2014届高三数学寒假作业8(解析几何,陈卫星)

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2014年高考数学-解析几何-

2014高考数学解析几何李远敬1（新课标10.）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 2.（湖北9.）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（） A.433 B.233C.3D.2 3.（安徽14）设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为__________4.（山东（10））已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 与2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为（A ）20x y ±=（B ）20x y ±=（C ）20x y ±=（D ）20x y ±=5.（天津6）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）A.120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x6.（新课标2。

10.）设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（） A. 334B.938 C. 6332 D. 947.（湖北21）（满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C.(1)求轨迹为C 的方程(2)设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围。

2014高考数学真题汇编（解析几何）部分

2014高考数学真题汇编（解析几何）部分2014解析几何部分：一选择题1（2014全国大纲卷）6.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F，离心率为2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ?的周长为C 的方程为 A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124 x y += 2（全国大纲卷）9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（） A ．14 B ．13 CD3（2014课标1）4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为AB .3 CD .3m4（2014课标1）10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 5（2014新课标2）10.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（）A.B.C. 6332D. 946（2014辽宁卷）10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，学科网过点A 的直线与C在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（） A ．12 B ．23 C ．34 D ．437（2014福建卷）10设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（） A.25 B.246+ C.27+ D.268（2014广东卷）4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等9（2014四川卷）10、已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ?=（其中O 为坐标原点），则ABO ?与AFO ?面积之和的最小值是（）A 、2B 、3 CD二填空题1（2014全国大纲卷）15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .2（2014新课标2）16.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.3（2014陕西卷）12若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______.4（2014辽宁卷）15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .5（2014广东卷）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿6（2014湖南卷）15.如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为(),a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线)0(22>=p px y 经过F C ,两点，则_____=ab.7（2014四川卷）14设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ?的最大值是____________8（2014上海卷）3若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.9（2014上海卷）14.已知曲线C：x =l ：x=6。

2014年全国高考试卷解析几何部分汇编(下)

2014年全国高考试卷解析几何部分汇编（下）1. （2014理10）已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离，则2C 的渐近线方程为( ) A．0x ±= B0y ±= C ．20x y ±= D ．20x y ±=【解析】 A2. （2014理21）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =．当点A 的横坐标为3时，ADF△为正三角形． ⑴求C 的方程；⑵若直线1l l ∥，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②ABE △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【解析】 ⑴当A 的横坐标为3时，过A 作AG x ⊥轴于G ，3pAF =+32pFD AF ∴==+AFD △为等边三角形13224pFG FD ∴==+又32pFG =-33242p p∴+=-，2p ∴=，2:4C y x ∴= ⑵（ⅰ）设11()A x y ，，11FD AF x ==+ ()120D x ∴+，，12AB y k ∴=-1//AB l l ，1112l k y ∴=-又1l 与C 相切，设切点()E E E x y ，, 214x y =，12x y '=，1122E y y -∴=，14E y y ∴=- 22111444E x y y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，211211444y E A y y y ⎛⎫⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 1211121214:444AEy y y l y y x y y +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭-即()121414y y x y =--恒过点()10，∴直线AE 过定点()10，．（ⅱ）2111:24AB y y l y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即21122244y x y y y x ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得()2211880y y y y +-+= 1218y y y +=-，2118y y y ∴=--12118+AB y y y y =-= 点E 到AB的距离d =32311121111184222222162242y y S AB d y y y y ∴=⋅=+++=+⨯=≥，当且仅当12y =±时，“=”成立．3. （2014文14）圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x轴所得弦的长为，则圆C 的标准方程为．【解析】 ()()22214x y -+-= 4. （2014文15）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且||FA c =，则双曲线的渐近线方程为．【解析】 y x =±由已知得2p b ==，抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为2p c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即()c b -，代入双曲线方程为22221c b a b -=得222c a=，1b a ∴=∴渐近线方程为y x =±．故答案为y x =±．5. （2014文21）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，直线y x =被椭圆C⑴求椭圆C 的方程；⑵过原点的直线与椭圆C 交于A B ，两点（A B ，不是椭圆C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．①设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值； ②求OMN ∆面积的最大值．【解析】⑴c e a ==，设2c a n ==，，则b n =，椭圆方程为2224x y n +=设y x =与椭圆在第一象限的交点为()00x y ，则00x y =000x y ⎧=⎪⎪=∴⎨⎪=⎪⎩将代入椭圆得1n =，2214x y ∴+=⑵方法一：（ⅰ）设AB l ：y kx =2244y kx A B x y =⎛⎫⎛⎫⎧⇒⎨+=⎩， AD l：2211k y x y x k k +⎛⎫=-⇒=- ⎝2222222442242482402114x y k k k k x k k k k y x k ⎧+=⎛⎫++ ⎪⎪+⎪⎝⎭⇒++-=+⎨+⎪=--⎪⎩222216164D D k x k +=⇒=+3D y =3124kk -∴==+BD l:4k y x ⎛⎫-=⎝ 令0y=0m x M ⎛⎫⇒=⇒⎪⎭22k k ∴==-121122k k λ∴=-∴=-，（ⅱ）0⎛⎫⎪⎭，对BD l:4k y x ⎛⎫=- ⎝ 令0x =得3N k y319121224OMNkSkk∴==⨯+△14kk+≥4当且仅当12k=±时取等号[]max919248OMNS∴=⨯=△方法二：(ⅰ)设()()1122B x y D x y，，，则()11A x y--，1212ADy ykx x+=+221122221414xyxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()()()121212124x x x xy y y y+-++-=即1212121214y y y yx x x x-+⋅=--+114ADk k∴⋅=-又AB AD⊥1AB ADk k∴⋅=-14ABk k∴=()111:BDl y y k x x-=-令0y=，111yx xk=-+令0x=，111y y k x=-()11111100yM x N y k xk⎛⎫∴-+-⎪⎝⎭，，，111211111111211222ABAByy x kk ky ykxkk x k====--⋅--⋅1212k k∴=-12λ∴=-(ⅱ)()11111112OMNyS x y k xk⎛⎫=-+-⎪⎝⎭△1114ykx=11999888 OMNS x y∴===△[]max 98OMN S ∴=△当且仅当1x ==”成立．6. （2014理12）若圆C 的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y x =对称，则圆C 的标准方程为_________________．【解析】 22(1)1x y +-=根据题意得点(10)，关于直线y x =对称的点(01)，为圆心，又半径1r =，所以圆C 的标准方程为22(1)1x y +-=．7. （2014理20）如图，曲线C 由上半椭圆1C ：()2222100y x a b y a b+=>>，≥和部分抛物线2C ：()210y x y =-+≤连接而成，1C 与2C 的公共点为A B ，其中1C．⑴求a b ，的值；⑵过点B 的直线l 与12C C ，别交于点P Q ，（均异于点A B ，），若AP AQ ⊥，求直线l 的方程．【解析】 ⑴在12C C ，的方程中，令0y =，可得1b =，且(10)(10)A B -，，，是上半椭圆1C 的左，右顶点．设1C 的半焦距为c，由c a =及2221a c b -==得2a =． 21a b ∴==，．⑵解法一：由⑴知，上半椭圆1C 的方程为221(0)4y x y +=≥．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程(1)(0)y k x k =-≠，代入1C 的方程，整理得2222(4)240k x k x k +-+-=*（）设点P 的坐标为()p p x y ，，直线l 过点B ，1x ∴=是方程*（）的一个根．由求根公式，得2244p k x k -=+，从而284p k y k -=+，∴点P 的坐标为22248()44k kk k --++，．同理，由2(1)(0)1(0)y k x k y x y =-≠⎧⎨=-+⎩≤，，得点Q 的坐标为2(12)k k k ----，． 22(4)(12)4kAP k AQ k k k ∴=-=-++，，，．0Ap AQ AP AQ ∴⊥∴⋅=，，即222[4(2)]04k k k k --+=+，04(2)0k k k ∴≠∴-+=，解得83k =-．经检验，83k =-符合题意，故直线l 的方程为8(1)3y x =--．解法二：若设直线l 的方程为1(0)x my m =+≠，比照解法一给分．8. （2014文11）抛物线24y x =的准线方程为____________．【解析】 1x =- 9. （2014文20）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0，离心率为12，左右焦点分别为12(0)(0)F c F c -，，，． ⑴求椭圆的方程；⑵若直线1:2l x m =-+与椭圆交于点A B ，，与以12F F 为直径的圆交于C D ，两点，且满足AB CD =求直线l 的方程．【解析】 ⑴由题设知2221,2,b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩解得2a =，b =1c =，∴椭圆的方程为22143x y +=．⑵由⑴知，以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=， ∴圆心到直线l的距离d =，由1d <得5||2m <．（*）∴||CD ==．设()()1122A x y B x y ，，由2212143y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得22=0x mx m -+ 有212123x x m x x m +==-，AB =由||||AB CD =1=，解得m =，满足（*） ∴直线l的方程为12y x =-+或12y x =-．10. （2014理22）在平面直角坐标系xoy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111(,)P x y ，222(,)P x y记1122()()ax by c ax by c η=++++,若0η<，则称点12,P P 被直线l 分隔。

2014-2015学年高三寒假作业数学(八)Word版含答案

高三数学寒假作业（八）一、选择题，每小题只有一项是正确的。

1.已知集合{}{}3,1,2,3,4A x x B =<=，则（R A ）∩B = （）A ．{}4,3,2,1B ．{}4,3,2C ．{}4,3D ．{}4 2.R 上的奇函数()f x 满足)()3(x f x f =+，当01x <≤时，()2x f x =，则(2012)f =A. 2-B. 2C. 12-D. 123.如果对于正数,,,z y x 有1lg 41lg 31lg 21=++z y x ，那么=346z y x （） A ．1 B ．10 C ．610 D ．1210 4.已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则q=（）( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1 D ．2sin 16.将函数y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸）﹣（﹣x ）7.如图，菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则AM AN ⋅的最大值为A.3B.C.6D.98.设,,,,,a b c x y z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b c x y z++=++ A ．14B ．13C ．12D ．349.在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为（）A ．2B ．43 C ．23D ． 3二、填空题10.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是．11.已知α，β为平面，m ，n 为直线，下列命题：①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若α∩β＝n ，m ∥α， m ∥β，则m ∥n ； ④若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n ．其中是真命题的有 ▲ ．(填写所有正确命题的序号)12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C=2A ，cosA=，b=5，则△ABC 的面积为．13.（5分）（2011•陕西）设f （x ）=若f （f （1））=1，则a= ．三、计算题14.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题7分，第2小题7分。

