冀教版九上32.1《等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明》word学案1
初中数学教案：等腰三角形的性质和判定
初中数学教案：等腰三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定一、等腰三角形的性质等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在初中数学中，研究等腰三角形的性质和判定是非常重要的，因为它涉及到几何图形的分类和性质的分析。
下面将详细介绍等腰三角形的性质和判定。
1. 等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
以ABC为例，如果AB=AC，我们就可以称它为等腰三角形。
等腰三角形的第三条边称为底边。
2. 等腰三角形的性质（1）等腰三角形的底角相等在等腰三角形ABC中，如果AB=AC，则∠B=∠C，即等腰三角形的底角相等。
（2）等腰三角形的等边角相等在等腰三角形ABC中，如果AB=AC，则∠A也等于60°，即等腰三角形的等边角相等。
（3）等腰三角形的高线重合于底边的中点在等腰三角形ABC中，如果AB=AC，则从顶点A到底边BC的垂直线段AD与BC的中垂线DE重合，即高线重合于底边的中点。
二、等腰三角形的判定在几何学中，判定一个三角形是否为等腰三角形是非常重要的，以下是几种常见的等腰三角形判定方法。
1. 边长相等法如果一个三角形的两条边的边长相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
根据等腰三角形的定义可知，两边相等是等腰三角形的充分条件。
2. 底角相等法如果一个三角形的两个底角相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
根据等腰三角形的性质可知，在等腰三角形中，底角是相等的。
3. 顶角相等法如果一个三角形的顶角等于底角，那么这个三角形就是等腰三角形。
根据等腰三角形的等边角相等的性质可知，在等腰三角形中，顶角等于底角。
4. 对称性质法如果一个三角形的某个角的两侧边相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
根据等腰三角形的定义可知，两边相等是等腰三角形的充分条件。
5. 高线重合法如果一个三角形的高线重合于底边的中点，那么这个三角形就是等腰三角形。
根据等腰三角形的性质可知，等腰三角形的高线重合于底边的中点。
通过以上几种判断方法，我们可以轻松地判断一个三角形是否为等腰三角形。
等腰三角形的性质与定理
等腰三角形的性质与定理等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有一些独特的性质和定理。
本文将对等腰三角形的性质与定理进行详细的介绍。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形的定义：等腰三角形是指具有两条边的长度相等的三角形。
在等腰三角形ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。
等腰三角形的性质：1. 等腰三角形的底角（底边上的角）两个相等。
证明：由等腰三角形的定义可知，AB=AC，再加上三角形内角和为180度的性质，可得∠A+∠B+∠C=180度。
由于∠A=∠B=∠C，所以∠B+∠B+∠B=180度，即3∠B=180度，所以∠B=∠C=60度。
2. 等腰三角形的高（从顶点到底边的垂直线段）和斜边的中线相等。
证明：作等腰三角形ABC的高AD和BC的中线DE。
首先证明AD=DE。
由于三角形ABC是等腰三角形，所以∠A=∠B=∠C=60度。
又因为∠DAB和∠DEC是等腰三角形的底角，所以∠DAB=∠DEC=60度。
因此，由三角形内角和为180度的性质可知，∠DAB+∠BAD+∠BDA=180度，即60度+∠BAD+90度=180度，解得∠BAD=30度。
同理，∠DCE=30度。
再考虑三角形ABD和DEC，由于∠BAD=∠DCE=30度，∠DAB=∠DEC=60度，所以根据AA相似性质可知，∠ABD=∠DEC，故两个三角形相似。
根据相似三角形的性质，可得AD/DE=BD/EC=AB/DC=1/2。
又已知BD=DC，所以AD=DE。
3. 等腰三角形的对顶角（顶点所对的两边的角）相等。
证明：在等腰三角形ABC中，已知∠B=∠C，∠BAC是三角形内角和，即∠BAC+∠CAB+∠ABC=180度，即2∠B+∠ABC=180度，解得∠ABC=180度-2∠B。
同理，∠ACB=180度-2∠C。
由于∠B=∠C，所以∠ABC=∠ACB。
因此，等腰三角形的对顶角相等。
二、等腰三角形的定理1. 等腰三角形底角的平分线是高和对称轴。
32.1等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明教案(冀教版九年级上)教学设计
∴△ABC△≌△ACD (SSS)
B
D
C 找出其他
∴∠B=∠C (全等三角形的对应边角相等)
的证明方
四、想一想：
法
在上图中，线段 AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结
