平面方程简介
平面方程知识点总结
平面方程知识点总结一、平面方程的基本概念1. 平面方程的概念平面方程是指在平面上表示出来的数学方程，通常使用代数式或参数式来描述平面的位置和特征。
在空间解析几何中，对于平面方程的研究有着重要的意义，能够帮助我们理解空间中的点、直线和平面之间的关系。
2. 平面方程的形式平面的方程可以有多种不同的形式，对于二维平面方程，常见形式包括一般式、点法式、截距式等不同形式，每一种形式都能够描述平面的特征和方程的性质。
3. 平面方程的性质平面方程有一些基本的性质，如法向量与平面方程的关系、点、直线在平面上的关系等，这些性质对于理解平面方程的意义和应用有着重要的作用。
二、平面方程的求解和运用1. 平面方程的求解方法对于给定的平面的位置和特征，我们需要求解出该平面的方程。
求解平面方程的方法包括根据给定点和法向量来求解、根据给定点和平面上的两个向量来求解、根据给定点和法向量的参数方程来求解等不同的方式。
2. 平面方程的运用平面方程在几何学、物理学和工程学等领域都有着广泛的运用。
在几何学中，平面的方程能够描述平面的位置和特征，帮助我们理解平面的性质；在物理学中，平面方程能够描述空间中的物体的位置和运动；在工程学中，平面方程能够帮助我们设计和分析工程结构和设备。
三、平面方程的应用举例1. 平面方程在几何学中的应用在几何学中，平面方程能够帮助我们描述平面的位置和特征。
比如，通过平面方程能够求解平面与直线的交点，求解平面与平面的交线等问题。
2. 平面方程在物理学中的应用在物理学中，平面方程能够描述空间中物体的位置和运动。
比如，通过平面方程能够求解平面上的物体的运动轨迹，分析平面上的受力情况等问题。
3. 平面方程在工程学中的应用在工程学中，平面方程能够帮助我们设计和分析工程结构和设备。
比如，通过平面方程能够描述工程结构的位置和特征，分析工程设备的运行状态等问题。
四、平面方程的拓展知识点1. 空间中的平面方程在三维空间中，平面的方程可以通过不同的方法进行描述，包括一般式、点法式、截距式等不同形式和特点。
平面及其方程
4A B 2C 0
于是
A B 2C,
3
所求平面方程为 2x 2 y 3z 0.
练习4 求平行于平面6x y 6z 5 0而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
解 设平面为 x y z 1, a bc
V 1, 得 1 1 abc 1, 32
由所求平面与已知平面平行得
练习5 一平面通过两点M（1 1，1，1）和M（2 0，1，1） 且垂直于平面x y z 0，求它的方程.
解 设所求平面得一个法线向量为 n (A, B,C).
因M1M2 (1, 0, 2)在所求平面上，它必与n垂直， 所以有
A 2C 0.
(1)
又因所求的平面, 1), M2(2,1, 2)和 M3(1,1, 4) 的平面方程.
解 M1M2 (1,1,3)， M1M3 (2,1, 3)， 取 n M1M2 M1M3 (6, 3,3)， 所求平面方程为
-6(x-1)-3(y-0)+3(z+1)=0 化简得 2x+ 3y- 3z- 3=0.
化简得 2x 3 y z 6 0.
练习2 求通过 x 轴和点(4,3,1)的平面方程.
解 由于平面通过 x 轴，从而它的法线向量垂直 于x轴，于是法线向量在 x轴上的投影为零，即A 0；
又由平面通过 x 轴，它必须通过原点，于是D 0.
因此可设这平面的方程为 By Cz 0.
代入点(4,3,1)，得 C 3B.
6.4 平面及其方程
6.4.1 平面方程 6.4.2 两平面间的夹角 6.4.3 点到平面的距离
6.4.1 平面方程
1 平面的点法式方程
如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做
平面的方程
平面平行于z 平面平行于 轴 平面通过z 平面通过 轴 平面平行于x 平面平行于 轴 平面通过x 平面通过 轴 平面平行于y轴 平面平行于 轴 平面通过y 平面通过 轴
平面平行于 yOz 平面 即为 yOz 平面 平面平行于 xOz 平面 即为 xOz 平面 平面平行于 xOy平面 平面 即为xOy平面 即为 平面
(
)
平面的坐标式方程，简称法式方程为 平面的坐标式方程，简称法式方程为 法式方程 x cos α + y cos β + z cos γ − p = 0
平面的法式方程是具有下列两个特征的一种一般方程： 平面的法式方程是具有下列两个特征的一种一般方程： 一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于1 ①一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于1； 因为p是原点 是原点O 的距离， ②因为 是原点 到平面 π 的距离，所以常数 − p ≤ 0
3. 平面的点位式方程
r ur r r 平面的点位式方程为 r − r0 , a, b
(
பைடு நூலகம்
)
或
x − x0 X1 X2
y − y0 Y1 Y2
z − z0 Z1 = 0 Z2
4. 平面的三点式方程 .
例1 已知不共线三点 M1 ( x1 , y1 , z1 ) , M 2 ( x2 , y2 , z2 ) , M 3 ( x3 , y3 , z3 )，求通过三 的方程。 点 M1 , M 2 , M 3 的平面 π 的方程。 其向量式参数方程
2 2 2
=0
在取定符号后叫做法式化因子 λ 在取定符号后叫做法式化因子
λ 选取的符号通常与常数项 D 相反的符号
例3 已知两点 M 1 (1, −2,3) , M 2 ( 3, 0, −1) ，求线段 M 1M 2 的 垂直平分面 π 的方程
3.1：平面的方程
r OM {x, y, z}, r i OMi {xi, yi, zi},
M1
M3
M2
e3
r1
r3 r2
M
r
O x
(i 1,2,3)
e1
e2
y
（图3－2）
a M 1M 2 r 2 r1 {x 2 x1, y 2 y1, z 2 z1} b M 1M 3 r 3 r1 {x3 x1, y 3 y1, z 3 z1}
y y1 y2 y3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z z1 z2 z3
1 1 1 1
0.
