中考数学大复习第二编中档专项训练篇中档题型训练三角形、四边形中的相关证明及计算试题

中档题型训练(四) 三角形、四边形中的相关证明及计算纵观近5年遵义市中考题，三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合起来考查；四边形中要特别关注平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定，以及运用其性质解决有关计算的问题．三角形的有关计算及证明【例1】(2016遵义一中一模中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为AC 边的中点，过点A 作AD⊥AB 交BE 的延长线于点D.CG 平分∠ACB 交BD 于点G ，F 为AB 边上一点，连接CF ，且∠ACF＝∠CBG. 求证：(1)AF ＝CG ；(2)CF ＝2DE.【解析】(1)要证明AF ＝CG ，可以利用“ASA ”证明△ACF≌△CBG 来得到；(2)要证明CF ＝2DE ，由(1)得CF ＝BG ，则只要证明BG ＝2DE ，又利用△AED≌△CEG 可得DG ＝2DE ，再证明DG ＝BG 即可．【学生解答】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG 平分∠ACB，AC ＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又∵∠ACF＝∠CBG ，AC ＝BC ，∴△ACF ≌△CBG(ASA )，∴CF ＝BG ，AF ＝CG ；(2)延长C G 交AB 于点H.∵AC＝BC ，CG 平分∠ACB，∴CH ⊥AB ，H 为AB 中点．又∵AD⊥AB，∴CH ∥AD ，∠D ＝∠EGC.又∵H 为AB 中点，∴G 为BD 中点，∵E 为AC 中点，∴AE ＝EC.又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED ≌△CEG(AAS )，∴DE ＝EG ，∴DG ＝2DE ，∴BG ＝DG ＝2DE.由(1)得CF ＝BG ，∴CF ＝2DE.1．(2016遵义十一中二模)已知：如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，AB ＝10，D 为△ABC 外一点，连接AD ，BD ，过D 作DH⊥AB，垂足为H ，交AC 于E.若△ABD 是等边三角形，求DE 的长．解：∵△ABD 是等边三角形，AB ＝10，∴∠ADB ＝60°，AD ＝AB ＝10.∵DH ⊥AB ，∴AH ＝12AB ＝5.∴DH＝AD 2－AH 2＝102－52＝5 3.∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°.∴∠AEH ＝45°.∴EH ＝AH ＝5.∴DE ＝DH －EH ＝53－5.2．(2016遵义红花岗一模)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在边BC 上．若DE ＝DF ，AD ＝2，BC ＝6，求四边形AEDF 的周长．解：∵AB＝AC ，E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，∴AE ＝AF ＝12AB.又∵DE＝DF ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD.∴∠EAD ＝∠FAD.∴AD⊥BC，且D 是BC 的中点．在Rt △ABD 中，∵E 是斜边AB 的中点，∴DE ＝AE.同理，DF ＝AF.∴四边形AEDF 的周长是2AB.在Rt △ABD 中，AD ＝2，BD ＝12BC ＝3，AB ＝4＋9＝13，∴四边形AEDF 的周长为213. 3．(2016遵义六中三模)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，F 为BC 中点，BE 与DF ，DC 分别交于点G ，H ，∠ABE ＝∠CBE.(1)线段BH 与AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG 2－GE 2＝EA 2.证明：(1)BH ＝AC .∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC ＝45°，∴∠BCD ＝45°＝∠ABC，∴DB ＝DC.又∵∠BHD＝∠CHE，∴∠DBH ＝∠DCA.∴△DBH≌△DCA，∴BH ＝AC ；(2)连接GC.则GC 2－GE 2＝EC 2.∵F 为BC 中点，DB＝DC ，∴DF 垂直平分BC ，∴BG ＝GC.∴BG 2－GE 2＝EC 2.∵∠ABE ＝∠CBE，∠CEB ＝∠AEB，BE ＝BE ，∴△BCE ≌△BAE.∴EC ＝EA ，∴BG 2－GE 2＝EA 2.4．(2016遵义十一中二模)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足是D ，AE 平分∠BAD，交BC 于点E.在△ABC 外有一点F ，使FA⊥AE，FC ⊥BC.(1)求证：BE ＝CF ；(2)在AB 上取一点M ，使BM ＝2DE ，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME. 求证：①ME⊥BC；②DE＝DN.证明：(1)∵∠BAC＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB＝45°.∵FC ⊥BC ，∴∠BCF ＝90°.∴∠ACF ＝90°－45°＝45°，∴∠B ＝∠ACF.∵∠BAC ＝90°，FA ⊥AE ，∴∠BAE ＋∠CAE＝90°，∠CAF ＋∠CAE＝90°，∴∠BAE ＝∠CAF.在△ABE 和△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CAF，AB ＝AC ，∠B ＝∠ACF，∴△ABE ≌△ACF(ASA )．∴BE＝CF ；(2)①过点E 作EH⊥AB 于H ，则△BEH 是等腰直角三角形．∴HE＝BH ，∠BEH ＝45°.∵AE 平分∠BAD，AD ⊥BC ，∴DE ＝HE ，∴DE ＝BH ＝HE.∵BM＝2DE ，∴HE ＝HM ，∴△HEM 是等腰直角三角形，∴∠MEH ＝45°，∴∠BEM ＝45°＋45°＝90°，∴ME ⊥BC.②由题意，得∠CAE＝45°＋12×45°＝67.5°，∴∠CEA ＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠CAE ＝∠CEA＝67.5°，∴AC ＝CE.在Rt △ACM 和Rt △ECM 中，⎩⎪⎨⎪⎧CM ＝CM ，AC ＝CE ，∴Rt △ACM ≌Rt △ECM(HL )，∴∠ACM ＝∠ECM ＝12×45°＝22.5°.又∵∠DAE＝12×45°＝22.5°，∴∠DAE ＝∠ECM.∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD ＝CD ＝12BC.