安徽省宣城市2017届高考数学二模试卷(解析版)(理科)

2017年安徽省宣城市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设（1+i）（x+yi）=2，其中i为虚数单位，x，y是实数，则|2x+yi|=（）A．1 B．C．D．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x﹣1≥1}，则A∩B=（）A．[﹣1，3）B．[0，3） C．[1，3） D．（1，3）3．一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取（）A．18人B．16人C．14人D．12人4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题，错误的命题是（）A．若m∥α，m∥β，α∩β=n，则m∥n B．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n C．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，则m⊥αD．若α∥β，m∥α，则m∥β5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．1007 B．3025 C．2017 D．30246．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里7．二项式（x﹣）6的展开式中常数项为（）A．﹣15 B．15 C．﹣20 D．208．已知双曲线两渐近线的夹角θ满足，焦点到渐近线的距离d=1，则该双曲线的焦距为（）A．B．或C．或D．以上都不是9．设数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若S1≤13，S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为（）A．3 B．4 C．﹣7 D．﹣510．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．25πB．πC．29πD．π11．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列4个集合：①②M={（x，y）|y=e x﹣2}③M={（x，y）|y=cosx}④M={（x，y）|y=lnx}其中所有“好集合”的序号是（）A．①②④B．②③C．③④D．①③④12．若函数f（x）=e x（sinx+acosx）在（，）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（1，+∞）二、填空题|sinx|dx等于．14．已知向量，满足，，，则=．15．在△ABC中，，，若最大边长为63，则最小边长为．16．已知P是圆x2+y2=4上一点，且不在坐标轴上，A（2，0），B（0，2），直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则|AN|+2|BM|的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知向量，，函数，函数f（x）在y轴上的截距为，与y轴最近的最高点的坐标是．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=sinx的图象，求φ的最小值．18．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．19．（12分）某校在高二年级开展了体育分项教学活动，将体育课分为大球（包括篮球、排球、足球）、小球（包括乒乓球、羽毛球）、田径、体操四大项（以下简称四大项，并且按照这个顺序）．为体现公平，学校规定时间让学生在电脑上选课，据初步统计，在全年级980名同学中，有意申报四大项的人数之比为3：2：1：1，而实际上由于受多方面条件影响，最终确定的四大项人数必须控制在2：1：3：1，选课不成功的同学由电脑自动调剂到田径类．（Ⅰ）随机抽取一名同学，求该同学选课成功（未被调剂）的概率；（Ⅱ）某小组有五名同学，有意申报四大项的人数分别为2、1、1、1，记最终确定到田径类的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．20．（12分）已知f（x）=e x﹣ax2，g（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的极值；（Ⅱ）若f（x）≥x+1在x≥0时恒成立，求实数a的取值范围．21．（12分）如图，已知椭圆E：的离心率为，A、B为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2，P、Q为椭圆E上异于A、B的两点，且直线BQ的斜率等于直线AP斜率的2倍．（Ⅰ）求证：直线BP与直线BQ的斜率乘积为定值；（Ⅱ）求三角形APQ的面积S的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）（1）若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；（2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|ax﹣1|，不等式f（x）≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅰ）求a的值；（II）若＜|k|存在实数解，求实数k的取值范围．2017年安徽省宣城市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设（1+i）（x+yi）=2，其中i为虚数单位，x，y是实数，则|2x+yi|=（）A．1 B．C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数相等的条件列式求得x，y的值，然后代入模的公式求模．【解答】解：由（1+i）（x+yi）=2，得：x﹣y+（x+y）i=2，则，解得x=1，y=﹣1．∴|2x+yi|=|2﹣i|==．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数模的求法，是基础题．