点线的投影
空间几何中的点线面的投影
空间几何中的点线面的投影在空间几何中，投影是一种常见的几何现象。
当我们将一个三维物体投影到一个平面上时，就形成了物体在平面上的投影。
投影可以用来描述物体的形状、大小和位置，并在设计、建筑、绘画等领域有着广泛的应用。
本文将探讨空间几何中的点线面的投影。
一、点的投影在空间几何中，点的投影是最简单的形式。
当我们将一个点投影到一个平面上时，投影点与原点和平面上的投影点连线构成一条垂线。
投影点表示了点在平面上的位置。
投影点的坐标可以通过相似三角形关系来求解。
设点的坐标为P(x, y, z)，平面的方程为ax + by + cz + d = 0。
过点P作平面的垂线，与平面的交点为Q(x', y', z')。
根据相似三角形关系，我们可以得到以下的投影坐标公式：x' = x - (ad+bc)/(a^2+b^2+c^2)y' = y - (bd+ac)/(a^2+b^2+c^2)z' = z - (cd+ab)/(a^2+b^2+c^2)通过这些公式，我们可以求得点P在平面上的投影坐标。
二、线的投影线的投影是点的投影的延伸。
当一条直线在空间中移动时，其投影在平面上会呈现出不同的形态。
我们可以通过线的投影来观察直线在平面上的位置关系以及交点的情况。
对于一条直线，我们可以通过将直线上的点进行投影，形成一系列位于平面上的点，连接这些点就可以得到直线的投影。
直线在平面上的投影也可以用参数方程表示，该参数方程描述了直线上每个点在平面上的投影坐标。
三、面的投影面的投影是最复杂的形式。
当一个三维面体在空间中移动时，其投影在平面上会形成一个多边形。
投影多边形可以用来描述面体在平面上的形状和大小。
对于一个面体，我们可以将其每个点进行投影，从而形成一个多边形的顶点集合。
连接这些顶点，即可得到面的投影多边形。
投影多边形可以通过面体的参数方程和平面的方程来求解。
总结：在空间几何中，点线面的投影是一种常见的几何现象。
第三章点、直线及平面的投影详解
§3－1 点的投影 §3－2 直线的投影 §3－3 平面的投影
点线面的投影规律
通过上一节的学习及画图实践，可以体会到 画一个物体的三视图，实质上是画出组成物体的 各个面的投影，而各个面是由棱线围成的，各棱 线是由两个端点决定的。
因此，为了迅速而正确地画出物体的视图， 还需研究构成物体的基本几何元素点、线、面的 投影。
Y
H
向下翻
●a
O
W
ay
Y
a ●
X ax
a●
点的投影规律
Z az
a
●
Z
V a
●
az
O
Y
ay
A
X ax
●
●a
O
W
ay
Y
a●
ay
H
Y
① aa⊥OX轴
aa⊥OZ轴
连影垂轴
② aax= aaz= y = A 到 V 面的距离 aax= aay= z = A 到 H 面的距离 aay= aaz= x = A 到 W 面的距离
Z
X
V a′ A
a″ W
a b
a
Z a
b
O
YW
b′
B b″
b
判断方法：
YH
x
ab
H
Y
x 坐标大的在左 y 坐标大的在前
z 坐标大的在上
例2.已知B点在A下10，A后5，A左10 mm处，求B点的三投影。 作图步骤：（1）根据B的相对位置求 其V.H面的投影 b’,b;
（2）根据点的投影规律,求其第三投影 b”。
§3－1 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
P
点、直线、平面的投影
2.1 投影法及性质 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影
2.5 平面内的点和直线
1 投影法及性质
物体在阳光的照射下，就会在墙面或地面投下影子，这就是投影现 象。投影法是将这一现象加以科学抽象而产生的。 投射线通过物体向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法，称 为投影法。 投影法分中心投影法和平行投影法两种。
二、平面对一个投影面的投影特性
平面的投影特性是由平面相对于投影面的位置决定的。
平面在三投影面体系中的投影特性
1、投影面垂直面
