高中数学5.2二倍角的三角函数 学案 湘教版必修2
高三数学高考《三角函数》专题学案二倍角的正弦、余弦、正切
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切1．基本公式：sin2α＝ ；cos2α＝ ＝ ＝ ； tan2α＝ . 2．公式的变用：1＋cos2α＝ ； 1－cos2α＝ ． 例1. 求值：140cos 40cos 2)40cos 21(40sin 2-︒+︒︒+︒解：原式＝︒+︒︒+︒80cos 40cos 80sin 40sin＝)2060cos()2060cos()2060sin()2060sin(︒+︒+︒-︒︒+︒+︒-︒＝3 变式训练1：)12sin12(cos ππ-(cos12π＋sin12π)＝ （ ） A ．－23 B ．－21 C ． 21 D ．23解：D例2． 已知α为锐角，且21tan =α，求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值. 解：∵α为锐角 ∴ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -＝ααααα2cos cos sin 2)1cos 2(sin 2-＝αcos 1＝α2tan 1+＝45变式训练2：化简：)4(sin )4tan(21cos 222απαπα+⋅--解：原式＝)4(cos )4cos()4sin(22cos 2απαπαπα-⋅--＝1例3．已知x x x x f cos sin sin 3)(2+-=；(1) 求)625(πf 的值； (2) 设2341)2(),,0(-=∈απαf ，求sinα的值． 解：（1）∵23625cos21625sin ==π ∴0625cos 625sin 625cos 3)625(2=+-=ππππf （2）x x x f 2sin 21232cos 23)(+-= ∴234123sin 21cos 23)2(-=-+=ααa f 16sin22－4sinα－11＝0 解得8531sin ±=α ∵0sin ),0(2>∴∈απ 故8531sin +-=α 变式训练3：已知sin(απ-6)＝31，求cos(απ232+)的值． 解：cos(32π＋2α)＝2cos 2(3π＋α)－1 ＝2sin 2(6π－α) －1＝－97 例4．已知sin 2 2α＋sin 2α cosα－cos2α＝1，α∈(0，2π)，求s inα、tanα的值． 解：由已知得sin 22α＋sin2αcosα－2cos 2α＝0 即(sin2α＋2cosα) (sin2α－cosα)＝0 cos 2α(1＋sinα) (2sinα－1)＝0 ∵α∈(0，2π) cosα≠0 sinα≠－1∴2sinα＝1 sinα＝21 ∴tanα＝33变式训练4：已知α、β、r 是公比为2的等比数列])2,0[(πα∈，且sinα、sinβ、sinr 也成等比数列，求α、β、r 的值．解：∵α、β、r 成公比为2的等比数列． ∴β＝2α，r ＝4α∵sinα、sinβ、sinr 成等比数列 ∴12cos 2cos 2sin 4sin sin 2sin sin sin sin sin 2-=⇒=⇔=αααααβαβr 即01cos 2cos 22=--α，解得cosα＝1或21cos -=α当cosα＝1时，sinα＝0与等比数列首项不为零矛盾故cosα＝1舍去 当21cos -=α时，∵2∈*0,2π+ ∴322π=或322π=∴38,34,32ππβπα===r 或316,38,34ππβπα===r1．二倍角公式是和角公式的特殊情况，在学习时要注意它们之间的联系；2．要理解二倍角的相对性，能根据公式的特点进行灵活应用(正用、逆用、变形用)． 3．对三角函数式的变形有以下常用的方法： ① 降次（常用降次公式）② 消元（化同名或同角的三角函数） ③ 消去常数“1”或用“1”替换 ④ 角的范围的确定第5课时 三角函数的化简和求值1．三角函数式的化简的一般要求： ① 函数名称尽可能少； ② 项数尽可能少； ③ 尽可能不含根式；④ 次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次． 3．求值问题的基本类型及方法① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．4．反三角函数arcsinα、arccosα、arctanα分别表示[2,2ππ-]、[0，π+、（2,2ππ-）的角．例1. （1）化简：40cos 170sin )10tan 31(50sin 40cos +++（2）化简：xx xx 4466cos sin 1cos sin 1----解：∵10cos 10sin 310cos 10tan 31+=+＝10cos 50cos 210cos )1060cos(2=- ∴原式20cos 220cos 220cos 2140cos 20cos 270sin 10cos 50cos 50sin 240cos 222=+=⋅+==2变式训练1：已知xxx f +-=11)(，若),2(ππα∈，则+)(cos αf )cos (α-f 可化简为 ．解：αsin 2例2. 已知0cos 2cos sin sin 622=-+αααα，α∈[2π，π]，求sin （2α＋3π）的值． 解法一：由已知得(3sinα＋2cosα) (2sinα－cosα)＝0⇔3sinα＋2cosα＝0或2sinα－cosα＝０由已知条件可知cosα≠0 ∴α≠2π即α∈(2π,π) ∴tanα＝－32sin(2α＋3π)＝sin2αcos3π＋cos2αsin 3π＝sinαcosα＋23(cos 2α－sin 2α)＝αααααααα222222sin cos sin cos 23sin cos cos sin +-⨯++＝αααα222tan 1tan 123tan 1tan +-+++＝2635136+-解法二：由已知条件可知cosα≠0 则α≠2π从而条件可化为 6 tan 2α＋tanα－2＝0 ∵α∈(2π,π) 解得tanα＝－32(下同解法一)变式训练2：在△ABC 中，22cos sin =+A A ，2=AC ，3=AB ，求tan A 的值和△ABC 的面积． 解：∵sinA ＋cosA ＝22 ①∵2sinAcosA ＝－21从而cosA ＜0 A ∈(ππ,2)∴sinA －cosA ＝A A A A cos sin 4)cos (sin 2-+＝26 ②据①②可得 sinA ＝426+ cosA ＝426+- ∴tanA ＝－2－3S △ABC ＝4)26(3+例3. 已知tan(α－β)＝21，tan β＝-71，且α、β∈（0，π），求2α－β的值. 解：由tanβ＝－71 β∈(0，π)得β∈(2π, π) ①由tanα＝tan*(α－β)＋β+＝31 α∈(0，π)得0＜α＜2π ∴ 0＜2α＜π由tan2α＝43＞0 ∴知0＜2α＜2π ②∵tan(2α－β)＝βαβαtan 2tan 1tan 2tan +-＝1由①②知 2α－β∈(－π，0) ∴2α－β＝－43π (或利用2α－β＝2(α－β)＋β求解)变式训练3：已知α为第二象限角，且sinα＝415，求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值．