中考数学复习指导：算术平方根非负性的应用

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算术平方根的非负性运用

初中数学七年级下册
算术平方根的非负性运用
旧知链接 a 被1. 开a可方以数取a是任非何负数数吗,？即 a 0 .
2a. 是a非是负什数，么即数a？ 0 .
也就是说，非负数的“算术平方根”是非负数.
负数不存在算术平方根，即当 a 0 时，a 无意义.
如： 6 无意义； 8是64的算术平方根或 64 8 .
所以 3 m 0 m n 1 0
所以 m 3 n 4 所以 1 m 1 n 7
9 23
强调：几个非负数的和为0，则这几个数都为0.
巩固练习 1.若 5-x 有意义，则x的取值范围是_x____5___.
2.若 m 2 化简 m 22 =_m_____2.
追问：若m<-2呢？结果(-m-2).
3. 是算术平方根的运算符号.
运用新知
例1 2-x 有意义，则实数x应满足条件为________.
解：要使 2-x有意义，需有2 x 0，即x 2.
变式：若m>0,则 m2 __m__ . 变式：若m<0,则 m2 __-_m_ .
强调： a2 a
当a 0时，a2 a 当a 0时，a2 a 当a 0时，a2 0
3.已知 y x 3 3 x 2，则 y x =___8___.
4.已知 3 m (1 n)2 0 ，则 m+n=_4_____.
a
总结反思
运用算术平方根的双重非负性解决问题：
1.求算术平方根被开方数的取值范围.
2.化简简单的二次根式.
3.解决几个非负数和为2m 1 1 2m 1 ,求 y 2m .
4
解：由题意知： 2m10 12m0
所以
把m
所以

算术平方根的双重非负性

算术平方根的双重非负性算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即ax=2，那么这个正数x就叫做a 的算术平方根，记为“a”，读作“根号a”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=.算术平方根定义中的两层含义：a中的a是一个非负数，即0a≥，a的算术平方根a也是一个非负数，≥．这就是算术平方根的双重非负性．例题：已知x，y为有理数，且x－1＋3(y－2)2＝0，求x－y的值．解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即≥，a2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x 和y的值，进而求得答案．()20,20y≥-≥，且x－1＋3(y－2)2＝0∴x-1=0，y-2=0.∴x=1,y=2∴x－y＝1－2＝－1.方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即≥，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.巩固练习：1.若|x－2|+3-y=0,则xy=______.2.已知()0232212=++++-zyx，求x+y+z的值.3. △ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ，b 满足04412=+-+-b b a ，求c 的取值范围．参考答案：1. xy =62. 解：因为21-x ≥0，()22+y ≥0，23+z ≥0，且()0232212=++++-z y x ，所以21-x =0，()22+y =0，23+z =0，解得21=x ，2-=y ，23-=z ，所以x +y +z = 3-．3. 解：由04412=+-+-b b a ，可得0)2(12=-+-b a ，因为 1-a ≥0，2)2(-b ≥0，所以1-a =0，2)2(-b =0，所以a = 1，b = 2，由三角形三边关系定理有：b- a < c < b +a ，即1 < c < 3．。

巧用算术平方根的非负性解题

巧用算术平方根的非负性解题
我们知道,当a≥0时，式子叫做a的算术平方根，由此可知，在式子中就有两个非负整数：①a≥0；②这两个非负性有着极为广泛的应用。

一、单独得用中a≥0解题
例1：要使式子有意义，字母x的取值范围必须满足（）
（A）、（B）、（C）、（D）、
解：根据算术平方根的被开方数的非负性，有2x+3≥0, ;故选（A）。

例2：已知a,b是有理数，且则a·b的值是（）
（A）、0 （B）、1‘（C）、-1 （D）、12
解：由算术平方根的被开方数的非负性，等式成立的条件是：
即：所以a=4把a=4代入已知等式得：
b=3故a·b=4×3=12应选（D）
二、单独应用≥0解题
例3：已知，则x-y的值为。

解：根据算术平方根的非负性及任何数和式子的平方的非负性有；又结合已知条件得所以x=-3，y=1所以x-y=-3-1=-4
三、同时利用a≥0和≥0解题
例4：若m·n≠0，则式子成立的条件是：
（A）、m>0,n>0（B）、m0 （C）、m0,n0故选（B）
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第三章实数考点3 非负数的性质：算术平方根(解析版)