垂直于某一投影面而与另外两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。
2、投影面平行面
平行于某一投影面而与另外两个投影面垂直的平面，称为投影面平行面。
投影面垂直面的投影特性:
投影面平行线的投影特性 投影面平行线在所平行的投影面上的投影反映其实长及与另两投影面倾角的实大， 另外两投影分别平行于相应的投影轴。
2、投影面垂直线
垂直于某一投影面而与另两个投影面平行的直线，称为投影面垂直线。 垂直于H面的直线为铅垂线，垂直于V面的直线为正垂线，垂直于W面的直线为侧垂线。
投影面垂直线的投影特性 投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点，另外两投影分别垂直于相 应的投影轴，并反映其实长。
[例1] 已知点A（20、15、24），求点A的三面投影。
作图： 1） 画坐标轴（X、YH、YW、Z、O）；在X轴上量取Oax=20; OayH =15; Oaz =24； 2) 根据点的投影规律：点的投影连线垂直于投影轴。分别过ax作OX轴的垂直线、 过az作Z轴的垂直线,两垂直线的交点得点A的V面投影a＇,过ayH作OY轴的垂直线与 a＇ax的延长线相交得点A的H面投影a; 3)过原点O作∠YHOYW的平分线； 4)延长ayH与平分线相交，再过交点作垂直于Ｙw轴的直线； 5）过a＇作Z轴的垂线与垂直Ｙw轴的直线相交于a＂，即为A的W面投影。
第三章 点、直线、平面的投影
侧垂线（垂直于W面，同时平行于H、V面的直线）
V
Z a b ab B W O a Ha X O YW a b Z a(b)
A X
b YH
b
Y
侧面投影积聚为一点；水平投 影及正面投影平行于OX轴，且 反映实长。
投影面垂直线的投影特性
投影面垂直线的投影特性可概括如下：
（1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点；
c'
c
例3：已知C点在直线AB上，求作C点的水平投影。
1、用等比分割作图 2、利用侧面投影作图
a" c" b"
c c
例4：根据投影图判断C点是否在直线AB上。
求解一般位置直线的实长及倾角
根据一般位置直线的投影求解其实长及 倾角是画法几何综合习题中的常遇见的基本 问题之一，也是工程实际中经常需要解决的 问题。而用直角三角形法求解实长及倾角最 为简便、快捷。
一、直线投影的形成
连两 影 一 况 即个 ， 直 下 可点 只 线 仍 由 。的 需 ， 为 于 投作故直直 影出要线线 ，已获，的 再知得且投 将直直两影 它线线点一 们上的决般 相的投定情
V
a'
b'
B
X
A
O b a H
直线的分类
投影面垂直线 特殊位置直线
直 线
投影面平行线 一般位置直线
二、特殊位置直线
水平投影到OX轴的距 离等于侧面投影到OZ轴 的距离（宽相等）。
a
ay YH
可得出点的投影特性如下： （1）点的投影的连线垂直于相应的投影轴。
（2）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相应的投影面的距离。
【例3-1】 已知点A的水平投影a和正面投影a′，求其 侧面投影a″ 解: 作图步骤如下
点线面的投影
点线面的投影投影是几何学中一个重要的概念，用来描述物体在不同维度中的影子或映像。
在三维空间中，投影通常分为点投影、线投影和面投影三种形式。
本文将对点线面的投影进行讨论，并探索其在现实生活中的应用。
一、点的投影点的投影是指当一个点在一个平面上投影时，与该点连线垂直于平面的投影点。
这个投影点可以将原始点的位置在平面上进行准确表示，而不会改变该点的其他性质，如颜色、大小等。
在现实生活中，点的投影有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，建筑师需要通过对建筑物顶部的点进行投影来确定其在平面图上的位置。
同样，在地图制作中，将地球上各个城市的经纬度进行投影来绘制平面地图也是常见的应用。
二、线的投影线的投影是指当一条线在三维空间中投影到一个平面上时，将线段两个端点对应连接起来的线段。