解：由sinα＝415α为第二象限角∴cosα＝－41∴)cos (sin cos 2)4sin(12cos 2sin )4sin(αααπαααπα++=+++＝αcos 221＝－2例4．已知310cot tan ,43-=+<<ααπαπ． （1）求tanα的值； （2）求)2sin(282cos 112cos2sin82sin 522πααααα--++的值．解：（1）由310cot tan -=+αα 得03tan 102tan 32=++α 解得tanα＝－3或31tan -=α 又παπ<<43，所以31tan -=α为所求．（2）原式：ααααcos 282cos 111sin 42cos 15--+⋅++-⋅=ααααcos 2216cos 1111sin 8cos 55--+++-=625226tan 8cos 22cos 66sin 8-=-+=-=αααα 变式训练4：已知k =++αααtan 12sin sin 22（4π<α<2π），试用k 表示sin α－cos α的值． 解：∵αααααcos sin 2tan 12sin sin 22=++∴k ＝2sinαcosα ∵(sinα－cosα)2＝1－k 又∵α∈(2,4ππ) ∴sinα－cosα＝k-11．三角函数的化简与求值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在;2．要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，熟悉几种常见的入手方式： ① 变换角度 ② 变换函数名 ③ 变换解析式结构3．求值常用的方法：切割化弦法、升幂降幂法、辅助元素法、“1”的代换法等．。
学案5两角和与差的三角函数及倍角公式
学案5两角和与差的三角函数及倍角公式一、两角的和与差的三角函数公式在讨论两角的和与差的三角函数公式之前，我们先来复习一下两个重要的概念，同角和，即两角的终边相同，旋转角度可以不同，但和角的初边、终边相同；差角，即两角的初边相同，但终边不同。
接下来我们将给出两角的和与差的三角函数公式。
1.两角和的三角函数公式：设有两个角theta和phi，其对应的三角函数值分别为sin(theta), cos(theta), tan(theta), sin(phi), cos(phi), tan(phi)。
则两角的和的三角函数值可以通过以下公式求得：sin(theta + phi) = sin(theta) * cos(phi) + cos(theta) *sin(phi)cos(theta + phi) = cos(theta) * cos(phi) - sin(theta) *sin(phi)tan(theta + phi) = (tan(theta) + tan(phi)) / (1 - tan(theta) * tan(phi))2.两角差的三角函数公式：设有两个角theta和phi，其对应的三角函数值分别为sin(theta), cos(theta), tan(theta), sin(phi), cos(phi), tan(phi)。
则两角的差的三角函数值可以通过以下公式求得：sin(theta - phi) = sin(theta) * cos(phi) - cos(theta) *sin(phi)cos(theta - phi) = cos(theta) * cos(phi) + sin(theta) *sin(phi)tan(theta - phi) = (tan(theta) - tan(phi)) / (1 + tan(theta) * tan(phi))二、倍角公式倍角公式是指将一个角的角度加倍后，求其对应三角函数的值的公式。
高中高一数学《二倍角的三角函数》教案设计
高中高一数学《二倍角的三角函数》教案设计一、教学目标1.知识与技能：掌握二倍角的正弦、余弦、正切函数公式，能够运用这些公式进行计算和化简。
2.过程与方法：通过探究、讨论、练习等方式，培养学生的数学思维能力，提高解题技巧。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的精神。
二、教学重点与难点1.教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切函数公式的推导与应用。
2.教学难点：二倍角公式的推导过程及运用过程中的符号变化。
三、教学过程1.导入新课（1）复习回顾：引导学生回顾初中阶段学习的正弦、余弦、正切函数的定义及性质。
（2）提出问题：如何利用已知的三角函数公式来推导二倍角的三角函数公式？2.探究新知（1）引导学生利用正弦、余弦、正切的定义，结合三角形的面积公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切函数公式。
（2）教师引导学生进行推导，并解释推导过程中的关键步骤。
3.应用练习（1）教师给出一些简单的二倍角问题，让学生运用新学的公式进行解答。
（2）学生互相交流，分享解题过程和心得。
（3）教师点评，指出学生解题过程中的优点和不足。
4.拓展延伸（1）引导学生探讨二倍角公式在解三角形、化简三角函数表达式等方面的应用。
（2）学生举例说明，教师点评。
（2）学生反馈学习过程中的疑问和收获。
6.作业布置（1）教材P页习题1、2、3。
（2）思考：如何利用二倍角公式化简三角函数表达式？四、教学反思1.本节课通过引导学生探究二倍角公式的推导过程，让学生体会到了数学的严谨性和美感，提高了学生的学习兴趣。
2.在应用练习环节，学生能够积极参与，互相交流，提高了解题技巧。
3.在拓展延伸环节，学生能够将二倍角公式应用于实际问题，培养了学生的数学思维能力。
4.教学过程中，部分学生对二倍角公式的符号变化掌握不够熟练，需要在课后加强练习。
5.教师在课堂上要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，提高教学效果。
五、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思维活跃度、合作交流情况等。
2022年《2 二倍角的三角函数导学案教师版》优秀教案
