高中数学人教A版选修1-1课时作业：2.1.2 椭圆及其标准方程(2)含解析
高中数学人教A版选修1-1优化练习2.12.1.1椭圆及其标准方程含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，则M 到另一个焦点F 2的距离为( )A ．3B ．6C ．8D ．以上都不对解析：由椭圆的定义知|MF 1|＋|MF 2|＝10， ∴|MF 2|＝10－2＝8，故选C. 答案：C2．(2015·高考广东卷)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9 解析：由左焦点为F 1(－4,0)知c ＝4，又a ＝5，∴25－m 2＝16，解得m ＝3或－3，又m ＞0，故m ＝3. 答案：B3．椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为( ) A ．32 B ．16 C ．8D ．4解析：∵|AF 1|＋|AF 2|＝8，|BF 1|＋|BF 2|＝8. 又∵|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，∴△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝16.故选B. 答案：B4．方程x 2sin 2＋cos 2－y 2cos 2－sin 2＝1所表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线解析：∵π2<2<3π4，∴sin 2>0，cos 2<0且|sin 2|>|cos 2|，∴sin 2＋cos 2>0，cos 2－sin 2<0且sin 2－cos 2>sin 2＋cos 2，故表示焦点在y 轴上的椭圆． 答案：B5．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x轴的距离为( ) A.233B. 263C.33D. 3解析：由MF 1→·MF 2→＝0，得MF 1⊥MF 2，可设|MF 1→|＝m ，|MF 2→|＝n ，在△F 1MF 2中，由m 2＋n 2＝4c 2得(m ＋n )2－2mn ＝4c 2，根据椭圆的定义有m ＋n ＝2a ，所以2mn ＝4a 2－4c 2，故mn ＝2b 2，即mn ＝2，∴S △F 1MF 2＝12·mn ＝1，设点M 到x 轴的距离为h ，则12×|F 1F 2|×h ＝1，又|F 1F 2|＝23，故h ＝33，故选C. 答案：C6．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________． 解析：由c ＝23，a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2，∴3b 2＝12，b 2＝4，a 2＝16，∴标准方程为y 216＋x 24＝1.答案：y 216＋x 24＝17．已知椭圆的两焦点为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，P 为椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项．该椭圆的方程是________．解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上，c ＝2，|F 1F 2|＝4， 由于|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝8，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝42－22＝12， 故椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝18．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠F 1AF 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为________． 解析：如图所示，|F 1F 2|＝22， |AF 1|＋|AF 2|＝6， 由|AF 1|＋|AF 2|＝6，得|AF 1|2＋|AF 2|2＋2|AF 1||AF 2|＝36. 又在△AF 1F 2中，|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|2＝2|AF 1||AF 2|cos 45°， ∴36－2|AF 1||AF 2|－8＝2|AF 1||AF 2|， ∴|AF 1||AF 2|＝282＋2＝14(2－2)．∴S △AF 1F 2＝12|AF 1||AF 2|sin 45°＝12×14(2－2)×22＝7(2－1)． 答案：7(2－1)9．已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆左、右焦点，若PF 1⊥PF 2，试求： (1)椭圆方程； (2)△PF 1F 2的面积．解析：(1)由PF 1⊥PF 2，可得|OP |＝c ，得c ＝5. 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1，代入P (3,4)，得9a 2＋16a 2－25＝1，解得a 2＝45. ∴椭圆方程为x 245＋y 220＝1.(2)S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||y P |＝5×4＝20.10．已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解析：以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4,0)，c ＝4.