高中数学-椭圆点差法
点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
解：设直线与椭圆的交点为 、
为 的中点
又 、 两点在椭圆上，则 ，
两式相减得
于是
即 ，故所求直线的方程为 ，即 。
例2、已知双曲线 ，经过点 能否作一条直线 ，使 与双曲线交于 、 ，且点 是线段 的中点。若存在这样的直线 ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
【解析】由 得 。
∴ ，即 ，解得 。
18.【2012高考安徽文14】过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 两点，若 ，则 =______。
【答案】
【解析】设 及 ；则点 到准线 的距离为
得： 又
三、解答题
20.【2012高考天津19】（本小题满分14分）
已知椭圆 （a>b>0）,点P（ , ）在椭圆上。
\
二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例3、已知椭圆 的一条弦的斜率为3，它与直线 的交点恰为这条弦的中点 ，求点 的坐标。
解：设弦端点 、 ，弦 的中点 ，则
，
又 ，
两式相减得
即
，即
点 的坐标为 。
三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例5、已知中心在原点，一焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的中点的横坐标为 ，求椭圆的方程。
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。
【解析】解：由题意可知， ，设 ，则 ，故 ， ，利用余弦定理可得 。
13.椭圆 为定值，且 的的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 、 ， 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
点差法求椭圆中点弦
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
本文用这种方法作一些解题的探索。
一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x BΘ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y yΘ又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴21244)(421212121-=⨯-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(211--=-x y ，即042=-+y x 。
例2、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B则221=+x x ，221=+y y122121=-y x ，122222=-y x 两式相减，得0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=⨯⨯--=∆这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。
椭圆中点弦问题点差法(微教案)
1. 知识与技能：让学生掌握椭圆中点弦问题的解法——点差法，能运用点差法解决相关问题。
2. 过程与方法：通过引导学生发现中点弦的性质，培养学生观察、分析、解决问题的能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：椭圆中点弦问题的解法——点差法。
2. 教学难点：如何灵活运用点差法解决实际问题。
三、教学方法1. 引导发现法：引导学生发现中点弦的性质，自主探究解法。
2. 案例分析法：通过分析具体案例，让学生学会点差法的应用。
3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队合作精神。
四、教学过程1. 导入新课：回顾椭圆的基本性质，引导学生关注椭圆的中点弦问题。
2. 自主探究：让学生尝试解决椭圆中点弦问题，发现解题规律。
3. 讲解点差法：根据学生的探究结果，讲解点差法的原理和步骤。
4. 案例分析：分析具体案例，让学生学会点差法的应用。
5. 巩固练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
6. 拓展提高：引导学生思考如何将点差法应用于其他几何问题。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。
8. 作业布置：布置作业，巩固所学知识。
课后对本节课的教学进行反思，了解学生的掌握情况，针对性地调整教学方法和策略。
关注学生的个体差异，力求让每个学生都能在课堂上发挥潜能。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习兴趣和积极性。
2. 练习反馈：分析学生的练习作业，评估学生对点差法的掌握程度及应用能力。
3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的合作精神和问题解决能力。
七、教学拓展1. 对比教学：对比椭圆与其他圆锥曲线的性质，探讨它们的中点弦问题解法。
2. 实际应用：引导学生关注椭圆中点弦问题在实际生活中的应用，如地球卫星轨道等。
八、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，辅助讲解和展示椭圆中点弦问题的解法。
2. 练习题库：准备一定数量的练习题，供学生巩固所学知识。
高中数学椭圆点差法
P P
o
x
P
1
2
2.弦长公式：
3
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在
这点被平分，求此弦所在直线的方程.
解法一：
由
消去 y得:
4
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
x12 x22
4 y12 4 y22
16 16
点 作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差
10
1.
11
1.
12
解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点” 这一条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理， 7
例2一. ：如图：AB为椭圆
x2 a2
y2 b2
1( a b 0 )
的弦，
点P为弦AB的中点，求证： kOP
kAB
b2 a2
.
点差法
思例考一：若改为：AB为椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的弦，
构造出中点坐标和斜率．
6
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
x2 4 y2 16
(4
x)2
4(2
y)2
16
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0
从而A ,B在直线x+2y-4=0上
而过A,B两点的直线有且只有一条
b2 a2
点P为弦AB的中点，则： kOP k AB .
