构造A-伸缩MRA小波集的一种新方法
第六章小波分析基础ppt课件
由母小波按如下方式的伸缩平移可构成L2(R)空间的标准正交基
j
j,k (t) 2 2 (2 j t k)，j, k Z，t R
(3.1)
如何构造母小波呢？1989年，Mallat和Meyer提出了按多分辨分析 的思想来构造母小波，其基本思想是：
现构造一个具有特定性质的层层嵌套的闭子空间序列{Vj}jZ， 这个闭子空间序列充满了整个L2(R)空间。 在V0子空间找一个函数g(t)，其平移{g(t-k)}k Z构成V0子空间的 Riesz基。
如图1所示的LENA图像f(x,y)，假设图像的大小是512x512，量 化级是256，即
0 f (x, y) 255 0 x, y 511
y
x
2、L2(R)空间的正交分解和变换[1] 对 f(t)L2(R) ， 存 在 L2(R) 的 一 组 标 准 正 交 基 gi(t) ， t R ，
一、认识小波
1、预备知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，
是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数，这样认识小波 需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空间中空间分解、函数 变换等的基础知识。
从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理) 工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所以从信 号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器 等的基础知识。
小波变换有效地克服了傅立叶变换的这一缺点，信号变换到 小波域后，小波不仅能检测到高音与低音，而且还能将高音 与低音发生的位置与原始信号相对应，如图所示。
例2、信号逼近：如图(a)和(b)是原始信号，其余的是逼近信号。
因此我们需要这样一个数学工具：既能在时域很好地刻画信号的局部性，
小波分析：正交小波基构造
西南交通大学电气工程学院
原始信号
一维信号的二级小波变换系数 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9] s =[ 6 5 9 8
16位
2级小波系数
w2=[wa2 , wd2 , wd1 ]
16位
d 28 23 28 16 ] 2 A2 ,k = [ 2级近似系数 d D 2,k = [ − 6 − 3 − 6 − 8 ] 2 Dd = [+1 +1 − 4 + 3 +1 +1 − 2 − 6] 2 2级细节系数 1,k 1级细节系数 * Haar是正交变换。 正交变换。除以常数， 除以常数，目的使变换后平方和不变。 目的使变换后平方和不变。例如： 例如：
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8 a 4
8 a 4
kA
0 t f= 1 5 -4 0 10 20 30 40
kA
c
b
(a )
c 0
b
(a )
t f= 1 5 -4 0 1 0 2 0 3 0 4 0
t/m s
0.06
0.05
t/m s
kA
0.00 -0.06 0.6
kA
(b)
0.00 -0.05 0.4
k
∫
注意：这几个条件对小波的构造至关重要！
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ϕ ( x ）＝
( x ）＝
1 0
and
∫ψ
5.2尺度函数和小波函数的一些性质
1 二尺度差分方程
举例：
ϕ (t ) ϕ (t − 1)
1 1 ϕ (t / 2) = ϕ (t ) + ϕ (t − 1) = 2 [ ϕ (t ) + ϕ (t − 1)] 2 2
小波分析的基本理论
东北大学研究生考试试卷考试科目：状态监测与故障诊断课程编号：阅卷人：考试日期：2013.12*名：***学号：*******注意事项1．考前研究生将上述项目填写清楚2．字迹要清楚，保持卷面清洁3．交卷时请将本试卷和题签一起上交东北大学研究生院小波分析的基本理论小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，是分析和处理非平稳信号的一种有力工具。
经过大量学者不断探索研究，它是以局部化函数所形成的小波基作为基底而展开的。
小波分析在保留傅里叶分析优点的基础上，具有许多特殊的性能和优点。
而小波分析则是一种更合理的时频表示和子带多分辨分析方法。
所以理论基础渐已扎实，理论体系逐步完善，在工程领域已得到广泛应用。
1 小波变换理论1.1 连续小波变换定义1.1 小波函数的定义：设ψ（x ）为一平方可积函数，也即ψ（x ）∈ L 2（R ），若其傅里叶变换ψ（ω）满足条件：C ψ=∫|ψ̂（ω）||ω|d ω<+∞+∞−∞1-1则称ψ（x ）是一个基本小波或小波母函数（Mother Wavelet ），并称上式为小波函数的容许性条件。
由定义1.1可知，小波函数具有两个特点：（1）小：它们在时域都具有紧支集或近似紧支集。
由定义的条件知道任何满足可容许性条件的L 2（R ）空间的函数都可以作为小波母函数（包括实数函数或复数函数、紧支集或非紧支集函数等）。
但是在一般的情况下，常常选取紧支集或近似紧支集的同时具有时域和频域的局部性实数或复数函数作为小波母函，让小波母函数在时域和频域都具有较好的局部特性，这样可以更好的完成实验。
