线性代数的一些证明题
线性代数常见证明题型及常用思路
线性代数常见证明题型及常用思路The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020《线性代数》常见证明题型及常用思路二、证明题题型1．关于1,,m αα线性相关性的证明中常用的结论 （1）设110m m λαλα++=，然后根据题设条件，通过解方程组或其他手段：如果能证明1,,m λλ必全为零，则1,,m αα线性无关；如果能得到不全为零的1,,m λλ使得等式成立，则1,,m αα线性相关。
（2）1,,m αα线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。
（3）如果1,,n m F αα∈，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。
（4）如果我们有两个线性无关组，11,,,m W αα∈12,,,t W ββ∈且12,W W 是同一个线性空间的两个子空间，要证11,,,,,m t ααββ线性无关。
这种情况下，有些时候我们设111111110,,m m t t m m t tλαλαμβμβαλαλαβμβμβ+++++==++=++。
根据题设条件往往能得到0αβ==，进而由11,,,m W αα∈12,,t W ββ∈的线性无关得到系数全为零。
题型2. 关于欧氏空间常用结论（1）内积的定义（2）单位正交基的定义（3）设1{,,}n B αα=是单位正交基，11(,,),(,,)B n B n u x x v y y ==。
则11(,)n n u v x y x y =++ 5 题型3. 关于矩阵的秩的证明中常用的结论（1）初等变换不改变矩阵的秩（2）乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 （3）阶梯形的秩（4）几个公式（最好知道如何证明）：常用来证明关于秩的不等式 ()()();()min{(),()};()()();max{(),()}(,)()();()();()()()()();0()()T T T T m n r A B r A r B r AB r A r B r A r A r A A A r A r B r A B r r A r B B A r r A r B B A r A r B r r A r B r C C B A B r A r B n⨯+≤+≤==⎛⎫≤=≤+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫+≤≤++ ⎪⎝⎭=⇒+≤ （5）利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩（常用来证明关于秩的不等式）例：证明：()()()m n r A r B n r AB ⨯+≤+。
线性代数证明题
线性代数证明题1．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，证明234,,ααα是方程组*0A x =的基础解系.2.设A 是n 阶矩阵，且0nA =，则A E n -必是可逆矩阵。
3．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，证明：BCA E = 4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-，证明：2A E -可逆，并求其逆.5．设A 是一个n 级方阵，且()R A r =，证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1PAP -的后n r -行全为零.6．设矩阵,m n n m A B ⨯⨯，且,m n AB E <=，证明：A 的行向量组线性无关.7．如果,2A A =称A 为幂等矩阵.设B A ,为n 阶幂等矩阵，证明：B A +是幂等矩阵的充要条件是.0==BA AB8.如果对称矩阵A 为非奇异,试证:1-A 也是对称矩阵 9.设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且C 可逆，T --+=A E B C C ）（11,证明：A 可逆且T-+=）（C B A 1。
10.设0=kA，其中k 为正整数，证明：121)(--++++=-k A A A E A E11.设方阵A 满足A 2-A-2E=O ，证明A 及A+2E 都可逆，并求112--+）及（E A A 12.试证：对任意方阵A ，均有 T A A +为对称矩阵， TA A -为反对称矩阵。
13.证明 1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量α和非零行向量Tβ，使TA αβ= 14.设A 为列满秩矩阵，C AB =，证明方程0=BX 与0=CX 同解 15.设A 为n m ⨯矩阵，证明方程m E AX =有解m A R =⇔)( 16.向量组A 能 用向量组B 表示，则R(A)<=R(B)17.设B A ,分别为m n n m ⨯⨯,矩阵，则齐次方程组O =ABx 当n m >时必有非零解。
线性代数习题及解答完整版
线性代数习题及解答 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）A ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（ ）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（ ）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（ ） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（ ）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
线性代数证明题
4. 设A 、B 都是n 阶对称矩阵，并且B 是可逆矩阵，证明：11AB B A --+是对称矩阵.证明：因为A 、B 为对称矩阵，所以B B A A T T ==,1111111111()()()()()T T TT TTT AB B A AB B A B A A B B A AB AB B A----------⇒+=+=+=+=+则矩阵11AB B A --+ 是对称矩阵。
5. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：1*n -A =A.证明：因为*AA =A E⑴当0A =时，*0AA =.用反证法：假设*0A ≠，则知*A 可逆，在等式*O AA=左右两边同时右乘()1*-A ，得到O A =，于是*O A =，这与假设矛盾，可知当0A =时, 有1*0n -A ==A；⑵ 当0A ≠时，在等式*AA =A E 两边同时取行列式，得**nA A =AA =A E =A两边同时约去A，得1*n -A =A.6. 设向量b 能由321,,ααα这三个向量线性表示且表达式唯一, 证明：向量组321,,ααα线性无关。
证明：（反证法）如果321,,a a a 线性相关，则有一组不全为0的系数321,,λλλ使332211a a a λλλ++=0 （1），由已知设332211αβαβαβ++=b，结合（1）式得333222111)()()(0a a a b b λβλβλβ+++++==+ （2）由于321,,λλλ不完全为零，则11λβ+，22λβ+，33λβ+与321,,βββ不同，这与b 表示法惟一相矛盾，故向量组321,,ααα线性无关。
7. 设321,,ααα是n 阶方阵A 的3个特征向量，它们的特征值不相等，记123βααα=++，证明：β不是A 的特征向量。
证明：假设()123123112233A A A A A A βλββααααααλαλαλα=⇒=++=++=++，又：123112233A λβλαλαλαβλαλαλα=++==++从而：()()()1122330λλαλλαλλα-+-+-=，由于特征值各不相等，所以321,,ααα线性无关，所以的1231230λλλλλλλλλλ-=-=-=⇒===，矛盾。
经典线性代数问题无复习资料
第一章多项式1.(P16)证明：当n= 6/?? + 5 时，多项式F+与+尸整除多项式(x+y)n-x n-y n；当n = 6m+l 时,多项式(x2+xy + y2)2整除多项式E)” 7” - / •这里朋是使“ > 0的整数，而兀,y是实数.2.(P16)求最低次数的多项式「心)与咻)，使得(1)(x4一2x3一4x2+6x + Y)u(x) + (x3一5x-3)v(x) = x4 ;(2 ) (x4 + 2X3+x+V)u(x) + (x4 +x3 -2x2 +2x-l)v(x) = -2x3.(Pl 6)求次数最低的多项式/(A),使得/G)被多项式X4-2X3-2X2+10A-7除时余式为F+x + i ,被多项式X4-2X3-3X2+13A-10除时余式为2A:2-3.4(P22)把下列复系数多项式分解为一次因式的乘积：(1)x" -C討“ +C族“ +... +(_曲；(2)x2n +C^x2n-2(x2 -\) + C^x2n'4(x2 -\)2 +... + (x2 -\)n；(3)0+1 +cU”」(x2 _]) + (7；”+用心(十_1)2 + +心2 _1)” .5.(P22)证明：复系数多项式爪)对所有的实数兀恒取正值的充分必要条件是，存在复系数多项式0(x),处V)没有实数根，使得/W =10(x)1’・6.(P22)证明：实系数多项式/⑴对所有实数X恒取非负实数值的充分必要条件是，存在实系数多项式卩⑴和叽X),使得f(x)=[(p(x)]2 + [1//M]2.7.(P26)设/⑴巳疋+“严+…+““+吗是整系数多项式，且素数〃满足：pRo，pg,...,pM，plq,i = k+l,k+2,...,/i ,而p2 )a n，证明：f(x)具有次数的整系数不可约因式.8・(P26)设 f(x) = a Q x 2n+l +... + y" +a n+l x n+... + %v + %i 是整系数多项 式，且素数 p 满足:p !«,,/ = 1,2 . n t p 2\a it i = n + l,n +2，…,2n + \ ,但P”2”+i •证明：/(x)在Q 上不可约.z, jA<iJ<n ,均有/(乳…总，…芒厂……,◎，…，勺，…,匕)9则/(勺吕…总)称为对称的擞域F"上规范对称“重线性函数称为川阶积和式()，记为阳6局，…&) •记 勺=(%%…％)JT2…丿,并记"阶方阵A 为9. (P26)设时2，...®是〃个不同的整数.证明：多项式f(x) = (x-a l )2(x-a 2)2...(x-a n )2+1在Q 上不可约.第二章行列式1O.(P54)计算下列行列式：0 a b cabed/ I 、 -a 0 d €(°、 _d a b _c-b -d 0 / -c -d a b -c -e 一 f 0-d c _b u11. (P54)设/(沿2，…,L )是F”上£元函数•如果对任意 -Ut±*则"阶积和式阳(勺局也记为P"A •证明:Per^= E %%・・・％•(1 2 ・.・ /? '1 bl Q ・•• A J12. (P66)给定〃阶方阵A =(知).证明：其中A v 是行列式3 A 中元素知的代数余子式，1「J S •13. (P84)计算下列〃阶行列式:a } +x 2 ・・・ a } + x n \ + a 2+ x 2 ・・・ a 2 + x n • 1+勺+心11 (1)a2l ~a i\ “22 — ^12…a 2n ~a \na3\ ~a \\a32 ~a \2…①” 一细Cln\ ^a\\ d“2 _"12・・・%一％=工八八1 0 0 011 C ： 叫CA 1• • • ,n l1 C ； 0 ...0 A(3) 1 C ； 叫 C ；、 • • •«■丿•“m ；(4) 1 C ； • • • c ； • • ...0 • • ■ • • • ?x~• • • • ■ • C ； • • •1• • •1 Cl C ；… 5-2 严1 * C 二 厂口・2 …C/i-lz-1厂—1 '-zvi+;r-la i +bn ]&2 +b n•・• ^r?r+;r-l1 + q + 召 a + xn-1 X -2/7 + 2-1%h2\，其余未写出的元素都•n -U是零.14. (P86)设•••，"”是正整数•证明：行列式1 q af ・・・4穿1 o, cd ... a"~]••• •••能被 l fl -*2n -2...(n -2)2(“ 一 1)整除.15. (P86)()设"阶方阵A = 0)满足Qij=-aji ，\Si,jS ,则方阵A 称为 斜对称方阵.把％看成未定元，证明：奇阶斜对称方阵的行列式sin n0x sin(n-l)^ ・・・1 + Xj 1 +石...1 (7) sin n02 sin(/z-l)^2 (i)02 ；(8) 1 + X 〉 1 + X ；・・・ 1 +sin n0n sin(n-l)^ … sinQ1 + X n 1 + X ；・・.cos (n-i )q cos 20n .V 1 一 n x 一 2_(n _ 1)1 cos qcos 20\ cos ・ cos(x-l )q 1 cos 0n(9)(10) 计算2“阶行列式bln恒为零，而偶阶斜对称方阵的行列式是一个完全平方.16.(P86)()设〃阶方阵A =(q)的元素都是实的，并且ng >0q V OJ H人力知>0 •证明:r-l17.(P86)()设"阶方阵A = q)的元素都是复数，并且41>£|呦|,心12...,“，则方阵A称为主角占优矩阵•证明：主角占优矩阵的行列式不为零.18.(P87)把〃阶行列式几一41 -a i2... 一q”—a 212_勺2 …• ■ •• • •~Cl n\_。
线性代数-习题答案-证明题
8、试题内容：设A 为n m ⨯矩阵，B 为m n ⨯矩阵，n m <,若AB E =，证明B 的列向量组线性无关.9、答案内容：证明:A 为n m ⨯矩阵,B 为m n ⨯矩阵,且AB E =,E 为单位矩阵.由矩阵秩的性质,则有 ()()R B R E n ≥=.又(),.n m R B n <∴≤()R B n ∴=B ∴ 的列向量组线性无关.----------------------------------------------------------------------------8、试题内容：设121,,,n ααα- 为1n -个线性无关的n 维列向量，12,ηη与121,,,n ααα- 均正交，证明：12,ηη线性相关.9、答案内容：证明:12,ηη 分别与121,,,n ααα- 均正交,()1121200T n T ηαααη-⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()121n A ααα-= ,12T T B ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭,()()011BA R A n R B =⇒=-⇒≤ 12,ηη∴线性相关.----------------------------------------------------------------------------8、试题内容：已知n 阶实矩阵A 为正交矩阵，12,,,n ααα 为n 维正交单位向量组，证明：12,,,n A A A ααα 也是n 维正交单位向量组.9、答案内容：证明:A 是阶正交矩阵,则有12,,,n ααα 是维正交向量组()()0,0,0T i i j TT T T i j i j i i jA A A A ααααααααα∴≠=≠=== 12,,n A A A ααα∴ 是正交向量组.----------------------------------------------------------------------------8、试题内容：设12,,,s ααα 是0Ax =的一个基础解系，β不是0Ax =的解，证明：12,,,,s ββαβαβα+++ 线性无关.9、答案内容：证明:假设()121s R s βααα<+ .这与β不是0Ax =的解矛盾()121s R s βααα∴=+()11s R s ββαβα++=+即1,,s ββαβα++ 线性无关.