8
小 结：
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；
9
2、弦长的计算方法：（适用于x2）2 4x1 x2
第7讲 点差法(解析版)
，过点
F
的直线交 E 于 A、B 两点．若 AB 的中点坐标为 (1, 1) ，则椭圆 E 的离心率为（ ）
1
A．
2
B． 2 2
C． 3 2
D． 2 3
【答案】B
【解析】令 AB 的中点为 M，坐标为 (1, 1) ，则 kAB
kMF
0 1
3 1
1 2
，
kOM
1
因为 A、B 两点是直线与椭圆的交点，且焦点在 x 轴，所以 kAB
A． x2 y2 1 18 9
B． x2 y2 1 27 18
C． x2 y2 1 36 27
D． x2 y2 1 45 36
【答案】A
【解析】设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ， F c, 0
所以
x12 2m x22 2m
y12 m y22 m
1
，相减得
设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，由题得 x1+x2 =2，y1+y2 =2 ，
所以
b2 b2
x12 x22
a2 y12 a2 y22
a2b2 a2b2
，
两式相减得 b2 (x1 x2 )(x1 x2 ) a2 ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0 ，
所以 2b2 (x1 x2 ) 2 a2 ( y1 y2 ) 0 ，
所以
2b2
4b2
( y1 ( x1
y2 ) x2 )
0
，
所以1 2k 0,k 1 . 2
故选：C
2．（2020·安徽安庆市·高三其他模拟）已知椭圆 E : x2 y2 1(m 0) 的右焦点为 F ，过点 F 的直线 2m m
点差法解决椭圆的相关问题
相对两种方法的比较，传统方法亦可解决，但已经能够看出 点差法在计算方面的优势，因为点差法解决有关弦中点问题的题 较方便，点差法虽然好用，但也只是一种特殊方法，只能解决一 些特殊问题。
制作者：陈淑英
变式训练
已知椭圆 x2 y 2 1 ，求过点
两点，点 M (x0, y0) 是弦AB的中点，弦AB所在的直线的斜率为 kAB ，
则
.
k AB
b2 a2
x0 y0
2、在椭圆
x2 b2
y2 a2
1（a＞b＞0）中，若直线与椭圆相交于A、B两
点，点 M（x0, y0）是弦AB的中点，弦AB所在的直线的斜率为 kAB ，则
k ABLeabharlann a2 b2x0 y0
y12 y22 b2
0
作差
即
k
y12 x12
AB
y２2 y1x22
x1
y2 x2
b a
2 2
b2 a2
x1 y1
又有 y1 y2 x1 x2
x2 b2
y2
a2
2 y0 2 x0
x0 y0
y0 x0
.
同理可证结论2成立，即
k AB
a2 b2
x0 y0
例 :已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
2
P 1 ，1 且被
2 2
点P平分的弦所在的直线方程
．
小结
方法一为传统解法：联立方程组，消去一个未知数，利用韦 达定理解决问题。
方法二为点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出 弦的斜率。
点差法的思想：常用设而不求的思想方法。
高中数学-椭圆点差法
点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理 在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN-=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x)2()1(-，得.02222122221=-+-byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴ 又.22,21211212xyx y x x y y x x y y k MN ==++--=.22ab x y k MN-=⋅∴ 同理可证，在椭圆12222=+ay b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN-=⋅. 典题妙解例1 （04辽宁）设椭圆方程为1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足)(21+=，点N 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛21,21.当l 绕点M 旋转时，求： （1）动点P 的轨迹方程； （2）||的最大值和最小值.解：（1）设动点P 的坐标为),(y x .由平行四边形法则可知：点P 是弦AB 的中点 .焦点在y 上，.1,422==b a 假设直线l 的斜率存在.由22ba x y k AB -=⋅得：.41-=⋅-x yx y 整理，得：.0422=-+y y x当直线l 的斜率不存在时，弦AB 的中点P 为坐标原点)0,0(O ，也满足方程。
∴所求的轨迹方程为.0422=-+y y x（2）配方，得：.141)21(16122=-+y x .4141≤≤-∴x 127)61(341)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=∴x x x y x ∴当41=x 时，41||min =NP ；当61-=x 时，.621||max = 例 2 （07年海南、宁夏）在直角坐标系xOy 中，经过点)2,0(且斜率为k 的直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点P 和Q. （1）求k 的取值范围；（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OQ OP +与共线？如果存在，求k 的取值范围；如果不存在，请说明理由.解：（1）直线l 的方程为.2+=kx y由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.12,222y x kx y 得：.0224)12(22=+++kx x k直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点，)12(83222+-=∆∴k k ＞0.解之得：k ＜22-或k ＞22. ∴k 的取值范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222, . （2）在椭圆1222=+y x 中，焦点在x 轴上，1,2==b a ， ).1,2(),1,0(),0,2(-=∴AB B A设弦PQ 的中点为),(00y x M ，则).,(100y x = 由平行四边形法则可知：.2=+OQ OP +与AB 共线，∴OM 与共线. 1200y x =-∴，从而.2200-=x y 由2200a b x y k PQ -=⋅得：2122-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅k ， .22=∴k 由（1）可知22=k 时，直线l 与椭圆没有两个公共点， ∴不存在符合题意的常数k .