第二章 杆件的内力.截面法(第1、2、3节)

m F m m FN
代替,合力为FN .
（4）平 对研究对象列平衡方程
式中：FN 为杆件任一横截面 mm上的内力.与杆的轴线重合，
即垂直于横截面并通过其形心,
称为轴力(axial force)。
FN = F
m
2.轴力符号的规定
F
F
m （1）若轴力的背离截面，
m 则规定为正的,称为拉力 F m FN
M M — 集中力偶
悬臂梁 (cantilever beam)
q(x) — 分布力
外伸梁(overhanging beam) q — 均布力 P — 集中力
5. 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。 跨：梁在两支座之间的部分称为跨，其长度称为梁的跨长。
Me
Me
n e 30 n P 1000 M e 30
Me
由此求得外力偶矩：
P 1000 30 P 9549 (N . m) n n
若传递功率单位为马力（PS)时, 由于PS=735.5N· m/s
P M e 7024 (N . m) n
三、内力的计算 1.求内力 截面法 (Method of sections) 在n – n 截面处假想将轴截开 取左侧为研究对象 Me Me
m2 m3 m1 m4
n A T
– 4.77 – 9.55
B
C
6.37
D
x
§2-3 弯曲的概念.剪力与弯矩
一、弯曲的概念 受力特点：在包含杆轴的纵向平面内作用一对大小相等、 方向相反的力偶或在垂直于杆件轴线方向作用 横向力。 变形特点：杆件轴线由直线变为曲线。
梁
以弯曲变形为主要变形的杆件。
工程实例
对称弯曲：工程中最常见的梁，其横截面一般至少有一根对称 轴，因而整个杆件有一个包含轴线的纵向对称面。
若所有外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变 形后的轴线将是位于该平面内的一条曲线，这种弯 曲形式称为对称弯曲。
纵向对称面
轴线
变形后的轴线
非对称弯曲 ：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内这种弯曲称
扭矩画在 x 轴上方，负的扭矩画在 x 轴下方.
x
[例3]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩
图。
解：①计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
P 500 1 m1 9.549 9.549 n 300 A 15.9(kN m)
2－2截面处截取的分离体如图（c） qL
2 1
q
F
y
qL FS2 q( x a) 0
y qL
1 a
x
2
b
FS2 q( x a L)
mB ( Fi ) 0 , 1 qLx M 2 q( x a) 2 0 2
图（a） B M2 x FS2
为非对称弯曲。
平面弯曲：梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相 重合，这种弯曲称为平面弯曲。 对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲。
二、梁的计算简图
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。 集中力(concentrated force) 2. 载荷简化 集中力偶(concentrated moment) 分布载荷(distributed load)
1 M 2 q( x a) 2 qLx 2
图（c）
建议：求截面FS和M时，均按规定正向假设， 这样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为 正的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯 矩正负号也作同样判断。
3. 支座简化
A
FRAy
固定铰支座 (pin support)
A A
FRAx A
A
可动铰支座 (roller support)
A
A
FRA
A
固定端
M
FRy
(clamped support or fixed end)
FRx
4. 梁的三种基本形式 简支梁 (simply supported beam)
Mx 0
T Me
Me T
2.扭矩符号的规定 采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的 指向背离截面时扭矩为正，反之为负. 3.扭矩图(Torque diagram)
Me
n
Me • x
n T • x Me • T •
x
用平行于杆轴线的坐标 x 表示 Me
横截面的位置；用垂直于杆轴线的
坐标 T 表示横截面上的扭矩，正的 T + _
在x轴下侧.
FN
O
x
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。 O A PA FN1 A PA B PB B PB C PC C PC D PD D PD
解： 求OA段内力FN1：设置截面如图
F
x
0 FN1 PA PB P PD 0 C
(tensile force) （2）若轴力的指向截面，
则规定为负的,称为压力 (compressive force) FN
m
F
m
三、轴力图(Axial force diagram)
用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线
的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位 置关系的图线，称为轴力图 . 将正的轴力画在x轴上侧，负的画
注意 1、用截面法求轴力时，在切开的截面上建议假设正 的轴力，由平衡方程得出的FN值为正，说明轴力为
正（拉力）； FN值为负，说明轴力为负（压力）。
2、在画轴力图时，填充为下画线或无填充，不要画剖
面线形式；并注上 符号 或
。
§2-2 扭转的概念.扭矩与扭矩图
一、扭转的概念
1．受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线
5kN 5kN +
3kN
8kN –
3kN
[例2] 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出 杆的轴力图。 解：x 坐标向右为正，坐标原点在 自由端。
q(x)
L x q O
取左侧x 段为对象，内力FN(x)为：
q(x) x qL x
x
FNx
FN O –
kL2 2
1 2 FN ( x) kx dx kx 0 2 1 2 FN ( x) max kL 2
[例5] 求图（a）所示悬臂梁1－1、2－2截面处的内力。
qL
2
1 1 a 2
q
解：截面法求内力。 1－1截面处截取的分离体
b
如图（b）示。
y qL
x
A
图（a）
F
y
qL FS1 0
FS1 qL
M1 x FS1 图（b）
mA ( Fi ) qLx M 1 0 M 1 qLx
1.剪力符号 使dx 微段有左端向上而右端向下的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使dx微段
+
m
FS
FS
m
有顺时针转动趋势的剪力为正.