----------------------------------------------------------------------------8、试题内容：设A 是m n ⨯矩阵，D 是m n ⨯矩阵，B 为m m ⨯矩阵，求证：若B 可逆且BA 的行向量的转置都是0Dx =的解，则A 的每个行向量的转置也都是该方程组的解.9、答案内容：证明：设A 的行向量组为12,,,m ααα （I ）设B 的行向量组为12,,,m βββ （II ）则向量组（I ）与（II ）均为n 维向量组,BA C B =可逆1A B C -⇒=令1112121222112m m m m mm k k k k k k B k k k -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有 1111211221222212m m m m m mm m k k k k k k k k k αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴向量组（I ）可以由（II ）线性表示向量组（II ）是0Dx =的解∴向量组（I ）也是0Dx =的解----------------------------------------------------------------------------8、试题内容：设非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵的秩为r ，12,,,n r ηηη- 是其导出组的一个基础解系，η是Ax b =的一个解，证明：12,,,,n r ηηηη- 线性无关.9、答案内容：证明：假设12,,,,n r ηηηη- 线性相关，12,,,n r ηηη- 是0Ax =的基础解系，12,,,n r ηηη-∴ 是线性无关的.由以上可得η可以由12,,,n r ηηη- 线性表示.则η是0Ax =的解,与η是Ax b =的解矛盾.∴假设不成立,即,η12,,,n r ηηη- 线性无关.10、评分细则：假设12,,,n r ηηηη- 线性相关,由题设推得η可以由121,,r ηηη- 线性表示(3分);所以η是0Ax =的解与η是Ax b =的解矛盾(3分);所以12,,,n r ηηηη- 线性无关(2分).----------------------------------------------------------------------------8、试题内容：设*A 为A 的伴随矩阵，若A 为正定的，试证*A 及1A -均为正定的.9、答案内容：证明：∵A 为正定矩阵，∴A 的特征值全为正数。
《线性代数》习题集与答案 行列式计算证明题
1. 设计算A41 + A42 + A43 + A44 = ?, 其中A4j(j= 1, 2, 3, 4)是|A|中元素a4j的代数余子式. 解. A41 + A42 + A43 + A44=2. 计算元素为a ij = | i－j|的n阶行列式.解.3. 计算n阶行列式(n 2).解. 当+=+++=－=－－= 0 当4. 设a, b, c是互异的实数, 证明:的充要条件是a + b + c =0.证明: 考察范德蒙行列式:=行列式即为y2前的系数. 于是=所以的充要条件是a + b + c = 0.5. 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证明: (n为奇数). 所以|A| = 0.6. 设证明: 可以找出数δ(0 < δ < 1), 使(提示: 使用罗尔定理).证明: ,由罗尔定理, 存在数δ(0 < δ < 1), 使.7. 试证: 如果n次多项式对n+ 1个不同的x值都是零, 则此多项式恒等于零. (提示: 用范德蒙行列式证明)证明: 假设多项式的n + 1个不同的零点为x0, x1, …, x n. 将它们代入多项式, 得关于C i方程组…………系数行列式为x0, x1, …, x n的范德蒙行列式, 不为0. 所以8. 设解. ====1. 设α1, α2, α3, α, β均为4维向量, A = [α1, α2, α3, α], B = [α1, α2, α3, β], 且|A| = 2, |B| = 3, 则|A－3B| = ______.解. ==2. 若对任意n×1矩阵X, 均有AX = 0, 则A = ______.解. 假设, αi是A的列向量. 对于j = 1, 2, …, m, 令,第j个元素不为0. 所以(j = 1, 2, …, m). 所以A = 0.3. 设A为m阶方阵, 存在非零的m×n矩阵B, 使AB = 0的充分必要条件是______.解. 由AB = 0, 而且B为非零矩阵, 所以存在B的某个列向量b j为非零列向量, 满足Ab j= 0. 即方程组AX = 0有非零解. 所以|A| = 0;反之: 若|A| = 0, 则AX = 0有非零解. 则存在非零矩阵B, 满足AB = 0.所以, AB = 0的充分必要条件是|A| = 0.4. 设A为n阶矩阵, 存在两个不相等的n阶矩阵B, C, 使AB= AC的充分条件是______. 解.5. = ______.解.6. 设矩阵= ______.解. ==－+ ==7. 设n阶矩阵A满足= ______.解. 由得. 所以, 于是A可逆. 由得8. 设=______.解. =,,==9. 设解. |A| = －3－12 + 8 + 8 + 6－6 = 110. 设矩阵, 则A的逆矩阵= ______. 解. ,使用分块求逆公式－=所以2．单项选择题1. 设A、B为同阶可逆矩阵, 则(A) AB = BA (B) 存在可逆矩阵P, 使(C) 存在可逆矩阵C, 使 (D) 存在可逆矩阵P和Q, 使解. 因为A可逆, 存在可逆.因为B可逆, 存在可逆.所以= . 于是令, . (D)是答案.2. 设A、B都是n阶可逆矩阵, 则等于(A) (B) (C) (D)解. . (A)是答案.3. 设A、B都是n阶方阵, 下面结论正确的是(A) 若A、B均可逆, 则A + B可逆. (B) 若A、B均可逆, 则AB可逆.(C) 若A + B可逆, 则A－B可逆. (D) 若A + B可逆, 则A, B均可逆.解. 若A、B均可逆, 则. (B)是答案.4. 设n维向量, 矩阵, 其中E为n阶单位矩阵, 则AB =(A) 0 (B) －E (C) E (D)解. AB ==+ 2－2= E. (C)是答案.5. 设, , , 设有P2P1A = B, 则P2 =(A) (B) (C)(D)解. P1A表示互换A的第一、二行. B表示A先互换第一、二行, 然后将互换后的矩阵的第一行乘以(－1)加到第三行. 所以P2 = .(B)是答案.6. 设A为n阶可逆矩阵, 则(－A)*等于(A) －A* (B) A* (C) (－1)n A* (D) (－1)n－1A*解. (－A)* =. (D)是答案.7. 设n阶矩阵A非奇异(n 2), A*是A的伴随矩阵, 则(A) (B)(C) (D)解.(C)是答案.8. 设A为m×n矩阵, C是n阶可逆矩阵, 矩阵A的秩为r1, 矩阵B = AC的秩为r,则(A) r > r1 (B) r < r1 (C) r = r1 (D) r与r1的关系依C而定解. , 所以又因为, 于是所以. (C)是答案.9. 设A、B都是n阶非零矩阵, 且AB = 0, 则A和B的秩(A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n, 一个等于n (D) 都等于n解. 若, 矛盾. 所以. 同理. (B)是答案.3.计算证明题1. 设, . 求: i. AB－BA ii. A2－B2 iii. B T A T 解. ,2. 求下列矩阵的逆矩阵i. ii.iii. iv. 解. i.,ii. . 由矩阵分块求逆公式:得到:iii. . 由矩阵分块求逆公式:所以iv. 由矩阵分块求逆公式:得到:3. 已知三阶矩阵A满足. 其中, ,. 试求矩阵A.解. 由本题的条件知:4. k取什么值时, 可逆, 并求其逆.解.所以5. 设A是n阶方阵, 且有自然数m, 使(E + A)m = 0, 则A可逆. 解. 因为所以. 所以A可逆.6. 设B为可逆矩阵, A是与B同阶方阵, 且满足A2 + AB + B2 = 0, 证明A和A + B都是可逆矩阵.解. 因为, 所以.因为B可逆, 所以所以. 所以都可逆.7. 若A, B都是n阶方阵, 且E + AB可逆, 则E + BA也可逆, 且解.==所以.8. 设A, B都是n阶方阵, 已知|B| ≠ 0, A－E可逆, 且(A－E)－1 = (B－E)T, 求证A 可逆.解. 因为(A－E)－1 = (B－E)T, 所以(A－E)(B－E)T = E所以,由 |B| ≠ 0 知存在.所以. 所以A可逆.9. 设A, B, A + B为n阶正交矩阵, 试证: (A + B)－1 = A－1 + B－1.解. 因为A, B, A + B为正交矩阵, 所以所以10. 设A, B都是n阶方阵, 试证明: .解. 因为所以因为, 所以11. 设A为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵, E为四阶单位矩阵i. 试计算|E +AB|, 并指出A中元素满足什么条件时, E + AB可逆;ii. 当E + AB可逆时, 试证明(E + AB)－1A为对称矩阵.解. i. ,,所以当时, E + AB可逆.ii.因为A, B为实对称矩阵, 所以为实对称矩阵, 所以(E + AB)－1A为对称矩阵.12. 计算下列各题:i. ii.解. i.所以ii. 假设, 则A的三个互不相同的特征值为于是存在可逆矩阵P, 使得所以于是13. 设, 求A n.解. 使用数学归纳法.假设=则==所以==14. 设A为n阶可逆矩阵, 证明 i. , ii. , iii., iv. .解. i.ii.iii. 先证明: 当A, B为同阶可逆矩阵时, 有证明:下面证明本题:因为. 两边取"*"运算, 所以.于是iv.15. A是n阶方阵, 满足A m = E, 其中m是正整数, E为n阶单位矩阵. 今将A中n2个元素a ij用其代数余子式A ij代替, 得到的矩阵记为A0. 证明.解. 因为A m = E, 所以, 所以A可逆.所以16. 设矩阵i. 证明: n 3时, (E为三阶单位矩阵)ii. 求A100.解. i.所以假设则=所以ii.17. 当时, A6 = E. 求A11.解. , 所以因为18. 已知A, B是n阶方阵, 且满足A2 = A, B2 = B, 与(A－B)2 = A + B, 试证: AB = BA = 0.解. 因为(A－B)2 = A + B, 所以于是, 所以因为A2 = A, B2 = B, 所以 2AB = 0, 所以19. 设A, B, C均是n阶方阵, |E－A| ≠ 0, 如果C = A + CA, B = E + AB, 求证: B －C = E.解. 因为B = E + AB, 所以, 所以可逆.对于B = E + AB, 右乘得, 左乘B, 得B = E + BA所以所以右乘, 得B－C = E(注: 本题中条件|E－A| ≠ 0 可以不要)20. 设A为n阶非奇异矩阵, α为n维列向量, b为常数. 记分块矩阵i. 计算并化简PQ;ii. 证明: 矩阵Q可逆的充要条件是.解. i.因为, 所以,= 0所以ii. 因为所以所以所以存在的充要条件为1. 设, 则k =______时, α1, α2, α3, α4线性相关.解. 考察行列式= 13k +5 =0.2. 设, 则t = ______时, α1, α2, α3, α4线性相关.解. 考察行列式.所以对任何t, α1, α2, α3, α4线性相关.3. 当k = ______时, 向量β = (1, k, 5)能由向量线性表示.解. 考察行列式得k =－8. 当k =－8时, 三个向量的行列式为0, 于是线性相关. 显然线性无关, 所以可用线性表示.4. 已知, 则秩(α1, α2, α3, α4) = ______.解. 将α1, α2, α3, α4表示成矩阵. 所以r (α1, α2, α3, α4) = 35. 设, 则秩(A) = ______.解.所以r (A) = 3.6. 已知矩阵A = α·β, 则秩(A) = ______.解. A = α·β =所以r (A) = 1.7. 已知向量, 且秩(α1, α2, α3, α4) = 2, 则t = ______.解. A= (α1, α2, α3, α4)所以当t = 7时, r (A) = 2.2.单项选择题1. 设向量组α1, α2, α3线性无关, 则下列向量组线性相关的是(A) α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1 (B) α1, α1 + α2, α1+ α2 + α3 (C) α1－α2, α2－α3, α3－α1 (D) α1 + α2, 2α2 + α3, 3α3 + α1解. 由得因为向量组α1, α2, α3线性无关, 所以得关于的方程组的系数行列式为. 所以有非零解, 所以α1－α2, α2－α3, α3－α1线性相关. (C)是答案.2. 设矩阵A m×n的秩为R(A) = m < n, E m为m阶单位矩阵, 下列结论正确的是(A) A的任意m个列向量必线性无关 (B) A的任意一个m阶子式不等于零(C) 若矩阵B满足BA = 0, 则B= 0 (D) A通过行初等变换, 必可以化为(E m, 0)的形式解. (A), (B)都错在“任意”; (D)不正确是因为只通过行初等变换不一定能将A变成(E m, 0)的形式; (C)是正确答案. 理由如下:因为BA = 0, 所以 0. 所以= 0. 于是B = 0.3. 设向量组 (I): ;设向量组 (II): , 则(A) (I)相关⇒(II)相关 (B) (I)无关⇒(II)无关(C) (II)无关⇒(I)无关 (B) (I)无关⇔ (II)无关解. 由定理: 若原向量组线性无关, 则由原向量组加长后的向量组也线性无关. 所以(B)是答案.4. 设β, α1, α2线性相关, β, α2, α3线性无关, 则(A) α1, α2, α3线性相关 (B) α1, α2, α3线性无关(C) α1可用β, α2, α3线性表示 (D) β可用α1, α2线性表示解. 因为β, α1, α2线性相关, 所以β, α1, α2, α3线性相关. 又因为β, α2, α3线性无关, 所以α1可用β, α2, α3线性表示. (C)是答案.5. 设A, B是n阶方阵, 且秩(A) = 秩(B), 则(A) 秩(A－B) = 0 (B) 秩(A + B) = 2秩(A)(C) 秩(A－B) = 2秩(A) (D) 秩(A + B) ≤秩(A) + 秩(B)解. (A) 取且|A|≠ 0, |B| ≠ 0则A－B ≠ 0, 则r(A－B)≠ 0. 排除(A);(B) 取A =－B ≠ 0, 则秩(A + B) ≠ 2秩(A); (C) 取A = B ≠ 0, 则秩(A－B) ≠ 2秩(A). 有如下定理: 秩(A + B) ≤秩(A) + 秩(B). 所以(D)是答案.3.计算证明题1. 设有三维向量, ,, 问k取何值时i. β可由α1, α2, α3线性表示, 且表达式唯一;ii. β可由α1, α2, α3线性表示, 但表达式不唯一;iii. β不能由α1, α2, α3线性表示.解.i. 时, α1, α2, α3线性无关, 四个三维向量一定线性相关, 所以β可由α1, α2, α3线性表示, 由克莱姆法则知表达式唯一;ii. 当k = 1 时. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2. 所以所以β可由α1, α2, α3线性表示, 但表示不惟一;iii. 当时.系数矩阵的秩等于2, 增广矩阵的秩为3, 所以所以β不能由α1, α2, α3线性表示.2. 设向量组α1, α2, α3线性相关, 向量组α2, α3, α4线性无关, 问i. α1能否由α2, α3线性表出? 证明你的结论;ii. α4能否由α1, α2, α3线性表出? 证明你的结论解. i. α1不一定能由α2, α3线性表出. 反例: , , . 向量组α1, α2, α3线性相关, 但α1不能由α2, α3线性表出;ii. α4不一定能由α1, α2, α3线性表出. 反例: , , , . α1, α2, α3线性相关, α2, α3, α4线性无关, α4不能由α1, α2, α3线性表出.3. 已知m个向量α1, α2, …αm线性相关, 但其中任意m－1个都线性无关, 证明:i. 如果存在等式k1α1 +k2α2 + … + k mαm = 0则这些系数k1, k2, …k m或者全为零, 或者全不为零;ii. 如果存在两个等式k1α1 +k2α2 + … + k mαm = 0l1α1 +l2α2 + … + l mαm = 0其中l1≠ 0, 则.解. i. 假设k1α1 +k2α2 + … + k mαm = 0, 如果某个k i = 0. 则k1α1 +…+ k i－1αi－1 + k i+1αi+1… + k mαm = 0因为任意m－1个都线性无关, 所以k1, k2, …k i－1, k i+1, …, k m都等于0, 即这些系数k1, k2, …k m或者全为零, 或者全不为零;ii. 因为l1≠ 0, 所以l1, l2, …l m全不为零. 所以.代入第一式得:即所以, …,即4. 设向量组α1, α2, α3线性无关, 问常数a, b, c满足什么条件aα1－α2, bα2－α3, cα3－α1线性相关.解. 假设得因为α1, α2, α3线性无关, 得方程组当行列式时, 有非零解. 所以时, aα1－α2,bα2－α3, cα3－α1线性相关.5. 设A是n阶矩阵, 若存在正整数k, 使线性方程组A k x= 0有解向量α, 且A k－1α≠0, 证明: 向量组α, Aα, ⋯, A k－1α是线性无关的.解. 假设. 二边乘以得,由. 二边乘以得,………………………………最后可得,所以向量组α, Aα, ⋯, A k－1α是线性无关.6. 求下列向量组的一个极大线性无关组, 并把其余向量用极大线性无关组线性表示.i. .ii.解. 解. i.所以是极大线性无关组. 由得方程组解得,所以ii.所以是极大线性无关组. 由得方程组解得, ,所以由得方程组解得, , 所以7. 已知三阶矩阵, 讨论秩(A)的情形.解. i. ,ii. ,iii. ,iv. ,iv.所以, 当时, ; 当时,8. 设三阶矩阵A满足A2 = E(E为单位矩阵), 但A≠±E, 试证明:(秩(A－E)－1)(秩(A + E)－1) = 0解. 由第十一题知又因为A≠±E, 所以,所以, 中有一个为1所以 (秩(A－E)－1)(秩(A + E)－1) = 09. 设A为n阶方阵, 且A2 = A, 证明: 若A的秩为r, 则A－E的秩为n－r, 其中E是n阶单位矩阵.解. 因为A2 = A, 所以所以所以又因为所以. 所以。
