全国各地高考数学模拟质检试题汇编(二)
高三数学-2024年全国普通高中九省联考仿真模拟数学试题(二)(解析版)
2024年高考仿真模拟数试题（二）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.从小到大排列的数据1,2,3,,4,5,6,7,8,,9,10x y 的第三四分位数为（）A.3B.32x + C.8D.82y +【答案】D 【解析】【分析】由百分位数的估计方法直接求解即可.【详解】1275%9⨯= ，∴该组数据的第三四分位数为82y+.故选：D.2.若椭圆22:1(0)9+=>x y C m m 上一点到C 的两个焦点的距离之和为2m ，则m =（）A.1B.3C.6D.1或3【答案】B 【解析】【分析】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案.【详解】若9m >，则由2=m 得1m =（舍去）；若09m <<，则由26m =得3m =．故选：B .3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3510a a +=-，642S =-，则10S =（）A.12B.10C.16D.20【答案】B 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件可得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，在利用等差数列的求和公式可求得10S 的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()35111242610a a a d a d a d +=+++=+=-，①611656615422S a d a d ⨯=+=+=-，②联立①②可得117a =-，4d =，因此，()10111091010451017454102S a d a d ⨯=+=+=⨯-+⨯=.故选：B ．4.同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（）A.32种B.128种C.64种D.256种【答案】C 【解析】【分析】分甲和乙都去和甲和乙都不去两类，利用分类计数原理求解.【详解】若甲、乙都去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有52种去法；若甲、乙都不去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有52种去法．故一共有552264+=种去法．故选：C .5.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC 折起，使得二面角A BC D --为直二面角，得图2所示四面体ABCD ．小明对四面体ABCD 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①CD ⊥平面ABC ；②AB ⊥平面ACD ；③平面ABD ⊥平面ACD ；④平面ABD ⊥平面BCD ．其中判断正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，因为二面角A BC D --为直二面角，可得平面ABC⊥平面BCD ，又因为平面ABC ⋂平面BCD BC =，DC BC ⊥，且DC ⊂平面BCD ，所以DC ⊥平面ABC ，所以①正确；对于②中，由DC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ，可得AB CD ⊥，又因为AB AC ⊥，且AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，所以②正确；对于③中，由AB ⊥平面ACD ，且AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面ACD ，所以③正确；对于④，中，因为DC ⊥平面ABC ，且DC ⊂平面BCD ，可得平面ABC⊥平面BCD ，若平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面ABC AB =，可得AB ⊥平面BCD ，又因为BC ⊂平面BCD ，所以AB BC ⊥，因为AB 与BC 不垂直，所以矛盾，所以平面ABD 和平面BCD 不垂直，所以D 错误.故选：C.6.已知点P 在圆22(1)1x y -+=上，点A 的坐标为(,O -为原点，则AO AP ⋅的取值范围是（）A.[]3,3- B.[]3,5 C.[]1,9 D.[]3,7【答案】D 【解析】【分析】设(),P x y ，利用平面向量数量积的坐标运算结合直线与圆的位置关系可得结果.【详解】设(),P x y ，因点A 的坐标为(-，所以((1,,1,AO AP x y ==+-，则14AO AP x y x ⋅=+--=-+，设4t x =+，即()33433y x t =+-，依题意，求t 的范围即求直线)33433y x t =+-与圆22(1)1x y -+=有公共点时在y 轴上截距的范围，即圆心()1,0到()33433y x t =+-的距离512t d -=≤，解得37t ≤≤，所以AO AP ⋅的取值范围为[]3,7，故选：D.7.若)sin s ()2in x x x f x =-，且()()123f x f x =-，则12x x -的最小值为（）A.πB.π2C.2πD.π4【答案】B 【解析】【分析】化简()f x 解析式，得函数最大最小值与周期，利用()()123f x f x =-条件转化为与最值的关系，再由最值与周期的关系可得.【详解】)si o (n )2s sin xx xf x =-222sin x x =-2cos 21x x =+-2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()f x 的周期为πT =，且令sin 26t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则[]1,1t ∈-，则()()21f x g t t ==-，由()g t 的值域为[]3,1-，故max min ()1,()3f x f x ==-，则123()13()1f x f x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，故()()1239f x f x -≤≤，由()()123f x f x =-知，12()1()3f x f x =⎧⎨=-⎩，或21()1()3f x f x =⎧⎨=-⎩.即12(),()f x f x 为函数的最大与最小值，或最小与最大值，当12,x x 对应()f x 图象上相邻两最值点时，12x x -的值最小，故12minπ22T x x -==.故选：B.8.如图，已知12,F F 是双曲线22:221x y C a b-=的左､右焦点，,P Q 为双曲线C 上两点，满足12F P F Q ∥，且2213F Q F P F P ==，则双曲线C 的离心率为（）A.105B.52C.153D.102【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得t a =，进而可得11290F P Q F PF ∠∠=='，结合勾股定理运算求解.【详解】延长2QF 与双曲线交于点P '，因为12F P F P '∥，根据对称性可知12F P F P ='，设21F P F P t ='=，则223F P F Q t ==，可得2122F P F P t a -==，即t a =，所以44P Q t a ='=，则1225QF QF a a =+=，123F P F P a =='，即22211P Q F P QF ''+=，可知11290F P Q F PF ∠∠=='，在12P F F ' 中，由勾股定理得2222121F P F P F F ''+=，即()22234a a c =+，解得102c e a ==.故选：D.【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b用a ，c 代换，求ce a=的值；2．焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设复数1iz a b =+（,R a b ∈且0b ≠），则下列结论正确的是（）A.z 可能是实数B.z z =恒成立C.若2R z ∈，则0a =D.若1R z z+∈，则1z =【答案】BCD 【解析】【分析】根据复数的运算和复数的类型的概念求解即可.【详解】对于A ：若2222221i i i a b a bz a b a b a b a b -===-++++是实数，则0b =，与已知矛盾，故A 错误；对于B ：由A 项知2222ia b z a b a b =+++，所以z =，z z ==，故B 正确；对于C ：若()()()2222222222222i a b abz ababab=--=+++()()222222222i a b ababab--∈++R ，则()22220abab=+，因为0b ≠，所以0a =，故C 正确；对于D ：11i z a z a b +=++2222i i a b b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++-∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭R ，则220bb a b-=+，因为0b ≠，所以221a b +=，所以1z ==，故D 正确．故选：BCD ．10.在ABC 中，若tan sin 2A BC +=，则下列结论正确的是（）A.tan 1tan AB=B.0sin sin A B <+≤C.22sin cos 1A B +=D.222cos cos sin A B C+=【答案】BD 【解析】【分析】由tansin 2A BC +=化简得到90C =︒，再逐项判断.【详解】解：由cos12tan sin tan 2sin cos 22222tan sin 22CA B C C C C C Cπ+⎛⎫=⇒-=== ⎪⎝⎭，因为π0<22C <，所以cos 02C ≠，所以2212sin12sin 0cos 09022C C C C =⇒-=⇒=⇒=︒，所以1tan tan 2tan B A A π⎛⎫=-=⎪⎝⎭，2tan tan tan A A B=不一定为1，A 错；因为()sin sin sin cos 45A B A A A +=+=+︒，0904545135A A ︒<<︒⇒︒<+︒<︒，∴()()2sin 4511452A A <+︒≤⇒<+︒≤，从而有0sin sin A B <+≤，所以B 正确，又cos cos sin 2B A A π⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以222sin cos 2sin A B A +=也不一定等于1，C 错；而22222cos cos cos sin 1sin A B A A C +=+==，D 正确；故选：BD11.已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且()11f =-，则（）A.()01f =B.()f x 为奇函数C.()()()1220240f f f +++= D.()22112f x fx ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】采用赋值法为突破口，分析函数的有关性质.【详解】对A ：令1x =，0y =，则()()()21210f f f =，因为()11f =-，所以()01f =，故A 正确；对B ：令0x =得：()()()()20f y f y f f y +-=，结合()01f =可得()()f y f y =-，所以()f x 为偶函数，故B 错误；对C ：令1y =可得：()()()()1121f x f x f x f ++-=，因为()11f =-，所以()()()112f x f x f x ++-=-⇒()()()()11f x f x f x f x ⎡⎤++=-+-⎣⎦，进一步可得：()()()()211f x f x f x f x ⎡⎤+++=-++⎣⎦，又()01f =，()11f =-，故()()010f f +=，故()()120f f +=，依次有()()()()()()()()233420222023202320240f f f f f f f f +=+==+=+= ,所以()()()()()123···20232024010120f f f f f +++++=⨯=，故C 正确；对D ：令x y =可得：()()()2202f x f f x ⎡⎤+=⎣⎦⇒()()2212f x f x +⎡⎤=⎣⎦;用12x +代替x ，y 得：()()2121022f x f fx ⎡⎤⎛⎫++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⇒()2211122f x f x ++⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合C 的结果，可得：()2212f x fx ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦()()22122f x f x +++()()01212f f ++==，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：如何赋值是解决问题的关键.AB 相对简单，对C ，令1y =得到()()()()11f x f x f x f x ⎡⎤++=-+-⎣⎦后进一步可得到数列相邻项之间的关系，可求结果，对D ，用x y =和用12x +代替x ，y 是解决问题的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若关于x 的不等式()2020ax bx c a ≤++≤>的解集为{}13x x -≤≤，则32a b c ++的取值范围是__________．【答案】3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出a 的取值范围，最后32a b c ++都表示成a 的形式即可.【详解】因为不等式()2020ax bx c a ≤++≤>的解集为{}13x x -≤≤，所以二次函数()2f x ax bx c =++的对称轴为直线1x =，且需满足()()()123210f f f ⎧-=⎪=⎨⎪≥⎩，即29320a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++≥⎩，解得232b a c a =-⎧⎨=-+⎩，所以123202a b c a a a a ++=--+≥⇒≤，所以10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以332326445,42a b c a a a a ⎡⎫++=--+=-∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解.13.已知直三棱柱1111,,2,2ABC A B C AB BC AC AB A C -⊥==，则三棱柱111ABC A B C -的体积的最大值为__________；此时棱柱的高为__________.【答案】①.23②.3【解析】【分析】利用直三棱柱的特征、体积公式结合导数求单调性及最值计算即可.【详解】如图所示，不妨设AB x =，由题意则())12,,0,1AC x BC AA x ===∈，则12V x ==令()()()()()22210,123f t t t t x f t t t=-⨯=∈⇒=-'，则213t >>时，()0f t '<，203t >>时，()0f t '>，即()f t 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()max max 2423273f t f V ⎛⎫==⇒=⎪⎝⎭，此时2122333t x AA ==⇒===.故答案为：23；233.14.已知正实数,,,a b c d 满足210a ab -+=，221c d +=，则当22()()a c b d -+-取得最小值时，ab =__________．【答案】212+【解析】【分析】将22()()a c b d -+-转化为(),a b 与(),c d 两点间距离的平方，进而转化为(),a b 与圆心()0,0的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.【详解】可将22()()a c b d -+-转化为(),a b 与(),c d 两点间距离的平方，由210a ab -+=，得1b a a=+，而221c d +=表示以()0,0为圆心，1为半径的圆，(),c d 为圆上一点，则(),a b 与圆心()0,0的距离为：==≥=，当且仅当2212a a =，即a =时等号成立，此时(),a b 与圆心()0,0的距离最小，即(),a b 与(),c d 两点间距离的平方最小，即22()()a c b d -+-取得最小值.当a =时，22112ab a =+=+，故答案为：12+.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够将问题转化为圆221c d +=上的点到1b a a=+上的点的距离的最小值的求解问题，进而求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()()212ln 212f x x ax a x =+-+.（1）若曲线()y f x =在()()1,1f 处切线与x 轴平行，求a ；（2）若()f x 在2x =处取得极大值，求a 的取值范围.【答案】（1）1（2）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）先对()f x 求导，利用导数的几何意义即可得解；（2）分类讨论a 的取值情况，利用导数分析()f x 的单调情况，从而得到其极值情况，由此得解.【小问1详解】因为()()()212ln 2102f x x ax a x x =+-+>，所以()()()()()221212221ax a x ax x f x ax a x x x-'++--=+-+==，因为曲线()y f x =在()()1,1f 处切线与x 轴平行，所以()()()112101a f --'==，解得1a =，又()1513022f =-=-≠，所以1a =.【小问2详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()()()12ax x f x x--'=，①当0a =时，令()0f x ¢>，得02x <<，令()0f x '<，得2x >，()f x \在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减.()f x \在2x =处取得极大值，满足题意；②当a<0时，令()0f x ¢>，得02x <<，令()0f x '<，得2x >，()f x \在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减.()f x \在2x =处取得极大值，满足题意；③当0a >时，（i ）当12a =时，()12,0f x a =≥'所以()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 无极值，不满足题意；（ii ）当12a >时，12a<，令()0f x '<，得12x a <<，令()0f x ¢>，得10x a<<或2x >.()f x \在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()2,+∞上单调递增.()f x \在2x =处取得极小值，不满足题意；（iii ）当102a <<时，12a>，令()0f x '<，得12x a <<，令()0f x ¢>，得02x <<或1x a>.()f x \在()0,2上单调递增，在12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.()f x \在2x =处取得极大值，满足题意；综上所述，a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.16.盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球．不放回．（1）若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次．记摸出的红球个数为X ．求随机变量X 的分布列和数学期望．（2）若A 盒中有4个红球和4个白球，B 盒中在2个红球和2个白球．现甲、乙、丙三人依次从A 号盒中摸出一个球并放入B 号盒，然后丁从B 号盒中任取一球．已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率．【答案】（1）分布列见解析；期望为34（2）4449【解析】【分析】（1）列出X 的所有可能的值，求出对应的概率，可得分布列，并求期望.（2）用条件概率公式求解.【小问1详解】X 可取0，1，2.且：()11541187C C 50C C 14P X ===，()1123521187C C A 151C C 28P X ===，()11321187C C 32C C 28P X ===.所以X 的分布列为：X012P5141528328则：153********EX =⨯+⨯=.【小问2详解】设事件D =“丁取到红球”，事件E =“甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”.当甲、乙、丙三人取得1个白球，则丁取到红球的概率为1114341118763C C C 4C C C 7⨯；当甲、乙、丙三人取得2个白球，则丁取到红球的概率为1114431118763C C C 3C C C 7⨯；当甲、乙、丙三人取得3个白球，则丁取到红球的概率为111432111876C C C 2C C C 7⨯；当甲、乙、丙三人取得3个红球，则丁取到红球的概率为111432111876C C C 5C C C 7⨯；则所求概率为：()()()|P DE P E D P D =1111111114344434321111111118768768761111111111114344334324321111111111118768768768763C C C 3C C C C C C 432C C C 7C C C 7C C C 7443C C C 3C C C 3C C C 3C C C 543249C C C 7C C C 7C C C 7C C C 7⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯.17.在梯形ABCD 中，AB CD ，π3BAD ∠=，224AB AD CD ===，P 为AB 的中点，线段AC 与DP 交于O 点（如图1）.将ACD 沿AC 折起到ACD '△位置，使得平面D AC '⊥平面BAC （如图2）.（1）求二面角A BD C '--的余弦值；（2）线段PD '上是否存在点Q ，使得CQ 与平面BCD '所成角的正弦值为8若存在，求出PQ PD '的值；若不存在，请说明理由.【答案】17.77-18.存在，13PQ PD '=【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量求解；（2）设()'01PQ PD λλ=≤≤ ，表示出CQ，利用向量的夹角公式代入列式，即可得解.【小问1详解】因为在梯形ABCD 中，//AB CD ，224AB AD CD ===，π3BAD ∠=，P 为AB 的中点，所以，//CD PB ，CD PB =，所以ADP △是正三角形，四边形DPBC 为菱形，可得ACBC ⊥，AC DP ⊥，而平面'D AC ⊥平面BAC ，平面'D AC ⋂平面BAC AC =，'D O ⊂平面'D AC ，'D O AC ⊥，'D O ∴⊥平面BAC ，所以OA ，OP ，'OD 两两互相垂直，如图，以点O 为坐标原点，OA ，OP ，'OD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则)A，()C，()2,0B ，()'0,0,1D ，()0,1,0P，()'AD ∴=，()AB =-，)'2,1BD =-，)'CD =，设平面'ABD 的一个法向量为()111,,m x y z =，则00m AD m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩，即1111020z y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令11x =，则11y z ==，(m ∴=，设平面'CBD 的一个法向量为()222,,x n y z =，则00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩''，即22222200y z z -+=+=，令21x =，则20y =，2z =(1,0,n ∴=，1107cos ,7m n m n m n⨯++⋅∴==-，所以二面角'A BD C --的余弦值为77-.【小问2详解】线段'PD上存在点Q ，使得CQ 与平面'BCD 所成角的正弦值为8.设()'01PQ PD λλ=≤≤ ，因为)CP = ，()'0,1,1PD =-，所以)',CQ CP PQ CP PD λλλ=+=+=-，设CQ 与平面'BCD 所成角为θ，则6sin cos ,8CQ n CQ n CQ n λθ⋅-=== ，即23720λλ-+=，01λ≤≤ ，解得13λ=，所以线段'PD 上存在点Q ，且'13PQ PD =，使得CQ 与平面'BCD 所成角的正弦值为8.18.已知抛物线24y x =，顶点为O ，过焦点的直线交抛物线于A ，B 两点．（1）如图1所示，已知8AB =|，求线段AB 中点到y 轴的距离；（2）设点P 是线段AB 上的动点，顶点O 关于点P 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值；（3）如图2所示，设D 为抛物线上的一点，过D 作直线DM ，DN 交抛物线于M ，N 两点，过D 作直线DP ，DQ 交抛物线于P ，Q 两点，且DM DN ⊥，DP DQ ⊥，设线段MN 与线段PQ 的交点为T ，求直线OT 斜率的取值范围．【答案】（1）3（2）4（3）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据抛物线的性质求解即可；（2）由题意可知四边形OABC 的面积等于2AOB S △，设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理和341222AOB S OF y y =醋-V 求解即可；（3）设D 点坐标为()2,2a a ，将抛物线方程与直线DM ，DN 联立，利用韦达定理将点M 和点N 坐标用a 表示，进而可得到直线MN 的方程，证明直线MN 过定点即可求解.【小问1详解】因为过焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，且8AB =，设()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线的性质可得1228x x AB ++==，所以126x x +=，所以线段AB 中点的横坐标，即为线段AB 中点到y 轴的距离为1232x x +=.【小问2详解】由点C 与原点O 关于点P 对称，可知P 是线段OC 的中点，所以点O 与点C 到直线l 的距离相等，所以四边形OABC 的面积等于2AOB S △，设直线l 的方程为1x my =+，联立214x my y x⎧=+⎨=⎩，消去x 可得2440y my --=，设()33,A x y ，()44,B x y ，由韦达定理可得344y y m +=，344y y =-，所以341222AOB S OFy y =醋-==V ，当0m =时，四边形OABC 的面积取最小值为4．【小问3详解】设D 点坐标为()2,2a a ，M 点坐标为(),M M x y ，N 点坐标为(),N N x y ，由题意可知直线DM 的斜率k 存在，且不为0，则直线DM 的方程为()22y a k x a -=-，与抛物线24y x =联立，消去x 得224840a y y a kk-+-=，由韦达定理可得42M a y k +=，解得42M y a k=-，直线DN 的方程为()212y a x a k-=--与抛物线24y x =联立，消去x 得224840y ky ka a +--=，由韦达定理可得24N a y k +=-，解得42N y k a =--，显然直线MN 斜率不为零，当直线MN 斜率存在时，直线MN 的方程为()()()()2244M M M MN M N M N M N M N M x x x x y y x x y y x x y y y y y y ----===---+-，整理得：4N MN Mx y y y y y +=+，将42M y a k=-，42N y k a =--代入MN l 得：()()222224424244222411242x a k a k x a kx k a ak a k ky a ak k ak k a k a k骣÷ç+---÷ç÷--ç--++桫===-+-------，所以直线MN l 过定点()24,2a a +-，即T 点坐标为()24,2a a +-，直线OT 的斜率为224OT ak a=-+，当0a >时，21042a a>-³--+，当且仅当4a a=，即2a =时，等号成立，当a<0时，21042a a <≤=--，当且仅当4a a -=-，即2a =-时，等号成立，当0a =时，0OT k =，当直线MN 的斜率不存在时，设M 点坐标为()2,2t t ，N 点的坐标为()2,2t t -，则()22,22DM t a t a =--uuu u r ，()22,22DN t a t a =---uuu r ，且根据题意220t a -≠，所以()()2222240DM DN t a t a ×=---=uuu u r uuu r ，解得224t a =+，所以直线MN 的方程为24x a =+过点()24,2a a +-，综上所述，直线OT 斜率的取值范围为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11,A x y ，()22,B x y ；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x 或y 的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为12x x +，12x x 形式；（5）代入韦达定理求解.19.已知无穷数列{}n a 满足{}{}1212max ,min ,(1,2,3,)n n n n n a a a a a n ++++=-= ，其中max{,}x y 表示x ，y 中最大的数，min{,}x y 表示x ，y 中最小的数.（1）当11a =，22a =时，写出4a 的所有可能值；（2）若数列{}n a 中的项存在最大值，证明：0为数列{}n a 中的项；（3）若0(1,2,3,)n a n >= ，是否存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤？如果存在，写出一个满足条件的M ；如果不存在，说明理由.【答案】（1）{1,3,5}（2）证明见解析（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据定义知0n a ≥，讨论32a >、32a <及34,a a 大小求所有4a 可能值；（2）由0n a ≥，假设存在*0N n ∈使0n n a a ≤，进而有000012max{,}n n n n a a a a ++≤≤，可得0012min{,}0n n a a ++=，即可证结论；（3）由题设1n n a a +≠(2,3,)n =，令1{|,1}n n S n a a n +=>≥，讨论S =∅、S ≠∅求证n a M >即可判断存在性.【小问1详解】由{}{}1212max ,min ,0n n n n n a a a a a ++++=-≥，133max{2,}min{2,}1a a a =-=，若32a >，则321a -=，即33a =，此时244max{3,}min{3,}2a a a =-=，当43a >，则432a -=，即45a =；当43a <，则432a -=，即41a =；若32a <，则321a -=，即31a =，此时244max{1,}min{1,}2a a a =-=，当41a >，则412a -=，即43a =；当41a <，则412a -=，即41a =-（舍）；综上，4a 的所有可能值为{1,3,5}.【小问2详解】由（1）知：0n a ≥，则{}12min ,0n n a a ++≥，数列{}n a 中的项存在最大值，故存在*0N n ∈使0n n a a ≤，(1,2,3,)n = ，由00000000121212max{,}min{,}max{,}n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=-≤≤，所以0012min{,}0n n a a ++=，故存在00{1,2}k n n ∈++使0k a =，所以0为数列{}n a 中的项；【小问3详解】不存在，理由如下：由0(1,2,3,)n a n >= ，则1n n a a +≠(2,3,)n =，设1{|,1}n n S n a a n +=>≥，若S =∅，则12a a ≤，1i i a a +<(2,3,)i = ，对任意0M >，取11[]2Mn a =+（[]x 表示不超过x 的最大整数），当1n n >时，112322()()...()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+23121...(1)n n a a a a n a M --=++++≥->；若S ≠∅，则S 为有限集，设1max{|,1}n n m n a a n +=>≥，1m i m i a a +++<(1,2,3,)i = ，对任意0M >，取21[]1m Mn m a +=++（[]x 表示不超过x 的最大整数），当2n n >时，112211()()...()n n n n n m m m a a a a a a a a ---+++=-+-++-+2311...()n n m m m a a a a n m a M --++=++++≥->；综上，不存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤.【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定1n n a a +≠(2,3,)n =，并构造集合1{|,1}n n S n a a n +=>≥，讨论S =∅、S ≠∅研究存在性.。
2022年河北省石家庄市高考数学质检试卷(二)(二模)+答案解析(附后)
