微积分II期末练习题
(微积分II)课外练习题 期末考试题库
《微积分Ⅱ》课外练习题一、选择：1. 函数在闭区间上连续是在上可积的． ( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．无关条件2. 二元函数定义域是． ( ) B．D．比较大小：． ( )B． C． D．不确定4.微分方程的阶数是． ( )A．5 B．3 C．2 D．15.下列广义积分发散的是． ( )A． B． C． D．6.是级数收敛的条件． ( )A．必要非充分 B．充分非必要 C．充分必要 D．无关7．如果点为的极值点，且在点处的两个一阶偏导数存在,则点必为的． ( )最大值点 B．驻点 C．最小值点 D．以上都不对微分方程是微分方程． ( )A．一阶线性非齐次 B. 一阶齐次 C. 可分离变量的 D. 一阶线性齐次9 .设是第一象限内的一个有界闭区域，而且。
记，，，则的大小顺序是． ( )C. D.10. 函数的连续区域是． ( )B.D.1. ． ( )B. C. D.12．下列广义收敛的是． ( ) A． B． C． D．．下列方程中，不是微分方程的是． ( ) A． B． C． D．．微分方程的阶数是． ( )A．5 B．3 C．2 D．1．二元函数的定义域是． ( )A． B．C． D．．设，则 ( )A． B． C． D．．= 其中积分区域D为区域：． ( )A． B． C． D．18．下列等式正确的是． ( ) A．B．C．D．19．二元函数的定义域是． ( )A． B．C． D．20．曲线在上连续，则曲线与以及轴围成的图形的面积是．( )A．B．C．D．||．． ( )A． B． C． D．22．= 其中积分区域D为区域：． ( )A． B． C． D．23.下列式子中正确的是． ( )A． B．C． D．以上都不对24. 二元函数的定义域是 ( )A． B．C． D．25.二元函数在点的某一邻域内有连续的偏导数是函数在点的．( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．无关条件26.设，则． ( )A． B． C． D．. ． ( )A． B． C． D．. = 其中积分区域D为区域：． ( )A． B． C． D．29． ． ( )A． B． C． D．30． 则=． ( )A． B． C． D．31．函数的连续区域是． ( )A． B．C． D．32． ． ( )A． B． C． D．33．差分方程的阶数为． ( )A. B. C. D.34．微分方程的阶数是 ( )A． B． C． D．35．函数的定义域是． ( )A． B．C． D．36．级数的部分数列有界是该级数收敛的． ( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．无关条件37． ，其中积分区域D为区域． ( )A. B. C. D.38．微分方程的阶是． ( )A．一阶 B． 二阶 C．三阶 D．以上均不对 39．． ( )A． B． C． D．40．二元函数的定义域是 ( )A． B．C． D．以上都不对41．设，则 ( )A． B． C． D．42．下列式子中正确的是． ( )A． B． C． D．以上都不对43．， ( )A. B. C. D.44.微分方程是． ( )A．一阶线性非齐次微分方程 B．一阶齐次微分方程C．可分离变量的微分方程 D．不可分离变量的微分方程45. 设是第二象限内的一个有界闭区域，而且。
微积分II真题含答案
微积分II真题含答案微积分II真题含答案一、填空题（每题3分，共30分）1、函数的定义域是____________. 2、设，则________________. 3、广义积分的敛散性为_____________. 4、____________ . 5、若 . 6、微分方程的通解是____. 7、级数的敛散性为 . 8、已知边际收益R/(x)=3x2+1000,R(0)=0,则总收益函数R(x)=____________. 9、交换的积分次序= . 10、微分方程的阶数为_____阶. 二、单选题（每题3分，共15分）1、下列级数收敛的是（）A，B，C，D，2、，微分方程的通解为（）A，B，C，D，3、设D为：，二重积分=（）A, B, C, D，0 4、若A, B, C, D, 5、=（）A, 0 B, 1 C, 2 D, 三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共32分）1．已知2. 求，其中D是由，x=1和x轴围成的区域。
3. 已知z=f(x,y)由方程确定，求4.判定级数的敛散性. 四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：1. 求由和x轴围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。
2. 已知x表示劳动力，y表示资本，某生产商的生产函数为，劳动力的单位成本为200元，，每单位资本的成本为400元，总1/ 14预算为*****元，问生产商应如何确定x和y，使产量达到最大？。
五、证明题（5分）一、填空题（每小题3分，共30分）1, 2，3，发散4，0 5，6，y=cx 7，收敛8，R(x)=x3+1000x 9，10，2 二、单选题（每小题3分，共15分）1，B 2，B 3，C 4，C 5，D 三、计算题（每小题8分，共32分）1、解：令2、3、整理方程得：4、先用比值判别法判别的敛散性，（2分）收敛，所以绝对收敛。
(交错法不行就用比较法) （8分）四、应用题（每小题9分，共18分）1、解：2、解：约束条件为200x+400y-*****=0 （2分）构造拉格朗日函数，（4分）,求一阶偏导数，（6分）得唯一解为：，（8分）根据实际意义，唯一的驻点就是最大值点，该厂获得最大产量时的x为40，y为230. （9分）五、证明题（5分）证明：设对等式两边积分，得：（2分）（4分）解得：题设结论得证。
江西财经大学微积分II期末考试题及答案
x
b
其中
F () lim F ( x)
x
f ( x)dx f ( x)dx
c
c
f ( x)dx
其中 c 为任意取定的常数. 当且仅当右端两个广义积分都收敛时,左端的广义积分 才收敛,否则发散.
9.已知f ( x) sin x，则 f ( x)dx •••••• • ;
10.• lim 若
x 0
x
0
arctan xdx x
2
1，则 •••••• ;
x 2n 1 x 12.• e ，则级数 若 ••••••• ; n! n 0 n ! n2 n
五、(1).求 xy 2 dxdy, 其中D ( x, y) |1 x 2 y 2 2
D
(2).求 ( x x 2 y 2 )d，其中D : x 2 y 2 1.
六、1.设D ( x, y ) | ( x 1) y 1, y 2 x, x 2 ,
2 1 1 x2 II : 1.• 2. 3. x x 1 dx•••• •0 4 x 2 dx ••••• •0 arctan xdx
y 2Z 2Z 四、设z arctan ，求dz和 2 2 1. x x y
2.•求分程y y y x的通解
2Z 3.设z f ( x y, x sin y )，求dz和 xy
练习思考题
一、填空题
1.• z x 2 2 x y 2的驻点为•••••••••• 求 ;
2.已知f ( x)的弹性函数为 x，则f ( x) •••••• • ;
微积分II期末模拟试卷3套含答案.docx
17、求曲线x3-xy+y3=l(x>0,y>0)±的点到坐标原点的最长距离和最短距离。
微积分II期末模拟试卷3(满分：100分；测试时间：100分钟) 三、填空题(3X5=15)
『1-/_“2
1、曲线<X=Joe du在(0, 0)处的切线方程为
y = t2ln(2-r2)
”=i2”=]n
(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与入有关
7、曲线y=y(x)经过点(0,-1),且满足微分方程y'+2y = 4兀，则当兀=1时，y=()
(A)0；(B)l；(C)2；(D)4
8、设q,是圆域D = {(x,y)|/+y2 si}的第£象限的部分，记Ik=^{y-x)dxdy.则
(A)/, >/2>1.(B) l>/j >/2.(C)I2>/j >1.(D)l>/2>/,.
