2014届高三人教A版数学(理)一轮复习课后作业(31)《数列的概念与简单表示法》Word版含解析

课后作业(三十一) 数列的概念与简单表
示法
一、选择题
1．如图5－1－2，关于星星的图案中星星的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )
图5－1－2
A ．a n ＝n 2－n ＋1
B ．a n ＝
n （n －1）2
C ．a n ＝n （n ＋1）2
D ．a n ＝n （n ＋2）2
2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 10＝( )
A ．1 024
B ．1 023
C ．2 048
D ．2 047
3．(2013·东莞调研)已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( )
A ．2n －1
B ．(n ＋1n )n －1
C ．n 2
D ．n
4．(2013·河源质检)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝( )
A ．1
B ．9
C ．10
D ．55
5．(2013·佛山模拟)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }
的前n 项和，则S 21为( )
A ．5 B.72 C.92 D.132
二、填空题
6．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝
________．
7．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________．
8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，且1＜S k
＜9(k ∈N *)，则a 1的值为________，k 的值为________．
三、解答题
9．已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1
，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)判断数列{c n }的增减性．
10．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12
a n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值；
(2)求数列{a n }的通项公式．
11．(2013·湛江质检)在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n ＝6n ＋2，点(a n n ，
b n )在y ＝x 3＋mx 的图象上，{b n }的最小项为b 3.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求m 的取值范围．
解析及答案
一、选择题
1．【解析】 观察所给图案知，a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2
. 【答案】 C
2．【解析】 ∵a n ＋1＝a n ＋2n ，
∴a n －a n －1＝2n －1(n ≥2)，
∴a 10＝(a 10－a 9)＋(a 9－a 8)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1
＝29＋28＋…＋2＋1＝210－1＝1 023.
【答案】 B
3．【解析】 ∵a n ＝n (a n ＋1－a n )，∴a n ＋1a n
＝n ＋1n ， ∴a n ＝a n
a n －1×a n －1a n －2×a n －2
a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1＝n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×32×21×1＝n .
【答案】 D
4．【解析】 ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，
∴令n ＝9，m ＝1，即得S 9＋S 1＝S 10，
S 1＝S 10－S 9＝a 10＝1，∴a 10＝1.
【答案】 A
5．【解析】 ∵a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，
∴a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2，a 4＝2，…
故a 2n ＝2，a 2n －1＝12－2.
∴S 21＝10×12＋a 1＝5＋12－2＝72.
【答案】 B
二、填空题
6．【解析】 ∵a p ＋q ＝a p ＋a q ，
∴a 36＝a 32＋a 4＝2a 16＋a 4＝4a 8＋a 4＝8a 4＋a 4＝18a 2＝36a 1＝4.
【答案】 4
7．【解析】 由题意知：a 1·a 2·a 3…a n －1＝(n －1)2，
∴a n ＝(n n －1
)2(n ≥2)， ∴a 3＋a 5＝(32)2＋(54)2＝6116.
【答案】 6116
8．【解析】 当n ＝1时，a 1＝23a 1－13，∴a 1＝－1.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －13－(23a n －1－13)
＝23a n －23a n －1，
∴a n a n －1
＝－2， ∴数列{a n }是首项为－1，公比为－2的等比数列，
∴a n ＝－(－2)n －1，S n ＝－23×(－2)n －1－13.
由1＜－23×(－2)k －1－13
＜9得－14＜(－2)k －1＜－2， 又k ∈N *，∴k ＝4.
【答案】 －1 4
三、解答题
9． n －1(n ≥2)．
∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧23（n ＝1），
1n （n ≥2）.
(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1
＝1
n ＋1＋1
n ＋2＋…＋
12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1
＜0， ∴{c n }是递减数列．
10．【解】 (1)由S n ＝12a 2n ＋12
a n (n ∈N *)可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1；
S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；
同理，a 3＝3，a 4＝4.
(2)S n ＝a n 2＋12a 2n ， ①
当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1，
②
①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0.
由于a n ＋a n －1≠0，
所以a n －a n －1＝1，
又由(1)知a 1＝1， 故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .
11．【解】 (1)∵a n ＋1－a n ＝6n ＋2，
∴当n ≥2时，a n －a n －1＝6n －4.
∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(6n －4)＋(6n －10)＋…＋8＋2
＝（n －1）[8＋（6n －4）]2
＋2＝3n 2－3n ＋2n －2＋2 ＝3n 2－n ，
显然a 1也满足a n ＝3n 2－n ，
∴a n ＝3n 2－n .
(2)∵点(a n n ，b n )在y ＝x 3＋mx 的图象上，
∴b n ＝(3n －1)3＋m (3n －1)．
∴b 1＝8＋2m ，b 2＝125＋5m ，b 3＝512＋8m ，b 4＝1 331＋11m .
∵{b n }的最小项是b 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧8＋2m ≥512＋8m ，125＋5m ≥512＋8m ，1 331＋11m ≥512＋8m ，
∴－273≤m ≤－129.
∵b n ＋1＝(3n ＋2)3＋m (3n ＋2)，
b n＝(3n－1)3＋m(3n－1)，
∴b n＋1－b n＝3[(3n＋2)2＋(3n－1)2＋(3n＋2)(3n－1)]＋3m＝3(27n2＋9n＋3＋m)，
当n≥4时，27n2＋9n＋3＞273，∴27n2＋9n＋3＋m＞0，
∴b n＋1－b n＞0，∴n≥4时，b n＋1＞b n.
综上可知－273≤m≤－129，
∴m的取值范围为[－273，－129]．。