不等式性质求代数式的取值范围
2023年中考数学重点知识专题----已知不等式解集求参数值或参数范围(含答案解析)
2023年中考数学重点知识专题----已知不等式解集求参数值或参数范围（含答案解析）◆ 题型一：已知不等式确定的解集，求参数值或者范围几种常见考法： ① {若我们计算的结果为a <x <b 而题中给的结果为1<x 2，因为不等（组）的解集是确定的，则{a =1b =2② {若我们计算到ax <a ，因为未知a 的正负，无法下一步运算而题中给的结果为x <1，根据不等式的性质，则a ＞0③ {若我们计算的结果为{x <bx <2而题中给的结果为x <2，根据不等式解集的取法，“同小取小”，则b ≥2④ {若我们计算的结果为{x <bx <2而题中给的结果为x <b ，根据不等式解集的取法，“同小取小”，则b ≤2⑤ {若我们计算的结果为{x ＞b x ＞2而题中给的结果为x ＞2，根据不等式解集的取法，“同大取大”，则b ≤2⑥ {若我们计算的结果为{x ＞b x ＞2而题中给的结果为x ＞b ，根据不等式解集的取法，“同大取大”，则b ≥21. （2022·河北·模拟预测）已知a 是自然数，如果关于x 的不等式(a -3) x >a -3的解集为x <1，那么a 的值为( )A ．1，2B ．1，2， 3C ．0，1， 2D ．2，3【答案】C【分析】根据不等式(a -3)x ＞a -3的解集为x <1，得a -3<0，即可求解． 【详解】解：∵(a -3)x ＞a -3，当不等式两边同时除以a -3，若a -3＞0，不等式化为x ＞1， 若a -3＜0，则不等式化为x ＜1， ∴a -3＜0，即a ＜3，符合条件的自然数有0，1，2． 故选：C ．【点睛】本题考查根据不等式解集求参数，熟练掌握根据不等式解集确定系数符号是解题的关键．2. （2022·四川成都·模拟预测）关于x 的不等式组{3x −1>4(x −1)x <m 的解集为3x <，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ≥3B ．m >3C ．m <3D ．m =3【答案】A【分析】先解出第一个不等式的解集，再由不等式组的解集为3x <，即可求解． 【详解】解：{3x −1>4(x −1)①x <m ②，解不等式①得：3x <， ∵不等式组的解集为3x <， ∴m ≥3． 故选：A【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．1．（2022·重庆市第三十七中学校二模）若数a 既使得关于x 的不等式组{x−a 2+1≤x+a 3x −2a >6无解，又使得关于y的分式方程5y−2−a−y2−y =1的解不小于1，则满足条件的所有整数a 的和为( ) A ．−4 B ．−3 C ．−2 D ．−52．（2022·重庆·模拟预测）若关于x 的不等式组{3<0x −4>3(x −2)的解集为x <1，且关于x 的分式方程x+2x−1+m 1−x=3有非负整数解，则符合条件的m 的所有值的和是（ ）A ．6B ．8C ．11D ．143．（2022·重庆市开州区德阳初级中学模拟预测）若关于x 的一元一次不等式组{3x −2≥2(x +2)a −2x <−5的解集为x ≥6，且关于y 的分式方程y+2a y−1−8−3y 1−y=2的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．（2022·河北·模拟预测）已知a是自然数，如果关于x的不等式(a-3) x>a-3的解集为x<1，那么a的值为() A．1，2 B．1，2，3 C．0，1，2 D．2，3【答案】C【分析】根据不等式(a-3)x＞a-3的解集为x<1，得a-3<0，即可求解．【详解】解：∵(a-3)x＞a-3，当不等式两边同时除以a-3，若a-3＞0，不等式化为x＞1，若a-3＜0，则不等式化为x＜1，∴a-3＜0，即a＜3，符合条件的自然数有0，1，2．故选：C．【点睛】本题考查根据不等式解集求参数，熟练掌握根据不等式解集确定系数符号是解题的关键． 5．（2022·山东德州·二模）已知不等式组{x2+3a ≤−22x +5>1的解集在数轴上表示如图所示，则a 的值为（ ）A ．−56B ．－1C ．−13D ．−166．（2022·广东·二模）已知不等式组{x +a ≥0x +b ≤0，的解集为2≤x ≤3，则(a −b)2022的值为（ ）A ．1−B ．2022C ．1D ．−2022【答案】C【分析】解不等式得出x≥-a ，x≤-b ，由不等式组的解集得出-b=3，-a=2，解之求得a 、b 的值，代入计算可得．【详解】解：由x+a≥0，得：x≥-a ， 由x+b≤0，得：x≤-b ， ∵解集是2≤x≤3， ∴-b=3，-a=2，解得：a=-2，b=-3，∴(a−b)2022=(−2+3)2022=1，故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能求出不等式（或组）的解集是解此题的关键．7．（2022·四川成都·模拟预测）关于x的不等式组{3x−1>4(x−1)x<m的解集为3x<，那么m的取值范围是（）A．m≥3B．m>3C．m<3D．m=3【答案】A【分析】先解出第一个不等式的解集，再由不等式组的解集为3x<，即可求解．【详解】解：{3x−1>4(x−1)①x<m②，解不等式①得：3x<，∵不等式组的解集为3x<，∴m≥3．故选：A【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．8．（2022·山东·日照市北京路中学二模）若关于x的不等式组{x+1<3x+124x−1≥3(a−x)的解集是x>1，关于y的分式方程ay−1=5y−8y−1−2的解为非负数，则所有符合条件的整数a的和为（）A．-18 B．-15 C．0 D．2【答案】B【分析】根据不等式组的解集求出不等式的解集，确定a的取值范围，再根据分式方程的解是非负数确定a 的取值范围，注意排除增根的情况，最后两个a的取值范围合并，就可以算出所有整数a的和．【详解】解：x+1<3x+12，2x+2＜3x+1，解得x＞1，4x−1≥3(a−x)，4x-1≥3a-3x，x≥3a+17，∵关于x 的不等式组的解集为x ＞1， ∴3a+17≤1，解得a≤2， 又∵ay−1=5y−8y−1−2的解为非负数，∴a=5y −8−2（y −1）， ∴y=a+63≥0且y≠1，解得a≥-6且a≠-3，∴a 的取值范围为-6≤a≤2且a≠-3，符合条件的整数a 有：-6、-5、-4、-2、-1、0、1、2，所有的a 相加的和=（-6）+（-5）+（-4）+（-2）+（-1）+（0）+1+2 =-15． 故选：B ．【点睛】本题考查含参的一元一次不等式组和含参的分式方程的解．注意含参的不等式的解法和增根的情况是解决本题的关键．9．（2020·河南·模拟预测）已知不等式组{2x −a <1x −4b >3的解集为﹣1＜x ＜1，则（a +b ）（b ﹣1）的值为_____．【点睛】本题考查不等式组的计算求解集，关键是和已知解集对应相等，求出a，b的值．10．（2022·甘肃武威·模拟预测）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b=a−2b．若关于x的不等式x⊗m>3的解集为x>−1，则m的取值范围是________．【答案】m=-2【分析】根据定义的新运算得到x⊗m=x−2m>3，得x>3+2m，从而3+2m=-1，求得m的值．【详解】解：∵a⊗b=a−2b，∴x⊗m=x−2m，∵x⊗m>3，∴x−2m>3，∴x>2m+3，∵不等式x⊗m>3的解集为x>−1，∴2m+3=−1，∴m=-2，故答案为：m=-2．【点睛】本题考查了新定义运算在不等式的应用，解题的关键是准确理解新定义的运算．◆题型二：已知不等式的特殊解，求参数值或者范围若2＜x＜m恰有3个整数解，求m的取值范围。
高中数学2.1等式性质与不等式性质第2课时教学设计新人教A版必修第一册
2.1等式性质与不等式性质（第2课时）教学目标学习目标1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题;2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小;3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质.核心素养1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，培养学生数学抽象的核心素养；2. 进一步掌握作差比较法比较实数的大小，提升数学运算的核心素养；3. 能利用不等式的性质证明简单的不等式、求代数式的取值范围，强化逻辑推理的核心素养。
教学重难点重点：掌握不等式性质及其应用．难点：类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质；等式与不等式的共性与差异．学情分析学生在小学和初中阶段已经接触过不等式，但上升到理论层次，例如比较大小的理论根据--作差法，对不等式性质的推导与证明，利用不等式性质解决简单的证明等问题，还有一定的难度，所以在教学过程中，注意引导学生分析不等式个性质的条件及结论，做到有理有据、严谨细致、条例清楚，提高逻辑推理和数学运算的核心素养。
教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图情境导入上一课时我们学习了比较两个数的大小，为我们学习不等式的性质奠定了基础.让我们先回顾等式的有关性质：性质1 如果那么（对称性）性质2 如果那么（传学生回忆所学知识通过引导学生回忆，帮助学生用数学式子表示出来，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力递性）性质3 如果那么性质4 如果那么性质5 如果那么新知讲授【知识一：不等式的性质】性质1 如果如果，那么.性质2 如果，那么(传递性）性质3 如果，那么性质4 如果那么；如果那么性质5 如果，那么性质6 如果，那么性质7 如果那么. 符号表示：文字表示：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.移项法则：文字表示：不等式的两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式的两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向.注意：同向不等式相加得同向不等式，并无相减。
初中数学----不等式(组)的字母取值范围的确定方法(含参考答案)
初中数学----不等式(组)的字母取值范围的确定方法（含参考答案）七下数学与中考试题中，经常出现已知不等式(组)的解集，确定其中字母的取值范围的问题，下面举例说明字母取值范围的确定方法，供同学们学习时参考．一、 根据不等式(组)的解集确定字母取值范围例l 、如果关于x 的不等式(a+1)x>2a+2．的解集为x<2，则a 的取值范围是 ( ) A ．a<0 B ．a<一l C ．a>l D ．a>一l解：将原不等式与其解集进行比较，发现在不等式的变形过程中运用了不等式的基本性质3，因此有a+l<0，得a<一1，故选B ．例2、已知不等式组153x a x a <<⎧⎨<<+⎩的解集为a<x<5。
则a 的范围是 ．解：借助于数轴，如图1，可知： 1≤a<5并且 a+3≥5． 所以，2≤a<5 ．二、根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围例3、关于x 的不等式组23(3)1324x x x x a <-+⎧⎪⎨+>+⎪⎩有四个整数解，则a 的取值范围是 ．分析：由题意，可得原不等式组的解为8<x<2—4a ，又因为不等式组有四个整数解，所以8<x<2—4a 中包含了四个整数解9，10，11，12于是，有12<2—4a ≤13． 解之,得 114-≤a<52- ．例4、已知不等式组⎩⎨⎧<+>-b x ax 122的整数解只有5、6。
求a 和b 的范围．解：解不等式组得⎪⎩⎪⎨⎧-<+>212b x a x ，借助于数轴，如图2知：2+a 只能在4与5之间。
21-b 只能在6与7之间． ∴4≤2+a<5 6<21-b ≤7∴2≤a<3， 13<b ≤15．三、根据含未知数的代数式的符号确定字母的取值范围例5、已知方程组213(1)21(2)x y m x y m +=+-----⎧⎨+=------⎩满足x+y<0，则( )图1图2A ．m>一lB ．m>lC ．m<一1D ．m<1分析：本题可先解方程组求出x 、y ，再代入x+y<0，转化为关于m 的不等式求解；也可以整体思考，将两方程相加，求出x+y 与m 的关系，再由x+y<0转化为m 的不等式求解． 解：(1)十(2)得，3(x+y)＝2+2m ，∴x+y ＝223m+<0．∴m<一l ，故选C ． 例6、(江苏省南通市2007年)已知2a －3x ＋1＝0，3b －2x －16＝0，且a ≤4＜b ，求x 的取值范围．解：由2a －3x ＋1＝0，可得a=312x -;由3b －2x －16＝0，可得b=2163x +. 又a ≤4＜b ， 所以,312x -≤4＜2163x +， 解得:-2＜x ≤3. 四、逆用不等式组解集求解例7、如果不等式组260x x m-≥⎧⎨≤⎩ 无解，则m 的取值范围是 ．分析：由2x 一6≥0得x ≥3，而原不等式组无解，所以3>m ，∴m<3． 解：不等式2x-6≥0的解集为x ≥3，借助于数轴分析，如图3，可知m<3．例8、不等式组⎩⎨⎧>≤<m x x 21有解，则（ ）．A m<2B m ≥2C m<1D 1≤m<2解：借助图4，可以发现：要使原不等式组有解，表示m 的点不能在2的右边，也不能在2上，所以，m<2．故选（A ）．例9、(2007年泰安市)若关于x 的不等式组3(2)224x x a x x --<⎧⎪⎨+>⎪⎩，有解，则实数a 的取值范围是 ．解：由x-3(x-2)<2可得x>2,由24a x x +>可得x<12a. 因为不等式组有解,所以12a>2. 所以,4a >.31 2图4图3例3、 某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A B ，两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来． （2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？不等式（组）中待定字母的取值范围不等式（组）中字母取值范围确定问题，在中考考场中频频登场。
第08讲 不等式的基本性质(解析版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修第一册)
第08讲不等式的基本性质知识点一不等式(1)不等式的定义用数学符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接两个数或代数式，含有这些不等号的式子叫作不等式．(2)关于a≥b和a≤b的含义①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b 或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a<b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a<b 或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．(3)不等式中常用符号语言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于><≥≤≤≥≥≤知识点二两个实数的大小比较1．文字叙述(1)当a－b为正数时，称a>b；(2)当a－b为零时，称a＝b；(3)当a－b为负数时，称a<b．2．符号表示(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.3．p⇔q的含义提示：p⇔q的含义是p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．知识点三不等式的性质不等式的性质性质1(自反性)a＞b⇔b＜a性质2(传递性)a＞b，b＞c⇒a＞c性质3(加法保号性)a＞b⇔a＋c＞b＋c性质4(乘正保号性、乘a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc负改号性)性质5(同向可加性)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d性质6(全正可乘性)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd性质7(拓展)a>b>0⇒a n>b n(n∈N*)考点一：实数比较大小例1(1)已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小；(2)已知a >0，试比较a 与1a的大小．【解析】(1)(x 3－1)－(2x 2－2x )＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－2x (x －1)＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)21324x ⎡⎤⎛⎫-+⎢ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.∵x <1，∴x －1<0.x －122＋34>0，∴(x －1)21324x ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦<0.即x 3－1<2x 2－2x .(2)∵a －1a ＝a 2－1a ＝（a －1）（a ＋1）a，又∵a >0，∴当a >1时，（a －1）（a ＋1）a >0，有a >1a ；当a ＝1时，（a －1）（a ＋1）a＝0，有a ＝1a ；当0<a <1时，（a －1）（a ＋1）a <0，有a <1a .综上，当a >1时，a >1a ；当a ＝1时，a ＝1a ；当0<a <1时，a <1a.【总结】1．利用作差法比较大小的四个步骤(1)作差：对要比较大小的两个式子作差；(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形；(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号；(4)得出结论．2．作商法比较大小如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.