抛物线的简单几何性质(2)
抛物线的简单几何性质(2)
时，它们没有交点.
时，它们有两个交点.
(3)当k∈
时，它们有一个交点.
思考 1:(课本第 71 页例 6) 2 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定 点 P (2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物 线 y 2 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?
0 2
162k 2 k 1.
1 3 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或 k 时, 方程 ①没有实数解, 从而 2 方程组 没有解.这时, 直线 l 与抛物线没有公共点 .
0 2
思考 2: 2 若抛物线 y x 存在关于直线 l : y 1 k ( x 1) 对称的两点,求实数 k 的取值范围. 答案: 2 k 0
分 析： 假设 存在 关于 直线 l : y 1 k ( x 1) 对 称 的 两 点 A、B,看 k 应满足什么条 件. 显然 k 0 不合题意,∴ k 0 1 ∴直线 AB 的方程为 y x b k 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.
2
1 这时, 直线l 与抛物线只有一个公共 ,1 . 点 4
2 当k 0 时, 方程①的判别式为
1 1 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或k 时 , 方程 ①只有一个解, 从 2 而方程组只有一个解.这时, 直线 l 与抛物线只 有一个公共点 . 1 0 2 2 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 1 k . 2 1 于是,当 1 k 且k 0时, 方程 ①只有两个解, 2 从而方程组只有两个解.这时, 直线 l 与抛物线 有两个公共点 .
抛物线的简单几何性质(第2课时)(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
解析
x－y＝2，
由 2
y ＝4x
得 x2－8x＋4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，
故线段AB的中点坐标为(4,2).
→ →
5.已知定点 F(1,0)，动点 P 在 y 轴上运动，点 M 在 x 轴上，且PM·PF＝0，延长
→
→
2
-8
,x1-x2=
2
=
2
-8
.
,
22 +8
8
∴y1-y2=[k(x1-1)+2]-[-k(x2-1)+2]=k(x1+x2)-2k= -2k=.
-
∴kAB=1 - 2=-1.
1 2
∴直线AB的斜率为定值-1.
归纳总结
定值与定点问题的求解策略
1.欲证某个量为定值,先将该量用某变量表示,通过变形化简若能
【答案】由 2
y ＝4x，
消去 y，得 4x2＋4(b－1)x＋b2＝0.
1
由 Δ＞0，得 b＜2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．
b2
则 x1＋x2＝1－b，x1x2＝ 4 .
1
C．6
1
D．8
【答案】A
[线段 AB 所在的直线的方程为
1 1
则焦点到直线 AB 的距离为 1－2＝2.]
1
x＝1，抛物线的焦点坐标为2，0，
2．若直线 x－y＝2 与抛物线 y2＝4x 交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点坐标
是________.
【答案】(4,2)
x－y＝2
高中数学 2.3.2 抛物线的简单几何性质(2)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
课时作业20 抛物线的简单几何性质(2)知识点一直线与抛物线的交点问题1.过点(2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案 B解析 由题意知，点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，所以过点(2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．故选B.2．已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 有： (1)一个公共点？ (2)两个公共点？ (3)没有公共点？解 将直线l 和抛物线C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一个解，为x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴． 当k ≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2，①当Δ>0，即k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点，此时直线l 与抛物线C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，直线l 与抛物线C 有一个公共点，此时直线l 与抛物线C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点，此时直线l 与抛物线C 相离． 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与抛物线C 有一个公共点； (2)当k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点； (3)当k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点. 知识点二中点弦问题3.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 中点为(2,2)，则直线l 的方程为__________．答案 y ＝x解析 由题意知，抛物线C 的方程为y 2＝4x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把A ，B 代入抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，①②①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝4， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1. ∴直线l 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 知识点三直线与抛物线位置关系的综合应用4.过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( )A.45°B.90°C.60°D.120°答案 B解析 如图，由抛物线定义知 |AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |， 所以∠AA 1F ＝∠AFA 1. 又∠AA 1F ＝∠A 1FO ， 所以∠AFA 1＝∠A 1FO . 同理∠BFB 1＝∠B 1FO .于是∠AFA 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1.故∠A 1FB 1＝90°.故选B. 5．已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，求|PQ |的最小值． 解 设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m ＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0，y 2＝2x ，消去x 得y 2＋2y ＋2m ＝0，令Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值等于直线x ＋y ＋5＝0与x ＋y ＋12＝0间的距离，即等于⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－122＝924.一、选择题1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A.2或－2B.1或－1C.2D.3答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0.又由Δ＝42(k ＋2)2－16k 2＞0，得k＞－1.则由4k ＋2k 2＝4，得k ＝2.故选C. 2．已知抛物线y 2＝8x ，过点P (3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P 处被平分，则这条弦所在的直线l 的方程为( )A.2x －y －4＝0B.2x ＋y －4＝0C.2x －y ＋4＝0D.2x ＋y ＋4＝0答案 A解析 设l 交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．又P (3,2)是AB 的中点，∴y 1＋y 2＝4.又直线l 的斜率存在，∴直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，∴直线l 的方程为2x －y －4＝0，故选A. 3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一条直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 1y 2x 1x 2的值为( )A.4B.－4C.p 2D.