完整word版,《线性代数》中的证明题集
1．利用行列式展开定理证明：当βα≠时，有11000100010000001n n n D αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++++-==-++L L LM M M O MML L． 证：将行列式按第一行展开，得12()n n n D D D αβαβ--=+-，则211223()()n n n n n n D D D D D D βαβαβ------=-=-22221()[()()]n n n D D αβααβαββαβα--==-=+--+=L ，所以1n n n D D βα--=． （1）由n D 关于α与β对称，得1n n n D D αβ--=． （2）由（1）与（2）解得11n n n D αβαβ++-=-．2．已知1326、2743、5005、3874都能被13整除，不计算行列式的值，证明4783500534726231能被13整除．证：41424310001001013261321326274327427435005500500538743873874c c c cc c +++=．由已知，得后行列式的第4列具有公因子13，所以原行列式能被13整除．3．证明:222244441111()()()()()()()a b c d a b a c a d b c b d c d a b c d a b c d a b c d =------+++．证： 构造5阶行列式222225333334444411111a b c d x D a b c d x a b c d x a b c d x =， 则5()()()()()()()()()()D b a c a d a c b d b d c x a x b x c x d =----------． （1）将5D 按第5列展开，得435222222223333444411111111()a b c d a b c d D x x abcdabcda b c d a b c d =+-+L ． （2）比较（1）与（2）右边3x 的系数，知结论成立．4．证明：当b a 4)1(2=-时，齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=+-+=+++=+++0)(,03,02,04321432143214321x b a x a x x x x x x x x x x ax x x x 有非零解．证：方程组的系数行列式21111211(1)4113111a D ab aa b==---+，当0D =，即b a 4)1(2=-时，方程组有非零解．5．若A 为n 阶对称矩阵，P 为n 阶矩阵，证明TP AP 为对称矩阵． 证： 因为()()T A ATTTTT TT P AP P A P P AP ===，所以T P AP 为对称矩阵．6．设,,A B C 都是n 阶矩阵，证明：ABC 可逆的充分必要条件是,,A B C 都可逆． 证：ABC 可逆000,0,0ABC A B C A B C ⇔≠⇔⋅⋅≠⇔≠≠≠⇔,,A B C 都可逆．7．设n 阶方阵A 满足23AA O -=，证明2A E -可逆，并求()12A E --．证： 由23A A O -=，得(2)()2A E A E E --=，即(2)2A EA E E --=， 所以2A E -可逆，且()12A E --=2E A -．8．设A 为n 阶矩阵，且O A =3，证明A E -及A E +都是可逆矩阵．证： 由2A O =，得2()()E A E A A E -++=及2()()E A E A A E +-+=，所以A E -及A E +都是可逆矩阵．9．（1）设1P AP B -=，证明1kkB P A P -=．（2）设PB AP =，且100100210,000211001P B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求A 与2011A ．证： （1）111111()()()()kkkB P AP P A PP A PP PP AP P A P ------===L ．（2）由PB AP =，得1A PBP -=，且201120111APB P -=．又12011100100210,000411001P B B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以20111100200,611A A PBP A -⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪--⎝⎭．10．（1）设O B A C O ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且m 阶矩阵B 和n 阶矩阵C 均可逆，试证明111O C A BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭． （2）设矩阵121000000000000n na a A a a -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L MM M M L L，其中12,,,n a a a L 为非零常数，求1A -．证： （1）因为1111O B E O O C BB O E C O O E BO O CC ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以A 可逆，且 111O C A BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭．（2）将矩阵进行如下分块：121000000000000n n a a O B A a C O a-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭MLM L M M M M M L L L L L L L ML， 则111O C A BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭．又111111121(,,,),()n n B diag a a a C a -------==L ，所以1A -=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----0000000000001112111n n a a a a ΛM M M M ΛΛΛ．11．设A 为n 阶矩阵，满足256A A E O ++=，证明：(2)(3)R A E R A E n +++=． 证： 由256A A E O ++=，得(2)(3)A E A E O ++=，所以(2)(3)R A E R A E n +++≤.又(2)(3)(2)(3)()R A E R A E R A E R A E R E n +++=--++≥=，所以(2)(3)R A E R A E n +++=.12．证明：（1）设,A B 为矩阵，则AB BA -有意义的充分必要条件是,A B 为同阶矩阵．（2）对任意n 阶矩阵,A B ，都有AB BA E -≠，其中E 为单位矩阵． 证：（1）设A 为m n ⨯矩阵，B 为s t ⨯矩阵，则AB BA -有意义,,,.n s t m m n s t m s t n =⎧⎪=⎪⇔⇔===⎨=⎪⎪=⎩， 即,A B 为同阶矩阵．（2）设(),()ij n n ij n n A a B b ⨯⨯==，则BA AB -的主对角线上元素之和为111111110n nn n n n n nik kist ts ik ki ts st i k s t i k t s ab b a a b a b ========-=-=∑∑∑∑∑∑∑∑，而E 的主对角线上元素之和为n ，所以AB BA E -≠．13．证明：任意n 阶矩阵都可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和． 证： 设A 为任意n 阶矩阵，则22T TA A A A A +-=+，其中为2T A A +对称矩阵，2TA A -为反对称矩阵．（你是否能联系到函数可以表示为奇函数与偶函数之和）14．已知n 阶矩阵B A ,满足B A AB +=，试证E A -可逆，并求1()A E --． 证： 由B A AB +=，得()()A E B E E --=，所以E A -可逆，且E B E A -=--1)(．15．设A 为元素全为1的)1(>n n 阶方阵，证明：()A n E A E 111--=--． 证： ()211()111n E A E A E A A n n n --=-+---．又2A nA =，故 ()1()1E A E A E n --=-， 所以()A n E A E 111--=--．16．设n 阶矩阵A 与B 等价，且0A ≠，证明0B ≠．证： A 与B 等价，则存在n 阶可逆矩阵P 与Q ，使得B PAQ =，有0B PAQ P A Q ==⋅⋅≠．注：此结论告诉我们初等变换不改变矩阵的可逆性．17．设A 为n 阶方阵，且A A =2，证明()()n E A R A R =-+．证： 因为2()A A E A A O -=-=，所以()()R A R A E n +-≤．又()()()()()R A R A E R A R A E R E n +-=+-+≥=，所以()()n E A R A R =-+．18．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵，其中n m <．若AB E =，其中E 为n 阶单位矩阵．证明方程组BX O =只有零解．证： 由AB E =，得()R AB n =．又()()n R B R AB n ≥≥=，得()R B n =，所以方程组BX O =只有零解．19．（1）设nR ∈α，证明：α线性相关当且仅当0α=．（2）设n R ∈21,αα，证明：21,αα线性相关当且仅当它们对应的分量成比例． 证：(１) α线性相关0,0k k α⇔=≠⇔0α=．（2）21,αα线性相关11220k k αα⇔+=，其中12,k k 不全为零．不妨设10k ≠，则21,αα线性相关21221()k l k ααα⇔=-=，即21,αα对应的分量成比例．20．任取nR ∈4321,,,αααα，又记,,,433322211ααβααβααβ+=+=+=144ααβ+=，证明4321,,,ββββ必线性相关．证： 显然13123424ββααααββ+=+++=+，即1234(1)(1)0ββββ+-++-=，所以4321,,,ββββ必线性相关．21．设12,,,ns R ααα∈L 为一组非零向量，按所给的顺序，每一(1,2,,)i i s α=L 都不能由它前面的1-i 个向量线性表示，证明向量组12,,,s αααL 线性无关．证： 用数学归纳法证明．1s =时，10α≠，则1α线性无关．设s m =时成立，即12,,,m αααL 线性无关．当1s m =+时，若121,,,,m m αααα+L 线性相关，则1m α+可由12,,,m αααL 线性表示，矛盾，所以向量组12,,,s αααL 线性无关．22．设非零向量β可由向量组12,,,s αααL 线性表示，证明：表示法唯一当且仅当向量组12,,,s αααL 线性无关．证： β可由向量组12,,,s αααL 线性表示1212(,,,)(,,,|)s s R R ααααααβ⇔=L L ． 则表示法唯一1122s s x x x αααβ⇔+++=L 有唯一解 1212(,,,)(,,,|)s s R R s ααααααβ⇔==L L 12(,,,)s R s ααα⇔=⇔L 12,,,s αααL 线性无关．23．设12,,,nn R ααα∈L ，证明：向量组12,,,n αααL 线性无关当且仅当任一n 维向量均可由12,,,n αααL 线性表示．证： 必要性：12,,,n αααL 线性无关，任取n R β∈，则12,,,,n αααβL 线性相关，所以β可由12,,,n αααL 线性表示．充分性：任一n 维向量均可由12,,,n αααL 线性表示，则单位坐标向量12,,,n e e e L 可由12,,,n αααL 线性表示，有1212(,,,)(,,,)n n n R e e e R n ααα=≤≤L L ，所以12(,,,)n R n ααα=L ，即12,,,n αααL 线性无关．24. 设A ：1,,s ααL 和B ：1,,t ββL 为两个同维向量组，秩分别为1r 和2r ；向量组C A B =U的秩为3r ．证明：{}21321,m ax r r r r r +≤≤．证： 先证{}123max ,r r r ≤．显然A 组与B 组分别可由C 组线性表示，则13r r ≤，且23r r ≤，所以{}123max ,r r r ≤．次证312r r r ≤+．设11,,i ir ααL 为A 组的一个极大无关组，21,,i ir ββL 为B 组的一个极大无关组，则C 组可由1211,,,,,i ir i ir ααββL L 线性表示，有1231112(,,,,,)i ir i ir r R r r ααββ≤≤+L L ．25．设B 为n 阶可逆阵，A 与C 均为n m ⨯矩阵，且C AB =．试证明)()(C R A R =． 证： 由C AB =，知C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示，则()()R C R A ≤．因为B 可逆，则1A CB -=，知A 的列向量组可由C 的列向量组线性表示，则()()R A R C ≤．所以)()(C R A R =．26．设A 为n m ⨯矩阵，证明：O A =当且仅当0)(=A R ． 证： 必要性显然，下证充分性：()0R A A O =⇒=．设α为A 的任一列向量，则()()0R R A α≤=，所以()00R αα=⇒=．由α的任意性知O A =．27．设T T T )1,5,2(,)1,0,1(,)3,1,2(321---=-=-=ααα．证明向量组123,,ααα是3R 的一组基，并求向量T)3,6,2(=β在这组基下的坐标．