例3（09年四川）已知椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x . (Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+F F ，求直线l 的方程.解：（Ⅰ）根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . （Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为),(y x P . 由平行四边形法则知：P F N F M F 2222=+. 由3262||22=+F F 得：326||2=F . ∴.926)1(22=+-y x ………………………………………………………………………① 若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F F F ，与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在. 由22ab x y k MN-=⋅得：.211-=⋅+x y x y ∴).(2122x x y +-= ………………………………………………………………………②②代入①，得.926)(21)1(22=+--x x x 整理，得：0174592=--x x .解之得：317=x ，或32-=x . 由②可知，317=x 不合题意.∴32-=x ，从而31±=y .∴.11±=+=x yk ∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .例4 (09全国Ⅱ)已知椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点. 当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为22. （1）求b a ,的值；（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有+=成立？若存在，求出所有点P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）椭圆的右焦点为)0,(c F ，直线l 的斜率为1时，则其方程为c x y -=，即0=--c y x .原点O 到l 的距离：22222|00|==--=c cd ，∴1=c . 又33==a c e ，∴3=a . 从而2=b . ∴3=a ， 2=b .（2）椭圆的方程为12322=+y x . 设弦AB 的中点为),(y x Q . 由OB OA OP +=可知，点Q 是线段OP 的中点，点P 的坐标为)2,2(y x .∴123422=+y x .………………………………………………………………① 若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点Q 与)0,1(F 重合，)0,2(=OP ，点P 不在椭圆上，故直线l 的斜率存在.由22ab x y k AB -=⋅得：.321-=⋅-x y x y ∴)(3222x x y --=.…………………………………………………………………②由①和②解得：42,43±==y x . ∴当42,43==y x 时，21-=-=x y k AB ，点P 的坐标为)22,23(，直线l 的方程为022=-+y x ；当42,43-==y x 时，21=-=x y k AB ，点P 的坐标为)22,23(-，直线l 的方程为022=--y x .金指点睛1. 已知椭圆4222=+y x ，则以)1,1(为中点的弦的长度为（ ）A. 23B. 32C.330 D. 263 2.（06江西）椭圆1:2222=+by a x Q （a ＞b ＞0）的右焦点为)0,(c F ，过点F 的一动直线m 绕点F转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 为线段AB 的中点.（1）求点P 的轨迹H 的方程； （2）略.3．（05上海）（1）求右焦点坐标是)0,2(且过点)2,2(--的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆C 的方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）.设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A 、B 两点，AB 的中点为M. 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（3）略.4. (05湖北)设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点)3,1(N 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程； （2）略.5. 椭圆C 的中心在原点，并以双曲线12422=-x y 的焦点为焦点，以抛物线y x 662-=的准线为其中一条准线.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线)0(2:≠+=k kx y l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(1:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案1. 解：由4222=+y x 得12422=+y x ，∴2,422==b a . 弦MN 的中点)1,1(，由22ab x y k MN-=⋅得21-=MN k ，∴直线MN 的方程为)1(211--=-x y .即32+-=y x . .21-=k由⎩⎨⎧+-==+324222y x y x 得：051262=+-y y . 设),(),,(2211y x N y x M ，则65,22121==+y y y y . []330)3104(54)()11(||212212=-⨯=-++=y y y y kMN故答案选C.2. 解：（1）设点P 的坐标为),(y x ，由22a b x y k AB -=⋅得：22ab x yc x y -=⋅-， 整理，得：022222=-+cx b y a x b .∴点P 的轨迹H 的方程为022222=-+cx b y a x b .3．