(新课标)2019届高考数学一轮复习第八章立体几何8.3空间点、线、面之间的位置关系课件理

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2019版高考数学一轮复习训练：基础与考点过关第八章立体几何初步

1. 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．
公理 3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2. 空间两条直线的位置关系
2
所以 GH∥BC，且 GH＝ BC，
所以四边形 BCHG为平行四边形． (2) 解： C，D，F，E 四点共面．理由如下：由
1 BE∥FA， BE＝ 2FA，点 G为 FA 的中点知，
BE∥ FG， BE＝ FG，所以四边形 BEFG为平行四边形，所以 EF∥BG. 由 (1) 知 BG∥CH， BG＝ CH，所以 EF∥CH，所以 EF 与 CH共面．又 D∈FH，所以 C， D， F， E 四点共面．
1 ∥FA， BE＝ 2FA，点 G， H 分别为 FA， FD的中点．
(1) 求证：四边形 BCHG是平行四边形． (2) C ， D， F，E 四点是否共面？为什么？
1 (1) 证明：因为点 G， H 分别为 FA， FD的中点，所以 GH∥AD， GH＝2AD.又 BC∥AD， BC
1 ＝ AD，
(1) 判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．
(2) 符号表示：若 l ? α， A?α ， B∈ α ， B?l ，则直线 AB 与 l 是异面直线．
5. 异面直线所成的角
(1) 定义：设 a，b 是异面直线，经过空间任意一点 O，作直线 a′∥ a， b′∥ b，我们

2019高考数学文一轮复习第8章立体几何章末总结含解析

章末总结C．28πD．32πⅡ，T14，5分)α，β是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：的中点；在平面P AC内的正投影ABCD中，AB∥CD，且∠一、选择题1．(必修2 P10B组T1改编)如图，若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是()A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台解析：选D．因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH⊄平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1．又因为平面EFGH∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，且EH＝FG，由长方体的特征知四边形EFGH为矩形，Ω为五棱柱，所以选项A，B，C都正确．故选D．2．(必修2 P61练习、P71练习T2、P73练习T1改编)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解析：选D．A中，两直线可能平行，相交或异面；B中，两平面可能平行或相交；C 中，两平面可能平行或相交；D中，由线面垂直的性质定理可知结论正确，故选D．3．(必修2 P78A组T7改编)正四棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为()A ．25πB ．252πC ．253πD ．254π解析：选C ．由三视图画出直观图与其外接球示意图，且设O 1是底面中心．由三视图知，O 1A ＝2，O 1P ＝3，所以正四棱锥P -ABCD 的外接球的球心O 在线段O 1P 上．设球O 的半径为R ．由O 1O 2＋O 1A 2＝OA 2得(3－R )2＋(2)2＝R 2．所以R ＝523．则外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π·⎝⎛⎭⎫5232＝253π．4．(必修2 P 79 B 组 T 2改编)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1D ∩平面A 1BC 1＝H ．有下列结论． ①B 1D ⊥平面A 1BC 1；②平面A 1BC 1将正方体体积分成1∶5两部分；③H 是B 1D 的中点；④平面A 1BC 1与正方体的六个面所成的二面角的余弦值都为33．则正确结论的个数有( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．对于①，连接B 1C 与A 1D ，由正方体性质知，BC 1⊥B 1C ，BC 1⊥A 1B 1，又A 1B 1∩B 1C ＝B 1，A 1B 1，B 1C ⊂平面A 1B 1CD ．所以BC 1⊥平面A 1B 1CD ．又B 1D ⊂平面A 1B 1CD ．所以B 1D ⊥BC 1．同理B 1D ⊥A 1B ，A 1B ∩BC 1＝B ．所以B 1D ⊥平面A 1BC 1，故①正确．对于②．设正方体棱长为a ．则V 三棱锥B -A 1B 1C 1＝13·12a ·a ·a ＝16a 3．所以平面A 1BC 1将正方体分成两部分的体积之比为16a 3∶(a 3－16a 3)＝1∶5．故②正确．对于③，设正方体棱长为a ，则A 1B ＝2a ．由V B 1-A 1BC 1＝16a 3，得13×34×(2a )2·B 1H ＝16a 3，所以B 1H ＝33a ，而B 1D ＝3a ．所以B 1H ∶HD ＝1∶2，即③错误．对于④，由对称性知，平面A 1BC 1与正方体六个面所成的二面角的大小都相等．由①知B 1H ⊥平面A 1BC 1，而A 1B 1⊥平面B 1BCC 1．所以∠A 1B 1H 的大小即为所成二面角的大小． cos ∠A 1B 1H ＝B 1H A 1B 1＝33aa ＝33．故④正确．故选C ．二、填空题5．(必修2 P 53 B 组 T 2改编)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，点A 1在底面ABC 上的射影D 为BC 的中点，则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为________．解析：连接A 1D ，AD ，A 1B ，易知∠A 1AB 为异面直线AB 和CC 1所成的角，设三棱柱的侧棱长与底面边长均为1，则AD ＝32，A 1D ＝12，A 1B ＝22，由余弦定理得cos ∠A 1AB ＝1＋1－122×1×1＝34．答案：346．(必修2 P 79 B 组 T 1改编)如图在直角梯形ABCD 中，BC ⊥DC ，AE ⊥DC ，M ，N 分别是AD ，BE 的中点，将△ADE 沿AE 折起．则下列说法正确的是________．(填上所有正确说法的序号)①不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥平面DEC ； ②不论D 折至何位置都有MN ⊥AE ；③不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥AB ； ④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC ⊥AD ； ⑤无论D 折至何位置，都有AE ⊥DC ．解析：如图，设Q ，P 分别为CE ，DE 的中点，可得四边形MNQP 是矩形，所以①②正确；不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN 与AB 是异面直线，不可能MN ∥AB ，所以③错；当平面ADE ⊥平面ABCD 时，可得EC ⊥平面ADE ，故EC ⊥AD ，④正确．无论D 折到何位置，均有AE ⊥平面CDE ．故AE ⊥CD ．故⑤正确．答案：①②④⑤三、解答题7．(必修2 P 79B 组T 1改编)如图，边长为33的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，将△AED ，△DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于点A ′．(1)求证：A ′D ⊥EF ．(2)当BE ＝BF ＝13BC 时，求三棱锥A ′EFD 的体积．解：(1)证明：因为A ′D ⊥A ′E ，A ′D ⊥A ′F ， A ′E ∩A ′F ＝A ′，所以A ′D ⊥平面A ′EF ，因为EF ⊂平面A ′EF ，所以A ′D ⊥EF ．(2)由(1)知，A ′D ⊥平面A ′EF ，所以A ′D 的长即为三棱锥D -A ′EF 的高，则A ′E ＝A ′F ＝23BC ＝23，EF ＝BE 2＋BF 2＝6，作A ′O ⊥EF 于点O ，所以A ′O ＝A ′E 2－⎝⎛⎭⎫12EF 2＝422，则V A ′EFD ＝V D -A ′EF ＝13A ′D ·S △A ′EF＝13×33×12EF ·A ′O ＝13×33×12×6×422＝3212． 8．(必修2 P 78 A 组 T 4改编)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 、M 分别是C 1B 1，C 1D 1和AB 的中点．(1)求证：MD 1∥平面BEFD ． (2)求M 到平面BEFD 的距离．解：(1)证明：连接BF ．因为M 、F 分别为AB 与C 1D 1的中点，且ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体．所以MB ═∥D 1F ．所以四边形MBFD 1为平行四边形，所以MD 1∥BF ．又MD 1⊄平面BEFD ，BF ⊂平面BEFD ．所以MD 1∥平面BEFD ． (2)过E 作EG ⊥BD 于G ．因为正方体的棱长为2，所以BE ＝5，BG ＝12(BD －EF )＝12(22－2)＝22．所以EG ＝BE 2－BG 2＝5－12＝322．所以S △EBD ＝12BD ×EG ＝12×22×322＝3．又S △MBD ＝12MB ×AD ＝12×1×2＝1．E 到平面ABCD 的距离为2，设M 到平面BEFD 的距离为d ．由V 三棱锥M -BDE ＝V 三棱锥E -MBD 得13S △EBD ·d ＝13S △MBD ×2．所以d ＝S △MBD ×2S △EBD ＝1×23＝23．所以M 到平面BED 的距离为23．。

高中数学高考45第八章立体几何 8 3 空间点、直线、平面之间的位置关系

例2 (1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交
√D.l至少与l1，l2中的一条相交
解析由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交.故选D.
的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 .
2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
平行直线共面直线
相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
(2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角) 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). ②范围： 0，π2. .
√D.点C和点M
解析 ∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ. 又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β. 根据公理3可知，M在γ与β的交线上. 同理可知，点C也在γ与β的交线上.
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6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH 在原正方体中互为异面的对数为_3_.
解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行. 故互为异面的直线有且只有3对.
解 ∵BE∥AF 且 BE＝12AF，G 为 FA 的中点， ∴BE∥FG且BE＝FG， ∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG. 由(1)知BG∥CH. ∴EF∥CH，∴EF与CH共面. 又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.

