江苏省涟水中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 理

涟水中学2014—2015学年度第二学期高二期中测试数 学 试 题（选 修 物 理）参考公式：锥体体积公式为13V Sh=,柱体体积公式为V Sh =，其中S 为底面积，h 为高一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1.若命题P ：“2,230x Qx x ∀∈+-≥”，则命题P 的否定： ▲ ．2.抛物线241xy =的准线方程是 ▲ ．3. 已知复数32ii z -=+（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为 ▲ ．4.已知双曲线2214x y m +=的渐近线方程为22y x =±，则m = ▲ ． 5．已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱锥的体积为 ▲ ．6．用反证法证明命题“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为 ▲ ． 7.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2 ：x+(a+1)y+4=0平行的 ▲ 条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”)8. 某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆1222=+y x 的左顶点为A ，过点A 作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B ，C ，……”注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将答题纸交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。

3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

②解：设AB 的斜率为k ，……点)212,2121(222k k k k B ++-，)0,35(-D ，……据此，请你写出直线CD 的斜率为 ▲ ．（用k 表示）9．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为_ ▲ ．10.设α，β为两个不重合的平面，m ，n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；②若n ⊂α，m ⊂β，α与β相交且不垂直，则n 与m 不垂直； ③若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥β； ④若m ∥n ，n ⊥α，α∥β，则m ⊥β. 其中真命题的序号是 ▲ ．11．如图，已知抛物线y2＝2px(p ＞0)的焦点恰好是椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a ＞b ＞0)的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ， 则该椭圆的离心率为 ▲ ．12．若函数()ax x x f +=ln 存在与直线02=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13．若实数a,b,c 成等差数列，点P(－1,0)在动直线ax ＋by ＋c ＝0上的射影为M ，点N 坐标为(3,3)，则线段MN 长度的最小值是 ▲ ．14. 已知函数f(x)＝x －1－(e －1)lnx ，其中e 为自然对数的底，则满足f(ex)＜0的x 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分） 已知命题P:函数l o g (21a y x =+在定义域上单调递增；命题Q:不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对任意实数x 恒成立,若P 、Q 都是真命题，求实数a 的取值范围.xy FO16. （本小题满分14分） 如图，在四棱锥P ‐ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．求证： （1）PB ∥平面AEC ；（2）平面PCD ⊥平面PAD ．17．（本小题满分15分）已知圆M 的方程为x2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ． （1）若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；（2）若点P 的坐标为(2，1)，过P 作直线与圆M 交于C 、D 两点，当CD ＝2时，求直线CD 的方程；（3）经过A 、P 、M 三点的圆是否经过异于点M 的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由．18.（本小题满分15分）现有一个以OA 、OB 为半径的扇形池塘，在OA 、OB 上分别取点C 、D ，作DE ∥OA 、CF ∥OB 交弧AB 于点E 、F ，且BD = AC ，现用渔网沿着DE 、EO 、OF 、FC 将池塘分成如图所示的三种的养殖区域．若OA=1km ，π2AOB ∠=，π(0)2EOF θθ∠=<<． （1）求区域Ⅱ的总面积；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y 万元． 试问当θ为多少时，年总收入最大？P A BC D E (第16题图) Ⅲ ⅡⅠⅡⅢ FEB D19. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy ，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()61 2，，其左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为22． （1）求椭圆E 的方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．①求证：OP OM ⋅ 为定值； ②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问直线MQ 是否过定点，并说明理由．20．（本小题满分16分） 已知函数()ln ()f x a x x c x c=+--，0a <，0c >．