二倍角的三角函数目标要求1、理解并掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式以及倍角公式的变换．2、理解并掌握给角求值、条件求值问题．3、理解并掌握化简、证明问题．4、理解并掌握倍角公式与三角函数性质的综合问题学科素养目标三角恒等变换公式是联系三角函数与平面向量，物理应用知识的桥梁三角恒等变换公式中的“拆与添〞、方程组思想等技巧都是数学常用思想方法突出计算能力，逻辑推理能力，分析问题和解决实际应用问题的能力．重点难点重点：化简、证明问题；难点：倍角公式与三角函数性质的综合问题．教学过程根底知识点1二倍角的正弦、余弦、正切公式1公式:2本质:两角和的正弦、余弦、正切公式,当两角相等时的特殊形式3应用:①化简;②求值;③证明【思考】1所谓的“二倍角〞公式,一定是角与之间的转化关系吗为什么提示:不一定对于“二倍角〞应该广义的理解,如:是的二倍角,是的二倍角,是的二倍角, 是的二倍角,…,这里蕴含着换元思想这就是说“倍〞是相对而言的,是描述两个数量之间关系的2公式中的角是任意角吗提示:对于公式中的角是任意角,但是中的角要保证有意义且分母2倍角公式的变换1因式分解变换2配方变换3升幂缩角变换4降幂扩角变换【课前根底演练】题1〔多项选择．．．．．．．．．．〕以下命题正确的选项是A倍角的正切公式的适用范围不是任意角B对于任意的角,都有成立C存在角,使成立D对任意的角都成立【答案】选ACD提示:A√倍角的正切公式,要求且,故此说法正确B×当时,,而C√由,得时, 成立D√由倍角的正弦公式可得题2 in 15°in 75°的值为A B C D【解析】选B原式题3,那么in 2α=________,co 2α=________,tan 2α=________【解析】因为,所以,所以答案:关键能力·合作学习类型一给角求值问题数学运算【题组训练】题4A B D【解析】选A原式题5C D【解析】选B题6【解析】原式答案:【解题策略】利用二倍角公式解决给角求值问题的策略1注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系,灵活正用或逆用二倍角公式2结合诱导公式恰当变化函数名称,灵活处理系数,构造二倍角公式的形式【补偿训练】题7列各式的值:1；2;3【解析】1原式2原式3原式类型二条件求值问题数学运算【典例】题8,求的值【解题策略】解决条件求值问题的方法1将式或未知式化简,使关系明朗化;2寻找角之间的关系,特别是角与要求的角之间的二倍关系,如果二倍关系中含有角和某些特殊角,那么利用诱导公式转化后整体代入【跟踪训练】题9,求和的值【解析】由，得，那么，即因为，所以，所以，【补偿训练】题10,且，求【解析】因为，，所以原式可化为，解得或因为,所以,故或,即或类型三化简、证明问题数学运算、逻辑推理角度1 化简问题【典例】题11化简:〔1〕；〔2〕【思路导引】结合题目特点,利用二倍角的正弦、余弦公式化简【解析】1原式2原式【变式探究】题12化简【解析】原式角度2 证明问题【典例】题13证明【思路导引】利用二倍角公式化简左边式子求解【解析】【解题策略】1化简三角函数式的常用方法1切化弦;2异名化同名;3异角化同角;4高次降低次2化简三角函数式的常用技巧1特殊角的三角函数与特殊值的互化;2对于分式形式,应分别对分子、分母进行变形处理,有公因式的提取公因式后进行约分;3对于二次根式,注意倍角公式的逆用;4利用角与角之间的隐含关系,如互余、互补等3证明问题的原那么及一般步骤1观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比拟复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑〞的思想2证明的一般步骤是:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角〞“异名化同名〞“变量集中〞等原那么,设法消除差异,到达证明的目的【题组训练】题14的化简结果为A B C D【解析】选B题15求证:【证明】方法一:左边右边,得证方法二:右边左边,得证题16化简:,其中【解析】原式①当时,,此时原式②当时,,此时原式类型四倍角公式与三角函数性质的综合逻辑推理、数学运算【典例】题17求函数的最小值,并求其单调减区间【思路导引】化简f的解析式→f=A inωφB→ωφ的范围→求最小值,单调减区间【解析】,因为,所以,所以,所以当,即时,f取最小值为因为在上单调递增,所以f在上单调递减【解题策略】倍角公式与三角函数性质的综合问题的解题策略运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成=a in ωb co ω的形式,借助辅助角公式化为=A inωφ或=A co ωφ的形式,将ωφ看作一个整体研究函数的性质【跟踪训练】题18求函数的最小正周期和最小值,并写出该函数在上的单调递减区间【解析】,所以由,得,又,所以令=0,得函数的单调递减区间为课堂检测·素养达标题19,那么的值为A B C D【解析】选A因为,所以题2021的结果为A B C D【解析】选B【补偿训练】题21的值为A B C D【解析】选B题22,那么等于________【解析】由得答案:【解析】,故最小正周期为答案:题24求证:【证明】左边=右边,所以等式成立。
湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 分层作业 第2章 三角恒等变换 2.2 二倍角的三角函数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
C级
学科素养创新练
19.如图所示,在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ,沿由点B到点E
的方向前进30 m至点C处,测得顶角A的仰角为2θ,再沿刚才的方向继续前
进10 3 m到点D,测得顶点A的仰角为4θ,求θ的大小和建筑物AE的高.
4
7
A.
8
解析
cos 2α=( C )
7
B.8
2
∵sin(π-α)= 4 =sin
∴cos 2α=1-2sin
3
C.
4
α,
2
α=1-2×
16
2
3
D.4
=
3
.故选
4
C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
sin+cos
5.若
sin-cos
称轴,A 正确;
π
f(x)的最小正周期是 ,所以
2
B 正确;
f(x)是偶函数,没有对称中心,C 错误;
1
由图可知,f(x)= |sin
2
2x|在区间
π π
,
4 2
上单调递减,D 错误.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
15.若 θ∈
π π
∴sin
1-cos2
θ=
2
∴sin
3
θ= .
4
2
=
1- 2
1
8
=
9
,
16
湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第2章 2.2 二倍角的三角函数
式,最终变成整式或数值;③对二次根式,则需要运用倍角公式的变形形式.
在具体过程中体现的则是化归的思想,是一个“化异为同”的过程,涉及切弦
互化,即“函数名”的“化同”;角的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角
化复角”等具体手段.
2.对于无条件的恒等式证明,常采用的方法有化繁为简和左右归一,关键是
1
30°+ sin
2
2θ=1.
1
30°)+2sin
2θ
(1-cos2 )+sin2
(2)证明左边=(1+cos2 )+sin2
2si n 2 +2sin cos
=2co s 2 +2sin cos
sin
=
=tan
cos
=
=
2si n 2 +sin2
2co s 2 +sin2
1+sin2 -cos2
(2)证明:
=tan
1+sin2 +cos2
θ.