线的投影可以更直观地展示出线在平面上的位置和方向。
线的投影在工程和制图中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，工程师可以通过将建筑物的立面进行投影，来更好地展示建筑物的外观和形状。
此外，在工程测量中，通过线的投影可以准确地测量出建筑物内部的各种线段长度和角度，为工程施工提供了重要的参考。
三、面的投影面的投影是指当一个平面在三维空间中投影到另一个平面上时，将原始平面的各个顶点在投影平面上对应连接起来的多边形。
面的投影能够完整地展示出原始平面的形状和大小。
面的投影在几何学和地理学中都有着广泛的应用。
例如，在地图投影中，通过将地球表面的多个面投影到一个平面上，可以制作出我们常见的地图样式。
此外，在几何学研究中，通过面的投影可以确定不同形状的二维图形，为解决问题提供了重要的思路。
总结起来，点线面的投影是几何学中重要的概念，用来描述物体在不同维度下的影子或映像。
它们在建筑设计、地图制作、工程测量等领域都有着重要的应用。
通过理解和应用投影，我们可以更好地理解和展示物体的形状、位置和方向，为解决实际问题提供了有力的工具。
以上是对点线面的投影的简要介绍，希望能够帮助您更好地理解和应用投影的概念。
画法几何及工程制图第一章点线面的投影
§1.4 平面的投影
1．投影面垂直线
(2) 正垂线
总目录
一、各种位置直线的投影
点击看投影图
§1.1 投影的基本 知识
§1.2 点的投影
§1.3 直线的投影 一、各种直线投影 二、直线实长倾角 三、直线上的点 四、直线的迹点 五、直线相对位置
点；当平行图形平行于投射方向S 时，其投影为 直线。
§1.1 投影的基本 知识
一、投影法基本概念
二、投影法的分类
三、平行投影的性质
四、形体三面投影图
7.真实性
三、平行投影的基本性质
§1.2 点的投影 §1.3 直线的投影 §1.4 平面的投影
总目录
♦当线段平行于投影面时，其投射反映实长 ♦当平面平行于投影面时，其投影反映实形
总目录
4. 简比不变
三、平行投影的基本性质
♦直线上三个点的简单比是平行投影的不变量。 即AC:BC = ac:bc
§1.1 投影的基本 知识
一、投影法基本概念
二、投影法的分类
三、平行投影的性质
四、形体三面投影图
5. 相仿性
三、平行投影的基本性质
§1.2 点的投影 §1.3 直线的投影 §1.4 平面的投影
§1.1 投影的基本 知识
一、投影法基本概念
二、投影法的分类
三、平行投影的性质
四、形体三面投影图
四、形体的三面投影图
1．三面投影体系的建立
§1.1 投影的基本知识
§1.2 点的投影 §1.3 直线的投影 §1.4 平面的投影
总目录
（a) 结构不同的两形体在同一投 影面上的投影相同，这表明，一 个投影面不能表达立体的结构和 形状。
点直线平面投影知识点
点直线平面投影知识点投影是几何学中的一个重要概念，它描述了一个物体在某个平面上的阴影或映像。
在几何学中，我们经常需要计算点、直线或平面在一个给定平面上的投影，以便更好地研究物体的形状和位置。
本文将介绍点、直线和平面在投影过程中的一些基本知识点。
1.点的投影点的投影是指一个点在一个给定平面上的映像。
当我们将一个点垂直投影到一个平面上时，投影点与原点和投影平面上的点构成的直线相垂直。
我们可以使用垂直投影的概念来计算点的投影坐标。
2.直线的投影直线的投影是指一个直线在一个给定平面上的映像。
当直线与投影平面垂直时，其投影为一条线段，两者之间的关系是平行的。
当直线与投影平面不垂直时，其投影为一个线段或线段的集合，我们可以使用投影法来计算直线的投影。
3.平面的投影平面的投影是指一个平面在一个给定平面上的映像。
我们可以使用平行投影或透视投影来计算平面的投影。
平行投影时，平面的投影与原平面平行，透视投影时，平面的投影会根据视点的位置而有所变化。
4.投影的性质投影的性质是指投影过程中的一些重要特点。
首先，投影不改变物体之间的相对位置关系，即在投影平面上两个点的距离与它们在原物体上的距离相等。
其次，正交投影保持直线的直线性质，即投影线段仍然是直线。