（2）波动性：若设ψ̂（ω）在点ω=0连续,则由容许性条件得:∫ψ(x )dx =ψ̂(0)=0+∞−∞ 1-2也即直流分量为零,同时也就说明ψ（x ）必是具有正负交替的波动性,这也是其 称为小波的原因。
定义1.2 连续小波基函数的定义:将小波母函数ψ（x ）进行伸缩和平移,设其收缩因子(即尺度因子)为a,平移因子为b,使其平移伸缩后的函数为ψa,b （x ）,则有:ψa ，b (x )=|a |−12ψ(x−b a)，a >0，b ∈R 1-3称ψa,b （x ）为依赖于参数a,b 的小波基函数。
haar小波变换原理
haar小波变换原理哈尔小波变换是一种经典的小波变换方法，它是由Matias J. C. A. Frigo和Steven G. Johnson在1998年提出的，旨在提高小波变换的效率和精度。
哈尔小波变换是一种离散小波变换方法，对离散信号的分析和处理具有重要的作用。
下面介绍一下哈尔小波变换的原理。
哈尔小波变换的基础是哈尔矩阵，哈尔矩阵是一种特殊的置换矩阵，它是由零和一组成的，且每行的数字都是它们二进制表示中1的个数的奇偶性。
例如，哈尔矩阵的4阶阶矩阵如下所示：1 1 1 1对于长度为N的离散信号x(n)，可以用哈尔矩阵作为变换矩阵进行离散小波变换。
假设x(n)的长度为2的幂次方，可以将x(n)按照奇偶性分成两个子序列x0(n)和x1(n)：x0(n) = (x(0) + x(2n)) / sqrt(2)其中，n=0,1,...,N/2-1，sqrt表示开方。
然后，将x0(n)和x1(n)分别用哈尔矩阵做变换，得到y0(n)和y1(n)：y0(n) = H*x0其中，H表示哈尔矩阵。
最后，将y0(n)和y1(n)拼接起来得到离散小波变换系数y(n)：y(n) = (y0(0),y1(0),y0(1),y1(1),...,y0(N/2-1),y1(N/2-1))将y(n)乘以sqrt(2)即可得到哈尔小波变换系数。
根据哈尔小波变换的可逆性，可以通过逆变换将y(n)恢复成原始信号x(n)。
总的来说，哈尔小波变换的原理可以归纳为以下几步：1. 将离散信号x(n)按照奇偶性分成两个子序列x0(n)和x1(n)。
4. 将y(n)乘以sqrt(2)即可得到哈尔小波变换系数。
总的来说，哈尔小波变换的原理比较简单，而且具有快速、高效的特点，是离散小波变换中应用广泛的一种方法。
它可以用于信号分析、图像压缩、特征提取等多个领域，应用前景广阔。
小波变换简介PPT课件
47
X = waverec2(C,S,'wname')
reconstructs the matrix X based on the multi-level wavelet decomposition structure [C,S]
10
幅度
频率
时间窗
时间
时域加窗分析
时间
时频平面划分示意图
11
窗口傅立叶变换
12
窗口傅立叶变换
另一个缺点是：无论怎样离散化，都不能 使Gabor变换成为一组正交基；
而傅立叶变换经离散化后可得到按正交函 数展开的傅立叶级数。
13
1909: Alfred Haar
Alfred Haar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似 的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波， 后来被命名为哈尔小波(Haar wavelets)
C 0
Wf
(a,b)a,b(t)dbda2a
a,b(t)
1 (t b)
aa
28
小波系数的意义
Wf (a,b)表示信号与尺度为a小波的相关程 度。小波系数越大，二者越相似。
F() f(t)ejtdt
W f(a,b)f(t) a,b(t)dt
29
连续小波变换的简单步骤
选择尺度为a确定的小波，与信号开始的 一段比较；
A = appcoef2(C,S,'wname',N)
小波变换基础以及haar小波.资料
傅里叶变换
这幅图可形象的表示傅里 叶变换的不足之处。
如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是 频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同 频率的四个成分。 做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅 值谱）却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上 无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一 样的，只是出现的先后顺序不同。
f (t) k1e1(t) k2e2(t) ...... knen(t)
如果 n ， 那么 f (t) kiei (t)
i 1
小波对于分析瞬时时变信号非常有用. 它有效地从信号中提取信 息，通过伸缩和平移等运算对信号进行多尺度细化分析.
为什么叫小波？？？ 小波分析所用的波称为小波，小波的能量有限，有限长且会衰减，集 中在某一点附近. 即小波是一种能量在时域非常集中的波.
CWT（连续小波变换）
设函数
(t) L1(R) L2(R) ，若其FT满足条件:
|ˆ() |2 d
R | |
则称φ(t)为一个小波母函数.
φ(t) ∈L1(R)意味着小波函数具有衰减性. φ(t) ∈L2(R)意味着小波函数的能量有限.
φ(t) 满足 R(t) dt 0 意味着小波函数具有波动性.
