第二章 杆件的内力.截面法(第1、2、3节)
第二章 杆件的内力.截面法(第1、2、3节)
外 无外力段
力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
P C
集中力偶
m
C
水平直线
斜直线
自左向右突变 无变化
FS 图
FS
特
征
x
FS >0
FS
FS
x
x
FS <0 增函数
FS
FS FS1
C
x
FS2
x
降函数 FS1–FS2=P
FS
C x
M
斜直线
曲线
自左向右折角 自左向右突变
图M
M
M
M
M
与 M M1
特
x
x
x
x
xm
x
求：外力偶矩Me ( N·m)
解：PMe
n 30
P1000Me3n0
由此求得外力偶矩：
Me
Me
P103 00 P
M e
n
954 (N .9 m) n
若传递功率单位为马力（PS)时, 由于PS=735.5N·m/s
Me
702P4(N.m) n
杆件的内力.截面法
对称弯曲：工程中最常见的梁，其横截面一般至少有一根对称 轴，因而整个杆件有一个包含轴线的纵向对称面。 若所有外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变 形后的轴线将是位于该平面内的一条曲线，这种弯 曲形式称为对称弯曲。
注意 1、用截面法求轴力时，在切开的截面上建议假设正 的轴力，由平衡方程得出的FN值为正，说明轴力为正 （拉力）； FN值为负，说明轴力为负（压力）。
2、在画轴力图时，填充为下画线或无填充，不要画剖 面线形式；并注上 符号 或 。
截面法求杆件的内力
截面法求杆件的内力教学目标：1、理解和掌握求杆件内力的方法——截面法；2、熟练运用截面法求不同杆件受到拉伸时的内力。
教学重点：截面法求杆件内力的步骤。
教学难点：如何运用截面法求内力的方法解决工程力学中求内力的实际问题。
教学方法：提出问题——实例演示——练习点拨——归纳总结教学过程：一、复习旧知1、杆件有哪几种基本变形？2、拉伸和压缩的受力特点是什么？3、拉伸和压缩的变形特点是什么？二、新课讲解思考：当杆件受到拉伸、压缩时，就会在杆件内部产生力的作用，怎样才能确定杆件的内部会产生多大的力？（引出课题）出示本节课的学习目标。
（一）、教学什么是杆件的内力？内力：杆件在外力作用下产生变形，其内部相互间的作用力称为内力。
一般情况下，内力将随外力增加而增大。
当内力增大到一定限度时，杆件就会发生破坏。
内力是与构件的强度密切相关的，拉压杆上的内力又称为轴力。
（二）、教学截面法求杆件的内力。
1、什么是截面法？截面法：将受外力作用的杆件假想地切开，用以显示内力的大小，并以平衡条件确定其合力的方法，称为截面法。
它是分析杆件内力的唯一方法。
2、实例演示：如图AB 杆受两个力，一个向左，一个向右，大小均为F 。
作用点分别为A 和B 。
①、确定要截开的次数和位置（要根据杆件的受力情况而定） ②、选取一半截面为研究对象（一般选取受力较少的一段作为研究对象）③、假设出截面上的内力（取左段内力向右设，取右段内力向左设，方向跟坐标轴方向一致，左负右正、下负上正）④、用平衡方程求出截面上的内力（求出的内力为正值为拉力，负值为压力）取左段 ∑Fx=O －F ＋FN ＝0 取右段 ∑Fx=O F －FN ＝0FN ＝F FN ＝F 3、总结截面法求杆件内力的步骤：（1）截：在需求内力的截面处，沿该截面假想地把构件切开。
（2）取：选取其中一部分为研究对象。
（3）代：将截去部分对研究对象的作用，以截面上的未知内力F F N来代替。
（4）平：根据研究对象的平衡条件，建立平衡方程，以确定未知内力的大小和方向。
第二章 杆件的内力·截面法讲解
F
FN （＋）FN
F
F
FN （－）FN
F
轴力图： 轴力沿轴线变化的图形
F
F
FN
轴力图的意义
+ x
① 直观反映轴力与截面位置变化关系； ② 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。
