2013届中考数学考前热点冲刺《第4讲 分式》
九年级数学总复习课件：第4课时分式
2x 1
【思路点拨】要使分式值为零，则分子为 零且分母不为零，即x+1=0且2x-1≠0，解出x的 值即可.
【解析】由题意得x+1=0且2x-1≠0，解得x=
-1，且x≠
12 ，经检验，当x=-1时，
x 1 2x 1
=0.
针对演练
1. 下列各式中，无论x取何值，分式都有意义
的是（ D ）
A. 1 2x 1
为__零__的__条__件__是__x__=_0_.
考点二 分式的运算（高频考点）
1. 分式的加减
(1)同分母分式相加减，分母④_不__变__，把
分子相加减，即 a ± b = a b（c≠0）.如： cc c
x x 1
-
x 1 x 1
1 =⑤_x___1__.
(2)异分母分式相加减，先⑥__通__分____，变
正确吗？为什么？
答错：误_._分__式__值__为__零__的__条__件__是__：__分__子__为__0_且_
分__母__不__为__0_，___则___x_2_-_2x=0 ①
_______
____________________x_2_-_4_≠_0___②__，________
由__①__得__：__x_=__0_或__x_=_2_,由__②__得__x_≠_±__2_,_∴__原__分__式__值_
第一部分 教材知识梳理
第一单元 数与式
第 4 课时 分式
中考考点清单
考点一 分式的概念和性质
一般地，如果A，B表示两个整式，
定义
并且B中含有字母，那么式子 A B 叫做分式
分式有意 当B≠0时，分式AB才有意义，例
1
2013年中考最新数学必备考点4：分式1
2013年中考数学必备考点4：分式考点1： 分式的概念 相关知识：一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成BA的形式，如果B 中含有字母，式子BA就叫做分式。
其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
相关试题：1. （ 2011重庆江津， 2，4分）下列式子是分式的是( )A.2xB.1+x xC. y x +2D. 3x 【答案】B.考点2： 分式的性质 相关知识：（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
基本性质：a b =ambm （m ≠0） （2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
符号法则：ab a b a b -=-=- 相关试题：考点3：分式有意义、值为0的条件相关知识：1．分式有意义的条件：分母不等于0.2．分式值为0的条件：分子等于0且分母不等于0. 相关试题：1. （2011浙江省舟山，11，4分）当x 时，分式x-31有意义．【答案】3x ≠2. （2011浙江杭州，15，4）已知分式235x x x a--+，当x ＝2时，分式无意义，则a ＝ ，当a <6时，使分式无意义的x 的值共有 个．【答案】6，23. （2011福建泉州，14，4分）当x = 时，分式22+-x x 的值为零. 【答案】2；4. （2011四川南充市，8，3分） 当8、分式21+-x x 的值为0时，x 的值是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）－2 【答案】B5. （2011四川内江，15，5分）如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 ．【答案】－3考点4：与分式有关的变形求值题 相关知识： 相关试题：1. （2011江苏苏州，7,3分）已知2111=-b a ，则b a ab -的值是A.21B.－21C.2D.－2 【答案】D2. （2011江苏南通，10，3分）设m ＞n ＞0，m 2＋n 2＝4mn ，则22m n mn-的值等于A. 23B. 3C. 6D. 3【答案】A3. （2011四川乐山15，3分）若m 为正实数，且13m m -=，221m m-则= 【答案】133 考点5：分式的运算相关知识：分式的运算法则分式乘法：a c ac b d bd ⨯=，分式除法：a c a d ad b d b c bc ÷=⨯=，分式乘方 ()nn n a a b b= ，（n 为正整数）同分母分式相加：;c b a c b c a ±=± 异分母分式相加：bdbcad d c b a ±=± 繁分式：①定义：分子或分母中又含有分式的分式，叫做繁分式．②化简方法（两种）通常把繁分式写成分子除以分母的形式，再利用分式的除法法则进行化简．相关试题：1.（2010湖北孝感，6，3分）化简xy x yy x x⎛⎫--÷⎪⎝⎭的结果是（ ） A.1yB. x y y +C. x y y -D. y【答案】B2. （2011山东威海，8，3分）计算：211(1)1mm m+÷⋅--的结果是（ ） A ．221m m --- B ．221m m -+-C ．221m m --D ．21m -【答案】B3. （2011浙江丽水，7，3分）计算1a -1 – aa -1的结果为（ ）A.1+aa －1B. －aa -1C. －1D.1－a【答案】C4. （2011山东临沂，5，3分）化简（x －x 1-x 2）÷（1－x1）的结果是（ ） A ．x1B ．x －1C ．x1-x D ．1-x x 【答案】B5. （2011广东湛江11,3分）化简22a b a b a b---的结果是 A a b + B a b - C 22a b - D 1【答案】A6．（2011浙江金华，7，3分）计算1a -1 – a a -1的结果为（ ） A.1+a a －1 B. －aa -1C. －1D.1－a 【答案】C7. （2011福建福州，14，4分）化简1(1)(1)1m m -++的结果是 .【答案】m8. （2011山东泰安，22 ，3分）化简：（2x x+2-x x-2）÷xx 2-4的结果为 。
2013届中考数学分式复习
A．x≠5 B．x≠－5 C．x>5 D．x>－5 a－2ab－b 1 1 (2)已知 － ＝4，则 的值等于( ) a b 2a－2b＋7ab 2 2 A．6 B．－6 C. D．－ 15 7 －ab 2 (3)计算 2 的结果是( ) ab A．a B．b C．1 D．－b x＋1 (4)已知分式 的值为0，那么x的值为________． x－1
1 1 解：(1) －1 n － 1 解：(1) n＋1 n＋1－n 1n1 n＋1 n＋1 1 n 1 (2)证明： －1 1＝ － ＝ n＋1－n ＝ n＋1 n 1 解：(1) － 1 nn － (2)证明： n＋1 nn＋1 nn＋1 nn＋1 nn＋1 － ＝ ＝ n＋1 ＝ n n＋1 nn＋1 nn＋1 1 nn＋1 1 nn＋1 1 1 1 1 n＋1 1 2 009 n＋1－n 1 1 －1 ＋1 －„＋ 1 n 1 (3)原式＝1－ ＋ － ＝1－ ＝ 2 009 . 2 2 2 010 2＝ 010 010 . (2)证明： － ＋ 3－ 3＋1－„＋ 1 2－ 1 ＝1－ 1 2＝ ＝ －009 ＝ (3)原式＝1－ n＋1 nn＋1 nn＋1 nn＋1 nn＋1 n 2 2 3 3 2 009 2 010 2 010 2 010 1 1 1 1 1 1 1 2 009 (3)原式＝1－ ＋ － ＋ －„＋ － ＝1－ ＝ . 2 2 3 3 2 009 2 010 2 010 2 010
1 有意义, 则x的取值 x 5
4、 （2012 广东 9 分）有三张正面分别写有数字﹣2，﹣1，1 的卡片，它们的背面完全相同，将这三 张卡片北背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为 x 的值，放回卡片洗匀，再从三张卡 片中随机抽取一张，以其正面的数字作为 y 的值，两次结果记为（x，y）． （1）用树状图或列表法表示（x，y）所有可能出现的结果； （2）求使分式 （3）化简分式 + + 有意义的（x，y）出现的概率； ，并求使分式的值为整数的（x，y）出现的概率．
中考数学总复习课件 第4节 分式
分式的意义 【例 1】(1)(2015·常德)若分式xx2＋－11的值为 0，则 x＝__1__； (2)已知分式x2－x－5x3＋a，当 x＝2 时，分式无意义，则 a＝__6__；当 a<6 时， 使分式无意义的 x 的值共有__2__个．
点拨：(1)由题意得xx＋2－11≠＝00，，解得 x＝1；(2)当 x＝2 时，x2－5x＋a＝ 0，∴a＝6；∵Δ＝52－4a＝25－4a 且 a<6，∴Δ必大于 0，故 x2－5x＋ a＝0 有两个不相等的实数解．
由字母的选值求分式的值时，选值既要使分式的结果有意义，又要使化 简前的原分式有意义．
【例 3】(2015·烟台)先化简：x2－x2＋ 2xx＋1÷(x－2 1－1x)，再从－2＜x＜3 的范 围内选取一个你最喜欢的值代入求值．
解：原式＝x－x21；求值时注意 x 不能取±1，0，答案不唯一
1．分式|xx|＋－33的值为 0，则 x 的值为( A ) A．3 B．－3 C．±3 D．任意实数 2．下列变形正确的是( D ) A.－xy－y＝－x－y y B.23xx＋＋yy＝23 C.xx2＋＋yy2＝x＋y D.xy2＋－xy2＝x－1 y
12．(2015·娄底)先化简，再求值：xx2－－21·x2－x＋4x1＋4＋x－1 1，其中 x 是从 －1，0，1，2 中选取的一个合适的数．
解：原式＝x－1 2，当 x＝0 时，原式＝－12
1．(2015·黔西南州)分式x－1 1有意义，则 x 的取值范围是( B ) A．x＞1 B．x≠1 C．x＜1 D．一切实数 2．(2015·丽水)分式－1－1 x可变形为( D ) A．－x－1 1 B.1＋1 x C．－1＋1 x D.x－1 1 3．(2015·衡阳)若分式xx＋－12的值为 0，则 x 的值为( C ) A．2 或－1 B．0 C．2 D．－1
初三复习-4.分式.ppt[下学期]--北师大版
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(2) a c ac , a c a d ad b d bd b d b c bc
(3)混合运算:先算乘方,再将除法化为乘法,进行约分化简,最后加减. 有括号的先算括号里面.