1+cos (2+30°)
1-cos (2-30°)
(1)解原式=
+
+cos
2
2
1
=1+2(cos
θsin θ
2θcos 30°-sin 2θsin 30°-cos 2θcos 30°-sin 2θsin
=1-sin 2θsin
三角函数
公式
正弦
sin 2α= 2sin αcos α
cos 2α=cos2α-sin2α=
余弦
二倍角的三角函数-高一下学期数学湘教版(2019)必修第二册
2
2
C不符合，sin 15°＋cos 15°＝1；D符合，
＝
1−tan2 15° 2
3
2
解析：A不符合，2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝ ；B符合，1－2sin215°＝cos30°＝ ；
×
2tan15°
3
3
＝ ·tan30°＝ .
1−tan2 15° 2
2
1
(2)sin10°cos 20°cos 40°＝________．
2．函数y＝sin22x的最小正周期是(
π
A．
B．π
2
C．2π
D．4π
答案：A
1
2
解析：∵f(x)＝sin 2x＝
2π
ω
2π
4
π
2
∴T＝ ＝ ＝ .
2
−
1
cos4x，即ω＝4，
2
)
3．若α∈
π
− ，0
2
A．sin α＋cos α
C．sin α－cos α
，则 1 − sin2α＝(
)
B．－sin α－cos α
＝ ·
4
sin 20°
1 2 sin 80° cos 80° 1 sin 160° 1
＝ ·
＝ ·
＝ .
8
sin 20°
8 sin 20°
8
题型3 利用二倍角公式证明恒等式
3－4cos 2A＋cos 4A
例3 求证：
＝tan4A.
3＋4cos 2A＋cos 4A
2
3−4 cos 2A+2 cos2 2A−1
(2)配方变换：
(sinα±cos α)2
湘教版高中数学必修二二倍角的三角函数教案(1)
第 6 课时：§3.2 二倍角的三角函数（一）【三维目标】：一、知识与技能1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；理解化归思想在推导中的作用。
2. 能正确运用（顺向、逆向、变形运用）二倍角公式求值、化简、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；3.揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并培养学生综合分析能力.4.结合三角函数值域求函数值域问题。
二、过程与方法1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.2.通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力；通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。
三、情感、态度与价值观1.通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.2.引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质.【教学重点与难点】：重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用；难点：二倍角的理解及其灵活运用（公式的逆向运用及变式训练）。
【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教法：本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，运用现代多媒体教学手段，进行教学活动，通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式；（通过设置问题让学生理解二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的）对于二倍角公式的灵活运用，采用讲、练结合的方式进行处理，让学生从实例中去理解,从而能灵活地运用二倍角公式解题。
高中数学 5.2二倍角的三角函数课件 湘教版必修2
第二页，共28页。
预习(yùxí)导学
• [知识链接] • 1．两角和公式与二倍角公式有联系吗？ • 答 有联系．在S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)
中，令β＝α即可得S2α，C2α，T2α. • 2．什么(shén me)情况下sin 2α＝2sin α，tan2α
第二十三页，共28页。
1．cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于 ( )
6
3
A. 2
B.2
5 C.4
D．1＋
3 4
• 答案(dáàn) C
解析 原式＝sin215°＋cos215°＋12sin 30°＝1＋14＝54.
第二十四页，共28页。
2．sin41π2－cos41π2等于
课堂(kètáng)讲 义
sin 2α＝2×－102×－7102＝275.
所以cos2α＋π4＝
22－2245－275＝－3150
2 .
第十八页，共28页。
课堂(kètáng)讲 义
要点三 给值求角问题 例3 已知tan α＝13，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的
值． 解 ∵tan α＝13>0，∴α∈0，π2，2α∈(0，π)， ∴tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×13132＝34>0， ∴2α∈0，π2，
第十四页，共28页。
课堂(kètáng)讲 义
且0<x<π4， ∴π4＋x∈π4，π2， ∴sinπ4＋x＝ 1－cos2π4＋x＝1123. ∴原式＝2×1123＝2143.
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课堂(kètáng)讲 义
2-2 二倍角的三角函数(教学课件)——高中数学湘教版(2019)必修二
3
（4）1−tan215°＝tan 30°＝ 3 .
2 15°
-1；（3）cos2 6-sin2 6；（4）1−215°.
高中数学
例2
必修第二册
湖南教育版
1+sin 4α+cos 4α
化简：（1） 1 + sin 20°+ 1 − sin 20°；（2）1+sin 4α−cos 4α.
，∴
tan 2α−tan β
tan（2α-β）＝
1+tan 2αtan β
，∴ 2α-β∈（-π，0），∴ 2α-β＝−
=
3
1
− −7
4
3
1
1+4× −7
＝1.
3π
.
4
在求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后求出角，
确定角的范围是关键的一步.
高中数学
必修第二册
湖南教育版
类似地，可得
cos 2α＝cos（α+α）＝cos αcos α-sin αsin α＝cos2α-sin2α，
tan+tan
2tan
tan 2α＝tan（α+α）＝1−tantan＝1−tan2 .
高中数学
必修第二册
湖南教育版
因此S2α ： 2＝Fra bibliotek ，C2α ： 2＝ cos 2 α − sin2 α，
（3）原式＝tan（2×150°）＝tan 300°＝tan（360°-60°）＝-tan 60°＝- 3.
反思感悟 应用二倍角公式求值的策略
（1）四个方面：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异.
