人教版高中数学选修4-4课件：第二讲四渐开线与摆线

解：由摆线的参数方程易知半径为 2 的圆的参数方程
x＝2（φ－sin φ），
为：
(φ 为参数)．
y＝2（1－cos φ）
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归纳升华 1．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动 地滚动时圆周上一个定点的轨迹． 2．根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可 知其中的字母 r 是指定圆的半径，参数 φ 是指圆上定点相 对于某一定点运动所张开的角度大小．
于渐开线和坐标轴的交点要看坐标系的选取．
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
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2．当 φ＝2π 时，圆的渐开线
x＝6（cos y＝6（sin
φ＋φsin φ－φcos
φ）， φ） (φ
为参数)上的点是(
)
A．(6，0)
B．(6，6π)
C．(6，－12π) D．(－π，12π)
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由于 r 表示圆的半径，故 r>0，所以 r＝2k1π(k∈N*)，
故所求摆线的参数方程为
x＝2k1π（φ－sin y＝2k1π（1－cos
φ）， (φ
φ）
为参数，其中
k∈N*)．
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[迁移探究] (变换条件)把典例 2 中的条件“摆线过 一定点(1，0)”改为“半径为 2”，请写出该摆线的参数 方程．
A．2π，2 B．2π，4
C．4π，2 D．4π，4
解析：因为半径 r＝2，所以拱宽为 2πr＝4π，拱高为
2r＝4.
答案：D
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4．写出半径为 2 的圆的渐开线参数方程：_________．
解析：半径为 2 的圆的渐开线参数方程为
x＝2（cos φ＋φsin φ），

(φ 为参数)．
程.
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x
轴正
︵ 向所夹的角为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝AM0＝8θ.
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函 数和向量知识，得O→A＝(8cos θ，8sin θ)．
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由几何知识知∠MAB＝θ， A→M＝(8θsin θ，－8θcos θ) 得O→M＝O→A＋A→M＝(8cos θ＋8θsin θ，8sin θ－8θcos θ)＝(8(cos θ＋θsin θ)，8(sin θ－θcos θ))． 又O→M＝(x，y)，
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(3)在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标 系不同，可能会得到不同的参数方程．( )
(4)圆的渐开线和 x 轴一定有交点而且是唯一的交 点．( )
解析：对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的
形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标
系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至
解析：当 φ＝2π 时，代入圆的渐开线方程，得 x＝6(cos
2π＋2π·sin 2π)＝6，y＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π. 答案：C
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3．已知摆线的参数方程为xy＝＝22（（1φ－－csoins
φ）， φ） (φ
为
参数)，该摆线一个拱的宽度与高度分别是( )
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2．圆的渐开线的参数方程可作为公式使用，只要不 要求用定义求解就可直接将半径 r 的值代入．
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[变式训练] 已知圆的渐开线的参数方程 x＝3cos φ＋3φsin φ， y＝3sin φ－3φcos φ
(φ 为参数)，则此渐开线对应基圆的半径是________． 解析：对照渐开线参数方程可知半径 r＝3.
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温馨提示 (1)摆线的每一拱的宽度等于圆的周长， 拱高等于圆的直径．(2)字母 r，φ 的意义：r 指定圆的半 径，参数 φ 指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角 度大小．(3)与圆的渐开线参数方程一样，摆线的参数方 程也不宜化为普通方程．
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[思考尝试·夯基]
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其中的∠AOB 即是角 φ，点 M 由参数 φ 唯一确定．(5) 圆的渐开线的参数方程不宜化为普通方程，普通方程既烦 琐又没有实际意义．
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2．圆的摆线的参数方程 半径为 r 的圆所产生摆线的参数方程为：
x＝r（φ－sin φ）， ___y_＝__r_（__1_－__c_o_s_φ_）________ (φ 为参数)．
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所以 Aπ2－1，1.(5 分) 当 t2＝32π时， x＝32π－sin32π＝32π＋1， y＝1－cos32π＝1， 所以 B32π＋1，1.(8 分)
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故 A，B 两点间的距离为 |AB|＝ 32π＋1－π2－12＋（1－1）2＝
以基圆圆心 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设基圆的半径为 r，绳子外端 M 的坐标为(x，y)，则有 x＝r（cos φ＋φsin φ）， _y_＝__r_（__s_in__φ_－__φ_c_o_s_φ_）____ (φ 是参数)．这就是圆的渐开线 的参数方程．
(θ 为参数)，求当参数 θ 值为π2和 π 时对应的渐开线 上的两点 A、B 之间的距离．
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解：当
θ＝π2时，xy＝＝2π，，当
θ＝π
x＝－2， 时，
y＝2π，
所以 A(π，2)，B(－2，2π)，
所 以 |AB| ＝ （π＋2）2＋（2－2π）2 ＝
5π2－4π＋8.