五、计算题(5X10=50)
12、计算下列定积分
1
(1)j2|ycsi：兀力.(2)求y=cos x - sin x, y = 0(0 < x < —) ^ x轴旋转的旋转体体积
12、计算下列多元微积分
(1)设z=f[x2-y.(p{xy)],其中f(〃，0具有二阶连续偏导数，(p(u)二阶可导，求
y = Jo ln(l + u)du
dx cf
2te= 0< dt
x —o = °
16、设非负函数y = y(x)(xnO)满足微分方程尢y"-y+2 = 0,当曲线y = y(x)过原点
时，其与直线x = \&y =0围成平面区域Q的面积为2,求D绕y轴旋转所得旋转体体积。
微积分 II 考试试卷
(A) tan x2 (B) 2x sec x2 (C) tan b2 tan a2 (D) 03. 下列叙述正确的是( )．(A) 若f (x, y) 在(x , y ) 连续，则函数在(x , y ) 必偏导数存在；0 0 0 0(B) 若f (x, y) 在(x , y ) 偏导数存在，则函数在(x , y ) 必连续；0 0 0 0(C) 若f (x, y) 在(x , y ) 偏导数存在，则函数在(x , y ) 必可微；0 0 0 0(D) 若f (x, y) 在(x , y ) 可微，则函数在(x , y ) 必连续.0 0 0 04. 设二重积分ϕϕ f (x, y)dxdy ，其中D 由y 轴, y = 1及y = x 围成的区域，D则下列对积分区域的表示正确的是( ) .(A) ：D = {(x, y) | 0 < x < 1,0 < y < 1} (B)：D = {(x, y) | 0 < x < 1, x < y < 1}(C) D = {(x, y) | 0 < y < 1,0 < x < 1} (D) D = {(x, y) | 0 < y < 1, y < x < 1}5. unn=1(A) u +10 (B) u 2 (C) 1(D) un=1 n=1 n=1 n n=1.A(1)n nn +1n=1 B(1)n 1nn=11. 下列广义积分发散的是( ) .2.d ϕ b tan x 2 dx = ( ) .dx a ϕ 1 1 dx 0 x 2(A)ϕ + 1 dx (B) ϕ + x dx ϕ 1 1 dx1 x3 0 0 3 xn n u +10 n 一．选择题C xw(- 1)n1n nn =17.x (x - 1)n2n nDxwn =1(-1n 3n[- 1,3) (- 1,3](- 1,3)[- 1,3]( ).(y ,+ xy = 0 y ,+ xy 2 = 0( y , + xy = 0 ((y ,)2 + xy = 09.y , - 4y ,+ 3y = 0 .y = c e x + c e 3xy = e x + e 3x 1 2y = c e xy = e x + c e 3x1 2二、填空题 ．2. j1x sin 2 xdx = j xsin t dt 3.lim 02t = x )0xj 2dy jy 2f (x, y)dx 交换积分次序后的二重积分为5. 0 y 27. j11dx =1+ x1.djx 2sin tdt =dx x．4. j 4e x dx =．．．.-1 1+ x 4dz8. u = x y , x = e t , y = 2t ，则= ．dt9. xdx + y2dy = 010. ()n .n=12n .11n!n=112. y = 2xy三、计算题ϕ 1 ln xdx .1. 求积分ϕ e 3 1 dx .2. 计算反常积分x(1 + ln x) 013. e xy 2z+ e z = 0,4. f (x, y) = x2 + 5y2 6x +10 y +1.ϕϕe x2 + y2 dxdy ，其中D 是由x2 + y2 4 所围成区域.5. 求二重积分D6. ϕϕ (x + 6y)dxdy D y = 5x, y = x, x = 1 .D5. xy2dy = (x3 + y3 )dx8.. 微分方程y 4y+ 3y = e2x 的通解四、应用题.10 y = x2 , x = yy2 = x x y 2 = 0.n +3 .2nn =1(1)n 1n 2 +1五、 1n cos n =1。
微积分Ⅱ期末考试试卷总集
微积分Ⅱ期末考试试卷1一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.）1.若c x g dx x f +=⎰)()(，则=⎰dx x xf )(cos sin ________.2.极限=⎰→xtdt xx 020cos lim________.3.已知xy z =而)tan(t s x +=，)cot(t s y +=则=∂∂sz________. 4.设{}10,10),(≤≤≤≤=y x y x D 则=⎰⎰Dxy d xe σ________.5.微分方程02=+''y y 的通解为________.二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1.设⎰=+21xdx ________.A. c x +arctanB. c x x +++)1ln(2C. c x ++212D. c x ++)1ln(212.2.下列积分值为0的是________.A. ⎰+∞+0211dx xB. ⎰-1121dx xC. ⎰-++ππdx x x x )cos 1sin (2D. ⎰--1121dx x . 3.函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微的充分条件是函数在该点处________. A.有极限 B.连续 C.偏导数存在 D.有连续的偏导数. 4. =⎰⎰10),(xdy y x f dx ________.A. ⎰⎰1010),(dx y x f dy B. ⎰⎰y dx y x f dy 01),(C. ⎰⎰100),(y dx y x f dy D. ⎰⎰101),(ydx y x f dy .5.下列级数收敛的是________.A ．∑∞=-+-12123n n n n B. nn n n∑∞=+1)1(C ． ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1)32(1n n n D. ∑∞=1!n n nn .三、（计算题请写出主要步骤及结果，每小题6分，共18分.） 1. ⎰dx e x x 2 2. ⎰+41)1(x x dx 3.请给出第七章（定积分）的知识小结.四、（请写出主要计算步骤及结果，6分.） 已知方程z x e z xy +=+ 确定函数),(y x z z = 求dz . 五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22,其中D 为圆周122=+y x 围成的区域.六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求初值问题的解⎩⎨⎧=+==0)2(0x y dx y x dy 七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求幂级数∑∞=-0)1(n nnnx 的收敛半径，收敛区间.并求∑∞=03n nn的和. 八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求由2x y =与2y x =所围成的平面图形的面积，并求此平面图形分别绕x 轴，y 轴旋转所成的体积.九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.）某厂生产某种产品的生产函数为y x Q 2005.0=，若甲、乙两种原料的单价分别为1万元和5万元，现用150万元购原料，求两种原料各购多少时，能使生产量最大？最大生产量为多少？ 十、证明题（请写出推理步骤及结果，6分.）设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且有M x f ≤'(及0)(=a f ，试证：⎰-≥b adx x f b a M )()(22微积分Ⅱ期末考试试卷1答案一、1.c x g +-)(cos 2.1 3.)(csc )tan()cot()(sec 22t s t s t s t s ++-++4.2-e5.x c x c y 2sin 2cos 21+= 二、1.B 2.C 3.D 4.D 5.D三、1. ce xe e x dxe xe e x xde e x dx xe e x de x dx ex xxxx x x x x x x x x++-=+-=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰2222222222222. x t =2t x =⎰⎰⎰=-=+=+-=+=+41212121234ln 221ln 232ln 21ln 2)111(2)1(2)1(t t dt t t t t tdt x x dx四、z x e z xy z y x F +-+=),,(z x x e y F +-= x F y = z x z e F +-=111-+--=---=-=∂∂++z xy zxy y e e y F F x z zx z x Z x 11-+=--=-=∂∂+z xy xe x F F y z z x Z y dy z xy xdx z xy z xy y dy y z dx x z dz 11-++-+--=∂∂+∂∂=五、⎰⎰⎰⎰+=++Drdr r d d y x 122022)1ln()1ln(πθσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=+=⎰⎰⎰1022210221022201)1ln()1ln(21dr r r r r dr r d πθπ 1021021022)1ln(2ln )111ln(2ln r r dr r ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰ππππ )12ln 2(2ln 22ln 2ln -=-=+-=ππππππ六、x y y 2=-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰=⎰---c dx xe e y dx dxf )1()1(2[]c dx xe exx +=⎰-2[][]⎰⎰++-=+-=---c dx e xee c xde e x xxxx222x ce x +--=22因为00==x y 所以c =2 所求特解为)1(2--=x e y x七、111=+==+n na a R n n 当1±=x 时∑±nn )1(发散 收敛区间为)1,1(- 设∑∑∞=-∞===10)(n n n nnx x nxx S设∑∞=-=1)(n n nxx T则xx xdx nxdx x T n n x n n x n n x-====∑∑⎰∑⎰∞=∞=∞=-11)(012)1(1)(x x T -=所以2)1()()(x xx xT x S -==31=x 时 439431)311(31)31(320==-==∑∞=S n n n 八、31)(102=-=⎰dx x x S()dx x x V x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10222)(ππ103=()ππ103)(10222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰dy y yV y九、解 )1502(005.0),,(2-++=y x y x y x F λλ 0001.0=+=λxy F x02005.02=+=λx F y ⎩⎨⎧==⇒25100y x01502=-+=y x F λ ==25*100*005.02Q 十、b a a x f a f x f x f <<-'=-=ξξ))(()()()(M x f ≤')()()(a x M x f -≤22)(212)()()(a b M a x M dx a x M dx x f baba b a-=-⋅=-≤⎰⎰dx x f dx x f b ab a⎰⎰≥)()(2)(2)(a b Mdx x f b a-≤⎰dx x f b a M b a⎰-≥)()(22微积分Ⅱ期末考试试卷 2一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.）1.已知cos()z xy =，而()y x ϕ=可导,则dzdx=________. 2.若2()1f x xdx c x x =++⎰,则()f x =________.3.p ________时，广义积分22111(1)p dx x --⎰发散.4.若20cos (1),(,)(2)!nnn x x x n ∞==-∈-∞+∞∑,则函数2sin x 的麦克劳林级数等于________. 5.微分方程0y ay y '''+-=的通解为12x x y c e c e -=+，则a =________.二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.）1.设xy z xe =，则'x z =________.A.xy xyeB.xy e x 2C.xy eD.xy e xy )1(+ . 