第三章实数（解析板）3、非负数的性质：算术平方根知识点梳理1．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．2．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．3．非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．同步练习一．选择题（共19小题）1．若+|y+3|＝0，则的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】非负数的性质：绝对值；算术平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】先根据非负数的性质求出x、y的值，再代入代数式进行计算即可．【解答】解：∵+|y+3|＝0，∴2x+1＝0，y+3＝0，解得x＝﹣，y＝﹣3，∴原式＝＝．故选：C．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知几个非负数的和为0时，其中每一项必为0是解答此题的关键．2．已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（）A．m＞6B．m＜6C．m＞﹣6D．m＜﹣6【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组；解一元一次不等式．【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，然后根据y是负数即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．【解答】解：根据题意得：，解得：，则6﹣m＜0，解得：m＞6．故选：A．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．3．若+|b+2|＝0，那么a﹣b＝（）A．1B．﹣1C．3D．0【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后求出a﹣b的值．【解答】解：∵，|b+2|≥0，∵+|b+2|＝0，∴a+1＝0，b+2＝0，解得：a＝﹣1，b＝﹣2，把a＝﹣1，b＝﹣2代入a﹣b＝﹣1+2＝1，故选：A．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．4．若（m﹣1）2+＝0，则m+n的值是（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，m﹣1＝0，n+2＝0，解得m＝1，n＝﹣2，所以，m+n＝1+（﹣2）＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．5．若|x+2|+，则xy的值为（）A．﹣8B．﹣6C．5D．6【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】已知任何数的绝对值一定是非负数，二次根式的值一定是一个非负数，由于已知的两个非负数的和是0，根据非负数的性质得到这两个非负数一定都是0，从而得到一个关于x、y的方程组，解方程组就可以得到x、y的值，进而求出xy的值．【解答】解：∵|x+2|≥0，≥0，而|x+2|+＝0，∴x+2＝0且y﹣3＝0，∴x＝﹣2，y＝3，∴xy＝（﹣2）×3＝﹣6．故选：B．【点评】本题考查的是非负数的性质，一元一次方程的解法及代数式的求值．题目注重基础，比较简单．6．已知|x﹣3|+＝0，则（x+y）2的值为（）A．4B．16C．25D．64【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：由题意得，x﹣3＝0，x+2y﹣7＝0，解得x＝3，y＝2，则（x+y）2＝（3+2）2＝25，故选：C．【点评】本题考查了非负数的性质，关键是掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．7．已知实数x，y满足，则y的值是（）A．2B．﹣2C．0D．3【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负性即可求出x与y的值．【解答】解：由题意可知：x+2＝0，3x+y+8＝0，∴x＝﹣2，y＝﹣2，故选：B．【点评】本题考查绝对值与二次根式，解题的关键是熟练运用绝对值与二次根式的性质，本题属于基础题型．8．已知x，y为实数且|x+1|+＝0，则（）2012的值为（）A．0B．1C．﹣1D．2012【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而求出答案．【解答】解：∵|x+1|+＝0，∴x+1＝0，y﹣1＝0，解得：x＝﹣1，y＝1，∴（）2012＝1．故选：B．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．9．已知，则a+b的值是（）A．1B．﹣1C．3D．﹣3【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得a﹣2＝0，b+1＝0，解得a＝2，b＝﹣1，则a+b＝2﹣1＝1．故选：A．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．10．已知|7+b|+＝0，则a+b为（）A．8B．﹣6C．6D．8【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性得出7+b＝0，a﹣1＝0，求出a、b的值即可．【解答】解：|7+b|+＝0，7+b＝0，a﹣1＝0，b＝﹣7，a＝1，所以a+b＝1+（﹣7）＝﹣6，故选：B．【点评】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，能根据绝对值和算术平方根的非负性得出7+b＝0和a﹣1＝0是解此题的关键．11．已知△ABC的三边长a、b、c满足+|b﹣1|+（c）2＝0，则△ABC一定是（）三角形．A．锐角B．钝角C．直角D．一般【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】先根据非负数的性质求出a、b、c的值，再根据勾股定理逆定理进行判断即可．【解答】解：∵+|b﹣1|+（c）2＝0，∴a＝1，b＝1，c＝，∵a2+b2＝1+1＝2，c2＝（）2＝2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故选：C．【点评】本题考查非负数的性质，解题的关键是掌握一个数的算术平方根与某个数的绝对值以及另一数的平方的和等于0，那么算术平方根的被开方数为0，绝对值里面的代数式的值为0，平方数的底数为0及勾股定理的逆定理．12．已知，则y的值为（）A．1B．﹣2．C．﹣1D．﹣4【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式计算求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得x﹣y+2＝0，x+y＝0，解得x＝﹣1，y＝1．故选：A．【点评】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．13．若x，y为实数，且，则的值为（）A．1B．2011C．﹣1D．﹣2011【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；代数式求值．【分析】由于|x+2|和都是非负数，而它们的和为0，根据非负数的性质即可求出x、y的值，接着可以求出题目的结果．【解答】解：∵若x，y为实数，且，而|x+2|和都是非负数，∴x+2＝0且y﹣2＝0，∴x＝﹣2，y＝2，∴＝（﹣1）2011＝﹣1．故选：C．【点评】此题主要考查了非负数的性质和代数式的求值，解题的关键是根据非负数的性质得到x+2＝0且y﹣2＝0，由此求出x、y的值解决问题．14．若+（y+2）2＝0，则（x+y）2020等于（）A．﹣1B．1C．32020D．﹣32020【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：∵+（y+2）2＝0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，∴x＝1，y＝﹣2，∴（x+y）2020＝（1﹣2）2020＝1，故选：B．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．15．若|x﹣2|+＝0，则xy的值为（）A．﹣8B．﹣6C．5D．6【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：根据题意得：，解得：，则xy＝﹣6．故选：B．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．16．已知实数x，y满足，则x﹣y等于（）A．3B．﹣3C．1D．﹣1【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，所以，x﹣y＝2﹣（﹣1）＝2+1＝3．故选：A．【点评】本题考查了算术平方根非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．17．如果|x﹣3|+＝0，则＝（）A．2B．C．﹣2D．3【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】先根据非负数的性质得出x和y的值，再代入化简即可得．【解答】解：∵|x﹣3|+＝0，∴x﹣3＝0，y﹣2＝0，则x＝3，y＝2，∴＝＝2，故选：A．【点评】本题主要考查非负数的性质，解题的关键是掌握非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．18．已知+（b+3）2＝0，则（a+b）2020的值为（）A．0B．1C．﹣1D．2020【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】直接利用互为相反数的定义结合绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵+（b+3）2＝0，∴a﹣2＝0，b+3＝0，解得：a＝2，b＝﹣3，∴（a+b）2020＝（2﹣3）2020＝1．故选：B．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确应用算术平方根和绝对值的性质是解题关键．19．已知实数x，y满足+|y+2|＝0，则x+y的值为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣4【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x＝0，y+2＝0，∴x＝0，y＝﹣2，∴x+y＝﹣2故选：A．【点评】本题考查非负数的性质，解题的关键是熟练运用非负数的性质，本题属于基础题型．二．填空题（共17小题）20．已知a、b满足（a﹣1）2+＝0，则a+b＝﹣1．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】直接利用非负数的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵（a﹣1）2+＝0，∴a＝1，b＝﹣2，∴a+b＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．21．当x取﹣5时，的值最小，最小值是0；当x取5时，2﹣的值最大，最大值是2．【考点】非负数的性质：算术平方根．【分析】依据算术平方根的非负性可知当10+2x＝0时，的值最小，当5﹣x＝0时，2﹣的值最大．【解答】解：当10+2x＝0时，的值最小，解得x＝﹣5，此时的最小值为0．当5﹣x＝0时，即x＝5时，＝0，此时2﹣的值最大，最大值是2．故答案为：﹣5；0；5；2．【点评】本题主要考查的是非负数的性质，掌握算术平方根的非负性是解题的关键．22．已知+|x2﹣3y﹣13|＝0，则x+y＝﹣1．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣2＝0，x2﹣3y﹣13＝0，解得x＝2，y＝﹣3，所以，x+y＝2+（﹣3）＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．