由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．[B 组 能力提升]1．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )A ．m <2B ．1<m <2C ．m <－1或1<m <32D ．m <－1或1<m <2解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|m |－1>0，2－m >0，|m |－1<2－m ，解得m <－1或1<m <32.故选C.答案：C2．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( ) A ．7倍 B ．5倍 C ．4倍D ．3倍解析：不妨设F 1(－3,0)，F 2(3,0)， 由条件知P ⎝⎛⎭⎫3，±32，即|PF 2|＝32，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝43， 则|PF 1|＝732， 即|PF 1|＝7|PF 2|，故选A. 答案：A3．已知曲线C ：x 2k －5＋y 23－k ＝－1，则“4≤k <5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的________条件．解析：将曲线C 的方程化为：x 25－k ＋y 2k －3＝1，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则k －3>5－k >0，即4<k <5，故“4≤k <5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件． 答案：必要不充分4．在平面直角坐标系中，A (4,0)，B (－4,0)，且sin A ＋sin B sin C ＝54，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程为________．解析：在△ABC 中，由正弦定理|BC |＝2R sin A ， |AC |＝2R sin B ，|AB |＝2R sin C ，∴|BC |＋|AC ||AB |＝54，又|AB |＝8，∴|BC |＋|AC |＝10＞8，由椭圆的定义2a ＝10，a ＝5，c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝9，又C 与AB 不共线，∴顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．答案：x 225＋y 29＝1(y ≠0)5．△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，且a >b >c ，A ，C 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B 的轨迹方程．解析：由已知得b ＝2，又a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b ＝4，即|AB |＋|BC |＝4，∴点B 到定点A ，C 的距离之和为定值4，由椭圆定义知B 点的轨迹为椭圆的一部分，其中a ′＝2，c ′＝1. ∴b ′2＝3. 又a >b >c ，∴顶点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(－2<x <0)．6．动圆C 与定圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝32内切，与定圆C 2：(x －3)2＋y 2＝8外切，A 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，92. (1)求动圆C 的圆心C 的轨迹方程；(2)若轨迹C 上的两点P ，Q 满足AP →＝5AQ →，求|PQ |的值．解析：(1)如图，设动圆C 的半径为R ， 则|CC 1|＝42－R ，① |CC 2|＝22＋R ，②①＋②得，|CC 1|＋|CC 2|＝62>6＝|C 1C 2|，由椭圆的定义知C 点的轨迹是以C 1，C 2为焦点，长轴长为62的椭圆，其轨迹方程为x 218＋y 29＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则AP →＝⎝⎛⎭⎫x 1，y 1－92，AQ →＝⎝⎛⎭⎫x 2，y 2－92. 由AP →＝5AQ →可得⎝⎛⎭⎫x 1，y 1－92＝5⎝⎛⎭⎫x 2，y 2－92， 所以x 1＝5x 2，y 1＝5y 2－92×5＋92＝5y 2－18，③由P ，Q 是椭圆C 上的两点，得⎩⎨⎧x 2218＋y 229＝1， ④25x 2218＋(5y 2－18)29＝1， ⑤由④、⑤得y 2＝3，将y 2＝3代入③，得y 1＝－3，将y2＝3代入④，得x2＝0，所以x1＝0，所以P(0，－3)，Q(0,3)，|PQ|＝6.。
2.1 2.1.1 椭圆及其标准方程
2
2
人教A版数学 ·选修1-1
返回导航
上页
下页
由余弦定理知： |PF1|2＋ |PF2|2－2|PF1|· |PF2|· cos 30° ＝ |F1F2|2＝ (2c)2＝ 4，② ①式两边平方，得 |PF1|2＋ |PF2|2＋2|PF1|· |PF2|＝20③ ③－②，得(2＋ 3)|PF1|· |PF2|＝ 16， ∴ |PF1|· |PF2|＝16(2－ 3)， 1 ∴ S△ PF1F2＝ |PF1 |· |PF2|· sin 30° ＝ 8－4 3. 2
a2＝ 15， 解得 2 b ＝ 5.