证： 由123710021222(,,|)10560108311310012r αααβ⎛⎫ ⎪---⎛⎫⎪ ⎪=-−−→- ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭- ⎪⎝⎭M M M M M M，得123,,ααα是3R 的一组基，且β在这组基下的坐标为71(,8,)22--．28．设m ξξξ,,,21Λ是齐次线性方程组0=AX 的基础解系，求证122,,,m ξξξξ+L 也是0=AX 的基础解系．证： 显然122,,,m ξξξξ+L 是0=AX 的解，只需证明它们线性无关．1221212100110(,,,)(,,,)(,,,)001m m m m m K ξξξξξξξξξξ⨯⎛⎫ ⎪⎪+== ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L M M M L．由10K =≠，得 12212(,,,)(,,,)m m R R m ξξξξξξξ+==L L ，所以122,,,mξξξξ+L 线性无关．29．设A 是n 阶方阵．证明：存在一个n 阶非零矩阵B ，使AB O =的充要条件是0=Α． 证： 存在B O ≠，使得0AB O AX =⇔=有非零解0A ⇔=．30．设A 是n 阶方阵，B 为s n ⨯矩阵，且n B R =)(．证明： （1）若AB O =，则A O =； （2）若B AB =，则n E A =．证： （1）AB O =，则()()R A R B n +≤．又()()0R B n R A A O =⇒=⇒=． （2）()AB B A E B O =⇒-=．由（１）得A E O A E -=⇒=．31．设s ααα,,,21Λ为n 维非零向量，A 为n 阶方阵，若,,,3221Λαααα==A A s s A αα=-1,Λ，0=s A α，试证明s ααα,,,21Λ线性无关．证： 设1122110s s s s x x x x αααα--++++=L ． 该式两边左乘以A ，得122310s s x x x ααα-+++=L依此类推，得10s x α=．由0s α≠，得10x =．同理可证20,,0s x x ==L ．所以s ααα,,,21Λ线性无关．32．设32321211,,αααααααα+=+==A A A ，其中A 为3阶方阵，321,,ααα为3维 向量，且01≠α，证明321,,ααα线性无关．证： 设1122330x x x ααα++=． （1） （1）式两边左乘以A ，得12123233()()0x x x x x ααα++++=． （2） （2）减去（1），得21320x x αα+=． （3） （3）式两边左乘以A ，得23132()0x x x αα++=． （4） （4）减去（3），得310x α=．因为10α≠，所以30x =．代入（３），得210x α=，所以20x =．代入（1），得110x α=，所以10x =． 所以321,,ααα线性无关．33．设A 为n 阶方阵，α为n 维列向量．证明：若存在正整数m ，使0=αm A ，而01≠-αm A ，则1,,,m A A ααα-L 线性无关．证： 设10110m m x x A x A ααα--+++=L ，该式两边左乘以1m A -，得100m x A α-=．因为01≠-αm A，所以00x =．同理可证110m x x -===L ．所以1,,,m A A ααα-L 线性无关．34．设向量组A 的秩与向量组B 相同，且A 组可由B 组线性表示，证明A 组与B 组等价． 证： 设r B R A R ==)()(，r ααα,,,21Λ为A 组的一个极大无关组，r βββ,,,21Λ为B 组的一个极大无关组．由A 组可由B 组线性表示，得r r r r K ⨯=),,,(),,,(2121βββαααΛΛ.又12,,,()()r r R K R r ααα≥≥=L ，则r K R =)(，即K 为可逆矩阵，有11212(,,,)(,,,)r r K βββααα-=L L ，即r βββ,,,21Λ可由r ααα,,,21Λ线性表示，所以B 组可由A 组线性表示.故A 组与B 组等价．35．设向量组A ：s ααα,,,21Λ线性无关，向量组B ：12,,,r βββL 能由A 线性表示为1212(,,,)(,,,)r s s r K βββααα⨯=L L ，其中s r ≤，证明：向量组B 线性无关当且仅当K 的秩r K R =)(． 证： 向量组B 线性无关121,,,)(0r r X βββ⨯⇔=L 只有零解 121(,,,)()0s s r r K X ααα⨯⨯⇔=L 只有零解 12,,,10s s r r K X ααα⨯⨯=⇔L 线性无关只有零解()R K r ⇔=．36．设B A ,都是n m ⨯矩阵，试证明：)()()|()(B R A R B A R B A R +≤≤+．证： 先证()(|)R A B R A B +≤．显然A B +的列向量组可由A 的列向量组和B 的列向量组线性表示，则()(|)R A B R A B +≤．此证(|)()()R A B R A R B ≤+．设(),()R A r R B s ==，ˆA 与ˆB 分别为A 与B 的列向量组的一个极大无关组，则(|)A B 的列向量组可由ˆA与ˆB 线性表示，有 (|)()()R A B r s R A R B ≤+=+，即(|)()()R A B R A R B ≤+．37．设321,,ααα是3R 的一组基，211ααβ+=，322ααβ+=，133ααβ+=．（1）证明123,,βββ是3R 的一组基；（2）求由基321,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵；（3）若向量γ在基321,,ααα下的坐标为)0,0,1(，求向量γ在基123,,βββ下的坐标．证： 123123101,,)(,,)110011(βββααα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． （１）（１）由10111001120=≠，得123123,,),)3((,R R βββααα==，则123,,βββ线性无关，所以123,,βββ是3R 的一组基．（2）由（１）式，得由基321,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵101110011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． （3）γ在基123,,βββ下的坐标1110111111111001110201101110Y P X ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭=⎭=111(,,)222T -．38．设A 为r m ⨯矩阵，B 为n r ⨯矩阵，且AB O =．求证： （1）B 的各列向量是齐次线性方程组0AX =的解； （2）若r A R =)(，则B O =；（3）若B O ≠，则A 的各列向量线性相关． 证： （1）令12(,,,)n B βββ=L ．由AB O =，得12(,,,)(0,0,,0)n A A A βββ=L L ，即0,1,2,,j A j n β==L ，所以B 的各列向量是齐次线性方程组0AX =的解． （2）若r A R =)(，则0AX =只有零解，所以B O =．（3）若B O ≠，则0AX =有非零解，所以A 的各列向量线性相关．39．设A 为n 阶方阵（2≥n ），证明：（1）当n A R =)(时，n A R =*)(； （2）当1)(-=n A R 时，1)(=*A R ；（3）当1)(-<n A R 时，0)(=*A R ．证： （1）当n A R =)(时，1*00n A A A-≠⇒=≠，所以()R A n *=．（2）当1)(-=n A R 时，由*AA A E O ==，得*()()R A R A n +≤有*()1R A ≤．又A 中至少有一个1n -阶子式不为零，则**()1A O R A ≠⇒≥，所以()1R A *=．（3）当1)(-<n A R 时，则A 中所有一个1n -阶子式全为零，有**()0A O R A =⇒=．40．设矩阵A 满足等式2340A A E --=，试证明A 的特征值只能取值1-或4． 证： 设λ为A 的特征值．由2340A A E --=，得λ满足2340λλ--=，解得1λ=-或4λ=．41．设方阵A 满足T A A E =，其中TA 是A 的转置矩阵，E 为单位阵．试证明A 的实特征向量所对应的特征值的模等于1．证： 设X 为A 的实特征向量，对应的特征值为λ，则AX X λ=．由TA A E =，得T T T T X A AX X EX X X ==，即()()TTAX AX X X =，有2T T X X X X λ=．又0TX X >，则21λ=，所以1λ=．42．设矩阵A 与B 相似，试证：（1）T A 与T B 相似； （2）当A 可逆时，1-A 与1-B 相似． 证： A 与B 相似，则存在可逆矩阵P ，使得1B P AP -=．（1）111)(()()TTTTTTT TP AP P A P P B A P ---===． 因为T P 也可逆，所以T A 与TB 相似．（2）111111111)()(P AP P A P B P A P ---------===，所以1-A 与1-B 相似．43．设B A ,都是n 阶实对称矩阵，证明A 与B 相似的充要条件是A 与B 有相同的特征值． 证： 必要性：A 与B 相似，则存在可逆阵P ，使得1P AP B -=．有111|||||()|||||||||B E P AP E P A E P P A E P A E λλλλλ----=-=-=⋅-⋅=-，所以A 与B 有相同的特征多项式，即有相同的特征值．充分性：若实对称矩阵A 与B 有相同的特征值，设n λλλΛ,,21为它们的特征值．令12(,,,)n diag λλλΛ=L ．则A 与Λ相似，B 与Λ相似，所以A 与B 相似．44．设A 为3阶矩阵，21,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足323ααα+=A ．（1）证明321,,ααα线性无关； （2）令),,(321ααα=P ，求AP P 1-．证： （1）设1122330x x x ααα++=， （1） （1）式两边左乘以A ，得1123233()0x x x x ααα-+++=． （2） （1）-（2），得113220x x αα-=．显然21,αα线性无关，则130,0x x ==．代入（１），得220x α=，有20x =，所以321,,ααα线性无关．（2）1231231223(,,)(,,)(,,)AP A A A A αααααααααα===-+123100100(,,)011011001001P ααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100011001AP P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．由第一部分知P 可逆，所以1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．45．设B A ,均为n 阶方阵，且n B R A R <+)()(．试证：B A ,有公共的特征向量．证： 考虑方程组10n A X B ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭，其系数矩阵的秩()()A R R A R B n B ⎛⎫≤+< ⎪⎝⎭， 则方程组有非零解ξ，即0A B ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故0,0A B ξξ==，即0λ=是,A B 的公共特征值，ξ是,A B 属于特征值0λ=的公共的特征向量．46．设A 是n 阶方阵，且满足n A E R A E R =-++)()(．试证:E A =2． 证： 设()R E A r +=．（1） 若0r =，则0=+A E ，即A E =-，有E A =2．（2）若r n =，则()0R E A -=，即A E =，有E A =2．（3）若n r<<0，则()0A E X +=的基础解系12,,,n r ααα-L 就是A 的属于特征值1-的线性无关特征向量；又()R E A n r -=-，则()0A E X -=的基础解系12,,,r βββL 就是A 的属于特征值1的线性无关特征向量；从而A 有n 个线性无关特征向量：1212,,,,,,,n r r αααβββ-LL ，所以A 能相似对角化．令()1212,,,,,,,n r r P αααβββ-=L L ，有1n rr E O P AP OE ---⎛⎫=Λ=⎪⎝⎭， 则1n rn r E O A P P O E ----⎛⎫=⎪⎝⎭，所以E A =2．47．n 阶矩阵B A ,满足B A AB +=，证明1=λ不是A 的特征值．证： 由B A AB +=，得()()A E B E E --=，所以A E -可逆，有0≠-E A ，所以1=λ不是A 的特征值．48．证明：若矩阵A 正定，则矩阵A 的主对角线元素全大于零． 证： 设实对称矩阵()ij n n A a ⨯=正定，则二次型11n nTij iji j f X AX a x x====∑∑正定．取1110,,0,1,0,,0i i i n x x x x x -+=====L L ，则0ii f a =>．由i 的任意性，所以A 的主对角线元素全大于零．。
线性代数证明题[1]
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四、证明题：1、（本题6分）设n 阶实方阵2A A =，E 为n 阶单位矩阵，证明：()()n E A R A R =−+。
2、（本题10分）设r ααα,,,21⋯)2(≥r 是数域P 上的线性空间V 中线性无关的向量组，任取P k k k r ∈−121,,⋯，求证：,111r k ααβ+=,222r k ααβ+=,⋯r r r r r r k αβααβ=+=−−−,111线性无关。
3、（本题8分）试证明：n 阶矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1112⋯⋮⋯⋮⋮⋮⋯⋯b b b b b b b b b a A 的最大特征值为])1(1[2b n a −+，其中10<<b 。
4、（本题8分）试证明：x xx a a a a x a x a x a x a n n n n n n n −−−+=++++−−−−1000010000011221111⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯。
5、（本题10分）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *，证明：(1)若|A |=0，则|A *|=0(2)|A *|=|A |n -16、（本题16分）证明：（1）若方阵X 满足X 2–X –2E =0，则X ，X +2E 都可逆，并求X –1，(X +2E )–1。
（2）若A 、B 为同阶可逆矩阵，则(AB )*=B *A *。
7、（本题8分）证明：若n 次多项式f (x )=c 0+c 1x +…+c n x n 对于n +1个不同的x 值都等于0，则f (x )=0。
8、（本题16分）（1）设A 和B 为n 阶方阵，试证：⇔=)()(B R AB R 方程组0=x AB 与0=x B 有完全相同的解。
（2）设线性方程组(I)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++n n nn n n n n b x a x a x a b x a x a x a ⋯⋯⋯⋯221111212111和(II)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++n n nn n n n n c x A x A x A c x A x A x A ⋯⋯⋯⋯221111212111，其中ij A 为ij a 在行列式||||ij a A =中的代数余子式，i i c b ,不全为零，试证：方程组(I)有唯一解的充要条件是方程组(II)有唯一解。
线性代数证明题
① 当n = 1时, (M+N)1 = M1+N1成立.