方法如下：依据a >0，b >0，ab>1⇔a >b ；ab＝1⇔a ＝b ；ab<1⇔a <b a <0，b <0，ab >1⇔a <b ；ab ＝1⇔a ＝b ；ab<1⇔a >b 应用范围两同号实数比较大小或分式、积、幂之间比较大小步骤(1)作商；(2)变形；(3)判断商值与1的大小；(4)下结论变式已知a ≥1，试比较M ＝a ＋1－a 和N ＝a －a －1的大小．【解析】（方法1）因为a ≥1，所以M ＝a ＋1－a >0，N ＝a －a －1>0.所以M N ＝a ＋1－a a －a －1＝a ＋a －1a ＋1＋a.因为a ＋1＋a >a ＋a －1>0，所以MN<1，所以M <N .（方法2）因为a ≥1，所以M ＝a ＋1－a >0，N ＝a －a －1>0.又1M ＝1a ＋1－a ＝a ＋1＋a ，1N ＝1a －a －1＝a ＋a －1，所以1M >1N>0，所以M <N .考点二：不等式的性质例2(1)下列命题中正确的是()A.若0>a >b ，则a 2>b 2B.若a 2>b 2，则a >b >0C.若a >b ，则b a<1 D.若a >b ，则a 3>b 3(2)若c >a >b >0，求证：a c －a >bc －b.(1)【答案】D【解析】对于A ，由0>a >b 可知，0<－a <－b ，则(－b )2>(－a )2，即b 2>a 2，故错误；对于B ，还可能a <b <0，故错误；对于C ，只有当a >0且a >b 时，ba <1才成立，故错误；对于D ，若a >b >0，则a 3>b 3；若a ≥0>b ，则a 3≥0，b 3<0，所以a 3>b 3；若0>a >b ，则－b >－a >0，所以(－b )3>(－a )3，即－a 3<－b 3，所以a 3>b 3.综上，若a >b ，则a 3>b 3，故正确．(2)【解析】证明：因为a >b >0⇒－a <－b ⇒c －a <c －b .因为c >a ，所以c －a >0，所以0<c －a <c －b .上式两边同乘1（c －a ）（c －b ），得1c －a >1c －b>0.又因为a >b >0，所以a c －a >bc －b.变式若a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e （a －c ）2>e（b －d ）2.【解析】证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0.又a >b >0，∴a －c >b －d >0，则(a －c )2>(b －d )2>0，即1（a －c ）2<1（b －d ）2.又e <0，∴e （a －c ）2>e（b －d ）2.考点三：利用不等式的性质解不等式例3解不等式：x －13－x ＋26>4＋3x2，并用不等式的性质说明理由．【解析】去分母，得2(x －1)－(x ＋2)>3(4＋3x ).(性质4)去括号，得2x －2－x －2>12＋9x .移项，得2x －x －9x >2＋2＋12.(性质3)合并同类项，得－8x >16，即8x <－16.系数化为1，得x <－2.(性质4)【总结】变式已知关于x 的方程3(x －2a )＋2＝x －a ＋1的解满足不等式2(x －5)≥8a ，求a 的取值范围．【解析】解方程，得x ＝5a －12.将其代入不等式，得≥8a .去括号，得5a －1－10≥8a .移项，得5a －8a ≥1＋10.合并同类项，得－3a ≥11.系数化为1，得a ≤－113.考点四：利用不等式的性质求代数式的取值范围例4已知1＜a ＜4，2＜b ＜8，试求2a ＋3b 与a －b 的取值范围．【解析】∵1＜a ＜4，2＜b ＜8，∴2＜2a ＜8，6＜3b ＜24.∴8＜2a ＋3b ＜32.∵2＜b ＜8，∴－8＜－b ＜－2.又∵1＜a ＜4，∴1＋(－8)＜a ＋(－b )＜4＋(－2)，即－7＜a －b ＜2.【总结】变式（1）已知1＜a ＜4，2＜b ＜8，试求ab的取值范围．【解析】∵2＜b ＜8，∴18＜1b ＜12，而1＜a ＜4，∴1×18＜a ×1b ＜4×12，即18＜ab＜2.（2）已知1≤a ＋b ≤4，－1≤a －b ≤2，求4a －2b 的取值范围．【解析】（方法1）设u ＝a ＋b ，v ＝a －b 得a ＝u ＋v 2，b ＝u －v2，∴4a －2b ＝2u ＋2v －u ＋v ＝u ＋3v .∵1≤u ≤4，－1≤v ≤2，∴－3≤3v ≤6.则－2≤u ＋3v ≤10，即－2≤4a －2b ≤10.（方法2）令4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，∴4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b .＋y ＝4，－y ＝－2，＝1，＝3.≤a ＋b ≤4，3≤3（a －b ）≤6.∴－2≤4a －2b ≤10.1．若abcd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则()A.b ＜0，c ＜0B ．b ＞0，c ＞0C.b ＞0，c ＜0D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜0【答案】D【解析】由a ＞0，d ＜0，且abcd ＜0，知bc ＞0，又∵b ＞c ，∴0＜c ＜b 或c ＜b ＜0.2．已知a ，b ，c 为不全相等的实数，P ＝a 2＋b 2＋c 2＋3，Q ＝2(a ＋b ＋c )，那么P 与Q 的大小关系是()A.P ＞Q B ．P ≥Q C.P ＜Q D ．P ≤Q【答案】A【解析】因为P －Q ＝a 2＋b 2＋c 2＋3－2(a ＋b ＋c )＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2，所以当a ，b ，c 为不全相等的实数时，有P －Q ＞0，即P ＞Q .故选A.3．(多选)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中一定成立的是()A.x ＋y >y ＋z B ．xz <yz C.xy >xz D ．x |y |>z |y |【答案】ABC【解析】因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.>0，>z ，可得xy >xz ，故C 成立；由不等式的性质知A 、B 均成立；当x ＝1，y ＝0，z ＝－1，满足x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，显然D 不成立．4．若0＜x ＜1，则x ，1x，x ，x 2中最小的是________．【答案】x 2【解析】因为0＜x ＜1，所以1x＞1，0＜x ＜1，0＜x 2＜1.因为x x ＝x ＜1，x 2x ＝x ＜1，所以x ＜x ，x 2＜x ，即x 2＜x ＜x ＜1x ，故最小的是x 2.5．已知x >y >0，试比较x 3－2y 3与xy 2－2x 2y 的大小．【解析】由题意，知(x 3－2y 3)－(xy 2－2x 2y )＝x 3－xy 2＋2x 2y －2y 3＝x (x 2－y 2)＋2y (x 2－y 2)＝(x 2－y 2)·(x ＋2y )＝(x －y )(x ＋y )(x ＋2y )，∵x >y >0，∴x －y >0，x ＋y >0，x ＋2y >0，∴(x 3－2y 3)－(xy 2－2x 2y )>0，即x 3－2y 3>xy 2－2x 2y .6．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是()A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞cB ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋bC ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞bd D ．若a 2＞b 2，则－a ＜－b 【答案】B【解析】选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以，否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B ．7．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则()A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ≥bD ．a ≤b【答案】C【解析】a －b ＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，∴a ≥b ．8．若－1<α<β<1，则α－β的取值范围为________．【答案】(－2,0)【解析】由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1．所以－2<α－β<2，但α<β，故知－2<α－β<0．9．已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．【答案】(－π，2π)【解析】结合题意可知3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，且2(α－β)∈(－π，π)，α＋β∈(0，π)，利用不等式的性质可知3α－β的取值范围是(－π，2π)．10．已知12<a <60,15<b <36，则a －b 的取值范围为________，ab的取值范围为________．【答案】(－24,45)【解析】∵15<b <36，∴－36<－b <－15，又12<a <60，∴12－36<a －b <60－15，即－24<a －b <45，∵136<1b <115，∴1236<a b <6015，∴13<ab<4．1．下列结论成立的是()A.若ac >bc ，则a >bB.若a >b ，则a 2>b 2C.若a >b ，c <d ，则a ＋c >b ＋dD.若a >b ，c >d ，则a －d >b －c【答案】D【解析】对于A ，当c <0时，A 不成立；对于B ，取a ＝－1，b ＝－2时，B 不成立；对于C ，a >b ，c <d ，取a ＝2，b ＝1，c ＝3，d ＝4，则a ＋c ＝b ＋d ，因此C 不成立；对于D ，因为c >d ，所以－d >－c ，又a >b ，所以a －d >b －c ，因此D 成立．故选D.2．已知0<a 1<1，0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是()A.M <N B ．M >N C.M ＝N D ．M ≥N【答案】B【解析】∵0<a 1<1，0<a 2<1，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N .3．有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是a ，b ，c ，d .已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，a ＋c <b ，则这四个小球的质量由大到小的排列顺序是()A.d >b >a >cB ．b >c >d >aC.d >b >c >a D ．c >a >d >b【答案】A【解析】因为a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，所以2a >2c ，即a >c ，因此b <d .因为a ＋c <b ，所以a <b .综上可得d >b >a >c .故选A.4．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是()A.－2<α－β<0B.－2<α－β<－1C.－1<α－β<0D.－1<α－β<1【答案】A【解析】由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.5．同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x 元/升，第二次加油汽油单价是y 元/升(x ≠y )，妈妈每次加满油箱，需加油a 升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，则爸爸、妈妈更合算的是()A.爸爸B ．妈妈C.一样D ．不确定【答案】A【解析】由题意，妈妈两次加油共需付款a (x ＋y )元，爸爸两次能加300x ＋300y ＝300（x ＋y ）xy升油，设爸爸两次加油的平均单价为M 元/升，妈妈两次加油的平均单价为N 元/升，则M ＝600300（x ＋y ）xy ＝2xy x ＋y ，N ＝a （x ＋y ）2a ＝x ＋y2，且x ≠y ，∴N －M ＝x ＋y 2－2xyx ＋y ＝（x －y ）22（x ＋y ）＞0，∴爸爸的加油方式更合算．故选A.6．(多选)若1a <1b<0，则下列结论正确的是()A.a 2<b 2B ．ab <b 2C.a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |【答案】ABC 【解析】∵1a <1b<0，∴b <a <0，∴a 2<b 2，ab <b 2，a ＋b <0，|a |＋|b |＝|a ＋b |.故选A 、B 、C.7．(多选)已知a ，b ，c ，m ∈R ，则下列推证中不正确的是()A.a ＞b ⇒am 2＞bm 2B.a c ＞bc⇒a ＞b C.ac 2＞bc 2⇒a ＞b D.a 2＞b 2，ab ＞0⇒1a ＜1b【答案】ABD【解析】A ，m ＝0时不成立；B ，c ＜0时不成立；C ，ac 2＞bc 2，两边同除以c 2，可得a ＞b ，正确；D ，由a 2＞b 2，ab ＞0，取a ＝－2，b ＝－1，可得1a ＞1b，不成立．故选A 、B 、D.8．比较大小：a 2＋b 2＋c 2________2(a ＋b ＋c )－4.【答案】＞【解析】a 2＋b 2＋c 2－[2(a ＋b ＋c )－4]＝a 2＋b 2＋c 2－2a －2b －2c ＋4＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2＋1≥1＞0，故a 2＋b 2＋c 2＞2(a ＋b ＋c )－4.9．a 2与a －1的大小关系为________．【答案】a 2＞a －1【解析】因为a 2－(a －1)＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34＞0，所以a 2＞a －1.10．下列命题中，正确的是________.①若a ＞b ，c ＞d ，则ac 2＞bd 2；②若a ＜b ，则3a ＜3b ；③若a ＜b ＜0，则1a ＞1b ；④若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则a c ＞bd；⑤若a ＜b ＜0，c ＜d ＜0，则ac ＜bd .【答案】②③【解析】对①，举反例，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，不成立，错误；对②，开三次方根不改变大小关系，正确；对③，是不等式的性质，正确；对④，取a ＝4，b ＝3，c ＝4，d ＝3，不成立，错误；对⑤，负数越小绝对值越大，应该是ac ＞bd ，错误．11．解不等式2－x －13＜x ＋12，并用不等式的性质说明理由．【解析】由2－x －13＜x ＋12，两边同乘以6，得12－2(x －1)＜3(x ＋1)，(不等式的性质4)即12－2x ＋2＜3x ＋3，两边同时加2x －3，得11＜5x ，(不等式的性质3)即5x ＞11，(不等式的性质1)两边同乘以15，得x ＞115，(不等式的性质4)|x .[素养提升练]12．已知实数a ，b ，则“a ＋ba －b＞0”是“|a |＞|b |”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】a ＋ba －b＞0⇔(a ＋b )(a －b )＞0⇔a 2－b 2＞0⇔a 2＞b 2⇔|a |＞|b |，为充要条件．故选C.13．(多选)已知a ，b ，c ∈R ，下列命题为真命题的是()A.若a ＜b ＜0，则a 2＜ab ＜b 2B.若a ＞b ，则ac 2≥bc 2C.若ac 2＞bc 2，则a ＞bD.若b ＜a ＜0，则1a ＜1b【答案】BCD【解析】对于A ，当a ＜b ＜0时，a 2－ab ＝a (a －b )＞0，∴a 2＞ab ，A 错误；对于B ，若a ＞b ，当c ＝0时，则ac 2＝bc 2，若c ≠0，则c 2＞0，则有ac 2＞bc 2，B 正确；对于C ，若ac 2＞bc 2，则c 2≠0，∴a ＞b ，C 正确；对于D ，当0＞a ＞b 时，1a －1b ＝b －a ab ＜0，∴1a ＜1b ，D 正确．故选B 、C 、D.14．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．【答案】[3，8]【解析】∵z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，－2≤－12(x ＋y )≤12，5≤52(x －y )≤152，∴3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8，∴z 的取值范围是3≤z ≤8.15．给出下列命题：①a ＞b ⇒ac 2＞bc 2；②a ＞|b |⇒a 4＞b 4；③a ＞b ⇒a 3＞b 3；④|a |＞b ⇒a 2＞b 2.其中正确命题的序号是________．【答案】②③【解析】①当c 2＝0时不成立；②因为a ＞|b |≥0，所以a 2＞|b |2，即a 2＞b 2，所以a 4＞b 4，所以正确；③当a ＞b 时，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b ＋34b 2＞0，成立；④当b ＜0时，不一定成立．如：|2|＞－3，但22＜(－3)2.16．已知－1＜x ＜y ＜0，比较1x ，1y，x 2，y 2的大小关系．【解析】因为－1＜x ＜y ＜0，根据实数的性质，可得x 2＞0，y 2＞0，1x ＜0，1y ＜0，由x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )，且1x －1y ＝y －x xy，又由－1＜x ＜y ＜0，可得x ＋y ＜0，x －y ＜0，xy ＞0，所以(x ＋y )(x －y )＞0，且y －x xy＞0，即x 2＞y 2＞0且0＞1x ＞1y ，所以x 2＞y 2＞1x ＞1y .17．已知三个不等式：①ab ＞0；②c a ＞d b；③bc ＞ad .若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出一个真命题，并写出推理过程．【解析】(1)①②⇒③，即若ab ＞0且c a ＞d b ，则bc ＞ad .因为c a ＞d b 且ab ＞0，所以c a ·ab ＞d b·ab ⇒bc ＞ad ，则命题成立．(2)①③⇒②，即若ab ＞0且bc ＞ad ，则c a ＞d b.因为ab ＞0，所以1ab ＞0，又因为bc ＞ad ，所以bc ·1ab ＞ad ·1ab ⇒c a ＞d b，则命题成立．18．下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了．【解析】(1)设糖水b 克，含糖a 克，糖水浓度为a b ，加入m 克糖，即证明不等式a ＋m b ＋m ＞a b (其中a ，b ，m 为正实数，且b ＞a )成立．不妨用作差比较法，证明如下：a ＋mb ＋m －a b ＝b （a ＋m ）－a （b ＋m ）b （b ＋m ）＝m （b －a ）b （b ＋m ）.∵a ，b ，m 为正实数，且a ＜b ，∴b ＋m ＞0，b －a ＞0，∴m （b －a ）b （b ＋m ）＞0，即a ＋m b ＋m＞a b .(2)设原糖水b 克，含糖a 克，糖水浓度为a b ；另一份糖水d 克，含糖c 克，糖水浓度为c d ，且a b ＜c d ，求证：a b ＜a ＋c b ＋d＜c d (其中b ＞a ＞0，d ＞c ＞0).证明：∵a b ＜c d，且b ＞a ＞0，d ＞c ＞0，∴ad ＜bc ，即bc －ad ＞0，a b －a ＋c b ＋d ＝ab ＋ad －ab －bc b （b ＋d ）＝ad －bc b （b ＋d ）＜0，即a b ＜a ＋c b ＋d，c d －a ＋c b ＋d ＝cb ＋cd －ad －cd d （b ＋d ）＝cb －ad d （b ＋d ）＞0，即a ＋c b ＋d ＜c d .∴a b ＜a ＋c b ＋d＜c d .(3)设原糖水b 克，含糖a 克，糖水浓度为a b ，加入m 克水，求证a b ＞a b ＋m (其中b ＞a ＞0，m ＞0).证明：a b －a b ＋m ＝ab ＋am －ab b （b ＋m ）＝am b （b ＋m ）＞0，∴a b ＞a b ＋m .。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解41---等式性质与不等式性质