高考文科数学一轮总复习课标通用版课件：第8章立体几何8-2空间点、线、面之间的位置关系

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A．①②都是真命题
B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题
D．①②都是假命题
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【解析】由 α，β表示两个不同平面，a，b 表示两条不同直线，知：
①若 b⊂α，a⊄α，则“a∥b”⇒“a∥α”，
(2)异面直线所成的角：
一个平面内
①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′
与 b′所成的______________叫作异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
②范围：________________
(3)定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__________________．
共点．
公理 4：平行于同一条直线的两条直线________．
作用：可用来判断空间两条直线平行．
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2019届高考数学北师大版理大一轮复习讲义：第八章立

§8.3 空间图形的基本关系与公理1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． ②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．知识拓展1．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．2．异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(√)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(×)(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(×)(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(√)(5)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a α，b β，则a，b是异面直线．(×) 题组二教材改编2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C 与EF所成角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.3.如图，在三棱锥A —BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则(1)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形； (2)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为正方形．答案 (1)AC ＝BD (2)AC ＝BD 且AC ⊥BD 解析 (1)∵四边形EFGH 为菱形， ∴EF ＝EH ，故AC ＝BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形，∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ， ∵EF 綊12AC ，EH 綊12BD ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD .题组三易错自纠4．(2017·湖南省湘中名校联考)已知l ，m ，n 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥nC ．若α∩β＝l ，m ∥α，m ∥β，则m ∥lD ．若α∩β＝m ，α∩γ＝n ，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α 答案 C解析 A 中，m ，n 可能的位置关系为平行、相交、异面，故A 错误；B 中，m 与n 也有可能平行，B 错误；C 中，根据线面平行的性质可知C 正确；D 中，若m ∥n ，根据线面垂直的判定可知D 错误，故选C.5．(2017·湖北七市联考)设直线m 与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( ) A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直 B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直 C ．与直线m 垂直的直线不可能与平面α平行 D ．与直线m 平行的平面不可能与平面α垂直答案 B解析对于A ，在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直，过交点与直线m 垂直的直线只有一条，在平面内与此直线平行的直线都与m 垂直，不正确；对于B ，过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直，在直线m 上取一点作平面α的垂线，两条直线确定一个平面与平面α垂直，正确；对于C ，与直线m 垂直的直线不可能与平面α平行，不正确；对于D ，与直线m 平行的平面不可能与平面α垂直，不正确．6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为______．答案 3解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．题型一平面基本性质的应用典例如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P ，如图所示．则由P ∈CE ，CE 平面ABCD ，得P ∈平面ABCD . 同理P ∈平面ADD 1A 1.又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ， ∴P ∈直线DA ，∴CE ，D 1F ，DA 三线共点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练 (2018·沈阳质检)如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线．证明 (1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF ∥BD . ∵在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH . ∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG 平面ABC ， ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点．又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线．题型二判断空间两直线的位置关系典例 (1)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A ．l 与l 1，l 2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交答案 D解析方法一由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾．故l至少与l1，l2中的一条相交．方法二如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．(2)(2017·唐山一中月考)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)答案②④解析在图①中，直线GH∥MN；在图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉GH，因此直线GH与MN异面；在图③中，连接GM，GM∥HN，因此GH与MN共面；在图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，G∉MN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决．跟踪训练(1)(2016·山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交，故选A. (2)已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，已知下列结论：①若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c ；②若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ⊥c ；③若a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c . 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析在空间中，若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ，c 可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．题型三求两条异面直线所成的角典例 (2018·南宁模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45答案 D解析连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，易得A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45，即异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.引申探究将上例条件“AA 1＝2AB ＝2”改为“AB ＝1，若异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为910”，试求AA 1AB的值．解设AA 1AB ＝t ，则AA 1＝tAB .∵AB ＝1，∴AA 1＝t .∵A 1C 1＝2，A 1B ＝t 2＋1＝BC 1， ∴cos ∠A 1BC 1＝t 2＋1＋t 2＋1－22×t 2＋1×t 2＋1＝910. ∴t ＝3，即AA 1AB＝3.思维升华用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．跟踪训练 (2017·佛山模拟)如图所示，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________．答案 60°解析取A 1C 1的中点E ，连接B 1E ，ED ，AE ，在Rt △AB 1E 中，∠AB 1E 为异面直线AB 1与BD 所成的角．设AB ＝1，则A 1A ＝2，AB 1＝3， B 1E ＝32，故∠AB 1E ＝60°.构造模型判断空间线面位置关系典例已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β； ②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中所有正确的命题是________．(填序号)思想方法指导本题可通过构造模型法完成，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后利用模型直观地对问题作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误．对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断．解析借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α，β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α，β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确．答案①④1．在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案 A解析选项A是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．2．(2018·佛山模拟)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与直线A1B1，EF，BC都相交的直线()A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条答案 D解析在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N，如图，故有无数条直线与直线A1B1，EF，BC都相交．3．(2017·济南模拟)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是() A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c答案 C解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.4．(2017·福州质检)直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析如图，延长CA到点D，使得AD＝AC，连接DA1，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB，所以△A1DB为等边三角形，所以∠DA1B＝60°.故选C.5．下列命题中，正确的是()A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a α，b β，则a，b是异面直线B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D．若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条答案 D解析对于A，当α∥β，a，b分别为第三个平面γ与α，β的交线时，由面面平行的性质可知a∥b，故A错误．对于B，设a，b确定的平面为α，显然a α，故B错误．对于C，当a α时，直线a与平面α内的无数条直线都平行，故C错误．易知D正确．故选D.6．以下四个命题中，①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析①显然是正确的；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③中构造长方体(或正方体)，如图所示，显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．7．给出下列命题，其中正确的命题为________．(填序号)①如果线段AB在平面α内，那么直线AB在平面α内；②两个不同的平面可以相交于不在同一直线上的三个点A，B，C；③若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；④若三条直线两两相交，则这三条直线共面；⑤两组对边相等的四边形是平行四边形．答案①③8．(2018·广州质检)如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中：①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.9．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．答案 4解析EF与正方体左、右两侧面均平行，所以与EF相交的平面有4个．10.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．答案 2解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.11.(2018·石家庄调研)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．证明如图，连接BD，B1D1，则BD∩AC＝O，∵BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，B1D 平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.即D1，H，O三点共线．12.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．解如图所示，取AC的中点F，连接EF，BF，∵在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD.∴∠BEF 或其补角即为异面直线BE 与CD 所成的角．在Rt △EAB 中，AB ＝AC ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52. 在Rt △EAF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22. 在Rt △BAF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010.∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010.13．(2018·长春质检)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( ) A ．l 1⊥l 4 B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定答案 D解析如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA .若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排除选项A 和C.若取C 1D 为l 4，则l 1与l 4相交；若取BA 为l 4，则l 1与l 4异面；若取C 1D 1为l 4，则l 1与l 4相交且垂直．因此l 1与l 4的位置关系不能确定．14.(2017·郑州质检)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下列四个命题中不正确的是___________________________．(填序号)①BM 是定值；②点M 在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE ⊥A 1C ；④存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE . 答案 ③解析取DC 的中点F ，连接MF ，BF ，则MF ∥A 1D 且MF ＝12A 1D ，FB ∥ED 且FB ＝ED ，所以∠MFB ＝∠A 1DE .由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB ·cos ∠MFB 是定值，所以M 是在以B 为球心，MB 为半径的球上，可得①②正确；由MF ∥A 1D 与FB ∥ED 可得平面MBF ∥平面A 1DE ，可得④正确；若存在某个位置，使DE ⊥A 1C ，则因为DE 2＋CE 2＝CD 2，即CE ⊥DE ，因为A 1C ∩CE ＝C ，则DE ⊥平面A 1CE ，所以DE ⊥A 1E ，与DA 1⊥A 1E 矛盾，故③不正确．15.(2017·山西四校联考)如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱DD 1上运动，点N 在正方体的底面ABCD 内运动，则MN 的中点P 的轨迹的面积是( )A ．4πB ．πC ．2π D.π2答案 D解析连接DN ，则△MDN 为直角三角形，在Rt △MDN 中，MN ＝2，P 为MN 的中点，连接DP ，则DP ＝1，所以点P 在以D 为球心，半径R ＝1的球面上，又因为点P 只能落在正方体上或其内部，所以点P 的轨迹的面积等于该球面面积的18，故所求面积S ＝18×4πR 2＝π2.16.如图，已知平面四边形ABCD ，AB ＝BC ＝3，CD ＝1，AD ＝5，∠ADC ＝90°，沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD ′，直线AC 与BD ′所成角的余弦的最大值是________．答案66解析设直线AC 与BD ′所成的角为θ，平面ACD 翻折的角度为α，设点O 是AC 的中点，由已知得AC ＝6，如图，以点O 为坐标原点，以OB 所在直线为x 轴，OA 所在直线为y 轴，过点O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由A ⎝⎛⎭⎫0，62，0，B ⎝⎛⎭⎫302，0，0， C ⎝⎛⎭⎫0，－62，0，作DH ⊥AC 于点H ，翻折过程中，D ′H 始终与AC 垂直， ∵△CDA ∽△CHD ，∴CD CH ＝CACD ，∴CH ＝CD 2CA ＝16＝66，则OH ＝63，DH ＝1×56＝306，因此可设D ′⎝⎛⎭⎫－306cos α，－63，306sin α，则BD ′—→＝⎝⎛⎭⎫－306cos α－302，－63，306sin α，与CA →平行的单位向量为n ＝(0,1,0)，所以cos θ＝|cos 〈BD ′→，n 〉|＝|BD ′→·n ||BD ′→||n |＝639＋5cos α，所以当cos α＝－1时，cos θ取最大值66.。

