练5_三角形的内切圆(沪科版)(原卷版)
沪科版数学九年级下册《24.5三角形的内切圆》同步练习3
《三角形的内切圆》同步练习一、选择题1、一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是( )A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形D 、等腰三角形 2、下列说法正确的是（ ）A ．三点确定一个圆B ．三角形有且只有一个外接圆C ．四边形都有一个外接圆D ．圆有且只有一个内接三角形3．下列命题中的假命题是（ ）A ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B ．三角形的外心到三角形三边的距离相等C ．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D ．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心 4、等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍． A ．23 B ．33 C ．3D ．21二、填空题5、ABC ∆外切于⊙O ，E 、F 、G 分别是⊙O 与各边的切点，则EFG ∆的外心是ABC ∆的 。
6、直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么它的外接圆的半径为 ，内切圆半径为 ．7、ABC ∆的内切圆⊙I 与AB 、BC 、CA 分别切于D 、E 、F 点，且∠FID=∠EID=︒135，则ABC ∆为 ．8、设I 是△ABC 的内心，O 是△ABC 的外心 ，∠A=80°， 则∠BIC= ，∠BOC= 。
9、．若三角形的三边长为5、12、13，则其外接圆的直径长等于 ，其内切圆的直径长为 。
10、如图6，⊙I 切△ABC 于D 、E 、F ，∠C=60°，∠EIF=100°则∠B= 。
C图6三、解答题如图，△ABC中，I是内心，AI交BC于D，交△ABC的外接圆于E。
求证：（1）IE=EC，（2）IE2=ED·EA。
九年级数学下册24.5三角形的内切圆习题(新版)沪科版
九年级数学下册24.5三角形的内切圆习题（新版）沪科版24.5三角形的内切圆01基本问题知识点1三角形的内切圆及作图1.（2022广州）如图所示，⊙ o是的内接圆△ ABC，那么O点是△ 基础知识a．三条边的垂直平分线的交点b．三条角平分线的交点c．三条中线的交点d．三条高的交点2.要制作一个锡桶，你需要在三角形材料上切一个面积最大的圆。
请画圆圈。
（保留图纸痕迹，无需书写方法）解：如图，作出三角形的角平分线bd，ce，角平分线交点o即为所画圆的圆心，过点o作of⊥bc，垂足为f，以o为圆心，of为半径，作⊙o即为所求作的圆．知识点2三角形内接圆的性质3．若三角形的内心和外心重合，则这个三角形是（d）a、直角三角形B等腰直角三角形C等腰三角形D等边三角形4．如图，点i是△abc的内心，∠bic＝130°，则∠bac的度数为（c）a、65°b.50°c.80°d.100°5．如果△abc的三边长分别为a，b，c，它的内切圆半径为r，那么△abc的面积为（b）一a．（a＋b＋c）rc.（a＋b＋c）r十三14一b.（a＋b＋c）r2d、（a＋b＋c）r6．等边三角形的内切圆半径为1，那么这个等边三角形的边长为（d）b、 3c。
3d.237．（2021黄石）在rt△abc中，∠c＝90°，ca＝8，cb＝6，则△abc的内切圆的周长为4π．8．（教材p44习题t2变式）如图，△abc内，内切圆⊙o与bc，ac，ab分别相切于点d，e，f，若∠fde＝65°，求∠a的度数．a、二,解：连接oe，of.∵ AB和AC是直线的切线⊙ o分别，∵ AEO=∠ AFO=90°∴∠a＋∠eof＝180°。
根据圆角定理：∠ EOF=2∠ EDF=130°，∴∠a＝180°－∠eof＝50°.9.（教科书p44练习T3变体）如图所示，⊙ o是的内接圆△ ABC，切线点分别为D、e、F、ab=AC=13、BC=10。
沪科版数学九年级下册《三角形的内切圆》课课练
三角形的内切圆一．填空题（共25小题）1．如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O内切于△ABC，则阴影部分面积为2．在三角形ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，那么AF、BD、CE的长分别为3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则cos ∠ODA=4．如图⊙O是Rt△ABC的内切圆，D，E，F分别为切点，∠ACB=90°，则∠EDF的度数为5．正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为6．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，AB=5，点P是AC上的一个动点（P不与点A、点C重合），PQ ⊥AB，垂足为Q，当PQ与△ABC的内切圆⊙O相切时，PC的值为7．已知：如图，Rt△ABC外切于⊙O，切点分别为E、F、H，∠ABC=90°，直线FE、CB交于D点，连接AO、HE，则下列结论：①∠FEH=45°+∠FAO；②BD=AF；③AB2=AO•DF；④AE•CH=S△ABC其中正确的是8．如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），他们的具体裁法如下：甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为S1；乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为S2；丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰Rt△的直角边上，面积记为S3；丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为S4则下列判断正确的是①S1=S2；②S3=S4；③在S1，S2，S3，S4中，S2最小．9．如图⊙O内切于正△ABC，正△DEF内接于⊙O，则S△DEF：S△ABC等于10．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE的度数是11．如图△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上点，且DE为⊙I的切线，若△ABC的周长为21，BC边的长为6，则△ADE的周长为12．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．则其内心和外心之间的距离是13．如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90度，OA的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径等于14．等边三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比是15．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（3，0）、（0，4），Rt△ABO内心的坐标是16．在△ABC中，点I是内心，若∠A=40°，则∠BIC的度数为_________ ．17．如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA= _________ ．18．如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F、已知∠B=50°，∠C=60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于_________ ．19．如图，⊙O既是正△ABC的外接圆，又是正△DEF的内切圆，则内外两个正三角形的相似比是_________ ．20．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，则O1O2= _________ 21．如图，△ABC中，A、B、C三点的坐标分别为A（﹣5，O）、B（5，0）、C（0，12）．（1）若△ABC内心为D．求点D坐标为__ ；（2）若称与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆，叫旁切圆，圆心叫旁心，则与AC延长线相切的旁切圆圆心坐标为_________ ．22．等腰△ABC中，AB=AC=8cm，BC=6cm，则内切圆的半径为_________ ．23．如图，小敏家厨房一墙角处有一自来水管，装修时为了美观，准备用木板从AB处将水管密封起来，互相垂直的两墙面与水管分别相切于D、E两点，经测量发现AD和BE的长恰是方程x2﹣25x+150=0的两根（单位：cm），则该自来水管的半径为_________ cm．24．已知△ABC的周长是24，面积是24，则其内切圆半径等于_________ ．25．如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，若∠C=90°，AC=6，BC=8，则图中阴影部分（即指线段CE、CF及围成的图形）的面积是．三．解答题（共5小题）26．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O 是Rt△ABC的内切圆，其半径为1，E、D是切点，∠BOC=105°．求AE的长．27．在锐角三角形ABC中，BC=5，sinA=，（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．28．如图，有一块三角形材料（△ABC），请你画出一个圆，使其与△A BC的各边都相切．29．如图，△ABC中，内切圆I与AB，BC，CA分别切于F，D，E，连接BI，CI，再连接FD，ED，（1）若∠A=40°，求∠BIC与∠FDE的度数．（2）若∠BIC=α；∠FDE=β，试猜想α，β的关系，并证明你的论．30．如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC外接圆于点E．（1）求证：IE=BE；（2）若IE=4，AE=8，求DE的长．。
专题05 解三角形中的外接圆与内切圆(原卷版)
专题05 解三角形中的外接圆与内切圆常见考点考点一 外接圆问题典例1．ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知角,,A B C 成等差数列，且b = （1）求ABC 的外接圆直径；（2）若ABC ABC 的周长.变式1-1．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足：2cos cos cos b B C A ac c a=+. （1）求B ；（2）若ABC 面积为S =4，求ABC 的周长.变式1-2．锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若b =()2cos cos cos +=B a C c A b . （1）求ABC 的外接圆直径；（2）求a c +的取值范围.变式1-3．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()sin 2cos cos 02B C B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭， （1）求证：B C =；（2）若3cos 5A =，ABC ∆的外接圆面积为254π，求ABC ∆的周长．考点二 内切圆问题典例2．在ABC 中，a b c ，，分别为角A B C ，，cos sin tan c B b C a C ⎫-=⎪⎭.（1）求角A ；（2）若ABC 的内切圆面积为4π，求ABC 面积S 的最小值.变式2-1．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin 2A C a bBC +=+. （1）求B ；（2）若3a =，6b c +=，求ABC ∆的内切圆半径.变式2-2．在△ABC 中，D 是BC 中点，AB ＝3，AC AD ． （1）求边BC 的长；（2）求△ABD 内切圆半径．变式2-3．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos cos c b B a A-=. （1）求角A ；（2）若2a =，则当ABC 的面积最大时，求ABC 的内切圆半径.巩固练习练习一 外接圆问题1．已知ABC ∆外接圆直径是2，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()222sin sin ()sin A B a c C -=-．（1）求角B ；（2）求ABC ∆的周长的最大值．2．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若（2b ﹣c ）cos A ＝a cos C ． （1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆面积为π，求△ABC 的面积的最大值．3．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，在条件①222()(cos cos )a b c a B b A abc +-⋅+=，条件②sin cos()6c A a C π=-这两个条件中任选一个作为已知条件，解决以下问题.（1）若c =ABC 的外接圆直径；（2）若ABC ∆的周长为6，求边c 的取值范围.4．在①ABC 的外接圆面积为3π②ADC ③BDC 的周长为5任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 是AB 边上一点.已知13AD AB =，3sin sin 4A C =，cos23cos 1B B +=，若___________，求CD 的长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.练习二 内切圆问题5．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足22acosBsinA bsin A +=. （1）求tanC 的值;（2）设ABC 的内切圆半径为r ，若4,c =求ABC 的面积取最大值时r 的值.6．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos sin 0a C C b c --=． （Ⅰ）求A ；（Ⅰ）若7a =，且40bc =，求ABC 的内切圆半径．7．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，3A π∠=，且满足22a b bc =+.（1）求B ； （2）若2b =，求ABC 的内切圆半径.8．已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，满足22a b bc =+. （1）求证：2A B =；（2）若2b =，且sin tan cos 1C B C +=，求ABC 的内切圆半径.。
安徽专版九年级数学下册第24章圆24、5三角形的内切圆习题新版沪科版
24.5 三角形的内切圆
提示：点击 进入习题
核心必知
相切；内心；外切三角形
答案显示
1B
2C
3B
4B
5B
6B
78
8 14
9 见习题 10 B
11 135° 12 见习题 13 见习题
与三角形三边都__相__切____的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆 心叫做三角形的__内__心____，这个三角形叫做圆的__外__切__三__角__形__．
【点拨】∵∠A＝66°，∴∠ABC＋∠ACB＝114°. ∵点 I 是内心，∴∠IBC＝12∠ABC，∠ICB＝12∠ACB， ∴∠IBC＋∠ICB＝12(∠ABC＋∠ACB)＝57°， ∴∠BIC＝180°－57°＝123°.
