D为线段OC中点，求E点坐标；（3）当E，D在x轴和y轴上运动时，试探究CD、DE和AE之间的关系．解：（1）∵+（2b﹣a﹣c）2+|b﹣c|＝0，∴a＝4，b＝c，2b﹣a﹣c＝0，∴b＝4，c＝4，∴点A（4，0），点B（4，4），点C（0，4）；（2）如图1，将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAH，∵点A（4，0），点B（4，4），点C（0，4），∴OA＝OC＝BC＝AB＝4，∵D为线段OC中点，∴CD＝DO＝2，∵将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAH，∴△BCD≌△BAH，∴BD＝BH，∠CBD＝∠HBA，CD＝AH＝2，∵∠DBE＝45°，∴∠CBD+∠EBA＝45°，∴∠EBA+∠ABH＝45°＝∠HBE＝∠DBE，且BD＝BH，BE＝BE，∴△DBE≌△HBE（SAS）∴DE＝EH，∵OH＝OA+AH＝4+2＝6，∴DE＝EH＝6﹣OE，∵DE2＝OD2+OE2，∴（6﹣OE）2＝4+OE2，∴OE＝，∴点E坐标为（，0）；（3）如图1，若点E在x轴正半轴，点D在y轴正半轴上，由（2）可知：DE＝EH，AH＝CD，∴DE＝AE+AH＝AE+CD，如图2，点E在x轴负半轴，点D在y轴正半轴，将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAH，∴△BCD≌△BAH，∠DBH＝90°，∴BD＝BH，∠CBD＝∠HBA，CD＝AH，∵∠DBE＝45°，∴∠DBE＝45°＝∠HBE，且BD＝BH，BE＝BE，∴△DBE≌△HBE（SAS）∴DE＝EH，∴AE＝AH+EH＝CD+DE；如图3，点E在x轴正半轴，点D在y轴负半轴，将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAH，∴△BCD≌△BAH，∠DBH＝90°，∴BD＝BH，∠CBD＝∠HBA，CD＝AH，∵∠DBE＝45°，∴∠DBE＝45°＝∠HBE，且BD＝BH，BE＝BE，∴△DBE≌△HBE（SAS）∴DE＝EH，∴CD＝AH＝AE+EH＝AE+DE．16．如1，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，E为AD上一点且AE＝6，连接BE．（1）将△ABE绕点B逆时针旋转90°至△ABF（如图2），且A、B、C三点共线，再将△ABF沿射线BC方向平移，平移速度为每秒1个单位长度，平移时间为t（s）（t≥0），当点A与点C重合时运动停止．①在平移过程中，当点F与点E重合时，t＝12 （s）．②在平移过程中，△ABF与四边形BCDE重叠部分面积记为S，求s与t的关系式．（2）如图3，点M为直线BE上一点，直线BC上有一个动点P，连接DM、PM、DP，且EM ＝5，试问：是否存在点P，使得△DMP为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段BP的长；若不存在，请说明理由．解：（1）①如图1中，连接EF，作BH⊥EF，∵BE＝BF，∠FBE＝90°，BH⊥EF，∴EH＝FH＝BH＝6，∴EF＝16，∴t＝12时，点F与点E重合，故答案为12．②如图2﹣1中，当0≤t ≤6时，重叠部分是△BMB ′，S ＝t 2．如图2﹣2中，当6＜t ≤10时，重叠部分是四边形AMNB ′，S ＝S △BNB ′﹣S △ABM ＝t 2﹣（t ﹣6）2＝﹣t 2+6t ﹣18．如图2﹣3中，当10＜t ≤12时，重叠部分是五边形AMNHC ，S ＝S △BNB ′﹣S △ABM ﹣S △HCB ′＝t 2﹣（t ﹣6）2﹣（t ﹣10）2＝﹣t 2+16t ﹣68．如图2﹣4中，当12＜t ≤16时，重叠部分是四边形AEHC ，S ＝×6×6﹣（t ﹣10）2＝﹣t 2+10t ﹣32综上所述，S＝．（2）如图3中，总MH⊥AD于H，交BC于G．∵AB＝AE＝6，∠A＝90°，∴BE＝6，∵EM＝5，∴BM＝，∴BG＝MG＝AH＝1，HM＝HE＝5，DH＝AD﹣AH＝9，∴DM＝＝＝，当DM＝DP时，可得CP1＝CP2＝＝＝，∴BP1＝10﹣，BP2＝10+．当MD＝MP时，可得GP3＝GP4＝＝＝，∴BP3＝﹣1，BP4＝+1，当PM＝PD时，设GP＝x，则＝，5解得x＝，＝1+＝．∴BP517．在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD．（1）如图1，连接AC，求证：AB∥CD；（2）如图2，在CB的延长线上取一点M，连接DM，在DM上取一点L，连接BL，当∠CBL ＝2∠M时，求证：LB＝MB；（3）如图3，在（2）条件下，CE平分∠ACB交DM于E点，连接AE，当AE⊥CE，BL＝8时，求AC的长．解：（1）证明：在△ADC与△CBA中，，∴△ADC≌△CBA（SSS），∴∠ACD＝∠BAC，∴AB∥CD；（2）∵∠CBL＝∠M+∠BLM，∠CBL＝2∠M，∴∠M+∠BLM＝2∠M，∴∠M＝∠BLM，∴BM＝BL；（3）延长AE交CM于H，∵CE平分∠ACB交DM于E点，∴∠ACE＝∠HCE，∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠HEC＝90°，在△ACE与△HCE中，，∴△ACE≌△CHE（ASA），∴AE＝EH，AC＝CH，∵AD∥CM，∴∠ADE＝∠M，在△ADE与△HME中，，∴△ADE≌△HME（AAS），∴AD＝HM，∵AD＝BC，∴HM＝BC，∴CH＝BM，∵BL＝8，∴CH＝BM＝8，∴AC＝CH＝8．18．阅读下面的例题及点拨，补全解题过程（完成点拨部分的填空），并解决问题：例题：如图1，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°点拨：如图2，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连结EM，易证△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠ 3 ＝∠ 4 ；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠ 5 ．又因为∠2+∠6＝120，所以∠5+∠6＝120°，所以∠AMN＝60°．问题：如图3，四边形ABCD的四条边都相等，四个角都等于90°，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是四边形ABCD的外角∠DCH的平分线上一点，且AM＝MN．求∠AMN的度数．解：点拨：如图2，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连结EM，易证△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5．又因为∠2+∠6＝120，所以∠5+∠6＝120°，所以∠AMN＝60°．问题：延长AB至E，使EB＝AB，连接EMC、EC，如图所示：则EB＝BC，∠EBM中＝90°＝∠ABM，∴△EBC是等腰直角三角形，∴∠BEC＝∠BCE＝45°，∵N是正方形ABCD的外角∠DCH的平分线上一点，∴∠MCN＝90°+45°＝135°，∴∠BCE+∠MCN＝180°，∴E 、C 、N ，三点共线，在△ABM 和△EBM 中，，∴△ABM ≌△EBM （SAS ），∴AM ＝EM ，∠1＝∠2，∵AM ＝MN ，∴EM ＝MN ，∴∠3＝∠4，∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°，∴∠1＝∠2＝∠5，∵∠1+∠6＝90°，∴∠5+∠6＝90°，∴∠AMN ＝180°﹣90°＝90°．