高中数学选修2-3题型总结与强化训练：第八讲正态分布

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数学：高中选修2-3(人教版)8.3正态分布曲线

8.3正态分布曲线教学目标：知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用。

过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。

情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。

教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 。

教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。

内容分析：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成：22()2(),(,)xf x xμσ--=∈-∞+∞，（σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为),(2σμN 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征 5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难研究N （0，1），其他的正态分布都可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化为N （0，1），我们把N（0，1）称为标准正态分布，其密度函数为22121)(x ex F -=π，x ∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质教学过程：学生探究过程：复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,(),(,)x x x μσμσϕ--=∈-∞+∞式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()baP a X B x dx μσϕ<≤=⎰,则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN . 经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数）线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x ex f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x ex f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x ex f x π（３）22(1)(),(,)x f x x -+=∈-∞+∞ 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题:对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ，其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x < 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=0.52.标准正态分布表标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于0x 的值)(0x Φ是指总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ，)0(0≥x ．若00<x ，则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ．3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可在这里重点掌握如何转化首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判断讲解范例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2). 解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747. (2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413（２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342 Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954 Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997对于正态总体),(2σμN 取值的概率：在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(22)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-巩固练习：书本第74页 1,2,3课后作业：书本第75页习题2. 4 A 组 1 , 2 B 组1 , 2 教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成：22()2(),(,)x f x x μσ--=∈-∞+∞，（σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为),(2σμN3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。

人教版B版高中数学选修2-3(B版)正态分布

事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验，事件A恰好发生k次的概率
P(X＝k)＝
.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，
并称p为成功概率．
4．总体密度曲线：样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分
A．3 B．4 C．5 D．3或4
解析：采取特殊值法．
∵P(ξ＝3)＝
，P(ξ＝4)＝
，P(ξ＝5)＝
从而易知P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)>P(ξ＝5)．
答案：D
4．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种该疫苗，至少有3 人出现发热反应的概率为________．(精确到0.01) 解析：由已知p＝0.80，则P5(3)＋P5(4)＋P5(5)＝0.94. 答案：0.94
解法二：至少有1人击中包括3种情况：①1人击中；②2人击中；③3人都击中． ∵射击1次，∴以上3种情况互斥．∴敌机被击落的概率是： P＝
＝
变式1.在如右图所示的电路中，开关a，b，c开或关的概率都为，且相互独立，求灯亮的概率．
解答：解法一：设事件A、B、C分别表示开关a，b，c关闭，则a，b同时关合或c 关合时灯亮，即A·B· ，A·B·C，或 ·B·C，A· ·C，
【例3】在N(μ，σ2)下，求F(μ－σ，μ＋σ)；F(μ－2σ，μ＋2σ)；
F(μ－3σ，μ＋3σ)．
解答：F(μ＋σ)＝Φ(
)＝Φ(1)＝0.841 3
F(μ－σ)＝Φ(
)＝Φ(－1)＝1－Φ(1)＝1－0.841 3＝0.158 7
F(μ－σ，μ＋σ)＝F(μ＋σ)－F(μ－σ)＝0.8413－0.1587＝0.682 6

