数值计算中误差的传播规律
数值计算常用公式
第一章 误差由观测产生的误会差，称为观测误差或参量误差. 由数值计算方法所得到的近似解与实际问题准确解之间出现的这种误差，称为截断误差或方法误差。
x *为准确值的一个近似值，则绝对误差: e *(x)= x-x * 绝对误差限：∣e *(x)∣=∣x-x *∣≤ε*（在知道x 准确值的条件下）相对误差：=xx x xx e*-=)(*=****)(xx x xx e -=相对误差限：******)()(rrxx x xx e x eε≤-==误差传播规律：)()()()()(2**21**1*x e x fx e x f y e ∂∂+∂∂≈*)()(**y y e y e r =（看会第七页例题）有效数字与有效数字位数：例一：对于x=π=3.14159…,若取近似值=3.14,则绝对误差∣)(*x e ∣=0.00159…≤01.021⨯,即百分位数字4的半个单位(指01.021⨯）是*x 的绝对误差限，故从*x 最左边的非零数“3”开始到百分位数字“4”的三个数都是有效数字，近似值*x 具有三位有效数字。
例二：求2*1049-⨯=x 的有效数字？有两位有效数字，即位有效数字，则有设的绝对误差限为，而可写为解：**2**x 2m 2m 0m x 105.0x 1049.0x =-=-⨯⨯-第二章 非线性方程求根二分法：[]b a x ,∈，2b a x +=分成两半，检查0)()(0<x f a f 则x *在[],x a 范围内。
1*22+-=-≤-k kk ka b a b xx预估二分法的次数：ε≤-+12k ab ，ε为允许误差（精度）。
简单迭代法：)(0)(x g x x f =⇒=,....)2,1,0)((1==+k x g x kk满足条件：1.(1)当在区间[]b a ,上g'存在，且)1(1)('的正常数为小于其中L L x g <≤；（2）对任意[]b a x ,∈，都有[]ba x g ,)(∈， 则 （1）对任取初始近似值[]b a x ,0∈，迭代法)(1x g xk =+产生的迭代序列｛kx｝都收敛于方程[]ba x g x ,)(在=上的唯一实根*x ； （2）.1*;11*011x x LLx x x x L x x kk k k k --≤---≤-+误差估计表明:要使即可。
线性代数中的数值计算
正则化方法
L1正则化
在目标函数中加入L1范数作为惩罚项，实现稀疏解的 选择。
L2正则化
在目标函数中加入L2范数作为惩罚项，防止过拟合现 象的发生。
弹性网正则化
结合L1和L2正则化的优点，同时实现稀疏解和防止过 拟合的目的。
05
非线性方程组的数值解法
牛顿法与拟牛顿法
牛顿法
通过迭代的方式求解非线性方程组的 根，每一步迭代都需要计算雅可比矩 阵（函数的一阶导数矩阵）和海森矩 阵（函数的二阶导数矩阵）。
有效数字与精度
有效数字表示一个数中可靠数字 的位数，精度则反映了计算结果 的准确性。在数值计算中，需要 关注有效数字的保留和精度的控 制。
误差传播
在复杂的数值计算中，误差可能 会逐步累积和传播，导致最终结 果的失真。因此，需要分析误差 传播规律，并采取相应的措施来 减小误差。
数值稳定性
01
算法稳定性
线性代数中的数值计算
• 数值计算基础 • 线性方程组求解 • 矩阵特征值与特征向量计算 • 线性最小二乘问题 • 非线性方程组的数值解法 • 数值计算中的优化问题
01
数值计算基础
误差与精度
绝对误差与相对误差
描述计算结果与真实值之间的差 异程度，其中绝对误差是计算值 与真实值之差的绝对值，相对误 差是绝对误差与真实值之比。
拟牛顿法
在牛顿法的基础上，通过近似计算海 森矩阵或其逆矩阵，从而减少计算量 ，提高求解效率。常见的拟牛顿法有 BFGS方法和DFP方法等。
梯度下降法与共轭梯度法
梯度下降法
沿着目标函数的负梯度方向进行迭代，逐步逼近函数的极小值点。该方法适用 于连续可微的凸函数优化问题。
共轭梯度法
结合梯度下降法和共轭方向法的思想，利用历史梯度信息构造共轭方向，从而 加速收敛速度。共轭梯度法适用于大规模非线性优化问题。