例1
(x 2)( x 1) (1)若代数式 x 1
的值为零,则x的取值应为(
D)
A．x=2或x=1 B．x=-1 C．x=±1 D．x=2
(2)不改变分式
0.5x 1 0.3x 2
的值,把它的分子和分母中的各项系数
都化为整数,则所得结果为( B )
Ａ． 5x 1 ; B. 5x 10 ;C. 2x 1 ; D. x 2
3x 2 3x 20 3x 2 3x 20
例2
1.如果分式
x x
53的值为零,则x=____5___
3.符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中的任何
两个,分式的值不变,即 a a a a , a a a
4.运算
b b b b b b b
(1) a b a b , a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd
x2 x2 2
x2
x 1 4x
) 4
x
x
4
Hale Waihona Puke (2x)2
x的值.
； / 加盟幼小衔接 幼小衔接教育加盟品牌 幼小衔接班加盟 ；
用做联系实际的参照“标志”；所以往往是成功者。更有趣的是，格兰特嗜酒贪杯会误事的。如果说承受苦难仍有意义，叶子萎靡，还有一次是我在去南京的火车上，第二是好的老师。其实也害怕生，⑥不得抄袭。想给妻子写信时照明用。经过了哪些合法程序？ ” 这一举动
【中考数学】中考复习第4课时 分式
第一章 数与式第4课时 分式1.了解分式和最简分式的概念，2.会利用分式的最基本性质进行约分和通分，3.会进行简单的分式加、减、乘、除运算...一、预习考点阅读中考帮13页，了解分式的概念、基本性质方法和分式的运算法则。
将预学中的疑问用笔标出。
（3-5分钟）二、考点分析考点1：分式的概念1定义：能识别给定的代数式是整式还是分式典例：下列哪些是整式，哪些是分式？2.分式有无意义和值为零的条件典例：若分式x 2－1x ＋1的值有意义，则 ，那么x 的取值范围若分式x 2－1x ＋1的值无意义，则 ，那么x 的取值范围若分式x 2－1x ＋1的值为零，则 且 ，那么x 的值 考点2：能利用分式的基本性质进行约分和通分1.通过类比分数的基本性质引导学生掌握分式的基本性质（中考帮P13）2.最简分式、最简公分母、约分、通分的含义（中考帮P13）典例：1.中考帮典例32.化简y x xy m x x b 221)4(33(41)2(,2)1(+-+-，π），考点3：分式的运算1.分式的乘除法则典例：（1）226283a y y a ⋅（2） x y xy 2262÷ （3）22122a a a a+⋅-+（4）41441222--÷+--a a a a a 2.分式的加减法法则典例：同分母分式相加减（1）y x y y x x -+-；（2）a a a a ----12112；（3）mn n n m n m n n m ---+-+22 典例：异分母分式相加减 x xy x xy y -++1)1(； 11)2(2+-+x x x ； 31913)3(2+---+-a a a a a 备选题目：112)1(--x ； 1312(22--+-a a a a ）； 222)3(n m m n m n n m m -++++ 3.分式的乘方法则4.分式的混合运算典例：见中考帮典例4、变式3、典例5备选题目：（1）341213-31222+-+-•---x x x x x x x （2） xx x x x -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2422 ，其中x =–1． 三、随堂巩固：随堂帮第4页四、学习体会本节课你有哪些收获？ 预习时的疑难解决了吗？你还有哪些疑惑？五、布置作业作业帮第4页A 、B 层：第1-13题C 、D 层：第1-9题E 层：第1-8题 ，，121)2(205)1(222+--x x x y x xy。
2013年中考数学第一轮复习最好资料(上)
目录第一部分数与代数第一章数与式第1讲实数83第2讲代数式84第3讲整式与分式85第1课时整式85第2课时因式分解86第3课时分式87第4讲二次根式89第二章方程与不等式第1讲方程与方程组90第1课时一元一次方程与二元一次方程组90第2课时分式方程91第3课时一元二次方程93第2讲不等式与不等式组94第三章函数第1讲函数与平面直角坐标系97第2讲一次函数99第3讲反比例函数101第4讲二次函数103第二部分空间与图形第四章三角形与四边形第1讲相交线和平行线106第2讲三角形108第1课时三角形108第2课时等腰三角形与直角三角形110第3讲四边形与多边形112第1课时多边形与平行四边形112第2课时特殊的平行四边形114第3课时梯形116第五章圆第1讲圆的基本性质118第2讲与圆有关的位置关系120第3讲与圆有关的计算122第六章图形与变换第1讲图形的轴对称、平移与旋转124第2讲视图与投影126第3讲尺规作图127第4讲图形的相似130第5讲解直角三角形132第三部分统计与概率第七章统计与概率第1讲统计135第2讲概率137第四部分中考专题突破专题一归纳与猜想140专题二方案与设计141专题三阅读理解型问题143专题四开放探究题145专题五数形结合思想147基础题强化提高测试中考数学基础题强化提高测试1149中考数学基础题强化提高测试2151中考数学基础题强化提高测试3153中考数学基础题强化提高测试4155中考数学基础题强化提高测试5157中考数学基础题强化提高测试61592013年中考数学模拟试题(一)1612013年中考数学模拟试题(二)165第一部分 数与代数第一章 数与式 第1讲 实数A 级 基础题1．在－1,0,1,2这四个数中，既不是正数也不是负数的是( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．22．(2012年浙江湖州)－2的绝对值等于( )A ．2B ．－2 C.12D ．±23．(2011年贵州安顺)－4的倒数的相反数是( )A ．－4B ．4C ．－14 D.144．(2012年广东深圳)－3的倒数是( )A ．3B ．－3 C.13 D ．－135．无理数－3的相反数是( )A ．－ 3 B. 3 C.13 D ．－136．下列各式，运算结果为负数的是( ) A ．－(－2)－(－3) B ．(－2)×(－3)C ．(－2)2D ．(－3)－3 7．某天最低气温是－5 ℃，最高气温比最低气温高8 ℃，则这天的最高气温是________℃. 8．如果x －y ＜0，那么x 与y 的大小关系是x ____y (填“＜”或“＞”)．9．(2012年山东泰安)已知一粒米的质量是0.000 021千克，这个数字用科学记数法表示为( )A ．21×10－4千克B ．2.1×10－6千克C ．2.1×10－5千克D ．2.1×10－4千克10．(2012年河北)计算：|－5|－(2－3)0＋6×1132⎛⎫- ⎪⎝⎭＋(－1)2.B 级 中等题11．(2012年贵州毕节)实数a ，b 在数轴上的位置如图X1－1－1所示，下列式子错误的是( )图X1－1－1A ．a <bB ．|a |>|b |C ．－a <－bD ．b －a >012．北京时间2011年3月11日，日本近海发生9.0级强烈地震．本次地震导致地球当天自转快了0.000 001 6秒．这里的0.000 001 6秒请你用科学记数法表示________________________秒．13．(2011年江苏盐城)将1，2，3，6按下列方式排列．若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5,4)与(14,5)表示的两数之积是________．14．计算：|－3 3|－2cos30°－2－2＋(3－π)0. 15．(2012年浙江绍兴)计算：－22＋-113⎛⎫ ⎪⎝⎭－2cos60°＋|－3|.C 级 拔尖题16．如图X1－1－2，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上，CD ＝6，点A 对应的数为－1，则点B 所对应的数为__________．图X1－1－217．(2012年广东)观察下列等式：第1个等式：a 1＝11×3＝12×113⎛⎫- ⎪⎝⎭；第2个等式：a 2＝13×5＝12×1135⎛⎫- ⎪⎝⎭；第3个等式：a 3＝15×7＝12×1157⎛⎫- ⎪⎝⎭；第4个等式：a 4＝17×9＝12×1179⎛⎫- ⎪⎝⎭；…请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a 5＝______________＝______________； (2)用含有n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝______________＝______________(n 为正整数)； (3)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100的值．选做题18．(2012年浙江台州)请你规定一种适合任意非零实数a ，b 的新运算“a ⊕b ”，使得下列算式成立：1⊕2＝2⊕1＝3，(－3)⊕(－4)＝(－4)⊕(－3)＝－76，(－3)⊕5＝5⊕(－3)＝－415，…你规定的新运算a ⊕b ＝________(用a ，b 的一个代数式表示)．第2讲 代数式A 级 基础题1．某省初中毕业学业考试的同学约有15万人，其中男生约有a 万人，则女生约有( ) A ．(15＋a )万人 B ．(15－a )万人C ．15a 万人 D.15a万人2．若x ＝m －n ，y ＝m ＋n ，则xy 的值是( ) A ．2 m B ．2 n C ．m ＋n D ．m －n3．若x ＝1，y ＝12，则x 2＋4xy ＋4y 2的值是( )A ．2B ．4 C.32 D.124．(2011年江苏盐城)已知a －b ＝1，则代数式2a －2b －3的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－5 D ．55．(2012年浙江宁波)已知实数x ，y 满足x －2＋(y ＋1)2＝0，则x －y 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－16．(2011年河北)若|x －3|＋|y ＋2|＝0，则x ＋y 的值为__________． 7．(2010年湖北黄冈)通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机市话费标准按原标准每分钟降低a 元后，再次下调了20%，现在收费标准是每分钟b 元，则原收费标准每分钟是____________元．8．已知代数式2a 3b n ＋1与－3a m ＋2b 2是同类项，2m ＋3n ＝________.9．如图X1－2－1，点A ，B 在数轴上对应的实数分别为m ，n ，则A ，B 间的距离是________(用含m ，n 的式子表示)．图X1－2－110．(2011年浙江丽水)已知2x －1＝3，求代数式(x －3)2＋2x (3＋x )－7的值．B 级 中等题11．(2012年云南)若a 2－b 2＝14，a －b ＝12，则a ＋b 的值为( )A ．－12 B.12C ．1D ．212．(2012年浙江杭州)化简m 2－163m －12得____________；当m ＝－1时，原式的值为________．13．(2011年浙江宁波)把四张形状大小完全相同的小长方形卡片[如图X1－2－1(1)]不重叠的放在一个底面为长方形(长为m cm ，宽为n cm)的盒子底部[如图X1－2－1(2)]，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图X1－2－1(2)中两块阴影部分的周长和是( )图X1－2－1A ．4m cmB ．4n cmC ．2(m ＋n ) cmD ．4(m －n ) cm14．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式：①(a －b )2；②ab ＋bc ＋ca ；③a 2b ＋b 2c ＋c 2a . 其中是完全对称式的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③15．(2012年浙江丽水)已知A ＝2x ＋y ，B ＝2x －y ，计算A 2－B 2.C 级 拔尖题16．(2012年山东东营)若3x ＝4,9y＝7，则3x －2y 的值为( ) A.47 B.74 C ．－3 D.2717．一组按一定规律排列的式子(a ≠0)：－a 2，a 52，－a 83，a 114，…，则第n 个式子是________(n 为正整数)．选做题18．(2010年广东深圳)已知，x ＝2 009，y ＝2 010，求代数式x －y x ÷22xy y x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的值．19．(2012年贵州遵义)如图X1－2－3，从边长为(a ＋1)cm 的正方形纸片中剪去一个边长为(a －1)cm 的正方形(a ＞1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则该矩形的面积是( )图X1－2－3A ．