人教A版高中数学选修2-3讲义及题型归纳：正态分布综合题型

目录考点一：正态分布 (2)题型一、正态分布综合题型 (3)课后综合巩固练习 (7)考点一：正态分布(1)概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． (2)正态分布定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()2()x f x μσ--=，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布．重要结论：①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．若2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函数，特别的，2~(01)N ξμσ-，，称22()t x x dt φ-=⎰为标准正态分布函数． ()()x P x μξφσ-<=．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．(1)q p =-．题型一、正态分布综合题型1．已知参加某次考试的10万名理科考生的数学成绩ξ近似地服从正态分布(70,25)N ，估算这些考生中数学成绩落在(75，80]内的人数为( )（附2:~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<+=„，(22)0.9544)P Z μσμσ-<+=„ A ．4560B ．13590C ．27180D ．311740【分析】根据正态分布的对称性分别计算(7075)P ξ<„，(7080)P ξ<„，(7580)P ξ<„，从而得出考生人数．【解答】解：Q 数学成绩ξ近似地服从正态分布(70,25)N ， 1(7075)0.68260.34132P ξ∴<=⨯=„，1(7080)0.95440.47722P ξ<=⨯=„，(7580)0.47720.34130.1359P ξ∴<=-=„，∴考生成绩落在(75，80]的人数约为1000000.135913590⨯=．故选：B ．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性2．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(2,4)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为( )（附2:?(,)X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<+=„，(22)0.9545P X μσμσ-<+=„．)A ．906B ．2718C ．1359D ．3413【分析】由正态分布曲线的特点，数形结合可得落入阴影部分的概率，乘以10000可得答案．【解答】解：~(2,4)X N -Q ，∴阴影部分的面积(02)S P X =剟 11[(62)(40)](0.95450.6827)0.135922P x P x =---=-=剟剟， ∴落入阴影部分的点的个数的估计值为100000.13591359⨯=．故选：C ．【点评】本题考查正态分布曲线的特点，数形结合是解决问题的关键3．全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平．某市的体育部门对某小区的4000人进行了“运动参与度”统计评分，得到了如下的频率分布直方图：（1）求这4000人的“运动参与度”的平均得分x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为这4000人的“运动参与度”的得分z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取平均得分x 和方差2s ，那么选取的4000人中“运动参与度”得分超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用这4000人得分的情况来估计全市所有人的得分情况，现从全市随机抽取4人，记“运动参与度”的得分不超过84.81分的人数为ξ，求(3)P ξ…．（精确到0.001)附：①2204.75s =14.31=；②2~(,)z N μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=； ③40.84130.501=．【分析】（1）由频率分布直方图列出中间值与对应概率表，再由中间值乘以概率作和得答案；（2）求出μ与σ值，由正态分布曲线的对称性求解；（3）求出全市所有人的“运动参与度”得分不超过84.81分的概率，再由二项分布的概率公式求解．【解答】解：（1）由题意知：∴450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∴这4000人“运动参与度”得分的平均成绩x 为70；（2）依题意z 服从正态分布2(,)N μσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=，z ∴服从正态分布(N μ，2)(70.5N σ=，214.31)，而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴10.6826(84.81)0.15872P z -==…． ∴这4000人中“运动参与度”得分超过84.8（1分）的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人．（3）全市所有人的“运动参与度”得分不超过84.81分的概率10.15870.8413-=．而~(4,0.8413)B ξ，∴444(3)1(4)10.841310.5010.499P P C ξξ=-==-=-=g „．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查计算能力4．山西省在2019年3月份的高三适应性考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩近似服从正态分布(120N ，25)，现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分到145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95)，第二组[95，105)，⋯，第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求全市数学成绩在135分以上的人数；（2）试由样本频率分布直方图佔计该校数学成绩的平均分数；（3）若从这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X ，求X 的分布列和期望．附：若2~(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=．【分析】（1）全市数学成绩在135分以上的频率为0.08，以频率作为概率，乘以总人数得答案；（2）根据频率和为1，求出成绩在[125，135)的频率，再计算这组数据的平均数；（2）根据正态分布的特征，计算50人中成绩在135以上（包括135分）的有500.084⨯=人，而在[125，145)的学生有50(0.120.08)10⨯+=，得出X 的可能取值，计算对应的概率，列出X 的分布列，计算期望值．【解答】解：（1）全市数学成绩在135分以上的频率为0.08，以频率作为概率，可得全市数学成绩在135分以上的人数为100000.08800⨯=人；（2）由频率分布直方图可知[125，135)的频率为1(0.01100.024100.03100.016100.00810)0.12-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∴估计该校全体学生的数学平均成绩约为900.11000.241100.31200.161300.121400.08112⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）由于130.001310000=，根据正态分布：(1203512035)0.9974P X -⨯<<+⨯=，故10.9974(135)0.00132P X -==…，即0.00131000013⨯=． ∴前13名的成绩全部在135分以上．根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上（包括135分）的有500.084⨯=人，而在[125，145)的学生有50(0.120.08)10⨯+=．X ∴的取值为0，1，2，3．363101(0)6C P X C ===，21643101(1)2C C P X C ===g ， 12643103(2)10C C P X C ===，343101(3)30C P X C ===．X ∴的分布列为数学期望值为11310123 1.2621030EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查正态分布的应用问题，考查了离散型随机变量的分布列与期望课后综合巩固练习1.某中学在高三上学期期末考试中，理科学生的数学成绩~(105,100)X N ，若已知(90105)0.36P X <=„，则从该校理科生中任选一名学生，他的数学成绩大于120分的概率为() A ．0.86B ．0.64C ．0.36D ．0.14【分析】由已知求得(105)0.5P X >=，再由(90105)0.36P X <=„，得(105120)(90105)0.36P X P X <=<=剟，再由(120)0.5(105120)P X P X >=-<„得答案．【解答】解：Q 学生成绩X 服从正态分布(105,100)N ，(105)0.5P X ∴>=， (90105)0.36P X <=Q „，(105120)(90105)0.36P X P X ∴<=<=剟， (120)0.5(105120)0.50.360.14P X P X ∴>=-<=-=„，故选：D ．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性2．设随机变量X 服从正态分布~3(3,1)X N ，且(24)0.6826P X =剟，则函数2()4f t t t X =++不存在零点的概率是( ) A ．0.5B ．0.3174C ．0.1587D ．0.6826【分析】由已知可得，4X >，再根据随机变量X 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得(4)P X >．【解答】解：函数2()4f t t t X =++不存在零点，则△1640X =-<，即4X >． Q 随机变量X 服从正态分布(3,1)N ，∴正态曲线的对称轴是3x =，(24)0.6826P X =Q 剟，1(4)0.5(24)0.50.34130.15872P X P X ∴>=-=-=剟．故选：C ．【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题3．江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行．江先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟．公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布(33N ，24)，下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布(44N ，22)，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟．下列说法：①若8:00出门，则乘坐公交不会迟到；②若8:02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大；③若8:06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大；④若8:12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到．从统计的角度认为以上说法中所有合理的序号是．参考数据：若2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μδμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μδμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μδμσ-<<+=．【分析】8：出门乘坐公交还是有可能会迟到①错；根据(22)0.9544P Z μδμσ-<<+=，计算可得乘坐两种交通工具不迟到的概率一样，故②错；若8:06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性为0.8413，而乘坐地铁不迟到的概率为(44)0.5P Y =„故③对；若8:12出门，则乘坐地铁上班迟到的概率为1(44324432)(38)0.00132P Y P Y --⨯<+⨯==„„，故④正确．【解答】解：设乘公交车所需时间为X ，乘地铁所需实际为Y ．对于①，8:00出门-还是有可能会迟到，只是概率较小，故①错；对于②，1(33283324)(41)10.97722P X P X --⨯<+⨯=-=„„．1(44224422)(48)10.97722P Y P Y --⨯<+⨯=-=„„．乘坐两种交通工具不迟到的概率一样，故②错；对于③，若8:06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性为1(334334)(37)10.84132P X P X --<+=-=„„，乘坐地铁不迟到的概率为(44)0.50.8413P Y =<„．故③对；对于④，若8:12出门，则乘坐地铁上班迟到的概率为1(44324432)(38)0.00132P Y P Y --⨯<+⨯==„„，故④正确．故填：③④．【点评】本题考查了正态分布，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性 4．某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如表：年级组为了解学生的体质，随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本，绘制了如下样本频率分布直方图．（1）现从样本的100名学生跳绳个数中，任意抽取2人的跳绳个数，求两人得分之和小于35分的概率；（用最简分数表示）（2）若该校高二年级共有2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数X 近似服从正态分布2(,)N μσ，其中2225σ≈，μ为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）．利用所得的正态分布模型，解决以下问题：()i 估计每分钟跳绳164个以上的人数（结果四舍五入到整数）； ()ii 若在全年级所有学生中随机抽取3人，每分钟跳绳在179个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望与方差．附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9554P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=．【分析】（1）设“两人得分之和小于35分”为事件A ，写出事件A 包括的四种情况，再由频率分布直方图可得得16分，得17分和得18分的人数，然后利用古典概型概率就送过去求解；（2）由频率分布直方图可得样本数据的平均数X 的估计值，再求得标准差σ，可得高二年级全体学生的跳绳个数X 近似服从正态分布(179N ，215)． ()i 利用正态分布的对称性求解；()ii 由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为12，则1~(3,)2B ξ，ξ的所有可能的取值为0，1，2，3．分别求出概率，得到ξ的分布列，再由期望公式求期望．【解答】解：（1）设“两人得分之和小于35分”为事件A ，则事件A 包括以下四种情况： ①两人得分均为16分；②两人中一人16分，一人17分； ③两人中一人16分，一人18分；④两人均17分．由频率分布直方图可得，得16分的有6人，得17分的有12人，得18分的有18人，则由古典概型的概率计算公式可得221111612612618210029()550C C C C C C P A C +++==． ∴两人得分之和小于35的概率为29550；（2）由频率分布直方图可得样本数据的平均数X 的估计值为：(0.0061500.0121600.0181700.0341800.0161900.0082000.006210)10179X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（个)．又由2225σ≈，得标准差15σ≈，∴高二年级全体学生的跳绳个数X 近似服从正态分布(179N ，215)．()17915164i μσ-=-=Q ，∴10.6826(164)10.84132P X ->=-=，故高二年级一分钟跳绳个数超过164个的人数估计为20000.84131682.61683⨯=≈（人)； ()ii 由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为12， 1~(3,)2B ξ∴，ξ的所有可能的取值为0，1，2，3．∴0033111(0)()(1)228P C ξ==⨯⨯-=，123113(1)(1)228P C ξ==⨯⨯-=， 2213113(2)()(1)228P C ξ==⨯⨯-=，3303111(3)()(1)228P C ξ==⨯⨯-=，故ξ的分布列为：∴13()322E ξ=⨯=，113()3(1)224D ξ=⨯⨯-=．【点评】本题考查古典概型概率的求法，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，训练了离散型随机变量的分布列与期望的求法，属中档题．5．某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务（货物全部用统一规格的包装箱包装），现统计了最近100天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量T （单位：箱）分成了以下几组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并绘制了如图所示的频率分布直方图（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率）．（Ⅰ）该物流公司负责人决定用分层抽样的方法从前3组中随机抽出11天的数据来分析可配送货物量少的原因，并从这11天的数据中再抽出3天的数据进行财务分析，求这3天的数据中至少有2天的数据来自[50，60)这一组的概率．（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量T （单位：箱）服从正态分布(N μ，214.4)，其中μ近似为样本平均数．（ⅰ）试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内日货物配送量在区间(54.1,97.3)内的天数（结果保留整数）．（ⅱ）该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为公司装卸货物的员工制定了两种不同的工作奖励方案．方案一：直接发放奖金，按每日的可配送货物量划分为以下三级：60T <时，奖励50元；6080T <„，奖励80元；80T …时，奖励120元．方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中每日的可配送货物量不低于μ时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于μ时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率分别为小张恰好为该公司装卸货物的一名员工，试从数学期望的角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？附：若2~(,)Z N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<<+≈，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+≈．【分析】（Ⅰ）由分层抽样知识可知，这11天中前3组数据分别有1个，4个，6个，再由古典概型概率计算公式求解；（Ⅱ）（ⅰ）由题意得68.5μ=，可得(54.197.3)(68.514.468.528.8)P T P T <<=-<<+的值，乘以2000得答案；（ⅱ）1()()2P T P T μμ<==…，对于方案一，设小张每日可获得的奖金为X 元，则X 的可能取值为50，80，120，其对应的概率分别为0.25，0.6，0.15，求得方案一的期望()E X ；对于方案二，设小张每日可获得的奖金为Y 元，则X 的可能取值为50，100，150，200，求出概率，列出分布列，求得期望()E Y ，比较两个期望的大小得结论．【解答】解：（Ⅰ）由分层抽样知识可知，这11天中前3组数据分别有1个，4个，6个．故所求概率为21347433111146165C C C P C C =+=；（Ⅱ）（ⅰ）由题意得450.05550.2650.3750.3850.1950.0568.5μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 1(54.197.3)(68.514.468.528.8)(0.68270.9545)0.81862P T P T ∴<<=-<<+≈+=．故该物流公司2000天内日货物配送量在(54.1,97.3)内的天数为20000.81861637⨯≈；（ⅱ）1()()2P T P T μμ<==…．对于方案一，设小张每日可获得的奖金为X 元，则X 的可能取值为50，80，120，其对应的概率分别为0.25，0.6，0.15，故()500.25800.61200.1578.5E X =⨯+⨯+⨯=；对于方案二，设小张每日可获得的奖金为Y 元，则X 的可能取值为50，100，150，200， 142(50)255P Y ==⨯=，1114421(100)2525550P Y ==⨯+⨯⨯=，1144(150),225525P Y ==⨯⨯⨯=，1111(200)25550P Y ==⨯⨯=．Y ∴的分布列为：22141()50100150200905502550E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．()()E Y E X >Q ，∴从数学期望的角度分析，小张选择奖励方案二对他更有利．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查离散型随机变量期望的求法，是中档题．6．农村精准扶贫政策的实施，大大拓宽了农民的就业渠道，极大地提高了贫困农民的创业意识，增强了农民脱贫致富的自我发展能力，农民收入显著提高．某地民政部门对该地区20~60岁农民某月的收入进行了调查，共有500人参加调查，现将调查数据统计整理后，得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）同一组数据用该区间的中点值作代表，试问参与调查的这500位农民的该月平均收入R 为多少元？（Ⅱ）现从年龄在20~60岁的农民中，采用分层抽样的方法，随机抽取该月收入位于区间[5，7]（千元）中的10人，再从这10人中随机抽取5人跟踪调查其收入变化情况．记抽出的5人中收入位于区间[5，6]（千元）的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）经计算知这500位农民该月收入的样本方差2 2.32s ≈，由频率分布直方图可认为，该地区20~60岁农民的该月收入服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数，2σ近似为样本方差，根据以上样本数据，估计该地区20~60岁农民中，该月收入不低于5.26千元的农民在总体中所占的比例．附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<<+≈，(23)0.9973P μσξμσ-<<+≈ 1.52≈．【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图与频率和为1求月收入位于区间[7，8]（千元）的频率，再由平均数公式求参与调查的这500位农民的该月平均收入；（Ⅱ）由题意可知X 的可能值分别为0、1、2、3、4，求出概率，得到分布列，再由期望公式求期望；（Ⅲ）由（1）知样本平均数 6.78R =，样本方差2 2.32s ≈，可得 6.78μ=， 1.52σ≈，即该地区20~60岁农民该月收入ξ服从正态分布(6.78N ，21.52)．再由正态分布曲线的对称性求解．【解答】解：（Ⅰ）月收入位于区间[7，8]（千元）的频率为： 1(0.040.100.160.240.180.06)0.22-+++++=，同一组数据用该区间的中点值作代表，则参与调查的这500位农民的该月平均收入为： 3.50.04 4.50.10 5.50.16 6.50.247.50.228.50.189.50.06 6.78R =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（千元）；（Ⅱ）由题意可知X 的可能值分别为0、1、2、3、4，05465101(0)42C C P X C ===，14465105(1)21C C P X C ===，234651010(2)21C C P X C ===，32465105(3)21C C P X C ===，41465101(4)42C C P X C ===．则X 的分布列如下：∴期望51051()1234221212142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；（Ⅲ）由（1）知样本平均数 6.78R =，样本方差2 2.32s ≈，可得 6.78μ=， 1.52σ≈，即该地区20~60岁农民该月收入ξ服从正态分布(6.78N ，21.52)． (5P ∴，268.30)(6.78 1.52 6.78 1.52)0.6827P ξξ<<=-<<+≈．即1( 5.26)1[1(5.268.30)]0.84142P P ξξ=--<<≈…．∴估计该地区20岁至60岁农民中，月平均收入不低于5.26千元的农民在总体中所占的比例约为84.14%．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查计算能力。