（1）当34a =-，14c =时，求函数()f x 的单调区间； （2）当12a c =+时，若1()4f x ≥对(,)x c ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设函数()f x 的图象在点11(,())P x f x 、22(,())Q x f x 两处的切线分别为1l 、2l ．若12ax =-，2x c =，且12l l ⊥，求实数c 的最小值．第Ⅱ部分（加试部分）（总分40分，加试时间30分钟） 21．（本小题满分10分）在正方体ABCD —A1B1C1D1中，O 是AC 的中点，E 是线段D1O 的中点，求异面直线DE 与CD1所成的角的余弦值.22. （本小题满分10分）设i 为虚数单位，n 为正整数．试用数学归纳法证明(cos isin )cos isin nx x nx nx +=+.23．（本小题满分10分）已知整数n ≥4，集合M ＝{1,2,3,…,n}的所有3个元素的子集记为A1,A2,…, 3nC A ．当n ＝5时，求集合A1,A2,…, 35C A 中所有元素的和.AA 1 BC D OE B 1 C 1 D 1（第22题图）24．过抛物线22y px(p为大于0的常数)的焦点F,作与坐标轴不垂直的直线l交抛物线于M,N两点,线段MN的垂直平分线交MN于P点,交x轴于Q点，求PQ中点R的轨迹L的方程.数 学Ⅰ(选修物理)参考答案 一、填空题：1. x Q ∃∈,0322<-+x x 2. y=-1 3.-1 4. -2 5． 3396． a ，b 都不能被3整除 7.充分不必要条件 8. 2324k k + 9． x －2y －1＝010.④ 11．2－112． ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-2,1212,e e 13． 5 - 2 14. (0,1)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解∵命题P 函数log (21)a y x =+在定义域上单调递增；∴a>1……………………………………………………………………4分又∵命题Q 不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对任意实数x 恒成立；∴2=a ………………………………………………………………………6分 或⎩⎨⎧<-+-=∆<-0)2(16)2(4022a a a ， ………………………………………10分即22≤<-a ……………………………………………………………12分∵P 、Q 都是真命题，∴a 的取值范围是1<a 2≤… ………………… ……………………14分 16. （1）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ．四边形ABCD 为正方形，O 为BD AC 交点 ∴O 为BD 中点，………………………………………2分又E 为PD 中点，∴EO PB ，………………………………………4分又 EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，∴PB 平面AEC ．………………………………7分（2）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥．………9分 因为在正方形ABCD 中CD AD ⊥且PA AD A = ，AD 、PA 在平面PAD 内PA BCD E(第16题图)所以CD ⊥平面PAD ． ……………………………………………………………12分又因为CD ⊂平面PCD ，所以平面⊥PCD 平面PAD ．………………………14分 17．解：(1)设P(2m ，m)，由题可知MP ＝2，所以(2m)2＋(m －2)2＝4， 解之得：m ＝0或m ＝45，故所求点P 的坐标为P(0，0)或P(85，45)．………………………………………………5分 (2)设直线CD 的方程为：y －1＝k(x －2)，易知k 存在， 由题知圆心M 到直线CD 的距离为 22， 所以 2 2＝|－2k －1|1＋k2 ，( 7分)解得，k ＝－1或k ＝－17，故所求直线CD 的方程为：x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0．…………………………10分 (3)设P(2m ，m)，MP 的中点Q(m ，m2＋1)，因为PA 是圆M 的切线所以经过A 、P 、M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆， 故其方程为：(x －m)2＋(y －m 2－1)2＝m2＋(m2－1)2化简得：x2＋y2－2y －m(2x ＋y －2)＝0，此式是关于m 的恒等式，故⎩⎨⎧x2＋y2－2y ＝0，2x ＋y －2＝0解得⎩⎨⎧x ＝0y ＝2或⎩⎨⎧x ＝45y ＝25． 所以经过A 、P 、M 三点的圆必过异于点M 的定点(45，25)．………………………15分 18. 解:（1）因为BD AC OB OA ==，，所以OD OC =．因为π2EOF ∠=，DE ∥OA ，CF ∥OB ，所以DE OB CF OA ⊥⊥，．又因为OE OF =，所以Rt ODE ∆≌Rt OCF ∆．所以1π()22DOE COF COF θ∠=∠∠=-，． ………………………………2分 所以1πcos cos[()]22OC OF COF θ=⋅∠=-．所以11sin cos 24COF S OC OF COF θ∆=⋅⋅⋅∠=，所以II 1=cos 2S θ区域，π(0)2θ<<． …………………………………6分 （2）因为I 12S θ=区域，所以III I II π11cos 422S S S S θθ=--=--总区域区域区域．所以11π111520cos 10(cos )22422y θθθθ=⨯+⨯+⨯-- 55ππ5cos (0)222θθθ=++<<，， …………………………………10分所以5(12sin )2y θ'=-，令=0y '，则π=6θ． …………………………………12分 当π6θ<<0时，0y '>，当ππ62θ<<时，0y '<．故当π=6θ时，y 有最大值． 答：当θ为π6时，年总收入最大． …………………………………15分19. 