23．如果与（2x﹣4）2互为相反数，那么2x﹣y的平方根是±1．【考点】非负数的性质：偶次方；平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】直接利用算术平方根以及偶次方的性质得出2x﹣y的值，进而得出答案．【解答】解：∵与（2x﹣4）2互为相反数，∴y﹣3＝0，2x﹣4＝0，解得：y＝3，x＝2，∴2x﹣y＝1，∴2x﹣y的平方根是：±1．故答案为：±1．【点评】此题主要考查了平方根以及算术平方根和偶次方的性质，正确得出x，y的值是解题关键．24．已知+＝0，则+＝．【考点】非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，a﹣3＝0，2﹣b＝0，解得a＝3，b＝2，所以，+＝+＝+＝．故答案为：．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．25．若，则m﹣n的值为4．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据任何非负数的平方根以及偶次方都是非负数，两个非负数的和等于0，则这两个非负数一定都是0，即可得到关于m．n的方程，从而求得m，n的值，进而求解．【解答】解：根据题意得：，解得：．则m﹣n＝3＝（﹣1）＝4．故答案是：4．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．26．如果＝0，那么xy的值为﹣6．【考点】非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后相乘即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣3＝0，y+2＝0，解得x＝3，y＝﹣2，所以，xy＝3×（﹣2）＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．27．当x取5时，代数式2﹣取值最大，并求出这个最大值2．【考点】非负数的性质：算术平方根．【分析】根据二次根式的性质解答．【解答】解：当5﹣x＝0，即x＝5时，代数式2﹣取值最大，此时这个最大值2．故答案为：5，2．【点评】本题考查二次根式的性质，解决本题的关键是能够正确运用二次根式的性质．28．已知+|3x+2y﹣15|＝0，则的算术平方根为．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算，再根据算术平方根的定义解答．【解答】解：由题意得，x+3＝0，3x+2y﹣15＝0，解得x＝﹣3，y＝12，所以，＝＝3，所以，的算术平方根为．故答案为：．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．29．已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x﹣y等于3．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，所以，x﹣y＝2﹣（﹣1）＝2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．30．如果+＝0，那么xy的值为﹣6．【考点】非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质求出x、y，计算即可．【解答】解：由题意得，x﹣3＝0，y+2＝0，解得，x＝3，y＝﹣2，则xy＝﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．31．已知与（x+y﹣4）2互为相反数，则y﹣x＝8．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】由与（x+y﹣4）2互为相反数，得出+（x+y﹣4）2＝0，根据非负数的性质得出x、y的值，进一步代入求得答案即可．【解答】解：∵与（x+y﹣4）2互为相反数，∴+（x+y﹣4）2＝0，∴x+2＝0，x+y﹣4＝0，∴x＝﹣2，y＝6，∴y﹣x＝6﹣（﹣2）＝6+2＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了代数式求值，非负数的性质，能够正确利用非负数的性质求得字母的数值是解决问题的关键．32．若+|b2﹣9|＝0，则ab＝±6．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：+|b2﹣9|＝0，∴a﹣2＝0，b＝±3，因此ab＝2×（±3）＝±6．故结果为：±6．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．33．已知，则a b＝1．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，a﹣1＝0，a+b+1＝0，解得a＝1，b＝﹣2，所以，a b＝1﹣2＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．34．若＝3﹣x，则x的取值范围是x≤3．【考点】非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列出关于x的不等式，求出x的值即可．【解答】解：∵＝3﹣x，∴3﹣x≥0，解得x≤3．故答案为：x≤3．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知算术平方根具有非负性是解答此题的关键．35．若a、b为实数，且（a+）2+＝0，则a b的值3．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据偶次方、算术平方根的非负性分别求出a、b，根据乘方法则计算即可．【解答】解：∵（a+）2+＝0，∴（a+）2＝0，＝0，解得，a＝﹣，b＝2，则a b＝（﹣）2＝3，故答案为：3．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握偶次方、算术平方根的非负性是解题的关键．36．已知非零实数a，b满足，则a+b等于1．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】由题设知a≥3，化简原式得，根据非负数的性质先求出a，b的值，从而求得a+b的值．【解答】解：∵a≥3，∴原等式可化为，∴b+2＝0且（a﹣3）b2＝0，∴a＝3，b＝﹣2，∴a+b＝1．故答案为1．【点评】本题考查了非负数的性质，一个数的算术平方根、偶次方都是非负数．三．解答题（共9小题）37．已知|2a+b|与互为相反数．（1）求2a﹣3b的平方根；（2）解关于x的方程ax2+4b﹣2＝0．【考点】非负数的性质：绝对值；平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】（1）依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再求得2a﹣3b的值，最后依据平方根的定义求解即可；（2）将a、b的值代入得到关于x的方程，然后解方程即可．【解答】解：由题意，得2a+b＝0，3b+12＝0，解得b＝﹣4，a＝2．（1）∵2a﹣3b＝2×2﹣3×（﹣4）＝16，∴2a﹣3b的平方根为±4．（2）把b＝﹣4，a＝2代入方程，得2x2+4×（﹣4）﹣2＝0，即x2＝9，解得x＝±3．【点评】本题主要考查的是平方根的定义、非负数的性质，熟练掌握平方根的定义、非负数的性质是解题的关键．38．已知+|x﹣1|＝0．（1）求x与y的值；（2）求x+y的平方根．【考点】非负数的性质：绝对值；平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】（1）先依据非负数的性质得到x﹣1＝0，x+2y﹣7＝0，然后解方程组即可；（2）先求得x+y的值，然后再求其平方根即可．【解答】解：（1）∵+|x﹣1|＝0，∴x﹣1＝0，x+2y﹣7＝0，解得：x＝1，y＝3．（2）x+y＝1+3＝4．∵4的平方根为±2，∴x+y的平方根为±2．【点评】本题主要考查的是非负数的性质，依据非负数的性质求得x、y的值是解题的关键．39．若+（3x+y﹣1）2＝0，求的平方根．【考点】非负数的性质：偶次方；平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】先根据非负数的性质求出x，y的值，代入代数式即可得出结论．【解答】解：∵+（3x+y﹣1）2＝0，∴，解得，∴原式＝＝3．∴的平方根为±．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知非负数之和等于0时，各项都等于0是解答此题的关键．40．已知a、b、c满足．（1）求a、b、c的值；（2）判断以a、b、c为边的三角形的形状．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】（1）根据非负数的性质可求出a、b、c的值；（2）利用勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形．【解答】解：（1）根据题意得：a﹣＝0，b﹣5＝0，c﹣4＝0，解得：a＝，b＝5，c＝4；（2）∵（）2+52＝（4）2，∴a2+b2＝c2，∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．41．已知+|y3+1|＝0，求4x﹣3y的平方根．【考点】非负数的性质：绝对值；平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】首先根据绝对值和被开方数的非负性可以求x、y的值，再根据平方根的定义即可求解．【解答】解：根据题意知2x﹣3＝0，y3+1＝0∴x＝，y＝﹣1，∴4x﹣3y＝9，∴4x﹣3y的平方根为±3．【点评】此题主要考查了立方根、平方根定义和非负数的性质，其中求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．注意：（1）一个数的立方根与原数的性质符号相同．（2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．42．已知x、y满足+|y+1|＝0，求x2﹣4y的平方根．【考点】非负数的性质：绝对值；平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】直接利用绝对值以及算术平方根的定义得出x，y的值，进而得出答案．【解答】解：∵+|y+1|＝0，∴，解得：，∴x2﹣4y＝1+4＝5，故x2﹣4y的平方根为：±．【点评】此题主要考查了非负数的性质以及平方根，正确得出x，y的值是解题关键．43．已知|a+b﹣3|++（a+2）2＝0，求（a+c）b的值．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】首先根据题意及非负数的性质求出a、b、c的值，然后代入所求代数式求值．【解答】解：∵|a+b﹣3|++（a+2）2＝0，∴a+b﹣3＝0，c﹣4＝0，a+2＝0，∴a＝﹣2，b＝5，c＝4，∴（a+c）b＝（﹣2+4）5＝25＝32，即（a+c）b的值是32．【点评】本题主要考查非负数的性质，解题的关键是先根据题意及非负数的性质求出a、b、c的值．44．已知（3x﹣1）2+＝0，求18xy的平方根．【考点】非负数的性质：偶次方；平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算，再根据平方根的定义解答．【解答】解：由题意得，3x﹣1＝0，3﹣2y＝0，解得x＝，y＝，所以，18xy＝18××＝9，所以，18xy的平方根±3．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．45．已知实数x，y满足（x﹣4）2+＝0，求﹣xy的平方根．【考点】非负数的性质：偶次方；平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】因为（x﹣4）2和都是非负数，当几个非负数的和为0时，几个非负数都为0，可得关于x和y的方程，求出x，y的值，再根据平方根的定义求解．【解答】解：∵（x﹣4）2 +＝0∴（x﹣4）2＝0，＝0∴x﹣4＝0，y+16＝0，∴x＝4，y＝﹣16∴﹣xy＝﹣4×（﹣16）＝64∴﹣xy的平方根是±8【点评】本题考查了偶次方和算术平方根的性质以及开平方运算，明确非负数的性质及开平方的方法，是解题的关键。