2.4正态分布(高中数学人教A版选修2-3)

_N__(__,___2 ) . 如果随机变量 X 服从正态分布，记作
_X __ ___N __(__,___2_)．μ,σ分别表示_总__体__的___期__望__与_标___准__差___．
的意义
总体平均数反映总体随机变量的平均水平
x= μ
产品
尺寸
(mm)
x3
x4
称f( x)的图象称为正态曲线。式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差。
x
x y
2、标准正态总体的函数表示式
x2
f (x)
1
2
e
2 x(,)
μ=0
σ=1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
附：正态总体的函数表示式
f (x)
1
e
2
(x)2 22
x(,)
当μ= 0，σ=1时
积随着的减少而变大。这说明越小, 落在区间
的概率越大，即X集中在周围概率越大。
(a,a]
特别地有
x=μ P(X)0.6826,
P(2X2)0.9544,பைடு நூலகம்
P(3X3)0.9974.
-a +a
P(X)0.6826, P(2X2)0.9544, P(3X3)0.9974.
我们从上图看到，正态总体在2,2 以外取值的概率只有4.6％，在3,3以外
知识回放
以格子的编号为横坐标，小球落入各个格子内的频率值为纵坐标，则在各个格子内小球的分布情况大致可用下列频率分布直方图表示.
频率/组距
1 2 3 4 5 6 7 8 91011 编号
Y
总体密度曲
线

人教版高中数学选修2-3知识点汇总

人教版高中数学必修2-3知识点第一章计数原理1.1分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。

分类要做到“不重不漏”。

分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。

做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。

分步要做到“步骤完整”。

n元集合A={a1，a2⋯，a n}的不同子集有2n个。

1.2排列与组合1.2.1排列一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement)。

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。

排列数公式：n个元素的全排列数规定：0!=11.2.2组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)。

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号或表示。

组合数公式：∴规定：组合数的性质：(“构建组合意义”——“殊途同归”)1.3二项式定理1.3.1二项式定理(binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！(1)对称性(2)当n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项，同时取得最大值。

(3)各二项式系数的和为(4)二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：(5)一般地，第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布(n ∈N *)其中各项的系数(k ∈{0，1，2，⋯，n})叫做二项式系数(binomial coefficient)；2.1.1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable)。

高中数学选修2-3《正态分布》

-3 -2 -1 0 1 2 3 x
（4）当x∈（－∞, ] 时( x)为增函数.
当x∈（，+∞）时( x)为减函数. 标准正态曲线
正态曲线
( x)
y
μ= -1 σ=0.5
1
e
(
x )2 2 2
, x (, )
2
y
y
μ=0 σ=1
பைடு நூலகம்
μ=1 σ=2
x x -3 -2 -1 0 1 2
25.415
25.475 25.535
产品尺寸（mm)
定义
概率情况
复习
200个产品尺寸的频率分布直方图
频率组距
25.235 25.295 25.355
25.415
产品尺寸（mm)
25.475 25.535
复习
样本容量增大时频率分布直方图
频率组距
总体密度曲线
产品尺寸 (mm)
复习
集中与分散的程度
1
2
产品尺寸
(mm)
x1 平均x数2
正态曲线的函数表示式
( x)
1
e
(
x )2 2 2
, x (, )
2
（1）当x = 时,函数值为最大.
y
1
（2）, ( x)的值域为
(0,
]
2
=0
=1
(3), ( x)的图象关于 x 对称.
正态分布
引入
试验演示
复习及定义
研究正态曲线的特点
本课小结
正态曲线的特点具体认识
正态分布
阅读课本第 63 页至第 65 页内容. 今天,我们来认识: 1.正态分布; 2.正态分布密度曲线及其特点;

高中数学选修2-3同步练习题库：正态分布(填空题：一般)