论？
学生回顾
应让学生回顾前面的证明过程，思考线段 AD 具有的性质和特征，从 前面的证
而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。
合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。探体会了反证法的含义。 和相等的
七、课外作业：
角，发现等
同步练习
腰三角形
性质定理
板书设计：
的推论，从
公理：SAS ASA SSS
推论：AAS 三线合一
而得到结 论，这一结
A
合通常简 述为“三线
合一”。
B
D
C
对应相等的两个三角形全等。
（AAS）
课题 教学目标
教学方法
教学后记
教学内容及过程 教师活动
学生活动
一、等腰三角形性质的探究
1．让学生回忆上节课的教学内容，引导学生思考从等腰三角形中 1．积极思考，回忆以
能找到哪些相等的线段。
前所学知识，联想新问
2．播放课件，结合刚才的问题讲解例 1 的命题，并为后面将此性 题。
质拓展埋下伏笔。
3．分别演示：
2．认真观看例 1 图形
情况。
3．认真听讲，体
会分类讨论的数学
二、一种特殊直角三角形的性质
思维方法，理解定
理。
1．让学生拼摆事先准备好的三角尺，提问：能拼成一个怎样的三角
形?能否拼出一个等边三角形?并说明理由。
1．积极动手操作，
冀教版九上《等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明》word教案
32.4 等腰梯形的性质定理和判定定理
汉儿庄中学执笔人审核领导
教学目的：1、知识目标：能证明等腰梯形的性质定理和判定定理。
2、能力目标：逐步学会分析和综合的思考方法，发展合乎逻辑的思考能力。
3、情感目标：经历对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要
性、感受合情推理和演绎推理是正确认识事物的重要途径。
教学重点：等腰梯形的性质和判定。
教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）．。
等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明最新版
2、 在△ABC中, AB＝AC. B
C
（1）如果∠A＝ 60°，那么△ABC是等边三角形
吗?为什么？
（2） 如果∠B（或∠C）等于60°，那么 △ABC是等边三角形吗?
由此我们得到了以下推论
推论⒈ 三个角都相等的三角形是等边三角形. 推论⒉ 有一个角是60°的等腰三角形是等边
三角形.
探究
将两个含有板有30°的三角尺如图摆放在 一起你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直
向；我们习惯了飞翔，却成了无脚的鸟。年轻时我们并不了解自己，不知道自己需要什么。不知道什么才是自己最想要的，什么才是最适合自己的，自己又是怎么样的一个 人。”时光叠加，沧桑有痕，终究懂得，漫漫人生路，得失爱恨别离，不过是生命的常态。原来，人生最曼妙的风景，就是那颗没被俗世河流污染的初心。大千世界，有很多 的东西可以去热爱，或许一株风中摇曳的小草，一朵迎风招展的小花，一条弯弯曲曲的小河，都足够让我们触摸迷失的初心。紫陌红尘，芸芸众生，皆是过客。若时光允许， 我愿意一生柔软，爱了樱桃，爱芭蕉，静守于轮回的渡口，揣一颗云水禅心，将寂寞坐断，将孤独守成一帧最美的山水画卷。一直渴盼着，与心悦的人相守于古朴的小院，守 着老旧的光阴，只闻花香，不谈悲喜，读书喝茶，不争朝夕。阳光暖一点，再暖一点，日子慢一些，再慢一些，从容而优雅地老去。浮生荡荡，阳春白雪，触目横斜千万朵， 赏心不过两三枝；任凭弱水三千，只取一瓢饮。有梦的季节，有爱的润泽，走过的日子，都会成为笔尖温润如玉的诗篇。相信越是走到最后，剩下的唯有一颗向真向善向美的 初心。似水流年，如花美眷，春潮带雨晚来急，野渡无人舟自横朝花夕拾，当回望过往，你是此生无憾，还是满心懊悔呢？随着芳华的流逝，我们终究会明白：任何的财富都 比不上精神上的愉悦，任何的快感都不及对初心的执着。愿你不趋炎附势，不阿谀奉迎，不苟且偷生，不虚掷有限的年华，活出属于自己的风采，活在每一个当下，不忘初心，
等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明
等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明等腰三角形是指有两条边相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有独特的性质和判定定理。
本文将介绍等腰三角形的性质定理和判定定理，并给出其详细证明。
一、等腰三角形的性质定理性质定理1：等腰三角形的底角相等。
证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。
假设∠ABC和∠ACB不相等，即∠ABC＞∠ACB或∠ABC＜∠ACB。
不妨设∠ABC ＞∠ACB。
由于∠ABC＞∠ACB，所以∠ABD＞∠ACD，其中D为∠ABC外一点沿边AC的延长线上的点。
又因为∠ABC=∠ACB，所以∠ADB=∠ACD。