（3.1－8′）
方程（3.1－5）－（3.1－8′）都叫做平面的三点 z 式方程。 作为三点式的特例， 如果已知三点为平面与 三坐标轴的交点M1 （a,0,0）， M2 （0,b,0）， M3 （0,0,c） (其中 abc 0 )(图3－3) x M3（0,0,c） O M1（a,0,0） （图3－3） y M2（0,b,0）
它是 截距式方程
y y1 y 2 y1 y 3 y1
z z1
它们都是 z y 1 点位式方程
y1
z 2 z1 0; x 3 z 3 z1 x4
z1
1 1 1
y2 y3
z2 z3
0.
x y z 1. a b c
它们都是 三点式方程
2.平面的一般方程 因为空间任一平面都可以用它上面的一点
Ax+By+D=0
（3.1－10）
当D≠0时， z轴上的任意点（0，0，z）都不满足方程， 所以平面与z轴平行；而当D=0时，z轴上的每一点都
空间平面的方程
空间平面的方程空间平面是三维几何中的一个重要概念，它是由三个非共线的点所决定的，也可以用方程的形式描述。
本文将介绍空间平面的方程及其应用。
一、空间平面的方程可以用不同的形式表示，常见的有点法向式方程和一般式方程。
1. 点法向式方程对于一个平面，我们可以通过给定平面上的一点和平面的法向量来确定该平面。
设平面上的一点为P(x1, y1, z1)，平面的法向量为n(A, B, C)。
则平面的点法向式方程可以表示为：A(x - x1) + B(y - y1) + C(z - z1) = 0其中，平面上的任意一点Q(x, y, z)满足该方程。
2. 一般式方程一般式方程是空间平面的另一种常见表示形式。
设平面的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D为常数，并且A^2 + B^2 + C^2 ≠ 0。
如果给定一个平面上的点P(x1, y1, z1)和平面的法向量n(A, B, C)，我们可以通过点法向式方程求得平面的一般式方程，化简后的一般式方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中，A = AB = BC = CD = -A*x1 - B*y1 - C*z1二、空间平面方程的应用1. 平面的位置关系通过空间平面的方程，我们可以判断两个平面之间的位置关系。
设平面P1的法向量为n1(A1, B1, C1)，平面P2的法向量为n2(A2, B2,C2)。
两个平面平行的充要条件是它们的法向量平行，即n1与n2成比例。
而两个平面垂直的充要条件是它们的法向量垂直，即n1·n2=0。
2. 直线与平面的交点给定一个平面和一条直线，我们可以通过求解平面方程和直线方程的联立方程组来求得它们的交点。
设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，直线的方程为l: (x - x1)/m = (y - y1)/n = (z - z1)/p。
将直线方程中的x、y、z代入平面方程，得到联立方程组：A(x1 + mt) + B(y1 + nt) + C(z1 + pt) + D = 0其中，t为参数。
平面方程简介
z
n
如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做
M0 M
该平面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 n { A, B, C }, M0( x0 , y0 , z0 ),
设平面上的任一点为 M ( x, y, z) 必有 M0M n M0M n 0
2 4
1 2
1 2
,
两平面平行
M (1,1,0) 1 M (1,1,0) 2
两平面平行但不重合．
(3)
2 4
1 2
1, 2
两平面平行
M (1,1,0) 1 M (1,1,0) 2
两平面重合.
例 7 设P0 ( x0 , y0 , z0 )是平面 Ax By Cz D 0
外一点，求 P0 到平面的距离. 解 P1( x1 , y1 , z1 )
例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面 x y z 7和
3x 2 y 12z 5 0的平面方程.
解
n1 {1,1,
取法向量
1}, n
n1n2
n2
{3, 2,12} {10,15, 5},
所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0,
化简得 2x 3 y z 6 0.
cos
| A1 A2 B1B2 C1C2 | A12 B12 C12 A22 B22 C22
两平面夹角余弦公式
两平面位置特征：
(1) 1 2 A1 A2 B1B2 C1C2 0;
(2)
1 //
2
A1 A2
B1 B2
C1 C2
.