解：（1）易得223121 2 2a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，，且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=； …………………………4分 （2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+，代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=，由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而12088y y y =+，所以()()2220000022220000284888 (2 )48888y y y y OP OM y y y y y ----⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪++++⎝⎭ ，，，………………10分 ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下：依题意，020200208822828PBy y k y y y +==----+（），由MQ PB ⊥得，2MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02y y x =，所以直线MQ 过定点(0 0)O ，． ……………………………………………………16分 20．解：函数22ln (),,()ln (),a x x c x c f x a x x c x c ⎧+-⎪=⎨--<⎪⎩≥，求导得2222,,'()22,x cx ax c xf x x cx a x c x ⎧-+⎪⎪=⎨-++⎪<⎪⎩≥．（1）当34a =-，14c =时，228231,,44'()8231,44x x x x f x x x x x ⎧--⎪⎪=⎨-+-⎪<⎪⎩≥， 若14x <，则2823'()04x x f x x -+-=<恒成立，所以()f x 在1(0,)4上单调减；若14x ≥，则(21)(43)'()4x x f x x +-=，令'()0f x =，解得34x =或12x =-（舍），当1344x <≤时，'()0f x <，()f x 在13[,)44上单调减； 当34x >时，'()0f x >，()f x 在3(,)4+∞上单调增．所以函数()f x 的单调减区间是3(0,)4，单调增区间是3(,)4+∞． ………………4分（2）当x c >，12a c =+时，(1)(2)'()x x a f x x --=，而112a c =+<，所以当1c x <<时，'()0f x <，()f x 在(,1)c 上单调减；当1x >时，'()0f x >，()f x 在(1,)+∞上单调增．所以函数()f x 在(,)c +∞上的最小值为2(1)4a f =， 所以2144a ≥恒成立，解得1a ≤-或1a ≥， 又由102ac =+>，得2a >-，所以实数a 的取值范围是(2,1]--． …………10分（3）由12l l ⊥知，'()'()12a f f c -=-，而'()af c c =，则'()2a c f a -=-， 若2a c -≥，则2()222'()222a a c a a f c a ---+-==--，所以2cc a -=-， 解得12a =，不符合题意； ……………………………12分故2a c -<，则2()222'()8222a a c a a c f a c a a--+-+-==--+=--，整理得，821a ac a -=+，由0c >得，12a <-， …………………………14分 令8a t -=，则28t a =-，2t >，所以232282814t tt c t t -⋅==--+，设32()28t g t t =-，则22222(12)'()(28)t t g t t -=-，当223t <<时，'()0g t <，()g t 在(2,23)上单调减； 当23t >时，'()0g t >，()g t 在(23,)+∞上单调增．所以，函数()g t 的最小值为33(23)2g =，故实数c 的最小值为332． ……16分第Ⅱ部分（加试部分）参考答案21．解:(1)不妨设正方体的棱长为1，以1,,DA DC DD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．则A(1，0，0)，()11022O ，，，()010C ，，，D1(0，0，1)，E ()111442，，，于是()111442DE = ，，，()1011CD =- ，，.由cos 1DE CD 〈〉，＝11||||DE CD DE CD ⋅⋅ ＝36. 所以异面直线AE 与CD1所成角的余弦值为36.22.证明：①当1n =时，cos isin cos isin x x x x +=+，即证；②假设当n k =时，(cos isin )cos isin kx x kx kx +=+成立，则当1n k =+时，()1(cos isin )cos isin (cos isin )k x x kx kx x x ++=++()()cos cos sin sin sin cos sin cos ikx x kx x kx x x kx =-++()()cos 1isin 1k x k x=+++，故命题对1n k =+时也成立，由①②得，(cos isin )cos isin nx x nx nx +=+； 23．解：当n=5时，含元素1的子集中，必有除1以外的两个数字，两个数字的选法有24C =6AA 1BCD OEB 1C 1D 1 （第21题图）个，所以含有数字1的几何有6个．同理含2，3，4，5的子集也各有6个，于是所求元素之和为(1+2+3+4+5)×24C =6×15=90…（10分）24．解：抛物线22y px =的焦点为(,0)2p ,设l 的直线方程为()2p y k x =-(0)k ≠. 由22()2y pxp y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得222221(2)04k x pk p x p k -++=,设M,N 的横坐标分别为12,x x , 则21222pk p x x k ++=,得2122222P x x pk p x k ++==,222()22Ppk p p p y k k k +=-=, 而PQ l ⊥,故PQ 的斜率为1k -,PQ 的方程为2212()2p pk p y x k k k +-=--. 代入0Q y =得222223222Q pk p pk px p k k ++=+=.设动点R 的坐标(,)x y ,则21()21()22P Q P Qp x x x p k p y y y k ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩,因此222()4(0)p p x p y y k -==≠,故PQ 中点R 的轨迹L 的方程为24()(0)y p x p y =-≠.。