例 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为FA = 5 F、 FB = 8 F、 FC = 4 F、 FD= F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆 的轴力图。
应变
一、正应变（线应变）定义
av
Du Ds
棱边 ka 的平均正应变
lim
Du k点沿棱边 ka 方向的正应变
Ds0 Ds
正应变特点
1、 正应变是无量纲量 2、 过同一点不同方位的正应变一般不同
二、切应变定义 微体相邻棱边所夹直角的
改变量 g ，称为切应变
切应变量纲与单位
切应变为无量纲量 切应变单位为 弧度（rad）
BC
D
FN 2 FB FC FD 0
FB
FC
FD
FN2= –3F，
求BC段内力：
FN3
C
D
Fx 0 FN3 FC FD 0 FN3= 5F，
FC
FD
FN4
D
求CD段内力：
Fx 0 FN 4 FD 0
FN4= F
FD
FN1 2F, FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
M
M
取左段为研究对象：
M 0, T M 0 M x
Tx
T M
取右段为研究对象：
第2章 杆件的内力
16
建筑力学与结构
出版社
科技分社
1）工程中的受弯杆—— 在工程实际中，受荷载作用而产生弯曲变形的 杆是常见的，通常把它们叫做受弯杆或称之为梁。
17
建筑力学与结构
出版社
科技分社
图2.20简支梁图
2.21悬臂梁图
2.22外伸梁
18
建筑力学与结构
出版社
科技分社
2 图2.23（a）所示的梁是立体杆，设沿杆长为x 轴，在横截面上设y轴铅垂向下，z轴水平向右。当 外力（荷载与支座反力）都作用在纵向对称平面之 内时，梁弯曲之后，其轴线将变成挠曲线，它仍在
24
建筑力学与结构
出版社
科技分社
图2.28 剪力图与弯矩图的坐标轴之假设
25
建筑力学与结构
出版社
科技分社
2 既然剪力和弯矩都将随着x（横截面位置）的 变化而变化，那么两者均可以表示为坐标x的函数 ，即
26
建筑力学与结构
出版社
科技分社
27
建筑力学与结构
出版社
科技分社
28
建筑力学与结构
出版社
科技分社
建筑力学与结构
出版社
科技分社
第2章
第一节 内力的概念
杆件的内力
内力”是指构件的内部之力,它与作用在构件的 外力（如荷载、约束反力）是相对应的。在研究外 力之后，需要由表及里地探索构件的内力。如果你 想了解内力究竟是怎么回事，那就请看下面的内容 吧。
1
建筑力学与结构
出版社
科技分社
一、内力的概念 从结构的外部看，结构在荷载（属于外在的主 动力）作用下处于平衡，并产生约束反力,这都属 于力的外效应。在荷载作用下结构还会发生变形， 这是力的内效应。从结构的内部看，结构变形时, 各质点之间的相对位置都会发生改变，其内因是存 在各质点之间的相互作用力，这就是内力。其外因 当然是荷载（即外力）作用而引起的，故又把它称 之为“附加内力”。
第二章 杆件的内力·截面法
二、分别计算各段的扭矩
M2 A M2 A
1 1
1 1
M3
B T1 x M3 B
2 2
M1 C
3
3
M4
D
T1 M 2 4.78kN m
2 2
M2
T2
T2 M 2 M 3
x
9.56kN m
T3
3 3
A
M4 D
T3 M 4 6.37kN m
x
扭矩图 M2 M3 B M1 C M4
q(x) — 分布力
L
M — 集中力偶
L
F — 集中力
3、外伸梁：overhanging beam q — 均布力
L （L称为梁的跨长）
L
弯曲内力的确定（截面法）
a A l F F B [例]已知：如图，F，a，l。
求：距A端 x 处截面上内力。
解：①求外力（支座反力）
FAX A FAY
B FBY
研究对象：m - m 截面的左段： Fy 0, FAY Fs 0.
m x
Fs
M
Fs FAY
C
(F ) 0, M FAY x 0.