⑷等内积特性
Wf (a, b) f (t), a,b (t) F (), Φa,b ()
⑸能量守恒特性
R
R|Wf
(a,
b)
|2
a,b (t )
dadb a2
C
||
R
f (t) ||2dt
⑹具有可变的时间频率窗
连续小波的窗口面积是不随参数a，b而变化的，即时频 窗口的形状变化，而窗口面积固定不变.
小波变换的原理及使用方法
小波变换的原理及使用方法引言：小波变换是一种数学工具，可以将信号分解成不同频率的成分，并且能够捕捉到信号的瞬时特征。
它在信号处理、图像处理、模式识别等领域有着广泛的应用。
本文将介绍小波变换的原理和使用方法。
一、小波变换的原理小波变换是一种基于基函数的变换方法，通过将信号与一组小波基函数进行卷积运算来实现。
小波基函数具有局部化的特点，可以在时域和频域中同时提供信息。
小波基函数是由一个母小波函数通过平移和缩放得到的。
小波变换的数学表达式为：W(a,b) = ∫ f(t) ψ*(a,b) dt其中，W(a,b)表示小波变换的系数，f(t)表示原始信号，ψ(a,b)表示小波基函数，a和b分别表示缩放因子和平移因子。
二、小波变换的使用方法1. 信号分解：小波变换可以将信号分解成不同频率的成分，从而实现信号的频域分析。
通过选择合适的小波基函数，可以将感兴趣的频率范围突出显示，从而更好地理解信号的特征。
在实际应用中，可以根据需要选择不同的小波基函数，如Haar小波、Daubechies小波等。
2. 信号压缩：小波变换可以实现信号的压缩，即通过保留主要的小波系数，将信号的冗余信息去除。
这样可以减小信号的存储空间和传输带宽，提高数据的传输效率。
在图像压缩领域，小波变换被广泛应用于JPEG2000等压缩算法中。
3. 信号去噪：小波变换可以有效地去除信号中的噪声。
通过对信号进行小波变换，将噪声和信号的能量分布在不同的频率区间中，可以将噪声系数与信号系数进行分离。
然后，可以通过阈值处理或者其他方法将噪声系数置零，从而实现信号去噪。
4. 信号边缘检测：小波变换可以捕捉到信号的瞬时特征，因此在边缘检测中有着广泛的应用。
通过对信号进行小波变换，可以得到信号的高频部分，从而实现对信号边缘的检测。
这对于图像处理、语音识别等领域的应用非常重要。
结论：小波变换是一种强大的数学工具，可以在时域和频域中同时提供信号的信息。
它可以用于信号分解、信号压缩、信号去噪和信号边缘检测等应用。
《基于MATLAB的小波分析应用》课件第1章
第1章 小波分析基础
因此，如何求解Wn是下一步需要解决的问题。求解的
基本思想是：找到一个函数 (x) ，像函数 (x) 的伸缩和
平移 {2n/2(2n x k) ；k Z} 能够张成空间Vn一样，函数 (x) 的伸缩和平移 {2n / 2 (2n x k ) ；k Z} 也能张成空间Wn。同
第1章 小波分析基础
图1.5 V4中的分量
第1章 小波分析基础
图1.6 W7中的分量
第1章 小波分析基础
1.3 一维连续小波变换
定义2 设 (t) L2 (R) ，其傅里叶变换为，当满足容许
条件(完全重构条件或恒等分辨条件)
ˆ () 2
C
d
R
时，称 (t) 为一个基本小波或母小波。将母函数经伸缩和 平移后得
ˆ *() ˆ (2 j ) 2
j
由上式可以看出，稳定条件实际上是对上式分母的约束 条件，它的作用是保证对偶小波的傅里叶变换存在。
Wf (a, b)
第1章 小波分析基础
1.4 离散小波变换
在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波
变换必须加以离散化。因此，有必要讨论连续小波 a,b (t)
时要求 (x) 和 (x) 能够建立直接的联系。
第1章 小波分析基础
定理1 设Wn是由形如 kZ ak(2n x k)( ak R)的函数所组成
的线性空间，其中ak含有限个非0项，则Wn构成Vn在Vn+1中 的正交补，并且Vn1 Vn Wn 。
定理2 能量有限空间L2(R)可以分解为如下形式之和： L2 (R) V0 W0 W1
V j {0}, V j L2 (R)
jZ
jZ
(4) 平移不变性：f (x)V0 f (x k)V0 ,k Z ；