故答案为：SAS ，3，4，5．19．著名的恩施大峡谷（A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB ＝50km ，A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和S 1＝PA +PB ，图2是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A '，连接BA ′交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和S 2＝PA +PB（1）S 1＝（40+10） km ．S 2＝ 10km ．（2）PA +PB 的最小值为 10km ．（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B 到直线的距为30km ，请你在X 旁和P 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小，（用尺画出点P和点Q的位置）这个最小值为（50+50）km．解：（1）如图1中，过B作BC⊥X于C，AD⊥BC于D，则CP＝AD，则BC＝40km，又∵AP＝10，∴BD＝BC﹣CD＝40﹣10＝30km．在△ABD中，AD＝＝40（km），∴CP＝40km，在Rt△PBC中，BP＝＝＝40（km），＝40+10（km）．∴S1如图2﹣1中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C＝50km，又∵BC＝40km，∴BA'＝＝10（km），由轴对称知：PA＝PA'，＝BA'＝10km，∴S2故答案为：（40+10），10；（2）在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，如图2﹣2所示：由轴对称知MA＝MA'，∴MB+MA＝MB+MA'＞A'B，＝BA'＝10km为最小，∴S2即PA+PB的最小值为10km；故答案为：10；（3）过A作关于x轴的对称点A'，过B作关y轴的对称点B'，连接A'B'，交x轴于点P，交y轴于点Q，如图3所示：则P，Q即为所求．过A'、B'分别作x轴、y轴的平行线交于点G，B′G＝40+10＝50km，A′G＝30+30+40＝100km，A'B'＝＝50（km），∴AB+AP+BQ+QP＝AB+A′P+PQ+B′Q＝50+50km，∴所求四边形的周长为（50+50）km；故答案为：（50+50）．20．（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边，BC，CD上，∠EAF＝45°，求证：EF ＝BE+FD．（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF＝BE+FD，说明理由．（3）如图3，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF ⊥CD交CD延长线于F，若BC＝8，CD＝3，则CE＝．（1）证明：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，如图1所示：则△ADG≌△ABE，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，又∵∠EAF＝45°，即∠DAF+∠BEA＝∠EAF＝45°，∴∠GAF＝∠FAE，在△GAF和△FAE中，，∴△AFG≌△AFE（SAS）．∴GF＝EF．又∵DG＝BE，∴GF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF；（2）解：∠BAD＝2∠EAF．理由如下：如图2所示，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，∴∠D＝∠ABM，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS）∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，在△FAE和△MAE中，，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，即EF＝BE+DF；（3）解：∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，AE＝AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，同理：Rt△ACE≌Rt△ACF，∴CE＝CF，∴BC+CD＝BE+CE+CF﹣DF＝2CE，∵BC＝8，CD＝3，∴CE＝，故答案为：．。

2020年九年级数学中考压轴专题：几何相关的实际应用(含答案)

2020年九年级数学中考压轴专题：几何相关的实际应用（含答案）1.如图①是写毛笔字时用于搁字帖的架子，方便临帖．当支架按如图①所示的方式放置时，人的视觉感受最舒服．如图①经测量，AB＝BC＝2，①ABC＝36°，AD平分①BAC交BC于点D，则线段CD的长为__ ___．第1题图2.如图，书桌上的一种新型台历由一块主板AB、一个架板AC和环扣(不计宽度，记为点A)组成，其侧面示意图为①ABC，已知AC①BC，AB＝5 cm，AC＝4 cm，现为了书写记事方便，需调整台历的摆放，将点C移动到点C′，此时①C′＝30°，则移动的距离CC′的长度约为________cm.(结果取整数，其中3≈1.732，21≈4.583)第2题图53.近年来由于旅游行业的带动，拉杆箱等物品的销售稳步提升．一款拉杆箱使用时的截面示意图如图所示，EC⊥CD，AG⊥地面MG，BF⊥AG于点F，CE与①O 相切于点E，DE①MG，已知AB＝41 cm，BC＝50 cm，AF＝40 cm，CD＝4.32 cm，EM为①O的直径且EM＝8 cm，则点A到地面的距离AG＝cm.第3题图100.84.小明家为响应“全民健身”的号召，周末和家人一起去某百货商场购买了一台跑步机，爱动脑筋的小明想用刚刚学过的三角函数的有关知识求跑步机踏板的长度. 图①、①分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知跑步机手柄的一端A距地面的高度约为1.1 m，踏板CD与地面的夹角①CDE为12°，支架AC长为0.8 m，①ACD为80°，则跑步机踏板CD的长度约为m．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin12°＝cos78°≈0.21，sin68°＝cos22°≈0.93，tan68°≈2.48)第4题图5.如图①是一张创意电脑桌，图①是其平面示意图，已知以A、E、F、H为顶点的矩形，点C、D在AE上，点G在HF上，测得AC=CD=2DE，DE=4GF，3AB=CB=31.2 cm，AH=50 cm，①BAH=40°，则GH的长的为cm（精确到0.1.参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）.