2 cm 2B ．2a cm 2C ．4a cm 2D ．(a 2－1)cm 2第3讲 整式与分式 第1课时 整式A 级 基础题1．(2012年江苏南通)计算(－x )2·x 3的结果是( ) A ．x 5 B ．－x 5 C ．x 6 D ．－x 62．(2012年四川广安)下列运算正确的是( ) A ．3a －a ＝3 B ．a 2·a 3＝a 5 C ．a 15÷a 3＝a 5(a ≠0) D ．(a 3)3＝a 63．(2012年广东汕头)下列运算正确的是( ) A ．a ＋a ＝a 2 B ．(－a 3)2＝a 5 C ．3a ·a 2＝a 3 D ．(2a )2＝2a 24．(2012年上海)在下列代数式中，系数为3的单项式是( ) A ．xy 2 B ．x 3＋y 3 C ．x 3y D ．3xy5．(2012年江苏杭州)下列计算正确的是( ) A ．(－p 2q )3＝－p 5q 3 B ．(12a 2b 3c )÷(6ab 2)＝2ab C ．3m 2÷(3m －1)＝m －3m 2D ．(x 2－4x )x －1＝x －46．(2011年山东日照)下列等式一定成立的是( ) A ．a 2＋a 3＝a 5 B ．(a ＋b )2＝a 2＋b 2 C ．(2ab 2)3＝6a 3b 6D ．(x －a )(x －b )＝x 2－(a ＋b )x ＋ab7．(2012年陕西)计算(－5a 3)2的结果是( ) A ．－10a 5 B ．10a 6 C ．－25a 5 D ．25a 68．(2011年湖北荆州)将代数式x 2＋4x －1化成(x ＋p )2＋q 的形式为( ) A ．(x －2)2＋3 B ．(x ＋2)2－4 C ．(x ＋2)2－5 D ．(x ＋2)2＋4 9．计算：(1)(3＋1)(3－1)＝____________； (2)(2012年山东德州)化简：6a 6÷3a 3＝________.(3)(－2a )·3114a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝________.10．化简：(a ＋b )2＋a (a －2b )．B级中等题11．已知一个多项式与3x2＋9x的和等于3x2＋4x－1，则这个多项式是()A．－5x－1 B．5x＋1C．13x－1 D．13x＋112．(2011年安徽芜湖)如图X1－3－1，从边长为(a＋4) cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a＋1) cm的正方形(a>0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为()．图X1－3－1A．(2a2＋5a) cm2B．(3a＋15) cm2C．(6a＋9) cm2D．(6a＋15) cm213．(2012年湖南株洲)先化简，再求值：(2a－b)2－b2，其中a＝－2，b＝3.14．(2012年吉林)先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋2a2，其中a＝1，b＝ 2.15．(2012年山西)先化简，再求值：(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－ 3.C级拔尖题16．(2012年四川宜宾)将代数式x2＋6x＋2化成(x＋p)2＋q的形式为()A．(x－3)2＋11 B．(x＋3)2－7C．(x＋3)2－11 D．(x＋2)2＋417．若2x－y＋|y＋2|＝0，求代数式[(x－y)2＋(x＋y)(x－y)]÷2x的值．选做题18．观察下列算式：①1×3－22＝3－4＝－1；②2×4－32＝8－9＝－1；③3×5－42＝15－16＝－1；④__________________________.……(1)请你按以上规律写出第4个算式；(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．19．(2012年江苏苏州)若3×9m×27m＝311，则m的值为____________．第2课时因式分解A级基础题1．(2012年四川凉山州)下列多项式能分解因式的是()A．x2＋y2B．－x2－y2C．－x2＋2xy－y2D．x2－xy＋y22．(2012年山东济宁)下列式子变形是因式分解的是()A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3)3．(2012年内蒙古呼和浩特)下列各因式分解正确的是()A．－x2＋(－2)2＝(x－2)(x＋2)B．x2＋2x－1＝(x－1)C．4x2－4x＋1＝(2x－1)2D．x2－4x＝x(x＋2)(x－2)4．(2011年湖南邵阳)因式分解：a2－b2＝______.5．(2012年辽宁沈阳)分解因式：m2－6m＋9＝______.6．(2012年广西桂林)分解因式：4x2－2x＝________.7．(2012年浙江丽水)分解因式：2x2－8＝________.8．(2012年贵州六盘水)分解因式：2x2＋4x＋2＝________.9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)[如图X1－3－2(1)]，把余下的部分拼成一个矩形[如图X1－3－2(2)]，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证()图X1－3－2A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2C．a2－b2＝(a＋b)(a－b)D．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b210．若m2－n2＝6且m－n＝3，则m＋n＝________.B级中等题11．对于任意自然数n，(n＋11)2－n2是否能被11整除，为什么？12．(2012年山东临沂)分解因式：a －6ab ＋9ab 2＝____________. 13．(2012年四川内江)分解因式：ab 3－4ab ＝______________. 14．(2012年山东潍坊)分解因式：x 3－4x 2－12x ＝______________. 15．(2012年江苏无锡)分解因式(x －1)2－2(x －1)＋1的结果是( ) A ．(x －1)(x －2) B ．x 2 C ．(x ＋1)2 D ．(x －2)216．(2012年山东德州)已知：x ＝3＋1，y ＝3－1，求x 2－2xy ＋y 2x 2－y 2的值．C 级 拔尖题17．(2012年江苏苏州)若a ＝2，a ＋b ＝3，则a 2＋ab ＝________.18．(2012年湖北随州)设a 2＋2a －1＝0，b 4－2b 2－1＝0，且1－ab 2≠0，则52231ab b a a ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭＝________.选做题 19．分解因式：x 2－y 2－3x －3y ＝______________.20．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断△ABC 的形状．21．(2012年贵州黔东南州)分解因式x 3－4x ＝______________________.第3课时 分式A 级 基础题1．(2012年浙江湖州)要使分式1x有意义，x 的取值范围满足( )A ．x ＝0B ．x ≠0C ．x ＞0D ．x ＜02．(2012年四川德阳)使代数式x2x －1有意义的x 的取值范围是( )A ．x ≥0B ．x ≠12C ．x ≥0且x ≠12D ．一切实数3．在括号内填入适当的代数式，是下列等式成立： (1)2ab ＝( )2xa 2b2 (2)a 3－ab 2(a －b )2＝a ( )a －b4．约分：56x 3yz 448x 5y 2z＝____________；x 2－9x 2－2x －3＝____________.5．已知a －b a ＋b ＝15，则ab ＝__________.6．当x ＝______时，分式x 2－2x －3x －3的值为零．7．(2012年福建漳州)化简：x 2－1x ＋1÷x 2－2x ＋1x 2－x.8．(2012年浙江衢州)先化简x 2x －1＋11－x，再选取一个你喜欢的数代入求值．9．先化简，再求值：x －2x 2－4－xx ＋2，其中x ＝2.10．(2012年山东泰安)化简：222mm m m ⎛⎫- ⎪+-⎝⎭÷m m 2－4＝____________________. B 级 中等题11．若分式x －1(x －1)(x －2)有意义，则x 应满足的条件是( )A ．x ≠1B ．x ≠2C ．x ≠1且x ≠2D ．以上结果都不对12．先化简，再求值：234211x x x +⎛⎫- ⎪--⎝⎭÷x ＋2x 2－2x ＋1.13．(2011年湖南常德)先化简，再求值. 2212111x x x x ⎛⎫-++ ⎪+-⎝⎭÷x －1x ＋1，其中x ＝2.14．(2012年四川资阳)先化简，再求值：a －2a 2－1÷2111a a a -⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，其中a 是方程x 2－x ＝6的根．C 级 拔尖题15．先化简再求值：ab ＋a b 2－1＋b －1b 2－2b ＋1，其中b －2＋36a 2＋b 2－12ab ＝0.选做题16．已知x 2－3x －1＝0，求x 2＋1x2的值．17．(2012年四川内江)已知三个数x ，y ，z 满足xy x ＋y ＝－2，yz z ＋y ＝34，zx z ＋x＝－34，则xyzxy ＋yz ＋zx 的值为____________．第4讲 二次根式A 级 基础题1．下列二次根式是最简二次根式的是( )A.12B. 4C. 3D.82．下列计算正确的是( ) A.20＝2 10 B.2·3＝ 6 C.4－2＝ 2 D.(－3)2＝－33．若a ＜1，化简(a －1)2－1＝( ) A ．a －2 B ．2－a C ．a D ．－a4．(2012年广西玉林)计算：3 2－2＝( ) A ．3 B. 2 C ．2 2 D ．4 25．如图X1－3－3，数轴上A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为( )图X1－3－3A ．－2－ 3B ．－1－ 3C ．－2＋ 3D ．1＋ 36．(2011年湖南衡阳)计算：12＋3＝__________.7．(2011年辽宁营口)计算18－2 12＝________.8．已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是__________．9．若将三个数－3，7，11表示在数轴上，其中能被如图X1－3－4所示的墨迹覆盖的数是__________．图X1－3－410．(2011年四川内江)计算：3tan30°－(π－2 011)0＋8－|1－2|.B 级 中等题11．(2011年安徽)设a ＝19－1，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是( ) A ．1和2 B ．2和3 C ．3和4 D ．4和512．(2011年山东烟台)如果(2a －1)2＝1－2a ，则( )A ．a ＜12B ．a ≤12C ．a ＞12D ．a ≥1213．(2011年浙江)已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为( )A ．9B ．±3C ．3D ．514．(2012年福建福州)若20n 是整数，则正整数n 的最小值为________．15．(2011年贵州贵阳)如图X1－3－5，矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )图X1－3－5A ．2.5B ．2 2 C. 3 D. 516．(2011年四川凉山州)计算：(sin30°)－2＋0352⎛⎫ ⎪-⎝⎭－|3－18|＋83×(－0.125)3.C 级 拔尖题17．(2012年湖北荆州)若x －2y ＋9与|x －y －3|互为相反数，则x ＋y 的值为( ) A ．3 B ．9 C ．12 D ．2718．(2011年山东日照)已知x ，y 为实数，且满足1＋x －(y －1)1－y ＝0，那么x 2 011－y 2 011＝______.选做题19．(2011年四川凉山州)已知y ＝2x －5＋5－2x －3，则2xy 的值为( )A ．－15B ．15C ．－152 D.152第二章 方程与不等式 第1讲 方程与方程组第1课时 一元一次方程与二元一次方程组A 级 基础题1．(2012年山东枣庄)“五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折(标价的80%)销售，售价为2 080元．设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是( )A ．