湘教版高中数学必修二任意角的三角函数教案
任意角的三角函数教学目标1.使学生切实掌握任意角三角函数的定义.2.使学生掌握三角函数的定义域及其确定方法.3.使学生掌握三角函数值在各个象限内的符号.4.使学生掌握诱导公式一.教学重点与难点教学难点为：任意角三角函数的定义.教学重点为：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一.教学过程设计师：我们学过锐角的正弦、余弦、正切、余切中，∠A 是锐角，∠C 是直角，那么(板书)师：经过最近几节课的学习，我们知道角的概念已经被推广了，我们现在所说的角可以任意大小的正角、负角和零角，那么任意的三角函数是怎么定义的呢?直角三角形显然不能包含所有的角.生：借助平面直角坐标系来定义.师：好的.这位同学可能预习了.任意角三角函数就是在平面直角坐标系内定义的.设角α是一个任意大小的角，我们以它的顶点为原点，以它的始边为x 轴的正半轴Ox ，建立直角坐标系(图2)，在角α的终边任取一点P ，它的横坐标是x,纵坐标是y,点P 和原点O(0，0)的距离r=22y x (r 总是正的)，然后把角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别规定为(板书)师：以前我们就知道，图1中的四个比值的大小仅与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关；同样，在图2中，六个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角αα的终边上的位置无关.师：下面咱们一起来看这六个三角函数，自变量是什么?是x?是y？是r?还是角a?大家讨论一下.生：……师：通过大家的讨论，咱们可以看出，只要角α确定了，就能在它的终边上取点，从而可确定x，y，计算出r的值，所以自变量应是角α.这些函数的函数值是什么呢?生：两个量的比值.师：也就是说是个实数.由于角的集合与实数之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，即实数→角(其弧度数等于这个实数) →三角函数值(实数) 也就是说，三角函数是以角(实数)为自变量，以比值为函数值的函数.既然是研究函数，那么就要从函数最主要的内容——三要素入手，而其中又以定义域和对应法则更重要，三角函数的对应法则我们可以由解析式中直接看出.下面我们研究各个函数的定义域.(这几函数的定义域并不难求，只是务必使学生明确，函数的自变量是角.定义域由学生一一做答，教师最后在黑板上列表总结.)师：我们已经知道了三角函数的定义，下面我们就该应用定义解题了.请看例1.(板书)例1 已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的六个三角函数值.师：要求六个三角函数值，我们需要知道哪些量?生：x,y,r.师：我们是必须知道这三个量，还是知道其中两个量就行了?生：只需知道其中的两个量.师：例1中是否有咱们所需要的两个量?生：有.x=2,y=－3.师：好的.这道题就由你来解，你说我往黑板上写.(板书)解师：由三角函数的定义，我们知道，已知角α终边上一点的坐标就可以求六个三角函数值，若已知条件是某角的度数或弧度数，那么这个角的终边位置也是唯一确定的，其三角函数值也应是唯一的.这类题目应怎样求它的各个三角函数值呢?下面看例2.(板书) 例2 求下例各角的六个三角函数值.师：咱们先看角0的六个三角函数值怎么求.生：没想好.师：你觉得为什么不好求呢?生：题目里没给出x,y的值.师：x,y 的值与所给出的角有什么关系?生：x,y 是角的终边上一点的坐标.师：角的终边上的哪点?生：可以任意选取.师：那当然要使所取点的坐越简单越好了，你打算取哪点?生：取(1，0)点.师：现在这道题目你会做了吗?生：会了.师：你说我来写在黑板上.(板书)解 在角0的终边上取一点(1，0)，所以x=1,y=0,r=x2+y2=1因此师：这道从题会做了，下面的两道小题也就不成问题了.大家都在笔记本上准备一下，一会儿，我叫几个同学说一下你们的答案.(2)在角π的终边上任取一点(－1，0)，x=－1,y=0,r=1,sin π=0,cos π=-1,tan π=0 cot πα不存在，sce π=－1 ,csc πα不存在；(3)在角23π的终边上任取一点(0，－1)，x=0,y=－1,r=1,sin 23π=－1,cos 23π=0,tan 23π不存在，cot 23π=0,sec 23π不存在，csc 23π=－1. 师：下一个问题是确定一下各三角函数值在每个象限的符号.我们知道，当角的概念被推广后，我们常常把角放到平面直角坐标系中讨论，当角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x 轴的正半轴上时，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.现在，我们又学习了三角函数，若一类三角函数值在同一个象限的符号是一致的，那我们既可以根据角所在象限确定出相应的三角函数的符号，又可以利用三角函数的符号确定出角所在的象限了.下面咱们先看正弦函数的函数值在各个限内的符号.(请好学生回答)生：对于sin α，当角α在第一象限内时，它的符号是正的，当角α在第二象限时，…… 师：等等，你所说的第一条结论正确，你能不能把你的解题方法具体地告诉我们?(尽量突出这节课的主要内容.)生：根据三角函数的定义，sin α=ry ，当角a 是第一象限角时，也就是说，角α的终边落在第一象限内，而第一象限内的点的坐标都是正的，所以sin α＞0.师：解题思路非常清楚，就是下结论前的叙述显得有点匆忙，不够确切.咱们看这样说是不是更好些?前边的就用他的说法，接着说，第一象限内的点的纵坐标都为正数，也就是y ＞0,而r=22y x +，也一定大于零，所以得出结论，sin α＞0，符号为“+”.师：这个结论一经推出，其余问题我们也就都会解决了.下面我们再把角落在第二、第三、四象限内，将正弦函数的函数值的符号确定一下.生：正弦函数sin α=yr ，当角a 在第二象限时，sin α的符号为“+”；当角α在第三象限时，sin α的符号为“－”；当角α在第四象时，sin α的符号也为“－”.师：完全正确.由于r=22y x +＞0，所以我们可以看出，sin π的符号与谁的符号一致?生：与y 的符号一致.师：好的.现在正弦函数的问题咱们已经解决了，下面该确定余弦函数的函数值在各个象限内的符号了.我想，得出正确结论已经不是什么难事了.只是如果请你说，你能叙述得完整吗?另外，你还有没有别的办法解决这个问题?生：余弦函数cos α=xr,我们知道r=22y x +>0，它的值永远是正的，所以cos a 的符号是由x 确定的，而且与x 的符号相同.x 是角α所在象限内的点的横坐标，所以当角a 在第一象限内时，cos α的符号为“+”，当角α在第二或第三象限时，cos a 的符号为“－”，而当角α在第四象限时，cos α的符号为“+”.师：回答得很好.各个量之间的关系都说得非常清楚、准确.生：还可以简单地记为：余弦函数值的符号与x 的符号一致.师：也对.只是这个结论前的一些推理咱们必须清楚.正切函数tan α=xy 在各个象限内的符号又是怎样的? 生：对于第一、三象限内的角，正切值为正的，因为此时x,y 同号；对于第二、四象限内的角，正切值为负的，因为此时x,y 异号.师：完全正确.我们研究清楚了正弦、余弦、正切函数的函数值在各个象限内的符号，剩下的三个三角函数的函数值在各个象限内的符号就好确定了.为什么?生：因为余切值(y x )与正切值(x y )互为倒数，所以它们的符号一致，同理，正割值(x r )与余弦值(r x )的符号一致，而余割值(y r )与正弦值(ry )的符号一致. 师：很好.为了便于记忆，我们不妨把刚才的结论总结于坐标系中，看看这种直观、形象的方式是否适合于你?(板书)师：现在我们知道了三角函数的数值是由角的终边的位置决定的.显然，当两个角相差360°的整数倍时，它们俩的终边相同，所以它们的同一个三角函数的值相等.由此得到一组公式(公式一).(板书)师：这组公式使我们可以把任意角的三角函数值的问题，转化为0°～360°(或0～2π)间的角的三角函数值的问题.(板书)例3 确定下列各三角函数值的符号.(1)cos 250°； (2)sin(－4π)； (3)tan(－672°10′) (教师边分析边板书)解 (1)因为250°是第三象限的角，所以cos 250°＜0.(2)(由学生口述完成)因为－4π是第四象限角，所以sin （-4π）＜0. (3)(由学生解)因为tan(－672°10′)=tan(－2×360°+47°50′)=tan 47°50′，又因为47°50′是第一象限角，所以tan (－672°10′)＞0.师：下面咱们接着做例4.(板书)例4 根据条件sin θ＜0且tan θ＞0，确定θ是第几象限角.(教师边讲边写)解 为sin θ＜0，所以θ在第三象限或第四象限，或的终边落在y 轴的负半轴上. 因为tan θ＞0.所以θ在第一象限或第三象限.由于sin θ＜0与tan θ＞0同时成立，所以θ在第三象限.师：下面咱们小结一下这节课，这节课的主要内容是任意角三角函数的定义，通过对这一定义的学习，我们掌握六个三角函数的定义域，要会利用定义，求出各三角函数在每个象限的符号并且记住各结论.要知道公式一的理论依据就是任意角三角函数的定义，当然还要掌握公式一.作业：课本P138练习一第1，2，3，4，5，6题.其中第2，3题写在书上，其余的写在本上.课堂教学设计说明1.复习锐角三角函数.2.讲解任意角三角函数的定义.3.用列表的形式总结出各个三角函数的定义域.4.例1是三角函数定义的最简单、直接的应用.例2是应用任意角三角函数的定义解题.5.利用三角函数的定义和各象限内点的坐标的符号，确定各三角函数值在每个象限的符号.6.诱导公式一7.例3和例4.8.小结、作业.为什么要采取以上步骤呢?因为本节课的重点和难点就是任意角三角函数的定义，而其余内容均是关于任意角的函数的定义的应用，所以对于这一定义，不仅安排了复习锐角的三角函数，而且还安排了两道应用定义的例题，即例1和例2.此外，三角函数与学生们以往所学过的函数从形式上看区别很大，有的学生可能一时找不对自变量，所以，在讲课时注意强调了三角函数的自变量是角，并在此基础上，应用新学的任意角三角函数的定义，求出各个三角函数的定义域.应用三角函数的定义，可判断出三角函数在各个象限的符号.对于这点，教师觉得学生完全有能力自己完成，所以，这块知识是以教师提问学生回答，最后一起做总结的形式完成的.诱导公式一，也是任意角三角函数定义的再次应用，有了它，我们就可以把求任意角的三角函数值问题，转化为求0°～360°(或0～2π)间角的三角函数值的问题了.板书设计。