中考数学复习指导：例谈平方根问题的解法

例谈平方根问题的解法平方根是学习实数的准备知识，是以后学习一元二次方程等知识的必备基础，也是中考的必考内容之一.现以几道典型题目为例谈谈平方根问题的解法，供同学们学习时参考.一、基本题型例1 求下列各数的算术平方根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151. 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.解：（1）因为6482=，所以64的算术平方根是8，即864=；（2）因为93)3(22==-，所以2)3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-；（3）因为496449151=，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是78，即7849151=. 点评：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2)3(-的算术平方根是3，而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似74149161=的错误. 想一想：如果把例1改为：求下列各数的平方根.你会解吗？请试一试. 例2 求下列各式的值（1）81±；（2）16-；（3）259；（4）2)4(-. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；259表示259的算术平方根，故其结果是正数；2)4(-表示2)4(-的算术平方根，故其结果必为正数.解：（1）因为8192=，所以±81=±9.（2）因为1642=，所以－416-=.（3）因为253⎪⎭⎫ ⎝⎛=259，所以259=53. （4）因为22)4(4-=，所以4)4(2=-. 点评：弄清与平方根有关的三种符号±a 、a 、－a 的意义是解决这类问题的关键.±a 表示非负数a 的平方根.a 表示非负数a 的算术平方根，－a 表示非负数a 的负平方根.注意a ≠±a .在具体解题时，符与“”的前面是什么符号，其计算结果也就是什么符号，既不能漏掉，也不能多添.例3 若数m 的平方根是32+a 和12-a ，求m 的值.分析：因负数没有平方根，故m 必为非负数，故本题应分两种情况来解.解：因为负数没有平方根，故m 必为非负数.（1）当m 为正数时，其平方根互为相反数，故（32+a ）+（12-a ）=0，解得3=a ，故32+a =9332=+⨯，912312-=-=-a ，从而8192==a . （2）当m 为0时，其平方根仍是0，故032=+a 且0433=-a ，此时两方程联立无解.综上所述，m 的值是81.想一想：如果把例3变为：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.你会解吗？请试一试.二、创新题型例4 先阅读所给材料，再解答下列问题：若1-x 与x -1同时成立，则x 的值应是多少？有下面的解题过程：1-x 和x -1都是算术平方根，故两者的被开方数x x --1,1都是非负数,而1-x 和x -1是互为相反数. 两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那就是它们都等于0，即1-x =0，x -1=0，故1=x . 问题：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.解：由阅读材料提供的信息，可得,012=-x 故21=x . 进而可得2=y .故y x =41212=⎪⎭⎫ ⎝⎛. 点评：这是一道阅读理解题.解这类问题首先要认真阅读题目所给的材料，总结出正确的结论，然后用所得的结论解决问题.例5 请你认真观察下面各个式子，然后根据你发现的规律写出第④、⑤个式子. ①44141411611622=⨯=⨯=⨯=⨯=； ②244242421623222=⨯=⨯=⨯=⨯=； ③344343431634822=⨯=⨯=⨯=⨯=.分析：要写出第④、⑤个式子，就要知道它们的被开方数分别是什么，为此应认真观察所给式子的特点.通过观察，发现前面三个式子的被开方数分别是序数乘以16得到的，故第④、⑤个式子的被开方数应该分别是64和80.解：④84244441646422=⨯=⨯=⨯=⨯=； ⑤544545454516580222=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=.点评：这是一个探究性问题，也是一道发展数感的好题，它主要考查观察、归纳、概括的能力．解这类题需注意分析题目所给的每个式子的特点，然后从特殊的例子，推广到一般的结论，这是数学中常用的方法，同学们应多多体会，好好掌握！。

初中数学知识归纳平方根的概念和性质

初中数学知识归纳平方根的概念和性质在初中数学中，平方根是一个非常重要的概念。

它不仅能够帮助我们解决各种问题，还有一些有趣的性质。

本文将归纳平方根的概念和性质，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

1. 平方根的概念平方根，顾名思义，就是能够使平方得到某个数的根。

对于非负数a来说，如果存在一个非负数b，使得b的平方等于a，那么b就是a的平方根。

用数学符号表示为√a=b。

2. 平方根的性质a) 平方根的存在性：对于非负实数a，总是存在一个非负实数b，使得b的平方等于a。

换句话说，任何一个非负实数都有平方根。

b) 平方根的唯一性：非负实数a的平方根是唯一确定的。

也就是说，如果b的平方等于a，那么b就是a的平方根。

这个性质可以用反证法来证明。

c) 平方根的范围：正数的平方根是正数，非正数的平方根是非正数。

例如，4的平方根为2和-2，-4的平方根为2i和-2i（其中i是虚数单位）。

3. 平方根的计算在初中数学中，我们通常使用近似值来计算平方根。

下面是一些常用的计算平方根的方法：a) 精确平方根：对于一些特殊的数，我们可以准确地求出它的平方根。

例如，√4=2，√9=3等。

这些可以直接通过记忆获得。

b) 估算法：如果某个数的平方根不是一个精确的整数，我们可以使用估算法来计算它的近似值。

这种方法常见的有牛顿迭代法、二分法等。

我们可以根据具体情况选择适当的方法来计算。

c) 计算器：在现代科技的帮助下，我们可以轻松地使用计算器来计算平方根。

大多数计算器都具有开方功能，只需要输入待求平方根的数，按下相应的键，就可以得到准确的结果。

4. 平方根的应用平方根在日常生活和数学领域中有着广泛的应用。

下面是一些常见的应用：a) 测量：在几何学中，我们可以使用平方根来计算物体的尺寸。

例如，通过计算一个矩形的面积的平方根，我们可以得到它的对角线的长度。

b) 方程求解：在代数学中，平方根经常被用于求解方程。

举个例子，对于一个一元二次方程，我们可以使用平方根的性质来求解它的根。

[数学]-专题6 利用算术平方根(a≥0)的双重非负性解题技巧(原版)