【答案】C
3．[中考·河北]如图为 4×4 的网格图，A，B，C，D，O 均在格 点上，点 O 是( B ) A．△ACD 的外心 B．△ABC 的外心 C．△ACD 的内心 D．△ABC 的内心
(2)连接 AE，DF，设 AE 与 DF 相交于点 M，AF＝2FC＝4，求 AM 的长．
解：连接 OB，OC，如图， ∵△ABC 是等腰三角形，AE⊥BC， ∴E 是 BC 中点，即 BE＝CE， 在 Rt△AOF 和 Rt△AOD 中，OODA＝＝OOAF，，
∴Rt△AOF≌Rt△AOD.∴AF＝AD＝4， 同理 Rt△COF≌Rt△COE，∴CF＝CE＝2， Rt△BOD≌Rt△BOE，BD＝BE， ∵AD＝AF，BD＝CF，∴DF∥BC，∴AAME ＝AAFC， ∵AE＝ AC2－CE2＝4 2，∴AM＝AEA·CAF＝8 3 2.
(3)若 DE＝4，BE＝5，求 BI 的长．
解：∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BDA， ∴△DEA∽△DAB， ∴AD∶BD＝DE∶DA， 即 AD∶9＝4∶AD，∴AD＝6， ∴DI＝6，∴BI＝BD－DI＝9－6＝3.
沪科版数学九年级下册同步测试(优选5年真题,含解析)24.5 三角形的内切圆
三角形的内切圆一．选择题（共19小题）1．（2019•娄底）如图，边长为2的等边△ABC的内切圆的半径为（）A．1 B．C．2 D．2 2．（2019•荆门）如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（）A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定3．（2019•泸州）如图，等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB＝AC＝5，BC＝6，则DE的长是（）A．B．C．D．4．（2019•台湾）如图，直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，根据图中标示的长度与角度，求AD的长度为何？（）A．B．C．D．5．（2018•河北）如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5 B．4 C．3 D．2 6．（2018•烟台）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）A．56°B．62°C．68°D．78°7．（2018•荆门）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I'的坐标为（）A．（﹣2，3）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）8．（2017•玉林）如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕三角形顶点顺时针转过的角度是（）A．240°B．360°C．480°D．540°9．（2017•武汉）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（）A．B．C．D．10．（2017•眉山）如图，在△ABC中，∠A＝66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（）A．114°B．122°C．123°D．132°11．（2017•广州）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（）A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点12．（2016•德阳）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝，点D是BC边上的一点，AD＝BD ＝2DC，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，那么＝（）A．2 B．C．D．13．（2016•遵义）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，连接AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是（）A．B．C．D．2 14．（2016•河北）如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是（）A．△ACD的外心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的内心15．（2016•襄阳）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI、BD、DC．下列说法中错误的一项是（）A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合16．（2016•德州）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（）A．3步B．5步C．6步D．8步17．（2015•湖州）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（）A．CD+DF＝4 B．CD﹣DF＝2﹣3 C．BC+AB＝2+4 D．BC﹣AB＝2 18．（2015•遵义）将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝，则四边形AB1ED的内切圆半径为（）A．B．C．D．19．（2015•滨州）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（）A．B．2﹣2 C．2﹣D．﹣2二．填空题（共13小题）20．（2019•宿迁）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为．21．（2018•大庆）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，且AC＝6，则这个三角形的内切圆半径为．22．（2018•黄石）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，则△ABC内切圆的周长为23．（2018•湖州）如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是．24．（2018•娄底）如图，P是△ABC的内心，连接P A、PB、PC，△P AB、△PBC、△P AC 的面积分别为S1、S2、S3．则S1S2+S3．（填“＜”或“＝”或“＞”）25．（2018•威海）如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为．26．（2016•绵阳）如图，点O是边长为4的等边△ABC的内心，将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1，B1C1交BC于点D，B1C1交AC于点E，则DE＝．27．（2016•徐州）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，则∠BOC ＝°．28．（2016•咸宁）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的度数为．29．（2016•孝感）《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是步．30．（2016•株洲）△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，∠A＝75°，∠B＝45°，则圆心角∠EOF＝度．31．（2016•龙岩）如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10＝．32．（2015•大庆）边长为1的正三角形的内切圆半径为．三．解答题（共8小题）33．（2019•呼和浩特）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．（1）求证：E为BC的中点；（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．34．（2019•孝感）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．（1）求证：DG∥CA；（2）求证：AD＝ID；（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．35．（2019•鄂州）如图，P A是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O 于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：E为△P AB的内心；（3）若cos∠P AB＝，BC＝1，求PO的长．36．（2018•长沙）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD＝∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC＝8，AD＝3．（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三角形．（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．37．（2017•百色）已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若＝，如图1．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF＝2FC＝4，求AM的长．38．（2017•黄石）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF、BE．（1）求证：DB＝DE；（2）求证：直线CF为⊙O的切线．39．（2016•桂林）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣海伦公式S＝（其中a，b，c是三角形的三边长，p＝，S为三角形的面积），并给出了证明例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：∵a＝3，b＝4，c＝5∴p＝＝6∴S＝＝＝6事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．根据上述材料，解答下列问题：如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9（1）用海伦公式求△ABC的面积；（2）求△ABC的内切圆半径r．40．（2016•凉山州）阅读下列材料并回答问题：材料1：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．