解：（1） 右焦点坐标是)0,2(，∴左焦点坐标是)0,2(-. 2=c .由椭圆的第一定义知，24)2()22()2()22(22222=-++-+-+--=a ，∴22=a .∴4222=-=c a b .∴所求椭圆的标准方程为14822=+y x . （2）设点M 的坐标为),(y x ，由22a b x y k AB -=⋅得：22ab x y k -=⋅，整理得：022=+ky a x b .a 、b 、k 为定值，∴当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线022=+ky a x b 上.4. 解：（1） 点)3,1(N 在椭圆λ=+223y x 内，∴22313+⨯＜λ，即λ＞12.∴λ的取值范围是),12(+∞.由λ=+223y x 得1322=+λλx y ，∴3,22λλ==b a ，焦点在y 轴上.若直线AB 的斜率不存在，则直线AB x ⊥轴，根据椭圆的对称性，线段AB 的中点N 在x 轴上，不合题意，故直线AB 的斜率存在.由22ba x y k AB -=⋅得：313λλ-=⋅AB k ，∴1-=AB k .∴所求直线AB 的方程为)1(13-⋅-=-x y ，即04=-+y x .从而线段AB 的垂直平分线CD 的方程为)1(13-⋅=-x y ，即02=+-y x .5. 解：（1）在双曲线12422=-x y 中，6,2,222=+===b a c b a ， ∴焦点为)6(,),6,0(21F F -.在抛物线y x 622-=中，6=p ，∴准线为26=y . ∴在椭圆中，262=c a . 从而.3,3==b a ∴所求椭圆C 的方程为13922=+x y . （2）设弦AB 的中点为),(00y x P ，则点P 是直线l 与直线'l 的交点，且直线'l l ⊥. ∴km 1-=. 由2200ba x y k AB -=⋅得：300-=⋅x y k ，∴003x ky -=.…………………………………………①由1100+⋅-=x ky 得：k x ky +-=00.…………………………………………………………② 由①、②得：23,200=-=y k x .又 200+=kx y ，∴2223+⋅-=kk ，即12=k . ∴1±=k .在2+=kx y 中，当0=x 时，2=y ，即直线l 经过定点)2,0(M .而定点)2,0(M 在椭圆的内部，故直线l 与椭圆一定相交于两个不同的交点.∴k 的值为1±.。
椭圆点差法
例2一. ：如图：AB为椭圆
x2 a2
y2 b2
1( a b 0 )
的弦，
点P为弦AB的中点，求证： kOP
kAB
b2 a2
.
点差法
思例考一：若改为：AB为椭圆
x2 b2
y2 a2
1(a
b 0)
的弦，
点P为弦AB的中点，则： kOP k AB .
小 结：
y
P P
o
x
P
2.弦长公式：
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在
这点被平分，求此弦所在直线的方程.
解法一：
由
消去 y得:
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
x12 x22
4 y12 4 y22
16 16
点 作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差 构造出中点坐标和斜率．
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
x2 4 y2 16
(4
x)2
4(2
y)2
16
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0
从而A ,B在直线x+2y-4=0上
而过A,B两点的直线有且只有一条
解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点” 这一条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；
2、弦长的计算方法：（适用于任何曲线）
椭圆点差法公式推导过程
椭圆点差法公式推导过程结论：过椭圆 \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 上一点 P（x_{0}，y_{0}）切线方程为\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1推导：法一：利用判别式△=0设直线 l：y-y_{0}=k(x-x_{0})联立直线与椭圆方程，消去y，此时只有斜率k为未知数，利用联立后方程中△=0可以解出k将k代回直线化解即可，但化解过程会有些复杂法二：对椭圆求导用隐函数求导的方法可以求出 \frac{dy}{dx}=-\frac{b^{2}x}{a^{2}y} 将P点代入后可列出直线方程：y-y_{0}=-\frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}} (x-x_{0}) 化解后可得：a^{2}y_{0}y+b^{2}x_{0}x=a^{2}y_{0}^{2}+b^{2}x_{0}^{2}上式两边同时除以a²b²即可得\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1法三：仿射变化令x^{’}=\frac{x}{a}y^{'}=\frac{y}{b} 此时椭圆化为单位圆 x^{'}+y^{'}=1 P点坐标写为（\frac{x_{0}}{a},\frac{y_{0}}{b}）由圆切线方程易得P点处切线方程为\frac{x_{0}}{a}x^{'}+\frac{y_{0}}{b}y^{'}=1由仿射不变性代回得椭圆上P点处切线方程\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1推导方法还有很多，在此就不一一叙述了结论虽然好用，不过在大题里不可以直接用。
如果要用需要先写出步骤（设方程联立△=0或根据对称性得到某一区域的函数求导），有步骤后再直接写出直线方程。
椭圆拓展 (一) 椭圆中的中点弦 点差法
椭圆拓展（一）椭圆内的中点弦点差法【学习重点】1.点差法的基本思想方法：设而不求2.点差法适用范围：斜率固定的平行线截二次曲线所得线段中点的轨迹，一般用于椭圆内的中点弦问题。
（在圆内应该用特殊方法）3.点差法的核心：求直线斜率和中点弦坐标的等量关系。
【核心推论】1.过定点直线和封闭曲线恒有公共点的充要条件是定点在曲线内部或曲线上。
过定点直线和封闭曲线恒有两个公共点的充要条件是定点在曲线内部。
2.斜率为k1的直线，交椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)于两点，弦中点与原点连线的斜率为k2，则k1•k2=b2a2。
斜率为k 1的直线，交椭圆y2a2x2b2=1(a>b>0)于两点，弦中点与原点连线的斜率为k 2，则k 1•k 2=2。
