实数一对一辅导讲义
实数的概念-学生版 初三人教版数学讲义 一对一
B．2019
C．﹣
4、（济南 2019，第 1 题，4 分）﹣7 的相反数是（ ）
A．﹣7
B．﹣
C．7
5、（聊城 2019，第 1 题，4 分）﹣ 的相反数是（ ）
A．﹣
B．
C．﹣
6、（青岛第 1 题，3 分）- 3 的相反数是（ ）
A. - 3
B. - 3 3
C. 3
D． D．1 D．
D. 3
3
A．2019
B．﹣2019
C．
D．（﹣2）0 D．﹣
6、（济南 2019，第 5 题，4 分）实数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5
B．6a＞6b
C．﹣a＞﹣b
D．a﹣b＞0
7、（德州 2019，第 13 题，4 分）|x﹣3|＝3﹣x，则 x 的取值范围是
1、（2016 湖南怀化第 1 题） 22 的平方根是（ ）
根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意： 3 a 3 a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
经典例题
例 1(2017 德州，1,3 分)-2 的倒数（ ）
A、 1 2
B 、1 2
C、-2
D、2
例 2(2016 湖北襄阳第 3 题)-8 的立方根是（ ）
4
A、2
B. 2
C. 2
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
考点典例二、绝对值
1、（2016 黑龙江哈尔滨第 1 题）﹣6 的绝对值是（ ）
A．﹣6
B．6
C． 1 6
D． 1 6
2、（2016 威海，8,3 分）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则 a b 可化简为（ ）
1对1讲义实数
学海教育一对一个性化辅导讲义学员姓名 朱文洁 学校 十五中 年级及科目七年级数学教师Wang longbiao课 题 实数授课时间：18:30----20:30教学目标教学内容【基础知识梳理】 1、无理数（1）概念：无限不循环小数的小数叫做无理数它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）开方开不尽的数，如:39,5,2等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。
应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π（2） 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例1.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。
（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个A 2B 3C 4D 5例2.下列说法中，正确的是（ ） A ．数轴上的点都表示有理数 B ．用根号表示的数不一定都是无理数C ．1/27 的立方根是±1/3D ．任何实数的平方根都有两个，它们互为相反数变式训练1、下列说法正确的是（ ） A ．4的平方根是2B ．38是无理数C ．实数和数轴上的点一一对应D ．无限小数都是无理数2、若|a |=2．那么实数a 的值是（ ） A ．2 B ．-2 C ．2或-2 D ．0【实数】（1）有理数与无理数统称为实数。
实数的运算一对一辅导讲义
（2）一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是。
（3）如果a≠0，那么它的倒数为。
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
二、例题讲解
例1.把下列各数分别填写在相应的括号内．
无理数集合｛ ｝；
例5.计算： ；
答案：解：原式
；
三、课堂练习
.1、 满足 ，则
2、填空：
（1） 的相反数是，绝对值是。
（2）绝对值等于 的是， 的平方等于。
（3）比较大小：－７ 。
3、例：计算下列各式的值，并说出每一步的依据是什么？
（1） ；（2）
（3） ；（4）
（5）、 （ +2） （6）、 （ + ）
四、课堂小结
有理数集合｛ ｝；
正实数集合｛ ｝；
分数集合｛ ｝；
负无理数集合｛ ｝．
答案：解：无理数集合｛ ｝；
有理数集合｛ ｝；
正实数集合｛ ｝；
分数集合｛ ｝；
负无理数集合｛ ｝．
例2.化简： ．
答案：解： ，
．
故 ．
例3题计算： ．
答案：解：原式
例4.已知 ，求代数式 的值．
答案：解：
又由已知可得 ，
，
故原式 ．
6、下列说法正确的是( )
A、 的平方根是 B、 表示6的算术平方根的相反数
C、任何数都有平方根D、 一定没有平方根
7、若 ，则
8、 在两个连续整数 和 之间，即 ，那么 、 的值是
9、计算下列各题
仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律吗？
一对一讲义实数计算
龙文教育一对一讲义教师: 学生: 日期: 星期: 时段:课 题实数（一）学习目标与分析1. 公式b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），ba ba =（a ≥0，b ＞0）从右往左的运用．2. 了解含根号的数的化简，利用化简对实数进行简单的四则运算．3. 灵活运用两个法则进行有关实数的四则运算．学习重点1.两个法则的逆运用.2.能运用实数的运算解决简单的实际问题。
学习方法 讲练结合法学 习 内 容 与 过 程教 师 分 析 与 批 改1．计算23475482131-+的结果是 ( )A. 2B. 0C. -3D. 3 2．化简：①1132328-+； ②125205-；③22)77()77(--+。