①古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式．我国南宋数学家秦九韶（约1202﹣﹣约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：．②下面我们对公式②进行变形：＝＝＝＝＝．这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦﹣﹣秦九韶公式．问题：如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝7，⊙O内切于△ABC，切点分别是D、E、F．（1）求△ABC的面积；（2）求⊙O的半径．24.5 三角形的内切圆参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．（2019•娄底）如图，边长为2的等边△ABC的内切圆的半径为（）A．1 B．C．2 D．2解：设△ABC的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°，CH⊥AB，∴∠OAH＝30°，AH＝BH＝AB＝，在Rt△AOH中，∵tan∠OAH＝＝tan30°，∴OH＝×＝1，即△ABC内切圆的半径为1．故选A．2．（2019•荆门）如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（）A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定解：连接BI，如图，∵△ABC内心为I，∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，∵∠3＝∠1，∴∠3＝∠2，∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5，即∠4＝∠DBI，∴DI＝DB．故选A．3．（2019•泸州）如图，等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB＝AC＝5，BC＝6，则DE的长是（）A．B．C．D．解：连接OA、OE、OB，OB交DE于H，如图，∵等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴OA平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∴点A、O、E共线，即AE⊥BC，∴BE＝CE＝3，在Rt△ABE中，AE＝＝4，∵BD＝BE＝3，∴AD＝2，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，AO＝4﹣r，在Rt△AOD中，r2+22＝（4﹣r）2，解得r＝，在Rt△BOE中，OB＝＝，∵BE＝BD，OE＝OD，∴OB垂直平分DE，∴DH＝EH，OB⊥DE，∵HE•OB＝OE•BE，∴HE＝＝＝，∴DE＝2EH＝．故选D．4．（2019•台湾）如图，直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，根据图中标示的长度与角度，求AD的长度为何？（）A．B．C．D．解：设AD＝x，∵直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，∴BD＝BE＝1，∴AB＝x+1，AC＝AD+CE＝x+4，在Rt△ABC中，（x+1）2+52＝（x+4）2，解得x＝，即AD的长度为．故选D．5．（2018•河北）如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5 B．4 C．3 D．2解：连接AI、BI，∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，∴∠CAI＝∠BAI，由平移得AC∥DI，∴∠CAI＝∠AID，∴∠BAI＝∠AID，∴AD＝DI，同理可得BE＝EI，∴△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+AD+BE＝AB＝4，即图中阴影部分的周长为4，故选B．6．（2018•烟台）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）A．56°B．62°C．68°D．78°解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，∵∠AIC＝124°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）＝68°，又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B＝68°，故选C．7．（2018•荆门）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I'的坐标为（）A．（﹣2，3）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）解：过点作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，∵A（4，0），B（0，3），C（4，3），∴BC＝4，AC＝3，则AB＝5，∵I是△ABC的内心，∴I到△ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，∴IF＝1，故I到BC的距离也为1，则AE＝1，故IE＝3﹣1＝2，OE＝4﹣1＝3，则I（3，2），∵△ABC绕原点逆时针旋转90°，∴I的对应点I'的坐标为（﹣2，3）．故选A．8．（2017•玉林）如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕三角形顶点顺时针转过的角度是（）A．240°B．360°C．480°D．540°解：由题意可得第一次AO顺时针转动了120°，第二次AO顺时针转动了240°，第三次AO顺时针转动了120°，故当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是120°+240°+120°＝480°．故选C．9．（2017•武汉）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（）A．B．C．D．解：如图，AB＝7，BC＝5，AC＝8，内切圆的半径为r，切点为G、E、F，作AD⊥BC 于D，设BD＝x，则CD＝5﹣x．由勾股定理可知：AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即72﹣x2＝82﹣（5﹣x）2，解得x＝1，∴AD＝4，∵•BC•AD＝（AB+BC+AC）•r，×5×4＝×20×r，∴r＝，故选C．10．（2017•眉山）如图，在△ABC中，∠A＝66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（）A．114°B．122°C．123°D．132°解：∵∠A＝66°，∴∠ABC+∠ACB＝114°，∵点I是内心，∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，∴∠IBC+∠ICB＝57°，∴∠BIC＝180°﹣57°＝123°，故选C．11．（2017•广州）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（）A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点解：∵⊙O是△ABC的内切圆，则点O到三边的距离相等，∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；故选B．12．（2016•德阳）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝，点D是BC边上的一点，AD＝BD ＝2DC，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，那么＝（）A．2 B．C．D．解：如图，设⊙O与△ABD内切于E、F、G．∵DA＝DB，DG＝DF，∴BF＝AG＝BE＝AE，∵AB＝3，∴AE＝BE＝BF＝AG＝，设DF＝DG＝m，∵AD＝2DC，∴CD＝（+m），∵S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝2：1，∴：[+]•r2＝2：1，∴（6+2m）•r1：（6+2m）•r2═2：1，∴r1：r2＝3：2．故选C．13．（2016•遵义）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，连接AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是（）A．B．C．D．2解：∵四边形ABCD为矩形，∴△ACD≌△CAB，∴⊙P和⊙Q的半径相等．在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5，∴⊙P的半径r＝＝＝1．连接点P、Q，过点Q作QE∥BC，过点P作PE∥AB交QE于点E，则∠QEP＝90°，如图所示．在Rt△QEP中，QE＝BC﹣2r＝3﹣2＝1，EP＝AB﹣2r＝4﹣2＝2，∴PQ＝＝＝．故选B．14．（2016•河北）如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是（）A．△ACD的外心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的内心解：由图中可得OA＝OB＝OC＝，所以点O在△ABC的外心上，故选B．15．（2016•襄阳）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI、BD、DC．下列说法中错误的一项是（）A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合解：∵I是△ABC的内心，∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，故C正确，不符合题意；∴＝，∴BD＝CD，故A正确，不符合题意；∵∠DAC＝∠DBC，∴∠BAD＝∠DBC，∵∠IBD＝∠IBC+∠DBC，∠BID＝∠ABI+∠BAD，∴∠DBI＝∠DIB，∴BD＝DI，故B正确，不符合题意；故选D．16．（2016•德州）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（）A．3步B．5步C．6步D．8步解：根据勾股定理得斜边为＝17，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r＝＝3（步），即直径为6步，故选C．17．（2015•湖州）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（）A．CD+DF＝4 B．CD﹣DF＝2﹣3 C．BC+AB＝2+4 D．