高中数学 52二倍角的三角函数课件 湘教版必修2
cos 2α＝cos2α－sin2α＝1156－116＝78.
故 sin 2α＋cos 2α＝－
815＋78＝7－8
15 .
第十八页，共24页。
(3)由(2)知 tan
α＝sin
cos
α α＝－
1， 15
∴tan 2α＝12－tatnanα2α＝2×1－－115115＝－ 715.
第十九页，共24页。
个常数吗？若等于一个常数，请把这个常数求出来；若不
是一个常数，请化简一下．
提示 此式等于一个常数，这个常数是12.求解过程如下：
原 式 ＝ sin2
α · sin2
β
＋
cos2
α
cos2
β
－
1 2
(2cos2
α
－
1)(2cos2β－1)
＝sin2α·sin2β＋cos2αcos2β－12(4cos2αcos2β－2cos2α －2cos2β＋1)
＝__________；
1-2sin2α
倍角正切公式(gōngshì)：tan 22αt＝an α . 1－tan2α
第二页，共24页。
2.倍角公式(gōngshì)变形
第三页，共24页。
自主(zìzhǔ)探究
sin2 α·sin2 β＋cos2 αcos2 β－12cos 2αcos 2β等于一
π π ＋ 4 (k∈Z) 就 可 以 了 ． 可 见 已 知 条 件
sin
2 α ＝ sin
2kπ＋π4 ＝sin2kπ＋π2 ＝m≠1，即1－nm的分母不为零，
故选 A.但是，当 α＝3π 4 ＋kπ(k∈Z)时 cos 2α＝n＝0，即 B
不正确；当α＝π2 ＋kπ时(k∈Z)，sin 2α＝m＝0，cos 2α＝
湘教版高中数学必修二任意角的三角函数教案(3)
1.2.1 任意角的三角函数（2）一、课题：任意角的三角函数（2）二、教学目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
三、教学重点：正弦、余弦、正切线的概念及利用。
四、教学过程： （一）复习：（提问）1．三角函数的定义及定义域、值域：练习1：已知角α的终边上一点()P m，且sin α=cos ,sin αα的值。
解：由题设知x =y m =，所以2222||(r OP m ==+，得r =从而sin α=m r ==，解得0m =或21662m m =+⇒= 当0m =时，r x ==， cos 1,tan 0x yr x αα==-==；当m =r x ==，cos tan x y r x αα====；当m =r x ==，cos tan x y r x αα====． 2．三角函数的符号：练习2：已知sin 0α<且tan 0α>， （1）求角α的集合；（2）求角2α终边所在的象限；（3）试判断tan ,sin cos 222ααα的符号。
3．诱导公式：练习3：求下列三角函数的值：（1）9cos4π， （2）11tan()6π-， （3）9sin 2π． （二）新课讲解：当角的终边上一点(,)P x y1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
1．单位圆：圆心在圆点O ，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2．有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
3．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====， cos 1x xx OM r α====， tan y MP ATAT x OM OAα====．我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。
2019学年高中数学第三章三角函数章末复习提升学案湘教版必修2word版本
第三章三角函数1．三角函数的概念重点掌握以下两方面内容：①理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速进行弧度与角度的换算．②掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域．2．同角三角函数的基本关系式能用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和三角恒等式的证明；能逆用公式sin2α＋cos2α＝1巧妙解题．3．诱导公式能用公式一至公式四将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式．善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的．4．三角函数的图象与性质5.三角函数的图象与性质的应用(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图象的变换，能从图象中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图象归纳出函数的性质．(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答.题型一 任意角的三角函数的定义及三角函数线掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域． 例1 求函数y ＝sinx ＋cosx －12的定义域．解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sinx≥0，cosx －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sinx≥0，cosx≥12，如图，结合三角函数线知：⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x≤2k π＋π，2k π－π3≤x≤2k π＋π3，解得2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2k π≤x≤2k π＋π3，k∈Z .跟踪演练1 设f (x )＝1－2sinx. (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值． 解 (1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图象知： 定义域为{x |2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z }．(2)∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤1－2sin x ≤3， ∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3， ∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值．题型二 同角三角函数的关系式及诱导公式(1)牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧，同时要体会数学思想方法如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用． (2)诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变)；若是偶数倍，则函数名称不变．符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号． 例2 已知2＋θ－π1＋π－θ＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．解 方法一 由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2.∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ) ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ ＝4sin θcos θ－sin2θ－3cos2θsin2θ＋cos2θ＝4tan θ－tan2θ－3tan2θ＋1＝8－4－34＋1＝15.方法二 由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2.即sin θcos θ＝2，∴sin θ＝2cos θ. ∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝cos 2θ＝cos2θsin2θ＋cos2θ＝1tan2θ＋1＝15.跟踪演练2 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos2α－sin2α用tan α表示出来，并求其值．解 (1)方法一 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15 ①sin2α＋cos2α＝1②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0.∵α是三角形内角，∴sin α＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.方法二 ∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0， ∴sin α－cos α＝75，由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)1cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＝ sin2α＋cos2αcos2αcos2α－sin2αcos2α＝tan2α＋11－tan2α，∵tan α＝－43，∴1cos2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257. 题型三 三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．具体要求：(1)用“五点法”作y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π.