根据角度相等的性质，∠ABD=∠ADB-∠ABD=∠ACD-∠ABD=∠ADC。
而∠ABD＞∠ADC，与三角形内角和定理矛盾。
所以，假设不成立，即∠ABC=∠ACB，即等腰三角形的底角相等。
性质定理2：等腰三角形的等腰边上的角相等。
证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。
假设∠BAC和∠BCA不相等，即∠BAC＞∠BCA或∠BAC＜∠BCA。
不妨设∠BAC ＞∠BCA。
由于∠BAC＞∠BCA，所以∠BAC＞∠BDC，其中D为∠BAC外一点沿边AB的延长线上的点。
又因为∠BAC=∠BCA，所以∠BCD=∠BDC。
根据角度相等的性质，∠BCA=∠BAC-∠BCA=∠BDC-∠BCA=∠CDB。
而∠BCA＞∠CDB，与三角形内角和定理矛盾。
所以，假设不成立，即∠BAC=∠BCA，即等腰三角形的等腰边上的角相等。
性质定理3：等腰三角形的高、中线、中位线、角平分线重合。
证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。
过顶点A作边BC的垂线，交边BC于点D。
连接AD，BD与CD。
首先证明AD是三角形ABC的高。
根据性质定理1可知∠BAD=∠CAD，又因为AD是AB和AC的垂线，所以∠BAD=90°，∠CAD=90°，因此AD与BC垂直，即AD是三角形ABC的高。
接下来证明BD与CD分别是△ABC的中线。
等腰三角形的性质和判定教案
（2）3个内角都相等的三角形是等边三角形。
3、证明：（1）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
（2）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
四、随堂练习
1、如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝2∠B，由这些条件你能得到哪些结论？请证明你的结论。
1、已知：如图（1）∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC。
求证：AB＝AC
（1）（2）
2、在上图（2）中，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC吗？如果结论成立，你能证明这个结论吗？
3、你还能得到其他的结论吗？与同学交流。
三、思考与交流
1、证明：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（简写为“AAS”）
2、已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E。
求证：△ADE是等边三角形。
3、求证：如果一个等腰三角形中有一个角等于60°，那么这个三角形是等边三角形。
五、体会与交流
本节课，我们又证明了哪些定理？你掌握了吗？
统备
复备
一、知识回顾
上节课中，我们对等腰三角形的性质定理和判定定理进行了证明，请你写出这些定理。
等腰三角形性质定理：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
等腰三角形判定定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
二、典例分析
等腰三角形的性质和学时间
学科
数学
年级
九
教学目标
在掌握了等腰三角形的性质定理和判定定理的基础上，探索等边三角形和其它相关知识的证明方法。
1.2 等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明 课件 (冀教版九年级上册)
推论2
等边三角形的各角都相等，并且 每一个角都等于60°.
已知：在△ABC中， AB ＝ AC＝ BC .
求证： ∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝60°. 证明：∵AB=AC， ∴∠ B =∠ C . ∵ AB = BC ， ∴∠A =∠C. B ∴∠ A =∠ B =∠ C . 又∵ ∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=∠B=∠C= 60 °.
第三十二章《命题与证明（二）》
等腰三角形的性质定理和判定定理 及其证明
30°
？
A
定理
等腰三角形的两个
底角相等（简写为“等边对 等角”）.
B C
证明 猜想 探索
A
定理
等腰三角形的两个
底角相等（简写为“等边对 等角”）.
B D C
已知：在△ABC中，AB＝AC. 求证：∠B＝∠C.
已知：在△ABC中，AB＝AC.
求证：∠B＝∠C.
证明：[方法一]作高AD. 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ∵AB＝AC，AD＝AD， ∴Rt△ABD≌ Rt△ACD. ∴∠B＝∠C. [方法二]作中线AD. 在△ABD和△ACD中， ∵AB＝AC,AD＝AD,BD＝CD, ∴△ABD≌ △ACD. ∴∠B＝∠C. [方法三]作角平分线AD. 在△ABD和△ACD中， ∵AB＝AC,∠BAD＝∠CAD,AD＝AD, ∴△ABD≌ △ACD. ∴∠B＝∠C.