正态分布（填空题：一般）1、某班有名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，已知，估计该班学生数学成绩在分以上的有人；2、若随机变量服从正态分布，，，设，且则__________.3、在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则__________．4、在我校2017年高二某大型考试中，理科数学成绩，统计结果显示.假设我校参加此次考试的理科同学共有2000人，那么估计此次考试中我校成绩高于120分的人数是___________.5、已知正态总体落在区间上的概率是，则相应的正态曲线在__________时，达到最高点．6、若，，，则_____.7、某班有45名学生，一次考试的成绩ξ(ξ∈N)近似服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班数学成绩在110分以上的人数为__________．8、已知正态分布总体落在区间（0.2，+∞）的概率为0.5，那么相应的正态曲线f（x）在x= ______时达到最高点．9、设随机变量，且，，则__________．10、设随机变量ξ～N（4，9），若P（ξ＞c+3）=P（ξ＜c﹣3），则c=-__________11、设随机变量服从正态分布，若，则_________12、在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.6，则落在内的概率为__________．13、商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg）服从正态分布N(10，0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为________．（精确到0.0001）注：P(μ－σ＜x≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜x≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜x≤μ＋3σ)＝0.9974．14、已知随机变量服从正态分布，且方程有实数解得概率为，若，则__________．15、若随机变量服从正态分布，，，设，且，在平面直角坐标系中，若圆上有四个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是__________．16、某地区数学考试的成绩服从正态分布，正态分布密度函数为，其密度曲线如图所示，则成绩位于区间的概率是__________．（结果保留3为有效数字）本题用到参考数据如下：，.17、若随机变量，且，则展开式中项的系数是__________．18、若随机变量服从正态分布，，，设，且，在平面直角坐标系中，若圆上有四个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是__________．19、若随机变量，且，则展开式中项的系数是__________．20、某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值的范围为________．21、在某项测量中，测量结果ξ～N(1，σ2)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8，则ξ在(－∞，2]内取值的概率为________．22、在我校2015届高三11月月考中理科数学成绩（），统计结果显示，假设我校参加此次考试有780人，那么试估计此次考试中，我校成绩高于120分的有人．23、设随机变量服从正态分布，则函数不存在零点的概率为________．24、已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若，则．25、某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩（，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有___________人．26、已知随机变量，，若，，则__________．27、在某市日前进行的2009年高三第二次模拟考中，参加考试的2000名理科学生的数学成绩在90—110分的人数为800人，统计结果显示，理科学生的数学成绩服从正态分布，则2000名理科学生的数学成绩不低于110分的人数是28、设随机变量，则______.29、已知随机变量服从正态分布. 若，则等于．30、已知随机变量服从正态分布，，则．31、设随机变量服从正态分布，若，则．32、设随机变量服从正态分布，若，则的值为 .33、已知正态分布密度曲线,且,则方差为 .34、已知正态分布密度曲线,且,则方差为 .35、商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg）服从正态分布，任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为 .（精确到0.0001）36、设X～N(0,1)．①P(－ε＜X＜0)＝P(0＜X＜ε)；②P(X＜0)＝0.5；③已知P(－1＜X＜1)＝0.6826，则P(X＜－1)＝0.1587；④已知P(－2＜X＜2)＝0.9544，则P(X＜2)＝0.9772；⑤已知P(－3＜X＜3)＝0.9974，则P(X＜3)＝0.9987.其中正确的有________(只填序号)．37、已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.8，则P(0<X<2)＝________．38、已知正态分布总体落在区间(－∞，0.3)的概率为0.5，那么相应的正态曲线φμ，σ(x)在x＝________时达到最高点．39、设，且总体密度曲线的函数表达式为：，x∈R求的值。

人教课标版高中数学选修2-3典型例题：正态分布

正态分布1．正态曲线及其性质对于正态分布函数：222)(21)(σμπσ--=x e x f ，x ∈（-∞，+∞）由于中学知识范围的限制，不必去深究它的来龙去脉，但对其函数图像即正态曲线可通过描点（或计算机中的绘图工具）画出课本图1-4中的图（1）、（2）、（3），由此，我们不难自己总结出正态曲线的性质。

2．标准正态曲线标准正态曲线N （0，1）是一种特殊的正态分布曲线，它是本小节的重点。

由于它具有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态分布表”。

对于抽像函数)()(00x x p x <=-Φ，课本中没有给出具体的表达式，但其几何意义非常明显，即由正态曲线N （0，1）、x 轴、直线0x x =所围成的图形的面积。

再由N （0，1）的曲线关于y 轴对称，可以得出等式)(1)(00x x Φ-=-Φ，以及标准正态总体在任一区间(a ，b)内取值概率)()(a b P Φ-Φ=。

3．一般正态分布与标准正态分布的转化由于一般的正态总体),(2σμN 其图像不一定关于y 轴对称，所以，研究其在某个区间),(21x x 的概率时，无法利用标准正态分布表进行计算。

这时我们自然会思考：能否将一般的正态总体),(2σμN 转化成标准的正态总体N （0，1）进行研究。

人们经过探究发现：对于任一正态总体),(2σμN ，其取值小于x 的概率)()(σμ-Φ=x x F 。

对于这个公式，课本中不加证明地给出，只用了“事实上，可以证明”这几个字说明。

这表明，对等式)()(σμ-Φ=x x F 的来由不作要求，只要会用它求正态总体),(2σμN 在某个特定区间的概率即可。

4．“小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，因为对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验20次，才能发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。

这种认识便是进行推断的出发点。

关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。

高中数学选修2-3同步练习题库：正态分布(简答题：一般)

正态分布（简答题：一般）1、已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0．9，则P（0＜ξ＜2）=（）A．0．2B．0．3C．0．4D．0．62、某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位：）进行测量，得出这批钢管的直径服从正态分布.（Ⅰ）如果钢管的直径满足为合格品，求该批钢管为合格品的概率（精确到0.01）；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，现要从40根该种钢管中任意挑选3根，求次品数的分布列和数学期望.（参考数据：若，则；；）3、已知某厂生产的电子产品的使用寿命（单位：小时）服从正态分布，且，.（Ⅰ）现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在的概率；（Ⅱ）现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品使用寿命在的件数为，求的分布列和数学期望.4、为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的学科网数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．附：若随机变量服从正态分布，则，，．5、从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.(ⅰ)利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；(ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数.利用(ⅰ)的结果，求E(X).附：≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.6、从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.(ⅰ)利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；(ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数.利用(ⅰ)的结果，求E(X).附：≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.7、从某企业生产的产品中抽取1000件测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表)．（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，δ2)，其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求P(175.6<Z<224.4)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，估计其中质量指标值位于区间(175.6，224.4)的产品件数.（精确到个位）附：≈12.2，若Z～N(μ，δ2)，则P(μ－δ<Z<μ＋δ)＝0.6826，P(μ－2δ<Z<μ＋2δ)＝0.95448、从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示频率分布直方图.（Ⅰ）估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过的概率；（Ⅱ）假设该市高一学生的体重服从正态分布.（ⅰ）利用（Ⅰ）的结论估计该高一某个学生体重介于之间的概率；（ⅱ）从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于之间的人数为，利用（ⅰ）的结论，求的分布列及.9、质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为，，试比较，的大小（只要求写出答案）；（Ⅱ）估计在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一桶的质量指标大于20；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布．其中近似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于（14.55，38.45）的桶数，求的数学期望．注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得②若，则，．10、某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位：）的数据，如下表：（1）求出与的回归方程；（2）判断与之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；（3）设该地1月份的日最低气温～，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求.附：①回归方程中，，.②，，若～，则，.11、某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等极如下表：质量指标值从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定？（2）在样本中，按产品等极用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值近似满足，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？12、某市需对某环城快速车道进行限速，为了调研该道路车速情况，于某个时段随机对辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算：样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于或车速大于是需矫正速度.（1）从该快速车道上所有车辆中任取个，求该车辆是需矫正速度的概率；（2）从样本中任取个车辆，求这个车辆均是需矫正速度的概率；（3）从该快速车道上所有车辆中任取个，记其中是需矫正速度的个数为，求的分布列和数学期望.13、已知随机变量X～N(μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P(72≤X≤88)＝0.682 6.(1)求参数μ，σ的值；(2)求P(64<X≤72)．14、某县农民年均收入服从μ＝500元，σ＝20元的正态分布，求：(1)此县农民的年均收入在500～520元之间的人数的百分比；(2)此县农民的年均收入超过540元的人数的百分比．15、已知某种零件的尺寸ξ(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝.(1)求概率密度函数；(2)估计尺寸在72mm～88mm间的零件大约占总数的百分之几？16、从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（用同一组数据用该区间的中点值用代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i）利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用（i）的结果，求.附：，若，则，17、在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有16名．（1）试问此次参赛的学生总数约为多少人?（2）若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人? 附：P（｜X－μ｜＜σ）＝0．683，P（｜X－μ｜＜2σ）＝0．954，P（｜X－μ｜＜3σ）＝0．99718、（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i）利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.附：若则，。

高二数学(选修2-3人教B版)-正态分布

例：当 0, 1 时，正态变量（这时称它为标准正态变量）
(2,2) ，(3,3) 内取值的概率分别是 68.3%，95.4%，
在区间 (1,1) ，
99.7%.
典型例题
练习：设有一正态变量，它的概率密度曲线是函数
的图象，且
，则这个正态变量的均值与
标准差分别是(
A．10与8
答案： B
典型例题
例：某工厂生产的圆柱形零件的外直径 X (单位：mm）
2
服从正态分布 N (4,0.5 )，质检人员从该厂生产的1000个
零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7mm，试判
断该厂生产的这批零件是否合格？
典型例题
分析：
解题一定要将所求问题向 P( , ) ,P( 2 , 2 )
( 3 , 3 ) 这三个区间进行转化；
(3)利用上述区间求出相应的概率．
典型例题
例：某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分
2
布N (70,10 )，该年级有2000名学生，如果规定低于60分
为不及格，求成绩不及格的学生约有多少人？
2
解：设学生的得分为随机变量 X ，
X N (70,10 ) ，则
的概率只有0.0026，而 5.7 (2.5,5.5) ，这说明在一次试
验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，所以可以
认为该批零件是不合格的．
典型例题
规律方法总结：
求正态变量 X 在某区间内取值的概率的基本方法：
(1)根据题目中给出的条件确定 , 的值；
(2)将待求问题向( , ), ( 2 , 2 ),
（1）曲线在 x轴的上方，与x 轴不相交.