第5题图第5题解图GH=HF－GF≈100.3－15.0=85.3 cm.6.将一盒足量的牛奶按如图①所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入．图①是它的平面示意图，AP＝6 cm.请根据图中的信息，则容器中牛奶的高度为cm．(结果精确到0.1 cm.参考数据：3≈1.73，2≈1.41)第6题解图第6题图7.如图①是一张矩形台球桌，图①是台球桌的平面图，其中A、B、C、D、M、N处分别有球洞，已知DE＝4，CE＝2，BC＝63，球从E点出发，与DC夹角为α，经过BC、AB、AD三次反弹后回到E点，则EF＝__________．(结果精确到1，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)第7题图48.如图，工人用砂轮(①O)磨一把刀，在接触的一刹那(点A处)，擦出的火花AB是沿着砂轮的切线方向飞出的，若直径AC＝2，AB＝AC，那么»AD的长为．第8题图9.炎热的夏季，学校为了缓解学生中暑，为每间教室都安装了一个圆柱形饮水桶(如图①)．如图①是圆柱形饮水桶的支架，若不计木条的厚度，其俯视图如图①.已知AD垂直平分CB，AD＝BC＝36 cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是________cm.第9题图22.510.如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车中心O到桌面的距离OE为25cm，小小风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知圆0的半径为10cm.在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长为cm（结果保留π）.第9题解图。

湖北省武汉市2020年九年级数学中考提升冲刺训练(一)(含答案)

湖北省武汉市2020年九年级数学中考提升冲刺训练（一）姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题1．实数4的相反数是（）A．﹣B．﹣4 C．D．42．二次根式在实数范围内有意义，则x应满足的条件是（）A．x≥5 B．x≤5 C．x＞5 D．x＜53．下列语句描述的事件中，是随机事件的为（）A．心想事成B．只手遮天C．瓜熟蒂落D．水能载舟亦能覆舟4．中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，则从正面观察该几何体，得到的形状图是（）A．B．C．D．6．周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是（）A．小丽在便利店时间为15分钟B．公园离小丽家的距离为2000米C．小丽从家到达公园共用时间20分钟D．小丽从家到便利店的平均速度为100米/分钟7．甲、乙两人玩游戏：从1，2，3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a和c，若关于x的一元二次方程ax2+3x+c＝0有实数根，则甲获胜，否则乙获胜，则甲获胜的概率为（）A．B．C．D．与8．如图是二次函数，反比例函数在同一直角坐标系的图象，若y1 y交于点A（4，y A），则下列命题中，假命题是（）2A．当x＞4时，y1＞y2B．当x＜﹣1时，y1＞y2C．当y1＜y2时，0＜x＜4 D．当y1＞y2时，x＜09．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．P是BC边上一动点，以PC为直径作⊙O，连结AP交⊙O于点Q，连结BQ，点P从点B出发，沿BC方向运动，当点P到达点C时，点P停止运动．在整个运动过程中，线段BQ的大小变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大10．观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（）A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题11．已知a＜3，则＝．12．当前，新冠状性肺炎疫情已波及全世界200多个国家和地区．截止2020年5月12日14：00，全球确诊人数累计已达4175216人．如表是各大洲的确诊人数，则这组数据的中位数是．地区亚洲欧洲非洲大洋洲北美洲南美洲其他现有确诊（人）279660 823853 40950 1300 1101631 190967 48 13．已知+＝3，则代数式的值为．14．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC．若AB＝12，AC＝10，则BD的长为．15．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如表x…﹣1 0 1 2 3 …y…﹣3 ﹣3 ﹣1 3 9 …关于x的方程ax2+bx+c＝0一个负数解x1满足k＜x1＜k+1（k为整数），则k＝．16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B顺时针旋转90°至△EBD，连接DC 并延长交AE于点F，若CF＝1，CD＝2，则AE的长为．三．解答题17．（1）计算：；（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值．18．已知，如图，BCE、AFE是直线AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：∠D＝∠DCE．19．为了解“停课不停学”过程中学生对网课内容的喜爱程度，某校开展了一次网上问卷调查．随机抽取部分学生，按四个类别统计，其中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C 表示“一般”，D表示“不喜欢”，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解决下列问题：（1）这次共抽取名学生进行统计调查，扇形统计图中D类所在扇形的圆心角度数为；（2）将条形统计图补充完整；（3）若该校共有3000名学生，估计该校表示“喜欢”的B类学生大约有多少人？20．如图，所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上．（1）在格点上找一点D并连接线段CD，使得CD∥AB．（2）标上线段AC上的另一格点G，连接BG，则BG与AC的位置关系是．（3）线段的长度是点B到直线AC的距离；线段BC的长度是的距离；因为直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，，所以线段BC、BG的大小关系为：BC BG．（填“＞”或“＜”）21．如图，在⊙O中，AB是直径且AB＝2，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：CB是∠ECP的平分线；（2）求证：CF＝CE；（3）当＝时，求扇形OBC的面积（结果保留π）．22．如图1，皮皮小朋友燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2 秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径、爆炸时的高度均相同．皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间的函数图象如图2所示．（1）求皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）的函数表达式．（2）第一发花弹发射3秒后，第二发花弹达到的高度为多少米？（3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于16米．皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，请通过计算说明花弹的爆炸高度是否符合安全要求？23．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝18，DB＝DC＝15，点E、F分别在线段BD、CD上，DE＝DF＝5．AE的延长线交边BC于点G，AF交BD于点N、其延长线交BC的延长线于点H．（1）求证：BG＝CH；（2）设AD＝x，△ADN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FG，当△HFG与△ADN相似时，求AD的长．24．如图已知直线y＝x+与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点C（0，﹣），交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求△PAB的面积及点P的坐标；（3）若点Q为x轴上一动点，点N在抛物线上且位于其对称轴右侧，当△QMN与△MAD 相似时，求N点的坐标．参考答案一．选择题1．解：∵符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，∴4的相反数是﹣4；故选：B．2．解：二次根式在实数范围内有意义，则x﹣5≥0，解得：x≥5．故选：A．3．解：A、心想事成是随机事件，故此选项正确．B、只手遮天是不可能事件，故此选项错误；C、瓜熟蒂落是必然事件，故此选项错误；D、水能载舟，亦能覆舟是必然事件，故此选项错误；故选：A．4．解：A、“大”是轴对称图形，故本选项不合题意；B、“美”是轴对称图形，故本选项不合题意；C、“中”是轴对称图形，故本选项不合题意；D、“国”不是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．5．解：从正面看，第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形，故选：A．6．解：小丽在便利店时间为15﹣10＝5（分钟），故选项A错误，公园离小丽家的距离为2000米，故选项B正确，小丽从家到达公园共用时间20分钟，故选项C正确，小丽从家到便利店的平均速度为：2000÷20＝100米/分钟，故选项D正确，故选：A．7．解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中满足△＝9﹣4ac ≥0的结果数有2，所以甲获胜的概率＝＝．故选：B ．8．解：由函数图象可知，当x ＞4时，y 1＞y 2，A 是真命题；当x ＜﹣1时，y 1＞y 2，C 是真命题；当y 1＜y 2时，0＜x ＜4，C 是真命题；y 1＞y 2时，x ＜0或x ＞4，D 是假命题；故选：D ．9．解：如图，取AC 的中点E ，连接QE ，连接BE ，CQ ．∵PC 是直径，∴∠PQC ＝∠CQA ＝90°， ∵CE ＝AE ， ∴QE ＝AC ，∵BQ ≥BE ﹣EQ ，又BE ，EQ 是定值， ∴当点Q 落在BE 上时，BQ 的值最小，∴点P 从点B 出发，沿BC 方向运动，当点P 到达点C 时，BQ 的值先减小后增大，故选：D ．10．解：∵2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，∴250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+...+2100）﹣（2+22+23+ (249)＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）＝2101﹣250，∵250＝a，∴2101＝（250）2•2＝2a2，∴原式＝2a2﹣a．故选：C．二．填空题11．解：∵a＜3，∴＝|a﹣3|＝3﹣a．故答案为：3﹣a．12．解：将这组数据重新排列为48、1300、40950、190967、279660、823853、1101631，则这组数据的中位数为190967，故答案为：190967．13．解：由题意可知：a+b＝3ab，原式＝＝＝，故答案为：14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BD＝2BO，AO＝OC＝AC＝5．∵AB作AC，∴∠BAC＝90°，在Rt△ABO中，由勾股定理可得：BO＝＝＝13．∴BD＝2BO＝26．故答案为：26．15．解：由表格可知，该函数的对称轴是直线x＝，与x轴的一个交点在1和2之间，则该函数与x轴的另一个交点在﹣2和﹣3之间，∵关于x的方程ax2+bx+c＝0一个负数解x1满足k＜x1＜k+1，∴﹣3＜x1＜﹣2，即k＝﹣3，故答案为：﹣3．16．解：延长AC交DE于H，连接BH、BF，BH与DF交于N，如图所示：∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝90°，∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△EBD，∴∠ABE＝90°，AB＝BE，∠CBD＝90°，∠BDE＝90°，BC＝BD，∴四边形BCHD是正方形，△ABE是等腰直角三角形，∴∠HCD＝∠DBH＝45°，∠AHD＝90°，BH⊥DF，BN＝CN＝DN＝CD＝1，∴∠AHE＝90°，FN＝CF+CN＝1+1＝2，∴BF＝＝＝，∵∠AHE＝∠ABE＝90°，∴A、B、H、E四点共圆，∴∠EAH＝∠EBH，∵∠EFD＝∠EAH+∠FCA＝∠EBH+∠HCD＝∠EBD，∴B、D、E、F四点共圆，∵∠BDE＝90°，∴∠BFE＝90°，∴BF⊥AE，∵△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝2BF＝2，故答案为：2．三．解答题17．解：（1）＝＝＝1×2.5＝2.5（2）3×9m×27m＝3×32m×33m＝35m+1∴5m+1＝21 解得m＝4．故m的值为4．18．证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4＝∠5，∠B＝180°﹣∠1﹣∠3，∠D＝180°﹣∠2﹣∠5，∴∠B＝∠D．∵AB∥CD，∴∠DCB＝∠B，∴∠D＝∠DCB．19．解：（1）抽取的学生总数：12÷24%＝50（人），360°×＝72°，故答案为：50；72°；（2）A类学生人数：50﹣23﹣12﹣10＝5（人），如图所示；（3）3000×＝1380（人），答：该校表示“喜欢”的B类学生大约有1380人．20．解：（1）如图线段CD即为所求；（2）如图，BG⊥AC．故答案为BG⊥AC；（3）线段BG的长度是点B到直线AC的距离；线段BC的长度是点B到CD的距离；因为直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以线段BC、BG的大小关系为：BC＞BG．