1 2 (M+N)k = Mk + C k Mk1N + C kMk2N2 + … + Nk, ②若
则(M+N)k+1 = (M+N)k(M+N) 1 2 = (Mk + Ck Mk1N + C k Mk2N2 + … + Nk)(M+N)
《线性代数》证明题
张小向
东南大学数学系 E-mail:z990303@
版本:2007.12.10
一. 为什么要练习解决证明题
培养严谨的逻辑思维能力。 为什么要培养严谨的逻辑思维能力？ 竞争。 为什么要竞争？ 生存。 为什么要生存？ 本能。
即 k1 0 … 0 亦即 k1 k2
+
0 k2 0 =
+…+
0 0 kn …
=
0 0 … 0
,
…
0 0 … 0
, 可见k1=k2=…=kn=0.
kn
这就是说不存在不全为零的数k1, k2, …, kn使k1e1+k2e2+…+knen = . 所以e1, e2, …, en线性无关.
…
例1. 设e1 =
1 0 …
, e2 =
0 1
, …, en =
0 0 …
,
0 1 0 证明: (1) e1, e2, …, en线性无关. (2) 任何一个n维向量都能由 e1, e2, …, en线性表示. 不存在不全为零的数 k1, k2, …, kn 使 k1e1+k2e2+…+knen = .
线性代数试题及答案
线性代数习题和答案第一部分选择题共28分一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内;错选或未选均无分;1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于 DA. m+nB. -m+nC. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于 BA.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21131D120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A是A的伴随矩阵,则A中位于1,2的元素是 BA. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有 DA. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩A T等于 CA. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则 DA.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+β1+λ2α2+β2+…+λsαs+βs=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1-β1+λ2α2-β2+…+λsαs-βs=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中 CA.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是 AA.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有 AA.秩A<nB.秩A=n-1 =0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n≥3阶方阵,下列陈述中正确的是 BA.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使λE-Aα=0,则λ是A的特征值的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有 AA. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是 BA.|A|2必为1B.|A |必为1 =A T的行列向量组是正交单位向量组13.设A 是实对称矩阵,C 是实可逆矩阵,B =C TAC .则 D与B 相似 B. A 与B 不等价 C. A 与B 有相同的特征值 D. A 与B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为 CA.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪第二部分 非选择题共72分二、填空题本大题共10小题,每小题2分,共20分不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内;错填或不填均无分;15.11135692536= 6 .16.设A =111111--⎛⎝⎫⎭⎪,B =112234--⎛⎝ ⎫⎭⎪.则A +2B = 337137--⎛⎝ ⎫⎭⎪ .17.设A =a ij3×3,|A |=2,A ij 表示|A |中元素a ij 的代数余子式i,j=1,2,3,则a 11A 21+a 12A 22+a 13A 232+a 21A 21+a 22A 22+a 23A 232+a 31A 21+a 32A 22+a 33A 232= 4 . 18.设向量2,-3,5与向量-4,6,a 线性相关,则a= -10 .19.设A 是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解,则它的通解为 η1+c η2-η1或η2+c η2-η1,c 为任意常数20.设A 是m ×n 矩阵,A 的秩为r<n,则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 n-1 .21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积α+β,α-β= -5 . 22.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8,已知A 有2个特征值-1和4,则另一特征值为 -2 .23.设矩阵A =010********---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,已知α=212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为 1 .24.设实二次型fx 1,x 2,x 3,x 4,x 5的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 z z z z 12223242++- .三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求1AB T；2|4A |.26.试计算行列式3112513420111533------.27.设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B .28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103,α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合；若是,则求出组合系数;29.设矩阵A =12102242662102333334-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求：1秩A ；2A 的列向量组的一个最大线性无关组;30.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ,使T -1AT =D .31.试用配方法化下列二次型为标准形fx 1,x 2,x 3=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--,并写出所用的满秩线性变换;四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.设方阵A 满足A 3=0,试证明E -A 可逆,且E -A -1=E +A +A 2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 1η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解；2η0,η1,η2线性无关;答案：一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分 二、填空题本大题共10空,每空2分,共20分 15. 616. 337137--⎛⎝⎫⎭⎪ 17. 4 18. –10 19. η1+c η2-η1或η2+c η2-η1,c 为任意常数20. n -r 21. –5 22. –2 23. 1 24. z z z z 12223242++-三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.解1AB T=120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.2|4A |=43|A |=64|A |,而|A |=1203401212-=-.所以|4A |=64·-2=-12826.解 311251342011153351111113100105530------=-----=5111111550----=5116205506255301040---=---=+=. 27.解 AB =A +2B 即A -2EB =A ,而A -2E -1=2231101211431531641--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-. 所以 B =A -2E -1A =143153164423110123-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=3862962129-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.28.解一 ----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2130130102243419053213010112013112−→−--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪103501120088001414135011200110000,0000110010102001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−→−所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为2,1,1. 解二 考虑α4=x 1α1+x 2α2+x 3α3,即 -++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x x x x x x x x x .方程组有唯一解2,1,1T,组合系数为2,1,1.29.解 对矩阵A 施行初等行变换A −→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102000620328209632−→−-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102032830006200021712102032830003100000=B . 1秩B =3,所以秩A =秩B =3.2由于A 与B 的列向量组有相同的线性关系,而B 是阶梯形,B 的第1、2、4列是B 的列向量组的一个最大线性无关组,故A 的第1、2、4列是A 的列向量组的一个最大线性无关组; A 的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是30.解 A 的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=2,-1,0T , ξ2=2,0,1T.经正交标准化,得η1=255550//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,η2=2515451553///⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.λ=-8的一个特征向量为ξ3=122-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,经单位化得η3=132323///.-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪所求正交矩阵为 T =25521515135545152305323////////--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.对角矩阵 D =100010008-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.也可取T =25521515130532355451523////////---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.31.解 fx 1,x 2,x 3=x 1+2x 2-2x 32-2x 22+4x 2x 3-7x 32=x 1+2x 2-2x 32-2x 2-x 32-5x 32.设y x x x y x x y x 11232233322=+-=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪, 即x y y x y y x y 112223332=-=+=⎧⎨⎪⎩⎪,因其系数矩阵C =120011001-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪可逆,故此线性变换满秩;经此变换即得fx 1,x 2,x 3的标准形y 12-2y 22-5y 32.四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.证 由于E -AE +A +A 2=E -A 3=E ,所以E -A 可逆,且E -A -1= E +A +A 2.33.证 由假设A η0=b ,A ξ1=0,A ξ2=0.1A η1=A η0+ξ1=A η0+A ξ1=b ,同理A η2= b , 所以η1,η2是Ax =b 的2个解; 2考虑l 0η0+l 1η1+l 2η2=0,即 l 0+l 1+l 2η0+l 1ξ1+l 2ξ2=0.则l 0+l 1+l 2=0,否则η0将是Ax =0的解,矛盾;所以 l 1ξ1+l 2ξ2=0.又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而l0=0 .所以η0,η1,η2线性无关;。
线性代数证明题
α1 α 0 , α 2 α 0 ,L , α n r α 0 是 AX = O 的基础解系 的基础解系.
课堂练习： 课堂练习： 2.已知 β 1 , β 2 是非齐次线性方程组 AX = B 的两 已知 α 个不同解， 的基础解系， 个不同解， 1 , α 2 是导出组 AX = O 的基础解系， 证明 AX = B的通解为 β1 + β 2 k1α1 + k2 (α1 α 2 ) + 2 ( k1 , k2 为任意常数 为任意常数)
b11 又 (γ 1 ,L , γ s ) = (α1 ,L , αn ) b21 L bn1 γ 1 = b11α 1 + b21α 2 + L + bn1α n γ 2 = b12α 1 + b22α 2 + L + bn 2α n ∴ LLLLLLLLL γ s = b1 sα 1 + b2 sα 2 + L + bnsα n L b1 s b22 L b2 s L L L bn 2 L bns b12
即γ 1 ,L, γ s
可由α1 ,L , α n表出
∴ γ 1 ,L , γ s的极大无关组
可由 α 1 ,L , α n的极大无关组表出
由定理3.8和定理 由定理 和定理3.11得 和定理 得
∴ r ( AB ) ≤ r ( A)
证毕！ 证毕！
r ( AB ) ≤ m in { r ( A ), r ( B )}
Q li ≠ 0
∴ ki = 0 ∴ k1 = L = km = 0
即 α 1， , α i-1 , β , α i + 1,L , α m L 线性无关
1. 设 α1 , α2 L, αm 线性无关， 线性无关，
考研线代证明题
考研线代证明题
以下是关于考研线代的证明题：
1. 设矩阵A与B等价，证明：存在可逆矩阵P，使得$A = P^{-1}BP$。
2. 设矩阵A与B相似，证明：存在可逆矩阵P，使得$A = P^{-1}BP$。
3. 设矩阵A与B合同，证明：存在可逆矩阵P，使得$A = P^{-1}BP$。
4. 设矩阵A与B等价，证明：存在可逆矩阵P，使得$A^T = P^{-1}BP$。
5. 设矩阵A与B相似，证明：存在可逆矩阵P，使得$A^T = P^{-1}BP$。
6. 设矩阵A与B合同，证明：存在可逆矩阵P，使得$A^T = P^{-1}BP$。
7. 设矩阵A与B等价，证明：存在可逆矩阵P，使得$A^2 = P^{-1}BP$。
8. 设矩阵A与B相似，证明：存在可逆矩阵P，使得$A^2 = P^{-1}BP$。
9. 设矩阵A与B合同，证明：存在可逆矩阵P，使得$A^2 = P^{-1}BP$。
以上题目仅供参考，具体题目可根据考研大纲和历年真题进行选择。
线性代数证明题练习
线性代数证明题练习线性代数证明题是线性代数课程中的一部分，通过解答这些证明题可以加深对线性代数理论的理解和掌握。
本文将提供一些线性代数证明题的练，帮助读者提高他们的证明能力。
1. 向量空间的性质证明1.1 证明向量空间的加法交换律要证明向量空间的加法交换律，需要证明对于任意的向量a和b，有a + b = b + a。
下面是证明的步骤：* 步骤1：首先考虑向量的定义。
向量可以表示为a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn)，其中ai和bi分别是实数。
根据向量的定义，a + b可以表示为(a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)。
* 步骤2：考虑向量加法的交换性质。
根据实数的加法交换律，可以推导出向量加法的交换律。
因此，可以得出(a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn) = (b1 + a1, b2 + a2, ..., bn + an)。
* 步骤3：得出结论。
根据步骤2的结果，可以得出a + b = b + a。
通过以上的证明步骤，可以证明向量空间的加法交换律成立。
1.2 证明向量空间的数乘结合律要证明向量空间的数乘结合律，需要证明对于任意的实数k和向量a，有k(a) = (ka)。
下面是证明的步骤：* 步骤1：考虑向量和数的定义。
向量a可以表示为a = (a1,a2, ..., an)，其中ai是实数。
数k可以表示为一个实数k。
* 步骤2：考虑数乘的定义。
数乘k(a)可以表示为(k * a1, k *a2, ..., k * an)。
* 步骤3：考虑数乘的结合性质。
根据实数的乘法结合律，可以推导出数乘的结合律。
因此，可以得出(k * a1, k * a2, ..., k * an) = (ka1, ka2, ..., kan)。
* 步骤4：得出结论。
根据步骤3的结果，可以得出k(a) = (ka)。
通过以上的证明步骤，可以证明向量空间的数乘结合律成立。
线性代数证明题
9. 设n阶矩阵A的各行元素之和都等于零, 且R(A)=n-1,
求齐次线性方程组Ax=0的通解. 解 记A=(aij)n , 由已知ai1+ai2+…+ain=0, 所以 =(1, 1, …,1)T是方程组的一个解.