1-第一章 数值计算中的误差分析
课程目的和任务： 通过对一些基本声学和水声学问题的分析和
求解，掌握基本声学理论计算与工程研究中常用的 数值计算方法，培养综合运用声学专业知识、数学 知识和计算机技术解决科学研究中手工所不能解算 的问题，具备应用现代计算工具解决工程实际问题 的能力。
前言
水声学主要研究声波在水下的辐射、传播与接收，用 以解决与水下目标探测和信息传输过程有关的各种声学问 题。声波是目前在海洋中唯一能够远距离传播的能量辐射 形式。因此作为信息载体的声波，在海洋中所形成的声场 时空结构，就成为近代水声学的基本研究内容，而提取海 洋中声场信息的结构是我们用来进行水下探测、识别、通 信及环境监测等的手段。
c*
1.2 299792458
4.1 109 (4.002769
109 )
数值计算中的误差分析
有效数字
如果近似值 x* 的绝对误差限是某一位的半个单位，就称其
“准
x*
确”到这一位x*，且从该位开始直到 的第一位非零数字共有n位，
则称近似数 有n位有效数字。
有效数字既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度（绝对
学习目的：
提高应用计算机解决实际问题的能力。
前言
数值计算流程：
实际问题
理论模型
数学问题
误差分析
上机计算
程序设计
算法设计
特点：
既具有数学的抽象性与严格性，又具有应用的广泛性与实际实 验的技术性，是一门与计算机紧密结合的实用性很强的有着自身研 究方法与理论体系的计算数学课程。
前言
数学问题可以通过离散化、逼近转化为数值问题，在计算机上 可执行的（指计算公式中只有四则运算和逻辑运算等计算机上能够 执行的计算）求解数值问题的系列计算公式称为数值方法。
计算方法(1)-数值计算中的误差
* r
(
x)
1)乘方运算结果的相对误差增大为原值 x的p倍,降低精度.
2)开方运算结果的相对误差缩小为原值
x的1/q倍,精度得到提高.
三.算例的误差分析
x
3
2 2
1 1
24
§6 算法的数值稳定性
一.算法稳定性的概念
凡一种算法的计算结果受舍入误差的影 响小者称它为数值稳定的算法.
例4 解方程 x2 (109 1)x 109 0
方程精确解: x1 10 9 , x2 1
利用求根公式
x1,2
b
b2 4ac 2a
x1 10 9 , x2 0
25
当多个数在计算机中相加时,最好从
绝对值最小的数到绝对值最大的数依次相
加,可使和的误差减小.
二.算法的改进
2 2
1 1
3
计算结 果
2 7/5
2 17 /12
1 ( 2 1)6
2 6
0.0040960
5
6
0.00523278
5
12
2 99 70 2
1
1 0.16666667
6
3
6
1
5
6
0.00523278
12 6
计算方法
1
第一章 数值计算中的误差
§1 引言 §2 误差的种类及其来源 §3 绝对误差和相对误差 §4 有效数字及其与误差的关系 §5 误差的传播与估计 §6 算法的数值稳定性
误差的合成、分配和传递
在通常情况下，未定系统总误差可以用极限误差的 形式给出误差的最大变化范围，也可用标准差来表示。
按极限误差合成 按标准差合成
三、误差的合成
1)按极限误差合成 a.绝对值合成法： 表达式：
( e1 e2
em ) ei
i 1 m
其中ei为极限误差。当m大于10时，合成误差估计值往 往偏大。一般应用于m小于10。
则有：
i
x f xi ci i xi y y
x
i
i
xi xi
相对误差传递公式
y i x
i 1
n
一、误差的传递
和差函数的误差传递
y x1 x2
c1 f 1 x1
x1 y
c2
f 1 x2
x2 y
1 c1
2 c2
y
1i j
n
对 y
y y
(
i 1
n
x x f )0 i 两边求方差，则得： xi y xi
随机相对误差的传递公式
y
n f 2 xi 2 2 f xi f x j （ ） ( ) 2 [( ） ] [( ） ]i , j i j 0 i x y x y x y i 1 1i j i i j n