(2)对于y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b 的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．(3)由已知函数图象求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由图象求得的y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的解析式一般不是唯一的，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一． 例3 函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解 (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2，∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝12，∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，故α＝π3.跟踪演练3 已知函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6B ．f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4C ．f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6 答案 C解析 由图象知周期T ＝4π，则ω＝12，排除B 、D ；由f (0)＝1，可排除A.题型四 三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．例4 f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意实数x 满足f (x ＋2)＝f (x )，且f (x )在[－3，－2]上单调递减，而α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f (sin α)>f (cos β)． 证明 ∵f (x ＋2)＝f (x )，∴y ＝f (x )的周期为2. ∴f (x )在[－1,0]与[－3，－2]上的单调性相同． ∴f (x )在[－1,0]上单调递减．∵f (x )是偶函数， ∴f (x )在[0,1]上的单调性与[－1,0]上的单调性相反． ∴f (x )在[0,1]上单调递增．① ∵α，β是锐角三角形的两个内角， ∴α＋β>π2，∴α>π2－β，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，π2－β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.又∵y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增， ∴sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β，即sin α>cos β.②由①②，得f (sin α)>f (cos β)．跟踪演练 4 已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5， ∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )＞0得g (x )＞1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12， ∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法．。
2019年数学新同步湘教版必修2第5章 5.2 二倍角的三角函数
5．2二倍角的三角函数在两角和的正弦、余弦、正切公式中，α，β可以为任意角，由此出发，你能推出sin 2α，cos 2α和tan 2α的公式吗？利用公式sin 2α＋cos 2α＝1，你是否能只用sin α或cos α表示cos 2α？二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.1．sin π12cos π12的值为________．[提示]142．2sin 275°－1的值为________． [提示]323．思考：已知cos θ＝15，求cos 2θ的值时有哪些思路？[提示] 利用cos 2θ的三种表示形式可有三种思路，其中cos 2θ＝2cos 2θ－1最简洁．[例1] 求值：(2)sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°.[思路点拨] (1)利用诱导公式及二倍角正弦公式化简； (2)切化弦后通分逆用两角和正弦公式、二倍角公式化简求值．[边听边记] (1)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116.(2)∵sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1，cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°. ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2.1．求下列各式的值．(1)sin π8sin 3π8；(2)cos 215°－cos 275°；(3)2cos 25π12－1；(4)tan 30°1－tan 230°. 解：(1)∵sin3π8＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－π8＝cos π8， ∴sin π8sin 3π8＝sin π8cos π8＝12·2sin π8cos π8＝12sin π4＝24.(2)∵cos 275°＝cos 2(90°－15°)＝sin 215°， ∴cos 215°－cos 275°＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32. (3)2cos 25π12－1＝cos 5π6＝－32. (4)tan 30°1－tan 230°＝12×2tan 30°1－tan 230°＝12tan 60°＝32.[例2] 已知tan α(1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．[思路点拨] (1)直接利用两角和的正切公式求解；(2)先用二倍角公式降次，再把分子分母化成tan α 的形式代入求解． [边听边记] (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.2．已知：sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin 4α的值． 解：∵sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝16， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝13，即cos 2α＝13. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则2α∈(π，2π)， ∴sin 2α＝－1－cos 22α＝－223.∴sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－223×13＝－429.[例3] 在△ABC 中，求证：sin 2A 2＋sin 2B 2＋sin 2C 2＝1－2sin A 2sin B 2sin C2.[思路点拨] 左边用二倍角公式降次→余弦公式化成积→应用三角形内角和为180度→得出结果．[边听边记] sin 2A 2＋sin 2B 2＋sin 2C2＝1－cos A 2＋1－cos B 2＋1－cos C2＝32－12(cos A ＋cos B ＋cos C ) ＝32－12cos ⎝⎛⎭⎫A ＋B 2＋A －B 2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋B 2－A －B 2＋cos C ＝32－12⎝⎛⎭⎫2cos A ＋B 2cos A －B 2＋1－2sin 2C 2 ＝1－12⎝⎛⎭⎫2sin C 2cos A －B 2－2sin 2C 2 ＝1－sin C 2⎝⎛⎭⎫cos A －B 2－cos A ＋B 2 ＝1－sin C 2·2sin A 2sin B 2＝1－2sin A 2sin B 2sin C2.3．求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.证明：要证1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ，只要证1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ.上式：左边＝(1－cos 4θ)＋sin 4θ(1＋cos 4θ)＋sin 4θ＝2sin 22θ＋2sin 2θcos 2θ2cos 22θ＋2sin 2θcos 2θ＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)2cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝右边． ∴原式成立．1．若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C.13D ．23解析：因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13.答案：C2．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.16 B ．13C.12D ．23解析：法一：cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝12(1－sin 2α)＝16. 法二：cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22cos α－22sin α， 所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12(cos α－sin α)2＝ 12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16. 