a trous小波变换(atwt)算法
ATrous小波变换（ATWT）是一种小波变换方法，它通过在时间或空间域中引入了多孔滤波器（ATrous filter）来实现。
这种方法可以提供更灵活的时频分析能力，并且能够更好地适应于处理具有多尺度、多方向和多频带特性的信号。
ATWT的基本步骤包括：
1. 信号通过多孔滤波器进行滤波，以产生小波系数。
2. 这些小波系数可以进一步通过不同尺度的滤波器进行滤波，以产生不同尺度的小波系数。
3. 通过逆变换，可以将小波系数转换回原始信号。
在具体实现上，ATWT通常采用离散小波变换（DWT）的形式。
在DWT中，信号首先通过一系列滤波器，然后对滤波器的输出进行下采样，以产生小波系数。
这些小波系数可以进一步下采样以产生更低尺度的小波系数。
ATWT具有一些优点。
首先，它能够提供更灵活的时频分析能力。
其次，ATWT可以更好地适应于处理具有多尺度、多方向和多频带特性的信号。
此外，A TWT还可以通过增加滤波器的数量来提高信号处理的精度。
然而，ATWT也存在一些缺点。
首先，它需要更多的计算资源来执行。
其次，ATWT可能比其他小波变换方法更难以解释和理解。
最后，ATWT需要更多的经验来确定最佳的滤波器和参数设置。
小波变换原理
小波变换原理
小波变换是一种多用途的数学工具，自20世纪80年代以来已被广泛应用于数字图像处理领域。
小波变换把一个原始信号分解成多组低频信号和高频信号，通过分析低频信号来推断信号的趋势，考虑高频信号来掌握信号的细节，从而更好地提取信号中有价值的信息。
小波变换是一种类似滤波的多尺度变换技术，它是在时间上对信号的分解，即结合滤波和重构的形式来分析信号的多尺度特性，这样就可以在时间和频率范围内把信号分解成层次结构。
小波变换有两种基本模式：分解型和完全型。
分解型小波变换以采样频率为基础，把信号分解为几种不同尺度的波形，比如高频离散小波变换(DWT)或高斯小波变换(GWT)。
完全型小波变换是通过不同尺度的小波基函数进行分析的，比如曲线匹配和多项式建模技术。
小波变换的一个重要应用就是图像压缩。
图像压缩技术通常有两种应用模式：无损和有损。
无损图像压缩是指在压缩过程中不会出现失真，而有损图像压缩就是指在压缩过程中可能会出现一定程度的失真。
小波变换无损图像压缩技术采用分层多尺度分解的方法，通过把图像分解成多组低频和高频信号，只保留部分低频信号，忽略掉大部分高频信号，这样可以实现图像的压缩。
此外，小波变换还广泛应用于计算机视觉领域，可用于图像去噪处理、边缘检测和形态学处理等，可以帮助计算机识别图像中的目标对象，当然，小波变换也可以应用于其他领域，如声学、天气预报等。
综上所述，小波变换是一种强大的数学工具，可以帮助我们更好
地分析和处理信号，从而提取有价值的信息。
它在图像处理中的应用越来越广泛，还可以用于计算机视觉和其他领域，受到了广泛的关注。
一类伸缩因子为a的区间多小波的构造研究
） ∈ ＋ 。 一 助 ， ｉ ＝１２ …， ｒ ， ｋ ∈ ｚ＞。 对 于 每 一 个 ｊ ∈ ｚ， 定 义 在 ＋ 。 中 的 正 交 补 空 间 使 得
，
（ ｉ ｉ ｉ ） 存 在 向 量 函 数 ＝ 【 咖 ， 咖 ， …咖 ｒ Ｅ Ｌ （ 使 得 集合 ｛ ～ ， ｋ ∈ Ｚ ｝ 是 的 正 交 基 ， 其 中
多实际问题 中， 如： 图像 、 视频信号等 ， 人们往往感兴趣于一个有 限的区域 ， 这时用直线上的小波处理会产生
“ 边界 效 应 ” ， 导 致 处理 效果 不 理 想 。这样 ， 区 间小 波 的研究 引起人 们 的关 注 。现 在 ， 区 间多小 波 的研 究
更是研究 的热点问题 ， 如何构造具有 良好性质 （ 紧支撑性等 ） 的区间多小波是研究的焦点 。文章给出区间 ［ ０ ， １ ］ 上伸缩 因子为 ａ 的区间多尺度 函数和区间多小波的构造方法 ， 并给出了构造算例。
摘 要 ： 区 间多小波的研究是小波分析研究的 热点问 题， 如 何构造具有良 好性质（ 紧 支撑性、 高消失矩等） 的区间 多小波是研究的焦点
问题。文章给 出了区间 ［ Ｏ ， １ ］ 上伸缩 因子为 ａ 的区间多尺度函数和区问多小波的构造方法 ， 并给出了构造算 例。
