m重弱伴随矩阵的性质

伴随矩阵的性质及应用汇总

伴随矩阵的性质及应用汇总伴随矩阵，也被称为伴随矩阵、伴随方阵或伴随法方阵，是与一个给定的矩阵相关联的矩阵。

在线性代数中，伴随矩阵的性质及应用非常重要。

下面是对伴随矩阵的性质及应用的汇总。

一、伴随矩阵的基本性质：1.对于任意的n阶矩阵A，它的伴随矩阵存在且唯一2. 伴随矩阵的行列式等于原矩阵A的n次方，即，adj(A)， = ，A，^(n-1)。

3. 如果原矩阵A是可逆的，则它的伴随矩阵也是可逆的，并且有逆矩阵的性质，即(adj(A))^(-1) = 1/，A， * adj(A)。

4. 伴随矩阵的转置等于原矩阵的伴随矩阵的转置，即(adj(A))^T = adj(A^T)。

二、伴随矩阵的应用：1. 伴随矩阵在求逆矩阵中的应用：利用伴随矩阵可以很方便地求解矩阵的逆。

对于可逆矩阵A，有A^(-1) = 1/，A， * adj(A)。

通过计算原矩阵的行列式和伴随矩阵，即可得到逆矩阵。

2. 伴随矩阵在线性方程组求解中的应用：对于线性方程组AX = B，如果矩阵A是可逆的，则可以通过左乘伴随矩阵满足（adj(A) * A）* X= adj(A) * B，进而求解出X的解。

3. 伴随矩阵在求解特征值和特征向量中的应用：矩阵A的伴随矩阵adj(A)与矩阵A一样具有相同的特征值，但是特征向量方向相反。

因此，可以通过求解伴随矩阵的特征值和特征向量来得到矩阵A的特征值和特征向量。

4. 伴随矩阵在向量夹角和投影中的应用：对于两个向量A和B，它们的夹角θ可以通过伴随矩阵求解得到，即cosθ = (A・B) / (，A，* ，B，) = (adj(A)・B) / (，A， * ，B，)。

此外，在向量的投影计算中也可以通过伴随矩阵来实现，即投影向量P = A * (adj(A)・B) / (adj(A)・A)。

综上所述，伴随矩阵具有独特的性质和广泛的应用。

它在求逆矩阵、线性方程组求解、特征值和特征向量求解、向量夹角和投影等方面发挥着重要的作用。

伴随矩阵的定义

伴随矩阵的定义伴随矩阵（Adjointmatrix）是数学中非常重要的一种矩阵，它也叫做逆矩阵、变换矩阵、互补矩阵或伴随变换，它表示了一种线性变换，并且保持着一定的性质。

伴随矩阵可以用来求解线性方程组，并在线性变换、应力分析和物理学上有着重要的应用。

简言之，伴随矩阵是一个有特定性质的高维矩阵，它可以用来表示一种线性变换，它可以将一个数组映射到另一个数组。

伴随矩阵的性质，主要取决于它的矩阵的形状，以及它的元素的值。

伴随矩阵是一个m*m的实方阵，其中m为一个正整数，它可以用于表示任意n*m的矩阵A。

这里的n是矩阵A的行数，m是矩阵A的列数。

定义：伴随矩阵A*是一个元素满足下式的m*m矩阵：A*ij=(-1)i+j(det Aij)，其中det Aij表示矩阵Aij的行列式，ij 表示矩阵Aij中第i行和第j列之外的元素组成的子矩阵的行列式。

这里的(-1)i+j表示第i行和第j列之外的元素的符号，有的元素的符号为正，有的元素的符号为负，这取决于元素的位置。

伴随矩阵的一个重要性质就是它的秩和原矩阵一样，即rank(A*)=rank(A)。

又由于A*A=|A|I，它可以用来求解A*X=B未知矩阵X，其中A是m*n的实方阵，B是n*1的列向量。

由于伴随矩阵的定义，它不具有任何特例性质，它的性质完全取决于它的形状和元素的值。

伴随矩阵的主要作用是用来表达特定的矩阵变换，在这些变换中，定义中的变量I表示单位矩阵。

伴随矩阵的应用很广泛，常见的应用有：（1）在数学中，它用来表示线性变换，并用来求解线性方程组；（2）在物理学中，它可以用来表示力与势之间的关系，用来分析应力；（3）在计算机科学中，它可以用来进行矩阵计算，如矩阵乘法，伴随矩阵乘法等。

总之，伴随矩阵是数学中一个重要的概念，它的定义及其性质很重要，它的应用也非常广泛，并且在一些重要的计算机算法中也有着重要的地位。

伴随矩阵运算法则

伴随矩阵运算法则
（最新版）
目录
1.伴随矩阵的定义与性质
2.伴随矩阵的运算法则
3.伴随矩阵的应用
4.总结
正文
一、伴随矩阵的定义与性质
伴随矩阵是线性代数中一个重要的概念，它与逆矩阵有着密切的关系。

伴随矩阵的定义是：一个方形矩阵 A 的伴随矩阵，是由矩阵 A 的代数余子式构成的一个矩阵。

伴随矩阵的性质包括：
1.伴随矩阵是一个方阵，其行数和列数与原矩阵相同。

2.伴随矩阵的元素是原矩阵的代数余子式，即伴随矩阵第 i 行第 j 列的元素是原矩阵的第 j 行第 i 列的代数余子式。

3.伴随矩阵的转置等于原矩阵的代数余子式的转置。

二、伴随矩阵的运算法则
伴随矩阵的运算法则主要包括以下几点：
1.伴随矩阵的加法：两个矩阵的伴随矩阵相加，对应位置的元素是两个矩阵对应位置的代数余子式之和。

2.伴随矩阵的数乘：一个矩阵的伴随矩阵与一个标量的乘积，对应位置的元素是原矩阵对应位置的代数余子式乘以该标量。

3.伴随矩阵的乘法：两个矩阵的伴随矩阵相乘，对应位置的元素是原矩阵对应位置的代数余子式的乘积。

三、伴随矩阵的应用
伴随矩阵在线性代数中有广泛的应用，主要包括：
1.求解线性方程组：当矩阵 A 可逆时，可以用伴随矩阵表示矩阵 A 的逆矩阵，从而求解线性方程组。