第二讲 参数方程
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四、 渐开线与摆线
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[学习目标] 1.了解圆的渐开线的产生过程及它的参 数方程(重点)． 2.了解摆线的产生过程及它的参数方程 (重点)． 3.体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和 步骤(难点)．
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[知识提炼·梳理]
1.圆的渐开线的参数方程
y＝2（sin φ－φcos φ）
x＝2（cos 答案：y＝2（sin
φ＋φsin φ－φcos
φ）， φ） (φ
为参数)
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5．摆线xy＝＝22（（1t－－scionst）t），(0≤t≤2π)与直线 y＝2 的 交点的直角坐标是________________．
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Hale Waihona Puke 331．渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的 轨迹．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动 地滚动时圆周上一个定点的轨迹．
2．渐开线上任一点 M 的坐标由圆心角 φ(以弧度为 单位)唯一确定，而在圆的摆线中，圆周上定点 M 的位置 也可以由圆心角 φ 唯一确定的．
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解析：当 y＝2 时，cos t＝0，所以 t＝π2或 t＝32π， 所以 x＝2π2－sinπ2＝π－2 或 x＝232π－sin32π＝3π＋2. 所以交点的直角坐标是(π－2，2)或(3π＋2，2)． 答案：(π－2，2)或(3π＋2，2)
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类型 1 渐开线的参数方程(自主研析)
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x＝8（cos θ＋θsin θ），
因此有
(θ 为参数)，
y＝8（sin θ－θcos θ）
即为所求圆的渐开线的参数方程．
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归纳升华 1．求圆的渐开线的参数方程，关键是根据渐开线定
︵ 义及形成过程获得动点轨迹的几何条件|AM|＝AM0＝rθ. 合理建立平面直角坐标系后，借助几何图形，运用三角函 数和平面向量知识将几何条件代数化，得到参数方程．
[典例 1] 求半径为 8 的圆的渐开线的参数方程．
解：以圆心为原点 O，绳端点的 初始位置为 M0，向量O→M0的方向为 x 轴正方向，建立平面直角坐标系，
设渐开线上的任意点 M(x，y)，
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绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐开线
︵ 定义，弧AM0的长和线段
AM
的长相等，记O→A和
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x＝r（φ－sin φ），
3．根据圆的摆线的参数方程
(φ
y＝r（1－cos φ）
为参数)，可知只需求出其中的半径 r，圆摆线的参数方程
即可写出．也就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径唯
一确定的．
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类型 3 渐开线、摆线参数方程的应用(规范解答) [典例 3] (本小题满分 10 分)设摆线xy＝＝1t－－scionst，t (t 为参数，0≤t≤2π)与直线 y＝1 相交于 A，B 两点，求 A， B 两点间的距离． 审题指导：解决此类问题要先求出两交点 A、B 的直
（π＋2）2＝π＋2.(10 分)
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归纳升华 因为摆线的参数方程不宜化为普通方程，所以求交点 坐标问题一般先求出参数 t，然后代入参数方程求出 x，y， 注意参数 t 的取值范围．
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[变式训练] 已知渐开线的参数方程是
x＝2（cos θ＋θsin θ）， y＝2（sin θ－θcos θ）
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3．圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方
程，既烦琐又没有实际意义．
4．有关已知摆线过定点求摆线及渐开线的参数方程
等问题，可按如下思路解题：将定点坐标代入摆线的参
数方程xy＝＝rr（（1φ－－csoins