M FAY x F (l a) x l
F (l a ) l
C
Fs
M
F
∴ 弯曲构件内力： Fs －剪力， M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
的轴力图。
O A FA FN1 A FA B FB B FB C FC C FC D FD D FD
解： 求OA段内力FN1：设截面如图
F
x
0
FD FC FB FA FN1 0
内力分析的基本方法-截面法
得 QE = 0 得 ME = qL2
16
QD
*剪力图和弯矩图 绘制方法1：根据梁的剪力方程和弯矩方程绘制剪力 图和弯矩图。 注意：1、当弯矩图为曲线时，至少要三个控制面 的值一般取两端点和Q=0的截面弯矩值（若无Q = 0 的截面，则取中间截面的弯矩值） 2、弯矩图画在受拉侧，不标正、负
17
绘制方法2：利用荷载与内力间的微分关系运用规律 1、图形：⑴在均布荷载作用区段：Q图为斜直线；M图 为抛物线，抛物线的凸向与q的指向一致。 ⑵在无荷载作用区段：Q图为水平线；M图为斜直线。
10 10
5
(b)
M 图(kN•m)
(c)
10
23
绘制方法3：
MA
A q L
叠加法绘制直杆弯矩图
MB
一、简支梁弯矩图的叠加方法
MA
B
MAB中 1 qL2 MB 8
若MA、MB在杆的两侧，怎么画？
MA MB q
A
MA
MAB中
B MB
＋
A 1 qL2 8
B
MAB中= （ MA ＋ MB）/2
24
MA A
由 y =0，得： FBy +FA - 206 =0 故： FBy=80kN（）
31
q=20kN/m
分别作出 AD 段、DE 段及EB 段受力图
B
2m 2m
10
解： 求支座反力
FC-10-20-30= 0
Ⅱ
A
由
F
y
=0
得：FC= 60 kN（↑）
用截面Ⅰ—Ⅰ将桁架截开，如下图所示：
10kN E Ⅰ 1 20kN 30kN
取右边部分，作受力图如下：
材料力学第2章-杆件的内力与内力图
C
l
FRB
FQ
ql ＋ － ql ql2/2
x
2、选择控制面，并求出其上的剪力与弯矩 C右截面：FQ=0,M=0 A左截面：FQ =ql,M=ql2/2 A右截面：FQ =0,M=ql2/2 B左截面：FQ =-ql,M=0 3 、根据 M 、 FQ 、 q 之间的关系画出剪力图和 弯矩图
x
M
＋
材料力学
FN(B')
M(B') FQ(B') B B'
F
x
0 , ql ql FQ B 0
FQ B 0
Fy 0 , FN B
FN B ql 2
材料力学
内力与内力分量
材料力学
弹性体在外力作用下产生的附加内力
F1
F2
F3
假想截面
Fn
F1
F
2
F
3
Fn
材料力学
弹性体内力的特征:
F1
F
2
F
3
Fn
(1)连续分布力系 (2) 与外力组成平衡力系 ( 特殊情形下内力本身形成自 相平衡力系)
材料力学
内力主矢与内力主矩
F1
分布内力
F
3
F1 FR
内力主矢与主矩
B
C
qa
a
FRB
A右截面：FQ=9qa/4,M=0 B左截面：FQ =-7qa/4,M=qa2 B右截面：FQ =-qa,M=qa2 C左截面：FQ =-qa,M=0
3、建立剪力坐标系并标出控制面上的剪力
4、根据FQ、q之间的关系画出剪力图 5、建立弯矩坐标系并标出控制面上的弯矩
FQ 9qa/4
2章-杆件的内力与内力图-拉压、扭转
§ 2.1 基本概念
2.1.1 内力的概念
《物理学》：指微粒之间的相互作用力，由于这 个作用力的不同，使物体呈现出不同的形态。
《静力学》中：物体之间的相互约束力，称为内约 束力。
此处讲解的内力：在物理学内力的基础上， 变形体在外因的作用下（荷载、温度变化……）， 发生变形，体内各点发生相对位移，从而产生抵 抗变形的相互作用的附加内力，简称内力
4. 建立FN－x坐标系，画轴力图
FN－x坐标系中x坐标轴沿着杆件的轴线方 向，FN坐标轴垂直于x轴。
将所求得的各控制面上的轴力标在FN－x坐标 系中，得到a、和c四点。因为在A、之间以及 、C之间，没有其他外力作用，故这两段中的 轴力分别与A（或）截面以及C（或）截面相同 。这表明a点与点心”之间以及c点之间的轴力 图为平行于x轴的直线。于是，得到杆的轴力 图。
Mx
z Mz
FR M FNx FQy FQz Mx My Mz
FNx——轴力 FQy、 FQz——剪力 Mx——扭矩
My、MZ——弯矩
2.1.2 内力与外力的关系——截面法 1 弹性变形体的平衡原理 2 求内力的方法——截面法