－p 2答案 B解析 解法一：设过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线方程为x ＝my ＋p 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，得y2－2pmy －p 2＝0.由根与系数的关系，得y 1y 2＝－p 2.又x 1＝y 212p ，x 2＝y 222p ，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 24.于是y 1y 2x 1x 2＝－p 2p 24＝－4.故选B. 解法二：采用特例法，当直线与x 轴垂直时，易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ，y 1y 2x 1x 2＝－4.故选B.4．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12B.[－2,2]C.[－1,1]D.[－4,4]答案 C解析 设直线方程为y ＝k (x ＋2)，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x ＋2，消去x 得到关于y 的方程ky 2－8y ＋16k ＝0.当k ＝0时，直线与抛物线有一个交点； 当k ≠0时，令Δ＝64－64k 2≥0， 解得－1≤k <0或0<k ≤1. 故－1≤k ≤1.故选C.5．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2D.2答案 D解析 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识．由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D.二、填空题6．已知直线x －y ＋1＝0与抛物线y ＝ax 2有两个公共点，则a 的取值X 围是________． 答案 a >－14且a ≠0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝ax 2，得ax 2－x －1＝0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝－12－4×a ×－1>0，解得a >－14且a ≠0.7．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y －4＝0的距离最短的点的坐标是__________． 答案 (1,1)解析 把直线2x －y －4＝0平移至与抛物线y ＝x 2相切时，切点即为所求．设此时直线方程为2x －y ＋b ＝0，联立y ＝x 2，得x 2－2x －b ＝0，由题意得Δ＝4＋4b ＝0，b ＝－1.即x 2－2x ＋1＝0，解x ＝1，y ＝1.8．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为抛物线C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为________．答案 2 3解析 由y 2＝42x 知：焦点F (2，0)，准线x ＝－ 2.设P 点坐标为(x 0，y 0)， 则x 0＋2＝42，∴x 0＝32， ∴y 20＝42×32＝24， ∴|y 0|＝26，∴S △POF ＝12×2×26＝2 3.三、解答题9．已知y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点． (1)若|AB |＝10，某某数m 的值； (2)若OA ⊥OB ，某某数m 的值．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.Δ>0解得m <2，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋m 2＝8m . (1)因为|AB |＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·64－32m ＝10，所以m ＝716.(2)因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0，解得m ＝－8，m ＝0(舍去)．10．已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2＝2x 的顶点，点A ，B 都在抛物线上，且∠AOB ＝90°，证明：直线AB 必过一定点．证明 设OA 所在直线的方程为y ＝kx ，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由题意知k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2，y ＝2k ，即点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k2，2k ，同样由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2x ，解得点B 的坐标为(2k 2，－2k )．故AB 所在直线的方程为y ＋2k ＝2k＋2k2k2－2k2(x －2k 2)，化简并整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1k－k y ＝x －2.不论实数k 取任何不等于0的实数， 当x ＝2时，恒有y ＝0. 故直线过定点P (2,0)．。
高二数学抛物线的简单几何性质2
| AB | 2 p
方程
图 形 范围
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y l
x
x2 = 2py （p＞0） y
F x
x2 = -2py （p＞0） y
x l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
抛物线的简单几何性质(2)
一、抛物线的几何性质：
性质
方程
设抛物线方程为： y 2 2 px, ( p 0)
l
y
d
M
图形
K
O
F
x
范围 对称性
顶点坐标
x 0, y R 关于 x轴对称 坐标原点(0,0)
e 1
p | MF | x0 , 2 M ( x0 , y0 )
离心率 焦半径 通径
从点A、B、P分别向抛物线的准线作 垂线，垂足分别为A1、B1、P 1，依据 抛物线的定义，|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1| 所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|, 又PP1是梯形AA1BB1的中位线， 所以|AA1|+|BB1|=2|PP|. 1 因此，我们容易得到
p1
2P 的 | AB | 2 sin
y
A
F1 O F2
y
l
x
F1 O
l
A
F2
d1 d2
B
B
x
y
y
F1
.
抛物线的简单几何性质(2)
抛物线的简单几何性质（2）
教学目的：
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化
教学重点：抛物线的几何性质及其运用
教学难点：抛物线几何性质的运用
授课类型：新授课
教学过程：
一、复习引入：
1．抛物线定义：
2．抛物线的标准方程：
二、讲解新课：
2、通径：
三、讲解范例：
例1 已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
例2 汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线是抛物线，灯口直径197mm ，反光曲面的顶点到灯口的距离为69mm ，由抛物线的性质可知，当灯泡按装载抛物线的焦点处，经反光曲面反射后的光线是平行光线，为了获得平行光线，应怎样安装灯泡（精确到1 mm ）
例3 过抛物线px y 22
=的焦点F 任作一条直线m ，交这抛物线于A 、B 两点， 求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切．
四、课堂练习：课本47页 练习 1，2，3
五、小结 ：抛物线、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等。
抛物线的简单几何性质(教学设计)高中数学 人教A版2019选择性必修第一册
3.3.3抛物线的简单几何性质(第二课时)教学设计(一) 教学内容：通过解决具体问题体会经过抛物线的焦点和顶点的直线的重要性以及抛物线在实际生活动中的应用举例.(二) 教学目标1.通过解决问题，能熟练利用抛物线的定义、方程和性质解决综合问题，提升学生的解题能力；2.通过实例，能体会抛物线在实际生活中的应用，发展学生的数学应用意识.(三) 教学重点和难点重点：解决抛物线综合问题和体会抛物线在实际生活中的应用；难点：解决抛物线综合问题的解题思维培养(四) 教学过程设计引入：我们已经知道了抛物线的定义，并根据抛物线的定义得到了标准方程，通过定义和方程及图像得到了抛物线的几何性质，现请同学完成下列表格.【师生活动】教师用多媒体展示表格，学生填写.【设计意图】让学生回忆旧知识，以建立新旧知识之间的联系。
