2018届江西省南昌市高三第三次理科数学模拟试题

2018届江西省南昌市高三第三次理科数学模拟试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}3,2aM =，{},N a b =，若{}1M N ⋂=，则M N ⋃=（ ）A ．{}1,2,3B ．{}0,2,3C ．{}0,1,2D ．{}0,1,3 2.已知a R ∈，i 是虚数单位，若3z ai =+，4z z ⋅=，则a 为（ ） A ．1或 1- B ．1 C ．1- D ．不存在的实数 3.“33m m >”是“关于x 的方程sin x m =有解”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 下列有关统计知识的四个命题正确的是（ ）A ．衡量两变量之间线性相关关系的相关系数r 越接近1，说明两变量间线性关系越密切B ．在回归分析中，可以用卡方2x 来刻画回归的效果，2x 越大，模型的拟合效果越差 C.线性回归方程对应的直线y bx a =+至少经过其样本数据点中的一个点 D ．线性回归方程0.51y x =+中，变量x 每增加一个单位时，变量y 平均增加1个单位5.在平面直角坐标系中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点(2,3)P -，则双曲线C 的焦距为（ ）A ．3B ．23 C.33 D ．436.执行如图所示的程序框图，若输出的57S =，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．4k >B ．5k > C.6k > D ．7k >7.已知13241(),b log 3,c log 72a ===，则,,abc 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c << C.c a b << D ．a c b <<8.某几何的三视图如图所示，其中主视图由矩形和等腰直角三角形组成，左视图由半个圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（ ）A ．342π+B ．4(21)π++ C.4(2)π+ D ．4(1)π+ 9.将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 图象，若12()()6g x g x +=，且[]12,2,2x x ππ∈-，则12x x -的最大值为（ ）A ．πB ．2π C.3π D ．4π10.为培养学生分组合作能力，现将某班分成,,A B C 三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组，某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在B 组中的那位的成绩与甲不一样，在A 组中的那位的成绩比丙低，在B 组中的那位成绩比乙低.若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是（ ） A ．甲、丙、乙 B ．乙、甲、丙 C. 乙、丙、甲 D ．丙、乙、甲11.“在两条相交直线的一对对顶角内，到这两条直线的距离的积为正常数的点的轨迹是双曲线，其中这两条直线称之为双曲线的渐近线”．已知对勾函数4y x x=+是双曲线，它到两渐近线距离的积是22,根据此判定定理，可推断此双曲线的渐近线方程是（ ）A ．0x =与y x =B ．0x =与2y x = C.0x =与0y = D ．y x =与2y x = 12.已知函数21()ln 2f x a x x =+，对任意不等实数12,(0,)x x ∈+∞，不等式1212()()3f x a f x a x x +-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)2,+∞B ．(2,)+∞ C.9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．9(,)4+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()(1)()f x x x b =-+为偶函数，则(3)0f x -<的解集为 ． 14.已知6260126(2)(1)(1)...(1)x a a x a x a x +=+++++++，则3a ．15.已知,m n 是两个非零向量，且1,23m m n =+=，则m n n ++的最大值为 ．16.如图，直线AB 与单位圆相切于点O ，射线OP 从OA 出发，绕着点O 逆时针旋转，在旋转分入过程中，记(0)AOP x x π∠=<<，OP 经过的单位圆O 内区域（阴影部分）的面积为S ，记()S f x =，对函数()f x 有如下四个判断： ①当34x π=时，3142S π=+；②(0,)x π∈时，()f x 为减函数； ③对任意(0,)2x π∈，都有()()22f x f x πππ-++=；④对任意(0,)2x π∈，都有()()22f x f x ππ+=+ 其中判断正确的序号是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 的各项均为正数，且2*2(21)0,n n a na n n N --+=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1(1)n n n b a -=-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 如图，多面体ABCDEF 中，ABCD 为正方形，2,3,5AB AE DE ===，,二面角E AD C --的余弦值为55，且//EF BD . （1）证明：平面ABCD ⊥平面EDC ；（2）求平面AEF 与平面EDC 所成锐二面角的余弦值.19.