最后，平行投影保持平面的平面性质，即投影平面上的点仍然在同一个平面上。
综上所述，点、直线和平面的投影是几何学中的基本概念。
了解投影的计算方法和性质可以帮助我们更好地理解物体的形状和位置。
通过使用适当的数学方法和工具，我们可以计算出物体在给定平面上的投影，从而更好地分析和描述几何问题。
这些投影知识不仅在几何学中有重要应用，还在计算机图形学、建筑设计、工程制图等领域中发挥着重要作用。
机械制图-点直线平面的投影
投
1. ab∥OX
影
a″b″∥OZ
特
2. a′b′=AB 3. 反映α、γ倾角
性
βγ
1. c′d′∥ OX c″d″∥OYW
2. cd=CD 3. 反映β、γ倾角
β α
1.e′f′∥OZ ef∥OY H
2. e″f″=EF 3. 反映α、β倾角
2.投影面垂直线
由两点到两个投影面距离相等时的两 点连线构成。该直线垂直于某一投影 面，对另外两个投影面都平行 。
§2-4 平面的投影
一、平面投影的表示法
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
这几种确定平面的方法是可以相互转化的
路漫漫其悠远
二、一般位置平面及投影特性
一般位置平面:平面与三个投影面都倾斜
YW
投影特性:投影均为类似形。
路漫漫其悠远
三、特殊位置平面及投影特性
1.投影面垂直面 垂直于一个投影面，与另外两个投影
路漫漫其悠远
1.cd积聚成一点 2.c′d′⊥OX
c″d″⊥OYW 3.c′d′=c″d″=CD
1.e″f″积聚成一点 2.ef⊥OYH
e′f′⊥OZ
3.ef=e′f′=EF
△
三、一般位置直线求实长及倾角
△
实长
α β α
△ α
实长
直角三角形法的作图要领: • 以线段某一投影的长度为一直角边；
• 以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一 直角边（坐标差在另一投影面上量取）；
路漫漫其悠远
五、两直线的相对位置
1.一般情况
两直线平行： 其同面投影彼此平行。且投影线段成比例，投 影顺序相同。
路漫漫其悠远
点线面的投影
点线面的投影在几何学中，点线面是我们经常遇到的三个基本几何概念。
而投影，则是描述物体在投影面上的呈现方式。
本文将介绍点线面的投影及其相关概念和应用。
一、点的投影点是最基本的几何元素，其在投影面上的投影通常是一个点。
在投影过程中，我们需要考虑点与投影面的垂直关系。
根据垂直关系的不同，点的投影可以分为垂直投影和斜投影两种情况。
1. 垂直投影垂直投影是指点在投影面上的投影与点所在位置之间存在垂直关系。
在垂直投影中，投影点与原点的连线垂直于投影面。
这种情况下，投影点的坐标与原点的坐标在投影面上是一致的。
2. 斜投影斜投影是指点在投影面上的投影与点所在位置之间不存在垂直关系。
在斜投影中，投影点的坐标与原点的坐标在投影面上不一致。
具体来说，斜投影是点与投影面之间的投影线与垂直于投影面的引线所形成的夹角所决定的。
二、线的投影线是由无数个点组成的，其投影与点的投影有所不同。
线在投影面上的投影通常是一条直线，它与原线有着一定的几何关系。
1. 平行投影平行投影是指线在投影面上的投影与原线平行。
在平行投影中，线的投影长度与原线长度相等，而投影点之间的距离也与原线上的点之间的距离相等。
这种投影方式常用于工程制图中，如建筑设计。
2. 失真投影失真投影是指线在投影过程中，投影点之间的距离不等于原线上的点之间的距离。
这种投影方式常见于透视画法中，利用透视原理可以将三维物体在二维平面上进行投影。
三、面的投影面是由无数个点和线组成的，其投影与点和线的投影也有所不同。
面在投影面上的投影通常是一个面，其形状与原面保持一致，但大小和位置可能发生变化。
1. 正投影正投影是指面在投影面上的投影与原面相似。
投影面与原面平行时，正投影的投影面积与原面积相等。
这种投影方式常用于平面图形的绘制中。
2. 斜投影斜投影是指面在投影面上的投影与原面不相似。
投影面与原面不平行时，斜投影的投影面积与原面积不相等。
这种投影方式常用于建筑学和工程学中，用于描述三维物体在二维平面上的投影效果。