又由于R(A)=n-1, 所以方程组的基础解系只含1个解, 故齐次线性方程组的通解为: x=c , c是任意常数 10. 设A是mn矩阵, B是ns矩阵, 且AB=0, 证明B的各列
a1i Aki , a2i Aki ,..., ani Aki , i 1 i 1 i 1 =(0, 0,…, 0)T=0
n n n
T
即, (Ak1,Ak2,…,Akn)T是Ax=0的一个非零解.
所以, (Ak1,Ak2,…,Akn)T是Ax=0的一个基础解系.
1
0 1 1 0 1 1 0 1 1 C 1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 3 1 1 0 1 2 4 4
(2) 由于
0 1 1 2 r r 1 1 2 5 1 2 β1 , β 2 , β3 , α 1 1 2 5 r r 0 1 1 2 3 r 2 1 1 0 1 3 0 0 2 4 1 0 0 1 0 1 0 0 r2 r3 r1 r2 2 r3 0 0 1 2
所以, 21-(2+3)=(2,3,4,5)T是导出组Ax=0的基础解系.
所以, 此方程组的通解为:
1 2 2 3 x c 3 4 4 5 , c R
8. 已知4阶矩阵A=(1, 2, 3 , 4), 1, 2, 3 , 4均为4维列 向量, 其中2, 3 , 4线性无关, 1=22-3 , 如果=1+2+ 3+4, 求线性方程组Ax=的通解.
线性代数的一些证明题
线性代数一些证明题 1 题目设n 阶可逆矩阵A 满足A 2=A ，求A 的特征值。
知识点特征值与特征向量矩阵的行列式解题过程解：因为A 2=A所以A 2－A =0所以det(A 2－A )=det[A (A －E )]=det(A )det(A －E )=0 A 为可逆矩阵，所以det(A )≠0 所以det(A －E )=0所以A 的特征值为1.常见错误设存在λ，使Ax =λx 成立 则 det(Ax )=det(A )det(x )=det(λx )=n λdet(x ) (错误在于向量取行列式)所以 有)det(A n =λ成立.又因为A 2=Adet(A )2=det(A), 即det(A )=0或det(A )=1.由于A 为可逆矩阵，det(A)≠0. 所以 det(A )=1 1=n λ当n 为奇数时，λ=1. 当n 为偶数时，λ=±1.相关例题设A 为n 阶矩阵,若A 2=E ，试证A 的特征值是1或-1. 2题目设A 是奇数阶正交矩阵，且det(A )=1，证明det(E -A )=0. 知识点①正交矩阵的定义：A T A=E②单位矩阵的性质：EA=AE=A E T =E③矩阵运算规律④转置矩阵的性质：(A+B )T =A T +B T⑤det(A )=det(A T )⑥det(AB )=det(A )det(B ) ⑦det(-A )=(-1)n det(A )解题过程∵A 是正交矩阵∴E －A= A T A －A= A T A －EA=( A T －E )A ∵det(A )=1∴det(E－A)=det((A T－E)A)=det(A T－E)det(A)=det(A T－E)∵det(E－A)=det(E－A)T=det(E－A T)∴det(A T－E)= det(E－A T)= det(－(A T－E))= (－1)n det(A T－E)∵n为奇数∴(－1)n=－1∴det(A T－E)=0∴det(E－A)=0常见错误①误以为det(E－A)= det(E)－det(A)，于是det(E－A)=1－det(A)=1－1=0②∵det(A)=1∴a·2a·…·n a=1(其中1a,2a,…,n a为A作初等变换变为上三角形后1对角线上的元素).∴det(E－A)=（1-a）（1-2a）…（1-n a）.1∵det(E-A)=det((A T-E)A)=det(A T-E)det(A)=det(A T-E)且det(A T-E)= （a-1）（2a-1）…（n a-1）.1∴（1-a）（1-2a）…（1-n a）=（1a-1）（2a-1）…（n a-1）1= (-1)n（1-a）（1-2a）…（1-n a）1∵n为奇数∴(－1)n=－1∴（1－a）（1－2a）…（1－n a）=01∴det(E －A )=0以上证法先把A 变为上三角，再用E 减去变化后的A ，再求行列式，这是错误的。
完整word版,《线性代数》中的证明题集
1．利用行列式展开定理证明：当时，有L 0 01L 001L 0n1n1D n．MMM O MM00L000 L 1证： 将行列式按第一行展开，得D n()D n 1 D n 2 ，则D nD n 1( D n 1D n2)2(D n2D n 3)n2n22nL n 2(D 2D 1)n 2[()2()]所以 D nD n 1n（1）由D n 关于与 对称， 得D nD n 1n（2）n1n1由 （ 1）与（2）解得 D n证： 构造 5 阶行列式2．已知 1326、2743、5005、3874 都能被 13，不计算行列式的值，证明1 32 6 2 7 43 5 0 0 5 3 8 7 41 32 61 32 13262 7 4 32 7 4 2743 证：5 0 0 5 c41000c 1 5 0 0 5005 c4 100c 23 8 74 c410c 33 8 7 3874所以原行列式能被 13 整除．3．证明 : 111a 2 a 4abc22 bc 44 bc 1 dd 2 d 4(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d) ．由已知，得后行列式的第 4 列具有公因子 131111 abcd则 D 5 (b a)( c a )( d 比较( 1) D5 a 2 b 2 c 2 d 23333abcd 4444abcda)(c b)( db)(d c)(x a)(x b)(x c)(x d) ．1 1 111 1 1 1 a b c d4abc d2 2 2 2 x 4 (2222a b 2 c d 2a b 2 c d 2 3 3 3 34 4 4 4a b 3 c d 3a b 4 c d 4 将 D 5 按第 5 列展开， 得与( 2)右边 知结论成立． D 5 )x 33 x 3的系数，1)2)4．证明：当 (a 1)2 4b 时，齐次线性方程组 证： 方程组的系数行列式11 1a12 11D11 3111a a b当 D 0 ，即 (a 1)2 4b 时， 方程组有非零解． 2(a 1)2 4b ，5．若 A 为 n 阶对称矩阵， P 为 n 阶矩阵，证明 P T AP 为对称矩阵． A T A 证： 因为 (P T AP)T P T A T (P T )T P T AP ，所以 P T AP 为对称矩阵． x 1 x 2x 3ax 4 0,x 1 2x 2x 3 x 4 0,有非零x 1 x 2 3x 3x 40, x 1 x 2a x 3 (a b)x 46．设 A,B,C 都是 n 阶矩阵，证明： ABC 可逆的充分必要条件是 A,B,C 都可逆． 证： ABC 可逆 ABC 0 A B C 0 A 0, B 0,C 0 A,B,C 都可 逆．(A 2E) A 2EE ，21A E 所以 A 2E 可逆，且 A 2E A E．22 E 及(E A)(E A A 2) E ，所以 E A 及E A 都是可逆矩阵．9． （1）设P 1AP B ，证明B k P 1A k P ．1 0 01 00（2）设AP PB ，且 P2 1 0 , B0 00 ，求 A 与A20112 1 10 01证：1）k 1 kB k ( P 1AP )kP 11A(PP 1) A(PP1)L ( PP 1 1k)AP P 1A kP ．2） 由 AP PB ，得 APBP 1，且 A 20 11PB 2011P 1 ．又1 0 01 0 0P 121 0 , B 20110 0 0 B，41 10 011 0 0所以 A 20 0 2011,APBP1A ．6 1 110．（ 1）设AO C B O，且 m 阶矩阵 B 和n 阶矩阵 C 均可逆，试证明 A 1 OCB 1 Oa 10 L0 0 a 2L（ 2）设矩阵AM M MM，其中a 1, a 2 ,L ,a n 为非零常数，求A 1．0 0 0 L a n 1a n 0 0 L证： 由 A 2 3A O ，得 (A 2E)(A E) 2E ，即7．设 n 阶方阵 A 满足 A 2 3AO ，证明 A 2E 可逆，并求A 2E8．设 A 为 n 阶矩阵，且 A 3 O ，证明 EA 及 E A 都是可逆矩阵．证：22由 A 2 O ，得 (E A)( E A A 2 )12．证明：（ 1）设 A,B 为矩阵，则 AB BA 有意义的充分必要条件是 A, B 为同阶矩阵．（2）对任意 n 阶矩阵 A, B ，都有 AB BA E ，其中 E 为单位矩阵． 证：（ 1）设A 为 m n 矩阵，B 为 s t 矩阵，则证：O1）因为COB 1C 11BB1OCC 1E ，所以 A 可逆，且2）将矩阵进行如下分块：a n则A 1 ．又 B 1A 1A 1a 1a 2Mdiag (a 1 1,a 2 ,L C 1a n 1L,a n 1),C(a n 1) 所以1a 11 01a 21 1a n 111．设 A 为 n 阶矩阵， 满足 A 25A 6E证明：R(A 2E)R(A 3E) n ．证： 由 A 2 5A 6E O ，得 (A 2E)(A3E) O ，所以所以 R（AR(A 2E)R(A 3E) n .R(A 2E)2E) R(AR(A 3E)3E) R( A 2E) R(A 3E) R(E) n ，n .n s,t m,m n s t ，m s,t n.A A T A A T其中为 对称矩阵， 为反对称矩阵．2与偶函数之和)14．已知 n 阶矩阵 A,B 满足 AB A B ，试证 A E 可逆，并求 (A E) 证： 由 AB A B ，得(A E)(B E) E ，所以 A E 可逆，且 (A E) 1 B E ．1115．设 A 为元素全为 1的 n(n 1)阶方阵，证明： E A 1E A ． n11 n 12 2 证： E A (E A) E A A 2 ．又 A 2 nA ，故 n 1 n 1 n 11 E A (E A) E ， n111 所以 E A 1 E 1A ．AB BA 有意义 即 A,B 为同阶矩阵．2)设 A (a ij )n n ,B(b ij )n n ，则 AB BA 的主对角线上元素之和为nnnna ikb kib st a ts1k1 s1t1n n n na ikb kia tsb st0 ，i 1 k 1 t 1 s1而 E 的主对角线上元素之和为 n ，所以 AB BA E ．证设 A 为任意 n 阶矩阵，则A A AT2 A A T ，2你是否能联系到函数可以表示为奇函数n113．证明：任意 n 阶矩阵都可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和．16．设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，且 A 0，证明 B 0．证： A 与B 等价，则存在 n 阶可逆矩阵 P 与Q ，使得 B PAQ ，有B PAQ P A Q 0 ．：此结论告诉我们初等变换不改变矩阵的可逆性．17． 设 A 为 n 阶方阵，且 A 2 A ，证明RARA E n ．证：因为 A(A E)2 A 2A O ，所以 R AR A E n ．又RA R A E RARA E R(E) n ，所以 R A R A En ．18． 设 A 是 n m 矩阵， B 是 m n 矩阵， 其中 nm．若 AB E ，其中 E 为 n 阶单位矩 阵． 证明方程组 BX O 只有零解．证：由 AB E ，得 R(AB) n ．又 n R(B) R(AB) n ，得 R(B) n ，所以方程组BX O 只有零解．19．（ 1）设 R n ，证明：线性相关当且仅当0．（2）设 1, 2 R n，证明：1,2线性相关当且仅当它们对应的分量成比例．证： （１ ）线性相关 k0,k0 0 ．（2）1, 2 线性相关 k 1 1k 2 2 0 ，其中 k 1,k 2 不全为零．不妨设 k 1 0，则所以1, 2, 3 , 4必线性相关．2 对应的分量成比例．2线性相关20． 任取23R n，又记 1121，证明 4必线性相关．证： 显然134 2 4，即1( 1) 2 3( 1) 4 0，21．设1, 2,L , s R n为一组非零向量，按所给的顺序，每一i(i 1,2,L ,s) 都不能由它前面的i 1个向量线性表示，证明向量组1, 2,L , s 线性无关．证：用数学归纳法证明．s 1时，10，则1线性无关．设s m时成立，即1, 2,L , m 线性无关．当s m 1时，若1, 2,L , m, m 1线性相关，则m1可由1, 2,L , m线性表示，矛盾，所以向量组1, 2,L , s 线性无关．22．设非零向量可由向量组1, 2,L , s 线性表示，证明：表示法唯一当且仅当向量组1 ,2 , L , s 线性无关．证：可由向量组1, 2 ,L , s 线性表示R(1,2,L , s) R( 1, 2 ,L, s| ) ．则表示法唯一x1 1 x2 2 L x s s有唯一解R(1 ,2 ,L , s ) R( 1,2 ,L , s |)sR(1, 2,L , s ) s 1 , 2,L ,s 线性无关．23．设1, 2 ,L,n R ，证明：向量组1 , 2 ,L ,n 线性无关当且仅当任一n 维向量均可由1, 2,L , n 线性表示．证：必要性：1, 2,L , n线性无关，任取R n，则1, 2,L , n, 线性相关，所以可由1, 2,L , n 线性表示．充分性：任一n维向量均可由1, 2,L , n线性表示，则单位坐标向量e1,e2,L ,e n 可由1, 2 ,L , n线性表示，有n R(e1,e2,L ,e n) R( 1, 2,L , n) n ，所以R( 1, 2,L , n ) n ，即1, 2,L , n线性无关．24. 设A：1,L , s和B：1,L , t为两个同维向量组，秩分别为r1和r2 ；向量组C AUB的秩为r3 ．证明：max r1,r2 r3 r1 r2．证：先证max r1,r2 r3．显然A组与B组分别可由C组线性表示，则r1 r3 ，且r2 r3，所以max r1,r2 r3 ．次证r3 r1 r2．