高考数学复习考点知识与题型专题讲解等式性质与不等式性质 考试要求1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用． 知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法⎩⎪⎨⎪⎧ a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a <b .(a ，b ∈R )2．等式的性质性质1对称性：如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2传递性：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；性质3可加(减)性：如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质4可乘性：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5可除性：如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c. 3．不等式的性质性质1对称性：a >b ⇔b <a ；性质2传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；性质3可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；性质4可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；性质5同向可加性：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；性质6同向同正可乘性：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；性质7同正可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)． 常用结论1．若ab >0，且a >b ⇔1a <1b . 2．若a >b >0，m >0⇒b a <b ＋m a ＋m； 若b >a >0，m >0⇒b a >b ＋m a ＋m . 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．(√) (2)若b a>1，则b >a .(×) (3)若x >y ，则x 2>y 2.(×)(4)若1a >1b，则b <a .(×) 教材改编题1．设b >a >0，c ∈R ，则下列不等式不正确的是()A ．12a <12b B.1a >1bC.a ＋2b ＋2>a bD ．ac 3<bc 3 答案D解析因为y ＝12x 在(0，＋∞)上单调递增，所以12a <12b ，A 正确；因为y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以1a >1b，B 正确； 因为a ＋2b ＋2－a b ＝2(b －a )(b ＋2)b >0，所以a ＋2b ＋2>a b，C 正确； 当c ＝0时，ac 3＝bc 3，所以D 不正确．2．已知M ＝x 2－3x ，N ＝－3x 2＋x －3，则M ，N 的大小关系是________．答案M >N解析M －N ＝(x 2－3x )－(－3x 2＋x －3)＝4x 2－4x ＋3＝(2x －1)2＋2>0，∴M >N .3．已知－1<a <2，－3<b <5，则a ＋2b 的取值范围是______．答案(－7,12)解析∵－3<b <5，∴－6<2b <10，又－1<a <2，∴－7<a ＋2b <12.题型一比较两个数(式)的大小例1(1)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b与q ＝a ＋b 的大小关系为() A ．p <q B ．p ≤q C ．p >q D ．p ≥q答案B解析p －q ＝b 2a ＋a 2b－a －b ＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b＝(b 2－a 2)·⎝⎛⎭⎫1a －1b＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(b ＋a )ab， 因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0.若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q .综上，p ≤q .(2)若a ＝ln33，b ＝ln44，c ＝ln55，则() A ．a <b <c B ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案B解析令函数f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x2， 易知当x >e 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .教师备选已知M ＝e 2021＋1e 2022＋1，N ＝e 2022＋1e 2023＋1，则M ，N 的大小关系为________． 答案M >N解析方法一M －N ＝e 2021＋1e 2022＋1－e 2022＋1e 2023＋1＝(e 2021＋1)(e 2023＋1)－(e 2022＋1)2(e 2022＋1)(e 2023＋1)＝e 2021＋e 2023－2e 2022(e 2022＋1)(e 2023＋1)＝e 2021(e －1)2(e 2022＋1)(e 2023＋1)>0. ∴M >N .方法二令f (x )＝e x ＋1e x ＋1＋1＝1e (e x ＋1＋1)＋1－1e e x ＋1＋1＝1e ＋1－1e e x ＋1＋1， 显然f (x )是R 上的减函数，∴f (2021)>f (2022)，即M >N .思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1(1)已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b，则M ，N 的大小关系是() A ．M >N B ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定答案A解析∵0<a <1b， ∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0.∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2(1－ab )(1＋a )(1＋b )>0， ∴M >N .(2)e π·πe 与e e ·ππ的大小关系为________．答案e π·πe <e e ·ππ解析e π·πe e e ·ππ＝e π－e ππ－e ＝⎝⎛⎭⎫e ππ－e ， 又0<e π<1,0<π－e<1， ∴⎝⎛⎭⎫e ππ－e <1，即e π·πe e e ·ππ<1，即e π·πe <e e ·ππ.题型二不等式的性质例2(1)(2022·滨州模拟)下列命题为真命题的是()A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a <b <0，则a 2<ab <b 2C ．若c >a >b >0，则a c －a <b c －bD ．若a >b >c >0，则a b >a ＋c b ＋c答案D解析对于A 选项，当c ＝0时，显然不成立，故A 选项为假命题；对于B 选项，当a ＝－3，b ＝－2时，满足a <b <0，但不满足a 2<ab <b 2，故B 选项为假命题；对于C 选项，当c ＝3，a ＝2，b ＝1时，a c －a ＝23－2>b c －b ＝12，故C 选项为假命题； 对于D 选项，由于a >b >c >0，所以a b －a ＋c b ＋c ＝a (b ＋c )－b (a ＋c )b (b ＋c )＝ac －bc b (b ＋c )＝(a －b )c b (b ＋c )>0，即a b >a ＋c b ＋c ，故D选项为真命题．(2)若1a <1b <0，则下列不等式正确的是________．(填序号) ①1a ＋b <1ab；②|a |＋b >0； ③a －1a >b －1b；④ln a 2>ln b 2. 答案①③解析由1a <1b<0，可知b <a <0. ①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1ab >0.故有1a ＋b <1ab，即①正确； ②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误；③中，因为b <a <0，又1a <1b<0， 则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故③正确； ④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域 (0，＋∞)上单调递增，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．教师备选若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是()A.1a <1bB ．a 2>b 2C ．a |c |>b |c |D.a c 2＋1>bc 2＋1答案D解析对于A ，若a >0>b ，则1a >1b，故A 错误；对于B ，取a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，故B 错误；对于C ，若c ＝0，a |c |＝b |c |，故C 错误；对于D ，因为c 2＋1≥1，所以1c 2＋1>0， 又a >b ，所以a c 2＋1>b c 2＋1，故D 正确． 思维升华判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2(1)(2022·珠海模拟)已知a ，b ∈R ，满足ab <0，a ＋b >0，a >b ，则()A.1a <1bB.b a ＋a b>0 C ．a 2>b 2D ．a <|b |答案C解析因为ab <0，a >b ，则a >0，b <0，1a >0，1b<0，A 不正确； b a <0，a b <0，则b a ＋a b<0，B 不正确； 又a ＋b >0，即a >－b >0，则a 2>(－b )2，a 2>b 2，C 正确；由a>－b>0得a>|b|，D不正确．(2)设a>b>1>c>0，下列四个结论正确的是________．(填序号)①1ac>1bc；②ba c>ab c；③(1－c)a<(1－c)b；④log b(a＋c)>log a(b＋c)．答案③④解析由题意知，a>b>1>c>0，所以对于①，ac>bc>0，故1 ac<1bc，所以①错误；对于②，取a＝3，b＝2，c＝12，则ba c＝23，ab c＝32，所以ba c<ab c，故②错误；对于③，因为0<1－c<1，且a>b，所以(1－c)a<(1－c)b，故③正确；对于④，a＋c>b＋c>1，所以log b(a＋c)>log b(b＋c)>log a(b＋c)，故④正确．题型三不等式性质的综合应用例3(1)已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．答案(－4,2)(1,18)解析∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.(2)已知3<a <8,4<b <9，则a b的取值范围是________． 答案⎝⎛⎭⎫13，2解析∵4<b <9，∴19<1b <14， 又3<a <8，∴19×3<a b <14×8， 即13<a b<2. 延伸探究若将本例(1)中条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围． 解设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧ m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232， 即－32<3x ＋2y <232， ∴3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232. 教师备选已知0<β<α<π2，则α－β的取值范围是________． 答案⎝⎛⎭⎫0，π2 解析∵0<β<π2，∴－π2<－β<0， 又0<α<π2，∴－π2<α－β<π2， 又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<π2. 思维升华求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3(1)已知a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，则c a的取值范围是() A ．－3<c a <－1B ．－1<c a <－13C ．－2<c a <－1D ．－1<c a <－12答案A解析因为a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，b ＝－2a －c ，因为a >b >c ，所以－2a －c <a ，即3a >－c ，解得c a>－3， 将b ＝－2a －c 代入b >c 中，得－2a －c >c ，即a <－c ，得c a <－1，所以－3<c a<－1. (2)已知1<a <b <3，则a －b 的取值范围是________，a b的取值范围是________． 答案(－2,0)⎝⎛⎭⎫13，1解析∵1<b <3，∴－3<－b <－1，又1<a <3，∴－2<a －b <2，又a <b ，∴a －b <0，∴－2<a －b <0，又13<1b <1a， ∴a 3<a b <1，又a 3>13，∴13<a b<1. 综上所述，a －b 的取值范围为(－2,0)；a b的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.课时精练1．已知a >0，b >0，M ＝a ＋b ，N ＝a ＋b ，则M 与N 的大小关系为()A ．M >NB ．M <NC ．M ≤ND ．M ，N 大小关系不确定答案B解析M 2－N 2＝(a ＋b )－(a ＋b ＋2ab )＝－2ab <0，∴M <N .2．已知非零实数a ，b 满足a <b ，则下列命题成立的是()A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2bC.1ab 2<1a 2bD.b a <a b答案C解析若a <b <0，则a 2>b 2，故A 不成立；若⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，a <b ，则a 2b <ab 2，故B 不成立；若a ＝1，b ＝2，则b a ＝2，a b ＝12，b a >a b，故D 不成立，由不等式的性质知，C 正确． 3．已知－3<a <－2,3<b <4，则a 2b 的取值范围为()A ．(1,3) B.⎝⎛⎭⎫43，94C.⎝⎛⎭⎫23，34D.⎝⎛⎭⎫12，1答案A解析因为－3<a <－2，所以a 2∈(4,9)，而3<b <4，故a 2b的取值范围为(1,3)． 4．若a >1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是()A ．n >m >pB ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n答案B解析由a >1知，a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，而2a －(a ＋1)＝a －1>0，即2a >a ＋1，∴a 2＋1>2a >a ＋1，而y ＝log a x 在定义域上单调递增，∴m >p >n .5．