点直线与平面的投影
02
点、直线与平面的关系
点与平面的关系
点的投影
点在平面上的投影是该点与平面 交点的位置。
点的位置关系
点在平面内、点在平面外、点在平 面上的不同位置关系会影响其投影。
点的投影特性
点的投影具有真实性、类似性和积 聚性。
直线与平面的关系
直线的投影
直线在平面上的投影是该直线与平面交线的位置。
直线与平面的位置关系
点、直线与平面的投影
• 点、直线与平面的基本概念 • 点、直线与平面的关系 • 点、直线与平面的应用 • 点、直线与平面的投影性质 • 点、直线与平面的投影作图
01
点、直线与平面的基本概念
点的投影
01
02
03
点的投影
将一个点按照一定的投影 规则投影到一个平面上， 得到该点的投影点。
点的投影性质
分割平面
02
直线可以将平面分成不同的区域，用于几何图形的分割和划分。
确定角度
03
通过两条直线的交点可以确定平面上的角度，如直角、锐角、
钝角等。
平面在平面上的应用
形成立体图形
平面可以与其他平面相交，形成立体的几何图形，如圆柱、圆锥 等。
支撑物体
平面可以作为支撑面，用于支撑物体，保持其稳定。
划分空间
平面可以将空间分成不同的区域，用于建筑、室内设计等领域中 的空间划分和布局。
直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。
直线投影特性
直线的投影具有真实性、类似性和积聚性，同时还有垂直性和倾斜 性。
平面与平面的关系
平面的投影
两个平面在空间中的相对位置关 系可以通过其投影来表现。
平面的位置关系
平行、相交、垂直等不同位置关 系会影响其投影。
点直线平面的正投影(共9张PPT)
点的投影 ① 点的三面投影及其规律
如图所示，为空间点Ａ的三面投影图及展开图。总结其展开图的投影规律，可以得出点的三面投
影规律：a’a┴OX，a’ a〃┴OZ，axa=a〃az。
② 点的坐标
可以用坐标值来确定空间点的投影，如Ａ（X、Y、Z）。三个坐标值X、Y、Z分别代表了空间点到W、V、 H三个投影面的距离。当点的坐标中有一个坐标值为零时，就表示该点为平面上的点；若有两个坐标值
为零时，就表示该点为投影轴上的点。如图所示。
图点的投影
图点的坐标
四. 点、直线、平面的正投影作图
点的投影
③ 两点的相对位置
空间点的位置是根据它们对三个坐标轴的位置而定的。我们分别以 X轴，Y轴，Z轴的正向表示左、前、上方。依此规定，则 可确定两点的相对位置。，当空间两点位于同一投影线上，即该两点只有一个相对位置。同理可得C在D点的正前方 ，E在F点的正左方。如图（b）所示为重影点的正投影图。
图求平面上点M点及AB直线的投影
N直线平行AB，且➢过C直点线。通过平面上的两个点，则此直线在该平面上。
依N直此线规平定行，A则B可，确且➢定过两CN点点直。的线相平对行位A置B。，且过C点。N直线也在三角形ABC平面上。
➢ 若直线通过平面上的一点，且平行该平面上的 另一条直线，则此直线必在该平面上。
四. 点、直线、平面的正投影作图
表特殊位置直线的投影
四. 点、直线、平面的正投影作图
直线的投影 [例3]
如图（a）所示，已知E是CD线上的点，求e。
〔解法1〕：据已知条件，利用投影规律，先求出直线的 第三投影即W面投影ｃ＂ｄ＂，再求出e＂最后求出e点。如图所
示。
〔解法2〕：利用定比性，将直线的V面投影度量到H面投影 上，c、c’点重合，连接d、d’，过e点作dd’直线的平行线
点线面的投影
点线面的投影在几何学中，点、线和面是三个基本的几何元素。
它们在空间中存在并相互作用，而投影是一种描述它们相对位置和形状的方法。
通过投影，我们可以将三维物体映射到二维平面上，以便更好地理解和分析。
本文将探讨点、线和面的投影原理及应用。
一、点的投影点是几何学中最简单的元素，其投影是指将点映射到某一平面上的一个影子或影像。
在平行投影下，点的投影与实体点重合，两者在平面上完全重合。
然而，在斜投影或透视投影中，点的投影位置会发生变化。
斜投影会改变点在投影平面上的位置，而透视投影则会根据观察者的位置造成远近关系的变化。