问题 1 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.【师生活动】教师：如果使用坐标法来证明这个结论，怎么转化这个问题？学生：只要证明证明点D的纵坐标和点B的纵坐标相等即可.教师：D、B两点的坐标与问题中的哪些几何量有关？学生：D、B两点的坐标与点A的坐标和直线AB有关，【分析】既然D、B两点的坐标与A有关，我们可以先把点A坐标设出来，然后用点A 的坐标表示D 、B 的坐标.教师引导和板书，学生思考：如图所示，以抛物线的对称轴为x 轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系Oxy .设抛物线的方程为y 2=2px (p >0),点A 的坐标为(y 022p,y 0)(y 0≠0)，则直线OA 的方程为y =2p y 0x,抛物线的准线方程是x =−p2.联立直线OA 和准线方程可得点D 的纵坐标为−p 2y 0.焦点F 的坐标是(p2,0)，当y 02≠p 2时，直线AF 的方程为y =2py 0y 02−p 2(x −p2).联立直线AF 和抛物线方程可得点B 的纵坐标为−p 2y 0，与点D 的纵坐标相等，于是DB 平行于抛物线的对称轴.当y 02=p 2时，易知结论成立.所以，直线DB 平行于抛物线的对称轴. 追问1 你还有其他证明方法码？学生回答：由于点D 、B 的坐标还和直线AB 有关，我们还可以先设直线AB 的方程.学生解答：如图所示，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系Oxy.设抛物线的方程为y2=2px(p>0),焦点F坐标为(p2,0), 易知直线AB斜率为不0,可设过点F的直线AB的方程为x=my+p2，点A的坐标为(x1,y1)，点B的坐标为(x2,y2).联立直线AB和抛物线的方程得y2−2py−p2=0，由韦达定理可知y1y2=−p2,则有y2=−p2y1,即点B的纵坐标为−p 2y1 .准线方程为x=−p2，直线OA的方程为y=y1x1x，联立直线OA和准线的方程可得点D的纵坐标为−py12x1.又点A在抛物线上，满足y12=2px1，可得x1=y122p,故−py12x1=−p2y1，即点D的纵坐标为−p2y1，与B的纵坐标相等，于是DB平行于x轴.【设计意图】问题1是教材136的例5, 例5是抛物线的一个性质，目的是让学生体会经过抛物线的焦点和顶点的直线的重要性以及提升解决抛物线综合问题的能力，教材后面的追问环节是加深理解相应的数学方法. 师生活动中的目的是引导学生转化问题和提示学生解题方向，也为后面一题多解做铺垫。
2.4.2抛物线的简单几何性质(2) - 学生版
课题：§2.4.2 抛物线的简单几何性质应用（二）1．进一步掌握应用抛物线的几何性质解决有关问题；2．掌握直线与抛物线的位置关系，能综合应用有关知识解决抛物线的综合问题。
※复习：类比椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，填表。
思考：当焦点在y轴时，又怎样处理？题型三：定值问题例1:过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。
变式练习：22,,过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦求证:直线y x O A O B AB与轴的交点为定点。
x题型四：直线与抛物线的位置问题1． 直线与抛物线相切：直线与抛物线有且只有一个公共点，但不平行于抛物线的对称轴。
即把x ＝my ＋n 代入y 2＝2px （p ＞0）消去x 得：y 2－2pmy －2pn ＝0①，当方程①的判别式△＝0⇔直线与抛物线相切；2． 直线与抛物线相交：（1）直线与抛物线只有一个交点：直线与抛物线的对称轴平行； （2）直线与抛物线有两个不同的交点⇔方程①的判别式△＞0； 3. 直线与抛物线相离⇔方程①的判别式△＜0。
例2：已知抛物线的方程24y x =，直线l 过定点()2,1P -，斜率为k 。
k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？探究：1.画出上述几种位置关系，从图中你发现直线与抛物线只有一个公共点时是什么情况？2.方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？变式练习：求过点(0,1)M 且和抛物线C:24y x =仅有一个公共点的直线的方程。
1．（2010年高考陕西卷理科8）已知抛物线()022>=p px y 的准线与圆07622=--+x y x 相切，则p 的值为 （ ）()21A ()1B ()2C ()4D2． 已知F 为抛物线22y x =的焦点，定点Q （2，1）点P 在抛物线上，要使||PQ PF +的值最小，点P 的坐标为（ ）A. (0，0)B. 112⎛⎫⎪⎝⎭， C.D. (2，2)3. （2012高考安徽理9）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则A O B ∆的面积为（ ）()A 2()B ()C 2()D4.已知抛物线22(0)y px p =>，过点()20p ，作直线交抛物线于11()A x y ，、22()B x y ，两点，给出下列结论：①O A O B ⊥；②AOB ∆的面积的最小值为24p ；③2124x x p =-，其中正确的结论是__________________.5.（ 2010年高考全国卷I 理科21）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；。
高二数学抛物线的简单几何性质2
第2课时抛物线的简单几何性质
第2课时 抛物线的简单几何性质一、抛物线的性质1．抛物线2y ＝2px(p>0)的简单几何性质(1)对称性：以－y 代y ，方程2y ＝2px(p>0)不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形．抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，抛物线只有一条对称轴． (2)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．(3)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率， (4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为2p.(5)范围：由y2＝2px ≥0，p>0知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，p 值越大，它开口越开阔． 2．焦半径抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为3.p 表示焦点到准线的距离，p >0.p 值越大，抛物线的开口越宽；p 值越小，抛物线的开口越窄。
4．焦点弦问题如图所示：AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，抛物线的准线为l .(1)以AB 为直径的圆必与准线l 相切； (2)|AB |＝2(x 0＋p2)＝x 1＋x 2＋p ；(3)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝42p ，y 1·y 2＝2p.题型一、抛物线的对称性例1、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．[解析] 如图，设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且它们坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)则：y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又|OA |＝|OB |，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. ∵x 1>0，x 2>0,2p >0，∴x 1＝x 2， 由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称．由于AB 垂直于x 轴，且∠AOx ＝30°.∴y 1x 1＝tan30°＝33，而y 21＝2px 1，∴ y 1＝23p . 于是|AB |＝2y 1＝43p . 例2、等腰Rt △ABO 内接于抛物线2y ＝2px(p>0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是()A ．82pB ．42p C ．22pD ．2p[答案] B题型二、抛物线焦点弦的性质例3、斜率为2的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段AB 的长． 解∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5. 例4、过抛物线2y ＝8x 的焦点作直线l ，交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|的值为_____________．[答案] 10 题型三、最值问题例5、设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线焦点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．[解析] (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连AF 交抛物线于P 点，故最小值为22＋12，即 5. (2)如图把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12，因为12>2，所以B 在抛物线内部，自B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于P 1.此时，由抛物线定义知： |P 1Q |＝|P 1F |.那么|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q | ＝|BQ |＝3＋1＝4. 即最小值为4. 例6、定点M ⎪⎭⎫⎝⎛310,3与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2取最小值时，P 点坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，2)C ．(2,2) D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,81 [答案] C例7、设抛物线C ：x 2＝2py 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m 、n 距离的比值．