x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 15 5
人教A版数学 ·选修1-1
y2 x2 ②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)． a b
2 2 － 2 3 ＋ 2 ＝ 1， a2 b 依题意有 2 － 2 3 1 a2＋ b2 ＝ 1，
上页
下页
7 解得 2<k<5 且 k≠ . 2 7 7 即当 2<k< 或 <k<5 时， 2 2 x2 y2 方程 ＋ ＝1 表示椭圆． k－2 5－k
人教A版数学 ·选修1-1
返回导航
上页
下页
x y 1.如图所示，点 P 是椭圆 ＋ ＝1 上的一点，F1 和 F2 是焦点， 5 4 且∠F1PF2＝30° ，求△F1PF2 的面积．
x2 y2 解析：在椭圆 ＋ ＝1 中，a＝ 5，b＝2， 5 4 ∴c＝ a2－b2＝1. 又∵P 在椭圆上， ∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5，①
人教A版数学 ·选修1-1
返回导航
人教A版选修1-1 2.1.1椭圆及其标准方程 课时作业
人教A 版选修1-1 2.1.1椭圆及其标准方程 课时作业一、选择题1、焦点在x 轴上的椭圆的焦距为） A. 11 B. 33 C.2、已知？是定点，.若动点满足，则动点的轨迹是（ ）A ．直线B ．线段C ．圆D ．椭圆3、方程（，且）与方程表示的椭圆，那么它们（ ）A ．有相同的离心率B ．有共同的焦点C ．有等长的短轴、长轴D ．有相同的顶点 4、已知椭圆的上下左右顶点分别为，且左右焦点为，且以为直径的圆内切于菱形，则椭圆的离心率为（ ） A ． B ．C ．D ．5、椭圆与曲线的（ ）A ．焦距相等B ．离心率相等C ．焦点相同D ．长轴长相等6、设定点、，动点满足，则点的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段7、古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，，且的周长为8.则的标准方程为（ ）A ．B ．C ．D ．8、设圆的圆心为，点是圆内一定点，点为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为（ ）221(0)3x y m m+=>1F 2F 12||6F F =M 12||||6M F M F +=M 22221x y ka kb +=0a b >>0k >1k ≠()222210x y a b ab +=>>221128x y +=()22108812x y k k k -=<<--()10,3F -()20,3F P ()1290PF PF a a a +=+>P C 1F 2F x C 1F C A B 2ABF C 2214x y +=22134x y +=22143x y +=2241163x y +=()22125x y ++=C 1,0A Q AQ CQ M MA ．B ．C ．D ．9、以过椭圆的右焦点且垂直于轴的弦为直径的圆与点的位置关系是（ ）．A ．点在圆内B ．点在圆外C ．在圆上D ．点与圆的关系不确定10、伸缩变换的坐标表达式为，曲线C 在此变换下变为椭圆，则曲线C 的方程为________.11、椭圆过点（3，0），离心率，椭圆的方程为________．12、如图把椭圆的长轴AB 分成8等分,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F 是椭圆的焦点,则|P1F|+|P2F|++|P7F|=" " .二、填空题13、设AB 是椭圆的长轴，点C 在上，且，若AB=4，，则的两个焦点之间的距离为________14、设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若，轴，则椭圆E 的方程为________．224412125x y -=224412125x y +=224412521x y -=224412521x y +=22221(0)x y a b a b +=>>x PQ (,0)A a A A A A 4x x y y =⎧⎨=''⎩22116y x ''+=e 2212516x y +=ΓΓ4CBA π∠=BC =Γ1F 2F ()222:101y E x b b +=<<1F 113AF F B=2AF x⊥15、若椭圆经过点，则该椭圆的短轴长是______．16、点是椭圆的左焦点，点是椭圆上一动点，则的最大值是___________．三、解答题17、k 代表实数，讨论方程kx 2+2y 2﹣8=0所表示的曲线． 18、中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的方程. 19、在平面直角坐标系中，N 为圆C ：上的一动点，点D （1,0），点M是DN 的中点，点P 在线段CN 上，且. （Ⅰ）求动点P 表示的曲线E 的方程； （Ⅱ）若曲线E 与x 轴的交点为，当动点P 与A ，B 不重合时，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；20、设椭圆的焦点在轴上.（1）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程； （2）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上.2219x y m +=1(1,1),A F 225945x y +=P 1||PA PF+(F -22(1)16x y ++=0MP DN ⋅=,A B PA PB 12,k k 12k k参考答案1、答案C由条件知 ，焦距为所以，长轴长是 . 故选C ；2、答案B根据椭圆的定义即可得解；详解：解：对于在平面内，若动点到、两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点、的距离，则动点的轨迹是以，为端点的线段．