2.矩阵的行列式：矩阵的行列式等于其伴随矩阵的行列式，可以利用伴随矩阵求矩阵的行列式。

3.矩阵的秩：伴随矩阵的秩等于原矩阵的秩，可以利用伴随矩阵求矩阵的秩。

四、总结
伴随矩阵是线性代数中的一个基本概念，它与逆矩阵、行列式等有着密切的关系。

伴随矩阵

伴随矩阵
数学术语
01 定义
03 特殊求法
目录
02 性质 04 m重
在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果二维矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数，对多维矩阵也存在这个规律。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。
定义
设矩阵，将矩阵的元素所在的第i行第j列元素划去后，剩余的各元素按原来的排列顺序组成的n-1阶矩阵所确定的行列式称为元素的余子式，记为，称为元素的代数余子式。
方阵的各元素的代数余子式所构成的如下Байду номын сангаас阵：该矩阵称为矩阵的伴随矩阵。
性质
伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具，伴随矩阵的一些新的性质被不断发现与研究。伴随矩阵的一些基本性质如下：
（1）可逆当且仅当可逆；（2）如果可逆，则；（3）对于的秩有：（4）；（5）；（6）若可逆，则；（7）；（8）。（9）AA = AA = |A|E
（2）当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。
（3）二阶矩阵的求法口诀：主对角线元素互换，副对角线元素变号。
m重
设为n阶方阵，则称n阶方阵为的m重伴随矩阵，记为：，其中括号为m重。特别地，。
谢谢观看
特殊求法
（1）当矩阵是大于等于二阶时：
主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式，非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以，，为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始。主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为 =,所以，一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。

关于伴随矩阵性质的探讨

关于伴随矩阵性质的探讨伴随矩阵，也称作伴随矩阵、伴随阵或伴随矩阵，是在线性代数中一个重要的概念。

在矩阵理论和线性代数中，对于任意一个n阶矩阵A，我们可以定义它的伴随矩阵Adj(A)，也表示为A*。

伴随矩阵的定义是：对于一个n阶矩阵A，它的伴随矩阵Adj(A)是一个n阶矩阵，它的每一个元素都等于A的代数余子式的代数余子式时，这个元素的行号与列号之和为偶数次时，其代数余子式乘以(-1)。

如果行号与列号之和为奇数次时，元素值不变。

伴随矩阵在许多应用中起着重要的作用，它有许多重要性质值得探讨。

1. 伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的n-1次方乘以n-1的阶乘。

即det(A*) = det(A)^(n-1) * (n-1)!2. 如果一个矩阵A可逆，那么它的伴随矩阵也是可逆的，且(Adj(A))^-1 = (A^-1)*，其中A^-1表示A的逆矩阵。

3.如果一个矩阵A的伴随矩阵是可逆的，那么A也是可逆的。

这可以通过用伴随矩阵左乘A的逆矩阵来证明。

4.如果一个矩阵A是一个方阵，且它的伴随矩阵与A可交换（即A*·A=A·A*），那么A是一个可逆矩阵。

5.如果两个矩阵A和B的乘积等于一个单位矩阵I，那么它们的伴随矩阵也满足(A·B)*=B*·A*。

这个性质对于求解线性方程组等问题非常有用。

6.伴随矩阵的积与转置的关系：(A·B)*=B*·A*。

这个性质说明了两个矩阵相乘后的伴随矩阵等于倒序相乘后的伴随矩阵，即A和B的伴随矩阵相乘的结果等于B的伴随矩阵和A的伴随矩阵相乘的结果。

7. 伴随矩阵的伴随矩阵等于原矩阵的(n-2)次方乘以(n-2)的阶乘。

即(Adj(A)) = (Adj(Adj(A))) = A^(n-2) * (n-2)!通过以上性质的探讨，我们可以看到伴随矩阵在矩阵的求逆、线性方程组的求解等问题中起着重要的作用。

它可以帮助我们简化计算过程，快速得到结果。

浅谈伴随矩阵的性质及其应用【文献综述】

文献综述数学与应用数学浅谈伴随矩阵的性质及其应用高等代数是最具有生命力的数学分支之一, 从它诞生起即日已成为人类认识并进而改造自然的有力工具, 成为数学科学联系实际的主要途径之一. 在长期不断的发展过程中, 它一方面直接从与生产实践联系的其他科学技术中汲取活力, 另一方面又不断地以全部数学科学的新旧成就来武装自己, 所以它的问题和方法越来越显得丰富多彩[1].线性代数是高等代数的重要组成部分, 是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科. 它在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用, 因而它在各种代数分支中占居首要地位. 在计算机广泛应用的今天, 计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分. 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系, 还要进一步研究多个变量之间的关系, 各种实际问题在大多数情况下可以线性化, 而由于计算机的发展, 线性化了的问题又可以计算出来, 线性代数正是解决这些问题的有力工具[2].矩阵, 是代数学的一个主要研究对象, 是数学中最重要的基本概念之一, 也是数学研究及应用的一个重要工具. 矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出的, 并形成了矩阵代数这一系统理论. 在实际生活中, 很多问题可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算, 如在各循环赛中常用的赛况表格、国民经济的数学问题等[2-3].数学上, 一个矩阵乃一行列的矩形阵列. 矩阵由数组成, 或更一般的有某环n m m n 中元素组成, 矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析、解析几何, 以及组合数学等. 矩阵在微积分、图论、对策、数据拟合等模型中也有着非常广泛的应用. 如数学建模是把现实世界中的实际问题抽象成数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性后，用它的解来解释现实问题，这其中要用到许多的数学知识, 而矩阵作为一种认识复杂问题的简捷的数学工具，在数学模型中具有重要的作用, 从数学规划模型和线性代数模型中分析矩阵应用, 通过分析来提高数学建模的技巧, 可以使数学建模更好地服务于各个领域[ 4]. 又如在图论中应用于顶点覆盖问题、最短路径问题、哈密顿回路问题和最大团问题等[2].矩阵可以分为很多类, 有初等矩阵、分块矩阵[5]、幂等矩阵[7]、Hankel 矩阵[8]等等, 近E3227号问题[18]. 现今不仅专业研究伴随矩阵的数学工作者愈加众多, 而且量子力学、刚体力学、流体力学、自动控制等各个学科或尖端技术领域内的研究工作者也都以它为必需的工具了. 如蔡建乐提出了用特征矩阵的伴随矩阵求惯量主轴的代数方法[19], 这有利于刚体力学的发展, 更体现伴随矩阵的物理意义.在《高等代数》和《线性代数》的各种教材中, 伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的, 并没有进行深入的研究. 所以对伴随矩阵的研究是十分必要的, 本课题将进一步探讨伴随矩阵的性质和应用, 特别在一些特殊矩阵的基础上, 以便进一步发掘伴随矩阵的作用.参考文献[1] 杨子胥. 高等代数习题集[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 1982.[2] 北京大学数学系几何与代数小组编. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.9.[3] R. A. Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis[M]. Cambridge University Press, 1986.[4] 许维珍. 数学模型中矩阵的应用[J]. 湖南农业大学学报, 2008, 9(5): 84~86.[5] 徐天保. 分块矩阵的应用[J]. 安庆师范学院学报, 2010, 16(2): 106~108[6] C.M. Han. Some operation properities of Adjoint Matrices for Block Matrices[J]. Journal ofMathematics Reseearch, 2009, 1(2): 119~122.[7] 徐宏武. 幂等矩阵的性质及应用[J]. 宜春学院学报, 2004, 26(6): 22.[8] 谭瑞梅等. Hankel 矩阵的性质及其应用[J]. 郑州轻工业学院学报, 2005, 20(4): 97~99.[9] 杨闻起. 伴随矩阵的性质[J]. 宝鸡文理学院学报, 2003, 23(1): 20~21.[10] 王航平. 伴随矩阵的若干性质[J]. 中国计量学院学报, 2004, 15(3): 247~249.[11] 郑茂玉. 伴随矩阵的性质[J]. 南方冶金学院学报, 1991, 12(3): 55~60.[12] 徐淳宁. 关于伴随矩阵的推广[J]. 长春邮电学院学报, 1997, 15(4): 63~64.[13] 贾美娥. 关于矩阵的伴随矩阵[J]. 赤峰学院学报, 2009, 25(9): 16~17n m [14] 韩成茂. 伴随矩阵性质研究[D]. 山东: 山东大学, 2008.[15] 吕兴汉. 关于伴随矩阵性质的进一步讨论[J]. 2006, 22: 322~323.[16] 刘佑林. 伴随矩阵若干性质[J]. 湘南学院学报, 2009, 30(5): 31~32.[17] 肖翔, 许伯生. 伴随矩阵的性质[J]. 上海工程技术大学教育研究, 2007, (3): 48~49.[18] 张明善. 伴随矩阵的一个应用[J]. 西南民族学院学报. 自然科学版, 1996, 22(1): 123.[19] 蔡建乐. 用特征矩阵的伴随矩阵求解惯量主轴方向[J]. 大学物理, 1995, 14(9): 21~22.[20] 苗宝军, 赵艳敏. 高等代数中伴随矩阵性质的研究及其应用[J]. 考试周刊, 2009, 31:61.。