故答案为：BG，点B到直线CD，垂线段最短，＞．21．（1）证明：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP＝∠CEB＝90°，∴∠PCB+∠OCB＝90°，∠BCE+∠OBC＝90°，∴∠BCE＝∠BCP，∴CB平分∠PCE．（2）证明：如图1，连接AC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCP+∠ACF＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，∵∠BCP＝∠BCE，∴∠ACF＝∠ACE，∵∠F＝∠AEC＝90°，AC＝AC，∴△ACF≌△ACE（AAS），∴CF＝CE．（3）解：作BM⊥PF于M．则CE＝CM＝CF，设CE＝CM＝CF＝3a，PC＝4a，PM＝a，∵∠MCB+∠P＝90°，∠P+∠PBM＝90°，∴∠MCB＝∠PBM，∵CD是直径，BM⊥PC，∴∠CMB＝∠BMP＝90°，∴△BMC∽△PMB，∴＝，∴BM2＝CM•PM＝3a2，∴BM＝a，∴tan∠BCM＝＝，∴∠BCM＝30°，∴∠OCB＝∠OBC＝∠BOC＝60°，∵，∴，∴S＝．扇形OBC22．解：（1）设解析式为：h＝a（t﹣3）2+19.8，把点（0，1.8）代入得：1.8＝a（0﹣3）2+19.8，∴a＝﹣2，∴h＝﹣2（t﹣3）2+19.8，故相应的函数解析式为：h＝﹣2（t﹣3）2+19.8；（2）当第一发花弹发射3秒后，第二发花弹发射1秒，把t＝1代入h＝﹣2（t﹣3）2+19.8得，h＝﹣2（1﹣3）2+19.8＝11.8米；（3）∵这种烟花每隔2秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径，爆炸时的高度均相同，皮皮小朋友发射出的第一发花弹的函数解析式为：h＝﹣2（t﹣3）2+19.8，∴第二发花弹的函数解析式为：h′＝﹣2（t﹣5）2+19.8，皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，则令h＝h′得﹣2（t﹣3）2+19.8＝﹣2（t﹣5）2+19.8∴t＝4秒，此时h＝h′＝17.8米＞16米，答：花弹的爆炸高度符合安全要求．23．解：（1）∵AD∥BC，∴，．∵DB＝DC＝15，DE＝DF＝5，∴，∴．∴BG＝CH．（2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q．∵DB＝DC＝15，BC＝18，∴BP＝CP＝9，DP＝12．∵，∴BG＝CH＝2x，∴BH＝18+2x．∵AD∥BC，∴，∴，∴，∴．∵AD∥BC，∴∠ADN＝∠DBC，∴sin∠ADN＝sin∠DBC，∴，∴．∴．（3）∵AD∥BC，∴∠DAN＝∠FHG．（i）当∠ADN＝∠FGH时，∵∠ADN＝∠DBC，∴∠DBC＝∠FGH，∴BD∥FG，∴，∴，∴BG＝6，∴AD＝3．（ii）当∠ADN＝∠GFH时，∵∠ADN＝∠DBC＝∠DCB，又∵∠AND＝∠FGH，∴△ADN∽△FCG．∴，∴，整理得x2﹣3x﹣29＝0，解得，或（舍去）．综上所述，当△HFG与△ADN相似时，AD的长为3或．24．解：（1）将点B（4，m）代入y＝x+，∴m＝，将点A（﹣1，0），B（4，），C（0，﹣）代入y＝ax2+bx+c，解得a＝，b＝﹣1，c＝﹣，∴函数解析式为y＝x2﹣x﹣；（2）设P（n，n2﹣n﹣），则经过点P且与直线y＝x+垂直的直线解析式为y＝﹣2x+n2+n﹣，直线y＝x+与其垂线的交点G（n2+n﹣，n2+n+），∴GP＝（﹣n2+3n+4），当n＝时，GP最大，此时△PAB的面积最大，∴P（，），∵AB＝，PG＝，∴△PAB的面积＝××＝；（3）∵M（1，﹣2），A（﹣1，0），D（3，0），∴AM＝2，AB＝4，MD＝2，∴△MAD是等腰直角三角形，∵△QMN与△MAD相似，∴△QMN是等腰直角三角形，设N（t，t2﹣t﹣）①如图1，当MQ⊥QN时，N（3，0）；②如图2，当QN⊥MN时，过点N作NR⊥x轴，过点M作MS⊥RN交于点S，∵QN＝MN，∠QNM＝90°，∴△MNS≌△NMS（AAS）∴t﹣1＝﹣t2+t+，∴t＝±，∴t＞1，∴t＝，∴N（，1﹣）；③如图3，当QN⊥MQ时，过点Q作x轴的垂线，过点N作NS∥x轴，过点N作NR∥x轴，与过M点的垂线分别交于点S、R；∵QN＝MQ，∠MQN＝90°，∴△MQR≌△QNS（AAS），∴SQ＝QR＝2，∴t+2＝1+t2﹣t﹣，∴t＝5，∴N（5，6）；④如图4，当MN⊥NQ时，过点M作MR⊥x轴，过点Q作QS⊥x轴，过点N作x轴的平行线，与两垂线交于点R、S；∵QN＝MN，∠MNQ＝90°，∴△MNR≌△NQS（AAS），∴SQ＝RN，∴t2﹣t﹣＝t﹣1，∴t＝2±，∵t＞1，∴t＝2+，∴N（2+，1+）；综上所述：N（3，0）或N（2+，1+）或N（5，6）或N（，1﹣）．培根知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。

2020年湖北省黄冈市九年级数学中考基础冲刺训练(含答案)

2020年湖北黄冈市数学中考基础冲刺训练一．选择题（每题3分，满分24分）1．﹣7的绝对值是（）A．B．C．7 D．﹣72．据统计，今年“五一”小长假期间，我市约有26.8万人次游览了植物园和动物园，则数据26.8万用科学记数法表示正确的是（）A．268×103B．26.8×104C．2.68×105D．0.268×1063．下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5B．a3+a3＝2a6C．a3÷a3＝0 D．3a2•5a3＝15a54．若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，则的值为（）A．B．1 C．.4 D．35．在平面直角坐标系中，线段AB的端点分别为A（2，0），B（0，4），将线段AB平移到A 1B1，且点A1的坐标为（8，4），则线段A1B1的中点的坐标为（）A．（7，6）B．（6，7）C．（6，8）D．（8，6）6．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与主视图相同的是（）A．B．C．D．7．如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8cm，水面最深的地方高度为2cm，则该输水管的半径为（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm8．已知小明的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小明从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示小明离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（）A．体育场离小明家2.5kmB．体育场离文具店1kmC．小明从体育场出发到文具店的平均速度是50m/minD．小明从文具店回家的平均速度是60m/min二．填空题（满分24分，每小题3分）9．化简：（a＞0）＝．10．单项式﹣的系数是，次数分别是．11．因式分解：a3﹣9a＝．12．下列数据：11，13，9，17，14，17，10的中位数是．