7.3.1 平面的方程
平面的方程
7.3.1 平面的方程
空间的曲面和曲线可以看作是满足一定条件的点的轨迹。 空间的曲面和曲线可以看作是满足一定条件的点的轨迹。
若曲面 S 与三元方程 F( x, y, z) = 0 有下述关系： 有下述关系： （ 1）曲面 S 上的点的坐标都满足方程 F( x, y, z) = 0 ； ） （ 2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程 F( x, y, z) = 0 ， ）不在曲面 称为曲面 方程， 则方程 F( x, y, z) = 0 称为曲面 S 的方程，而曲面 S 称为方 图形。 程 F( x, y, z) = 0 的图形。
r n1
θ
π2
θ
π1
r r n1 ⋅ n2 A1 A2 + B1B2 + C1C2 cosθ = r r = . 2 2 2 2 2 2 n1 ⋅ n2 A1 + B1 + C1 ⋅ A2 + B2 + C2
7.3.1 平面的方程
由两向量平行和垂直的充要条件，可得： 由两向量平行和垂直的充要条件，可得：
M π M0
A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 ，
上述方 点法式方程。 上述方程称为 平面π 的点法式方程。
7.3.1 平面的方程
r r v ． 的平面方程。 例 1．求过点 (2, 1, 1) 且垂直于向量 i + 2 j + 3k 的平面方程。
解：方法 1：设所求平面的方程为 By + Cz = 0 ， ： uu r 其法向量为 n1 = {0, B , C } ，
r 平面 5 x − 4 y − 2 z + 3 = 0 的法向量为 n2 = {5, − 4 , − 2} ，
空间平面的方程与性质
空间平面的方程与性质空间平面是三维几何中的一个重要概念，它在解决许多几何问题和应用中起着重要作用。
本文将针对空间平面的方程与性质展开论述。
一、空间平面的方程空间平面可以通过方程来描述和表示，具体的方程形式取决于平面的已知条件。
以下将介绍几种常见的空间平面方程形式。
1. 一般式方程空间平面的一般式方程可以表示为 Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D是常数，且A、B、C不能同时为零。
方程中的系数A、B 和C定义了平面的法向量。
值得注意的是，一般式方程表示的平面并不唯一，因为若乘以一个非零常数k，平面方程的形式不会改变。
2. 点法式方程对于已知平面上的一点P和法向量n，空间平面的点法式方程可以表示为 n · (r - r0) = 0，其中r是平面上任意一点的位置矢量，r0是已知点P的位置矢量，n是平面的法向量。
这个方程表达了平面上的每个点和法向量的内积为零，即垂直关系。
3. 交线法式方程当空间平面与某直线相交时，可以使用交线法式方程来表示平面。
假设已知平面上的一点P和平面与直线的交点L，空间平面的交线法式方程可以表示为 (r - r0) × (r - r1) = 0，其中r是平面上任意一点的位置矢量，r0和r1分别是已知点P和交点L的位置矢量，×表示向量叉乘。
二、空间平面的性质1. 平行关系如果两个空间平面的法向量平行，则说明它们是平行的。
在一般式方程中，如果两个空间平面的法向量成比例，即A1/A2 = B1/B2 =C1/C2，那么它们是平行的。
2. 垂直关系如果两个空间平面的法向量垂直，则说明它们是垂直的。
在一般式方程中，如果两个空间平面的法向量满足A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0，那么它们是垂直的。
3. 距离计算对于一个已知点P和一个平面，可以通过距离公式来计算点到平面的距离。
对于平面的一般式方程Ax + By + Cz + D = 0，点P(x0, y0, z0)到平面的距离为 d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)。
§3.1 平面的方程
§3.1 平面的方程一、平面的点位式方程1. 在空间给定了一点M0(x0, y0, z0)与两个不共线矢量＝{X1, Y1, Z1}，＝{X2, Y2,Z2 }, 那么通过点M0且与矢量, 平行的平面π就被唯一确定，矢量, 叫做平面的方位矢量. 这个概念与中学几何中的“两条相交直线确定一个平面”是一致的.2. 如图3-1, 在空间取标架{O;,,}，则平面的矢量式参数方程为＝+u+v,坐标式参数方程为(其中u, v为参数).3. 平面π的方程还可表示为 (,,)＝0和＝0.它们和2中的方程一起都叫做平面的点位式方程.4. 由不共线三点M i (x i, y i, z i)(i＝1,2,3)确定的平面π的三点式方程为＝＋u(－)＋v().(－,－,)＝0，＝0, 或＝0.5. 平面的截距式方程为＋＋＝1，其中a, b, c（abc≠0）分别叫做平面在三坐标轴上的截距.二、平面的一般方程空间平面的基本定理：空间中任一平面的方程都可表示成一个关于变数x, y, z的一次方程；反过来，每一个关于变数x, y, z的一次方程都表示一个平面. 方程Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C不全为0)叫做平面的一般方程.证明：因为空间任意平面都可以由它上面的一个点M0(x0, y0, z0)与两个方位矢量＝{X1, Y1, Z1}，＝{X2, Y2, Z2 }确定，因而方程可以写为＝0.此方程展开就可写成：Ax+By+Cz+D=0，其中A=，B=，C=. 因为,不共线，所以A，B，C不全为零，这表明空间中任一平面的方程都可表示成一个关于变数x, y, z的一次方程；反过来，在方程Ax+By+Cz+D=0中，因为A，B，C不全为零，不妨设A≠0，则有A2（x+）+Aby +AC z=0，即＝0.显然，它是由一点M0(, 0, 0)与两个方位矢量＝{B, －A, 0}，＝{C, 0, －A }确定的平面.三、平面的点法式方程1. 如果在空间给定一点M0和一个非零矢量，那么通过点M0且与矢量垂直的平面唯一地被确定. 把与平面垂直的非零矢量叫做平面的法矢量或简称平面的法矢. 这个概念与中学几何中的“过一点与已知直线垂直的平面是唯一确定的”一致.2. 如图3-2, 在空间直角坐标系{O;,,}下，设点M0的径矢＝，平面π上任意一点M的径矢为＝，且M0 (x0, y0, z0), M(x,y,z)，则⋅(－)＝0 或A(x－x0)+B(y－y0)+C(z －z0)＝0都叫做平面的点法式方程.3. 