广州市2002年高中阶段学校招生考试

广州市2002年高中阶段学校招生考试
数学
（本卷满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题， 共35分）
一、选择题（每小题有四个选项，其中有且仅有一项是符合题意的，本题共有13小题，第1~4题每小题2分，第5~13题每小题3分，共35分）
1．0.000 000 108这个数,用科学记数法表示为 ( )
（A ）9
1.0810-⨯ （B ）8
1.0810-⨯ （C ）7
1.0810-⨯ （D ）6
1.0810-⨯
2
．计算)
2
10.2512-⎛⎫
⨯-+
⎪⎝⎭
所得的结果是 （ ）
（A ）2 （B ）
54 （C ）0 （D ）17
16
3．如果两圆只有一条公切线，那么这两个圆的位置关系是 （ ） （A ）外离 （B ）外切 （C ）相交 （D ）内切
4．如图1，若四边形ABCD 是半径为1cm 的⊙O 的内接正方形，则图中四个弓形（即四个阴影部分）的面积和为 （ ）
（A ）()222cm π- （B ）()221cm π- （C ）()2
2cm π- （D ）()2
1cm π-
5
．函数y =
x 的取值范围是 （ ） （A ）x>-4 （B ）x>1 （C ）x ≥-4 （D ）x ≥1
6．如果已知一次函数y=kx+b 的图象不经过第三象限，也不经过原点，那么k 、b 的取值范围是 （ ）
（A ）k>0且b>0 （B ）k>0且b<0 （C ）k<0且b>0 （D ）k<0且b<0
7．若点()()()1232,11,y y y --、，、都在反比例函数1
y x
=-的图象上，则 （ ） （A ）123y y y >> （B ）213y y y >> （C ）312y y y >> （D ）132y y y >>
8．抛物线245y x x =-+的顶点坐标是 （ ）
（A ）（-2，1） （B ）（-2，-1） （C ）（2，1） （D ）（2，-1）
9．某装满水的水池按一定的速度放掉水池的一半水后，停止放水并立即按一定的速度注水，水池注满后，停止注水，又立即按一定的速度放完水池的水。

若水池的存水量为v （立方米），放水或注水的时间t （分钟），则v 与t 的关系的大致图象只能是 （ ）
10．直线y x =与抛物线22y x =-的两个交点的坐标分别是 （ ）
（A ）（2，2）（1，1） （B ）（2，2）（-1，-1）
（C ）（-2，-2）（1，1） （D ）（-2，-2）（-1，1）
11．如图3，若C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 上的任一点（端点除外），则 （ ） （A ）CB AC DB AD ⋅<⋅ （B ）CB AC DB AD ⋅=⋅ （C ）CB AC DB AD ⋅>⋅
（D ）CB AC DB AD ⋅⋅与大小关系不确定
12．在一次向“希望工程”捐款的活动中，若已知小明的捐款数比他所在学习小组中13个人捐款的平均数多2元，则下列的判断中，正确的是 （ ）
（A ）小明在小组中捐款数不可能是最多的 （B ）小明在小组中捐款数可能排在第12位
（C ）小明在小组中捐款数不可能比捐款数排在第七位的同学的少 （D ）小明在小组中捐款数可能是最少的
13．若12⊙⊙o o 、的半径分别为1和3，且1⊙o 和2⊙o 外切，则平面上半径为4且与12⊙⊙o o 、都相切的圆有（ ）
（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个
第Ⅱ卷（非选择题，共115分）
二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分）
14．如图4，AB//CD ，若∠ABE=120°，∠DCE=35°，则∠BEC=_________________。

15．过△ABC 的顶点C 作边AB 的垂线，如果这垂线将∠ACB 分为40°和20°的两个角，那么∠A 、∠B 中较大的角的度数是______________。

16．如图5，在正方形ABCD 中，AO ⊥BD ，OE 、FG 、HI 都垂直于AD ，EF 、GH 、IJ 都垂直于AO ，若已知1AIJ S ∆=，则ABCD S 正方形=________________。