专题6 利用算术平方根√a (a ≥0）的双重非负性解题技巧（原卷版）第一部分典例剖析+变式训练类型一运用a ≥0求字母的取值范围典例1（2022春•九龙坡区校级月考）在函数y =√3x+14中自变量x 的取值范围是（） A ．x ＞−13B ．x ≥−13C ．x ≠−13D ．x ≥−34 变式训练1．（2022春•海珠区期末）式子√x −3有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ≥3D ．x ≤3 2．（2022秋•南江县月考）若√1−a 3+√a −1有意义，则a 的取值范围是．类型二 a 、2a 非负性求值典例2 （2021秋•永定区期末）已知|x ﹣1|+√x −2y +5=0．（1）求x 与y 的值；（2）求x +y 的算术平方根．变式训练1．（2020秋•青白江区校级月考）已知x 、y 满足√(x +1)2+|y ﹣3x ﹣1|＝0，求y 2﹣5x 的算术平方根．2．（2020秋•龙泉驿区校级月考）若√a +8与（b ﹣27）2互为相反数，求√a 3−√b 3．3．（2022•红塔区一模）已知a ，b 都是实数，若√a −3+|b +2|＝0，写出一个比（a ﹣b ）的值小的正整数：．类型三（a≥0求值）典例3已知a，b为实数，且√a−3−2√3−a=b+4．（1）求a，b的值；（2）求a﹣b的算术平方根．变式训练1．（2019春•蜀山区期末）若x−√y+√−y=1，则x﹣y的值为（）A．2B．1C．0D．﹣12．（2020秋•崇川区校级月考）已知a，b为实数，且√1+a−(b−1)√1−b=0，求a2020﹣b2021的值．3．（2022春•重庆月考）求值（1）已知a、b满足√2a+8+|b−√3|＝0，解关于x的方程（a+2）x2﹣b2＝a﹣1．（2）已知x、y都是实数，且y=√x−3+√3−x+4，求y x的平方根．类型四化简形如典例4（2022秋•九龙坡区期末）如图实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简√b2−√(a−c)2−|c 3=．﹣b|+√c3变式训练1．（2022春•金乡县期中）如图，实数a，b在数轴上的位置，化简√a2−√(a−b)2=．2．（2021秋•仓山区校级期末）若1≤x≤4，则：|1﹣x|−√(x−4)2化简的结果为．第二部分专题提优训练一．选择题（共3小题）1．（2022•湘西州）要使二次根式√3x −6有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ＞2B ．x ＜2C ．x ≤2D ．x ≥22．（2022•南京模拟）式子√x −3有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ≥3D ．x ≤33．（2020春•乳山市期末）若|2a +1−b|+√5+a +b =0，则a b ＝（）A ．18B ．−18C ．8D ．﹣8二．填空题（共4小题）4．（2021•东莞市校级二模）若√3+a +|b ﹣2|＝0，则（a +b ）2020的值为 1 ．5．（2021春•无为市月考）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么化简|b |+√(a +b)2+√a 33的结果为 0 ．6．（2019春•越秀区校级期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：√a 2−√b 2−√(b −1)2= ．7．（2020春•赣州期中）已知|a |＝4，（√b ）2＝3，且|a +b |＝﹣a ﹣b ，则a ﹣b 的值为．三．解答题（共6小题）8．（2021秋•和平县期中）已知|x −2|+√y +4=0，求y x 的值．9．已知|a +1|+√3a −2b −1=0，求4a +5b 2的算术平方根．10．（2019秋•浦东新区校级月考）已知实数x 、y 满足x 2﹣12x +√y +4+36＝0，求√x −3y 的值．11．已知√x−4+|3﹣x|＝x，求x的值．12．若已知x，y，z为实数，并且√x+3+√(y−1)2+√z2−2z+1=0，试求（x+y+z）2021的值．13．已知实数a、b、c满足√b−4+|a+1|=√b−c+√c−b．（1）求证：b＝c；（2）求﹣a+b+c的平方根．。

典例精析类题典例_巧用算术平方根的两个“非负性”

【例2－3】如果y＝ x2 4 4 x2 ＋2 013成立， x2
求x²＋y－3的值．分析：由算术平方根被开方数的非负性知， x²－4≥0，4－x²≥0，因此，x²－4＝0，即x＝±2；又x＋2≠0，即x≠－2，所以x＝2，y＝2 013，于是得解．
解：由题可知x²－4≥0，且4－x²≥0， ∴x²－4＝0，即x＝±2．又∵x＋2≠0，即x≠－2， ∴x＝2．
【例2－1】若 x2 ＋y＝6，则x＝____0______， y＝_____6_____．
解析：由 x2有意义得x＝0，故y＝6．【例2－2】若|m－1|＋ n 5 ＝0，则m＝_____1_____， n＝____5______．解析：根据题意，得m－1＝0，n－5＝0，所以m＝1，n＝5．注：若几个非负数的和为0，则每个数都为0.
将x＝2代入y＝ x2 4 4 x2 ＋2 013， x2
可得y＝2 013． ∴x²＋y－3＝2²＋2 013－3＝2 014．
【小结】由于初中阶段学习的非负数有三类，即一个数的绝对值，一个数的平方(偶次方)和非负数的算术平方根．关于算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于0的形式．
2．巧用算术平方根的两个“非负性” 众所周知，算术平方根 a 具有双重非负性：（1）被开方数具有非负性，即a≥0. （2） a 本身具有非负性，即 a ≥0.这两个非负性形象、全面地反映了算术平方根的本质属性．在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的这两个非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．
此类问题可以分成以下几种形式：（1）算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |时出现这三个内容〔| | ＋ ( ) ²＋＝0〕．（2）题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用完全平方公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．

不可忽视的算术平方根非负性的应用专题指导

不可忽视的算术平方根非负性的应用在数学解题过程中，常常出现这样的问题a a ≥≥00，，也就是被开方数a 是个非负数，而算术平方根也是个非负数，这个被人们忽视的非负性问题，在数学解题中却起着很重要的作用，现举例说明如下：例1. 要使2-||x 有意义，则实数x 应满足的条件为_________。

解：要使2-||x 有意义，需有20-≥||x ，所以||x ≤2即-≤≤22x例2. 已知y m m =-+-+521121214，求y m 2。

解：由题意得：210120m m -≥-≥⎧⎨⎩所以m m ≥≤⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪1212所以m =12 把m =12代入已知得y =14所以y m 214= 例3. 已知||310-+-+=m m n ，求1912m n +的值。

解：因为||3010-≥-+≥m m n ，所以3010-=-+=m m n 解得m n ==34，所以191213273m n +=+= 例4. 已知实数a ，b 满足a b b +---=2220()，求ab 20032003+的值。

解：由题意a b b +---=2220()因为a b b +≥-≥-≥202020，，所以a b +=-=2020，解得a b =-=22，所以a b 2003200320032003220+=-+=()例5. 若z 适合3522519991999x y z x y z x y x y +--++-=-++--，求z 的值。

解：由x y x y -+≥--≥1991019990，得x y +=19991()即352250x y z x y z +--++-=所以352022303x y z x y z +--=+-=⎧⎨⎩()()由(1)(2)(3)解得z =2001 例6. 若x 、y 都是实数且21124x x y -+-+=，求x y ⋅的值。