3、这节课，我体验到了„„
4、这节课，我成功的经验是„„
5、这节课，我失败的教训是„„ 6、这节课，我与同伴在交流中获得了„„
课后作业Байду номын сангаас
1 、在现有公理、定理和推论的基础上， 分别总结证明“线段相等”和“角相 等”的方法； 2、P134 习题 1—5
《等腰三角形的性质定理及其证明》导学案
义务教育课程标准实验教材(冀教版)
数学 九年级上册
《等腰三角形的性质定理及其证明》导学案
沧县风化店乡中学 刘青
教学目标：1、会证明等腰三角形的性质定理。
2、进一步体会证明的必要性，会用综合法进行证明
教学过程设计：
一、课前回顾：
复习等腰三角形的性质定理的内容
二、明确证明的步骤：
画出图形，写出已知，求证。
三、一起探究：
1、等腰三角形是轴对称图形，画出上图中等腰三角形ABC 的对称轴。
2、对称轴将△ABC 分成的两个三角形是否全等？说明理由。
3、把你证明∠B=∠C 的过程写出来。
三、大家谈谈：
1、小亮的证明方法正确吗？你还有不同的证明方法吗？请与同学交流。
2、由Rt △ABD ≌Rt △ACD ，能推出AD 是△ABC 底边上的中线和顶角的平分线吗？
四、做一做：
试证明：
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
五、基本技能： 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,
D,E 是BC 边上的两点，且BD=CE.
求证:AD=AE
六、数学与生活：
如图，是一个简易的水平仪，其中，AC=AB,D 为BC 中点，
在点D 处悬挂一个自然
下垂的铅垂， A B C D E
上时，BC就处于
七、大家谈谈：
我们这节课学习了哪些知识? 谈谈你的体会和收获.
八、作业：
课后习题1、2、3、5。
等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明
等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明一、性质定理：1.等腰三角形的顶角定理：等腰三角形的两个底角（与底边相对的两个角）是相等的。
证明如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，要证明∠B=∠C。
由等腰三角形的定义，可得AB=AC，又∠ABC=∠ACB。
再由三角形的内角和定理可知，∠A+∠B+∠C=180°。
将已知条件代入，得到∠A+∠ABC+∠A=180°。
化简可得2∠A+∠B=180°，即2∠A=180°-∠B，再化简可得∠A=90°-∠B/2同样地，我们有2∠A+∠C=180°，即2∠A=180°-∠C，再化简可得∠A=90°-∠C/2将∠A的两个表示式相等，得到90°-∠B/2=90°-∠C/2，即∠B/2=∠C/2、由此可得∠B=∠C，即等腰三角形的顶角定理成立。
2.等腰三角形的底边中线定理：等腰三角形的底边的中线与顶角的角平分线重合。
证明如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，CD为底边AB的中线，要证明CD是∠B和∠C的平分线。
由等腰三角形的定义，可得AB=AC，又CD是AB的中线，所以CD=AD。
再由三角形的两边和定理可知，∠B>∠C，即∠B与∠C不等。
假设CD不是∠B和∠C的平分线，即∠BCD≠∠BCD。
根据∠BCD和∠BCD的不等性，可知∠BCD+∠BCD>180°。
而∠BCD+∠BCD=2∠BCD，且∠BCD<∠B+∠C。
代入已知条件，得到2∠BCD<∠B+∠C<∠B+∠BC，再结合∠B+∠C=180°可知，2∠BCD<180°。
由此推出，∠BCD+∠BCD=2∠BCD<180°，与假设不符。
所以假设不成立，即CD是∠B和∠C的平分线。
从上述证明中可以看出，等腰三角形的底边中线是顶角的角平分线。
二、判定定理：1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角度相等，那么这个三角形是等腰三角形。
九年级数学上册 321等腰三角形的性质定理和判定定理教案 冀教版 教案
九年级数学《32.1等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明》教案授课课题：32.1等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明课型：新授课教学目标：知识与技能：（1）掌握等腰三角形的性质定理及其推论，并能熟练运用其进行有关计算和推理论证。
（2）掌握等腰三角形的判定定理及其推论，并能灵活运用其解决有关问题。
（3）掌握含30°角的直角三角形的特征，并能运用其解决有关证明和计算的问题。
（4）会用综合法进行证明几何问题。
过程与方法：通过对命题证明过程的观察、思考、探索等数学活动，进一步体会证明的必要性，发展学生的演绎推理能力。
情感态度与价值观：通过培养学生的逻辑推理能力，提高学习兴趣和思维深度，积累学习经验。
教学重点：等腰三角形的性质和等腰三角形的判定教学难点：解决问题的思考方法及恰当的添加辅助线。
课时安排：2课时第一课时教学时间：教学要点：等腰三角形的性质定理教具：三角板、练习学案教学方法：尝试教学法教学流程：一、准备练习：1.证明一个定理需要、、三个过程。
2.说出等腰三角形的性质定理。
二、出示尝试题1.证明：等腰三角形两腰上的中线相等。
2.证明：等腰三角形两底角的平分线相等。
3.证明：等腰三角形两腰上的高相等。
4.如图是一个简易的水平仪。
其中AC=AB，D为BC中点，当点A恰好在铅垂线上时，BC就处于水平位置。
请说明理由。
三、自学课本第132-133页四、尝试练习五、师生互动，解疑质难六、第二次尝试练习1．（2010山东烟台）如图，等腰△ ABC中，AB=AC，∠A=20°。