质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测．甲、乙两个车间的零件质量（单位：克）分布的茎叶图如图所示．零件质量不超过20克的为合格．（1）质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测，若至少2件合格，检测即可通过，若至少3件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；（2）若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用X 表示乙车间的零件个数，求X 的分布列与数学期望．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，且点3(1,)2A -在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知不经过A 点的直线3:2l y x t =+与椭圆C 交于,P Q 两点，P 关于原点对称点为R （与点A 不重合），直线,AQ AR 与y 轴分别交于两点,M N ，证明： AM AN = 21.已知函数2()()()x f x ax x a e a R -=++∈. （1）若0a ≥，函数()f x 的极大值为3e，求实数a 的值； （2）若对任意的0a ≤，()ln(1)f x b x ≤+在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数b 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈）将曲线1C 经过伸缩变换：''3x xy y=⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线2C .（1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；（2）若直线cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与1C ,2C 相交于,A B 两点，且21AB =-，求α的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x =+.（1）求不等式()211f x x <+-的解集M ； 设,a b M ∈，证明：(ab)()()f f a f b >--试卷答案一、选择题1-5:DADAD 6-10:ADACC 11、12：AA二、填空题13.(2,4) 14.20 15.10 16.①③三、解答题17.解：（1）由22(21)0n n a na n --+=得[](21)(1)0n n a n a -+⋅+=， 所以21n a n =+或1n a =-，又因为数列{}n a 的各项均为正数，负值舍去 所以*21,n a n n N =+∈. （2）因为11(1)(1)(21)n n n n b a n --=-⋅=-⋅+，所以13579...(1)(21)n n T n -=-+-+-⋅+由13579 (1)(21)n n T n -=-+-+-⋅+①1(1)3579...(1)(21)(1)(21)n n n T n n --=-+-++-⋅++-⋅+②由①-②得：1232119...(1)(1)(21)n nn T n -⎡⎤=--++---⋅+⎣⎦1111(1)322(1)(1)(21)2(1)(22)1(1)n n n n n n ---⎡⎤--⎣⎦=-=+---⋅+=+-+--∴11(1)(1)n n T n -=+-+18.解：（1）证明：∵2,3,5AB AE DE ===，由勾股定理得：AD DE ⊥ 又正方形ABCD 中AD DC ⊥，且DE DC D ⋂= ∴AD ⊥平面EDC ，又∵AD ⊂面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面EDC（2）由（1）知EDC ∠是二面角E AD C --的平面角 作OE CD ⊥于O ，则cos 1,2OD DE EDC OE =⋅∠==且由平面ABCD ⊥平面EDC ，平面ABCD ⋂平面EDC CD =，OE ⊂面EDC 所以，OE ⊥面ABCD取AB 中点M ，连结OM ，则OM CD ⊥，如图，建立空间直角坐标系，则(2,1,0)B(2,1,0)D(0,1,0)E(0,0,2)A --、、、 ∴(2,1,2),(2,2,0)AE BD =-=--又//EF BD ，知EF 的一个方向向量(2,2,0)设面AEF 法向量(,,)n x y z =，则220220n AE x y z n DB x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取2x =-，得(2,2,3)n =-又面EDC 一个法向量为(1,0,0)m =：∴217cos ,17n m n m n m⋅==-⋅ 设平面AEF 与平面EDC 所成锐二面角为θ，则217cos cos ,17n m θ==19.解：（1）设事件A 表示“2件合格，2件不合格”；事件B 表示“3件合格，1件不合格”；事件C 表示“4件全合格”；事件D 表示“检测通过”；事件E 表示“检测良好”.∴223144444444488853()()()()70C C C C C PD P A P B P C C C C =++=++= ∴()()17()()()53P C P B P E D P D P D =+=.故所求概率为1753.（2）X 可能取值为0,1,22112848422212121214161(0),(1),(2)333311C C C C P X P X P X C C C =========分布列为X 0 1 2P1433 1633 111所以，141612()012=3333113E X =⨯+⨯+⨯ 20.