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x﹣1≥1}，则A∩B=（）A．[﹣1，3）B．[0，3） C．[1，3） D．（1，3）【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即A=（﹣1，3），由B中不等式变形得：2x﹣1≥1=20，即x﹣1≥0，解得：x≥1，即B=[1，+∞），则A∩B=[1，3），故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取（）A．18人B．16人C．14人D．12人【考点】B3：分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：∵有运动员98人，其中女运动员42人，∴男运动员56人，∴每名运动员被抽到的概率都是，∴男运动员应抽取56×=16，故选：B．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件求出对应的人数比是解决本题的关键．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题，错误的命题是（）A．若m∥α，m∥β，α∩β=n，则m∥n B．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n C．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，则m⊥αD．若α∥β，m∥α，则m∥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，因为若m∥α，m∥β，α∩β=n，根据线面平行的性质与判定，可得m∥n，正确；对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题正确．对于C，因为γ，β 垂直于同一个平面α，故γ，β 的交线一定垂直于α，正确．对于D，若α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β，不正确，故选D．【点评】本题考查的知识点是空间直线与平面位置关系的判断，熟练掌握直线与平面之间位置关系的判定定理，性质定理，及定义和空间特征是解答此类问题的关键．5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．1007 B．3025 C．2017 D．3024【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式S是求数列的和，且数列的每4项的和是定值，由此求出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：S=a1+a2+a3+a4+…+a2009+a2010+a2011+a2012=（0+1）+（﹣2+1）+（0+1）+（4+1）+…+（0+1）+（2015+1）+（0+1）+（﹣2016+1）+（0+1）=6+…+6+1=6×+1=3025；所以该程序运行后输出的S值是3025．故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题的关键是模拟程序运行的过程，得出程序运行后输出的算式的特征，是基础题目．6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由求和公式可得首项，可得答案．【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得=378，解得a1=192，∴第此人二天走192×=96步故选：C【点评】本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项是解决问题的关键，属基础题．7．二项式（x﹣）6的展开式中常数项为（）A．﹣15 B．15 C．﹣20 D．20【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得常数项的值．=•（﹣1）r•，【解答】解：二项式（x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1令6﹣=0，求得r=4，故展开式中常数项为=15，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．8．已知双曲线两渐近线的夹角θ满足，焦点到渐近线的距离d=1，则该双曲线的焦距为（ ）A ．B ．或C ．或D ．以上都不是【考点】KC ：双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线两渐近线的夹角θ满足，得到=2或，结合点到直线的距离公式可得b ，再由a ，b ，c 的关系即可得到c ，进而得到焦距．【解答】解：∵双曲线两渐近线的夹角θ满足，∴=2或，设焦点为（c ，0），渐近线方程为y=x ，则d==b=1，又b 2=c 2﹣a 2=1，解得c=或．则有焦距为或2．故选C ．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查焦距和渐近线方程的运用，属于中档题．9．设数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1≤13，S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为（ ） A ．3B ．4C ．﹣7D ．﹣5【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式与不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵S 4≥10，S 5≤15，∴a1+a2+a3+a4≥10，a1+a2+a3+a4+a5≤15，∴a5≤5，a3≤3，即：a1+4d≤5，a1+2d≤3，两式相加得：2（a1+3d）≤8，∴a4≤4，故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式与不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．