选修2-3离散型随机变量及其分布知识点

离散型随机变量及其分布知识点一：离散型随机变量的相关概念；随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母、等表示离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。

若 •是随机变量， b ，其中a 、b 是常数，则也是随机变量连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以列出离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量•可能取的值为x i 、X 2…人取每个值x i =1,2,…的概率为P( =Xi) = 口，则称表为随机变量•的概率分布，简称•的分布列知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质；任何随机事件发生的概率都满足：0乞P(A)叮，并且不可能事件的概率为0 ,必然事件的概率为1.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：(1) Pi 王0, i =1,2,…；(2) R+巳+川=1特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即P 「_x k )=x k ) • P(F ； =x k 』•丨1(知识点二：两点分布:特别提醒：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布，则称X 服从两点分布，而称P(X=1) 为成功率•(2) 两点分布又称为0-1分布或伯努利分布(3)两点分布列的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究•知识点三：超几何分布:般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则C k C n _kp （x 二k ）二 MN 川，k =0,1, m,m = min{M ,n},其中,n N,M < N.称超几何分布列.若随机变量X 的分布列:则称X 的分布列为两点分布列N知识点四：离散型随机变量的二项分布；在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数•是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是 p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是 P n (© =k)p k q n 」，(k 30..., q=1-p )于是得到随机变量•的概率分布如下：由于Cnp k q 恰好是二项式展开式:(p • q)n =C ；p 0q n £：卩乙2 • |l 「C ：p k q n ± VCnpF 0中的各项的值，所以称这样的随机变量■服从二项分布，记作LI B( n,p)，其中n ,p 为参数，并记c ：p k q n 上二b(k ,n, p)||| 知识点五：离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数•也是一个正整数的离散型随机变量.“ • =k ”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为A k 、事件A 不发生记为宀，p(AJ = p ， p(AJ =q, (q =1- p)，那么 P (二k)二P(AA 2A3IH A ；人)十(入)卩叵)卩(瓦)||冋兀)卩(乓)二q2p (k =0,1,2,… q =1 - p ) 于是得到随机变量•的概率分布如下：称这样的随机变量•服从几何分布，记作 g(k, p) =q k 'p,其中 k =0,1,2」l (,q =1 - p. 知识点六：求离散型随机变量分布列的步骤；(1) 要确定随机变量的可能取值有哪些•明确取每个值所表示的意义；(2) 分清概率类型，计算•取得每一个值时的概率(取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样；(3) 列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证•几种常见的分布列的求法：(1) 取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算 •所用方法主要有划归法、数形结合法、对应法等对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样•(2) 射击问题：若是一人连续射击，且限制在n次射击中发生k次，则往往与二项分布联系起来；若是首次命中所需射击的次数，则它服从几何分布，若是多人射击问题，一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算•(3) 对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解•知识点六：期望数学期望：一般地，若离散型随机变量E的概率分布为则称E - X i P i X2P2 .................................. X n P n •… 为的数学期望，简称期望数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。

高中数学选修2-3同步练习题库：正态分布(选择题：容易)

正态分布（选择题：容易）1、设随机变量X～N（2，4），则D（X）的值等于 ( )A．1 B．2C． D．42、随机变量，，则（）A． B． C． D．3、已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.6，则P(0＜X＜2)＝() A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.44、设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)等于()A． B．－p C．1－2p D．1－p5、已知，且，则等于（）A． B． C． D．6、随机变量服从正态分布,且,则A． B． C． D．7、设随机变量服从正态分布，若，则（）A． B． C． D．8、设随机变量服从正态分布，，则__________．9、设随机变量～，且，则c=A．σ2 B．σ C．μ D．﹣μ10、已知随机变量服从正态分布，且，则（）A． B． C． D．11、已知随机变量服从正态分布，若，则A． B． C． D．12、随机变量X的概率分布规律为P（X＝n）＝（n＝1,2,3,4），其中a是常数，则P（＜X＜）的值为（）A． B． C． D．13、已知随机变量服从正态分布，，则（）A．0.21 B．0.58 C．0.42 D．0.2914、设随机变量服从正态分布，若，则的值为（）A． B． C．5 D．315、如图是正态分布N～(0,1)的正态分布曲线图，下面4个式子中，能表示图中阴影部分面积的个数为（）①②③④A．1 B．2 C．3 D．416、设随机变量X服从正态分布N（0，1），P(X>1)= p,则P(X>－1)=A．p B．1－p C．1－2p D．2p17、如果随机变量，且，则（）A． B． C． D．18、下列四个判断：①某校高三（1）班的人和高三（2）班的人数分别是，某次测试数学平均分分别是，则这两个班的数学平均分为；②从总体中抽取的样本则回归直线必过点；③已知服从正态分布,且,则其中正确的个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个19、已知随机变量服从正态分布，且，则（）A． B． C． D．20、设随机变量服从正态分布.若P(<2)=0.8，则p(0<<1)的值为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.621、已知随机变量，且，则等于A． B． C． D．22、随机变量服从正态分布，若，则（）A． B． C． D．23、已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且=0.6826，则（）A．0.1585 B．0.1588 C．0.1587 D．0.158624、已知随机变量服从正态分布,若，则A．0.477 B．0.625 C．0.954 D．0.97725、设随机变量服从正态分布.若，则的值为（）A． B． C． D．26、已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)＝() A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.1585827、如果随机变量ξ～N（0，σ2），且P（－2＜ξ≤0）="0.4" ，则P（ξ>2）等于：A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.428、如果随机变量ξ～N，且P（－2＜ξ≤0）=0.4，则P（ξ>2）等于（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D． 0.429、函数在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n可能是（）A．1 B．2 C．3 D．430、已知随机变量服从正态分布且，则（）A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.158531、已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且=0.6826，则p（X>4）=（）A．0.1585 B． 0.1586 C．0.1587 D．0.158832、已知随机变量服从正态分布，且，则（）A． B． C． D．33、设随机变量，且，则实数的值为( )A．4 B．6 C．8 D．1034、已知随机变量x~，，则（）A．0.16 B．0.32 C．0.68 D． 0.8435、设随机变量服从正态分布（2，9），若，则（）A．1 B．2C．3 D．436、已知随机变量服从正态分布，，则（）A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.8437、设随机变量X服从正态分布N（0，1），P（X＞1）=" p" , 则P(－1＜X＜0)等于A． B．1－ C．1－2 D．38、已知随机变量服从正态分布且，则（）A． 0.6 B． 0.4 C． 0.3 D．0.239、.已知随机变量服从正态分布，且Ｐ（＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜＜2）＝（）Ａ．0．6 B．0．4 C．0．3 D．0. 240、已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.97741、某市对10000名中学生的数学成绩（满分100分）进行抽样统计，发现他们近似服从正态分布N～（70，102），若90分以上者有230人，则这10000名学生中分数在50分到90分之间的人数约有（）A．7140人 B．230人 C．9540人 D．4770人42、设随机变量服从正态分布N(0,1)，若P(>1)= ，则P(-1<<0)=（）。