2019届高考数学一轮复习第八章立体几何 8-3 空间点、直线、平面之间的位置关系课件文

[小题速练] 1．下列结论正确的是( ) A．梯形可以确定一个平面 B．两个平面 α，β 有一个公共点 A，就说 α，β 相交于过 A 点的任意一条直线 C．若 a，b 是两条直线，α，β 是两个平面，且 a⊂α，b⊂β，则 a，b 是异面直线 D．两条直线 a，b 没有公共点，则 a 与 b 是异面直线
异面直线 a 与 b 所成的角．
②范围： 0，π2
.
[温馨提示] 一条结论：判断两条直线是异面直线，除了应用反证法，还可以用：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
一个误区：不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线．如：
空间两条直线 a 和 b 没有公共点，则 a 与 b 的位置关系为平行或异面．
提示：由已知得 P∈β，且 P∈γ.因为 R∈l，所以 R∈β.又 R ∈MN，所以 R∈γ.因为 P∉l，R＝MN∩l，所以 R，P 两点不重合，所以 R，P 所在直线 PR⊂β，PR⊂γ，所以 PR 是平面 β 与平面 γ 的交线．
2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类 ①共面直线 a．相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； b．平行直线：同一平面内，没有公共点．
都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD 且 BC＝12AD，BE ∥AF 且 BE＝12AF，G，H 分别为 FA，FD 的中点．
(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C，D，F，E 四点是否共面？为什么？ [思路引导] (1)利用平行公理证明平行． (2)证明两直线相交，从而共面．
[解] (1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，所以 GH∥AD 且 GH＝12AD，又 BC∥AD 且 BC＝12AD，故 GH∥BC 且 GH＝BC，所以四边形 BCHG 是平行四边形．