已知a ，b ∈R ，则“|a |>|b |”是“a b>1”成立的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析不妨令a ＝1，b ＝0，故|a|>|b|不能推出ab>1，若ab>1，故a，b同号，若a，b都大于0，则a>b>0，从而|a|>|b|；若a，b都小于0，则a<b<0，从而|a|>|b|，故ab>1能推出|a|>|b|，从而“|a|>|b|”是“ab>1”成立的必要不充分条件．6．(2022·济宁模拟)已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式恒成立的是() A．xy>yz B．xy>xzC．xz>yz D．x|y|>|y|z答案B解析因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以x>0，z<0，y的符号无法确定，对于A，因为x>0>z，若y<0，则xy<0<yz，故A错误；对于B，因为y>z，x>0，所以xy>xz，故B正确；对于C，因为x>y，z<0，所以xz<yz，故C错误；对于D，因为x>z，当|y|＝0时，x|y|＝|y|z，故D错误．7．设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的是() A．c2>cd B．a－c<b－dC ．ac <bd D.c a －d b>0 答案D解析因为a >b >0>c >d ，所以a >b >0,0>c >d ，对于A ，因为0>c >d ，由不等式的性质可得c 2<cd ，故选项A 错误；对于B ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则a －c ＝3，b －d ＝3，所以a －c ＝b －d ，故选项B 错误；对于C ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac ＝－2，bd ＝－2，所以ac ＝bd ，故选项C 错误；对于D ，因为a >b >0，d <c <0，则ad <bc ，所以c a >d b， 故c a －d b>0，故选项D 正确． 8．若0<a <1，b >c >1，则()A.⎝⎛⎭⎫b c a <1B.c －a b －a >c bC ．c a －1<b a －1D ．log c a <log b a答案D解析对于A ，∵b >c >1，∴b c >1.∵0<a <1，则⎝⎛⎭⎫b c a >⎝⎛⎭⎫b c 0＝1，故选项A 错误；对于B ，若c －a b －a >c b， 则bc －ab >bc －ac ，即a (c －b )>0，这与0<a <1，b >c >1矛盾，故选项B 错误；对于C ，∵0<a <1，∴a －1<0.∵b >c >1，∴c a －1>b a －1，故选项C 错误；对于D ，∵0<a <1，b >c >1，∴log c a <log b a ，故选项D 正确．9．已知M ＝x 2＋y 2＋z 2，N ＝2x ＋2y ＋2z －π，则M ________N ．(填“>”“<”或“＝”)答案>解析M －N ＝x 2＋y 2＋z 2－2x －2y －2z ＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3≥π－3>0，故M >N .10．(2022·宜丰模拟)若1a <1b <0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋a b>2.其中正确的不等式的序号为________．答案①④解析因为1a <1b<0， 所以b <a <0，故③错误；所以a ＋b <0<ab ，故①正确；所以|a |<|b |，故②错误；所以b a >0，a b >0且均不为1，b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2，当且仅当b a ＝a b ＝1时，等号成立， 所以b a ＋a b>2，故④正确． 11．若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________________． 答案a <2ab <12<a 2＋b 2<b 解析方法一令a ＝13，b ＝23， 则2ab ＝49，a 2＋b 2＝19＋49＝59， 故a <2ab <12<a 2＋b 2<b . 方法二∵0<a <b 且a ＋b ＝1，∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1， ∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12， 即a <2ab <12. 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12， 即a 2＋b 2>12.∵12<b <1， ∴(a 2＋b 2)－b ＝[(1－b )2＋b 2]－b ＝2b 2－3b ＋1＝(2b －1)(b －1)<0，即a 2＋b 2<b ，综上可知a <2ab <12<a 2＋b 2<b . 12．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________． 答案⎝⎛⎭⎫－3π2，π2 解析∵－π2<α<π2，∴－π<2α<π. ∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2， ∴－3π2<2α－β<3π2. 又α－β<0，α<π2，∴2α－β<π2. 故－3π2<2α－β<π2.13．(2022·长沙模拟)设实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则下列不等式恒成立的是()A ．c <bB ．b ≤1C ．b ≤aD ．a <c答案D解析∵⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2， 两式相减得2b ＝2a 2＋2，即b ＝a 2＋1，∴b ≥1.又b －a ＝a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，∴b >a .而c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，从而c ≥b >a .14．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d <b ＋c .那么a ，b ，c ，d 的大小关系是________．答案b >d >c >a解析由题意知d >c ①，②＋③得2a ＋b ＋d <2c ＋b ＋d ，化简得a <c ④，由②式a ＋b ＝c ＋d 及a <c 可得到，要使②成立，必须b >d ⑤成立，综合①④⑤式得到b >d >c >a .15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则c a的取值范围是________． 答案⎝⎛⎭⎫－2，－12 解析因为f (1)＝0，所以a ＋b ＋c ＝0，所以b ＝－(a ＋c )．又a >b >c ，所以a >－(a ＋c )>c ，且a >0，c <0，所以1>－a ＋c a >c a ，即1>－1－c a >c a. 所以⎩⎨⎧ 2c a <－1，c a >－2，解得－2<c a <－12. 即c a的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－12. 16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：21 / 21 (1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．答案①6②12解析设男学生人数为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x >y ，y >z ，2z >x ，且x ，y ，z 均为正整数．①当z ＝4时，8>x >y >4，∴x 的最大值为7，y 的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.②x >y >z >x 2，当x ＝3时，条件不成立，当x ＝4时，条件不成立，当x ＝5时，5>y >z >52，此时z ＝3，y ＝4.∴该小组人数的最小值为12.。
代数式取值范围
代数式取值范围1.引言1.1 概述代数式是数学中常见的一种表达式形式，由运算符、变量和常数组成。
在实际问题中，经常需要对代数式的取值范围进行分析和计算。
代数式的取值范围可以帮助我们了解代数式可能的取值范围，对于解决实际问题和推理数学性质都具有重要意义。
代数式的取值范围计算方法是通过对代数式中的变量赋予不同的取值进行分析。
在计算过程中，我们需要考虑代数式中的运算法则、约束条件以及变量的定义域等因素。
通过合理的推导和计算，我们可以得到代数式的取值范围，从而更好地理解和应用代数式。
本文将首先介绍代数式的定义和基本概念，包括代数式的结构、运算符的优先级和结合律等。
随后，我们将详细探讨代数式的取值范围计算方法，包括如何根据代数式的特点和约束条件进行分析和推导。
通过具体的例子和实际问题，我们将展示不同类型的代数式取值范围计算方法和技巧。
在结论部分，我们将总结代数式取值范围的重要性，包括其在解决实际问题中的应用和对代数性质的理解。
同时，我们也将对代数式取值范围计算方法的局限性和未来的研究方向进行展望。
通过本文的阅读，读者将对代数式的取值范围有更深入的理解，并能够运用相关的计算方法分析和解决实际问题。
同时，本文也将为进一步研究代数式的取值范围和相关领域提供一定的参考和启示。
文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构文章的结构分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要介绍本篇文章的背景和目的，概述代数式取值范围的重要性，并概括了文章的整体结构。
通过引言部分，读者可以对本文的核心内容有一个初步的了解。
正文部分包括了代数式的定义和基本概念以及代数式的取值范围计算方法。
首先，我们会详细介绍代数式的定义和基本概念，包括代数式的含义、常见的代数运算符号等。
然后，我们会详细讲解代数式的取值范围计算方法，包括常见的一元一次方程、一元二次方程的解法，以及不等式的求解方法等。
通过正文部分的阐述，读者可以对代数式取值范围的计算方法有一个清晰的了解。
解答不等式问题的几个技巧
解题宝典不等式问题侧重于考查同学们的分析与逻辑推理能力.常见的不等式问题有：（1）比较两个代数式的大小；（2）证明某个不等式成立；（3）由含参不等式恒成立求参数的取值范围.下面结合几道例题，谈一谈解答不等式问题的几个技巧.一、作差运用作差法解答不等式问题，需将要比较的两个代数式相减，并将所得到的差与0进行比较.有时所得的差式较为复杂，此时需采用移项、分解因式、通分、约分、平方等方式，将差式简化，以快速比较出其与零的大小.例1.设a,b为实数，比较a2+b2与ab+a+b-1的大小.解：将a2+b2与ab+a+b-1相减得，a2+b2-(ab+a+b-1)=12(2a2+2b2-2ab-2a-2b+2)=12[](a-b)2+(a-1)2+(b-1)2，因为(a-b)2≥0,(a-1)2≥0,(b-1)2≥0，所以a2+b2-(ab+a+b-1)≥0，所以a2+b2≥ab+a+b-1，当且仅当a=b=1时取等号.将要比较的两式作差，并运用完全平方公式进行配方，即可运用作差法快速比较出两个代数式的大小.在解题时，要注意取等号的情形，确保取等号时的条件成立且满足题意.二、作商运用作商法解答不等式问题，需将要比较的两个代数式相除，并将所得到的商与1进行比较.在作商之前，要对两个代数式的正负进行讨论，只有在两式同号时，才能将其作商，运用作商法来比较二者的大小.若分母有可能为零，则要注意对此特殊情况进行单独讨论.例2.已知a=1816,b=1618,试比较a与b的大小关系.解：∵a=1816>0,b=1618>0，∴a b=18161618=(1816)16×1162=(98)1616=16<1，∴a<b.作商法适合于比较两个单项式的大小.在化简商式时，要选择合适的公式、运算法则，如指数幂运算法则、换底公式等进行运算，以将商式化为便于和1比较的形式.三、放缩放缩法是解答不等式问题的一种重要方法.若已知关系式与目标式之间的差异较大，则需将其中一个式子进行适当的放缩，如扩大分子、缩小分母、去掉部分项、增加常数项等，使其与另一个式子靠拢，从而解答问题.有时需找到一个合适的中间量，以利用不等式的传递性建立已知关系式和目标式之间的联系.例3.若a>b>0,c<d<0，|b|>|c|，证明：b+c(a-c)2<a+d(b-d)2.证明：因为b+c>0，0<1(a-c)2<1(b-d)2,所以b+c(a-c)2<b+c(b-d)2，因为0<b+c<a+d,1(b-d)2>0,所以b+c(b-d)2<a+d(b-d)2，所以b+c(a-c)2<b+c(b-d)2<a+d(a-c)2，即b+c(a-c)2<a+d(b-d)2.不等号前后的两个式子之间的差异较大，但是结构一致，于是分别根据已知条件和不等式的性质将不等式左右两边的式子b+c(a-c)2、a+d(b-d)2放缩，使得b+c(a-c)2<b+c(b-d)2、b+c(b-d）2<a+d(b-d)2，再根据不等式的传递性证明结论.四、利用几何法运用几何法解答不等式问题，往往要挖掘代数式的几何意义，如将代数式x2看作抛物线，将ax2+by2看作圆，将ax+by看作同一条直线.画出几何图形，通过分析图形中点、直线、曲线的位置及其关系，找到使不等式成立的点的集合，即可解题.例4.证明：x12+y12+x22+y22≥(x1-x2)2+(y1-y2)2证明：设点A(x1,y1),B(x2,y2),则AO=x12+y12,BO=x22+y22,AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2，因为三角形中两边之和大于第三边，即|AO|+|BO| >|AB|，周元祥38解题宝典所以x 12+y 12+x 22+y 22>(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2，当A ,B ,O 三点共线时，x 12+y 12+x 22+y 22=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2，所以x 12+y 12+x 22+y 22≥(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.我们由该根式可联想到两点间的距离公式，于是设出A 、B 两点的坐标，即可将问题转化为证明|AO |+|BO |>|AB |，根据三角形两边之和大于第三边的性质来解题.运用几何法解题，需进行数形互化，结合几何图形来分析问题.五、运用基本不等式若a ,b >0a 、b >0，则a +b ≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，该式叫做基本不等式.在解答不等式问题时，可以根据不等式的结构特征进行适当的变形，如凑系数、常数代换、添项、去项等，以配凑出两式的和或积，以便能利用基本不等式证明不等式.运用基本不等式时，要确保“一正”“二定”“三相等”的条件成立.例5.已知正实数x ,y 满足2x +5y =20，若不等式10x +1y≥m 2+4m恒成立，求实数m 的取值范围.解:在2x +5y =20的左右同除以20，得x 10+y4=1，则10x +1y =æèçöø÷10x +1y æèçöø÷x 10+y 4=54+5y2x +x 10y ≥94，当且仅当x =203,y =43取等号.则m 2+4m ≤94，解得-92≤m ≤12.由于10x +1y 为分式，所以将已知关系式变形为x 10+1y=1，即可通过常数代换，将10x +1y 化为和式54+5y 2x +x10y .而5y 2x 、x 10y的积为定值，这样便可运用基本不等式求得10x +1y 的最小值，从而求得m 的取值范围.解答不等式问题的方法很多，我们需根据不等式的结构特征进行变形、代换，联系相关的公式、性质、定理等将问题转化为几何问题、最值问题、运算问题等，并选用合适的方法进行求解.（作者单位：安徽省宣城中学）二面角问题的常见命题形式有：（1）求二面角的大小或范围；（2）证明两个平面互相垂直；（3）根据二面角的大小求参数的取值范围.这类问题主要考查同学们的空间想象能力和运算能力.那么，解答这类问题有哪些方法呢？下面结合实例进行归纳总结.一、直接法直接法是指直接从题目的条件出发，通过合理的运算和严密的推理，得出正确的结果.我们知道，二面角的大小可用其平面角表示，因此求二面角的大小，关键是求其平面角的大小.在求二面角时，需先仔细审题，明确题目中点、线、面的位置关系，灵活运用三垂线定理、勾股定理、正余弦定理、夹角公式，根据二面角以及平面角的定义，作出并求出平面角，即可运用直接法快速求得问题的答案.例1.如图1，在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直且平分SC ，分别交AC ，SC 于点D ，E ，且SA =AB ，SB =BC ，求二面角E -BD -C的大小.解：∵SB =BC ，E 是SC 的中点，∴SC ⊥BE ，∵SC ⊥DE ，BE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，∴SC ⊥平面BDE ，∵BD ⊂平面BDE ，∴SC ⊥BD ，∵SA ⊥底面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴SA ⊥BD ，又∵SC ⋂SA =S ，SC ⊂平面SAC ，SA ⊂平面SAC ，∴BD ⊥平面SAC ，又∵DC ⊂平面SAC ，DE ⊂平面SAC ，∴DC ⊥BD ，DE ⊥BD ，∴∠DEC 是所求二面角的平面角.∵SA ⊥底面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，设SA =2，得AB =2，BC =SB =22，∵AB⊥BC ，∴AC =23，∴∠ACS =30°，又∵DE ⊥SC ，∴∠EDC =60°，林菊芳图139。
最新人教版高中数学必修第一册2.1 第2课时 等式性质与不等式性质
是将一个不等式的两边取了倒数而得到的等等.
？
【变式训练 2】 若
+
bc-ad≥0,bd>0.求证:
证明:∵bc-ad≥0,∴ad≤bc.
∵bd>0,∴ ≤ ,
∴+1≤+1,
+
+
∴ ≤ .
≤
+
.