应用平衡的概念，不仅可以确定 构件的支座反力，而且还可以确定构件 上任意横截面上的受力-内力及其沿构 件轴线方向的变化规律，以找出最危险 的截面。
面上的轴力均为正方向（拉力）， 并考察截开后下面部分的平衡。
3. 应用截面法求控制面上的轴力
用 假 想 截面 分 别 从 控 制 面 A、 B'
、B"、 C处将杆截开，假设横截面
FA
FNA 上的轴力均为正方向（拉力），并考
察截开后下面部分的平衡，求得各截
A
A 面上的轴力：
第2-3章 杆件的内力和内力图及应力变形
C
2
FN 1
y
F
FN 1 28.3 103 1 A1 202 106 4 90106 Pa 90MPa
FN 2 20 103 2 2 6 A2 15 10 89 106 P a 89MP a
目录
FN 2 45° B
F
x
例 已知简单构架：杆1、2截面积 A1=A2=100 mm2，材料的许
超静定结构的求解方法： 1、列出独立的平衡方程
例题2.7
F 0 F 0
x y
FN1 FN 2 2FN1 cos FN 3 F
l1
l3
2、变形几何关系
l1 l2 l3 cos
3、物理关系
l1 FN 1l F l l3 N 3 E1 A1 cos E3 A3
FN 2 45° B
F
Fx 0
x
F
FN1 cos45 FN 2 0 FN1 sin 45 F 0
FN 2 20kN
目录
y
0
FN1 28.3kN
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
A 1
45°
FN1 28.3kN
FN 2 20kN
2、计算各杆件的应力。
例 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
m 0.3，拧紧后，l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上的正应力
(b) 螺栓的横向变形 d
解：1) 求横截面正应力
l 7.41 10-4 l
E 148.2 MPa
π
p
FR
FR d Fsin
工程力学杆件的内力
M 15kN m max 40
例 作梁的内力图
q P qa q
18
解:
(1)计算外力偶矩
由公式
Pk/n
19
(2)计算扭矩
(3) 扭矩图
20
• 传动轴主动轮A的输入功率NA＝50 马力，从动轮B、C、D输出功率分 别为NB＝NC＝15马力，ND＝20马 力，转速n＝300r/min。画扭矩图。
21
mA=1170 N·m
用截面法求出内力 mB= mC= 351 N·m mD= 468 N·m
且轴力或为拉力，或为压力。
正负号规定： 轴力 拉为正，压为负。
二 轴力计算 （利用截面法进行计算） 计算轴力的方法：
（1）在需求轴力的横截面处，假象用截面将杆切开，并任 选切开后的任一杆段为研究对象；
（2）画所选杆段的受力图，为计算简便，可将轴力假设为 拉力，即采用所谓设正法；
（3）建立所选杆段的平衡方程，由已知外力计算切开截6面 上的未知轴力。
剪力图和弯矩图的作法：
（1）根据剪力方程和弯矩方程；
（2）叠加法(superposition method)；
（3）根据集度(intensity)、剪力和弯矩的微分关系；
30
解：（1）列剪力方程和弯矩方程
由平衡方程
Y 0,Q P 0 得Q P 由M 0, Px M 0
截面法求内力举例：求杆AB段和BC段的内力
第二章 杆件的内力与内力图
第二章 杆件的内力与内力图§2-1 杆件内力的概念与杆件变形的基本形式一、杆件的内力与内力分量内力是工程力学中一个非常重要的概念。
内力从广义上讲，是指杆件内部各粒子之间的相互作用力。
显然，无荷载作用时，这种相互作用力也是存在的。
在荷载作用下，杆件内部粒子的排列发生了改变，这时粒子间相互的作用力也发生了改变。
这种由于荷载作用而产生的粒子间相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。
需要指出的是：受力杆件某横截面上的内力实际上是分布在截面上的各点的分布力系，而工程力学分析杆件某截面上的内力时，一般将分布内力先表示成分布内力向截面的形心简化所得的主矢分量和主矩分量进行求解，而内力的具体分布规律放在下一步（属于本书第二篇中的内容）考虑。
受力杆件横截面上可能存在的内力分量最多有四类六个：轴力N F 、剪力y Q F )(和z Q F )(、扭矩x M 、弯矩y M 和z M 。
轴力N F 是沿杆件轴线方向（与横截面垂直）的内力分量。
剪力y Q F )(和z Q F )(是垂直于杆件轴线方向（与横截面相切）的内力分量。