2 i 1i j
1 y
x
i 1 2 ij i , j i j
1i j
n
在水文测验误差分析中，常对上式进行简化。假定各直接被测量的相对 标准差相等，再假定各直接被测量之间不存在相关关系，则变量和的相 对标准差传递公式变为： x m 2 1 m 2 灵敏系数平方和 ny xi xi y i 1 y i 1 的方根
绪论2误差传播定律
智能化技术应用
随着人工智能等技术的 发展，未来误差传播定 律的研究将更加注重智 能化技术的应用，如利 用机器学习等方法进行
误差预测和控制。
实验与理论相结合
未来研究将更加注重实 验与理论的相结合，通 过实验验证理论的正确 性和可靠性，推动误差 传播定律在实际应用中
误差控制
为了控制误差的累积和传播，提高测 量结果的准确性，需要研究和掌握误 差传播规律。
学科发展
随着测量科学和技术的不断发展，对 误差传播规律的研究逐渐深入，形成 了较为完善的理论体系。
02
误差传播定律数学表达式
单一观测值误差传播公式
误差传播定律描述了测量误差在数据处理过程中的传 递规律。对于单一观测值，其误差传播公式可表示为
缺乏统一的理论框架
目前，误差传播定律的研究缺乏统一的理论框架，不同领域和方法 之间的融合不够，限制了其应用范围和效果。
实验验证不足
误差传播定律的实验验证相对较少，缺乏充分的实验数据支持，使 得理论成果在实际应用中的可靠性受到质疑。
未来发展趋势及前景预测
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
跨学科融合研究
输标02入题
$$sigma_y = |f'(x)| cdot sigma_x$$
01
03
该公式表明，函数 $y$ 的误差与 $x$ 的测量误差及 函数在该点的导数有关。当 $|f'(x)|$ 较大时，即使
$sigma_x$ 很小，$sigma_y$ 也可能较大。
04
其中，$sigma_y$ 为函数 $y = f(x)$ 的误差，$f'(x)$ 为函数在点 $x$ 处的导数，程测量中，误差传播定律用 于评估测量结果的可靠性和精度， 指导测量方案的设计和实施。
误差传递的计算方式课件
实际应用中的误差传递实例通过具体 的应用场景和案例分析，强调了误差 传递在解决实际问题中的重要性和实 际意义。
05 误差传递的预防与控制
提高测量精度与准确度
选用高精度测量设备
规范操作
采用高精度的测量设备，可以减少测 量误差，提高测量数据的准确性。
严格按照操作规程进行测量，避免因 操作不当导致测量误差。
。
进行误差传递分析
分析误差来源
对测量过程中产生的误差 进行详细分析，找出误差 的来源和传递途径。
建立误差传递模型
根据误差来源和传递途径 ，建立误差传递模型，为 制定误差控制策略提供依 据。
预测误差影响
根据建立的误差传递模型 ，预测误差对最终结果的 影响，以便采取相应的措 施进行控制。
制定误差控制策略
定期校准设备
定期对测量设备进行校准，确保设备 处于良好的工作状态，提高测量数据 的可靠性。
选择合适的数学模型与方法
根据问题选择合适的数学模型
01
根据实际问题的特点，选择适合的数学模型，使误差传递最小
化。
优化算法
02
采用优化算法，提高计算精度和效率，减少误差传递。
验证模型与方法
03
对所选择的数学模型和方法进行验证，确保其准确性和可靠性
详细描述
二阶误差传递公式是一阶误差传递公式的扩展，它考虑了两个输入变量的变化对 输出变量的影响。二阶误差传递公式通常用于分析非线性系统的误差传播。
高阶误差传递公式
总结词
描述误差传递的数学模型中的高阶误 差传递公式。
详细描述
高阶误差传递公式是更高阶的误差传 递公式，它考虑了多个输入变量的变 化对输出变量的影响。高阶误差传递 公式通常用于分析复杂系统的误差传 播。
计算方法(1)-数值计算中的误差
f
(x1, x2 )
f
(x1*, x2* )
f x1
*
(x1
x1* )
f x2
*
(x2
x2* )
1 2!