17．方程5x -=__________________。

18
这组学生成绩的中位数是______________。

19．在平坦的草地上有A 、B 、C 三个小球，若已知A 球和B 球相距3米，A 球与C 球相距1米，则B 球与C 球可能相距______________米。

（球的半径忽略不计，只要求填出一个符合条件的数）
三、（本题满分8分）
20．已知：如图6，A 是直线l 外的一点。

求作：（1）一个⊙A ，使得它与l 有两个不同的交点B 、C ； （2）一个等腰△BCD ，使得它内接于⊙A 。

（说明：要求写出作法。

）
四、（本题共有2个小题，每小题9分，共18分）
21．解方程243
311
x x x -=-++
22．在半径为27m 的圆形广场中央点O 的上空安装了一个照明光源S ，S 射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB 的顶角为120°（如图7）。

求光源离地面的垂直高度SO （精确到0.1m ）
2.236==，以上数据供参考。

）___________
五、（本题满分13分）
23．在图8的方格纸上有A 、B 、C 三点（每个小方格的边长为1个单位长度）。

（1）在给出的直角坐标系中（或舍去该直角坐标系，在自己另建立适当的直角坐标系中）分别写出点A 、B 、C 的坐标；
（2）根据你得出的A 、B 、C 三点的坐标，求图象经过这三点的二次函数的解析式。

六、（本题满分13分）
24．如图9，⊙O 的弦AB 、CD 的延长线相交于点E
请你根据上述条件，写出一个正确的结论（所写的结论不能自行再添加新的线段及标注其它字母），并给出证明。

（证明时允许自行添加辅助线）
七、（本题满分15分）
25．当a 取什么数值时，关于未知数x 的方程2
410ax x +-=只有正实数根？
八、（本题满分15分）
26．如图10，在△ABC 中，∠B=90°，AB=4，BC=3，O 是AB 的中点，OP ⊥AB 交AC 于点P 。

（1）证明线段AO 、OB 、OP 中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度；
（2）过线段OB （包括端点）上任一点M ，作MN ⊥AB 交AC 于点N 。

如果要使线段AM 、MB 、MN 中任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么请求出线段AM 的长度的取值范围。

九、（本题满分15分）
27．某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a(a>0)个成品，且每个车间每天都生产b(b>0)个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，星期三至星期五检验另两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同。

（1）这若干名检验员1天检验多少个成品？（用含a 、b 的代数式表示） （2）试求出用b 表示a 的关系式；
（3）若1名质检员1天能检验5
4
b 个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？
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参考答案
1．C 2．A 3．D 4．C 5．B 6．C 7．B 8．C 9．A 10．B
11．A 12．B 13．D 14．95° 15．70 16．256 17．x=5 18．80分 19．3 20．（1）作法：①在l 外取一点E ，使点E 、A 在l 的两侧
②以点A 为圆心，AE 长为半径，作圆交l 于B 、C 两点。

则⊙A 即为所求。

（2）①以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交⊙A 于点D ， ②连结BD 和CD 。

则△BCD 即为所求。

（其它作法只要符合要求，均视为正确）
21．解：去分母，得()2
4313x x -=+-，
整理，得2
340x x --=， 解之，得124,1x x ==-。

经检验，x=－1是增根。

∴原方程的根是x=4
22．解：在△SAB 中，SA=SB ，∠ASB=120° ∵SO ⊥AB ，∴O 为AB 的中点。

且∠ASO=∠BSO=60°。

在Rt △ASO 中，OA=27m,
∴)(6.15393
3
276027m ctg ASO ctg OA SO ≈=⋅
=︒⋅=∠⋅=。

答：光源S 离地面的垂直高度为15.6m 。

23．解法一（在所给的直角坐标系中计算） （1）点A 的坐标是（2，3），点B 的坐标是（4，1），点C 的坐标是（8，9）。

（2）设所求的二次函数解析式为：2
y ax bx c =++。

把点A 、B 、C 的坐标分别代入上式，得：
423,1641,6489。

a b c a b c a b c ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩ 解之，得124,9。

a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪
⎩
∴所求的二次函数解析式为2
1492
y x x =
-+。