如图3-3, 如果平面上点M0特殊地取自原点O向平面π所引垂线的垂足P, 而π的法矢量取单位法矢量，当平面不过原点时，的正向取为与相同；当平面过原点时，的正向在垂直于平面的两个方向中任取一个，设||＝p，则⋅－p＝0叫做平面的矢量式法式方程.如果设＝{x, y, z}，＝{cosα, cosβ, cosγ}, 则x cosα+ y cosβ + z cosγ－p＝0叫做平面的坐标式法式方程或简称法式方程.4. 把平面的一般方程Ax+By+Cz+D＝0化为法式方程的方法如下：以法式化因子λ＝（在取定符号后）乘以方程Ax+By+Cz+D＝0可得法式方程：.其中λ的选取，当D≠0时，使λD＝－p<0，即λ与D异号；当D＝0时，λ的符号可以任意选取（正的或负的，一般选与A同号，若还有A＝0，则选与B同号等等）.例1. 求通过M1(1, －1, －5) 和M2(2, 3, －1) 且垂直于xOz坐标面的平面π的方程.解：取定点为M1(1,－1,－5)，方位矢量为＝{0,1,0}和＝{1, 4, 4}，故有＝0,即 4x―z―9＝0.例2. 已知两点A(a1, a2, a3)和B(b1, b2, b3)，求分别过AB的中点、两个三等分点且与AB垂直的平面方程.解：取＝{a1－b1,a2－b2,a3－b3}为所求平面的法矢量, AB的中点是M ,两个三等分点是M1, M2,设P (x, y, z)为平面上任意点，则过M, M1, M2分别与AB垂直的平面的点法式方程为＝0或＝0,＝0或＝0,＝0或＝0.化成坐标式方程分别为(a1－b1)+(a2－b2)+(a3－b3)＝0.(a1－b1)+(a2－b2)+(a3－b3)＝0.(a1－b1)+(a2－b2)+(a3－b3)＝0.例3. 已知三角形顶点为A (0, －7, 0), B (2, －1, 1), C (2, 2, 2), 求平行于△ABC所在的平面且与它相距为2个单位的平面方程.解：△ABC所在的平面方程为＝0 或 3x－2y＋6z－14＝0.设M(x, y, z)为所求平面上的任意一点，依题意有,3x－2y＋6z－14＝±14,故所求的平面方程有两个：3x－2y＋6z＝0 和3x－2y＋6z－28＝0.例4. 求与原点距离为6个单位，且在三坐标轴Ox, Oy与Oz上的截距之比为a:b:c＝－1:3:2的平面.解：依题意可设所求平面为,6x－2y－3z＋6k＝0,以法式化因子λ＝±乘以上式两端从而±＝6, k＝±7故所求的平面方程有两个6x－2y－3z ± 42＝0.例5. 平面＝1分别与三个坐标轴交于A, B, C, 求△ABC的面积.解：依题意有A (a, 0, 0), B(0, b, 0), C (0, 0, c), 则＝{－a, b, 0}, ＝{－a, 0, c},所以S△ABC＝||＝|{bc, ac, －ab}|＝.例6. 设从坐标原点到平面++=1的距离为p，求证++=.证明：将++－1=0化为法线式＋＋－＝0，依题意有＝p，整理即得++=.作业题：1. 如果两个一次方程 (a－3) x+(b+1) y+(c－2) z+8＝0和 (b+2)x+(c－9) y+(a－3) z－16＝0表示同一平面，试确定a, b, c的值.2. 已知A(a1, a2, a3)及B(b1, b2, b3)，分别求过A、B且与AB垂直的平面的方程.3. 原点O在所求平面上的正射影是P (a, b, c)，求平面方程.4. 已知一平面过点M0.(x0, y0, z0)，且在x轴、y轴上的截距分别是a、b, 求其方程.。
直线与平面的方程
直线与平面的方程直线与平面是数学中的基本概念，它们在几何学、代数学和物理学等领域中具有重要的应用。
在解决相关问题时，我们需要了解如何确定直线与平面的方程。
本文将介绍直线与平面方程的基本概念、性质和具体求解方法。
一、直线的方程直线的方程一般可表示为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是实数且A和B不同时为0。
1.1 斜率截距方程斜率截距方程是表达直线方程的一种常用形式。
对于直线y = mx + b，其中m为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
1.2 两点式方程两点式方程是另一种常用的直线方程形式。
对于直线通过点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，其方程可表示为(y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1)。
1.3 一般式方程一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是实数。
一般式方程不仅可以表示直线，还可以表示点、线段等几何对象。
二、平面的方程平面的方程可以通过多种方法来表示，下面介绍几种常见的方式。
2.1 一般式方程一般式方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D是实数且A、B和C不全为0。
一般式方程可以用来表示三维空间中的平面。
2.2 点法向式方程点法向式方程通过平面上的一个点和平面的法向量来表示平面方程。
对于平面上的一点P(x0, y0, z0)和法向量N(A, B, C)，平面的方程可以表示为A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0。
2.3 三点式方程三点式方程通过平面上的三个不共线的点来表示平面方程。
设平面上的三个点分别为P(x1, y1, z1)，Q(x2, y2, z2)和R(x3, y3, z3)，平面的方程可以表示为|(x - x1) (y - y1) (z - z1)| = 0。
|(x - x2) (y - y2) (z - z2)||(x - x3) (y - y3) (z - z3)|三、直线与平面的关系在三维空间中，直线与平面可以有不同的相对位置。
高等数学7.3 平面及其方程
求平面方程.
解：设平面上的任一点为 M( x, y, z)，M0M n 0
M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
— 平面的点法式方程
2
填空题 2分
已知平面方程为( x 2) 2( y 3) （3 z-0） 0 则法向量nr ( [填空1] ), 平面必过点（ [填空2] ）
（熟记平面的几种特殊位置的方程）
两平面的夹角.（注意两平面的位置关系）
点到平面的距离公式.