[正解] (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，当p >0时，|BD |＝2p ，圆F 的半径|F A |＝2p ，由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|F A |＝2p . 因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42，解得p ＝2，所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8. 当p <0时，同理可得p ＝－2，∴F (－1,0)， ∴圆F 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝8.(2)因为A 、B 、F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°，由抛物线定义知|AD |＝|F A |＝12|AB |.所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－p 6.因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 当m 的斜率为－33时，由图形的对称性可知，坐标原点到m ，n 的距离的比值为3. 课后作业一、选择题1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝10，则弦AB 的长度为( )A ．16B ．14C ．12D ．10[答案] C[解析] 设抛物线的焦点为F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝10＋2＝12. 2．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA |为( )A.214pB.212pC.136p D.1336p [答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，直线F A 的方程为y ＝3(x －p 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px y ＝3(x －p 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32p y 1＝3p. ∴|OA |＝x 21＋y 21＝94p 2＋3p 2＝212p . 3．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] C[解析] 设抛物线方为y 2＝2px (p >0)． 如图，∵|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∴∠AA 1F ＝∠AF A 1，∠BFB 1＝∠FB 1B .又AA 1∥Ox ∥B 1B ，∴∠A 1FO ＝∠F A 1A ，∠B 1FO ＝∠FB 1B ，∴∠A 1FB 1＝12∠AFB ＝90°.4．抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，其准线经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且|MF |＝2，则双曲线的离心率为( ) A.102B ．2 C. 5 D.52[答案] A[解析] F (12，0)，l ：x ＝－12，由题意知a ＝12.由抛物线的定义知，x M －(－12)＝2，∴x M ＝32，∴y 2M ＝3，∵点(x M ，y M )在双曲线上，∴9414－3b 2＝1，∴b 2＝38，∴c 2＝a 2＋b 2＝58，∴e 2＝c 2a 2＝58×4＝52，∴e ＝102. 5．已知A 、B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 为坐标原点，如果|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( ) A ．x －p ＝0 B ．4x －3p ＝0 C ．2x －5p ＝0D ．2x －3p ＝0[答案] C[解析] 如图所示：∵F 为垂心，F 为焦点，OA ＝OB ，∴OF 垂直平分AB . ∴AB 为垂直于x 轴的直线设A 为(2pt 2,2pt )(t >0)，B 为(2pt 2，－2pt )， ∵F 为垂心，∴OB ⊥AF ，∴k OB ·k AF ＝－1， 即－(2pt )2(2pt 2－p 2)·2pt 2＝－1，解得t 2＝54∴AB 的方程为x ＝2pt 2＝52p ，∴选C.二、填空题6．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是__________________．[答案] π4或3π4[解析] 设直线的倾斜角为θ，由题意得12＝2p sin 2θ＝6sin 2θ，∴sin 2θ＝12，∴sin θ＝±22，∵θ∈[0，π)，∴θ＝π4或3π4.7．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝__________________.[答案] 8[解析] 如图，k AF ＝－3，∴∠AFO ＝60°，∵|BF |＝4，∴|AB |＝43， 即P 点的纵坐标为43， ∴(43)2＝8x ，∴x ＝6， ∴|P A |＝8＝|PF |. 三、解答题8．如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD ，按如图所示的方法进行折叠，使每次折叠后点B 都落在AD 边上，此时记为B ′(注：图中EF 为折痕，点F 也可落在CD 边上)．过点B ′作B ′T ∥CD 交EF 于点T ，求点T 的轨迹方程．[解析] 如图，以边AB 的中点O 为原点，AB 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (0，－2)．连结BT ，由折叠知|BT |＝|B ′T |.∵B ′T ∥CD ，CD ⊥AD ，∴B ′T ⊥AD .根据抛物线的定义知，点T 的轨迹是以点B 为焦点，AD 所在直线为准线的抛物线的一部分．设T (x ，y )．∵|AB |＝4.即定点B 到定直线AD 的距离为4，∴抛物线的方程为x 2＝－8y .在折叠中，线段AB ′的长度|AB ′|在区间[0,4]内变化，而x ＝|AB ′|，∴0≤x ≤4，故点T 的轨迹方程为x 2＝－8y (0≤x ≤4)．9．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 中点到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标．[解析] 如图，设F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，M 点到准线的垂线为MN ，N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)，根据抛物线定义得|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |，∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥|AB |2＝32.设M 点的横坐标为x ，则|MN |＝x ＋14，∴x ＝|MN |－14≥32－14＝54，等号成立的条件是弦AB 过点F ， 由于|AB |>2p ＝1，∴AB 过焦点是可能的，此时M 点到y 轴的最短距离是54，即AB 的中点横坐标为54.当F 在AB 上时，设A 、B 的纵坐标分别为y 1、 y 2，则y 1y 2＝－p 2＝－14，从而(y 1＋y 1)2＝y 21＋y 22＋2y 1y 2＝2×54－12＝2，∴y 1＋y 2＝±2， ∴M 点的坐标为(54，±22)时，M 到y 轴距离的最小值为54.。
2.3.2抛物线的简单性质
2.3.2抛物线的简单几何性质1．范围[师]因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x ≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性[师]以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 3．顶点[师]抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y的顶点就是坐标原点．4．离心率[师]抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．练习：1．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（ B ）（A ）10（B ）8（C ）6（D ）42．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ B ）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）63．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ，则qp 11+=（ C ）（A ）a 2（B ）a21（C ）a 4（D ）a44．动点P 到直线x ＋4=0的距离比到定点M(2, 0)的距离大2，则点P 的轨迹是 （ ） （A ）直线 （B ）圆 （C ）抛物线 （D ）双曲线5．过抛物线y 2=4x 的顶点O 作互相垂直的两弦OM 、ON ，则M 、N 的横坐标x 1与x 2之积为（ ）（A ）4 （B ）16 （C ）32 （D ）646．在抛物线y 2＝4x 上有点Ｍ，它到直线y ＝x，如果点Ｍ的坐标为（a ，b ）， a 、b ∈R ＋，则ba 的值为（ ）（A ）2（B ）21 （C ）１ （D ）7．