线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于A、80°B、 70°C、60°D、50°2．（2010湖北武汉）如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是（）A.100°B.80°C.70°D.50°3．（2010广东清远）等腰三角形的底角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( ) A．40° B．80°C．100° D．100°或40°4．（2010年山西）如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，则DE的长是。
九年级数学第三十二章 等腰三角形的性质定理和判定定理冀教版知识精讲
九年级数学第三十二章 等腰三角形的性质定理和判定定理冀教版【本讲教育信息】一、教学内容：等腰三角形的性质定理和判定定理1. 会证明等腰三角形的性质定理和判定定理.2. 进一步体会证明的必要性，会用综合法进行证明.二、知识要点：1. 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写为“等边对等角”）.推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）.推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°.ABCABCD2. 判定一个三角形是等腰三角形的方法定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.3. 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABCD三、重点难点：等腰三角形的性质定理和判定定理的应用.【典型例题】例1. 如图所示，房屋的顶角∠BAC ＝100°，过屋顶A 的立柱AD ⊥BC ，AB ＝AC ，求顶架上∠B 、∠C 、∠BAD 、∠CAD 的度数.ABCD分析：由条件已知△ABC 是等腰三角形，可得∠B ＝∠C ，由AD ⊥BC 知AD 是高，可知AD 平分∠BAC ，可求得∠BAD ＝∠CAD ＝50°，再由直角三角形两锐角互余求得∠B 、∠C.解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝100°，∴∠B ＝∠C ＝12（180°－∠BAC ）＝40°.又∵AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝50°评析：这个题目比较容易，方法比较多，此处使用“三线合一”的性质求∠BAD 和∠CAD 比较容易.例2. 在等腰三角形ABC 中，E 点是底边BC 的中点. 过E 作EH ⊥AB 于H ，过E 作EK ⊥AC 于F. 求证：EH ＝EK.ABCEK H分析：因为点E 是底边BC 的中点，连接AE ，则AE 就是底边中线. 由“三线合一”的性质，AE 也是BC 边上的高，也是顶角∠BAC 的平分线，再证△AHE ≌△AKE 即可得到EH ＝EK.解：如图所示，连接AE ，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ， ∵BE ＝EC ，∴AE 平分∠BAC ，即∠1＝∠2.在R t △AHE 和R t △AKE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EHA ＝∠EKA∠1＝∠2AE ＝AE.∴R t △AHE ≌R t △AKE ，∴EH ＝EK.例3. 如图所示，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别是线段AB 、BC 、CA 上的点.（1）若AD ＝BE ＝CF ，△DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论？ （2）若△DEF 是等边三角形，AD ＝BE ＝CF 成立吗？试证明你的结论.A BCDE F 1234解：（1）是.∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ，AB ＝BC ＝CA.又∵AD ＝BE ＝CF ，∴DB ＝EC ＝FA ，∴△ADF ≌△BED ≌△CFE. ∴DF ＝DE ＝EF ，即△DEF 是等边三角形. （2）AD ＝BE ＝CF 成立. ∵△DEF 是等边三角形，∴DE ＝EF ＝FD ，∠FDE ＝∠DEF ＝∠EFD ＝60°.∴∠1＋∠2＝120°，又∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°. ∴∠2＋∠3＝120°.∴∠1＝∠3. 同理∠3＝∠4，∴△ADF ≌△BED ≌△CFE. ∴AD ＝BE ＝CF.评析：本题主要考查等边三角形性质与判定的综合运用，以及有关三角形全等的知识.例4. 如图所示，BD 是△ABC 的角平分线，DE ∥BC 交AB 于E ，试说明△BED 是等腰三角形.AB CDE分析：首先，从“结论”出发，识别一个三角形是等腰三角形，有两种方法：①据定义；②据“等角对等边”. 根据已知条件“角平分线”及“平行”都能提供角的条件，所以应选择②. 其次，已知条件中DE ∥BC ，可得∠EDB ＝∠DBC ，就可得要证的结论了.解：∵BD 是△ABC 的角平分线， ∴∠EBD ＝∠DBC.∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC ， ∴∠EBD ＝∠EDB ，∴EB ＝ED. 即△BED 是等腰三角形.评析：本题图形中含有“基本图形”，即四边形EBCD 中，ED ∥BC ，DB 平分∠ABC ，则△EBD 为等腰三角形，同学们要提高识图能力，掌握常见的基本图形，这为解题提供方便.例5. 如图所示，△ABC 是等边三角形，AE 是它的对称轴，AB ＝5. （1）试写出图中三组相等关系； （2）求∠BAE 的度数和BE 的长.ABCE分析：等边三角形的对称轴AE 是其角平分线、对边的中线和高，知道这个性质就可以解决此问题了.