3．已知,32,32-=+=y x 22y xy x+-求。
学习内容与过程教师分析与批改二．选择题：11．计算：= （）（A）（B）（C）或（D）12．9的平方根是（）（A）. 3 （B）. －3 （C）. 3 （D）. 8113．用科学记数法表示0.00032，正确的是（）（A）.（B）. （C）.（D）.14．在实数π，2，，，tan45°中，有理数的个数是（）（A） 2个（B） 3个（C） 4个（D） 5个15．0.00898用科学记数法表示为（）（A） 8.98×10-3（B） 0.898×10-3（C） 8.98×10-4（D） 0.898×10-416．观察下列各题的运算①，②·，③(sin225°+sin265°－t（A）n225°·)0=1，④，⑤(－7)2=14，⑥|4－7|=7－4其中算对的有（）（A）③⑤（B）②⑥（C）③④⑤⑥（D）⑤⑥。
第2讲 实数
师航教育一对一个性化辅导讲义第2讲 实数【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.重难点；数是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题的形式出现，实数的运算主要是由二次根式、三角函数、幂等组成的混合算式的计算，常以计算或化简题型出现．另外，命题者也会利用分析归纳总结规律等题型考查考生发现问题、解决问题的能力第2讲实数考点一 实数的分类 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类按定义分： 按与0的大小关系分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数 实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如5，32等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即0a ≥ (0a ≥).非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算：(1)运算法则、运算律有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用．值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．(2)运算顺序在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 考点二 平方根、算术平方根、立方根 1、平方根、立方根类型项目平方根 立方根被开方数 非负数任意实数符号表示a ±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零； 负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a333333)(aa a a aa -=-==2．算术平方根(1)如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，a 的算术平方根记作a .零的算术平方根是零，即0＝0.(2)算术平方根都是非负数，即a ≥0(a ≥0)． (3)(a )2＝a (a ≥0)，a 2＝|a |.(4)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)；a b ＝ab(a ≥0，b ＞0)．【名师提醒：平方根等于本身的数有 个，算术平方根等于本身的数有 ，立方根等于本身的数有 。
(完整版)实数讲义
当 时， ，例如
5、立方根的概念及性质（例8）
（1）立方根的定义：一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 ，那么这个数 就叫做 的立方根，也叫做 的三次方根.如 ，2叫做8的三次方根.
(2)立方根的性质：一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.
（3）立方根的表示：数 的立方根用符号“ ”来表示，读作“三次根号 ”。其中， 称为被开方数，3称为根指数。
12、近似数（例15）
接近实际的数或在计算中按要求所取的与某个准确数接近的数，我们把它叫做近似数.
注意：近似数产生的原因主要有两种：（1）有些需要度量的数，由于受到测量工具精度的限制，得到完全准确的数值几乎是不可能的，这就需要用和准确数尽可能接近的数来表示；（2）有时没有必要完全准确，用近似数表示就可以了.
6、开立方（例9）
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
（1）开立方是一种运算，是与加、减、乘、除、乘方一样的运算，是求立方根的过程，立方和开立方互为逆运算.
（2）由立方根的性质可知开立方的结果是唯一的.
7、无理数（例10）
（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数.
（2）无理数的常见类型主要有以下3种：
（3）对于带有“文字单位”的近似数，在确定其精确到哪一位时，分为两种情况：文字单位前面是整数，如18亿，则它精确到文字单位这一位（亿位）；文字单位前面是小数，如2.61万，则先将它还原为普通数26100，此时1所在的数位（百位）就是它精确到的数位.
三、例题讲解
1、下列各数中，没有平方根的是（）
A.1 B.0 C. D.
所有带根号且被开方数是开方开不尽的数；
圆周率 及一些含有 的数；
无理数与有理数的和、差，无理数乘或除以一个不为0的有理数所得的结果.