答案：A3．已知sin α＝－23，则cos(π－2α)＝( )A.－53B ．－19C.19D ．53解析：cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.答案：B4．化简：2＋2cos 4＝________.解析：∵cos 2x ＝2cos 2x －1，∴2＋2cos 4＝2＋2(2cos 22－1)＝4cos 22. ∵π2<2<π，∴cos 2<0，则2＋2cos 4＝4cos 22＝|2cos 2|＝－2cos 2. 答案：－2cos 25．等腰三角形一个底角的余弦为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53.所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 答案：4596．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，求sin 2θ－2cos 2θ的值． 解：∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，∴1＋tan θ1－tan θ＝3，∴tan θ＝12. ∵sin 2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝2×12－2⎝⎛⎭⎫122＋1＝－45.二倍角公式的应用灵活多样，谈谈你对应用二倍角公式解题的感受．我的感受是“正用公式——帆满风顺”．所谓正用公式就是从题设条件出发，顺着问题的线索正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件和推算手段逐步达到目的．我的感受是“逆用公式——反弹琵琶”．逆用公式就是意向转换，逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．应用时要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝ 12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α.我也谈谈我的感受是“变形应用——左右逢源”公式之间有着密切的联系，这要求我们思考时因势利导，融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.一、选择题 1．若3π<2x <4π，则 1＋cos 2x2＋ 1－cos 2x2等于( ) A.2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x B ．－2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x C.2sin ⎝⎛⎭⎫π4－xD ．－2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x解析：原式＝|cos x |＋|sin x |＝cos x －sin x ＝－2·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x . 答案：C2．化简tan 14°1－tan 214°·cos 28°的结果为( )A.sin 28°2B ．sin 28°C ．2sin 28°D ．sin 14°cos 28°解析：tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12×2tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12tan 28°·cos 28°＝sin 28°2，故选A. 答案：A3．当180°<α<270°时， 12＋1212＋12cos 2α可化简为( ) A ．cos α2B ．－cos α2C ．sin α2D ．－sin α2解析：∵1＋cos 2α2＝cos 2α，180°<α<270°，∴12＋12cos 2α＝－cos α. 又∵1－cos α2＝sin 2α2，90°<α2<135°，∴12－12cos α＝sin α2. 答案：C4．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝14，则sin 2α的值为( ) A.78B ．－78C.34 D ．－34解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝14，∴sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－2×116＝78.答案：A 二、填空题5．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则1＋sin α＋1－sin α－2＋2cos α＝________. 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α2∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22－2×2cos 2α2＝sin α2＋cos α2＋cos α2－sin α2－2cos α2＝0.答案：06．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α的值是________． 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝79， ∴cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－79. 答案：－79三、解答题7．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值． 解：∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45.∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725.∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725 ＝－31250.8．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－cos ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋cos 2ωx (x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π3上的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝cos 2ωx cos π6＋sin 2ωx sin π6－cos 2ωx ·cos π6＋sin 2ωx sin π6＋cos 2ωx＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4. ∵f (x )的最小正周期为π，且ω>0， ∴2π2ω＝π，即ω＝1. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∵－π4≤x ≤π3，∴－π4≤2x ＋π4≤11π12.∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π4＝－π4，即x ＝－π4时，f (x )取得最小值－1.。
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5.2二倍角的三角函数
【学习目标】
1.熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）
2.特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
， 这两个形式今后常用
要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强灵活运用数学知识和逻辑推理能力
【学习重点难点】
重点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍欠的三角函数
难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式
【学习过程】
（一）预习指导
1.有关公式：
（1） = ； （2） = ；
（3） = ； （二）典型例题选讲：
例1化简：8cos 228sin 12+++
例2求证：[sin θ(1+sin θ)+cos θ(1+cos θ)]×[sin θ(1-sin θ)+cos θ(1-cos θ)]=sin2θ 2
2cos 1cos 2αα+=2
2cos 1sin 2αα-=2sin 2α
2cos 2α
2tan 2
α
例3求函数χχχγsin cos cos 2+=的值域。
例4求证：ααcos sin 2+ 的值是与α无关的定值。
例5化简：
例6求证： )6(sin )3cos(2απ
απ
--+θ
θθ
θθθθθsin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1-+--+---+i i θ
θ
θθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+
例7利用三角公式化简：sin50°(1+︒10tan 3)
【课堂练习】
1.若 ≤α≤ ，则ααsin 1sin 1-++等于 .
2.4cos 2sin 22+-的值等于 .
3.sin6°cos24°sin78°cos48°的值为 .
4. 的值等于 .
5.已知 ，则 的值等于 .
6.已知 （0＜α＜ ）的值等于 .
7.求值tan70°cos10°(3tan20°-1).
25π27π94cos 93cos 92cos 9cos π
πππ21
5sin -=χ)4(2sin π
χ-135
)4sin(=-απ4π
8.求 的值。
9.已知 ， ，求sin4α的值。
︒-︒10cos 3
10sin 161)4sin()4sin(=-+απαπ),2(ππ
α∈。