2014高考题解析几何

6. [2014·福建卷] 已知直线l 过圆22(3)4x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是( )A. 20x y +-=B.20x y --=C. 30x y +-=D. 30x y -+=20. [2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点(2,2)P ，圆22:80C x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(Ⅰ)求M 的轨迹方程；(Ⅱ)当||||OP OM =时，求l 的方程及POM ∆的面积．21．[2014·重庆卷] 如图15，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点D 在椭圆上，12112121||,22,||F F DF F F DF F DF ⊥=∆,的面积为22. (Ⅰ)求该椭圆的标准方程．(Ⅱ)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．图1 5 图1 618．[2014·江苏卷] 如图16所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=.(Ⅰ)求新桥BC 的长．(Ⅱ)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？22．[2014·全国卷] 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,直线4y =与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且5||||4QF PQ =. (Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于,M N 两点，且,,,A M B N 四点在同一圆上，求l 的方程．17．[2014·湖北卷] 已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ,若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ,都有||||MA MB λ=,则(Ⅰ)=b ________； (Ⅱ)=λ________．20．[2014·辽宁卷] 圆422=+y x 的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图15所示)．(Ⅰ)求点P 的坐标； (Ⅱ)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线3:+=x y l 交于B A ,两点,若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程． 5．[2014·浙江卷] 已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4,则实数a 的值是( )A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-6．[2014·安徽卷] 过点)1,3(--P 的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A. ]6,0(πB. ]3,0(πC. ]6,0[πD. ]3,0[π7．[2014·北京卷] 已知圆1)4()3(:22=-+-y x C 和两点)0)(0,(),0,(>-m m B m A .若圆C 上存在点P ,使得︒=∠90APB ,则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．411．[2014·福建卷] 已知圆1)()(:22=-+-b y a x C ,平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+Ω.0,03,07:y y x y x 若圆心Ω∈C ，且圆C 与x 轴相切，则22b a +的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4921．[2014·福建卷] 已知曲线Γ上的点到点)1,0(F 的距离比它到直线3-=y 的距离小2.(Ⅰ)求曲线Γ的方程．(Ⅱ)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ,直线3=y 分别与直线l 及y 轴交于点N M ,.以MN 为直径作圆C ,过点A 作圆C 的切线，切点为B .试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．6．[2014·湖南卷] 若圆1:221=+y x C 与圆086:222=+--+m y x y x C 外切，则=m ( )A ．21B ．19C ．9D ．11- 9．[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为________．16．[2014·全国卷] 直线1l 和2l 是圆222=+y x 的两条切线．若1l 与2l 的交点为)3,1(,则1l 与2l 的夹角的正切值等于________．12．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点)1,(0x M ,若在圆1:22=+y x O 上存在点N ，使得︒=∠45OMN ,则0x 的取值范围是( )A. ]1,1[-B. ]21,21[- C. ]2,2[- D. ]22,22[-14．[2014·山东卷] 圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为32,则圆C 的标准方程为________．14．[2014·重庆卷] 已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ,两点,且BC AC ⊥,则实数a 的值为________．9．[2014·四川卷] 设R m ∈,过定点A 的动直线0=+my x 和过定点B 的动直线03=+--m y mx 交于点),(y x P ,则||||PB PA +的取值范围是( )A ．]52,5[B ．]52,10[C ．]54,10[D ．]54,52[ 20．[2014·安徽卷] 设函数32)1(1)(x x x a x f --++=,其中0>a .(Ⅰ)讨论)(x f 在其定义域上的单调性；(Ⅱ)当]1,0[∈x 时,求)(x f 取得最大值和最小值时的x 的值． 19．[2014·北京卷] 已知椭圆42:22=+y x C .(Ⅰ)求椭圆C 的离心率；(Ⅱ)设O 为原点，若点A 在直线2=y 上，点B 在椭圆C 上，且OB OA ⊥,求线段AB 长度的最小值．20．[2014·广东卷] 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的一个焦点为)0,5(F ,离心率为35.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若动点),(00y x P 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程．20．[2014·湖南卷] 如图所示,O 为坐标原点,双曲线)0,0(1:112122121>>=-b a b y a x C 和椭圆)0(1:222222222>>=+b a b x a y C 均过点)1,332(F , 且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(Ⅰ)求21,C C 的方程．(Ⅱ)是否存在直线l ,使得l 与1C 交于B A ,两点,与2C 只有一个公共点,且||||AB OB OA =+?证明你的结论. 17．[2014·江苏卷] 如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x的左、右焦点,顶点B 的坐标为),0(b ,连接2BF 并延长交椭圆于点A ,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ,连接C F 1.(Ⅰ)若点C 的坐标为)31,34(,且22=BF ,求椭圆的方程；(Ⅱ)若AB C F ⊥1,求椭圆离心率e 的值．14．[2014·江西卷] 设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点分别为21,F F ,过2F 作x 轴的垂线与C 相交于B A ,两点,B F 1与y 轴相交于点D .若B F AD 1⊥,则椭圆C 的离心率等于________．9．[2014·全国卷] 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点为21,F F ,离心率为33,过2F 的直线l 交C 于B A ,两点.若B AF 1∆的周长为34,则C 的方程为( )A.12322=+y x B.1322=+y x C.181222=+y x D.141222=+y x 20．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设21,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点,M是C 上一点且2MF 与x 轴垂直．直线1MF 与C 的另一个交点为N .(Ⅰ)若直线MN 的斜率为43,求C 的离心率； (Ⅱ)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且||5||1N F MN =,求b a ,.21．[2014·山东卷] 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23,直线x y =被椭圆C 截得的线段长为5104. (Ⅰ)求椭圆C 的方程．(Ⅱ)过原点的直线与椭圆C 交于B A ,两点(B A ,不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上,且AB AD ⊥,直线BD 与x 轴、y 轴分别交于N M ,两点．(ⅰ)设直线AM BD ,的斜率分别为21,k k ,证明存在常数λ使得21k k λ=,并求出λ的值；(ⅱ)求OMN ∆面积的最大值．20．[2014·陕西卷] 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 经过点)3,0(,离心率为21,左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线m x y l +-=21:与椭圆交于B A ,两点,与以21F F 为直径的圆交于D C ,两点,且满足435||||=CD AB ,求直线l 的方程． 20．[2014·四川卷] 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左焦点为)0,2(-F ,离心率为36.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，T 为直线3-=x 上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于Q P ,.当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．18．[2014·天津卷] 设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为21,F F ,右顶点为A ,上顶点为B .已知||23||21F F AB =.(Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ,经过点2F 的直线l 与该圆相切于点22||,2=MF M ,求椭圆的方程．8．[2014·重庆卷] 设21,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得ab b PF PF 3|)||(|2221-=-,则该双曲线的离心率为( )A.2B.15 C ．4 D.1710．[2014·北京卷] 设双曲线C 的两个焦点为)0,2(),0,2(21F F -,一个顶点是)0,1(,则C 的方程为________．8．[2014·广东卷] 若实数k 满足50<<k ,则曲线151622=--k y x 与曲线151622=--y k x 的( ) A ．实半轴长相等 B ．虚半轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等8．[2014·湖北卷] 设b a ,是关于t 的方程0si n c o s2=+θθt t 的两个不等实根，则过),(),,(22b b B a a A 两点的直线与双曲线1sin cos 2222=-θθy x 的公共点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．317．[2014·浙江卷] 设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于点B A ,若点)0,(m P 满足||||PB PA =,则该双曲线的离心率是_______．9．[2014·江西卷] 过双曲线1:2222=-by a x C 的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过O A ,两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A. 112422=-y x B. 19722=-y x C. 18822=-y x D. 141222=-y x 11．[2014·全国卷] 双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为2,焦点到渐近线的距离为3,则C 的焦距等于( )A ．2B ．22C ．4D ．244．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2,则=a ( ) A ．2 B.26 C. 25D ．1 15．[2014·山东卷] 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为c 2,右顶点为A ,抛物线)0(22>=p py x 的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为c 2,且c FA =||,则双曲线的渐近线方程为________． 11．[2014·四川卷] 双曲线1422=-y x 的离心率等于________．6．[2014·天津卷] 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线102:+=x y l ,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A. 120522=-y x B. 152022=-y x C. 1100325322=-y x D. 1253100322=-y x 10．[2014·四川卷] 已知F 为抛物线x y =2的焦点，点B A ,在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2=⋅OB OA (其中O 为坐标原点)，则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C. 8217 D. 103．[2014·安徽卷] 抛物线241x y =的准线方程是( )A ．1-=yB ．2-=yC ．1-=xD ．2-=x11．[2014·广东卷] 曲线35+-=x e y 在点(0,-2)处的切线方程为________．22．[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点)0,1(F 的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(Ⅰ)求轨迹C 的方程；(Ⅱ)设斜率为k 的直线l 过定点)1,2(-P ,求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围． 14．[2014·湖南卷] 平面上一机器人在行进中始终保持与点)0,1(F 的距离和到直线1-=x 的距离相等．若机器人接触不到过点)0,1(-P 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________． 20．[2014·江西卷] 如图所示，已知抛物线y x C 4:2=, 过点)2,0(M 任作一直线与C 相交于B A ,两点，过点B 作 y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．(Ⅰ)证明：动点D 在定直线上．(Ⅱ)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线2=y 相交于点1N ,与(Ⅰ)中的定直线相交于点2N .证明：2122||||MN MN -为定值，并求此定值．8． [2014·辽宁卷] 已知点)3,2(-A 在抛物线px y C 2:2=的准线上，记C 的焦点为F ,则直线AF 的斜率为( )A ．34-B ．1-C ．43-D ．21-10．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F 为抛物线x y C 3:2=的焦点，过F 且倾斜角为︒30的直线交C 于B A ,两点，则=||AB ( )A.330B ．6C ．12D ．37 10．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知抛物线x y C =2:的焦点为),(,00y x A F 是C 上一点，045||x AF =,则=0x ( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．811．[2014·陕西卷] 抛物线x y 42=的准线方程为________． 22．[2014·浙江卷] 已知ABP ∆的三个顶点都在抛物线y x C 4:2=上，F 为抛物线C 的焦点,点M 为AB 的中点,FM PF 3=.(Ⅰ)若3||=PF ,求点M 的坐标；(Ⅱ)求ABP ∆面积的最大值．15．[2014·辽宁卷] 已知椭圆149:22=+y x C ,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为B A ,线段MN 的中点在C 上，则=+||||BN AN ________．2．[2014·安徽蚌埠质检] 设点)2,3(),3,2(---B A .若直线l 过点)1,1(P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．43≥k 或4-≤kB ．443≤≤-kC ．434≤≤-k D ．4≥k 或43-≤k6．[2014·承德联考] 使三条直线432,0,44=-=+=+my x y mx y x 不能围成三角形的m 的值最多有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．[2014·黄冈中学期末] 已知圆的方程为08622=--+y x y x ,设该圆过点)5,3(的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为_______．4．[2014·昆明一中检测] 已知直线t x =与椭圆192522=+y x 交于Q P ,两点．若点F 为该椭圆的左焦点，则使FQ FP ⋅取得最小值时，t 的值为( )A ．17100-B ．1750- C. 1750 D. 171003．[2014·济南期末] 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线均与圆056:22=+-+x y x C 相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 23B. 26C. 553D. 555．[2014·株洲模拟] 已知直线2-=x y 与圆034:22=+-+x y x C 及抛物线x y 82=依次交于D C B A ,,,四点，则||||CD AB +等于( )A ．10B ．12C ．14D ．163．[2014·湖南衡阳模拟] 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点分别为)0,2(),0,2(21F F -.点)0,1(M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)已知点N 的坐标为)2,3(,点P 的坐标为)3)(,(≠m n m ,过点M 任作直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，设直线BN NP AN ,,的斜率分别为321,,k k k ,若2312k k k =+,试求n m ,满足的关系式．。

上海市2014届高三寒假作业数学8Word版含答案

上海市2014届高三寒假作业数学8Word版含答案高三数学寒假作业满分150分，考试时间120分钟姓名____________ 班级_________学号__________一、填空题(每题4分，共56分)：1、设())(0f x ?=+ ＜?＜),π若/()()f x f x +为奇函数，则?= 2、方程14230x x +--=的解是3、设函数21123()......n n f x a a x a x a x -=++++，1(0)2f =，数列{}n a 满足2*(1)()n f n a n N =∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 等于4、已知81cos sin =θθ，且24πθπ<<，则θθsin cos -的值为_____________。