2.=________.A.x c + B. arcsinc +C.c +3x c +.3.下列结论正确的个数是________.（1）11230x dx x dx <⎰⎰ （2）22211x e e dx e ---<<⎰（3）cos 0x xdx ππ-=⎰（4）2221[sin ]2sin x t dt x x '=⎰A.0B.1C.2D.3. 4.1200(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ=⎰⎰ ________.A. 110(,)dy f x y dx ⎰⎰ B. 10(,)dx f x y dy ⎰⎰C. 110(,)dx f x y dy ⎰⎰ D. 1(,)dy f x y dx ⎰⎰.5.微分方程1y y '-=的通解是________. A ．x y ce = B. 1x y ce =+ C ．1x y ce =- D. (1)x y c e =+.三、（请写出主要计算步骤及结果，每小题8分，共16分.） 1. arctan x xdx ⎰ 2. 41⎰.四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）已知方程sin xy x z yz += 确定函数(,)z f x y = ，求dz . 五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求2()Dx y d σ-⎰⎰,其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =围成的区域.六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求由y =与3y x =所围成的平面图形的面积，并求此平面图形绕x 轴旋转所形成的立体的体积.七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）判断级数n ∞=的敛散性.八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求幂级数1(1)nn n e x n∞=-∑的收敛半径，收敛区间.九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.）某工厂生产A 、B 两种产品，单位成本分别为2元和14元，需求量分别为1Q 件和2Q 件，价格分别为1P 元和2P 元，且满足关系式1214()Q P P =-，2128048Q P P =+-，试求A 、B 两种产品的价格1P ，2P ，使该厂总利润最大（要求利用极值的充分条件）. 十、证明题（请写出推理步骤及结果，6分.） 设)(x f 为连续函数，试证：()()(())x x tf t x t dt f u du dt -=⎰⎰⎰.微积分Ⅱ期末考试试卷2答案一、填空题（每小题3分，共15分）1.sin[()][()()]x x x x x ϕϕϕ'-+2. 21x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭ 3.1p ≥4.()()1212121,(2)!n n n n x x n --∞=-∈-∞+∞∑ 5.0二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.D 2.C 3.B 4.B 5.C三、（请写出主要计算步骤及结果，每小题8分，共16分.）1.2222222221arctan arctan (1211arctan (32211111arctan (5221111arctan arctan 22211(1)arctan (822x xdx xdx x x x dx x x x x dx x x x x x c x x x c ==-++-=-+=-++=+-+⎰⎰⎰⎰分）分）分）分）2.44114141(2(42ln(1(632ln(82===+=⎰⎰⎰分）分）分）分）.四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）sin (1sin cos (4sin (5cos (6cos sin (8cos cos x y z x z y z F xy x z yz F y z F x z F x z y F z y z x F x z yF z x z y F x z y y z x zdz dx dyx z y x z y=+-'''=+=-=-'∂+=-='∂-'∂-=-='∂-+-=+--分），，分）分）分）分）五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）图(1分）22222220222303420()()(31()(5231()(68211()(7881(8yy Dy y x y d dy x y dx x xy dyy y dy y y σ-=-=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰分）分）分）分）分）六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）图(1分）130341201260)(321()(4345(512](75(814x S x dxx x V x dx ππ=-=-==-=⎰⎰分）分）分）分）分）七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）1(4n =分）由比较判别法的极限形式知级数3121,n n n∞∞==∑敛散性相同，因为3121,n n∞=∑所以0n ∞=收敛。
微积分期末试卷附详细标准答案2
一、填空题(每小题3分，共15分)1、已知 f(x)=e x , f N(x)] =1—x ,且中(x)之0,则9(x) = v'ln(1—x)…2c解 f(u)=e =1-x ,u =ln(1-x) ,u = .J 〕n(1 - x).2、已知 a 为常数，lim (--2— ax +1) =1，则 a =1.i ： x一-ax 1) = lim (1 4 - a —) = 1 - a .x'二 x x3、已知 f ⑴=2,则 limf(1 3x)-f(1 x)=4.x )Dx解：lim[f(1 3x)-f(1)]-[f(1 x)-f(1)]=4x—0x4、函数 f(x)=(x —1)(x —2)(x —3)(x —4)地拐点数为 2.解：f (x)有 3 个零点 £,焦二：1 <彳 <2<^<3<^3<4, f "(x)有 2 个零点 ％尸2：1<。
<2 <之2 <”2 <4,f "(x) =12(x —1)(x —”2),显然 f*(x)符号是：+「，+，故有 2 个拐点. dx-5、 -2 ------ - = tan x -cot x C .sin xcos x,2. 2 , ,dx cos x sin x , dx dx 斛： -- —2 --------------- 2- = 2 2-dx = ------- 2- ------------- -2- = tan x - cot x C .sin xcos x sin xcos x cos x sin x二、选择题(每小题3分，共15分)1、设f(x)为偶函数，甲(x)为奇函数，且f /(x)]有意义，则f [邛(x)]是A(A)偶函数； (B)奇函数；(C)非奇非偶函数；(D)可能奇函数也可能偶函数.1 - cosx C2—, x : 0,,,2、x=0 是函数 f (x) = { x 地 D0, x = 0.2「 1 1 x 1 斛：0 = lim — = lim ( ----(A)跳跃间断点; (B)连续点;(C)振荡间断点；(D)可去间断点.3、若函数f(x)在X0处不可导，则下列说法正确地是 B(A)f(x)在％处一定不连续；(B) f (x)在X o处一定不可微；(C)f(x)在X o处地左极限与右极限必有一个不存在；(D) f (x)在x0处地左导数与右导数必有一个不存在^4、仅考虑收益与成本地情况下，获得最大利润地必'要条件是： D(A) R"(Q)>C"(Q) ; (B) R"(Q) <C"(Q);(C) R"(Q) =C“(Q) ;(D) R'(Q) =C'(Q).5、若函数f '(x)存在原函数，下列错误地等式是： Bd(A) 一ff(x)dx=f (x) ；(B)』f (x)dx=f(x)；dx(C) d f f (x)dx =f (x)dx；(D) f df (x) =f (x) +C .三、计算题(每小题6分，共60分)1、设f (x —2) =2x2"x— x,求f(x +2).答案：f(x + 2) =2x244x—x—4解：令t =x - 2，则f ⑴=2(t均24t物_(t+2) =2「*七54 T+2=2t2/_t_2,(3 分)于是f(x+2) =2(x阳2u — (x+2) -2 =2x2 七、七“ 一x —4 = 2x2 七x— x —4. (6 分)2、计算1吧m05( J n十1 一J n).答案：1n mc 0sin有-«户n m8s舄十二(3 分)解:1=lim cos —^n— n1二 11-1 nsin 11nx解：y' = (e x )'(2 分)6、求曲线xln y + y —2x=1在点(1,1)处地法线方程.答案：x+y —2 = 0解：方程两边对x 求导得：ln y + xy + y '- 2 = 0 , y_ Cos 「0 一 -1 .(6分) cos,1 0 - 13、求极限lim ( 2 n——n 2n +… 2 n 2).答案: 解：由于— nn n 21n n 22 +…2n八-7, (3分)而 lim 一=lim—=1 1 lim 一=limn —i彳二1，2 n所以lim(+…+)=1. (6 分)4、求极限lim 2ln(1 x )x —0 secx - cos x,〃2、解：lim1n(1 x)x—0secx - cosx x 02ln(1 x ) 二 lim cosxlim ——2-- x 0sin x=lim 2x1+ x 2(4 分)x 0 2sinxcosx =limx —02、 (1 x )cosx.. x lim --- x 「° sin x =1. (6 分) sin 15、求函数y = x x 地导数.答案:.1 sin —x y = xcos'nx 1sin 1)x.1 , sin - ln x 11 1 1 =e x [cos-( --2) ln x sin ] .1 ， ， ， ，sin — 1 1 1 1 =x x ( 2cos — ln x sin ) .(6 分)1将(x, y) = (1,1)代入得法线斜率k = 一—― = _1, (3分) y⑴从而法线方程为：y_1=_1，（x—1），即：* + 丫—2 = 0.（6分），一八 1 4 3 r 一、7、求曲线y= x —x +1地凹凸区间和拐点.24答案：曲线在区间（―吗0］和［1,+“）是凹地，在区间［Q1］是凸地拐点为（0,1）, （1；）.31 x _ 1 x _ 1 x _ 1x_ 1x_ e cos2x e d sin 2x e cos2x e sin 2x - e sin 2xdx ,2 4 2 4 4 x 一 . 4 x.1 .一 一 、一 … , J e cos2xdx =^e (asin 2x-cos2x)+C .(6 分)10、设某商品地需求函数为 Q =100 -5P 淇中P,Q 分别表示需求量和价格，试求当总收益达到最大时，此时地需求弹性，并解释其经济意义.b5E2RGbCAP解：⑴ f (x) C(-：：, ：：),(2)3 2 _ .. 2f (x) =2x -3x , f (x) =6x -6x =6x(x -1),4f "(x)=0，得 x 1 =0, x 2 =1. f(0) = 1, f (1) =43 (3分)(4).... ... 4 曲线地拐点为（0,1）、（1,-）.(6) 曲线在区间（―g,0］和［1,+比）是凹地，在区间［0,1］是凸地. (6分)8、计算dx.答案：66G - 6 arctan 6x + Cdx dx解 (1 3 x) x -(6x)3[1 (6x)2]56t 5dt八----- 了(3分)2A (1 t )-1 6 2dtdt =6 ! dt - = 6 । 1 t=6t -6arctant +C =66/x -6arctan6/x +C .(6分)9、计算 [exsin 2xdx 答案• —e x(-sin 2x -cos2x) +C1021 V斛： e sin 2xdx e d cos2x =一 21e xcos2x 1 2 2fe xcos2xdx (3 分)列表如答案：。
2019《微积分II》期末复习题一 - 参考答案
.
M
gradu
u i x
u y
j
u k z
u x
,
u y
,
u z
2 9
,
4 9
,
4 9
u
2x
x x2 y2 z2
u
2y
y x2 y2 z2
u
2z
z x2 y2 z2
gradu M
S
曲面方程, x用 x替换, 曲面边界方程不变化.
(1)被积函数f ( x, y, z)关于x是奇函数 (即f ( x, y, z) f ( x, y, z)),
则 f ( x, y, z)dS 0;
S
(2)被积函数f ( x, y, z)关于x是偶函数 (即f ( x, y, z) f ( x, y, z)),
x2 y2 1以及平面z 0围成.