扭矩xM 是力矩矢量沿杆件轴线方向的内力矩分量。
弯矩y M 和z M 是力矩矢量与杆件轴线方向垂直的内力矩分量。
二、杆件变形的基本形式实际的构件受力后将发生形状、尺寸的改变，构件这种形状、尺寸的改变称为变形。
杆件受力变形的基本形式有四种：轴向拉伸和压缩、扭转、剪切、弯曲。
1、轴向拉伸和压缩变形轴向拉伸和压缩简称为轴向拉压。
其受力特点是：外力沿杆件的轴线方向。
其变形特点是：拉伸——沿轴线方向伸长而横向尺寸缩小，压缩——沿轴线方向缩短而横向尺寸增大，如图4-1所示。
轴向受拉的杆件称为拉杆，轴向受压的杆件压杆。
图2-1 图2-2 土木工程结构中的桁架，由大量的拉压杆组成，如图2-2所示。
内燃机中的连杆、压缩机中的活塞杆等均属此类。
它们都可以简化成图2-1所示的计算简图。
2、剪切变形工程中的拉压杆件有时是由几部分联接而成的。
第二章 杆件的内力
活塞杆其计算简图为压杆压杆号规定为：拉伸时，轴力F N 为正；压缩时，轴力F N 为负。
外力不能沿作用线移动。
因为材料力学中研究的对象是变形体，不是刚体，力的可传性不成立。
对变形体而言，力是定位矢量。
2、轴力图用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线，称为轴力图。
将正的轴力画在上侧，负的画在下侧。
例2-1 求如图所示杆件的内力，并作轴力图。
解:1)AB 段：以截面1-1将杆分为两段，取左段（图（b ）），由平衡方程,0=∑x F 061N =-F 得kN 61N =F2)BC 段：以截面2-2将杆分为两段，取左段（图(c)），由平衡方程,0=∑x F 01862N =+-F 得kN 122N -=F2N F 的方向与图中所示方向相反。
2)CD 段：以截面3-3将杆分为两段，取右段（图(d)），由平衡方程,0=∑x F 043N =--F 得 kN 43N -=F3N F 的方向与图中所示方向相反。
画在x 轴下方。
例功率分别为P B ＝P C解：1=M A =M B =M D 2BC 段：以截面分（图(b)）得负号说明1T 同理，在CA 段内，02=++B C M M Tm N 7002⋅-=--=B C M M T在AD 段内，03=-D M T m N 4463⋅==D M T3）以横坐标x 表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的扭矩大小，选取适当比例，绘出扭矩图。
正的扭矩画在x 轴上侧，负的扭矩画在x 轴下侧。
或具有纵向对称面，但外力并不作用在纵向对称面内这种弯曲称为非对称弯曲。
⎪⎭⎪⎬⎫=⋅-⋅==-+=∑∑03,0)(0,0l F l FF M F FF F B ABAy，得F F F F B A 31,32==2.求截面1－1上的内力F F F A D 32S == Fa a F M A D 32=⋅=同理,对于C 左截面：Fl l F M F F F C A C 92332,32S =⋅==＝左左对于C右截面：3S FF F F A C -=-=右Fl l F M A C 923=⋅=右负号表示假设方向与实际方向相反。
第2章杆件的内力与内力图
◎ 梁的剪力和弯矩
在集中力作用处的左右两侧截面上剪力值（图） 有突变，突变值等于集中荷载的大小，弯矩图形成尖角。
内力分量 (Components of the Internal Forces)
F1
FQy
y
内力主矢和内力主
矩在三个坐标轴上
My
的分量称作内力分 量，分别命名为： x
FQz
FN
轴力FN、剪力FQy和
FQz 、 扭 矩 Mx 、 弯 矩My和 Mz 。
Mz
F2 z
Mx
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 基本概念
第2章 杆件的内力和内力图 梁的剪力图和弯矩图
◎ 梁的剪力和弯矩
作用在梁上的平面载荷，如果不包含轴向力，这时梁 的横截面上将只有弯矩和剪力。表示剪力和弯矩沿梁轴线 方向变化的图线，分别称为剪力图(diagram of shearing force)和弯矩图(diagram of bending moment)。 绘制剪力图和弯矩图有两种方法：其中一种方法是根 据剪力方程和弯矩方程，在FQ-x和M-x坐标系中首先标出 剪力方程和弯矩方程定义域两个端点的剪力值和弯矩值， 得到相应的点；然后按照剪力和弯矩方程的类型，绘制出 相应的图线，便得到所需要的剪力图与弯矩图。
◎ 梁的剪力和弯矩
FQ
FQ