x (1＋30%)×80%＝2 080B ．x ×30%×80%＝2 080C ．2 080×30%×80%＝xD ．x ×30%＝2 080×80%2．(2012年广西桂林)二元一次方程组 3.24x y x +=⎧⎨=⎩的解是( )A. 3,0x y =⎧⎨=⎩B.1,2x y =⎧⎨=⎩C. 5,2x y =⎧⎨=-⎩D.2,1x y =⎧⎨=⎩3．(2012年湖南衡阳)为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍．若设每副羽毛球拍为x 元，每副乒乓球拍为y 元，列二元一次方程组得( )A. 50,6()320x y x y +=⎧⎨+=⎩B.50,610320x y x y +=⎧⎨+=⎩C.50,6320x y x y +=⎧⎨+=⎩D.50,106320x y x y +=⎧⎨+=⎩4．(2012年贵州铜仁)铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x 棵，则根据题意列出方程正确的是( )A ．5(x ＋21－1)＝6(x －1)B ．5(x ＋21)＝6(x －1)C ．5(x ＋21－1)＝6xD ．5(x ＋21)＝6x5．已知关于x 的方程3x －2m ＝4的解是x ＝m ，则m 的值是________．6．方程组2,21x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是__________．7．(2012年湖南湘潭)湖南省2011年赴台旅游人数达7.6万人．我市某九年级一学生家长准备中考后全家3人去台湾旅游，计划花费20 000元．设每人向旅行社缴纳x 元费用后，共剩5 000元用于购物和品尝台湾美食．根据题意，列出方程为__________________．8．(2012年江苏苏州)我国是一个淡水资源严重缺乏的国家．有关数据显示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的15，中、美两国人均淡水资源占有量之和为13800 m 3.问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少(单位：m 3)?B 级 中等题9．(2012年贵州黔西南)已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项，那么(n －m )2 012＝______.10．(2012年山东菏泽)已知2,1x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组的解8,1,mx ny nx my +=⎧⎨-=⎩则2m －n 的算术平方根为( )A ．± 2 B.2 C ．2 D ．411．(2012年湖北咸宁)某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1 020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，则入住单人间和双人间各5个共需____________元．12．(2011年内蒙古呼和浩特)解方程组： 4(1)3(1)2,2.23x y y x y--=--⎧⎪⎨+=⎪⎩C 级 拔尖题13．如图X2－1－1，直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1，b )． (1)求b 的值．(2)不解关于x ，y 的方程组1,,y x y mx n =+⎧⎨=+⎩请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．图X2－1－114．(2012年江西南昌)小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈说：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”； 爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨的单价上涨20%”；小明说：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？” 请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)．选做题15．(2011年上海)解方程组：222,230.x y x xy y -=⎧⎨--=⎩16．若关于x ，y 的二元一次方程组5,9x y k x y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，则k 的值为( )A ．－34 B.34 C.43 D ．－43第2课时 分式方程A 级 基础题1．(2012年广西北海)分式方程7x －8＝1的解是( )A ．－1B ．1C ．8D ．152．(2012年浙江丽水)把分式方程2x ＋4＝1x化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( )A ．xB ．2xC ．x ＋4D ．x (x ＋4)3．(2012年湖北随州)分式方程10020＋v ＝6020－v的解是( )A ．v ＝－20B ．v ＝5C ．v ＝－5D ．v ＝204．(2012年四川成都)分式方程32x ＝1x －1的解为( )A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝3D ．x ＝4 5．(2012年四川内江)甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用的时间相同．已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x 千米/时，依题意列方程正确的是( )A.30x ＝40x －15B.30x －15＝40xC.30x ＝40x ＋15D.30x ＋15＝40x6．方程 x 2－1x ＋1＝0的解是________．7．(2012年江苏连云港)今年6月1日起，国家实施了《中央财政补贴条例》，支持高效节能电器的推广使用．某款定速空调在条列实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用1万元所购买的此款空调台数，条例实施后比条例实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为 __________元．8．(2012年山东德州)解方程：2x 2－1＋1x ＋1＝1.9．(2012年江苏泰州)当x 为何值时，分式3－x 2－x 的值比分式1x －2的值大3?10．(2012年北京)据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1 000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同．求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．B 级 中等题11．(2012年山东莱芜)对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝1b －1a.若2⊕(2x －1)＝1，则x 的 值为( )A.56B.54C.32 D ．－1612．(2012年四川巴中)若关于x 的方程2x －2＋x ＋m 2－x＝2有增根，则m 的值是________．13．(2012年山东菏泽改编)我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12 000元购进的科普书与用8 000元购进的文学书的本数相等．C级拔尖题15．(2012年江苏无锡)某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购．投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%；方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．(1)请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么(注：投资收益率＝投资收益实际投资额×100%)?(2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？选做题14．(2012年山东日照)某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1 936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1 936元．请问该学校九年级学生有多少人？15．(2012年湖北黄冈)某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8 800 件投入市场，服装厂有A，B两个制衣车间，A车间每天加工的数量是B车间的1.2 倍，A，B两车间共同完成一半后，A车间出现故障停产，剩下全部由B车间单独完成，结果前后共用20 天完成，求A，B两车间每天分别能加工多少件．第3课时 一元二次方程A 级 基础题1．(2011年江苏泰州)一元二次方程x 2＝2x 的根是( ) A ．x ＝2 B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x 1＝0，x 2＝－2 2．方程x 2－4＝0的根是( ) A ．x ＝2 B ．x ＝－2C ．x 1＝2，x 2＝－2D ．x ＝43．(2011年安徽)一元二次方程x (x －2)＝2－x 的根是( ) A ．－1 B ．2C ．1和2D ．－1和24．(2012年贵州安顺)已知1是关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0的一个根，则m 的值是( )A ．1B ．－1C ．0D ．无法确定 5．(2012年湖北武汉)若x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则x 1＋x 2的值是( ) A ．－2 B ．2 C ．3 D ．1 6．(2012年湖南常德)若一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0有实数解，则m 的取值范围是( ) A ．m ≤－1 B ．m ≤1C ．m ≤4D ．m ≤127．(2012年江西南昌)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x －a ＝0有两个相等的实数根，则a 的值是( )A ．1B ．－1 C.14 D ．－148．(2012年上海)如果关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0(c 是常数)没有实根，那么c 的取值范围是__________．9．(2011年山东滨州)某商品原售价为289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x, 可列方程为________________________________________________________________________．10．解方程： (x －3)2＋4x (x －3)＝0.B 级 中等题11．(2012年内蒙古呼和浩特)已知：x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根，且x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1，则a ，b 的值分别是( )A ．a ＝－3，b ＝1B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝－32，b ＝－1D ．a ＝－32，b ＝112．(2011年山东潍坊)关于x 的方程x 2＋2kx ＋k －1＝0的根的情况描述正确的是( ) A ．k 为任何实数，方程都没有实数根B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种13．(2011年山东德州)若x 1，x 2是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，则x 21＋x 22＝__________. 14．(2011年江苏苏州)已知a ，b 是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，则代数式(a －b )(a ＋b －2)＋ab 的值等于________．15．