5、观察等式:()()()()()()231121,2122213,313233213 5.+=?++=??+++= 照此规律, 第n 个等式可为_____. 6、已知矩阵1204A ??= ?，2011B ??= ?-??，则AB =___________. 7、若函数1()1f x x =-(1)x ≠的反函数为1()f x -，则11()2f -= ▲ ．8、在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________ 9、若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y =2所围成的封闭区域, 则2x -y 的最小值为___-4_____.10、曲线311y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________________. 11、设函数()1f x x x =-．对任意[)1,x ∈+∞，()()0f mx mf x +<恒成立，则实数m 的取值范围是．12、设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-??=+??+?≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ??= ? ?????，则3a b +的值为▲ ．13、在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228140x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存C 有公共点，则k 的最大值是．14、已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件3()2f x f x ?+=- ，且函数34y f x ?=- ??是奇函数，给出以下四个命题：①函数()f x 是周期函数；②函数()f x 的图象关于点3,04??-对称；③函数()f x 是偶函数；④函数()f x 在R 上是单调函数.在上述四个命题中，正确命题的序号是__________（写出所有正确命题的序号）.二、选择题（每题5分，共20分）：15、某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下跌，后期价格在原有价格基础之上继续下跌．若用函数 f （x ）＝－x 2＋4x ＋7进行价格模拟（注x=0表示4月1号，x=1表示5月1号，…，以此类推，通过多年的统计发现，当函数，取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，则可以预测明年拓展外销市场的时间为（A ）5月1日（B ）6月1日（C ）7月1日（D ）8月1日16、已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题：①若βαβα⊥?⊥，则m m ,；②若βαββαα//,////,,则，n m n m ??；③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,??相交；④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且??=? 其中正确的命题是（） A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④17、己知点P 在直线10x y +-=上，点Q 在直线30x y ++=上，PQ 中点00(,)M x y 且0020x y -+<，则y x 的范围是( ) (A) 1(3,)5- (B) 1(,3)(,)5-∞-+∞(C) 1(1,)3-- (D)1(,1)(,)3-∞--+∞18、对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件三、解答题（本大题满分74分）： 19、（本题满分12分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求110x ≤≤),每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x 的取值范围;(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.20、（本题满分14分）在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a bc ,且222a b c +=.(1)求C ; (2)设()()2cos cos cos cos 5cos 5A B A B ααα++==,求tan α的值. 21、（本题满分14分）如图，已知三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。

2014年解析几何高考题选讲(含答案)

2014年解析几何高考题选讲1. (北京卷)已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（）A.7B.6C.5D.42、（四川卷）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（）A、 B、 C、 D、3（福建卷）已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,30,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为（）.5.29.37.49A B C D4．（江西卷）过双曲线12222=-by a x C ：的右定点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过为坐标原点），两点（、O O A ，则双曲线C 的方程为（）A.112422=-y x B.19722=-y x B. C.18822=-y x D.141222=-y x5. （上海卷）已知曲线C ：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为6. （辽宁卷）已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .7. （江西卷）设椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于B A ，两点，B F 1与y 轴交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________.8.（湖北卷）已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则（Ⅰ）b = ；（Ⅱ）λ= .9. (北京卷)已知椭圆C ：2224x y +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.10．（江西卷）如图，已知抛物线2:4C xy =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）. （1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||||MN MN -为定值，并求此定值.11．（陕西卷）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点，离心率为12，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -. （1）求椭圆的方程；（2）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D两点，且满足||||4AB CD =，求直线l 的方程. x12.（大纲卷）已知抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. (1)求抛物线C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M,N 两点，且A,M,B,N 四点在同一个圆上，求直线l 的方程.2014年解析几何高考题选讲答案1.B2.B3.C4.A5. [2,3]8. （Ⅰ）12-；（Ⅱ）129. 解：（I ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=，所以224,2a b ==，从而2222c a b =-=、内部，因此2,a c ==，故椭圆C 的离心率 .（II ）设点A ，B 的坐标分别为00(,2),(,)t x y ，其中00x ≠，因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即0020tx y +=，解得002y t x =-，又220024x y +=，所以22200||()(2)AB x t y =-+-=2200002()(2)y x y x ++-=2220002044y x y x +++ =2220002042(4)42x x x x --+++=2200284(04)2x x x ++<≤，因为22002084(04)2x x x +≥<≤，且当204x =时间等号成立，所以2||8AB ≥，故线段AB长度的最小值为10.（1）解：依题意可设AB 方程为2y kx =+，代入24x y =，得24(2)x kx =+，即2480x kx --=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则有：128x x =-，直线AO 的方程为11y y x x =；BD 的方程为2x x =；解得交点D 的坐标为1221(,)y x x x ，注意到128x x =-及2114x y =，则有212121211244y x x x x x y x x ====-，因此D 点在定直线2(0)y x =-≠上.（2）依题设，切线l 的斜率存在且不等于零，设切线l 的方程为(0)y ax b a =+≠，代入24x y =得24()x ax b =+，即2440x ax b --=，由0∆=得2(4)160a b +=，化简整理得2b a =-，故切线l 的方程可写为2y ax a =-，分别令2,2y y ==-得12,N N 的坐标为1222(,2),(,2)N a N a a a +-+-，则222222122()4()8MN MN a a a a -=-+-+=，即2221MN MN -为定值8.11. （1）由题意可得312222b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩—xyF 2F 1DCBA O解得2,3,1a b c ===∴椭圆的方程为22143x y += （2）由题意可得以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=∴圆心到直线l 的距离为5d =由1d <15<，可得5||m <22242||21215455m CD d m ∴=-=-=-设1122(,),(,)A x y B x y联立2212143y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 整理得2230x mx m -+-=由求根公式可得：12x x m +=，2123x x m =-||AB ∴==||||4AB CD =1=解方程得3m =±，且满足||2m < ∴直线l的方程为123y x =-+或123y x =--12.解：（1）设Q （x 0，4），代入由22(0)y px p =>中得x 0=8p，所以088,22p p PQ QF x p p ==+=+，由题设得85824p p p+=⨯，解得p =－2（舍去）或p =2.所以C 的方程为24y x =.（2）依题意知直线l 与坐标轴不垂直，故可设直线l 的方程为1x my =+，（m ≠0）代入24y x =中得2440y my --=，设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=－4，故AB 的中点为D （2m 2+1,2m ），2124(1)AB y y m =-=+，有直线l '的斜率为－m ，所以直线l '的方程为2123x y m m=-++，将上式代入24y x =中，并整理得2244(23)0y y m m+-+=. 设M(x 3,y 3),N(x 4,y 4),则234344,4(23)y y y y m m+=-=-+. 故MN的中点为E（23422223,),m MN y m m ++-=-=）. 由于MN 垂直平分AB ，故A,M,B,N 四点在同一个圆上等价于12AE BE MN ==,从而2221144AB DE MN +=,即222222224224(1)(21)4(1)(2)(2)m m m m m m m +++++++=，化简得m 2-1=0，解得m =1或m =－1，所以所求直线l 的方程为x -y-1=0或x +y-1=0.。

东莞市高三数学(理)小综合专题解析几何含答案

2014届高三理科数学小综合专题练习——解析几何东莞高级中学陈四良老师提供一、选择题1.ABC ∆的顶点),0,5(),0,5(B A -ABC ∆的内切圆圆心在直线3=x 上,则顶点C 的轨迹方程为（）A 。

116922=-y xB 。

191622=-y xC 。

)3(116922>=-x y xD.)4(191622>=-x y x2。

在椭圆141622=+y x 内,通过点)1,1(M ，且被这点平分的弦所在的直线方程为（）A.054=-+y xB.054=--y x C 。

054=-+y x D 。

054=--y x 3.给出两点)3,2(-A 、)2,3(B 。

当直线02=++y ax 与线段AB 有交点时,实数a 的取值范围是（）A.),34[]25,(+∞--∞ B 。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25,34 C 。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-34,25 D.),25[]34,(+∞--∞ 4。

设F 1、F 2分别为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M ，N 两点，且满足∠MAN ＝120°，则该双曲线的离心率为A 、3B C 、23D5.已知抛物线22y px=（0p >）的准线与圆22(3)16x y -+=相切，则p 的值为( ) A ．12B ．1C ．2D ．4二、填空题6。

已知直线与直线01=--y x 垂直，则直线的倾斜角=α .7.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率等于31,其焦点分别为A,B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在ABC ∆中,CB A sin sin sin +的值等于_________。

8.已知圆的方程为02222=++++a y ax y x,一定点A(1，2)，要使过定点A的圆的切线有两条。

2014年全国各地高考试题分类汇编(文数)8----解析几何(解答题)(全Word,精心排版)