二、线的投影与点不同，线是由无数个点构成的连续集合。
线的投影可以被定义为将线上的点映射到平面上的一系列点，这些点对应于线上的相应点。
在平行投影中，线的投影并不会改变线的倾斜度或长度。
然而，在斜投影或透视投影中，线的投影会出现倾斜或变形。
在斜投影中，线的投影位置与线的实体位置相同，但其倾斜度会影响投影的形状和方向。
而透视投影中，线的投影会根据观察者的位置和线的走向发生变化。
观察者位于线的无限远点时，线的投影平行且与线重合；观察者靠近线时，线的投影会变短。
三、面的投影面是由无数个线组成的集合，其投影可以被定义为将面上的点映射到平面上的一系列点，这些点对应于面上的相应点。
与线的投影相似，在平行投影中面的投影并不会改变面的形状。
在斜投影中，面的投影位置与面的实体位置相同，但其形状可能会有所变化。
观察者位于面的无限远点时，面的投影是平行的，并且形状与原面相同。
然而，当观察者靠近面时，投影可能会发生变形，并在平面上产生不同的形状。
四、投影的应用投影在许多领域中都有广泛的应用。
在建筑学中，通过绘制建筑物的投影，可以更好地呈现立体结构的设计。
在工程学中，投影被用于绘制图纸和设计机械零件。
在计算机图形学中，投影被用于模拟三维场景并呈现在二维屏幕上。
此外，投影还在艺术和摄影中扮演重要的角色。
通过控制光线的方向和投射角度，艺术家可以捕捉到真实物体的形状和纹理，并将其投影到画布或照片上。
点线面的投影和投影性质
点线面的投影和投影性质投影是指将三维物体在二维平面上的映射。
在几何学中，投影有着广泛的应用，尤其是在点、线和面的投影中。
本文将探讨点线面的投影以及它们的投影性质。
一、点的投影点的投影是指将一个三维点映射到一个二维平面上的过程。
在进行点的投影时，我们通常会使用垂直于投影平面的投影线进行投影。
这样，投影点就是投影线与投影平面的交点。
在点的投影过程中，我们可以得出以下几个投影性质：1. 投影点在投影平面上：无论三维点在空间中的位置如何，其投影点都必定在投影平面上。
2. 投影点到原点的连线垂直于投影平面：投影点与原点之间的连线垂直于投影平面，这是由于投影线的垂直性所决定的。
3. 投影点之间的距离保持不变：如果两个点在三维空间中的距离相等，那么它们的投影点之间的距离也将相等。
二、线的投影线的投影是指将一个三维直线映射到一个二维平面上的过程。
与点的投影类似，线的投影也是在投影平面上的交点。
在线的投影过程中，我们可以得出以下几个投影性质：1. 投影线段在投影平面上：投影线段是线的投影结果，它必定在投影平面上。
2. 平行线的投影线段也平行：如果两个三维空间中的直线是平行的，它们的投影线段也必定是平行的。
3. 线段的倾斜度保持不变：如果两个线段在三维空间中的倾斜度相等，那么它们的投影线段的倾斜度也将相等。
三、面的投影面的投影是指将一个三维平面映射到一个二维平面上的过程。
在面的投影中，我们可以选择不同的投影方法，如平行投影和透视投影。
在面的投影过程中，我们可以得出以下几个投影性质：1. 投影面积保持不变：无论三维平面在空间中的位置如何，其投影面积与原来的面积相等。
2. 平行平面的投影相似：如果两个三维空间中的平面是平行的，它们的投影将是相似的。
3. 投影面的形状取决于投影方法：不同的投影方法会导致不同形状的投影面，如平行投影得到的是平行四边形，透视投影则可能得到梯形或其他形状。
总结：点线面的投影是几何学中重要的概念，它们具有一些固定的投影性质。
中考重点点线面的投影
中考重点点线面的投影中考重点：点线面的投影1. 点的投影在几何学中，点的投影是指将一个点在平面上投影到另一个平面上形成的图形。
点的投影一般分为垂直投影和斜投影。
垂直投影：当一个点在平面上投影到垂直平面上时，投影点位于垂直平面上的垂直线上，且与原点距离相等。
例如，当一个点A位于平面上，投影面为垂直平面BCD时，投影点B位于垂直线AE上，并且线段AB与点A的距离相等。
斜投影：当一个点在平面上投影到斜面上时，投影点位于斜面上的投影线上，且投影线段的长度与点A到斜面的距离成比例。
例如，当一个点A位于平面上，投影面为斜面BCD时，投影点B位于线段AE 上，并且线段AB与线段AE的长度比等于AB与点A的距离与两个平行面的距离之比。