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第八章立体几何8.3空间点、线、面之间的位置关系习题理

§8.3 空间点、线、面之间的位置关系1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此平面内．它的作用是可用来证明点在平面内或__________________．(2)公理2：过____________上的三点，有且只有一个平面．公理2的推论如下：①经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； ②经过两条相交直线，有且只有一个平面； ③经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理2及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________过该点的公共直线．它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线、三线共点等问题．2．空间两条直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：同一个平面内，有且只有 .平行直线：同一个平面内， .异面直线：不同在任何一个平面内， .(2)异面直线①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”，也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”．②异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性．③异面直线所成的角：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．异面直线所成角的范围是____________．若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线__________，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和__________．3．平行公理公理4：平行于____________的两条直线互相平行(空间平行线的传递性)．它给出了判断空间两条直线平行的依据．4．等角定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________．自查自纠1．(1)两点直线在平面内 (2)不在一条直线 (3)有且只有一条2．(1)一个公共点没有公共点没有公共点(2)③⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2 互相垂直异面垂直3．同一条直线 4．相等或互补给出下列命题： ①经过三点确定一个平面； ②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解：经过不共线的三点可以确定一个平面，①错误；两条平行线可以确定一个平面，②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，③正确；命题④中没有说明三个交点是否共线，这两个平面可能相交或重合，④错误．故选C .(2015·广东)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交解：可用反证法，假设l 与l 1，l 2都不相交，因为l 与l 1都在平面α内，于是l ∥l 1，同理l ∥l 2，于是l 1∥l 2与已知矛盾．故选D .若点P ∈α，Q ∈α，R ∈β，α∩β＝m ，且R ∉m ，PQ ∩m ＝M ，过P ，Q ，R 三点确定一个平面γ，则β∩γ是( )A ．直线QRB ．直线PRC ．直线RMD ．以上均不正确解：∵PQ ∩m ＝M ，m ⊂β，∴M ∈β.又M ∈平面PQR ，即M ∈γ，故M 是β与γ的公共点．又R ∈β，R ∈平面PQR ，即R ∈γ，∴R 是β与γ的公共点．∴β∩γ＝MR .故选C .如图是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行； ②BD 与MN 为异面直线； ③GH 与MN 成60°角； ④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是__________．解：把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE ⊥MN .故填②③④.已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为____________．解：连接DF ，则AE ∥DF ，∴∠D 1FD 即为异面直线AE 与D 1F 所成的角．设正方体的棱长为a ，则D 1D ＝a ，DF ＝D 1F ＝52a ，cos ∠D 1FD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2－a22·52a ·52a＝35.故填35.类型一基本概念与性质问题在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线有________条．解：如图示，在EF 上任取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N ，当M 取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这3条直线都有交点．故填无数．【点拨】本题难度不大，但比较灵活．解题关键在于构造平面，可考虑过一条直线及另一条直线上的一点作平面，进而找出与三条异面直线都相交的直线．解决点、线、面位置关系问题可借助平面、立体(长方体、正方体)模型，有利于我们看清问题．一个正方体的展开图如图所示，A ，B ，C ，D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )A ．AB ∥CD B ．AB 与CD 相交C ．AB ⊥CDD ．AB 与CD 所成的角为60°解：将展开图还原，得如图所示正方体，易知AB 与CD 是异面直线，且它们所成的角为60°.故选D .类型二点共线、线共点问题如图，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线．证明：(1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD .在△BCD 中，∵BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH . ∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC .∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点．又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，即P ，A ，C 三点共线．【点拨】(1)证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．(2)要证明点共线问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上，本题即采用这种证法；或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上．(3)证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上，如变式2.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，AA 1的中点．求证：(1)EF ∥D 1C ； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．证明：(1)连接A 1B ，则EF ∥A 1B ，A 1B ∥D 1C .∴EF ∥D 1C .(2)∵面AA 1D 1D ∩面ABCD ＝DA ，且EF ∥D 1C ，EF ＝12D 1C ，∴D 1F 与CE 相交．又D 1F ⊂面AA 1D 1D ，CE ⊂面ABCD ， ∴D 1F 与CE 的交点必在DA 上． ∴CE ，D 1F ，DA 三线共点．类型三共面问题如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？解：(1)证明：∵GH 是△AFD 的中位线，∴GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由：BE 綊12AF ，又由G 为FA 的中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．【点拨】点共面的证明方法和点共线的证明方法类似，即先由部分点或者线确定一个平面，再证明其余的点或者在该平面内，或者由另外一部分点确定另一个平面，再证明这两个平面是同一个平面．无论是点共线、线共点问题，还是共面问题，我们基本上是运用公理及其推论来进行演绎推理，其演绎推理的基本步骤是：首先由部分点或者线确定一条直线或者一个平面，再运用公理或者推论，证明剩余的点、线也在这条直线或者这个平面内．下列如图所示的正方体和正四面体中，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是__________．(填所有满足条件图形的序号)解：易知①③中PS ∥QR ，∴四点共面．在②中构造如图所示的含点P ，S ，R ，Q 的正六边形，易知四点共面．在④中，由点P ，R ，Q 确定平面α，由图象观察知点S 在平面α外，因此四点不共面．综上知，故填①②③.类型四异面直线问题(2014·全国)已知二面角αl β为60°，AB ⊂α，AB ⊥l ，A 为垂足，CD ⊂β，C ∈l ，∠ACD ＝135°，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )A.14B.24C.34D.12解：如图，在平面α内过点C 作CE ∥AB ，并取CE ＝1，在平面β内过点C 作CF ⊥l ，并取CF ＝1，过点F 作FD ∥l ，则易知△CFD 为等腰直角三角形．∠ECF ＝60°，∴EF ＝1，CD ＝2，∴∠EFD ＝90°，DE ＝ 2.于是∠ECD 为异面直线AB 与CD 所成的角或其补角，故cos ∠ECD ＝CE 2＋CD 2－ED 22CE ·CD ＝12＋（2）2－（2）22×1×2＝24.故选B .【点拨】探求常规的异面直线所成角的问题，首先要理清求角的基本步骤为“一作，二证，三求”，通过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹角，其中空间选点任意但要灵活，如常选择端点、中点、等分点，通过三角形的中位线平行于底边，长方体对面上的平行线进行平移等．这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题．