BC﹣AB＝2 解：如图，设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，∵将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，∴OG＝DG，∵OG⊥DG，∴∠MGO+∠DGC＝90°，∵∠MOG+∠MGO＝90°，∴∠MOG＝∠DGC，在△OMG和△GCD中，∴△OMG≌△GCD，∴OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2．∵AB＝CD，∴BC﹣AB＝2．设AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半径为r，⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r＝（a+b﹣c），∴c＝a+b﹣2．在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2＝（a+b﹣2）2，整理得2ab﹣4a﹣4b+4＝0，又∵BC﹣AB＝2即b＝2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4＝0，解得（舍去），∴，∴BC+AB＝2+4．再设DF＝x，在Rt△ONF中，FN＝，OF＝x，ON＝，由勾股定理可得，解得x＝4，∴CD﹣DF＝，CD+DF＝．综上只有选项A错误，故选A．18．（2015•遵义）将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝，则四边形AB1ED的内切圆半径为（）A．B．C．D．解：作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，过O作OF⊥AB1，则∠OAF＝30°，∠AB1O＝45°，故B1F＝OF＝OA，设B1F＝x，则AF＝﹣x，AO＝2x，在Rt△AOF中，∵AF2+OF2＝OA2，故（﹣x）2+x2＝（2x）2，解得x＝或x＝（舍去），∴四边形AB1ED的内切圆半径为．故选B．19．（2015•滨州）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（）A．B．2﹣2 C．2﹣D．﹣2解：∵等腰直角三角形外接圆半径为2，∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为2，∴它的内切圆半径为R＝（2+2﹣4）＝2﹣2．故选B．二．填空题（共13小题）20．（2019•宿迁）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为2．解：直角三角形的斜边＝＝13，所以它的内切圆半径＝＝2．故答案为2．21．（2018•大庆）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，且AC＝6，则这个三角形的内切圆半径为2．解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝8，∴这个三角形的内切圆半径＝＝2．故答案为2．22．（2018•黄石）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，则△ABC内切圆的周长为4π解：∵∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，∴AB＝＝10，∴△ABC的内切圆的半径＝＝2，∴△ABC内切圆的周长＝π•22＝4π．故答案为4π．23．（2018•湖州）如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是70°．解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，∴OB平分∠ABC，OD⊥BC，∴∠OBD＝∠ABC＝×40°＝20°，∴∠BOD＝90°﹣∠OBD＝70°．故答案为70°．24．（2018•娄底）如图，P是△ABC的内心，连接P A、PB、PC，△P AB、△PBC、△P AC 的面积分别为S1、S2、S3．则S1＜S2+S3．（填“＜”或“＝”或“＞”）解：过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，∵P是△ABC的内心，∴PD＝PE＝PF，∵S1＝AB•PD，S2＝BC•PF，S3＝AC•PE，AB＜BC+AC，∴S1＜S2+S3．故答案为＜．25．（2018•威海）如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为135°．解：如图，连接EC．∵E是△ADC的内心，∠ADC＝90°，∴∠ACE＝∠ACD，∠EAC＝∠CAD，∴∠AEC＝180°﹣（∠ACD+∠CAD）＝135°，在△AEC和△AEB中，，∴△EAC≌△EAB，∴∠AEB＝∠AEC＝135°，故答案为135°．26．（2016•绵阳）如图，点O是边长为4的等边△ABC的内心，将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1，B1C1交BC于点D，B1C1交AC于点E，则DE＝6﹣2．解：（方法一）令OB1与BC的交点为F，B1C1与AC的交点为M，过点F作FN⊥OB于点N，如图所示．∵将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1，∴∠BOF＝30°，∵点O是边长为4的等边△ABC的内心，∴∠OBF＝30°，OB＝AB＝4，∴△FOB为等腰三角形，BN＝OB＝2，∴BF＝＝＝OF．∵∠OBF＝∠OB1D，∠BFO＝∠B1FD，∴△BFO∽△B1FD，∴．∵B1F＝OB1﹣OF＝4﹣，∴B1D＝4﹣4．在△BFO和△CMO中，有，∴△BFO≌△CMO（ASA），∴OM＝BF＝，C1M＝4﹣，在△C1ME中，∠C1ME＝∠MOC+∠MCO＝60°，∠C1＝30°，∴∠C1EM＝90°，∴C1E＝C1M•sin∠C1ME＝（4﹣）×＝2﹣2．∴DE＝B1C1﹣B1D﹣C1E＝4﹣（4﹣4）﹣（2﹣2）＝6﹣2．故答案为6﹣2．（方法二）令OB1与BC的交点为F．∵△ABC是边长为4的等边三角形，O为△ABC的内心，∴OB＝×AB＝4．∵旋转的角度为30°，∴∠BOB1＝∠B1DF＝30°．∵∠OBF＝∠DB1F＝30°，∴△BOF、△B1FD为等腰三角形，∴BF＝OF＝＝，∴B1F＝FD＝OB1﹣OF＝4﹣．在△CDE中，∠DCE＝60°，∠CDE＝30°，∴DE＝CD＝（BC﹣BF﹣FD）＝6﹣2．故答案为6﹣2．27．（2016•徐州）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，则∠BOC ＝125°．解：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC＝35°，∠OCB＝∠ACB＝20°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣35°﹣20°＝125°．故答案为125．28．（2016•咸宁）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的度数为122°．解：在⊙O中，∵∠CBD＝32°，∵∠CAD＝32°，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAC＝64°，∴∠EBC+∠ECB＝（180°﹣64°）÷2＝58°，∴∠BEC＝180°﹣58°＝122°．故答案为122°．29．（2016•孝感）《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是6步．解：根据勾股定理得斜边为＝17，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r＝＝3（步），即直径为6步，故答案为6．30．（2016•株洲）△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，∠A＝75°，∠B＝45°，则圆心角∠EOF＝120度．解：∵∠A＝75°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣75°﹣45°＝105°﹣45°＝60°∵△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，∴∠OEC＝∠OFC＝90°，∵四边形OECF的内角和等于360°，∴∠EOF＝360°﹣（90°+90°+60°）＝360°﹣240°＝120°故答案为120．31．（2016•龙岩）如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10＝π．解：（1）图1，过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC＝∠OFC＝90°∵∠C＝90°∴四边形OECF为矩形∵OE＝OF∴矩形OECF为正方形设圆O的半径为r，则OE＝OF＝r，AD＝AE＝3﹣r，BD＝4﹣r∴3﹣r+4﹣r＝5，r＝＝1∴S1＝π×12＝π（2）图2，由S△ABC＝×3×4＝×5×CD∴CD＝由勾股定理得AD＝＝，BD＝5﹣＝由（1）得⊙O的半径＝＝，⊙E的半径＝＝∴S1+S2＝π×+π×＝π（3）图3，由S△CDB＝××＝×4×MD∴MD＝由勾股定理得CM＝＝，MB＝4﹣＝由（1）得⊙O的半径＝，：⊙E的半径＝＝，：⊙F的半径＝＝∴S1+S2+S3＝π×+π×+π×＝π∴图4中的S1+S2+S3+S4＝π则S1+S2+S3+…+S10＝π故答案为π．32．（2015•大庆）边长为1的正三角形的内切圆半径为．解：∵内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成一个30°的直角三角形，则∠OBD＝30°，BD＝，∴tan∠OBD＝＝，∴内切圆半径OD＝＝．故答案为．三．解答题（共8小题）33．（2019•呼和浩特）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．（1）求证：E为BC的中点；（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．解：（1）连接BD、OE，∵AB是直径，则∠ADB＝90°＝∠ADO+∠ODB，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO，∴∠EDB＝∠ADO＝∠CAB，∵∠ABC＝90°，即BC是圆的切线，∴∠DBC＝∠CAB，∴∠EDB＝∠EBD，则∠BDC＝90°，∴E为BC的中点；（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，∴AD：BM＝，而△ADH∽△MBH，∴DH：BH＝，则DH＝HM，∴HM：BH＝，∴∠BMH＝30°＝∠BAC，∴∠C＝60°，DE是直角三角形的中线，∴DE＝CE，∴△DEC为等边三角形，⊙O的面积：12π＝（AB）2π，则AB＝4，∠CAB＝30°，∴BD＝2，BC＝4，AC＝8，而OE＝AC＝4，四边形OBED的外接圆面积S2＝π（2）2＝4π，等边三角形△DEC边长为2，则其内切圆的半径为，面积为，故△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比为．