2022年河北省石家庄市高考数学质检试卷（二）（二模）1.已知集合，，则( )A. B.C. D.2.已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知，则( )A. B. C. D.4.等差数列的前n项和记为，若，则( )A. 3033B. 4044C. 6066D. 80885.图形是信息传播、互通的重要的视觉语言《画法几何》是法国著名数学家蒙日的数学巨著，该书在投影的基础上，用“三视图”来表示三维空间中立体图形．其体来说．做一个几何的“三视图”，需要观测者分别从几何体正面、左面、上面三个不同角度观察，从正投影的角度作图．图中粗实线画出的是某三棱锥的三视图，且网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.6.在平行四边形ABCD中．M、N分别是AD、CD的中点，若，则( )A. B. C. D.7.已知，点P是抛物线C：上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点，则的最小值是( )A. B. C. D.8.已知，，，则x、y、z的大小关系为( )A. B. C. D.9.设a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论不正确的是( )A. 若，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，则10.设正实数m，n满足，则下列说法正确的是( )A. 上的最小值为2B. mn的最大值为1C. 的最大值为4D. 的最小值为11.已知圆：与圆：，则下列说法正确的是( )A. 若圆与x轴相切，则B. 若，则圆与圆相离C. 若圆与圆有公共弦，则公共弦所在的直线方程为D. 直线与圆始终有两个交点12.已知函数，则下列结论正确的是( )A. 函数的一个周期为B. 函数在上单调递增C. 函数的最大值为D. 函数图象关于直线对称13.某中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200、1000、800，为迎接春季运动会的到来，根据要求，按照年级人数进行分层抽样，抽选出30名志愿者，则高一年级应抽选的人数为__________.14.在的展开式中的系数为__________.15.已知函数，若存在实数，，，满足，且，则______，的取值范围是______.16.已知椭圆和双曲线有公共的焦点、，曲线和在第一象限相交于点且，若椭圆的离心率的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围是______.17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知，求角A的大小；请在①②两个条件任选一个，求的面积．18.设数列的前n项和为已知，求数列的通项公式；数列满足，求数列的前n项和19.北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会，南京青奥会后，第三次举办的奥运赛事.为助力冬奥，进一步增强群众的法治意识，提高群众奥运法律知识水平和文明素质，让法治精神携手冬奥走进千家万户．某市有关部门在该市市民中开展了“迎接冬奥法治同行”主题法治宣传教育活动．该活动采取线上线下相结合的方式，线上有“知识大闯关”冬奥法律知识普及类趣味答题，线下有“冬奥普法”知识讲座，实现“冬奥+普法”的全新模式．其中线上“知识大闯关”答题环节共计30个题目，每个题目2分，满分60分，现在从参与作答“知识大闯关”题目的市民中随机抽取1000名市民，将他们的作答成绩分成6组：并绘制了如图所示的频率分布直方图．请估计被抽取的1000名市民作答成绩的平均数和中位数；视频率为概率．现从所有参与“知识大闯关”活动的市民中随机取20名，调查其掌握各类冬奥法律知识的情况．记k名市民的成绩在的概率为，，1，2，…，请估计这20名市民的作答成绩在的人数为多少时最大？并说明理由．20.已知点，，点A满足，点A的轨迹为曲线求曲线C的方程；若直线l：与双曲线：交于M，N两点，且为坐标原点，求点A到直线l距离的取值范围．21.如图．平行六面体的底面ABCD是矩形，P为棱上一点．且、F为CD的中点．证明：；若当直线PB与平面PCD所成的角为，且二面角的平面角为锐角时，求三棱锥的体积．22.已知函数，其中e为自然对数的底数．若，求函数的单调区间；证明：对于任意的正实数M，总存在大于M的实数a、b，使得当时，答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合，，故选：求出集合A，B，利用交集定义能求出结果．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由已知可得，所以对应的点在第一象限，故选：由已知先化简复数z，进而可以求解．本题考查了复数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为，所以两边平方，可得，则故选：将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式即可求解．本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：等差数列的前n项和记为，若，则，故选：由题意，利用等差数列的性质，得出结论．本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥；如图所示：设外接球的半径为R，所以，解得，故故选：把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的外接球半径，最后求出球的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的外接球的半径的求法，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：如图所示，设，且，则，又因为，所以，解得，所以故选：设，由向量的运算法则得到，根据平面向量的基本定理，列出方程求得方程组，即可求解．本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：由抛物线C：知，焦点，准线方程，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，由抛物线定义知，当F，P，M三点共线时，最小为故选：根据抛物线的定义所求可转化为，再由三点共线可求最小值．本题考查抛物线的几何性质，求线段长度和的最小值，属中档题．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查三个数大小的比较，需注意对数函数和指数函数的性质的合理运用，属于基础题．利用对数函数和指数函数的性质，判断x，y，z的大小即可．【解答】解：，，，，，，，即，，故选9.【答案】ABC【解析】解：A：当时，，可以成立，本选项结论不正确；B：当时，若，，，此时，成立，因此本选项结论不正确；C：当时，若，，此时，成立，因此本选项结论不正确；D：因为，所以，，，所以，而，，所以，而，因此，所以本选项结论正确，故选：根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可．本题主要考查空间中的线面关系，面面关系等知识，属于基础题．10.【答案】AB【解析】解：因为正实数m，n满足，所以，当且时取等号，A正确；，当且仅当时取等号，B正确；，当且仅当时取等号，所以，C错误；，当且仅当时取等号，D错误．故选：由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于中档题．11.【答案】BD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，圆：，即，若圆与x轴相切，则，A错误；对于B，若，圆为，其圆心为，半径，圆：，其圆心为，半径，圆心距，两圆外离，B正确；对于C，若圆与圆有公共弦，联立两个圆的方程可得，即公共弦所在的直线方程为，C错误；对于D，直线，即，恒过定点，又由，则点在圆内部，故直线与圆始终有两个交点，D正确；故选：根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查圆与圆位置关系的判断，涉及圆的一般方程和标准方程，属于基础题．12.【答案】ABD【解析】解：，函数的一个周期为，故A正确；当时，且单调递增，在上是增函数，当时，且单调递减，在上是增函数，则函数在上单调递增，故B正确；，的图象关于直线对称，故D正确；函数在上单调递增，图象关于直线对称，又，函数的最大值为，故C错误．故选：由周期函数的定义判断A；利用复合函数的单调性判断B；求出函数的最大值判断C，由判断本题考查三角函数的性质，考查推理论证能力及运算求解能力，是中档题．13.【答案】12【解析】【分析】本题考查了分层抽样原理应用问题，属于基础题.根据分层抽样原理，求出高一年级应抽选的人数．【解答】解：根据分层抽样原理知，抽选出30名志愿者时，高一年级应抽选的人数为：故答案为14.【答案】6【解析】【分析】本题考查了二项式定理，属于基础题．把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．【解答】解：，展开式中含的项为，故它的展开式中的系数为故答案为15.【答案】【解析】解：作出函数的图象，如图，因为，所以由图可知，，即，且，，在上单调递增，，即的取值范围是故答案为：1；作出函数的图象，结合图象可知，，，之间的关系，利用此关系直接求出，再将转化为关于的二次函数求范围即可．本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查学生的运算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：在中，，由余弦定理可得，即，①而，即，②①②联立可得，即，由题意，，可得，所以，可得，可得，由双曲线的离心率的范围可得，故答案为：在三角形中，由余弦定理可得，分别由椭圆和双曲线的定义可得，，c的关系，两边同时除以c可得两个离心率的关系，再由的离心率的范围，求出的离心率的范围．本题考查椭圆和双曲线的性质的应用及余弦定理的应用，属于中档题．17.【答案】解：因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以，所以；若选①，由正弦定理得，，所以，由余弦定理得，解得，故的面积；若选②，由余弦定理得，，即，解得，所以的面积【解析】由已知结合三角形内角和及诱导公式进行化解，然后结合二倍角公式即可求解；若选①，由已知结合正弦定理先求出a，然后结合余弦定理可求c，再由三角形面积公式可求；若选②，由已知结合余弦定理先求出c，然后结合三角形面积公式可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．18.【答案】解：当时，由，得，两式相减得，所以，又，，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以；解：，则，，两式相减得，所以【解析】本题考查了数列的递推关系，错位相减法求和，属于中档题．根据与得关系，计算即可得出答案；求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可得出答案．19.【答案】解：由频率分布直方图可知，抽取的1000名市民作答成绩的平均数为：，设1000名市民作答成绩的中位数为x，则，解得，这1000名市民作答成绩的平均数为34，中位数为设在抽取的20名市民中，作答成绩在的人数为X，X服从二项分布，由频率分布直方图可知，作答成绩在的频率为，，，，1，2， (20)设，，2， (20)若，则，，若，则，，当时，最大，所以这20名市民的作答成绩在的人数为7时最大．【解析】本题考查频率分布直方图、平均数、中位数以及n次独立重复实验及二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是较难题．应用平均数公式来计算平均数，设出中位数，然后利用小于中位数的频率等于，列方程能求出中位数；列出k名市民的作答成绩在的的概率关于k的表达式，再利用作商法计算取最大值时k的值．20.【答案】解：设，因为，所以，化简得，即曲线C的方程为联立直线l与双曲线的方程，得，所以，设，，所以，得且，所以，，因为，所以，所以，所以，化简，得，把，代入，得，化简得，因为且，所以有且，解得，圆的圆心为，半径为1，圆心到直线l：的距离为，所以点A到直线的距离的最大值为，最小值为，所以点A到直线l的距离的取值范围为【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系及其应用，以及与圆有关的轨迹问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．设，由，得，化简即可得出答案；设，，联立直线l与双曲线的方程，结合韦达定理可得，，，由，则，进而可得，圆心到直线l：的距离为，即可得出答案．21.【答案】解：证明：取AB的中点E，连接PE，EF，，，四边形ABCD是矩形，，，F分别为AB、CD的中点，，，，平面PEF，平面PEF，；如图，以F为坐标原点，以过F与平面ABCD垂直的直线向上的方向为z轴正方向，以FC所在直线为x轴，以EF所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，设，h为P到平面ABCD的距离，则，，，设平面PCD的法向量，则，取，则，，，，设直线PB与平面PCD所成角为，则，解得或，当时，平面PCD的法向量为，则平面PCD与平面ABCD垂直，此时二面角的平面角为直角，舍，，代入，可得，三棱锥的体积为：【解析】取AB的中点E，连接PE，EF，证明出平面PEF，由此能证明；建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥的体积．本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：，令，得，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递減，综上单调递增区间为，单调递减区间为；要证，即证，即证，即证在时成立，时，，令，当时，，所以，所以单调递增，，，，满足，由单调性可知，满足，又因为当，，所以能够同时满足，对于任意的正实数M，总存在正整数k，且满足时，使得，所以不妨取，则a，且时，，故对于任意的正实数M，总存在大于M的实数a，b，使得当时，【解析】对函数求导，利用辅助角公式合并为同名三角函数，然后求出单调区间即可；将绝对值不等式转化为，移向构造新函数，利用导数判断单调性，借助零点定理和隐零点证明新构造函数恒正，再证明结论成立即可．本题考查了函数的单调区间和不等式的恒成立问题，属于难题．。
上海市2023年各地区高考数学模拟(二模)试题按题型难易度分层分类汇编(16套)-04填空题基础题②
上海市2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（16套）-04填空题基础题②一．函数的最值及其几何意义（共1小题）..................................................................................1一十九．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）........................................................................15二十二．条件概率与独立事件（共2小题）................................................................................16二十五．二项式定理（共2小题）. (18)一．函数的最值及其几何意义（共1小题）1．（2023•浦东新区二模）函数241log log (2)y x x =+在区间1(,)2+∞上的最小值为 ．二．函数奇偶性的性质与判断（共1小题）2．（2023•静安区二模）已知函数()(0)21xxa f x a =>+为偶函数，则函数()f x 的值域为 ．三．幂函数的概念、解析式、定义域、值域（共1小题）3．（2023•宝山区二模）若幂函数a y x =的图像经过点，则此幂函数的表达式为 ．四．对数的运算性质（共1小题）4．（2023•静安区二模）若101010x y -=，其中x ，y R ∈，则2x y -的最小值为 ．五．三角函数的最值（共1小题）5．（2023•松江区二模）已知(0,)2x π∈，则2214sin cos x x+的最小值为 ．六．同角三角函数间的基本关系（共1小题）6．（2023•静安区二模）已知(0,)απ∈，且3cos 28cos 5αα-=，则cos α= ．七．两角和与差的三角函数（共1小题）7．（2023•浦东新区二模）已知R ω∈，0ω>，函数cos y x x ωω=-在区间[0，2]上有唯一的最小值2-，则ω的取值范围为 ．八．二倍角的三角函数（共1小题）8．（2023•松江区二模）已知2πθπ<<，且4cos 5θ=-，则tan 2θ= ．九．等比数列的通项公式（共1小题）9．（2023•闵行区二模）已知在等比数列{}n a 中，3a 、7a 分别是函数32661y x x x =-+-的两个驻点，则5a = ．一十．数列递推式（共1小题）10．（2023•宝山区二模）已知数列{}n a 的递推公式为1121(2)2n n a a n a -=+⎧⎨=⎩…，则该数列的通项公式n a = ．一十一．极限及其运算（共1小题）11．（2023•闵行区二模）0(4)22limh ln h ln h→+-= ．一十二．利用导数研究函数的单调性（共1小题）12．（2023•浦东新区二模）已知01a b <<<，设3()()()W x x a x b =--，()()()k W x W k f x x k -=-，其中k 是整数．若对一切k Z ∈，()k y f x =都是区间(,)k +∞上的严格增函数．则ba的取值范围是 ．一十三．向量的概念与向量的模（共1小题）13．（2023•奉贤区二模）在集合{1，2，3，4}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成一个以原点为起点的向量(,)a b α=r，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是 ．一十四．平面向量数量积的性质及其运算（共3小题）14．（2023•闵行区二模）平面上有一组互不相等的单位向量12,,,n OA OA OA ⋯u u u r u u u u r u u u u r，若存在单位向量OP u u u r 满足120n OP OA OP OA OP OA ⋅+⋅+⋯+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则称OP u u u r是向量组12,,,n OA OA OA ⋯u u u r u u u u r u u u u r 的平衡向量．已知1OA 〈u u u r ，23OA π〉=u u u u r ，向量OP u u u r 是向量组123,,OA OA OA u u u r u u u u r u u u u r 的平衡向量，当3OP OA ⋅u u u r u u u u r 取得最大值时，13OA OA ⋅u u u r u u u u r的值为 ．15．（2023•浦东新区二模）已知边长为2的菱形ABCD 中，120A ∠=︒，P 、Q 是菱形内切圆上的两个动点，且PQ BD ⊥，则AP CQ ⋅u u u r u u u r的最大值是 ．16．（2023•松江区二模）已知点A 、B 是平面直角坐标系中关于y 轴对称的两点，且||2(0)OA a a =>u u u r ．若存在m ，n R ∈，使得mAB OA +u u u r u u u r 与nAB OB +u u u r u u u r垂直，且|()()|mAB OA nAB OB a +-+=u u u r u u u r u u u r u u u r，则||AB 的最小值为 ．一十五．投影向量（共1小题）17．（2023•静安区二模）已知向量a =r ，且a r，b r 的夹角为3π，()(23)4a b a b +⋅-=r r r r ，则b r 在a r方向上的投影向量等于 ．一十六．余弦定理（共1小题）18．（2023•奉贤区二模）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C 等于 ．一十七．虚数单位i 、复数（共1小题）19．（2023•宝山区二模）已知复数22(31)(56)3m m m m i --+--=（其中i 为虚数单位），则实数m = ．一十八．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共1小题）20．（2023•奉贤区二模）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O 、2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为 ．一十九．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）21．（2023•松江区二模）将如图所示的圆锥形容器内的液体全部倒入底面半径为50mm 的直立的圆柱形容器内，则液面高度为 mm ．二十．直线与平面所成的角（共1小题）22．（2023•静安区二模）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，F 为正方形11BCC B 的中心，则直线EF 与侧面11BB C C 所成角的正切值是 ．二十一．双曲线的性质（共1小题）23．（2023•浦东新区二模）双曲线22:124x y C -=的右焦点F 到其一条渐近线的距离为 ．二十二．条件概率与独立事件（共2小题）24．（2023•奉贤区二模）设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是 ．25．（2023•浦东新区二模）投掷一颗骰子，记事件{2A =，4，5}，{1B =，2，4，6}，则(|)P A B = ．二十三．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）26．（2023•奉贤区二模）已知随机变量X 的分布为123()111236，且3Y aX =+，若[]2E Y =-，则实数a = ．二十四．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共3小题）27．（2023•静安区二模）今年是农历癸卯兔年，一种以兔子形象命名的牛奶糖深受顾客欢迎．标识质量为500g 的这种袋装奶糖的质量指标X 是服从正态分布(500N ，22.5)的随机变量．若质量指标介于495g （含)至505g （含)之间的产品包装为合格包装，则随意买一包这种袋装奶糖，是合格包装的可能性大小为 %．（结果保留一位小数）（已知Φ（1）0.8413≈，Φ（2）0.9772≈，Φ（3）0.9987≈．()x Φ表示标准正态分布的密度函数从-∞到x 的累计面积）28．（2023•浦东新区二模）设随机变量X 服从正态分布2(0,)N σ，且(2)0.9P X >-=，则(2)P X >= ．29．（2023•松江区二模）已知随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，若( 1.96)0.03P X <-=，则(|| 1.96)P X <= ．二十五．二项式定理（共2小题）30．（2023•松江区二模）在二项式81(x x-的展开式中，含4x 的项的系数是 （结果用数字作答）．31．（2023•宝山区二模）在62(x x+的展开式中，常数项为 .（结果用数字作答）上海市2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（16套）-04填空题基础题②参考答案与试题解析一．函数的最值及其几何意义（共1小题）1．（2023•浦东新区二模）函数241log log (2)y x x =+在区间1(,)2+∞上的最小值为1- ．【答案】1-．【解答】解：42224444444(2)111111log 1log (2)112log (2)1(2)(2)(2)2(2)(2)log x y log x x x x log x log x log x log log x log x =+=++-=+-=+-=+-，1(2x ∈Q ，)+∞，2(1,)x ∴∈+∞，4log (2)0x ∴>，4412log (2)111(2)y x log x ∴=+-=-…，当且仅当4412log (2)(2)x log x =，即4log (2)x =即函数241log log (2)y x x =+在区间1(,)2+∞上的最小值为1-．故答案为：1-．二．函数奇偶性的性质与判断（共1小题）2．（2023•静安区二模）已知函数()(0)21xxa f x a =>+为偶函数，则函数()f x 的值域为 (0，1]2 ．【答案】(0，1]2【解答】解：函数的定义域为R ，因为()f x 为偶函数，所以f （1）(1)f =-，即112121a a --=++，解得a =，所以1()2f x ===，当且仅当x =，即0x =时，等号成立，又0x >，所以()f x 的值域为(0，12．故答案为：(0，1]2．三．幂函数的概念、解析式、定义域、值域（共1小题）3．（2023•宝山区二模）若幂函数a y x =的图像经过点，则此幂函数的表达式为 3y x = ．【答案】3y x =．【解答】解：Q 幂函数a y x =的图像经过点，∴3α=，3α∴=，则此幂函数的表达式为3y x =．故答案为：3y x =．四．对数的运算性质（共1小题）4．（2023•静安区二模）若101010x y -=，其中x ，y R ∈，则2x y -的最小值为 122lg + ．【答案】122lg +．【解答】解：101010x y -=Q，101010x y ∴=+=…1010y =，即1y =时，等号成立，两边平方得：2110410x y +⨯…，∴2110410xy +…，即21104x y --…，214x y lg ∴--…，214122x y lg lg ∴-+=+…，当且仅当1y =，12x lg =+时，等号成立，即2x y -的最小值为122lg +．故答案为：122lg +．五．三角函数的最值（共1小题）5．（2023•松江区二模）已知(0,)2x π∈，则2214sin cos x x+的最小值为 9 ．【答案】9．【解答】解：22222222221414cos 4sin ()(sin cos )559sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x x +=++=+++=…，当且仅当2222cos 4sin sin cos x x x x =，又22sin cos 1x x +=，(0,)2x π∈，即sin x =，cos x =时取等号，则2214sin cos x x+的最小值为9．故答案为：9．六．同角三角函数间的基本关系（共1小题）6．（2023•静安区二模）已知(0,)απ∈，且3cos 28cos 5αα-=，则cos α= 23- ．【答案】23-．【解答】解：因为3cos 28cos 5αα-=，所以23(2cos 1)8cos 5αα--=，整理可得23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或2（舍去）．故答案为：23-．七．两角和与差的三角函数（共1小题）7．（2023•浦东新区二模）已知R ω∈，0ω>，函数cos y x x ωω=-在区间[0，2]上有唯一的最小值2-，则ω的取值范围为 5[6π，116π ．【答案】5[6π，116π．【解答】解：cos 2sin(6y x x x πωωω=-=-，由[0x ∈，2]，知[66x ππω-∈-，2]6πω-，因为函数y 在区间[0，2]上有唯一的最小值2-，所以32[62ππω-∈，7)2π，解得5[6πω∈，11)6π．故答案为：5[6π，11)6π．八．二倍角的三角函数（共1小题）8．（2023•松江区二模）已知2πθπ<<，且4cos 5θ=-，则tan 2θ= 247- ．【答案】247-．【解答】解：因为2πθπ<<，且4cos 5θ=-，所以3sin 5θ===，可得sin 3tan cos 4θθθ==-，则2232()2tan 244tan 23171()4tan θθθ⨯-===----．故答案为：247-．九．等比数列的通项公式（共1小题）9．（2023•闵行区二模）已知在等比数列{}n a 中，3a 、7a 分别是函数32661y x x x =-+-的两个驻点，则5a【解答】解：Q 等比数列{}n a 中，设公比为q ，3a Q 、7a 分别是函数32661y x x x =-+-的两个驻点，3a ∴、7a 分别是函数231260y x x '=-+=的两个实数根，374a a ∴+=23752a a a ⋅==，3a ∴与7a 都是正值．253aa q ∴=⋅也是正值，5a ∴=．一十．数列递推式（共1小题）10．（2023•宝山区二模）已知数列{}n a 的递推公式为1121(2)2n n a a n a -=+⎧⎨=⎩…，则该数列的通项公式n a = 1321n -⨯- ．【答案】1321n -⨯-．【解答】解：当2n …时，121n n a a -=+，112(1)n n a a -∴+=+，即1121n n a a -+=+，又12a =Q ，113a ∴+=，∴数列{1}n a +是首项为3，公比为2的等比数列，1132n n a -∴+=⨯，1321n n a -∴=⨯-．故答案为：1321n -⨯-．一十一．极限及其运算（共1小题）11．（2023•闵行区二模）0(4)22lim h ln h ln h →+-= 14 ．【答案】14．【解答】解：00(4)22(4)4lim lim44h h ln h ln ln h ln h h →→+-+-=+-，表示函数y lnx =在4x =处的导数，1y x '=Q ，∴0(4)221lim 4h ln h ln h →+-=．故答案为：14．一十二．利用导数研究函数的单调性（共1小题）12．（2023•浦东新区二模）已知01a b <<<，设3()()()W x x a x b =--，()()()k W x W k f x x k -=-，其中k 是整数．若对一切k Z ∈，()k y f x =都是区间(,)k +∞上的严格增函数．则ba的取值范围是 (1，3] ．【答案】(1，3]．【解答】解：33322232232()()()()()(3)[(3)33](3)(33)3k x a x b k a k b f x x k a b x k a b k a ab x k a b k a ab k a a bx k-----==+--+-++++-+++---，2222()32(3)(3)33k f x x k a b x k a b k a ab '=+--+-+++，则方程()0k f x '=满足△2234[2(3)3]8()(2a bk a b k b ab k b k -=-+++-=---，因为01a b <<<，所以312a bb -<<，①当3(2a b k -∈，)b 无解时，即302a b -…，(1ba∈，3]时，对于任意的k Z ∈都有△0…，即()0k f x '…恒成立，所以()k y f x =在(,)k +∞上严格增．②当3(2a b k -∈，)b 有解时，即302a b -<，(3,)ba∈+∞时，取0k =，则△0>，2()32(3)3()k f x x a b x a a b '=-+++，设()0k f x '=的两个根为1x ，212()x x x <，则12122(3)03()0a b x x x x a a b +⎧+=>⎪⎨⎪=+>⎩，所以1x ，2x 均为大于0，所以()k y f x =在1(0,)x ，2(x ，)+∞上严格递增，在1(x ，2)x 上严格递减，不满足条件，综上所述，ba的取值范围为(1，3]，故答案为：(1，3]．一十三．向量的概念与向量的模（共1小题）13．（2023•奉贤区二模）在集合{1，2，3，4}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成一个以原点为起点的向量(,)a b α=r，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是 3 ．【答案】3．【解答】解：由题可得满足题意的向量有(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)，以向量,a b r r 为邻边的平行四边形的面积为：||||sin ,||||S a b a b a b =<>==r r r r r r ，∴以(2,1)，(2,3)4=；以(2,1)，(4,1)2=；以(2,1)，(4,3)2=；以(2,3)，(4,1)10=；以(2,3)，(4,3)6=；以(4,1)，(4,3)8=，综上可知面积不超过4的平行四边形个数是3．故答案为：3．一十四．平面向量数量积的性质及其运算（共3小题）14．（2023•闵行区二模）平面上有一组互不相等的单位向量12,,,n OA OA OA ⋯u u u r u u u u r u u u u r，若存在单位向量OP u u u r 满足120n OP OA OP OA OP OA ⋅+⋅+⋯+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则称OP u u u r是向量组12,,,n OA OA OA ⋯u u u r u u u u r u u u u r 的平衡向量．已知1OA 〈u u u r ，23OA π〉=u u u u r ，向量OP u u u r 是向量组123,,OA OA OA u u u r u u u u r u u u u r 的平衡向量，当3OP OA ⋅u u u r u u u u r 取得最大值时，13OA OA ⋅u u u r u u u u r 的值为或【解答】解：3OP OA ⋅u u u r u u u u r 取最大值时，3OP OA =u u u r u u u u r ，且12,3OA OA π<>=u u u r u u u u r ，如图，12||OA OA +===u u u r u u u u r 设12OA OA OB +=u u u r u u u u r u u u r ，3,OA OB θ<>=u u u u r u u u r ，则：31233()10OA OA OA OA OA OB ⋅++=⋅+=u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r，∴31OA OB θ⋅==-u u u u r u u u r ，cos θ=，sin θ=，且13,6OA OA πθ<>=-u u u r u u u u r 或6πθ+，∴131cos()cos cos sin sin 6662OA OA πππθθθ⋅=-=+==u u u r u u u u r131cos()cos cos sin sin 6662OA OA πππθθθ⋅=+=-==u u u r u u u u r或15．（2023•浦东新区二模）已知边长为2的菱形ABCD 中，120A ∠=︒，P 、Q 是菱形内切圆上的两个动点，且PQ BD ⊥，则AP CQ ⋅u u u r u u u r 的最大值是 14 ．【答案】14．【解答】解：如图，连接BD ，AC ，设BD ，AC 交于点O ，则BD AC ⊥，以点O 为原点，BD ，CA 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则：(0,1)A ，(0,1)C -，PQ BD ⊥Q ，且P ，Q 点在内切圆上，∴设(,)P m n ，(,)Q m n -，,(m n ∈，∴(,1),(,1)AP m n CQ m n =-=-u u u r u u u r，∴22(1)AP CQ m n ⋅=--u u u r u u u r，Q 222m n +=，∴设,m n θθ==，∴22222233131(1)1)(cos 42424m n sin cos θθθθθ--=--=--=--+，∴cos θ=时，231(cos 24θ-+取最大值14，∴AP CQ ⋅u u u r u u u r 的最大值为14．故答案为：14．16．（2023•松江区二模）已知点A 、B 是平面直角坐标系中关于y 轴对称的两点，且||2(0)OA a a =>u u u r ．若存在m ，n R ∈，使得mAB OA +u u u r u u u r 与nAB OB +u u u r u u u r垂直，且|()()|mAB OA nAB OB a +-+=u u u r u u u r u u u r u u u r，则||AB 的最小值为 ．．【解答】解：设A ，B 在直线y t =上，又A ，B 是平面直角坐标系中关于y 轴对称的两点，||2(0)OA a a =>u u u r，∴||AB =；设,mAB AP nAB BQ ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则mAB OA OA AP OP +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，nAB OB OB BQ OQ +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴|()()|||||mAB OA nAB OB OP OQ PQ a +-+=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，不妨设P 在Q 的左侧，(,)P x t ，则(,)Q x a t +，Q mAB OA +u u u r u u u r 与nAB OB +u u u r u u u r垂直，∴0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即2()0x x a t ++=有解，∴2222()(()224a a a t x x a x ax a =-+=-----⋅-=…，∴||AB ==，即||AB ．．一十五．投影向量（共1小题）17．（2023•静安区二模）已知向量a =r ，且a r，b r 的夹角为3π，()(23)4a b a b +⋅-=r r r r ，则b r 在a r方向上的投影向量等于 14a r ．【答案】14a r．【解答】解：向量a =r，则||2a =r，()(23)4a b a b +⋅-=r r r r，则22234a a b b -⋅-=rr r r ，即2182||3||42b b -⨯⨯-=r r ，解得||1b =r ，故b r 在a r方向上的投影向量等于1||cos 3||4a b a a π⨯=r r r r ．故答案为：14a r．一十六．余弦定理（共1小题）18．（2023•奉贤区二模）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C 等于 45︒ ．【解答】解：由余弦定理可知222cos 2a b c C ab +-=2222cos a b c ab C ∴+-=222111sin ()cos 242S ab C a b c ab C ==+-=Q sin cos C C ∴=0C π<<Q 45C ∴=︒故答案为：45︒一十七．虚数单位i 、复数（共1小题）19．（2023•宝山区二模）已知复数22(31)(56)3m m m m i --+--=（其中i 为虚数单位），则实数m = 1- ．【答案】1-．【解答】解：复数22(31)(56)3m m m m i --+--=，则22313560m m m m ⎧--=⎨--=⎩，解得1m =-．故答案为：1-．一十八．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共1小题）20．（2023•奉贤区二模）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O 、2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为 8π ．【解答】解：如图所示，设圆柱的底面圆半径为r ，则高为2h r =，所以该圆柱的轴截面面积为2(2)8r =，解得r =∴该圆柱的侧面积为228S rh πππ===侧．故答案为：8π．一十九．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）21．（2023•松江区二模）将如图所示的圆锥形容器内的液体全部倒入底面半径为50mm 的直立的圆柱形容器内，则液面高度为 50 mm ．【答案】50．【解答】解：设液面圆的半径为r ，由图形可得150100300r =，50r ∴=，23150150503V ππ∴=⨯⨯⨯=液，设圆柱形容器内液面的高度为h ，则235050h ππ⨯⨯=，解得50h =．故答案为：50．二十．直线与平面所成的角（共1小题）22．（2023•静安区二模）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，F 为正方形11BCC B 的中心，则直线EF 与侧面11BB C C 所成角的正切值是 ．．【解答】解：连接1BC ，EB ⊥Q 平面11BB C C ，则EFB ∠为直线EF 与侧面11BB C C 所成的角，设||2AB =，则||1BE =，||BF =，则||tan ||BE EFB BF ∠===，则直线EF 与侧面11BB C C ．．二十一．双曲线的性质（共1小题）23．（2023•浦东新区二模）双曲线22:124x y C -=的右焦点F 到其一条渐近线的距离为 2 ．【答案】2．【解答】解：Q 双曲线方程为22124x y -=，∴双曲线的右焦点F坐标为0)，渐近线为y =0y ±=，可得焦点F到其渐近线的距离为2d ==．故答案为：2．二十二．条件概率与独立事件（共2小题）24．（2023•奉贤区二模）设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是 0.5 ．【解答】解：设A = “能活到20岁”， B = “能活到25岁”，则P （A ）0.8=，P （B ）0.4=，而所求概率为(|)P B A ，由于B A ⊆，故A B B =I ，于是()()0.4(|)0.5()()0.8P A B P B P B A P A P A ====I ，所以这个动物能活到25岁的概率是0.5．故答案为：0.5．25．（2023•浦东新区二模）投掷一颗骰子，记事件{2A =，4，5}，{1B =，2，4，6}，则(|)P A B = 12 ．【答案】12．【解答】解：21()63P AB ==，P （B ）4263==，则1()13(|)2()23P AB P A B P B ===．故答案为：12．二十三．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）26．（2023•奉贤区二模）已知随机变量X 的分布为123()111236，且3Y aX =+，若[]2E Y =-，则实数a = 3- ．【答案】3-．【解答】解：随机变量X 的分布为123()111236，则1115[]1232363E X =⨯+⨯+⨯=，3Y aX =+，则5[][]3323E Y aE X a =+=+=-，解得3a =-．故答案为：3-．二十四．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共3小题）27．（2023•静安区二模）今年是农历癸卯兔年，一种以兔子形象命名的牛奶糖深受顾客欢迎．标识质量为500g 的这种袋装奶糖的质量指标X 是服从正态分布(500N ，22.5)的随机变量．若质量指标介于495g （含)至505g （含)之间的产品包装为合格包装，则随意买一包这种袋装奶糖，是合格包装的可能性大小为 95.4 %．（结果保留一位小数）（已知Φ（1）0.8413≈，Φ（2）0.9772≈，Φ（3）0.9987≈．()x Φ表示标准正态分布的密度函数从-∞到x 的累计面积）【答案】95.4．【解答】解：因为X 是服从正态分布(500N ，22.5)，所以(505)(495)1P X P X >=<=-Φ（2）10.97720.0228≈-=，则(495505)120.02280.954495.4%P X <<=-⨯=≈．故答案为：95.4．28．（2023•浦东新区二模）设随机变量X 服从正态分布2(0,)N σ，且(2)0.9P X >-=，则(2)P X >= 0.1 ．【答案】0.1．【解答】解：X 服从正态分布2(0,)N σ，其正态分布曲线关于y 轴对称，由对称性可知(2)(2)1(2)10.90.1P X P X P X >=<-=->-=-=．故答案为：0.1．29．（2023•松江区二模）已知随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，若( 1.96)0.03P X <-=，则(|| 1.96)P X <= 0.94 ．【答案】0.94．【解答】解：由正态分布的对称性得(|| 1.96)12( 1.96)0.94P x P X <=-<-=．故答案为：0.94．二十五．二项式定理（共2小题）30．（2023•松江区二模）在二项式81(x x-的展开式中，含4x 的项的系数是 28 （结果用数字作答）．【答案】28．【解答】解：二项式81()x x-的展开式的通项为8218(1)r r r r T C x -+=-，令824r -=，得2r =，故含4x 的项的系数是228(1)28C -=．故答案为：28．31．（2023•宝山区二模）在62(x x+的展开式中，常数项为 160 .（结果用数字作答）【答案】160．【解答】解：二项式62()x x +的展开式的通项为6621662(2r r r r r r r T C x C x x--+==，令620r -=，得3r =，故常数项是3362160C ⋅=．故答案为：160．。
2023年高考数学模拟试题（二）参考答案
面上,
球的半径为 R ,
则r=R ,
又球的表面积
正确;
两人 至 少 一 人 获 得 满 分 的 概 率 为 1-
以 △ABD 为 等 边 三 角 形。
BE ⊥AD ,且 AE =DE =1。
提示:
设直角圆锥 SO 的底面圆 的
P(
AB)
=P (
A)
P(
B )=
提 示:如 图 2,因
又 E 是 AD 的 中 点,所 以
的公比为q,
an }
8.
