希尔伯特的二十三个数学问题

希尔伯特的二十三个数学问题

1900年，德国数学家D.希尔伯特在巴黎第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题

》的著名讲演，其中对各类数学问题的意义、源泉及研究方法发表了精辟的见解，而整个

讲演的核心部分则是希尔伯特根据19世纪数学研究的成果与发展趋势而提出的23个问题。

①连续统假设1963年，P.J.科恩证明了：连续统假设的真伪不可能在策梅洛－弗伦克尔公理系统内判明。

②算术公理的相容性1931年,K.哥德尔的“不完备定理”指出了用希尔伯特“元数学”证明算术公理相容性之不可能。数学相容性问题尚未解决。

③两等高等底的四面体体积之相等M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。

④直线作为两点间最短距离问题希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。

⑤不要定义群的函数的可微性假设的李群概念A.M.格利森、D.蒙哥马利和L.齐平等于1952年对此问题作出了最后的肯定解答。

⑥物理公理的数学处理公理化物理学的一般意义仍需探讨。至于希尔伯特问题中提到的概率论公理化，已由А.Н.柯尔莫哥洛夫(1933)等人建立。

⑦某些数的无理性与超越性1934年,A.O.盖尔丰德和T.施奈德各自独立地

解决了问题的后半部分，即对于任意代数数□≠0，1，和任意代数无理数□证明了□□的超越性。

⑧素数问题包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想最佳结果属于陈景润(1966)，但离最终解决尚有距离。

⑨任意数域中最一般的互反律之证明已由高木□治(1921)和E.阿廷(1927)解决。

⑩丢番图方程可解性的判别1970年，□.В.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的一般算法不存在。

11 系数为任意代数数的二次型H.哈塞(1929)和C.L.西格尔(1936，1951)在这问题上获得重要结果。

12 阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意代数有理域尚未解决。

13 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程连续函数情形于1957年由В.И.阿诺尔德解决。解析函数情形则尚未解决。

14 证明某类完全函数系的有限性1958年,永田雅宜给出了否定解决。

15 舒伯特计数演算的严格基础代数几何基础已由B.L.范·德·瓦尔登(1938～1940)与A.韦伊(1950)建立，但舒伯特演算的合理性仍待解决。

16 代数曲线与曲面的拓扑对该问题的后半部分，И.Г.彼得罗夫斯基曾声明证明了□=2时极限环个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例(1979)。

17 正定形式的平方表示式已由E.阿廷于1926年解决。

18 由全等多面体构造空间部分解决。

19 正则变分问题的解是否一定解析1904年,С.Н.伯恩斯坦证明了一个变元的解析非线性椭圆方程其解必定解析。该结果后又被推广到多变元和椭圆组情形。

20 一般边值问题偏微分方程边值问题的研究正在蓬勃发展。

21 具有给定单值群的线性微分方程的存在性已由希尔伯特本人(1905)和H.罗尔(1957)的工作解决。

22 解析关系的单值化一个变数的情形已由P.克贝(1907)解决。

23 变分法的进一步发展。

这23个问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了20世纪数学的发展，数学史上称之

为希尔伯特数学问题。