在△ADE 和△CDN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE ＝∠ECM，AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDN，∴△ADE ≌△CDN(ASA )，∴DE ＝DN.四边形的有关计算及证明【例2】(2014邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE 沿BE 翻折，使点A 落在对角线BD 上的M 点；将△CDF 沿DF 翻折，使点C 落在对角线BD 上的N 点．(1)求证：四边形BFDE 是平行四边形；(2)若四边形BFDE 是菱形，AB ＝2，求菱形BFDE 的面积．【解析】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE 是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°，利用锐角三角函数可求出AE 、BE ，进而求出AD 、DE ，即可求出菱形BFDE 的面积．【学生解答】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠C＝90°，AB ＝CD.由翻折得：BM ＝AB ，DN ＝DC ，∠A ＝∠EMB，∠C ＝∠DNF，∴BM ＝DN ，∠EMB ＝∠DNF＝90°，∴BN ＝DM ，∠EMD ＝∠FNB＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠EDM ＝∠FBN，∴△EDM ≌△FBN(ASA )，∴ED ＝BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形；(2)∵四边形BFDE 是菱形，∴∠EBD ＝∠FBD.∵∠ABE ＝∠EBD，∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝13×90°＝30°.在Rt △ABE 中，∵AB ＝2，∴AE ＝233，BE ＝433，∴ED ＝433，∴S 菱形BFDE ＝ED·AB＝433·2＝833.5．(2016遵义航天中学一模)如图，已知△ABC.按如下步骤作图：①以A 为圆心，AB 长为半径画弧；②以C 为圆心，CB 长为半径画弧，两弧相交于点D ；③连接BD ，与AC 交于点E ，连接AD ，CD.(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)若∠BAC＝30°，∠BCA ＝45°，AC ＝4，求BE 的长．解：(1)在△ABC 与△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，BC ＝CD ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC(SSS )；(2)设BE ＝x ，∵∠BAC ＝30°，∴∠ABE ＝60°，∴AE ＝tan 60°·x ＝3x ，∵∠BCA ＝45°，∴CE ＝BE ＝x ，∴3x ＋x ＝4，∴x ＝23－2，∴BE ＝23－2.6．(2016温州中考)如图，E 是▱ABCD 的边CD 的中点，延长AE 交BC 的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE.(2)若∠BAF＝90°，BC ＝5，EF ＝3，求CD 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAE ＝∠F，∠D ＝∠ECF，∵E 是▱ABCD 的边CD 的中点，∴DE ＝CE ，在△ADE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE＝∠F，∠D ＝∠ECF，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE(AAS )；(2)∵ADE≌△FCE，∴AE ＝EF＝3，∵AB ∥CD ，∴∠AED ＝∠BAF＝90°，在▱ABCD 中，AD ＝BC ＝5，∴DE ＝AD 2－AE 2＝52－32＝4，∴CD ＝2DE ＝8.7．(2016青岛中考)已知：如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 上的点，且AE ＝CF ，直线EF 分别交BA 的延长线、DC 的延长线于点G ，H ，交BD 于点O.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)连接DG ，若DG ＝BG ，则四边形BEDF 是什么特殊四边形？请说明理由．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，∠BAE ＝∠DCF，在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠DCF，AE ＝CF ，，∴△ABE ≌△CDF(SAS )；(2)四边形BEDF 是菱形；理由如下：如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∵AE ＝CF ，∴DE ＝BF ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴OB ＝OD ，∵DG ＝BG ，∴EF ⊥BD ，∴四边形BEDF 是菱形．8．(2016滨州中考)如图，BD 是△ABC 的角平分线，它的垂直平分线分别交AB ，BD ，BC 于点E ，F ，G ，连接ED ，DG.(1)请判断四边形EBGD 的形状，并说明理由；(2)若∠ABC＝30°，∠C ＝45°，ED ＝210，点H 是BD 上的一个动点，求HG ＋HC 的最小值．解：(1)四边形EBGD 是菱形．理由：∵EG 垂直平分BD ，∴EB ＝ED ，GB ＝GD ，∴∠EBD ＝∠EDB，∵∠EBD ＝∠DBC，∴∠EDF ＝∠GBF，在△EFD 和△GFB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EDF ＝∠GBF，∠EFD ＝∠GFB，DF ＝BF ，∴△EFD ≌△GFB ，∴ED ＝BG ，∴BE ＝ED ＝DG ＝GB ，∴四边形EBGD 是菱形；(2)作EM⊥BC 于点M ，DN ⊥BC 于点N ，连接EC 交BD 于点H ，此时HG ＋HC 最小，在Rt △EBM 中，∵∠EMB ＝90°，∠EBM ＝30°，EB ＝ED ＝210，∴EM ＝12BE ＝10，∵DE ∥BC ，EM ⊥BC ，DN ⊥BC ，∴EM ∥DN ，EM ＝DN ＝10，MN ＝DE ＝210，在Rt △DNC 中，∵∠DNC ＝90°，∠DCN ＝45°，∴∠NDC ＝∠NCD＝45°，∴DN ＝NC ＝10，∴MC ＝310，在Rt △EMC 中，∵∠EMC＝90°，EM ＝10.MC ＝310，∴EC ＝EM 2＋MC2＝（10）2＋（310）2＝10.∵H G ＋HC ＝EH ＋HC ＝EC ，∴HG ＋HC 的最小值为10.。