尖子生培优教材数学七年级上第三讲 有理数的运算

第三讲 有理数的运算知识导引本讲主要是有理数的运算，包括有理数的加、减、乘、除、乘方等多种运算．进行有理数的混合运算时要注意以下运算顺序：（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按从小括号、中括号到大括号依次进行．进行运算时一般按此顺序进行，能用简便方法的尽量用简便方法．若恰当的运用交换律、结合律、分配律有时可以简化计算．通过有理数的混合运算来解决实际问题，要注意分析题意，列出正确的算式．用有效数字表示近似数的精确度比较复杂也较难理解，其关键是理解有效数字的概念．要注意用科学记数法表示的数字或者是带有单位的数字的精确度． 典例分析例1：计算：（1）)4134(12)2(32-⨯--⨯． （2）59.141.059.041.4⨯+⨯-．例1—1：计算：32)53()4.1()431()51(75.05.2⨯-⨯-÷-⨯-⨯÷-．例2：计算：（1）9011216121+⋯+++． （2）1－2＋3－4＋…＋2007－2008．例2—1：计算：200019981531421311⨯+⋯+⨯+⨯+⨯．例3：（1）如果ab ＜0，a －b ＞0，试确定a 、b 的正负． （2）如果ab ＜0，a －b ＜0，试确定a 、b 的正负． （3）如果ab ＜0，a ＋b ＞0，b a >试确定a 、b 的正负．例3—1：若ab ＜0，求abab b b a a ++的值．例3—2：已知：1-=++cc bb aa ，求abcabc的值．例4：已知322=+-n m n m ，求3222)2(2-+--+-nm nm n m n m 的值．例5：某日长春等五个城市的最好气温与最低气温记录如表．哪个城市的温差最大，哪个城市的温差最小？例5—1：下表是某报纸公布的我国“九五”期间国内生产总值（GDP ）的统计表，那么这几年我国的国内生产总值平均每年比上一年增长（ ）A 、0.46万亿元B 、0.575万亿元C 、7.78万亿元D 、9.725万亿元例5—2：甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，那么顾客在（ ）超市买这种商品会更合算．A 、甲B 、乙C 、丙D 、一样例6：（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果n a （n 为正整数）表示这个数列的第n 项，那么18a ＝ ，n a ＝ ． （2）如果要求203233331+⋯++++的值，可令 S ＝203233331+⋯++++ ①将①式两边同乘以3，得②由②式减去①式，得S ＝ ．（3）用由特殊到一般得方法知：若数列1a ，2a ，3a ，…，n a ，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q ，则n a ＝ （用含1a ，q ，n 的代数式表示）．如果这个常数q ≠1，那么1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a ＝ （用含1a ，q ，n 的代数式表示）．规律题：若a 1,a 2,a 3,...,a n 中，每一项与前一项之比是q ，则（1）a n =a 1q n-1；（2）a 1+a 2+a 3+...+a n =a 1(q n -1)q-1;巩固：（1）1+5+52+...+5m =5m+1-14（结论法）可令，S=1+5+52+...+5m ，则5S=5+52+53...+5m+1∴(5-1)S=5m+1-1⇒S=5m+1-14(作差法）反思：若a 1,a 2,a 3,...,a n 中，每一项与前一项之比是q ，则，a 1=a 1,a 2=a 1q,a 3=a 1q 2,...,a n =a 1q n-1,∴a 1+a 2+a 3+...+a n =a 1+a 1q+a 1q 2+...+a 1q n-1=a 1(1+q+q 2+...+q n-1)=a 1•q n -1q-1=a 1(q n -1)q-1思维训练题：（1）m n +m n+1+m n+2+...