2 f x12
*
(x1
x1* )2
2
2 f x1x2
*
2
§1 引言
一.用数值计算方法解决实际问题 的步骤
1.将实际问题抽象成数学问题,即建立 数学模型;
2.选用合适的算法,编制出计算机程序; 3.上机调试并计算,以得出所欲求解的
结果.
3
二.数值计算方法
1.定义 将所欲求解的数学模型简化
成一系列算术运算和逻辑运算,以便在计 算机上求出问题的数值解,并对算法的收 敛性、稳定性和误差进行分析、计算.
21
例: 比较算法
① 计算 3.01 3 (精确到第五位数字).
② 计算 1 cosx .
2.乘法运算的误差传播
* r
n
xi
n
* r
(
xi
)
i1 i1
1) 近似值之积的
相对误差等于相乘
各因子的相对误差
的代数和.
n i 1
xi
误差增长因子16的绝对误差的倍数经传播后增大或缩小表示增长因子的绝对误差缩小的倍数经传播后增大或表示的绝对误差增长因子的相对误差的倍数经传播后增大或缩小表示增长因子的相对误差缩小的倍数经传播后增大或表示的相对误差增长因子误差增长因子的绝对误差增长因子的相对203
数值计算中的误差
p( x) a0 xn a1xn an1x an
an1 ) x an
p( x) (((a0 x a1 ) x a2 ) x
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
二、误差的种类及其来源
过失误差或疏忽误差 模型误差
非过失误差 观测误差 截断误差
*
例如 3.14159265 的五、六位有 效数字分别为：
1 3.1416 , 2 3.14159
•数字的规格化形式
一般说，设有一个数 x ，其近似值 x 的规格化形式
*
x 0.1 2 n 10
*
m
(5)
1 , 2 ,, n 都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一个数 式中： 字， 1 0 ；n是正整数；m是整数。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
(7)
计算题
绝对误差和相对误差的计算以及有效数字？
例1 当用 3.1416 来表示 它的相对误差是多少？
的近似值时，
3 ，由(7)有
1 解： 3.1416 具有五位有效数字，
* r
1 1 51 4 ( x) 10 10 23 6
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
五、防止误差传播的若干方法
应选用数值稳定的计算算法，避开不稳定的算式； 注意简化计算步骤，减少运算次数； 大数“淹没”小数的现象发生；
应避免两相近数相减（变换）；
绝对值太小的数不宜作为除数；
注意计算过程中误差的传播与积累。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
1 x 99 70 2
6
《误差传递公式》课件
误差传递公式的应用领域
误差传递公式广泛应用于各种测量领域，如工程测量、物理 实验、化学分析、医学检测等。它可以帮助我们评估测量结 果的可靠性和精度，优化测量方法和手段，提高测量数据的 准确性和可靠性。
在科学研究、技术研发和生产制造等领域中，误差传递公式 也发挥着重要作用，它可以帮助我们更好地理解测量误差的 来源和传播规律，为提高产品质量和生产效率提供有力支持 。
总结词
误差传递公式在工程设计中，能够指导工程师合理分配和控制各部分结构的误差，确保 整体性能的稳定。
详细描述
工程设计对精度要求极高，各部分结构的误差可能相互影响，导致整体性能的偏差。误 差传递公式能够帮助工程师预测各部分结构误差对整体性能的影响，从而优化设计方案
，提高工程的安全性和稳定性。
04
误差传递公式的局限性
03
在实际工作中，加强团队协作和沟通，确保误差传递
得到有效控制和管理。
THANKS。
误差传递公式
目 录