数学(选修2-3)课件8.3正态分布曲线

A．0.477
B．0.628
C．0.954
D．0.977
解析：方法一 P(ξ＞2)＝1－P(ξ≤2)＝1－F(2)＝1－Φ2σ＝0.023， ∴Φ2σ＝1－0.023＝0.977. ∴P(－2≤ξ≤2)＝F(2)－F(－2)＝Φ2σ－Φ－2σ＝2Φ2σ－1 ＝0.954.
方法二因为随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝0对称．又P(ξ＞2)＝0.023，所以P(ξ＜－2)＝ 0.023.所以P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ＞2)－P(ξ＜－2)＝1－2×0.023 ＝0.954.
答案：A
【点评】准确理解正态分布的概念和性质是解题关键，尤其应注意正态分布中参数μ，σ的意义以及它们在正态曲线中的作用．正态分布由μ和σ这两个参数决定，参数μ是反映随机变量的平均水平的特征数，参数σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，σ越小，曲线越尖陡，σ越大，曲线越扁平．
1．设 X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )
(2)∵μ－3σ＝20－3×2＝14，μ＋3σ＝20＋3×2＝26， μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24， ∴零件尺寸 X 在区间(14,26)mm 的百分比大约是 99.7%，而零件尺寸 X 在区间(16,24)mm 的百分比大约是 95.4%. ∴ 零件尺寸在区间 (24,26)mm 的百分比大约是 99.7%－2 95.4%＝2.15%.因此尺寸在区间(24,26)mm 的大约有 5 000×2.15%≈108(个)．
正态分布下的概率问题
设随机变量X～N(3,1)，P(X＞4) ＝p.求P(2＜X＜4)．
解：由X～N(3,1)，得μ＝3. ∵P(X＞4)＝p， ∴由对称性可得P(X＞4)＝P(X＜2)＝p. ∴P(2＜X＜4)＝1－P(X＞4)－P(X＜2)＝1－2p.

人教新课标版数学高二人教A选修2-3素材 2.4学习正态分布须要掌握哪些解题题型

学习正态分布须要掌握哪些解题题型一.正态分布的概念及主要性质1.正态分布的概念如果连续型随机变量ξ 的概率密度函数为()()22221σμσπ--=x e x f ，x R ∈ 其中σ、μ为常数，并且σ＞0,则称ξ服从正态分布,记为~N ξ（μ，2σ）.2.期望E ξ =μ，方差2σξ=D .3.正态分布的性质正态曲线具有下列性质:①曲线在x 轴上方，并且关于直线x ＝μ对称.②曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低.③曲线的对称轴位置由μ确定；曲线的形状由σ确定,σ越大,曲线越“矮胖”;反之越“高瘦”.4.标准正态分布当μ=0，σ=1时ξ服从标准的正态分布，记作~N ξ（0，1）.5.两个重要的公式①()1()x x φφ-=-,② ()()()P a b b a ξφφ<<=-.6. ()2,σμN 与()1,0N 二者联系.① 若2~(,)N ξμσ，则~(0,1)N ξμησ-= ; ②若2~(,)N ξμσ，则()()()b a P a b μμξφφσσ--<<=-. 二.正态分布的解题题型1.由满足正态分布的随机变量的期望与方差求随机变量的概率值例1.如果随机变量ξ～N （μ，σ2），且Eξ=3，Dξ=1，则P （－1＜ξ≤1）＝等于( )A.2Φ（1）－1B.Φ（4）－Φ（2）C.Φ（2）－Φ（4）D.Φ（－4）－Φ（－2）解答过程：对正态分布，μ=Eξ=3，σ2=Dξ=1，故P （－1＜ξ≤1）=Φ（1－3）－Φ（－1－3）=Φ（－2）－Φ（－4）=Φ（4）－Φ（2）.答案：B2. 把一般正态分布转化为标准正态分布求随机变量的概率值例2. 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在d ℃，液体的温度ξ（单位：℃）是一个随机变量，且ξ～N （d ，0.52）.（1）若d =90°，则ξ<89的概率为；（2）若要保持液体的温度至少为80 ℃的概率不低于0.99，则d 至少是 ?（其中若η～N （0，1），则Φ（2）=P （η<2）=0.9772，Φ（－2.327）=P （η<－2.327）=0.01）.思路启迪：（1）要求P （ξ<89）=F （89），∵ξ～N （d ，0.5）不是标准正态分布，而给出的是Φ（2），Φ（－2.327），故需转化为标准正态分布的数值.（2）转化为标准正态分布下的数值求概率p ，再利用p ≥0.99，解d .解答过程：（1）P （ξ<89）=F （89）=Φ（5.09089-）=Φ（－2）=1－Φ（2）=1－0.9772=0.0228.（2）由已知d 满足0.99≤P （ξ≥80），即1－P （ξ<80）≥1－0.01，∴P （ξ<80）≤0.01.∴Φ（5.080d -）≤0.01=Φ（－2.327） ∴5.080d -≤－2.327 ∴d ≤81.1635. 故d 至少为81.1635.小结:（1）若ξ～N （0，1），则η=σμξ-～N （0，1）. （2）标准正态分布的密度函数f （x ）是偶函数，x <0时，f （x ）为增函数，x >0时，f （x ）为减函数.3.在已知总体密度曲线的函数的条件下求随机变量的概率值例3．设),(~2σμN X ，且总体密度曲线的函数表达式为：()412221+--=x x e x f π，x ∈R.（1）则μ，σ是；（2）则)2|1(|<-x P 及)22121(+<<-x P 的值是 .思路启迪:根据表示正态曲线函数的结构特征,对照已知函数求出μ和σ.利用一般正态总体),(2σμN 与标准正态总体N （0，1）概率间的关系,将一般正态总体划归为标准正态总体来解决.解答过程：⑴由于()()()22222141222121--+--⋅==x x x e e x f ππ，根据一般正态分布的函数表达形式，可知μ=1，2=σ，故X ～N （1，2）. (2)()()212121+<<-=<-x P x P()()2121--+=F F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21212121φφ ()()()6826.018413.0211211=-⨯=-=--=φφφ 又()()()2122122121--+=+<<-F F x P ()()12212121221--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=φφφφ ()()8185.018413.09772.0112=-+=-+=φφ.小结：通过本例可以看出一般正态分布与标准正态分布间的内在关联.4. 在已知机变量概率值的条件下确定随机变量的取值范围例4.公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ε～N （173，7）（单位：cm ），则车门应设计的高度是（精确到1cm ）？思路启迪：由题意可知，求的是车门的最低高度，可设其为xcm ，使其总体在不低于x 的概率小于1%.解答过程：设该地区公共汽车车门的最低高度应设为xcm ，由题意，需使P(ε≥x)<1%. ∵ε～N （173，7），∴99.0)7173()(>-=≤x x P φε。