+m n+x =m n (m x+1-1)m-1（2）53+54+55+ (520)53(518-1)4探究活动例：在一次团体操排练活动中，某班45名学生面向老师站成一列横队．老师每次让其中任意6名学生向后转（不论原来方向如何）．问：能否经过若干次后全体学生都背向老师站立？如果能，请设计一种方案；如不能，请说明理由．学力训练A 组 务实基础1、负实数a 的倒数是（ ） A 、－a B 、a 1 C 、－a1D 、a 2、使01=+aa成立的条件是（ ） A 、a ＞0 B 、a ＜0 C 、a ＝1 D 、a ＝±1 3、如果m 表示有理数，那么m m +的值（ ）A 、可能是负数B 、不可能是负数C 、必定是正数D 、可能是负数也可能是正数 4、下列各式中，计算正确的是（ ） A 、－8－2×6＝（－8－2）×6 B 、)4334(243342⨯÷=⨯÷ C 、1)1()1(20072006-=-+- D 、9)3(9-=--5、如图简单的数值运算程序，当输入x 的值为－1时，则输出的数值为 ．6、若x －y ＝3，则2x －2y ＝ ．7、图形表示运算a－b＋c，图形表示预算x＋n－y－m，则×＝ （直接写出答案）．8、“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它吸进去，无一能逃脱它的魔掌．例如，任意写出一个三位数，它的各个数位上的数字都不想等，用这个三位数各个数位上的数字组成一个最大数和一个最小数，并用最大数减去最小数，得到一个新的三位数，对于新得到的三位数，重复上面的过程，又得到一个新的三位数，一直重复下去，，就得到一个固定的数 ，我们称它为三位数的黑洞数．用同样的方法，你可以得到四位数的黑洞数为 ． 9、计算：)154()2(528252-⨯-÷+-．10、杭州市出租车的收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费10元，超过3千米的部分每千米收费2元．超过起步里程10千米以上的部分加收50%，即每千米3元（不足1千米以1千米计算）．（1）小明有一次乘坐出租车行驶了4.1千米，他应付车费多少元？ （2）若小明乘坐出租车行驶了14.9千米，他应付车费多少元？（3）小明家距离学校13.1千米，他带了31元钱，则他从学校坐出租车到家，钱够吗？如果够，还剩多少钱？如果不够，他至少要先走多少千米路？B 组 瞄准中考1、（荆门中考）下列计算：①0－（－5）＝－5；②（－3）＋（－9）＝－12；③23)49(32-=-⨯；④（－36）÷（－9）＝－4．其中正确的个数是（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 2、（青岛中考）生物学指出：在生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量能够流动到下一个营养级，在654321H H H H H H →→→→→这条生物链中（n H 表示第n 个营养级，n ＝1，2，…，6），要使6H 获得10千焦的能量，需要1H 提供的能量约为（ ）A 、610千焦 B 、510千焦 C 、410千焦 D 、310千焦 3、（日照中考）观察图中正方形四个顶点所标的数字的规律，可知数2011应标在（ ）A 、第502个正方形的左下角B 、第502个正方形的右下角C 、第503个正方形的左上角D 、第503个正方形的右下角 4、（盐城中考）根据如图所示的程序计算，若输入的x 的值为1，则输出y 的值为 ． 5、（绍兴中考）小明测得其一周的体温并记录如下表：其中星期四的体温的数据被墨迹污染．根据表中数据，可得星期四的体温为 ． 6、（常德中考）如图，一个数表有7行7列，设ij a 表示第i 行第j 列上的数（其中i ＝1，2，3，…，7；j ＝1，2，3，…，7）．例如：第5行第3列上的数53a ＝7．（1）（2223a a -）＋（5352a a -）＝ ．（2）此数表中的四个数np a ，nk a ，mp a ，mk a 满足（np a －nk a ）＋（mk a －mp a ）＝ ． 7、计算：（1）)]654()8.4(612[545---+-．（2）)2()2()107()325(54-⨯---⨯-⨯．