34．（2019•孝感）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．（1）求证：DG∥CA；（2）求证：AD＝ID；（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．（1）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠2＝∠7，∵DG平分∠ADF，∴∠1＝∠ADF，∵∠ADF＝∠ABC，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥AC；（2）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠5＝∠6，∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，即∠4＝∠DAI，∴DA＝DI；（3）解：∵∠3＝∠7，∠AED＝∠BAD，∴△DAE∽△DBA，∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，∴AD＝6，∴DI＝6，∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．35．（2019•鄂州）如图，P A是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O 于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：E为△P AB的内心；（3）若cos∠P AB＝，BC＝1，求PO的长．（1）证明：连结OB，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB⊥PO，∴PO∥BC∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠POB，在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SAS），∴∠OBP＝∠OAP，∵P A为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∴PB是⊙O的切线；（2）证明：连结AE，∵P A为⊙O的切线，∴∠P AE+∠OAE＝90°，∵AD⊥ED，∴∠EAD+∠AED＝90°，∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED，∴∠P AE＝∠DAE，即EA平分∠P AD，∵P A、PB为⊙O的切线，∴PD平分∠APB∴E为△P AB的内心；（3）解：∵∠P AB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，∴∠P AB＝∠C，∴cos∠C＝cos∠P AB＝，在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，∴AC＝，AO＝，∵△P AO∽△ABC，∴，∴PO＝＝＝5．36．（2018•长沙）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD＝∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC＝8，AD＝3．（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三角形．（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．（1）解：∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，∵CE∥AD，∴AD为△BCE的中位线，∴CE＝2AD＝6；（2）证明：∵CE∥AD，∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE，而∠BAD＝∠CAD，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，而AB＝AE，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．（3）如图，连接BP、BQ、CQ，在Rt△ABD中，AB＝＝5，设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，在Rt△PBD中，（R﹣3）2+42＝R2，解得R＝，∴PD＝P A﹣AD＝﹣3＝，∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ＝S△ABC，∴•r•5+•r•8+•r•5＝•3•8，解得r＝，即QD＝，∴PQ＝PD+QD＝+＝．答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为．37．（2017•百色）已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若＝，如图1．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF＝2FC＝4，求AM的长．解：（1）连接OA．结论：△ABC为等腰三角形，理由：∵＝，∴∠EOF＝∠DOE，又∵∠EOF+∠C＝180°，∠DOE+∠B＝180°，∴∠C＝∠B，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形；（2）连接OB、OC、OD、OF，如图，∵等腰三角形ABC中，AE⊥BC，∴E是BC中点，BE＝CE，在Rt△AOF和Rt△AOD中，，∴Rt△AOF≌Rt△AOD，∴AF＝AD，同理Rt△COF≌Rt△COE，CF＝CE＝2，Rt△BOD≌Rt△BOE，BD＝BE，∴AD＝AF，BD＝CF，∴DF∥BC，∴＝，∵AE＝＝4，∴AM＝4×＝．38．（2017•黄石）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF、BE．（1）求证：DB＝DE；（2）求证：直线CF为⊙O的切线．（1）证明：∵E是△ABC的内心，∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC，∵∠BED＝∠BAE+∠EBA，∠DBE＝∠EBC+∠DBC，∠DBC＝∠EAC，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE．（2）连接CD．∵DA平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，∴＝，∴BD＝CD，∵BD＝DF，∴CD＝DB＝DF，∴∠DBC＝∠DCB，∠F＝∠DCF，∴2∠DBC+2∠F＝180°，∴∠DBC+∠F＝90°，∴∠BCF＝90°，∴BC⊥CF，∴CF是⊙O的切线．39．（2016•桂林）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣海伦公式S＝（其中a，b，c是三角形的三边长，p＝，S为三角形的面积），并给出了证明例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：∵a＝3，b＝4，c＝5∴p＝＝6∴S＝＝＝6事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．根据上述材料，解答下列问题：如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9（1）用海伦公式求△ABC的面积；（2）求△ABC的内切圆半径r．解：（1）∵BC＝5，AC＝6，AB＝9，∴p＝＝＝10，∴S＝＝＝10；故△ABC的面积10；（2）∵S＝r（AC+BC+AB），∴10＝r（5+6+9），解得r＝，故△ABC的内切圆半径r＝．40．（2016•凉山州）阅读下列材料并回答问题：材料1：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．①古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式．我国南宋数学家秦九韶（约1202﹣﹣约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：．②下面我们对公式②进行变形：＝＝＝＝＝．这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦﹣﹣秦九韶公式．问题：如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝7，⊙O内切于△ABC，切点分别是D、E、F．（1）求△ABC的面积；（2）求⊙O的半径．解：（1）∵AB＝13，BC＝12，AC＝7，∴p＝＝16，∴＝＝24；（2）∵△ABC的周长l＝AB+BC+AC＝32，∴S＝lr＝24，∴r＝＝．。
九年级数学下册 第章 圆 5 三角形的内切圆练习沪科版 试题
轧东卡州北占业市传业学校2 三角形的内切圆1.以下说法中，不正确的选项是 ( )A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．给出以下说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，那么这个三角形的周长等于 ( )A．21 B．20 C．19 D．184.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，那么这个三角形的周长等于 ( )A．21 B．20 C．19 D．185.△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，那么∠AIB的度数是〔〕A．120° B．125° C．135° D．150°6．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，假设∠DEF=52o，那么∠A=________．7．：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．8．：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．9．：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．(1)假设AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；(2)假设AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．。
九年级数学下册第24章圆24.5三角形的内切圆同步练习含解析沪科版