故选：B ． 3、答案A求出两椭圆的离心率、焦点和顶点坐标以及短轴、长轴长，由此可得出合适的选项.详解：对于椭圆（，且），，，则椭圆的离心率为，焦点坐标为，短轴长为，长轴长为，顶点坐标为和；对于椭圆，离心率为，焦点坐标为，短轴长为，长轴长为，顶点坐标为和.因此，两椭圆有相同的离心率.故选：A. 4、答案D菱形ABCD 一边AD 所在直线方程为，即bx+ay ？ab=0， 由题意,坐标原点O 到AD 的距离，2223,1,31a m b c m ===-2c c ==a=2a =M 1F 2F 1F 2F M 1F 2F 22221xy ka kb +=0a b >>0k >1k≠a '=b '==c '==22221x y ka kb +=c e a ''==='()(),0()0,()222210x y a b a b +=>>c e a a ==()2b 2a (),0a ±()0,b ±整理可得,即：，解得： (舍去)， ∴椭圆的离心率.本题选择D 选项. 5、答案A分析两个曲线的方程，分别求出对应的即可得答案.详解：因为椭圆方程为，所以，焦点在x 轴上， 曲线，因为，所以， 曲线方程可写为，，所以曲线为焦点在y 轴上的椭圆，，所以焦距相等.故选：A 6、答案D详解：当时，由均值不等式的结论有：，当且仅当时等号成立.当时，点的轨迹表示线段,当时，点的轨迹表示以为焦点的椭圆,本题选择D 选项.7、答案C根据已知所给的面积公式，结合椭圆的定义进行求解即可. 详解：因为的周长为8，所以，由椭圆的定义可知：所以，,,a b c 221128x y +=2a b c ===()2218812x y k k k -=<--8k <80,120k k ->-<()22+18812x y k k k =<--128k k ->-2a b c ===0a>96a a +≥=3a =96a a +=P 12F F 1296a F F a +>=P 12F F 2ABF 221122121288()()8AB AF BF AF BF AF BF AF AF BF BF ++=⇒+++=⇒+++=12122,2AF AF a BF BF a+=+=2282a a a +=⇒=由题意可得：，解得因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为．故选：C8、答案D由垂直平分线的性质可知，从而得到，可知轨迹满足椭圆定义，可得，进而求得，从而得到所求轨迹方程.详解：为垂直平分线上的一点点的轨迹是以为焦点的椭圆， 的轨迹方程为故选： 9、答案A根据题意计算，判断与半径的大小关系得到答案. 详解：当时，，解得，故，故， 圆心为，，故点在圆内.故选：A.10、答案直接根据变换公式进行求解，即可得到答案；详解：伸缩变换公式为，曲线C 在此变换下变为椭圆，，曲线C 的方程为， 故答案为：. πab =b =x C 22143x y +=AM MQ=5MC AM +=M ,a c 2b M AQ AM MQ ∴=5MC AM MC MQ CQ ∴+=+==M ∴,C A 52a ∴=1c =222214b a c ∴=-=M ∴224412521x y +=D 22PQb r a ==2AF x c =22221c y a b +=2b y a =±222b PQ r a ==2b r a =()2,0Fc 22222a c b b AF a c r a c a c a -=-==<=++A 221x y +=4x x y y =⎧⎨=''⎩22116y x ''+=∴2216116y x +=∴221x y +=221x y +=11、答案或讨论椭圆的焦点在轴，和焦点在轴，两种情况，根据已知条件，借助公式计算即可得出结果.详解：当椭圆的焦点在轴时，设椭圆方程为：，则，所以，所以椭圆方程为：；当椭圆的焦点在轴时，设椭圆方程为：，则，所以，所以椭圆方程为：，故答案为：或.12、答案35根据椭圆对称性，设是椭圆的右焦点，则，，，然后由椭圆定义可得．详解：由已知得，如图，是椭圆的右焦点，由椭圆的对称性知，，，又，∴．故答案为35.13、答案22193x y +=221279y x +=x y x 22221(0)x y a b a b +=>>3,c a e a ===23c b ==22193x y +=y 22221(0)y x a b a b +=>>3,c b e a ===22222222221,273c a b b e a a a a -===-==221279y x +=22193x y +=221279y x +=E 17FP EP =26FP EP =35FP EP =5a =E 17FP EP =26FP EP =35FP EP =45FP =1234567FP FP FP FP FP FP FP ++++++7655675EP EP EP FP FP FP =++++++222535a a a =+++=3不妨设椭圆的标准方程为，于是可算得，得． 考点定位考查椭圆的定义及运算，属容易题．14、答案 根据轴，得到，设，由，求得，代入椭圆方程求解即可.详解：因为椭圆，所以，又因为轴，所以，设，因为，所以， 解得， 所以，代入椭圆方程得：，又， 解得， 所以椭圆方程为：Γ22214x y b +=(1,1)C 24,23b c ==22312x y +=2AF x ⊥()2,A c b (),B x y 113AF F B =251,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭B c b ()222:101y E x b b +=<<()()12,0,,0F c F c -2AF x⊥()2,A c b (),B x y 113AF F B=()()2,3,---=+c c b x c y 25313x c y b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩251,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭B c b 222215313⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-+= ⎪⎝⎭b c b 221b c +=2221,33==b c 22312x y +=故答案为：15、答案先由已知点的坐标，求出，进而可求出椭圆的短轴长.