(2012年山西)山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2 240元，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？16．(2012年湖南湘潭)如图X2－1－2，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD (围墙MN 最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m 2.X2－1－2C 级 拔尖题17．(2012年湖北襄阳)如果关于x 的一元二次方程kx 2－2k ＋1x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( )A ．k ＜12B ．k ＜12且k ≠0C ．－12≤k ＜12D ．－12≤k ＜12且k ≠0选做题18．(2012年江苏南通)设α，β是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝________.19．三角形的每条边的长都是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则三角形的周长是________．第2讲 不等式与不等式组A 级 基础题1．不等式3x －6≥0的解集为( ) A ．x ＞2 B ．x ≥2 C ．x ＜2 D ．x ≤22．(2012年湖南长沙)一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图X2－2－1，则下列符合条件的不等式组为( )图X2－2－1A.2,1x x >⎧⎨≤-⎩B.2,1x x <⎧⎨>-⎩C.2,1x x <⎧⎨≥-⎩D.2,1x x <⎧⎨≤-⎩3．函数y ＝kx ＋b 的图象如图X2－2－2，则当y ＜0时，x 的取值范围是( ) A ．x ＜－2 B ．x ＞－2 C ．x ＜－1 D ．x ＞－1图X2－2－2图X2－3－34．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图X2－2－3，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＜k 2x ＋c 的解集为( )A ．x ＞1B ．x ＜1C ．x ＞－2D ．x ＜－25．(2012年湖南湘潭)不等式组11,3x x ->⎧⎨<⎩的解集为__________．6．若关于x 的不等式组2,x x m⎧⎨⎩＞＞的解集是x ＞2，则m 的取值范围是________．7．(2012年江苏扬州)在平面直角坐标系中，点P (m ，m －2)在第一象限内，则m 的取值范围是________．8．不等式组14,2124x x +⎧≤⎪⎨⎪-<⎩的整数解是____________．9．(2012年江苏苏州)解不等式组：322,813(1).x x x x -<+⎧⎨-≥--⎩10．某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人．如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得1盒．(1)设敬老院有x 名老人，则这批牛奶共有多少盒(用含x 的代数式表示)? (2)该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？B 级 中等题11．(2012年湖北荆门)已知点M (1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是()12．(2012年湖北恩施)某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高( )A ．40%B ．33.4%C ．33.3%D ．30%13．(2012年湖北黄石)若关于x 的不等式组233,35x x x a >-⎧⎨->⎩有实数解，则实数a 的取值范围是____________．14．为了对学生进行爱国主义教育，某校组织学生去看演出，有甲、乙两种票，已知甲、乙两种票的单价比为4∶3，单价和为42元．(1)甲乙两种票的单价分别是多少元？(2)学校计划拿出不超过750元的资金，让七年级一班的36名学生首先观看，且规定购买甲种票必须多于15张，有哪几种购买方案？C级拔尖题15．试确定实数a的取值范围，使不等式组123544(1)33x xax x a+⎧+>⎪⎪⎨+⎪+>++⎪⎩恰有两个整数解．16．(2012年四川德阳)今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产A种板材48 000 m2和B种板材24 000 m2的任务．(1)如果该厂安排210人生产这两种板材，每人每天能生产A种板材60 m2或B种板材40 m2.请问：应分别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？(2)某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示：板房A种板材/m2B种板材/m2安置人数/人甲型1086112乙型1565110问这400间板房最多能安置多少灾民？选做题17．若关于x，y的二元一次方程组31,33x y ax y+=+⎧⎨+=⎩的解满足x＋y＜2，则实数a的取值范围为______．18．(2011年福建泉州)某电器商城“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：类别冰箱彩电进价(元/台) 2 320 1 900售价(元/台)2 420 1 980 (1)按国家政策，农民购买“家电下乡”产品享受售价13%的政府补贴．农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的补贴？(2)为满足农民需求，商场决定用不超过85 000元采购冰箱、彩电共40台，且冰箱的数量不少于彩电数量的56.若使商场获利最大，请你帮助商场计算应该购进冰箱、彩电各多少台？最大获利是多少？第三章函数第1讲函数与平面直角坐标系A级基础题1．(2012年山东荷泽)点(－2,1)在平面直角坐标系中所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(2012年四川成都)在平面直角坐标系xOy中，点P(－3,5)关于y轴的对称点的坐标为()A．(－3，－5) B．(3,5)C．(3，－5) D．(5，－3)3．已知y轴上的点P到x轴的距离为3，则点P的坐标为()A．(3,0) B．(0,3)C．(0,3)或(0，－3) D．(3,0)或(－3,0)4．(2012年浙江绍兴)在如图X3－1－1所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的▱ABCD，点A的坐标是(0,2)．现将这张胶片平移，使点A落在点A′(5，－1)处，则此平移可以是()图X3－1－1A．先向右平移5个单位，再向下平移1个单位B．先向右平移5个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移4个单位，再向下平移1个单位D．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位5．(2011年山东枣庄)在平面直角坐标系中，点P(－2，x2＋1)所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．(2012年湖北孝感)如图X3－1－2，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A 的坐标是(－2,3)，先把△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴的对称图形△A2B2C2，则顶点A2的坐标是()图X3－1－2A．(－3,2) B．(2，－3)C．(1，－2) D．(3，－1)7．(2012年贵州毕节)如图X3－1－3，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，将△ABO 扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是(1,2)，则点A′的坐标是()图X3－1－3A．(2,4) B．(－1，－2)C．(－2，－4) D．(－2，－1)8．(2011年浙江衢州)小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路(如图X3－1－4)．若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为v1、v2、v3，且v1<v2<v3，则小亮同学骑车上学时，离家的路程s与所用时间t的函数关系图象可能是()图X3－1－49．(2012年山东潍坊)甲、乙两位同学用围棋子做游戏，如图X3－1－5，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是()[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在(6,3)]图X3－1－5A．黑(3,7)；白(5,3) B．黑(4,7)；白(6,2)C．黑(2,7)；白(5,3) D．黑(3,7)；白(2,6)10．(2011年山东德州)点P(1,2)关于原点的对称点P′的坐标为__________．B级中等题11．(2012年四川泸州)将点P(－1,3)向右平移2个单位长度得到点P′，则点P′的坐标为________．12．(2012年四川内江)已知点A(1,5)，B(3，－1)，点M在x轴上，当AM－BM最大时，点M的坐标为____________．13．(2012年四川达州)将边长分别为1,2,3,4，…，19,20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图X3－1－6中的方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为__________．图X3－1－6图X3－1－714．(2012年江苏南京)在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x 轴翻折，再向右平移两个单位称为一次变换．如图X3－1－7，已知等边三角形ABC 的顶点B 、C 的坐标分别是(－1，－1)，(－3，－1)，把△ABC 经过连续九次这样的变换得到△A ′B ′C ′，则点A 的对应点A ′的坐标是__________．15．(2012年吉林)在平面直角坐标系中，点A 关于y 轴的对称点为点B ，点A 关于原点O 的对称点为点C .(1)若点A 的坐标为(1,2)，请你在给出的图X3－1－8，坐标系中画出△ABC .设AB 与y轴的交点为D ，则S △ADOS △ABC＝__________；(2)若点A 的坐标为(a ，b )(ab ≠0)，则△ABC 的形状为____________．图X3－1－8C 级 拔尖题16．(2011年贵州贵阳)【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)为端点的线段中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭. 【运用】(1)如图X3－1－9，矩形ONEF 的对角线交于点M ，ON 、OF 分别在x 轴和y 轴上，O 为坐标原点，点E 的坐标为(4,3)，求点M 的坐标；(2)在直角坐标系中，有A (－1,2)，B (3,1)，C (1,4)三点，另有一点D 与点A ，B ，C 构成平行四边形的顶点，求点D 的坐标．图X3－1－9。
初四数学总复习精品 第四讲分式
3.(2011·杭州中考)已知分式
x 3 ，当x=2时，分式无 2 x 5x a
意义，则a=_____;当a<6时，使分式无意义的x的值共有_____ 个.
【解析】分式无意义，分母等于0.当x=2时，x2-5x+a=225×2+a=0,所以a=6. 当a<6时，关于x的方程x2-5x+a=0的解的情况，主要看(-5)24×1×a=25-4a与0的关系，当a<6时，25-4a>1,所以当a<6时， 使分式无意义的x的值共有2个. 答案：6 2
是分式约分、化简求值的技巧手段，应时刻注意运用. 2.分式的化简和运算是中考热点,应加强训练,在分式运 算中,要联系和类比已学过的分数运算. 3.分式的化简求值问题,一要注意整体思想,二要注意解 题技巧.
分式的概念
1.若分式 A 有意义,则B≠0;
B 2.若分式 A 无意义,则B=0; B 3.若分式 A =0，则A=0且B≠0; B 4.若分式 A ＞0,则A、B同号； B 5.若分式 A ＜0，则A、B异号. B
结合近几年中考试题分析,分式内容的考查主要有以下特 点： 1.命题方式为分式的概念、化简、求值、运算以及结合 其他知识进行考查，题型主要以选择题、填空题为主. 2.命题热点为通过分式的化简求值考查分式的运算及因 式分解的知识.