2. 线的投影线的投影是指将一个线段在一个平面上投影到另一个平面上形成的图形。
线的投影一般分为垂直投影和斜投影。
垂直投影：当一个线段在平面上投影到垂直平面上时，投影线段与原线段平行，并且长度相等。
例如，当线段AB在平面上投影到垂直平面BCD上时，投影线段A'B'与线段AB平行且长度相等。
斜投影：当一个线段在平面上投影到斜面上时，投影线段位于斜面上的投影面上，并且投影线段的长度与原线段长度成比例。
例如，当线段AB在平面上投影到斜面BCD上时，投影线段A'B'位于斜面上的投影面上，并且线段A'B'的长度与线段AB的长度成比例。
3. 面的投影面的投影是指将一个面在一个平面上投影到另一个平面上形成的图形。
面的投影一般分为垂直投影和斜投影。
垂直投影：当一个面在平面上垂直投影时，投影面与原面平行，并且形状相同。
例如，当一个正方体面在平面上垂直投影时，投影形状为相同的正方形。
斜投影：当一个面在平面上斜投影时，投影面与原面不平行，并且形状不同。
例如，当一个正方体面在平面上斜投影时，投影形状为一个菱形。
总结：点线面的投影在几何学中是一个非常重要的概念，它们在平面几何和空间几何中有着广泛的应用。
点线面的投影
总之，投影是数学、物理和其他学科中非常重要的概念和方法，它可以帮助我们更好地理解三维物体或场景在二维平面上的表现和描述，以及解决各种实际问题
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点线面的投影
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点的投影
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
点的投影
在二维空间中，点的投影是指该点在空间中投射到某个平面上的点。对于一个点，我们只需要知道其x和y坐标即可确定其在二维平面上的位置
例如，假设有一个点P(1, 2)，我们想将它投影到x-y平面上。我们可以将y坐标保持不变，x坐标变为0，得到投影点P'(0, 2)
线的投影
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除了上述基本的投影方法，还有一些更复杂的投影方法，例如透视投影和斜投影
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透视投影是一种模拟人眼视线的投影方法，可以产生一种物体距离观察者越远越小的视觉效果。在建筑、城市规划等领域中，透视投影被广泛用于制作三维场景的效果图
平面的投影
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斜投影是一种将物体按照一定的角度斜着投影到平面上的方法。它可以将物体在某个方向上的尺寸放大或缩小，产生一种变形的效果。斜投影通常用于制作漫画、插画等艺术作品
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平面的投影是指一个平面在空间中投射到某个平面上的面。平面的投影通常是在二维平面上绘制三维物体的表面
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例如，假设有一个平面π通过点P(1, 2, 3)和Q(4, 5, 6)。我们想将它投影到x-y平面上。我们可以将所有点的z坐标变为0，得到投影面π'
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总结一下，点的投影是它在空间中投射到某个平面上的点，线的投影是它在空间中投射到某个平面上的线，平面的投影是它在空间中投射到某个平面上的面。这些投影都是为了在二维平面上表现三维物体或场景
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e’
e”
f’
f”
e f
说指出出直直线线AABB的的名实称长：：答答：：a铅’b垂’或线a”b”