• 误差传递公式简介 • 误差传递公式的推导过程 • 误差传递公式的应用实例 • 误差传递公式的局限性 • 误差传递公式的实践建议
01
误差传递公式简介
误差传递公式定义
误差传递公式是用于描述测量中误差传播规律的数学公式。它基于统计学原理， 通过数学模型将各个测量环节的误差进行传递和合成，以评估最终测量结果的误 差范围。
误差传递公式通常由输入量误差和输出量误差之间的关系式表示，通过将输入量 误差代入公式，可以计算出输出量误差。
误差传递公式的重要性
误差传递公式在测量领域中具有重要 意义，它可以帮助我们了解测量过程 中误差的传递规律，从而更好地控制 和减小误差，提高测量精度。
通过误差传递公式，我们可以对测量 系统进行优化和改进，减少不必要的 误差源，提高测量结果的可靠性和准 确性。
第一章数值分析(误差分析)
* e x x * e r * * x x x x* er 则称η 为 x* 的相对误差限。 x
如果
这时 x=10,
x*=10±1;
2019/3/13
第一章 绪论与误差分析
2
本章内容安排
1. 目的意义：了解计算数学的背景知识；掌握误 差的基本知识 2.重 点：误差来源、误差表示、误差传播 及算法设计原则 3.难 点：有效数字 4.内容分配： 第 1 次：§1 计算数学研究的对象和内容 第
§2 误差的来源和分类 2 次：§3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及计算结 果在计算机上存放时，计算机会按舍入原则舍去每个数据 字长之外的数字，从而产生误差，这种误差称为舍入误差 或计算误差。 例如，在十进制十位的限制下，会出现 (1.000002)2-1.000004=0
这个结果是不准确的，准确的结果应是 (1.000002)2-1.000004 =1.000004000004-1.000004=4×10-12 这里所产生的误差就是计算舍入误差。 在数值分析中，一般总假定数学模型是准确的，因而 不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响。
则有误差限 |x-x*|≤1= εx ,
虽然εy是εx 的3倍，但在1000内差3显然比10内差1更精确 些。这说明一个近似值的精确程度除了与绝对误差有关 外，还与精确值的大小有关，所以这时可以用相对误差 来比较这两个近似数的准确度。
2019/3/13 19
第一章 绪论与误差分析
e x x 定义1 .2 记 er x x 则称其为近似值 x *的相对误差。 由于 x 未知， 实际使用时总是将 x * 的相对误差取为
计算方法误差总结
计算方法误差总结引言在科学计算和工程应用中，计算方法的误差是一个非常重要的问题。
误差的产生可能来自于多个方面，包括算法本身的近似性、输入数据的测量误差以及计算机的舍入误差等。
了解和分析这些误差对于保证计算结果的准确性和可靠性至关重要。
本文将总结不同类型的计算方法误差，并探讨如何在实际应用中有效地解决这些问题。
误差类型计算方法的误差可以分为以下几种类型：1. 绝对误差绝对误差是指计算结果与准确结果之间的差值的绝对值。
它描述了计算结果与真实值之间的偏离程度，通常以单位为参考进行度量。
2. 相对误差相对误差是指绝对误差与准确结果之间的比率。
相对误差可以更好地反映计算结果的准确性，尤其是当准确结果接近零或非常大的情况下。
截断误差是由于计算方法的近似性质引起的。
当使用近似公式或截断级数进行计算时，截断误差会导致结果与准确值之间的差异。
4. 舍入误差舍入误差是由于计算机表示数字的有限性引起的。
计算机使用二进制表示浮点数，并且只能存储一定数量的有效数字。
因此，计算结果可能会被舍入或截断，从而引入舍入误差。
5. 累积误差累积误差是在多次计算中误差逐渐积累的结果。
由于多次计算中的误差传递，计算结果可能会越来越偏离真实值。
误差分析方法为了有效地解决计算方法误差的问题，我们需要采取一些常用的误差分析方法。