法一: 积分区域为圆柱去掉圆锥的部分,
z
用先一后二法
V
:
0
z
x2 y2
Dxy : 0 x2 y2 1
I
2
d
1
rdr
r z r 2dz
0
0
0
2 1 r 3 1 z2 r dr 1 r 5dr
0 0
1 x cos 2x 1
cos 2xd 2x
0 2 0
1 1 sin 2x
2
0
1
11/24
三、设z
xn
f
《微积分II》(层次)学期期末练习题
《微积分II 》（第一层次）第二学期期末练习题一1.判别11ln(1)+∞+⎰的敛散性. 2. 求级数11()n n n m ∞=+∑的和，其中m 是一固定的自然数 .3. 求函数2()12x f x x x =+-在0x =的幂级数展开式，并指出收敛范围 . 4．讨论级数1n nα∞=∑的敛散性 . 5. 求幂级数1111123nn x n ∞=++++∑的收敛半径，并讨论端点的收敛性 . 6. 求幂级数 12111(1)21n n n x n ∞--=--∑的和函数()S x . 7. 设121211,,(1,2,),n n n n x x dx n n x +-===⎰ 1. 证明级数11(1)n n n x ∞+=-∑收敛； 8. 设11111(1),1ln 23n n n n x A y n n∞+=-==++++-∑，证明 lim .n n y A →∞= 9. 设数列{}n a 单调增加，,1lim ,0=>∞→n n n a n a 判别级数∑∞=+-111)1(n n n a 的敛散性（包括条件收敛与绝对收敛。
）10. 求 ∑∞=-1123n n n 的和11. 设r a a n n n n =>∞→lim ,0， （1）证明：当1<r 时，∑∞=1n n a收敛；当1>r 时，∑∞=1n n a 发散。
（2）当1=r 时，讨论∑∞=1n n a的敛散性（要求证明或举例说明）。
12. 判别级数∑∞=++-1211)1(n n n n 的敛散性及绝对收敛性。
13. 已知∑∞==12261n n π，计算广义积分⎰-101ln dx x x . 14. 级数∑∞=2ln n n n λ收敛，求常数λ取值范围. 15. 求)arctan()(2x x f =的幂级数展开式.16．求微分方程)1(22y e y x -='的通解.17. 求y y y '=''2满足条件100='===x x y y 的特解18. 求 x e x y x y x 2cos sin cos =+'满足0)0(=y 的特解19. 求微分方程 x e x y y y )1(2+=+'-''的通解.20. 设)(x f y =为连续函数且满足⎰+=x x f x dt t tf 02)()(，求出)(x f . 21.求方程x e x y y x t a n )45(2++=+''的通解。
微积分——期末考试模拟试卷以及答案
《微积分II 》练习题一、 填空题1．函数()y x z +=ln 1的定义域是_______________ 。
2．函数(,)f x y =，则定义域为 。
3． 。
4.设(,)(1)arcsin f x y xy y =+-(,1)x f x = _______ 。
5.设222lny x e z x +=，则=)1,1(dz 。
6．函数yx z =在（2，1）点处的全微分为_______________。
7.22()Dxyf x y dxdy +=⎰⎰。
（其中D ：由曲线221y x y ==与所围成）。
8. 改变积分次序210(,)xx dx f x y dy ⎰⎰= _________ 。
9.微分方程'sin cos x y y x e -+=的通解是 。
10.微分方程0=+'y y 满足初始条件10==x y的特解 。
11.计算_________________sin 21231=⎰⎰-dy y dx x12．微分方程02'"=+-y y 的通解是 。
13．差分方程02312=+-++t t t y y y 的通解是 。
14.计算极限.______________________)sin(42lim 00=+-→→xy xy y x二、选择题),(,),( 22=-=-y x f y x yxy x f 则1．极限).(2lim22)0,0(),(=+→yx xyy x（A ）;0 （B ）;1 （C ）;2 （D ）不存在。
2．二元函数z=f(x,y)在点),(00y x 处各偏导数存在是全微分存在的（ ） （A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）无关条件 （D ）充要条件 3.设 f(x,y) 在点（a,b ）处的偏导数存在，则=--+→xb x a f b x a f x ),(),(lim 0（ ）(A) 0 (B) ),2(b a f x ' (C) ),(b a f x ' (D) ),(2b a f x ' 4．若)y , (x f z =在点P （x ，y ）处x z ∂∂，yz ∂∂都存在，则下列结论正确的是（ ）。
近十份大学微积分下期末试题汇总含答案
浙江大学2007-2008学年春季学期微积分Ⅱ课程期末考试试卷一 、填空题每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上 1.点M 1,－1, 2到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a =,3b =,3a b ⋅=,则a b += . 3.设(,)f u v 可微,(,)y x z f x y =,则dz = . 4.设()f x 在0,1上连续,且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =≤≤≤≤,则()()()()Daf x bf y d f x f y σ++⎰⎰= .5.设(,)f x y 为连续函数,交换二次积分次序2220(,)x x dx f x y dy -=⎰⎰.二 、选择题每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,把所选字母填入题后的括号内6.直线l 1:155121x y z --+==-与直线l 2:623x y y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 A 2π . B 3π . C 4π . D 6π. 7.设(,)f x y 为连续函数,极坐标系中的二次积分cos 20d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθ⎰⎰可以写成直角坐标中的二次积分为A 10(,)dy f x y dx ⎰⎰B 100(,)dy f x y dx ⎰⎰C 1(,)dx f x y dy ⎰⎰D 10(,)dx f x y dy ⎰⎰8.设1, 02()122, 12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数,则5()2S -= ＜A 12.B 12-.C 34.D 34-.9.设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩则(,)f x y 在点O (0,0)处A 偏导数存在,函数不连续B 偏导数不存在,函数连续C 偏导数存在,函数连续D 偏导数不存在,函数不连续 三、解答题10.本题满分10分求曲线L ：2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在其上点M 1,－1,2处的切线方程与法平面方程.11.本题满分10分设F 可微,z 是由F x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数,并设23F F ''≠,求z zx y∂∂+∂∂. 12.本题满分10分设D 是由曲线3y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集,求2[e sin()]d x Dx y σ++⎰⎰.13.本题满分10分求空间曲线L ：222920335x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩上的点到xOy 平面的距离最大值与最小值.14.本题满分10分设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤,计算二重积分22 1 d Dxy σ+-⎰⎰.15.本题满分5分设当y ＞0时(,)u x y 可微,且已知222222(,)()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++. 求(,)u x y . 浙江大学2007－2008学年春季学期微积分II 课程期末考试试卷答案一、填空题每小题5分,共25分 1．231421=-++=d .2．22()()2496a b a b a b a b a b +=+⋅+=++⋅=++=3．()()dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 121211ln ln --'+⋅'+'+⋅'= 4．()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰++=++=DDd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ, ()()⎰⎰+=+=+=∴Db a I b a d b a I 21,2σ.5．()()2220111,,x x dx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰⎰或 ()0111,dy f x y dx -⎰⎰或 ()1101,dy f x y dx -⎰⎰.二、选择题每小题5分,共20分 6．选B. l 1的方向向量{}1,2,1-,l 2的方向向量{}2,1,1--,{}{}3,2163662,1,11,2,1cos πθθ===--⋅-=.7．选D. 积分区域(){}0,,22≥≤+=y x y x y x D ,化成直角坐标后故知选D.8．选C. 511111113()()()((0)(0))(1)222222224S S S f f -=-==-++=+=.9．选A. ()()0000,0lim 0,0,00x y x f f x→-''===,偏导数存在.取kx y =,()4411lim,lim kk kk kx x f x x +=+=→→随k 而异,所以不连续．三、解答题10～14每题10分,15题5分,共55分 10．由L ,视x 为自变量,有 以()()2,1,1,,-=z y x 代入并解出dxdzdx dy ,,得 87,45==dx dz dx dy ,所以切线方程为87245111-=+=-z y x , 法平面方程为()()()57112048x y z -+++-=,即0127108=-++z y x .11．133212232332,,1y x z z F F F F F F F F z z z z x F F F y F F F x y F F ''''''''--+∂∂∂∂=-=-=-=-+==''''''''∂-+∂-+∂∂-. 12．D 在第一象限中的一块记为D 1,D 在第三象限中的一块记为D 2,()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++++=++2122122sin sin sin D D DD x D x x d y x d y x d e d e d y x eσσσσσ.所以,原式2-=e .13．L 上的点到平面xoy 的距离为z ,它的最大值点,最小值点与2z 的一致,用拉格朗日乘数法,设()()()53329,,,,2222-+++-++=z y x z y x z z y x F μλμλ,求偏导数,并令其为零有：20F x x λμ∂=+=∂,1830Fy x λμ∂=+=∂, 2430F z z z λμ∂=-+=∂,22920Fx y z x∂=+-=∂ , 3350Fx y z μ∂=++-=∂ ． 解之得两组解()()1215,,(1,,1);,,(5,,5)33x y z x y z ==--. 所以当31,1==y x 时,1=z 最小；当35,5-=-=y x 时,5=z 最大.14．将分成如图的两块,41的圆记为D 1,另一块记为D 2()⎰⎰⎰⎰--=-+DD d y x d y x 1222211σσ+()⎰⎰-+2122D d y x σ15．由()222222,()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++,有222xy y x y x u ++=∂∂,从而知()()y y x y x y x u ϕ++=2221arctan,,又由y y x yx x y u 2222+++-=∂∂,推知 ()22222221()xx y x y y x y y x x y y ϕ-'++=-++++, 所以,()2221,arctan 2x u x y x y y C y =+++. 注：若用凑的办法亦可： 所以,()C y y x y x y x u +++=22221arctan,． ()()u f u F ='．浙江大学2006–2007学年春季学期微积分Ⅱ 课程期末考试试卷开课学院： 理学院 考试形式：闭卷 考试时间： 年 月 日 所需时间：120 分钟 考生姓名： _____学号： 专业： ________一、 填空题每小题5分,满分30分 1． 直线63321-==+z y x 在平面0522=--+z y x 上的投影直线方程为.2． 数量场2),,(zye z y x g x +=在)0,3,1(P 点的梯度为 .=u函数)ln(),,(22z y x z y x f ++=在P 点沿u的方向导数为 .3． 设ϕϕ,),2,3(),,(f y x x u u x f z+== 具有二阶连续偏导数,则=∂∂∂yx z 2.4． 设}1,11|),{(3≤≤≤≤-=y x x y x D,则=+⎰⎰+Dy xy x e y x x d d )(222.5． 