A
图3
2
2
2
=1,
PD = 2,即 PE + DE = PD ,所 以
PE ⊥DE 。又因为 PE ∩BE =E ,
PE ,
BE ⊂
平面 PBE ,所 以 DE ⊥ 平 面 PBE 。 又 DE∥
BC,则 BC ⊥ 平 面 PBE 。 又 BC ⊂ 平 面
所以平面 PBE ⊥ 平面 PBC,
2
所以椭圆 C 的方 程 为 +
a -c =4-1=3,
形,
设|NF2|=m ,则|PF2|
=3m ,|NF1 | = 2
a + m,
|PF1|= 2
a
+ 3m , 在
由勾股定理得
R
t△PNF1 中,
图4
2
2
2
(
2
a+m )+ (
4m ) = (
2
a+3m ),整 理 可 得
m =a,在 Rt△F2NF1 中,由 勾 股 定 理 得
2
2
2
2
2
(
3
a)+a = (
2023年新高考数学模拟卷(二)含答案解析
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()2i i z a =+，若z 在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围为（）A ．()1,0-B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()()1,01,-⋃+∞【答案】A【分析】先利用复数的除法运算化简复数z ，再令其实部小于0，虚部大于0即可求解.【详解】因为()()()()()2222i 1i i i 2i 21i ii i 2a z a a a aa a +-⨯-⨯-+===-++=--，因为z 在复平面内对应的点在第二象限，所以()22010a a <⎧⎪⎨-->⎪⎩得10a -<<，所以实数a 的取值范围为()1,0-，故选：A.2．已知实数集R ， 集合{}{}2435A xx B x x =≤≤=≤≤∣，∣， 则 ()R A B = ð（ ）A ．{45}xx <≤∣ B ．{2x x <∣ 或 3}x ≥ C ．{}45x x ≤≤∣ D ．{2x x ≤∣ 或 3}x ≥【答案】B【详解】因为集合{}24A x x =≤≤∣，所以(,2)(4,)R A =-∞+∞ ð，而{}35B xx =≤≤∣，所以()R A B = ð{2xx <∣ 或 3}x ≥，故选：B 3．设O 、F 分别是抛物线24y x =的顶点和焦点，点P 在抛物线上，若10OP FP ⋅=，则FP = A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】设2,4y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由10OP FP ⋅=，求出点P 的坐标，最后求FP2023年新高考模拟卷（二）【详解】解：()1,0F ，设2,4y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()22,1,01,44y y FP P y F y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为10OP FP ⋅=，22,1,1044y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，42121600,y y +-=28,y y ==±(21,1,4y FP y ⎛⎫=-=± ⎪⎝⎭，3FP = 故选：B【点睛】结合抛物线求向量的模，基础题.4．若正三棱台111ABC A B C -的各顶点都在表面积为65π的球O的表面上，且AB =11A B =111ABC A B C -的高为（ ）AB ．4C3D ．3或4【答案】D【分析】由外接球的表面积可得2654R =，分别求出正三棱台111ABC A B C -的上下两个底面的外接圆的半径，然后由球的性质分别求出球心到上下两个面的距离，再分三棱台的上下底面在球心O 的同侧和异侧两种情况求解即可.【详解】解析：设点1O ，2O 分别是正111A B C △，ABC V 的中心，球的半径为R ，则2465R ππ=，即2654R =，且1O ，2O ，O 三点共线，正三棱台111ABC A B C -的高为12O O ，在等边ABC V中，由AB =22sin 60AB AO ==︒，得24AO =在等边111A B C △中，由11A B =：11112sin 60A B AO ==︒，得112AO=在11Rt OO A V 中，222111OO O A R +=，即216544OO +=，得172OO =，在2Rt OO A △中，22222OO O A R +=，即2265164OO +=，得212=OO ，如果三棱台的上下底面在球心O 的两侧，则正三棱台的高为121271422O O OO OO =+=+=，如果三棱台的上下底面在球心O 的同侧，则正三棱台的高为121271322O O OO OO =-=-=，所以正三棱台111ABC A B C -的高为3或4，故选：D ．5．医用口罩面体分为内、中、外三层．内层为亲肤材质，中层为隔离过滤层，外层为特殊材料抑菌层．根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率~(0.94x N ，20.01)，((22)0.954P x μσμσ-<+=…，(33)0.997P x μσμσ-<+=…，1000.99850.86)≈．则( )A ．(0.9)0.5P x <…B ．(0.4)( 1.5)P x P x <<>C ．(0.96)0.023P x >=D ．假设生产状态正常，记X 表示抽取的100只口罩中过滤率大于3μσ+的数量，则(1)0.14P X ≈…【解析】解：对于A ，(0.9)(0.94)0.5P x P x <=……，故选项A 正确；对于B ，因为(0.4)(0.94)(0.4(0.94)P x P x P x <=-………，又( 1.5)(0.38)P x P x >=<，所以( 1.5)(0.94)(0.380.94)P x P x P x >=-………，显然(0.4)( 1.5)P x P x <>>，故选项B 错误；对于C ，10.954(0.96)(0.940.02)(2)0.0232P x P x P x μσ->=>+=>+==，故选项C 正确；对于D ，10.997(3)0.00152P x μσ->+==，则(3)1(3)10.00150.9985P x P x μσμσ+=->+=-=…，由100(1)1(0)10.998510.860.14P x P x =-==-≈-=…，故选项D 正确．故选：ACD ．6．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为π2π3π3-⨯=，故其总曲率为4π，则四棱锥的总曲率为（）A ．2πB ．4πC ．5πD ．6π【答案】B【分析】根据题中给出的定义，由多面体的总曲率计算求解即可．【详解】解：由题意，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，所以四棱锥的表面内角和由4个三角形和1个四边形组成，所以面角和为426πππ+=，故总曲率为5264πππ⨯-=．故选：B.7．已知()42e ,4(16)143,4x xf x x x -⎧≤=⎨-->⎩，则当0x ≥时，()2x f 与()2f x 的大小关系是（ ）A ．()()22x f f x ≤B ．()()22x f f x ≥C ．()()22x f f x =D ．不确定【答案】B【详解】解：由函数()42e ,4(16)143,4x x f x x x -⎧=⎨-->⎩…，得函数()f x 在(),4∞-上递增，在()4,16上递减，在()16,+∞上递增，作出函数2x y =和2y x =的图像，如图所示，令22x x =，得2x =或4，结合图像可知，当02x ≤<时，2420x x >>≥，则()()22x f f x >，当24x ≤≤时，24216x x ≤≤≤，则()()22x f f x ≥，当4x >时，2216x x >>，则()()22x f f x >，综上所述，当0x ≥时，()()22x f f x ≥.故选：B.8．已知函数()tan sin cos f x x x x =-，现有下列四个命题：①f (x )的最小正周期为π；②f (x )的图象关于原点对称；③f (x )的图象关于(2π，0)对称；④f (x )的图象关于(π，0)对称.其中所有真命题的序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②③④D ．①②④【答案】C【分析】利用函数的对称性和周期的判断方法直接对选项进行逐一判断即可得出答案.【详解】因为tan y x =与1sin cos sin 22y x x x ==的最小正周期均为π，所以f (x )的最小正周期是π.因为()()f x f x -=-，所以f (x )是奇函数，其图象关于原点对称.因为()()tan sin cos fx x x x f x π-=-+=-，所以f (x )的图象关于(2π，0)对称.因为()()2tan sin cos f x x x x f x π-=-+=-，所以f (x )的图象关于(π，0)对称.所以①②③④均正确，故选：C二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列四个表述中，正确的是（）A ．将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变；B ．设有一个回归方程 35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位；C ．具有相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，那么r 越接近于0，x ，y 之间的线性相关程度越高；D ．在一个22⨯列联表中，根据表中数据计算得到2K 的观测值k ，若k 的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大．【答案】AD【解析】A ．将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数C 后()()D X C D X +=，方差不变，正确；B ．设有一个回归方程 35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位，错误；C ．设具有相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，那么r 越接近于1，x ，y 之间的线性相关程度越高，错误；D ．在一个22⨯列联表中，根据表中数据计算得到2K 的观测值k ，若k 的值越大，两个变量有关系的出错概率越小，则认为两个变量间有关的把握就越大，正确．故选：AD10．如图，点N 为边长为1的正方形ABCD 的中心，ECD V 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（ ）A ．直线BM 、EN 是异面直线B ．BM EN≠C ．直线BM 与平面ECD D ．三棱锥N ECD -【答案】BD【详解】对于A 选项，连接BD ，则点N 为BD 的中点，E ∴、N ∈平面BDE ，EN ∴⊂平面BDE ，同理可知BM ⊂平面BDE ，所以，BM 与EN 不是异面直线，A 选项错误；对于C 选项， 四边形ABCD 是边长为1的正方形，BC CD ∴⊥，平面ABCD ⊥平面ECD ，交线为CD ，BC ⊂平面ABCD ，BC ∴⊥平面ECD ，所以，直线BM 与平面ECD 所成角为BMC ∠，M 为DE 的中点，且CDE △是边长为1的正三角形，则CM =BM ∴sin BC BMC BM ∴∠==，C 选项错误；对于B 选项，取CD 的中点O ，连接ON 、OE ，则//ON BC 且1122ON BC ==，OE =BC ⊥ 平面CDE ，ON ∴⊥平面CDE ，OE ⊂ 平面CDE ，ON OE ∴⊥，1EN ∴==，BM EN ∴≠，B 选项正确；对于D 选项，ON ⊥ 平面CDE ，CDE △的面积为21CDE S ==V 所以三棱锥N ECD -的体积为111332N ECD CDE V S ON -=⋅==V D 选项正确.11．已知圆()22:21M x y +-=，点P 为x 轴上一个动点，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与MP 交于点C ，则下列结论正确的是（ ）A ．四边形PAMB周长的最小值为2+B ．AB 的最大值为2C ．直线AB 过定点D ．存在点N 使CN 为定值【答案】ACD 【详解】如图示：设||MP t =，则||||AP BP ==，所以四边形PAMB周长为2+，当P 点位于原点时，t 取值最小2，故当t 取最小值2时，四边形PAMB周长取最小值2，故A 正确；由2PAMB PAM S S =V 可得：11||||2||122MP AB PA ⨯⨯=⨯⨯⨯ ，则||AB == ，而2t ≥||2AB ≤< ,故B 错误；设01122(,0),(,),(,)P x A x y B x y ，则PA 方程为：11(2)(2)1x x y y +--= ，PB 的方程为22(2)(2)1x x y y +--=，而0(,0)P x 在切线PA ，PB 上，故101(2)(2)1x x y +--=，202(2)(2)1x x y +--=，故AB 的直线方程为0(2)(2)1xx y +--=，当0x =时，32y =，即AB 过定点30,2（） ，故C 正确；由圆的切线性质可知MP AB ⊥ ,设AB 过定点为D302（，）,则D 点位于以MD 为直径的圆上，设MD 的中点为N ，则7(04N ， ,则||CN 为定值，即D 正确，故选：ACD.12．对于正整数(),n n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目.函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如()96ϕ=，则（ ）A ．()777log 76log 6ϕ=+B ．数列(){}3nϕ为等比数列C ．数列(){}2n ϕ单调递增D ．数列()2nnϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和恒小于4【答案】ABD【详解】因为7为质数，所以与77不互质的数为7，14，21，…，77，共有76777=个，所以()()776777log 7log 776log 6ϕ=-=+，故A 正确；因为与3n 互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，32n -，31n -，共有11(31)323n n ---⋅=⋅个，所以()1323nn ϕ-=⋅，则数列(){}3nϕ为等比数列，故B 正确；因为()21ϕ=，()42ϕ=，()62ϕ=，所以数列(){}2n ϕ不是单调递增数列，故C 错误；因为()122nn ϕ-=，所以()11122222nn ni i ii i i i i iϕ=====∑∑∑.设21122222nn i n i i n S ===+++∑，则231112122222n n n n nS +-=++++ ，所以1231111111121222112222222212n n n n n n n n n S ++++-+=++++-=-=-- ，所以222n n n S +=-，从而数列()2nnϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为122442n n n S -+=-<，故D 正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数的定义域为，且满足，，则的最小正周期为___________，的一个解析式可以为___________.【答案】(答案不唯一) 【分析】通过得出，即可求出的最小正周期；通过得出函数关于点对称，然后列举一个满足关于点对称以及最小正周期为的方程即可.【详解】因为，所以，的最小正周期为.因为，所以函数关于点对称，满足关于点对称以及最小正周期为的方程可以为.故答案为：；（答案不唯一）.14．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的左支上，过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为N ，则当2MF MN +取最小值10时，12F NF △面积的最大值为（ ）【答案】252【解析】由题意得212MF MF a -=，故212MF MF a =+，如图所示，()f x R ()()11f x f x =+-()()11f x f x -+=()f x ()f x 2()1cos 2f x x π=+()()11f x f x =+-()()2f x f x =-()f x ()()11f x f x -+=()f x 11,22⎛⎫⎪⎝⎭11,22⎛⎫⎪⎝⎭2()()11f x f x =+-()()2f x f x =-()f x 2()()11f x f x -+=()f x 11,22⎛⎫⎪⎝⎭11,22⎛⎫⎪⎝⎭2()1cos 2f x x π=+2()1cos 2f x x π=+则211222MF MN MF a MN F N a b a +=++≥+=+，当且仅当M ，1F ，N 三点共线时取等号，∴2MF MN +的最小值为210b a +=，∴10≥，即252ab ≤，当且仅当25b a ==时，等号成立，而()1,0F c -到渐近线0bx ay +=的距离1b N b F cc==，又1OF c =，故ON a =，∴12111252222F NF F NO S S NF NO ab ==⨯⋅=≤△△，即12F NF △面积的最大值为252.15．已知c为单位向量，平面向量,a b 满足||||1c a b c -=-= 则a b ⋅ 的最小值为_______．【答案】12-【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量数量积的定义进行求解即可.【详解】不妨设(1,0)c =，1122(,),(,)a x yb x y ==则||11c a -=⇒= ，||11b c -=⇒= 即2211(1)1x y -+=，2222(1)1x y -+=所以1122(,),(,)x y x y 在圆22(1)1x y -+=上 1212a b x x y y ⋅=+设圆的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）则(1,sin ),(1cos ,sin )a cosb ααββ=+=+ (1)(1cos )sin sin a b a cos αβαβ⋅==+++1cos cos()αβαβ=+++-cos 212coscos2cos 12cos(coscos222222αβαβαβαβαβαβ+---+-=++-=+令2222()222(+22n n a b m m n m mn m ⋅=+=+=- ，,[1,1]m n ∈- 所以当2n m =-时，2min ()2n a b ⋅=- ，[1,1]n ∈-所以min 1()2a b ⋅=- ， 故答案为：12-【点睛】运用平面向量数量积的运算性质及换元思想是解题的关键.16．已知1()22x x e f x e=-的图象在点A 处的切线为11,()(ln 1)2l g x x x x =--的图象在点B 处的切线为2,l 若12l l ⊥，则直线AB 的斜率为_________【答案】32-【分析】分别对()(),f x g x 求导，确定11()()122x x f x e e -=+≥'⋅=，再由12l l ⊥得出121k k =-，进一步确定()ln g x x x =-'的值域，从而确定211,1k k =-=，最后求出A B 、的坐标，再求斜率.【详解】解：易知12,l l 的斜率均存在，设直线12,l l 的斜率分别为1211,,()()122x x k k f x e e -=+≥⋅='，当且仅当0x =时等号成立，则1 1.k ≥因为12l l ⊥，所以121k k ×=-，所以210.k -≤<()ln ,g x x x ='-令()ln ,h x x x =-则1()1h x x'=-，令()0h x '>，则01x <<，()h x 递增，令()0h x '<，则1x >，()h x 递减，易知()h x 在1x =处取得最大值1-，所以21k ≤-.因为210k -≤<，所以211,1k k =-=，当11k =时，即1()()12x xf x e e -+'==，则0x =，即0A x =，当21k =-，()ln 1g x x x '=-=，则1x =，即1B x =，所以0,1,A B x x ==可得A (0，0)，3(1,)2B -，所以3.2AB k =-故答案为：32-.【点睛】考查曲线在某一点的切线斜率就是该点的导数，本题的难点在于确定导函数的值域，从而确定出切线斜率的具体值；难题.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17．从以下条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，并作答.①()sin 2sin B A C =+；②cos sin B b A =；③S =且B 为锐角.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若3b =， ______，sin sin 2sin a A c C b B +=.(1)求角B ；(2)求ABC V 的周长.注：如果选多个条件分别作答，则按第一个解答记分.【解析】(1)选条件① ∵()sin 2sin B A C =+，∴2sin cos sin B B B =，又()0,B π∈，sin 0B ≠∴1cos 2B =，故3B π=选条件②（1cos sin B b A =，cos sin sin A B B A =，又()0,A π∈，sin 0A ≠sin B B =，即tan B =又()0,B π∈，故3B π=.选条件③（1）∵S =且1sin 2S ac B =，∴1sin 2ac B =，即sin B =，又B 为锐角，故3B π=.(2)根据（1）的结果可得：3B π=∵sin sin 2sin a A c C b B +=且3b =，∴由正弦定理得：222218a c b +==，①又由余弦定理有：2222cos b a c ac B =+-，即23182cos183ac ac π=-=-，∴9ac =，②由①②解得：3a c ==，故ABC V 的周长9a b c ++=.18．已知数列{}n a 满足113(1)1(1)1,22n nn n a a a +--+-==+.（1）设21n n b a -=，求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前2n 项和2n S .【解析】（1）由已知有：12=21,3(1)1(1)12,22n n n n n n a n k k Z a a a n k k Z ++∈⎧--+-=+=⎨+=∈⎩，， 所以21+1+1n n b a -=，()1212212121111=2222222(1)2(1)n n n n n n n b a a a a a b ++---++=++=+=+=+=+，其中11+1+12b a ==，所以数列{}1n b +为以2为首项，公比为2的等比数列.所以11222n n n b -+=⨯=，得21n n b =-.（2）由（1）知：2121n n n b a -==-，22122(21)nn n a a -==-，所以1231232(21)(21)(21)(21)2[(21)(21)(21)(21)]n nn S =-+-+-++-+-+-+-++- 1233[(21)(21)(21)(21)]n=-+-+-++- 1233(2222)3nn =++++- 2(12)3312n n-=⨯--13236n n +=⋅--.19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11ABB A ，且12AA AB ==.(1)求证：AB BC ⊥；(2)若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6π，请问在线段1A C 上是否存在点E ，使得二面角A BE C --的大小为23π，若存在请求出E 的位置，不存在请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，点E 为线段1A C 中点【分析】(1)通过作辅助线结合面面垂直的性质证明BC ⊥侧面11A ABB ，从而证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标,再求相关的向量坐标，求平面EAB 的法向量，利用向量的夹角公式求得答案.(1)证明：连接1AB 交1AB 于点D ，因1AA AB =，则1AD A B ⊥由平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且平面1A BC 侧面111A ABB A B =，得AD ⊥平面1A BC ，又BC ⊂平面1A BC ，所以AD BC ⊥.三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，则1AA ⊥底面ABC ，所以1AA BC ⊥.又1AA AD A = ，从而BC ⊥侧面11A ABB ，又AB Ì侧面11A ABB ，故AB BC ⊥.(2)由(1).AD ⊥平面1A BC ，则ACD ∠直线AC 与平面1A BC 所成的角,所以6π∠=ACD ，又AD =2AC BC ==假设在线段1A C 上是否存在一点E ，使得二面角A BE C --的大小为23π,由111ABC A B C -是直三棱柱，所以以点A 为原点，以AC ､1AA 所在直线分别为x ，z 轴,以过A 点和AC 垂直的直线为y 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则()10,0,2A，()()1,(220),2,2,2C B B ，，且设()1101A E AC λλ=≤≤，12)AC =-，得(),0,22E λ-所以(),0,22AE λ=- ，()2,2,0AB = 设平面EAB 的一个法向量()1,,n x y z =，由1AE n ⊥，1AB n ⊥得：(22)0220x z x y λ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，取11,n ⎛=- ⎝ ,由(1)知1AB ⊥平面1A BC ，所以平面CEB 的一个法向量()12,2,2AB =,所以111121cos 32AB n AB n π⋅===，解得12λ=,∴点E 为线段1A C 中点时，二面角A BE C --的大小为23π.20．某病毒在进入人体后有潜伏期，患者在潜伏期内无任何症状，但已具传染性.假设一位病毒携带者在潜伏期内每天有n 位密接者，每位密接者被感染的概率为p ，（1）若3n =，13p =，求一天内被一位病毒携带者直接感染人数X 的分布列和均值：（2）某定点医院为筛查某些人员是否感染此病毒，需要检测血液样本是否为阳性，有以下两种检验方式：①逐份检验，即k 份血液样本需要检验k 次；②混合检验，即将k 份（*k N ∈且2k ≥）血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这k 份血液样本全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了：如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液样本究竞哪份为阳性，就要对k 份血液样本再逐份检验，此时这k 份血液样本的检验次数为k +1次.假设样本的检验结果相互独立，且每份样本检验结果是阳性的概率为1p =-合检验需要的检验的总次数ς的期望值比逐份检验的总次数η的期望值更少，求k 的取值范围.参考数据：ln 20.6931≈，ln 3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln 5 1.6094≈，ln 6 1.7918≈.【解析】（1）若n ＝3，p ＝13，依题意可知X 服从二项分布，即X ～B (3，13)，从而3-312()((33iiiP X i C ==，i ＝0，1，2，3．随机变量X 的分布列为：X123P8274929127随机变量X 的均值为1()313E X =⨯=．（2）由题意知ζ的所有可能取值为1，1k+，且()(11)k P p ζ==-，()1)+11(k P k p ζ==--，∴()()()()()1++111+11k k kE p k p k k p ζ⎡⎤=---=--⎣⎦，又∵E (η)＝k ，依题意E (ζ)＜E (η)，即：k ＋1－k (1－p )k ＜k ，∴1k＜(1－p )k ，∵p ＝1，∴1k ＜)k ，∴ln k ＞13k ．设()1ln 3f x x x =-，则()'11333x f x x x -=-=，所以03x <<时，()'>0f x ，>3x 时，()'0f x <，所以f (x )在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，由于f (1)＝13-＜0，f (2)＝ln2－23＞0，f (4)＝ln4－43＝0.0530＞0，f (5)＝ln5－53＝－0.0573＜0，故k 的取值范围为24k ≤≤且k ∈N *21．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸 (如下图)步骤 1： 设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ；步骤 2： 把纸片折叠， 使圆周正好通过点F ；步骤 3： 把纸片展开， 并留下一道折痕；步骤 4： 不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片， 设定点F 到圆心E 的距离为2，按上述方法折纸．（1）以点F E 、 所在的直线为x 轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）直线l 过椭圆C 的右焦点2F ，交该椭圆于A ，B 两点，AB 中点为Q ，射线 (OQ O 为坐标原点)交椭圆于P ，若3QP OQ =，求直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=（2）210x y ±-=【分析】（1）以FE 所在的直线为x 轴，FE 的中点O 为原点建立平面直角坐标系，根据椭圆的定义+==4=2MF ME AE a 求出a 的值，根据2EF c =求出c 的值，再由2223b ac =-=求出b 的值即可得椭圆的方程；（2）由已知可得4OP OQ = ，当AB 斜率不存在时，2OP OQ =，不合题意；当 AB 斜率存在时，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程为()1y k x =-，利用点差法求出34AB OP k k ⋅=-，可得直线OP 的方程为：34y x k =-分别与椭圆、()1y k x =-联立求出点P ，Q 横坐标，再结合4OP OQ =列方程求出k 的值即可求解.（1）如图，以FE 所在的直线为x 轴，FE 的中点O 为原点建立平面直角坐标系设(),M x y 为椭圆上一点，由题意可知+==42MF ME AE EF >=，所以M 点轨迹是以,F E 为左右焦点，长轴长24a =的椭圆，因为22c =，24a =，所以1c =，2a =，则2223b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）因为3QP OQ = ，所以4OP OQ = ，当AB 斜率不存在时，2OP OQ =，不合题意； 当AB 斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-，点()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：1212121234-+⋅=--+y y y y x x x x ，即34AB OP k k ⋅=-， 故直线OP 的方程为：34y x k =-，联立2234143y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2221634P k x k =+， 联立34(1)y x k y k x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，解得22434Q k x k =+，因为4OP OQ = ，所以4=P Q x x ，即224434=⨯+k k ，则214k =，解得：12k =±， 所以直线AB 的方程为1(1)2=±-y x ．即210x y ±-=.22．设函数()323ln 2,f x x x ax ax a =-++-∈R .(1)求函数()f x 在1x =处的切线方程；(2)若12,x x 为函数()f x 的两个不等于1的极值点，设()()()()1122,,,P x f x Q x f x ，记直线PQ 的斜率为k ，求证：122k x x +<+.【答案】(1)1y a =- (2)证明见解析【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出()1f ，即可求出切点坐标，从而求出切线方程；（2）首先求出函数的导函数，依题意()233230x a x +++=在()0,∞+上有两个不等于1的正根，即可得到韦达定理，不妨设12x x <，所以1201xx <<<，根据两点斜率公式得到()()2212121213ln12232x x k x x x x x x =+++---+，即证()()2212121211403ln122x x x x x x x x +++---+<，根据对数平均不等式可得212121l 63n xx x x x x -<-+-，只需证明()()22121216140221x x x x x x -+++++-<，令21x x t +=，依题意即证328120t t t ++-<-，()2,t ∈+∞，再构造函数利用导数说明函数的单调性，即可得证；(1)解：因为()323ln 2,f x x x ax ax a =-++-∈R ，所以()3213ln111211f a a a =-++⨯-⨯=-，()23322f x x ax a x'=-++-，所以()10f '=，所以切点为()1,1a -，切线的斜率0k =，所以切线方程为1y a=-(2)解：因为()()()23221332333223322x x a x x ax ax f x x ax a x x x⎡⎤-++++--⎣⎦'=-++-==因为12,x x 为函数()f x 的两个不等于1的极值点，所以()233230x a x +++=在()0,∞+上有两个不等于1的正根，所以()21212Δ3236032031a a x x x x ⎧=+->⎪+⎪+=->⎨⎪⋅=⎪⎩，所以92<-a ，不妨设12x x <，所以1201x x <<<，所以()()()2323222211112121213ln 23ln 2x x x x x x x x f x f x k a x x x a a a x -++--+=+--=---()()()()()2222122112121211213ln2a a x x x x x x x x x x x x x x x x -+=-+++-+---()()221212121213ln 2a x x x x x x x x x x a =++-+---+()()()()222121212*********ln3123x x x x x x x x x x x x =--++--+++-++()()2212121213ln 12232x x x x x x x x =+++---+要证122k x x +<+即证()()222121211123ln122232x x x x x x x x x x -+--+<++++，即()()2212121211403ln122x x x x x x x x +++---+<，令2(1)()ln ,(1)(1)x g x x x x -=->+，则22214(1)()(1)(1)x g x x x x x -'=-=++，所以当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0g x g >=，即2(1)ln 0(1)x x x -->+，所以ln 211x x x >-+在(1,)+∞上恒成立，因为1201x x <<<，所以211x x >，所以212211ln211x x x x x x >-+，即21212111ln2x x x x x x x x >-+，即212121l ln 2n x x x x x x ->-+，所以212121l 63n xx x x x x -<-+-，下面只需证明()()22121216140221x x x x x x -+++++-<，令21x x t +=，因为211x x ⋅=，所以121x x =，所以122212x x x x +=+>=，所以2t >，即证21142260t t t --+<+，()2,t ∈+∞，即证328120t t t ++-<-，()2,t ∈+∞，令()32812g t t t t =-++-，()2,t ∈+∞，()()()23283420g t t t t t '=-++=-+-<，所以()g t 在()2,+∞上单调递减，所以()()20g t g <=，得证。
2023_年普通高等学校招生全国统一考试模拟考试新高考Ⅱ卷数学试卷