2014年全国各地高考试题分类汇编（文数）解析几何（解答题）（2014安徽文数）21．（本小题满分13分）设1F ，2F 分别是椭圆E ：22221x ya b+=(0)a b >>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，113AF F B =．（1）若2||4,AB ABF =△的周长为16，求2AF ；（2）若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率．解：（1）由113AF F B =，4AB =，得13AF =，11F B =．因为2ABF △的周长为16，所以由椭圆定义可得416a =，1228AF AF a +==．故212835AF a AF =-=-=．（2）设1F B k =，则0k >且13AF k =，4AB k =．由椭圆定义可得223AF a k =-，22BF a k =-．在2ABF △中，由余弦定理可得222222222cos AB AF BF AF BF AF B =+-∠，即()()()()()222642322325k a k a k a k a k =-+----．化简可得()()30a k a k +-=，而0a k +>，故3a k =．于是有213AF k AF ==，25BF k =．因此22222BF F A AB =+，可得12F A F A ⊥，1AF F △为等腰直角三角形．从而2c a =，所以椭圆的离心率2c e a ==．（2014北京文数）19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2224x y +=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值．解：（1）由题意知，椭圆C 的标准方程为22142x y +=．所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=．因此2a =，c =C的离心率2c e a ==．（2）直线AB 与圆222x y +=相切．证明如下：设点,A B 的坐标分别为()00,x y ，(),2t ，其中00x ≠．因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=uu r uu u r ，即0020tx y +=，解得002yt x =-．当0x t =时，202t y =-，代入椭圆C的方程，得t =AB的方程为x =圆心O 到直线AB的距离d =AB 与圆222x y +=相切．当0x t ≠时，直线AB 的方程为()0022y y x t x t--=--，即()()0000220y x x t y x ty ---+-=．圆心O 到直线AB 的距离d =．又220024x y +=，02y t x =-，故d ===AB 与圆222x y +=相切．（2015大纲文数）22．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．解：（1）设()0,4Q x ，代入22y px =得08x p =．所以8PQ P =，0822p p QF x p=+=+．由题设得85824p p p+=+，解得2p =-（舍去）或2p =．所以C 的方程为24y x =．（2）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为()10x my m =+≠．代入24y x =得2440y my --=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，124y y =-．故AB 的中点为()221,2D mm +，()21241AB y y m =-=+．又l '的斜率为m -，所以l '的方程为2123x y m m=-++．将上式代入24y x =，并整理得()2244230y y m m+-+=．设()33,M x y ，()44,N x y ，则344y y m +=-，()234423y y m ⋅=-+．故MN 的中点为222223,E m mm ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，(234241m MN y m+=-=．由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而2221144AB DE MN +=，即()()()2222222244121224122m m m m m m m++⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．化简得210m -=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．（2014福建文数）21．（本小题满分12分）已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2．（1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ．直线3y=分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．解：（1）解法一：设(),S x y 为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到()0,1F 的距离与它到直线1y =-的距离相等，所以曲线Γ是以点()0,1F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为24x y =．解法二：设(),S x y 为曲线Γ上任意一点，则()32y --，依题意，点(),S x y 只能在直线3y =-的上方，所以3y >-1y =+，化简得，曲线Γ的方程为24x y =．（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下：由（1）知抛物线Γ的方程为214y x =，设()()000,0P x y x ≠，则20014y x =，由12y x '=，得切线l 的斜率0012x x k y x ='==，所以切线l 的方程为()00012y y x x x -=-，即2001124y x x x =-．由20011240y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得01,02A x ⎛⎫⎪⎝⎭．由20011243y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得0016,32M x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．又()0,3N ，所以圆心0013,34C x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，半径0011324r MN x x ==+，AB所以点P 在曲线Γ上运动是，线段AB 的长度不变．（2014广东文数）20．（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，离心率（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．解：（1）由题意知c =c e a ==，所以3a =，2224b a c =-=，故椭圆C 的标准方程为22194x y +=．（2）当过P 点的两条切线的斜率均存在时，不妨设为12,k k ，则过P 点的切线方程可设为()0000y y k x x y kx y kx -=-⇒=+-，由0022194y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，有()()()222000094189360k x y kx kx y kx ++-+--=，()()()222200009944y kx k k y kx ∆⎡⎤=--+--=0⎣⎦，整理得()22200009240x k x y k y --+-=，所以()2012020439y k k x x -=≠±-，由已知得121k k =-，所以22419y x -=--，所以220013x y +=，即此时点P 的轨迹方程为220013x y +=．当两条切线中有一条垂直于x 轴时，此时P 点坐标为()3,2±±，也满足方程()22000133x y x +=≠±．综上所述，所求P 点的轨迹方程为220013x y +=．（2014湖北文数）22．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的轨迹为C ．（1）求轨迹C 的方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -．求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．解：（I ）设点(),Mx y ，依题意得1MFx =+1x +，化简整理得()221y x =+．故点M 的轨迹C 的方程为24, 0,0, 0.x x y x ⎧=⎨<⎩…（II ）在点M 的轨迹C 中，记1C ：24yx =，2C ：()00y x =<，依题意，可设直线l 的方程为()12y k x -=+．由方程组()2124y k x y x-=+⎧⎪⎨=⎪⎩可得()244210ky y k -++=．①（1）当0k =时，此时1y =．把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =．故此时直线l ：1y =与轨迹C 恰好有一个公共点1,14⎛⎫⎪⎝⎭．（2）当0k ≠时，方程①的判别式为()21621k k ∆=-+-．② 设直线l 与x 轴的交点为()0,0x ，则由()12y k x -=+，令0y =，得021k xk+=-．③ （i ）若00x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1k <-或12k >．即当()1,1,2k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．（ii ）若000x ∆=⎧⎨<⎩或000x ∆>⎧⎨⎩…则由②③解得11,2k ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭或102k -<…．即当11,2k ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点．当1,02k ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点．故当11,01,22k ⎡⎫⎧⎫∈--⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．（iii ）若000x ∆>⎧⎨<⎩<则由②③解得112k -<<-或102k <<．即当111,0,22k ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合（1）（2）可知，当(){}1,1,02k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11,01,22k ⎡⎫⎧⎫∈--⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当111,0,22k ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．（2014湖南文数）20．（本小题满分13分）如图所示，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(00)x y C a b a b -=>>，和椭圆222222222:+1(0)y x C a b a b =>>均过点1P ⎫⎪⎪⎝⎭，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．（1）求12C C ，的方程；（2）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且OA OBAB +=？证明你的结论．解：（1）由题意得：2211222241314131a b a b ⎧⎪-=⎪⎪⎨⎪⎪-=⎪⎩①②且222122a a b =-，又()221112222a a ⨯==，得211a =，所以213b =． 2222222241311a b a b +=⎧⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩①②，则222214113b b +=+，整理得()2222422222223443133b b b b b b ++=+=+，化简得42223440b b --=，即()()22223220b b +-=，即222b =，故223a =．1C ：2213y x -=；2C ：22132x y +=．（2）由OA OBAB OB OA +==-，得OA OB ⊥，因为OA OB ⊥，则在1C 中，点O 到直线AB 的距离为1d ，则22211111112133d a b =-=-=，故2132d =．在3C 中，点O 到AB 的距离为2d ，则22222211165d a b =+=，故2256d =．12d d ≠，故不存在．（2014江西文数）20．（本小题满分13分）如图所示，已知抛物线2:4C xy =，过点(0,2)M 任作一直线与C相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．（1）求证：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含x 轴），与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，求证：2221MN MN -为定值，并求此定值．解：（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，:2AB y kx =+．联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，消y 得2480x kx --=，故121248x x k x x +=⎧⎨=-⎩，11OA y k x =，11:yOA y x x =，2:BD x x =，所以2121,x y D x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又()21212211122x kx x y x kx x x x +==+，128x x -=，所以21221228x y x kx x x =+-222222444x kx x kx -=-=()2122212244x x x x x x +-===-．因此动点D 在定直线2y =-上．（2）设抛物线24x y =上任意一点200,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为：()200042x xy x x -=-，化简得22000224x x x y x =-+20024x x x =-，200224y x x y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，得20108,22x N x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．200224y x x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，得20208,22x N x ⎛⎫-⎪⎝⎭．22201082x MN x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2220208162x MN x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ ，故222222002100881622x x MN MN x x ⎛⎫⎛⎫-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2020321616884x x =-=-=为定值．（2014辽宁文数）20．（本小题满分12分）如图所示，圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P ．（1）求点P 的坐标；（2）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:l y x =A ，B 两点，若PAB △的面积为2，求C 的标准方程．解：（1）设切点坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则切线斜率为0x y -，切线方程为()0000x y y x x y -=--，即004x x y y +=．此时，两个坐标轴的正半轴与切线围城的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=，由22000042x y x y +=…知当且仅当00x y ==00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P的坐标为．（2）设C 的坐标方程为()222210x y a b a b+=>>，点()11,A x y ，()22,B x y ．由点P 在C 上知22221a b +=，并由22221x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222620b x b ++-=，又1x ，2x是方程的根，因此12212262x x b x x b ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由11y x =22y x =12AB x =-=．由点P 到直线l及122PAB S AB ==△得429180b b -+=，解得26b =或3，因此26b =，23a =（舍）或23b =，26a =，从而所求C 的方程为22163x y +=．（2014山东文数）21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，直线y x =被椭圆C截得的线段长为5．（1）求椭圆C 的方程；（2）过原点的直线与椭圆C 交于,A B 两点（,A B 不是椭圆C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点．（i ）设直线,BD AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；（ii ）求OMN △面积的最大值．解：（1）由题意知2a =，可得224a b =，椭圆C 的方程可简化为2224x y a +=．将y x =代入可得x ==2a =．因此1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）（i ）设()()1111,0A x y x y ≠，()22,D x y ，则()11,B x y --，因为直线AB 的斜率11AB y k x =，又AB AD ⊥，所以直线AD 的斜率11x k y =-．设直线AD 的方程为y kx m =+，由题意知0k ≠，0m ≠．由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222148440k x mkx m +++-=．所以122814mk x x k +=-+，因此()121222214my y k x x m k +=++=+．由题意知12x x ≠-，所以1211121144y y y k x x k x +==-=+．所以直线BD 的方程为()11114y y y x x x +=+．令0y =，得13x x =，即()13,0M x ．可得1212y k x =-．所以1212k k =-，即12λ=-．因此存在常数12λ=-使得结论成立．（ii ）直线BD 的方程为()11114y y y x x x +=+，令0x =，得134y y =-，即130,4N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭．由（i ）知()13,0M x ，可得OMN △的面积11111393248S =x y x y ⨯⨯=．因为22111114x x y y +=…，当且仅当112x y ==时等号成立，此时S 取得最大值98，所以OMN △面积的最大值为98．（2014陕西文数）20．（本小题满分13分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>经过点)3,0(，离心率为21，左、右焦点分别为()10F c-，，()20F c ，．（1）求椭圆的方程；（2）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于A ，B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D两点，且满足AB CD=求直线l 的方程．解：（1）由题设知22212b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩，解得2a =，b =1c =，所以椭圆的方程为22143x y +=．（2）由（1）知，以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=，所以圆心到直线l的距离d =1d <得m <()*所以CD ===()11,A x y ，()22,B x y ，由2212143y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2230x mx m -+-=，由根与系数关系可得12x x m +=，2123x x m ⋅=-．所以AB ==AB CD =1=，解得3m =±，满足()*．所以直线l 的方程为123y x =-+或123y x =--．（2014四川文数）20．（本小题满分13分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为()2,0F -，离心（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q ．当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．解：（1）因为(2,0)F -，所以2c =，又e 3=所以a =2222b a c =-=，即椭圆C 的方程为22162x y +=．（2）如图所示，由题意可设直线PQ 的方程为2x my =-．当0m =时，2x =-，此时()3,0T -，P ，Q 关于点F 对称，但DF TF ≠，故四边形OPTQ 不是平行四边形，与题意不符，故0m ≠．直线TF ：()2y m x =-+，令3x =-，得y m =，即()3,T m -，连接OT ，设O TP Q E =，则3,22m E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立方程222162x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()22236my y -+=，即()223420m y my +--=，显然()2216830m m ∆=++>，令()11,P x y ，()22,Q x y ．则12243m y y m +=+，12223y y m -=+，则1222232E y y m m y m +===+，解得21m =．此时PQ ====TF ==．所以四边形OPTQ的面积122S PQ TF =⨯⨯⨯== （2014天津文数）18．（本小题满分13分）设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B．已知12AB F =．（1）求椭圆的离心率；（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过点2F 的直线l与该圆相切于点M ，2MF = 解：（1）设椭圆右焦点2F 的坐标为(),0c．由12AB F =，可得2223a b c +=，又222b a c =-，则2212c a =．所以，椭圆的离心率2e =．（2）由（1）知222a c =，22b c =．故椭圆方程为222212x y c c+=．设()00,P x y ．由()1,0F c -，()0,B c ，有()100,F P x c y =+uuu r ，()1,F B c c =uuu r．由已知，有110F P F B ⋅=uuu r uuu r，即()000x c c y c ++=．又0c ≠，故有000x y c ++=．①因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c+=②由①和②可得200340x cx +=．而点P 不是椭圆的顶点，故043x c =-，代入①得03cy =，即点P 的坐标为4,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭．该圆的圆心为()11,T x y ，则1402323c x c -+==-，12323ccy c +==，进而圆的半径3r ==．由已知，有22222TF MF r =+，又2MF =故有22222508339c c c c ⎛⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23c =．所以，所求椭圆的方程为22163x y +=．（2014新课标1文数）20．（本小题满分12分）已知点)2,2(P ，圆C ：0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积．解：（1）圆C 的方程可化为()22416x y +-=，所以圆心为()0,4C ，半径为4．设(),M x y ，(),4CM x y =-，()2,2MP x y =--．由题设知0CM MP ⋅=，故()()()2420x x y y -+--=，即()()22132x y -+-=由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是()()22132x y -+-=．（2）由（1）可知M 的轨迹是以点()1,3NOP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON PM ⊥．因为ON 的斜率为3，所以l 得斜率为13-，故l 的方程为1833y x =-+．又OM OP ==O 到l，PM =，所以POM △的面积为165．（2014新课标2文数）20．（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直．直线1MF 与C 的另一个交点为N ．（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15M N FN =，求,a b ．解：（1）根据c =2,b M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，223b ac =．将222b ac =-代入223b ac =，解得12c a =或2c a=-（舍去）．故C 的离心率为12．（2）由题意，知原点O 为12F F 的中点，2//MF y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点()0,2D 是线段1MF 的中点，故24b a=，即24b a =，① 由15MN F N =得112DF F N =．设()11,N x y ，由题意知10y <，则()11222c x c y ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，即11321x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，代入C 的方程为，得2229114c a b +=．②将①及c =()22941144a a a a-+=．解得7a =，2428b a ==．故7a =，b =．（2014浙江文数）22．已知ABP △的三个顶点都在抛物线2:4C x y =上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，3PF FM =；（1）若3PF =，求点M 的坐标；（2）求ABP △面积的最大值．解：（1）由题意知焦点()0,1F ，准线方程为1y =-．设()00,P x y ，由抛物线定义知01PF y =+，得到02y =，所以()2P或()2P -．由3PF FM =，分别得23M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或23M ⎫⎪⎪⎝⎭．（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，点()11,A x y ，点()22,B x y ，()00,P x y ．由2,4y kx m x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx m --=，于是216160k m ∆=+>，124x x k +=，124x x m =-，所以AB 的中点M 的坐标为()22,2k k m +．由3PF FM =得()()200,132,21x y k k m --=+-，所以0206,463,x k y k m =-⎧⎪⎨=--⎪⎩由2004x y =得214515k m =-+．由0∆>，20k …，得1433m -<…．又因为AB =，点()0,1F 到直线AB的距离为d =，所以48ABP ABF S S m ==-=△△．记()321435133f m m m m m ⎛⎫=-++-< ⎪⎝⎭…．令()291010f m m m '=-+=，解得119m =，21m =．可得()f m 在11,39⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，在1,19⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数．又1256492433f f ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当19m =时，()f m 取到最大值256243，此时k = 所以ABP △面积的最大值为135（2014重庆文数）21．（本小题满分12分）如图所示，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||||F F DF =12DF F △的面积为2．（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由．DF 2F 1Oyx解：（1）设()1,0F c -，()2,0F c ，其中222c a b =-．由121F F DF =12DF ==．从而1221121222DF F S DF F F ===△，故1c =．从而12DF =，由112D F FF ⊥得222211292DF DF F F =+=，22DF =．∴122a DF DF =+=，故a =2221b a c =-=．所求椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，()111,,P x y =，(22,P x =是两个交点，10y >，20y >，11F P ，22F P 是圆C 的切线，且1122F P F P ⊥．由圆和椭圆的对称性，易知21x x =-，12y y =．由（1）知()11,0F -，()21,0F ，所以()11111,F P x y =+，()22111,F P x y =--．再由1122F P F P ⊥得()221110x y -++=由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=，解得143x =-或10x =．当10x =时，1P ，2P 重合，此时题设要求的圆不存在．当143x =-时，过1P ，2P 分别与11F P ，22F P 垂直的直线的交点即为圆心C ．设()00,C y ，由111CP F P ⊥，得1011111y y y x x -⋅=-+．而11113y x =+=，故053y =．故圆C 的半径11213CP ===2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．。