平移抛物线y 2=x ，并使顶点在以(－1,0)，(0,2)为端点的线段上运动，则抛物线截直线y=x 所得的线段长的最大值是 （ ）（A ）34 （B ）23（C ）10 （D ）38．抛物线22y px =与直线y ＝k(x －1)的一个交点A 的坐标是（4，4），点A 到焦点的距离是 （ ）（A ）4 （B ）92（C ）5 （D ）69．若抛物线y ＝2x 2上两点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－21，则实数m 的值为 （ ）（A ）21 （B ）32（C ）52（D ）210．对于抛物线C ：24y x =，若点M （x 0,y 0）在抛物线的内部（即2004y x <），则直线l ：y 0y ＝2（x ＋x 0）与抛物线C （ ）（A ）恰有一个公共点 （B ）恰有两个公共点（C ）可能一个也可能两个公共点 （D ）没有公共点 7．过抛物线y 2=8x 上一点P(2, -4)与抛物线仅有一个公共点的直线有（）A1条B2条 C3条D1条或3条8．直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值为 （ ）（A ）1-或2（B ）1-（C ）2（D ）31±9．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．（1）顶点在原点，对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于8．y 2＝±32x （2）顶点在原点，焦点在y 轴上，且过P （4，2）点．x 2＝8y（3）顶点在原点，焦点在y 轴上，其上点P （m ，－3）到焦点距离为5．x 2＝－8y10．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影是A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于 90°例1 过抛物线px y 22=的焦点F 任作一条直线m ，交这抛物线于A 、B 两点， 求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切． [师]运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图．设AB 的中点为E ，过A 、E 、B 分别向准线l 引垂线AD ，EH ，BC ，垂足为D 、H 、C ， 则｜AF ｜＝｜AD ｜，｜BF ｜＝｜BC ｜ ∴｜AB ｜＝｜AF ｜＋｜BF ｜＝｜AD ｜＋｜BC ｜＝2｜EH ｜ 所以EH 是以AB 为直径的圆E 的半径，且EH ⊥l ，因而圆E 和准线l 相切．练习1．过抛物线x y 42=焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是()122-=x y 2.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标（⎪⎪⎭⎫⎝⎛±22,45M , M 到y 轴距离的最小值为45）3抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．x 2＝±16 y4．以椭圆1522=+y x的右焦点，F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．545．顶点在坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线12+=x y 截得的弦长为15，求抛物线的方程（答案：x y 122=或x y 42-=）6．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？520米（2）通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦直接应用抛物线定义，得到通径：p d 2= （3）常用结论：⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(2222=--⇒py kp y 和4)2(22222=++-p k x p p k x k 221py y -=⇒和21x x =例2正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线)0(22>=p px y 上，求这个正三角形的边长．分析：观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x 轴是它们公共的对称轴，则容易求出三角形边长．解：如图，设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则 1212px y =，2222px y =又|OA|＝|OB|，所以 22222121y x y x +=+即22212122px x px x +=+0)(2)(212221=-+-x x p x x 0)](2)[(2121=-++x x p x x∵ 02,0,021>>>p x x ，∴ 21x x =．由此可得||||21y y =，即线段AB 关于x 轴对称． 因为x 轴垂直于AB ，且∠AOx ＝30°，所以3330tan 011==x y所以py px y 3212111=⋅=，py AB 342||1==练习：1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，求这个正三角（答案：边长为p34）2．已知抛物线()022>=p px y 与直线1+-=x y 相交于A 、B 两点，以弦长AB 为直径的圆恰好过原点，（答案：x y =2）3．已知直线b x y +=与抛物线px y 22=()0>p 相交于A 、B 两点，若OB OA ⊥，（O 为坐标原点）且52=∆AOB S ，求抛物线的方程（答案：x y 22=）如图2-8，抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，AB 是经过抛物线焦点F 的弦，M 是线段AB 的中点，过点A 、B 、M 作抛物线准线l 的垂线AC 、BD 、MN ．垂足分别是C 、D 、N ．连结AN 、BN ．求证：（1）|MN |＝12|AB |；（2）FN ⊥AB ；（3）设MN 与抛物线交于Q ，则Q 是MN 的中点； 证明：（1）由抛物线的定义，得|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |． 图2-8 又|MN |＝12（|AC |＋|BD |），所以，|MN |＝12（|AF |＋|BF |）＝12|AB |；（2）在Rt △ANC 与Rt △ANF 中，|AN |＝|AN |，|AC |＝|AF |， 由（1）知，△ANB 是直角三角形，MN 是斜边上得中线， 所以，∠MAN ＝∠MNA ，而∠MNA ＝∠CAN ，所以，∠MAN ＝∠CAN ．所以，Rt △ANC ≌△ANF ，∠AFN ＝∠ACN ＝90°． 所以，FN ⊥AB ．（3）在Rt △MNF 中，由抛物线的定义，得|QN |＝|QF |， 所以，∠QNF ＝∠QFN ．于是，∠QFM ＝∠QMF ，|QF |＝|QM |． 所以，|NQ |＝|QM |，Q 是MN 的中点．。
3.3.2抛物线的简单几何性质(二)课件高二上学期数学人教A版选择性
①
p
p
2
则F , 0 , 设直线AB的方程为x my , 将其代入y 2 px , 得
(2)当AB垂直于对称轴时,焦点弦最短;
(3)A,B 两点的横坐标之积,纵坐标之积为定值,即
1
(4)
||
+
1
||
=
2
x1x2= ,y1y2=-p2;
4
2
;
(5)以AB为直径的圆必与准线相切,以AF为直径的圆必与y轴相切.
2.做一做:(1)过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,
2
2
因为焦点F的坐标是 , 0 , 当y0 p 时,
2
2 py0
p
直线AF的方程为y 2
x
④
2
y0 p
2
y
A
联立①④ , 消去x ,
可得y0 y 2 ( y02 p 2 ) y y0 p 2 0,
即( y y0 )( y0 y p ) 0.
程,联立方程组求解.
(2)①设出直线方程,直线方程与抛物线方程联立,根据焦点弦长公式求解.
②根据①求出点 A,B 的坐标,设出点 C 的坐标,由 = +λ,可用 λ 表
示点 C 的坐标,根据点 C 在抛物线上求出 λ 的值.
解:①直线 AB 的方程是 y=2 2
从而有 4x -5px+p =0,所以
(1)当a+1=0,即a=-1时,方程①是关于x的一元一次方程,解得x=-1,
= -1,
这时原方程组有唯一解
= -1.
(2)当a+1≠0,即a≠-1时,方程①是关于x的一元二次方程.
抛物线的简单几何性质时
则 y1 y2 p2 .
M
这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.
K
几何解释,就是
•
N
MK NK KF 2
思考: “一条直线和抛物线 y2 2 px( p 0) 相交,
两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,且 y1 y2 p2 .则 这条直线过焦点.”成立吗?
例3.(抛物线的焦点弦问题)
有关y轴对称
有关y轴对称
顶点
焦半径
•焦 点
（0,0）
p 2
x0
p x1 x2
（0,0）
p 2
x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
一、直线与抛物线位置关系种类
1、相离；2、相切；3、相交（一种交点，
两个交点）
与双曲线旳
y
另解：设直线4x 3y m 0与抛物线相切
y2 4x
64x 3y
m
0
y2 16
3y
m
0
由 0得 : m 36
例2 过抛物线焦点 F 的直线 交抛物线于A, B两点,通过点A
ly A
和 抛 物线顶点的直线交抛物
o F
x
线的准 线 于点 D , 求 证 : 直线 D B
DB平行于抛物线的对称轴.