解：（1）三组相等关系是：AB ＝BC ＝CA ，BE ＝CE ，∠BAE ＝∠CAE. （2）∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60°， ∵AE 是△ABC 的对称轴，∴∠BAE ＝∠CAE ＝12∠BAC ＝30°.又∵BC ＝AB ＝5，∴BE ＝12BC ＝2.5.评析：等边三角形的三条边、三个角都相等，有三条对称轴，分别是三条边的垂直平分线，要充分利用这些关系进行计算.例6. 已知：如图所示，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，沿过B 点的一条直线BE 折叠这个三角形，使点C 与AB 边上的一点D 重合，当∠A 满足什么条件时，点D 恰为AB 中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件说明D 为AB 的中点.ABCDE分析：由对称性知∠EDB ＝90°＝∠C ，即DE ⊥AB ，要说明D 是AB 中点，只要知道△ABE 是等腰三角形即可. 欲得△ABE 是等腰三角形，只要求出∠EBA ＝∠A 即可，当∠EBA ＝∠A 时，∠CBE ＝∠A. ∴3∠A ＝90°，∠A ＝30°.解：∵∠A ＝30°，∠C ＝90°，∴∠CBA ＝60°. 又由对称性知△CBE 和△DBE 重合.∴∠EDB ＝∠C ＝90°，∴ED ⊥AB ，∠EBA ＝∠EBC ＝12×60°＝30°.又∵∠A ＝30°，∴∠A ＝∠EBA. ∴EA ＝EB.又∵ED ⊥AB ，∴ED 平分AB ，即D 是AB 的中点.评析：本题是探求满足结论的条件，由分析可知解答此类问题的思路是由结论入手，联系已知中的条件进行探究，满足此类题目的“适当条件”往往不是唯一的，比如此题中当∠A ＝12∠ABC 时，点D 为AB 的中点，你能说明为什么吗？【方法总结】本节学习了等腰三角形的性质、判定以及等边三角形的性质. 重点是等腰三角形的性质及判定在实际问题中的应用. 等腰三角形的性质中主要抓住“三线合一”这一条，注意数形结合的思想，一般过等腰三角形的顶点作底边上的高.【预习导学案】（32.2－32.4平行四边形及矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质定理和判定定理） （一）预习前知1. 平行四边形有哪些性质？如何判断一个四边形是平行四边形？2. 什么样的四边形是矩形、菱形、等腰梯形？3. 如何将一个四边形化为三角形？（二）预习导学1. 下列命题中，不可以作为平行四边形判定的是（ ） A. AD ∥BC ，AB ∥DC B. AD ∥BC 且AD ＝BC C. AO ＝OC ，BO ＝DO D. AB ＝AD ，BC ＝DC2. 下列命题不正确的是（ ） A. 正方形既是菱形，又是矩形 B. 一组邻边相等的矩形是正方形 C. 一个角是直角的菱形是正方形 D. 对角线互相垂直的菱形是正方形3. 在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，CD 为斜边中线，若AB ＝10cm ，则CD ＝__________.4. 如图所示，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，对角线AC 、BD 相交于点O. 求证：OB ＝OC.ABC DO反思：（1）解决四边形问题常用的思想方法有哪些？（2）通过定理的证明，感受数学知识的连续性，体会证明的必要性.【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是△ABC 的角平分线，图中等腰三角形有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 以上都不对ABCD2. 如图，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则△BEC 的周长为（ ）A. 13B. 14C. 15D. 16AD EB C3. 如图所示，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于O 点，过O 点作MN ∥BC ，分别交AB 、AC 于M 、N ，若AB ＝12，AC ＝18，BC ＝24，则△AMN 的周长为（ ）A. 30B. 36C. 54D. 42A BCM NO*4. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，BE ＝CD ，BD ＝CF ，则∠EDF 的度数为（ ）A. 80°B. 75°C. 65°D. 60°ABCDE F5. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图. 其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC ＝150°，BC 的长是8m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（ ）A. 833m B. 4m C. 43m D. 8mCD6. 如图所示，△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠ACB ＝1∶2∶3，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥BC ，垂足为E ，已知AC ＝4cm ，则DE 的长为（ ）A. 1cmB. 2cmC. cmD. 不能确定ABCE*7. 如图所示，D 为等边三角形ABC 的边AC 上一点，BD ＝CE ，且∠ABD ＝∠ACE ，那么△ADE 是（ ）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰三角形ABCDE**8. 等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则其顶角为（ ） A. 30°B. 60° C. 150°D. 30°或150° 二、填空题1. 