人教版中考数学复习机构一对一讲义：实数、整式及分式
实数、整式及分式(2019-2-23)
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三、数与式提高专题
精讲精练
题型 1 新定义运算：
a*b 例 1、对于两个不相等的实数 a、b，定义一种新的运算如下，
a﹣ a bb（a
b＞0） ，
3*2 如：
32 3﹣2
5 ，那么 6*（5*4）=
．
题型 2：逆用幂的运算性质
题型二：计算
例 2：计算：
+（2018﹣π）0
实数、整式及分式(2019-2-23)
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变式练习 2：
（1）先化简，再求值： a2 1 a2 2a 1 ,其中a 1
a 1
a2 a
2 3
（2）已知 1 + 1 = ab
5
（a≠b），求
a
ba
b
a
b
a
b
的值．
题型三：找规律（提高题型）
D．2.1³1011 元
2、若 x 2y+9 与|x﹣y﹣3|互为相反数，则 x+y 的值为（
）
A． 3
B． 9
C． 12
D． 27
实数、整式及分式(2019-2-23)
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3、下列计算正确的是（ ）
A．a＋a＝2a
B．b3²b3＝2b3
C．a3÷a＝a3
D．(a5)2＝a7
A． （1，4）
B． （5，0）
C． （6，4）
D． （3，0）
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（3）阅读材料：求 1+2+22+23+24+…+22017 的值． 解：设 S=1+2+22+23+24+…+22016+22017，将等式两边同时乘以 2 得：
最新七下实数辅导讲义(一)终极版资料
)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数第六章 实数 辅导讲义【知识要点】1、平方根（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做a 的二次方根。
即：如果x 2=a ，则x 叫做a的平方根，记作“a 称为被开方数）。
（2）平方根的性质：① 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； ② 0只有一个平方根，它就是0本身； ③ 负数没有平方根.（3）开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a（5a ≥0。
（6）公式：2=a （a ≥0）；2、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)。
即：如果x 3=a,把x 叫做a 的立方根。
数a 的立方根用符号表示，读作“三次根号a ”。
（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 3、 平方根与立方根与区别：只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为 0. 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致； 4、.识记常用平方表：（自行完成）5、实数的分类（1）按实数的定义分类：（2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数（3）实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．（4）、绝对值①一个正数的绝对值是它本身， ②一个负数的绝对值是它的相反数， ③零的绝对值是零。
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中一个非常基础且重要的概念。
简单来说，实数包括了有理数和无理数。
有理数，就是可以表示为两个整数之比的数，例如整数、有限小数和无限循环小数。
像 2、－3、05（即 1/2）、0333（即 1/3）等都是有理数。
而无理数，则是无限不循环小数，不能写成两个整数之比的形式。
比如圆周率π（约为 314159）、根号 2（约为 1414）等。
实数可以直观地看作数轴上的点，每一个实数都对应数轴上的一个唯一的点，反过来，数轴上的每一个点也都对应着一个唯一的实数。
二、实数的分类实数的分类方式有多种，常见的分类方法如下：1、按符号分类（1）正实数：大于 0 的实数，如 2、35 等。
（2）负实数：小于 0 的实数，如－2、－35 等。
（3）零：既不是正数也不是负数的实数。
2、按性质分类（1）有理数：包括整数（正整数、0、负整数）和分数（有限小数、无限循环小数）。
（2）无理数：无限不循环小数。
三、实数的运算1、加法和减法实数的加法和减法运算遵循以下规则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
例如，3 ＋ 5 ＝ 8，－3 ＋（－5) ＝－8 。
（2）异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
例如，3 ＋（－5) ＝－2，－3 ＋ 5 ＝ 2 。
（3）减去一个数，等于加上这个数的相反数。
例如，5 3 ＝ 5 ＋（－3) ＝ 2 。
2、乘法和除法（1）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
例如，3 × 5 ＝ 15，－3 ×（－5) ＝ 15，3 ×（－5) ＝－15 。
（2）除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
例如，6 ÷ 3 ＝ 6 × 1/3 ＝ 2 。
3、乘方和开方（1）乘方：求 n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方。
例如，2³＝ 2 × 2 × 2 ＝ 8 。
实数一对一讲义
龙文教育1对1个性化教案教导处签字：日期： 年 月 日学生 学 校 年 级教师授课日期 授课时段课题 实数（二)重点难点 实数的概念及分类、平方根、立方根的概念及性质教 学 步 骤 及 教 学 内 容一、热身导入：检查上节课作业完成情况，并讲评。
二、检查漏洞：通过常见例题的完成，了解孩子对本节重难点，易错点内容的掌握情况。
三、主要知识点讲解：1、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；2、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零,算数平方根具有双重非负性。