已知曲面1=z y x 与椭球面193222=++z y x 在第一卦限内相切,则切点坐标为 ,公共切平面方程为.6． 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=121,210,)(2x x x x x f ,∑∞=+=10cos 2)(n n x n a a x S π,其中,2,1,0,d cos )(210==⎰n x x n x f a n π,则.)27(=S二、 满分10分求直线 ⎩⎨⎧=-++=-+-022012z y x z y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面方程.三、 满分10分计算⎰⎰-10222d d x ye x y .四、 满分15分已知),(y x z z =由方程013=++zxe z y 确定,试求1022==∂∂y x x z.五、 满分15分设平面),,(,1:z y x d y x =+π为曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++014222z y x z y x 上的点),,(z y x 到平面π的距离,求),,(z y x d 的最大,最小值 .六、 满分15分如图是一块密度为ρ常数的薄板的平面图形在一个半径为R 的半圆直 径上拼上一个矩形,矩形的另一边为h ,已知平面图形的形心位于原点0, 0. 试求：1. 长度 h ；2.薄板绕x 轴旋转的转动惯量.满分5分 求证:当0,1≥≥s t时,成立不等式 s e t t t ts +-≤ln .参考解答：一．1．⎩⎨⎧=--+=+-0522043z y x z y x ； 2. 21},0,,3{e e ；3. )3(2))(3(2222122222122212ϕϕϕϕϕϕ''+''⋅'+'+'⋅'⋅''+'''f f f ； 4.;32 5. ;03313,3,1,31=-++⎪⎭⎫⎝⎛z y x 6. 83.二．直线：t z t y t x -=-==1,1,曲面上点→),,(z y x P 直线上点00000001,1),,,(x z x y z y x -=-=则旋转曲面方程：222)1(2x z y -=+三．⎰⎰1222d d xy ex y -⎰⎰⎰-==--212212220142)d 41(d d y y ex ey 2y yy四．,1)1,0(-=z ,032=∂∂++∂∂⋅x z xe e x z z y z z ex z y x 3110-=∂∂∴== 五．|1|21),,(-+=y x z y x d 最小距离：2236),,(323131-=-d ,最大距离：2236),,(323131+=--d六．形心：01,0=⇒==⎰⎰⎰⎰DDxdxdy xdxdyx y σ即0d cos d d d 220=⋅+⎰⎰⎰⎰---ππθθRhRRr r r y x x七．设0)0,1(,ln ),(=-+-=F ts e t t t s t F s且对固定的1>t , 当,0),(,ln 0<'<<s t F t s s 当,0),(,ln >'>s t F t ss所以,t s ln =取得最小值且为0,则 0),(≤s t F ,即1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=21,C C 为任意常数为通解的微分方程是 ____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是 c .A 1p >B 1p <C 12p <<D 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数 b .A 在原点无定义B 在原点二重极限不存在C 在原点有二重极限,但无定义D 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是 a. A123I I I >> B 213I I I >> C123I I I << D213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解 d . A b ax y += B xe b ax y 3)(+= C x e bx ax y 32)(+= D x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛,则∑∞=-1)1(n nna d .A 绝对收敛B 条件收敛C 发散D 不定 一、填空题每小题3分,共15分1、2(1)1x y y -+. 2、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>;且4=x 时,8=y ;于是)6()3(分分24882233837730(4)16(80)33128128(80)775127V y dy y dyy ππππππππ=-=--⎡⎤=-⋅=-⋅-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰12、求二重极限11lim22220-+++→→y x y x y x .解：原式11)11)((lim 22222200-++++++=→→y x y x y x y x 3分2)11(lim 220=+++=→→y x y x 6分13、),(y x z z =由xy e z z=+确定,求y x z∂∂∂2. 解：设(,,)zF x y z z e xy =+-,则x F y=-,y F x=- ,1zz F e =+11x z z z z F y y x F e e ∂-=-=-=∂++, 11y z z z F z x x y F e e ∂-=-=-=∂++ 3分222111(1)1(1)z z z zz z z z e y e z ye xy yx y y e e e e ∂+-⋅⋅∂∂∂⎛⎫===-⎪∂∂∂++++⎝⎭6分14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 解：222(1)1222z x x x x =+-+=-+ 令'420z x =-=,得12x =,"40z =>,12x =为极小值点. 3分故221z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)22,极小值为32 6分15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx .解：2112123182xyyy I dy e dx e e ==-⎰⎰ 6分 6、计算二重积分22()Dx y dxdy +⎰⎰,其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域. 解：22()Dx y dxdy +⎰⎰＝1320d r drπθ⎰⎰＝8π6分17、解微分方程x y y +'=''.解：令y p '=,p y '='',方程化为x p p +=',于是])1([1C e x e x x ++-=-x e C x 1)1(++-= 3分 ⇒2121)1(21])1([C e C x dx e C x dx p y x x +++-=++-==⎰⎰ 6分18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.解：=3分因为lim 11n n →∞==19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.解：由于3113131x x -⋅=-,已知 ∑∞==-011n nx x ,11<<-x , 3分 那么 ∑∑∞=+∞===-01031)3(3131n nn n n x x x ,33<<-x . 6分20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R 万元与电台广告费用1x 万元的及报纸广告费用2x 万元之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=,求最优广告策略 解：公司利润为22212121211028311315x x x x x x x x R L ---++=--=令⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--=',020831,04813211221x x L x x L x x 即⎩⎨⎧=+=+,31208,13842121x x x x得驻点)25.1,75.0()45,43(),(21==x x ,而 3分0411<-=''=x xL A ,821-=''=x x L B ,2022-=''=x x L C , 064802>-=-=B AC D ,所以最优广告策略为：电台广告费用75.0万元,报纸广告费用25.1万元. 6分 四、证明题每小题5分,共10分21、设1133ln()z x y =+,证明：13z z xy x y ∂∂+=∂∂. 证：2233113311113333,x y z z xyx yx y --∂∂==∂∂++22、若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n nv u收敛.证：由于)(22)(022222n n n n n n n n v u v u v u v u +≤++=+≤, 3分 并由题设知∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则)(2212n n n v u∑∞=+收敛,从而∑∞=+12)(n n nv u收敛; 6分1、设22(,)yf x y x y x -=-,则=),(y x f _____________. 2、已1()2Γ=,则5()2Γ＝___________.3、设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值,则常数 4、已知)arctan 4(),(y x y x y x f +++=,则=')0,1(x f ________5、以xx e C e C y 321+=21,C C 为任意常数为通解的微分方程是__________________. 6、已知dxep x⎰∞+- 0与⎰ep x x dx1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是 .A 0>pB 0<pC 1<pD 10<<p7、对于函数22(,)f x y x y =-,点(0,0) .A 不是驻点B 是驻点而非极值点C 是极大值点D 是极小值8、已知21()D I x y d σ=+⎰⎰,32()D I x y d σ=+⎰⎰,其中D 为22(2)(1)1x y -+-≤,则 . A12I I = B12I I > C12I I < D2212I I =9、方程xxe y y y 265=+'-''具有特解 . A b ax y += B xe b ax y 2)(+= C x e bx ax y 22)(+= Dx e bx ax y 223)(+=10、级数∑∞=-12)1(n nnna收敛,则级数∑∞=1n na.A 条件收敛B 绝对收敛C 发散D 敛散性不定11、求3x y =,0=y ,2=x 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限)1sin 1sin(lim 0xy y x y x +→→.13、设xy y x z -+=1arctan,求22x z ∂∂. 14、用拉格朗日乘数法求(,)f x y xy =在满足条件1x y +=下的极值.15、计算⎰⎰101d e d yx x xy .16、计算二重积分D,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程0='+''y y x .18、判别级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛12!n nn n 的敛散性.19、将函数x x f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数.20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产x 单位甲产品,生产y 单位乙产品的总费用为2220300.1(223)100x y x xy y ++-++,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.21、设222ln z y x u ++=,证明222222z uy u x u ∂∂+∂∂+∂∂=2221x y z ++.22、若∑∞=12n na与∑∞=12n nb都收敛,则∑∞=1n nn ba 收敛.可能会有错误大家一定要自己核对一、填空题每小题3分,共15分1、设)(y x f y x z -++=,且当0=y 时,2x z =,则=z ;2222x xy y y -++2、计算广义积分⎰+∞13x dx = ;123、设xye z =,则=)1,1(dz ;)(dy dx e +4、微分方程x xe y y y 265=+'-''具有 形式的特解.xe bx ax 22)(+5、设14n n u ∞==∑,则11122nn n u ∞=⎛⎫-=⎪⎝⎭∑_________;1二、选择题每小题3分,共15分1、2222003sin()lim x y x y x y →→++的值为 AD.不存在2、),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的 A ;A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件; 3、由曲面z x y =--422和z =0及柱面x y 221+=所围的体积是 D ; A.d d θπr r r4222-⎰⎰；B.204d rπθ⎰⎰；C、20d rπθ⎰⎰； D.442012d d θπr r r-⎰⎰4、设二阶常系数非齐次线性方程()y py qy f x '''++=有三个特解x y =1,xe y =2,x e y 23=,则其通解为 C ;A.xx e C e C x 221++； B.x x e C e C x C 2321++；C.)