解：由题意得：210120x x -≥-≥⎧⎨⎩21211212x x x x ≥≤⎧⎨⎩≥≤⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 所以x y ==124，所以x y ⋅=⨯=1242 例7. 设等式m a m m b m a m m b ()()-+-=---在实数范围内成立，其中a 、b 、m 是两两不同的实数，求代数式32222a ab b a ab b+--+的值。

非负数应用的常见题型

专项训练1非负数应用的常见题型方法指导：1.常见的非负数有：算术平方根、偶次方、绝对值等，且一个数的算术平方根具有双重非负性．2．根据“几个非负数之和等于0，从而得每个非负数都等于0”构建方程，可求字母或式子的值．题型1：绝对值的非负性1．如果一个数的绝对值为a，那么数a在数轴上(如图)对应的点不可能是()(第1题)A．点M B．点O C．点P D．点N2．如果|a－2|＋|b|＝0，那么a，b的值分别为()A．1，1 B．－1，3C．2，0 D．0，23．设a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足|a－5|＋|3－b|＝0，则该三角形的周长是________．题型2：偶次方的非负性4．若(x＋3)2＝a－2，则a的值可以是()A．－1B．0C．1D．25．若x2＋(y－4)4＝0，求x y的值．算术平方根的非负性类型1 a 中被开方数a ≥0的应用6．如果1－a ＝b ，那么a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．a ＜1C ．a ＝1D ．a ≤17．若式子1x －1有意义，化简：|1－x|＋|x ＋2|.8．已知x ，y 都是有理数，且y ＝x －3＋3－x ＋8，求x ＋3y 的立方根．9．已知a 为有理数，求式子a ＋2－2－4a ＋－a 2的值．类型2 a ≥0的应用 10．已知x ，y 是有理数，且3x ＋4＋|y －3|＝0，则xy 的值是( )A ．4B ．－4C .94D ．－9411．已知x ＋3＋2y －4＝0，求(x ＋y)2 018的值．12．当x为何值时，2x＋1＋6 有最小值？最小值为多少？类型3算术平方根的双重非负性的应用13．若a＋a－2＝2，求a＋2的值．参考答案1．A 2.C3．11或134．D5．解：因为x 2≥0，(y －4)4≥0，且x 2＋(y －4)4＝0，所以x ＝0，y －4＝0.所以y ＝4.所以x y ＝0.6．D7．解：由1x －1有意义得x ＞1.所以|1－x|＋|x ＋2|＝(x －1)＋(x ＋2)＝2x ＋1. 8．解：由题意得x －3≥0且3－x ≥0，所以x ＝3.所以y ＝8.所以x ＋3y 的立方根为3x ＋3y ＝33＋3×8＝3.9．解：因为－a 2≥0，所以a ＝0.所以原式＝2－2＋0＝0.10．B11．解：由题意得x ＋3＝0，2y －4＝0，所以x ＝－3，y ＝2.所以(x ＋y)2 018＝(－3＋2)2 018＝1.12．解：因为2x ＋1≥0，所以当2x ＋1＝0，即x ＝－12时，2x ＋1＋6有最小值，最小值为6. 13．解：由a ＋a －2＝2得a －2＝2－a ，所以a －2≥0，2－a ≥0，即a ＝2.所以a ＋2＝2＋2＝2.。

2024年中考数学专题复习课件：初中数学三个“非负数”

.
1
把x=2代入得，y≤ ,
2
2 y 1 y 2 y 1 2 y 1 ( y 1)
2
2
1 2 y y 1
y
绝对值的非负性
非负性
偶次方的非负性
算术平方根的非负性
在数轴上，表示一个点到
原点的距离叫做这个数的
绝对值，用“| a |”表示.因
为距离大于等于0，所以| a
返回
典例精析4
若 x、y满足
x 4 4 x y 2 ,求x 的值.
-y
解析：题中只含有二次根式，因此此题的突破口在二
次根式上，利用
中a≥0，因而有x-4和4-x同时为0。
解：根据二次根式的被开方数非负性，可得
x-4≥0,4-x≥0，所以x=4
将x=4代入得，0+0+y=2，得y=2，
算术平方根概念：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，则正
数x是a的算术平方根。a的算术平方根记作
特别地，规定：0的算术平方根是0.即 = ,
因此，算术平方根具有非负性， ≥0，
同时，二次根式的被开方数也具有非负性，
中的a≥0；
合称二次根式具有双重非负性。
返回
典例精析1
y
已知|x+3|+|y-2|＝0，求 x 的值.
简。
口诀：奇中一点，偶中一片。
挑战自我 1
2
若 − 3 + ( − + 1) =0，计算：
2
+ 2
3
+
4
解析：根据绝对值和平方的非负性性质，得
−3=0
− + 1 = 0，

如何通过平方根的性质解决初中数学中的平方根题

如何通过平方根的性质解决初中数学中的平方根题平方根是初中数学中的重要知识点，它在解决各类数学题目中起着重要的作用。

本文将介绍如何通过平方根的性质解决初中数学中的平方根题。

1. 平方根的定义及性质在开始解决平方根题目之前，我们首先来了解平方根的定义及其性质。

平方根的定义：对于正实数a，如果存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，那么x就是a的平方根，记作√a。

平方根的性质：性质1：非负实数的平方根，如果存在，一定是非负实数。

性质2：平方根的平方等于被开方数。

性质3：如果a和b是正实数，且a>b，则√a>√b。

2. 利用平方根的性质求解平方根题目2.1 求解平方根对于给定的一个数a，我们可以通过求解平方根来得到答案。

根据平方根的性质，我们可以利用迭代或者二分法等方法不断逼近平方根的值。

例如，对于一个数x，我们可以通过迭代计算不断逼近√x的值：首先猜测一个近似值y，然后计算y的平方与x的大小关系。

如果y^2大于x，则应该缩小y的值，可以将y替换为y - (y^2 - x) / (2 * y)。

如果y^2小于x，则应该增大y的值，可以将y替换为y + (x - y^2) / (2 * y)。

重复上述步骤，直到得到满足精度要求的近似值。

2.2 解决平方根题目在解决平方根题目时，我们可以利用平方根的性质来简化问题。

问题1：求解√a的值。

根据平方根的定义，可以直接求解√a的值。

问题2：判断两个数的大小关系。

对于给定的两个数a和b，我们可以比较它们的平方根的大小来判断它们的大小关系。

如果√a > √b，则a > b；如果√a < √b，则a < b；如果√a = √b，则a = b。

问题3：求解带有平方根的表达式。

对于带有平方根的表达式，我们可以利用平方根的性质进行化简。

例如，对于表达式√(a^2 + b^2)，我们可以先算出a^2 + b^2的值，然后再求它的平方根。

3. 示例和练习为了更好地理解如何通过平方根的性质解决平方根题目，我们来看几个具体的例子和练习：例题1：如果a = 4，b = 9，求证√a + √b ≠ √(a + b)。