23
P0
则有 Ax1 By1 Cz1 D 0 ,
显然有 | P1P0 n| d | n| ,
P1
N
而 P1P0 n { x0 x1, y0 y1, z0 z1 }{ A, B,C }
A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C(z0 z1 )
解 由于平面过 x 轴, 所以 A = D = 0. 设所求平面的方程为 By + Cz = 0 , 又点(4, 3, 1)在平面上, 所以 3B C = 0 , C = 3B , 所求平面方程为 By 3Bz = 0 ,
显然 B 0 , 所以所求平面方程为 y 3z 0 .
Qy
x
x y z 1 平面的截距式方程 a bc
x轴上截距 y轴上截距 z 轴上截距
12
点法式方程
一般方程
两平面夹角
点到平面距离
例6 求平面6x y 4z 5 0 与三个坐标面所围四
面体的体积.
z
解 把平面方程化为截距式
x y z 1, 5/6 5 5/4
空间平面方程的五种形式
空间平面方程的五种形式
平面方程是描述平面几何形式的一种方法，有五种形式：一元二
次方程、标准形式、黄金分割法、分数解法和参数形式。
它们都有自
己的特点和作用，被广泛应用于几何计算和图形分析中。
首先，一元二次方程是表达平面几何关系的常见形式。
它经常将
平面中所有点用一元二次表达式包括，如平行四边形、圆形和椭圆等，便于编写程序和计算立体物体的表面积等。
其次，标准形式是测量学上应用广泛，它将平面建模为一个单一
的线性方程式，其形式为Ax+By+Cz=D，易于使用计算机程序来进行实
时计算。
接下来，黄金分割法旨在计算平面中的点，也可以用来测量物体
的质量，并能在实践中准确测量出X，Y两坐标。
四，分数解法是求解平面方程的一种常用方法，可以利用分数表
示平面区域的多种形式，主要是通过斜率和截距来确定一条直线。
最后，参数形式是测量物体的重要部分，它将平面上的所有点用x，y参数表示，可以得出物体在x，y两个轴上的位置，为测量物体的几何特征奠定基础。
总之，平面方程的五种形式各有特点，它们描述了平面几何形式
之间的关系，在几何计算和图形分析中有着重要的作用，为研究物体
几何特征提供了可靠的数据支持。
第四节平面方程
cos
A1A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
2 1 (1) 11 2
1，
22 (1)2 12 12 12 22 2
例4 研究平面Cz+D=0的几何特性. 解 易知所给平面法线向量n=(0,0,C)与z轴的方向平行.
因此可知Cz+D=0表示平行于Oxy坐标平面的平面. 同理Ax+D=0表示平行于Oyz坐标面； By+D=0表示平行于Oxz坐标面的平面.
例5 求过x轴，且过点(1,1,–1)的平面方程.
解 设过x轴的平面方程为By+Cz=0. 由于平面过点(1,1,–1)，因此有 B–C=0， 即B=C.将其代入所设方程并化简可得 y+z=0 为所求平面方程.
2A
C D 0,
A B C D 0,
3A 2B C D 0，
A 2 D，B 4 D，C D ,
3
3
3
代入所设平面方程并化简可得
2x–4y+z–3=0.
三、平面的截距式方程
设平面π过点M1(a,0,0)，M2(0,b,0)，M3(0,0,c)三点， 下面研究平面π的方程(其中a，b，c皆不等于0).
设两平面π1，π2的方程分别为 A1x+B1y+C1z+D1=0, A2x+B2y+C2z+D2=0.
它们的法线向量分别为 n1=(A1,B1,C1)， n2=(A2,B2,C2) ，
设这两个法线向量间的夹为 ，则由两向量的夹角
平面的四种方程公式
平面的四种方程公式在我们学习数学的旅程中，平面方程可是个相当重要的角色。
它就像是打开几何世界大门的一把神奇钥匙，能帮助我们描述和理解各种各样的平面。
今天，咱们就来好好唠唠平面的四种方程公式。
先来说说点法式方程。
想象一下，你站在一片广阔的平地上，面前有一根直直竖起的旗杆，这旗杆就像平面的法向量。
假如这旗杆底部在点$(x_0,y_0,z_0)$，而且它的方向用向量$\vec{n}=(A,B,C)$表示。
那么平面的点法式方程就是$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$。
给您讲个事儿，我之前给学生讲这个的时候，有个调皮的小家伙一直搞不懂为啥要有这个方程。
我就打了个比方，我说这就好比你要去一个陌生的地方，人家告诉你从某个标志性的大树出发，朝着特定的方向走多远就能到，这大树的位置就是那个点，走的方向就是法向量。
嘿，这小家伙一下子就明白了！接着是一般式方程$Ax + By + Cz + D = 0$。
这里的 A、B、C 可都有着特殊的含义，它们就是法向量的分量。
一般式方程用起来特别方便，不管是计算还是讨论平面的性质，都能派上大用场。
记得有一次，我出了一道用一般式方程求解平面与直线关系的题目，班上大部分同学都做得磕磕绊绊。
我就带着他们一步一步分析，从系数里找线索，最后大家都恍然大悟，那种成就感可真让人开心。
还有截距式方程$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$，这里的 a、b、c 分别是平面在 x、y、z 轴上的截距。
这个方程能让我们一下子就知道平面与坐标轴的交点情况。
就像有一回，我带着学生们去做实地测量，让他们通过测量一个平面物体与坐标轴的交点，然后用截距式方程来描述这个平面。
大家那认真劲儿，真让人觉得他们都是未来的小数学家。