伴随矩阵的性质和应用

伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。

伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。

(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。

本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。

在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。

在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。

关键词：伴随矩阵可逆矩阵方阵性质1、伴随矩阵的定义定义 1.设ij A 是矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211中元素ij a 的代数余子式，则矩阵A *=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A212222111211称为A 的伴随矩阵。

伴随矩阵运算法则

伴随矩阵运算法则摘要：一、伴随矩阵的定义二、伴随矩阵的性质三、伴随矩阵的运算法则四、伴随矩阵的应用正文：伴随矩阵是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的秩、行列式、逆矩阵等密切相关。

伴随矩阵的运算法则可以帮助我们更好地理解这些概念，并在解决实际问题时发挥重要作用。

首先，我们需要了解伴随矩阵的定义。

伴随矩阵是一个与原矩阵相似的矩阵，它的元素是原矩阵的代数余子式。

具体来说，设A 是一个n 阶方阵，P 是A 的一个n 阶子矩阵，那么A 的伴随矩阵|A|P 是一个n 阶方阵，它的元素是P 的代数余子式。

伴随矩阵有许多重要的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解矩阵的性质。

例如，伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式，这意味着伴随矩阵的秩等于原矩阵的秩。

另外，伴随矩阵的迹等于原矩阵的迹，这意味着伴随矩阵的主对角线元素之和等于原矩阵的主对角线元素之和。

伴随矩阵的运算法则包括矩阵乘法、矩阵加法、数乘等。

这些运算法则可以帮助我们在解决实际问题时更方便地使用伴随矩阵。

例如，如果我们想要计算一个矩阵的行列式，我们可以使用伴随矩阵的行列式公式来计算。

另外，如果我们想要计算一个矩阵的逆矩阵，我们可以使用伴随矩阵的逆矩阵公式来计算。

伴随矩阵在许多领域都有广泛的应用，例如线性方程组、二次型、特征值、特征向量等。

在解决这些问题时，伴随矩阵可以提供一种更简洁、更高效的计算方法。

例如，在解决线性方程组时，我们可以使用伴随矩阵的方法来计算方程组的解。

在解决二次型问题时，我们可以使用伴随矩阵的方法来计算二次型的标准型。

在解决特征值、特征向量问题时，我们可以使用伴随矩阵的方法来计算特征值、特征向量。

总之，伴随矩阵是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的秩、行列式、逆矩阵等密切相关。

伴随矩阵的性质.doc

伴随矩阵的性质.doc
伴随矩阵（也叫伴随矩阵、伴随矩阵或伴随矩阵）是在线性代数中常用的概念之一。

在此文档中，我们将讨论伴随矩阵的一些基本性质及其应用。

一、伴随矩阵的定义
伴随矩阵是一个矩阵的矩阵。

对于任意n阶矩阵A，其伴随矩阵adj(A)定义为：
adj(A)=(Cij)T
其中Cij是矩阵A的余子式，即在第i行第j列元素上划掉所在行列后的行列式，T 表示矩阵的转置。

1．伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的n-1次方，即：
|adj(A)| = |A|n-1
2．如果矩阵A是可逆的，则其伴随矩阵也是可逆的，并且有：
3．矩阵A的伴随矩阵与其逆矩阵的关系为：
adj(A)·A-1 = A-1·adj(A) = |A|I
其中I为n阶单位矩阵。

4．如果矩阵A是对称矩阵，则其伴随矩阵也是对称矩阵。

5．矩阵A和其伴随矩阵的乘积是一个对角矩阵，其对角线元素为矩阵A每行的所有元素的余子式乘积：
A·adj(A) = (|A|C11 |A|C21 ··· |A|Cn1
|A|C12 |A|C22 ··· |A|Cn2
...
|A|C1n |A|C2n ··· |A|Cnn)
1．伴随矩阵可以用来求逆矩阵。