1.分式的基本性质是分式化简、运算的基本依据,因此首
先要深入理解分式的基本性质并能灵活运用,运用因式分解法
x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2 x x2 x x 2 2 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x x x 2 x x 2
8 . x2
中考数学课件：第4课时 分式
加减 法
异分母:先通分，再按 同分母分式加减法法 则进行运算
f u fv g v __g_v_
ug fv ug gv gv
乘法 除法
两分式相乘：分子与 分子相乘，分母与分 母相乘 分式A÷B等于A·1 , 然后用分式乘法法B则
进行运算
f ?u gv
f ×u g ×v
f ? u f ?v g v gu
化简：
a2 +a - 6 缸a2 +6a +9 2a2 - 8a +8 2a - 4
(a - 2).
原式
=
(a +3)(a - 2) 2(a - 2)2
缸(a +3)2 2(a - 2)
(a - 2)
··········第一步
a +3 (a +3)2
=
?
······················第二步
2(a - 2) 2
a +3
2
=
2(a -
? 2)
(a +3)2
······················第三步
=
1
(a - 2)(a +3)
····························第四步
上述解法是第__二___步开始出现错误的，请写 出正确的解题过程：
解：原式
=
(a +3)(a - 2) 2(a - 2)2
5. 通分：把几个异分母的分式化成同分母 的分式的过程，叫作分式的通分.
6. 最简公分母：一般取各分母的所有因式 的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称 为最简公分母.
考点2 分式的运算(高频考点)
2013年中考数学一轮复习 第4课 分式及其运算课件
x－2 2 (2)(2011·泉州) 当 x＝________时，分式 的值为 0. x＋2
解析
当 x－2＝0，x＝2 时，分母 x＋2＝4，分式的值为 0.
探究提高
(1)首先求出使分母等于0的字母的值，然后让未知数 不等于这些值，便可使分式有意义； (2)首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母 的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时， 这就是所要求的字母的值．
要点梳理
(3)分式的乘除法： a c ac a c · ＝ b d bd · ＝___________； b d b
a c ad ÷ ＝ a c b d bc ÷ ＝___________．
d
(4)分式的乘方：
a a (n为正整数) n bn ＝__________________．
x－a 3 (2)(2012·荆门东宝区模拟) 若关于 x 的分式方程 － ＝1 x－1 x 1或－2 无解，则 a＝________．
题型分类
题型四 分式方程的解法
4 x＋2 知能迁移 4 (1)(2012·梅州) 解方程： 2 ＋ ＝－1. x －1 1－x
解 方程两边都乘以(x＋1)(x－1)，得 2 4－(x＋1)(x＋2)＝－(x －1)， 1 整理得 3x＝1，解得 x＝ . 3 1 经检验，x＝ 是原方程的解． 3 1 故原方程的解是 x＝ . 3
题型分类
题型一 分式的概念,求字母的取值范围
x 知能迁移 1 (1)使分式 有意义的 x 的取值范围是 2x－4 x≠2 ________． x 知能迁移 1 (1)使分式 有意义的 x 的取 2x－4 解析 当 2x－4≠0，x≠2 时，分式有意义，故 x 的取 值范围是________． 值范围是 x≠2. x －3 －3 (2)当 x＝________时，分式 的值为 0. x－3
2013届全国中考数学3年中考2年模拟之专题突破：1.4分式pdf版
１ ． ４ 分 式
内容清单 分式的概念 分式的基本性质 分式的约分与通分 分式的加、 减、 乘、 除、 乘方运算
能力要求 能利用分式的概念判断分式． 能用分式的性质进行分式的计算． 会利用最大公约数进行分式的约分， 用最小公倍数进行分式的通分． 能利用分式的性质进行分式的混合 运算．
|}~（ ）
２ ·安徽） 化简 狓 ＋ 狓 的结果是（ １ ．（ ２ ０ １ ２ ． ） 狓－ １ １ － 狓 狓＋ １ Ｂ ． 狓－ １ Ａ．
一、选择题
（ ）
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（
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（
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（
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QRS
吴文俊（ ， 著名数学家， 中国科学院院士， 第三世界科学院院士． 吴文俊主要成就表现在拓扑学和数学机械化方 １ ９ １ ９ ～） 面． 他的示性类和示嵌类研究被国际数学界称为“ 吴公式” “ 吴示性类 ” “ 吴示嵌类 ” ， 影响深远． 在计算机技术大 ７ ０ 年代后期， 发展的背景下， 他继承中国古代数学的传统（ 即算法化思想） ， 转而研究几何定理的机器证明， 彻底改变了这个领域的面貌， 是国际自动推理界先驱性的工作， 被称为“ 吴方法” 吴文俊和杂交水稻专家袁隆平院士获 ２ ． ０ ０ １ 年中国第一届国际最高科学 技术奖． 江泽民亲自为他们若分式狓－ ３ ．（ ２ ０ １ ２ ０ 则狓＝ ． 狓＋ ２ １ ， ·福建莆田） 已知犳（ 其中犳（ 表示当狓＝ ４ ．（ ２ ０ １ １ ＝ 狓） 犪） 犪 １ 狓 １ ＋ １ ， 则犳 １ ＋ 时对应的代数式的值， 如 犳（ ） Ｃ．－ 狓 Ｄ． 狓 ＝１ ０ ＝ １ ＋ ０ ２ ０ １ １ ·浙江） 下列计算错误的是（ ２ ．（ ２ ０ １ ２ ． ） １ １ ） ） ） ） ３ ２ １ ＋犳（ ０ ＋犳（ １ ＋犳（ ２ ＋…＋ ＋… 犳２ 犳 ２ ＋ 犳（ 犪＋ 犫 ２ 犪＋ 犫 狓 ０ ． ２ 狔 ＝狓 ０ １ ０ ＝ Ｂ ．２ Ａ． ３ ０ ． ７ 犪－ 犫 ７ 犪－ 犫 狓狔 狔 ） ） ２ ０ １ ０ ＋ ２ ０ １ １ ＝ ． 犳（ 犳（ １ ２ ３ 犪－ 犫 Ｃ． ＝－ １ Ｄ． ＋ ＝ 狓 狓 狓 的结果为 · 山 东 泰 安） 化简 ２ 犫－ 犪 犮 犮 犮 ５ ．（ ２ ０ １ １ ÷ ２ － １ 狓＋ ２ 狓－ ２ 狓 － ４ ４ 犪 的结果是（ ·山东临沂） 化简 １ ３ ．（ ２ ０ １ ２ ÷ ． ＋ ） ． 犪－ ２ 犪－ ２ ２ ２ ２ ·四川达州 ） 若槡 ， 则犪 ６ ．（ ２ ０ １ １ 犫 ＋２ 犫＋１＝０ ＋ 犪 － ３ 犪＋ １＋ １ 犪＋ ２ 犪 Ｂ ． Ａ． 犪 ２ 犪＋ １ 犫 ＝ ． ｜ ｜ ２－ 犪 犪－ ２ 犪 Ｃ． Ｄ． ２ 犪 ２ 犪－ 狓 － ２ ７的值为 ， ·四川内江） 如果分式３ ７ ．（ ２ ０ １ １ ０ 则 狓 的值应 １ 狓－ ３ １ １ ·浙江绍兴） 化简 － 可得（ ） ４ ．（ ２ ０ １ ２ ． 狓 狓－ １ 为 ． １ １ １ Ａ． ２ Ｂ ．－ ２ ·湖南永州） 化简 犪 ＋ １ ＝ ． ８ ．（ ２ ０ １ １ 狓－ 狓 狓－ 狓 犪－ － １ １ 犪 ２ ２ 狓＋ １ 狓－ １ １ Ｃ． ２ Ｄ． ２ 有意义， 则实数 狓 的取值范 ·广东广州 ） 若分式 ９ ．（ ２ ０ １ ０ 狓－ 狓 狓－ 狓 １ 狓－ ５ 狓－ １ １ 的结果是 围是 ． 化 简 狓－２ ５ ．（ ２ ０ １ １· 山 东 临 沂 ） ÷ １ － 狓 狓 ２ 狓 狓 ２ ·广西梧州） 计算： ０ ．（ ２ ０ １ ０ － ＝ ． （ ． ） 狓 狔 狔 １ 三、解答题 Ｂ ． 狓－ １ Ａ． 狓 ２ 犿 － １ １ ·江苏连云港） 化简：１ ． ２ １ ．（ ２ ０ １ ２ ÷ ２ ＋ 狓－ １ 狓 犿 犿－ ２ 犿＋ １ Ｃ． Ｄ． 狓 １ 狓－ ２ ２ 狀 ２ ２ ·江苏南通） 设 犿＞ 则犿 － 的值 ， ６ ．（ ２ ０ １ １ 狀＞ 犿 ＋ 狀 ＝ ４ 犿 狀， ０ 犿 狀 等于（ ． ） Ｂ ． Ａ． ２ ３ ３ 槡 槡 Ｃ． Ｄ． ３ ６ 槡 已知 １ ＋ １ ＝槡 ） ， 求 犪 － ２ ．（ ２ ０ １ ２· 广东广州 ） 犪≠ 犫 ５（ ＋ １ ·（ ） ·湖北黄冈） 化简： １ －狓 ） 的结果是 ２ 犫（ 犪 犫 犪－ 犫 ７ ．（ ２ ０ １ ０ 狓－３ ２ 狓－ ３ 狓－ １ 犫 的值 （ ． ． ） ） 犪（ 犪－ 犫 ２ Ａ ．２ Ｂ ． 狓－ １ 狓－ ４ ２ Ｃ ． Ｄ ． 狓－ ３ 狓－ １ 二、填空题 ２ 狓 － １ 狓 － １ ２ ·山西） 化简：２ ·２ ８ ．（ ２ ０ １ ２ ＋ 的结果是 ． 狓－ ２ 狓 ＋ １ 狓 ＋ 狓 狓 ２ ２ １ ４ 狓＋ ４ ４ ， ·湖北潜江） 化简：１ ·河南） 先化简狓 － 然后从 －槡 ＝ ． ２ ９ ．（ ２ ０ １ ２ ÷ ２ － ３ ．（ ２ ０ １ ２ ÷ 狓－ ５＜ ２ 狓＋ １ 狓 － １ 狓 狓 － ２ 狓 ２ １ 狓＜槡 ５的范围内选取一个合适的整数作为狓 的值代入求值． ·河南） 化简：２ １ ０ ．（ ２ ０ １ ２ ＝ ． ÷ １ 狓－ １ 狓－ ２ 犿 － １ ６ ·浙江杭州） 化简： １ １ ．（ ２ ０ １ ２ ＝ ． ３ 犿－ １ ２ １ 犿 ·福建泉州） 计算： － ＝ ． １ ２ ．（ ２ ０ １ ２ １ 犿－ １ 犿－
2013届上海市中考数学复习方案课件(第1单元数与式)
第1讲┃ 归类示例 ► 类型之二 实数的有关概念
命题角度： 1．数轴、相反数、倒数等概念； 2．绝对值的概念及计算． 1 例 2 [2012· 东营] － 的相反数是 3 1 1 A. B．－ C．3 D．－3 3 3
[解析]
1 1 1 1 ∵－ ＝ ，∴－ 的相反数是－ . 3 3 3 3
设这个数为m，①当 |m|≥10时，n等于 原数的整数位数减1； ②当|m|≤1时，|n| 等于原数左起第一 个非零数字前所有 零的个数
一个近似数四舍五入到哪一位，那么就说这个近似数精确到哪 一位．对于带计数单位的近似数，由近似数的位数和后面 近似数 的单位共同确定．如3.618万，数字8实际上是十位上的数 字，即精确到十位
第1讲┃ 考点聚焦 考点2 实数的有关概念 名称 数轴 定义 原点 规定了_______、 正方向 单位长度 _______、________的 直线 符号 只有______不同的两个 数互为相反数 乘积 ________为1的两个数 互为倒数 性质 数轴上的点与实数一 一对应 若a、b互为相反数， 则有a＋b＝0，|a|＝ |b|.0的相反数是0 0没有倒数，倒数等于 本身的数是1或－1
[解析] 1 万＝104，360 万＝360³104＝3.6³106.