安徽省2014届高三寒假作业数学8 含答案

高三数学寒假作业8一、选择题：（1）设集合{}{}31,,31,M x x n n N y y n n ==+∈==-∈Z Z ，若00,xM y N ∈∈，则00x y 与,M N 的关系是（）（A ）M y x∈00（B)N y x ∈0（C)N M y x ∈0（D ）N M y x ∉0(2）已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题:p 若αβ⊥，βγ⊥，则//αγ；命题:q 若α上不共线的三点到β的距离相等，则//αβ。

对以上两个命题，下列结论中正确的是（）（A ）命题“p 且q ”为真（B ）命题“p 或q ⌝"为假 (C)命题“p 或q ”为假（D ）命题“p ⌝且q ⌝”为假(3）若关于x 的方程mm-=1log 21在区间(0,1）上有解，则实数m 的取值范围是（）（A ）（0，1）（B ）（1,2）(C)),2()1,(+∞-∞ （D ）),1()0,(+∞-∞（4）已知两个等差数列{}na 和{}nb 的前n 项和分别为A n和nB ，且7453n n A n B n +=+，则使得nna b 为整数的正偶数时，n 的值是（）（A ）1 （B ）2 （C ）5 （D ）3或11（5）已知函数()ln2x xe ef x --=，则()f x 是（）（A ）非奇非偶函数，且在()0,+∞上单调递增（B)奇函数，且在R 上单调递增（C ）非奇非偶函数，且在()0,+∞上单调递减 (D)偶函数，且在R 上单调递减(6）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2， BC ＝3，D ，E分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为（ )（A ）6π（B)4π（C ）3π（D ）2π （7）设函数⎰==≠+=3002),(3)(),0()(x x f dx x f a b axx f 则若（ )（A ）1±（B)2 （C ）3±(D)2（8）已知等比数列6{}0na ≠<的公比q>0且q 1,又a,则（）（A ）5748a a a a +>+（B)5748a a a a +<+（C)5748aa a a +=+ （D ）5748||||a a a a+>+(9）已知数列｛na ｝满足*331log1log ()n n a a n ++=∈N ，且2469a a a ++=，则 15793log ()a a a ++的值是（）（A ）15- （B)5- （C)5 （D ）15二、填空题：（10）数列3331{},,log ()2242nn n n n n n a n SS a b a =--=+的前项和为满足设，则数列11{}n n b b +⋅的前19项和为；（11）)8,7,,2,1,0(,)2121(887722108=+++++=+k a x a x a x a x a a x k 其中都是常数，则873218732a a a a a +++++ 的值为(12）已知函数,21)(,21)(,,cos sin 3sin)(2=-=∈+=βαωωωf f R x x x x x f 又若||βα-的最小值为π43，则正数ω的值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13.设数列{}na 满足：1112,()n n naa a n N a *+==+∈．证明:21nan +n N *∈恒成立；14.如图，在三棱锥P ABC -中，PA AC ⊥，PA AB ⊥，PA AB =，3ABC π∠=，2BCA π∠=, 点D ，E 分别在棱,PB PC 上,且//DE BC ，（I)求证：BC ⊥平面PAC ;（II)当D 为PB 的中点时,求AD 与平面PAC 所成的角的大小;(III ）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角?并说明理由．15。

云南省2014届高三数学寒假作业(8)

云南省2013-2014学年高三寒假作业（8）数学 Word 版含答案第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释）1.若()2cos()f x x m ωϕ=++ 对任意实数t ,都有()()4f t f t π+=- ，且()18f π=-，则实数m 的值等于 A ．1± B ．－3或1C ．3±D ．－1或32.已知,()()()a b f x x a x b >=--函数的图象如图，则函数()log ()a g x x b =+的图象可能为yx1OA ．B ．C ．D ．3.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD =60︒，E 为BC 的中点，则BD AE ⋅=A ．3-B ．1-C ．0D ．14.已知3sin()35x π-=，则cos()6x π+= A ．35 B ．45 C ．35- D ．45-5.如图，设D 是边长为l 的正方形区域，E 是D 内函数y x =与2y x =所构成(阴影部分)的区域，在D 中任取一点，则该点在E 中的概率是A ．13 B ．23 C ．16 D ．146.某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果是26，则判断框内应为A ．K>2B ．K>3C ．K>4D ．K>57.在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S = （） (A)．7 (B)．15 (C)．20 (D)．258.过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则qp 11+等于（） A ．2a B ．a 21 C ．4a D ．a4第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9.函数()21lg x f x x+=()0,x x R ≠∈有如下命题:（1）函数()y f x =图像关于y 轴对称.（2）当0x >时，()f x 是增函数，0x <时，()f x 是减函数. （3）函数()f x 的最小值是lg 2. （4）()f x 无最大值，也无最小值. 其中正确命题的序号是 .10.函数x x f 5log 21)(-=的定义域为 .11.若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则sin()4πα+= 。

2014届高考数学(理)分项模拟解析几何(含详解)