总之，伴随矩阵是一个非常有用的概念，它可以在各种不同的数学问题中发挥作用。

理解伴随矩阵的定义和性质，可以帮助我们更好地理解线性代数中其他的概念和定理。

伴随矩阵的性质及应用

式相等，从而对应的多项式是相等的，故（）式对一切数都成立，特别ｚ＝０时，有（ＡＢ） ‘ ＝ＢＡ．
性质１０若Ａ为正交矩阵，则Ａ也是正交矩阵．
性质４（Ａ）＝ｌＡｒＡ．
性质５若阶矩阵Ａ可逆，则（Ａ）＝）～＝Ａ．
ＩｎＩ
性质６设Ａ是阶矩阵（Ａ＝（Ａ）．
性质７设Ａ是，ｚ阶矩阵，则对任意数ｋ有（ｋＡ）＝Ａ．
ＤｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｎｔｈｅＰｒｏｐｅｒｔｉｅｓａｎｄＩｔ ’ ＳａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｆＡｄｊｏｉｎｔＭａｔｒｉｘ
ＳＵＮＦｅｉ，ＢＡＩＧｅｎ — ｚｈｕ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＩｎｎｅｒＭｏｎｇｏｌｉａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｆｏｒＮａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ，Ｔｏｎｇｌｉａｏ０２８０４３，Ｃｈｉｎａ）
第４期
孙飞等：伴随矩阵的性质及应用
（Ａ（）Ｂ（ｚ））＝Ｂ（ｚ）Ａ（），即有无穷多个ｚ使得（（ｚＥ＋Ａ）（ｚＥ＋Ｂ））＝（ｚＥ＋Ｂ）（ｚＥ＋Ａ），（）
而该等式两端矩阵的元素是关于ｚ的有限次多项式，这意味着有无穷多个数使得等式两端矩阵中对应的两个有限次多项
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｍａｔｒｉｘ；Ａｄｊｏｉｎｔｍａｔｉｒｘ；Ｐｒｏｐｅｔｒｙｍａｔｉｒｘ

伴随矩阵的性质及其应用

伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。

伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。

(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。

本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。

在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。

在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。

关键词：伴随矩阵可逆矩阵方阵性质1、伴随矩阵的定义定义 1.设ij A 是矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211中元素ij a 的代数余子式，则矩阵A *=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A212222111211称为A 的伴随矩阵。

伴随矩阵的性质及应用

一．伴随矩阵的定义及符号伴随矩阵是在求非奇异矩阵的逆矩阵时提出来的，1.代数余子式的定义为了定义伴随矩阵，需要先定义一个矩阵某一元素的代数余子式：在行列式 11111..................j ni ij inni nj nna a a a a a a a a MM M MM M 中划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列，剩下的2(1)n -个元素按原来的排法构成一个n-1级的行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ijij A M +=-为元素ij a 的代数余子式。

2.伴随矩阵的定义设ij A 是矩阵11111..................j n i ij in ni nj nn a a a A a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M M M M M M 中元素ij a 的代数余子式，矩阵1121112222*12.........n n n n nn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M M M 称为A 的伴随矩阵。

二．伴随矩阵的性质1.伴随矩阵的基本公式：**AA A A A E ==由行列式按一行（列）展开的公式立即得出：**000000d d AA A A A E d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M L 其中d A =。

这是伴随矩阵的一个基本公式，我们可以从该等式出发推导出一些有关方阵的伴随矩阵的性质，使我们对伴随矩阵有一个更加全面的认识和理解。

2.在公式**AA A A A E ==基础上推导出的其他性质（1）A 可逆当且仅当*A 可逆。

证明：若A 可逆，则A ≠0.由**AA A A A E ==知*A A E A⋅= 故*1A A A -= 两边取行列式得*1A AA-= 即*11n A A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 故*A 0≠，从而*A 可逆（2）1*n A A -=，其中A 是n ⨯n 矩阵证明：由**AA A A A E ==,知*n A A A =①.当时，有及，故②．当A时，知由引理得秩（A）+秩（）且秩（A），则秩（）综上（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报）。

m重弱伴随矩阵的性质

关键词：弱伴随矩阵；重弱伴随矩阵；质ｍ性
中图分类号：５．１０１１２
０预备知识
定义设Ａ＝（ ∈Ｍ（）为矩口）ｃ，
１ｍ重弱伴随矩阵的定义
定义阵１１Ａ＝（Ｍ（，称阶方． Ⅱ）Ｃ）则
：
ｌ（）一（）２Ａｋｌ。２Ａｋ
：
ｌ血Ａ一ＡＡＩＩＪｌ
ＩＩ — — ＡＡ — Ｉ４Ｉ４（１ｍ＿）
Ａ
ＩＡｌＩ：ＡＩ
（≥ ）ｍ２．
ｆ０＝；
证明（）Ｉ－，１若ｌ０由定理３１知
张慧，兴祥，学利，刘冯曹方颖
（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安７６０）１００
摘
要：出了ｍ重弱伴随矩阵的定义及一般形式，给并研究了ｍ重弱伴随矩阵的若干重要性质文献标识码：Ａ文章编号：０４６２２１）４０１－３１０－Ｘ（０００－０５００
第２９卷
第４期
延安大学学报（自然科学版）
ｏｍａｆａａｎｖｒｉＮｔｒｃｎｅＥｄｔｏｕｌｎｎＵｉｓｙ（ａａＳｉｃｉｉｎｏＹｅｔｕｌｅ
—
Ｖ１２Ｎ．ｏ．９ｏ４
ＤＣ２１ｅ．００
２０年１０１２月
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高考数学伴随矩阵与相关应用

高考数学伴随矩阵与相关应用矩阵作为一种非常实用的工具，在数学、物理、经济学等多个领域都有着广泛的应用。

而在高中数学学科中，矩阵也被纳入其中，成为常考的一个考点。

其中，伴随矩阵作为矩阵理论中的一种重要概念，也是高考数学的重点之一。

在这篇文章中，我们将详细讲解伴随矩阵的定义、性质以及相关的应用，帮助大家更好地掌握这一知识点。

伴随矩阵的定义伴随矩阵，又称为伴随矩阵或共轭矩阵，是一个矩阵理论中的特殊矩阵。

对于一个n阶复矩阵A，设其伴随矩阵为A*。

那么A*的定义如下：A* = (Cij)T其中，Cij是矩阵A的第i行第j列元素的代数余子式，即去掉A的第i行和第j列后所剩余的n-1阶行列式的符号因子。

而在这个定义中，我们限定了矩阵A为复矩阵，是因为当矩阵A为实矩阵时，伴随矩阵就变成了A的转置矩阵。

伴随矩阵的性质了解了伴随矩阵的定义之后，我们再来看看伴随矩阵的一些性质。

1. 对于任意n阶矩阵A，其伴随矩阵A*也是n阶矩阵。

2. 若矩阵A为正则矩阵（即可逆矩阵），则有A* = A-1。

这个性质也是伴随矩阵应用最广泛的地方之一。

3. 若矩阵A为对角矩阵，即A的非零元素只存在于其主对角线上，那么A*也是一个对角矩阵，并且A和A*对角线上的元素相同。

4. 对于任意矩阵A、B和标量k，有(A+B)* = A* + B*和(kA)* = kA*。

5. 若矩阵A的秩为r，则A与其伴随矩阵A*乘积的行列式为det(AA*) = dr。

这个性质的应用非常广泛，可以用于求解线性方程组以及判断矩阵的可逆性等问题。

伴随矩阵的应用了解了伴随矩阵的定义和性质之后，我们再来看看它在实际应用中的作用。

1. 解线性方程组对于一个由n个线性方程组成的方程组Ax=b，其中A为n阶矩阵，x和b都是n维列向量，如果矩阵A是一个可逆矩阵，那么方程组的解为x=A-1b。

但当矩阵A不可逆时，我们可以使用伴随矩阵求解方程组的解。

具体来说，我们将矩阵A的伴随矩阵A*乘以b向量，得到c 向量。

伴随矩阵的性质及其应用

伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。

伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。

(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。

本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。

在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。

在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。

关键词：伴随矩阵可逆矩阵方阵性质1、伴随矩阵的定义定义1.设是矩阵A =中元素的代数余子式，则矩阵A =ij A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211ij a *称为A 的伴随矩阵。