？
探究三 利用不等式的性质求代数式的取值范围
> ,
⇒ac > bc
>
> ,
⇒ac < bc
<
注 意
⇔
同向传递
可逆
c 的符号
？
性质 别 名
注 意
5
同向
6
7
性质内容
> ,
⇒a+c > b+d
同向可加性
>
> > ,
⇒ac > bd
同向同正可乘性
>>
a>b>0⇒ an>bn
可乘方性
(n∈N,n≥2)
同向同正
ab>0,则 a>b⇔ < .(
×
)
√ )
？
合作探究·释疑解惑
？
探究一 利用不等式的性质判断命题的真假
【例1】 判断下列四个命题的真假:
(1)若a<b<0,则 < ;
(2)若a>b>c,则有a|c|>b|c|;
(3)若a>b,c<d,则有a-c>b-d;
不等式基本性质求代数式的取值范围
.不等式基本性质求代数式的取值范围作者: 日期:不等式性质求代数式的取值范围一.知识要点:L 不等式概念 用不等号表示不等关系的式子称为不等式。
其中用>,<连接的不等式，如/W>g （x ）称为严格不等式；而 用ns 连接的不等式如f （x ）<g{x ）称为非严格不等式。
2 •比较两个实数大小的依据主要根据实数的运算性质与大小顺序之间的关系，来比较两个实 数""的大小，即判断它们的差的符号。
概括为,d-/?>0Oa>b; a-b = 0Od = b; a-bvOOdcb •其中O 表不"等价于=意味着两边可以相互推出。
3,不等式的基木性质性质1（对称性）若a 〉",则"5；若bvd,则d>b •即a>bob<a ・性质3（同加或减性）若a>Z>9则a+ob+c 或d-c>b-c ・进一步可得 (移项)：a+h>e^a + h + (—h) >c + {—b} a >c —hi&a-b>c^a-b+b>c+h=>a>c+b.性质 4 若 a>h,c>0,则 ac > be ,若 a >h,c<0,则 ac < be, 性质 5 若 a>h,c>ii ,^ia + c>b + d,性质6若a >b>0,c>〃 >0,贝!1必>仇/・ 性质7若d>b>0,贝1」小>刃'（《€凡《>2）・性质2（传递性）若a>b,b>c,^i即5 h>c性质8若a>b>（）,则亦>咖\,?€凡心2）.特别强调：“＞bo丄＜丄不一定成立.因为当血＜0时，有丄＞丄;当血=0 a h a h时，丄＜丄无意义；当％0时，有丄＜丄.a b a b二.解题思路:利用几个变a的范围来确定某个代数式的范围是一类常见的综合问题，解此类问题时，常利用不等式性质3的推论，即“同向不等式的两边可对应相加；异向不等式的两边可相减” •但请注意，此种转化并不是等价变形，在一个解题过程中多次利用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，从而求出错误答案•正确的解法是：先建立待求范的整体与己知范ffl的等量关系，再通过“一次性不等关系的运算”，求出待求的范W.三-求解步骤①把将要计算的代数式C用已知的两个代数式"与b表达出来，即令c = k,a + k,h（其中《虫为常数），并求出《虫的值•此方法可以推广到多个代数式的情况.②分别求出abb的取值范虱③一次性利用不等式的性质，求出2+kJ）的取值范围，即得代数式C的取值范围.四・高考题演练L (辽宁咼考)己知-\<x + y<4且2vx-yv39贝!1 z = 2x-3y 的取值范围■提示12・(江苏高考)设实数2满足32貧9,贝吟的最大值■提示24, B^I<lg-<2,2<Ig4=<3,则 Ig 二的取值范围是 yyjy 目 y5.已知 f(x) =(tx--c 且-4</(1)<-1,-1 W ⑵ S5,则/(3)的取值范圉■提示57.已知二次函数y = f(x)的图像过原点,H1</(-I)<2,3</(I)<4,求/(-2)的取值范围.3,若a./?满足< 蔦:;籍则川0的最大值是•提示•提示6・已知且2Wd+b<4,求4d 的取值范围.提示提示7参考答案:提不1:设Z = 2尢-3y = "Kx+y)+«(x-y) = (〃?+”)x+(〃?一n)y,因为< in + n = 2 in_ « = _3'得＜ttl =——2,所以_2＜一扣+刃＜1,5＜討一刃＜学J 乙乙乙乙f1 = —2贝Ij3<-l(；v+y) + -(x-y)<8,即3<2x-3y<8.提示厶显然計卄中，为转化为上面用到的基木解法，因此可两边同时取对数，化为岭吟的形式.易得乂 2 3 -lg8 + 2Ig4<-lgAT'+2!g —<-lg3 + 2Ig9 ,即lg2<lgrMlg27，贝Ijy y 2牛＜27,最大值是27.提75 3：设a+3p = in{a + /?) + «(a+2/7) = {)n-¥n}a +(nt+2ii)fi,因为・,m + 2/1 = 3 " — 7,所以易求ia + 3/?W7.n = 2提示4:已知条件可化为l<lgx-lgy <22<31g.v-^lg y<3'设Ig二= 31gx_£lgy = w(lgx-lgy) + n(31gx_llgy), 易求加=-2，« =学•最qy 3 2 5 15 终的取值范围是[边,3].ily15提示5:已知条件可知f⑴二"—'，/⑵=4dY⑵-/⑴］4 I"-討(1) +討(2),则/(3) = 9t/-c = -|/(l) + |/(2).易求/⑶的取值范围是[-1,20].提示6：类似以上解法可求5<4a-2b<i0.提示7: 法1(待定系数法):可求- ") ，设f (-2) = 4(1 - 2b = in{a—h} + n{a + /?),3</(l) = a + b<4求岀«进而求/(-2)的取值范围是[6, 10].法2(方程法)：由得./(!) = « + /?b = -lf⑴-/(-!)]所以同样可求/(-2)的取值范圉是[6, 10].。
2023年人教版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版
(名师选题)2023年人教版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版单选题>0”是假命题，则实数a的取值范围为（）1、已知命题“∀x∈R，4x2+(a−2)x+14A．(−∞,0]∪[4,+∞)B．[0,4]C．[4,+∞)D．(0,4)答案：A分析：先求出命题为真时实数a的取值范围，即可求出命题为假时实数a的取值范围.>0”是真命题，若“∀x∈R，4x2+(a−2)x+14<0，解得：0<a<4，即判别式Δ=(a−2)2−4×4×14>0”是假命题，所以命题“∀x∈R，4x2+(a−2)x+14则实数a的取值范围为：(−∞,0]∪[4,+∞).故选：A.2、已知a=√2，b=√7−√3，c=√6−√2，则a，b，c的大小关系为（）A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a答案：B分析：通过作差法，a−b=√2+√3−√7，确定符号，排除D选项；通过作差法，a−c=2√2−√6，确定符号，排除C选项；通过作差法，b−c=(√7+√2)−(√6+√3)，确定符号，排除A选项；由a−b=√2+√3−√7，且(√2+√3)2=5+2√6>7，故a>b；由a −c =2√2−√6且(2√2)2=8>6，故a >c ；b −c =(√7+√2)−(√6+√3)且(√6+√3)2=9+2√18>9+2√14=(√7+√2)2，故c >b . 所以a >c >b ， 故选：B .3、权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y≥(a+b )2x+y，当且仅当a x=b y时等号成立．根据权方和不等式，函数f(x)=2x+91−2x(0<x <12)的最小值为（ ）A ．16B ．25C ．36D ．49 答案：B分析：将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答. 因a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y≥(a+b )2x+y，当且仅当a x =by 时等号成立，又0<x <12，即1−2x >0，于是得f(x)=222x +321−2x ≥(2+3)22x+(1−2x)=25，当且仅当22x =31−2x ，即x =15时取“=”， 所以函数f(x)=2x +91−2x (0<x <12)的最小值为25. 故选：B4、不等式x−1x+2<0的解集为（ ） A ．{x|x >1}B ．{x|x <−2}C ．{x|−2<x <1}D ．{x|x >1或x <−2} 答案：C解析：由x−1x+2<0等价于(x −1)(x +2)<0，进而可求出不等式的解集. 由题意，x−1x+2<0等价于(x −1)(x +2)<0，解得−2<x <1， 所以不等式x−1x+2<0的解集为{x|−2<x <1}.故选：C.小提示：本题考查分式不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题.5、已知2<a<3，−2<b<−1，则2a−b的范围是（）A．(6,7)B．(5,8)C．(2,5)D．(6,8)答案：B分析：由不等式的性质求解即可.2<a<3,−2<b<−1，故4<2a<6，1<−b<2，得5<2a−b<8故选：B6、已知p：a>b>0q：1a2<1b2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A分析：根据a>b>0与1a2<1b2的互相推出情况判断出属于何种条件.当a>b>0时，a2>b2>0，所以1a2<1b2，所以充分性满足，当1a2<1b2时，取a=−2,b=1，此时a>b>0不满足，所以必要性不满足，所以p是q的充分不必要条件，故选：A.7、对∀x∈R，不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0恒成立，则a的取值范围是（）A．−2<a≤2B．−2≤a≤2C．a<−2或a≥2D．a≤−2或a≥2答案：A分析：对a讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a的取值范围.不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对一切x ∈R 恒成立， 当a −2=0，即a =2时，−4<0恒成立，满足题意； 当a −2≠0时，要使不等式恒成立，需{a −2<0Δ<0 ，即有{a <24(a −2)2+16(a −2)<0 ， 解得−2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(−2,2]. 故选：A.8、若“﹣2<x <3”是“x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0）”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1B ．m ≥2C ．m ≥3D ．m ≥4 答案：C分析：x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0），解得﹣2m <x <m .根据“﹣2<x <3”是“x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0）”的充分不必要条件，可得﹣2m ≤﹣2，3≤m ，m >0.解出即可得出. 解：x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0），解得﹣2m <x <m .∵“﹣2<x <3”是“x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0）”的充分不必要条件，∴﹣2m ≤﹣2，3≤m ，(两个等号不同时取)m >0. 解得m ≥3.则实数m 的取值范围是[3，+∞）. 故选：C.9、已知正实数a,b 满足4a+b +1b+1=1，则a +2b 的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．12 答案：B分析：令a +2b =a +b +b +1−1，用a +b +b +1分别乘4a+b +1b+1=1两边再用均值不等式求解即可.因为4a+b+1b+1=1，且a,b 为正实数所以a +b +b +1=(a +b +b +1)(4a+b +1b+1)=4+a+bb+1+4(b+1)a+b+1≥5+2√a+bb+1×4(b+1)a+b=9，当且仅当a+b b+1=4(b+1)a+b即a =b +2时等号成立.所以a +2b +1≥9,a +2b ≥8. 故选：B.10、已知两个正实数x ，y 满足x +y =2，则1x+9y+1的最小值是（ ）A ．163B ．112C ．8D ．3 答案：A分析：根据题中条件，得到1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]，展开后根据基本不等式，即可得出结果. 因为正实数x,y 满足x +y =2，则1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]=13(10+y+1x+9xy+1)≥13(10+2√y+1x⋅9xy+1)=163，当且仅当y+1x=9xy+1，即x =34,y =54时，等号成立.故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11、已知关于x 的不等式mx 2−6x +3m <0在(0，2]上有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(−∞，√3)B ．(−∞，127)C ．(√3，+∞)D ．(127，+∞)答案：A分析：分离参数，将问题转换为m <6xx 2+3在(0，2]上有解，设函数g(x)=6xx 2+3，x ∈(0，2]，求出函数g(x)=6xx 2+3的最大值，即可求得答案.由题意得，mx 2−6x +3m <0，x ∈(0，2]，即m <6xx 2+3 ， 故问题转化为m <6xx 2+3在(0，2]上有解，设g(x)=6xx 2+3，则g(x)=6x x 2+3=6x+3x，x ∈(0，2]，对于x +3x≥2√3 ，当且仅当x =√3∈(0,2]时取等号，则g(x)max =2√3=√3，故m <√3 ， 故选：A12、下列命题中，是真命题的是（ ）A ．如果a >b ，那么ac >bcB ．如果a >b ，那么ac 2>bc 2C ．如果a >b ，那么ac >bc D ．如果a >b ，c <d ，那么a −c >b −d 答案：D分析：根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案. 对于A ，如果c =0，那么ac =bc ，故错误； 对于B ，如果c =0，那么ac 2=bc 2，故错误； 对于C ，如果c <0，那么ac <bc ，故错误；对于D ，如果c <d ，那么−c >−d ，由a >b ，则a −c >b −d ，故正确. 故选：D. 双空题13、已知−1<x +y <4，2<x −y <3，则x 的范围是_________，3x +2y 的范围是________．答案： (12,72) (−32,232)分析：利用不等式的基本性质可求得x 的取值范围，利用待定系数法可得3x +2y =52(x +y )+12(x −y )，利用不等式的基本性质可求得3x +2y 的取值范围.∵−1<x +y <4，2<x −y <3，两个不等式相加可得1<2x <7，解得12<x <72， 设3x +2y =m (x +y )+n (x −y )=(m +n )x +(m −n )y ，所以，{m +n =3m −n =2，解得m =52，n =12，因为−52<52(x +y )<10，1<12(x −y )<32， 由不等式的基本性质可得−32<3x +2y <232.所以答案是：(12,72)；(−32,232).小提示：易错点点睛：本题考查利用不等式的基本性质求代数式的取值范围，一般而言，不等式次数用得越多，所得代数式的取值范围越不准确，本题在求3x +2y 的取值范围时，可充分利用待定系数法得出3x +2y =52(x +y )+12(x −y )，进而利用不等式的基本性质求解.14、珍珠棉是一种新型环保的包装材料．某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入x （1<x <10）万元，珍珠棉的销售量可增加p =10xx+1吨，每吨的销售价格为(3−8p )万元，另外生产p 吨珍珠棉还需要投入其他成本p2万元．当x =______万元时，该公司在本季度增加的利润y 最大，最大利润为______万元． 答案： 4 8分析：根据题中等量关系，列出函数解析式，对函数进行变形，再结合基本不等式，即可求解 因为1<x <10，所以由题意得y =p (3−8p )−x −p 2=10x x +1(3−4x +45x )−x −5x x +1=17−25x +1−x=18−[25x+1+(x +1)] ≤18−2√25x+1⋅(x +1)=8， 当且仅当25x+1=x +1，即x =4时等号成立，所以当x =4万元时，该公司在本季度增加的利润最大，为8万元，所以答案是：4；815、已知正数x ，y 满足x +y =2，则1x +xy 的最小值是__________，√x −1+y 的最大值是__________. 