a’
a”
b’
b”
a(b)
说 指出直线AB的名 实称 长： 答：正ab垂或线a”b”
c（’ d’）
d” c”
d c
指说出直线AB的实名长称： 答：侧ab垂或线a’b’
e’ f’
e” (f”)
e
f
有说无出反直映线AABB实的长名的称投：影：答答：：一无般位置直线
判断两直线是否相交？ 结论：不相交
c’ a’
a”
c”
b’
d’
d”
b”
d a
b c
（二）交叉两直线
若空间两直线既不平行也不相交。
指出交叉两直线投影的重影点 主视图重影点判断 俯视图重影点判断
3点在4点的上方
a’
d’
3’ 1’(2’)
c’ 4’
b’
d
a
2
1点在2点的前方
c 3(4) 1
b
作业：P15—P18
任务三 点的投影
一、点的三面投影及投影规律 点是机械图样绘制的的基础图元。
规定： 空间点用大写字母表示，如：A。 投影点用小写字母表示，三个投影命名区别： 俯视图(H面)上的投影用: a 主视图(V面)上的投影用: a’ 左视图(W面)上的投影用: a”
点的投影规律
V
a’
A
a”
a
V
a’
a
H
W
a”
a’
a”b’Biblioteka b”b a例2-3 已知C点在直线AB上，且知C的一个投 影 c’,求c、c”。
a’
c’ b’
a” c”
b”
b
c
a
验证
例2-3 已知直线AB的三个投影，且点C在直线 上；有AC:CB=2:3，求C点的各面投影。
b’ c’
a’
b” c”
a”
a c b
直线相对于投影面的位置
根据直线的三视图，可将直线相对投影面的 位置归纳如下。
正平线
各
平行某投影面 水平线
种
侧平线
位 置 直
特殊位置
垂直某投影面
铅垂线 正垂线
线
侧垂线
分
类
一般位置直线 (三投影都倾斜于投影面)
说指出直线AB的实名长称： 答：水ab平线
a’
b’
a” b”
a b
说指出出直直线线AABB的的名实称长：： 答：正a’b平' 线
c’
c”
d’ d”
d
c
指说出直线AB的实名长称： 答答：：侧a”平b”线
判断可见性：
b不可见(加括号)
任务四 直线的投影
两点决定一条直线。
求作直线的投影，只需做出直线的两 个端点投影，用粗实线连接两点即为所求。
直线投影作图方法与点的投影方法同。
点在直线上，则它的投影必在直线的 各同面投影上（从属性）。
直线上的点分线段成一定比例，投影 后其各同面投影的定比关系不变。
已知直线AB上的两个投影，求做第三个 投影ab。
a’
a”
b’
b”
b a
四、两直线的相对位置
平行 两直线相对位置情况 相交
同面
交叉 异面
（一）平行两直线
若空间两直线平行，则它们的三组同面投影必定 相互平行。
判断两直线是否平行？ 结论：不平行
c’ a’
c” a”
b’ d’
b” d”
a d
b c
（二）相交两直线
若空间两直线相交，则它们的三组同面投影必定 相交，且交点符合空间一点的投影规律。
点的三面投影的关系： 矩形规律
b’ a’
b” a”
a b
二、点的直角坐标系与三面投影的关系：
Z
Z
V X
a’ ya A(xa,ya,za)a” W
xa za
a
H
a’
xa X
O
a
YH Y
ya za
a”
YW
投影面上 点A处于特殊位置: 坐标轴上
N点在V面上 n’
K点在X轴上
m’ k’ kn
m
M点在H面上
左上
b’
右
后b”
上前 1.上下判断：
a’
a” A点在B点的下方。
下
下
后
后
2.左右判断
b
后
前 A点在B点的左方。
左前a
右
前
3.前后判断
A点在B点的前方。
四、重影点及其投影的可见性
aa’’(bb’)
b’’ a’’
已知A、B两个 点的两个投影求做 第三个投影
A、B两个点中 有无重影点：
b
有：A在B之前
a
n” p’ r’ k”
p r
P点在W面上
p” m” r”
R点在Y轴上
例2-1 已知A点的投影a’和a”，求A的第三个投影。
a’
a’’
a
例2-2 已知A点的坐标(11,16,10)求A点的第三个投影。
a’
a’’
11
16 10
a
三、两点的相对位置
根据A、B点的投影，判断其空间相对位置。
按点坐标值大小判断