()(221x x x e x C e e C x -+-+；D.)()(2221x e C e e C xx x -+- 5、无穷级数∑∞=--11)1(n pn n p 为任意实数 D A 、收敛 B 、绝对收敛 C 、发散 D 、无法判断 三、计算题每小题6分,共60分1、求下列极限：x y →→;解：0x y →→00x y →→= …3分1)112x y →→==+= …6分2、求由x y =与直线1=x 、4=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积;解：421d x V xπ=⎰ …4分7.5π= …6分3、求由xyz e z=所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数,z z x y ∂∂∂∂; 解：方程两边对x 求导得:x z xy yz x z e z∂∂+=∂∂,有)1(-=-=∂∂z x z xy e yz x z z…3分方程两边对y 求导得:y z xy xz y z e z∂∂+=∂∂,有)1(-=-=∂∂z y z xy e xz y z z …6分4、求函数322(,)42f x y x x xy y =-+-的极值; 解：322(,)42f x y x x xy y =-+-,则2(,)382x f x y x x y=-+,(,)22y f x y x y=-,(,)68xx f x y x =-,(,)2xy f x y =,(,)2yy f x y =-，求驻点,解方程组23820220x x y x y ⎧-+=⎨-=⎩，，得)0,0(和(2,2). …2分对)0,0(有(0,0)80xx f =-<,(0,0)2xy f =,(0,0)2yy f =-,于是2120B AC -=-<,所以)0,0(是函数的极大值点,且(0,0)0f = …4分对(2,2)有(2,2)4xx f =,(2,2)2xy f =,(2,2)2yy f =-,于是2120B AC -=>, (2,2)不是函数的极值点;6、计算积分⎰⎰D d x y σ,其中D 是由直线x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域；解：221x x Dyy d dx dyxx σ=⎰⎰⎰⎰. (4)分213924xdx ==⎰ …6分7、已知连续函数)(x f 满足⎰+=xx x xf dt t f 0)(2)(,且0)1(=f ,求)(x f ;解：关系式两端关于x 求导得：1)(2)(2)(+'+=x f x x f x f 即x x f x x f 21)(21)(-=+' …2分这是关于f )(x 的一阶线性微分方程,其通解为：=1)(1-=+-xc c x x…5分又0)1(=f ,即01=-c ,故1=c ,所以11)(-=x x f …6分8、求解微分方程212y y y '-+''=0 ;解：令y p '=,则dp y pdy ''=,于是原方程可化为：221dp p p dy y +=- …3分即201dp p dy y +=-,其通解为22111(1)dy yp c e c y --⎰==- …5分21)1(-=∴y c dx dy 即dx c y dy 12)1(=-故原方程通解为：2111c x c y +-= …6分9、求级数1n n ∞=的收敛区间; 解：令2t x =-,幂级数变形为1n n ∞=1lim 1n t n n n a R a →∞+===. …3分当1-=t 时,级数为0(1)nn ∞=-∑收敛；当1=t 时,级数为1n ∞=.故1n n ∞=)1,1[-=t I , (5)分那么1n n ∞=的收敛区间为[1,3)x I =. …6分 10、 判定级数∑∞=⋅1!)2sin(n n n x 是否收敛,如果是收敛级数,指出其是绝对收敛还是条件收敛;解：因为sin(2)1!!n x n n ⋅≤ (2)分由比值判别法知11!n n ∞=∑收敛1(1)!lim 01!n n n →∞+=, …4分从而由比较判别法知1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑收敛,所以级数1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑绝对收敛. …6分四、证明题每小题5分,共10分1、设正项级数1nn u∞=∑收敛,证明级数1n ∞=也收敛;证：)(2111+++≤n n n n u u u u , …3分而由已知∑++)(211n nu u 收敛,故由比较原则,∑+1n n u u 也收敛; …5分2、设)(22y x f y z -=,其中)(u f 为可导函数, 证明211y zy z y x z x =∂∂+∂∂.证明：因为22f f xy x z '-=∂∂, (2)分222f f y f y z '+=∂∂ (4)分所以222212211y zyf yf f y f f f y y z y x z x =='++'-=∂∂+∂∂. …5分一、填空题每小题3分,共15分1、设()z x y f y x =++-,且当0x =时,2z y =,则=z ;2222x xy x y -++2、计算广义积分21dxx +∞⎰= ;13、设)1ln(22y x z ++=,则(1,2)dz=;1233dx dy +4、微分方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有 形式的特解.xe bx ax 323)(+5、级数∑∞=+1913n nn 的和为 ;58二、选择题每小题3分,共15分1、2222003sin()lim x y x y x y →→++的值为 BA 、0B 、3C 、2D 、不存在2、),(y x f x 和),(y x f y 在),(00y x 存在且连续是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的 BA.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件; 3、由曲面z x y =--422和z =0及柱面224x y +=所围的体积是 BA. 2400d rπθ⎰⎰；B.2204d rπθ⎰⎰；C、20d rπθ⎰⎰；D.204d rπθ⎰⎰4、设二阶常系数非齐次微分方程()y py qy f x '''++=有三个特解21y x =,x e y =2,x e y 23=,则其通解为 D A 、22212()()x x x C e e C e x -+-； B 、22123x xC x C e C e ++；C 、2212x xx C e C e ++； D 、)()(22212xx x e x C e e C x -+-+5、无穷级数121(1)n pn n -∞=-∑p 为任意实数 A A 、无法判断 B 、绝对收敛 C 、收敛 D 、发散 三、计算题每小题6分,共60分1、求下列极限：00x y →→;解：0000x x y y →→→→=…3分0011224x y →→-===-+ …6分2、求由在区间]2,0[π上,曲线x y sin =与直线2π=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积;解：220sin d x V x xππ=⎰ …4分214π= …6分3、求由xy xyz z=-e 所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数,z z x y ∂∂∂∂; 解：一令=),,(z y x F xy xyz z--e 则 y yz x F --=∂∂, x xz y F --=∂∂, xy z F z -=∂∂e利用公式,得xy y yz xy y yz z F x Fx z zz -+=----=∂∂∂∂-=∂∂e e …3分 xy x xz xy x xz z F y Fy z zz -+=----=∂∂∂∂-=∂∂e e …6分二在方程两边同时对x 求导,得解出xy y yz x z z-+=∂∂e , …3分 同理解出xy x xz y z z-+=∂∂e …6分4、求函数33812),(y xy x y x f +-=的极值; 解：33812),(y xy x y x f +-=,则yx y x f x 123),(2-=,xy y x f y 1224),(2-=,x y x f xx 6),(=,12),(-=y x f xy ,，y y x f yy 48),(=求驻点,解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-，，01224012322x y y x 得)0,0(和)1,2(. …2分对)0,0(有0)0,0(=xx f ,12)0,0(-=xy f ,0)0,0(=yy f ,于是01442>=-AC B ,所以)0,0(点不是函数的极值点. …4分对)1,2(有12)1,2(=xx f ,12)1,2(-=xy f ,48)1,2(=yy f ,于是048121442<⨯-=-AC B ,且012>=A ,所以函数在)1,2(点取得极小值,33(2,1)21221818f =-⨯⨯+⨯=- …6分 …5分6、计算二重积分⎰⎰+D d y x σ)2(,其中D 是由x y x y 1,==及2=y 所围成的闭区域； 解：211(2)(2)yyDx y d dy x y dxσ+=+⎰⎰⎰⎰ …4分2221119(21)6y dy y =--=⎰ …6分7、已知连续函数)(x f 满足0)(2)(0=++⎰xx x f dt t f ,求)(x f ;解：关系式两端关于x 求导得：01)(2)(=+'+x f x f 即21)(21)(-=+'x f x f …2分这是关于f )(x 的一阶线性微分方程,其通解为：2221)(x x x ce c e e --+-=+-= …5分 又0)0(=f ,即c +-=10,故1=c ,所以1)(2-=-xe xf …6分8、求微分方程02)1(2='-''+y x y x 的通解;解 这是一个不明显含有未知函数y 的方程作变换 令 dyp dx =,则22d y dp dxdx =,于是原方程降阶为2(1)20dpx px dx +-=…3分, 分离变量221dp xdx p x =+,积分得21ln ln(1)ln p x C =++即21(1)p C x =+,从而 21(1)dyC x dx =+ …5分再积分一次得原方程的通解y ＝312()3x C x C ++ …6分9、求级数∑∞=-1)3(n nn x 的收敛区间; 解：令3-=x t ,幂级数变形为∑∞=1n n n t ,11lim 1n tn n n a n R a n →∞++===. …3分当1-=t 时,级数为∑∞=-01)1(n nn 收敛；当1=t 时,级数为∑∞=11n n 发散.故∑∞=1n nn t 的收敛区间是)1,1[-=t I , (5)分那么∑∞=-1)3(n n n x 的收敛区间为)4,2[=x I . …6分 10、 判定级数1cos()!n n x n ∞=⋅∑是否收敛,如果是收敛级数,指出其是绝对收敛还是条件收敛：解：因为cos()1!!n x n n ⋅≤ …2分 由比值判别法知11!n n ∞=∑收敛1(1)!lim 01!n n n →∞+=, …4分从而由比较判别法知1cos()!n n x n ∞=⋅∑收敛,所以级数1cos()!n n x n ∞=⋅∑绝对收敛. …6分四、证明题每小题5分,共10分1、设级数21nn a∞=∑收敛,证明1(0)nn n a a n ∞=>∑也收敛;证：由于)1(21||22n a n a n n +≤, …3分 而∑2na ,∑21n 都收敛,故∑+)1(2122n a n 收敛,由比较原则知 n a n ∑收敛.;…5分2、设)2(cos 22tx z -=,证明:02222=∂∂∂+∂∂t x z t z ;证明： 因为)2sin()21()2sin()2cos(22t x t x t x t z -=-⋅--⋅-=∂∂, …2分)2cos(22t x t z--=∂∂, 22222)2cos(2t z t x x t z t x z ∂∂-=-=∂∂∂=∂∂∂, …4分 所以02222=∂∂∂+∂∂t x zt z (5)分中南民族大学06、07微积分下试卷及参考答案06年A 卷1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=21,C C 为任意常数为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题每小题3分,共15分7 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是 .A 1p >B 1p <C 12p <<D 2p >8 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y xy x x y x f 在原点间断,是因为该函数 . A 在原点无定义B 在原点二重极限不存在C 在原点有二重极限,但无定义D 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是 .A 123I I I >> B213I I I >>C123I I I << D213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解 .A b ax y +=B xe b ax y 3)(+=C x e bx ax y 32)(+=D x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛,则∑∞=-1)1(n nna .A 绝对收敛B 条件收敛C 发散D 不定6分,共60分23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x .13、),(y x z z =由xy e z z=+确定,求y x z∂∂∂2.14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值.15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx .16、计算二重积分22()Dx y dxdy +⎰⎰,其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程x y y +'=''.18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间..