即 (x 2)2 ( y 3)2 | y 5 | 化简得：(x 2)2 4( y 4)
题型二：抛物线旳最值问题
练习: 已知抛物线y=x2,动弦AB旳长为2，求AB中点纵坐标旳最小值
解法1： 设lAB : y kx b
y kx b
原创3：2.3.2 抛物线的简单几何性质
∴－1＜k＜13，因此－1＜k＜31且 k≠0.
综上可知，斜率 k 的取值范围为k－1＜k＜பைடு நூலகம்3且k≠0
.
题目类型三、抛物线的焦点弦问题
例 3、 已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过 焦点且倾斜角为π4的直线 l 被抛物线所截得的弦长为 6，求抛 物线方程．
【思路探究】 (1)焦点在 x 轴上的抛物线方程如何设？ (2)过焦点且倾斜角为π4的直线方程怎么求？它被抛物线 截得的弦长问题能联系抛物线的定义吗？
3．过抛物线焦点的弦长 设过抛物线焦点的弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
y2＝2px(p＞0) |AB|＝x1＋x2＋p y2＝－2px(p＞0) |AB|＝p－(x1＋x2) x2＝2py(p＞0) |AB|＝y1＋y2＋p x2＝－2py(p＞0) |AB|＝p－(y1＋y2)
【变式训练】 本例中，若把直线的倾斜角改为 135°，被抛物线截得的 弦长改为 8，其他条件不变，试求抛物线的方程． 【解】 如图，依题意当抛物线方程设为 y2＝2px(p＞0) 时，
抛物线的准线为 l，则直线方程为 y＝－x＋12p.
设直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋p2
标准方程
y2＝2px (p＞0)
y2＝－2px (p＞0)
x2＝2py (p＞0)
x2＝－2py (p＞0)
图形
范围 x≥0，y∈R 性 对称轴 x轴 质 顶点 O(0,0)
离心率 e＝1
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 y轴
知识点二、直线与抛物线的位置关系
【问题导思】 1．直线与抛物线有哪几种位置关系？ 【提示】 三种：相离、相切、相交． 2．若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相 切吗？ 【提示】 不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的 直线与抛物线相交时，也只有一个交点．
高二数学抛物线的简单几何性质2(新编201910)
另外，将直线方程与抛物线方程联立方程组， l y
我们还可以推得以下结论：
(1)若直线的倾斜角为，则| AB | 2P .
A1
A
sin2
(2) A、B两点间的横坐标之积，纵坐标之积均为 p1
二、抛物线的焦点弦：
如图所示，弦AB过抛物线y2 2 px( p 0)的焦点F， 设A(x1, y1)、B(x2, y2 )，弦AB的中点为P(x0,y0 ).
从点A、B、P分别向抛物线的准线作
ly
垂线，垂足分别为A1、B1、P1，依据
A1
A
抛物线的定义，|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|
顶点
焦半径
焦点弦 的长度
（0,0）
p 2
x0
p x1 x2
（0,0）
p 2
x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
；单机游戏大全 /danjiyouxi/ 单机游戏大全
| AB | 2 p
方程 图
y2 = 2px
（p＞0） y
l
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
形 范围
OF x F O x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|,
(完整版)抛物线的几何性质
抛 物 线一、抛物线22(0)y px p =>的简单几何性质1、范围：因为0p >，由方程22y px =可知，这条抛物线上任意一点M 的坐标(),x y 满足不等式0x ≥，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右.2、对称性：以y -代y ，方程22(0)y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程22(0)y px p =>中，当0y =时，0x =，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e 表示.按照抛物线的定义，1e =知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点12,M M ，线段12M M 叫作抛物线的通径，将02px =代入22y px =得y p =±，故抛物线22y px =的通径长为2p例1、已知点(),M x y 在抛物线28y x =上，则()22,129f x y x y x =-++的取值范围？ 分析：本题的实质是将(),f x y 转化为关于x 的二次函数，求二次函数在区间[)0,+∞上的最值. ()()22,812925f x y x x x x =-++=++，又[)0,x ∈+∞，所以当0x =时，(),f x y 取得最小值9，当[)0,x ∈+∞时，()()2,25f x y x =++，无最大值.故()22,129f x y x y x =-++的取值范围为[)9,+∞答案：[)9,+∞二、抛物线的四种标准方程相应的几何性质：知识剖析：（1）通过上表可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为()0,0O ，离心率均为1，它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.（2）抛物线和椭圆、双曲线的几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形，抛物线不是中心对称图形； ②顶点个数不同：椭圆有4个顶点、双曲线有2个顶点、抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同：椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率的取值范围不同：椭圆的离心率的取值范围是01e <<，双曲线离心率的取值范围是1e >，抛物线的离心率是1e =；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，因此在画抛物线时切忌将其画成双曲线例2、某抛物线的顶点是椭圆22169144x y +=的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的标准方程.分析：因为该椭圆的中心在坐标原点，左顶点为()3,0-，所以可直接设抛物线的标准方程，求得p 后可得方程.答案：解：由22169144x y +=得：221169y x +=，所以椭圆的左顶点为()3,0-.由题意设所求抛物线的标准方程为()220y px p =->，由32p=，得6p =，故所求抛物线的标准方程为212y x =-.三、焦点弦问题及其应用 1、焦点弦如图，AB 是抛物线()220y px p =>过焦点F 的一条弦.设点()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，过,,A B M 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为111,,A B M ，则根据抛物线的定义有11AF BF AA BB +=+.又1MM 是梯形11AA B B 的中位线，1112AB AA BB MM ∴=+=.综上可得以下结论： ①121212,,2222p p p p AF x BF x AB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+∴=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其常被称作抛物线的焦点弦长公式.②022p AB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（焦点弦长与中点的关系）③若直线AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α= 推导：12AB AF BF x x p =+=++由④的推导知，当AB 不垂直于x 轴时，()1220py y k k+=≠1212122222y y y y p p p x x p p k k k k+∴+=+++=+=+ 222212212tan sin p p AB p p k αα⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭当k 不存在时，即90α=时，22sin pAB α=亦成立 ④A B 、两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即2124p x x =，212y y p =-分析：利用点斜式写出直线AB 的方程，与抛物线方程联立后进行证明.要注意直线斜率不存在的情况. 