如图所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，E 是PC 的中点．(1)求证：AE 与PB 是异面直线；(2)求异面直线AE 和PB 所成角的余弦值．解：(1)证明：假设AE 与PB 共面，设此平面为α. ∵A ∈α，B ∈α，E ∈α， ∴平面α即为平面ABE ， ∴P ∈平面ABE ，显然这与P ∉平面ABE 矛盾， ∴AE 与PB 是异面直线．(2)取BC 的中点F ，连接EF ，AF ，则EF ∥PB ，∠AEF (或其补角)就是异面直线AE 和PB 所成的角．∵∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，PA ⊥平面ABC ，∴AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2， cos ∠AEF ＝AE 2＋2－AF 22·AE ·EF ＝2＋2－32×2×2＝14，即异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14.1．判断空间线面关系命题的真假，是一类常见的客观题．解这类题，一要准确把握、理解相关概念；二要熟悉“推理论证加反例推断”的方法；三要借助空间直观．如教室就是一个长方体，建议同学们学立体几何时充分借助这一模型．2．要重视三种数学语言——文字语言、符号语言、图形语言的互译，特别要培养准确使用符号语言的能力．在空间图形中，点是最基本的元素，点与线、点与面是元素与集合的关系，直线与平面是集合与集合的关系，防止出现符号“∈”“⊂”混用的错误．3．求两条异面直线所成角的步骤是：先作图，再证明，后计算．作图，往往过其中一条直线上一点作另外一条直线的平行线，或过空间一特殊点分别作两条直线的平行线，即平移线段法，此法是求异面直线所成角的常用方法，其实质是把异面问题转化为共面问题；证明，即证明作图中所产生的某个角是异面直线所成的角；计算，一般在一个三角形中求解，这往往需要运用正弦定理或余弦定理来解决，如果计算出来的角是钝角，则需要转化为相应的锐角，因为异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.4．证明“线共面”或者“点共面”问题时，可以先由部分直线或者点确定一个平面，再证明其余的直线或者其余的点也在这个平面内．5．证明“点共线”问题时，可以将这些点看做是两个平面的交线上的点，只要证明这些点是两个平面的公共点，根据公理3就可以确定这些点都在同一条直线上，即点共线.1．(2015·湖北)l 1，l 2表示空间中两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线；q ：l 1，l 2不相交，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解：由l 1，l 2是异面直线可得l 1，l 2不相交，所以p ⇒q ；由l 1，l 2不相交，可得l 1，l 2可能是异面直线或l 1∥l 2，q p ．所以p 是q 的充分不必要条件．故选A .2．如图，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是( )解：A，B中PQ綊RS，D中直线PQ与RS相交(或RP∥SQ)，即直线PQ与RS共面，均不满足条件；C中的直线PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，即直线PQ与RS是异面直线．故选C.3．(2015·太原检测)已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面解：直线l与平面α相交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错误；l∥α时，在平面α内不存在与l相交的直线，∴B错误；l⊂α时，在平面α内不存在与l异面的直线，∴D错误．无论哪种情形，在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选C.4．直三棱柱ABCA1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A．30° B．45° C．60° D．90°解：延长CA到D，使得AD＝AC，连接A1D，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，∠DA1B 就是异面直线BA1与AC1所成的角，又△A1DB为等边三角形，∴∠DA1B＝60°.故选C.5．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论错误．．的是( )A．A1C1∥平面ABCDB．AC1⊥BDC．AC1与CD成45°角D．A1C1与B1C成60°角解：由A1C1∥AC，AC⊂平面ABCD，A1C1⊄平面ABCD，知A1C1∥平面ABCD，A正确；由BD⊥平面ACC1A1知BD⊥AC1，B正确；由A1D∥B1C可知，∠DA1C1为A1C1与B1C所成的夹角，又∵△DA1C1为等边三角形，∴∠DA1C1＝60°.故选C.6．(2015·广东执信中学期中)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段解：连接AB1，AC，BD，B1C，A1B，在正方体ABCDA1B1C1D1中，易证AC⊥平面BDD1，AB1⊥平面BA1D1，∴AC⊥BD1，AB1⊥BD1.又AC∩AB1＝A，∴BD1⊥面AB1C，∴BD1⊥B1C，从而动点P的轨迹是线段B1C.故选A.7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝____________．解：直线CE在正方体的下底面内，与正方体的上底面平行，与正方体的左右两个侧面、前后两个侧面都相交，故m＝4.取CD的中点G，易证平面EFG与正方体的左右两个侧面平行，∴直线EF与正方体的左右两个侧面平行．易知△EFG的底边EG上的高线与正方体的前后两个侧面平行，故直线EF一定与正方体的前后两个侧面相交；另外，直线EF显然与正方体的上下两个底面相交，故n＝4.综上可知m＋n＝8.故填8.8．(2015·浙江)如图，在三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N 分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是____________．解：连接ND，取ND的中点为E，连接ME，EC，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角即为∠EMC(或其补角)，∵AN＝22，CN＝1，∴ME＝ 2.又CM＝22，NE＝2，∴CE ＝3，∴cos ∠EMC ＝ME 2＋CM 2－CE 22ME ·CM＝2＋8－32×2×22＝78.故填78. 9．如图，已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′.(1)哪些棱所在直线与直线BA ′是异面直线？(2)直线BA ′和CC ′的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线AA ′垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD ，DC ，CC ′，DD ′，D ′C ′，B ′C ′所在直线分别与直线BA ′是异面直线．(2)由BB ′∥CC ′可知，∠B ′BA ′为异面直线BA ′与CC ′的夹角，∠B ′BA ′＝45°，所以直线BA ′与CC ′的夹角为45°.(3)直线AB ，BC ，CD ，DA ，A ′B ′，B ′C ′，C ′D ′，D ′A ′分别与直线AA ′垂直．10．如图，设E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1所在棱上的中点，求证：E ，F ，G ，H ，P ，Q 共面．证明：连接A 1C 1，GQ ，EH ，∵E ，F ，G ，Q 分别是A 1D 1，D 1C 1，C 1C ，A 1A 的中点，∴EF ∥A 1C 1∥QG .同理FG ∥EH .设E ，F ，G ，Q 确定平面α，F ，G ，H ，E 确定平面β，由于α与β都经过不共线的三点E ，F ，G ，故α与β重合，所以E ，F ，G ，H ，Q 五点共面．同理可证E ，F ，G ，P ，Q 五点共面．所以E ，F ，G ，H ，P ，Q 共面．11．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，对角线AC 与BD 交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成角为60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成的角的余弦值．解：(1)在四棱锥P ABCD 中，∵PO ⊥平面ABCD ，∴∠PBO 即为PB 与平面ABCD 所成的角，即∠PBO ＝60°，在Rt △ABO 中，AB ＝2，∠OAB ＝30°，∴BO ＝1.∵PO ⊥平面ABCD ，OB ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥OB .在Rt △POB 中，PO ＝BO tan60°＝3，易知底面菱形的面积S ＝2×34×22＝23， ∴四棱锥P ABCD 的体积V P ABCD ＝13×23×3＝2.(2)取AB 的中点F ，连接EF ，DF ，∵E 为PB 中点，∴EF ∥PA ，∴∠DEF 即为异面直线DE 与PA 所成的角(或其补角)．在Rt △AOB 中，AO ＝3＝OP ，∴PA ＝6，EF ＝62. 易知DF ＝DE ＝3，∴cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF＝（3）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622－（3）22×3×62＝24，即异面直线DE 与PA 所成角的余弦值为24. (2014·陕西)四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .(1)求四面体ABCD 的体积；(2)证明：四边形EFGH 是矩形．解：(1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，AD ⊥平面BDC .∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23. (2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ，∴BC ∥FG ，BC ∥EH .∴FG ∥EH .同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG .∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC .∴EF ⊥FG .∴四边形EFGH 是矩形．。