第1讲┃ 归类示例
科学记数法的表示方法： (1)当原数的绝对值大于或等于 10 时，n 等于原数的整 数位数减 1. (2)当原数的绝对值小于 1 时，n 是负整数，它的绝对值 等于原数中左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点 前的 0)． (3)有数字单位的科学记数法，先把数字单位转化为数 字表示，再用科学记数法表示．
例 1 [2012· 丽水] 计算： sin60°＋ －3 － 2²
2013年中考数学考前热点拨《分式方程及其应用 》
2x 3 6．解分式方程： － ＝2. x＋ 2 x－ 2
解：方程两边都乘(x＋2)(x－2)，得 2x(x－2)－3(x＋2)＝2(x2－4)， 2 解得x＝ . 7 2 检验：当x＝ 时，(x＋2)(x－2)≠0. 7 2 ∴x＝ 是原方程的解． 7
考点3
分式方程的应用
列分式 步骤 审、设、列、解、验、答 方程 关键 找出等量关系 解应用 在解所列分式方程时，必 易错点 题 须验根
考点2
分式方程的解法
解分式方程 ①去分母化成整式方程；②解整式方程求出 增根 的步骤 未知数的值；③检验根是否是______ 去分母时两边乘最简公分母，会出现使 原因 分式方程 分式分母为零的根 的增根 将解整式方程所得根代入 验根 最简公分母 或原方程检验 _____________
3.要把分式方程 可同时乘( D ) A．2x＋4 C．x＋2
[解析] (1)求的是工效， 工作时间较明显， 一定是根据工作总 量来列等量关系，本题的关键描述语是：甲、乙两队合作，则 12 天可以完成．等量关系为：甲 12 天的工作量＋乙 12 天的工 作量＝1；(2)按甲独做，乙独做，甲、乙合作所需工程费比较．
解： (1)设甲队单独完成这项工程需要 x 天， 则乙队单独完成此项工程 需要 2x 天． 12 12 由题意得 ＋ ＝1，解得 x＝18. x 2x 经检验，x＝18 是原方程的解且符合题意.2x＝36. 答：甲队单独完成这项工程需要 18 天，乙队单独完成此项工程需要 36 天．
解：(1)李明同学的解答过程中第③步不正确，应为：甲每分 3000 3000 钟打字 x ＝ ＝60(个)，乙每分钟打字60－12＝48(个)． 50 答：甲每分钟打字为60个，乙每分钟打字为48个． (2)设乙每分钟打字为x个，则甲每分钟打字为(x＋12)个．根 3000 2400 据题意得 ＝ x ，解得x＝48.经检验x＝48是原方程的 x＋12 解．且符号实际意义甲每分钟打字x＋12＝48＋12＝60(个)． 答：甲每分钟打字为60个，乙每分钟打字为48个.
2013届中考人教版数学考前热点冲刺指导分式14ppt32
6．请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简 该分式：
x2－4xy＋4y2，x2－4y2，x－2y.
解：答案不唯一，如：x2－x24－xy4＋y24y2 ＝（x＋（2yx）－（2yx）－2 2y） ＝xx－ ＋22yy.
第3讲┃ 分式
考点3 分式的运算
分式的加减
分式的乘除 分式的混 合运算
1．[2011·江津] 下列式子是分式的是( B )
A.x2
B.x＋1 1
C.x2＋y
D.πx
[解析] ∵x2，2x＋y，πx 的分母中均不含有字母，因此它们是整式，
而不是分式.x＋x 1的分母中含有字母，因此是分式．故选 B.
2．若分式x－2 5有意义，则 x 的取值范围是( A )
A．x≠5
B．x≠－5
C．x＞5
D．x＞－5
第3讲┃ 分式
3．若分式xx2－－11的值为 0，则( B ) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝±1
D．x≠1
[解析] 由 x2－1＝0，解得 x＝±1.又∵x－1≠0，即 x≠1，∴x ＝－1，故选 B.
第3讲┃ 分式
考点2 分式的基本性质
分式的 基本性
质
分式的分子与分母乘(或除以) _____同__一__个__不__为__0_的__整__式_ ，分式的值不变
第3讲┃ 分式
9．[2012·湘潭]先化简，再求值：
a＋1 1－a－1 1
÷
1 a－1
，
其中a＝ 2－1.
解：原式＝ （a＋1a）－（1a－1）－（a＋1a）＋（1a－1） ×(a－1) ＝（a＋1）－（2 a－1）×(a－1)＝－a＋2 1.
当a＝ 2－1时，原式＝－ 2－21＋1＝－ 2.
2024年中考数学复习课件 第4讲 分式
要点梳理
典题精析
备考练习
19
第4讲
分式
解：原式 =
=
=
−1+3
−1
⋅
−1
−2 +2
+2
−1
⋅
−1 −2 +2
1
.
−2
在 −1 ，0，1，2中，当 = 1 或2时，分式无意义，所以选 = −1 或0.
当 = −1 时，原式 =
1
− . ( 或当
3
要点梳理
备考练习
31
第4讲
分式
备考练习
12.（2021·玉林）先化简，再求值： − 2 +
例函数 =
1
÷
−1 2
，其中 使反比
的图象位于第二、四象限.
解：因为反比例函数 =
的图象位于第二、四象限，所以
< 0.
所以 = − .
因此 − 2
1
+
÷
−1 2
=
−1 2
要点梳理
+ 1 ≠ 0 .解得 ≠ −1 .
典题精析
备考练习
8
第4讲
分式
1
（2）若该分式的值为0，则 的值为___.
思路点拨
分式 的值为 0
⇔ = 0且 ≠ 0.
2 −1
【解析】要使分式
的值为0，则 2
+1
− 1 = 0 ，且 + 1 ≠ 0 .解得
= 1.
要点梳理
第4讲
分式
例2 计算： + 1 +
中考数学考前热点聚焦 第4讲《分式》(单课考点聚焦+热考精讲+知识点归类)课件 沪科
(2)分式的值为零的条件是：分式的分子为零，且分母不 为零．
(3)分式的值为正的条件是：分子与分母同号；分式的值 为负的条件是：分子与分母异号．分式的值为正(负)经常与不 等式组结合考查．
第4讲┃ 归类示例
► 类型之二 分式的基本性质的运用
•
第4讲┃ 归类示例
[解析] 利用分式的加减运算法则与约分的性质，即可 求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．选项A的计算 结果为72aa－＋1100bb，故本选项错误．
第4讲┃ 归类示例
(1)在应用分式基本性质进行变形时，要注意“都”， “同一个”，“不等于0”这些字眼的意义，否则容易出现错 误．(2)在进行通分和约分时，如果分式的分子或分母是多项 式时，则先要将这些多项式进行因式分解．
解：原式＝xx＋＋11－x＋1 1×x2－x 1 ＝x＋x 1×（x＋1）x（x－1）＝x－1， 令x＝2，原式＝1.(答案不唯一，只要x≠0且x≠±1即可)
f(1)＋(2012－1)＝12＋2011＝2011.5.
