高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案

哈尔滨市第六中学校届第一次模拟考试数学（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 参考公式：样本数据n x x x ,,,21 的标准差[]22221)()()(1x x x x x x ns n -++-+-= ，其中x 为样本的平均数柱体体积公式Sh V =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式Sh V 31=，其中S 为底面面积，h 为高球的表面积和体积公式24R S π=，334R V π=，其中R 为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合}4,2,1{=A ，集合},,|{A y A x yxz z B ∈∈==，则集合B 中元素的个数为 （ ）A. 4B.5C.6D.7 2.已知复数R a iii a z ∈-+++=,1125，若复数z 对应的点在复平面内位于第四象限，则实数a 的取值范围是（ ）A.1>aB.0<aC.10<<aD.1<a 3.设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，638a a =，则24S S 的值为 （ ） A.21 B.2 C.45D.5 4.若)()13(*∈-N n xx n 的展开式中各项系数和为64，则其展开式中的常数项为（ ）A.540B.540-C.135D.135-5.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ） A.10 B.10- C.5 D.5-6.平面向量,满足2||,4||==，+在上的投影为5，则|2|-的模为 （ ）A.2B.4C.8D.16 7.已知曲线)0,0()(>>=a x xax f 上任一点))(,(00x f x P ，在点P 处的切线与y x ,轴分别交于B A ,两点，若OAB ∆的面积为4，则实数a 的值为（ ）A.1B.2C.4D.8n 是偶数？8.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点为F ，过F 作双曲线C 渐近线的垂线，垂足为,A 且交y 轴于B ，若2=，则双曲线的离心率为 （ ） A.36 B.23 C.332 D.269.为了响应国家发展足球的战略，哈市某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.现有10名同学参加足球射门比赛，已知每名同学踢进的概率均为6.0，每名同学有2次射门机会，且各同学射门之间没有影响.现规定：踢进两个得10分，踢进一个得5分，一个未进得0分，记X 为10个同学的得分总和，则X的数学期望为（ ）A.30B.40C.60D.80 10.把函数)2|)(|2sin(2)(πϕϕ<+=x x f 的图象向左平移2π个单位长度之后，所得图象关于直线4π=x 对称，且)2()0(ϕπ-<f f ，则=ϕ（ ）A.8π B.83π C.8π- D.83π- 11.设函数)(x f 是R 上的奇函数，)()(x f x f -=+π，当20π≤≤x 时，1cos )(-=x x f ，则ππ22≤≤-x 时，)(x f 的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ）A.84-πB.42-πC.2-πD.63-π 12.已知矩形ABCD 中，4,6==BC AB ，F E ,分别是CD AB ,上两动点，且DF AE =，把四边形BCFE 沿EF 折起，使平面⊥BCFE 平面ABCD ，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（ ）A.π28B.3728π C.π32 D.3264π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≤+22142y x y x y x ，则y x z +=2的取值范围是14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 15．设n T 为数列}{n a 的前n 项之积，即n n n a a a a a T 1321-= ，若11111,211=---=-n n a a a ，当11=n T 时，n 的值为 16.已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线C 于B A ,两点，以线段AB 为直径的圆与抛物线C 的准线切于)3,2(pM -，且AOB ∆的面积为13，则抛物线C 的方程为________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，设边c b a ,,所对的角分别为C B A ,,，C B A ,,都不是直角，且A b a A bcB ac cos 8cos cos 22+-=+（Ⅰ）若C B sin 2sin =，求c b ,的值； （Ⅱ）若6=a ，求ABC ∆面积的最大值.18.（本小题满分12分）为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩．数学 108 103 137 112 128 120132 物理74718876848186（Ⅰ）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的说明；（Ⅱ）已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，求物理成绩y 与数学成绩x 的回归直线方程（Ⅲ）若该生的物理成绩达到90分，请你估计他的数学成绩大约是多少？（附：x b y a x xy y x xb ni ii ni i^^211^,)()()(-=---=∑∑==）19.（本小题满分12分）如图所示三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，CD AD 2=，CD AC ⊥.（Ⅰ）若AC AA =1,求证：⊥1AC 平面CD B A 11； （Ⅱ）若D A 1与1BB 所成角的余弦值为721，求二面角11C D A C --的余弦值.20.（本小题满分12分）已知两点)0,2(),0,2(B A -，动点P 在y 轴上的投影是Q ，且2||2=⋅. （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过)0,1(F 作互相垂直的两条直线交轨迹C 于点N M H G ,,,，且21,E E 分别是MN GH ,的中点.求证：直线21E E 恒过定点.21.（本小题满分12分）已知函数)2323()1(2)(2-+-=x m e x x f x，22e m ≤. （Ⅰ）当31-=m 时，求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）若1≥x 时，有x mx x f ln )(2≥恒成立，求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分。