高考数学一轮复习立体几何【配套文档】第八章 8.3

§8.3 平面的基本性质与推论2014高考会这样考 1.考查点、线、面的位置关系，考查逻辑推理能力与空间想象能力；2.考查基本性质及推论的应用，证明点共线、线共点、线共面的问题；3.运用公理、定理和结论证明或判断一些空间图形的位置关系．复习备考要这样做 1.理解、熟记平面的基本性质，灵活运用并判断直线与平面的位置关系；2.异面直线位置关系的判定是本节难点，可以结合实物、图形思考．1．平面的基本性质及推论(1)平面的基本性质：基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．(2)平面基本性质的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．直线与直线的位置关系(1) 位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：既不平行又不相交的直线(2)判断两直线异面：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线．[难点正本疑点清源]1．三个基本性质的作用(1)基本性质1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(2)基本性质2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件．(3)基本性质3的作用：①判定两平面相交；②作两相交平面的交线；③证明多点共线．2．正确理解异面直线的定义：异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．1．在下列命题中，所有正确命题的序号是________．①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点；②经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；③经过两条相交直线，有且只有一个平面；④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合；⑤四边形确定一个平面．答案②③④2．正方体各面所在平面将空间分成________部分．答案27解析如图，上下底面所在平面把空间分成三部分；左右两个侧面所在平面将上面的每一部分再分成三个部分；前后两个侧面再将第二步得到的9部分的一部分分成三部分，共9×3＝27部分．3．空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是________．答案(0，3)解析如图所示，△ABD与△BCD均为边长为1的正三角形，当△ABD与△CBD重合时，AC＝0，将△ABD以BD为轴转动，到A，B，C，D四点再共面时，AC＝3，故AC的取值范围是0<AC< 3.4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案 C解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾．5．已知A、B表示不同的点，l表示直线，α、β表示不同的平面，则下列推理错误的是() A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A答案 C题型一平面基本性质的应用例1在正方体ABCD—A 1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线．思维启迪：证明三点共线常用方法是取其中两点确定一直线，再证明其余点也在该直线上．证明如图所示，∵A1A∥C1C，∴A1A，C1C确定平面A1C.∵A1C⊂平面A1C，O∈A1C，∴O∈平面A1C，而O＝平面BDC1∩线A1C，∴O∈平面BDC1，∴O在平面BDC1与平面A1C的交线上．∵AC∩BD＝M，∴M∈平面BDC1且M∈平面A1C，∴平面BDC1∩平面A1C＝C1M，∴O∈C1M，即C1，O，M三点共线．探究提高(1)证明若干点共线也可以公理3为依据，找出两个平面的交线，然后证明各个点都是这两平面的公共点．(2)利用类似方法也可证明线共点问题．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点，(1)求证：E、F、C、D1四点共面；(2)若Q是A1C与平面ABC1D1的交点，求证：B、Q、D1三点共线．证明(1)如图，∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥A1B.又BC綊AD綊A1D1，∴四边形BCD1A1为平行四边形．∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴E、F、C、D1四点共面．(2)由(1)知，四边形A1BCD1为平行四边形．易知四边形ABC1D1为平行四边形．∵A1C∩平面ABC1D1＝Q.∴Q∈A1C且Q∈平面ABC1D1，又A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.又平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1，∴Q∈BD1，∴B、Q、D1三点共线．题型二证明线共点问题例2如图所示，正方体ABCD—A 1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1 的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．思维启迪：(1)由EF∥CD1可得；(2)先证CE与D1F相交于P，再证P∈AD.证明(1)连接EF，CD1，A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点．探究提高所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点．(1)证明三线共点的依据是基本性质3.(2)证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题化归到证明点在直线上的问题．实际上，点共线、线共点的问题都可以化归为点在直线上的问题来处理．如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、AB 的中点，G 、H 分别在BC 、CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面；(2)设FG 与HE 交于点P ，求证：P 、A 、C 三点共线．证明 (1)△ABD 中，E 、F 为AD 、AB 中点，∴EF ∥BD .△CBG 中，BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH ，∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)∵FG ∩HE ＝P ，P ∈FG ，P ∈HE ，⎭⎪⎬⎪⎫∴P ∈面ABC ，P ∈面ADC 又面ABC ∩面ADC ＝AC ⇒P ∈直线AC . ∴P 、A 、C 三点共线．题型三异面直线的判定例3 已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD的中点．(1)求证：BC 与AD 是异面直线；(2)求证：EG 与FH 相交．思维启迪：可以利用反证法证明两直线异面．证明 (1)假设BC 与AD 共面，不妨设它们所共平面为α，则B 、C 、A 、D ∈α.∴四边形ABCD 为平面图形，这与四边形ABCD 为空间四边形相矛盾．∴BC 与AD 是异面直线．(2)如图，连接AC ，BD ，则EF ∥AC ，HG ∥AC ，因此EF ∥HG ；同理EH ∥FG ，则EFGH 为平行四边形．又EG 、FH 是▱EFGH 的对角线，∴EG与FH相交．探究提高证明两直线为异面直线的方法(1)定义法(不易操作)．(2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)答案②④解析图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．点、直线、平面位置关系考虑不全面致误典例：(5分)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是() A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面易错分析由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断．解析当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故A不正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．答案 B温馨提醒(1)平面几何中的一些定理和结论在空间中不一定成立，如“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”在空间中不成立，所以在用一些平面几何中的定理和结论时，必须说明涉及的元素都在某个平面内．(2)解决点、线、面位置关系问题的基本思路：一是逐个判断，利用空间线面关系证明正确的结论，寻找反例否定错误的结论；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，但要注意定理应用要准确、考虑问题要全面细致．构造衬托平面研究直线相交问题典例：(5分)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．审题视角找三条异面直线都相交的直线，可以转化成在一个平面内，作与三条直线都相交的直线．因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面．进而研究公共交线问题．解析方法一在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图所示．方法二在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．答案无数温馨提醒(1)本题难度不大，但比较灵活．对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查，难度一般都不会太大．(2)误区警示：本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多．这说明学生还是缺少空间想象能力，缺少对空间直线位置关系的理解．方法与技巧1．主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定方法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．失误与防范1．全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型．2．注意点、线、面位置关系符号的正确应用．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的() A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件答案 A解析若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点．2．下列命题正确的个数为()①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确；命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确．3．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.A．①②B．②③C．①④D．③④答案 D解析当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．4．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的() A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件答案 A解析充分性成立，“这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况：(1)第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”；(2)第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一个平面内”．必要性不成立，“四个点在同一平面上”可能推出两点分别在两条相交或平行直线上．二、填空题(每小题5分，共15分)5．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．答案1或4解析若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．6．下列命题中不．正确的是________．(填序号)①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．答案①②解析没有公共点的两直线平行或异面，故①错；命题②错，此时两直线有可能相交；命题③正确，因为若直线a和b异面，c∥a，则c与b不可能平行，用反证法证明如下：若c∥b，又c∥a，则a∥b，这与a，b异面矛盾，故cD∥\b；命题④也正确，若c与两异面直线a，b都相交，由公理2可知，a，c可确定一个平面，b，c也可确定一个平面，这样，a，b，c共确定两个平面．7．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是________．答案①②④解析①、②、④对应的情况如下：用反证法证明③不可能．三、解答题(共22分)8． (10分)在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的A 1C 1面上有一点P (如图所示，其中P 点不在对角线B 1D 1)上．(1)过P 点在空间作一直线l ，使l ∥直线BD ，应该如何作图？并说明理由；(2)过P 点在平面A 1C 1内作一直线m ，使m 与直线BD 成α角，其中α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，这样的直线有几条，应该如何作图？解 (1)连接B 1D 1，BD ，在平面A 1C 1内过P 作直线l ，使l ∥B 1D 1，则l 即为所求作的直线．∵B 1D 1∥BD ，l ∥B 1D 1，∴l ∥直线BD .如图(1)(1)(2)在平面A 1C 1内作直线m ，使直线m 与B 1D 1相交成α角，∵BD ∥B 1D 1，∴直线m 与直线BD 也成α角，即直线m 为所求作的直线，如图(2)．由图知m 与BD 是异面直线，且m 与BD 所成的角α∈⎝⎛⎦⎤0，π2.(2)当α＝π2时，这样的直线m 有且只有一条，当α≠π2时，这样的直线m 有两条． 9． (12分)定线段AB 所在的直线与定平面α相交，P 为直线AB 外的一点，且P 不在α内，若直线AP 、BP 与α分别交于C 、D 点，求证：不论P 在什么位置，直线CD 必过一定点．证明设定线段AB 所在直线为l ，与平面α交于O 点，即l ∩α＝O .由题意可知，AP ∩α＝C ，BP ∩α＝D ，∴C ∈α，D ∈α.又∵AP ∩BP ＝P ，∴AP 、BP 可确定一平面β，且C ∈β，D ∈β.∴CD ＝α∩β.∵A ∈β，B ∈β，∴l ⊂β，∴O ∈β.∴O ∈α∩β.即O ∈CD .∴不论P 在什么位置，直线CD 必过一定点．B 组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．如图，α∩β＝l ，A 、B ∈α，C ∈β，且C ∉l ，直线AB ∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A ．点AB ．点BC ．点C 但不过点MD ．点C 和点M答案 D解析 ∵AB ⊂γ，M ∈AB ，∴M ∈γ.又α∩β＝l ，M ∈l ，∴M ∈β.根据公理3可知，M 在γ与β的交线上．同理可知，点C 也在γ与β的交线上．2．已知空间中有三条线段AB 、BC 和CD ，且∠ABC ＝∠BCD ，那么直线AB 与CD 的位置关系是 ( )A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交答案 D解析若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.3．以下四个命题中①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面．这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．二、填空题(每小题5分，共15分)4．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________．答案 5解析依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合条件的棱共有5条．5．正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是________边形．答案六解析延长PQ或(QP)分别交BC延长线于E，交CD延长线于F，取C1D1中点M，连接RM，连接RE交BB1于S，连接MF交DD1于N，连接NQ，PS，则六边形PQNMRS即为正方体ABCD—A1B1C1D1的过P、Q、R三点的截面图形．6．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上)答案③④解析直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．三、解答题7．(13分)如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K，求证：M、N、K三点共线．证明∵M∈PQ，直线PQ⊂面PQR，M∈BC，直线BC⊂面BCD，∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在面PQR与面BCD的交线l上．同理可证：N、K也在l上．∴M、N、K三点共线．。