伴随矩阵的性质

编号2009011118毕业论文（设计）（ 2013 届本科）论文题目：伴随矩阵的性质学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级：09级本科1班整理姓名：魏瑞继指导教师：俱鹏岳职称：副教授完成日期：2013年 4 月20日目录陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 ................... 错误!未定义书签。

摘要.. (2)关键词 (2)0引言 (2)1主要结论 (3)1.1伴随矩阵的基本性质 (3)1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (6)1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (7)1.4两伴随矩阵间的关系性质 (8)2应用举例 (9)例1 (9)例2 (10)结束语................................................... 错误!未定义书签。

参考文献 (10)致谢..................................................... 错误!未定义书签。

陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

整理签名：二〇一二年十二月二十日伴随矩阵的性质魏瑞继（陇东学院数学与统计学院甘肃庆阳 745000）摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例.关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵0引言伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广.定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ⨯=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即ij A = (1)i j ij M +-(i,j=1,2,……,n).定义2[2] 方阵()ij n n A a ⨯=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵A *= 112111222212n n n n nn A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为矩阵A 的伴随矩阵.1主要结论1.1伴随矩阵的基本性质性质1 若A 是n 阶方阵(2)n ≥,那么()r A *= (A)1(A)10(A)1n r n r n r n ⇔=⎧⎪⇔=-⎨⎪⇔<-⎩.证明（1）⇒）设()r A n *=,设()r A n <,则0A =，AA A E *=0=由()r A n *=知A *为可逆矩阵，从而推得0A =，即A 为零矩阵.于是A *也为零矩阵，与()r A n *=矛盾，所以()r A n =;(2) ⇒）如果()1r A *=,则A *中至少有一个元素ij A ≠0，即A 中至少有一个1n - 阶子式不为0，故()1r A n ≥-.而r(A *) =1<n ，所以()1r A n =-;(3) ⇒）如果()0r A *=,即A *为零矩阵，而A *中元素均为A 中的1n -阶代数余子式，从而A 中的所有1n -阶子式全为0，所以()1r A n <-;性质2[4]若矩阵A 为非奇异阵，k 为常数（k ≠0），则1()n kA k A *-*=. 证明由A *=1A A -及111()kA A k--=可得 111()()n kA kA kA k A A k*--==⋅=111n n k A A k A ---*=. 性质3 （1）无论A 是奇异阵还是非奇异阵，等式1n A A-*= (2n ≥)成立[5]; （2）设A 为n 阶方阵，则2()n A A A -**=[6].证明（1）当A 是奇异阵时，0A =，因为A *=1A A -0=为零阵.所以 10A A A *-==，从而等式1n A A -*= (2n ≥)成立.当A 是非奇异阵时，0A *≠，由AA A E *=得n A A A E A *==.所以 1n A A -*=（2n ≥）.（2）当A ≠0时，()A **=111()()n A A A A --*-*==121()n n A A A A A ---=. 当A =0时，知()1r A n ≤-，若()1r A n =-，则()11r A n *=<-.由性质1知r (()A **)=0,从而()A **=0=2n AA - 若()1r A n <-，则r(A *)=0，即A *=0故()A **=0=2n A A -.性质4 设A ，B 为n 阶方阵，则()AB B A ***=.证明（1）当0A ≠，B ≠0时，由A *=1A A -可得()AB *=11111()AB AB A B B A B B A A B A -----**===.（2）当0A =，B =0时，令()A x xE A =+，()B x xE B =+只要x 充分大，()A x ，()B x 都可逆，所以(()())(())(())A x B x B x A x ***=上式两端矩阵中的元素都是关于x 的多项式，由于两端对应元素相等，所以对应元素是相等的多项式，即上式对任意的x 都成立.特别的取x =0，即得()AB B A ***=.推论设12,,,s A A A 均为n 阶方阵，则1221()s s A A A A A A ****=.性质5 设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则有220(1)A B 0A 0(1)A 0n n B B ***⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 证明因为-1-10A 0B 0A0B ⎡⎤⎡⎤⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-1-1AA 00B B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=00n n E E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2n E 所以0A 0B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦可逆，且-10A 0B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-1-10B A 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 又有220A 0=(1)=(1)A 00An n B B B -- 由-1A =A A *可得0A 0B *⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-10A 0A 00B B ⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦=2-1-10B (1)A A0n B ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ =22-1-10(1)A B (1)A A 0n n B B ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=220(1)A B (1)A 0n n B **⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 推论设A ，B ，C 均为n 阶可逆矩阵，则有 22200(1)A C 00A 000(1)A C B 000(1)C A 00n n n B B C B ****⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 性质6[4] 若A 为n 阶方阵，则()()T T A A **=.证明 (1)当A 为非奇异矩阵时，有A ≠0，T A =A ≠0，10n A A-*=≠即T A ，A *也为非奇异阵.由A *=1A A -可得11()()()T T T A A A A A *--==又 11(A )=A (A )=A (A )T T T T *--因为11A (A )=A A =T T T T E E --=（）所以1(A )T -=1A T -（）即(A )T *=A T *（）.(2)当A 为奇异阵时，设A = 111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则T A 的第i 行第j 列元素为ij a ，()T A *的第i 行第j 列元素为ij A ，A *的第i 行第j 列元素为ji A ，()T A *的第i 行第j 列元素为 ij A (i,j=1,2,……,n )，所以()T A *= ()T A *.性质7 (1)设A 是n 阶非奇异阵，则111()()A A A A-**-== ; (2)设A 是n 阶非奇异阵，则111()()T T T A A A A*--*⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦. 证明 (1)由A *= 1A A -得 1111111()()()A A A A A A A*-----=== 又11111()()A A A A A-*---== 所以11()()A A -**-= =1A A . (2)由性质6得11()()TT A A *--*⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦由(1)得11()()T T A A -**-⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦. 