3、立方根一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。
表示方法：记作3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、课堂练习及延伸：根据本节课的全部内容及例题的分析，让孩子完成相关练习，再次基础上作延伸。
五、教学反馈：根据孩子的课堂表现及完成练习的情况，了解孩子对本节内容的掌握及理解程度。
六、课堂小结：让孩子归纳并总结出本节课的主要内容，自己的优缺点，老师在补充。
课后评价一、学生对于本次课的评价o特别满意o满意o一般o差二、教师评定1、学生上次作业评价o好o较好o一般o差2、学生本次上课情况评价o好o较好o一般o 差作业布置教师留言教师签字：家长意见家长签字：日期：年月日龙文教育1对1个性化讲义课前小测：1.64的算术平方根和64-的立方根的和是（ ）A.0B.6C.4D.4- 2.能与数轴上的点一一对应的是（ ）A 整数B 有理数C 无理数D 实数 3.213-=-a ,则a 的值是（ ）A.１B.２C.３D.４.4．设面积为3的正方形的边长为x ，那么关于x 的说法正确的是（ ）A. x 是有理数B.x =3±C. x 不存在D. x 是1和2之间的实数5.32-的绝对值是 （ ） A.32+ B.32--C.23-D.32-7.在4144.1-，2-，722，3π，32-，∙3.0， 121111*********.2中，无理数的个数是 .8.a 是9的算术平方根，而b 的算术平方根是4，则=+b a . 9. 比较下列实数的大小①140 12 ②215- 5.0；10．判断：（1）实数是由正实数和负实数组成．（ ） （2）0属于正实数．（ ）（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（ ）（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是0或1．（ ） （5）若,2||=x 则2=x （ ）一、主要知识点回顾：1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
实数概念一对一辅导资料
为____________________ 平方根： 下列说法不正确的是( A、
)
1 1 的平方根是 B、-9 是 81 的一个平方根 C、0.2 的算数平方根 0.04 D、0 的平方根是 0 5 25
81 的平方根为__________________，算术平方根______________ 若 5a+1 和 a-19 是正数 m 的两个平方根，求 a 和 m 的值。
____(a 0) (2)代数定义： a ____(a 0) ____(a 0)
5、平方根、算数平方根与立方根的概念 （1）平方根：若_________________,则 x 是 a 的平方根，记作__________0 的平方根为_______. __________平方根为算术平方根。 0 的算术平方根为_______________.常见的非负数包括_________ 常见的形式有______________、______________、__________________.非负数的性质：如果几个 非负数之和为 0，那么这几个非负数均为_________. (2)立方根：若_________________，则 x 是 a 的立方根，记作_______________. 6、平方根的性质 一个正数有两个______________的平方根；0 的平方根为____________，___________没有平方根。
图4 ）
A. a b
B. a b
C. a b ）
D. b a 0
有理数 a、b 在数轴上的位置如图所示，则 a+b 的值（
A．大于 0
B．小于 0
C．小于 a
D．大于 b
]如图，数轴上 A、B 两点对应的实数分别是 1 和 3 ，若点 A 关于点 B 的对称点为点 C，则点 C 所 对应的实数为（ A. 2 3 1 ） B. 1 3 C. 2 3 D. 2 3 1
七下实数辅导讲义(一)终极版
七下实数辅导讲义(一)终极版-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数第六章 实数 辅导讲义【知识要点】 1、平方根（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做a 的二次方根。
即：如果x 2=a ，则x 叫做a的平方根，记作“a 称为被开方数）。
（2）平方根的性质：① 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；② 0只有一个平方根，它就是0本身；③ 负数没有平方根.（3）开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a（5有意义的条件是a ≥0。
（6）公式：2=a （a ≥0）；2、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)。
即：如果x 3=a,把x 叫做a 的立方根。
数a 的立方根用符号表示，读作“三次根号a ”。
（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
求一个数的立方根可以通过立方运算来求.3、 平方根与立方根与区别：只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为 0. 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；4、.识记常用平方表：（自行完成）5、实数的分类（1）按实数的定义分类：（2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数（3）实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．（4）、绝对值①一个正数的绝对值是它本身，②一个负数的绝对值是它的相反数，③零的绝对值是零。
最新七下实数辅导讲义(一)
)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数第六章 实数 辅导讲义【知识要点】1、平方根（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做a 的二次方根。
即：如果x 2=a ，则x 叫做a的平方根，记作“a 称为被开方数）。