8、（河南中考）要测量M ，N 两处的高度差，直接不好测．现另有五个点：A ，B ，C ，D ，E ，先测量每相邻两点间的高度差．如果测得点A 比点M 高0.32m ，就在A —M 列内填上0.32；如果点B 比点A 低0.46m ，就在B —A 列内填上－0.46，以此类推．现实际测得结果如下表所示（单位：m ）．A —MB —AC —BD —CE —D N —E 0.32－0.46－0.050.270.13－0.55问：M 与N 两处，哪处高？高多少？9、如图所示，在数轴上有三个点A 、B 、C ．（1）将点B 向左移动四个单位，此时该点表示的数是多少？（2）将点C 向左移动6个单位的到数1x ，再向右移动2个单位得到数2x ，那么1x ，2x 分别是多少？请用“＞”把移动后的点B ，1x ，2x 表示的数连起来． （3）怎样移动A 、B 、C 中的两点，才能使三个点表示的数相同？10、（怀化中考）有一列数，第一个数1x ＝1，第二个数2x ＝4，第三个数记为3x ，以后依次记为4x ，5x ，…，n x ，从第二个数开始，每个数是它相邻两个数的和的一半（如2312x x x +=）． （1）求第三、四、五个数，并写出计算过程．（2）探索这一列数的规律，猜想第k 个数k x 等于多少（k 是大于2的整数），请由此算出2005x 等于多少．C 组 冲击金牌1、若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…，则！！98100的值为（ ） A 、4950B 、99！C 、9900D 、2！ 2、如果1332211=++t t t t t t ，则321321t t t t t t 的值为（ ） A 、－1 B 、1 C 、±1 D 、不确定3、已知999999=P ，909911=Q ，则P ，Q 的大小关系为P Q ．4、吉尔最近搬进了新居，房号是一个三位数．这个数与三个数位上的数字之和是429．则房号三个数位上的数字的乘积是 ．5、黑板上写有1，2，3，…，1997，1998，这1998个自然数，对它们进行操作，每次操作规则如下：擦掉写在黑板上的三个数后，再添加上所擦掉三个数之和的个位数字，例如：擦掉5，13和1998后，添加上6；若再擦掉6，6，38，添加上0．如果经过998次操作后，发现黑板上剩下两个数，一个是25，求另一个数．- 11 - 第三讲 有理数的运算参考答案典例精析1、（1）－1；（2）－1.95 1—1、31-2、（1）109；（2）－1004 2—1、79960005993001 3、（1）a ＞0，b ＜0；（2）a ＜0，b ＞0；（3）a ＞0，b ＜0 3—1、－1 3—2、1 4、0或－6 5、哈尔滨温差最大，为14℃；大连的温差最小，为8℃ 5—1、C 5—2、B 6、（1）2 182 n 2；（2）21432333333+⋯++++=S)13(2121- （3）11-n q a 1)1(1--q q a n 探究活动假设面向老师站立记为“＋1”，则背向老师站立为“－1” ．原来45个“＋1”，乘积为“＋1”，每次改变其中6个数，不改变这45个数的乘积的符号，而最后要达到的目标是45个“－1”，乘积为“－1”，故这是不可能的．A 组1、B2、B3、B4、D5、16、67、08、495 61749、－3 10、（1）14元；（2）39元；（3）不够，至少要先走1.1千米路． B 组1、B2、A3、C4、45、36.76、（1）0 ；（2）07、（1）533； （2）32 8、M 处比N 处高0.34m 9、（1）因为点B 所表示的数是－1，则－1－4＝－5，此时该点表示的数是－5；（2）点C 表示的数是4，将点C 向左移动6个单位得到数1x ，因4－6＝－2，故1x 表示的数是－2，再向右移2个单位得到数2x ，因－2＋2＝0，故2x 表示的数是0，故－5＜－2＜0；（3）把点A 向右移动2个单位，点C 向左移动5个单位（答案不唯一） 10、（1）因为2312x x x +=，所以71422123=-⨯=-=x x x ，同理，104=x ，135=x ；（2）猜想得：23-=k x k ，所以60132200532005=-⨯=x C 组1、C2、A3、＝4、285、另一个数是6。