又因为11()()T T T T A A A A E E --===, 所以11()()T T A A --=11()()T T A A -*-*⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦即1-1()()T T A A *-*⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦ 又11111111()()()()T T T T T A A A A A A A*-------⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 所以111()()T T T A A A A*--*⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦. 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质性质8 若A 是可逆矩阵，λ是其特征值，α是A 的属于特征值λ的特征向量，则 A *的特征值为Aλ，α是A *的属于特征值Aλ的特征向量.证明因为A 是可逆矩阵，所以λ≠0，在A αλα=两边左乘A *得A A A αλα**= 即 A A A αλα**=. 又AA A E *=，所以 A E A αλα*= 即1A A A E αλααλ*-==. 所以A λ为A *的特征值，α是A *的属于特征值A λ的特征向量.性质9 设A 是不可逆矩阵，若λ是A 的非零特征值，α是A 的属于λ的特征向量，则α是A *的属于特征值0的特征向量.证明由条件可知A αλα=(λ≠0)，两边左乘A *得A A A αλα**= 即A E A αλα*=. 由于A =0，λ≠0，所以0A αα*=⋅即α是A *的属于特征值0的特征向量.推论设A 是不可逆矩阵，若λ是A *的非零特征值，α是A *的属于λ的特征向量，则α是A 的属于特征值0的特征向量.1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质性质10[7] (1)若A 是n 阶对称矩阵，那么A *也是n 阶对称矩阵；(2)若A 是n 阶反对称矩阵，那么当n 是偶数时，A *也是n 阶反对称矩阵；当n 是奇数时，A *是n 阶对称矩阵.证明 (1)因为A 是n 阶对称矩阵，所以T A =A .又()()T T A A A ***==，所以A *是n 阶对称矩阵.(2)因为A 是n 阶反对称矩阵，所以T A =A -.又1()()()(1)T T n A A A A ***-*==-=-当n 是偶数时，有1(1)n A A -**-=-，所以A *也是n 阶反对称矩阵；当n 是奇数时，有1(1)n A A -**-=，即()T A A **=，所以A *是n 阶对称矩阵.性质11[8] 若A 是n 阶正定矩阵，则A *也是n 阶正定矩阵 .证明若A 正定，则A 为对称矩阵，由性质10知A *也为对称矩阵.其次可得A 的所有特征值λ均大于0，由性质8知A *的所有特征值也大于0，即A *为正定矩阵.性质12[9]若A 是正交矩阵，则A *也是正交矩阵 . 证明设A 是正交矩阵，则有T T A A AA E ==又A *()T A *= 1()()T T A A A A E E E E ****-====所以A *也是正交矩阵.性质13 若A 是上(下)三角矩阵，则A *也是上(下)三角矩阵.证明设A =()ij a 是上三角矩阵，则当i>j 时，有ij a =0.当i<j 时，ij a 的余子式ij M 为n-1阶的三角行列式，且主对角线上的元素至少有一个为零，所以ij M =0(i<j)，即有ij A =0(i<j).故A *也为上三角矩阵.同理可证，若A 是下三角矩阵，则A *也为下三角矩阵.推论当A 是对角矩阵时，A *也是对角矩阵.1.4两伴随矩阵间的关系性质性质14 若方阵A 等价于B ，则A *等价于B * .证明因为A 等价于B ，则存在可逆矩阵P ，Q 使得PAQ B =两边取伴随矩阵得()PAQ B **=即有Q A P B ****=.因为P ,Q 可逆，所以P *，Q *也可逆，因此A *等价于B *.性质15[10] 若A 与B 相似，则A *与B *也相似.证明当A 可逆时，因为A 与B 相似，则存在可逆矩阵P ，使得1P AP -=B . 两边取行列式得A B =，所以B 也可逆，即111P A P B ---=. 上式两边分别乘以,A B 得111P A A P B B ---=.即1P A P B -**=，所以A *与B *相似.性质16 若A 与B 合同，且A 与B 可逆，则A *与B *也合同.证明因为A 与B 合同，所以存在可逆矩阵P ，使得T P AP B =.又A 与B 可逆，上式两边取逆，得 1111()T P A P B ----=即1111()T P A P B ----=.令1()T P -=C ，则1T P C -=，所以11T C A C B --=.又由1111()T P A P B ----=得 2P A B ⋅= 所以211T P A C A C B B --⋅= 即()()T P C A P C B **⋅=.令Q=P C ，则T Q A Q B **=所以A *与B *合同.2应用举例例1 设A 、B 、C 均为3阶可逆矩阵，且A =3，B =2，C =5A *=110012009-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B *=400110211⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，C *=500050001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求00000A BC *⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解由性质5的推论可得000000A B C *⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=99900(1)3(2)0(1)350(1)(2)500C B A ***⎡⎤-⋅⋅-⎢⎥-⋅⋅⎢⎥⎢⎥-⋅-⋅⎣⎦=00601501000C B A ***⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0000003000000000030000000000600060000000001515000000030151500010100000000010200000000090000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 例2 设A =100130225012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，A *是A 的伴随矩阵，求1()T A -*⎡⎤⎣⎦. 解因A =10013022512=14-≠0，所以A 可逆由性质7可得 11()T T A A A -*⎡⎤==⎣⎦10040014010242061035022⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 结束语这篇论文在伴随矩阵的基本性质的基础上，较为详细地归纳并讨论了伴随矩阵的性质，尤其是将矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系做成了充要条件，并给出了相应的证明，而关于伴随矩阵秩的其它性质还很多，限于篇幅，在此就不一一赘述.但我的学识有限，所做工作仍有许多不足之处.参考文献[1]李明.伴随矩阵秩的研究[J].陕西理工学院学报，2008.6.7-8.文档可能无法思考全面，请浏览后下载![2]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2007.6.第五版.[3]张禾瑞.高等代数同步辅导及习题全解[M].徐州：中国矿业大学出版社，2008.4.[4]陈艳凌，许杰.矩阵A的伴随矩阵A 的性质[J].齐齐哈尔师范高等专科学校学报，2007年第2期，2007.2.151-153.[5]肖翔，许伯生.伴随矩阵的性质[J].上海工程技术大学教育研究，2007.3.52-53.[6]郑群珍，封平华.伴随矩阵的性质及应用研究[J].河南教育学院学报（自然科学版），第20卷第3期，2011.9.13-14.[7]王航平.伴随矩阵的若干性质[J].中国计量学院学报，2004.3.246-247.[8]朱焕，关丽杰，范慧玲.有关伴随矩阵的性质[J].高师理科学刊，第28卷第3期，2008.5.22-23.[9]任化民.伴随矩阵的性质[J].工科数学，第14 卷第1期，1998.2.155-157.[10]孙红伟.伴随矩阵性质的探讨[J].高等函授学报（自然科学版），第20卷第3期，2006.6.37-38.The properties of adjoint matrixWEI Ruiji（School of Mathematics and Statistics,Longdong University Gansu Qingyang745000）Abstract: Adjoint matrix is an important basic concepts in matrix theory, we studied the several classes of adjoint matrix of the matrix,obtain some valuable conclusions and give some applied examples.Key words:Adjoint matrix; Partitioned matrix; Orthogonal matrix; Similar matrix 致谢我的论文是在我的指导老师俱鹏岳副教授悉心指导下完成的，在论文的选题、资料查询及定稿过程中，给予我无私的帮助和悉心的指导，他的教诲将使我终身受益.11 / 11。