关 键词 ： 区间多小波； 伸缩因子； 正交性
中图分 类号 ： ０ １ ７ ４ ． ２
文 献标 识码 — ９ ６ ５ ９ （ ２ ０ １ ６ ） ０ ４ — ０ ０ ２ ０ — １ １
小 波 构造 与性 质 的研 究是 小波 理论 的核心 问题 。除 了 Ｈ ａ ａ ｒ ｓ ］ ￣ 波， 不存 在其 他 单小 波能 够 同时具 备 紧支 撑性 ， 正 交性 ， 对 称 性 等 。为 了弥补 单小 波 的不足 ， 人 们 提 出 了多小 波 理 论如 ： Ｇ ＨＭ多 小 波 ， ｃ — Ｌ多小 波等 。
以非整数为伸缩因子的MRA的若干性质
需 考 一 更 的 率 ， 用整 作 伸 因。 章 论 以 为 缩 子 小 正 基 要 虑 个 窄频 段就 非 数 为 缩 子 文 讨 了寻 伸 因 的 波 交 的 要
若 干性 质 。
［ 关键词］ 多尺度分析 ； 尺度 函数 ； 小波函数 ［ 中图分 类号 ］０１４２ ７ ．
［ 献标 识 码 ］ Ａ 文
Ｊ
Ｊ
一ｎ） 一凡） ２， ２： ＝
（） ７
， ’
则 正交 归一性 在频 域 的表现 为 ：
二
［ 一 ｎ］ ［ 一 ｎ ＋ ］ ÷（ ２） ÷（ ２） ， ÷（ ２） １， ［ 一 ｎ
二 Ｊ
∑ Ｉ（ 后） ２∑ Ｉ （ ＋ ） １ ＋仃 Ｉ ， ∞ ２ Ｉ Ｆ ＝ Ｆ ＝
②， Ｑ
∈
＝ ， ＝ （） ０ｕ§ 尺 ；
）∈ Ｖ ： （ ｉ＊ ｘ—ｋ ｃｆ ）
（ １ 一 ）＝∑ ： 一 ） （ 扎
（） ２
）∈Ｖ ： （ ｘ ＋ ］ ￣ ２ ）Ｅ １ ｃｆ
， ∈ ｚ； ｋ
其中 ｈ ：＝＜ （ １ ， 一 ）＞ 一 ） （ 扎 注意这里的 ｈ 和ｈ 是不同的。 ： ：
维普资讯
第 １ ０卷第 ４期
２０ ０ ７年 １ ２月
湖 北 职 业 技 术 学 院 学 报
Ｊ ｕ ａ ｆＨｕ ｅ ｃ ｔ ｎ ｌ — ｅ ｈ ｉａ ｏｌ ｇ ｏ ｒ ｌｏ ｂ ｉ ｎ Ｖｏ ａ ｏ ａ — Ｔ ｃ ｎ ｃ ｌＣ ｌ ｅ ｉ ｅ
， ＇
∑ Ｆ（ ＋ ｋ） （ ２￣ ０ 】 ２￣ ＋ ｋ ）＝ ｒ ｒ
在 ＋中 的正交 补空 间 。 意到 是 由 （ 注
其 中 Ｆ ） （ 是 ） Ｆ ｕｉ 变换． 的 ｏｒ ｒ ｅ ２ ２ 这 里 我们 需 要 对 Ｐ ｉｓｎ公 式 做 一 简 单 的推 。 ｏｓｏ 一ｉ ， 广 ： ｜ ｝ ）
小波多尺度分析(mra)的特点与作用
小波多尺度分析(mra)的特点与作用
小波多尺度分析(Multiresolution Analysis，简称MRA)技术是一种有效的数字
信号处理方法，它的发现主要始于1980年代的研究者Mallat和Meyer，因他们的
共同发现而得名。
MRA是以小波变换（Wavelet Transform）作为基础构建的多尺
度分析技术，目的是实现原始信号的分级处理，提取那些保存有关突出分布空间特性信息的对象和事件。
MRA贡献了有效的多尺度信号分析工具，它包括一系列以小波变换为基础的
子空间技术，可以有效分解所观察到的信号中不同斜率的分层结构。
它提供了一种模式识别的形式，可以确定立体的特征，即分级信号变换。
特别是在多尺度特征提取方面，MRA在分析和提取图像中的纹理信息方面具有卓越的表现。
也就是说，
使用MRA，可以将复杂图像压缩为数据，以保持其空间结构信息和纹理特征。
MRA具有许多有利的方面供技术人员使用，比如非常灵活。
它可以使用几乎
任何小波变换进行分析，比如连续小波变换、可分离小波变换和相关小波变换；灵活的层次结构，允许多尺度的分析操作的实现；及被称为时频均衡
(temporal/frequency balanced)的分解，为其他相关技术提供了完整的数据支持。
MRA也可以为很多领域的研究提供帮助，比如音频处理、信号检测、模式识别、
人工智能、数字图像处理等。
小波多尺度分析技术是一种实用的工具，可以深入地研究复杂信号中各种特性，也可以揭示隐藏在信号中的信息，有效提取出有价值的特征。
它具有灵活性和有效性，越来越多地被用于数字信号处理中，特别是在模式识别、图像处理和智能感知等方面发挥了重要作用。
小波包的一种构造方法
小波包的一种构造方法
Haar小波是20世纪初著名的平衡性泛域理论家H.Haar 提出的。