２０２３年普通高等学校招生全国统一考试模拟考试新高考Ⅱ卷数学试卷李昌成(新疆乌鲁木齐市第八中学ꎬ新疆乌鲁木齐８３０００２)中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１３－００９１－０５收稿日期:２０２３－０２－０５作者简介:李昌成(１９７７－)ꎬ男ꎬ四川省资阳人ꎬ本科ꎬ中学正高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀一㊁单选题:本题共８小题ꎬ共４０分.在每小题列出的选项中ꎬ选出符合题目的一项.１.设ｉ是虚数单位ꎬ则复数２ｉ１－ｉ在复平面内所对应的点位于(㊀㊀).Ａ.第一象限㊀㊀㊀Ｂ.第二象限Ｃ.第三象限Ｄ.第四象限２.已知Ｕ＝ＲꎬＡ＝{ｘ｜ｘ<０}ꎬＢ＝{－２ꎬ－１ꎬ０ꎬ１}ꎬ则(∁ＵＡ)ɘＢ＝(㊀㊀).Ａ.１{}㊀Ｂ.{－２ꎬ－１}㊀Ｃ.０ꎬ１{}㊀Ｄ.Ø３.已知抛物线ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)的准线与圆(ｘ－３)２＋ｙ２＝１６相切ꎬ则ｐ的值为(㊀㊀).Ａ.１２㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.２㊀㊀Ｄ.４４.阻尼器是一种以提供运动的阻力ꎬ从而达到减振效果的专业工程装置.深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置ꎬ是亚洲最大的阻尼器ꎬ被称为 镇楼神器 .由物理学知识可知ꎬ某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动ꎬ其离开平衡位置的位移ｓ(ｃｍ)和时间ｔ(ｓ)的函数关系式为ｓ＝２ｓｉｎ(ωｘ＋φ)ꎬ其中ω>０ꎬ若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为ｓ０(－２<ｓ０<２)的时间分别为ｔ１ꎬｔ２ꎬｔ３ꎬ且ｔ３－ｔ１＝２ꎬ则ω＝(㊀㊀).Ａ.π２㊀㊀Ｂ.π㊀㊀Ｃ.３π２㊀㊀Ｄ.２π５.已知圆台的上下底面圆的半径分别为１与２ꎬ高为３ꎬ则圆台的侧面积为(㊀㊀).Ａ.７３π㊀㊀Ｂ.３３π㊀㊀Ｃ.６π㊀㊀Ｄ.１１π６.某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗ꎬ并在５００名志愿者身上进行了人体注射实验ꎬ发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答.若这些志愿者的某免疫反应蛋白Ｍ的数值Ｘ(单位:ｍｇ/Ｌ)近似服从正态分布Ｎ１５ꎬσ２()ꎬ且Ｘ在区间１０ꎬ２０()内的人数占总人数的１９/２５ꎬ则这些志愿者中免疫反应蛋白Ｍ的数值Ｘ不低于２０的人数大约为(㊀㊀).Ａ.３０㊀㊀Ｂ.６０㊀㊀Ｃ.７０㊀㊀Ｄ.１４０７.已知５５<８４ꎬ１３４<８５ꎬ设ａ＝ｌｏｇ５３ꎬｂ＝ｌｏｇ８５ꎬｃ＝ｌｏｇ１３８ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ａ<ｂ<ｃ㊀㊀㊀㊀Ｂ.ｂ<ａ<ｃＣ.ｂ<ｃ<ａＤ.ｃ<ａ<ｂ８.设函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬｆ(ｘ＋１)为奇函数ꎬｆ(ｘ＋２)为偶函数ꎬ当ｘɪ[１ꎬ２]时ꎬｆ(ｘ)＝ａｘ２＋ｂ.若ｆ(０)＋ｆ(３)＝６ꎬ则ｆ(９２)＝(㊀㊀).Ａ.－９４㊀㊀Ｂ.－３２㊀㊀Ｃ.７４㊀㊀Ｄ.５２二㊁多选题:本题共４小题ꎬ共２０分ꎬ每小题有多项符合题目要求.９.若数据ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｍ的平均数为ｘꎬ方差为ｓ２ｘꎬ数据ｙ１ꎬｙ２ꎬ ꎬｙｎ的平均数为ｙꎬ方差为ｓ２ｙꎬ下列说法中一定正确的有(㊀㊀).Ａ.这ｍ＋ｎ个数据的平均数为ｍｘ＋ｎｙｍ＋ｎＢ.若这ｍ＋ｎ个数据的平均数为ωꎬ则这ｍ＋ｎ个数据的方差为ｓ２＝ｍ[ｓ２ｘ＋(ｘ－ω)２]＋ｎ[ｓ２ｙ＋(ｙ－ω)２]ｍ＋ｎＣ.若ｍ＝ｎꎬｙｉ＝ａｘｉ＋ｂ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)ꎬ则ｙ＝ａｘ＋ｂＤ.若ｍ＝ｎꎬｙｉ＝ａｘｉ＋ｂ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)ꎬ则ｓ２ｙ＝ａ２ｓ２ｘ＋ｂ１０.如图１ꎬ在长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬＡＢ＝３ꎬＡＤ＝ＡＡ１＝１ꎬ点Ｐ为线段Ａ１Ｃ上的动点ꎬ则下列说法正确的是(㊀㊀).图１Ａ.当Ａ１Ｃ＝３Ａ１Ｐ时ꎬＤ１Ｐʊ平面ＢＤＣ１Ｂ.当Ａ１Ｃ＝３Ａ１Ｐ时ꎬＡꎬＰꎬＣ１三点共线Ｃ.当Ａ１Ｃ＝５Ａ１Ｐ时ꎬＡ１Ｃʅ平面Ｄ１ＡＰＤ.当Ａ１Ｃ＝５Ａ１Ｐ时ꎬøＤ１ＰＡ取得最大值１１.已知圆Ｍ:(ｘ－１－ｃｏｓθ)２＋(ｙ－２－ｓｉｎθ)２＝１ꎬ直线ｌ:ｋｘ－ｙ－ｋ＋２＝０ꎬ下列四个选项ꎬ其中正确的是(㊀㊀).Ａ.对任意实数ｋ与θꎬ直线ｌ和圆Ｍ有公共点Ｂ.存在实数ｋ与θꎬ直线ｌ和圆Ｍ相离Ｃ.对任意实数ｋꎬ必存在实数θꎬ使得直线ｌ与圆Ｍ相切Ｄ.对任意实数θꎬ必存在实数ｋꎬ使得直线ｌ与圆Ｍ相切１２.设１－２ｘ()ｎ＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋ａ３ｘ３＋ ＋ａｎｘｎꎬｘɪＲꎬｎɪＮ∗ꎬ则下列结论中正确的是(㊀㊀).Ａ.－ａ１２＋ａ２２２－ａ３２３＋ ＋－１()ｎａｎ２ｎ＝２ｎ－１Ｂ.当ｎȡ３时ꎬ２ａ２＋６ａ３＋ ＋ｎｎ－１()ａｎ＝４ｎｎ－１()Ｃ.若ａ８>ａ７ꎬａ８>ａ９ꎬ则ｎ＝１２Ｄ.当ｘ＝－１２０００ꎬｎ＝２０２２时ꎬ１－２ｘ()ｎ>１０９１５三㊁填空题:本题共４小题ꎬ共２０分.１３.已知双曲线Ｃ的焦点在坐标轴上ꎬ中心为坐标原点ꎬ其渐近线方程为ｙ＝ʃ２ｘꎬ则该双曲线Ｃ的离心率为.１４.әＡＢＣ中ꎬＡＢ＝２ꎬøＡＣＢ＝π４ꎬＯ是әＡＢＣ外接圆的圆心ꎬ则ＯＣң ＡＢң＋ＣＡң ＣＢң的最大值为.１５.写出一个定义在Ｒ上且值域为(－１ꎬ１)的奇函数ｆ(ｘ)＝.１６.设函数ｆ(ｘ)＝ｅｘｘ＋ａ(ｘ－１)＋ｂ(ａꎬｂɪＲ)在区间１ꎬ３[]上总存在零点ꎬ则ａ２＋ｂ２的最小值为.四㊁解答题:本题共６小题ꎬ共７０分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.１７.(本小题１０分)已知正项等比数列ａｎ{}满足ａ３＝９ꎬａ４－ａ２＝２４.(１)求数列ａｎ{}的通项公式ａｎꎻ(２)设ｂｎ＝ｎ ａｎꎬ求数列ｂｎ{}的前ｎ项的和Ｓｎ.１８.(本小题１２分)在әＡＢＣ中ꎬ内角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ且ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ＝２ｃｃｏｓＣ.(１)求Ｃꎻ(２)若әＡＢＣ的面积为１０３ꎬＤ为ＡＣ的中点ꎬ求ＢＤ的最小值.１９.(本小题１２分)如图２ꎬ已知四棱锥Ｐ－ＡＢ￣ＣＤꎬ底面ＡＢＣＤ为菱形ꎬＰＡʅ平面ＡＢＣＤꎬøＡＢＣ＝６０ʎꎬＥꎬＦ分别是ＢＣꎬＰＣ的中点.(１)证明:ＡＥʅＰＤꎻ(２)若Ｈ为ＰＤ上的动点ꎬＥＨ与平面ＰＡＤ所成最大角的正切值为６/２ꎬ求二面角Ｅ－ＡＦ－Ｃ的余弦值.图２２０.(本小题１２分)已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)ꎬａ＝３ｂꎬ点(１ꎬ２２３)在椭圆Ｃ上.(１)求椭圆Ｃ的方程ꎻ(２)若过点Ｑ(１ꎬ０)且不与ｙ轴垂直的直线ｌ与椭圆Ｃ交于ＭꎬＮ两点ꎬＴ(３ꎬ０)ꎬ证明ＴＭꎬＴＮ斜率之积为定值.２１.(本小题１２分)现有一批疫苗试剂ꎬ拟进入动物试验阶段ꎬ将１０００只动物平均分成１００组ꎬ任选一组进行试验.第一轮注射ꎬ对该组的每只动物都注射一次ꎬ若检验出该组中有９只或１０只动物产生抗体ꎬ说明疫苗有效ꎬ试验终止ꎻ否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射ꎬ再次检验.如果被二次注射的动物都产生抗体ꎬ说明疫苗有效ꎬ否则需要改进疫苗.设每只动物是否产生抗体相互独立ꎬ两次注射疫苗互不影响ꎬ且产生抗体的概率均为ｐ(０<ｐ<１).(１)求该组试验只需第一轮注射的概率(用含ｐ的多项式表示)ꎻ(２)记该组动物需要注射次数Ｘ的数学期望为Ｅ(Ｘ)ꎬ求证:１０<Ｅ(Ｘ)<１０(２－ｐ).２２.(本小题１２分)已知ｆ(ｘ)＝(ｘ－１)ｅｘ＋１２ａｘ２＋１ꎬａɪＲ.(１)讨论函数ｆ(ｘ)的单调性ꎻ(２)若函数ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－(ｘ－１)ｅｘ－１＋ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ在(０ꎬπ２]上有１个零点ꎬ求实数ａ的取值范围.参考答案１.Ｂ㊀２.Ｃ㊀３.Ｃ㊀４.Ｂ㊀５.Ｃ㊀６.Ｂ㊀７.Ａ㊀８.Ｄ９.ＡＢＣ㊀１０.ＡＣＤ㊀１１.ＡＣ㊀１２.ＡＣＤ１３.５或５２㊀１４.３㊀１５.ｅｘ－１ｅｘ＋１㊀１６.ｅ４８１７.(１)设数列ａｎ{}的公比为ｑꎬ由ａ４－ａ２＝２４ꎬ得９ｑ－９ｑ＝２４.即３ｑ２－８ｑ－３＝０.解得ｑ＝３或ｑ＝－１３.又因为ａｎ>０ꎬ则ｑ>０.所以ｑ＝３.所以ａｎ＝９ˑ３ｎ－３＝３ｎ－１.(２)因为ａｎ＝３ｎ－１ꎬ所以ｂｎ＝ｎ ａｎ＝ｎˑ３ｎ－１.所以Ｓｎ＝１ˑ３０＋２ˑ３１＋３ˑ３２＋ ＋ｎˑ３ｎ－１ꎬ３Ｓｎ＝１ˑ３１＋２ˑ３２＋ ＋ｎ－１()３ｎ－１＋ｎˑ３ｎ.所以－２Ｓｎ＝１＋３１＋３２＋ ＋３ｎ－１－ｎ ３ｎ＝(１－２ｎ) ３ｎ－１２.所以Ｓｎ＝(２ｎ－１) ３ｎ＋１４.１８.(１)在әＡＢＣ中ꎬａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ＝２ｃｃｏｓＣꎬ所以由正弦定理可得ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢｃｏｓＡ＝２ｓｉｎＣｃｏｓＣ.所以ｓｉｎ(Ａ＋Ｂ)＝２ｓｉｎＣｃｏｓＣ.所以ｓｉｎＣ＝２ｓｉｎＣｃｏｓＣ.因为ｓｉｎＣʂ０ꎬ所以ｃｏｓＣ＝１２.所以由三角形内角的范围可得角Ｃ＝π３.２()由题意知ＳәＡＢＣ＝１２ａｂｓｉｎＣ＝１２ａｂ ３２＝１０３.所以ａｂ＝４０.在әＢＣＤ中ꎬ由余弦定理ꎬ得｜ＢＤ｜２＝ａ２＋ｂ２４－ａｂｃｏｓＣ＝ａ２＋ｂ２４－１２ａｂȡ２ａｂ２－１２ａｂ＝１２ａｂ＝２０ꎬ当且仅当ａ＝１２ｂ且ａｂ＝４０ꎬ即ａ＝２５ꎬｂ＝４５时取等号.所以ＢＤ的最小值为２５.１９.１()由四边形ＡＢＣＤ为菱形ꎬøＡＢＣ＝６０ʎꎬ可得әＡＢＣ为正三角形.图３因为Ｅ为ＢＣ的中点ꎬ所以ＡＥʅＢＣ.又ＢＣʊＡＤꎬ因此ＡＥʅＡＤ.因为ＰＡʅ平面ＡＢＣＤꎬＡＥ⊂平面ＡＢＣＤꎬ所以ＰＡʅＡＥ.而ＰＡ⊂平面ＰＡＤꎬＡＤ⊂平面ＰＡＤ且ＰＡɘＡＤ＝Ａꎬ所以ＡＥʅ平面ＰＡＤ.又ＰＤ⊂平面ＰＡＤꎬ所以ＡＥʅＰＤ.２()如图３ꎬ设ＡＢ＝２ꎬＨ为ＰＤ上任意一点ꎬ连接ＡＨꎬＥＨꎬ由１()知ＡＥʅ平面ＰＡＤ.所以øＥＨＡ为ＥＨ与平面ＰＡＤ所成的角.在ＲｔәＥＡＨ中ꎬＡＥ＝３ꎬ所以当ＡＨ最短时ꎬøＥＨＡ最大ꎬ即当ＡＨʅＰＤ时ꎬøＥＨＡ最大.因为ｔａｎøＥＨＡ＝６２ꎬ所以ＡＥＡＨ＝３ＡＨ＝６２.因此ＡＨ＝２.又ＡＤ＝２ꎬ所以øＡＤＨ＝４５ʎ.所以ＰＡ＝２.因为ＰＡʅ平面ＡＢＣＤꎬＰＡ⊂平面ＰＡＣꎬ所以平面ＰＡＣʅ平面ＡＢＣＤ.过点Ｅ作ＥＯʅＡＣ于点Ｏꎬ则ＥＯʅ平面ＰＡＣ.过点Ｏ作ＯＳʅＡＦ于点Ｓꎬ连接ＥＳꎬ则øＥＳＯ为二面角Ｅ－ＡＦ－Ｃ的平面角.在ＲｔәＡＯＥ中ꎬＥＯ＝ＡＥ ｓｉｎ３０ʎ＝３２ꎬＡＯ＝ＡＥ ｃｏｓ３０ʎ＝３２ꎬ又点Ｆ是ＰＣ的中点ꎬ在ＲｔәＡＳＯ中ꎬＳＯ＝ＡＯ ｓｉｎ４５ʎ＝３２４ꎬ又ＳＥ＝ＥＯ２＋ＳＯ２＝３４＋９８＝３０４ꎬ在ＲｔәＥＳＯ中ꎬｃｏｓøＥＳＯ＝３２/４３０/４＝１５５ꎬ即所求二面角的余弦值为１５５.２０.１()由点(１ꎬ２２３)在椭圆Ｃ上ꎬ可得１ａ２＋８９ｂ２＝１.又ａ＝３ｂꎬ解得ａ＝３ꎬｂ＝１.所以椭圆Ｃ的方程为ｘ２９＋ｙ２＝１.２()过点Ｑ(１ꎬ０)且不与ｙ轴垂直的直线ｌ的方程设为ｘ＝ｍｙ＋１ꎬ与椭圆方程ｘ２＋９ｙ２＝９联立ꎬ消去ｘ可得(９＋ｍ２)ｙ２＋２ｍｙ－８＝０.设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则ｙ１＋ｙ２＝－２ｍ９＋ｍ２ꎬｙ１ｙ２＝－８９＋ｍ２.则ｋＴＭ ｋＴＮ＝ｙ１ｘ１－３ｙ２ｘ２－３＝ｙ１ｙ２(ｍｙ１－２)(ｍｙ２－２)＝ｙ１ｙ２ｍ２ｙ１ｙ２＋４－２ｍ(ｙ１＋ｙ２)＝－２９.则ＴＭꎬＴＮ斜率之积为定值－２９.２１.１()平均每组１０００１００＝１０人ꎬ设第一次注射有Ｙ只动物产生抗体ꎬ则ＹʐＢ(１０ꎬｐ).所以Ｐ(Ｙ＝９)＋Ｐ(Ｙ＝１０)＝ｐ１０＋１０ｐ９(１－ｐ)＝１０ｐ９－９ｐ１０.所以该组试验只需第一轮注射的概率为１０ｐ９－９ｐ１０.２()由１()得Ｐ(Ｘ＝１０)＝１０ｐ９－９ｐ１０.又Ｐ(Ｘ＝１０＋ｋ)＝Ｃ１０－ｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋꎬｋ＝２ꎬ３ꎬ ꎬ１０ꎬ所以Ｅ(Ｘ)＝１０Ｐ(Ｘ＝１０)＋ð１０ｋ＝２(１０＋ｋ)Ｐ(Ｘ＝１０＋ｋ)＝１０ｐ１０＋１０ｐ９(１－ｐ)[]＋ð１０ｋ＝２(１０＋ｋ)Ｃ１０－ｋ１０ (１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ＝１０ð１０ｋ＝０Ｃ１０－ｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ＋ð１０ｋ＝０ｋＣ１０－ｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ－Ｃ９１０(１－ｐ)ｐ９.设ξʐＢ(１０ꎬ１－ｐ)ꎬ则Ｅ(ξ)＝ð１０ｋ＝０ｋＣｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ＝１０(１－ｐ).又ð１０ｋ＝０Ｃ１０－ｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ＝(１－ｐ＋ｐ)１０ꎬ所以Ｅ(Ｘ)＝１０(１－ｐ＋ｐ)１０＋１０(１－ｐ)－１０(１－ｐ)ｐ９＝１０＋１０(１－ｐ)－１０(１－ｐ)ｐ９＝２０－１０ｐ－１０ｐ９＋１０ｐ１０＝１０＋１０(１－ｐ)(１－ｐ９).因为０<ｐ<１ꎬ所以Ｅ(Ｘ)>１０.又Ｅ(Ｘ)＝１０＋１０１－ｐ()１－ｐ９()＝２０－１０ｐ－１０ｐ９＋１０ｐ１０＝１０２－ｐ()－１０ｐ９１－ｐ()ꎬ因为０<ｐ<１ꎬ所以Ｅ(Ｘ)<１０２－ｐ().所以１０<Ｅ(Ｘ)<１０(２－ｐ).２２.１()函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬ求导ꎬ得ｆᶄ(ｘ)＝ｘｅｘ＋ａｘ＝ｘｅｘ＋ａ().当ａȡ０时ꎬ当ｘ<０时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ当ｘ>０时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ则ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)上单调递减ꎬ在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增.当ａ<０时ꎬ令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ得ｘ１＝０ꎬｘ２＝ｌｎ(－ａ).若ｌｎ(－ａ)＝０ꎬ即ａ＝－１时ꎬｆᶄ(ｘ)ȡ０ꎬ则有ｆ(ｘ)在Ｒ上单调递增ꎻ若ｌｎ(－ａ)<０ꎬ即－１<ａ<０时ꎬ当ｘ<ｌｎ(－ａ)或ｘ>０时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ当ｌｎ(－ａ)<ｘ<０时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ则有ｆ(ｘ)在(－ɕꎬｌｎ(－ａ))ꎬ(０ꎬ＋ɕ)上都单调递增ꎬ在(ｌｎ(－ａ)ꎬ０)上单调递减ꎻ若ｌｎ(－ａ)>０ꎬ即ａ<－１时ꎬ当ｘ<０或ｘ>ｌｎ(－ａ)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ当０<ｘ<ｌｎ(－ａ)时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ则有ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)ꎬ(ｌｎ(－ａ)ꎬ＋ɕ)上都单调递增ꎬ在(０ꎬｌｎ(－ａ))上单调递减.所以ꎬ当ａȡ０时ꎬｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)上单调递减ꎬ在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎻ当－１<ａ<０时ꎬｆ(ｘ)在(－ɕꎬｌｎ(－ａ))ꎬ(０ꎬ＋ɕ)上都单调递增ꎬ在(ｌｎ(－ａ)ꎬ０)上单调递减ꎻ当ａ＝－１时ꎬｆ(ｘ)在Ｒ上单调递增ꎻ当ａ<－１时ꎬｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)ꎬ(ｌｎ(－ａ)ꎬ＋ɕ)上都单调递增ꎬ在(０ꎬｌｎ(－ａ))上单调递减.２()依题意ꎬｇ(ｘ)＝１２ａｘ２＋ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘꎬｘɪ(０ꎬπ２]ꎬｇᶄ(ｘ)＝ｘ(ａ－ｓｉｎｘ)ꎬ当ｘɪ(０ꎬπ２]时ꎬ０<ｓｉｎｘɤ１ꎬ当ａȡ１时ꎬａ－ｓｉｎｘȡ０ꎬｇᶄ(ｘ)ȡ０ꎬ则函数ｇ(ｘ)在(０ꎬπ２]上单调递增ꎬ有ｇ(ｘ)>ｇ(０)＝０ꎬ无零点ꎻ当ａɤ０时ꎬａ－ｓｉｎｘɤ０ꎬｇᶄ(ｘ)<０ꎬ函数ｇ(ｘ)在(０ꎬπ２]上单调递减ꎬｇ(ｘ)<ｇ(０)＝０ꎬ无零点ꎻ当０<ａ<１时ꎬ∃ｘ０ɪ(０ꎬπ２)ꎬ使得ｓｉｎｘ０＝ａꎬ而ｓｉｎｘ在(０ꎬπ２)上单调递增ꎬ当０<ｘ<ｘ０时ꎬｇᶄ(ｘ)>０ꎬ当ｘ０<ｘ<π２时ꎬｇᶄ(ｘ)<０ꎬ因此ꎬｇ(ｘ)在０ꎬｘ０()上单调递增ꎬ在(ｘ０ꎬπ２)上单调递减.又ｇ(０)＝０ꎬｇπ２æèçöø÷＝ａπ２８－１ꎬ若ｇ(π２)>０ꎬ即８π２<ａ<１时ꎬ无零点ꎻ若ｇ(π２)ɤ０ꎬ即０<ａɤ８π２时ꎬｇ(ｘ)有一个零点.综上可知ꎬ当０<ａɤ８π２时ꎬｇ(ｘ)在(０ꎬπ２]有１个零点ꎬ所以实数ａ的取值范围０<ａɤ８π２.[责任编辑:李㊀璟]。
广东省2023年高考数学模拟(二模)试题按题型难易度分层分类汇编(12套)-02填空题(提升题)
广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-02填空题（提升题）一．抽象函数及其应用（共1小题）1．（2023•深圳二模）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）﹣2为奇函数，且f（1﹣x）＝f（3+x），则f（2023）＝ ．二．正弦函数的单调性（共1小题）2．（2023•湛江二模）若函数在上具有单调性，且为f（x）的一个零点，则f（x）在上单调递 （填增或减），函数y＝f（x）﹣lgx的零点个数为 ．三．函数的零点与方程根的关系（共1小题）3．（2023•高州市二模）已知函数，若存在实数k，使得方程f（x）＝k有6个不同实根x1，x2，x3，x4，x5，x6，且x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，则a的取值范围是 ；的值为 ．四．根据实际问题选择函数类型（共1小题）4．（2023•茂名二模）修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段．如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面．坝面上点A满足AC⊥MN，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上．此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米．五．利用导数研究曲线上某点切线方程（共2小题）5．（2023•梅州二模）已知函数f（x）＝x2+alnx的图象在x＝1处的切线在y轴上的截距为2，则实数a＝ ．6．（2023•广东二模）已知f（x）＝x3﹣x，若过点P（m，n）恰能作两条直线与曲线y＝f （x）相切，且这两条切线关于直线x＝m对称，则m的一个可能值为 ．六．平面向量的基本定理（共1小题）7．（2023•广州二模）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，当λ＝ 时，则有最小值为 ．七．解三角形（共1小题）8．（2023•深圳二模）足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的B底线宽AB ＝72码，球门宽EF＝8码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P，使得∠EPF最大，这时候点P就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O处（OA＝AB，OA⊥AB）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择．若选择线路，则甲带球 码时，APO到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置．八．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）9．（2023•广东二模）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°，除面ABCD外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E，F，G，H，Ⅰ，则由点E，F，G，H，Ⅰ构成的四棱锥的体积为 ．九．球的体积和表面积（共1小题）10．（2023•韶关二模）将一个圆心角为、面积为2π的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为 ．一十．点、线、面间的距离计算（共1小题）11．（2023•高州市二模）已知球O与正四面体A﹣BCD各棱相切，且与平面α相切，若AB ＝1，则正四面体A﹣BCD表面上的点到平面α距离的最大值为 ．一十一．轨迹方程（共1小题）12．（2023•广州二模）在平面直角坐标系xOy中，定义d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为A （x1，y1），B（x2，y2）两点之间的“折线距离”．已知点Q（1，0），动点P满足d（Q，P）＝，点M是曲线y＝上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为 ，d（P，M）的最小值为 ．一十二．椭圆的性质（共3小题）13．（2023•梅州二模）如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为 ．14．（2023•汕头二模）阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆上任意一点P（x0，y0）的切线方程为．若已知△ABC内接于椭圆E：，且坐标原点O为△ABC的重心，过A，B，C分别作椭圆E的切线，切线分别相交于点D，E，F，则＝ ．15．（2023•佛山二模）已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，P是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，则sin∠F1PF2的最大值为 ．一十三．抛物线的性质（共1小题）16．（2023•韶关二模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为﹣1的直线l交抛物线C于A，B两点，则以线段AB为直径的圆D的方程为 ；若圆D上存在两点P，Q，在圆T：（x+2）2+（y+7）2＝a2（a＞0）上存在一点M，使得∠PMQ ＝90°，则实数a的取值范围为 ．一十四．古典概型及其概率计算公式（共1小题）17．（2023•佛山二模）有n个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第n个盒子中取到白球的概率是 ．一十五．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）18．（2023•汕头二模）某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．按照这种化验方法，平均每个人需要化验 次．（结果保留四位有效数字）（0.955≈0.7738，0.956≈0.735，0.957≈0.6983）．一十六．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共1小题）19．（2023•佛山二模）佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标X～N（800，σ2），且P（X＜801）＝0.6，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记Y表示800≤X＜801的瓷砖片数，则E（Y）＝ ．一十七．归纳推理（共1小题）20．（2023•广州二模）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为C1，C2，C3，C4，则＝ ．广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-02填空题（提升题）参考答案与试题解析一．抽象函数及其应用（共1小题）1．（2023•深圳二模）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）﹣2为奇函数，且f（1﹣x）＝f（3+x），则f（2023）＝ 2 ．【答案】2．【解答】解：由于f（x+1）﹣2为奇函数，则f（x+1）﹣2＝﹣[f（﹣x+1）﹣2]，即f（x+1）+f（1﹣x）＝4，所以函数f（x）关于点（1，2）对称，则f（1）＝2，又f（1﹣x）＝f（3+x），则f（x+1）+f（x+3）＝4，则f（x）+f（x+2）＝4，则f（x+2）+f（x+4）＝4，所以f（x）＝f（x+4），则函数f（x）的周期为4，所以f（2023）＝f（505×4+3）＝f（3）＝f（1）＝2．故答案为：2．二．正弦函数的单调性（共1小题）2．（2023•湛江二模）若函数在上具有单调性，且为f（x）的一个零点，则f（x）在上单调递 增 （填增或减），函数y＝f（x）﹣lgx的零点个数为 9个 ．【答案】增；9个．【解答】解：∵函数在上具有单调性，∴﹣（﹣）≤T，即≤，∴0＜ω≤，又∵f（）＝sin（ω+）＝0，∴ω+＝kπ（k∈Z），即ω＝﹣，k∈Z，只有k＝1时，ω＝3符合要求，此时f（x）＝sin（3x+），当x∈时，3x+∈（﹣，），∴f（x）在上单调递增，作出函数y＝f（x）与y＝lgx的图象，由图可知，这两个函数的图象共有9个交点，∴函数y＝f（x）﹣lgx的零点个数为9个．故答案为：增；9个．三．函数的零点与方程根的关系（共1小题）3．（2023•高州市二模）已知函数，若存在实数k，使得方程f（x）＝k有6个不同实根x1，x2，x3，x4，x5，x6，且x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，则a的取值范围是 （2，+∞） ；的值为 2 ．【答案】（2，+∞）；2．【解答】解：当x∈（﹣∞，0）时，，当且仅当即x＝﹣1时取等号，且根据对勾函数可得f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，当x∈（0，e﹣a]时，lnx∈（﹣∞，﹣a]，|lnx|＝﹣lnx∈[a，+∞），则|lnx|﹣a＝﹣lnx﹣a∈[0，+∞），所以f（x）＝﹣lnx﹣a∈[0，+∞）；当x∈（e﹣a，1]时，lnx∈（﹣a，0]，|lnx|＝﹣lnx∈[0，a），则|lnx|﹣a＝﹣lnx﹣a∈[﹣a，0），所以f（x）＝lnx+a∈（0，a]；当x∈（1，e a]时，lnx∈（0，a]，|lnx|＝lnx∈（0，a]，则|lnx|﹣a＝lnx﹣a∈（﹣a，0]，所以f（x）＝a﹣lnx∈[0，a）；当x∈（e a，+∞）时，lnx∈（a，+∞），|lnx|＝lnx∈（a，+∞），则|lnx|﹣a＝lnx﹣a∈（0，+∞），所以f（x）＝lnx﹣a∈（0，+∞），所以f（x）的大致图象如图所示，当a＞2时，存在实数k，使得方程f（x）＝k有6个不同实根，故a的取值范围是（2，+∞），由题意得x1，x2是方程的两个根，即方程x2+kx+1＝0的两个根，所以x1x2＝1，x1x2＝1，﹣lnx3﹣a＝lnx6﹣a＝k，所以lnx3+lnx6＝ln（x3x6）＝0，解得x3x6＝1，lnx4+a＝a﹣lnx5＝k，lnx4+lnx5＝ln（x4x5）＝0，解得x4x5＝1所以，故答案为：（2，+∞）；2．四．根据实际问题选择函数类型（共1小题）4．（2023•茂名二模）修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段．如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面．坝面上点A满足AC⊥MN，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上．此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为 +5 百米．【答案】+5．【解答】解：连接CD，CE，由半圆半径为1得：CD＝CE＝1，由对称性，设∠CBE＝∠CBD＝θ，又CD⊥BD，CE⊥BE，所以BE＝BD＝＝，BC＝＝，易知∠MCE＝∠NCD＝θ，所以，的长为θ，又AC＝3，故AB＝AC﹣BC＝3﹣∈（0，2），故sinθ∈（，1），令sinθ0＝，且θ0∈（0，），则f（θ）＝5﹣++2θ，θ∈（θ0，），所以f′（θ）＝，θ（θ0，）（，）f′（θ）﹣0+f（θ）单调递减极小值单调递增所以栈道总长度最小值f（θ）min＝f（）＝+5．故答案为：+5．五．利用导数研究曲线上某点切线方程（共2小题）5．（2023•梅州二模）已知函数f（x）＝x2+alnx的图象在x＝1处的切线在y轴上的截距为2，则实数a＝ ﹣3 ．【答案】﹣3．【解答】解：由f（x）＝x2+alnx，得f′（x）＝2x+，则f′（1）＝2+a，又f（1）＝1，∴函数f（x）＝x2+alnx的图象在x＝1处的切线方程为y﹣1＝（2+a）（x﹣1），取x＝0，可得y＝﹣2﹣a+1＝﹣a﹣1＝2，可得a＝﹣3．故答案为：﹣3．6．（2023•广东二模）已知f（x）＝x3﹣x，若过点P（m，n）恰能作两条直线与曲线y＝f （x）相切，且这两条切线关于直线x＝m对称，则m的一个可能值为 （或或或） ．【答案】（或或或）．【解答】解：设切点坐标为（t，t3﹣t），因为f（x）＝x3﹣x，则f'（x）＝3x2﹣1，切线斜率为f'（t）＝3t2﹣1，所以，曲线y＝f（x）在x＝t处的切线方程为y﹣（t3﹣t）＝（3t2﹣1）（x﹣t），将点P的坐标代入切线方程可得2t3﹣3mt2+m+n＝0，设过点P且与曲线y＝f（x）相切的切线的切点的横坐标分别为x1、x2，且x1≠x2，因为这两条切线关于直线x＝m对称，则，所以，易知x1、x2关于t的方程2t3﹣3mt2+m+n＝0的两个根，设该方程的第三个根为x3，则2t3﹣3mt2+m+n＝2（t﹣x1）（t﹣x2）（t﹣x3），则，所以，因为过点P（m，n）恰能作两条直线与曲线y＝f（x）相切，则关于t的方程2t3﹣3mt2+m+n＝0只有两个不等的实根，不妨设x3＝x1，则，若x1＝0，则，可得，解得；若2x2+x1＝0，则x1＝﹣2x2，所以，，可得，x1＝m，所以，解得．综上所述，或．故答案为：（或或或）．六．平面向量的基本定理（共1小题）7．（2023•广州二模）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，当λ＝ 时，则有最小值为 ．【答案】；．【解答】解：在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，则，又，则＝＝＝（1﹣），，则＝+4λ+4（）＝，又＝，当且仅当，即时取等号，即当λ＝时，则有最小值为，故答案为：；．七．解三角形（共1小题）8．（2023•深圳二模）足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的B底线宽AB ＝72码，球门宽EF＝8码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P，使得∠EPF最大，这时候点P就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O处（OA＝AB，OA⊥AB）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择．若选择线路，则甲带球 72﹣16 码时，APO到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球 72﹣16 码时，到达最佳射门位置．【答案】72﹣16；72﹣16．【解答】解：若选择线路，设AP＝t，其中0＜t≤72，AE＝32，AF＝32+8＝40，则tan∠APE＝＝，tan∠APF＝＝，所以，tan∠EPF＝tan（∠APF﹣∠APE）＝＝＝＝≤＝，当且仅当t＝时，即当t＝16时，等号成立，此时OP＝OA﹣AP＝72﹣16，所以，若选择线路，则甲带球72﹣16码时，APO到达最佳射门位置；若选择线路，以线段EF的中点N为坐标原点，、的方向分别为x、y轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则B（﹣36，0）、O（36，72）、F（﹣4，0）、E（4，0），k OB＝＝1，直线OB的方程为y＝x+36，设点P（x，x+36），其中﹣36＜x≤36，tan∠AFP＝k PF＝，tan∠AEP＝k PE＝，所以，tan∠EPF＝tan（∠AEP﹣∠AFP）＝＝＝＝，令m＝x+36∈（0，72]，则x＝m﹣36，所以x+36+＝m+＝2m+﹣72≥2﹣72＝32﹣72，当且仅当2m＝时，即当m＝8，即当x＝8﹣36时，等号成立，所以，tan∠EPF＝≤＝，当且仅当x＝8﹣36时，等号成立，此时，|OP|＝|36﹣（8﹣36）|＝72﹣16，所以，若选择线路，则甲带球72﹣16码时，到达最佳射门位置，故答案为：72﹣16；72﹣16．八．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）9．（2023•广东二模）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°，除面ABCD外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E，F，G，H，Ⅰ，则由点E，F，G，H，Ⅰ构成的四棱锥的体积为 ．【答案】．【解答】解：连接AC，BD，由题意可得，分别过E，F，G，H作底面ABCD的垂线，垂足分别为E1，F1，G1，H1，可得E1，F1，G1，H1分别为AB，BC，CD，AD的中点，连接E1F1，F1G1，G1H1，H1E1，可得，由题意可得：EFGH﹣E1F1G1H1为四棱柱，则，四棱锥的高为直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高的一半，即为1，所以四棱锥的体积．故答案为：．九．球的体积和表面积（共1小题）10．（2023•韶关二模）将一个圆心角为、面积为2π的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为 π ．【答案】π．【解答】解：设圆锥底面半径为R，母线长为L，则，解得R＝，L＝，易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中，，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O，由于，故S△ABC＝××＝，设内切圆半径为r，则：S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝AB•r×2+BC•r，解得：，其表面积：．故答案为：π．一十．点、线、面间的距离计算（共1小题）11．（2023•高州市二模）已知球O与正四面体A﹣BCD各棱相切，且与平面α相切，若AB ＝1，则正四面体A﹣BCD表面上的点到平面α距离的最大值为 ．【答案】．【解答】解：将正四面体A﹣BCD补形成正方体，因为球O与正四面体A﹣BCD各棱相切，所以球O即为正方体的内切球，易知，球心O为正方体体对角线的中点，记正四面体A﹣BCD表面上的点到球心O的距离为d，球的半径为r，则正四面体A﹣BCD表面上的点到平面α距离的最大值即为d+r的最大值，设正方体棱长为a，则a2+a2＝1，解得，所以，易知，，所以正四面体A﹣BCD表面上的点到平面α距离的最大值为．故答案为：．一十一．轨迹方程（共1小题）12．（2023•广州二模）在平面直角坐标系xOy中，定义d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为A （x1，y1），B（x2，y2）两点之间的“折线距离”．已知点Q（1，0），动点P满足d（Q，P）＝，点M是曲线y＝上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为 ，d（P，M）的最小值为 （﹣1） ．【答案】；（﹣1）．【解答】解：设P（x，y），d（Q，P）＝|x﹣1|+|y|＝，当x≥1，y≥0时，则x﹣1+y＝，即x+y﹣＝0，当x≥1，y＜0时，则x﹣1﹣y＝，即x﹣y﹣＝0，当x＜1，y＜0时，则1﹣x﹣y＝，即x+y﹣＝0，当x＜1，y≥0时，则1﹣x+y＝，即x﹣y﹣＝0，故点P的轨迹所围成图形如下图阴影部分四边形ABCD的面积：则S＝×××4＝，如下图，设P（x0，y0），M（x1，y1），又求d（P，M）的最小值，显然x1＞x0，y1＞y0，d（P，M）＝|x1﹣x0|+|y1﹣y0|＝x1﹣x0+y1﹣y0＝x1+y1﹣（x0+y0），求d（P，M）的最小值，即x1+y1的最小值，x0+y0的最大值，又（x0+y0）＝，下面求x1+y1的最小值，令y＝x1+y1＝x1+，y'＝1﹣＝0，即x1＝，令y'＞0，解得：x1＞，令y'＜0，解得：x1＜，所以y在（﹣∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以x1＝时，y有最小值，且y min＝，所以d（P，M）min＝﹣＝（﹣1）．