答案： 12+√2 54分析：利用配凑的方法结合均值不等式求1x +xy 的最小值；换元结合二次函数求出√x −1+y 的最大值.正数x ，y 满足x +y =2，则1x +xy =x+y 2x+x y =12+y 2x +x y ≥12+2√y 2x ⋅x y =12+√2，当且仅当y2x=xy，即y =√2x 时取“=”，由y =√2x 且x +y =2解得：x =2√2−2,y =4−2√2，所以当x =2√2−2,y =4−2√2时，1x+xy取得最小值12+√2；依题意，1≤x <2，令√x −1=t ∈[0,1)，则x =t 2+1，y =2−x =−t 2+1，于是得：√x −1+y =t −t 2+1=−(t −12)2+54≤54，当且仅当t =12，即x =54,y =34时取“=”， 所以当x =54,y =34时，√x −1+y 取得最大值54. 所以答案是：12+√2；5416、若正数a ，b 满足a +b +2=ab ，则3a−1+1b−1的最小值是______，此时b =______.答案： 2 2分析：先由a +b +2=ab 求出a =b+2b−1，再根据基本不等式求解即可． 解：∵a +b +2=ab ，∴b +2=ab −a ，∴ a =b+2b−1，因为a >0、b >0，所以b+2b−1>0，即b >1∴3a−1+1b−1=3b+2b−1−1+1b−1=3(b+2)−(b−1)b−1+1b−1=(b −1)+1b−1⩾2√(b −1)×1b−1，即3a−1+1b−1⩾2，当且仅当b −1=1b−1，即b =2时取等号，所以答案是：2；2．17、若正实数a ，b 满足a +b +2=ab ，则a +b −2的最小值为______；3a−1+7b−1的最小值是______. 答案： 2√3 2√7分析：将条件转化为(a −1)(b −1)=3后，由基本不等式求解 由a +b +2=ab ，得a =b+2b−1>0，所以b >1，同理可得a >1，所以b −1>0，a −1>0.因为a +b +2=ab ，所以(a −1)(b −1)=3，所以a +b −2=(a −1)+(b −1)≥2√(a −1)(b −1)=2√3，当且仅当a −1=b −1，即a =b =1+√3时取等号.又b −1=3a−1，所以3a−1+7b−1=b −1+7b−1≥2√(b −1)⋅7b−1=2√7，当且仅当b −1=7b−1，即b =√7+1，a =7+3√77时等号成立. 所以答案是：2√3，2√7 解答题18、已知12<a <60，15<b <36，求a −2b ，2ab 的取值范围． 答案：a −2b 的取值范围是(−60,30)，2ab 的取值范围是(23,8)．分析：根据题意可得−72<−2b <−30，进而得到a −2b 的范围，再根据分数的性质可得2ab 的取值范围.因为15<b <36，所以−72<−2b <−30． 又12<a <60，所以12−72<a −2b <60−30， 即−60<a −2b <30．因为12<a <60，所以24<2a <120， 因为15<b <36，所以136<1b <115， 所以2436<2a b<12015，即23<2a b <8．所以a −2b 的取值范围是(−60,30)，2ab 的取值范围是(23,8)． 19、回答下列问题：(1)若a>b，且c>d，能否判断a−c与b−d的大小？举例说明．(2)若a>b，且c<d，能否判断a+c与b+d的大小？举例说明．(3)若a>b，且c>d，能否判断ac与bd的大小？举例说明．(4)若a>b，c<d，且c≠0，d≠0，能否判断ac 与bd的大小？举例说明．答案：(1)不能判断，举例见解析(2)不能判断，举例见解析(3)不能判断，举例见解析(4)不能判断，举例见解析分析：因为a,b,c,d的正负不确定，因此可举例说明每个小题中的两式的大小关系不定. （1）不能判断a−c与b−d的大小，举例：取a=5,b=3,c=1,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时a−c>b−d；取a=5,b=4,c=3,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时a−c<b−d；取a=5,b=4,c=3,d=2，满足条件a>b，且c>d，此时a−c=b−d；（2）不能判断a+c与b+d的大小，举例：取a=5,b=3,c=0,d=1，满足条件a>b，且c<d，此时a+c>b+d；取a=5,b=3,c=2,d=6，满足条件a>b，且c<d，此时a+c<b+d.取a=5,b=3,c=4,d=6，满足条件a>b，且c<d，此时a+c=b+d；（3）不能判断ac与bd的大小，举例：取a=5,b=3,c=1,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时ac>bd；取a=5,b=3,c=−3,d=−5，满足条件a>b，且c>d，此时ac=bd；取a=5,b=−3,c=1,d=−2，满足条件a>b，且c>d，此时ac<bd；（4）不能判断ac 与bd的大小举例：取a=6,b=3,c=1,d=2，满足条件a>b，且c<d，此时ac >bd；取a=2,b=1,c=−1,d=2，满足条件a>b，且c<d，此时ac <bd；取a=6,b=3,c=−2,d=−1，满足条件a>b，且c<d，此时ac =bd；20、解下列不等式.(1)﹣x2+2x﹣3＜0；(2)﹣3x2+5x﹣2＞0.答案：(1)R(2){x|23<x<1}分析：（1）根据题意，原不等式变形为（x﹣1）2+2＞0，结合二次函数的性质分析可得答案；（2）根据题意，原不等式变形为（x﹣1）（x−23）＜0，解可得答案.（1）根据题意，﹣x2+2x﹣3＜0⇒x2﹣2x+3＞0⇔（x﹣1）2+2＞0，又由（x﹣1）2+2≥2，则不等式的解集为R；（2）根据题意，﹣3x2+5x﹣2＞0⇔3x2﹣5x+2＜0⇔（x﹣1）（x−23）＜0，解可得：23＜x＜1，即不等式的解集为{x|23＜x＜1}.。
2022年高中数学第三章不等式1不等关系与不等式练习含解析新人教A版必修
课时训练15 不等关系与不等式一、不等式性质的直接应用与判断1.若1a <1b<0,则下列结论不正确的是( )A.a2<b2B.ab<b2C.b a +ab>2 D.ba<1答案:D解析:由1a <1b<0可知,b<a<0,所以ba<1不成立,故选D.2.(2015山东威海高二期中,1)已知a>b,则下列不等式中成立的是( )A.a2>b2B.1a <1bC.1a-b>1aD.a3>b3答案:D解析:A.虽然-1>-2,但(-1)2>(-2)2不成立;B.虽然3>-2,但是13<1-2不成立;C.虽然2>-3,但是12-(-3)>12不成立;D.∵a>b,∴a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0. (∵a2+ab+b2=(a+12b)2+34b2>0)成立.综上可知,只有D正确.故选D.3.已知下列说法:①若a<b<0,则a2>ab;②若a≥b,ac≥bc,则c≥0;③若a>b>0,c<0,则ca >cb;④若0<a<1,则log a(1+a)>log a(1+1a)其中正确的有 .答案:①③④解析:对于①,由a<b,a<0,可得a2>ab,故①正确;对于②,当a=b时,c可以为负数,故②错误;对于③,当a>b>0时,得0<1a < 1 b,又c<0,∴ca >cb,故③正确;对于④,当0<a<1时,1a >1,则1+a<1+1a,∴log a(1+a)>log a(1+1a),故④正确.二、利用不等式的性质比大小4.(2015山东威海高二期中,2)不等式:①a2+2>2a;②a2+b2≥2(a-b-1);③a2+b2≥ab恒成立的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案:D解析:①a2+2-2a=(a-1)2+1≥1,∴a2+2>2a,正确;②∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1),正确;③a2+b2-ab=(a-12b)2+34b2≥0,当且仅当a=b=0时取等号,正确.综上可得:①②③都恒成立.故选D.5.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是( )A.A≤BB.A≥BC.A<B 或A>BD.A>B答案:B 解析:∵A-B=a 2+3ab-4ab+b 2=a 2-ab+b 2=(a -b 2)2+34b 2≥0,∴A ≥B.6.(2015河南郑州高二期末,16)现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v 1,下山的速度为v 2(v 1≠v 2),乙上山和下山的速度都是v 1+v 22(甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回),则甲、乙两人上下山所用的时间t 1,t 2的大小关系为 .答案:t 1>t 2解析:由题意知,甲用的时间t 1=S v 1+S v 2=S ·v 1+v 2v 1v 2,乙用的时间t 2=2×S v 1+v 22=4S v 1+v 2.∵t 1-t 2=S ·v 1+v 2v 1v 2−4S v 1+v 2=S (v 1+v 2v 1v 2-4v 1+v 2)=S (v 1-v 2)2v 1v 2(v 1+v 2)>0.∴t 1>t 2.7.已知a ,b ,x ,y 均为正实数,且1a >1b ,x>y ,试判断x x +a 与y y +b的大小关系.解:因为x x +a −y y +b =bx -ay (x +a )(y +b ),又1a >1b且a>0,b>0,所以b>a>0.又x>y>0,所以bx>ay ,即bx-ay>0.又x+a>0,y+b>0,所以bx -ay (x +a )(y +b )>0,即x x +a >y y +b.三、利用不等式的性质求代数式范围8.设x ,y 为实数,满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9,则x 3y 4的最大值是 .答案:27解析:∵4≤x 2y ≤9,∴16≤x 4y 2≤81.①∵3≤xy 2≤8,∴18≤1x y 2≤13.②由①②可得2≤x 4y 2·1x y 2≤27,即2≤x 3y 4≤27.∴x 3y 4的最大值为27.9.已知1<a<2,3<b<4,求下列各式的取值范围:(1)2a+b ;(2)a-b ;(3)ab .解:(1)因为1<a<2,所以2<2a<4.又3<b<4,所以5<2a+b<8.(2)因为3<b<4,所以-4<-b<-3.又1<a<2,所以-3<a-b<-1.(3)因为3<b<4,所以14<1b <13.又1<a<2,所以14<ab <23.四、利用不等式的性质证明10.已知a>b>0,c<d<0.求证:3√ad <3√bc .思路分析:解答本题可先比较a d 与b c 的大小,进而判断3√a d <3√bc .证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0.∴0<-1c <-1d .又a>b>0,∴-ad >-bc>0.∴3√-a d>3√-b c,即-3√a d>-3√b c.两边同乘以-1,得3√a d<3√b c.(建议用时:30分钟) 1.若a,b∈R,且a>b,则( )A.a2>b2B.ba<1C.lg(a-b)>0D.(12)a<(12)b答案:D解析:∵a>b,无法保证a2>b2,ba<1和lg(a-b)>0,∴排除A与B,C,故选D.2.如果a<b<0,那么下列不等式成立的是( )A.1 a <1bB.ab<b2C.-ab<-a2D.-1a <-1b答案:D解析:当a=-2,b=-1时,检验得A,B,C错误,故D正确.3.若a>b>c,则下列不等式成立的是( )A.1 a-c >1b-cB.1a-c<1b-cC.ac>bcD.ac<bc 答案:B解析:∵a>b>c,∴a-c>b-c>0.∴1 a-c <1 b-c.故选B.4.下列结论正确的是( )A.若a>b>0,a>c,则a2>bcB.若a>b>c,则ac > b cC.若a>b,n∈N*,则a n>b nD.a>b>0,则ln a<ln b答案:A解析:对于B,当c<0时,不成立,对于C,当a=1,b=-2,n=2时,a n>b n不成立.对于D,由对数函数性质得不正确,故选A.5.若α,β满足-π2<α<β<π2,则2α-β的取值范围是( )A.-π<2α-β<0B.-π<2α-β<πC.-3π2<2α-β<π2D.0<2α-β<π答案:C解析:∵-π2<α<π2,∴-π<2α<π.又-π2<β<π2,∴-π2<-β<π2.∴-3π2<2α-β<3π2.又α-β<0,α<π2,∴2α-β<π2.故-3π2<2α-β<π2.6.若实数a≠b,则a2-ab ba-b2(填不等号).答案:>解析:(a2-ab)-(ba-b2)=a2-ab-ba+b2=(a-b)2,∵a≠b,∴(a-b)2>0.∴a2-ab>ba-b2.7.已知2b<a<-b,则ab的取值范围为 .答案:-1<ab<2解析:∵2b<a<-b,∴2b<-b.∴b<0.∴-b b <ab<2bb,即-1<ab<2.8.若m<n,p<q且(p-m)(p-n)<0,(q-m)(q-n)<0,则m,n,p,q从小到大顺序是 . 答案:m<p<q<n解析:∵(p-m)(p-n)<0,∴{p-m>0,p-n<0或{p-m<0,p-n>0.又m<n,∴m<p<n.同理m<q<n,又p<q,∴m<p<q<n.9.甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种),两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购买1 000 kg,乙每次购粮用去1 000元钱,谁的购粮方式更合算?解:设两次价格分别为a元、b元,则甲的平均价格为m=a+b2元,乙的平均价格为n=20001000a+1000b=2aba+b,∴m-n=a +b 2−2ab a +b =(a -b )22(a +b )>0.∴乙更合算.10.已知函数f (x )=ax 2-c ,-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,求f (3)的取值范围.解:因为f (x )=ax 2-c ,所以{f (1)=a -c ,f (2)=4a -c .即{a -c =f (1),4a -c =f (2),解得{a =13[f (2)-f (1)],c =13f (2)-43f (1),所以f (3)=9a-c=83f (2)-53f (1).又因为-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,所以53≤-53f (1)≤203,-83≤83f (2)≤403,所以-1≤83f (2)-53f (1)≤20,即-1≤f (3)≤20.。
高中数学新教材同步必修第一册 第2章 §2.1 第2课时 等式性质与不等式性质
解 甲同学做的不对，因为同向不等式具有可加性， 但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的. 乙同学做的不对. 因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变， 但同乘以一个负数，不等号方向改变， 在本题中只知道－6<a<8，不明确a值的正负. 故不能将13<1b<12与－6<a<8 两边分别相乘， 只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘. 丙同学做的不对.
1234
课时对点练
基础巩固
1.如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是
√A.1a<1b
B. －a< b
C.a2<b2
D.|a|>|b|
解析 ∵a<0，b>0，∴1a<0，1b>0，∴1a<1b.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是
内容索引
一、等式性质与不等式的性质 二、利用不等式的性质证明不等式 三、利用不等式的性质求代数式的取值范围
随堂演练
课时对点练
一、等式性质与不等式的性质
问题 判断下列命题是否正确？ (1)如果a＝b，那么b＝a； (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c； (4)如果a＝b，那么ac＝bc； (5)如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc . 提示 以上均正确，这些都是等式的基本性质.
反思感悟 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不 等式的性质进行运算，求得待求的范围. (2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解 题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.