25πB．πC．29πD．π【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于以俯视图为底面的三棱柱的外接球，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于以俯视图为底面的三棱柱的外接球，底面三角形的外接圆半径r=×=，球心到底面的距离d=，故球半径R满足，R2=r2+d2=，故球的表面积S=4πR2=π，故选：D．【点评】本题考查的知识点是球的体积和表面积，球内接多面体，简单几何体的三视图，难度不大，属于基础题．11．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列4个集合：①②M={（x，y）|y=e x﹣2}③M={（x，y）|y=cosx}④M={（x，y）|y=lnx}其中所有“好集合”的序号是（）A．①②④B．②③C．③④D．①③④【考点】2K：命题的真假判断与应用；12：元素与集合关系的判断．【分析】对于①，利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．对于②，画出图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；对于③，画出函数图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；对于④，画出函数图象，取一个特殊点即能说明不满足好集合定义．【解答】解：对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；对任意（x1，y1）∈M，在另一支上也不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足好集合的定义，不是好集合．对于②M={（x，y）|y=e x﹣2}，如图（2）在曲线上两点构成的直角始存在，例如取M（0，﹣1），N（ln2，0），满足好集合的定义，所以正确．对于③M={（x，y）|y=cosx}，如图（3）对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（，0），∠yox=90°，满足好集合的定义，旋转90°，都能在图象上找到满足题意的点，所以集合M是好集合；对于④M={（x，y）|y=lnx}，如图（4）取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是好集合．故选B．【点评】本题考查了命题真假的判断与应用，考查了元素与集合的关系，考查了数形结合的思想，解答的关键是对新定义的理解，是中档题．12．若函数f（x）=e x（sinx+acosx）在（，）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求导，分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可．【解答】解：∵f（x）=e x（sinx+acosx）在（，）上单调递增，∴f′（x）=e x[（1﹣a）sinx+（1+a）cosx]≥0在（，）上恒成立，∵e x＞0在（，）上恒成立，∴（1﹣a）sinx+（1+a）cosx≥0在（，）上恒成立，∴a（sinx﹣cosx）≤sinx+cosx在（，）上恒成立∴a≤，设g（x）=，∴g′（x ）=＜0在（，）上恒成立，∴g （x ）在（，）上单调递减，∴g （x ）＞g （）=1，∴a ≤1， 故选：A ．【点评】本题考查了导数和函数的单调性和最值得关系，关键是分离参数，构造函数，属于中档题．二、填空题（2017•宣城二模）|sinx |dx 等于 4 ．【考点】67：定积分．【分析】先根据对称性，只算出0﹣π的图形的面积再两倍即可求出所求． 【解答】解：∫02π|sinx |dx=2∫0πsinxdx=2（﹣cosx ）|0π=2（1+1）=4． 故答案为：4【点评】本题主要考查了定积分，对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度，运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．14．已知向量，满足，，，则= 2．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】向量的数量积的运算和向量模即可求出答案．【解答】解：∵，，，∴|+|2=||2+||2+2•，∴2•=1+4﹣5=0，∴|2﹣|2=4||2+||2﹣4•=4+4=8，∴|2﹣|=2故答案为：【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量模的计算，属于基础题．15．在△ABC 中，，，若最大边长为63，则最小边长为 25 ．【考点】HT ：三角形中的几何计算．【分析】根据三角函数值推出角的范围，再分类讨论得到A 是锐角，再根据两角和的正弦公式求出sinC ，根据正弦定理即可求出a ，问题得以解决． 【解答】解：若A 为钝角，∵sinA=＜，＞cosB=＞，∴150＜A ＜180°，30°＜B ＜60°， ∴A +B ＞180°，矛盾， 故A 为锐角，∵sinA=＜，＞cosB=＞，∴0＜A ＜30°＜B ＜60°，且cosA=，sinB=∴C 为钝角，∴c 最大，最大为63，a 最小，∴sinC=sin （A +B ）=sinAcosB +cosAsinB=×+×=，由正弦定理可得=，∴a=×=25，故最小为a=25，故答案为：25【点评】本题考查了同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式和诱导公式，以及正弦定理，属于中档题16．已知P 是圆x 2+y 2=4上一点，且不在坐标轴上，A （2，0），B （0，2），直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，则|AN |+2|BM |的最小值为 8 ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出直线PA ，PB 的方程，可得M ，N 的坐标，得出|AN |•|BM |为定值为8，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：设P （x 0，y 0），直线PA 的方程为y=x +2，令y=0得M （，0）．