剪力FQ(FQy或FQz)对截开后所取研究对象产 生顺时针方向的矩者为正；产生逆时针方向的矩 者为负。
第2章 杆件的内力和内力图 弯矩的正负号规则
◎ 梁的剪力和弯矩
弯矩M(My或Mz) 作用在左侧面上使截开部分逆时针 方向转动；或者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方 向转动者为正；反之为负。 也可用下侧受拉、上侧受压为正；上侧受拉、下侧 受压为负来确定。
材料力学 第2章
第二章杆件的内力分析第一节杆件拉伸或压缩的内力一、轴向拉伸或压缩的概念轴向拉伸或压缩：由一对大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的外力作用下引起的，沿杆件长度发生的伸长或缩短。
二、工程实例三、轴力轴力图1、轴力与杆轴线重合的内力合力。
轴力符号：拉伸为正，压缩为负。
∑=0X0122=-+F F N kNF F N 242212-=-=-= ∑=0X34=-N FkNF N143==任一截面上的轴力等于该截面一侧轴向载荷的代数和，轴向载荷矢量离开该截面者取正，指向该截面者取负。
2、轴力图正对杆的下方，以杆的左端为坐标原点，取平行于杆轴线的直线为x 轴，并称为基线，垂直于x 轴的N 轴为纵坐标。
正值绘在基线的上方，负值绘在基线的下方，最后在图上标上各截面轴力的大小。
注意：轴力图与基线形成一闭合曲线。
轴力图必须与杆件对齐。
在轴向集中力作用的截面上，轴力图将发生突变，其突变的绝对值等于轴向集中力的大小，而突变方向：集中力箭头向左时向上突变，集中力箭头向右时向下突变（图是从左向右画）。
例2-10第二节剪切的内力一、剪切的概念剪切：由一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力引起的横截面沿外力作用方向发生的相对错动。
剪切面或受剪面 m-m二、工程实例三、剪力第三节杆件扭转的内力一、扭转的概念扭转：由一对大小相等、方向相反、作用面都垂直于杆轴的力偶引起的杆的任意两个横截面绕杆轴线的相对转动。
ϕ：扭转角；γ：剪切角二、工程实例三、扭矩某一截面上的扭矩等于其一侧各外力偶矩的代数和。
外力偶矩矢量指向该截面的取负，离开该截面的取正。
四、 扭矩图在外力偶作用的截面上，扭矩图将发生突变，其突变的的绝对值等于该外力偶矩的大小，而突变方向：外力偶矩矢量方向向左的向上突变，向右则向下突变。
外力偶矩的计算公式：)(9550m N nP Mk ⋅=注意：kP 单位为kw ；n 单位为min r ；M 单位为m N ⋅第四节 梁弯曲时的内力一、 弯曲 变形的基本概念弯曲变形：由一对大小相等、方向相反，位于杆的纵向平面内的力偶引起的，杆件的轴线由直线变为曲线。
第二章 杆件的内力分析
第二章杆件的内力分析要想对杆件进行强度、刚度和稳定性方面的分析计算，首先必须知道杆件横截面上的内力，因此，本章主要对此作分析讨论。
首先引入了内力的基本概念和求内力的基本方法——截面法，然后讨论了各种变形情况下截面上的内力及求解和内力图的绘制，这是材料力学最基本的知识。
第一节内力与截面法杆件因受到外力的作用而变形，其内部各部分之间的相互作用力也发生改变。
这种由于外力作用而引起的杆件内部各部分之间的相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。
内力的大小随外力的改变而变化，它的大小及其在杆件内部的分布方式与杆件的强度、刚度和稳定性密切相关。
为了研究杆件在外力作用下任一截面m-m上的内力，可用一平面假想地把杆件分成两部分，如图2-1a。
取其中任一部分为研究对象，弃去另一部分。
由于杆件原来处于平衡状态，截开后各部分仍应保持平衡，弃去部分必然有力作用于研究对象的m-m截面上。
由连续性假设，在m-m截面上各处都有内力，所以内力实际上是分布于截面上的一个分布力系（图2-1b）。
把该分布内力系向截面上某一点简化后得到内力的主矢和主矩，以后就称之为该截面上的内力。
但在工程实际中更有意义的是主矢和主矩在确定的坐标方向上的分量，如图2-1c，这六个内力分量分别对应着四种基本变形形式，依其所对应的基本变形，把这六个内力分量分别称为轴力、剪力、扭矩和弯矩。
（1）轴力。
沿杆件轴线方向（x轴方向）的内力分量FN，它垂直于杆件的横截面，使杆件产生轴向变形（伸长或缩短）。
（2）剪力。
与截面相切（沿y轴和z轴方向）的内力分量FQy、FQz ，使杆件产生剪切变形。
（3）扭矩。
绕x轴的主矩分量Mx，它是一个力偶，使杆件产生绕轴线转动的扭转变形。