专题;利用不等式性质求含两个变量的代数式的取值范围
专题： 利用不等式性质求含两个变量的代数式的取值范围学习目标：研究含两个变量的代数式的值的取值范围活动一 不等式的性质有哪些？不等式的基本性质活动二 问题探究----不等式性质的运用例： 已知32,41<<<<-y x ，则y x -的取值范围是 （学习目的：学会不等式基本性质的应用）变式1 已知32,41<<<<-y x ，则y x 23+的取值范围是（学习目的：结论系数添加常数，不等式性质运用）变式2 已知32,41<-<<+<-y x y x ，则y x 23+的取值范围是（学习目的：将y x y x -+,作为整体“元”，y x 23+用“元”表示出来，利用待定系数法求“元”系数。
）变式3 已知2lg 1,4)lg(1≤≤-≤≤y x xy ，求yx 2lg 的取值范围。
（学习目标：运算形式进行变化，）变式4 已知31<<<-y x ，求y x -的取值范围。
（学习目标：将条件变化为不等式组。
）活动二 问题拓展-----不等式与其它问题的联系例2 已知函数bx ax x f +=2)(，且4)1(2,2)1(1<≤≤-<f f ，求)2(-f 的取值范围。
活动三 高考题中的不等式（组）例3 （2010年江苏高考题）设y x ，为实数，满足94,8322≤≤≤≤y x xy ，则43yx 的最大值是训练:1、（2018北京卷12）(2018北京)若x ，y 满足12x y x +≤≤，则2y x -的最小值是__________．2、 （2013新课标Ⅰ） 设,x y 满足约束条件13,10x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2z x y =-的最大值为___．3、（2013湖南）若变量x ,y 满足约束条件28,04,03,x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则x +y 的最大值为________．课后练习1、已知①11a b -+≤≤；②13a b -≤≤，求：3a b -的取值范围．2、（2011新课标）若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．。
人教A版新课标高中数学必修一练习 利用不等式性质求取值范围
利用不等式性质求取值范围1.已知−6<a<8，2<b<3，分别求2a+b，a−b，ab的取值范围．2.已知−π2≤α<β≤π2，试求α−β2的取值范围．3.已知−2<a≤3，1≤b<2，试求下列代数式的取值范围．(1)|a|；(2)a+b；(3)a−b；(4)2a−3b．4.已知2<x<3<y<4，求x−y，2x−y，xy各自的取值范围．5.已知-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3,则a+3b的取值范围?参考答案:1.【答案】解：∵−6<a <8，∴−12<2a <16，又∵2<b <3，∴−10<2a +b <19．∵2<b <3，∴−3<−b <−2，∴−9<a −b <6．∵2<b <3，∴13<1b <12，∵−6<a <8，∴当0≤a <8时，0≤a b <4当−6<a <0时，−3<a b <0综上，−3<a b <4【解析】利用不等式的基本性质即可得出．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】解：因为−π2≤α<β≤π2，所以−π4≤α2<π4，−π4<β2≤π4， 所以−π4≤−β2<π4，所以−π2≤α−β2<π2． 又α<β，所以α−β2<0， 所以−π2≤α−β2<0． 所以α−β2的取值范围是[−π2,0)．【解析】本题考查角的范围的判断及同项不等式的相加，属于一般题．明确不等式的同向相加性是解决问题的关键．3.【答案】解：(1)因为−2<a ≤3，所以|a|∈[0,3]．(2)因为−2<a ≤3，1≤b <2，则−1<a +b <5．(3)依题意得−2<a ≤3，−2<−b ≤−1，相加得−4<a −b ≤2．(4)由−2<a ≤3得−4<2a ≤6，①由1≤b <2得−6<−3b ≤−3，②由①②得，−10<2a −3b ≤3．4.【答案】解：因为2<x <3<y <4，所以4<2x <6，−4<−y <−3，14<1y <13，所以−2<x −y <0，0<2x −y <3，12<x y <1．综上所述，−2<x −y <0，0<2x −y <3，12<x y <1．【解析】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题. 熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．直接利用不等式的基本性质，通过2<x <3<y <4，求x −y ，2x −y ，x y各自的取值范围． 5.【答案】设a +3b =x (a +b )+y (a -2b )=xa +xb +ya -2yb=a (x +y )+b (x -2y )列方程组 {x +y =1x −2y =3解得{x =53y =−23因为-1≤a +b ≤1 所以53-≤(5/3)(a +b )≤53因为1≤a -2b ≤3所以-2≤23- (a -2b )≤23-a +3b =53 (a +b ) +23- (a -2b ) 所以113-≤a +3b ≤1。
《利用不等式性质求取值范围》【高中数学人教版同步测试】
利用不等式性质求取值范围1.已知−6<a<8，2<b<3，分别求2a+b，a−b，ab的取值范围．2.已知−π2≤α<β≤π2，试求α−β2的取值范围．3.已知−2<a≤3，1≤b<2，试求下列代数式的取值范围．(1)|a|；(2)a+b；(3)a−b；(4)2a−3b．4.已知2<x<3<y<4，求x−y，2x−y，xy各自的取值范围．5.已知-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3,则a+3b的取值范围?参考答案:1.【答案】解：∵−6<a <8，∴−12<2a <16，又∵2<b <3，∴−10<2a +b <19．∵2<b <3，∴−3<−b <−2，∴−9<a −b <6．∵2<b <3，∴13<1b <12，∵−6<a <8，∴当0≤a <8时，0≤a b <4当−6<a <0时，−3<a b <0综上，−3<a b <4【解析】利用不等式的基本性质即可得出．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】解：因为−π2≤α<β≤π2，所以−π4≤α2<π4，−π4<β2≤π4， 所以−π4≤−β2<π4，所以−π2≤α−β2<π2． 又α<β，所以α−β2<0， 所以−π2≤α−β2<0． 所以α−β2的取值范围是[−π2,0)．【解析】本题考查角的范围的判断及同项不等式的相加，属于一般题．明确不等式的同向相加性是解决问题的关键．3.【答案】解：(1)因为−2<a ≤3，所以|a|∈[0,3]．(2)因为−2<a ≤3，1≤b <2，则−1<a +b <5．(3)依题意得−2<a ≤3，−2<−b ≤−1，相加得−4<a −b ≤2．(4)由−2<a ≤3得−4<2a ≤6，①由1≤b <2得−6<−3b ≤−3，②由①②得，−10<2a −3b ≤3．4.【答案】解：因为2<x <3<y <4，所以4<2x <6，−4<−y <−3，14<1y <13，所以−2<x −y <0，0<2x −y <3，12<x y <1．综上所述，−2<x −y <0，0<2x −y <3，12<x y <1．【解析】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题. 熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．直接利用不等式的基本性质，通过2<x <3<y <4，求x −y ，2x −y ，x y各自的取值范围． 5.【答案】设a +3b =x (a +b )+y (a -2b )=xa +xb +ya -2yb=a (x +y )+b (x -2y )列方程组 {x +y =1x −2y =3解得{x =53y =−23因为-1≤a +b ≤1 所以53-≤(5/3)(a +b )≤53因为1≤a -2b ≤3所以-2≤23- (a -2b )≤23-a +3b =53 (a +b ) + 23- (a -2b ) 所以113-≤a +3b ≤1。
利用基本不等式求一个函数或代数式最值（或取值范围）的方法
利用基本不等式求一个函数或代数式最值（或取值范围）的方法
发布时间：2022-01-12T03:09:00.091Z 来源：《中小学教育》2021年第30期作者：罗元庆
[导读] 利用基本不等式求一个函数或代数式最值（或取值范围）的方法
罗元庆
陕西省汉中市勉县武侯中学
一、基本不等式
二、求一个函数或代数式的最值（或取值范围）的方法
利用均值不等式（基本不等式）：
条件：一正（正数）二定（常数）三相等（=成立）
1取特殊值法(一):凡选择题，填空题中比较大小问题，只要取一组特殊值代入验证即可否定或肯定一些答案。
2、取特殊值法（二）选填题只需取均值不等式中“=”成立的条件
3、配凑法：
4.换元法
5、分离常数法+换元法
6、拆项+分组法
7、恒成立问题或存在成立问题----分离参数法
8.“1”的代换
9.分类讨论法
10.等价转化法（负变正，加“－”）
11.取绝对值法
12 不等式两边或分子分母都含根号——平方法
13.已知条件中含有形如,求的取值范围。
一元二次函数、方程和不等式常见典型考题赏析
ʏ欧阳亮一元二次函数㊁方程和不等式是高中数学的重要内容,也是高考的重要考点㊂下面就一元二次函数㊁方程和不等式问题的常见典型考题举例分析,供大家学习㊂题型一:利用不等式的性质判断不等式的真假此类问题一般结合不等式的性质,利用作差法或作商法求解,也可以利用特殊值法求解㊂例1 若a >b >0,m <0,则下列不等式成立的是( )㊂A .a m 2<b m 2B .m b -a>1C .a -m b -m <a bD .a -m a 2>b -mb2对于A ,已知a >b >0,m <0,可得m 2>0,所以a m 2>b m 2,A 不正确㊂对于B ,取a =3,b =2,m =-12,可得m b -a =-122-3=12<1,B 不正确㊂对于C ,由a >b >0,m <0,可得a -m >0,b -m >0,由a -m b -m -a b =(a -m )b -(b -m )ab (b -m )=m (a -b )b (b -m )<0,可得a -m b -m <ab ,C 正确㊂对于D ,取a =2,b =1,m =-1,可得a -ma2=2+14=34,b -m b 2=1+11=2,此时a -ma2<b -mb2,D 错误㊂应选C ㊂跟踪训练1:下列命题正确的是( )㊂A .若a >b ,c >d ,则a c >b dB .若a c >b c ,则a <bC .若a >b ,c >d ,则a -c >b -dD .若a c 2<bc2,则a <b 提示:A 中,若a >b >0,c >d >0,则a c >b d 成立,否则,如2>1,-1>-2,可得-2>-2,显然错误,A 不正确㊂B 中,若a c >b c ,c <0,则a <b ,否则,如a =-2,b =-3,c =2,则(-2)ˑ2>(-3)ˑ2,可得-2>-3,即a >b ,B 不正确㊂C 中,如3>2,2>1,可得3-2>2-1,即1>1,显然错误,C 不正确㊂D 中,由a c 2<bc2,可知c ʂ0,则c 2>0,由不等式的性质知不等式两边同乘一个正数c 2,不等式不变号,即a <b ,D 正确㊂应选D ㊂题型二:利用不等式的性质证明不等式利用不等式的性质证明不等式,其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价,要善于寻找欲证不等式的等价条件,利用不等式的性质时要注意性质适用的前提条件㊂例2 (1)已知a <b <0,求证:b a <ab ㊂(2)已知a >b ,1a <1b,求证:a b >0㊂证明:(1)由题意得b a -a b =b 2-a2a b=(b +a )(b -a )a b ㊂因为a <b <0,所以b +a <0,b -a >0,a b >0,所以(b +a )(b -a )a b<0㊂故b a <ab㊂(2)因为1a <1b ,所以1a -1b<0,即b -aa b <0㊂又因为a >b ,所以b -a <0,所以a b >0㊂跟踪训练2:若a >b >0,c <d <0,e <0,求证:e (a -c )2>e(b -d )2㊂提示:因为c <d <0,所以-c >-d >0㊂因为a >b >0,所以a -c >b -d >0㊂所以(a -c )2>(b -d )2>0,两边同乘1(a -c )2(b -d )2,可得1(a -c )2<1(b -d )2㊂又e <0,所以e (a -c )2>e(b -d )2㊂题型三:利用不等式的性质求代数式的取值范围根据不等式的性质求代数式的取值范围,首先要明确同向不等式具有可加性及正的同向不等式具有可乘性,但要注意不等式不能相减,如求a -b 的范围,只能先求-b 的范围,再与a 的范围相加㊂同理,不等式也不能相除,如求a b 的范围,只能先求1b 的范围,再与a 的范围相乘㊂当不等式两边同乘一个数时,要明确所乘数的正负㊂例3 设2<a <3,-4<b <-3,求a +b ,a -b ,ab,a b 的取值范围㊂因为2<a <3,-4<b <-3,所以3<-b <4,所以-2<a +b <0,5<a -b <7㊂因为-13<1b<-14,所以14<-1b <13,所以12<-a b<1,可得-1<a b <-12㊂因为6<-a b <12,所以-12<a b <-6㊂综上可得,-2<a +b <0,5<a -b <7,-1<a b <-12,-12<a b <-6㊂跟踪训练3:已知30<x <42,16<y <24,求x +y ,x -3y 的取值范围㊂提示:因为30<x <42,16<y <24,所以30+16<x +y <42+24,即46<x +y <66㊂因为16<y <24,所以48<3y <72,所以-72<-3y <-48,所以-42<x -3y <-6㊂题型四:基本不等式的直接运用在理解基本不等式时,要从形式到内涵中理解,特别要关注条件㊂运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件,如a +b ȡ2a b 成立的条件是a >0,b >0,等号成立的条件是a =b ;a 2+b 2ȡ2a b 成立的条件是a ,b ɪR ,等号成立的条件是a =b ㊂例4 (1)若0<a <12,则a (1-2a )的最大值是( )㊂A .18B .14C .12D .1(2)已知x >-1,则函数y =x +1x +1的最小值是( )㊂A.4B .3C .2D .1(1)由0<a <12,可得1-2a >0,所以a (1-2a )=12(2a )(1-2a )ɤ12㊃2a +(1-2a )22=18,当且仅当a =14时取 =㊂应选A ㊂(2)由x >-1,可得x +1>0,所以函数y =x +1x +1=(x +1)+1x +1-1ȡ2(x +1)㊃1x +1-1=1,当且仅当x =0时取 = ㊂应选D ㊂跟踪训练4:若a >1,则a +1a -1的最小值是( )㊂A.1B .2C .3D .4提示:由a >1,可得a -1>0,所以a +1a -1=(a -1)+1a -1+1ȡ3,当且仅当a =2时取 =㊂应选C ㊂题型五:条件不等式的证明条件不等式的证明,要将待证不等式与已知条件结合起来综合考虑,这是不等式证明的一种常见题型㊂例5 已知a ,b ,c 是互不相等的正数,且a +b +c =1,求证:1a +1b +1cȡ9㊂证明:由a ,b ,c ɪR +,且a +b +c =1,可得1a +1b +1c =a +b +c a +a +b +c b+a +b +c c =3+b a +c a +a b +c b +a c +bc =3+b a +a b+c a +a c +c b +bcȡ3+2b a ㊃ab +2c a ㊃ac+2c b ㊃b c=3+2+2+2=9,当且仅当a =b =c 时取等号,所以1a +1b +1cȡ9㊂跟踪训练5:已知x >0,y >0,x +y =1,则1x +1y的最小值是( )㊂A.2B .22C .4D .23提示:因为1x +1y =1x +1y(x +y )=2+y x +x y ȡ2+2y x ㊃x y=4,当且仅当y x =x y ,即x =y 时取等号,所以1x +1y 的最小值为4㊂应选C ㊂题型六:利用不等式求函数的最值求函数的最值的常用方法是不等式法,解题时,要注意不等式取等号时的情况㊂例6 已知函数f (x )=x 2+3x +6x +1(x >0),则f (x )的最小值是㊂结合基本不等式求最值㊂由x >0,可得x +1>1㊂因为函数f (x )=(x 2+3x +2)+4x +1=x +2+4x +1=(x +1)+4x +1+1ȡ2(x +1)㊃4x +1+1=5,当且仅当x +1=4x +1,即x =1时取等号,所以函数f (x )=x 2+3x +6x +1(x >0)的最小值为5㊂跟踪训练6:设x <-1,则函数y =(x +5)(x +2)x +1的最大值为㊂提示:因为x <-1,所以x +1<0,所以-(x +1)>0,所以y =(x +5)(x +2)x +1=x 2+7x +10x +1=(x +1)2+5(x +1)+4x +1=x +1+4x +1+5=--(x +1)+4-(x +1)+5ɤ-24+5=1,当且仅当(x +1)2=4,即x =-3时取等号㊂所以函数y =(x +5)(x +2)x +1的最大值为1㊂题型七:不等式恒成立中的含参数问题a ɤf (x )恒成立⇔a ɤf (x )的最小值,a ȡf (x )恒成立⇔a ȡf (x )的最大值㊂例7 对于任意x >0,xx 2+3x +1ɤa 恒成立,则a 的取值范围是( )㊂A.15,+ɕB .15,+ɕC .