如图，△ABC 的周长为32，且AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，△ACD 的周长为24，那么AD 的长为__________.ABCD2. 如图所示，△ABC 中，∠ABC ＝50°，∠ACB ＝80°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，延长BC 到E ，使CE ＝CA ，连结AD 、AE ，则∠DAE ＝__________.B CEDA3. AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，且AD ∥BC ，则△ABC 是__________三角形.4. 如图所示，已知∠ACB 的角平分线CD 交AB 于D ，DE ∥BC ，交AC 于E ，若DE ＝3cm ，AE ＝4cm ，则AC ＝__________cm .A BCD E5. 如图，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠ABC 的大小等于__________（度）.AB CP Q6. 如果一个直角三角形的一个锐角是30°，且斜边与较短直角边之和为12cm ，那么斜边的长为__________.**7. 在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为__________. **8. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAD ＝30°，AD ＝AE ，则∠EDC ＝__________.ABCE三、解答题1. 已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 在边BC 上，且BD ＝CE. 求证：AD ＝AE.ABCD E*2. 已知：如图，OA 平分∠BAC ，∠1＝∠2. 求证：△ABC 是等腰三角形.ABCO123. 如图所示，△ABC 、△ECD 都是等边三角形，且E 点在BC 上，AE 的延长线交DB 于F 点，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.ABCDE F**4. 如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝3∠C ，AD 是∠BAC 的角平分线，BE ⊥AD 于点E ，求证：BE ＝12（AC －AB ）.ABCDE【试题答案】一、选择题1. C2. A3. A4. B5. B6. A7. C8. D二、填空题1. 82. 115°3. 等腰4. 75. 306. 8cm7. 7或118. 15°三、解答题1. 证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C. 在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠B ＝∠C BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE.∴AD ＝AE.2. 提示：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，则△AEO ≌△AFO ，∴OE ＝OF. ∵∠1＝∠2，∴OB ＝OC ，∴△OEB ≌△OFC. ∴∠ABO ＝∠ACO ，∴∠ABO ＋∠1＝∠ACO ＋∠2，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形.3. 答：△ACE≌△BCD，∵△ACB和△ECD都是等边三角形，∴AC＝CB，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴△ACE≌△BCD（SAS）.4. 提示：延长BE交AC于点F. 证明△ABE≌△AFE（ASA）. 得AB＝AF，CF＝AC－AB. ∵∠ABC＝3∠C＝ABE＋∠EBC，∠ABE＝∠AFE＝∠EBC＋∠C. ∴∠EBC＋∠C＋∠EBC＝3∠C，即∠EBC＝∠C. ∴BF＝CF. ∴BE＝12BF＝12（AC－AB）.。
《等腰三角形的性质和判定》学案1(苏科版九年级上)
1.1 等腰三角形的性质和判定学习目标:1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式.2、能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理.学习重点:等腰三角形的性质及其证明.学习难点:等腰三角形的性质及其证明.学习过程一、知识回顾：1、什么叫做等腰三角形？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2、等腰三角形有哪些性质？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3、上述性质你是怎么得到的？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？（不妨动手操作做一做）二、新知教学：（一）探索活动：1、合作与讨论：证明：等腰三角形的两个底角相等.2、思考：由上面的证明过程，你能否得出“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”的结论？请用符号语言表示.3、通过上面两个问题的证明，我们得到了等腰三角形的性质定理.定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，（简称：＿＿＿＿＿＿）定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，（简称：＿＿＿＿＿＿）4、思考与探索如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？