三角形的内切圆知识点 1三角形内切圆的看法及性质1．2017·广州如图24－5－1所示，⊙ O是△ ABC的内切圆，则点O是△ABC的()图 24－5－1A.三条边的垂直均分线的交点B．三条角均分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点2．以下说法错误的选项是()A．三角形的心里到三边的距离相等B．一个三角形必定有独一一个内切圆C．一个圆必定有独一一个外切三角形D．等边三角形的内切圆与外接圆是齐心圆3．教材例题变式如图24－5－2所示，在△ ABC中，∠ A＝66°，点I是心里，则∠ BIC的度数为 ()图 24－5－2A. 114°B．122°C． 123°D．132°4．教材习题24.5 第 2 题变式如图24－5－3，在△ ABC中，内切圆I 与边 BC， CA，AB 分别相切于点D， E， F，若∠ A＝70°，则∠ EDF＝________°.图 24－5－ 35．2018·湖州如图 24－ 5－ 4，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ ABC＝40°，则∠ BOD的度数是________．图 24－5－4别为 S1， S2， S3，则 S1________S2＋ S3.(填“＜”“＝”或“＞”)图 24－5－5知识点 2作三角形的内切圆7．为美化校园，学校准备在如图24－ 5－ 6 所示的三角形空地上修筑一个面积最大的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花坛( 保留作图印迹，不要求写作法) ．图 24－5－68．如图 24－ 5－ 7 所示，O是△ABC的心里，过点O作 EF∥ AB，与 AC，BC分别交于点E，F，则()图 24－5－7A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BFC．EF＝AE＋BF D．EF≤ AE＋BF9．如图 24－ 5－ 8，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则以下说法正确的选项是()图 24－5－8A．点O是△ABC的心里B．点O是△ABC的外心C．△ABC是等边三角形D．△ABC是等腰三角形10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有以下问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，如图24－ 5－ 9，勾 ( 短直角边 ) 长为 8 步，股 ( 长直角边 ) 长为 15 步，问该直角三角形能容纳的圆形( 内切圆 ) 直径是多少？” ()图 24－5－9A．3 步B． 5 步C．6 步D． 8 步11．如图 24－ 5－ 10，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝ 40°，延长AC到点D，使CD＝BC，点P 是△ ABD的心里，则∠ BPC的度数为()图 24－ 5－10A． 105°B．110°C． 130°D．145°12．如图 24－ 5－ 11， Rt △ABC的内切圆⊙O切斜边AB于点D，切BC于点E，BO的延长线交 AC于点 M.求证： BO· BC＝ BD·BM.图 24－ 5－1113．教材习题 24.5 第 5 题变式如图 24－ 5－ 12，E为△ABC内一点，AE的延长线交△ABC的外接圆⊙ O于点 D，且 DB＝DC＝ DE.求证： E 为△ ABC的心里．图 24－ 5－1214．如图 24－5－ 13，在等腰三角形ABC中，CA＝CB，AD是腰BC边上的高，△ACD的内切圆⊙ E 分别与边 AD， BC相切于点 F， G.(1)求证： AF＝ BG；(2)过点 E作 EH⊥ AB于点 H，试一试究线段 EH与线段 AB的数目关系，并说明原由．图 24－ 5－13︵︵24－ 5－ 14① .(1)判断△ ABC的形状，并证明你的结论；(2)设 AE与 DF订交于点 M，如图②， AF＝2FC＝4，求 AM的长．图 24－ 5－14教师详解详析[ 解析 ]∵∠ A ＝ 66°，∴∠ ABC ＋∠ ACB ＝ 114° . ∵点 I 是心里，11∴∠ IBC ＝2∠ ABC ，∠ ICB ＝2∠ ACB ，∴∠ IBC ＋∠ ICB ＝ 57°，∴∠ BIC ＝ 180°－ 57°＝ 123° . 应选 C .4． 55 [ 解析 ] 连接 IE ， IF ，∵⊙ I 内切于△ ABC ，∴∠ IEA ＝∠ IFA ＝ 90°，∴∠ EIF ＝1180°－∠ A ＝ 110° . 由圆周角定理，得∠ EDF ＝ 2∠ EIF ＝ 55° .5． 70° [ 解析 ] ∵△ ABC 的内切圆⊙ O 与 BC 边相切于点 D ， ∴ OB 均分∠ ABC ， OD ⊥ BC ，1 1 ∴∠ OBD ＝ ∠ ABC ＝ × 40°＝ 20°，22∴∠ BOD ＝ 90°－∠ OBD ＝ 70° . 6．＜[ 解析 ] 过点 P 作 PD ⊥ AB 于点 D ， PE ⊥ AC 于点 E ， PF ⊥ BC 于点 F ，∵ P 是△ ABC 的心里，∴ PD ＝ PE ＝PF.111∵ S 1＝ 2AB ·PD ， S 2＝ 2BC ·PF ， S 3＝2AC ·PE ， AB ＜ BC ＋AC ，∴ S 1＜ S 2＋ S 3.7．解：以以以下图的⊙ O.8． C [ 解析 ] 连接 OA ， OB ，则 AO ，BO 分别是∠ CAB 与∠ CBA 的均分线， ∴∠ EAO ＝∠ OAB.∵ EF ∥ AB ，∴∠ EOA ＝∠ OAB ， ∴∠ EOA ＝∠ EAO ，∴ AE ＝ EO.同理可得： FO ＝ BF ， ∴ EF ＝ AE ＋BF. 应选 C .9． A [ 解析 ] 如图，过点 O 作 OM ⊥ AB 于点 M ， ON ⊥ BC 于点 N ， OQ ⊥ AC 于点 Q.∵ DE ＝ FG ＝HK ，∴ OM ＝ ON ＝ OQ ， 即点 O 到△ ABC 三边的距离相等，∴点 O 是△ ABC 的心里．应选 A .1． B 2． C 3． C10．C [ 解析 ] 依据勾股定理得斜边长为82＋ 152＝ 17，则该直角三角形能容纳的圆形8＋ 15－ 17＝ 3( 步 ) ，则直径为 6 步．故( 内切圆 ) 半径 r ＝2选 C.11．D[ 解析 ]连接PD，连接AP并延长交BC于点 E，∵AB＝ AC，∠ A＝ 40°，1∴∠ ABC＝∠ ACB＝2(180 °－∠ A) ＝ 70°.∵CD＝ CB，∴∠ D＝∠ CBD，而∠ ACB＝∠ D＋∠ CBD，1∴∠ CBD＝∠ ACB＝ 35°，∴∠ ABD＝ 35°＋ 70°＝ 105° .∵点 P 是△ ABD的心里，∴AP 均分∠ BAC， BP均分∠ ABD，1∴AE 垂直均分 BC，∠ PBD＝∠ABD＝ 52.5 °，2∴∠ PBC＝ 52.5 °－ 35°＝ 17.5 ° .∵PE 垂直均分 BC，∴ PB＝ PC，∴∠ PBC＝∠ PCB＝ 17.5 °，∴∠ BPC＝ 180°－ 17.5 °－ 17.5 °＝ 145° .12． [ 解析 ] 连接 OD，证明△ BOD∽△ BMC即可．证明：连接 OD，∵⊙ O为Rt△ ABC的内切圆， D， E 均为切点，∴ OD⊥ AB，∠ OBD＝∠ MBC.又∵∠ C＝ 90°，∴∠ ODB＝∠ C＝ 90°，BO BD∴△ BOD∽△ BMC，∴＝，BM BC即 BO·BC＝BD·BM.︵︵13．证明：连接BE，∵ DB＝DC，∴ DB＝ DC，∴∠ DAB＝∠ DAC＝∠ DBC，∴ AD为∠ CAB的均分线．∵DB＝ DE，∴∠ DBE＝∠ DEB，即∠ DAB＋∠ ABE＝∠ DBC＋∠ CBE，∴∠ ABE＝∠ CBE，∴ BE均分∠ ABC，∴ E 为△ ABC的心里．14．解： (1) 证明：如图，设△ACD的内切圆⊙ E 与边 AC相切于点I ，∵△ ACD的内切圆⊙ E 与边 BC相切于点G，∴ CI＝ CG.同理可得AI ＝ AF.∵CA＝ CB，CI ＝ CG，∴ AI ＝BG，∴ AF＝ BG.1(2)EH ＝ AB.2原由：如图，过点 E 作 EH⊥ AB于点 H，连接 AE，BE， CE，由⊙ E 是△ ACD的内切圆可知∠ACE＝∠ BCE.在△ ACE和△ BCE中，CA＝ CB，∠ACE＝∠ BCE，CE＝ CE，∴△ ACE≌△ BCE(SAS)，∴∠ AEC＝∠ BEC， AE＝ BE.∵ E 是△ ACD的内切圆的圆心，∠ADC＝90°，1∴∠ AEC＝ 90°＋2∠ ADC＝ 135°，∴∠ BEC＝∠ AEC＝ 135°，∴∠ AEB＝ 90° .又∵ AE＝ BE，∴△ ABE为等腰直角三角形．1∵EH⊥ AB于点 H，∴ EH＝2AB.15．解： (1) △ ABC为等腰三角形．证明：∵△ ABC的内切圆⊙ O与 AB， BC，AC分别相切于点D， E， F，∴∠ CFO＝∠ CEO＝∠ BDO＝∠ BEO＝ 90° .∵四边形的内角和为360°，∴∠ EOF＋∠ C＝ 180°，∠ DOE＋∠ B＝180° .︵︵∵EF＝ DE，∴∠ EOF＝∠ DOE，∴∠ B＝∠ C，∴ AB＝AC，∴△ ABC为等腰三角形．(2)连接 OB， OC， OD， OF，如图，∵在等腰三角形ABC中， AE⊥ BC，∴ E 是 BC的中点，即BE＝ CE.由题意得AF＝ AD＝ 4， CF＝ CE＝2， BD＝BE，∴BD＝ CF＝2，AM AF2∴DF∥ BC，∴ ＝＝ . AEAC32 2∵AE＝ AC－ CE＝ 4 2，2 82∴AM＝42×3＝3.。
九年级数学下册 26.6 三角形的内切圆讲解与例题 沪科版