(0,+ɕ)D .(5,+ɕ)易得x x 2+3x +1=13+x +1x㊂因为x >0,所以x +1x ȡ2(当且仅当x =1时取等号),所以13+x +1xɤ13+2=15,即x x 2+3x +1的最大值为15,故a ȡ15㊂应选B ㊂跟踪训练7:若对任意正数x ,不等式2x 2+4ɤ2a +1x 恒成立,则实数a 的取值范围为( )㊂A.0,+ɕ B .-14,+ɕ C .14,+ɕD .12,+ɕ提示:当x >0时,可得2a +1ȡ2xx 2+4=2x +4x 恒成立㊂因为x +4x ȡ2x ㊃4x =4,当且仅当x =2时取等号,所以2x +4x的最大值为12,所以2a +1ȡ12,即a ȡ-14㊂故实数a 的取值范围为-14,+ɕ㊂应选B ㊂题型八:解含参数的一元二次不等式解含参数的一元二次不等式的常用方法是因式分解法,解题时,要注意对二次项系数(参数)进行讨论㊂例8 解关于x 的不等式:a x 2-(a 2+2)x +2a >0(a ɪR )㊂由a x 2-(a 2+2)x +2a >0,可得(a x -2)(x -a )>0㊂已知a ɪR ,结合a 的取值情况,进行分类讨论求解集㊂当a =0时,则-2x >0,所以x <0,可得不等式的解集为{x |x <0};当0<a <2时,由(a x -2)(x -a )>0,可得不等式的解集为x x >2a或x <a;当a >2时,可得不等式的解集为x x >a 或x <2a;当-2<a <0时,可得不等式的解集为x2a<x <a;当a <-2时,可得不等式的解集为x a <x <2a;当a =2时,可得不等式的解集为x x ʂ2;当a =-2时,可得不等式的解集为⌀㊂跟踪训练8:求关于x 的一元二次不等式x 2-x -a (a +1)>0的解集㊂提示:因为x 2-x -a (a +1)>0,所以(x +a )[x -(a +1)]>0㊂令(x +a )[x -a +1]=0,所以两根为x 1=-a ,x 2=a +1㊂当a >-12,即a +1>-a 时,可得不等式的解集为{x |x <-a 或x >a +1};当a =-12,即a +1=-a =12时,可得不等式的解集为x x ʂ12;当a <-12,即a +1<-a 时,可得不等式的解集为{x |x <a +1或x >-a }㊂题型九:三个 二次 的关联问题一元二次不等式a x 2+b x +c >0(a ʂ0)的解集的端点值是一元二次方程a x 2+b x +c =0的根,也是函数y =a x 2+b x +c 与x 轴交点的横坐标㊂二次函数y =a x 2+b x +c的图像在x 轴上方的部分,是由不等式a x 2+b x +c >0的x 值构成的;图像在x 轴下方的部分,是由不等式a x 2+b x +c <0的x 值构成的,三者之间相互依存㊁相互转化㊂例9 已知方程x 2+m -2x +5-m =0的两根都大于2,则实数m 的取值范围是( )㊂A.-5,-4 ɣ4,+ɕB .-5,-4C .-5,+ɕD .-4,-2ɣ4,+ɕ 因为方程x 2+(m -2)x +5-m =0的两根都大于2,所以二次函数y =x 2+(m -2)x +5-m 的图像与x 轴的两个交点都在x =2的右侧(图略)㊂根据图像可知,方程的判别式Δȡ0;当x =2时,函数值y >0;对称轴为x =-m -22>2㊂由上可得(m -2)2-4(5-m )ȡ0,4+2(m -2)+5-m >0,-m -22>2,解得-5<m ɤ-4㊂应选B ㊂跟踪训练9:已知关于x 的不等式x 2-a x -b <0的解集是(2,3),则a +b 的值为( )㊂A.-11B .11C .-1D .1提示:因为关于x 的不等式x 2-a x -b <0的解集是(2,3),所以2,3是方程x 2-a x -b =0的根,所以a =5,b =-6㊂故a +b =-1㊂应选C ㊂题型十:一元二次不等式的恒成立问题设f (x )=a x 2+b x +c (a ʂ0),则f (x )>0恒成立⇔a >0且Δ<0;f (x )ȡ0恒成立⇔a >0且Δɤ0;f (x )<0恒成立⇔a <0且Δ<0;f (x )ɤ0恒成立⇔a <0且Δɤ0㊂若f (x )在定义域内存在最大值m ,则f (x )<a 恒成立⇔a >m ;若f (x )在定义域内存在最大值m ,则f (x )ɤa 恒成立⇔a ȡm ;若f (x )在定义域内存在最小值m ,则f (x )>a 恒成立⇔a <m ;若f (x )在定义域内存在最小值m ,则f (x )ȡa 恒成立⇔a ɤm ㊂在定义域D 上,不等式f (x )<m 恒成立,则m >f (x )m a x ;不等式f (x )<m 能成立,则m >f (x )m i n ;不等式f (x )>m 恒成立,则m <f (x )m i n ;不等式f (x )>m 能成立,则m <f (x )m a x ㊂例10 (1)已知关于x 的不等式a x 2-2x +3a <0在(0,2]上有解,则实数a 的取值范围是( )㊂A .-ɕ,33B .-ɕ,47ɣ33,+ɕC .33,+ɕD .-ɕ,33ɣ47,+ɕ(2)若关于x 的不等式2x 2-8x -4+a ɤ0在1ɤx ɤ3内有解,则实数a 的取值范围是( )㊂A .a ɤ12B .a ȡ12C .a ɤ10D .a ȡ10(1)当x ɪ(0,2]时,不等式可化为a x +3ax<2㊂当a =0时,不等式为0<2,满足题意;当a >0时,不等式为x +3x <2a ,则2a>2x ㊃3x=23,当且仅当x =3时取等号,所以a <33,这时0<a <33;当a <0时,x +3x >2a恒成立㊂综上所述,实数a 的取值范围是-ɕ,33㊂应选A㊂(2)不等式2x 2-8x -4+a ɤ0在1ɤx ɤ3内有解等价于a ɤ-2x 2+8x +4在1ɤx ɤ3内有解㊂设函数f (x )=-2x 2+8x +4,x ɪ[1,3],则原问题等价于a ɤf (x )m a x ㊂又当x =2时,f (x )m a x =12,所以a ɤ12㊂应选A ㊂跟踪训练10:若命题 存在x ɪR ,x 2+(a -3)x +4<0 为假命题,则实数a 的取值范围是㊂提示:由题意可知, 对任意的x ɪR ,x 2+(a -3)x +4ȡ0 为真命题,所以Δ=(a -3)2-16=a 2-6a -7ɤ0,解得-1ɤa ɤ7㊂故实数a 的取值范围是[-1,7]㊂1.将一根铁丝切割成三段,做一个面积为2m 2,形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是( )㊂A.6.5mB .6.8mC .7mD .7.2m提示:设直角三角形的框架的两条直角边长为x ,y (x >0,y >0),则x y =4,此时三角形框架的周长C =x +y +x 2+y 2=x +y +(x +y )2-8㊂因为x +y ȡ2x y =4,所以C =x +y +x 2+y 2ȡ4+22ʈ6.83㊂故用7m 的铁丝最合适㊂应选C ㊂2.某公司一年需要购买某种原材料400t ,计划每次购买x t ,已知运费为4万元/次,一年总的库存费用为4x 万元,为了使总的费用最低,每次购买的数量x 为㊂提示:由题意得总的费用y =400x ˑ4+4x =4400x+xȡ160,当且仅当x =20时取 = ㊂答案为20t㊂说明:河南省教育科学规划2023年度立项课题编号:2023Y B 0633;课题名称:数学生成性教学对学生批判性思维能力的影响研究㊂作者单位:河南大学附属中学(责任编辑 郭正华)。
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不等式性质求代数式的取值范围
一. 知识要点：
1. 不等式概念 用不等号(,,,,><≥≤≠)表示不等关系的式子称为不等式。
其中用,><连接的不等式，如()()f x g x >称为严格不等式；而用,≥≤连接的不等式如()()f x g x ≤称为非严格不等式。
2. 比较两个实数大小的依据
主要根据实数的运算性质与大小顺序之间的关系，来比较两个实数a , b 的大小，即判断它们的差的符号。
概括为，
0a b a b ->⇔>; 0a b a b -=⇔=; 0a b a b -<⇔<.其中⇔表示“等价于”，意味着两边可以相互推出。
3. 不等式的基本性质
性质1(对称性) 若a b >,则b a <;若b a <,则a b >.即a b b a >⇔<. 性质2(传递性) 若a b >,b c >,则a c >. 即
a b a c b c >⎫
⇒>⎬>⎭
. 性质3(同加或减性) 若a b >,则a c b c +>+或a c b c ->-. 进一步可得(移项): ()()a b c a b b c b a c b +>⇒++->+-⇒>- 或a b c a b b c b a c b ->⇒-+>+⇒>+. 性质4 若,0a b c >>, 则ac bc >. 若,0a b c ><, 则ac bc <. 性质5若,a b c d >>,则a c b d +>+. 性质6若0,0a b c d >>>>, 则ac bd >. 性质7若0a b >>, 则n n a b >(,2n n ∈≥).
性质8若0a b >>, >,2n n ∈≥).
特别强调:1
1a b a b >⇔<不一定成立. 因为当0ab <时, 有11a b
>;当0ab =时, 11a b <无意义; 当0ab >时,有11a b
<.
二. 解题思路:
利用几个变量的范围来确定某个代数式的范围是一类常见的综合问题, 解此类问题时, 常利用不等式性质3的推论, 即“同向不等式的两边可对应相加; 异向不等式的两边可相减”.
但请注意, 此种转化并不是等价变形, 在一个解题过程中多次利用这种转化时, 就有可能扩大真实的取值范围, 从而求出错误答案. 正确的解法是: 先建立待求范围的整体与已知范围的等量关系,再通过“一次性不等关系的运算”, 求出待求的范围.
三．求解步骤
① 把将要计算的代数式c 用已知的两个代数式a 与b 表达出来, 即令12c k a k b =+ (其中12,k k 为常数), 并求出12,k k 的值. 此方法可以推广到多个代数式的情况.
② 分别求出12k a k b 与的取值范围.
③ 一次性利用不等式的性质, 求出12k a k b +的取值范围, 即得代数式c 的取值范围.
四. 高考题演练
1. (辽宁高考) 已知-14x y <+<且23x y <-<, 则23z x y =-的取值范围是 ．提示1
2. (江苏高考) 设实数,x y 满足22
38,49x xy y ≤≤≤≤, 则3
4x y
的最大值
是 ．提示2 3. 若,αβ满足11
123αβαβ-≤+≤⎧⎨
≤+≤⎩
, 则3αβ+的最大值是 ．提示
3
4. 已知31lg 2,23x
y ≤≤≤≤, 则2
的取值范围是 ．提示
4
5. 已知2()f x ax c =-且4(1)1,1(2)5f f -≤≤--≤≤, 则(3)f 的取值范围是 ．提示5
6. 已知:12a b ≤-≤且24a b ≤+≤, 求42a b -的取值范围． 提示6
7. 已知二次函数()y f x =的图像过原点,且1(1)2,3(1)4f f ≤-≤≤≤, 求
(2)f -的取值范围． 提示7
参考答案:
提示1：设23()()(+)()
z x y m x y n x y mn x m n y =-=++-=+-, 因为2
3
m n m n +=⎧⎨
-=-⎩,
得125
2
m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 所以115152(),5()2222x y x y -<-+<<-<,
则153()()822
x y x y <-++-<, 即3238x y <-<.
提示2：显然32
2124()()x x xy y y
-=, 为转化为上面用到的基本解法,因此可两边同时取对数, 化为322
4lg lg 2lg x x xy y y =-+的形式. 易得
2
2
l g 82l g 4l g
2l g l g 32l g 9x xy y
-+
≤-+≤-+
, 即3
4lg 2lg lg 27x y
≤≤,则
3
4227x y
≤≤, 最大值是27. 提示3: 设+3()(+2)(+)(+2)m n m n m n αβαβαβαβ=++=+, 因为1
23m n m n +=⎧⎨
+=⎩
,
得1
2
m n =-⎧⎨
=⎩, 所以易求137αβ≤+≤. 提示4: 已知条件可化为1lg lg 2
1
23lg lg 32
x y x y ≤-≤⎧⎪
⎨≤-≤⎪⎩,
设311
3lg lg (lg lg )(3lg lg )32x y m x y n x y =-=-+-, 易求116,515m n =-=.最
终226[,3]15
.
提示5: 已知条件可知(1)(2)4f a c f a c =-⎧⎨=-⎩, 则1[(2)(1)]341(1)(2),
33a f f c f f ⎧
=-⎪⎪
⎨⎪=-+⎪⎩
则58(3)9(1)(2).33
f a c f f =-=-+易求(3)f 的取值范围是[1,20]-. 提示6: 类似以上解法可求54210a b ≤-≤. 提示7:
法1(待定系数法)： 可求1(1)2
,3(1)4
f a b f a b ≤-=-≤⎧⎨
≤=+≤⎩ 设(2)42()()f a b m a b n a b -=-=-++,
求出m , n 进而求(2)f -的取值范围是[6, 10].
法2(方程法)：由(1)(1)f a b f a b -=-⎧⎨=+⎩得1[(1)(1)]2
1[(1)(1)]
2
a f f
b f f ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩.
所以同样可求(2)f -的取值范围是[6, 10].。