2023年新高考数学一轮复习8-3 空间点、直线、平面之间的位置关系(知识点讲解)解析版

专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.通过考查空间线面关系，凸显逻辑推理、直观想象的核心素养．2.通过考查空间角的计算，凸显数学运算、直观想象及逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）平面的基本性质(1)基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)基本事实2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．（二）空间两直线的位置关系1.位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 相交直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点2.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．（三）异面直线所成的角1.异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：]2,0(π.2.异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．（四）空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有三种情况：在平面内---有无数个公共点；相交---有且只有一个公共点；平行---没有公共点．后两种情况直线不在平面内，也称直线在平面外.(2)平面与平面的位置关系有两种情况：平行---没有公共点；相交---有一条公共直线．（五）常用结论唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．【常考题型剖析】题型一：平面的基本性质及应用例1.（四川·高考真题（文））1l ， 2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（） A ．12l l ⊥， 23l l ⊥13//l l ⇒B ．12l l ⊥， 23//l l ⇒13l l ⊥C ．123////l l l ⇒1l ， 2l ，3l 共面D ．1l ， 2l ，3l 共点 ⇒1l ， 2l ，3l 共面【答案】B【解析】【详解】解：因为如果一条直线平行于两条垂线中的一条，必定垂直于另一条．选项A ，可能相交．选项C 中，可能不共面，比如三棱柱的三条侧棱，选项D ，三线共点，可能是棱锥的三条棱，因此错误．选B.例2.（2016·山东·高考真题（文））已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】当“直线a 和直线b 相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；当“平面α和平面β相交”，则 “直线a 和直线b 可以没有公共点”，即必要性不成立.故选A.例3．（2022·上海·模拟预测）如图正方体11ABCD AB C D -中，P Q R S 、、、分别为棱1AB BC BB CD 、、、的中点，连接11A S B D ，.空间任意两点M N 、，若线段MN 上不存在点在线段1,A S B D 1上，则称MN 两点可视，则下列选项中与点1D 可视的为（） A ．点P B ．点B C ．点R D ．点Q【答案】D【解析】【分析】利用排除法，如图，连接PS ，则可得11,,,A D P S 四点共面，1DD ∥1BB ，然后进行分析判断即可【详解】如图连接PS ，因为,P S 分别为,AB CD 的中点，所以AP DS =, AP ∥DS ，所以四边形APSD 为平行四边形，所以AD ∥PS ,因为AD ∥11A D ，所以11A D ∥PS ，所以11,,,A D P S 四点共面，所以1A S 与1D P 相交，所以点P 与点1D 不可视，所以排除A ，因为1DD ∥1BB ，所以11,,,,D D B R B 共面，所以由图可知1D B 与1B D 相交，1D R 与1B D 相交，所以点B ，点R 都与点1D 不可视，所以排除BC ，故选：D例4.如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线．【答案】见解析【解析】证明：(1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF ∥BD .∵在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12， ∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH .∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC .∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点．又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线．【方法技巧】1.证明点共线问题的常用方法公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.2.证明线共点问题的方法证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点．3.证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合. 题型二：空间两直线的位置关系例5.（广东·高考真题（文））若空间中四条直线1l 、2l 、3l 、4l ，满足12l l ⊥、23l l 、34l l ⊥，则下列结论一定正确的是（）．A ．14l l ⊥B ．14l l ∥C ．1l 、4l 既不平行也不垂直D ．1l 、4l 位置关系不确【答案】D【解析】【详解】【分析】试题分析：如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取 1AA 为2l ， 1BB 为3l ，取 AD 为1l ， BC 为4l ，14//l l ；取AD 为 1l ，AB 为 4l ，则14l l ⊥；取AD 为 1l ，11A B 为4l ，则 1l 与4l 异面，因此1l 、4l 的位置关系不确定，故选D.例6.（湖北·高考真题（文））12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则 A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A【解析】【详解】若p ：12,l l 是异面直线，由异面直线的定义知，12,l l 不相交，所以命题q ：12,l l 不相交成立，即p 是q 的充分条件；反过来，若q ：12,l l 不相交，则12,l l 可能平行，也可能异面，所以不能推出12,l l 是异面直线，即p 不是q 的必要条件，故应选A ．例7.（2020·全国·高考真题（理））设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④.【总结提升】判断空间两直线位置关系的思路方法(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．(2)异面直线的判定方法①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．②定理法：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线．题型三：异面直线所成的角例8.（2018·全国·高考真题（文））在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（）A B C D 【答案】C【解析】【分析】利用正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值，在ABE ∆中进行计算即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠，设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以BE =，则tan BE EAB AB ∠===故选C. 例9.（2016·全国·高考真题（文））平面α过正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的顶点A ，,ABCD m α⋂=平面，11ABB A n α⋂=平面，则m ，n 所成角的正弦值为（）A B C D ．13【答案】A【解析】【详解】试题分析：如图，设平面11CB D 平面ABCD ='m ，平面11CB D 平面11ABB A ='n ，因为//α平面11CB D ，所以//',//'m m n n ，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ，过1D 作11D E B C ∥，连接11,CE B D ，则CE 为'm ，同理11B F 为'n ，而111,BD CE B F A B ∥∥，则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角，即为60︒，故,m n 所A. 例10. （皖豫名校2021-2022学年高一下学期阶段性测试（期末）数学试题）在正三棱台111ABC A B C -中，E ，F 分别是棱11A B ，11B C 的中点，且11122B C BC BB ==，则异面直线AE 与BF 所成的角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【解析】【分析】连接,EF CF ，则可得四边形ACFE 为平行四边形，则可得AE ∥CF ，所以BFC ∠为异面直线AE 与BF 所成的角，然后计算即可【详解】连接,EF CF ，因为E ，F 分别是棱11A B ，11B C 的中点，所以EF ∥ 11A C , 1112EF AC =，因为正三棱台111ABC A B C -中，11122B C BC BB ==，所以AC ∥11A C ，1112AC AC =，所以EF ∥AC ，FE AC =，所以四边形ACFE 为平行四边形，所以AE ∥CF ，所以BFC ∠为异面直线AE 与BF 所成的角，设1BC =，则1111111112,1A B AC B C BC BB AB AC AA CC =========，在等腰梯形11BCC B 中，11112cos 12BB C ∠==，因为11090BB C ︒<∠<︒，所以1160BB C ∠=︒，因为111BB B F ==,所以1BB F 为等边三角形，所以1BF =，同理1CF =,所以BFC △为等边三角形，所以60BFC ∠=︒，所以异面直线AE 与BF 所成的角为60︒，故选：C例11.（内蒙古赤峰市2021-2022学年高一下学期期末考试数学（理）试题）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AD DC ==，1AA =1BC 与1DB 所成角的正弦值为（）A ．15BCD【答案】B【解析】【分析】作图，构造三角形，将1BC 与1DB 的夹角转变为三角形内角，运用余弦定理求解.【详解】依题意作上图，延长1111,,,A A B B C C D D 至2222,,,A B C D ，使得22221AA BB CC DD A A ==== ，连接212,BD C D ，1212,//B B DD B B DD = ，∴四边形12B BD D 是平行四边形，12//B D BD ，异面直线1B D 与1BC 的夹角就是1BC 与2BD 的夹角12C BD ∠，2BD =，14BC ，12C D =，由余弦定理得22212121212cos 2BC BD C D C BD BC BD +-∠==， 120C BD π<∠< ，∴12sin C BD ∠=；故选：B.例12.（2022·四川内江·模拟预测（理））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC ⊥面11ACC A ，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（）A ．225B ．53C ．55D ．35 【答案】C【解析】【分析】连接1CB 交1BC 于D ，若E 是AC 的中点，连接,BE ED ，易得1//ED AB ，即直线1BC 与直线1AB 夹角为BDE ∠或补角，进而求其余弦值.【详解】连接1CB 交1BC 于D ，若E 是AC 的中点，连接,BE ED ，由111ABC A B C -为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知：D 是1CB 的中点，所以1//ED AB ，故直线1BC 与直线1AB 夹角，即为ED 与1BC 的夹角BDE ∠或补角，若1BC =，则1CE =，BD CD == BC ⊥面11ACC A ，EC ⊂面11ACC A ，则CB CE ⊥，而1EC CC ⊥，又1BC CC C =，1,BC CC ⊂面11BCC B ，故EC ⊥面11BCC B ，又CD ⊂面11BCC B ，所以CE CD ⊥.所以32ED =，BE在△BDE中222592cos 2BD ED BE BDE BD ED +-+-∠==⋅. 故选：C例13.（2021·天津西青·高一期末）已知1111ABCD A B C D -为正方体，E ，F 分别是1BD ，AB 的中点，异面直线EF 与BD 所成的角为_______【答案】60︒##π3【解析】【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出异面直线所成的角.【详解】取点D 为原点，边DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则(0D ，0，0)，(2B ，2，0)，(1E ，1，1)，(2F ，1，0)，∴(1,0,1),(2,2,0)EF BD =-=--，∴2EF BD ⋅=-，||2||22EF BD ==， ∴1cos ,2||||2EF BD EF BD EF BD ⋅<>==-， EF ∴与BD 所成的角为60︒．故答案为：60︒．例14.（2022·福建漳州·高二期末）在如图所示的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,1AA AD AB ===，点P 在侧面11BCC B 内（含边界）运动，若点P 到直线AD 与直线1BB 的距离相等，则直线AD 与直线BP 所成角的正弦值的最大值为________．【解析】【分析】设1PM BB ⊥于M ，PQ AD ⊥于Q ，PN BC ⊥于N ，根据题意可得PN =B 为坐标原点，在平面11BCC B 上建立平面直角坐标系，分析点P 的轨迹方程，结合直线AD 与直线BP 所成角为PBC ∠，根据双曲线的性质求解最大值即可【详解】由题意，设1PM BB ⊥于M ，PQ AD ⊥于Q ，PN BC ⊥于N ，如图连接.由题意，PM PQ =，且PN NQ ⊥.故2222PM PQ PN NQ ==+，即PN以B 为坐标原点，在平面11BCC B 上建立如图平面直角坐标系，由21PN PM =-可得P 的轨迹方程为21y x =-，即双曲线221x y -=在正方形11BCC B 中的部分，由双曲线221x y -=的一条渐近线为y x =，即对角线1BC ，故当P 在1CC 上时，PBC ∠取得最大值，此时sin PBC ∠最大，213PC BC =-=，227PB PC BC =+=，321sin 77PC PBC PB ∠===.又//AD BC ，故AD 与直线BP 所成角为PBC ∠，即直线AD 与直线BP 所成角的正弦值的最大值为217【规律方法】1. 平移法：求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．2．坐标法求异面直线所成的角当题设中含有两两垂直的三边关系或比较容易建立空间直角坐标系时，常采用坐标法．提醒：如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角． ]2,0(。