设i1,L , ir1为A组的一个极大无关组，i1,L , ir2为B组的一个极大无关组，则C 组可由i1,L , ir1, i1,L , ir2线性表示，有r3 R( i1,L , ir1, i1,L , ir2) r1 r2 ．25．设B为n阶可逆阵，A与C均为m n矩阵，且AB C．试证明R(A) R(C)．证：由AB C ，知C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示，则R(C) R(A)．1因为B 可逆，则A CB 1，知A的列向量组可由C 的列向量组线性表示，则R(A) R(C) ．所以R(A) R(C) ．26．设A为m n矩阵，证明：A O当且仅当R(A) 0．证：必要性显然，下证充分性：R(A) 0 A O ．设为A的任一列向量，则R( ) R(A) 0，所以R( ) 0 0 ．由的任意性知A O ．T T T 327．设 1 ( 2,1,3)T , 2 ( 1,0,1)T , 3 ( 2, 5, 1)T．证明向量组1, 2, 3是R3的一组基，并求向量(2,6,3)T在这组基下的坐标．26 MM 257281 MMM 001 010 1003 7 1得1, 2, 3是R3的一组基，且在这组基下的坐标为（ , 8, ）．2228．设1, 2 , , m是齐次线性方程组AX 0 的基础解系，求证 1 2, 2,L , m 也是AX 0 的基础解系．证：显然 1 2, 2,L , m 是AX 0 的解，只需证明它们线性无关．1 0 L 01 1 L 0(12, 2,L , m) ( 1, 2,L , m) ( 1, 2,L , m)K m m．M M M0 0 L 1由K 1 0，得R( 1 2, 2,L , m) R( 1, 2,L , m) m ，所以 1 2, 2,L , m 线性无关．29．设A是n阶方阵．证明：存在一个n阶非零矩阵B，使AB O 的充要条件是Α 0．证：存在B O ，使得AB O AX 0 有非零解30．设A是n阶方阵，B为n s矩阵，且R（B） n．证明：（1）若ABO，则A O ；（2）若AB B，则A E n．证：（1）AB O ，则R(A) R(B)n ．又R( B)nR(A)0 A O（2）AB B (A E)B O ．由（１）得A E O A E ．31．设1,2,, s为n维非零向量，A为n阶方阵，若A 1 2, A 2 3, ,A s 1s，A s 0 ，试证明1,2,, s 线性无关．证：设x11x2 2 L x s 1 s 1 x s s 0 ．该式两边左乘以A，得x1 2 x2 3 L x s 1 s 0依此类推，得x1 s 0．由s 0，得x1 0．同理可证x20,L , x s 0．所以12 s 线性无关．12r可由 1, 2,r线性表示，所以B 组可由 A 组线性表示 .故 A 组与 B 组等32．设 A 11,A 212, A 323，其中 A 为 3 阶方阵，1, 2, 3为 3 维向量，且 1 0 ，证明1, 2 , 3 线性无关．证： 设 x 1 1 x 2 2 x 3 30．（1）（ 1）式两边左乘以 A ， 得(x 1x 2 ) 1(x 2x 3) 2 x 3 3 0．（2） （2）减去（1），得 x 21 x320 ．（3）（3）式两边左乘以 A ，得(x 2x 3) 1x 320 ．（4）（4）减去（3），得 x 3 1 0 ． 因为 10， 所以 x 3 0 ．代入（３），得 x 2 10，所以 x 2 0．代入（ 1），得 x 1 10，所以 x 1 0 ．所以1, 2, 3 线性无关．33．设 A 为n 阶方阵， 为n 维列向量．证明：若存在正整数 m ，使A m 0，而 A m1 0，则 ,A ,L ,A m 1 线性无关． 证： 设 x 0 x 1A L x m 1A0 ，该式两边左乘以 A ，得x 0A m 10 ．因为 A m 10 ，所以 x 0 0．同理可证 x 1 Lx m 1 0．所以 ,A ,L ,A m 1 线性无关．34．设向量组 A 的秩与向量组 B 相同，且 A 组可由 B 组线性表示，证明 A 组与 B 组等价． 证： 设R （A ） R （B ） r ， 1, 2, , r 为 A 组的一个极大无关组， 1, 2, , r 为B 组 的一个极大无关组．由 A 组可由 B 组线性表示，得（ 1, 2, , r ） （ 1, 2, , r ）K r r .又r R （K ） R （ 1, 2,L , r ） r ，则 R （K ） r ，即 K 为可逆矩阵，有1（ 1, 2,L , r ） （ 1, 2,L , r ）K 1，价．35．设向量组 A ： 1, 2, , s 线性无关，向量组 B ： 1, 2,L , r 能由 A 线性表示为 ( 1 , 2 ,L , r ) ( 1 ,2 , L , s ) K s r ，其中 r s ，证明：向量组 B 线性无关当且仅当 K 的秩 R(K) r ． 证： 向量组 B 线性无关 ( 1, 2,L , r )X r 1 0只有零解( 1, 2,L , s )(K sr X r 1) 0只有零解1, 2 ,L , s 线性无关K s r X r 1 0 只有零解 R(K ) r ．36．设 A,B 都是 m n 矩阵，试证明： R(A B) R(A|B) R(A) R(B) ．证： 先证 R(A B) R(A|B)．显然 A B 的列向量组可由 A 的列向量组和 B 的列向量 组线性表示，则 R(A B) R(A|B) ．此证 R(A|B) R(A) R(B)．设 R(A) r,R(B) s ，A ?与 B ?分别为 A 与B 的列向 量组的一个极大无关组，则 ( A | B)的列向量组可由 A ?与 B ?线性表示，有R(A| B) r s R(A) R(B)，即 R(A|B) R(A) R(B) ．1)证明 1, 2, 3是 R 3 的一组基； 2)求由基 1, 2, 3 到基 1, 2, 3的过渡矩阵；3)若向量 在基 1, 2, 3 下的坐标为 (1,0,0) ，求向量 在基 1, 2, 3下的坐标．101证：( 1 , 2, 3 ) ( 1, 2 , 3 ) 1 1 001137．设 1, 2, 3是 R 3的一组基，2，2 2 3， 3 3 1 ．１)101(１)由1 1 0011所以1, 2, 3是R3的一组基．1012)由(１)式，得由基1, 2, 3 到基1, 2, 3 的过渡矩阵1 1 0011 3 ) 在基1, 2, 3 下的坐标10111 1 1 1 1111 1 1 TY P 1X 1100 1 1 1 02(12,12,12)0110 1 1 1 038．设A 为m r 矩阵，B 为r n 矩阵，且AB O ．求证：(1) B 的各列向量是齐次线性方程组AX 0 的解；(2)若R( A) r ，则B O；(3)若B O ，则A 的各列向量线性相关．证： (1)令B ( 1, 2,L , n)．由AB O ，得(A 1,A 2,L ,A n) (0,0, L ,0) ，即A j 0, j 1,2,L ,n，所以B 的各列向量是齐次线性方程组AX 0的解．(2)若R(A) r ，则AX 0只有零解，所以B O．(3)若B O ，则AX 0 有非零解，所以A 的各列向量线性相关．39．设A为n阶方阵( n 2 )，证明：(1)当R(A) n时，R(A ) n； (2)当R(A) n 1时，R(A ) 1；(3)当R(A) n 1时，R( A ) 0．n1证： (1)当R(A) n时，A 0 A* A n 1 0 ，所以R(A ) n ．(2)当R(A) n 1时，由AA*A E O，得R(A) R(A*) n有R(A*) 1．又A中2 0 ，得R( 1, 2, 3) R( 1, 2, 3)3 ，则1, 2, 3线性无关，至少有一个n 1 阶子式不为零，则A O R(A ) 1，所以R(A ) 1 ．(3)当R(A) n 1时，则A中所有一个n 1阶子式全为零，有A* O R(A*) 0 ．240．设矩阵A满足等式A2 3A 4E 0，试证明A的特征值只能取值1或4．证：设为A的特征值．由A2 3A 4E 0 ，得满足2 3 4 0，解得1 或4．41．设方阵A满足A T A E，其中A T是A的转置矩阵，E为单位阵．试证明A的实特征向量所对应的特征值的模等于1．证：设X 为A 的实特征向量，对应的特征值为，则AX X ．由A T A E ，得X T A T AX X T EX X T X ，即(AX)T(AX) X T X，有2X T X X T X ．又X T X 0，则2 1，所以1．42．设矩阵A与B 相似，试证：T T 1 1(1)A T与B T相似；(2)当A可逆时，A 1与B 1相似．证：A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得B P 1AP．T 1 T T T 1 T T T T 1(1) B T(P1AP)T P T A T(P1)T P T A T(P T)1．因为P T也可逆，所以A T与B T相似．(2) B 1 (P 1AP) 1 P 1A 1(P 1) 1 P 1A 1P，所以A 1与B 1相似．43．设A,B 都是n阶实对称矩阵，证明A与B 相似的充要条件是A与B 有相同的特征值．证：必要性：A与B相似，则存在可逆阵P，使得P 1AP B．有|B E| |P 1AP E| |P 1(A E)P| |P 1| | A E| |P| | A E|，所以A与B有相同的特征多项式，即有相同的特征值．充分性：若实对称矩阵A与B有相同的特征值，设1, 2, n 为它们的特征值．令diag ( 1, 2,L , n) ．则A与相似，B与相似，所以A与B相似．44．设 A 为 3 阶矩阵， 1, 2为 A 的分别属于特征值 1,1的特征向量，向量3满足A 3 2 3 ．（1）证明 1, 2 , 3线性无关；(2)令 P ( 1, 2, 3)，求 P 1AP ．证：（ 1）设 x 1 1x 2 2 x 330 ，（1） （1） 式两边左乘以 A ，得x 11(x 2 x 3 ) 2 x 3 3 0 ．（2） （1）- ( 2)，得2x 1 1 x 3 20．显然 1, 2线性无关，则 x 1 0,x 3 0 ．代入（１），得x 220 ，有 x 20 ，所以 1, 2, 3 线性无关．2)AP A( 1, 2, 3)(A 1,A 2,A 3)(1, 2 , 23)1 0 01 0 0( 1 , 2 , 3 ) 0 1 1P 0 1 1，0 0 10 11 0 0 1 0 0即 AP P 01 1 ．由第一部分知 P 可逆，所以 P 1 AP 0 1 1 ．0 0 10 145．设 A,B 均为 n 阶方阵，且 R （A ） R （B ） n ．试证： A, B 有公共的特征向量．A证： 考虑方程组 B A X n 1 0，其系数矩阵的秩AR R(A) R(B) n ， B A则方程组有非零解 ，即 0 ，故BA 0,B 0 ，即 0是 A,B 的公共特征值， 是 A,B 属于特征值0 的公共的特征向量．46．设 A 是n 阶方阵，且满足 R(E A) R(E A) n ．试证: A 2 E ．证： 设 R( E A) r ． (1) 若r 0，则 E A 0，即 AE ，有 A 2 E ．(2)若 r n ，则 R(E A) 0，即 A E ，有 A 2 E ．3)若 0 r n ，则 (A E)X 0的基础解系 1, 2,L1的 线性无 关特征 向量； 又 R(E A) n r ，则 (A E)X48．证明：若矩阵 A 正定，则矩阵 A 的主对角线元素全大于零．证： 设实对称矩阵 A (a ij )n n 正定，则二次型x 1 0,L , x i 1 0,x i 1,x i 1 0,L ,x n 0，则 f a ii 0．由 i 的任意性，所以 A 的主对角线元素全大于零．1 a n 12,L ,r 就是A 的属于特征值 1 的线性无关特征向量；从而 A 有 n 个线性无关特征向量： 2,L , nr 2,L , r，所以 A 能相似对角化． 令P 2 ,L , 1, 2 ,L ,r ，有 1APE n rOOE r， En rOE n rP 1 ，所以 A 2 E ．47． n 阶矩阵 证： 由 ABA,B 满足 AB A 不是 A 的特征值． B ，得(A A E)( B E) E B ，证明 1不是 A 的特征值． ，所以 A E 可逆，有 A E 0 ，所以 1n r 就是A 的属于特征值0的基础解系nnX T AX a ij x i x j 正定．取i 1 j 1。
线性代数证明题答案
17、（本题 8 分） 证： 将 n 阶单位矩阵第 i 行与第 j 行交换后所得矩阵记为 Eij ，则 Ei−j 1 = Eij ，于是 B = Eij A ,
因为 B = EIJ A ≠ 0 ，所以 B 可逆。
( ) AB −1 = A Eij A −1 = AA−1Ei−j 1 = Eij 。
⎟ ⎟
，
ann ⎟⎠
⎛1⎞ ⎛ a ⎞ ⎛1⎞
因
A
⎜⎜1⎟⎟ ⎜⋮⎟
=
⎜ ⎜ ⎜
a ⋮
⎟ ⎟ ⎟
=
a
⎜⎜1⎟⎟ ⎜⋮⎟
，
⎜⎜⎝1⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎝
a
⎟⎟ ⎠
⎜⎜⎝1⎟⎟⎠
⎛1⎞
对应于
λ
=
a
的特征向量为
⎜⎜1⎟⎟ ⎜⋮⎟
。
⎜⎜⎝1⎟⎟⎠
故 λ = a 是 A 的一个特征值。
14、（本题 8 分） 证： 由 A 是正交矩阵,知 A 2 = 1 , A−1 = AT ，
( ) l1α1 + l2α 2 , l1α1 + l2α 2 = 0 ⇒ l1α1 + l2α 2 2 = 0 ⇒ l1α1 + l2α 2 = o
因为 α1,α 2 线性无关，所以有 l1 = 0, l2 = 0 ，同理可得 l3 = 0, l4 = 0 ， 故 α1，α 2，α 3，α 4 线性无关。
而 l1β1 + l2 β 2 + ⋯ + lr−1β r−1 + lr β r = l1 (α1 + k1α r ) + l2 (α 2 + k2α r ) + ⋯ + lr−1 (α r−1 + kr−1α r ) + lrα r = l1α1 + l2α 2 + ⋯ + lr−1α r−1 + (l1k1 + l2 k2 + ⋯ + lr−1kr−1 + lr )α r ，
线代证明题