伴随矩阵的性质和应用

伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。

伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。

(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。

本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。

在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。

在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。

关键词：伴随矩阵可逆矩阵方阵性质1、伴随矩阵的定义定义 1.设ij A 是矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211中元素ij a 的代数余子式，则矩阵A *=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A212222111211称为A 的伴随矩阵。

伴随矩阵的性质探讨

伴随矩阵的性质探讨伴随矩阵的性质探讨第二章伴随矩阵的性质探讨伴随矩阵是线性代数中的一个重要的基本概念，但教材中及大学学习中所给出的主要应用是在求方阵的逆矩阵上，而关于伴随矩阵本身的性质及其与原矩阵之间的关联，没有系统的讨论和研究．本文主要通过查找现有资料，整理归纳出伴随矩阵的一系列性质．主要研究内容：n阶矩阵A的伴随矩阵的行列式与秩；n阶矩阵A的伴随矩阵的可逆性，对称性，正定性，正交性，和同性，特征值，特征向量及其与原矩阵的关联；伴随矩阵之间的运算性质以及各性质在题目中的综合应用．一．伴随矩阵的定义a11a21设Aij是ｎ阶矩阵A...an1a12a22...a22............a1n a2n中元素a的代数余子式，称矩阵...annA11A12 (1)A21A22 (2) (3)为A的伴随矩阵． ...Ann相关内容：《高等代数》（王萼芳石生明版）定义９在一个ｎ阶行列式Ｄ中任意选定Ｋ行Ｋ列（Ｋ≤ｎ），当Ｋ＜ｎ时，在Ｄ中划去这Ｋ行Ｋ列后余的元素按原来的次序组成的ｎ－ｋ级行列式M'称为Ｋ级子式Ｍ的余子式，其中Ｋ级子式Ｍ为选定的Ｋ行Ｋ列（Ｋ≤ｎ）上的K2个元素按照原来的次序组成的一个Ｋ级行列式．（1）如果在M'前面加上符号......ik)(j1j2......jk)后称作Ｍ的代数余子式．二．伴随矩阵的性质a11a21A设...an1a12a22...a22............a1n A11a2nA* A12......ann A1nA21A22 (2) (3)...Ann2.1 伴随矩阵的基本性质定理2.1 ｎ阶矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化（即A0），当A可逆时，，其中A*为A的伴随矩阵．设A*为A的伴随矩阵，则AA*A*A AE 证明：由行列式按一行（列）展开的公式0A..................aA kikj A,k1AA AA 0AE...A注：A可逆时，A*AA 1 证毕．2.2 伴随矩阵的行列式A*(i)若A可逆，则A0，由性质１得，AA*AE,两边同时取行列式得即AA*A，又A0, 则A*A（ii）若A不可逆，则A*A0 综上所述，A* A 证毕．2.3伴随矩阵的秩的性质研究矩阵的秩是矩阵的重要特征定义：设在矩阵A中有一个不等于0的ｒ阶子式Ｄ，且所有ｒ＋１阶子式（如果存在的话）全等于0，那么Ｄ称为矩阵A的最高阶非零子式，数ｒ称为矩阵A的秩，记做R(r)．求矩阵A1解：由A14的秩．84＝0，A的一个二阶子式8故R(A)2．定理2.3 n n矩阵A的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n.(《高等代数》王萼芳石生明版)若用R(A)表示矩阵A的秩,则有以下结论:设A是n阶矩阵,则R(A*)1,R(A)n;R(A)n1; R(A)n 1.证明:① R(A)n时,显然A0，由性质2知0,故R(A)n.② R(A)n1时,由定理知A0,性质1知AA*AE0, 即AA*0和A*的列向量全都为方程组AX0的解,又R(A)n1, 则其次方程组AX0的解向量组的和为n(n1) 1. 知A*的列秩为1,即R(A*) 1.i,j1,2,......n）③ R(A)n1,A*中任一元素A（都是0, ij因为A中不存在非零的n1阶子式,故R(A*)0. 证毕．2.4 伴随矩阵的伴随矩阵的性质为n阶矩阵,A*为A的伴随矩阵,则有特别情况有:当n2时,（A*）*证明:()i)当A可逆时,A0;又由性质1AA*A*A AE知(两边同时左乘（A*）1A*(AA1) 1 A*(当A不可逆时,A0,(A*)*0.2.5 n阶矩阵的伴随矩阵的可逆性可逆的定义:n阶矩阵称为可逆的,如果有AB BA E.(E为单位矩阵)．伴随矩阵可逆性与原矩阵的可逆性有以下联系：性质５可逆的充分必要条件是A*可逆．证明：必要性．由性质１知，AA*A*A AE．若A可逆，则A非退化，即A0.（两边同时消去A,得由以上的可逆定义可知 A*是可逆的．充分性．即证A*可逆，则A可逆，此命题与其逆否命题＂若A不可逆，则A*也不可逆＂是等价的．由矩阵不可逆可知A0,则变为证明若A0,则A*0．这里我们用反正法．假设A*0,则A*可逆．由性质１知AA*AE０（两边同时右乘A*）有AA*(A*)1０得A＝0，所以A*=0，所以A*0与假设的A*0矛盾．故假设不成立，原命题成立．综上所述，A可逆的充分必要条件是A*可逆．证毕．2.6 n阶矩阵A的伴随矩阵的对称性对称定义：矩阵A...an1a12a22...a22............a1n a2n为对称矩阵，如果a a，...anni,j1,2,......n，且有A A性质６．若ｎ阶矩阵A是对阵矩阵，则其伴随矩阵A*也为对称矩阵．证明如下：设为对称矩阵，可知A A,aij aji，且Aij Aji，可知A(A).即证得A*为对称矩阵．证毕．性质７．设A非退化，若A*为对称矩阵，则A也为对称矩阵．即证A A'．证明如下：A*对称可知A*(A*)'． A(A1)1(A [(A A'即A为对称矩阵．证毕．2.7 伴随矩阵 A*与原矩阵A的正定性之间的联系A)]((A))矩阵正定的定义：实对称矩阵A为正定的，如果二次型X'AX正定．又有，实二次型f x1,x2,......xn正定，如果对于任意一组不全为零的实数c2,都有f c1,c2,0性质８若ｎ阶矩阵A是正定的，则A*也是正定的．证明：因为A是正定的，所以存在可逆矩阵B，使得 B'AB E, 则(B'AB)*E*E'***'****'又（BAB）BA(B)BA(B)E由正定的定义知A*也是正定矩阵．证毕．2.8 伴随矩阵A*的正交性与其原矩阵n阶矩阵A的正交性的关系矩阵正交的定义：n 阶实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A E．性质9 若A为正交矩阵，则A*也为正交矩阵．证明：A为正交矩阵，知A'A E， A*(A*)'A*(A')*(A'A)*E* E 由正交的定义知，A*也为正交矩阵．证毕．2.9 伴随矩阵A*的特征值的性质性质10 设为n阶矩阵A（A可逆）的特征值，则其伴随矩阵A*的特征值1与的关系为1证明：设是A的特征值，是A的属于特征值A的特征向量．则有A两边同时左乘A*有A*A A*A*由性质１AA*AE知上式变为A A*得A*由A的特征值的性质可知证毕．即为A*的特征值．推广：性质11 若1，2，．．．．．．值，则其伴随矩阵的特征值为ｎ为ｎ阶矩阵A（A可逆）的特征，．．．．．．．（i1,2,......n）是A的特征向量）证明：由题意知有A i i i(i1,2,．．．．．．ｎ两边左乘A*，知A*A i A*i i 即A i iA i ，得为A*的特征值．，．．．．．．即A*的特征值是证毕．．（i1,2,......n）2.10 伴随矩阵的运算性质性质12 (A')*(A*)'.a21证明：设ｎ阶矩阵A...an1a12a22...a22............a1n a2n则 ...annA11A12 (1)A21A22 (2) (3)An1A11(A*)'21......Ann An1A12A22...An2...............Anna11a12'A (1)a21a22 (2)............an1A11(A')*21......ann An1A12A22...An2...............Ann其Aij(i,j1,2,......n)是A中元素aij的代数余子式，由结果分析知(A')*(A*)'．证毕．性质13 设A为n n1阶方阵，k为任意非零常数,则kA证明设A aij，，可知 kannA. kkn1A11n1性质14 (AB)*B*A* 证明：由性质１知，A*知(AB)*AB(AB)1ABB1A1AB*A1B*A* 证毕．......Am(m2)，则推广性质15 ｎ阶矩阵A1,A2，(A1,A2,......Am)(Am)(Am1)......A2A1,证明过程同性质１３的过程．推广性质16 (Am)*(A*)m 证明：令A1A2......Am A，则AA1A2......Am(A1A2......Am)(Am)(Am1)......A2A1(A)．性质１7 上（下）三角矩阵的伴随矩阵仍为上（下）三角矩阵.a11a21a n1a12a22an2,当i j时，aij0.直接计算得，ann证明设A aij n nA0,iA21A220, Ann则A*亦为上三角矩阵.同理可证，若A为下三角矩阵，则A*也为下三角矩阵. 证毕．性质18 若矩阵A与B合同，且A与B可逆，则A*与B*也合同.证明因为A与B合同，所以存在可逆矩阵P使PTAP B.又A与B可逆，则有 ,即CA1CT B 1.其中C P 1.又PTAP PA B,则PC AA1PC BB1,即QTA*Q B*,其中Q PC是可逆矩阵.故A*与B*也合同.三.伴随矩阵的性质在题目中的综合应用41 例3.1 设A00 求(A3E) 1 5040005001300 21 解：A3E0200A3E111 2 又(A3E)0000E1例3.2 设三阶实数矩阵A(A非退化)的特征值为11,24,3 1. 求①2(A1)23A* ②2A*A2的值.此题目应用知识:A1,f(A),A*与A的特征值的关系．解:由题目条件先知为A的特征值,则性质10可知，A*的特征值为为A1特征值,f()为f(A)的特征值．①设x为A的特征向量，则知Ax x，得（2A）x2x，3Ax3则(2(A1)23A*)x(又有A12,31(4)(1) 4. 然后将４代入()，得到式子(将1，2，3分别代入(*)得2(A1)2-3A*的特征向量分别是110，2②设x为A特征向量，则(2A*)x2所以(2A*A2)x(，可知(2A*)的特征值分别为９，１４，－７．故，2A*A2914（-7）-882．。