3. 平行弦的中点轨迹方程是过原点的、一条无端点、取椭圆内部分的线段。
【重点例题解析】例题 已知P(-3,0),过点P 作直线l 交椭圆x24+y 2=1于A 、B 两点，求A 、B 的中点M 的轨迹方程。
解：设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、M(x,y)x 124+y 12=1x 224+y 22=1x 12-x 224+(y 12-y 22)=014(x 1+x 2)(x 1-x 2) +(y 1+y 2)(y 1-y 2)=014(x 1+x 2)+(y 1+y 2)(y 1-y 2)(x 1-x 2)=0∴轨迹方程为：14(2x)+(2y)•k AB=014(2x)+(2y)•k MP =014(2x)+(2y)•y x+3=0x 2+3x+4y 2=0(取x 224+y 22=1的内部）。
高中数学 专题07 点差法
2
例题举证
【例 1】
技巧 1 点差法在椭圆在的应用
（1）直线 y kx 1与椭圆 x2 y2 1相交于 A, B 两点，若 AB 中点的横坐标为1，则 k =（ ） 4
A． 2
B． 1
C． 1 2
D．1
(2)已知椭圆 G :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的右焦点为
F(3,0)，过点
A．2
B．4
C．6
D．8
（3）已知直线 l : x
y3
0 与双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0 , b 0 )交于
A,B
两点,点 P 1, 4 是弦
AB
的中点,
则双曲线 C 的离心率为( )
4
A．
B．2
3
C． 5 2
D． 5
（4）已知双曲线 E 的中心为原点， P(3,0) 是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为
【答案】B
4．已知椭圆 C :
x2 4
y2 b2
1(0
b
2)
3
，作倾斜角为
4
的直线交椭圆 C 于
A、B 两点，线段
AB
的中点为 M，O 为
坐标原点，若直线 OM 的斜率为 1 ，则 b （ ） 2
A．1
B． 2
C． 3
D． 6 2
【答案】B
5．已知椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的右焦点为 F (3, 0) ，过点
C． x2 y2 1 36 27
D． x2 y2 1 45 36
高考数学：点差法(解析版)
第2讲 点差法一．解答题（共9小题）1．过椭圆221164x y +=内一点(2,1)M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程．【解答】解：设直线与椭圆的交点为1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y (2,1)M 为AB 的中点 124x x ∴+=，122y y +=又A 、B 两点在椭圆上，则2211416x y +=，2222416x y += 两式相减得22221212()4()0x x y y -+-= 于是12121212()()4()()0x x x x y y y y +-++-=∴12121212414()422y y x x x x y y -+=-=-=--+⨯，即12AB k =-， 故所求直线的方程为11(2)2y x -=--，即240x y +-=．2．已知中心在原点，一焦点为(0,4)F 的椭圆被直线:32l y x =-截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程．【解答】解：椭圆被直线:32l y x =-截得的弦的中点横坐标为12， 可得宗坐标为113222y =⨯-=-，可得中点11(,)22M -．设椭圆标准方程为：22221(0)y x a b a b+=>>．设直线l 与椭圆相交于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．则2211221y x a b +=，2222221y x a b +=，相减可得：1212121222()()()()0y y y y x x x x a b+-+-+=， 又121y y +=-，121x x +=，12123y y x x -=-， ∴22310a b-+=，又2224a b -=， 联立解得224a =，28b =．∴椭圆的标准方程为：221248y x +=．3．已知曲线22:3412C x y +=，试确定m 的取值范围，使得对于直线4y x m =+，曲线C 上总有不同两点关于该直线对称．【解答】解：设椭圆上关于直线4y x m =+对称的点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则根据对称性可知线段AB 被直线4y x m =+垂直平分． 可得直线AB 的斜率14k =-，直线AB 与椭圆有两个交点，且AB 的中点0(M x ，0)y 在直线4y x m =+， 故可设直线AB 的方程为14y x n =-+，联立方程组22341214x y y x n ⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩， 整理可得2213816(3)0x nx n -+-= 12813n x x ∴+=，1212124()2413n y y x x n +=-++=， △226441316(3)0n n =-⨯⨯->，n << 0413n x ∴=，01213n y =，代入4y x m =+， 413n m =-，∴m <<， m ∴的范围就是(． 4．已知椭圆C 过点(2P，，且与椭圆2214013x y +=有相同的焦点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上存在A 、B 两点关于直线:l y x m =+对称，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）由椭圆2214013x y +=，可得c =(±．设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则22222481a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得251a =，224b =．∴椭圆C 的标准方程为2215124x y +=．（2）设直线AB 的方程为：y x t =-+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，线段AB 的中点0(M x ，0)y ．联立2215124y x t x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为：222534174080x tx t -+-=．