简单地说，它是由一组二阶离散小波组件构成的高级小波形式。
它是基于经典理论中简单的量子性质进行发展的，主要包括缩放因子、小波函数和小波基础。
首先，Haar小波的构造方法以缩放因子gamma为基础，其意义为放大和缩小时间尺度。
其次，该小波函数的三个基本系数分别为A，B和C，每个系数对应不同的小波时间段，即A 系数对应原始波，B系数对应缩放函数的半小波，C系数对应缩放函数的另一半小波。
最后，Haar小波的构造方法需要基于小波基础的支撑，这意味着所使用的小波函数必须能够根据给定的N个数据点进行建模，以实现最佳波形重建。
最后，Haar小波的构造方法具有许多优点，例如分解后可以像正交型函数一样完成模式分析，缩小小波系数，简化计算，增加信号处理速度等等，且存储空间小，计算步骤简易，速度快，处理精度高，稳定性好，是数字图像处理中最常用的小波变换方法之一。
总之，Haar小波的构造方法是一种在缩放因子、小波函数和小波基础上进行模型建模，可用来实现最佳波形重建的一种小波处理方法。
由于它的优越性，该方法已经广泛应用于数字图像处理中。
MRA小波分析
3.1 haar 小波分析3.1.4 haar 小波重构算法由如下信号开始：0021()j j f x f w w w --=++++00()()k k Zf x a x k V φ∈=-∈∑(2)l l l k l kw b x k W ψ=-∈∑应用等式：(1)()(2)(21)x x x φφφ=+- (2)()(2)(21)x x x ψφφ=-- (3)1(2)(2)(21)j j j x x x φφφ-=+-(4)1(2)(2)(21)j j jx x x ψφφ-=-- 利用(1), 用x k -代替x ,则 0()f x 可化为:0001()()(22)(221)ˆ(2)k k Zk k k Zl Zl f x a x k a x k a x k ax l φφφφ∈∈∈=+-=---=-∑∑∑类似的, 利用(2), 用x k -代替x ,则0w 可化为:00010()(22)(221)(2)ˆk kkkk Z k Zl w b x k b x k b x k b x l ψφφφ∈∈-=-=---=-∑∑∑ 这里，0102ˆ21k l kb l k b b l k ⎧==⎨-=+⎩结合0()f x 和0w 有：1001()()(2)l l Zf x w x a x l V φ∈+=-∈∑ 这里00111002 ˆˆ21k k l l l k ka b l k a a b a b l k ⎧+==+=⎨-=+⎩是偶数是奇数接下来，把11(2)k kw b x k ψ=-∑用相同的方式加到00()()f x w x +中：得到：20212()()()(2)l l Zf x w x w x a x l V φ∈++=-∈∑ 这里112112 21k kl k k a b l k a a b l k ⎧+==⎨-=+⎩是偶数是奇数注意：系数0l a 和0l b 决定了1l a ，1l a 和1l b 决定了2l a …….定理（Haar 重构）设0021()J J f x f w w w --=++++ 这里0j J ≤<00()()(2())j j j j k k k Zkf x a x k V w k W x b x φψ∈=-∈=-∈∑∑那么()(2)JJ l J l Zf x a x l V φ∈=-∈∑ 这里 11112 21j j j k kl j j kk a b l k a a b l k ----⎧+==⎨-=+⎩是偶数是奇数3.1.4滤波器实现分解和重构算法可用离散滤波器和作用于序列的简单算子来表述，同时算法还可以方块图形象地表示。
MRA超小波的一种判定
MRA超小波的一种判定
王凤兰;李炳杰
【期刊名称】《南阳师范学院学报》
【年(卷),期】2009(008)009
【摘要】超小波是小波分析中一种特殊的信号分析方法.从讨论超小波分量的角度出发,论证了直和希尔伯特空间L2(R)(m)=∑mj=1(+)L2(R)中超小波是MRA超小波的充分必要条件.即一个超小波是MRA结构当且仅当每个特殊线性子空间的维数是0或者1.