故答案为：；（﹣1）．一十二．椭圆的性质（共3小题）13．（2023•梅州二模）如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为 ．【答案】．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，因为一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形状，则2b＝2r，，即，因此该椭圆的离心率为．故答案为：．14．（2023•汕头二模）阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆上任意一点P（x0，y0）的切线方程为．若已知△ABC内接于椭圆E：，且坐标原点O为△ABC的重心，过A，B，C分别作椭圆E的切线，切线分别相交于点D，E，F，则＝ 4 ．【答案】4．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），由中点坐标公式可得、、，∵O为△ABC的重心，∴，，，∴x1y3﹣x3y1＝x3y2﹣x2y3＝x2y1﹣x1y2，由题意可知，过A，B，C切线分别为，，，∴，，，∴，同理，即O也是△DEF的重心，又∵，，，∴，，，∴，同理可得k OE＝k OB，k OF＝k OA，∴D，O，C、E，O，B、F，O，A共线，综上，C，B，A分别是EF，DF，DE的中点，则．故答案为：4．15．（2023•佛山二模）已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，P是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，则sin∠F1PF2的最大值为 ．【答案】．【解答】解：由椭圆的方程可知右顶点为M（2，0），左右焦点F1、F2的坐标为（﹣1，0），（1，0），设P（2，t）为过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，（不妨设t＞0），tan∠F1PF2＝tan（∠F1PM﹣∠F2PM）＝＝＝＝≤＝，当且仅当t＝，即t＝时取等号，∵0≤∠F1PF2＜，∴0≤∠F1PF2≤，∴sin∠F1PF2的最大值为．故答案为：．一十三．抛物线的性质（共1小题）16．（2023•韶关二模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为﹣1的直线l交抛物线C于A，B两点，则以线段AB为直径的圆D的方程为 （x﹣3）2+（y+2）2＝16 ；若圆D上存在两点P，Q，在圆T：（x+2）2+（y+7）2＝a2（a＞0）上存在一点M，使得∠PMQ＝90°，则实数a的取值范围为 [，9] ．【答案】（x﹣3）²+（y+2）²＝16，[，9]．【解答】解：过抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0）且斜率为﹣1的直线l为y＝﹣x+1，由消去x，得x2﹣6x+1＝0，所以AB的中点为D（3，﹣2），|AB|＝x1+x2+p，所以以线段AB为直径的圆D的半径r＝4，方程为（x﹣3）²+（y+2）²＝16，对圆D内任意一点M，必可作相互垂直的两直线相交，故存在圆D上两点P，Q，使∠PMQ＝90°；对圆D外任意一点M，P，Q是圆D上两点．当MP，MQ与圆D相切时，∠PMQ最大，此时DPMQ为柜形，T：（x﹣a）2+y2＝1上存在一点M，使得∠PMQ＝90°，等价于以D为因心以为半径的圆与圆T：（x+2）2+（y+7）2＝a2（a＞0）在公共点，所以，解得，所以实数a的取值范围为[，9]．故答案为：（x﹣3）²+（y+2）²＝16，[，9]．一十四．古典概型及其概率计算公式（共1小题）17．（2023•佛山二模）有n个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第n个盒子中取到白球的概率是 ．【答案】；．【解答】解：记事件A i表示从第i（i＝1，2，•，n）个盒子里取出白球，则P（A1）＝，P（）＝，P（A2）＝P（A1A2）+P（）＝P（A1）P（A2|A1）+P（）P（A2|）＝＝，P（A 3）＝P（A2）P（A3|A2）+P（）P（A3|）＝＝，P（A 4）＝P（A3）P（A4|A3）+P（）P（A4|）＝，进而得P（A n）＝，P（A n）﹣＝[P（A n﹣1）﹣]，又P（A1）﹣＝，P（A2）﹣＝，P（A2）﹣＝[P（A1）﹣]，∴{P（A n）﹣}是首项为，公比为的等比数列，∴P（A n）﹣＝＝，∴P（A n）＝．故答案为：；．一十五．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）18．（2023•汕头二模）某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．按照这种化验方法，平均每个人需要化验 0.4262 次．（结果保留四位有效数字）（0.955≈0.7738，0.956≈0.735，0.957≈0.6983）．【答案】0.4262．【解答】解：设每个人需要的化验次数为X，若混合血样呈阴性，则X＝；若混合血样呈阳性，则X＝；因此，X的分布列为P（X＝）＝0.955，P（X＝）＝1﹣0.955，所以E（X）＝≈0.4262，说明每5个人一组，平均每个人需要化验0.4262次．故答案为：0.4262．一十六．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共1小题）19．（2023•佛山二模）佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标X～N（800，σ2），且P（X＜801）＝0.6，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记Y表示800≤X＜801的瓷砖片数，则E（Y）＝ 1 ．【答案】1．【解答】解：由题意，X～N（800，σ2），所以正态曲线关于直线X＝800对称，所以P（X＜800）＝0.5，因为P（X＜801）＝P（X＜800）+P（800≤X＜801）＝0.6，所以P（800≤X＜801）＝0.6﹣0.5＝0.1，由题意，Y～B（10，0.1），所以E（Y）＝10×0.1＝1．故答案为：1．一十七．归纳推理（共1小题）20．（2023•广州二模）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为C1，C2，C3，C4，则＝ ．【答案】．【解答】解：观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列{∁n}，从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的，因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有，因此数列{∁n}是首项C1＝3，公比为的等比数列，所以，，故答案为：．。
2023年全国新高考仿真模拟卷(二)数学试题(含答案解析)
2023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2|log 1A x x =<，{}2|20B x x x =--<，则B A =ð（）A ．（﹣∞，2）B ．（﹣1，0]C ．（﹣1，2）D ．（﹣1，0）2．已知复数11i z =+，22i z a =+，若12z z ⋅为纯虚数，则实数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．23．函数()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()lg f x x x =-，则()100f -=（）A ．98B ．98-C ．90D ．90-4．小陈和小李是某公司的两名员工，在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为13和14，且两人同时加班的概率为16，则某个工作日，在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为（）A ．112B ．12C ．23D ．345．若22cos 1sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则tan 2α的值为（）A ．B C ．2D ．2+6．如图所示，在ABC 中，2B A =，点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，ACD BCD ∠=∠，则cos A 等于（）A ．23B ．34C ．35D ．457．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220a a +=，398S =，且2n a S a ≤≤+，则实数a 的取值范围是（）A ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知x ∈R ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x a x x=-≠有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．233,2342⎛⎤⎡⎫ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭二、多选题9．体育王老师记录了16名小学生某周课外体育运动的时长（单位：h ），记录如下表．运动时长456789运动人数122452则这16名小学生该周课外体育运动时长的（）A ．众数为8B ．中位数为6.5C ．平均数为7D ．标准差为210．已知,αβ是空间两个不同的平面，,m n 是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是（）A ．//m α，//n β，且//m n ，则//αβB ．//m α，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥C ．m α⊥，n β⊥，且//m n ，则//αβD ．m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥11．设1F ，2F 分别为椭圆221259x y+=的左、右焦点，P 为椭圆上第一象限内任意一点，1PF k ，2PF k 表示直线1PF ，2PF 的斜率，则下列说法正确的是（）A ．存在点P ，使得17PF =成立B ．存在点P ，使得1290F PF ∠=︒成立C ．存在点P ，使得217PF PF k k =成立D ．存在点P ，使得127PF PF ⋅=成立12．设函数()sin 2sin cos xf x x x=+，则（）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =三、填空题13．在平行四边形OACB 中，E 是AC 的中点，F 是BC 边上的点，且3BC BF =，若OC mOE nOF =+，其中m ，n ∈R ，则m n +的值为______．14．请写出与曲线()sin f x x =在()0,0处具有相同切线的另一个函数：______．15．Rt ABC △中，其边长分别为3，4，5，分别以它的边所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的几何体的体积之和为______．16．已知1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若212PF PF 的最小值为2c，c ，则该双曲线的离心率是______．四、解答题17．设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且对*n ∀∈N ，kn n a S b n c +=⋅+恒成立，其中b ，k ，c 均为常数．(1)当0b =时，求数列{}n a 的通项公式；(2)当1k =时，若数列{}n a 为等差数列，求b ，c 的值．18．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为钝角．若ABC 的面积为S ，且()2224bS a b c a =+-．(1)证明：2B A π=+；(2)求sin sin A C +的最大值．19．某校团委针对“学生性别和喜欢课外阅读”是否有关做了一次不记名调查，其中被调查的全体学生中，女生人数占总人数的13．调查结果显示，男生中有16的人喜欢课外阅读，女生中有23的人喜欢课外阅读．(1)以频率视为概率，若从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，求其中恰有2人喜欢课外阅读的概率；(2)若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，求被调查的男生至少有多少人？附：()20P k χ≥0.0500.0100k 3.8416.635()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．20．如图，在多面体ABCDE 中，已知ABC ，ACD ，BCE 均为等边三角形，平面ACD ⊥平面ABC ，平面BCE ⊥平面ABC ，H 为AB 的中点．(1)判断DE 与平面ABC 的位置关系，并加以证明；(2)求直线DH 与平面ACE 所成角的正弦值．21．已知点M 是抛物线()2:20C x py p =>的对称轴与准线的交点，过M 作抛物线的一条切线，切点为P ，且满足2PM =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过()1,1A -作斜率为2的直线与抛物线C 相交于点B ，点()0,T t ()0t >，直线AT 与BT 分别交抛物线C 于点E ，F ，设直线EF 的斜率为k ，是否存在常数λ，使得t k λ=？若存在，求出λ值；若不存在，请说明理由．22．已知函数()()22ln xf x x a a x=--∈R ．(1)求函数()f x 的极值；(2)当11a <时，若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >．①证明：12ln ln x x -<②证明：1201x x <<．参考答案：1．B【分析】解对数不等式化简集合A ，解一元二次不等式化简集合B ，根据补集运算可得结果.【详解】∵集合{}{}2|log 1|02A x x x x =<=<<，{}{}2|20|12B x x x x x =--<=-<<，∴{}|10B A x x =-<≤ð，故选：B.【点睛】本题主要考查了对数与二次不等式的求解以及集合的补集运算.属于基础题.2．D【分析】求出12z z ⋅的代数形式，然后根据其实部为零，虚部不为零列式计算即可.【详解】 复数11i z =+，22i z a =+，∴()()()121i 2i 22i z z a a a ⋅=++=-++，12z z ⋅为纯虚数，20a ∴-=且20a +≠，2a ∴=.故选：D.3．A【分析】直接利用函数奇偶性及0x >时的解析式计算即可.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，所以()()100100f f -=-，又当0x >时，()lg f x x x =-，所以()()()100100lg10010098f f -=-=--=.故选：A.4．C【分析】根据题意结合条件概率公式运算求解.【详解】记“小李加班”为事件A ，“小陈加班”为事件B ，则()()()111,,436P A P B P AB ===，故在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为()()()2|3P AB P B A P A ==.故选：C.5．D【分析】先利用倍角公式降次，再利用两角和的公式展开后转化为用tan 2α表示的等式，然后解方程即可.【详解】22cos 1sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ 1cos 21sin 23παα⎛⎫∴+-=+ ⎪⎝⎭，1cos 22sin 222ααα∴+=，又cos 20α≠，则12tan 22αα=，解得tan 22α=.故选：D.6．B【分析】根据三角形的边角关系，结合角平分线定理、二倍角公式、正弦定理即可求得cos A 的值.【详解】在ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，又点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，所以332,555AD AB c BD c ===，又ACD BCD ∠=∠，由角平分线定理可得AC BC AD BD =，所以3255b ac c =，则32b a =，又2B A =，所以sin sin 22sin cos B A A A ==，则sin cos 2sin BA A=，由正弦定理得3sin 32cos 2sin 224aB b A A a a ====.故选：B.7．B【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由1220a a +=，398S =，列方程求出1,a q ，进而可求出n S ，结合指数函数的性质求出n S 的最大、小值，列不等式组即可求出a 的取值范围【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为1220a a +=，398S =，所以121(12)09(1)8a q a q q +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得131,22a q ==-，所以31111,2221112111,22nnn n nn S n ⎡⎤⎧⎛⎫⎛⎫--⎢⎥+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎝⎭⎛⎫⎣⎦==--=⎨ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎪-- ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩为奇数为偶数，当x 为正整数且奇数时，函数1()12xy =+单调递减，当x 为正整数且偶数时，函数1()12xy =-+单调递增，所以1n =时，n S 取得最大值32，当2n =时，n S 取得最小值34，所以34322a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1324a -≤≤.故选：B.8．D【分析】设()[]x g x x=，根据已知作出()g x 的草图，分析已知函数()[]()0x fx ax x=-≠有且仅有2个零点，则[]x a x=有且仅有2个解，即可得出答案.【详解】函数()[]()0x f x a x x=-≠有且仅有2个零点，则[]x a x=有且仅有2个解，设()[],1,00,01nx n x n n g x xxx ⎧≤<+≠⎪==⎨⎪≤<⎩，根据符号[]x 作出()g x的草图如下：则2334a <≤或322a ≤<，故选：D.9．AC【分析】根据表格数据计算得到众数，中位数，平均数和标准差即可判断结果【详解】由题意，这组运动时长数据中8出现了5次，其余数出现次数小于5次，故众数为8，A 正确；将16小学生的运动时长从小到大排列为：4,5,5,6,6,7,7,7,7,8,8,8,8,8,9,9，则中位数为7772+=，故B 错误；计算平均数为142526475829716⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；方差为()()()()()()2222222147257267477587297216s ⎡⎤=-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦，所以标准差为s ==D 错误.故选：AC 10．CD【分析】利用空间线面、面面平行、垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，即可得到正确答案.【详解】A 选项，若//m α，//n β，且//m n ，则,αβ可能相交或平行，故A 错误；B 选项，若//m α，//n β，且m n ⊥，则,αβ可能相交，也可能平行，故B 错误；C 选项，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ；即C 正确；D 选项，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α；又n β⊥，根据面面垂直的判定定理可得：αβ⊥，即D 正确.故选：CD.11．ABD【分析】根据椭圆的性质逐项进行分析即可判断.【详解】由椭圆方程221259x y +=可得：5,3a b ==，4c ==，对于A ，由椭圆的性质可得：129a c PF a c =-≤≤+=，又因为点P 在第一象限内，所以159a PF a c =<<+=，所以存在点P ，使得17PF =成立，故选项A 正确；对于B ，设点00(,)P x y ，因为12(4,0),(4,0)F F -，所以100(4,)PF x y =--- ，200(4,)PF x y =--，则2222212000009161616972525PF PF x y x x x ⋅=-+=-+-=- ，因为005x <<，所以20025x ≤≤，所以2120167(7,9)25PF PF x ⋅=-∈- ，所以存在点P ，使得120PF PF ⋅=，则1290F PF ∠=︒成立，故选项B 正确；对于C ，因为1004PF y k x =+，2004PF y k x =-，若217PF PF k k =，则00(316)0x y +=，因为点00(,)P x y 在第一象限内，所以000,0y x >>，则00(316)0x y +=可化为：03160x +=，解得：01603x =-<不成立，所以不存在点P ，使得217PF PF k k =成立，故选项C 错误；对于D ，由选项B 的分析可知：2120167(7,9)25PF PF x ⋅=-∈- ，所以存在点P ，使得127PF PF ⋅=成立，故选项D 正确，故选：ABD.12．BD【分析】利用诱导公式化简可得()()πf x f x +=-，可判断选项A ；利用换元法和函数的单调性，可判断选项B 和C ；利用诱导公式化简可得()π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可判断选项D ．【详解】对A ：()()()()()()sin 2πsin 22πsin 2πsin πcos πsin cos sin cos x x xf x f x x x x xx x+++===-=-+++--+，故π不是()f x 的周期，A 错误；对B ：令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，则211t y t t t-==-，∵ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()πππ0,,sin 0,1424x x ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在()0,∞+上单调递增，故()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；对C ：∵π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()π0,π4x +∈，∴(]πsin 0,14x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y tt =-在(上单调递增，且|2x y ，∴1y t t =-在(上最大值为2，即()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎝⎭，C 错误；对D ：()()πsin 2sin π2πsin 22ππ2cos sin sin cos sin cos 22x x x f x f x x x x xx x ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭-=== ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =，D 正确.故选：BD.【点睛】结论点睛：若()()f m x f n x +=-，则()f x 关于直线2m nx +=对称，特别地()()2f x f a x =-，则()f x 关于直线x a =对称；若()()2f m x f n x b ++-=，则()f x 关于点,2m n b +⎛⎫⎪⎝⎭对称，特别地()()20f x f a x +-=，则()f x 关于点(),0a 对称.13．75##1.4【分析】先以{},OA OB 为基底向量求,OE OF uu u r uuu r，联立求解可得6362,5555OA OE OB OF OE =-=-uu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r ，再结合OC OA OB =+，代入运算即可得答案.【详解】由题意可得：11,23OE OA AE OA OB OF OB BF OB OA =+=+=+=+uu u r uu r uu u r uu r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uu r，联立1213OE OA OB OF OB OA ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得63556255OA OE OB OF OE ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ，∵636243555555OC OA OB OE OF OF OE OE OF ⎛⎫⎛⎫=+=-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uuu r uu r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r ，则43,55m n ==，故75m n +=.故答案为：75.14．3y x x =+（答案不唯一）【分析】利用导数的几何意义可求得在()0,0处的切线斜率，由此可得切线方程；若两曲线在原点处具有相同切线，只需满足过点()0,0且在0x =处的导数值1y '=即可，由此可得曲线方程.【详解】sin y x = 的导函数为cos y x '=，又sin y x =过原点，sin y x ∴=在原点()0,0处的切线斜率cos 01k ==，sin y x ∴=在原点()0,0处的切线方程为y x =；所求曲线只需满足过点()0,0且在0x =处的导数值1y '=即可，如3y x x =+，231y x '=+ ，又3y x x =+过原点，3y x x ∴=+在原点处的切线斜率1k =，3y x x ∴=+在原点()0,0处的切线方程为y x =.故答案为:3y x x =+（答案不唯一）.15．188π5【分析】分类讨论旋转轴所在的直线，结合锥体的体积公式运算求解.【详解】由题意不妨设：3,4,5AB AC BC ===，边BC 上的高为h ，则1122AB AC BC h ⨯=⨯，可得125AB AC h BC ⨯==，若以边AB 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为圆锥，其底面半径14r =，高为3AB =，故此时圆锥的体积为2113π416π3V =⨯⨯⨯=；若以边AC 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为圆锥，其底面半径23r =，高为4AC =，故此时圆锥的体积为2214π312π3V =⨯⨯⨯=；若以边BC 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为两个共底面的圆锥，其底面半径3125r h ==，高为12,h h ，且125h h BC +==，故所得几何体的体积为()22223132312311111248πππ5ππ333355V h r h r h h r ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=+⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭；故体积之和为4818816π12πππ55++=.故答案为：188π5.16．22+【分析】设2PF m =，则m c a ≥-，根据双曲线的定义12PF m a =+，故221244PF a m a PF m=++，分2a c a ≥-与2a c a <-讨论，结合“对勾”函数的性质可求出离心率.【详解】设2PF m =，则m c a ≥-，由双曲线的定义知122PF PF a -=，∴12PF m a =+，()22212244PF m a a m a PF mm+==++，当2a c a ≥-，即13a c ≥时，221244PF a m a PF m =++84823a a c c ≥=>>，不符合题意；当2a c a <-，即3ce a=>时，244a y m a m=++在[),m c a ∈-+∞上单调递增，所以当m c a =-时212PF PF 取得最小值，故2442a c a a c c a-++=-，化简得2240c ac a --=，即2410e e --=，解得2e =（舍）或2e =3e >.综上所述，该双曲线的离心率是2故答案为:2.17．(1)1*1,2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N (2)1b =，1c =【分析】（1）根据1n n n a S S -=-，结合已知等式得出112n n a a -=，即可得出数列{}n a 是以首项为1，公比为12的等比数列，即可得出数列{}n a 的通项公式；（2）利用关系式得出1a 、2a 、3a ，再根据等差中项列式，即可得出答案.【详解】（1）令1n =，则11a S b c +=+，即12a b c =+，11a = ，0b =，2c ∴=，则2nn a S +=，即2n n S a =-，当2n ≥时，()1122n n n n n a S S a a --=-=---，化简得112n n a a -=，而11a =，则数列{}n a 是以首项为1，公比为12的等比数列，则数列{}n a 的通项公式1*1,2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，（2）当1k =时，n n a S nb c +=+，令1n =，则11a S b c +=+，则12a b c =+，11a = ，2b c ∴+=，令2n =，则222a S b c +=+，则2122a b c a =+-，2b c += ，11a =，221a b ∴=+，令3n =，则333a S b c +=+，则31223a b c a a =+--，2b c += ，11a =，212b a +=，33144b a ∴=+， 数列{}n a 为等差数列，2132a a a ∴=+，即311144b b +=++，解得1b =，则21c b =-=.18．(1)证明见解析(2)98【分析】（1）利用余弦定理及面积公式将条件变形得cos sin A B =，再利用诱导公式及三角函数的性质可证明结论；（2）利用（1）的结论及三角公式，将sin sin A C +转化为关于cos B 的二次函数，然后配方可以求最值.【详解】（1）由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=得2222cos bc A b c a =+-，4412cos sin 2bS b bc A ac B a a ∴==⨯，cos sin A B ∴=，cos cos 2πA B ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，B 为钝角，则,2πA B -均为锐角，2B A π∴-=，即2B A π=+；（2）2ππsin sin sin sin cos cos 22cos cos 122A C B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫+=-++-=--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令cos B t =，B 为钝角，则()1,0t ∈-，2219sin sin 21248A C t t t ⎛⎫∴+=--+=-++ ⎪⎝⎭，当14t =-，即1cos 4B =-时，sin sin A C +取最大值，且为98.19．(1)47108；(2)12.【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率，可得结论；（2）设出男生人数，列出22⨯列联表，根据2 3.841χ≥及,,236x x x均为整数即可求解.【详解】（1）从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，记其中恰有2人喜欢课外阅读为事件A ，则()222211221152151247C C 63636633108P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）设被调查的男生人数为x ,则被调查的女生人数为2x，则22⨯列联表为：喜欢课外阅读不喜欢课外阅读合计男生6x56x x 女生3x 6x 2x 合计2x x32x若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，则2 3.841χ≥，即223526663 3.84122x x x x x x xx x χ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭≥≥⋅⋅⋅，则 3.841810.2433x ⨯≥≈，因为,,236x x x均为整数，所以被调查的男生至少有12人.20．(1)DE ∥平面ABC ，证明见解析；5【分析】（1）分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，EP DO ∥且EP DO =，再利用线面平行的判定定理，即可得到答案；（2）连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，求出向量1,22DH ⎛= ⎝⎭uuu r 及平面ACE 的法向量()1,0,2m =-，代入夹角公式，即可得到答案；【详解】（1）DE ∥平面ABC ，理由如下：分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，因为AD CD =，所以DO AC ⊥，又平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC ，同理EP ⊥平面ABC ，所以EP DO ∥，又因为,ACD BCE 是全等的正三角形，所以EP DO =，所以四边形DOPE 是平行四边形，所以DE OP ∥，因为ED ⊄平面ABC ，OP ⊂平面ABC ，所以ED ∥平面ABC ；（2）连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，令2AC =.则()()())110,0,0,0,1,0,0,1,0,,0,,0,22O A C D H P ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1,2DE OP E ⎫=∴-⎪⎪⎭所以()310,2,0,,2222AC AE DH ⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，所以·0·0m AC m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以203022y y -=⎧⎪-+=则0y =，取2z =，1x ∴=-，则()1,0,2m =-，所以cos ,DH m DH m DH m ===设直线DH 与平面ACE 所成的角为θ，则sin cos ,DH m θ==21．(1)2x y =(2)存在，32λ=【分析】（1）利用导数求得切线方程2002x x y x p p =-，根据切线方程过点0,2p M ⎛⎫-⎪⎝⎭求得220x p =，再结合两点间距离公式运算求解；（2）根据题意联立方程求点B 的坐标，再分别求直线,AT BT 的方程和,E F 的坐标，代入斜率公式运算求解即可.【详解】（1）∵抛物线()2:20C x py p =>，则20,,22p x M y p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴x y p'=，设20,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则在点P 处的切线斜率0x k p =，故在点P 处的切线方程为()20002x x y x x p p -=-，即2002x x y x p p =-，∵切线过点0,2p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2022x p p -=-，解得220x p =，则2PM ===，解得12p =，故抛物线C 的方程为2x y =.（2）存在，32λ=，理由如下：由题意可得：直线AB 的方程为()121y x -=+，即23y x =+，联立方程223y x x y=+⎧⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩，即直线AB 与抛物线的交点坐标为()()1,1,3,9A B -，∵直线AT 的斜率1k t =-，故其方程为()1y t x t =-+，联立方程()21y t x t x y⎧=-+⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或2x ty t =⎧⎨=⎩，即点()2,E t t，又∵直线BT 的斜率93tk -=，故其方程为93t y x t -=+，联立方程293t y x t x y -⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或239t x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2,39t t F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故直线EF 的斜率为222933t t k t t t λ-===+，则32λ=.【点睛】存在性问题求解的思路及策略（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．22．(1)()f x 有极小值()11f a =-，无极大值(2)①证明见详解；②证明见详解【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可求极值；（2）对①：根据分析可得12ln ln x x -<12ln 0t t t-->，构建()12ln g x x x x =--，利用导数证明；对②：令11m x =，整理可得()112ln f m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，结合()g x 的单调性证明()0f m <，再结合()f x 的单调性即可证明.【详解】（1）由题意可得：()()()3222ln 121ln 2x x x f x x x x +='--=-，∵()3ln 1F x x x =+-在()0,∞+上单调递增，且()10F =，∴当01x <<时，()0F x <，当1x >时，()0F x >，即当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x ¢>，故()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，可得()f x 有极小值()11f a =-，无极大值.（2）若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >，则()110f a =-<，解得1a >，当111a <<时，则()()2422424e e 4e 0,e e 0ef a f a --=-+>=-->，结合()f x 的单调性可知：()f x 在()0,1，()1,+∞内均只有一个零点，则2101x x <<<，构建()12ln g x x x x =--，则()()22212110x g x x x x-'=-+=≥当0x >时恒成立，故()g x 在()0,∞+上单调递增，①令1t =>，则12ln ln x x -<1121ln x x x x -，等价于221ln t t t-<，等价于12ln 0t t t-->，∵()g x 在()1,+∞上单调递增，则()()10g t g >=，即12ln 0t t t-->，故12ln ln x x -<②若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >，令()110,1m x =∈，即11x m=，则()21212ln1112ln 01m f x f a a m m m m m m⎛⎫⎛⎫==--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得212ln a m m m =+，故()2222ln 12ln 112ln 2ln m mf m m a m m m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()0,1m ∈，则10m m+>，∵()g x 在()0,1上单调递增，则()()10g m g <=，即12ln 0m m m--<，∴()112ln 0f m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当()0,1m ∈时恒成立，又∵()f x 在()0,1上单调递减，且()()20f m f x <=，∴2m x >，即211x x >，故1201x x <<.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形．（2）构造新的函数h (x )．（3）利用导数研究h (x )的单调性或最值．（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。