∴△22234100(17408)0t t =-->，化为：275t <．123425tx x ∴+=，2121740825t x x -=． 12017225x x t x +∴==，00825ty x t =-+=． ∴8172525t t m =+， 解得259mt =-，代入275t <．可得m <<∴实数m的取值范围是m <<5．在ABC ∆中，||BC 是||AB 、||AC 的等差中项，且(1,0)B -，(1,0)C ． （1）求顶点A 的轨迹G 的方程；（2）若G 上存在两点关于直线:2l y x m =+对称，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，||||2||4||AB AC BC BC +==>，∴顶点A 的轨迹G 是以B ，C 为焦点的椭圆（除去A ，B ，C 共线），且2a =，1c =，b ∴∴顶点A 的轨迹G 的方程221(2)43x y x +=≠±；（2）解：设关于直线2y x m =+对称的点为A ，B ，则AB 的方程为12y x n =-+，与椭圆方程联立，消去y 整理得：22444120x nx n -+-=． 即22(3)0x nx n -+-=．由△224120n n =-+>，得22n -<<． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则12x x n +=，2123x x n =-， 再设AB 的中点为0(C x ，0)y ， 则02n x =， 又C 在12y x n =-+上，得034y n =，C 在2y x m =+上，得3242nn m =⨯+，即4n m =-．则222m -<-<，得1122m -<<．6．已知双曲线2212y x -=，经过点(1,1)M 能否作一条直线l ，使直线l 与双曲线交于A 、B ，且M 是线段AB 的中点，若存在这样的直线l ，求出它的方程；若不存在，说明理由． 【解答】解：设过点(1,1)M 的直线方程为(1)1y k x =-+或1x =（1）当k 存在时有22(1)112y k x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩得2222(2)(22)230k x k k x k k -+--+-= （1） 当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有 △2222(22)4(2)(23)0k k k k k =----+->，32k <又方程（1）的两个不同的根是两交点A 、B 的横坐标 21222()2k k x x k -∴+=-又(1,1)M 为线段AB 的中点 ∴1212x x +=即22122k k k k -==- 2k ∴=，使220k -≠但使△0<因此当2k =时，方程（1）无实数解故过点(1,1)m 与双曲线交于两点A 、B 且M 为线段AB 中点的直线不存在．（2）当1x =时，直线经过点M 但不满足条件， 综上，符合条件的直线l 不存在7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A，离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）经过点(1,1)M 能否作一条直线l ，使直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且使得M 是线段AB 的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）椭圆C 的顶点为(2,0)A ，2a ∴=，又c e a ==c ∴=2b a =-=，∴椭圆C 的方程为：22142x y +=．（2）当过点M 的直线斜率不存在时，显然不成立， 设直线的斜率为k ，则其方程为： 1(1)y k x -=-，联立方程组221(1)142y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得2222(12)4()2420k x k k x k k +--+--=，∴△222216()4(12)(242)0k k k k k =--+-->，整理，得 23210k k ++>，k R ∴∈，21224()12k k x x k -+=+， 且点(1,1)M 是线段AB 的中点， ∴224()212k k k -=+，12k ∴=-，故存在这样的直线，此时，直线方程为： 11(1)2y x -=--，即230x y +-=，∴存在符合条件的直线，它的方程230x y +-=．8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，点在C 上（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线28y x =的焦点为(2,0)，由题意可得：2c =，即224a b -=，又点在椭圆C 上，可得22231a b+=，解得：28a =，24b =， 2224c a b =-=，C ∴的方程：22184x y +=；⋯（5分）（Ⅱ）证明：设直线l 的方程为(,0)y kx b k b =+≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，⋯（6分）22184y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：222(12)4280k x kbx b ++--=， 由韦达定理可知：122412kbx x k +=-+，⋯（8分）即有AB 的中点M 的横坐标为1222212M x x kb x k +==-+，纵坐标为222()1212M kb by k b k k =-+=++，⋯（10分） 直线OM 的斜率为12M OM M y k x k ==-，即有12OM k k =-， 故OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．⋯（12分）9．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是2，直线12y =被椭圆E ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若椭圆E 两个不同的点A ，B 关于直线12y mx =+对称，求实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题设得，椭圆过点1)2，所以2222231124a b ca abc ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a =1b =，1c =， 所以椭圆的方程为2212x y +=；（Ⅱ）由（Ⅰ）易得知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=-+． 由22112y x b m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得222112()102b x x b m m +-+-=因为直线12y mx =+与椭圆2212x y +=有两个不同交点，所以224220b m=-++>① 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由韦达定理知，12242mbx x m +=+， 于是线段AB 的中点坐标为2222(,)22mb m bM m m ++，将其代入直线12y mx =+，解得2222m b m +=-② 将②代入①，得4211304mm --<，解得m <m >． 因此，所求实数m 的取值范围6(,(,)3-∞+∞．。