解析几何一、选择题1．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若a ＝2，则直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1，反之也成立，即“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充要条件，故应选C.答案：C2．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点M (3,5)的最长弦、最短弦分别为AC ，BD ，则以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )A ．106B ．20 6C ．30 6D ．40 6解析：已知圆的圆心为(3,4)，半径为5，则最短的弦长为252－12＝46，最长的弦为圆的直径为10，则四边形的面积为12×46×10＝206，故应选B.答案：B3．若直线l 被圆x 2＋y 2＝4所截得的弦长为23，则直线l 与下列曲线一定有公共点的是( )A ．y 2＝x B.x 22－y 2＝1C ．(x －2)2＋y 2＝4 D.x 23＋y 2＝1解析：依题意得，圆心(0,0)到直线l 的距离等于4－⎝⎛⎭⎫2322＝1，即直线l 必是圆x 2＋y 2＝1的切线．对于A ，圆x 2＋y 2＝1的切线x ＝－1与曲线y 2＝x 没有公共点；对于B ，圆x 2＋y 2＝1的切线x ＝－1与曲线x 22－y 2＝1没有公共点；对于C ，圆x 2＋y 2＝1的切线x ＝－1与曲线(x －2)2＋y 2＝4没有公共点；对于D ，由于圆x 2＋y 2＝1上的所有点均不在椭圆x 23＋y 2＝1外，因此圆x 2＋y 2＝1的切线与曲线x23＋y 2＝1一定有公共点．综上所述，选D.答案：D4．已知双曲线y 22－x 23＝1的两个焦点分别为F 1、F 2，则满足△PF 1F 2的周长为6＋25的动点P 的轨迹方程为( )A.x 24＋y 29＝1B.x 29＋y 24＝1 C.x 24＋y 29＝1(x ≠0) D.x 29＋y 24＝1(x ≠0) 解析：依题意得，|F 1F 2|＝22＋3＝25，|PF 1|＋|PF 2|＝6＞|F 1F 2|，因此满足△PF 1F 2的周长为6＋25的动点P 的轨迹是以点F 1、F 2为焦点，长轴长是6的椭圆(除去长轴的端点)，即动点P 的轨迹方程是x 24＋y 29＝1(x ≠0)，选C.答案：C5．正方形的四个顶点都在双曲线C 上，其一边经过C 的焦点，则C 的离心率为( )A.3＋12 B ．2C.5＋12D. 2解析：不妨设正方形的边长为2，则有2c ＝2,2a ＝5－1，∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝2c2a＝25－1＝5＋12，选C.答案：C6．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94D ．4 解析：直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －14，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点⎝⎛⎭⎫14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.答案：C7．已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△P AB 面积的最大值是( )A ．3－ 2B ．4C ．3＋ 2D ．6解析：依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心⎝⎛⎭⎫－k 2，0位于直线x －y －1＝0上，于是有－k 2－1＝0，即k ＝－2，因此圆的圆心坐标是(1,0)、半径是1.由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离等于|1－0＋2|2＝322，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1，△P AB 面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋2，选C.答案：C8．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )A. 3B. 5 C ．2 D.5－1解析：由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋(－1)2＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1.答案：D9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，离心率为e ，若点(－1,0)与点(1,0)到直线x a －y b ＝1的距离之和为S ，且S ≥45c ，则离心率e 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤52，5 B ．[2，7] C.⎣⎡⎦⎤52，7 D.[]2，5解析：由题意得S ＝|－b －ab |a 2＋b 2＋|b －ab |a 2＋b2＝2ab c ≥45c ，所以2c 2≤5ab ，即4c 4≤25a 2(c 2－a 2)，整理得4c 4－25a 2c 2＋25a 4≤0，所以4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5，即52≤e ≤ 5.答案：A10．已知椭圆x 22a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F 1、F 2，则椭圆和双曲线离心率的平方和为( )A.94B.74 C ．2 D ．3解析：依题意得2a 2－b 2＝a 2＋b 2，即a 2＝2b 2，因此该椭圆和双曲线的离心率分别是 2a 2－b 22a 2和 a 2＋b 2a 2，该椭圆与双曲线的离心率的平方和为2a 2－b 22a 2＋a 2＋b 2a 2＝4b 2－b 24b 2＋2b 2＋b 22b 2＝94，选A. 答案：A11．若P 是双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)和圆C 2：x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点且∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，其中F 1、F 2是双曲线C 1的两个焦点，则双曲线C 1的离心率为( )A.3－1B.3＋1 C ．2 D ．3解析：依题意得，∠F 1PF 2＝90°，又∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，因此∠PF 1F 2＝30°，|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝32|F 1F 2|＝3c ，双曲线C 1的离心率等于|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝2c3c －c＝3＋1，选B.答案：B12．若曲线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 恰好是曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，且曲线C 1与曲线C 2交点的连线过点F ，则曲线C 2的离心率为( )A.2－1B.2＋1C.6＋22D.2＋12解析：设曲线C 1与曲线C 2在第一象限的交点为A ，则点A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以A 点的坐标可以表示为⎝⎛⎭⎫p 2，p ，所以p ＝2c ，从而b 2a＝2c ，即e 2－2e －1＝0，解得e ＝2＋1或e ＝1－2(舍去)，故选B.答案：B 二、填空题13．已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线y 2＝2x 上，其中O 为坐标原点，则△OAB 的外接圆的方程是______________．解析：由题意知A ，B 两点关于x 轴对称，所以外接圆的圆心C 在x 轴上．设圆C 的半径为r (r ＞0)，则圆心坐标为(r,0)，A 点坐标为⎝⎛⎭⎫32r ，32r ，于是有⎝⎛⎭⎫32r 2＝2×32r ，解得r ＝4，所以圆C 的方程为(x －4)2＋y 2＝16.答案：(x －4)2＋y 2＝1614．若直线l ：4x ＋3y －8＝0过圆C ：x 2＋y 2－ax ＝0的圆心且交圆C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．解析：由题易知，圆C ：x 2＋y 2－ax ＝0的圆心为⎝⎛⎭⎫a 2，0.又直线l ：4x ＋3y －8＝0过圆C的圆心⎝⎛⎭⎫a 2，0，∴4×a2＋3×0－8＝0，∴a ＝4，∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.∴|AB |＝2r ＝4.又点O (0,0)到直线l ：4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|0＋0－8|42＋32＝85，∴S △OAB ＝12|AB |·d ＝12×4×85＝165.答案：16515．F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为__________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知：|AF |＋|BF |＝p 2＋x 1＋p2＋x 2＝x 1＋x 2＋p ＝6，∵p ＝1，∴x 1＋x 2＝5，∵线段AB 的中点的横坐标为x 1＋x 22＝52，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为52.答案：5216．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为__________．解析：由题意知，△ABE 为等腰三角形．若△ABE 是锐角三角形则只需要∠AEB 为锐角．根据对称性，只要∠AEF ＜π4即可．直线AB 的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b4a2，取点A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |＜|EF |就能使∠AEF ＜π4，即b2a ＜a ＋c ，即b 2＜a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2＜0，即e 2－e －2＜0，即－1＜e ＜2，又e ＞1，故1＜e ＜2.答案：(1,2) 三、解答题17．已知椭圆x 2m ＋1＋y 2＝1的两个焦点是F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)．(1)设E 是直线y ＝x ＋2与椭圆的一个公共点，求|EF 1|＋|EF 2|取得最小值时椭圆的方程； (2)已知点N (0，－1)，斜率为k (k ≠0)的直线l 与条件(1)下的椭圆交于不同的两点A ，B ，点Q 满足AQ →＝QB →，且NQ →·AB →＝0，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．解析：(1)由题意，知m ＋1＞1，即m ＞0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋1＋y 2＝1，得(m ＋2)x 2＋4(m ＋1)x ＋3(m ＋1)＝0. 又Δ＝16(m ＋1)2－12(m ＋2)(m ＋1)＝4(m ＋1)(m －2)≥0，解得m ≥2或m ≤－1(舍去)，∴m ≥2. 此时|EF 1|＋|EF 2|＝2m ＋1≥2 3.当且仅当m ＝2时，|EF 1|＋|EF 2|取得最小值23，此时椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t .由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝kx ＋t ，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，∴Δ＝(6kt )2－4(1＋3k 2)(3t 2－3)＞0，即t 2＜1＋3k 2.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x Q ，y Q )，则x 1＋x 2＝－6kt1＋3k 2.由AQ →＝QB →，得Q 为线段AB 的中点，则x Q ＝x 1＋x 22＝－3kt 1＋3k 2，y Q ＝kx Q＋t ＝t1＋3k 2. ∵NQ →·AB →＝0，∴直线AB 的斜率k AB 与直线QN 的斜率k QN 乘积为－1，即k QN ·k AB ＝－1，∴t1＋3k 2＋1－3kt 1＋3k 2·k ＝－1，化简得1＋3k 2＝2t ，代入①式得t 2＜2t ，解得0＜t ＜2.又k ≠0，即3k 2＞0，故2t ＝1＋3k 2＞1，得t ＞12.综上，直线l 在y 轴上的截距t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2.18．已知圆C ：(x －4)2＋(y －m )2＝16(m ∈N *)，直线4x －3y －16＝0过椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a＞b ＞0)的右焦点，且被圆C 所截得的弦长为325，点A (3,1)在椭圆E 上．(1)求m 的值及椭圆E 的方程；(2)设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AC →·AQ →的取值范围．解析：(1)因为直线4x －3y －16＝0被圆C 所截得的弦长为325，所以圆心C (4，m )到直线4x －3y －16＝0的距离为 42－⎝⎛⎭⎫1652＝125，即|4×4－3×m －16|5＝125，解m ＝4或m ＝－4(舍去)．又因为直线4x －3y －16＝0过椭圆E 的右焦点，所以椭圆E 的右焦点F 2的坐标为(4,0)，则其左焦点F 1的坐标为(－4,0)．因为椭圆E 过A 点，所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，所以2a ＝52＋2＝62，所以a ＝32，a 2＝18，b 2＝2，故椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1.(2)由(1)知C (4,4)，又A (3,1)，所以AC →＝(1,3)，设Q (x ，y )，则AQ →＝(x －3，y －1)，则AC →·AQ→＝x ＋3y －6.令x ＋3y ＝n ，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 22＝1，x ＋3y ＝n ，消去x 得18y 2－6ny ＋n 2－18＝0，由于直线x ＋3y ＝n 与椭圆E 有公共点，所以Δ＝(6n )2－4×18×(n 2－18)≥0，解得－6≤n ≤6，故AC →·AQ →＝x ＋3y －6的取值范围为[－12,0]．19．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝22，左、右焦点分别为F 1、F 2，抛物线y 2＝42x 的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知圆M ：x 2＋y 2＝23的切线l 与椭圆相交于A 、B 两点，那么以AB 为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．解析：(1)设椭圆C 的焦距为2c .∵椭圆C 的离心率e ＝22，∴c a ＝22，即a ＝2c . ∵抛物线y 2＝42x 的焦点F (2，0)恰好是该椭圆的一个顶点， ∴a ＝ 2.∴c ＝1，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)(ⅰ)当直线l 的斜率不存在时， ∵直线l 与圆M 相切，∴其中的一条切线的方程为x ＝63.由⎩⎨⎧x ＝63，x22＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝63，y ＝63或⎩⎨⎧x ＝63，y ＝－63，不妨设A ⎝⎛⎭⎫63，63，B ⎝⎛⎭⎫63，－63，则以AB 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －632＋y 2＝23.(ⅱ)当直线l 的斜率为零时，∵直线l 与圆M 相切，∴其中的一条切线的方程为y ＝－63. 由⎩⎨⎧y ＝－63，x22＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝63，y ＝－63或⎩⎨⎧x ＝－63，y ＝－63，不妨设A ⎝⎛⎭⎫63，－63，B ⎝⎛⎭⎫－63，－63，则以AB 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋632＝23. 显然以上两圆的一个交点为O (0,0)．(ⅲ)当直线l 的斜率存在且不为零时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，消去y 得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1.∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 22k 2＋1.∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝3m 2－2k 2－22k 2＋1.①∵直线l 和圆M 相切，∴圆心到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2＝63，整理得m 2＝23(1＋k 2)，②将②式代入①式，得OA →·OB →＝0，显然以AB 为直径的圆经过定点O (0,0)．综上可知，以AB 为直径的圆过定点(0,0)．20．如图，已知M (m ，m 2)、N (n ，n 2)是抛物线C ：y ＝x 2上的两个不同的点，且m 2＋n 2＝1，m ＋n ≠0，直线l 是线段MN 的垂直平分线．设椭圆E 的方程为x 22＋y 2a＝1(a ＞0，a ≠2)．(1)当M 、N 在C 上移动时，求直线l 的斜率k 的取值范围；(2)已知直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，与椭圆E 交于P 、Q 两点，设线段AB 的中点为R ，线段QP 的中点为S ，若OR →·OS →＝0，求椭圆E 的离心率的取值范围．解析：(1)由题意知，直线MN 的斜率k MN ＝m 2－n 2m －n＝m ＋n ，又l ⊥MN ，m ＋n ≠0，∴直线l 的斜率k ＝－1m ＋n.∵m 2＋n 2＝1，由m 2＋n 2≥2mn ，得2(m 2＋n 2)≥(m ＋n )2，即2≥(m ＋n )2(当m ＝n 时，等号成立)， ∴|m ＋n |≤2，∵M 、N 是不同的两点，即m ≠n ， ∴0＜|m ＋n |＜2，∴|k |＞22，即k ＜－22或k ＞22.(2)由题意易得，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫m ＋n 2，m 2＋n 22，∵直线l 是线段MN 的垂直平分线，∴直线l 的方程为y －m 2＋n 22＝k ⎝⎛⎭⎫x －m ＋n 2，又∵m 2＋n 2＝1，k ＝－1m ＋n，即m ＋n ＝－1k ，∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1，将直线l 的方程代入抛物线和椭圆方程并分别整理得，x 2－kx －1＝0，① (a ＋2k 2)x 2＋4kx ＋2－2a ＝0.②易知方程①的判别式Δ1＝k 2＋4＞0，方程②的判别式Δ2＝8a ·(2k 2＋a －1)，由(1)易知k 2＞12，a ＞0， ∴2k 2＋a －1＞a ＞0，∴Δ2＞0恒成立．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，则x A ＋x B ＝k ，y A ＋y B ＝kx A ＋1＋kx B ＋1＝k (x A ＋x B )＋2＝k 2＋2，∴线段AB 的中点R 的坐标为⎝⎛⎭⎫k 2，k 22＋1，又x P ＋x Q ＝－4k a ＋2k 2，y P ＋y Q ＝kx P ＋1＋kx Q ＋1＝k (x P ＋x Q )＋2＝2aa ＋2k 2， ∴线段QP 的中点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k a ＋2k 2，a a ＋2k 2.∴OR →＝⎝⎛⎭⎫k 2，k 22＋1，OS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2ka ＋2k 2，a a ＋2k 2，由OR →·OS →＝0得，－k 2＋a ⎝⎛⎭⎫k 22＋1a ＋2k2＝0，即－k 2＋a ⎝⎛⎭⎫k 22＋1＝0， ∴a ＝2k 2k 2＋2，∵|k |＞22，∴a ＝2k 2k 2＋2＝2－4k 2＋2＞2－412＋2＝25，a ＝2k 2k 2＋2＝2－4k 2＋2＜2，故25＜a ＜2.由题易知，椭圆E 的离心率e ＝ 2－a2， ∴a ＝2－2e 2，∴25＜2－2e 2＜2，∴0＜e 2＜45，∴0＜e ＜255，∴椭圆E 的离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，255.21．已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上，且C 1的中心和C 2的顶点均为原点O .(1)求C 1、C 2(2)请问是否存在直线l 满足下列条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M 、N ，且满足OM →⊥ON →.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解析：(1)设抛物线C 2的标准方程为y 2＝2px (p ≠0)，则有y 2x＝2p (x ≠0)，据此验证四个点易知只有(1，－2)、(4，－4)两点在抛物线上，进而可求得C 2的标准方程为y 2＝4x .设椭圆C 1的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，把(－2,0)、⎝⎛⎭⎫2，62两点代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b2＝1，2a 2＋32b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，故C 1的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在满足题设条件的直线l . 由(1)知抛物线C 2的焦点为(1,0)，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x 24＋y 23＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－32，故不妨令M ⎝⎛⎭⎫1，32，N ⎝⎛⎭⎫1，－32. 此时OM →·ON →＝1－94＝－54，这与OM →⊥ON →矛盾．当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)，直线l 与C 1的交点坐标为M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，得，(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0，所以x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4(k 2－3)3＋4k 2，y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(k 2－3)3＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝－9k 23＋4k 2. 又OM →⊥ON →，即OM →·ON →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即4(k 2－3)3＋4k 2－9k 23＋4k2＝0，整理得5k 2＋12＝0，此方程无实数解．所以不存在满足题设条件的直线l .22．已知平面上的动点P (x ，y )及两定点A (－2,0)，B (2,0)，直线P A ，PB 的斜率分别是k 1，k 2，且k 1·k 2＝－14.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与曲线C 交于不同的两点M 、N .①若OM ⊥ON (O 为坐标原点)，证明点O 到直线l 的距离为定值，并求出这个定值；②若直线BM ，BN 的斜率都存在并满足k BM ·k BN ＝－14，证明直线l 过定点，并求出这个定点．解析：(1)由题意得y x ＋2·y x －2＝－14(x ≠±2)，即x 2＋4y 2－4＝0(x ≠±2)，所以P 点的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，化简得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.所以x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.①若OM ⊥ON ，则x 1x 2＋y 1y 2＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，即(1＋k 2)4m 2－44k 2＋1＋km －8km 4k 2＋1＋m 2＝0，化简得m 2＝45(1＋k 2)，此时点O 到直线l 的距离为d ＝|m |1＋k2＝255，即点O 到直线l 距离为定值255.②k BM ·k BN ＝－14，即y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－14.即x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋4y 1y 2＝0，即x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝0，即4m 2－4－8km (4km －2)4k 2＋1＋4m 2＋4＝0，化简得m (m ＋2k )＝0，解得m ＝0或m ＝－2k .当m ＝0时，直线l 恒过原点；当m ＝－2k 时，直线l 恒过点(2,0)，此时直线l 与曲线C 最多只有一个公共点，不符合题意．所以，直线l 恒过定点，定点坐标是(0,0)．。