13．如图，AB∥CD，∠B＝120°，∠D＝145°，则∠BED等于°．14．已知圆锥的底面半径为3，母线长为7，则圆锥的侧面积是．15．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（﹣2，1）、B（1，﹣2）两点．一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围是．16．如图，四边形ABCD中，CD＝BC＝4，AB＝1，E为BC中点，∠AED＝120°，则AD的最大值是．三．解答题17．（6分）化简求值：，其中x＝．18．（6分）解不等式组：并将解集在数轴上表示．19．（6分）正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE ⊥BD于E，连接EO，AE．（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．20．（7分）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲乙两队合作完成该工程需要多少天？21．（8分）我市去年成功举办2018郴州国际休闲旅游文化节，获评“全国森林旅游示范市”．我市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是人，m＝，并补全条形统计图；（2）若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？（3）小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去旅游，求选到A，C两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率）参考答案一．选择1．解：∵﹣7＜0，∴|﹣7|＝7．故选：C ．2．解：将26.8万用科学记数法表示为：2.68×105．故选：C ．3．解：（A ）原式＝a 6，故A 错误；（B ）原式＝2a 3，故B 错误；（C ）a 有意义时，原式＝1，故C 错误；故选：D ．4．解：由题意可知：a 、b 是方程x 2﹣4x +1＝0的两个不同的实数根，∴由根与系数的关系可知：ab ＝1，a +b ＝4，∴a 2+1＝4a ，b 2+1＝4b ， ∴原式＝+ ＝＝＝1，故选：B ．5．解：∵线段AB 的端点分别为A （2，0），B （0，4），将线段AB 平移到A 1B 1，且点A 1的坐标为（8，4），∴B 1的坐标为：（6，8），则线段A 1B 1的中点的坐标为：（7，6）．故选：A ．6．解：A 、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意；B、左视图为，主视图为，左视图与主视图相同，故此选项符合题意；C、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意；D、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意；故选：B．7．解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵OD⊥AB，∴AD＝AB＝4cm，设OA＝r，则OD＝r﹣2，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5cm．∴该输水管的半径为5cm；故选：B．8．解：由函数图象可知，体育场离小明家2.5km，故选项A不合题意；由函数图象可知，小明家离文具店1.5千米，离体育场2.5千米，所以体育场离文具店1千米，故选项B不合题意；小明从体育场出发到文具店的平均速度为：1000÷（45﹣30）＝（m/min），故选项C符合题意；小明从文具店回家的平均速度是1500÷（90﹣65）＝60（m/min），故选项D不合题意．故选：C．二．填空9．解：∵a＞0，∴＝3a，故答案为：3a．10．解：单项式﹣的系数是﹣，次数是3，故答案为：﹣；3．11．解：原式＝a（a2﹣9）＝a（a+3）（a﹣3），故答案为：a（a+3）（a﹣3）．12．解：将这7个数从小到大排列得：9，10，11，13，14，17，17，处在第4位的数是13，因此中位数是13，故答案为：13．13．解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．∵AB∥EF，∴∠BEF＝180°﹣∠B＝60°；∵CD∥EF，∴∠DEF＝180°﹣∠D＝35°．∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝95°．故答案为：95．14．解：圆锥的侧面积＝×2π×3×7＝21π．故答案为21π．15．解：∵A（﹣2，1），B（1，﹣2），由图象可知：一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1．故答案为x＜﹣2或0＜x＜1．16．解：如图，作出点B关于AE的对称点M，点C关于DE的对称点N，连接AM、EM，MN、DN、EN．根据轴对称的性质可得AM＝AB，BE＝EM，CE＝EN，DN＝CD，∠AEB＝AEM，∠DEC＝∠DMN，∵∠AED＝120°，∴∠AEB+∠DEC＝180°﹣∠AED＝180°﹣120°＝60°，∴∠MEN＝∠AED﹣（∠AEM+∠DEN）＝120°﹣60°＝60°，∵点M是四边形ABCD的边BC的中点，∴BE＝CE，∴EM＝EN，∴△ENM是等边三角形，∵AD≤AM+MN+DN，∴AD≤7，∴AD的最大值为7，故答案为7．三．解答17．解：原式＝•＝＝﹣x（x+1）＝﹣x2﹣x当x＝时，原式＝﹣2﹣．18．解：，解①得x≥﹣4，解②得x＜1，所以不等式组的解集为﹣4≤x＜1，用数轴表示为．19．解：（1）在正方形ABCD中，BC＝DC，∠C＝90°，∴∠DBC＝∠CDB＝45°，∵∠PBC＝α，∴∠DBP＝45°﹣α，∵PE⊥BD，且O为BP的中点，∴EO＝BO，∴∠EBO＝∠BEO，∴∠EOP＝∠EBO+∠BEO＝90°﹣2 α；（2）连接OC，EC，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE，∴AE＝CE，在Rt△BPC中，O为BP的中点，∴CO＝BO＝，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠COP＝2 α，由（1）知∠EOP＝90°﹣2α，∴∠EOC＝∠COP+∠EOP＝90°，又由（1）知BO＝EO，∴EO＝CO．∴△EOC是等腰直角三角形，∴EO2+OC2＝EC2，∴EC＝OC＝，即BP＝，∴BP＝．20．解：（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工，依题意，得：+＝1，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意．答：这项工程的规定时间是30天．（2）由（1）可知：甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，1÷（+）＝18（天）．答：甲乙两队合作完成该工程需要18天．21．解：（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是20÷10%＝200（人），则m%＝×100%＝35%，即m＝35，C景区人数为200﹣（20+70+20+50）＝40（人），补全条形图如下：故答案为：200，35；（2）估计去B地旅游的居民约有1200×35%＝420（人）；（3）画树状图如下：11 /11由树状图知，共有12种等可能结果，其中选到A ，C 两个景区的有2种结果，所以选到A ，C 两个景区的概率为＝．。