以下是一些常见的误差分析方法：误差界定的目标是确定计算结果的上界和下界。
这可以通过使用误差界定定理和泰勒级数展开来实现。
通过界定误差，我们可以对计算结果的准确性进行保证。
2. 误差传播误差传播是指在多个计算步骤中误差如何传播和累积的问题。
通过分析每个计算步骤的误差来源和传播规律，我们可以得出计算结果的总体误差。
3. 精确度改善精确度改善的目标是减小计算结果的误差。
这可以通过改进算法和使用更精确的计算方法来实现。
例如，使用更高阶的数值方法可以减小截断误差，而使用更高精度的计算方法可以减小舍入误差。
4. 误差评估误差评估是指通过与实际测量数据进行对比，评估计算方法的准确性和可靠性。
数值分析中的误差传播理论
数值分析中的误差传播理论
误差传播理论是数值分析领域中的重要理论之一，它用于研究数值
计算中的误差如何随着计算过程的进行而逐步累积或减小。
在实际的
数值计算中，由于浮点数表示精度有限、截断误差、舍入误差等原因，误差是无法完全避免的。
因此，了解误差传播理论对于提高数值计算
的准确性和稳定性至关重要。
误差传播理论主要包括截断误差和舍入误差两个方面。
截断误差是
由于数值计算中采用截断近似导致的误差，舍入误差是由于计算机在
表示实数时采用有限精度浮点数表示法引入的误差。
在数值计算过程中，这两种误差会相互影响，相互传播，从而影响最终计算结果的准
确性。
当进行多步数值计算时，每一步的计算结果都会带有误差。
这些误
差在后续计算中会被传播，并随着计算的进行而累积。
因此，为了减
小误差的传播，需要采取一些措施，比如适当选择计算方法、合理设
计算法、增加计算精度等。
误差传播理论对于数值计算中的算法设计、收敛性分析和稳定性评
价起着重要作用。
通过对误差传播过程的深入研究，可以帮助我们更
好地理解数值计算中的误差来源和传播规律，有助于提高数值计算方
法的精度和效率。
总之，误差传播理论是数值计算中不可或缺的理论基础，只有充分
理解和掌握误差传播规律，才能有效地提高数值计算的准确性和稳定
性，确保计算结果的可靠性。
希望通过对误差传播理论的深入研究和应用，能够为数值计算领域的发展和应用带来更多的启发和帮助。
误差传递函数怎么求
误差传递函数怎么求
摘要：
1.引言
2.误差传递函数的定义
3.误差传递函数的求法
4.实际应用
5.总结
正文：
1.引言
在各种测量和计算过程中，误差是不可避免的。
为了研究误差的传播规律，我们需要引入误差传递函数这个概念。
本文将从误差传递函数的定义、求法以及实际应用等方面进行详细介绍。
2.误差传递函数的定义
误差传递函数，又称误差传播函数，是指在函数计算过程中，因变量误差与自变量误差之间的比例关系。
具体来说，设函数y=f(x)，当自变量x 的误差为Δx，因变量y 的误差为Δy 时，误差传递函数可表示为：Δy/Δx = f"(x)
其中，f"(x) 表示函数f(x) 的导数。
3.误差传递函数的求法
求解误差传递函数的方法较为简单，一般采用以下步骤：
（1）对函数y=f(x) 求导，得到导函数f"(x)。
（2）将自变量x 的误差Δx 代入导函数f"(x) 中，得到因变量y 的误差Δy。
（3）根据误差传递函数的定义，计算Δy/Δx，即可得到误差传递函数。
4.实际应用
误差传递函数在实际应用中具有很高的价值。
例如，在工程测量、科学实验以及计算机仿真等领域，通过研究误差传递函数，可以有效地预测和控制误差的传播，从而提高测量和计算的精度。
5.总结
本文从误差传递函数的定义、求法以及实际应用等方面进行了详细介绍。
误差传播分析和容错效果
误差传播分析和容错效果误差传播分析是在各种科学研究和实际应用中常用的一种分析方法。
它用于研究在测量、计算或实验过程中产生的误差如何传播到最终结果，并评估这些误差对结果的影响。
误差传播分析的目的是帮助我们理解和控制误差，从而提高数据的可靠性和研究结果的准确性。
误差传播分析的基本原理是根据误差的数学性质和统计规律，通过对误差的传播规律进行建模和计算。