高中数学选修2-3：第八讲正态分布含解析精品

第八讲正态分布【教材扫描】1．正态曲线我们把函数,()x μσϕ=22()2x μσ--，(,)x ∈-∞+∞（其中μ是样本均值，σ是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．2．正态分布随机变量X 落在区间(,]a b 的概率为()P a X b <≤=,()d ba x x μσϕ⎰，即由正态曲线，过点(,0)a 和点(,0)b 的两条x 轴的垂线，及x 轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是X 落在区间(,]a b 的概率的近似值．一般地，如果对于任何实数a ，()b a b <，随机变量X 满足,()()d ba x P a Xb x μσϕ<≤=⎰，则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ，σ确定，因此正态分布常记作2(,)N μσ．如果随机变量X 服从正态分布，则记为2(,)X N μσ～．其中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．3．正态曲线的性质（1）曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称；（3）曲线在x μ=；（4）曲线与x 轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．正态分布的3σ原则若2(,)X N μσ～，则对于任意的实数0a >，,()d ()a a P a X a x x μμμσϕμμ+--<≤+=⎰为下图中阴影部分的面积，对于固定的μ和a 而言，该面积随着σ的减小而变大．这说明σ越小，X 落在区间(,]a a μμ-+的概率越大，即X 集中在μ周围的概率越大．特别地，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=；(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=；(3P X μσ-<3)μσ≤+0.9974=．由(33)P X μσμσ-<≤+0.9974=，知正态总体几乎总取值于区间(3,3)μσμσ-+之内．而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布2(,)N μσ的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之间的值，并简称之为3σ原则．【知识运用】题型一：利用正态曲线的对称性求概率【例1】已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，()40.76P X <=，则(0)P X ≤=A ．0.24B ．0.48C ．0.52D ．0.76【解析】由2(2,)X N σ～，可知其正态曲线如下图所示，对称轴为直线2x =，则(0)P X ≤=(4)P X ≥=1410().760.24P X =-<=-=．故选A【变式】1.若随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，已知( 1.9)0.028P ξ<-=，则||( 1.9)P ξ<=A ．0.028B ．0.056C ．0.944D ．0.972【解析】由随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，可得( 1.9)1( 1.9)P P ξξ<=-≤-，所以||( 1.9)P ξ<=?( 1.9 1.9)( 1.9)( 1.9)12( 1.9)120.0280.944P P P P ξξξξ-<<=<-≤-=-≤-=-⨯=．故选C2．已知随机变量X ～N(2，σ2)，若P(X<a)＝0．32，则P(a≤X<4－a)＝________．解析：由正态分布图象的对称性可得：P(a≤X<4－a)＝1－2P(X<a)＝0．36．答案：0．363．设随机变量X ～N(2,9)，若P(X>c ＋1)＝P(X<c －1)．(1)求c 的值；(2)求P(－4<X≤8)．解：(1)由X ～N(2,9)可知，密度函数关于直线x ＝2对称(如图所示)．∵P(X>c ＋1)＝P(X<c －1)，故有2－(c －1)＝(c ＋1)－2，∴c ＝2．(2)P(－4<X≤8)＝P(2－2×3<X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．954 4．题型二：由特殊区间求概率【例2】为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X （单位：kg ）服从正态分布(,4)N μ，且正态分布密度曲线如下图所示．若体重大于58 kg 小于等于62kg 属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数约为A ．997B ．954C ．819D ．683【解析】由题意，可知60μ=，2σ=，故(5862)()0.6826P X P X μσμσ<≤=-<≤+=，从而属于正常情况的人数是1 0000.6826683⨯≈．故选D【变式】某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数为1000μ=g ，21σ=，为了检验设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量．当检验员随机地抽取一个产品，测得其质量为1007g 时，他立即要求停止生产，检查设备．他的决定是否有道理呢？【解析】如果设备正常运行，产品质量服从正态分布2(,)N μσ，根据3σ原则可知，产品质量在3μσ-=10003997g -=和3100031003g μσ+=+=之间的概率为0.9974，而质量超出这个范围的概率只有0.0026，这是一个几乎不可能出现的事件．但是检验员随机抽取的产品为1007g ，这说明设备的运行极可能不正常，因此检验员的决定是有道理的题型三：正态分布实际运用[例3] 在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，即X ～N(90,100)．(1)试求考试成绩X 位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？[解] ∵X～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10．(1)由于X在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0．954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X位于区间(70,110)内的概率就是0．954 4．(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100．由于变量X在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0．682 6，所以考试成绩X位于区间(80,100)内的概率是0．682 6，一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0．682 6≈1 365(人)．【变式】1．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分)服从X～N(50,102)，则他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率为________．解析：∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10．∴P(30<X<70)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0．954 4．答案：0．954 42．某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0．052)，质量检查人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为3．7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？解：由于X服从正态分布N(4,0．052)，由正态分布的性质，可知正态分布N(4,0．052)在(4－3×0．05,4＋3×0．05)之外的取值的概率只有0．003，3．7∉(3．85,4,15)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的．【强化练习】1．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是( )A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件D．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件解析：选D ∵P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0．997 4．∴P(X>μ＋3σ或X<μ－3σ)＝1－P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝1－0．997 4＝0．002 6．∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．2．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2解析：选A μ反映的是正态分布的平均水平，x ＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2; σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知σ1<σ2．3．设随机变量X ～N(1,22)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝( ) A ．4 B ．2 C ．12D ．1 解析：选D 因为X ～N(1,22)，所以D(X)＝4，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝14D(X)＝1． 4．若随机变量X 的密度函数为f(x)＝12π·e －x 22，X 在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p 1，p 2，则p 1，p 2的关系为( )A ．p 1>p 2B ．p 1<p 2C ．p 1＝p 2D ．不确定解析：选C 由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x ＝0对称，所以p 1＝p 2．5．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115] 解析：选C 由于X ～N(110,52)，所以μ＝110，σ＝5，因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0．682 6,0．954 4,0．997 4，由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0．682 6≈41人，60×0．954 4≈57人，60×0．997 4≈60人．6．已知随机变量2(2,)X N σ～，若()0.4P X a <=，则(4)P a X a ≤<-=A ．0.4B ．0.2C ．0.1D ．0.6 【解析】因为2(2,)X N σ～，()0.4P X a <=，所以(4)0.4P X a ≥-=，所以(4)P a X a ≤<-10.40.40.2=--=．故选B ．7．已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，若( 1.1)0.023P ξ>=，则( 1.1 1.1)P ξ-≤≤=A ．0.954B ．0.023C ．0.977D ．0.046【解析】因为随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，则0μ=，则正态分布密度曲线关于直线0x =对称；由( 1.1)0.023P ξ>=及正态曲线的性质有( 1.1)0.023P ξ<-=，所以( 1.1 1.1)1P ξ-≤≤=-( 1.1)( 1.1)10.0230.0230.954p P ξξ>-<-=--=．故选A ．8．已知随机变量2(0,)X N σ～，若(||2)P X a ≤=，则(2)P X >=A ．12a -B ．2aC ．1a -D ．12a + 【解析】由题意可得正态分布密度曲线关于直线0x =对称，因为正态分布密度曲线与x 轴围成的面积为1，所以A ． 9．已知随机变量X 服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)＝________．解析：由题意知曲线关于x ＝2对称，因此P(X<2)＝12．答案：129．已知随机变量ξ服从正态分布(0,2)N ，若(2)P p ξ≥=，则(20)P ξ-<<=______________．【解析】依题意有11(20)(02)(2)22P P P p ξξξ-<<=<<=-≥=- 10．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，若(4)0.7P ξ<=，则(02)P ξ<<=______________．【解析】(02)(24)(4)(2)0.70.50.2P P P P ξξξξ<<=<<=<-<=-=．11()f x(,)μ-∞+∞∈，0σ>，则可以作为正态分布密度函数的为______________．（填函数对应的序号）(,)μ-∞+∞∈，所以(,)μ-∞-+∞∈，故它可以作为正态分布密度函数；对于②，若1σ=0μ=时的正态分布密度函数；对于12．已知随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，其正态曲线在(0),8-∞上是增函数，在(80,)+∞上为减函数，且7288()0.6826P X <≤=．（1）求参数μ，σ的值；（2）求7(64)2P X <≤的值．【解析】（1）因为正态曲线在(0),8-∞上是增函数，在(80,)+∞上为减函数，所以正态曲线关于直线80x =对称，所以80μ=．又7288()0.6826P X <≤=，结合()0.6826P X μσμσ-<≤+=可知8σ=．（2）因为(2P μσ-<2)0.9544X μσ≤+=，且()(6496)P X P X <=>，()640.9772P X >=．又1()(()1721728810.68260.15872)()2P X P X ≤=-<≤=⨯-=，所以()()()647264720.9772(10.15870.13)59P X P X P X <≤=>->=--=．13、从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求()E X ．附：12.2≈．若2(,)Z N μσ～，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)P Z μσμσ-<<+0.9544=．【解析】（1）抽取产品的质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150=．（2）①由（1）知，Z 服从正态分布(200,150)N ，从而(187.8212.2)P Z <<(20012.2P Z =-<< 20012.2)0.6826+=．②由①可知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，依题意知(100,0.6826)X B ～，所以()1000.682668.26E X =⨯=．。