（2）平方根的性质：① 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； ② 0只有一个平方根，它就是0本身； ③ 负数没有平方根.（3）开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a（5a ≥0。
（6）公式：2=a （a ≥0）；2、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)。
即：如果x 3=a,把x 叫做a 的立方根。
数a 的立方根用符号表示，读作“三次根号a ”。
（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 3、 平方根与立方根的区别：只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为 0. 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致； 4、.识记常用平方表：（自行完成）5、实数的分类（1）按实数的定义分类：（2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数（3）实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．（4）、绝对值①一个正数的绝对值是它本身， ②一个负数的绝对值是它的相反数， ③零的绝对值是零。
实数
； ，小数部分是 。
5
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3 3 8、若 15.625＝2.5， x＝25，则 x＝
2 2
个性教育一对一辅导 ；9、若 x ＝(－3) ，y＝(－2) ，则 x＋y＝ ； 。 ； ； 。
3
；
10、如果 1.0167 是 a 的一个平方根，那么 a 的另一个平方根是 11、4－ 5在数轴上对应点在整数 a 和 b 之间，且 a－b＝1，则 a＋b＝ 12、数轴上到数 2对应点的距离为 3 的点所对应的数是 13、当 x＝ 15、 已知 A= ，y＝
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（1） 概念：一般地，一个数的立方等于 a，这个数叫做 a 的立方根，也叫做 a 的三次方根。 （2） 表示：读作“三次根号” 。 （3） 性质：由一个正数的立方还是一个正数；0 的立方乃是 0；负数的立方还是一个负数。 （4） 开立方：求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方。 注意： （1）任意实数都有立方根，(2)开立方与立方互为逆运算。 （3）√a 的根指数 2 可以省略，即写成√a,但√ a 中的根指数 3 不能省略，要写在根号的左上角。 （4）立方根等于它本身的数有三个,它们分别是 1，0，-1.（5）开 立方的结果是唯一的。 剖析： （1）求一个数的立方根，实质是利用立方运算来求得，因此熟记常见简单数的立方。便于快速解决此类题 目。 （2）任何数的立方根有且只有一个。 （3）一个数 a 的立方根 √a 与 a 的符号相同。 例 1、求下列各数的立方根： ； ；1；0；－1；－343；－0．729
169 13 ＝－ 64 8 ）
2
169 13 ＝ 64 8 1 3
2
D、±
169 13 ＝± 64 8
实数的运算一对一辅导讲义
课题实数的运算讲课日期实时段教课目标理解与掌握实数的运算律与运算法例教课内容一、知识梳理（一）、温故知新：1、用字母来表示有理数的乘法互换律、乘法联合律、乘法分派律。
2、用字母表示有理数的加法互换律和联合律。
3、说一说有理数的混淆运算次序。
（二）、新知导学：1、思虑：2 的相反数是，的相反数是，0的相反数是。
概括：（ 1）数a的相反数是，这里a表示任何一个实数。
（ 2）一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是。
（ 3）假如 a ≠ 0，那么它的倒数为。
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完整同样。
二、例题解说例 1. 把以下各数分别填写在相应的括号内．3 3 22 0 7 5 5， 27，，0，，9，，( ) ，，，2 7 4无理数会合｛有理数会合｛正实数会合｛分数会合｛负无理数会合｛答案：解：无理数会合｛L｝；L｝；L｝；L｝；L｝．37 5，3.151551555L ，9，， 5，L ｝；4有理数会合｛ 3 27，0，22 0，，( ) ，，L｝；7正实数会合｛ 3 0 7 ，L，，，，9 ( ) ｝；422分数会合｛，，，L｝；负无理数会合｛ 3.151551555 L ，5 5，L ｝．例 2. 化简：m m2 (m 0) ．答案：解： Q m 0 ，m2 m m ．故 m m2 m m m ( m) 2m2m．例3题计算：( 5 2)2004 ( 5 2) 2003 ．答案：解：原式( 5 2)( 5 2)2003 g( 5 2) 2003( 5 2) ( 5 2)( 52003 2)( 5 2) ( 5) 2 222003( 5 2)×12003 5 2.例 4. 已知x 3 2， y 3 2 ，求代数式 3x2 5xy 3y 2的值．答案：解： 3x2 5xy 3y2 3(x2 y2 ) 5xy3 ( x y)2 2xy 5xy3(x y)2 6xy 5xy3(x y)2 11xy，又由已知可得 x y ( 3 2) ( 3 2) 2 3 ，xy ( 3 2)( 3 2)321，故原式3× (2 3) 2 11×1 3× 36 11 97 ．例 5. 计算：22× 8 3 2(3 2 2) 1 ；1 2答案：解：原式4×4×2 3 2 332×2 2 ( 21) 829212 2 1 11 ；三、讲堂练习. 1、x, y知足2x 3 y3 3 2x8 ，则xy2、填空：（ 1） 3 的相反数是，绝对值是。
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教学目标 1、了解平方根与立方根的概念和表示方法；
2、了解无理数和实数的概念以及实数的分类；
3、知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。
重点、难点
1、平方根与立方根的概念和求法。
2、了解无理数和实数的概念以及对无理数的认识。
考点及考试要求 掌握平方根，立方根以及实数的各种题型。
教 学 内 容
第一课时 实数知识梳理
1.立方根等于本身的数是 ;
2.如果,113a a -=-则=a .