平方根的性质与应用

平方根的性质与应用平方根是数学中一个基本的概念，它在许多科学领域和日常生活中具有重要的应用。

平方根不仅涉及到数学性质，还与实际问题密切相关。

在本文中，我们将探讨平方根的性质以及它在实际应用中的作用。

一、平方根的定义与性质平方根是对于一个非负数的开平方运算，它的定义是：对于非负实数a，如果存在一个非负实数b，使得b的平方等于a，那么b就是a的平方根，表示为√a。

平方根具有以下基本性质：1. 非负数的平方根是唯一的：一个非负数的平方根只有一个，即使它可以有两个相反的数的平方，但在平方根的定义中，我们将其定义为正数。

2. 非负数的平方根都是实数：对于任何非负实数a，它的平方根都是实数，这是因为实数的定义包含了非负实数。

3. 负数的平方根是虚数：对于一个负实数a，它的平方根是虚数，因为虚数是不能表示在数轴上的。

4. 0的平方根是0：0的平方根是0，这是因为0乘以任何数都是0.5. 一个非负数的平方根是正数或零：对于任何非负实数a，它的平方根要么是正数，要么是0。

二、平方根的应用平方根不仅仅是一个数学的概念，还在许多实际问题中有广泛的应用。

以下是平方根在一些领域的应用示例：1. 几何学中的应用：在几何学中，平方根可以用来计算图形的长度、面积和体积。

例如，计算一个正方形的对角线长度需要使用平方根。

2. 物理学中的应用：在物理学中，平方根被用于计算速度、加速度、力和能量等物理量。

例如，计算速度的平均值需要使用平方根。

3. 金融学中的应用：在金融学中，平方根被用于计算收益率的标准差，以评估资产或投资的风险。

平方根还被用于计算期权定价模型中的隐含波动率。

4. 工程学中的应用：在工程学中，平方根被用于计算电路中的电压、电流和功率等参数。

它还用于计算机视觉算法中的图像处理和模式识别。

5. 统计学中的应用：在统计学中，平方根被用于计算方差和标准差，以衡量数据的离散程度。

它还被用于计算回归分析中的残差和相关系数。

总结：平方根是一个重要的数学概念，它具有许多重要的性质和应用。

实数题型总结

实数总结中考常考题型与解题方法技巧一、“双重非负性” 算术平方根a 具有双重非负性，一是被开方数必须是非负数，即0≥a ；二是算术平方根的值是非负数，即0≥a .算术平方根的非负性主要用于下面几个方面:1．利用被开方数的非负性例1 （2007·福州）当x______时，二次根式3-x 在实数范围内有意义．例2 求x x x x 5421612-+-+--+的值．2．利用算术平方根值的非负性例3 若02)2(2=-+-x x ，则x 的取值范围是( )A ．2>xB ．2<xC ．2≥xD ．2≤x3．非负性的综合应用例4 已知x 、y 、z 是实数，且0||)1(322=+-+-+-y x z y x ，则x y 23-z 4+的值为______．例5 已知实数a 满足a a a =-+-2008|2007|，那么22007-a 的值是( )A.2005B.2006C.2008D.2007二、“一个中心，两条路线”二次根式加、减、乘、除四则运算是实数运算的基础，在整个初中数学中有着重要的作用，而二次根式的化简、求值和证明等类型题常与分式、方程等知识综合在一起出现，为中考的重点题型，同时也渗透着“一个中心，两条路线”的方法技巧．1．一个中心有关二次根式的运算，往往题目庞大、繁杂，让人望而生畏，其实只要同学们坚持一个中心——“化繁为简”，许多问题便能迎刃而解．所谓“化繁为简”，就是运用多种方法，将形式复杂的代数式化成结构相对比较简单的代数式，使问题得到解决．例6 当32-=b 时，求ab a b ab b a b a ab b a +-+++2的值．2．两条路线“两条路线”即两种“化繁为简”的方法．一是对所给的代数式进行变形；二是灵活运用数学思想．当然根据题目特点可将两种方法结合起来使用．例7 已知223-=a ，223+=b ，求922-+b a 的值．例8 化简3232--+三、“三法”定“大小”二次根式的大小，常见比较方法有如下三种：1．比较被开方数例9 (2007·河北)比较大小：7与502．平方法例10 比较大小：176+与1310+3．作差法例11 比较大小：233+与135-．四、“六脉神剑”助你求值在中考中常会遇到与二次根式有关的求值问题．解答这类问题时，除用常规的先化简后代入的方法外，还必须掌握以下的技巧，现举例如下：1．巧用乘法公式例12 已知223=+y x x y ，那么yx x y +的值等于( ) A ．23 B ．25 C ．27 D ．292．巧用平方例13 已知131=+a a ，那么aa 1-=______．3．巧用配方例14 已知54230+=+b a ，54230-=+c b ，则-++++bc ab c b a 222ac =____．4．巧用换元例15 若15332=+---x x x x ，则x x 32-=______．5．巧用非负性例16 已知045)1(2=+-+-y x x ，则xy 的值为( )6．巧用对称性例17 若231+=x ，231-=y ，则222-+y x 的值为() A ．23 B ．22 C ．32 D ．33。

初中数学——算术平方根的非负性和平方根(教案)

算术平方根的非负性和平方根1．已知27a -的平方根是5±，21a b +-的算术平方根是4，求b 的值．2．已知21a +的平方根是3±，522a b +-的算术平方根是4，求34a b -的平方根．3．已知21a -的平方根是321a b --的平方根是3±．求53a b -的算术平方根．4．已知21a -的平方根是31a b +-的算术平方根是6，求4a b +的算术平方根．5．已知21a -的算术平方根是5，31a b +-的算术平方根是4，求2a b +的值．60=，求x 和y 的值．70=，求xy 的值．80=，求20132013a b +的值．9|5|2y -互为相反数，求x y +的值．100=，求a b a b-+的值．算术平方根的非负性和平方根参考答案与试题解析1．【答案】解：275a ±-=±，2725a ∴-=，16a ∴=； 24a b +-=，16=，217a b ∴+=，15b ∴=-；()41519b =-+-=-．2．【答案】解：根据题意得：22139a +==，52216a b +-=，即4a =，1b =-，3416a b ∴-=，34a b ∴-的平方根是4=±．答：34a b -的平方根是4±．3．【答案】解：由题意可知：213a -=，3219a b --=， ∴解得：2a =，2b =-，5310616a b ∴-=+=16∴的算术平方根为44．【答案】解：由题意得，2117a -=，2316a b +-=，解得9a =，10b =，所以，4941094049a b +=+⨯=+=，2749=，4a b ∴+的算术平方根是7． 5．【答案】解：21a -的算术平方根是5， 2125a ∴-=，解得：13a =，31a b +-的算术平方根是4，3116a b ∴+-=，解得：22b =-，则2134431a b +=-=-．6．【答案】解：10x ++=，10x ∴+=，0y x -=，1x ∴=-，1y =-．7．【答案】解：根据题意得，0x y -=，20y -=，解得2x =，2y =，所以，224xy =⨯=．8．【答案】解：由题意得，10a +=，0a b +=，解得1a =-，1b =，所以， ()201320132013201311110a b +=-+=-+=． 9．【答案】解：29x -与|5|2y -互为相反数，2|05|y -=，220590x y ⎧∴⎨-=-=⎩，解得325x y =±⎧⎨=⎩， 325x y ∴+=±+即28x y +=或22．10．【答案】解：根据题意得：1010a b +=⎧⎨-=⎩，解得：11a b =-⎧⎨=⎩，则0+=，则所求的式子没有意义．a b。