解法二（在以B 为原点，另建的直角坐标系中计算） （1）以B 为原点，建立如图所示的直角坐标系。

点A 的坐标是（－2，2）， 点B 的坐标是（0，0）， 点C 的坐标是（4，8）。

（2）设所求的二次函数解析式为：
2y ax bx c =++。

把点A 、B 、C 的坐标分别代入上式，得：
422,0,
1648。

a b c c a b c -+=⎧⎪
=⎨⎪++=⎩ 解之，得1,20,0。

a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪
⎩
∴所求的二次函数解析式为2
12
y x =。

解法三（在以点A 为原点，另建的直角坐标系中计算） （1）以A 为原点，建立如图所示的直角坐标系， 点A 的坐标是（0，0）， 点B 的坐标是（2，－2）， 点C 的坐标是（6，6）。

（2）设所求的二次函数解析式为：
2y ax bx c =++
把点A 、B 、C 的坐标分别代入上式，得：
0,422,3666。

c a b c a b c =⎧⎪
++=-⎨⎪++=⎩ 解之，得1,22,0。

a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪
⎩
∴所求的二次函数解析式为2
122
y x x =
-。

（本答案仅列出三种解法。

）
六、可以得出的结论及证明如下： （1）EA ·EB=EC ·ED 证明：连结AD 、BC 。

∵∠A=∠C ，∠E=∠E ， ∴△AED ∽△CEB 。

∴
AE ED
CE EB
=。

即 AE ·EB=CE ·ED 。

（2）AE>DE 。

证明：连结AD 、BD 、BC ，
∵∠1是△BCD 的外角，∠C 是△BCD 的内角， ∴∠1>∠C 。

而∠ADE>∠1，∠C=∠A ， ∴在△ADE 中，∠ADE>∠A 。

∴AE>DE 。

（3）。

连结AD 。

∵∠2是△ADE 的外角，∠A 是△ADE 的内角， ∴∠2>∠A 。

∵∠2所对的弧是，∠A 所对的弧是
，
∴。

七、解：（1）当a=0时，方程为4x －1=0。

∴1
4
x =。

（2）当a ≠0时，()2441164a a ∆=--=+。

令16+4a ≥0，得 a ≥－4且a ≠0时方程有两个实数根。

① 设方程的两个实数根为12x x 、， ∵方程只有正实数根， ∴由根与系数的关系，得
且124
0x x a
+=-
>。

解之，得a<0。

②
由①、②可得：当－4≤a<0时，原方程有两个正实数根。

综上讨论可知：
当－4≤a ≤0时，方程2
410ax x +-=只有正实数根。

八、（1）∵∠B=90°，OP ⊥AB ， ∴∠AOP=∠B=90°， ∴△AOP ∽△ABC 。

∴
OP BC
AO AB
=。

∵AB=4，BC=3，O 是AB 的中点。

∴
3
24
OP =。

∴3
2OP =。

∵32,2OP AO OB =<==且3
222
+>， ∴OP+AO>OB 。

即AO 、OB 、OP 中，任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度。

（2）当M 在OB 上时，设AM=x （2≤x ≤4） 则MB=4－x 。

∵△AMN ∽△ABC ∴
MN BC
AM AB
=。

∴
又MN<AM ，MB<AM 。

依题意，得：MN+MB>AM ，
∴
()3
44
x x x +-> 解之，得16
5
x <。

∴AM 的取值范围为1625
AM ≤<。

九、解：（1）这若干名检验员1天检验(a+2b)（或
()
253
a b +或3b ×2）个成品。

（2）根据题意，得 ()()
222523
a b a b ++=。

化简题意，得a=4b 。

另解：
()
22322
a b b +=⨯， 化简整理，得a=4b 。

（3）()2244
67.5255
a b b b b +÷=÷=（名）。

另解：()4
327.55
b b ⨯÷
=（名） 答：质检科至少要派出8名检验员。