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 22y x （θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4)6sin(=+πθρ.（Ⅰ）写出曲线C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）若射线3πθ=与曲线C 交于A O ,两点，与直线l 交于B 点，射线611πθ=与曲线C 交于P O ,两点，求PAB ∆的面积.23.（本小题满分10分） 选修4—5：不等式选讲已知c b a ,,为正实数，且3=++c b a（Ⅰ）解关于c 的不等式b a c +≤-|42|；（Ⅱ）证明：3222≥++cb b a a c2017届哈六中高三第一次模拟考试理科数学答案 一、选择题1.B2.A3.C4.C5.D6.B7.B8.D9.C 10.C 11.A 12.D 二、填空题13. ]25,5[- 14.265210++ 15. 10 16.x y 42=三、解答题17.（1）A b a bc a c b bc ac b c a accos 82222222222+-=-++-+ A a c b cos 8222=-+∴ ————————2分A A bc cos 8cos 2=∴ 0cos ≠A 4=∴bc ——————4分 由正弦定理得c b 2= 2,22==∴c b ——————6分（2）A bc bc A bc c b a cos 22cos 2222-≥-+= 即A cos 886-≥ 41cos ≥∴A 当且仅当c b =时取等号 ——————————10分 415sin ≤∴A 215sin 21≤=∴A bc S 215sin 21≤=∴A bc S ，所以面积最大值为215——————12分18.（1）略——————4分（2）设22==CD AD A DA 1∠为D A 1与 AC 所成的角 31=∴AA ——————————6分以C 为坐标原点，1,,CC CA CD 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 面D CA 1的法向量)1,1,0(-=n ，——————————8分 面11DC A 的法向量)1,0,3(=——————————10分42,cos ->=< ∴二面角11C D A C --的余弦值为42————————12分19（1）数学 142,1202==s x ————————2分物理7250,802==s y ————————4分 物理成绩更稳定——————————5分 （2）994)(712=-∑=i ix x 497))((71=--∑=i i i y y x x ————————7分21=∴∧b 20=∴∧a ————————————————8分 2021+=∴∧x y ——————10分（3）数学140——————————12分20.（1）设点P 坐标为),(y x ∴点Q 坐标为)0,(x∵2=⋅∴22])2)(2[(2x y x x =+--- ∴点P 的轨迹方程为12422=+y x ---------4分 （2）当两直线的斜率都存在且不为0时，设),(),,(),1(:2211y x H y x G x k y l GH -=),(),,(),1(1:4433y x H y x M x k y l MN --=联立方程得，⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(12422x k y y x ，0424)12(2222=-+-+k x k x k ，∴0>∆恒成立∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+124212422212221k k x x k k x x ，---------6分 ∴GH 中点1E 坐标为)12,122(222+-+k k k k 同理，MN 中点2E 坐标为)2,22(22++k kk ---------8分 ∴)1(23221--=k k k E E ∴21E E l 的方程为)32()1(232---=x k k y ，∴21E E l 过点)0,32(---------10分当两直线的斜率分别为0和不存在时，21E E l 的方程为0=y ，也过点)0,32( 综上所述，21E E l 过定点)0,32(---------12分21解：（Ⅰ）)12()('-=xe x xf ，————————1分2ln 0)('-<⇒>x x f 或0>x02ln 0)('<<-⇒<x x f ——————————————3分所以)(x f 在),0(),2ln ,(+∞--∞上单调增，在)0,2ln (-上单调增————————4分 （Ⅱ）x mx x f x g ln )()(2-=))ln 1((2)('x m e x x g x-+=xmxe x u x m e x u x x-=-+=)('),ln 1()(——————————————5分（1）e m ≤时0)('≥-=xmxe x u x 恒成立， 则)ln 1()(x m e x u x-+=在1≥x 上单调递增，则m e u x u +=≥)1()(——————6分 ①e m e m e ≤≤-⇒≥+0时，0)(≥x u 时，即0)('≥x g ，所以)(x g 在),1[+∞单调递增，0)1()(=≥g x g 恒成立——————————7分②0<+m e ，存在),1(0+∞∈x ，0)(0=x u ，所以),1(0x x ∈时，0)(<x u ，即0)('<x g ，)(x g 在),1(0x 上单调减0)1()(=<g x g 舍———9分（2）e m >时，0)1('<-=xmxe u x ，存在),1(1+∞∈x ，使m e x x =11， 2121e e x e x ≤<，所以211≤<x ，又)(x u 在),(1+∞x 上增，在),1(1x 上减，所以1x x =时 )(x u 有最小值0)ln 1()(111>-+=x m e x u x ，所以即0)('≥x g ，所以)(x g 在),1[+∞单调递增，0)1()(=≥g x g 恒成立————————————————11分综上：22e m e ≤≤-——————————12分第11页 共11页 22.（1）曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=直线l 的直角坐标方程为083=-+y x ------4分（2）联立射线3πθ=与曲线C 及直线l 的极坐标方程可得，)3,4(),3,2(ππB A 联立射线611πθ=与曲线C 的极坐标方程可得，)611,32(πP -------7分 ∴2=AB ∴32)63sin(32221=+⨯⨯=∆ππPAB S ---------10分 23.（1）∵b a c +≤-42且3=++c b a ∴c c -≤-342 ∴c c c -≤-≤-3423∴不等式的解集为]37,1[--------5分（2）∵ca a c 22≥+（当且仅当c a =时取等号） a b b a 22≥+（当且仅当b a =时取等号） b c cb 22≥+（当且仅当c b =时取等号）---------8分 ∴c b a c b a c b b a a c 222222++≥+++++ ∴c b a c b b a a c ++≥++222∵3=++c b a ∴3222≥++c b b a a c --------10分。