在实际应用中，误差往往是由多个环节的测量、计算或实验引起的。
因此，误差传播分析需要考虑不同环节的误差来源和传播方式。
首先，我们需要识别和量化每个环节中的误差来源。
这些误差来源可以分为系统误差和随机误差。
系统误差是由系统的固有性质或外部条件引起的，它们可能导致测量值的偏倚或偏离真实值。
随机误差是由各种不确定因素引起的，它们在多次测量或实验中会导致结果的变动。
然后，我们需要确定误差的传播方式。
误差可以通过线性传播或非线性传播的方式进行传播。
线性传播是指误差在不同环节之间按照线性关系进行传播。
非线性传播是指误差在不同环节之间按照非线性关系进行传播。
为了进行误差传播分析，我们可以使用数学模型和统计方法。
数学模型可以帮助我们建立误差的传播关系，并进行误差的计算和预测。
统计方法可以帮助我们评估误差的大小和不确定性，并进行误差的分布分析。
误差传播分析的结果通常以误差边界（error bounds）或置信区间（confidence interval）的形式呈现。
误差边界是指误差的上、下限，它给出了误差的范围。
置信区间是指给定置信水平下误差的范围，它可以帮助我们评估误差的可靠性。
容错效果是指在误差传播过程中，系统的容错性能。
容错效果的好坏会影响最终结果的准确性和可靠性。
如果系统具有较好的容错效果，那么即使系统中存在一定误差，最终结果仍然可以保持较高的准确性。
如果系统的容错效果较差，那么即使系统中的误差很小，最终结果可能会变得不可靠。
在实际应用中，对误差传播分析和容错效果的研究非常重要。
误差分解的基本原理
误差分解的基本原理
误差分解是指将一个问题中的误差分解成不同部分的过程，这在科学计算和数值分析中是非常重要的。
误差分解的基本原理是将问题中的误差分解成为不同的部分，以便更好地理解和处理误差。
首先，我们来看一下误差分解的基本概念。
在科学计算和数值分析中，我们经常会遇到测量误差、舍入误差、截断误差等各种误差。
这些误差会对我们的计算结果产生影响，因此需要对它们进行分解和分析。
误差分解的基本原理是将误差分解成为几个部分，比如舍入误差、截断误差、模型误差等。
这样做的好处是可以更清晰地理解误差的来源和影响，从而更好地处理和控制误差。
其次，误差分解的基本原理是基于线性化的思想。
在实际问题中，我们经常会遇到非线性的情况，这时候我们可以通过线性化的方法来进行误差分解。
线性化的思想是将非线性问题近似为线性问题，这样就可以利用线性代数的方法来进行误差分解。
另外，误差分解的基本原理还涉及到了误差的传播规律。
在实际计算中，误差往往会随着计算的进行而传播和累积，这就需要我们对误差的传播规律进行分析和研究。
通过误差分解，我们可以更好地理解误差的传播规律，从而更好地控制误差的影响。
总的来说，误差分解的基本原理是将一个复杂的误差分解成为若干个简单的部分，以便更好地理解和处理误差。
通过误差分解，我们可以更清晰地了解误差的来源和影响，从而更好地控制误差，提高计算的精度和可靠性。
在科学计算和数值分析中，误差分解是一个非常重要的概念和方法。
通过误差分解，我们可以更好地理解和处理误差，从而提高计算的精度和可靠性。
因此，对误差分解的基本原理进行深入的研究和理解是非常有必要的。
第4节_误差的传播与估计
的估算式。
( y)
n f [(
i1 xi
)* (xi )]
和
* r
(
y)
n i 1
[
xi* y*
(
f xi
)*
* r
(
xi
)]
上式中的各项
f xi
*
和
xi* y*
f xi
*
其中i
1,
2,L
n, 对y*
的绝对误差和相对误差的增长因子。
从上式中可知，误差增长因子的绝对值很大时， 数据误差在运算中传播后，可能会造成结果的很大 误差。反原始数据xi的微小变化可能引起结果y 的很 大变化的这类问题称为病态问题或坏条件问题。
cos
x
2
sin 2
x 2
进行公式变换
后再来计算。同理，也可把 cos x展开称泰勒级数后，
按1 cos x x2 x4 L 来进行计算。这两种算法都 2! 4!