2014年高考数学三轮专项模拟解析几何试卷理

解析几何本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·济南模拟)若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点() A．(1，－2)B．(1,2)C．(－1,2) D．(－1，－2)【解析】依题意，k＋b＝－2，∴b＝－2－k，∴y＝kx＋b＝k(x－1)－2，∴直线y＝k(x－1)－2必过定点(1，－2)．【答案】 A2．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．【答案】 A3．(2013·陕西高考)设z1，z2是复数，则下列命题中的假．命题是()A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22【解析】A，|z1－z2|＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒z1＝z2，真命题；B，z1＝z2⇒z1＝z2＝z2，真命题；C，|z1|＝|z2|⇒|z1|2＝|z2|2⇒z1·z1＝z2·z2，真命题；D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z21＝1，z22＝－1，即z21≠z22，假命题．【答案】 D4．(2013·北京高考)若双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为() A．y＝±2x B．y＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x【解析】 ∵e ＝3，∴ca ＝3，即a 2＋b 2a 2＝3，∴b 2＝2a 2，∴双曲线方程为x 2a 2－y 22a2＝1，∴渐近线方程为y ＝±2x . 【答案】 B5．(2013·课标全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x【解析】设M (x 0，y 0)，A (0,2)，MF 的中点为N . 由y 2＝2px ，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0， ∴N 点的坐标为x 0＋p22，y 02.由抛物线的定义知，x 0＋p2＝5，∴x 0＝5－p2.∴y 0＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p 2. ∵|AN |＝|MF |2＝52，∴|AN |2＝254. ∴x 0＋p222＋y 02－22＝254.即⎝⎛⎭⎫5－p 2＋p 224＋2p ⎝⎛⎭⎫5－p 22－22＝254.∴2p ⎝⎛⎭⎫5－p 22－2＝0.整理得p 2－10p ＋16＝0.解得p ＝2或p ＝8.∴抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝16x . 【答案】 C6．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为( ) A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和0【解析】作直线2x ＋y ＝0，并向右上平移，过点A 时z 取最小值，过点B 时z 取最大值，可求得A (1,0)，B (2,0)，∴z min ＝2，z max ＝4. 【答案】 B7．(2013·北京高考)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83D.1623【解析】由C ：x 2＝4y ，知焦点P (0,1)．直线l 的方程为y ＝1.所求面积S ＝⎠⎛2－2⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －x 3122－2＝83. 【答案】 C8．(2013·杭州质检)已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3【解析】根据已知条件c ＝16－m 2，则点(16－m 2，2216－m 2)在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)上，∴16－m 216＋16－m 22m 2＝1，可得m ＝2 2.【答案】 B第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上) 9．若圆心在x 轴上、半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是________．【解析】设圆心为(a,0)(a <0)，则r ＝|a ＋2×0|12＋22＝5，解得a ＝－5，所以，所求圆的方程为：(x ＋5)2＋y 2＝5，故选D.【答案】 (x ＋5)2＋y 2＝510．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为________．【解析】因为直线过椭圆的左焦点(－3，0)，所以△ABM 的周长为|AB |＋|AM |＋|BM |＝4a ＝8.【答案】 811．(2013·皖南八校联考)双曲线x 2m －y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4mx 的焦点重合，则n 的值为________．【解析】抛物线焦点F (m,0)为双曲线的一个焦点， ∴m ＋n ＝m 2.又双曲线离心率为2， ∴1＋nm＝4，即n ＝3m .所以4m ＝m 2，可得m ＝4，n ＝12. 【答案】 1212．l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．【解析】当AB ⊥l 1，且AB ⊥l 2时，l 1与l 2间的距离最大．又k AB ＝－1－10－1＝2， ∴直线l 1的斜率k ＝－12，则l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.【答案】 x ＋2y －3＝013．(2013·福建高考改编)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．【解析】由x 24－y 2＝1知顶点(2,0)，渐近线x ±2y ＝0，∴顶点到渐近线的距离d ＝25＝255.【答案】25514．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为________．图1【解析】 i ＝1，s ＝1→s ＝1，i ＝2→s ＝2，i ＝3→s ＝4，i ＝4→s ＝7，i ＝5结束．【答案】 715．三角形ABC 中，已知AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－6，且角C 为直角，则角C 的对边c 的长为__________．【解析】由AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－6，得AB →·(BC →＋CA →)＋BC →·CA →＝－6，即AB →·BA →＋BC →·CA →＝－6， ∵C ＝90°，∴－c 2＝－6，c ＝ 6. 【答案】6三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)已知圆C 的方程为：x 2＋y 2－2mx －2y ＋4m －4＝0(m ∈R )． (1)试求m 的值，使圆C 的面积最小；(2)求与满足(1)中条件的圆C 相切，且过点(1，－2)的直线方程．【解】圆C 的方程：(x －m )2＋(y －1)2＝(m －2)2＋1. (1)当m ＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小． (2)当m ＝2时，圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，设所求的直线方程为y ＋2＝k (x －1)，即kx －y －k －2＝0，由直线与圆相切，得|2k －1－k －2|k 2＋1＝1，k ＝43，所以切线方程为y ＋2＝43(x －1)，即4x －3y －10＝0，又因为过点(1，－2)且与x 轴垂直的直线x ＝1与圆也相切，所以所求的切线方程为x ＝1或4x －3y －10＝0.17．(本小题满分12分)(2013·山东高考改编)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)设A ，B 是椭圆C 上的两点，△AOB 的面积为64.若A 、B 两点关于x 轴对称，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .如果OP →＝tOE →，求实数t 的值．【解】 (1)设椭圆C 的方程为：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝a 2－b 2，c a ＝22，2b ＝2，解得a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由于A 、B 两点关于x 轴对称，可设直线AB 的方程为x ＝m (－2＜x ＜2，且m ≠0)．将x ＝m 代入椭圆方程得|y |＝2－m 22，所以S △AOB ＝|m |2－m 22＝64. 解得m 2＝32或m 2＝12.①又OP →＝tOE →＝12t (OA →＋OB →)＝12t (2m,0)＝(mt,0)，又点P 在椭圆上，所以(mt )22＝1.②由①②得t 2＝4或t 2＝43.又因为t ＞0，所以t ＝2或t ＝233. 18．(本小题满分12分)如图2，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB＝AA 1＝ 2.图2(1)证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小．【解】 (1)证明法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB ＝AA 1＝2， ∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)．由A 1B 1→＝AB →，易得B 1(－1,1,1)．∵A 1C →＝(－1,0，－1)，BD →＝(0，－2,0)，BB 1→＝(－1,0,1)， ∴A 1C →·BD →＝0，A 1C →·BB 1→＝0， ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，又BD ∩BB 1＝B ，A 1C ⊄平面BB 1D 1D ， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD . 又∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ， ∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C .又OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C ＝2，且AC ＝2，∴AC 2＝AA 21＋A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C . 又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .(2)设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵OC →＝(－1,0,0)，OB 1→＝(－1,1,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·OC →＝－x ＝0，n ·OB 1→＝－x ＋y ＋z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－z . 取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，A 1C →＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量， ∴cos θ＝|cos 〈n ，A 1C →〉|＝12×2＝12. 又∵0≤θ≤π2，∴θ＝π3.19．(本小题满分13分)(2013·广东高考)设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n＝a2n＋1－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2＝4a1＋5；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1<12.【解】(1)证明：由4S n＝a2n＋1－4n－1，得4S1＝a22－4－1，即4a1＝a22－4－1，所以a22＝4a1＋5.因为a n>0，所以a2＝4a1＋5.(2)因为4S n＝a2n＋1－4n－1，①所以当n≥2时，4S n－1＝a2n－4(n－1)－1，②由①－②得4a n＝a2n＋1－a2n－4，即a2n＋1＝a2n＋4a n＋4＝(a n＋2)2(n≥2)．因为a n>0，所以a n＋1＝a n＋2，即a n＋1－a n＝2(n≥2)．因为a2，a5，a14成等比数列，所以a25＝a2a14，即(a2＋3×2)2＝a2(a2＋12×2)，解得a2＝3.又由(1)知a2＝4a1＋5，所以a1＝1，所以a2－a1＝2.综上知a n＋1－a n＝2(n∈N*)，所以数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．所以a n＝1＋2(n－1)＝2n－1.所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1(n∈N*)．(3)证明：由(2)知1a n a n＋1＝1(2n－1)(2n＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n－1－12n＋1，所以1a1a2＋1a2a3＋…＋1 a n a n＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n＋1＝12－14n＋2<12.20．(本小题满分13分)(2013·安徽高考)设椭圆E：x2a2＋y21－a2＝1的焦点在x轴上．(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．【解】 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上且焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1.(2)证明设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝2a 2－1. 由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c ，直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c .故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 坐标为⎝⎛⎭⎫0，cy 0c －x 0.因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0.由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．21．(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34.(1)求抛物线C 的方程；(2)是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【解】 (1)依题意知F (0，p 2)，圆心Q 在线段OF 的垂直平分线y ＝p4上，因为抛物线C 的准线方程为y ＝－p2，所以3p 4＝34，即p ＝1.因此抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)假设存在点M (x 0，x 202)(x 0>0)满足条件，抛物线C 在点M 处的切线斜率为y ′|x ＝x 0＝(x 22)′|x ＝x 0＝x 0，所以直线MQ 的方程为y －x 202＝x 0(x －x 0)．令y ＝14得x Q ＝x 02＋14x 0，所以Q (x 02＋14x 0，14)．又|QM |＝|OQ |，故(14x 0－x 02)2＋(14－x 202)2＝(14x 0＋x 02)2＋116，因此(14－x 202)2＝916.又x 0>0，所以x 0＝2，此时M (2，1)．故存在点M (2，1)，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M .。