普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学(二)及答案
普通高等学校招生全国统一考试仿真卷（二）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是（ ）A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内()i 2i -对应的点位于第三象限C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ⋅∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解 2．在下列函数中，最小值为2的是（ ）A 3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示：若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为（ ）A ．30B ．25C ．22D ．20 4．已知曲线421y x ax =++在点()()11f --，处切线的斜率为8，则()1f -=（ ） A ．7 B ．－4 C ．－7 D ．45．已知1=a ，=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A ．1 B6．某几何体由上、下两部分组成，其三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体上部分与下部分的体积之比为（ ）A 7．已知函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象的一个对称中心为,02π⎛⎫⎪⎝⎭，且142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为（ ）A ．1 C ．2 8．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 9．在ABC △中，，若2AB =，则ABC △周长的取值范围是（ ）A10．一个三棱锥A BCD -内接于球O ，且3AD BC ==，4AC BD ==，心O 到平面ABC 的距离是（ ） A11．设等差数列{}n a 满足：71335a a =，()22222244747456cos cos sin sin cos sin cos a a a a a a a a -+-=-+，公差()2,0d ∈-，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ）A ．100πB ．54πC ．77πD ．300π12．若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则）A ．()0,12B ．()0,16C ．()9,21D ．()15,25第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
高三数学模拟试卷二答案
一、选择题1. 答案：D解析：由题意可知，函数f(x)的周期为T=π，且f(0)=0，f(π)=1。
因此，f(π/2)的值应等于f(π/2-π)的值，即f(-π/2)。
由周期性，f(-π/2)=f(π/2)，故f(π/2)=0。
选项D正确。
2. 答案：A解析：设a、b为等差数列的前两项，公差为d。
根据等差数列的性质，有a+b=2a+d。
由题意可知，a+b=2，解得a=1，d=1。
因此，该等差数列的前两项为1和2，所以a^2+b^2=1^2+2^2=5。
选项A正确。
3. 答案：C解析：设函数f(x)在区间[0,2]上的最大值为M，最小值为m。
由题意可知，f(0)=0，f(2)=2。
因为函数在[0,2]上连续，所以根据极值定理，函数在[0,2]上存在最大值和最小值。
又因为f(0)=f(2)，所以最大值和最小值相等，即M=m=0。
选项C正确。
4. 答案：B解析：设a、b为等比数列的前两项，公比为q。
根据等比数列的性质，有ab=q^2。
由题意可知，a+b=1，ab=1/2。
将ab=1/2代入ab=q^2中，得到q^2=1/2。
解得q=√2或q=-√2。
因为a、b为正数，所以q=√2。
选项B正确。
5. 答案：D解析：由题意可知，函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减。
因此，函数在x=1处取得极大值。
又因为f(0)=f(2)，所以函数在x=0和x=2处取得相同的函数值。
选项D正确。
二、填空题6. 答案：3解析：设等差数列的前两项为a、b，公差为d。
由题意可知，a+b=10，ab=21。
根据等差数列的性质，有a+b=2a+d，解得a=5，d=5。
因此，等差数列的第三项为a+2d=5+25=15。
7. 答案：-4解析：设函数f(x)在x=1处的导数为f'(1)。
由题意可知，f'(1)=2。
因此，函数在x=1处的切线方程为y=2x-1。
8. 答案：√2解析：设函数f(x)在x=0处的导数为f'(0)。
2024年广西部分市高三数学第二次模拟联考试卷附答案解析
2024年广西部分市高三数学第二次模拟联考试卷（考试用时120分钟，满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若()1i 1i z -=+，则z =（）A ．1BCD ．52．已知椭圆2221142x y m m ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭的离心率为32，则2m =（）A ．2B ．4CD．3．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若22S =，346a a +=，则64S S =（）A ．2B ．74C ．3D ．1344．从1，2，3，4，5这5个数中随机地取出3个数，则该3个数的积与和都是3的倍数的概率为（）A ．15B ．25C ．310D ．7105．已知函数()()()()2ln e 2e R f x x a x a ⎡⎤=-++∈⎣⎦为偶函数，则()f x 的最小值为（）A ．2B ．0C ．1D ．ln26．已知函数()()π2sin 106f x x ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在区间()0,π上恰有两个零点，则实数ω的取值范围是（）A ．410,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．410,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,33⎛⎤ ⎥⎝⎦7．记函数()y f x =的导函数为y '，y '的导函数为y ''，则曲线()y f x =的曲率()3221y K y ''=⎡⎤+⎣⎦'．若函数为ln y x =，则其曲率的最大值为（）A ．23B ．22CD8．已知点P 为双曲线22:143x y C -=上的任意一点，过点P 作双曲线C 渐近线的垂线，垂足分别为E ，F ，则PEF !的面积为（）A ．43B ．24349C ．127D ．48349二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知实数a ，b ，c 满足a b c >>，且0a b c ++=，则下列结论中正确的是（）A ．0a b +>B ．ac bc >C ．11a b b c>--D ．()()294a cbc c <--10．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且4a =，3sin24cos24A A -=，则（）A ．ABC △的外接圆半径为5B ．若4c =，则ABC △的面积为19225C ．5320cos b c C-=D ．AB AC AB AC +-⋅ 的取值范围为)4,9⎡-⎣11．已知函数()y f x =的定义域与值域均为Q +，且()()()()()22*N x y f y f f x f y txf y t y ⎛⎫+=++∈ ⎪⎝⎭，则（）A ．()11f =B ．函数()f x 的周期为4C ．()()2Q f x x x +=∈D ．2t =三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合{}2,1,4A m =+，{}2,1B m =，若B A ⊆，则实数m =．13．设实数x ，()4y x y ≤<，满足1，3，4，x ，y ，2y +的平均数与50%分位数相等，则数据x ，y ，2y +的方差为．14．在三棱锥-P ABC 中，PAB ，PBC ，PAC △，ABC △的面积分别3，4，12，13，且APB BPC APC ∠=∠=∠，则其内切球的表面积为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数()()2252e xf x x x =-+．(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)求()f x 的单调区间与极值．16．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知2AB =，14AA =，点E ，F ，G ，H 分别在棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 上，且22BF DH AE ===，3CG =．(1)证明：F ，E ，H ，G 四点共面；(2)求平面ABCD 与平面EGH 夹角的余弦值．17．某高科技企业为提高研发成果的保密等级，设置了甲，乙，丙，丁四套互不相同的密码保存相关资料，每周使用其中的一套密码，且每周使用的密码都是从上周未使用的三套密码中等可能地随机选用一种．已知第1周选择使用甲密码．(1)分别求第3周和第4周使用甲密码的概率；(2)记前n 周中使用了乙密码的次数为Y ，求()E Y ．18．已知抛物线2:C x y =，过点()0,2E 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线C 的切线交于点P ．(1)证明：P 在定直线上；(2)若F 为抛物线C 的焦点，证明：PFA PFB ∠=∠．19．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为取整函数，取整函数是法国数学家高斯最先使用，也称高斯函数．该函数具有以下性质：①[]y x =的定义域为R ，值域为Z ；②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即[]{}{}()01x x x x =+≤<，其中[]x 为x 的整数部分，{}[]x x x =-为x 的小数部分；③[][]()n x n x n +=+∈Z ；④若整数a ，b 满足()0,,Z,0a bq r b q r r b =+>∈≤<，则a q b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.(1)解方程5615785x x +-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；(2)已知实数r 满足19202191546100100100100r r r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，求[]100r 的值；(3)证明：对于任意的正整数n ，均有()11424n n n n ⎧⎫++⎧⎫>⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭．1．C【分析】根据复数的运算法则，求得2i z =-，结合复数模的计算公式，即可求解.【详解】由复数()1i 1i z -=+，可得1i12i iz +=+=-，则z =.故选：C.2．A【分析】利用椭圆的离心率列出关系式，求解m 即可求得结果．【详解】12m >，241m ∴>，所以224a m =，21b =，2222131144b e a m ∴=-=-=，解得1m =，22m ∴=.故选：A.3．D【分析】根据24264,,S S S S S --成等比数列，得到方程，求出626S =，得到答案.【详解】由题意得2422,6S S S =-=，4286S S =+=，因为24264,,S S S S S --成等比数列，故()()242264S S S S S -=-，即()26628S =-，解得626S =，故64261384S S ==.故选：D 4．B【分析】根据题意，得到基本事件的总数为10种，再利用列举法取得所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】从1，2，3，4，5这5个数中随机地取出3个数，共有35C 10=种不同的取法；其中这3个数的积与和都是3的倍数的有：{}{}{}{}1,2,3,1,3,5,2,3,4,3,4,5，有4种取法，所以该3个数的积与和都是3的倍数的概率为42105P ==.故选：B.5．A【分析】由函数()f x 为偶函数，求得e a =，得到()22ln(e )f x x =+，结合对数函数的性质，进而求得函数的最小值，得到答案.【详解】由函数()()()222ln e 2e ln[(e)e 2e ]f x x a x x a x a ⎡⎤=-++=---+⎣⎦，可得()22ln[(e)e 2e ]f x x a x a -=+--+，因为函数()f x 为偶函数，可得2222(e)e 2e (e)e 2e x a x a x a x a ---+=+--+，可得e a =，即()22ln(e )f x x =+，当0x =时，函数()f x 取得最小值，最小值为()20ln e 2f ==.故选：A.6．D【分析】先由题意求得π6x ω+的取值范围，再利用正弦函数的性质得到关于ω的不等式，从而得解.【详解】0πx << ，ππππ666x ωω∴<+<+，因为函数()f x 在()0,π上恰好有两个零点，所以11ππ19ππ666ω<+≤，解得533ω<≤.故选：D.7．C【分析】根据定义求解y '和y ''，由曲率的定义求出曲率K ，利用导数判断单调性求出最大值.【详解】函数ln y x =的定义域为()0,∞+，1y x '=，21y x''=-，所以曲线ln y x =的曲率2322111x K x ==⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()()()()312222235222311212211x x x xx K x x +-⋅⋅+⋅-'∴==++，0x >，当202x <<时，0K '>，当22x >时，0K '<，所以当22x =时，曲率K 故选：C.8．B【分析】设点()00,P x y ，计算PE PF ⋅的乘积以及sin EPF ∠，可求出PEF !的面积.【详解】设点()00,P x y ，满足2200143x y -=，即22003412x y -=，又两条渐近线方程分别为y x=20y ±=，故有2200341277x y PE PF -⋅==，设渐近线y =的倾斜角为α，则tan α=()221tan 1cos cos πcos cos 21tan 7EPF EOF EOF ααα-∠=-∠=-∠=-=-=-+，43sin 7EPF ∠=s 1||||in 2PEF S PE PF EPF=⋅⋅∠= 故选：B9．AD【分析】根据不等式的基本性质和已知条件可逐项分析得到答案.【详解】0a b c ++=且a b c >>，则0a >，0c <，则0a b +>，A 正确；因为a b >，0c <，所以ac bc <，B 错误；因为a b c >>，0,0a b b c ->->，()()23a b b c a c b b ---=+-=-，当0b >时，0a b b c <-<-，则11a b b c>--；当0b <时，0a b b c ->->，则11a b b c <--，当0b =时，a b b c -=-，则11a b b c=--，故C 错误；因为()()()()222229911204442a c b c c a c a c c a ac c a c ⎛⎫---=----=---=-+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当12a c =-时，等号成立，此时由0a b c ++=可得12b c =-，不符合a b c >>，所以2102a c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭不成立，故2102a c ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，即()()294a c b c c --<，D 正确.故选：AD 10．BCD【分析】根据已知条件求得4sin 5A =，3cos 5A =，对A ，由正弦定理运算可判断；对B ，由4a c ==可得AC =，求得sin B ，利用三角形面积公式求解；对C ，由正弦定理可得5sin b B =，5sin c C =，可得()43sin sin cos sin 55B AC C C =+=+，代入53b c -运算可判断；对D ，由余弦定理和数量积运算法则求出35AB AC AB AC bc +-⋅= ，换元后利用三角恒等变换得到(]15,20bc ∈，求出答案.【详解】由3sin 24cos 24A A -=，可得26sin cos 8cos A A A =，因为A 为锐角，所以cos 0A ≠，所以4tan 3A =，可得4sin 5A =，3cos 5A =.对于A ，由正弦定理，4254sin 5a R A ===，52R ∴=，故A 错误；对于B ，4a c ==Q ，A C ∴=，则()4324sin sin sin 22sin cos 25525B AC A A A =+===⨯⨯=，所以1124192sin 44222525ABC S ac B ==⨯⨯⨯=V .故B 正确；对于C ，因为4a =，4sin 5A =，所以5sin aA =，5sin bB ∴=，5sin cC =，又()43sin sin cos sin 55B AC C C =+=+，435325sin 15sin 25cos sin 15sin 20cos 55b c B C C C C C ⎛⎫∴-=-=+-= ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，由余弦定理得226165b c bc =+-，即()25516bc b c =+-，又3cos 5AB AC bc A bc ⋅== ，所以3355AB AC AB AC bc bc +-⋅== ，设t =()2144AB AC AB AC f t t t +-⋅==-++ ，由正弦定理()435sin 5sin 5sin 5sin 5sin 5cos sin 55b c B C B A B B B B ⎛⎫+=+=++=++ ⎪⎝⎭()8sin 4cos B B B ϕ=+=+，其中锐角ϕ满足sin ϕϕ=ππ,22B A ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以ππ,22B A ϕϕϕ⎛⎫+∈+-+ ⎪⎝⎭，又()π34πsin cos sin 2555552A A ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫+-=-=⨯+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()sin B ϕ⎤+∈⎥⎝⎦，(8,b c ∴+∈，又()25516bc b c =+-，所以(]15,20bc ∈，从而(t ⎤∈⎦，而函数()2144f t t t =-++在(⎤⎦上单调递减，又(9f =，()84f =-，所以AB AC AB AC +-⋅ 的取值范围)4,9⎡-⎣.故D 正确.故选：BCD.11．ACD【分析】根据抽象函数的性质，巧妙利用赋值法解决.【详解】令x y =得()()()()()()2*1Z f x f x f x f x txf x t +=++∈，即()()()*11Z f x f x tx t +=++∈①，令1y =，得()()()()()()2*1111Z f f x f x f txf t +=++∈②，联立①②()11f ⇒=，故A 正确；令24x y ==，得()()()()()()2*244242Z f f f f tf t =++∈③，由①，()()()*2112Z f f t t t =++=+∈，()()()()*41331122364Z f f t f t t t t ⎡⎤=++=++++=+∈⎣⎦，将它们代入③整理可得()20t t -=，所以由*Z 2t t ∈⇒=，故D 对；由()()112f x f x x +=++可知()f x 为一元二次函数，设()2f x ax bx c =++，则有()()221121a x b x c ax bx c x ++++=++++，整理得2211,0ax a b x a b ++=+⇒==，又由()110f a b c c =++=⇒=，所以()()2+Q f x x x =∈，经验证满足题设要求，故B 错C 对，故选：ACD.【点睛】方法点睛：求两个变量的抽象函数解析式要巧妙用赋值法.12．2-【分析】根据子集关系求出可能解，再利用集合中元素的互异性求出不能取的值即可得出m 的值.【详解】因为B A ⊆，所以22m m =+或24m =，1m ⇒=-或2m =±，又由集合中元素的互异性可知21m +≠且24m +≠且21m ≠，1m ⇒≠±且2m ≠，综上2m =-.故答案为：2-.13．149##519【分析】利用平均数与分位数相等，得1y x =+，代入数据中得方差.【详解】根据题意，数据1,3,4,,,2x y y +的平均数为13426x y y ++++++，数据1,3,4,,,2x y y +的50%分位数为42x+，∴1342462x y y x+++++++=，即1y x =+，代入数据,,2x y y +，即为,1,3x x x ++，此组数据的平均数为13433x x x x ++++=+，∴数据,,2x y y +的方差为222144411612514133********x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++--++--=⨯++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故答案：14914．98π##98π【分析】根据题中所给数据特征：2222133412=++，再类比勾股定理，由面推及至空间几何体可知三棱锥-P ABC 是一个墙角模型，所以π2APB BPC APC ∠=∠=∠=，设PA=x ，PB=y ，PC=z ，则可由题中所给面积数据求出侧棱长，再依据内切球公式3RV S =表计算相关量即可求出内切球.【详解】因为2222133412=++，所以类比勾股定理由面推及到空间几何体可知三棱锥-P ABC 是一个墙角模型，所以π2APB BPC APC ∠=∠=∠=，设三棱锥的三条侧棱PA ，PB ，PC 长分别为PA=x ，PB=y ，PC=z ，则由题意有6824xy yz xz =⎧⎪=⎨⎪=⎩①，所以有()26824672xyz =⨯⨯=，xyz ⇒=，所以代入①式x y z ⇒===所以111332P ABC A PBC PBC V V S PA PB PC PA --==⨯=⨯⨯⨯⨯= ，设三棱锥的内切球半径为R ，则P ABC O ABC O PAB O PBC O PAC V V V V V -----=+++1111····3333ABC PAB PBC PAC S R S R S R S R =+++ ()3234121333R R=⨯+++=，所以323R =8R ⇒=，所以内切球的表面积为294π8S R π==.故答案为：9π8.15．(1)320x y +-=(2)单调递增区间为(),1-∞-和3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭；极大值为9e ，极小值为32e -【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）由函数的导数判断正负，即可判断函数的单调性，继而判断出函数极值点，求得极值.【详解】（1）由()()2252e x f x x x =-+，可知()()223e xf x x x '=--，所以()003e 3f '=-=-，又()02f =，所以()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为23(0)y x -=--，即320x y +-=；（2）()()()()223e 123e x xf x x x x x =--=+-'，()f x 的定义域为R ，由()0f x '=，得32x =，或=1x -，当1x <-或32x >时，()0f x ¢>，()f x 在3(,1),(,)2-∞-+∞上均单调递增；当312x -<<时，()0f x '<，()f x 在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；单调递减区间为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，故函数()f x 在=1x -处取得极大值，极大值为()91ef -=；在32x =处取得极小值，极小值为32e -.16．(1)证明见解析；.【分析】（1）以点A 为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标表示及运算可得,,EG EF EH共面，即可推理得解.（2）由（1）中坐标系，求出两个平面的法向量，进而求出平面与平面所成角的余弦.【详解】（1）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，以点A 为原点，直线1,,AB AD AA 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，则(2,0,2),)(22(0,0,1)),,3,,(0,,2E H F G ，(2,2,2),(0,2,1)(2,0,1),E E F G EH ===，因此EG EF EH =+，即,,EG EF EH 共面，又,,EG EF EH 有公共点E ，所以F ，E ，H ，G 四点共面.（2）由（1）知，()0,0,0A ，()10,0,4A ，()0,2,1EH = ，()2,2,2EG =，设平面EGH 的法向量(),,m x y z = ，则202220m EH y z m EG x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1y =，得()1,1,2m =- ，而平面ABCD 的法向量为()10,0,4AA =，则111cos ,||||m AA m AA m AA ⋅〈=〉==所以平面ABCD 与平面EGH17．(1)第3周和第4周使用甲密码的概率分别为13和29(2)()3114163nn E Y ⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据题干分析第四周使用甲密码的情况，用全概率公式即可求解；（2）根据第1k +周与第k 使用甲密码的概率的关系，利用递推关系，结合数列知识，得到第k 使用甲密码的概率，从而得到前n 周中使用了甲密码的次数的数学期望，再由四套密码地位相同得到前n 周中使用了乙密码的次数的数学期望()E Y .【详解】（1）设第k 周使用甲密码的概率为k a ，因为11a =，20a =，所以313a =，()433120139=⨯+-⨯=a a a ，所以第3周和第4周使用甲密码的概率分别为13和29．（2）因为第k 周使用甲密码的概率为k a ，则第1k +周使用甲密码的概率为()1113k k a a +=-，整理得1111434k k a a +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，因为11a =，所以113044a -=≠，所以数列14k a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以34为首项，公比为13-的等比数列，所以1131443k k a -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，即1311434k k a -⎛⎫=⨯-+⎪⎝⎭．设第k 周使用甲密码的次数为()1,2,,k X k n =⋅⋅⋅，则k X 服从01-分布，所以()()()()()1212n n E X E X X X E X E X E X =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+121139131144163413nnn n n a a a ⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+=⨯+=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+．所以前n 周中使用甲密码次数的均值()9111634nnE X ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又因为乙、丙、丁地位相同，所以()()31134163nn E X n E Y ⎡⎤-⎛⎫==+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．18．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）设出()211,A x x ，()222,B x x ，求出直线AB 的方程，与抛物线联立，由PA 与PB 都和抛物线相切，得到两条切线的方程联立证明即可；（2）要证PFA PFB ∠=∠．即证FA FP FB FPFA FB⋅⋅= ，求出向量的坐标证明即可.【详解】（1）证明：设()211,A x x ，()222,B x x，则22121212ABx x kx x x x -==+-，直线AB 的方程为()()21121y x x x x x -=+-，即()1212y x x x x x =+-，又因为直线AB 过点()0,2E ，所以122x x -=，即122x x =-，设直线PA 的方程为()211y x k x x -=-，与抛物线方程2y x =联立，解得1x x =或1x k x =-，又因为直线PA 与抛物线相切，所以11x k x =-，即12k x =，所以直线PA 的方程为()21112y x x x x -=-，即2112y xx x =-，同理直线PB 的方程为2222y xx x =-，由21122222y xx x y xx x ⎧=-⎨=-⎩，解得1212,2x x P x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，即12,22x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，故点P 在直线=2y -上．（2）证明：∵cos FA FP PFA FA FP⋅∠=⋅，cos FB FP PFB FB FP⋅∠=⋅ ，注意到两角都在()0,π内，可知要证PFA PFB ∠=∠．即证FA FP FB FPFA FB⋅⋅= .而2111,4FA x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，129,24x x FP +⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，所以()22121119174124416x x FA FP x x x +⎛⎫⋅=⋅--=-+ ⎪⎝⎭ ，又2114FA x ==+ ，所以()2121741716144x FA FP FA x -+⋅==-+，同理74FB FP FB ⋅=- ，即有FA FP FB FPFA FB⋅⋅= ，故PFA PFB ∠=∠．19．(1)715x =或45x =(2)743(3)证明见解析【分析】（1）令()157Z 5x n n -=∈，则方程可化为103940n n +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，根据高斯函数的定义，即可求解得答案；（2）设[]r n =，则可判断19202191,,,,100100100100r r r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦中n 以及1n +的个数，从而可得35773kn -=+，结合高斯函数定义，即可求得答案；（3）由所要证明不等式的形式，可构造不等式，当3n ≥时，有()1124424n n n n n +++<<-成立；设()1403,Z n q r r q +=+≤<∈，推出()114424n n r r q q n +++<<+-，从而得到()114424n n r r n ⎧⎫++<<⎨⎬-⎩⎭，再结合当1n =，2时，不等式成立，即可证明结论.【详解】（1）令()157Z 5x n n -=∈，则5715n x +=，∴561039840x n n ++⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又由高斯函数的定义有10390140n n +≤-<，解得：1133010n -<≤，则0n =或1n =，当0n =时，则715x =；当1n =时，则45x =；（2）设[]r n =，设19100r ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，20100r ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，21100r ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，…，91100r ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦中有k 个为1n +，()73k -个n ，()073k ≤≤，据题意知：()()731546k n k n -++=，则有35773kn -=+，解得:35k =，7n =，所以568100r +<，578100r +≥，即743100744r ≤<，故[]100743r =；（3）证明：由()11424n n n n ⎧⎫++⎧⎫>⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭的形式，可构造不等式，当3n ≥时，有()1124424n n n n n +++<<-；设()1403,n q r r q +=+≤<∈Z ，则有()114424n n r r q q n +++<<+-，从而()114424n n r r n ⎧⎫++<<⎨⎬-⎩⎭，而144n r q +=+，则144n r +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，∴()11424n n n n ⎧⎫++⎧⎫>⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭，又当1n =，2时，经检验原式成立，故对一切的自然数n ，原式成立.【点睛】难点点睛：本题考查了函数新定义，即高斯函数的应用问题，难度较大，解答的难点在于（3）中不等式的证明，解答时要理解高斯函数的性质，并能构造不等式，3n ≥时，有()1124424n n n n n +++<<-，进行证明.。