详解：因为椭圆经过点， 所以，解得：；所以该椭圆的短轴长为：故答案为：16、答案首先将椭圆方程变形为标准式，利用椭圆定义将求的最大值转化为求的最大值问题即可.详解：将变形为，设为椭圆的右焦点，则,由椭圆定义知,当且仅当为的延长线与椭圆的交点时取等号. 故答案为： 17、答案22312x y +=m 2219x y m +=3219m +=3m =61||PA PF +2||PA PF -225945x y +=22195x y +=2F ()22,0F 122||666PA PF PA PF AF +=+-≤+=P 2AF 6+试题分析：本题要确定曲线的类型，关键是讨论k 的取值范围， 解：当k ＜0时，曲线为焦点在y 轴的双曲线；当k=0时，曲线为两条平行于轴的直线y=2或y=﹣2； 当0＜k ＜2时，曲为焦点x 轴的椭圆； 当k=2时，曲线为一个圆；当k ＞2时，曲线为焦点y 轴的椭圆．点评：本题考查了几种基本的曲线方程与曲线的对应关系，从方程区分曲线也是必需的要掌握的．18、答案试题分析：依题意假设椭圆方程，根据以及，简单计算，可得结果.详解：由题可知：椭圆的焦点在上，设椭圆方程为则由，所以故得到椭圆方程为：．故答案为：．19、答案（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见过程.试题分析：（Ⅰ）根据点M 是DN 的中点，又，可知PM 垂直平分DN.所以，又，所以.这样利用椭圆的定义可以求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）设，则，利用斜率公式，可以证明出为定值.详解：（Ⅰ）由点M 是DN 的中点，又，可知PM 垂直平分DN.所以221164x y +=2c a b ==222a b c =+x ()222210x y a b a b+=>>2c a b ==222a b c =+224,16b a ==221164x y +=221164x y +=22143x y +=0MP DN ⋅=PN PD =PC PN CN +=4PC PD +=000(,)(0)P x y y ≠2200143x y +=12k k ⋅0MP DN ⋅=，又，所以.由椭圆定义知，点P 的轨迹是以C ，D 为焦点的椭圆.设椭圆方程为.又可得所以动点P 表示的曲线E 的方程为.（Ⅱ）证明：易知A （-2,0），B （2,0）.设，则，即，则，，即， ∴为定值． 20、答案（1）；（2）详见.试题分析：（1）由椭圆的焦距为，可得，又由，从而可以建立关于的方程，即可解得，因此椭圆的方程为；（2）根据题意，可设，条件中关于的约束只有及在椭圆上，因此需从即为出发点建立，满足的关系式，由题意可得直线的斜率，直线的斜率， 故直线的方程为，当时，即点的坐标为,故直线的斜率为，因此，化简得，又由点在椭圆上，可得，即点在直线上.试题（1）∵焦距为1，∴，∴， PN PD =PC PN CN +=4PC PD +=22221(0)x y a b a b+=>>24,22,a c ==224, 3.a b ==22143x y +=000(,)(0)P x y y ≠2200143x y +=2200314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭0102y k x =+0202y k x =-20220012222000331(4)4344444x x y k k x x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭⋅====----12k k ⋅34-故椭圆的方程为；（2）设，其中，由题设知，则直线的斜率，直线的斜率，故直线的方程为，当时，即点的坐标为,∴直线的斜率为，∵，∴，化简得将上式代入椭圆的方程，由于在第一象限，解得，即点在直线上.考查目的：1.椭圆的标准方程；2.两直线的位置关系.。
高中数学2.1.1椭圆及其标准方程(2)(含解析)新人教A版选修11
高中数学2.1.1椭圆及其标准方程（2）（含解析）新人教A 版选修11知识点一 椭圆定义的综合应用1.已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是( )A ．2B ．4C ．8 D.32答案 B解析 设椭圆的另一个焦点为E ， 则|MF |＋|ME |＝10，∴|ME |＝8，又ON 为△MEF 的中位线， ∴|ON |＝12|ME |＝4.2．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．答案 2 120°解析 ∵a 2＝9，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－2＝7， ∴|F 1F 2|＝27.又|PF 1|＝4， |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 2|＝2.由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝22＋42－2722×2×4＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.知识点二 椭圆标准方程的应用 3.若方程x 2m ＋9＋y 225－m＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9＜m ＜8B ．8＜m ＜25C ．16＜m ＜25D ．m ＞8答案 B解析 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧25－m ＞0，m ＋9＞0，m ＋9＞25－m ，解得8＜m ＜25.4．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ( )A ．