【总页数】5页(P1-5)
【作者】王凤兰;李炳杰
【作者单位】空军工程大学,理学院,陕西,西安,710051;空军工程大学,理学院,陕西,西安,710051
【正文语种】中文
【中图分类】O174.2
【相关文献】
1.关于有限群超可解性的一种新判定方法 [J], 刘阿明;李保军;黄程
2.一种超光谱图像小波压缩的基选择和评估方法 [J], 陈雷;张晓林;雷志东;房林堂
3.一种非一致小波基的超光谱图像压缩方法 [J], 陈雷;张晓林;杨维松;韩松
4.一种基于小波网络的混沌时间序列判定 [J], 江亚东;吴竹青;陈因颀;江月
5.构造A-伸缩MRA小波集的一种新方法 [J], 李万社;史会婷
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小波分析考试题(附答案)汇编
似，因此系数c 可以反映这种波形的相关程度；步骤3: 把小波向右移，距离为 ，得到的小波函数为 ，然后重复步骤1和2。
再把小波向右移，得到小波 ，重复步骤1和2。
按上述步骤一直进行下去，直到信号 结束；步骤4: 扩展小波 ，例如扩展一倍，得到的小波函数为 ；步骤5: 重复步骤1~4。
五、阐述多分辨分析的思想并给出MALLAT 算法的表达式。
（10分）答：Meyer 于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸缩与平移构成L2 (R )的规范正交基，才使小波得到真正的发展。
1988年S.Mallat 在构造正交小波基时提出了多分辨分析（Multi-Resolution Analysis ）的概念，从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性， 将此之前的所有正交小波基的 构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波变化的快速算法，即Mallat 算法。
Mallat 算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换算法在经典傅立叶分析中的地位。
定义：空间 L2 ( R) 中的多分辨分析是指 L2 ( R) 满足如下性质的一个空间序列Z ∈j j }{V ：（1）单调性：ΛΛ⊂⊂⊂⊂-101V V V ；（2）逼近性：)(},0{2R L V V j Zj j Zj ==∈∈Y I ；（3）伸缩性：1)2()(+∈⇔∈j j V t f V t f ；（4）平移不变性：j j V t f V t f ∈-⇒∈)1()(，Z k ∈∀；（5）存在函数0)(V t g ∈，使得Z k k)}-{g(t ∈构成0V 的Riesz 基。
满足上述个条件的函数空间集合成为一个多分辨分析， 如果)(t g 生成一个多 分辨分析，那么称)(t g 为一个尺度函数。
关于多分辨分析的理解，我们在这里以一个三层的分解进行说明，其小波分解树如图所示。
从图可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高 频部分则不予以考虑。
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对 的定 义 ， 由此 出发 ， 构造 了 维 空间 中 的 ＭＲ 小 波集 ， Ａ 并证 明 ＭＲ 小波是 存在 的 ， 该 小 Ａ 且
波是 具 有最 小 支撑集 的 小波． 文章 最后 还给 出了一 些 简单的 Ａ 伸 缩 ＭＲ 小波 的例子 ． － Ａ
关 键 词 ： Ｒ ；小 波 集 ； － 缩 ； － 对 Ｍ Ａ Ａ伸 Ａ补
张矩 阵 Ａ 却不 一定 适用 ． 文献 Ｅ ］ 而 ８ 报道 了对 多小 波 的构造 ． 基 于上 述原 因 ， 文 在前 人研 究 的基础 上 ， 高 维 空 间 中 ， 于 任 意 的 可扩 张 矩 阵 Ａ， 本 在 对 利用 映射 的思
想， 探讨 了 Ａ 伸缩 ＭＲ 小 波集 的构 造 方法 ， ＿ Ａ 再利 用小 波集 的定义 得 到 了小 波．
子 的小 波集 是存 在 的 ， 中文 献 ［ ，］ 明在 维空 间中 ， 缩 因子 为 Ａ（ 为 × 的可 扩 张矩 阵） 其 ３４证 伸 Ａ 的小波
集也 是存 在 的． 经过 长 时 间的发 展 ， 小波集 的理论 有 了较 大的 发展 ， 其 在一 维 空 间 中 ， 用 小 波 集 的思 想 构 造小 波 尤 利
中 图法分 类号 ： ７ ． Ｏ１ ７ １
文献 标识 码 ： Ａ
０ 引 言