2023年上海16区(浦东徐汇杨浦闵行等)数学高考二模专题汇编2 函数及其应用含详解
15. （宝山）若幂函数 y x 的图像经过点
1
16.（虹口）函数 y lg x 1
x2 4
3
3，
3 ，则此幂函数的表达式为
的定义域为________.
17. （虹口）对于定义在 R 上的奇函数 y f x ，当 x 0 时， f x 2 x
f x
x
C x3 , t x1 x2 x3 ，求证： x1 ， x2 ， x3 成等比数列.
27．
（静安）
（本题满分 18 分，本题共有 3 个小题，第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 6 分，第(3)小题满分 8 分）
已知函数 f ( x )
1 2
x ( a 1) x a ln x .（其中 a 为常数）
设 y f ( x )、y g ( x ) 是定义域为 R 的函数，当 g ( x1 ) g ( x2 ) 时，
记 ( x1 , x2 )
f ( x1 ) f ( x2 )
．
g ( x1 ) g ( x2 )
（1）已知 y g ( x ) 在区间 I 上严格增，且对任意 x1 , x2 I ， x1 x2 ，有 ( x1 , x2 ) 0 ，
9
，则该函数的值域为_____
2 1
x
二、选择题
18. （宝山）已知定义在 R 上的偶函数 f x x m 1 2 ，若正实数 a 、 b 满足 f a f 2b m ，则
最小值为
A.
（
9
5
B. 9
C.
8
5
）
D. 8
19. （杨浦）下列函数中，既是偶函数，又在区间 , 0 上严格递减的是（
2024年新高考九省联考高三第二次模拟数学试题及答案
2024年高考第二次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合(){}{}ln 3,1A x y x Bx x ==−=≤−，则()A B =R （ ）A ．{}13x x −<≤B ．{}1x x >− C ．{1x x ≤−,或}3x >D ．{}3x x >2.已知复数i z a b =+（a ∈R ，b ∈R 且a b ），且2z 为纯虚数，则zz=（ ） A ．1B ．1−C ．iD ．i −3.已知向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b + 在向量()0,1j = 上的投影向量为（ ）A ． jB ． j −C ． 2jD ． 2j −4. “1ab >”是“10b a>>”（ ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ） A ．60 B ．114 C ．278 D ．3366.已知D ：222210x y ax a +−−−=，点()3,0P −，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（ ） A ． ()5,11,3 −−∪−+∞B ． [)5,1,3−∞−∪+∞C ． (][) ,21,−∞−∪+∞D ． [)()2,11,−−−+∞7.已知ABC ∆中，60BAC ∠=°，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC ，则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为（ ） A ． 4πB ． 6πC ． 8πD ． 9π8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G 的四边均与椭圆22:164x y M +=相切，则下列说法错误的是（ ）A ．椭圆MB ．椭圆M 的蒙日圆方程为2210x y +=C ．若G 为正方形，则G 的边长为D ．长方形G 的面积的最大值为18二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得60分．9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点，则下列结论正确的是（ ） A ．MN 的最小值是6 B ．若点5,22P，则MF MP +的最小值是4C ．113MF NF+= D ．若18MF NF ⋅=，则直线MN 的斜率为1± 10.已知双曲线()222:102x y E a a−=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（ ）A ． 若E 的两条渐近线相互垂直，则a =B． 若E E 的实轴长为1C ． 若1290F PF ∠=°，则124PF PF ⋅=D ． 当a 变化时，1F PQ 周长的最小值为11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（ ） A ．11B D 与EF 是异面直线B ．存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APBC ．1A F 与平面1B EBD ．点1B 到平面1A EF 的距离为45三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式nx+的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为13.若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.14. 若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +−=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对于任意的*n ∈N 都有321n n S a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项中的最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，求数列{}n b 的前20项和20T ．16．（15分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X 表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n 表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.（1）求X 的分布列；（2）若满足()0.6P X n ≥≤的n 的最小值为0n ，求0n ；（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较01nn =−与0n n =哪种方案更优.17．（15分）如图,在三棱柱111ABC A B C −中,直线1C B ⊥平面ABC,平面11AA C C ⊥平面11BB C C .(1)求证:1AC BB ⊥;(2)若12AC BC BC ===,在棱11A B 上是否存在一点P ,使二面角1P BC C −−?若存在,求111B PA B 的值;若不存在,请说明理由.18．（17分）已知函数()ln =−+f x x x a ．(1)若直线(e 1)yx =−与函数()f x 的图象相切，求实数a 的值； (2)若函数()()g x xf x =有两个极值点1x 和2x ，且12x x <，证明：12121ln()x x x x +>+．（e 为自然对数的底数）．19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q,P 的距离之比()||0,1,||MQ MP λλλλ=>≠是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为224x y +=,定点分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点F 与右顶点A,且椭圆C 的离心率为1.2e = (1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于B ,D(点B 在x 轴上方),点S,T 是椭圆C 上异于B,D 的两点，SF 平分,BSD TF ∠平分.BTD ∠（1）求||||BF DF 的取值范围；（2）将点S 、F 、T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为818π,求直线l 的方程.2024年高考第二次模拟考试高三数学全解全析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．{13x x −<≤B ．{1x x >− C.{1x x ≤−,或}3x >D ．{3x x >【答案】B【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可， 【详解】由题意得{}3A x x =>，{}1B x x =≤−，又{}1B x x =>−R 则(){}1A B x x ∪=>−R ，故选：B.A ．1B ．1−C ．iD ．i −【答案】D【分析】利用复数的概念及四则运算法则运算即可求解.【详解】因为i z a b =+，所以()2222(i)2i z a b a b ab =+=−+，又因为2z 为纯虚数，所以2220a b ab −= ≠，即0a b =≠（舍）或0a b =−≠， 所以i z a a =−，所以i z a a =+， 所以2i 1i (1i)i i 1i (1i)(1i)z a a a a z −−−====−+++−. 故选：D3.已知向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为（ ）A. jB. j −C. 2jD. 2j −【答案】C 【解析】【分析】根据a 与b 共线，可得240t −−=，求得2t =−，再利用向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为()a b j jj j+⋅⋅ ，计算即可得解. 【详解】由向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a与b共线，则240t −−=，所以2t =−，(1,2)a b +=−，所以向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为： ()(1,2)(0,1)21a b j j j j j j+⋅−⋅⋅=⋅=， 故选：C4. “1ab >”是“10b a>>”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当0a >时，由1ab >，可得10b a>>， 当a<0时，由1ab >，得10b a<<； 所以“1ab >”不是“10b a>>”的充分条件. 因为01010a b ab a a>>>⇔− > ，所以1ab >， 所以“1ab >”是“10b a>>”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题. 5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ） A.60 B.114 C.278 D.336【答案】D【解析】命题意图 本题考查排列与组合的应用.录用3人，有 353360C A = 种情况；录用4 人，有 4232354333162C C A C A −=种情况；录用 5 人，有12323331345333333225)4(C C A C A (C A C A )11A −+−=种情况.所以共有336种.6.已知D ：222210x y ax a +−−−=，点()3,0P −，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（ ） A. ()5,11,3 −−∪−+∞B. [)5,1,3−∞−∪+∞C. (][) ,21,−∞−∪+∞D. [)()2,11,−−−+∞【答案】B 【解析】【分析】D 的圆心坐标为(),0D a ，半径为1ra =+,要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=°,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，故sin sin 30rMPD PD∠=≥°，由此可求解. 【详解】D 的标准方程为()()2221x a y a −+=+，圆心坐标为(),0D a ，半径为1ra =+.因为,PM PN MD ND ==，所以PMD PND ≅△△.所以30MPD NPD ∠=∠=°.要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形， 则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=°,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，此时30MPD ∠≥°，故1sin sin 302r MPDPD ∠=≥°=，即()1132a a +≥+，整理得23250a a +−≥，解得[)5,1,3a∈−∞−∪+∞.故选:B.7.已知ABC 中，60BAC ∠=°，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC ，则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为（ ） A. 4π B. 6πC. 8πD. 9π【答案】B 【解析】【分析】根据题意得PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，则∠ACB ＝90°，结合图形找出△ABC 的外接圆圆心与三棱锥−P ABC 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积． 【详解】三棱锥−P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，设直线PQ 与平面ABC 所成角为θ，∵sin θ，∴sin PA PQ θ==≤PQ ≥即PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1， 直角三角形△ABQ 中，AB ＝2，所以∠BAQ =60°,又∠BAC ＝60°， 所以,A Q 重合，则∠ACB ＝90°， 则△ABC 的外接圆圆心M 为AB 的中点，又PA ⊥平面ABC ，从而外接球的球心O 为PB 的中点，外接球的半径R OB =，∴三棱锥−P ABC 的外接球的表面积224π4π6πS R ==×=．故选：B ．8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相【分析】由椭圆标准方程求得,a b 后再求得c ，从而可得离心率，利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，从而可得长方形边长的关系，结合基本不等式得面积最大值，并得出长方形为正方形时的边长．【详解】由椭圆方程知a =2b =，则c ，离心率为e =A 正确；当长方形G 的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为4，因此蒙，圆方程为2210x y +=，B 正确； 设矩形的边长分别为,m n ，因此22402m n mn +=≥，即20mn ≤，当且仅当m n =时取等号，所以长方形G 的面积的最大值是20，此时该长方形G 为正方形，边长为C 正确，D 错误． 故选：D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点，则下列结论正确的【分析】A ，根据12||=MN x x p ++结合基本不等式即可判断；B ，由抛物线定义知当,,P M A 三点共线时MF MP +；C ，D ，设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理即可求解.【详解】对A ，设112212(,),(,),(,0)M x y N x y x x >， 因为这些MN 倾斜角不为0， 则设直线MN 的方程为32x ky =+，联立抛物线得2690y ky −−=， 则12126,9y y k y y +=⋅=−，所以()()221212121212399363,244k x x k y y k x x k y y y y ∴+=++=+=+++=， 则212||=3666MN x x k ++=+≥（当且仅当0k =时等号成立），A 正确； 对B ，如图MA ⊥抛物线准线，MF MP MA MP +=+要使其最小， 即,,P M A 三点共线时取得最小值，即53||422MF MP MA MP PA +=+==+=，B 正确； 对C ，由()121212311||||239||||||||324x x NF MF MF NF MF NF x x x x ++++===+++，C 错误； 对D ，1212123339()()()2224MF NF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++2293993(63)(63)1842422k k =+++=++=，解得1k =±,D 正确故选：ABD.10.已知双曲线()222:102x y E a a −=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（ ） A. 若E的两条渐近线相互垂直，则a =B. 若EE 的实轴长为1C. 若1290F PF ∠=°，则124PF PF ⋅= D. 当a 变化时，1F PQ周长的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，b =，A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以1,ba b a===，故A 正确；B 选项，若E的离心率为c e a ==， 解得1a =，所以实轴长22a =，故B 错误；C 选项，若1290F PF ∠=°，则122221224PF PF a PF PF c −=+=， 整理得222121224448,4PF PF c a b PF PF ⋅=−==⋅=，故C 正确； D 选项，根据双曲线的定义可知，121222PF PF a QF QF a −=−= ，两式相加得11114,4PF QF PQ a PF QF a PQ +−=+=+， 所以1F PQ 周长为42a PQ +，当12PQ F F ⊥时，PQ 取得最小值224b a a=，所以8424a PQ a a +≥+≥， 当且仅当84a a=，即a = 所以1F PQ周长的最小值为D 正确. 故选：ACD11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（ ）【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，根据112B D EF = 得到11B D 与EF 平行；B 选项，先求出242,,333P，得到平面1APB 的法向量()1,0,1m =− ，根据数量积为0得到BC m ⊥ ，得到BC //平面1APB ；C 选项，先求出1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值，进而求出余弦值；D 选项，求出平面1A EF 的法向量，根据点到平面距离公式求出答案.【详解】A 选项，以A 作坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()()()1112,0,2,0,2,2,2,1,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0B D E F A B C ，则()()112,2,0,1,1,0B D EF =−=− ，由于112B D EF =，故11B D 与EF 平行，A 错误； B 选项，设(),,P x y z ，因为12A P PF =，所以()()2,,21,2,x y z x y z −−−−=，即224222x xy y z z =− =− −=−，解得242,,333x y z ===，故242,,333P ， 设平面1APB 的法向量为(),,m a b c =，则()()()1242242,,,,0333333,,2,0,2220m AP a b c a b c mAB a b c a c ⋅=⋅=++=⋅=⋅=+= ， 令1a =，则0,1b c ==−，则()1,0,1m =−， 因为()()0,2,01,0,10BC m ⋅=−= ，故BC m ⊥ ，BC //平面1APB ， 故存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB ，B 正确；C 选项，平面1B EB 的法向量为()1,0,0n =，故1A F 与平面1B EB则1A F 与平面1B EBC 正确；D 选项，设平面1A EF 的法向量为()1111,,n x y z =，则()()()()11111111111111,,2,1,2220,,1,1,00n A E x y z x y z n EF x y z x y ⋅⋅−+− ⋅=⋅−=−+= ， 令11x =，则1131,2y z ==，故131,1,2n = ， 则点1B 到平面1A EFD 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式nx+的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为【答案】240 【解析】【详解】因为二项式nx+ 的展开式中二项式系数之和为64，所以264n =，得6n =，所以二项式为6x+，则二项式展开式的通项3662166C C 2r r r r r rr T x x −−+=， 令第1r +项的系数最大，则11661166C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r −−++ ≥ ≥ ，解得111433r ≤≤， 因为N r ∈，所以4r =，则二项展开式中系数最大的项为36444256C 2240T x −×==，所以填24013.若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.【答案】0 【解析】【详解】注意到，()cos f x a x =+′.若函数()f x 上存在两条切线垂直，则存在1x 、2x R ∈，使得()()()()12121cos cos 1f x f x a x a x ′′=−⇔++=−()21212cos cos cos cos 10a a x x x x ⇔+++⋅+=221212cos cos cos cos 1022x x x x a +−⇔++−=12cos cos 1,0x x a ⇔=−=±=.故答案为014. 若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +−=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.【答案】2+ 【解析】【分析】根据抛物线的定义求得求出11,22A D AB y CD y =+=+，当l y ⊥轴时，则1D Ay y ==，可求3AB CD +的值；当直线方程为()1x n y =−时，代入抛物线方程，根据韦达定理结合基本不等式求得此时3AB CD +的最小值，即可得结论． 【详解】解：如图，其中抛物线214y x =的焦点坐标为()0,1F ，抛物线的准线方程为：1y =−，圆()22114x y +−=的半径12r =又抛物线的定义可得：1,1A D AF y DF y =+=+，又11,22A D AB AF BF y CD DF CF y =−=+=−=+，当l y ⊥轴时，则1A Dy y ==，所以113131622AB CD+=+++=； 当l 不垂直于y 轴时，设l 的方程为：()1x n y =−，代入抛物线方程得：()2222240n y n y n −++=， 所以2224,1A D A D n y y y y n++=⋅=。
全国二卷高三模拟试卷数学
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f(x)的零点个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个2. 在等差数列{an}中，a1 = 2，d = 3，则前10项的和S10是（）A. 140B. 150C. 160D. 1703. 已知复数z = 1 + i，则|z|^2的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 在△ABC中，a=3，b=4，c=5，则△ABC的面积S是（）A. 3√3B. 4√3C. 6√3D. 8√35. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1)的值是（）A. -5B. -2C. 1D. 46. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点Q的坐标是（）A. (3,2)B. (2,3)C. (3,3)D. (2,2)7. 若等比数列{an}中，a1 = 2，公比q = 3，则第5项a5的值是（）A. 243B. 81C. 27D. 98. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，则f(-1)的值是（）A. 0B. 1C. 2D. 39. 在等差数列{an}中，a1 = 5，d = -2，则前n项和的最大值是（）A. 0B. 5C. 10D. 1510. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，cosA=1/2，则c的值是（）A. 5B. 6C. 7D. 811. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1，则f'(1)的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 512. 在直角坐标系中，直线y=2x+1与圆x^2 + y^2 = 4相交于点A、B，则弦AB的长度是（）A. 2√5B. 2√3C. 2√2D. 2二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(-1) = 0，f(1) = 3，则f(0) =________。
高考数学模拟题复习试卷高三年级第二次质量调研数学试卷(理)2
高考数学模拟题复习试卷高三年级第二次质量调研数学试卷（理）一、填空题（本大题有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分．1.已知集合},2||{R ∈≤=x x x A ,},01{2R ∈≥-=x x x B ,则=B A ________．2.抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________．3.若(1i)i 2i a b +=-,其中a 、b R ∈,i 是虚数单位,则|i |a b +=_________．4.已知函数xx g 2)(=,若0>a ,0>b 且2)()(=b g a g ,则ab 的取值范围是_______．5.设等差数列{}n a 满足115=a ,312-=a ,{}n a 的前n 项和n S 的最大值为M ,则lg M =__________．6.若8822108...)(x a x a x a a x a ++++=-（R ∈a ）,且565=a ,则=++++8210...a a a a_______________．7.已知对任意*N ∈n ,向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++n n n n n a a a a d 211,41都是直线x y =的方向向量,设数列}{n a 的前n 项和为n S ,若11=a ,则=∞→n n S lim _____________．8.已知定义在R 上的单调函数)(x f 的图像经过点)2,3(-A 、)2,2(-B ,若函数()f x 的反函数为)(1x f -,则不等式51)2(21<+--x f 的解集为．9.已知方程1cos 3sin +=+m x x 在[0,π]x ∈上有两个不相等的实数解,则实数m 的取 值范围是____________．10.随机变量ξ的分布列如下表所示,其中a ,b ,c 成等差数列,若31=ξE ,则D ξ的值 是___________．11.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张．则不同取法的种数为__________．12.在平面直角坐标系xOy 中,点),(P P y x P 和点),(Q Q y x Q 满足⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=,,P P Q P P Q y x y y x x 按此规则由点P 得到点Q ,称为直角坐标平面的一个“点变换”．在此变换下,m OQ =||, x1- 0 1 P )(x =ξabc向量OP 与OQ 的夹角为θ,其中O 为坐标原点,则θsin m 的值为____________． 13.设定义域为R 的函数⎩⎨⎧≤-->=,0,2,0,|lg |)(2x x x x x x f 若关于x 的函数1)(2)(22++=x bf x f y 有8个不同的零点,则实数b 的取值范围是____________．14.把正整数排列成如图甲三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列{}n a ,若2015=n a ,则n =________．二．选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分． 15.在△ABC 中,“21sin =A ”是“6π=A ”的……………………………………（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16.已知平面直角坐标系内的两个向量)2,1(=→a ,)23,(-=→m m b ,且平面内的任一向量→c 都可以唯一的表示成→→→+=b a c μλμλ,(为实数）,则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2,)-∞+∞17.极坐标方程0))(1(=--πθρ（0≥ρ）表示的图形是…………………………（ ）A ．两个圆B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线18.在四棱锥ABCD V -中,1B ,1D 分别为侧棱VB ,VD 的中点,则四面体11CD AB 的体积与四棱锥ABCD V -的体积之比为……………………………………………（ ） A ．6:1 B ．5:1 C ．4:1 D ．3:1三、解答题（本大题共有5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分．在△ABC 中,已知12cos 2sin22=++C BA ,外接圆半径2=R ． （1）求角C 的大小； （2）若角π6A =,求△ABC 面积的大小. 20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分．如图,四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形,⊥PD 平面ABCD ,2==AD PD ,︒=∠60BAD ,E 为BC 的中点．（1）求证：⊥ED 平面PAD ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角大小的余弦值．21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分9分．某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数)(x f 与时刻x （时）的关系为4321)(2++-+=a a x x x f ,)24,0[∈x ,其中a 是与气象有关的参数,且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0a ．若用每天)(x f 的最大值为当天的综合污染指数,并记作)(a M ．（1）令12+=x xt ,)24,0[∈x ,求t 的取值范围；（2）求)(a M 的表达式,并规定当2)(≤a M 时为综合污染指数不超标,求当a 在什么范围内时,该市市中心的综合污染指数不超标．22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分．已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的左、右焦点分别为1F 、2F ,点B ),0(b ,过点B 且与2BF 垂直的直线交x 轴负半轴于点D ,且→=+02221D F F F ．（1）求证：△21F BF 是等边三角形；（2）若过B 、D 、2F 三点的圆恰好与直线l ：033=--y x 相切,求椭圆C 的方程；EPACD（3）设过（2）中椭圆C 的右焦点2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与C 交于P 、Q 两点,M 是点P 关于x 轴的对称点．在x 轴上是否存在一个定点N ,使得M 、Q 、N 三点共线,若存在,求出点N 的坐标；若不存在,请说明理由．23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分．已知数列}{n a 中,31=a ,52=a ,}{n a 的前n 项和为n S ,且满足11222---+=+n n n n S S S （3≥n ）．（1）试求数列{}n a 的通项公式；（2）令112+-⋅=n n n n a a b ,n T 是数列}{n b 的前n 项和,证明：61<n T ；（3）证明：对任意给定的⎪⎭⎫ ⎝⎛∈61,0m ,均存在*∈N 0n ,使得当0n n ≥时,（2）中的m T n >恒成立．高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1．（5分）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2] C．（﹣2，1） D．