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第八讲正态分布【教材扫描】1．正态曲线我们把函数,()x μσϕ=2()2x μσ--，(,)x ∈-∞+∞（其中μ是样本均值，σ是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．2．正态分布随机变量X 落在区间(,]a b 的概率为()P a X b <≤=,()d ba x x μσϕ⎰，即由正态曲线，过点(,0)a 和点(,0)b 的两条x 轴的垂线，及x 轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是X 落在区间(,]a b 的概率的近似值．一般地，如果对于任何实数a ，()b a b <，随机变量X 满足,()()d ba x P a Xb x μσϕ<≤=⎰，则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ，σ确定，因此正态分布常记作2(,)N μσ．如果随机变量X 服从正态分布，则记为2(,)X N μσ～．其中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．3．正态曲线的性质（1）曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称；（3）曲线在x μ=；（4）曲线与x 轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．正态分布的3σ原则若2(,)X N μσ～，则对于任意的实数0a >，,()d ()a a P a X a x x μμμσϕμμ+--<≤+=⎰为下图中阴影部分的面积，对于固定的μ和a 而言，该面积随着σ的减小而变大．这说明σ越小，X 落在区间(,]a a μμ-+的概率越大，即X 集中在μ周围的概率越大．特别地，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=；(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=；(3P X μσ-<3)μσ≤+0.9974=．由(33)P X μσμσ-<≤+0.9974=，知正态总体几乎总取值于区间(3,3)μσμσ-+之内．而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布2(,)N μσ的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之间的值，并简称之为3σ原则．【知识运用】题型一：利用正态曲线的对称性求概率【例1】已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，()40.76P X <=，则(0)P X ≤=A ．0.24B ．0.48C ．0.52D ．0.76【解析】由2(2,)X N σ～，可知其正态曲线如下图所示，对称轴为直线2x =，则(0)P X ≤=(4)P X ≥=1410().760.24P X =-<=-=．故选A【变式】1.若随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，已知( 1.9)0.028P ξ<-=，则||( 1.9)P ξ<=A ．0.028B ．0.056C ．0.944D ．0.972【解析】由随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，可得( 1.9)1( 1.9)P P ξξ<=-≤-，所以||( 1.9)P ξ<=?( 1.9 1.9)( 1.9)( 1.9)12( 1.9)120.0280.944P P P P ξξξξ-<<=<-≤-=-≤-=-⨯=．故选C2．已知随机变量X ～N(2，σ2)，若P(X<a)＝0．32，则P(a≤X<4－a)＝________．解析：由正态分布图象的对称性可得：P(a≤X<4－a)＝1－2P(X<a)＝0．36．答案：0．363．设随机变量X ～N(2,9)，若P(X>c ＋1)＝P(X<c －1)．(1)求c 的值；(2)求P(－4<X≤8)．解：(1)由X ～N(2,9)可知，密度函数关于直线x ＝2对称(如图所示)．∵P(X>c ＋1)＝P(X<c －1)，故有2－(c －1)＝(c ＋1)－2，∴c ＝2．(2)P(－4<X≤8)＝P(2－2×3<X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．954 4．题型二：由特殊区间求概率【例2】为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X （单位：kg ）服从正态分布(,4)N μ，且正态分布密度曲线如下图所示．若体重大于58 kg 小于等于62kg 属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数约为A ．997B ．954C ．819D ．683【解析】由题意，可知60μ=，2σ=，故(5862)()0.6826P X P X μσμσ<≤=-<≤+=，从而属于正常情况的人数是1 0000.6826683⨯≈．故选D【变式】某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数为1000μ=g ，21σ=，为了检验设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量．当检验员随机地抽取一个产品，测得其质量为1007g 时，他立即要求停止生产，检查设备．他的决定是否有道理呢？【解析】如果设备正常运行，产品质量服从正态分布2(,)N μσ，根据3σ原则可知，产品质量在3μσ-=10003997g -=和3100031003g μσ+=+=之间的概率为0.9974，而质量超出这个范围的概率只有0.0026，这是一个几乎不可能出现的事件．但是检验员随机抽取的产品为1007g ，这说明设备的运行极可能不正常，因此检验员的决定是有道理的题型三：正态分布实际运用[例3] 在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，即X ～N(90,100)．(1)试求考试成绩X 位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？[解] ∵X ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10．(1)由于X 在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0．954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X 位于区间(70,110)内的概率就是0．954 4．(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100．由于变量X在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0．682 6，所以考试成绩X位于区间(80,100)内的概率是0．682 6，一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0．682 6≈1 365(人)．【变式】1．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分)服从X～N(50,102)，则他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率为________．解析：∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10．∴P(30<X<70)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0．954 4．答案：0．954 42．某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0．052)，质量检查人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为3．7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？解：由于X服从正态分布N(4,0．052)，由正态分布的性质，可知正态分布N(4,0．052)在(4－3×0．05,4＋3×0．05)之外的取值的概率只有0．003，3．7∉(3．85,4,15)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的．【强化练习】1．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是( )A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件D．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件解析：选D ∵P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0．997 4．∴P(X>μ＋3σ或X<μ－3σ)＝1－P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝1－0．997 4＝0．002 6．∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．2．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2解析：选Aμ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2; σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知σ1<σ2．3．设随机变量X ～N(1,22)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝( ) A ．4 B ．2 C ．12D ．1 解析：选D 因为X ～N(1,22)，所以D(X)＝4，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝14D(X)＝1． 4．若随机变量X 的密度函数为f(x)＝12π·e －x 22，X 在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p 1，p 2，则p 1，p 2的关系为( )A ．p 1>p 2B ．p 1<p 2C ．p 1＝p 2D ．不确定解析：选C 由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x ＝0对称，所以p 1＝p 2．5．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115] 解析：选C 由于X ～N(110,52)，所以μ＝110，σ＝5，因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0．682 6,0．954 4,0．997 4，由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0．682 6≈41人，60×0．954 4≈57人，60×0．997 4≈60人．6．已知随机变量2(2,)X N σ～，若()0.4P X a <=，则(4)P a X a ≤<-=A ．0.4B ．0.2C ．0.1D ．0.6 【解析】因为2(2,)X N σ～，()0.4P X a <=，所以(4)0.4P X a ≥-=，所以(4)P a X a ≤<-10.40.40.2=--=．故选B ．7．已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，若( 1.1)0.023P ξ>=，则( 1.1 1.1)P ξ-≤≤=A ．0.954B ．0.023C ．0.977D ．0.046【解析】因为随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，则0μ=，则正态分布密度曲线关于直线0x =对称；由( 1.1)0.023P ξ>=及正态曲线的性质有( 1.1)0.023P ξ<-=，所以( 1.1 1.1)1P ξ-≤≤=-( 1.1)( 1.1)10.0230.0230.954p P ξξ>-<-=--=．故选A ．8．已知随机变量2(0,)X N σ～，若(||2)P X a ≤=，则(2)P X >=A ．12a -B ．2aC ．1a -D ．12a + 【解析】由题意可得正态分布密度曲线关于直线0x =对称，因为正态分布密度曲线与x 轴围成的面积为1，所以A ．9．已知随机变量X 服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)＝________．解析：由题意知曲线关于x ＝2对称，因此P(X<2)＝12．答案：129．已知随机变量ξ服从正态分布(0,2)N ，若(2)P p ξ≥=，则(20)P ξ-<<=______________．【解析】依题意有11(20)(02)(2)22P P P p ξξξ-<<=<<=-≥=- 10．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，若(4)0.7P ξ<=，则(02)P ξ<<=______________．【解析】(02)(24)(4)(2)0.70.50.2P P P P ξξξξ<<=<<=<-<=-=．11()f x(,)μ-∞+∞∈，0σ>，则可以作为正态分布密度函数的为______________．（填函数对应的序号）(,)μ-∞+∞∈，所以(,)μ-∞-+∞∈，故它可以作为正态分布密度函数；对于②，若1σ=0μ=时的正态分布密度函数；对于12．已知随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，其正态曲线在(0),8-∞上是增函数，在(80,)+∞上为减函数，且7288()0.6826P X <≤=．（1）求参数μ，σ的值；（2）求7(64)2P X <≤的值．【解析】（1）因为正态曲线在(0),8-∞上是增函数，在(80,)+∞上为减函数，所以正态曲线关于直线80x =对称，所以80μ=．又7288()0.6826P X <≤=，结合()0.6826P X μσμσ-<≤+=可知8σ=．（2）因为(2P μσ-<2)0.9544X μσ≤+=，且()(6496)P X P X <=>，()640.9772P X >=．又1()(()1721728810.68260.15872)()2P X P X ≤=-<≤=⨯-=，所以()()()647264720.9772(10.15870.13)59P X P X P X <≤=>->=--=．13、从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求()E X ．附：12.2≈．若2(,)Z N μσ～，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)P Z μσμσ-<<+0.9544=．【解析】（1）抽取产品的质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150=．（2）①由（1）知，Z 服从正态分布(200,150)N ，从而(187.8212.2)P Z <<(20012.2P Z =-<< 20012.2)0.6826+=．②由①可知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，依题意知(100,0.6826)X B ～，所以()1000.682668.26E X =⨯=．。

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