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点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理 在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221ΛΛΛΛb y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=-+-byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴ 又.22,21211212xyx y x x y y x x y y k MN ==++--=Θ.22ab x y k MN-=⋅∴ 同理可证，在椭圆12222=+ay b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN -=⋅.典题妙解例1 （04辽宁）设椭圆方程为1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足)(21OB OA OP +=，点N 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛21,21.当l 绕点M 旋转时，求： （1）动点P 的轨迹方程； （2）||NP 的最大值和最小值.解：（1）设动点P 的坐标为),(y x .由平行四边形法则可知：点P 是弦AB 的中点 .焦点在y 上，.1,422==b a 假设直线l 的斜率存在.由22b a x y k AB -=⋅得：.41-=⋅-xyx y整理，得：.0422=-+y y x当直线l 的斜率不存在时，弦AB 的中点P 为坐标原点)0,0(O ，也满足方程。
∴所求的轨迹方程为.0422=-+y y x（2）配方，得：.141)21(16122=-+y x .4141≤≤-∴x 127)61(341)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=∴x x x y x∴当41=x 时，41||min =；当61-=x 时，.621||max = 例 2 （07年海南、宁夏）在直角坐标系xOy 中，经过点)2,0(且斜率为k 的直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点P 和Q. （1）求k 的取值范围；（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量+与共线？如果存在，求k 的取值范围；如果不存在，请说明理由.解：（1）直线l 的方程为.2+=kx y由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.12,222y x kx y 得：.0224)12(22=+++kx x kΘ直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点，)12(83222+-=∆∴k k ＞0.解之得：k ＜22-或k ＞22. ∴k 的取值范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222,Y . （2）在椭圆1222=+y x 中，焦点在x 轴上，1,2==b a ， ).1,2(),1,0(),0,2(-=∴B A设弦PQ 的中点为),(00y x M ，则).,(100y x = 由平行四边形法则可知：.2OM OQ OP =+Θ+与共线，∴OM 与共线.1200y x =-∴，从而.2200-=x y 由2200a b x y k PQ -=⋅得：2122-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅k ， .22=∴k 由（1）可知22=k 时，直线l 与椭圆没有两个公共点， ∴不存在符合题意的常数k .例3（09年四川）已知椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x . (Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+F F ，求直线l 的方程.解：（Ⅰ）根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . （Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为),(y x P . 由平行四边形法则知：P F N F M F 2222=+. 由3262||22=+F F 得：326||2=F . ∴.926)1(22=+-y x ………………………………………………………………………① 若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F N F M F ，与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在. 由22a b x y k MN-=⋅得：.211-=⋅+x y x y ∴).(2122x x y +-= ………………………………………………………………………②②代入①，得.926)(21)1(22=+--x x x 整理，得：0174592=--x x .解之得：317=x ，或32-=x . 由②可知，317=x 不合题意.∴32-=x ，从而31±=y .∴.11±=+=x yk∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .例4 (09全国Ⅱ)已知椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点. 当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为22. （1）求b a ,的值；（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OB OA OP +=成立？