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2020中考数学冲刺专题应用几何知识解决实际问题专项（含答案）1. 如图①所示的是一种置于桌面上的简易台灯，将其结构简化成图②，灯杆AB 与CD交于点O(点O固定)，灯罩连杆CE始终保持与AB平行，灯罩下方FG处于水平位置，测得OC＝20 cm，∠COB＝70°，∠F＝40°，EF＝EG，点G到OB 的距离为12 cm.(1)求∠CEG的度数；(2)求灯罩的宽度FG的长．(结果精确到0.1 cm.参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，sin70°≈0.940，cos70°≈0.342)第1题图解：(1)∵EF＝EG，∠F＝40°，∴∠G＝40°，∠FEG＝180°－∠F－∠G＝100°，∵灯罩连杆CE始终保持与AB平行，灯罩下方FG处于水平位置，∴∠CEG＝∠CEF＝360°－∠FEG2＝130°；第1题解图(2)如解图，延长FG交AB于点N，过点C作CM⊥AB于点M，延长CE交FG 于点H，如解图所示，∵CE∥AB，FG处于水平位置，CM⊥AB，∴四边形CHNM为矩形，CH⊥FG，∴CM＝NH.在Rt △OMC 中，OC ＝20 cm ，∠COM ＝70°，∠OMC ＝90°， ∴CM ＝OC ·sin ∠COM ≈20×0.940＝18.8 cm ， ∵GN ＝12 cm ，HN ＝CM ， ∴HG ＝CM －GN ＝6.8 cm ， ∵EF ＝EG ，CH ⊥FG ， ∴FH ＝HG ＝12FG ， ∴FG ＝2×6.8＝13.6 cm. 答：灯罩的宽度FG 长为13.6 cm.2. 现有一张宽为12 cm 的练习纸，相邻两条格线间的距离均为0.8 cm.调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上(如图)，测得∠α＝32°. (1)求矩形卡通图案的长和宽；(2)若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印(如图)，最多能印几个完整的矩形卡通图案？(参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6)第2题图解：(1)在Rt △BCE 中， ∵sin α＝CEBC ，∴BC ＝CE sin α≈0.80.5＝1.6 cm ， ∵在矩形ABCD 中，∠BCD ＝90°， ∴∠BCE ＋∠FCD ＝90°，∵在Rt △BCE 中，∠EBC ＋∠BCE ＝90°， ∴∠FCD ＝32°，在Rt △FCD 中，∵cos ∠FCD ＝FCCD ， ∴CD ＝FC cos32°≈1.60.8＝2 cm ， ∴矩形卡通图案的长和宽分别为 2 cm 和1.6 cm ；(2)在Rt △ADH 中，∠DAH ＝32°， ∵cos ∠DAH ＝ADAH ， ∴AH ＝AD cos32°≈1.60.8＝2 cm ，在Rt △CGH 中，∠GCH ＝32°， ∵tan ∠GCH ＝GHCG ，∴GH ＝CG ·tan32°≈0.8×0.6＝ 0.48 cm ，设能印x 个完整的矩形卡通图案，根据题意得2x ＋0.48≤12，解得x ≤5.76， ∴最多能印5个完整的矩形卡通图案．3. 图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图②，已知铁环的半径为25 cm ，设铁环中心为点O ，铁环钩与铁环相切点为点M ，铁环与地面接触点为点A ，∠MOA ＝α，且sin α＝35.第3题图(1)求点M 离地面AC 的高度BM ；(2)设人站立点C 与点A 的水平距离AC ＝55 cm ，求铁环钩MF 的长度．解：(1)如解图，过点M 作MD ⊥OA 交OA 于点D ，第3题解图在Rt △ODM 中，sin α＝DM OM ＝35， ∴DM ＝15 cm ，∴OD ＝20 cm ， ∴AD ＝BM ＝5 cm ；(2)如解图，延长DM 交CF 于点E ，易得：∠FME ＝∠AOM ＝α， ∵ME ＝AC －DM ＝55－15＝40 cm ， ∴cos α＝ME MF ＝45， ∴MF ＝50 cm ，∴铁环钩MF 的长为50 cm.4. 如图①，某利用风能、太阳能发电的风光互补环保路灯的灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯．该系统工作过程中某一时刻的截面图如图②，已知太阳能板的支架BC 垂直于灯杆OF ，路灯顶端E 距离地面6米，DE ＝1.8米，∠CDE ＝60°，且根据我市的地理位置设定太阳能板AB 的倾斜角为43°，AB ＝1.5米，CD ＝1米．为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍安全旋转，叶片与太阳能板顶端A 的最近距离不少于0.5米，求灯杆OF 至少要多高？(参考数据：sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈0.9325，结果精确到0.01米)第4题图解：如解图，过点E 作EG ⊥地面于点G ，过点D 作DH ⊥EG 于点H ，第4题解图∴DF ＝HG ，在Rt △ABC 中，AC ＝AB ·sin ∠ABC ＝1.5×sin43°≈1.5×0.6820＝ 1.023米， ∵∠CDE ＝60°， ∴∠EDH ＝30°， ∴EH ＝12DE ＝0.9米，∴DF ＝GH ＝EG －EH ＝6－0.9＝ 5.1米，由题意得，OA ≥1.5，∴OF ＝OA ＋AC ＋CD ＋DF ≥1.5＋1.023＋1＋5.1＝8.623≈8.62米．答：灯杆OF 至少要8.62米高．5. 夏季为了防晒，居民常常在户外修建防晒棚，如图①，从房子顶部伸出的防晒棚与墙面的夹角为60°，房子的高AB 为3米．(1)如图②，防晒棚伸出的长度AC 为2米，太阳光线DC 与地面的夹角为60°，问太阳光是否会照进大门内，若不会，则求出光线DC 差多远会照射到墙脚B 点处？(2)如图③，太阳光线DC 与地面的夹角为30°时，太阳光线DC 恰好照进大门内1米处，求此时防晒棚AC 应为多长．(注：AB 为房子的高度也是大门所在的位置)第5题图解：(1)如解图①，过点C 作CF ⊥BE 于点F ，CH ⊥AB 于点H ，在Rt △AHC 中，∠HAC ＝60°，则AH ＝1米，CF ＝HB ＝3－1＝2米，BF ＝HC ＝22－12＝ 3 米，在Rt △CEF 中，EF ＝CF tan60°＝233 米，∴BE ＝3－233＝33 米．答：光线DC 差33米会照射到墙角B 点处； (2)设AC ＝x 米，则BF ＝CH ＝32x 米，EF ＝(1＋32x )米．在Rt △AHC 中，AH ＝12x 米， CF ＝BH ＝(3－12x )米，在Rt △EFC 中，CFEF ＝tan30°，即3－12x1＋32x＝33，解得x＝(3－33)米．答：防晒棚AC应为(3－33)米．第5题解图6. 如图①是景德镇市白鹭大桥，此桥为独斜塔无背索斜拉桥，是高度科学性和艺术性的完美结合．