最后是参数式方程，它的形式有点复杂，但用对了地方那效果可是杠杠的。
在学习平面方程的过程中，大家可能会觉得有点头疼，但是别着急，多做几道题，多想想生活中的例子，慢慢就能掌握啦。
平面方程的一般式
平面方程的一般式平面方程的一般式是指一个二次方程，用于描述平面上所有点的数学表达式。
它是解析几何中的重要工具，对于研究平面的性质、相交关系等具有重要指导意义。
本文将从生动、全面、具有指导意义的角度，介绍平面方程的一般式及其应用。
首先，平面方程的一般式通常被表示为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C和D是实数，而x、y和z是平面上某个点的坐标。
这个方程描述了平面上所有满足该关系的点的集合，以此定义了一个二维平面。
在解析几何中，平面方程的一般式具有一些重要的性质。
首先，方程中的A、B和C代表了平面的法向量的分量。
换句话说，平面上的每个点到法向量的投影和为零，这是平面方程的基本特征。
其次，方程可以通过法向量和平面上的一个点来唯一确定。
因此，通过求解平面方程，我们可以确定平面的位置、法向量和其他相关特征。
平面方程的一般式也可以用于研究平面的相交关系。
通过将两个平面的方程同时满足，我们可以找到它们的交线。
这对于计算机图形学、空间几何和工程设计等领域非常重要。
通过求解平面方程，我们可以判断两个平面是否平行、重合或相交，并计算它们的交点。
除了平面方程的一般式，还有其他形式的平面方程，如点法式方程和截距式方程等。
这些不同的表示形式可以根据具体的问题选择使用。
例如，点法式方程通过平面上的一个点和法向量来表示，更适用于在给定点和方向的情况下确定平面。
截距式方程则通过平面在坐标轴上的截距来表示，适用于直观理解平面在空间中的位置。
总之，平面方程的一般式是解析几何中的重要工具，对于研究平面的性质、相交关系等具有重要指导意义。
通过求解平面方程，我们可以确定平面的位置、法向量和其他相关特征，进而应用于计算机图形学、空间几何和工程设计等领域。
熟练掌握平面方程的一般式，将有助于我们更深入地理解和应用解析几何的知识。
空间平面的方程和性质
空间平面的方程和性质空间平面是三维空间中的一个二维平面，由三个非共线的点唯一确定。
在数学中，我们经常需要描述和研究空间平面的方程和性质。
本文将讨论空间平面的方程表示以及一些常见的性质。
一、空间平面的方程表示1. 点法向式方程对于一个给定的空间平面，我们可以通过一点和法向量来表示它的方程。
设该平面上一点为A(x1, y1, z1)，平面的法向量为n(a, b, c)，则该平面的点法向式方程为：ax + by + cz = d其中，d = ax1 + by1 + cz1。
2. 一般式方程另一种表示空间平面的方法是一般式方程。
对于一个给定的平面，我们可以通过三个系数A、B、C和常数D来表示它的方程。
该平面的一般式方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中，A、B、C不全为0。
3. 截距式方程空间平面的截距式方程是另一种常见的方程表示形式。
该方程使用平面与坐标轴的截距来表示。
设平面与x轴、y轴、z轴的截距分别为a、b、c，则截距式方程为：x/a + y/b + z/c = 1其中，a、b、c不全为0。
二、空间平面的性质1. 法向量空间平面的法向量与平面垂直，可以通过计算两个不共线的向量的叉乘来获得。
法向量在方程表示中起到了重要的作用，用于表示平面的法向式方程。
2. 平行与垂直关系两个空间平面平行的条件是它们的法向量平行或相等。
两个空间平面垂直的条件是它们的法向量垂直或点乘为零。
3. 距离计算计算一个点到一个空间平面的距离可以通过点到平面的垂直距离来实现。
设平面的点法向式方程为ax + by + cz = d，点P(x0, y0, z0)，则点P到平面的距离为：距离 = |ax0 + by0 + cz0 - d| / √(a^2 + b^2 + c^2)4. 与坐标轴的交点根据平面的截距式方程，我们可以计算平面与坐标轴的交点。
对于与x轴的交点，令y和z为0，解方程可得交点的坐标。
同样的，对于与y轴和z轴的交点也可以采用类似的方法。
3.1平面的方程
Ax＋By＋Cz＋D = 0
Y1 A= Y2
Z1 ，B= Z1
Z2
Z2
X1 ，C = X1
X2
X2
Y1 Y2
（二）一般方程的特殊情况
（1）D=0, 平面通过原点；
（2）A,B,C中一个为0,如 C=0： 1）D=0, 平面通过z轴； 2）D不为0, 平面与z轴平行。
（3）A,B,C中两个为0： 1）D=0, B=C=0平面为yoz平面； 2）D不为0, B=C=0 平面平行于yoz平面。
三、平面的法式方程
法向量：垂直于平面的非零向量
z
n
M0 M
o
y
x
注：法向量垂直于平面内任一向量
（一）点法式方程 设n={A,B,C}
z n
M0(x0,y0,z0), M(x,y,z)
x
M0
k
r 0
r
O j
i
n·(r -r0 ) =0
M
y
A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0) = 0
例3 已知点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1) 求线段
x 2
1 0
y 1
1 0
z 1
0 0 1
所求方程: x+y-1 =0
练习：已知四点 A(5,1,3),B(1,6,2)C(5,0,4)D(4,0,6)求通 过直线AB且平行于直线CD的平面.
