二维弹性介质中瑞利波高阶有限差分模拟分析.

4 2N 分精度， 于 是 可 得 式 （ 1a ） 精 度 O （ Δ t + Δ x ） 的 差
2N Δ x ） 的差分格式， 由于篇幅所限， 在此省略 。
实际计算中， 可取图 1 所示的网格剖分形式，v z 位于 网 格 点 （ i Δ x ，j Δ z ） ，v x 位 于 ［（ i + （j + 1 ） Δx ， 2
［4 － 5］
。 这些方法只能研究水平层状介质地
质模型， 而对于地 表 起 伏 、 地 下 存 在 空 洞 或 裂 缝、 地 下介质存 在 横 向 不 均 匀 等 复 杂 情 况 无 能 为 力 。 为 近几年学者们开始利用有限元法 、 有限差分法等 此， 方法 来 研 究 瑞 利 波 的 传 播 特 征， 一 是 采 用 FLAC 、
［7 － 8］
。
［9 － 10］
有限差分法是声波或弹性波场数值模拟中使用 较广泛的数值计算方 法 之 一 ， 传统的有限差分 法在求 解 波 动 方 程 时， 会产生不期望的数值频散 （ 或称网格频散） ， 这是因 为 有 限 差 分 求 解 过 程 是 利 用离散化的有限差 分 方 程 去 逼 近 波 动 方 程， 从而使
1 1 ） Δz ］ ，τ xx 和 τ zz 位 于［ i Δ x ，（ j + ） Δz ］ ， 2 2 1 ） Δ x ，j Δ z ］ 。 速 度 v x 、v z 在 （ k + 2
τ xz 位 于 ［（ i +
分计算式：
+ Uk i， j
1 2
－2 = Uk + i， j
1
（ Δ t） 3 1 Δ t p + ［ C （n N ） · ∑ ρ x 24 ρ 2 Δ i， j n = 1 i， j Δt · Δz
自从 1887 年 Rayleigh 发现瑞利波以来， 瑞利面 成本低的 波法（ 或称瑞雷面波法） 便 以 其 操 作 简 便 、 优点， 在公路和铁路路基建设 、 工业与民用建筑的地 基勘察 、 超前探测 、 洞穴勘察和滑坡调查等方面得到 广泛的应用
［1 － 3］
ANSYS 等现成软件对瑞利波进 行 数 值 模 拟［6］ ， 二是 采用 自 己 编 程 的 方 法 来 模 拟 瑞 利 面 波 的 频 散 特 性
（ 3b ）
k 1 i+ 2 ， j +1 k 1 i+ 2 ， j －1
p 3 = （ c13 + c44 ） 2（ T
k 1 i+ 2 ， j
1 ［ （T 2 Δx（ Δz）
+1
） － ）］ （ 3c ）
： ρ v x τ xx τ xz = + t x z （ 1a ）
p 4 = c 44 （ 1b ） （ 1c ） （ 1d ） （ 1e ） p 5 = c 44
1 k 1 1 ［ （ Rk i+ 2 ， j +1 － R i － 2 ， j +1 ） － 2 Δ x（ Δ z）
k k k 1 1 1 1 2（ Rk i+ 2 ， j － Ri－ 2 ， j） + （ Ri+ 2 ， j －1 － R i － 2 ， j － 1） ］
二维弹性介质中瑞利波高阶有限差分模拟分析
杨天春 廖建平
411201 ） （ 湖南科技大学土木工程学院，湖南湘潭 摘
*
要： 为探讨瑞利波在复杂介质中的形成机理 和 传 播 规 律， 正 确 认 识 瑞 利 波 实 测 结 果， 提高反演结果
的精度， 从弹性波方程出发， 采用 4 ˑ 10 阶 高 阶 交 错 网 格 有 限 差 分 方 法 对 弹 性 半 空 间 介 质 进 行 全 波 场 模 拟 。 通过对均匀半空间介质 、 正常地层顺序地基模型和含有低速 夹 层 地 基 模 型 的 正 演 模 拟 ， 获得了它们各自的地 震记录和瞬时快照 。 由模拟结果可知： 以往常规的低阶有 限 差 分 方 法 存 在 严 重 的 数 值 频 散 ， 不适合用来研究 介质中瑞利波的频散特性； 而高阶交错网格有限差分法可有 效 地 压 制 模 拟 中 的 数 值 频 散 影 响 ， 其层状介质的 从而进一步根据 模拟结果与以往频散方程的计算结果吻合； 今后可采用此方 法 模 拟 非 层 状 的 复 杂 介 质 模 型 ， 频散曲线研究复杂介质的频散规律， 指导实际勘探工作 。 关键词： 瑞利波； 弹性波方程； 高阶有限差分； 交错网格； 全波场模拟
k 1 1 3（ Rk i+ 2 ， j － Ri－ 2 ， j） ］
p 2 = （ c 11 + c 13 + c 44 ）
1 1 ［ （ Hk i +1， j+ 2 － （ Δx） 2 Δz
k k 1 1 1 Hk i +1， j － 2 ） － 2 （ H i， j + 2 － H i， j－ 2 ） + k 1 1 （ Hk j + 2 － H i －1， j－ 2 ） ］ i －1，