三角形的内切圆1．三角形的内切圆及作法(1)三角形的内切圆及内心的概念与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．如图I即为△ABC的内切圆，I为△ABC的内心．(2)三角形的内切圆的作法分别作∠BAC，∠CBA的角平分线，它们的交点I就是圆心，过I点作ID⊥BC，线段ID 的长就是所要画的圆的半径，因此以I点为圆心，ID的长为半径作圆，则I必与△ABC的三条边都相切．一个三角形有唯一的内切圆，但是一个圆可以有无数个外切三角形．【例1】如图，有一块三角形材料(△ABC)，请你画出一个圆，使其与△ABC的各边都相切．分析：由题意知：所求作的圆其实是△ABC的内切圆，可作△ABC任意两个内角的角平分线，所得的交点即为所求圆的圆心，过圆心作任意一边的垂线，以这条垂线段为半径即可画出此圆．解：如图，分别作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点P，过点P作PD⊥BC，以点P为圆心，PD为半径作P，则P即为所求作的圆．2．内心的性质三角形的内心实际上就是三角形内角角平分线的交点，它具有以下两条性质：(1)三角形的内心到三角形的三边距离相等；(2)三角形的内心与三角形一角的顶点的连线平分这个角．三角形内心与外心不同：①三角形的外接圆经过三角形的三个顶点，而三角形的内切圆与三角形的各边都相切；②三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，外心是三角形三条边的垂直平分线的交点；③三角形的内心一定在三角形内部，而三角形的外心不一定在三角形内部．【例2－1】下列命题正确的是( )．A ．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等B ．三角形的内心不一定在三角形的内部C ．等边三角形的内心，外心重合D ．一个圆一定有唯一一个外切三角形 解析：选项 正误 原因 A × 内心到三边距离相等，不是到三个顶点距离相等，故错误．B×三角形的内心一定在三角形内部，故错误．C √ 等边三角形的内心和外心是同一个点，因此正确．D × 一个圆可以有无数个外切三角形，故错误. 答案：C【例2－2】已知O 是△ABC 的内心，∠A ＝80°，求∠BOC 的度数．分析：如图要求出∠BOC 的度数，只需求出∠1＋∠3的度数；而要求出∠1＋∠3的度数，只需根据三角形内角和定理求出∠ABC ＋∠ACB 的度数即可．解：∵∠A ＝80°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝100°. 又∵O 是△ABC 的内心，∴∠1＝12∠ABC ，∠3＝12∠ACB ．∴∠1＋∠3＝50°.又∵∠1＋∠3＋∠BOC ＝180°， ∴∠BOC ＝130°.如果O 是△ABC 的内心，则有∠BOC ＝90°＋12∠A ．【例2－3】在△ABC 中，已知∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，则它的内切圆半径是( )．A ．32B ．1C ．2D ．23解析：如图，O 是△ACB 的内切圆，切点为D ，E ，F .先根据勾股定理求出Rt△ABC 的斜边长为5，连接OA ，OB ，OC ，易证△AOE ≌△AOF ，△BOF ≌△BOD ，△COD ≌△COE ，则有AF ＝AE ，BF ＝BD ，CD ＝CE .设三角形内切圆半径为r ，易证四边形ODCE 为正方形，所以CD ＝CE ＝r .因为AB ＝AF ＋BF ＝AE ＋BD ＝AC －CE ＋BC －CD ＝AC －r ＋BC －r ，所以r ＝AC ＋BC －AB 2＝3＋4－52＝1.答案：B此题的解法可以得出直角三角形内切圆的半径公式为r ＝12(a ＋b －c )(其中，a ，b ，c 为直角三角形的三边，c 为斜边)．3．三角形内心与外心的关系 圆的名称 三角形的外接圆 三角形的内切圆 三角形的名称 圆内接三角形 圆外切三角形 圆心的确定 三角形的三边中垂线的交点 三角形的三条内角平分线的交点 圆心的名称 外心 内心圆心的性质 外心到三角形的三个顶点的距离相等 内心到三角形的三条边的距离相等【例3】已知正三角形边长为6 cm ，求它的内切圆半径及外接圆半径． 分析：关键是确定正三角形的内切圆圆心和外接圆圆心．解：如图所示．已知△ABC 是正三角形，AD ⊥BC 于D ，O 为内心， 由等边三角形的“三线合一”，知BD ＝DC ，∴BD ＝12BC ＝3 cm ，∠OBD ＝12∠ABD ＝30°.内切圆半径OD ＝BD ×tan 30°＝3×33＝3(cm)， 外接圆半径OB ＝2OD ＝23(cm)．由此题可以得出等边三角形的内切圆半径r ，外接圆半径R 和高h 之比为1∶2∶3.4．三角形内切圆半径公式 观察图形，三条角平分线将三角形分成三个三角形，而每个三角形的高均为内切圆的半径，底为三角形的边长．所以S △ABC ＝S △OAB ＋S △OBC ＋S △OCA ＝12AB ·r ＋12BC ·r ＋12AC ·r ＝12(AB ＋BC ＋AC )·r＝12(a ＋b ＋c )·r (r 为三角形内切圆的半径，S 表示三角形的面积)．所以r ＝2Sa ＋b ＋c.这就是求三角形内切圆半径的公式．上述三角形面积的探究过程中隐含了一种重要的数学思维方法，有些图形的面积可以通过适当的分割，分割为若干个可求图形的面积，利用整体面积等于各个部分面积之和从而获得结论．【例4】如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，O 为△ABC 的内切圆，点D 是斜边AB 的中点，则tan∠ODA ＝( )．A ．32 B ．33C ． 3D ．2 解析：设O 与AB 相切于点E ，连接OE ， 则OE ⊥AB ．根据勾股定理得AB ＝10，由于D 是AB 中点， ∴AD ＝BD ＝5.易求三角形的面积为12×6×8＝24，三角形内切圆的半径r ＝2S a ＋b ＋c ＝2×246＋8＋10＝2，即OE ＝2.由【例2－3】中的结论易知AE ＝AF ＝AC －FC ＝6－2＝4， 所以DE ＝AD －AE ＝5－4＝1，从而求得tan∠ODA ＝OE DE ＝21＝2.答案：D 本题在求三角形的内切圆半径时，也可以利用直角三角形的特有的内切圆半径公式．。
2017春九年级数学下册24.5三角形的内切圆复习题(新版)沪科版
24.5三角形的内切圆 24.5三甬理的内切圆颐门-ffttfi 的肉切Iwl«»1三牺母帕内勿■1 -H«]Vt.ilA iff ifliflf TAfl.WI W 寺匸凹I ：的甲°豊J*辭理［三痢需佝切■前性驕z点上在Afi 上一 B M （门三側弗的三辺号幫内阅隔曹陶烘h打 仙■叱■仇HC ■筑咒 册■丄 K 卩）三角形的内心是三馬帝三*J作FEW 于点J L . iftSJ 卞狂为片 M 1腐舉分域的虫魚”创三边禹距点FXf眄氐血5 2k«.D p .\冬匾*- tt弔萼■井且内心一定在三角晤的 7 £M. «7 il :艸7A \!J\即寸工*・・咼“斗•［別订 狀：珀亦A.VN ：中」EA UJC 的i 内出鼻(MHH»4A.4BC 购内刖同®/的■艳检为斗.■昭有孟三和賂的円心的出庇萨勢的星C 0 ）. 忙内心垦三越垂直干分探的金虑 乩由右星三杲中妊的心， （-.円十畀三亍］!住的卽髙帽即D.内右到三边的甲筒笊耳工如（flil J7.冲篇翹三静彩｛，因G 足事址T 和感曲的内\ 如■怕内楼说hi& kVN»-S-9f *Kti,zc=»*.Q/ TriiijtJl 4c.,flt:.tJ?于£」，劃IH1A1W.的由心M y 州心t ）之间的 杯曳址$i.用肉理.直起作阿.不宵作茁.目震保胃作P.W4- U0ffl 24-5-1, ittH. LL蜒” 4f 丄化櫛 » “眦 電£F / 4fr,制 £ 助* • iO.UH =Ff 24-3-J亠・■輩恵萄虬井事屮.点血•前嘴h ■皆韋为"enw ,關KiinfUf 前内心的帘标£_，I ,丨.」...+£==2D£tm>.利用*挺用尊d —川十T ft A«s r 帯pI2xlti =12KT f-4-x I*&+J-K2Dxr*劇理別 0“ 的]-■峠F =I*. 4f ■ rtlCSjfihH EF ■样:m..■. £F=lf>-8-E = 4{ i ia) .丄解■BflSMA 的H 砸杞饭即色isr:的内畑H”如罔『甘斛柞 zfiit 相丄”加的宰井IV 更于点 叭以o 育岡心•收o 別 卅:的甌寫为外憑髓耐贰即闵胸祇布的mK. OnFR 24-5-7,.fr®^ ABtfi 中,4ff= 12 忙卑=15 刊叫®叽 ©rr i/iMIE A wt.也 WM .的内切■.层.F 沟 MJA,点 JL 亩fflfeit *fr tafl 24- |W ；J_>5 S-*W 帽豁-牛声卜昶尢的嵐慝花坛.iff 嵌阳中刚出这+霹惬相比御JJ-S-I3一 wra34-s-z h Ajlt'.W.H £4 = £W1 问理可申已 FWsHJ^iH Ws Uf+m < iV分常：担琨为两卡金等塔鼻耳工坤郵 扭蠱■则?!£*€/・哺哄囂•*出 値唏 钛印哪,< Rl A iAT ： + .M «出內iff 四旳4■崔r .曰丐碍邸Al ，HHif^OUK ：峠,41・ 12 r.*MT ・2-JS5f«】一已知I 聖乙抽匚的冋心,z L.咏* £ lf ：K - 110". m 的«C€( 1 )-A. HITB. IM*C. 125sD. 133*井忆由貝*蒯第內"和稈ZfliCi ror P M a ―师* L fl ： H 山毗趴丄―巧皿・IW .1A (ftf ；的内切■的呵氏孙 11)-A, Av B.bit 匚 4n It In分斬：曲巴*曙 W ：-S,«：=12,^+JAW ^^kJB + 444 i* 11_ 11 : ・2,<riftia ■椚冋憑均《▼■嶽魂c3. iEfR 24-5-1.Rl AIM. 内切离白町与 却止呦边 诙皿 汕SI«l UJ FA ”上，过 弄诞应〔车包搞城心D.f > [吓―点尸 惟0“的明址»\,*.] I 心他甘SIN 于 * W. V £◎“的+严对入斟HiAtf/rv 的唧丘削{: h A. r 氐-yr C 2r 1>. *T 井柄：i!4t OD, W, . ©C 是 Rt A IJTT ；的冉曲8L-*- On 丄 UJ /WL iflt.又一 WD . wr ttiOfj A £>,r *-T ..UD* *TF,冋便可呼 xr- IL. .'. c ■■鮎R >WfirJT.V+ ,l.li* VB + HH+ X WM ・ UH* N "“d+.、E 土 JHh 皿-・：b*號邊 C_ -■空.4~iiU« W-5-«.OW 的由划则■訓jft 分坯尾0岸上、舟l^ = 9,U=7 ■即=入州州：=-，.井输■IrtHfc 瓷理4対M 心寸厂1?」=忖U U-<1 =7-2-^=«/>=1/i- UJ =4汁=4^^：=出:试：氐』”丁 =ft曲必；、“=寸'xh 再TT = JT^-n.6- lE|^2^S-ll h QO !£ i UfC 的内切M,D t A J 卄別片阳處、 ilD-3 <n ,Df ：>3 平工 l 川 的同 E H 2： ”叫犁Z UTP9K 冲」_g甘軒二哥^oo < i 脚吟肉M 留*对注a:= w 、出:=凶\* 0）=0'.幷讯昌悅f ；时旧鶯井肘直+ 2WJ + 8曲 Hli= 1 ・m*M ： = 3 i-m, *fr*A +* =3 rn 歸■池 1fT = h <WL 三JIMr torn 24-5-祐<■的内切■的古粗为9<,K At/ff-的尉配里罢少？ 0奁肮马M 切于必I 艮连搖 叫枫由鬼虑-?ew 的申斥丹3.即 #D ・工倔冲昌ME 艮聲辿三阳瞪*所 U«B»6. fif ） ■ *M BL *f\^r Mt AAWCKiqtUH^.m24-$-L3 (*Kem]W.-lDl^L ：丄" 伪丄tit: J fi.L ： o 审./:.址-辻站址曲 SI 力匚卜店、則 fft -恨；・(If -r.FiliK «l. 逋曲ma fl-y , ur-5,1^17 iw»^./rn-4. x w:-6. 歸以f 血“曲U腔龙用崙1( = ZT.由由帆旅I 串亠.H —iftJ'-胛■丄r -(腼*型；+-忙)离—_.工 ____ 2 _____ 11+ /I36L （30IJ “占耒人宁** • M 期小和闻逢财輯； 已忆・怔用31-3-理口）■莊■用血％的畠⑷；中.JKr ・ 4C-1. w>f ，AWn O 的整廉为,jjSftrt<<Mr,DC,A .UK 黄刖甘刘三卩小三闻程（I -煤It 推理 音丽和 M S|ZJNE!|fli I 曲力 u /+ 内 tJiM （ 'i?r 笛!每栩切的■）・tam W-5- 务边屁甘屛* L 、 山沁 t-D 「，UM£ 求 M ：!ll& UWR 的内 L J M r 耳 r ； （U 理输取用.：［］用2U 」-L4（和上耳權从辭*皿工中"IH/f IM ：. ］］ b U ）- 13, Q^, 1, QOj 分B| 为 'j內切虬谡它和的単用叶伺肖《 fflg此第-1 I ）如用（订储擴伽川叙X ■-■ 5 ■**吟 t和“ *S 申中+S q* ■ —d*A<rv/〔外如用1",过戊"11阿・丄忧于点启 刑 1A-/K.') ■-^-«{ il-li >= 5-亠 XM .= JW* = /n 1^1=i2. 时：=\肛 ^ =2l-5=l<i.UIJ> v /i^J 4H£I * /l2J + 16J *2[)L-J-xtB+il+JOJr,輕1£里丄 ------------------id -J-X ( J 1*11*30)^区综合捉升圳练XiS L r — i 一- JL iH(BZ4-5-l3,frSiflFilUir41J 1ita B-y, lff*5,£T<M6iK If:弔屋用 M-3-fi 井斬：点巴七稈*it 丘命•椅音片3\肯帕■羊轻恢为亨m 1*-!?*? m 34^*10 m 34-3-1） 羸■用"-4HLQ 尬是逾性为［的聆边三甫幣的科讲ILJM ㈣中附吉厝分的血隈为. nr■ ——EC - f r-"4 ' AKKis i eis>。