（4）弯矩。
绕y轴和z轴的主矩分量My、Mz，它们也是力偶，使杆件产生弯曲变形。
为了求出这些内力分量，只需对所研究部分列出平衡方程就可。
这种计算截面上内力的方法通常称为截面法。
其步骤可归纳为：(1) 沿需要计算内力的截面假想地把构件分成两部分，取其中的任一部分作为研究对象, 弃去另一部分。
第二章 杆件的内力分析
（3）集中力P作用处：剪力图在P作用处有突变，突变值等于 P。弯矩图为一折线，P作用处有转折。
（4）集中力偶作用处：剪力图在力偶作用处无变化。弯矩图 在力偶作用处有突变，突变值等于集中力偶。
1.轴力图 §2-3 内力图 表示轴力沿杆轴线方向变化的图形,称为轴力图。 用x轴表示 杆轴线，其值代表截面位置， y轴表示对应截面的轴力。正值绘
FP1
y FR
My
M
FQ y
FQ z FQ x
x
Mz
(b)
FP2
z
为了显示并计算某一截面上的内力,可在该截面处用
一假想截面将构件一分为二并弃去其中一部分，将
弃去部分对保留部分的作用以内力的形式表示,然后
以保留部分为研究对象建立力学模型，再根据平衡
原理求出该截面上的内力 ，称为截面法。是确定构
件任意截面上内力值的基本方法 。
应用截面法不难证明，集中力作用点两侧两个无限接近的控 制面剪力将发生突变，集中力偶作用点两侧无限接近的截面弯矩 将发生突变。杆件两个相邻的非无限接近的控制面间的内力将分
别按不同的函数规律变化。进一步，根据荷载集度、剪力和弯 矩之间的微分关系及其几何意义，可得出画内力图的一些规律
如下： （1）q(x)=0 ： 剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。
§2-1内力与内力分量
1. 内力主矢与主矩
弹性体受力后产生变形，其内部各点均会发生相对位移，因 而产生附加的相互作用力，称为内力。无论杆件横截面上的内 力分布如何复杂，总可以将其向该截面某一简化中心简化，得
到一主矢和一主矩，二者分别称为内力主矢和内力主矩。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
FN1 5P 8P 4P P 0
FN1 2 P
同理，求得AB、 BC、CD段内力分
FN2
B PB FN3
C PC C PC
D PD D PD D PD
别为：
FN2= –3P
FN3= 5P FN4= P
FN4
轴力图如右图
FN 2P +
5P
+ P x
–
3P
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右: 遇到向左的P， 轴力FN 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力FN 增量为负。 8kN
为非对称弯曲。
平面弯曲：梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相 重合，这种弯曲称为平面弯曲。 对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲。
二、梁的计算简图
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。 集中力(concentrated force) 2. 载荷简化 集中力偶(concentrated moment) 分布载荷(distributed load)
的平面内作用一对大小相 等，方向相反的外力偶。
2．变形特征：横截面形状大小未变，只
是绕轴线发生相对转动。 轴：以扭转为主要变形的构件称为轴
Me Me
主轴 主轴
计算简图：
Me Me
二、外力偶矩的计算
已知：P—传递的功率,（kw） n—转速,（r/min） 求：外力偶矩Me ( N· m)
解：P M
1.剪力符号 使dx 微段有左端向上而右端向下的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使dx微段
+
m
FS
FS
m
有顺时针转动趋势的剪力为正.
dx
使dx微段有左端向下而右端向上的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使dx微 段有逆时针转动趋势的剪力为负.
m
FS
m dx
2.弯矩符号
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
设一等直杆在两端轴向拉力 F 的作用下处于平衡,
欲求杆件 横截面 mm 上的内力.