避开了两个相近数相减的不利情况。
2、乘法运 算 由误差传播公式可得：
n
n
n
( xi ) [( x*j ) (xi )]
这里介绍一种常用的误差估计的一般公式它是利用函数的泰勒展开得到先从最简单的二元函数开始设别是的近似值是函数的近似值且一般都是小量值如忽略高阶小量即高阶的因此的绝对误差
§4 误差的传播与估计
一.误差估计的基本公式
在实际的数值计算中，参与运算的数据往往都是些 近似值，带有误差。这些数据误差中多次运算过程中会 进行传播，使运算结果产生误差。
综上分析可知：大小相近的同号数相减，乘数
的绝对值很大，以及除数接近于零等，在数值计算
中都应设法避免。
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数值计算方法
实
验
报
告
实验序号：实验一
实验名称：数值计算中误差的传播规律
实验人：
专业年级：
教学班：
学号：
实验时间：
实验一 数值计算中误差的传播规律
一、实验目的
１．观察并初步分析数值计算中误差的传播；
２．观察有效数字与误差传播的关系．
二、实验内容
1．使用MATLAB 的help 命令学习MATLAB 命令digits 和vpa 的用途和使用格式；
2．在4位浮点数下解二次方程01622=++x x ；
3．计算下列５个函数在点2=x 处的近似值
（1）60)1(-=x y ，
（2）6
1)1(1+=x y ， （3）32)23(x y -=，
（4）3
3)23(1x y +=， （5）x y 70994-=．
三、实验步骤
本次实验包含三个相对独立的内容．
1．在内容１中，请解释两个命令的格式和作用；
在matlab 中采用help 语句得到：
1、digits用于规定运算精度，比如： digits(20); 这个语句就规定了运算精度是20位有效数字。
但并不是规定了就可以使用，因为实际编程中，我们可能有些运算需要控制精度，而有些不需要控制。
vpa就用于解决这个问题，凡是用需要控制精度的，我们都对运算表达式使用vpa函数。
例如： digits(5); a=vpa(sqrt(2)); 这样a的值就是1.4142，而不是准确的1.4142135623730950488016887242097 又如： digits(11);
a=vpa(2/3+4/7+5/9); b=2/3+4/7+5/9; a的结果为1.7936507936，b的结果为1.793650793650794......也就是说，计算a的值的时候，先对2/3，4 /7，5/9这三个运算都控制了精度，又对三个数相加的运算控制了精度。
而b的值是真实值，对它取11位有效数字的话，结果为1.7936507937，与a不同，就是说vpa 并不是先把表达式的值用matlab本身的精度求出来，再取有效数字，而是每运算一次都控制精度。
2．求解方程时，分别使用求根公式和韦达定理两种方法，并比较其有效数字和相对误差；
用求根公式解得：x1=-0.015,x2=-62.00
用韦达定理解得：x11=-0.016,x22=-62.00
x22=x2,x11=1/x22
该方程相对精确的解为：
Er1表示用求根公式求得的相对误差，Er2表示用韦达定理求得的相对误差
x1有1位有效数字，x2有3位有效数字；
x11有4位有效数字，x22有3位有效数字。
3．实验内容３中的５个函数在2=x 处的精确值都是相等的，若取4.12≈进行计算，计算各函数的结果，作图观察并比较它们的绝对误差（作图区间可取
]
.1,4.1[甚至更小）,并从算法设计原则上说明原因．
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Matlab计算如下：
作图比较如下：
计算绝对误差：
结论：当x=1.4时，结果的好坏次序是y3,y1,y0,y2,y4.导致y4的结果出现很大误差的原因是大数70作了乘数，y2误差的原因是小数0.2作为了乘数，其余的结果还是比较好的，误差都不至于太大。
由此可知,不同的计算方法会导致不同的结果，相应结果中误差的放大程度也不同，所以我们在计算的过程中应尽量遵循计算原则，注意以下几点：小数不能作为乘数，大数不能作为除数，避免大数吃小数，避免相近的数相减，简化计算步骤等。