（二）例题分析1、已知：如图∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC.求证：AB＝AC拓展：在上图中，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC吗？为什么？2、证明：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.（三）巩固练习：1、证明：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.2、如图，BO平分∠CBA, CO平分∠ABC, 且MN//BC,设AB=12,BC=24,AC=18,求△AMN的周长.三、总结反思1、证明文字命题应注意什么？2、等腰三角形的判定和性质分别是什么？如何证明？3、一个常见的基本图形.。
32.1等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明（第一课时）
32.1等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明（第一课时）第一篇：32.1 等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明(第一课时)32.1 等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明（第一课时）汉儿庄中学执笔人审核领导教学目的:1、知识目标：会证明等腰三角形的性质定理。
能从等腰三角形的性质定理中得出结论，进一步体会证明的必要性，会用综合法进行证明。
2、能力目标：观察等腰三角形的对称性，发展形象思维及合情推理能力、演绎推理能力。
3、情感目标：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力。
并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。
教学重点：等腰三角形性质定理及推论的探索。
教学难点：等腰三角形性质定理的证明和运用。
预习要点：1、动手操作，用硬纸板分别制作锐角等腰三角形、直角等腰三角形、钝角等腰三角形、等边三角形。
2、等腰三角形的3、等腰三角形的、、互相重合，简称（）；4、，等边三角形的相等，并且每一个角都等于度。
教学过程：第二篇：32-1 等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明我的课堂我做主，我的命运我把握学科导学卡课题17.1 等腰三角形主编王海鹏审核在合作中提升学习兴趣，在探索中追求知识的真谛B你说我讲快乐课堂你争我抢放飞梦想第三篇：等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明同步练习 2 等腰三角形的性质和判定专题练习一、选择题1、等腰三角形一底角为500，则顶角的度数为（）A、65B、70C、80D、402、使两个直角三角形全等的条件（）A、一锐角对应相等B、两锐角对应相等C、一条边对应相等D、两条边对应相等3、△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC边于点D，∠BDC=75°，则∠A的度数为（）A、35°B、40°C、70°D、110°4、用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（2）长方形；（3）正方形；（4）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（）A、（1）（2）（4）B、（2）（3）（4）C、（1）（4）D、（1）（2）（3）5、如图，D在AB上，E在AC上，且∠B＝∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是：（）A、AD＝AEB、∠AEB＝∠ADCC、BE＝CDD、AB＝AC6、在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，则S△ABC等于：A、3B、2C、22 D、33（）7、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（）A、75°或15°B、30°或60°C、75°D、30°8、如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD＝2，则△ABC的边长为：A、3B、4C、5D、6（）3二、填空题9、在方格纸上有一个△ABC，它的顶点位置如图所示，则这个三角形是三角形.10、如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：，使△AEH≌△CEB。
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32.1 等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明（第一课时）教学目的:1、知识目标：会证明等腰三角形的性质定理。
能从等腰三角形的性质定理
中得出结论，进一步体会证明的必要性，会用综合法进行证明。
2、能力目标：观察等腰三角形的对称性，发展形象思维及合情推理能力、
演绎推理能力。
3、情感目标：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力。
并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。
教学重点：等腰三角形性质定理及推论的探索。
教学难点：等腰三角形性质定理的证明和运用。
预习要点：1、动手操作，用硬纸板分别制作锐角等腰三角形、直角等腰三角形、钝角
等腰三角形、等边三角形。
2、等腰三角形的相等，简称；
3、等腰三角形的、、互相重合，简称
（）；
4、，等边三角形的相等，并且每一个角都等于度。
教学过程：。