1.截面法(Method of sections) （1）截 F 在求内力的截面m-m 处, 假想地将杆截为两部分. m m F
（2）取 取左部分部分作为研 究对象. （3）代 弃去部分对研究对象 的作用以截开面上的内力 F m F
n
B C D
P2 150 m2 m3 9.549 9.549 4.77 (kN m) n 300 P4 200 m4 9.549 9.545 6.37 (kN m) n 300
②求扭矩（扭矩按正方向设）
mC 0 , T1 m2 0
T1 m2 4.77kN m
注意 1、用截面法求轴力时，在切开的截面上建议假设正 的轴力，由平衡方程得出的FN值为正，说明轴力为
正（拉力）； FN值为负，说明轴力为负（压力）。
2、在画轴力图时，填充为下画线或无填充，不要画剖
面线形式；并注上 符号 或
。
§2-2 扭转的概念.扭矩与扭矩图
一、扭转的概念
1．受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线
§2-1 轴向拉伸或压缩的概念.轴力与轴力图
一、轴向拉伸或压缩的概念
活塞杆
受力特点：力或合外力沿轴线方向 变形特点：沿轴向伸长或缩短 ——直杆的轴向拉伸或压缩 计算简图：
F 轴向拉伸 (axial tension) F F F
拉杆
轴向压缩
(axial compression) 压杆
二、求内力－截面法 m F F
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
-
m
m
（受压）
剪力与弯矩的符号规定：
若外力对截面形心取矩为顺 时针力矩，则该力在截面上 产生正的剪力，反之为负的 剪力（顺为正，逆为负）。
固定截面，若外力或外力偶 使梁产生上挑的变形，则该 力或力偶在截面上产生正的 弯矩，反之为负的弯矩（上 挑为正，下压为负）。
剪力 弯曲构件内力 弯矩 1. 剪力(Shear force) FS 构件受弯时，与横截面相切的分 布内力系的合力。 2.弯矩(Bending moment) M 构件受弯时，与横截面垂直的分 布内力系的合力偶矩。 FRAy
x
求内力——截面法
m
F
B
m
FRB
FS M
C
FRAy M
C
F
FS
FRB
内力的符号规定
Mechanics of Materials
§2-1 轴向拉伸或压缩的概念.轴力与轴力图 §2-2 扭转的概念.扭矩与扭矩图 §2-3 弯曲的概念.剪力与弯矩 §2-4 剪力方程与弯矩方程.剪力图和弯矩图 §2-5 载荷集度、剪力与弯矩之间的关系 *§2-6 按叠加原理和数值法计算弯矩
§2-7 平面刚架与平面曲杆的弯矩内力 §2-8 杆件内力的普遍情况
对称弯曲：工程中最常见的梁，其横截面一般至少有一根对称 轴，因而整个杆件有一个包含轴线的纵向对称面。
若所有外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变 形后的轴线将是位于该平面内的一条曲线，这种弯 曲形式称为对称弯曲。
纵向对称面
轴线
变形后的轴线
非对称弯曲 ：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内这种弯曲称
三、弯曲内力
a
F
B l
[例4] 如图示简支梁，已知F，a， A l， 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
Fx 0 ,
FRAx 0
FRAxA
F
B
FRAy Fa m A 0 , FRB l F (l a ) Fy 0 , FRAy l
ห้องสมุดไป่ตู้
FRB
F (l a ) Fy 0 , FS FRAy l FRAxA mC 0 , M FRAy x
5kN 5kN +
3kN
8kN –
3kN
[例2] 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出 杆的轴力图。 解：x 坐标向右为正，坐标原点在 自由端。
q(x)
L x q O
取左侧x 段为对象，内力FN(x)为：
q(x) x qL x
x
FNx
FN O –
kL2 2
1 2 FN ( x) kx dx kx 0 2 1 2 FN ( x) max kL 2
(tensile force) （2）若轴力的指向截面，
则规定为负的,称为压力 (compressive force) FN
m
F
m
三、轴力图(Axial force diagram)
用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线
的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位 置关系的图线，称为轴力图 . 将正的轴力画在x轴上侧，负的画
[例5] 求图（a）所示悬臂梁1－1、2－2截面处的内力。
qL
2
1 1 a 2
q
解：截面法求内力。 1－1截面处截取的分离体
b
如图（b）示。
y qL
x
A
图（a）
F
y
qL FS1 0
FS1 qL
M1 x FS1 图（b）
mA ( Fi ) qLx M 1 0 M 1 qLx
M M — 集中力偶
悬臂梁 (cantilever beam)
q(x) — 分布力
外伸梁(overhanging beam) q — 均布力 P — 集中力
5. 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。 跨：梁在两支座之间的部分称为跨，其长度称为梁的跨长。
扭矩画在 x 轴上方，负的扭矩画在 x 轴下方.
x
[例3]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩
图。
解：①计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
P 500 1 m1 9.549 9.549 n 300 A 15.9(kN m)
3. 支座简化
A
FRAy
固定铰支座 (pin support)
A A
FRAx A
A
可动铰支座 (roller support)
A
A
FRA
A
固定端
M
FRy
(clamped support or fixed end)
FRx
4. 梁的三种基本形式 简支梁 (simply supported beam)
2－2截面处截取的分离体如图（c） qL
2 1
q
F
y
qL FS2 q( x a) 0
y qL
1 a
x
2
b
FS2 q( x a L)
mB ( Fi ) 0 , 1 qLx M 2 q( x a) 2 0 2
图（a） B M2 x FS2
m2
1
m3
2
m1
3
m4
T2 m2 m3 0 ,
A
1
B
2
C