推导：焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为：()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得：2220ky py kp --= ()2224212212121222,22444y y y y p p y y p x x p p p p ∴=-==== 当AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为：2px =则222212121212,,224y y p y p y p y y p x x p p ==-⇒=-==⑤11AF BF +为定值2p推导：由焦半径公式知，12,22p pAF x BF x =+=+ ()12212121211112224x x p p pp p AF BF x x x x x x ++∴+=+=+++++又21212,4p x x x x AB p =+=-，代入上式得：()22112424AB p p p AF BF p AB p +==+-+为常数 故11AF BF +为定值2p.2、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质（1）抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切（2）抛物线()220y px p =>中，设AB 为焦点弦，M 为准线与x 轴的交点，则AMF BMF ∠=∠ （3）设AB 为抛物线的焦点弦.① 点A B 、在准线上的射影分别为点11A B 、，若P 为11A B 的中点，则PA PB ⊥；②O 为抛物线的顶点，若AO 的延长线交准线于点C ，连接BC ，则BC 平行于x 轴，反之，若过点B 作平行于x 轴的直线交准线于点C ，则,,A O C 三点共线. （4）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦.例3、已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为4π的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程.解：当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程为()220y px p =>，则焦点F的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的方程为2p y x =-.设直线l 与抛物线的交点为()()1122,,,A x y B x y ，过点,A B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点11A B 、，则有：111212+=622p p AB AF BF AA BB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得222p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即22304p x px -+= 123x x p ∴+=，代入①式得：336,2p p p +=∴= ∴所求抛物线的标准方程为23y x =当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：23y x =-例4、已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()()()111222333,,,P x y P x y P x y 、、在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ）123.A FP FP FP += 222123.B FP FP FP += 213.2C FP FP FP =+ 2213.D FPFP FP =解析：123P P P 、、在抛物线上，且2132x x x =+，两边同时加上p ，得2132()222p p p x x x +=+++ 即2132FP FP FP =+ 答案：C例5、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =?解析：由抛物线定义，得12628AB AF BF x x p =+=++=+=。
高中数学选择性必修第一册 抛物线的简单几何性质(第2课时)
1．涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦所在的直线的斜率问题，注意韦达定 理的应用．过焦点的弦的问题，注意抛物线的定义的应用．
2．直线和抛物线的相交问题，一般常用“设而不求”的解题思想．
课后巩固
1．直线 2x－y－4＝0 与抛物线 y2＝6x 交于 A，B 两点，则线段 AB 的长度为
(B )
A．8
故所求动点 P 的轨迹方程为 y2＝4x(x≥0)或 y＝0(x＜0)．
(2)若动圆 M 与圆 C：(x－2)2＋y2＝1 外切，又与直线 x＋1＝0 相切，求动圆 圆心的轨迹方程．
【解析】 设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 R，由已知可得定圆圆心为 C(2， 0)，半径 r＝1.
因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1. 又动圆 M 与已知直的距离 d＝R. 所以|MC|＝d＋1. 即动点 M 到定点 C(2，0)的距离等于它到定直线 x＋2＝0 的距离． 由抛物线的定义可知，点 M 的轨迹是以 C 为焦点，x＝－2 为准线的抛物线， 且p2＝2，p＝4， 故动圆圆心 M 的轨迹方程为 y2＝8x.
285 B. 2
C.
305 2
D.
335 2
2．已知 AB 是过抛物线 y＝2x2 的焦点的弦，若|AB|＝4，则 AB 的中点的纵坐
标是( D )
A．1
B．2
5
15
C.8
D. 8
3．(2018·北京)已知直线 l 过点(1，0)且垂直于 x 轴，若 l 被抛物线 y2＝4ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为__(_1_，_0_)__．
当二次项系数 A≠0 时，Δ＝B2－4AC.
若 Δ＜0，则直线与抛物线没有公共点； 若 Δ＝0，则直线与抛物线有且只有一个公共点； 若 Δ＞0，则直线与抛物线有两个不同的公共点．
3.3.2 抛物线的简单几何性质(第2课时 焦点弦)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第一册)
义，有|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|，
又 MM1 是梯形 AA1B1B 的中位线，
所以|AB|＝|AA1|＋|BB1|＝2|MM1|.
抛物线的简单几何性质
故抛物线的焦点弦有以下结论：
2p
p
y0
2
y1 y2 p
p
y0
2
( y1 y2 ) p
02抛物线的简单的几何性质
P
A
R
T
O
N
E
抛物线的简单几何性质
焦点弦问题
如图，AB 是抛物线 y2＝2px(p>0)过焦点 F 的一条弦，称为焦
点弦．设 A(x1，y1)，
B(x2，y2)，弦 AB 的中点为 M(x0，y0)，过 A ，M，B 分别向抛物
故 x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即 p＝4.
从而抛物线方程为 y2＝8x.
抛物线的简单几何性质
5.若过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点作一条直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
y1y2
则
的值为(
x1x2
)
A．4
B．－4
C．p2
D．－p2
特例法．当直线垂直于 x 轴时，
y2 = 2px
y
图形
范围
对称性
l
O F
x
x≥0, y∈R
焦点弦
通径
F O
x2 = -2py
y
y
y l
F
O
x
l
l
抛物线的几何性质 (2)
抛物线的几何性质抛物线是数学中一种重要的曲线形式。
它具有许多有趣的几何性质，是数学研究和应用领域中的常见对象。
本文将介绍抛物线的基本定义、性质和应用。
1. 抛物线的定义抛物线是由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）确定的曲线。
在数学上，我们可以通过以下方式定义抛物线：•定义焦点为F，准线为直线L。
•抛物线是到焦点F的距离等于到准线L的距离的所有点的轨迹。
2. 抛物线的基本性质抛物线具有以下几何性质：对称性抛物线具有关于准线的对称性和焦点的对称性。
即，对于抛物线上的任意一点P，将其关于准线L作垂线交准线于M，焦点F在准线上的垂线下的点O，那么点M和点O关于准线L对称。
焦点与准线的关系对于抛物线上的任意一点P，其到焦点F的距离等于到准线L的距离。
此外，焦点F与准线L的距离称为抛物线的焦距。
顶点抛物线的顶点是抛物线的最高（或最低）点，位于准线与对称轴的交点，记为V。
顶点V是抛物线的对称中心，所以对于任意一点P，连结顶点V和点P的直线都与准线L垂直。
焦直线抛物线的焦点F到抛物线上任意一点P的连线与准线L垂直，这条垂线称为焦直线。
焦准直线焦点F和准线L的连线称为焦准直线，它垂直于抛物线的轴线。
曲线的标准方程抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于0。
3. 抛物线的应用抛物线的几何性质在现实世界中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：物体运动轨迹当物体受到一个竖直向下的恒力作用时，它的运动轨迹往往是一条抛物线。
例如，抛出的物体，如炮弹、子弹等，它们的运动轨迹可以用一条抛物线来描述。
天然天体许多天然天体的形状和运动也可以用抛物线来描述。
例如，行星的运动、小行星的轨道等都可以近似为抛物线。
镜面反射在光学中，抛物面反射镜被广泛应用于望远镜、车灯、卫星天线等设备中。
抛物面反射镜具有将光线聚焦到一个点的特点，故而能起到放大和聚焦的作用。
抛物线拱门抛物线也经常用于建筑中的拱门设计。
抛物线的简单几何性质
6
| CD | 2 | x0 | 6 3. 故此车不能通过隧道.