直线PB的方程为y=（x﹣2），令x=0得N（0，）．∴|AN|•|BM|=（2﹣）（2﹣）=4+4×=8，∴|AN|+2|BM|≥2=8，故|AN|+2|BM|的最小值为8．故答案为8．【点评】本题考查圆的方程，考查直线的方程，考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2017•宣城二模）已知向量，，函数，函数f（x）在y轴上的截距为，与y轴最近的最高点的坐标是．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=sinx的图象，求φ的最小值．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，正弦函数的最值，结合已知条件求得a、b的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得φ的最小值．【解答】解：（Ⅰ），由，得，此时，，由，得b=1或b=﹣1，当b=1时，，经检验为最高点；当b=﹣1时，，经检验不是最高点，故舍去．故函数的解析式为．（Ⅱ）函数f（x）的图象向左平移φ个单位后得到函数的图象；横坐标伸长到原来的2倍后，得到函数的图象，∴（k∈Z），（k∈Z），因为φ＞0，所以φ的最小值为．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦函数的最值，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．18．（12分）（2017•宣城二模）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD ∥AB，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC ⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；MJ：与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（Ⅰ）要证BC⊥平面ACD，只需证明BC垂直平面ACD内的两条相交直线AC、OD即可；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）在图1中，可得，从而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC 取AC中点O连接DO，则DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC，面ADC∩面ABC=AC，DO⊂面ACD，从而OD⊥平面ABC，（4分）∴OD⊥BC又AC⊥BC，AC∩OD=O，∴BC⊥平面ACD（6分）另解：在图1中，可得，从而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC∵面ADC⊥面ABC，面ADE∩面ABC=AC，BC⊂面ABC，从而BC⊥平面ACD （Ⅱ）建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，则，，，（8分）设为面CDM的法向量，则即，解得令x=﹣1，可得又为面ACD的一个法向量∴∴二面角A﹣CD﹣M的余弦值为．（12分）【点评】本题考查直线与平面的存在的判定，二面角的求法，考查逻辑思维能力和空间想象能力，是中档题．19．（12分）（2017•宣城二模）某校在高二年级开展了体育分项教学活动，将体育课分为大球（包括篮球、排球、足球）、小球（包括乒乓球、羽毛球）、田径、体操四大项（以下简称四大项，并且按照这个顺序）．为体现公平，学校规定时间让学生在电脑上选课，据初步统计，在全年级980名同学中，有意申报四大项的人数之比为3：2：1：1，而实际上由于受多方面条件影响，最终确定的四大项人数必须控制在2：1：3：1，选课不成功的同学由电脑自动调剂到田径类．（Ⅰ）随机抽取一名同学，求该同学选课成功（未被调剂）的概率；（Ⅱ）某小组有五名同学，有意申报四大项的人数分别为2、1、1、1，记最终确定到田径类的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）随机抽取一名同学，利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出该同学选课成功（未被调剂）的概率．（Ⅱ）X的所有可能取值为1，2，3，4．分别出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）随机抽取一名同学，该同学选课成功（未被调剂）的概率：．（Ⅱ）X的所有可能取值为1，2，3，4．，，，．∴X的分布列为：．【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归转化思想，是中档题．20．（12分）（2017•宣城二模）已知f（x）=e x﹣ax2，g（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的极值；（Ⅱ）若f（x）≥x+1在x≥0时恒成立，求实数a的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）g（x）=f'（x）=e x﹣2ax，g'（x）=e x﹣2a，分a≤0，a＞0讨论．（Ⅱ）令h（x）=e x﹣ax2﹣x﹣1，则h'（x）=e x﹣1﹣2ax，由e x≥1+x恒成立，故h'（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，分，讨论，求出a的取值范围【解答】解：（Ⅰ）f（x）=e x﹣ax2，g（x）=f'（x）=e x﹣2ax，g'（x）=e x﹣2a，当a≤0时，g'（x）＞0恒成立，g（x）无极值；当a＞0时，g'（x）=0，即x=ln（2a），由g'（x）＞0，得x＞ln（2a）；由g'（x）＜0，得x＜ln（2a），所以当x=ln（2a）时，有极小值2a﹣2aln（2a）．