dx
使dx微段有左端向下而右端向上的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使dx微 段有逆时针转动趋势的剪力为负.
m
FS
m dx
2.弯矩符号
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
设一等直杆在两端轴向拉力 F 的作用下处于平衡,
欲求杆件 横截面 mm 上的内力.
1.截面法(Method of sections) （1）截 F 在求内力的截面m-m 处, 假想地将杆截为两部分. m m F
（2）取 取左部分部分作为研 究对象. （3）代 弃去部分对研究对象 的作用以截开面上的内力 F m F
m2
1
m3
2
m1
3
m4
T2 m2 m3 0 ,
A
1
B
2
C
n 3 D
T2 m2 m3 (4.77 4.78) 9.55kN m T3 m4 0 , T2 m4 6.37kN m
③绘制扭矩图
T max 9.56 kN m BC段为危险截面。
FN1 5P 8P 4P P 0
FN1 2 P
同理，求得AB、 BC、CD段内力分
FN2
B PB FN3
C PC C PC
D PD D PD D PD
别为：
FN2= –3P
FN3= 5P FN4= P
FN4
轴力图如右图
FN 2P +
5P
+ P x
–
3P
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右: 遇到向左的P， 轴力FN 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力FN 增量为负。 8kN
的平面内作用一对大小相 等，方向相反的外力偶。
2．变形特征：横截面形状大小未变，只
是绕轴线发生相对转动。 轴：以扭转为主要变形的构件称为轴
Me Me
主轴 主轴
计算简图：
Me Me
二、外力偶矩的计算
已知：P—传递的功率,（kw） n—转速,（r/min） 求：外力偶矩Me ( N· m)
解：P M
Mechanics of Materials
§2-1 轴向拉伸或压缩的概念.轴力与轴力图 §2-2 扭转的概念.扭矩与扭矩图 §2-3 弯曲的概念.剪力与弯矩 §2-4 剪力方程与弯矩方程.剪力图和弯矩图 §2-5 载荷集度、剪力与弯矩之间的关系 *§2-6 按叠加原理和数值法计算弯矩
§2-7 平面刚架与平面曲杆的弯矩内力 §2-8 杆件内力的普遍情况
n
B C D
P2 150 m2 m3 9.549 9.549 4.77 (kN m) n 300 P4 200 m4 9.549 9.545 6.37 (kN m) n 300
②求扭矩（扭矩按正方向设）
mC 0 , T1 m2 0
T1 m2 4.77kN m
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
-
m
m
（受压）
剪力与弯矩的符号规定：
若外力对截面形心取矩为顺 时针力矩，则该力在截面上 产生正的剪力，反之为负的 剪力（顺为正，逆为负）。
固定截面，若外力或外力偶 使梁产生上挑的变形，则该 力或力偶在截面上产生正的 弯矩，反之为负的弯矩（上 挑为正，下压为负）。
§2-1 轴向拉伸或压缩的概念.轴力与轴力图
一、轴向拉伸或压缩的概念
活塞杆
受力特点：力或合外力沿轴线方向 变形特点：沿轴向伸长或缩短 ——直杆的轴向拉伸或压缩 计算简图：
F 轴向拉伸 (axial tension) F F F
拉杆
轴向压缩
(axial compression) 压杆
二、求内力－截面法 m F F
三、弯曲内力
a
F
B l
[例4] 如图示简支梁，已知F，a， A l， 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
Fx 0 ,
FRAx 0
FRAxAFra Baidu bibliotek
F
B
FRAy Fa m A 0 , FRB l F (l a ) Fy 0 , FRAy l
FRB
F (l a ) Fy 0 , FS FRAy l FRAxA mC 0 , M FRAy x
剪力 弯曲构件内力 弯矩 1. 剪力(Shear force) FS 构件受弯时，与横截面相切的分 布内力系的合力。 2.弯矩(Bending moment) M 构件受弯时，与横截面垂直的分 布内力系的合力偶矩。 FRAy
x
求内力——截面法
m
F
B
m
FRB
FS M
C
FRAy M
C
F
FS
FRB
内力的符号规定