3.64-的立方根是 ,
3)4(- 的立方根是 .
4.已知163+x 的立方根是4，求42+x 的算术平方根.
5.已知43=+x ，求33)10(-x 的值.
6.比较大小：
（1）32.1 31.2，
（2）332- 34
3-， 课前检测
（3）3 37。
知识梳理
1.实数的分类
注意：无理数有三个条件：（1）是小数；（2）是无限小数；（3）不循环.
无理数有三类：（1）开方开不尽的数；
（2）特定意义的数如π等；
（3）特定结构的数如0.1010010001L等.
2. 平方根，立方根，n次方根
（1）.若一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
求这个数的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数。
要点：①正数a的平方根有两个，它们互为相反数，可以用a
±来表示。
其中a表示a的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a”，a
-表示a的负正平方根，读作“负根号a”；负数没有平方根；零的平方根是零。
②开平方与平方互为逆运算：
一个数的平方根的平方等于这个数：即22
当时，，；
>=-=
a a a a a
0()()
（2）若一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，用3a表示a的立方根，读作“三次根号a”，a叫做被开方数，3叫做根指数。
求一个数的立方根的运算叫做开立方。
要点：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零。
（3）若一个数的n次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根，用n a表示a的n次方根，读作“n次根号a”，a叫做被开方数，n叫做根指数。
求一个数的n次方根的运算叫做开n次方。
要点：①正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，正数的奇次方根只有一个；
②零的任何次方根是零；
O A C B …
… 有理数集合 无理数集合
例1. 下列实数中，无理数有哪些？
2， 17
2，37.0&&-，14.3，35，0，⋅⋅⋅11121211211121.10，π，2)4(- 解：无理数有：2，35，π
注：①带根号的数不一定是无理数，比如2)4(-，它其实是有理数4；
②无限小数不一定是无理数，无限不循环小数一定是无理数。
比如⋅⋅⋅11121211211121.10。
变1、把下列各数分别填写在相应的括号内．
无理数集合｛ L ｝；
有理数集合｛ L ｝；
正实数集合｛ L ｝；
分数集合｛ L ｝；
负无理数集合｛ L ｝．
变2、把下列各数分别填在相应的集合里：
,722 1415926.3，7，8-，32，6.0，0，36，3
π，⋅⋅⋅313113111.0
例
2. 把无理数5在数轴上表示出来。
分析：类比2的表示方法，我们需要构造出长度为5的线段，从而以它为半径画弧，与数轴正
典型例题
变4、计算下列各式的值：
（1）2)23(-+； （2）3233+
例6. 计算：212832(322)12-+--
+×； 答案：解：原式4423233222(21)8292=-+⨯---=-+-×
××
122111-+=-； 变5、计算：
（1）2624-； （2）)23(3+；
（3）3253+-； （4）23)5
4(198-+--。
第三课时 实数课堂检测
一、填空题： 1、正数a 的平方根表示为 ;
2、计算：=9
71 ;=+22512 ; 3、若x 的平方根是5.0±，则x= ;256的平方根是 ;
4、-27的立方根与81的和是 ;x 的平方根是5±则x= ;
5、将327,14.3,,11π从小到大排列为 ;
课堂检测。