解:平面方程为
x 5
4 1
y 1
5 0
z 3
1 0 2
所求方程: 10x+9y+5z-74=0
点法式方 程
一般方程
作业
P105: 1 (3) 5 (1)(4)(6)
平 面 方 程
即
x 2 y 3z 15 0
平面外一点 的距离公式
P0
(
x0
，y0
，z0 )
到平面π:
Ax
By Cz
D
0
d Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C 2
这就是点到平面的距离公式。
（7-13）
例6 求点 (1， 2 ，1) 到平面 2x y 2z 4 0 的距离。
解 由式（7-13）知
d 211 (2) 2 (1) 4 6 2
22 12 (2)2
3
高等数学
A1 B1 C1 A2 B2 C2
(7-11)
规定 若式中分母为零，则分子也为零；如果两平面重
合，也认为是A1A2 B1B2 C1C2 0
(7-12)
例4 求平面 2x 2 y z 3 0 与 y z 4 0 的夹角。
解 因为
n1 {2 ， 2 ，1} n2 {0 ，1，1}
→
→
M1M 2 {1，0 ，1}，M1M3 {1，1，1}
→ → ijk
n M1M2 M1M3 1 0 1 i 2 j k
1 1 1
例2 已知一个平面过点 M1(0 ，1，2)，M 2 (1，1，3) M3(1，0 ，1) ，求此平面方程。
于是所求的平面方程为
整理得
1 (x 0) 2 ( y 1) 1 (z 2) 0
高等数学
平面方程
一、平面方程
设在空间直角坐标系中给定一个平面，在
平面内取定一点 M 0 (x0 ，y0 ，z0 ) ，并以
n {A，B ，C} 表示与平面垂直的任意非零向
量，称为平面的法向量。设 M (x ，y ，z)为平面
平面系方程
平面系方程平面系方程是描述平面在三维空间中的方程。
它是通过平面上的一个点和平面的法向量来确定的。
平面系方程的一般形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C是平面的法向量的分量，D是平面到原点的距离。
平面系方程在几何学和数学中有广泛的应用。
它可以用来描述平面上的点、直线和图形的位置关系，以及平面上的投影和交点等问题。
在工程学和物理学中，平面系方程常用于建模和解决实际问题。
平面系方程的推导及应用可以通过以下几个方面进行阐述。
一、平面系方程的推导要推导平面系方程，首先需要确定平面上的一个点和平面的法向量。
假设平面上有一点P(x0, y0, z0)，而平面的法向量为n(A, B, C)。
则平面上的任意一点Q(x, y, z)到平面的距离d可以表示为：d = |(x - x0, y - y0, z - z0)·n| / |n|其中，·表示点乘运算，|n|表示n的模。
令d = 0，则得到平面系方程的一般形式。
1. 平面的位置关系平面系方程可以用来判断一个点在平面上、平面外或平面上的哪一侧。
将点的坐标代入平面系方程，如果等式成立，则点在平面上；如果大于0，则点在平面的一侧；如果小于0，则点在平面的另一侧。
2. 平面的投影平面系方程可以用来计算一个点在平面上的投影。
首先找到点到平面的垂线，然后计算垂线与平面的交点，即为点在平面上的投影。
3. 平面的交点平面系方程可以用来求解两个平面的交点。
将两个平面系方程联立，解得交点的坐标。
4. 平面的旋转和平移平面系方程可以用来描述平面的旋转和平移。
通过对平面系方程中的点坐标进行变换，可以得到旋转和平移后的平面系方程。
5. 平面的方向余弦平面系方程可以用来计算平面的方向余弦。
通过平面的法向量的分量与坐标轴的方向余弦之间的关系，可以求解平面的方向余弦。
三、小结平面系方程是描述平面在三维空间中的方程，通过平面上的一个点和平面的法向量来确定。
空间中过直线的平面方程
空间中过直线的平面方程一、简介在三维空间中，平面和直线是非常常见的几何概念。
本文将详细探讨空间中过直线的平面方程，以帮助读者更好地理解这一概念。
二、基本概念在讨论本文主题之前，我们需要先了解一些基本概念：1. 平面平面是由无限多个相互平行的直线组成的集合。
在三维空间中，平面可以由一个点和一个法向量唯一确定。
平面上的任意两个点都可以通过直线连线。
2. 直线直线是由无限多个点组成的集合，这些点之间的距离保持不变且在同一直线上。
直线也可以由一个点和一个方向向量唯一确定。
三、空间中过直线的平面方程当我们要确定一个平面时，我们需要知道平面上的一个点和该平面的法向量。
但在某些情况下，我们只知道通过一个直线，并且需要确定一个过该直线的平面。
以下是推导空间中过直线的平面方程的方法。
1. 需要的信息为了确定一个平面，我们需要以下信息：•平面上通过的一个点，设为P(x₀, y₀, z₀)。
•过直线的一个点，设为Q(x₁, y₁, z₁)。
•直线的方向向量，设为n(a, b, c)。
2. 推导过程我们可以使用法线向量来得到平面方程。
法线向量垂直于平面，因此它必须与平面上的两个向量都垂直。
我们可以使用两个向量的内积来判断它们是否垂直，即：n · PQ = 0其中，PQ是过直线和平面上点的向量。
根据向量的定义，我们可以得到：PQ = (x₁ - x₀, y₁ - y₀, z₁ - z₀)将其代入上述方程，得到：a(x₁ - x₀) + b(y₁ - y₀) + c(z₁ - z₀) = 0进一步展开，得到平面方程：ax + by + cz = d其中，d是一个常数。
3. 特殊情况在某些情况下，直线的方向向量与平面的法向量平行或共线。
这意味着直线和平面没有交点，平面方程不存在。
四、示例演算为了更好地理解推导过程，我们来看一个示例演算。
1. 信息假设我们要求一个过直线L的平面方程，其中L通过点P(1, 2, 3)且具有方向向量n(2, -1, 4)。
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M0 M { x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
平面的点法式方程
其中法向量 n { A, B,C }, 已知点 ( x0 , y0 , z0 ). 平面上的点都满足上方程，不在平面上的
点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形．
B22
C
2 2
两平面夹角余弦公式
两平面位置特征：
(1) 1 2 A1A2 B1 B2 C1C2 0;
(2)
1 //
2
A1 A2
B1 B2
C1 . C2
例6 研究以下各组里两平面的位置关系：
(1) x 2 y z 1 0, y 3z 1 0 (2) 2 x y z 1 0, 4x 2 y 2z 1 0 (3) 2x y z 1 0, 4x 2 y 2z 2 0
n2 n1
1 : A1x B1 y C1 z D1 0,
2 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n1 { A1,B1 ,C1 },
1
n2 { A2 ,B2 ,C2 },
按照两向量夹角余弦公式有
cos
| A1A2 B1 B2 C1C2 |
A2 1
B12
C12
A2 2
二、平面的一般方 程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
D
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
法向量 n { A, B,C }.