证明题1．设方阵A 满足220A A E --=,证明A 及2A E +都可逆,并求1A -及1(2)A E -+. 证明：由22A A E O --=()2A A E E ⇒-=11()2A E A -⇒=-又由22A A E O --=(2)3(2)4A E A A E E ⇒+-+=-(2)(3)4A E A E E ⇒+-=-11(2)(3)4A E E A -∴+=-2、设A 为方阵，若存在某个正整数2k ≥使0kA =，证E - A 可逆且并写出其逆矩阵的表达式(E 为n 阶单位阵). (可逆阵为21k E A A A -++++)证明：21()(...)k k E A E A A A E A --++++=-210()(...)k k A E A E A A A E -=∴-++++=故E-A 可逆，其逆矩阵为21...k E A A A -++++3、设,A B 为n 阶方阵,试证明:A B A B A B BA=+-. 证明 ：0A B A B B A A B A B A B BABABA B+++===+--4、设,A B 为n 阶方阵,试证明:A B B A ⎛⎫⎪⎝⎭可逆的充要条件是()(),A B A B +-都可逆.证明 ：0A B A B B A A B A B A B BABABA B+++===+--,A B B A ⎛⎫⎪⎝⎭可逆<=>其行列式不等于0<=>()(),A B A B +-的行列式也不等于0<=>()(),A B A B +-也都可逆。
5.设A 为可逆方阵,试证明: A 的伴随矩阵也可逆且()()1**1A A--=.证明：矩阵A 可逆0A ⇔≠,且**A AA A E A E A=⇒⋅=,故A 的伴随矩阵也可逆，且()1*A A A-=. 又由矩阵A 可逆⇔1A -也可逆且11AA-=， 而()()**11111AA AA E A A A A-----⋅=⇔==⋅,则()()1**1A A --=。
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线性代数一些证明题 1 题目设n 阶可逆矩阵A 满足A 2=A ，求A 的特征值。
知识点特征值与特征向量 矩阵的行列式 解题过程解：因为A 2=A所以A 2－A =0所以det(A 2－A )=det[A (A －E )]=det(A )det(A －E )=0 A 为可逆矩阵，所以det(A )≠0 所以det(A －E )=0 所以A 的特征值为1. 常见错误设存在λ，使Ax =λx 成立 则 det(Ax )=det(A )det(x )=det(λx )=n λdet(x ) (错误在于向量取行列式)所以 有)det(A n =λ成立. 又因为A 2=Adet(A )2=det(A), 即det(A )=0或det(A )=1.由于A 为可逆矩阵，det(A)≠0. 所以 det(A )=11=n λ当n 为奇数时，λ=1.当n 为偶数时，λ=±1. 相关例题设A 为n 阶矩阵,若A 2=E ，试证A 的特征值是1或-1. 2题目设A 是奇数阶正交矩阵，且det(A )=1，证明det(E -A )=0. 知识点①正交矩阵的定义：A T A=E②单位矩阵的性质：EA=AE=A E T =E③矩阵运算规律④转置矩阵的性质：(A+B )T =A T +B T⑤det(A )=det(A T )⑥det(AB )=det(A )det(B ) ⑦det(-A )=(-1)n det(A )解题过程∵A 是正交矩阵∴E －A= A T A －A= A T A －EA=( A T －E )A ∵det(A )=1∴det(E－A)=det((A T－E)A)=det(A T－E)det(A)=det(A T－E)∵det(E－A)=det(E－A)T=det(E－A T)∴det(A T－E)= det(E－A T)= det(－(A T－E))= (－1)n det(A T －E)∵n为奇数∴(－1)n=－1∴det(A T－E)=0∴det(E－A)=0常见错误①误以为det(E－A)= det(E)－ det(A)，于是det(E－A)=1－det(A)=1－1=0②∵det(A)=1∴a·2a·…·n a=1(其中1a,2a,…,n a为A作初等变换变为上三1角形后对角线上的元素).∴det(E－A)=（1-a）（1-2a）…（1-n a）.1∵det(E-A)=det((A T-E)A)=det(A T-E)det(A)=det(A T-E)且det(A T-E)= （a-1）（2a-1）…（n a-1）.1∴（1-a）（1-2a）…（1-n a）=（1a-1）（2a-1）…（n a-1）1= (-1)n（1-a）（1-2a）…（1-n a）1∵n为奇数∴(－1)n=－1∴（1－1a ）（1－2a ）…（1－n a ）=0 ∴det(E －A )=0以上证法先把A 变为上三角，再用E 减去变化后的A ，再求行列式，这是错误的。
相关例题证明：若A 为正交矩阵，则det(A )=±1. 3 题目试就a,b 的各种取值情况,讨论下列线性方程组的解,若有解,则求出解。
⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=+-++=-+3)2(33)2()2(2132321321x b a ax x b x a x x x x （1）知识点 线性方程组解的结构解题过程解：B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-3 2b a 3 03 2 2a 21 1 1 1b ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---3 2b a 3a 01 b a 01 1 1 1 122r r -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0 b a 0 0 1 b a 0 1 1 11 (1)当a —b ≠0,且a ≠0时，rank(B)=3，增广矩阵的秩也等于3，而且等于未知数的个数，故方程组（1）有唯一解。
其解为： ;11 ,1 ,0123ax a x x -===(2)当a-b=0，且a ≠0时，rank(B)=2,增广矩阵的秩也等于2，秩小于未知数的个数，此时故方程组（1）有无穷多解。
其解可由132=-bx ax ，解得,132x ab a x +=，代入第一个方程1321=-+x x x 得到31111x a b a x ⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=；一般解为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-+-=任意）(111113333231x x x a x a b a x ax a b a a a x （3）当a=0，b 为任意数，此时增广矩阵可化为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---0 b a 0 01 a 01 1 11b ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1 0 0 01 b 0 01 1 11 可见，rank(B)=2, 但增广矩阵的秩为3，所以方程组（1）无解， 常见错误233r r -在讨论带参数的线性方程时，尽管初等变换结果正确，也会产生讨论不全的错误。
如，当a ≠b 时，就说原方程有唯一解，没有指出a ≠0，当a=b 时，就说原方程组有无穷多解，没有指出a=b ≠0，等等。
相关例题确定a,b 的值，使下列方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-++=-+3)2(3 3)2()2(2132321321x b a ax x b x a x x x x（1） 有唯一解； （2） 无解；有无穷多解，并求出通解。
4 题目若123,,ααα线性无关，4112233k k k αααα=++，其中123,,k k k 全不为0. 证明234,,ααα线性无关. 知识点 向量线性相关解题过程证法一：（从定义出发）设存在常数123,,k k k '''，使得1223340k k k ααα'''++= 已知4112233k k k αααα=++，代入上式，得12233112233()0k k k k k k ααααα'''++++=化为： 131********()()0k k k k k k k k ααα'''''++++= 由题意知：123,,ααα线性无关131********k k k k k k k k ⎧'⎪⎪''∴+⎨⎪''+⎪⎩＝ ＝＝123,,0k k k 全不为1230k k k '''∴ 解得＝＝＝由定义，知234,,ααα线性无关 证毕证法二：（由初等列变换，秩相等）411223323423112233(,,)(,,)k k k k k k αααααααααααα=++−−−−−−−→++由3223322311(,,)c k c c k c k ααα--−−−→31/231(,,)c k ααα−−−→由于初等变换不改变矩阵的秩，所以由123,,ααα线性无关，知231(,,)ααα的秩为3，所以234(,,)ααα秩也为3，推出234,,ααα线性无关证法三：（反证法） 假设234(,,)ααα线性相关.则存在不全为0的常数123,,k k k '''，使得1223340k k k ααα'''++=已知4112233k k k αααα=++，代入上式，得12233112233()0k k k k k k ααααα'''++++=化为： 131********()()0k k k k k k k k ααα'''''++++=123,,0k k k 全不为13123233 ,,0k k k k k k k k '''''∴++ 不全为（否则，由13123233 0k k k k k k k k '''''++＝＝＝得1230k k k '''＝＝＝） 即 123,,ααα线性相关, 与题目已知条件矛盾. 所以假设不成立, 即 234(,,)ααα线性无关. 5题目设121,,,n r ηηη-+是AX B =的解且线性无关，()R A r =，试证AX B =的任一解可表示为112211n r n r X k k k ηηα-+-+=+++，其中1211n r k k k -++++=知识点 基础解系 方程组解的结构解题过程证明121,,,n r AX B ηηη-+=是的解11211,,,0n r n r n r n r AX ηηηηηη-+-+--+∴---=是的解由11211121,,,,n r n r n r n r c c c c n r n r c c ηηηη-+-+--+----+-−−−−→()112111,,,n r n r n r n r n r ηηηηηηη-+-+--+-+---()因为 121,,,n r ηηη-+线性无关，所以112111,,,,n r n r n r n r n r ηηηηηηη-+-+--+-+---线性无关， 11211,,,n r n r n r n r ηηηηηη-+-+--+---也线性无关，且11211(,,,)n r n r n r n r R n r ηηηηηη-+-+--+---=-所以 11211,,,n r n r n r n r ηηηηηη-+-+--+---是0AX =的基础解系因为0AX =的任一解X *可以表示为：1112211()()()n r n r n r n r n r X k k k ηηηηηη*-+-+---+'''=-+-++-AX B =的任一解X 可以表示为：X X η**=+ ①其中η*是AX B =的一个特解扩展①式，取1n r ηη*-+=，得11122111()()()n r n r n r n r n r n r X k k k ηηηηηηη-+-+---+-+'''=-+-++-+化简得1122121(1)n r n r n r n r X k k k k k k ηηηη----+''''''=++++----令1121n r n r k k k k -+-'''=----，1122,,,n r n r k k k k k k --'''===则AX B =的解可以表示为112211n r n r X k k k ηηη-+-+=+++且1211212(1)1n r n r n r k k k k k k k k k -+--''''''+++=++++----=命题得证另外取(1)i i n r ηη*=≤≤-时1112211()()()n r n r n r n r n r i X k k k ηηηηηηη-+-+---+'''=-+-++-+化简得11221111(1)i i i i i i n r n r X k k k k k k ηηηηηη--++--''''''=+++++++++121()n r n r k k k η--+'''----此时令11221111,,,,1,,,i i i i i i n r n r k k k k k k k k k k k k --++--''''''====+==112n r n r k k k k -+-'''=----则AX B =的解可以表示为112211n r n r X k k k ηηη-+-+=+++且121n r k k k -++++121112(1)()1i i i n r n r k k k k k k k k k -+--'''''''''=+++++++++----=此时命题也成立常见错误不会应用定理. 不知两个非齐次组的解的差是齐次线性方程组的解. 6 题目设21λλ、是矩阵A 的两个不同的特征值，21x x 、分别属于21λλ、的特征向量，证明21x x +不是矩阵A 的特征向量. 知识点11 特征值 特征向量解题过程用反证法.设 21x x +是A 的对应λ的特征向量，则有212121)()(x x x x x x A λλλ+=+=+ (1)已知 111x Ax λ=，222x Ax λ=所以 22112121)(x x Ax Ax x x A λλ+=+=+ (2)由(1)(2)知 221121x x x x λλλλ+=+0)()(2211=-+-x x λλλλ (3)因为21x x 、线性无关，所以021=-=-λλλλ，21λλλ==与已知矛盾.常见错误由(1)(2)直接推出21λλλ==，只从形式上来看有这个结论，没有利用不同特征值所对应的特征向量是线性无关的性质， 因为有了这个性质才能推出 (3)的系数为0. 这在证明中不够严密.。