（ 3d ） 1 k 3 3 ［ （ Hk i， j + 2 － H i， j－ 2 ） － （ Δ z） 3 （ 3e ）
(
)
k 1 1 3（ Hk i， j + 2 － H i， j－ 2 ） ］
其中
c 11 = c 33 = λ + 2 μ c 13 = λ ， c 44 = μ
4 同理可得式（ 1b ） — 式（ 1f ） 方程精度为 O （ Δ t +
HIGHORDER FINITE DIFFERENCE MODELING OF RAYLEIGH WAVE IN TWODIMENSIONAL ELASTIC MEDIA
Yang Tianchun Liao Jianping
（ College of Civil Engineering ，Hunan University of Science and Technology ，Xiangtan 411201 ，China ） Abstract ： In order to study the generation mechanism and propagation rule of Rayleigh waves in complex media ，and to understand the collected results correctly and improve the inversion precision ，it was used the 4 ˑ 10 high-order finite difference method with staggered grids to simulate full-wave-fields in elastic media． Synthetic single-shot records and snaps of a homogeneous half-space ，a layered media in which shear wave velocity increasing with depth and a layered media with a low velocity interlayer were got by the above simulation． According to the results of model simulation ，the past low-order finite difference method is not suitable to study the dispersion characteristics of Rayleigh waves because it may cause serious numerical dispersion． The high-order finite difference method with staggered grids can suppress numerical dispersion effectively ，and its modeling results of layered media are consistent with calculation results of dispersion equation． Therefore ，this method can be used to study complex non-layered media ，and to discuss their dispersion characteristics and instruct practical prospecting works． Keywords ： Rayleigh waves ； elastic wave equation ； high-order finite difference ； staggered-grids ； full-wave-fields modeling
v z 分别为质点 在 x 、 z 方 向 的 速 度； u x 、 uz 分 式中： v x 、 z 方向的位移， z = 0 表示地表位置； t 别为质点在 x 、 z ） 为 介 质 的 密 度； λ （ x ， z） 和 为时 间 变 量； ρ （ x ， z ） 为拉梅系数； τ xx 、 μ（ x， τ zz 和 τ xz 为应力张量 。 对于式（ 1 ） 所示的波 动 方 程 采 用 精 度 较 高 的 交 V 分别为 v x 、 vz 的 错 网格法进行差分模拟计算， 设 U、 T 和 H 分别为 τ xx 、 离散量； R 、 τ zz 和 τ xz 的离散变量； 若时间上采 用 四 阶 差 分 精 度， 空 间 上 采 用 2N 阶 差
* 教育部高等学校特色专业建设点资助项目（ TS11027 ） 。 1968 年出生， 第一作者： 杨天春， 男， 博士（ 后） ， 副教授 。