平面一般方程的几种特殊情况：
(1) D 0, 平面通过坐标原点； D 0, 平面通过x 轴；
解 (1) cos| 1 0 2 1 1 3 |
(1)2 22 (1)2 12 32
cos
1 60
两平面相交，夹角 arccos
1. 60
(2) n1 {2,1,1}, n2 {4,2,2} 2 1 1 , 两平面平行 4 2 2 M (1,1,0) 1 M (1,1,0) 2
Ax0 By0 Cz0 ( Ax1 By1 Cz1 ), A2 B2 C 2
Ax1 By1 Cz1 D 0 ( P1)
Pr jn P1P0
Ax0 By0 Cz0 D , A2 B2 C 2
d | Ax0 By0 Cz0 D | . A2 B2 C2 点到平面距离公式
由平面过原点知 D 0, 由平面过点(6,3, 2)知 6 A 3B 2C 0 n{4,1,2}, 4 A B 2C 0 A B 2 C,
3 所求平面方程为 2 z三轴分别交于P(a,0,0)、 Q(0, b,0)、R(0,0, c)（其中a 0，b 0，c 0），
四、小
结
点法式方程.
平面的方程 一般方程.
截距式方程.
（熟记平面的几种特殊位置的方程）
两平面的夹角.（注意两平面的位置特征）
点到平面的距离公式.
两平面平行但不重合．
(3) 2 1 1, 两平面平行 4 2 2
M (1,1,0) 1 M (1,1,0) 2
两平面重合.
例 7 设P0( x0 , y0 , z0 )是平面Ax By Cz D 0 外一点，求 P0到平面的距离.
解 P1( x1 , y1 , z1 )
d | Pr jn P1P0 |
例 1 求过三点A(2,1,4)、B(1,3,2)和 C(0,2,3)的平面方程. 解 AB {3, 4,6}
AC {2, 3,1} 取 n AB AC {14, 9,1}, 所求平面方程为 14( x 2) 9( y 1) (z 4) 0,
化简得 14 x 9 y z 15 0.
Pr j P P P P n0
P1
n10
10
n P0
N
P1P0 { x0 x1 , y0 y1 , z0 z1 }
n0
A ,
A2 B 2 C 2
B ,
A2 B 2 C 2
C
A2
B2
C
2
Pr j P P P P n0
n10
10
A( x0 x1 ) B( y0 y1) C(z0 z1 ) A2 B2 C 2 A2 B2 C 2 A2 B2 C 2
1, 6c
令 1 1 1 t 6a b 6c
a 1 , b 1, c 1 ,
6t
t
6t 代入体积式
1 1 1 1 1 6 6t t 6t
t1, 6
a 1, b 6, c 1,
所求平面方程为 6 x y 6z 6.
三、两平面的夹 角
定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的 夹角.（通常取锐角）
求此平面方程.
解 设平面为Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0,
cC D 0,
AD, B D, CD .
a
b
c
将A D, B D, C D ,
a
b
c
代入所设方程得
x y z 1 平面的截距式方程 a bc
x轴上截距 y轴上截距 z轴上截距
例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x y z 7和 3x 2 y 12z 5 0的平面方程.
解 n1 {1,1,1}, n2 {3, 2,12} 取法向量 n n1 n2 {10,15, 5},
所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0, 化简得 2x 3 y z 6 0.
一、平面的点法式方
程
z
n
如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做
M0 M
该平面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
已知 n { A, B, C }, M0 ( x0 , y0 , z0 ),
设平面上的任一点为 M ( x, y, z)
必有 M0 M n M0 M n 0
例 5 求平行于平面6x y 6z 5 0而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
解 设平面为 x y z 1,
z
a bc
V 1, 1 1 abc 1, 32
o
y
x
由所求平面与已知平面平行得
111 （向量平行的充要条件） a b c ,
616
化简得
1 6a
1 b
(2) A 0, D 0, 平面平行于x 轴； 类似地可讨论 B 0, C 0 情形. (3) A B 0, 平面平行于xoy 坐标面； 类似地可讨论 A C 0, B C 0 情形.
例 3 设平面过原点及点(6,3, 2)，且与平面 4x y 2z 8垂直，求此平面方程. 解 设平面为 Ax By Cz D 0,