【志鸿优化设计】2021届九年级数学下册 26.6 三角形的内切圆讲解与例题 沪科版(1)
三角形的内切圆1．三角形的内切圆及作法(1)三角形的内切圆及内心的概念与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心．那个三角形叫做圆的外切三角形．如图I即为△ABC的内切圆，I为△ABC的内心．(2)三角形的内切圆的作法别离作∠BAC，∠CBA的角平分线，它们的交点I确实是圆心，过I点作ID⊥BC，线段ID的长确实是所要画的圆的半径，因此以I点为圆心，ID的长为半径作圆，那么I必与△ABC的三条边都相切．一个三角形有唯一的内切圆，可是一个圆能够有无数个外切三角形．【例1】如图，有一块三角形材料(△ABC)，请你画出一个圆，使其与△ABC的各边都相切．分析：由题意知：所求作的圆实际上是△ABC的内切圆，可作△ABC任意两个内角的角平分线，所得的交点即为所求圆的圆心，过圆心作任意一边的垂线，以这条垂线段为半径即可画出此圆．解：如图，别离作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点P，过点P作PD⊥BC，以点P为圆心，PD为半径作P，那么P即为所求作的圆．2．内心的性质三角形的内心事实上确实是三角形内角角平分线的交点，它具有以下两条性质：(1)三角形的内心到三角形的三边距离相等；(2)三角形的内心与三角形一角的顶点的连线平分那个角．三角形内心与外心不同：①三角形的外接圆通过三角形的三个极点，而三角形的内切圆与三角形的各边都相切；②三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，外心是三角形三条边的垂直平分线的交点；③三角形的内心必然在三角形内部，而三角形的外心不必然在三角形内部．【例2－1】以下命题正确的选项是( )．A．三角形的内心到三角形三个极点的距离相等B．三角形的内心不必然在三角形的内部C．等边三角形的内心，外心重合D．一个圆必然有唯一一个外切三角形解析：选项正误原因A × 内心到三边距离相等，不是到三个顶点距离相等，故错误．B × 三角形的内心一定在三角形内部，故错误．C √ 等边三角形的内心和外心是同一个点，因此正确．D×一个圆可以有无数个外切三角形，故错误.答案：C【例2－2】已知O 是△ABC 的内心，∠A ＝80°，求∠BOC 的度数．分析：如图要求出∠BOC 的度数，只需求出∠1＋∠3的度数；而要求出∠1＋∠3的度数，只需依照三角形内角和定理求出∠ABC ＋∠ACB 的度数即可．解：∵∠A ＝80°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝100°. 又∵O 是△ABC 的内心，∴∠1＝12∠ABC ，∠3＝12∠ACB ．∴∠1＋∠3＝50°.又∵∠1＋∠3＋∠BOC ＝180°， ∴∠BOC ＝130°.若是O 是△ABC 的内心，那么有∠BOC ＝90°＋12∠A ．【例2－3】在△ABC 中，已知∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，那么它的内切圆半径是( )．A ．32B ．1C ．2D ．23解析：如图，O 是△ACB 的内切圆，切点为D ，E ，F .先依照勾股定理求出Rt△ABC 的斜边长为5，连接OA ，OB ，OC ，易证△AOE ≌△AOF ，△BOF ≌△BOD ，△COD ≌△COE ，那么有AF ＝AE ，BF ＝BD ，CD ＝CE .设三角形内切圆半径为r ，易证四边形ODCE 为正方形，因此CD ＝CE ＝r .因为AB ＝AF ＋BF ＝AE ＋BD ＝AC －CE ＋BC －CD ＝AC －r ＋BC －r ，因此r ＝AC ＋BC －AB 2＝3＋4－52＝1.答案：B此题的解法能够得出直角三角形内切圆的半径公式为r ＝12(a ＋b －c )(其中，a ，b ，c 为直角三角形的三边，c 为斜边)．3圆的名称 三角形的外接圆 三角形的内切圆 三角形的名称 圆内接三角形 圆外切三角形 圆心的确定 三角形的三边中垂线的交点 三角形的三条内角平分线的交点 圆心的名称 外心 内心圆心的性质 外心到三角形的三个顶点的距离相等 内心到三角形的三条边的距离相等【例3】已知正三角形边长为6 cm ，求它的内切圆半径及外接圆半径． 分析：关键是确信正三角形的内切圆圆心和外接圆圆心．解：如下图．已知△ABC 是正三角形，AD ⊥BC 于D ，O 为内心， 由等边三角形的“三线合一”，知BD ＝DC ，∴BD ＝12BC ＝3 cm ，∠OBD ＝12∠ABD ＝30°.内切圆半径OD ＝BD ×tan 30°＝3×33＝3(cm)， 外接圆半径OB ＝2OD ＝23(cm)．由此题能够得出等边三角形的内切圆半径r ，外接圆半径R 和高h 之比为1∶2∶3.4．三角形内切圆半径公式 观看图形，三条角平分线将三角形分成三个三角形，而每一个三角形的高均为内切圆的半径，底为三角形的边长． 因此S △ABC ＝S △OAB ＋S △OBC ＋S △OCA ＝12AB ·r ＋12BC ·r ＋12AC ·r ＝12(AB ＋BC ＋AC )·r ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 为三角形内切圆的半径，S 表示三角形的面积)．因此r ＝2Sa ＋b ＋c.这确实是求三角形内切圆半径的公式．上述三角形面积的探讨进程中隐含了一种重要的数学思维方式，有些图形的面积能够通过适当的分割，分割为假设干个可求图形的面积，利用整体面积等于各个部份面积之和从而取得结论．【例4】如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，O 为△ABC 的内切圆，点D 是斜边AB 的中点，那么tan∠ODA ＝( )．A ．32 B ．33C ． 3D ．2 解析：设O 与AB 相切于点E ，连接OE ， 则OE ⊥AB ．依照勾股定理得AB ＝10，由于D 是AB 中点， ∴AD ＝BD ＝5.易求三角形的面积为12×6×8＝24，三角形内切圆的半径r ＝2S a ＋b ＋c ＝2×246＋8＋10＝2，即OE ＝2.由【例2－3】中的结论易知AE ＝AF ＝AC －FC ＝6－2＝4， 因此DE ＝AD －AE ＝5－4＝1，从而求得tan∠ODA ＝OE DE ＝21＝2.答案：D此题在求三角形的内切圆半径时，也能够利用直角三角形的特有的内切圆半径公式．。
2020年春九年级数学下册第24章圆24.5三角形的内切圆练习(无答案)(新版)沪科版
24.5 三角形的内切圆1.下列说法中，不正确的是 ( ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) A．21 B．20 C．19 D．184.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) A．21 B．20 C．19 D．185.△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（）A．120° B．125° C．135° D．150°6．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A=________．7．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．8．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC 的面积S．9．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．。
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练习15 三角形的内切圆
一．选择题
1．如图所示，ABC ∆的内切圆O 与AB 、BC 、AC 分别相切于点D 、E 、F ，若55DEF ∠=︒，则A ∠的度数是( )
A ．35︒
B ．55︒
C ．70︒
D ．125︒
2．如图，在ABC ∆中，点D 是ABC ∆的内心，连接DB ，DC ，过点D 作//EF BC 分别交AB 、AC 于点E 、F ，若8BE CF +=，则EF 的长度为( )
A ．4
B ．5
C ．8
D ．16
3．如图，ABC ∆中，80A ∠=︒，点O 是ABC ∆的内心，则BOC ∠的度数为( )
A ．100︒
B ．160︒
C ．80︒
D ．130︒
二．填空题
4．如图，ABC ∆的周长为24cm ，8AC cm =，O 是ABC ∆的内切圆，O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N ，则BMN ∆的周长为 cm ．
5．如图，O是等边ABC
∠
∆的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF上一点，则EPF 的度数是．
6．如图，O是Rt ABC
BC=，则AF=．
AC=，4
C
∆的内切圆，切点分别为D、E、F，90
∠=︒，3
三．解答题
7．如图．已知ABC
∆的内∆的周长为2p，在AB、AC上分别取点M和N，使//
MN BC，且MN与ABC
切圆相切．求MN的最大值．
8．如图，点I是ABC
∆外接圆于点E．求证：IE BE CE ∆的内心，AI的延长线交边BC于点D，交ABC
==．
9．如图，点E 是ABC ∆的内心，AE 的延长线和ABC ∆的外接圆相交于点D ，交BC 于F ．
（1）若40ABC ∠=︒，80C ∠=︒，求CBD ∠的度数；
（2）求证：DB DE =；
（3）若6AB =，4AC =，5BC =，求DE 的长．
1．如图，在ABC ∆中，58C ∠=︒，点O 为ABC ∆的内心，则AOB ∠的度数为( )
A ．119︒
B ．120︒
C ．121︒
D ．122︒
2．如图，O 是ABC ∆内切圆，切点为D 、E 、F ，90A ∠=︒，30C ∠=︒，则DFE ∠度数是 度．
3．已知如图，Rt ABC ∆中，内切圆O 的半径1r =．求：ABC S ∆的最小值．
4．如图，点E是ABC
=．
∆的外接圆相交于点D．求证：DE DB ∆的内心，AE的延长线和ABC。