（Ⅱ）令h（x）=e x﹣ax2﹣x﹣1，则h'（x）=e x﹣1﹣2ax，注意到h（0）=h'（0）=0，令k（x）=e x﹣1﹣x，则k'（x）=e x﹣1，且k'（x）＞0，得x＞0；k'（x）＜0，得x＜0，∴k（x）≥k（0）=0，即e x≥1+x恒成立，故h'（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，当时，1﹣2a≥0，h'（x）≥0，于是当x≥0时，h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥x+1成立．当时，由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．h'（x）＜e x﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a），故当x∈（0，ln（2a））时，h'（x）＜0，于是当x∈（0，ln（2a））时，h（x）＜h（0）=0，f（x）≥x+1不成立．综上，a的取值范围为．【点评】本题考查了导数的综合应用，分类讨论思想、转化思想，属于难题．21．（12分）（2017•宣城二模）如图，已知椭圆E：的离心率为，A、B为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2，P、Q为椭圆E上异于A、B的两点，且直线BQ的斜率等于直线AP斜率的2倍．（Ⅰ）求证：直线BP与直线BQ的斜率乘积为定值；（Ⅱ）求三角形APQ的面积S的最大值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意求得椭圆方程，则k AP=，k BP=，即可求得k AP•k BP=﹣，由k BQ=2k AP，故k BP•k BQ=﹣1；（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理，及向量数量积的坐标运算，求得直线恒过点，则，根据函数的单调性即可求得三角形APQ的面积S的最大值，当直线l PQ的斜率k不存在时，根据斜率关系，求得P和Q方程，即可求得三角形APQ的面积S．【解答】解：（Ⅰ）证明：由椭圆的离心率e==，则a=c，由焦点到短轴端点的距离为2，即a=2，则c=，b2=a2﹣c2=2，∴椭圆的标准方程为：；设P点坐标（x，y），y2=（4﹣x2）则A（﹣2，0），B（2，0），则k AP=，k BP=，则k AP•k BP==﹣由k BQ=2k AP，故k BP•k BQ=﹣1．∴直线BP与直线BQ的斜率乘积为﹣1为定值；（Ⅱ）当直线PQ的斜率存在时，设l PQ：y=kx+b与x轴的交点为M，，整理得：（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣4=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，由，得y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，得，4k2+8kb+3b2=0，得b=﹣2k或．y=kx﹣2k或，所以过定点（2，0）或，点（2，0）为右端点，舍去，，=，=，令（0＜t＜1），，0＜t+t2＜1，，当直线l PQ的斜率k不存在时，P（x1，y1），Q（x1，﹣y1），，即，解得，，，的最大值为．∴S△APQ【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，函数单调性及最值与椭圆的综合应用，考查分类讨论思想，属于中档题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•宣城二模）已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）（1）若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；（2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，求a的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）求出圆C的圆心和半径，M点坐标，则|MN|的最大值为|MC|+r；（2）由垂径定理可知圆心到直线l的距离为半径的，列出方程解出．【解答】解：（1）当a=2时，圆C的直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1．∴圆C的圆心坐标为C（0，1），半径r=1．令y==0得t=0，把t=0代入x=﹣得x=2．∴M（2，0）．∴|MC|==．∴|MN|的最大值为|MC|+r=．（2）由ρ=asinθ得ρ2=aρsinθ，∴圆C的直角坐标方程是x2+y2=ay，即x2+（y﹣）2=．∴圆C的圆心为C（0，），半径为||，直线l的普通方程为4x+3y﹣8=0．∵直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，∴圆心C到直线l的距离为圆C半径的一半．∴=||，解得a=32或a=．【点评】本题考查了极坐标方程，参数方程化为普通方程，距离公式的应用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•宣城二模）已知f（x）=|ax﹣1|，不等式f（x）≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅰ）求a的值；（II）若＜|k|存在实数解，求实数k的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围，求出不等式的解集，根据对应关系求出a的值即可；（Ⅱ）根据不等式的性质求出的最小值，得到关于k的不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）由|ax﹣1|≤3，得﹣3≤ax﹣1≤3，解得：﹣2≤ax≤4，a＞0时，﹣≤x≤，而f（x）≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2}，故，解得：a=2；a＜0时，≤x≤﹣，不等式f（x）≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2}，故，以a=2；（Ⅱ）=，故要使＜|k|存在实数解，只需|k|＞，解得k＞或k＜﹣，∴实数k取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．。