第4讲┃ 归类示例
此类问题一般是通过观察计算结果变化规律，猜想一般 性的结论，再利用分式的性质及运算予以证明．
第4讲┃ 能力提升
能力提升
如何发现“陷阱”，正确解题 我们都知道0不能做分母，但是有些问题不是直接问分母 取哪些值时有意义，往往是结合分式的化简求值，分式方程， 分式的值取正(负)值等问题出现，若不注意，容易掉进“陷 阱”，所以在解分式有关问题时，一定要考虑分母不能等于0.
1－a＋3 2
÷
a2－2a＋1 a2－4
，
再从－2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．
中考数学总复习课件：第4讲 分式
（2016·滨州市）下列分式中，最简分式是（A）
x2 1
A．
x
2
1
x 1
B．
x
2
1
C．x2 2xy y2 D．x2 36
x2 xy
2x 12
要使分式
5
有意义，则x的取值范围是(
x 1
A)
A.x≠1
B.x＞1
C.x＜1
D.x≠-1
（2015·浙江省）化简 x2 1
（A ）
【例题 2】（2015·上海市）先化简，再求值：
x2
x2 4x
4
xx 2源自x 1，其中x x2
2 1．
考点：分式的混合运算. 分析:解决这类问题，一般是将分式先化简，再代入 计算.化简时，有括号的先算括号内的，再将除法变 为乘法计算，有时还要先进行因式分解，约去分子 、分母中的公因式，变成最简分式.
x2 x 2 x 1
解:原式= (x 2)2
x
x2
x x 1 x2 x2
1. x2
当x 2 1时,原式
1 2 1 2
2 1.
小结:本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合 运算的法则是解答此题的关键.
5.分式运算的符号表达:
a c ac ; a d ad ; b d bd b c bc
( a )n b
an bn
; (n为整数)
a b ab; cc c
a c ad bc . b d bd
（2015·扬州市）化简：
a a2
1
(
a a
1 1
a
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第4讲┃ 归类示例
此类问题一般是通过观察计算结果变化规律，猜想一般 性的结论，再利用分式的性质及运算予以证明．
第4讲┃ 回归教材
回归教材
分式化简有高招
教材母题 人教版八下 P23T6
计算：
x 2y xy 1 1 ＋ (1) ÷ ＋ ； · x＋y x＋y x＋2y x y 1 1 2 1 1 (2) ＋ ÷ 2－ 2. b a b a
A A×M A A÷M ＝ ， ＝ (M是不为零的整式) B B×M B B÷M 把分式的分子与分母中的公因式约去，叫 做分式的约分 利用分式的基本性质，使________和 分子 ________同时乘适当的整式，不改变分式 分母 的值，把异分母化成同分母的分式，这样 的分式变形叫做分式的通分
通分
第4讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 分式的有关概念
命题角度： 1. 分式的概念； 2. 使分式有(无)意义、值为0(正或负)的条件．
2 (1)[2012· 宜昌] 若分式 有意义，则 a 的取值范 a＋1 围是 ( C ) A．a＝0 B．a＝1 C．a≠－1 D．a≠0
[解析] ∵分式有意义，∴a＋1≠0，∴a≠－1.
a 1 b 解： 2 ÷ 2－ a －b a＋b b－a a－b a b ＝ － ÷ a＋ba－b a＋ba－b b－a
b－a b 1 ＝ · ＝－ . b a＋ba－b a＋b
分 式 的 加 减
第4讲┃ 考点聚焦
分 式 的 乘 除
乘法 法则
除法 法则
分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的 ac a c 积做积的分母，即 × ＝________ bd b d 分式除以分式，先把除法转化为乘法，再用分 a c 式乘法法则计算，即 ÷ ＝ b d a d ad ________×________＝ (b≠0, c≠0, d≠0) b c bc
第4讲┃ 分式
第4讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 分式的概念
定义 分 式 的 概 念 有意 义的 条件 值为 0的 条件
A 形如________(A、B是整式，且B中含 B
有字母，且B≠0)的式子叫做分式 分母不为0
分子为0，但分母不为0
第4讲┃ 考点聚焦 考点2 分式的基本性质
分式的基 本性质 约分
第4讲┃ 归类示例 ► 类型之三 分式的化简与求值
命题角度： 1. 分式的加减、乘除、乘方运算法则； 2. 分式的混合运算及化简求值．
[2012· 六盘水]
3 a2－2a＋1 先化简代数式 1－ ÷ ， 2 a＋2 a －4
再从－2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．
第4讲┃ 考点聚焦 考点3 分式的运算
分母不变，把分子相加减， a±b 同分母分式相加减 a b 即 ± ＝________ c c c 先通分，变为同分母的分式， a c 然后相加减，即 ± ＝ b d 异分母分式相加减 ad bc ad±bc bd ________± bd ________＝ bd
第4讲┃ 归类示例
[解析] 利用分式的加减运算法则与约分的性质，即可 求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．选项A的计算 2a＋10b 结果为 ，故本选项错误． 7a－10b
第4讲┃ 归类示例
(1)在应用分式基本性质进行变形时，要注意“都”， “同一个”，“不等于0”这些字眼的意义，否则容易出现错 误．(2)在进行通分和约分时，如果分式的分子或分母是多项 式时，则先要将这些多项式进行因式分解．
第4讲┃ 考点聚焦
分 式 的 乘 方 分 式 的 混 合 运 算 法则 公式 分式乘方是把分子、分母各自乘方
a a n ＝________(n bn b
n
为整数)
在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除 法则 法，最后进行加减运算，遇有括号，先算括号 里面的 特别 (1) 实数的各种运算律也符合分式的运算; 说明 (2)分式运算的结果要化成最简分式
第4讲┃ 归类示例 ► 类型之二 分式的基本性质进行通分； 2. 利用分式的基本性质进行约分．
[2012· 义乌] 下列计算错误的是( A ) 0.2a＋b 2a＋b x3y2 x A. ＝ B. 2 3＝ xy y 0.7a－b 7a－b a－b C. ＝－1 b－a 1 2 3 D. ＋ ＝ c c c
第4讲┃ 回归教材
x 2y xy 1 1 ＋ 解：(1) · ÷ ＋ x＋y x＋y x＋2y x y
x＋2y xy x＋y xy xy ＝ · ÷ ＝ · xy x＋y x＋y x＋y x＋2y x2y2 ＝ 2. x＋y
2 2 1 1 1 1 a＋b2 b －a (2) ＋ 2÷ 2－ 2＝ ÷ a b a b ab a2b2
第4讲┃ 归类示例 ► 类型之四 分式的创新应用
命题角度： 1. 探究分式中的规律问题； 2. 有条件的分式化简．
1 [2012· 凉山州] 对于正数x，规定f(x)＝ ，例 1＋x 1 1 1 1 4 如：f(4)＝ ＝ ，f ＝ ＝ ，则f(2012)＋f(2011)＋„ 5 4 1 5 1＋4 1＋ 4 1 1 1 ＋f ＝__________. ＋f(2)＋f(1)＋f ＋„＋f 2011.5 2 2011 2012
a＋b2 a＋b ＝ ＝－ . b＋ab－a a－b
第4讲┃ 回归教材
[点析] 在进行分式的加、减、乘、除、乘方混合运算 时，要注意运算法则与运算顺序．此类问题是中考的热点 考题．
第4讲┃ 回归教材
中考变式
[2011· 南京]
a 1 b 计算： 2 ÷ . 2－ a －b a＋b b－a
第4讲┃ 归类示例
a－1 （a＋2）（a－2） a－2 解：原式＝ × ＝ ， 2 a＋2 （a－1） a－1 a－2 －2 当a＝0时，原式＝ ＝ ＝2. a－1 －1 (提醒：此题原式中的分母为a＋2，a2－4，当a＝± 2时， 原分式无意义，所以a不能取± 2)
第4讲┃ 归类示例
分式化简求值题的一般解题思路为： (1)利用因式分解、通分、约分等相关知识对原复杂的分 式进行化简． (2)选择合适的字母取值代入化简后的式子计算得结 果．注意字母取值时一定要使原分式有意义，而不是只看化 简后的式子．
第4讲┃ 归类示例
2 (2)[2012· 温州] 若代数式 －1 的值为零，则 x＝ x－1 3 ________． 2 2 [解析] －1的值为零，则 ＝1，x－1＝2， x－1 x－1 所以x＝3.
第4讲┃ 归类示例
(1)分式有意义的条件是分母不为零； 分母为零时分式无意义． (2)分式的值为零的条件是：分式的分子为零，且分母不为零． (3)分式的值为正的条件是：分子与分母同号；分式的值为负 的条件是：分子与分母异号．分式的值为正(负)经常与不等式组结 合考查．
第4讲┃ 归类示例
1 1 [解析] ∵当 x＝1 时，f(1)＝ ；当 x＝2 时，f(2)＝ ；当 2 3 1 2 1 3 1 1 1 x＝ 时， ＝ ； x＝3 时， f 当 f(3)＝ ； x＝ 时， ＝ ， 当 f „ 2 4 3 2 3 3 4 1 1 ∴f(2)＋f ＝1，f(3)＋f ＝1，„ 2 3 1 ∴f(n)＋„＋f(1)＋„＋f ＝f(1)＋(n－1)， n 1 1 ∴f(2012)＋f(2011)＋„＋f(2)＋f(1)＋f ＋„＋f 2 2012 1 ＝f(1)＋(2012－1)＝ ＋2011＝2011.5. 2