小 波分 析是 近几 十年 发展 起来 的一个 新 的数学 分支 ， 泛应 用 于通信 、 广 图像 处 理 、 号处 理 等领域 ， 信 并 且取 得 了 巨大 的成就 ． 但是 我们 又 知道 构造 一类 实用 的小 波是 非 常 困难 的 ， 其是 构 造 同时具 有 正 交 性 、 尤 对称 性 、 紧支 撑性 等 的小 波． 了解 决 这一 难题 ，０世 纪 ９ 为 ２ ０年 代后 期 ， ａ 和 Ｌ ｒｏ Ｄｉ ａｓ ｎ在 文 献 ［ ］ １ 中提 出 了
小波 集 的概念 ： 来描 述一 个 可测集 合 Ｅ 用 Ｒ， 使得 （ 为 Ｅ 的特征 函数 ） Ｉ Ｔ变 换 是二 进 正 交小 波 的 Ｆ
（ 里 的正交 小 波是指 一个 函数 ∈Ｌ （ 经 过连 续 的伸 缩 平移 变 换 后成 为 Ｌ （ 的正 规正 交基 ） 后 来 ， 这 Ｒ） Ｒ） ． 文献 ［ ］ ２ 把这 样 的小波 集 推广 到 了高维 空 间 中 ， 并研 究 了它 的一些 性 质 ， 多 文献 已经证 明非 二 进伸 缩 因 许
（ ） 在 乒∈ Ｖｏ 得 ｛ — ｚ ： ∈ ４存 使 （ ） ｚ ） 、ｏ的正规 正交 基． 是 ， ｒ
＊ 收 稿 日期 ：０ １１— １ ２ １ －０２
作 者 简 介 ： 万 社 （ ９ ３ ） 男 ， 西 省 西 安 市 人 ， 授 ， 究 方 向 ： 能 信 号 理 论 李 １６ 一 ， 陕 教 研 智 基金项 目： 国家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目 （０ ７ １３ １５ １ １ ）
已经 取得 了很 大 的成 果 ， Ｅ ｇ ｎ和 Ｘ Ｄａ 等 人分 别 在 文献 ［ ，］ 如 ｕｅ ． ｉ １ ４ 中研 究 了伸 缩 因 子 为实 数 时 的 小波 集
的 构造 方 法． 高 维空 间 中 ， 者 在 小 波集 的构 造 方 面也 有 一 定 的研 究 ， 都 有 一定 的局 限性 ， Ｘ Ｄ ｉ 在 学 但 如 ．ａ 等 人在 文献 ［ ，］ ３ ５ 中探 讨 了高 维空 间 中框架 小 波集 的构造 方 法 ， ｒｉ 文 献 ［ ］ Ｍａｃ ｎ在 ６ 中研 究 了 Ｒ ｅｚ小波 的 ｉｓ 构造 方法 ， 是他 们都 没有 直接 构 造高 维空 间 中 的小 波 集． 来 ， ｒｉ 但 后 Ｍａ ｃ ｎ和 ＱｉｇＧｕ分 别在 文 献 ［ ， ］ ｎ ７ ８ 中 构造 了高 维 空 间中 的小波 集 ， 是 文献 Ｅ ］ 的构 造 方法 仅 限于 Ｉ ｅ（ Ｉ 但 ７中 ｔＡ） 一２时 的情 形 ， 于 其 它 的可 扩 ｄ 对
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是 Ａ 伸 缩 ＭＲＡ 小 波 ， 集 合 Ｅ 叫做 Ａ一伸 缩 ＭＲＡ 小 波 集 ． 验 证 ： 有 关 系 Ｆ— Ｕ （ Ｅ， ＿ 则 易 若 Ａ ） 则
№ ．１
陕 西 科 技 大 学 学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＳＨＡＡＮＸＩＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ ＣＩ Ｉ ＯＦ Ｓ ＥＮＣＥ ８ ＬＴＥＣＨ ＮＯＬＯＧＹ
Ｆｅ ．２ ２ ｂ Ｏ１
・Leabharlann Ｖｏ ． Ｏ １３ ７ ・ ７
文 章 编 号 ： ０ ０ ５ １ （ ０ ２ ０ — ０ ７０ １ ０ — ８ １ ２ １ ） １０ ７ — ５
构 造 Ａ 伸 缩 ＭＲ 小 波 集 的 一 种 新 方 法 ． Ａ
李 万 社 ，史 会 婷
（ 西 师 范 大 学 数 学 与信 息科 学 学 院 ， 西 西 安 ７ ０ ６ ） 陕 陕 １ ０ ２
摘 要 ： 任 意 的 可 扩 张 矩 阵 Ａ 及 满 足 一 定 条 件 的 可 测 集 合 Ｑ ， 入 一 个 可 测 集 合 Ｅ 的 Ａ 补 对 引 一
・
７ ・ ８
陕 西 科 技 大 学 学 报
第３ ｏ卷
其 中 （）中的 叫 做 Ｖ。的尺度 函数 ． Ｖ＋ 一Ｖ， Ｗ』则 可 知 ｛ ： ∈ Ｚ） 交 且 有 关 系式 Ｖ＋ ４ 令 ｊ ０ ， Ｗ 不 ｉ
ｗ 有 Ｌ （ 一 Ｗｊ若 Ｅ Ｗ 。 Ａ ～ 缩 小 波 ， ， Ｒ ） ・ 是 伸 则 叫做 Ａ 一 伸缩 ＭＲ 小波 ・ ｒ Ａ 若
１ 基 础 知 识
定义 １ Ｌ （ ） 间中的 ： 空
Ｊ ｔ
即为 Ｌ （ ） 间 中－ Ｎ 嵌套 的闭子空 间｛ ： － 满足下列 的性质 ： 空 － ＪＣ Ｚ）
Ｊ
（） ｃ ＋， １ ∈ｚ （） ７ 一｛｝ Ｖ— 。 ；３厂 ｓ ∈Ｖ 的充要条件是ｆ Ａ ） ＋； ； ２ ｎ ｏ， Ｌ （ ）（） （ Ｒ ） ｊ （ｓ ∈