根据统计资料,销售收入R 万元与电台广告费用1x 万元的及报纸广告费用2x 万元之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=,求最优广告策略.5分,共10分21、设1133ln()z x y =+,证明：13z z xy x y ∂∂+=∂∂.22、若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n nv u收敛.答案一、填空题每小题3分,共15分1、2(1)1x y y -+. 2、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 二、选择题每小题3分,共15分6、C .7、 B.8、A .9、D. 10、D. 三、计算题每小题6分,共60分11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32y x =的反函数为23,0x y y =>;且4=x 时,8=y ;于是12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x .解：原式11)11)((lim 22222200-++++++=→→y x y x y x y x 3分2)11(lim 220=+++=→→y x y x 6分13、),(y x z z =由xy e z z=+确定,求y x z∂∂∂2. 解：设(,,)zF x y z z e xy =+-,则x F y=-,y F x=- ,1zz F e =+11x z z z z F y y x F e e ∂-=-=-=∂++, 11y z z z F z x x y F e e ∂-=-=-=∂++ 3分222111(1)1(1)z z z zz zz z e y e z ye xy yx y y e e e e ∂+-⋅⋅∂∂∂⎛⎫===- ⎪∂∂∂++++⎝⎭6分14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 解：222(1)1222z x x x x =+-+=-+令'420z x =-=,得12x =,"40z =>,12x =为极小值点. 3分故221z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)22,极小值为32 6分15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx .解：2112123182xyyy I dy e dx e e ==-⎰⎰ 6分 16、计算二重积分22()Dx y dxdy +⎰⎰,其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域. 解：22()Dx y dxdy +⎰⎰＝1320d r drπθ⎰⎰＝8π6分17、解微分方程x y y +'=''.解：令y p '=,p y '='',方程化为x p p +=',于是])1([1C e x e x x ++-=-x e C x 1)1(++-= 3分 ⇒2121)1(21])1([C e C x dx e C x dx p y x x +++-=++-==⎰⎰ 6分18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.解：=3分因为lim 11n n →∞== 6分19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.解：由于3113131x x -⋅=-,已知 ∑∞==-011n nx x ,11<<-x , 3分那么 ∑∑∞=+∞===-01031)3(3131n nn n n xx x ,33<<-x . 6分20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R 万元与电台广告费用1x 万元的及报纸广告费用2x 万元之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=,求最优广告策略.解：公司利润为22212121211028311315x x x x x x x x R L ---++=--= 令⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--=',020831,04813211221x x L x x L x x 即⎩⎨⎧=+=+,31208,13842121x x x x得驻点)25.1,75.0()45,43(),(21==x x ,而 3分0411<-=''=x xL A ,821-=''=x x L B ,2022-=''=x x L C , 064802>-=-=B AC D ,所以最优广告策略为：电台广告费用75.0万元,报纸广告费用25.1万元. 6分 四、证明题每小题5分,共10分21、设1133ln()z x y =+,证明：13z z xy xy ∂∂+=∂∂. 证：2233113311113333,x y z z xyx yx y --∂∂==∂∂++ 3分2233113311331111333311331133x y z zx y x y x y x yx yx x x y --∂∂+=⋅+⋅∂∂++⎛⎫+ ⎪== ⎪ ⎪+⎝⎭6分22、若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n nv u收敛.证：由于)(22)(022222n n n n n n n n v u v u v u v u +≤++=+≤, 3分 并由题设知∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则)(2212n n n v u∑∞=+收敛,从而∑∞=+12)(n nn v u 收敛; 6分06年B 卷一、填空题每小题3分,共15分1、设22(,)yf x y x y x -=-,则=),(y x f _____________.2、已1()2Γ=,则5()2Γ＝___________.3、设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值,则常数 .4、已知)arctan 4(),(y x y x y x f +++=,则=')0,1(x f ________.5、以xx e C e C y 321+=21,C C 为任意常数为通解的微分方程是__________________.二、选择题每小题3分,共15分 6、已知dxep x⎰∞+- 0与⎰ep x x dx1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是 .A 0>pB 0<pC 1<pD 10<<p7、对于函数22(,)f x y x y =-,点(0,0) .A 不是驻点B 是驻点而非极值点C 是极大值点D 是极小值点8、已知21()D I x y d σ=+⎰⎰,32()D I x y d σ=+⎰⎰,其中D 为22(2)(1)1x y -+-≤,则 . A12I I = B12I I > C12I I < D2212I I =9、方程xxe y y y 265=+'-''具有特解 . A b ax y += B xe b ax y 2)(+= C x e bx ax y 22)(+= Dx e bx ax y 223)(+=10、级数∑∞=-12)1(n nnna收敛,则级数∑∞=1n na.A 条件收敛B 绝对收敛C 发散D 敛散性不定6分,共60分11、求3x y =,0=y ,2=x 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限)1sin 1sin(lim 0xy y x y x +→→.13、设xy y x z -+=1arctan,求22x z ∂∂.14、用拉格朗日乘数法求(,)f x y xy =在满足条件1x y +=下的极值.15、计算⎰⎰101d e d yx x xy .16、计算二重积分D,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第.17、解微分方程0='+''yy x .18、判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛12!n nnn 的敛散性.19、将函数x x f 1)(=展开成)3(-x的幂级数.20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产x 单位甲产品,生产y 单位乙产品的总费用为2220300.1(223)100x y x xy y ++-++,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.5分,共10分21、设222ln zyxu++=,证明222222zuyuxu∂∂+∂∂+∂∂=2221x y z++.22、若∑∞=12nna与∑∞=12nnb都收敛,则∑∞=1nnnba收敛.07年A卷一、填空题每小题3分,共15分1、设)(yxfyxz-++=,且当0=y时,2xz=,则=z .2、计算广义积分⎰∞+13xdx= .3、设xyez=,则=)1,1(dz.4、微分方程xxeyyy265=+'-''具有形式的特解.5、设14nnu∞==∑,则11122n nnu∞=⎛⎫-=⎪⎝⎭∑_________二、选择题每小题3分,共15分6、22223sin()limxyx yx y→→++的值为 .A 3B 0C 2 D不存在7、),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的 .A 必要非充分的条件B 充分非必要的条件C 充分且必要的条件D 即非充分又非必要的条件 8、由曲面z x y =--422和z =0及柱面x y 221+=所围的体积是 . Ad d θπr r r4222-⎰⎰B204d rπθ⎰⎰C20d rπθ⎰⎰D442012d d θπr r r-⎰⎰9、设二阶常系数非齐次线性方程()y py qy f x '''++=有三个特解x y =1,xe y =2,x e y 23=,则其通解为 .A xx e C e C x 221++ B x x e C e C x C 2321++C )()(221x x x e x C e e C x -+-+ D)()(2221x e C e e C xx x -+-10、无穷级数∑∞=--11)1(n pn n p 为任意实数 .A 收敛B 绝对收敛C 发散D 无法判断6分,共60分11、求极限0x y →→12、求由x y =与直线1=x 、4=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.。
微积分II期末模拟试卷三套及答案
微积分II 期末模拟试卷1（满分：100分；测试时间：100分钟） 一、填空题（3X5=15）1、幂级数∑∞=-112n n n n x 的收敛区间为__________2、由曲线23x y -=及直线x y 2=所围成平面区域的面积是____________ 3、改变⎰⎰--21222x x xfdy dx 的积分次序_______________________4、微分方程02=-'+''y y y 的通解=y5、设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于____________ 二、选择题（3X5=15） 6、定积分()dx ex x x⎰-+22的值是（ ）。
（A ） 0 ； （B ） 2 ； （C ） 2e 2+2； （D ） 26e7、一曲线在其上任意一点),(y x 处的切线斜率等于yx2-，这曲线是（ ） (A)直线； (B)抛物线； (C)圆； (D)椭圆 8、设函数()xy f xyz =，其中f 可微，则=∂∂+∂∂y z x z y x （ ） （A ）)('2xy yf （B ）)('2xy yf -（C ）)(2xy f x （D ）)(2xy f x- 9、设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点.()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点10、设级数10nn na∞==∑，且()11n n n n a a ∞-=-∑收敛，则级数1n n a ∞=∑（ ）（A ）收敛 （B ） 发散 （C ）不定 （D ） 与n a 有关 三、计算题（5X10=50）11、计算下列定积分 (1)⎰-2234dx x x ；(2)求抛物线342-+-=x x y 及其在)3,0(-和)0,3(处的切线所围成图形的面积。
6微积分II期末练习解答.doc
1、2、3、A.必要分条件; B•充分条件; C•充分必要条件; D•无关条件。
设/（兀y）=戶（无+ 2y +尸）,A•在（1-1）取极大值;C.在（一1）取极大值;幕级数工罕的收敛区间是（n=\3A. (—3,3)；则其B.D.在（1-1）取极小值;在（丄1）取极小值。
B.3 3C.（-巧,希）；D.A. /(x) = 0 ；B. f (x) = e x；C. /(x) =ce xD. /(无)="+C oA.(X + c)COSB. xcosx + cC. xcos(x + c):D. xcosx o微积分II期末复习题（6）答案一、填空题（将答案直接填在横线上，每小题3分，共5小题）1、过z轴，且过点（-3,1-2）的平面方程是x + 3y = 0。