解（1）32c e a ==，不妨设224,3(0)a m c m m ==>，则2b m = 所以2214x y m m +=，将点3(1,)2A -代入得1m =，即所求椭圆方程为2214x y +=. （2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，则11(,)R x y --，且12123322,11ARAQy y k k x x -++==--- 由221432x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 化简得：22310x tx t ++-= ∴212123,1x x t x x t +=-=-∴12121212123333()(1)(1)()222211(1)(1)AR AQy y y x x y k k x x x x -++-+-+--++=+=------ 12212112123()()32(1)(1)x y x y y y x x x x ++-+-+=+-分子122121123333()()()()32222x x t x x t x x x x =++++-+-+ 221123()33(1)(3)30x x t x x t t t =+++=-+-+=即0AR AQ k k +=，又,M N 分别为直线,AQ AR 与y 轴焦点，得AMN ANM ∠=∠ 所以AM AN =得证.21.解（1）由题意，2'()(21)()x x f x ax e ax x a e --=+-++2(12)1(1)(1)x xe ax a x a e x ax a --⎡⎤=-+-+-=--+-⎣⎦（i ）当0a =时，'()(1)x f x e x -=--，令'()0f x >，得1x <；'()0f x <，得1x >；所以()f x 在(,1)-∞单调递增，(1,)+∞单调递减，所以()f x 的极大值为13(1)f e e=≠，不合题意. （ii ）当0a >时，111a -<，令'()0f x >，得111x a -<<；'()0f x <，得11x a <-或1x >；所以()f x 在1(1,1)a -单调递增，1(,1),(1,)a-∞-+∞单调递减，所以()f x 的极大值为213(1)a f e e+==，得1a =. 综上所述：1a =（2）令(]2()(1),,0xxg a e x a xe a --=++∈-∞，当[)0,x ∈+∞时，2(1)0x e x -+≥，则()ln(1)g a b x ≤+对(],0a ∀∈-∞恒成立等价于()(0)ln(1)g a g b x ≤≤+， 即ln(1)xxeb x -≤+，对[)0,x ∈+∞恒成立.（i ）当0b ≤时，(0,),bln(x 1)0,xe0xx -∀∈+∞+<>此时ln(1)x xe b x ->+，不合题意.（ii ）当0b >时，令[)()ln(1),0,xh x b x xe x -=+-∈+∞则21'()()1(1)x x x b be x h x e xe x x --+-=--=++，其中[)(1)0,0,xx e x +>∀∈+∞ 令[)2()1,0,x p x be x x =+-∈+∞，则()p x 在区间[)0,+∞上单调递增，①1b ≥时，()(0)10p x p b ≥=-≥，所以对[)0,x ∀∈+∞，'()0h x ≥，从而()h x 在[)0,+∞上单调递增，所以对[)0,x ∈+∞，()(0)0h x h ≥=，即不等式ln(1)x b x xe -+≥在[)0,+∞上恒成立. ②01b <<时，由(0)10,(1)0p b p be =-<=>及(0)p 在区间[)0,+∞上单调递增， 所以存在唯一的0(0,1)x ∈使得0()0p x =，且0(0,)x x ∈时，0()0p x < 从而0(0,)x x ∈时，'()0h x <，所以()h x 在区间0(0,)x 上单调递减， 则0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h <=，即ln(1)x b x xe -+<，不符合题意. 综上所述，1b ≥.22.解：（1）1C 的普通方程为221(0)x y y +=≥，把','3x x y y ==代入上述方程得，'2'2'1(3)3y x y +=≥， ∴2C 的方程为221(0)3y x y +=≥，令cos ,sin x y ρθρθ== 所以2C 的极坐标方程为[]222233(0,)3cos sin 2cos 1ρθπθθθ==∈++；（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，由1ρθα=⎧⎨=⎩，得1A ρ=，由2232cos 1ρθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得232cos 1B ρα=+， 而231212cos 1α-=-+，∴1cos 2α=±，而[]0,απ∈，∴3πα=或23π. 23.解：（1）（i ）当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --<--，解得1x <-，此时1x <-； （ii ）当112x -<<-时，原不等式可化为122x x +<--，解得1x <-，此时无解； （iii ）当12x ≥-时，原不等式可化为12x x +<，解得1x >，此时1x >； 综上，{1M x x =<-或}1x >（2）因为()()(ab)11111f ab ab b b ab b b b a b =+=++-≥+--=+-- 因为,a b M ∈，所以1,10b a >+>，所以(ab)11f a b >+--，即(ab)()()f f a f b >--。