若存在，求出所有点P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）椭圆的右焦点为)0,(c F ，直线l 的斜率为1时，则其方程为c x y -=，即0=--c y x .原点O 到l 的距离：22222|00|==--=c cd ，∴1=c . 又33==a c e ，∴3=a . 从而2=b . ∴3=a ， 2=b .（2）椭圆的方程为12322=+y x . 设弦AB 的中点为),(y x Q . 由OB OA OP +=可知，点Q 是线段OP 的中点，点P 的坐标为)2,2(y x .∴123422=+y x .………………………………………………………………① 若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点Q 与)0,1(F 重合，)0,2(=，点P 不在椭圆上，故直线l 的斜率存在.由22a b x y k AB -=⋅得：.321-=⋅-x y x y∴)(3222x x y --=.…………………………………………………………………②由①和②解得：42,43±==y x . ∴当42,43==y x 时，21-=-=x y k AB ，点P 的坐标为)22,23(，直线l 的方程为022=-+y x ；当42,43-==y x 时，21=-=x y k AB ，点P 的坐标为)22,23(-，直线l 的方程为022=--y x .金指点睛1. 已知椭圆4222=+y x ，则以)1,1(为中点的弦的长度为（ ）A. 23B. 32C.330 D. 263 2.（06江西）椭圆1:2222=+by a x Q （a ＞b ＞0）的右焦点为)0,(c F ，过点F 的一动直线m 绕点F转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 为线段AB 的中点.（1）求点P 的轨迹H 的方程； （2）略.3．（05上海）（1）求右焦点坐标是)0,2(且过点)2,2(--的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆C 的方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）.设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A 、B 两点，AB 的中点为M. 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（3）略.4. (05湖北)设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点)3,1(N 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程； （2）略.5. 椭圆C 的中心在原点，并以双曲线12422=-x y 的焦点为焦点，以抛物线y x 662-=的准线为其中一条准线.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线)0(2:≠+=k kx y l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(1:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案1. 解：由4222=+y x 得12422=+y x ，∴2,422==b a . 弦MN 的中点)1,1(，由22a b x y k MN-=⋅得21-=MN k ，∴直线MN 的方程为)1(211--=-x y .即32+-=y x . .21-=k由⎩⎨⎧+-==+324222y x y x 得：051262=+-y y . 设),(),,(2211y x N y x M ，则65,22121==+y y y y . []330)3104(54)()11(||212212=-⨯=-++=y y y y kMN故答案选C.2. 解：（1）设点P 的坐标为),(y x ，由22a b x y k AB -=⋅得：22ab x yc x y -=⋅-， 整理，得：022222=-+cx b y a x b .∴点P 的轨迹H 的方程为022222=-+cx b y a x b .3．解：（1）Θ右焦点坐标是)0,2(，∴左焦点坐标是)0,2(-. 2=c .由椭圆的第一定义知，24)2()22()2()22(22222=-++-+-+--=a ，∴22=a . ∴4222=-=c a b .∴所求椭圆的标准方程为14822=+y x . （2）设点M 的坐标为),(y x ，由22a b x y k AB -=⋅得：22ab x y k -=⋅，整理得：022=+ky a x b .Θa 、b 、k 为定值，∴当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线022=+ky a x b 上.4. 解：（1）Θ点)3,1(N 在椭圆λ=+223y x 内，∴22313+⨯＜λ，即λ＞12.∴λ的取值范围是),12(+∞.由λ=+223y x 得1322=+λλx y ，∴3,22λλ==b a ，焦点在y 轴上.若直线AB 的斜率不存在，则直线AB x ⊥轴，根据椭圆的对称性，线段AB 的中点N 在x 轴上，不合题意，故直线AB 的斜率存在.由22ba x y k AB -=⋅得：313λλ-=⋅AB k ，∴1-=AB k .∴所求直线AB 的方程为)1(13-⋅-=-x y ，即04=-+y x .从而线段AB 的垂直平分线CD 的方程为)1(13-⋅=-x y ，即02=+-y x .5. 解：（1）在双曲线12422=-x y 中，6,2,222=+===b a c b a ， ∴焦点为)6(,),6,0(21F F -.在抛物线y x 622-=中，6=p ，∴准线为26=y . ∴在椭圆中，262=c a . 从而.3,3==b a ∴所求椭圆C 的方程为13922=+x y . （2）设弦AB 的中点为),(00y x P ，则点P 是直线l 与直线'l 的交点，且直线'l l ⊥. ∴km 1-=. 由2200ba x y k AB -=⋅得：300-=⋅x y k ，∴003x ky -=.…………………………………………①由1100+⋅-=x ky 得：k x ky +-=00.…………………………………………………………② 由①、②得：23,200=-=y k x .又Θ200+=kx y ，∴2223+⋅-=kk ，即12=k . ∴1±=k .在2+=kx y 中，当0=x 时，2=y ，即直线l 经过定点)2,0(M .而定点)2,0(M 在椭圆的内部，故直线l 与椭圆一定相交于两个不同的交点.∴k 的值为1±.。