关于伴随矩阵的几个结论

关于伴随矩阵的几个结论1、伴随矩阵是一种特殊的矩阵，它的元素和原来矩阵的元素具有一定的关系。

如果A是m*n 矩阵，则它的伴随矩阵A~是n*m矩阵，且满足AA~=A~A=|A|I，其中|A| 是行列式，I 是单位矩阵。

2、伴随矩阵的性质及其定义决定了它是要满足AA~=A~A=|A|I这样一系列条件的。

由此，借此原理，当原矩阵 A 不可逆时，它的伴随矩阵A~也必然不存在。

3、由于伴随矩阵是特殊的矩阵，其元素可由原矩阵来推导，也就是说，可以把伴随矩阵看作是原矩阵的变形，它们存在着一定的关系。

4、对任意一个方阵 A，其复数的伴随矩阵A~ = conj(A^T)，其中 conj(A^T) 表示矩阵A^T的共轭矩阵，即将A^T的每个元素的复数取其共轭数。

同样的，实数的伴随矩阵A~ =adj(A^T)，其中adj(A^T) 表示A^T的伴随矩阵。

5、伴随矩阵和原矩阵的求解有着很大的关系，给定一个方阵A，可以使用它的伴随矩阵A~来求解A，或者可以使用A来求解A~。

同时，对于一个解析式，可以使用它的伴随矩阵来求解。

6、由于伴随矩阵与原矩阵有着一定的关系，所以可以用来分析矩阵是否可逆，可逆矩阵的伴随矩阵与其相等；而不可逆矩阵的伴随矩阵不存在。

7、伴随矩阵的行列式的值与原矩阵的行列式的值具有一定的关系，即|A~|=|A|^(-1)。

因此，如果矩阵A的行列式|A|≠0，那么它的伴随矩阵A~也可以求出，它具有非常重要的解析意义。

8、伴随矩阵可以广泛应用于计算机科学、信息科学、数学建模和模式识别等领域，主要用于矩阵的逆的求解，也可用于解决线性方程组以及复数的代数求解。