2、设z = e2x In4- y2 ,则dz（〔门=（— + 21n2）/力+ —。
2 23 交换积分次加畑 y）dy = £ dy^L f（x, y）dx+[ dyj爲,f{x, y）dx。
OO4、一//=1 J25、微分方程（x2 + y2）dx-xydy = 0的通解是丄〒=In兀+ c。
2x二、选择题（每小题3分，共5小题）函数z = f（x.y）在点（兀y）处可微是其在该点偏导存在的（B ）4、已知/（劝是连续函数，且/（%）= £,则/（兀）为：（5、方程—+ ytanx = cosx的通解是（dxdz代xzj 兀 2 + y2 + z2 +ydy 一 F (10-1).0,-0yx^2 + / + z 2+z 所以叽）dy = dx- 41dy(10-1)解:计算积分的值，其中D 是由xy n yZy = \^x\x = 2所围成的区域。
血『沪T 叫叫TJ+i 2 -f (1 一 777 - +血=~i+arctan W8.■ ^-^ + arctan28 4三、求解下列各题（每小题5分，共8小题）1、求由xyz + Jx 2 + / + z 2 =42所确定的隐函数z = z(x,y)在(1,0,-1)出的全微 分。
《微积分(二)》期末复习试题a
《微积分（二）》期末复习试题aD区大一《微积分》（二）期末复习题A一、填空题1、复合函数yin45某可分解为______________________;2、若y=f （某）的定义域是[0，1]，则f(某2)的定义域是__________;某12某24某25某6____5、lim____6、lim_______;3、lim(3某1)___4、lim某1某1某2某某2某23某2in5某tan某in某3某22in某limlim______;limlim37、___8、_9._____10、某0某0某0某某2某23某某某tan某81某2某_____12．lim（）=____13．lim（1)某=__；（1某)某=___14、lim11、lim某0某某某0某某某23（1)3某4=______；16lim（1)2某=______；15、lim某某某某117、函数y1的间断点是______；是第______类间断点；2(某2)某218、函数f(某)2某1某19、函数f(某)3某1某2某2，当某2时的左极限是______；右极限是______；在某2处______；（填是否连续）某3，当某3时的左极限是______；某3右极限是______；极限是______；在某3处______；（填是否连续）20、函数y1当______时，是无穷大量；当______时，是无穷小量；(某1)211的间断点是______和______；(某2)某121、函数y22、函数yf(某)在点某处的导数f(某)表示曲线yf(某)在点（某，y）处的______和______；23、曲线yln某在点M（e，1）处的切线方程是____________；24、若函数yf(某)在点某0处可导，则yf(某)在点某0处必______，且limf(某)______；某某025、函数f(某)某312某1在定义域内是单调______的；26、函数f(某)(某1)6的凹区间为________；27、已知函数yf(某)在点某0处可导，且f(某0)是极小值，则f(某0)___；28、若点（1，4）是曲线ya某3b某2的拐点，则a=_____，b___；29、已知函数F（某）和G（某）都是函数f（某）的原函数，且G （某）=e某，F（0）=0，则F（某）=________；30、已知不定积分f(某)d某F(某)C,则f(某)F(某)d某________；231、根据定积分的几何意义可知：32、已知(2某b)d某0，则b=________；1某d某____；0121033、已知连续函数f(某)是奇函数，且f(某)d某1，则f(某)d某________；010134、曲线y=某3在点A(2,8)处的切线斜率为_________；二、选择题1、lime（）A0；B－∞；C+∞；D不存在。
微积分二期末练习4
微积分二期末练习（4）一、 单项选择题1、设曲线()y f x =在区间[,]a b 上连续，则曲线()y f x =，x a =，x b =及x 轴所围成的图形的面积S = 。
A 、()baf x dx ⎰ B 、()baf x dx -⎰ C 、()baf x dx ⎰ D 、()baf x dx ⎰2、'(3)baf x dx =⎰ 。
A 、()()f b f a -B 、1[(3)(3)]3f b f a - C 、(3)(3)f b f a - D 、3[(3)(3)]f b f a - 3、下列级数收敛的是 。
A、n ∞= B、n ∞= C、n ∞= D 、11n n ∞=∑4、函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处存在对,x y 的偏导数，则00000(2,)(,)limx f x x y f x y x∆→-∆-=∆ 。
A 、002'(,)x f x yB 、002'(,)x f x y -C 、002'(,)y f x yD 、002'(,)y f x y - 5、微分方程'2xy y =的通解是 。
A 、2y Cx =B 、2y xC =+ C 、22y x =D 、21y x =+ 二、 填空题1、2121(1tan )1x x dx x -+=+⎰ 。
2、当k 满足 ，广义积分31(ln )kdx x x +∞⎰收敛。
3、函数22ln(4)z x y =--的定义域为 。
4、设22xy z e +=，则dz = 。
5、设积分区域D 的面积为S ，则2Ddxdy =⎰⎰ 。
三、计算题 1、求极限2260(1)limx t x e dt x →-⎰。
2、求定积分3⎰。
3、求定积分21ln ex xdx ⎰。
4、判断广义积分219dx x +∞+⎰的敛散性。
5、设2(,)y z f x y x =，其中f 可微，求zx∂∂，z y ∂∂。
3微积分II期末练习题
《微积分II 》期末复习题（3）一、填空题 1．函数(,)f x y =，则定义域为 。
2．函数222ln 2ln z x y x y =+--的驻点为 3．若级数11(1)n n α∞=+∑α发散，则的取值范围是 4．设有级数1()2nn n x a ∞=+∑，若11lim 3n n n a a →∞+=则该级数的收敛半径为5．方程ydx xdy =的解为二、选择题1．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微的充分条件是（ ）。
（A ）(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续（B ）(,)z f x y =在点00(,)x y 处存在偏导数（C ）()()00000lim ,,0,x y z f x y x f x y y ρρ→''⎡⎤∆-∆-∆==⎣⎦（D ）()()00000,,lim0,x y z f x y x f x y yρρρ→''∆-∆-∆==2．下列不等式正确的是（ ）。
（A ）11(1)0x y x d σ≤≤->⎰⎰ （B ）22221()0xy x y d σ+≤-->⎰⎰（C ）11(1)0x y y d σ≤≤->⎰⎰ （D ）11(1)0x y x d σ≤≤+>⎰⎰3．设110(,)(,)xDf x y dxdy dx f x y dy -=⎰⎰⎰⎰，则改变积分次序后为（ ）。
（A ）11(,)xdy f x y dx-⎰⎰ （B ）110(,)xdy f x y dx-⎰⎰（C ）1100(,)dy f x y dx⎰⎰（C ）110(,)ydy f x y dx-⎰⎰4．已知lim n n a a →∞=则12()nn n aa ∞-=-∑ （ ）。
（A ）收敛于0 （B ）收敛于1a a - （C ）收敛于a （D ）发散5. 函数xy=(c+x)e 是方程的2220d y dyy dx dx-+=的（ ） A. 通解 B. 特解 C. 解 D. 不是解三、计算题 1．设(,)f x y =f x∂∂ 2．设ln xz e =2zx y∂∂∂3．求()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 由2y x =，24y x =，1y =围成4．计算112111224y y xxyI dy e dx dy e dx =+⎰⎰⎰5．讨论11(1)n p n n∞-=-∑的敛散性，若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛 6．求函数项级数0(1)1()211n nn x n x∞=---+∑的收敛域7. 2xydx (x 1)dy 0y1x =++==求微分方程在初始条件下的特解8．求方程的特解2204501,0x d y dyy dx dxdy y dx =⎧++=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩x=0四、综合应用题1．求函数333z x y xy =+-的极值2．某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为1p 和2p ，销售量分别为1q 和2q ，需求函数分别为11240.2q p =-，22100.05q p =-；总成本函数为123540()C q q =++。
北京交通大学第二学期〈微积分(B)II〉期末考试试卷(A)及其答案
2005-2006学年第二学期〈微积分(B)II 〉期末考试试卷(A)答案一、简答题（ 每小题5分,共55分）判分标准：（1）答案正确时，一般不扣分，除非有明显的作弊倾向。
（2）答案不正确时，可按步骤给分。
1．.2dz z y z x 的全微分求，已知=解：dy xy dx y y dz x x)2()ln 2(122-+=评分：dy dx dz )()(+=（+1分）；一个“（ ）”+2分 2．设 z=f (x , y ) 为二元函数. 在下图所示的方框中, 用”“⇒将 f (x , y ) 在 (x , y )处的连续性,可微性等关系表示出来. 解：评分：缺一个或多一个箭头扣一分。
不给负分。
3．设),(2xyy x f z =, 其中 f 具有二阶连续的偏导数, 求.,2y x z x z ∂∂∂∂∂ 解：分）2.(2221+'-'=∂∂xyf xy f x z .2123]1[1]1[2222312113221222212221221112f x yf y f y x f x f x x f x f xy f x x f x f xy f x y x z ''-''+''+'-'=+''+''-'-''+''+'=∂∂∂分）（4．求曲面 ），，在点（0210)1ln(23=+--z ye x z处的切平面方程.解；)3,1,6()11,,6(2--=+---z ye e x z z 所求；043603)2()1(6=---⇔=----z y x z y x 评分：6，-1，-3，一个数一分，法向量有错最多2分。
5．求函数 )1,1,1(11122=-=l M z xy u）处沿方向，，（在点的方向导数. 解：.323/)1,1,1()2,2,2(||)2,2,2(||),,(=⋅-=⋅-=⋅'''=∂∂l l z x y l l u u u l u zy x评分：对应以上各等号分别给到1、2、4、5分。
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第六章练习题
1
、2
1
.x ⎰
2、⎰
++40
1
22dx x x
3
、1
1
(x
x
x -⎰ 4
、2
π⎰
5、2e d ;1e x
x
x +∞
-∞
+⎰
6、判断积分1
1
d x x α+∞
⎰
，101d x x
α⎰的敛散性 7、（1）求由曲线,x y e y e ==及y 轴所围成平面区域的面积， （2）将其绕y 轴旋转一周的体积是多少？
第八章练习题
1
、求z =的定义域 2、求极限
00
x y →→
11
x y →→ 3、求函数()xy z e x y =+的二阶偏导数。
4、二元函数连续、可导、可微的关系 5、求e xy z =在点(2, 1) 处的全微分.
7、已知复合函数e sin ,,,u z v u xy v x y ===+求偏导数
,.z z
x y
∂∂∂∂ 8、已知函数22(),(),.z z z f x x y f u x y
∂∂=+∂∂且可微求
与 9、已知20xz z e z e --+=，求
,.z z x y
∂∂∂∂ 10、求函数333z x y xy =+-的极值
11、某工厂生产两种产品A 和B ，其销售单价分别为 1210,9P P == (单位:元)总成本函数(单位:元)是两种产品产量1q 和2q (单位:件)的函数，
2212121122(,)400230.01(33)C q q q q q q q q =+++⋅++，当两种产品的产量为多少
时，可获利润最大？
12、销售某产品需作两种方式的广告宣传，当宣传费分别为x 和y (单位:千元)时，销售量为S (单位:件)是x 和y 的函数200100510x y
S x y
=
+
++，若销售产品所得利润是销售量的1/5减去总的广告费，两种方式广告费共25(千元)．应怎样分配两种方式的广告费，能使利润最大，最大利润是多少？
第九章练习题
1、改变积分次序2
12(,)x
dx f x y dy -⎰
2、计算⎰⎰D
xydxdy ，其中D 是由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成的闭区域.
3、计算二重积分 d D
x y ⎰⎰
其中区域D 为由x =0及 x 2+y 2=2y 围成的第
一象限内的区域.
第十章
1、解下列微分方程 （1）
d 2d y xy x = （2）(ln ln )dy x y y x dx
=-； （3）x xy y xe '+=； 2、已知42x x y e y =∆，求
3、解差分方程10x x y y --=满足初始条件02.y =的特解
第十一章 略。