2019版高考数学文科一轮复习：8.3 空间点、线、面的位置关系

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解析 (1)由该四面体的三视图可知,
BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,
∴AD⊥平面BDC,
∴四面体ABCD的体积V= 1 × 1 ×2×2×1= 2 .
32
3
(2)证明:∵BC∥平面EFGH,
力.
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8.(2014陕西,17,12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H. (1)求四面体ABCD的体积; (2)证明:四边形EFGH是矩形.
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因为CF∥平面A1BE, 平面BCFA1∩平面A1BE=A1B, 所以CF∥A1B. 所以四边形BCFA1是平行四边形.
所以BC=FA1= 1 AD=1.
2
思路分析 (1)应用线面垂直判定定理证明. (2)由线面垂直到线线垂直,再证面面垂直.
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三年模拟
A组 2016—2018年高考模拟·基础题组
考点空间点、线、面的位置关系
1.(2017北京朝阳期中,5)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.下列命题正确的是 () A.若m⊂α,n⊂β,m⊥n,则α⊥β B.若α∥β,m⊥α,n∥β,则m⊥n C.若α⊥β,m⊥α,n∥β,则n⊥m D.若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥β
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浙江2019版高考数学第一轮复习第八章立体几何 8.2 空间点、线、面的位置关系

方法 2 异面直线所成角的求法
求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶点位置无关,往往将角的顶点取在其中的一条直线上,特别地,可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点.总之,顶点的选取要与已知量有关,以便于计算,具体步骤如下: (1)利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上; (2)证明作出的角即为所求角(或其补角); (3)利用三角形来求角.
CRQ中,CQ= 2 3
x2
∈(0,2),故0<x2< 2 ,解得x∈
3

0,
6 3

,故选B.
解法二:以C为原点,CD,CB分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系(图略),则
A(0,1,1),B(0,2,0),D(2,0,0).设Q(y,0,0), AP

=x AB
=x(0,1,-1)=(0,x,-x),其中0<x
(3)公理3:A∈α,A∈β⇒α∩β=l且A∈l.这是确定两个平面相交于一条直
线的依据,运用公理3可判定诸点共线或点在线上.
(4)公理4:a∥b,b∥c⇒a∥c,也叫做空间平行线的传递性.它表明:空间中
平行于一条已知直线的所有直线都互相平行.
二、异面直线及所成的角
1.异面直线
(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线.
高考数学
§8.2 空间点、线、面的位置关系
知识清单
考点空间点、线、面的位置关系
一、空间点、线、面的位置关系 1.双基表
2.如图,直线AB、BC、CA两两相交,交点分别为A、B、C,判断这三条直线是否共面并说明理由.回答是肯定的,这三条直线共面,理由如下:

2019高考数学文一轮：第8章立体几何第3讲

(2)因为 EF∥CD1，EF<CD1，所以 CE 与 D1F 必相交，设交点为 P，则由 P∈CE，CE⊂平面 ABCD，得 P∈平面 ABCD．同理 P∈平面 ADD1A1．又平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝DA，所以 P∈直线 DA．所以 CE、D1F、DA 三线共点．
(1)点线共面问题证明的两种方法 ①纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内； ②辅助平面法：先证有关点、线确定平面 α，再证其余点、线确定平面 β，最后证明平面 α，β 重合． (2)证明多线共点问题的两步 ①先证其中两条直线交于一点； ②再证交点在第三条直线上．证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理 3 证明．
＝ 60 ° ， B1C1 ＝ 1 ， D1C1 ＝ 2 ，所以 B1D1 ＝
12＋22－2×1×2×cos 60° ＝ 3 ，所以 cos ∠ B1AD1 ＝
5＋2－3 2× 5×
＝ 2
510，选择 C．
【答案】 C
(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． (2)求异面直线所成角的三个步骤 ①作：通过作平行线，得到相交直线的夹角． ②证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角． ③求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
【对点通关】 1．(必修 2 P52B 组 T1(1))如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与 ED 平行；②CN 与 BE 是异面直线； ③CN 与 BM 成 60°角；④DM 与 BN 是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是( )

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解：由公理 4 知①正确；当 a⊥b，b⊥c 时，a 与 c 可以相交、平行或异面，故②错；当 a 与 b 相交，b 与 c 相交时，a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内”，故④错．故填②③④.
(2017 河南南阳一中月考)如图，在四棱锥 PABCD 中， O 为 CD 上的动点， VPOAB 恒为定值，且△PDC 是正三角形，则直线 PD 与直线 AB 所成角的大小是________．
证明：在图 3 中，因为直线 EN∥BF，所以 B、N、E、F 四点共面，因此 EF 与 BN 相交，交点为 M.因为 M∈EF，且 M∈NB，而 EF⊂平面 AEF，NB⊂平面 ABCD，所以 M 是平面 ABCD 与平面 AEF 的公共点．又因为点 A 是平面 AEF 和平面 ABCD 的公共点，故 AM 为两平面的交线．在图 4 中，C1M 在平面 DCC1D1 内，因此与 DC 的延长线相交，交点为 M，则点 M 为平面 A1C1B 与平面 ABCD 的公共点，又点 B 是这两个平面的公共点，因此直线 BM 是两平面的交线．
2．空间两条直线的位置关系 (1)位置关系的分类
相交直线：同一个平面内，有且只有共面直线平行直线：同一个平面内，异面直线：不同在任何一个平面内， . . .
(2)异面直线 ①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”，也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”． ②异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性．
自查自纠
1．(1)两点直线在平面内 (2)不在一条直线 (3)有且只有一条 2．(1)一个公共点没有公共点没有公共点 π (2)③ 0，2 互相垂直异面垂直 3．同一条直线 4．相等或互补
(2017 届河北承德实验中学高三测试)空间四点 A、B、 C、D 共面而不共线，那么这四点中( A．必有三点共线 C．至少有三点共线 )
解：两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，如圆锥的母线与轴的夹角．故选 D.
(2015· 福建六校联考)设 a，b，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若 a∥b，b∥c，则 a∥c； ②若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c； ③若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交； ④若 a⊂平面 α，b⊂平面 β，则 a，b 一定是异面直线．上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号)．
第八章第一章
集合与常用逻辑用语立体几何
8．3 空间点、线、面之间的位置关系
பைடு நூலகம்
1．平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此平面内．它的作用是可用来证明点在平面内或__________________． (2)公理 2：过____________上的三点，有且只有一个平面．公理 2 的推论如下： ①经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； ②经过两条相交直线，有且只有一个平面； ③经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理 2 及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面． (3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________ 过该点的公共直线．它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线、三线共点等问题．
解：公理是不需要证明的原始命题，而选项 A 是面面平行的性质定理．故选 A.
(2017 黑龙江哈师大附中月考)若∠AOB＝∠A1O1B1，且 OA∥O1A1，OA 与 O1A1 的方向相同，则下列结论中正确的是( ) A．OB∥O1B1 且方向相同 B．OB∥O1B1 C．OB 与 O1B1 不平行 D．OB 与 O1B1 不一定平行
解：因为 VPOAB 为定值，所以 S△ABO 为定值，即 O 到线 AB 的距离为定值．因为 O 为 CD 上的动点，所以 CD∥AB. 所以∠PDC 即为异面直线 PD 与 AB 所成角．因为△PDC 为等边三角形，所以∠PDC＝60° . 所以 PD 与 AB 所成角为 60° .故填 60° .
类型一
基本概念与性质问题
(2017 福建闽侯三中月考)ABCDA1B1C1D1 是正方体，在图 1 中，E、F 分别是 D1C1、B1B 的中点，画出图 1、2 中有阴影的平面与平面 ABCD 的交线，并给出证明．
解：在图 3 中，过点 E 作 EN 平行于 B1B 交 CD 于点 N，连接 NB 并延长交 EF 的延长线于点 M，连接 AM，则 AM 即为有阴影的平面与平面 ABCD 的交线．在图 4 中，延长 DC，过点 C1 作 C1M∥A1B 交 DC 的延长线于点 M，连接 BM，则 BM 即为有阴影的平面与平面 ABCD 的交线．
③异面直线所成的角：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)．异面直线所成角的范围是 ____________．若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线__________，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和__________． 3．平行公理公理 4：平行于____________的两条直线互相平行(空间平行线的传递性)．它给出了判断空间两条直线平行的依据． 4．等角定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________．
B．必有三点不共线 D．不可能有三点共线
解：空间四点 A、B、C、D 共面不共线，有两种情形： ①无任何三点共线，但四点共面，②其中某三点共线，另一点在该直线外，这两种情况都有三点不共线．故选 B.
(2017 海南儋州市洋浦中学月考)在下列命题中，不是公理的是( )
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线