中考数学复习指导：利用“非负数之和为零”解题

利用“非负数之和为零”解题初中阶段共学习了平方、绝对值、算术平方根等三种类型的非负数，若这三种形式中任选两种或者三种作和为零，则每一项为零．这个结论还可推广至n 个非负式之和为零的情形，下面举例说明．例1 已知a 2＋2a ＋b 2－6b ＋10＝0，求a ＋b 的值．解 ∵a 2＋2a ＋b 2－6b ＋10＝0，∴(a 2＋2a ＋1)＋(b 2－6b ＋9)＝0，∴(a ＋1)2＋(b －3)2＝0，∴a ＋1＝0，b －3＝0，即a ＝－1，b ＝3，∴a ＋b ＝－1＋3＝2．评析这种两个字母蕴含于一个方程中的求解题往往比较特殊．通过配方，我们可得到非负数和零的形式，即可顺利求解．例2 已知a 、b 、c 为有理数，且满足a ＋b ＝8，ab ＝c 2＋16．求a 、b 、c 的值．解由a ＋b ＝8，得b ＝8－a ，代入ab ＝c 2＋16，得a （8－a ）＝c 2＋16，化简，得（a －4）2＋c 2＝0．∴a －4＝0，c ＝0，∴a ＝4，代入b ＝8－a ，得b ＝4，∴a ＝4，b ＝4，c ＝0．评析本题只需把其中一式变形代入另一式，然后配方即可得到非负数和为零的形式，故可求出字母a 、c 的值．再求出字母b 的值．例3 若△ABC 的三条边a 、b 、c 22470b c c -+-+=，试判断△ABC 的形状．解由条件等式变形得22470b c c -+-+=∴(()22120a b c -+-+-=，∴a －1＝0，b 0，c －2＝0，∴a ＝1，b c ＝2．此时a 2＋b 2＝ c 2，因此，△ABC 是直角三角形．评析本题通过合理地拆分常数项并进行配方，求出a 、b 、c 的值，即可判断出△ABC 的形状．例4 若x 、y 、z 为一个三角形三个内角的度数，且满足36x 2＋gy 2＋4z2－18xy －6yz －12zx ＝0．试探索这个三角形的形状，并说明理由．解将条件等式两边都乘以2，得72x 2＋18y 2＋8z2－36xy －12yz －24zx ＝0．即（6x －2z)2＋(6x －3y)2＋(3y －2z)2＝0．∴6x －2z ＝0，6x －3y ＝0，3y －2z ＝0，得3x ＝z ，2x ＝y∵x ＋y ＋z ＝180°，∴x ＋3x ＋2x ＝180°，∴z ＝ 30°，y ＝60°，z ＝ 90°，所以这个三角形是直角三角形．评析本题把三角形的三个内角的度数x 、y 、z 以一个方程的形式给出，我们先配方，求出x 、y 、z 三者之间的等量关系，再由题目的隐含条件“任意三角形的内角和是180°”来求出x 、y 、z 的值，以此判断△ABC 的形状．。

平方根的性质与运算

平方根的性质与运算平方根是数学中常见的概念，它是指一个数的平方根等于该数的非负实数解。

对于平方根的运算和性质，我们需要掌握并了解。

本文将详细介绍平方根的性质和运算，并提供相关的实例和证明。

一、平方根的定义平方根的定义是：对于非负实数a，存在一个非负实数x，使得x的平方等于a。

记作x = √a。

其中，√a称为a的平方根。

例如，对于数值16，我们可以得到√16 = 4。

因为4的平方是16。

二、平方根的性质1. 非负实数的平方根是唯一的性质：对于任意非负实数a，如果x和y都是a的平方根，那么x和y相等。

即√a在非负实数范围内是唯一确定的。

证明：假设存在两个非负实数x和y，满足x和y都是a的平方根，且x≠y。

那么有：x² = ay² = a将上述两个等式相减，得到：x² - y² = a - a(x + y)(x - y) = 0由于乘积等于零时，至少有一个因子等于零，所以可以得到： x + y = 0 或 x - y = 0若x + y = 0，则x = -y，与非负实数的定义相矛盾。

若x - y = 0，则x = y，与x≠y相矛盾。

综上所述，假设不成立，因此非负实数的平方根是唯一的。

2. 非负实数的平方根的乘法性质：对于任意非负实数a和b，有√(a × b) = √a × √b。

举例：假设a = 4，b = 9，那么√(4 × 9) = √36 = 6，√4 × √9 = 2 × 3 = 6，结论成立。

证明：设x = √a，y = √b，那么有：x² = ay² = b将a乘以b，得到：a ×b = x² × y² = (x × y)²由于根号√是非负的，所以可以得到：√(a × b) = √(x² × y²) = x × y = √a × √b综上所述，非负实数的平方根具有乘法性质。

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算术平方根非负性的应用
由算术平方根的意义可知，算术平方根a 具有双重非负性：(1)被开方数是非负数；即a ≥0(2)算术平方根a 是非负数,即a ≥0，算术平方根的非负性在解题中的应用极其广泛．下面略举几例说明之．一、利用a 中a ≥0解题
例1、已知2
34422-+-+-=x x x y ，则x y =__________ 解：由算术平方根的性质(1)得：x 2－4≥0, 4－x 2≥0 ∴x 2=4 ∵x －2≠0 ∴x =－2 ∴y =4
3- ∴x y =916)43(2=-- 二、利用a ≥0解题
例2、如果3)3(2-=-x x ，那么化简x x -+-31的结果是( )
(A )－4 (B )－2 (C )2x －4 (D )4－2x
解：由算术平方根的性质(2)及已知得：
x －3≥0, ∴x ≥3 ∴x －1＞0 3－x ≤0
∴原式=x －1+x －3=2x －4 ∴选C
例3、已知0)25.0(822=-++y x ，则20092008y x ∙=________
解：由算术平方根的性质(2)及非负数的性质得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+0
)25.0(0822y x 即⎩⎨
⎧=-=+025.0082y x ∴⎩⎨⎧=-=25.04y x ∴20092008y x ∙=20082008)25.04()(⨯-=∙y xy ×0.25=0.25 三、同时利用a ≥0和a ≥0解题
例4、若2223+-=+x x x x ，则x 的取值范围是( )
(A )x ≥0 (B )x ≤－2 (C )0≤x ≤2 (D )－2≤x ≤0 解：由算术平方根的性质(1)得x +2≥0 ∴x ≥－2 由算术平方根的性质(2)得：2+-x x ≥0 且
2+x ≥0 ∴－x ≥0 ∴x ≤0 ∴－2≤x ≤0 选D。