[﹣2，1）2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z•=4，则a=（）A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q4．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．65．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知xi=22.5，yi=160，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160 B．163 C．166 D．1706．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，07．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜8．（5分）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2 的图象与y=+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞） C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=．12．（5分）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．13．（5分）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为．15．（5分）若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为．①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f （）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．19．（12分）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…Pn+1（xn+1，n+1）得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn+1所围成的区域的面积Tn．20．（13分）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，动直线l：y=k1x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC 的斜率为k2，且k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1．（5分）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2] C．（﹣2，1） D．[﹣2，1）【分析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得A和B，即可求得A∩B．【解答】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y=的定义域[﹣2，2]，由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1），则A∩B=[﹣2，1），故选：D．【点评】本题考查函数定义的求法，交集及其运算，考查计算能力，属于基础题．2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z•=4，则a=（）A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D．【分析】求得z的共轭复数，根据复数的运算，即可求得a的值．【解答】解：由z=a+i，则z的共轭复数=a﹣i，由z•=（a+i）（a﹣i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，∴a的值为1或﹣1，故选：A．【点评】本题考查共轭复数的求法，复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】由对数函数的性质可知命题p为真命题，则￢p为假命题，命题q是假命题，则￢q是真命题．因此p∧￢q为真命题．【解答】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选：B．【点评】本题考查命题真假性的判断，复合命题的真假性，属于基础题．4．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．6【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是由解得的点A的坐标，代入目标函数求出最大值．【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y=﹣x+z在y轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为zmax=﹣3+2×4=5．故选：C．【点评】本题考查了线性规划的应用问题，是中档题．5．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知xi=22.5，yi=160，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160 B．163 C．166 D．170【分析】由数据求得样本中心点，由回归直线方程必过样本中心点，代入即可求得，将x=24代入回归直线方程即可估计其身高．【解答】解：由线性回归方程为=4x+，则=xi=22.5，=yi=160，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线方程样本中心点，则=﹣4x=160﹣4×22.5=70，∴回归直线方程为=4x+70，当x=24时，=4×24+70=166，则估计其身高为166，故选：C．【点评】本题考查回归直线方程的求法及回归直线方程的应用，考查计算能力，属于基础题．6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案．【解答】解：当输入的x值为7时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，满足b2＞x，故输出a=1；当输入的x值为9时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，不满足b2＞x，满足x能被b整数，故输出a=0；故选：D．【点评】本题考查的知识点是程序框图，难度不大，属于基础题．7．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜【分析】a＞b＞0，且ab=1，可取a=2，b=．代入计算即可得出大小关系．【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b=．则=4，==，log2（a+b）==∈（1，2），∴＜log2（a+b）＜a+．故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A．B．C．D．【分析】计算出所有情况总数，及满足条件的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有=36种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有=20种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P==，故选：C．【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，难度不大，属于基础题．9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可．【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a．故选：A．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力．10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2 的图象与y=+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞） C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞）【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得：y=（mx﹣1）2 为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，②、当m＞1时，有＜1，结合图象分析两个函数的单调性与值域，可得m的取值范围，综合可得答案．【解答】解：根据题意，由于m为正数，y=（mx﹣1）2 为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，函数y=+m为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2 为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②、当m＞1时，有＜1，y=（mx﹣1）2 在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，解可得m≤0或m≥3，又由m为正数，则m≥3；综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；故选：B．【点评】本题考查函数图象的交点问题，涉及函数单调性的应用，关键是确定实数m的分类讨论．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=4．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1=（3x）r=3r xr．∵含有x2的系数是54，∴r=2．∴=54，可得=6，∴=6，n∈N*．解得n=4．故答案为：4．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（5分）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【解答】解：【方法一】由题意，设=（1，0），=（0，1），则﹣=（，﹣1），+λ=（1，λ）；又夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=﹣λ=2××cos60°，即﹣λ=，解得λ=．【方法二】，是互相垂直的单位向量，∴||=||=1，且•=0；又﹣与+λ的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=|﹣|×|+λ|×cos60°，即+（﹣1）•﹣λ=××，化简得﹣λ=××，即﹣λ=，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．13．（5分）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为2+．【分析】由三视图可知：长方体长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1圆柱的，根据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积．【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2=×π×12×1=，则该几何体的体积V=V1+2V1=2+，故答案为：2+．【点评】本题考查利用三视图求几何体的体积，考查长方体及圆柱的体积公式，考查计算能力，属于基础题．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为y=±x．【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，∴yA+yB=，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴yA+yB+2×=4×，∴=p，∴=．∴该双曲线的渐近线方程为：y=±x．故答案为：y=±x．【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为①④．①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．【分析】把①②代入exf（x），变形为指数函数判断；把③④代入exf（x），求导数判断．【解答】解：对于①，f（x）=2﹣x，则g（x）=exf（x）=为实数集上的增函数；对于②，f（x）=3﹣x，则g（x）=exf（x）=为实数集上的减函数；对于③，f（x）=x3，则g（x）=exf（x）=ex•x3，g′（x）=ex•x3+3ex•x2=ex（x3+3x2）=ex•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，∴g（x）=exf（x）在定义域R上先减后增；对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=exf（x）=ex（x2+2），g′（x）=ex（x2+2）+2xex=ex（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，∴g（x）=exf（x）在定义域R上是增函数．∴具有M性质的函数的序号为①④．故答案为：①④．【点评】本题考查函数单调性的性质，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f （）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣，]时g（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）=sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣），又f（）=sin（ω﹣）=0，∴ω﹣=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x﹣），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+﹣）的图象，∴函数y=g（x）=sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x=﹣时，g（x）取得最小值是﹣×=﹣．【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；（Ⅱ）法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEGH为菱形，取AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大小．法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣AG﹣C的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，∴AE=GE=AC=GC=．取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC为所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM=．在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°．解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（﹣1，，0），故，，．设为平面AEG的一个法向量，由，得，取z1=2，得；设为平面ACG的一个法向量，由，可得，取z2=﹣2，得．∴cos＜＞=．∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题．18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．【分析】（1）利用组合数公式计算概率；（2）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．【解答】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P（M）==．（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==．∴X的分布列为X 0 1 2 3 4PX的数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×=2．【点评】本题考查了组合数公式与概率计算，超几何分布的分布列与数学期望，属于中档题．19．（12分）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…Pn+1（xn+1，n+1）得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn+1所围成的区域的面积Tn．【分析】（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；（II）从各点向x轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可．【解答】解：（I）设数列{xn}的公比为q，则q＞0，由题意得，两式相比得：，解得q=2或q=﹣（舍），∴x1=1，∴xn=2n﹣1．（II）过P1，P2，P3，…，Pn向x轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，…，Qn，记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn，则bn==（2n+1）×2n﹣2，∴Tn=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①∴2Tn=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②①﹣②得：﹣Tn=+（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1=+﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣+（1﹣2n）×2n﹣1．∴Tn=．【点评】本题考查了等比数列的性质，错位相减法求和，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【分析】（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，可得f′（π）=2π即为切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程．（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx），可得h′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，可得函数u（x）在R上单调递增．由u（0）=0，可得x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．对a分类讨论：a≤0时，0＜a＜1时，当a=1时，a＞1时，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．【解答】解：（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）h′（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）+ex（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．（1）a≤0时，ex﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．（2）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（lna，0）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（0，lna）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna），（0，+∞）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna 时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h （x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法、不等式的解法、三角函数求值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，动直线l：y=k1x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC 的斜率为k2，且k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．【分析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M的半径r，则r=．由题意设知．得到直线OC的方程，与椭圆方程联立，求得C点坐标，可得|OC|，由题意可知，sin=．转化为关于k1的函数，换元后利用配方法求得∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，解得a=，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得．由题意得△=＞0．，．∴|AB|=．由题意可知圆M的半径r为r=．由题意设知，，∴．因此直线OC的方程为．联立，得．因此，|OC|=．由题意可知，sin=．而=．令t=，则t＞1，∈（0，1），因此，=≥1．当且仅当，即t=2时等式成立，此时．∴，因此．∴∠SOT的最大值为．综上所述：∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．【点评】本题考查直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，训练了利用配方法求函数的最值，考查计算能力，是压轴题．高考数学试卷解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B =▲．【答案】{}1,2,4,6。
高三数学高考质检模拟考试卷二 试题
2021年地区高三数学高考质检模拟考试卷二一、二、选择题1、1:>x p ，2:-<x q ，那么p ⌝是q ⌝的〔 〕 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件2、复数i z 431+=，i t z +=2，且21z z ⋅是纯虚数，那么实数t 等于〔 〕A 、43B 、34C 、34-D 、43- 3、y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+004252y x y x y x ，那么目的函数y x z 43+=的最大值是〔 〕A 、9B 、10C 、11D 、124、假设1log 2<a ，那么a 的取值范围是〔 〕A 、10<<aB 、0>aC 、21<<aD 、2110<<<<a a 或5、n m ,是两条不重合的直线，γβα,,是三个两两不重合的平面，给出以下四个命题，其中假．命题是〔 〕 A 、假设α⊥m ，α⊥n ，那么n m // B 、假设α⊥m ， β⊥m ，那么βα//C 、假设α⊥m ，β//m ，那么βα⊥D 、假设γα⊥，γβ⊥，那么γα⊥6、3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，那么b 的取值范围是〔 〕A 、21>-<b b ，或B 、21≥-≤b b ，或C 、21<<-bD 、21≤≤-b7、假设椭圆191622=+y x 上一点P 到右焦点的间隔 为3，那么点P 到左准线的间隔 是〔 〕A 、7720 B 、7712 C 、335 D 、5 8、假设{}n a 是等差数列，n S 是前n 项和，00983<>+S a a ，，那么n S S S S ,,,,321 中最小的是〔 〕A 、4SB 、5SC 、6SD 、7S9、假设(){}m x y y x A +==|,，()()⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎭⎬⎫≤≤===πθθθ0sin cos ,y x y x B 且B A 有且仅有一个元素，那么实数m 的取值范围是〔 〕 A 、12≤≤-m B 、21≤≤-mC 、211=<≤-m m ，或D 、211-=≤<-m m ，或10、函数()12+=x f y 是定义在R 上的奇函数，函数()x g y =的图象与函数()x f y =的图象关于直线x y =对称，那么()()x g x g -+的值是〔 〕A 、2B 、0C 、1D 、不能确定二、填空题11、81⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中，5x 的系数为 12、在正三棱柱111C B A ABC -中，1=AB ，D 在棱1BB 上，且1=BD ，那么AD 与平面C C AA 11所成的角为13、设双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右准线与两渐近线相交于A ，B 两点，F 为右焦点，以AB 为直径的圆恰过点F ，那么双曲线的离心率为14、函数()⎪⎭⎫⎝⎛-∈>-+=2,201sin ππϕωϕω，，x y ，它的最小正周期为π，且其图像关于直线12π=x 对称，那么在下面四个结论中，①图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛-1,4π对称，②图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,3π对称，③它可以由函数x y 2sin =图像上所有点向左平移6π个单位，再横坐标不变，纵坐标向下平移1个单位而得到，④在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,6π上是增函数，所有正确结论的序号为三、解答题：本大题一一共 6 小题；一共 80分。
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全国各地2008年高考数学模拟质检试题汇编(二)一、选择题1．方程222-=-y x xy 所表示的曲线的对称性是 （ ） A ．关于原点对称 B ．关于两坐标轴对称 C ．关于直线y =x 对称 D ．关于直线y =－x 对称 2．数列}{n a 中，若),2(11,2111N n n a a a n n ∈≥-==-则2007a 的值为（ ） A ．－1B ．21C ．1D ．23．设函数()f x ,对于任意实数,(1)(1)x f x f x +=-都有恒成立,且方程()f x =0有2007个解，则这2007个解之和为（ ）A ．0B ．-1C ．2007D ．4014。
4、在平面四边形ABCD 中，P 为平面上一点，若PA PB PC PD AB CD +++=+，则点P 为（ ）A ．四边形ABCD 对角线的交点B ．AC 的中点 C ．BD 的中点 D ．在CD 边上。
5．称||),(d -=为两个向量、间的“距离”.若向量、满足:①1||=;②≠;③对任意的R t ∈,恒有),(),(d t d ≥则（ ）A 、⊥B 、)(-⊥C 、)(-⊥D 、)()(-⊥+ 6．将函数x x f 2sin )(=的图象按向量)0,4(π=n 平移得到)(x g 的图象，则函数)(x f 与)(x g 的图象 （ ）A ．关于直线83π=x 对称 B ．关于直线43π=x 对称C ．关于直线4π=x 对称 D ．关于y 轴对称7．已知)(x f y =是其定义域上的单调递增函数，它的反函数是)1(),(1+==-x f y x f y 且 的图象过A （－4，0），B （2，3）两点，若3|)1(|1≤+-x f ，则x 的取值范围是（ ） A ．[0，3] B ．[－4，2] C ．[1，3] D ．[－1，2]8、两个实数集{}{}12501225,,,,,,,A a a a B b b b ==，若从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原象，且1250()()()f a f a f a ≥≥≥，则这样的映射共有（ ）个A 、2450CB 、2449C C 、2550CD 、2549C9．如图，在∠AOB 的两边上分别为A 1、A 2、A 3、A 4和B 1、B 2、B 3、B 4、B 5共9个点，连结线段A iB i （1≤i≤4,1≤j≤5），如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则图中共( A )对“和睦线”A ．60B ．62C ．72D ．12410 如图， A, B, C 表示3种开关，设在某段时间内它们正常工作的概率是分别是0.9 , 0.8 ,0.7 , 如果系统中至少有1个开关能正常工作, 那么该系统正常工作的概率是（ ） (A)0.504 (B) 0.496 (C) 0.994 (D)0.0611. 设函数,2)2(),0()4().0(,2)0(,)(2-=-=-⎩⎨⎧>≤++=f f f x x c bx x x f 若 则关于x 的方程 x x f =)(解的个数为 ( )(A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个12．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量. 在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A （2，1）且法向量为n =（－1，2）的直线（点法式）方程为.02,0)1(2)2(=-=-+--y x y x 化简后得类比以上求法，在空间直角坐标系中，经过点A （2，1，3），且法向量为n =（－1，2，1）的平面（点法式）方程为 .（请写出化简后的结果） 二、填空题13.一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有一个是正确的答案，每题选择正确得3分，不选或选错得0分，满分150分.学生甲选对任一题的概率为0.8,则该生在这次测试中成绩的期望值是_________,标准差是14. 一个五位数由数字0,1,1,2,3构成, 这样的五位数的个数为_15. 过定点P(1,4)作直线交抛物线C: y=2x 2于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________ 16．下列命题中正确的序号是_①若命题P 和命题Q 中只有一个是真命题，则⌝P 或Q 是假命题②1..cos()662or ππαβαβ≠≠+≠是成立的必要不充分条件；③若函数y =f （x ）满足(1)1(),()f x f x f x +=-则是周期函数；④若[1()]11lim nn r r →∞+=+，则r 的取值范12r >-。
三、解答题(17)．在ABC ∆中，AC 3231,2||,4||+===. (1)证明=; (2)若6||=,求||的值.(18)．（13分）四棱锥S ABCD -的所有棱长均为1米，一只小虫从S 点出发沿四棱锥爬行，若在每一顶点处选择不同的棱都是等可能的。
设小虫爬行n 米后恰回到S 点的概率为n P 。
（1）求23,P P 的值；（2）求证：3121P P n n N n n ++=≥∈()，； （3） 求证：P P P n n n N n 2365242+++>-≥∈…。
，() 19．(A)（12分）有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V 立方米，每天流入流出湖泊的水量都是r 立方米，现假设下雨与蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g(t)表示第t 天每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称g(t)为第t 天的湖水污染质量分数，已SA BDC知目前每天流入湖泊的水中有p 克的污染物质污染湖水，湖水污染物质分数满足关系式：()[(0)] (p 0), (0).rtv p p g t g e g r r-=+-≥其中是湖水污染的初始质量分数。
()1当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数； ()2 求证：当(0) pg r<时，湖泊的污染程度越来越严重。
（3）如果政府加大治污力度，使得流入湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时的污染水平的5%?(19). (B)(本小题满分12分)已知直线l : y=2x －3与椭圆C:x 2a 2 ＋y 2= 1 (a>1)交于P 、Q 两点, 以PQ 为直径的圆过椭圆C的右顶点A.(1) 设PQ 中点M(x 0,y 0), 求证: x 0< 32(2)求椭圆C 的方程.(20). (本小题满分13分)(1)已知函数m(x)=ax 2e －x(a>0), 求证: 函数y=m(x)在区间[2,＋∞)上为减函数.(2) 已知函数f(x)=ax 2＋2ax, g(x)=e x, 若在(0, ＋∞)上至少存在一点x 0, 使得f(x 0)>g(x 0)成立, 求实数a 的取值范围.(文)已知函数f(x)=x 3＋bx 2＋cx ＋d 有两个极值点x 1=1, x 2=2, 且直线y=6x ＋1与曲线y=f(x)相切于P 点.(1)求b 和c (2)求函数y=f(x)的解析式;(3)在d 为整数时, 求过P 点和y=f(x)相切于一异于P 点的直线方程.(21)．已知函数π-=-=ax x g x x f )(,cos )(. （1）求函数])2,2[)(()()(ππ-∈-=x x f x g x h 的单调区间; (2)证明:对任意的R x ∈,都有|||)(|x x f ≤';(3)若),()(]),43,4[(,211n n x f x g x a =∈==+ππαα求证:+-+-|2||2|21ππx x ……+)(2|2|*∈<-N n x n ππ.(22). (本小题满分14分) 已知点(a n ,a n －1)在曲线f(x)=x 2＋1x上, 且a 1=1.(1)求f(x)的定义域;(2)求证: 2233121111(1)14(1)14nn n a a a +-≤+++≤+-(n ∈N*) (3)求证: 数列{a n }前n 项和(3322n n S +≤- (n ≥1, n ∈N*)(文)设数列{a n }的前n 项和S n = nn ＋1, n=1,2,3……(1)求数列{a n }的通项公式a n . (2)求数列{1a n }的前n 项和T n .参考答案一、选择题（60分）DACBC ADBAC B (12)x －2y －z +3=0 二、填空题（16分） 13. 120_, 2614. 48 15. y=4x-4_ 16②③④三、解答题（74分） 17. .设α=∠BAC ,则||||,cos AD AB >=<||4cos 316316AD α+, ||238cos 38||||,cos AD AC AD +=>=<α, ><>=<∴,cos ,cos ,又],0[,],,0[,ππ>∈<>∈<,>>=<∴<,,.(2)2222949491)3231(||AC AC AB AB AC AB AD +⋅+=+==6916cos 2494916=+⨯⨯+α,,1611cos =∴α 222||||+=∴,91611242416cos ||||2=⨯⨯⨯-+=-α.3||=∴BC18解：（I ）P 2表示从S 点到A （或B 、C 、D ），然后再回到S 点的概率 所以P 2141314131413141313=+++=××××； 因为从S 点沿SA 棱经过B 或D ，然后再回到S 点的概率为()1413132118×××=， 所以P 3118429==× （II ）设小虫爬行n 米后恰回到S 点的概率为P n ，那么1-P n 表示爬行n 米后恰好没回到S 点的概率，则此时小虫必在A （或B 、C 、D ）点所以13131211×，即，()()-=+=≥∈++P P P P n n N n n n n （III ）由3114131411P P P P n n n n +++=-=--，得()()从而P n n =+--14112132()所以P P P n n n 23114112113113+++=-+--+-……[()]=-+---n n 141161131[()] =-++-->--n n n 1411623116131365241×[()] 19解：(A) '()[(0)] (p 0)rtv r p g t g e v r-=--≥(1) '()0(0)pg t g r=⇒=由 （2）由(0) p g r <知'()[(0)]0rt v r p g t g e v r-=-->，所以g(t)为增函数，湖泊的污染程度越来越严重。