广东省2014届高三寒假作业数学(八) 解析

广东省2014届高三寒假作业（八)数学一、选择题 1．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为（）A ．－2B ．2C ．－4D ．42．过点（0，1)作直线,使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点，这样的直线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．在焦点分别为的双曲线上有一点P ，若ÐF 1PF 2=，｜PF 2|=2|PF 1｜，则该双曲线的离心率等于（）A ．2B ．C ．3D ．4．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为( ) Ks5uA ．B ．C ．D ．5．已知椭圆221(0,0)x y m n m n+=>>的长轴长为10，离心率35e =，则椭圆的方程是（）A ．2212516x y +=或2211625x y +=B ．221169x y +=或221916x y +=C ．221259x y +=或221925x y +=D ．22110025x y +=或22125100x y +=6．抛物线212=yx截直线62-=x y 所得的弦长等于（）A ．34m <<B ．72m >C ．732m << D ．742m <<8．已知双曲线221169x y -=，则它的渐近线的方程为()A ．35y x =± B ．34y x =± C ．43y x =± D ．54y x =±二、填空题9．双曲线2221(0)x y a a-=>的右焦点到它的渐近线的距离为。

10．已知椭圆C 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为3，且椭圆C 上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆C 的方程为________________11．抛物线24yx =的准线方程是.12．椭圆中，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为2，焦点到相应准线的距离也为2，则该椭圆的离心率为Ks5u13．设抛物线)(0>2=2p px y 的焦点为F ，点),(20A 。

解析几何综合2014(二)

解析几何综合（二）题型四：椭圆及其几何性质例7.[2014·四川卷] 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C的标准方程．(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C 于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；②当|TF||PQ|最小时，求点T的坐标．例8.[2014·湖南卷] 如图1-7，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且|F 2F 4|＝3－1.(1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点．当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ例9.[2014·辽宁卷] 圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图1-6所示)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1过点P 且离心率为 3.(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．例10.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．例11.[2014·浙江卷] 如图1-6，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．(1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；(2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .例12.[2014·重庆卷] 如图1-4所示，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条。

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2014届高三数学寒假作业八（解析几何）姓名__________学号____________一、填空题 1．已知直线1:60l x ay ++=和2:(2)320l a x y a -++=，则12//l l 的充要条件是a =___． 2．直线032=-+y x 与直线04=++b y ax 关于点)0,1(A 对称,则a =_______． 3．圆心在直线4y x =-上，且与直线:10l x y +-=相切于点(3,2)P -的圆的方程是__________________________．4．圆心在抛物线22x y =上,并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为______． 5．椭圆x 225+y 29=1上一点M 到焦点F 1的距离为2,N 是MF 1的中点,则|ON |等于．6．双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 为双曲线上位于第一象限内一点,且12PF F ∆的面积为6,则点P 的坐标为___________．7．已知抛物线x y C 8:2=的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ,点A 在抛物线C 上且|||AK AF =，则△AFK 的面积为__________．8．设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，若对满足条件的,x y 不等式03yc x +≥-恒成立，则c 的最小值是____________．9．设AB 是椭圆的长轴,点C 在椭圆上,且4CBA π∠=,若AB =4,BC =则椭圆的两个焦点之间的距离为________．10．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是_________________．11．已知直线0x y m ++=(m >0)与圆222x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点OA OB AB →→→+≥，那么实数m 的取值范围是．12．圆C 通过不同的三点(,0)P λ，(2,0)Q ，(0,1)R ，已知圆C 在点P 处的切线的斜率为1，则圆C 的方程为．13．如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是__________．14．过点)3,2(且与直线1l :0=y 和2l :x y 43=都相切的所有圆的半径之和为________.二、解答题15．已知ABC ∆的顶点)1,3(-A ，AB 边上的中线所在直线的方程为059106=-+y x ，B ∠平分线所在的直线的方程为0104=+-y x ，求BC 边所在直线的方程．16．已知圆C :x 2+y 2+2x -4y +3=0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等,求此切线的方程;(2)从圆C 外一点P (x 1,y 1)向该圆引一条切线,切点为M ,O 为坐标原点,且有|PM |=|PO |,求使得|PM |取得最小值时点P 的坐标.17．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.18 ．如图椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）和圆2C ：222x y b +=，已知圆2C 将椭圆1C 的长轴三等分，椭圆1C ，椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点A 、B ．（1）求椭圆1C 的方程；（2）若直线EA 、EB 分别与椭圆1C 相交于另一个交点为点P 、M .①求证：直线MP 经过一定点；②试问：是否存在以(,0)m 为圆心，5为半径的圆G ，使得直线PM 和直线AB 都与圆G 相交？若存在，请求出所有m 的值；若不存在，请说明理由．y2014届高三数学寒假作业八（解析几何）答案一、填空题 1．1-提示：13(2)a a ⨯=⨯-1,3a ⇔=-，3a = 时两直线重合（舍）1a ∴=- 2．2提示：由题意，两条直线平行，所以1422a a ⨯=⨯∴= 3. (x -1)2+(y +4)2=8 提示：过(3,2)P -与直线l 垂直的直线方程为23y x +=-即5y x =-与4y x =-联立得圆心坐标为(1,4)-2r ∴==4. ()121122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+±y x提示：设圆心为2(,)2t t 由题意21||22t t =+1t ∴=±5. 4提示：设2F 是椭圆的右焦点，则2111||(2)22ON MF a MF ==-6．⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,556提示：设0000(,)(0,0)P x y x y >> ，则120012362PF F S c y y ∆=⋅⋅==02y ∴=代入椭圆方程得0x =7. 8提示：过2001(,)8A y y 作准线垂线，垂足为1A 1|||AK AF ==2001||28y y ∴=+ 0||4y ∴= 011||44822AKF S KF y ∆∴=⋅⋅=⨯⨯=8．34提示：03y c x +≥-恒成立3y c x ⇔-≤-恒成立 3y x - 表示圆上一点(,)x y 与定点(3,0)连线的斜率，由线性规划知识可知3yx -的最小值是34-34c ∴-≤-34c ∴≥9．3提示：如图，不妨设椭圆焦点在x 轴上，C 在第一象限，由图可知1BD CD ==C ∴点坐标为(1,1)由方程组221112a ba ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得243b =23c ∴===10. 3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，提示：设00(,)P x y 为椭圆上任意一点，则12200022000PA PA y y y k k x a x a x a ⋅=⋅=+-- 00(,)P x y 在椭圆上，2222220000222()1x y b a x y a b a-∴+=⇒=1222PA PA b k k a ∴⋅=- 本题中121233334484PA PA PA PA k k k k ⎡⎤∴⋅=-⇒-∈⎢⎥⎣⎦， 11．提示：设AB 线段的中点为C ，可得2ABOC ≥，∠AOB ≤90°，可得1OC ≤< ，即1<2m <≤0m >2m <12. 221525()()222x y +++=提示： P ,Q 都在x 轴上，切线的斜率是对称的．所以在Q点的切线斜率为1-，所以CQ 的斜率为1．:2CQ y x =-，可设00(,2)C x x -2215)()22x y +++=1312124AF AF r r ∴+=+=① 四边形12AF BF 为矩形，2221212AF AF F F ∴+=即22212(2)12r r c +== ②14. 42提示：设圆心为(,)C x y ，圆过点(2,3)，且与直线1l 和2l 都相切则有r =（*）C 到1:0l y =的距离1||d y r ==；C 到23:4l y x =的距离2|34|5x y d r -== 由图可知圆心(,)C x y 在直线1l 和2l 上方，34153y r y r x y r x r ==⎧⎧⎪⎪∴⇒-+⎨⎨==-⎪⎪⎩⎩代入（*）两边平方得2222121411143(2)(3)904213939r r r r r r r =--+-⇒-+=⇒+==。

即所有符合条件的圆半径之和为42．二、解答题15.解：设由点B 在直线0104=+-y x 上可设),104(a a B -，则AB 中点)21,274(--a a ，05921102746=--⨯+-⨯∴a a ，5=a ，即)5,10(B 设点A 关于0104=+-y x 的对称点),('n m A ，则'AA 的中点)21,23(-+n m)7,1('01021423431A n m m n 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-⨯-+-=-+∴ 'A 在直线BC 上，即得直线BC 的方程：06592=-+y x 16．解(1)将圆C 配方得(x +1)2+(y -2)2=2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方程为y =kx , 由|k ＋2|1＋k 2=2,解得k =2±6,得y =(2±6)x .②当直线在两坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为x +y -a =0, 由|－1＋2－a|2=2,得|a -1|=2,即a =-1,或a =3. ∴直线方程为x +y +1=0,或x +y -3=0.综上,圆的切线方程为y =(2+6)x ,或y =(2-6)x ,或x +y +1=0,或x +y -3=0.(2)由|PO |=|PM |,得x 21+y 21=(x 1+1)2+(y 1-2)2-2,整理得2x 1-4y 1+3=0.即点P 在直线l :2x -4y +3=0上.当|PM |取最小值时,即OP 取得最小值,直线OP ⊥l ,∴直线OP 的方程为2x +y =0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35. 17．解:(1)由⎩⎨⎧-=-=142x y x y 得圆心C 为(3,2),∵圆C 的半径为1∴圆C 的方程为:1)2()3(22=-+-y x显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,即03=+-y kx∴113232=++-k k ∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43-=k∴所求圆C 的切线方程为:3=y 或者343+-=x y 即3=y 或者01243=-+y x(2)解:∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上,所以,设圆心C 为(a ,2a -4)则圆C 的方程为:[]1)42()(22=--+-a y a x又∵MO MA 2=∴设M 为(x ,y )则22222)3(y x y x +=-+整理得:4)1(22=++y x 设为圆D∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上即:圆C 和圆D 有交点 ∴[]12)1()42(1222+≤---+≤-a a由08852≥+-a a 得R x ∈ ；由01252≤-a a 得5120≤≤x 综上所述,a 的取值范围为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0 18 ．解：（1）依题意，1223b a =⋅，则3ab =，∴c ==，又224a b c c c -==，∴1b =，则3a =，∴椭圆方程为2219x y += （2）①由题意知直线,PE ME 的斜率存在且不为0，设直线PE 的斜率为k ，则PE ：1y kx =-，由221,1,9y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22218,9191,91k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或0,1,x y =⎧⎨=-⎩∴2221891(,)9191k k P k k -++ 用1k -去代k ，得222189(,)99k k M k k --++，方法1：22222229191919181810919PM k k k k k k k k k k k ----++==+++， ∴PM ：22229118()9109k k k y x k k k ---=+++，即214105k y x k -=+， ∴直线PM 经过定点4(0,)5T ．方法2：作直线l 关于y 轴的对称直线'l ，此时得到的点'P 、'M 关于y 轴对称，则PM 与''P M 相交于y 轴，可知定点在y 轴上，当1k =时，94(,)55P ，94(,)55M -，此时直线PM 经过y 轴上的点4(0,)5T ，∵22229141591,181091PT k k k k k k k ---+==+222294159,18109MT k k k k k kk ---+==-+ ∴PT MT k k =，∴P 、M 、T 三点共线，即直线PM 经过点T ，综上所述，直线PM 经过定点4(0,)5T ．②由221,1,y kx x y =-⎧⎨+=⎩得2222,11,1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或0,1,x y =⎧⎨=-⎩∴22221(,)11k k A k k -++，则直线AB ：212k y x k-=，设2110k t k-=，则t R ∈，直线PM ：45y tx =+，直线AB ：5y tx =，假设存在圆心为(,0)m的圆G ，使得直线PM 和直线AB 都与圆G 相交，则()4||()imtii<⎨+⎪<由（i）得22181825()2525t m-<对t R∈恒成立，则21825m≤，由（ii）得，221882()025525m t mt-+-<对t R∈恒成立，当21825m=时，不合题意；当21825m<时，228182()4()()052525m m∆=---<，得2225m<，即m<<，∴存在圆心为(,0)m，半径为5的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，所有m的取值集合为(．解法二：圆2218:()25G x m y-+=，由上知PM过定点4(0,)5，故22418()525m+<；又直线AB过原点，故2218:025G m+<，从而得()55m∈-．。