如图②是主桥段AN－NO－OB的一部分，其中NO部分是一段水平路段，西侧AN是落差高度约为1.2米的小斜坡(图中AH＝1.2米)，斜塔MN与水平线夹角为58°，为了测量斜塔，如图③，小敏在桥底河堤西岸上取点P 处并测得点A与塔顶M的仰角分别为45°与76°，已知PQ＝24.4米(点Q为M在桥底的投影，且点M、A、Q在同一条直线上)．(1)斜塔MN的顶部点M距离水平线的高度MH为多少？(2)斜塔MN的长度约为多少？(精确到0.1米)(参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.0，sin58≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6)第6题图解：(1)依题意可知PQ＝24.4，∠APQ＝45°，∠MPQ＝76°，∴AQ＝24.4，MQ＝PQ·tan76°≈24.4×4＝97.6 m，∴AM＝MQ－AQ＝24.4×3＝73.2 m，MH＝AM－AH＝73.2－1.2＝72 m，即斜塔MN的顶部点M距离水平线的高度MH为72 m；(2)MN＝MHsin58°≈84.7 m，即斜塔MN的长度约为84.7 m.7. 如图①所示旅行箱的箱盖和箱底两部分的厚度相同，图①中四边形ABCD为形如矩形的旅行箱一侧的示意图，F为AD的中点，EF∥CD，现将放置在地面上的箱子打开，使箱盖的一端靠在墙上点D处，点O为墙角，图②为箱子打开后的示意图，若箱子厚度AD＝30 cm，宽度AB＝50 cm.(1)图②中，EC的长为多少？当点D与点O重合时，求AO的长；(2)若∠CDO＝60°，求AO的长．(结果取整数值)(参考数据：sin60°≈0.87，cos60°＝0.5，tan60°＝3≈1.73)第7题图解：(1)∵EF∥AB∥CD，DF＝AF，∴EC＝EB＝12BC＝12AD＝15 cm，当点D与点O重合时，∵AB＝BO＝50 cm，∴AO＝50＋50＝100 cm；第2题解图(2)如解图，过点C作OA的平行线，分别交BE和OD于点H，G，∵EB⊥OA，OD⊥OA，∴HG＝HC＋CG＝OB，∵∠ECD＝90°，∠ECH＝60°，又∵CD＝50 cm，EC＝15 cm，∴HC ＝EC ·cos60°＝12EC ＝7.5 cm ， CG ＝CD ·sin60°≈50×0.87＝ 43.5 cm ，∴AO ＝AB ＋OB ＝AB ＋HC ＋CG ＝101 cm ，即AO 的长约为101 cm.8. 如图①，小华家阳台上放置了一个有6级踏板的人字梯，如图②是人字梯的侧面示意图，梯梁AB 与CD 相交于点C ，现将人字梯完全稳固张开，B ，D 两点立于水平地面，从下至上，HK 是第1级，EF 是第6级，每级踏板均与水平地面平行，相邻两级踏板间的距离相等，最上面的踏板EF 恰好横于AB ，CD 之间，经测量：AB ＝2 m ，CD ＝1.75 m ，EF ＝0.2 m ，AC ＝CE ＝EG ＝HB ＝CF ＝0.25 m ． (1)求人字梯完全稳固张开时，梯子下端B ，D 间的距离；(2)小华家天花板距离地面3 m ，小华静止站立时伸直手臂摸到的最大高度为2 m ，那么，小华要摸到天花板，至少要站在人字梯的第几级踏板上？(参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，tan23.6°≈0.44)第8题图解：(1)由题意得CE ＝CF ＝0.25，CB ＝AB －AC ＝CD ＝1.75 m ， ∴CE CF ＝CBCD ＝1，∵∠ECF ＝∠BCD ， ∴△ECF ∽△BCD ， ∴CE CB ＝EF BD ，即0.251.75＝0.2BD ， ∴BD ＝1.4 m ，∴人字梯完全稳固张开时，梯子下端B 、D 间的距离为1.4 m ；第8题解图(2)如解图，过点C 作CM ⊥BD 于点M ，由(1)中△ECF ∽△BCD 得∠CEF ＝∠CBD ，BD ＝1.4 m ， ∴BM ＝12BD ＝0.7 m ，∴cos ∠CEF ＝cos ∠CBD ＝BM CB ＝0.71.75＝0.4， ∴∠CEF ≈66.4°；设小华摸到天花板至少要站在人字梯的第x 级踏板上，得0.25x ·sin66.4°＋2≥3， ∴x ≥4.35，∵x 取整数，且5≤x ≤6， ∴x 可取5，6.∴小华要摸到天花板，至少要站在人字梯的第5级踏板上．9. 某市在一次检查中发现一些破旧的公交车候车亭有碍观瞻，政府现准备制作一批新的公交车候车亭，设计师画了两幅侧面示意图，AB 、FG 均为水平线段，CD ⊥AB ，PQ ⊥FG ，E ，H 为垂足，且AE ＝FH ，AB ＝FG ＝2 m ，图①中tan A ＝25，tan B ＝35，图②点P 在FG ︵上，且FG ︵所在圆的圆心点O 到FG ，PQ 的距离之比为5∶2.(1)求图①中的CE 长； (2)求图②中的PH 长．第9题图解：(1)∵tan A ＝CE AE ＝25，tan B ＝CE BE ＝35，∴CE ＝25AE ，CE ＝35BE ，∴25AE ＝35BE ，又∵AB ＝AE ＋BE ＝2 m ，∴AE ＝1.2 m ，∴CE ＝1.2×25＝0.48 m ；第9题解图(2)如解图，过点O 作FG 的垂线，垂足为点M ，过点O 作PQ 的垂线，垂足为点N ，则FM ＝1，MH ＝ON ＝1.2－1＝0.2 m ，∵点O 到FG ，PQ 的距离之比为5∶2，∴OM ＝NH ＝0.5 m ，连接OF 和OP ，在Rt △OFM 中，OF ＝12＋0.52＝52＝OP ，在Rt △OPN 中，PN ＝OP 2－ON 2＝1.1 m ，∴PH ＝PN －HN ＝1.1－0.5＝0.6 m. 10. 如图①是一个创意半圆桌柜实物图，图②是其正面示意图，桌柜的上部是一个半圆，桌面AB 是半圆的直径，隔层CD 是半圆的弦，柜脚EG 、FH 所在的直线经过圆心，EG ＝FH ，且AB 、CD 均平行于水平地面GH ，测得AB ＝100 cm ，CD ＝11. 80 cm.(1)隔层CD 上能竖直放入高度为32 cm 的酒瓶吗？请说明理由；(2)若半圆桌柜的底部EF ︵长度为15π cm ，柜脚EG 长为20 cm ，求柜脚支点G ，H之间的距离．(精确到0.1 cm ，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891)第10题图解：(1)不能竖直放入高度为32 cm 的酒瓶；理由如下：如解图，延长GE ，HF 交AB 于点O ，点O 即为圆心，过点O 作OM ⊥GH ，垂足为M ，交CD 于点N .第10题解图∴OA ＝OB ＝12AB ＝12×100＝50 cm ，即⊙O 的半径为50 cm ，∵CD ∥GH ，∴OM ⊥CD ，∴CN ＝DN ＝12CD ＝12×80＝40 cm ，∴在Rt △OCN 中，ON ＝OC 2－CN 2＝502－402＝30 cm ，∵32＞30，∴不能竖直放入高度为32 cm 的酒瓶；(2)∵半圆桌柜的底部EF ︵长度为15π cm ，半圆的半径为50 cm ，∴lEF ︵＝50n π180＝15π，∴n ＝54，即∠EOF ＝54°，∵OE ＝OF ，EG ＝FH ，∴OG ＝OH ＝50＋20＝70 cm ，∵OM ⊥GH ，∴∠GOM ＝12∠EOF ＝12×54°＝27°，GM ＝MH ＝12GH ，在Rt △OMG 中，GM ＝OG ·sin ∠GOM ＝70×sin27°≈ 70×0.454＝31.78 cm ，∴GH ＝2GM ≈2×31.78＝63.56≈ 63.6 cm ，即柜脚支点G ，H 之间的距离约为63.6 cm.。