x
D
B(3,-3)
13
探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。
抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。
y
P(x,y)
o F ( p ,0) x
2
5
３、顶点
定义：抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线
的顶点。
由y2 = 2px （p>0）当 y=0时,x=0, 因此抛 物线的顶点就是坐 标原点（0，0）。
y
P(x,y)
o F ( p ,0) x
2
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有
两个顶点不同。
6
4、 离心率
x 0, yR
关于x 轴 对称，无 对称中心
(0,0)
e=1
y2 2 px x 0, ( p 0) y R
关于x 轴 对称，无 对称中心
(0,0)
e=1
x2 2 py ( p 0)
y 0, xR
关于y 轴 对称，无 对称中心
(0,0)
e=1
x2 2 py y 0,
关于y 轴 对称，无
抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离之比，叫做抛物线
的离心率。
y
P(x,y)
o F ( p ,0) x
2
由定义知， 抛物线y2 =
2px (p>0)的离心率为e=1.
抛物线的离心率为一定值，那么什么在影响抛物线形状？
7
图形 标准方程 范围 对称性 顶点 离心率
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抛物线的简单几何性质（2）第 1 页 共 2 页
1
一．课题：抛物线的简单几何性质（2） 总课时数 执行时间：2015年12月4日 二．教学目标：1.灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；
2.会处理抛物线与直线、圆等曲线组合的综合问题；
3.会证明抛物线的简单几何性质。
三．教学重、难点：抛物线的几何性质，以及抛物线与直线的位置关系. 四．教学过程：
（一）复习：
1．抛物线的定义及几何性质．
2．练习：
①抛物线20(0)mx ny m n +=⋅≠的顶点坐标是(0,0)，焦点坐标是(,0)4m
n
-
，准线方程是4m x n =，离心率是1，通径长||m n
．
②抛物线2
2y x =上的两点A 、B 到焦点的距离之和为5，则线段AB 的中点的横坐标是
2 ．
③若点(3,2)A ，点F 为抛物线22y x =的焦点，则使||||MA MF +取最小值的抛物线上
点的坐标是(2,2)．
（二）新课讲解：
例1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线
2
2(0)y px p =>上，求这个正三角形的边长．
解：设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上， 且设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2
112y px =，
2222y px =，又||||OA OB =，所以2222
1122x y x y +=+，
即22
1212()2()0x x p x x -+-=，
1212()(2)0x x x x p -++=．
∵10x >，20x >，20p >，∴12x x =．
由此可得12||||y y =，即线段AB 关于x 轴对称．
因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=
，所以
11tan 30y x ==
∵2
112y
x p
=
，∴1y =
，∴1||2AB y ==．
例2．求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物 线的准线相切．
证明：（法一）设抛物线方程为22y px =，则焦点(
,0)2
p
F ， 准线2
p
x =-
．设以过焦点F 的弦AB 为直径的圆的圆心 M ，A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ， 则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+=， 又111||||2||AA BB MM +=， ∴11
||||2MM AB =，即1||MM 为以AB 为直径的圆的半径，且准线1l MM ⊥，
∴命题成立．
（法二）设抛物线方程为2
2y px =，则焦点(,0)2
p
F ， 准线2
p
x =-
．过点F 的抛物线的弦的两个端点11(,)A x y ， 22(,)B x y ，线段AB 的中点00(,)M x y
A
M
1M
抛物线的简单几何性质（2）第 2 页 共 2 页
2
则1212||22
p p
AB x x x x p =+++=++，
∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径1211
||()22
r AB x x p =
=++． 点M 到准线2p x =-的距离1
20121
()2222
p x x p d x x x p +=+=+=++， ∴圆M 与准线相切．
例3．定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动，设点M 为线段AB 的中点，求点M 到y 轴的最小距离．
解：抛物线焦点1(,0)4F ，准线l ：14
x =-
， 设点A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是 1A 、1B 、1M ，设点00(,)M x y ，
则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+≥， 又11111
||(||||)||22
MM AA BB AB =
+≥， 又101
|4
MM x =+，||3AB =，
∴01342x +≥，所以054x ≥，即0x 的最小值是54
．
∴点M 到y 轴的最小距离是5
4
，当且仅当AB 过点F 是取得最小距离．
五．小结：综合处理抛物线的有关问题，特别是抛物线的弦的问题.
六．作业：书P133 A 组16题，17题。
补充：1．过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若点A 、
B 在抛物线的准线上的射影分别是1A ，1B ．求证：1190A FB ∠= 。
2．抛物线24y x =上有两个定点A 、B （位于x 轴的上下两侧），F 是抛物线的焦点，
并且||2FA =，||5FB =.在抛物线AOB 这段曲线上，求一点P ，使得APB ∆的面积最 大，并求最大面积.
七、板书设计： 抛物线的几何性质2
1、复习抛物线的定义： 例题讲解
2、复习抛物线的几何性质 学生练习
八、 教学反思：本节课是综合处理抛物线的有关问题，特别是抛物线的弦的问题，学生接受起来有点困难，建议普通班还是重点练习基础知识。
M
1M。