(0，＋∞)B ．(0,2)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)答案 D解析 方程x 2＋ky 2＝2可化为x 22＋y 22k＝1，若焦点在y 轴上，则必有2k＞2，且k ＞0，即0＜k ＜1.知识点三 相关点代入法求轨迹方程5.已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′的中点M 的轨迹方程是( )A ．4x 2＋y 2＝1 B ．x ＝y2C.x 24＋y 2＝1D ．x 2＋y 24＝1答案 A解析 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 02，y ＝y 0.因为P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 20＋y 20＝1.①将x 0＝2x ，y 0＝y 代入方程①，得4x 2＋y 2＝1，所以点M 的轨迹方程是4x 2＋y 2＝1.故选A.6．设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A →＝5F 2B →，则点A 的坐标是________．答案 (0,1)或(0，－1)解析 由题意知F 1(－2，0)，F 2(2，0)．设点A 和点B 的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )，则F 1A →＝(x A ＋2，y A )，F 2B →＝(x B －2，y B )．由F 1A →＝5F 2B →得x B ＝x A ＋625，y B ＝y A 5，代入椭圆方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋62523＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y A 52＝1 ①.又x 2A3＋y 2A ＝1 ②，由①②联立，解得x A ＝0，y A ＝±1.故点A 的坐标为(0,1)或(0，－1)．一、选择题1．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1B.x 29＋y 212＝1 C.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 答案 C解析 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝ 3. 又2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.2．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 将方程mx 2＋ny 2＝1转化为x 21m＋y 21n＝1，根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上，则有1m >0，1n >0，且1n >1m，即m >n >0.反之，m >n >0时，方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．故选C.3．若椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝90°，则△PF 1F 2的面积为( )A ．9B ．12C ．15D ．18 答案 A解析 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则由∠F 1PF 2＝90°且|F 1F 2|＝8，知r 21＋r 22＝64.又r 1＋r 2＝10，可得r 1r 2＝18，所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝9.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B＝( ) A.54 B.52 C ．5 D ．无法确定 答案 A解析 由题意，知|AC |＝8，|AB |＋|BC |＝10，所以sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|AB ||AC |＝108＝54.5．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )提示：△ABC 的重心G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0) C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y23＝1(y ≠0)答案 C解析 由椭圆C ：x 24＋y 23＝1可知焦点坐标为(－1,0)，(1,0)，设P (x ′，y ′)，G (x ，y )，则有x ＝－1＋1＋x ′3＝x ′3，y ＝0＋0＋y ′3＝y ′3，所以x ′＝3x ，y ′＝3y ，又x ′24＋y ′23＝1，所以9x 24＋9y 23＝1，即9x 24＋3y 2＝1(y ≠0)．二、填空题6．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦点在y 轴上，若焦距为4，则m 等于__________．答案 8解析 由题意得m －2>10－m >0，解得6<m <10，且a 2＝m －2，b 2＝10－m ，则c 2＝a 2－b 2＝2m －12＝4，m ＝8.7．设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围为________．答案 0<α<π4解析 由题意知，cos α>sin α>0， ∴tan α<1，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0<α<π4.8．设P 为椭圆x 24＋y 29＝1上的任意一点，F 1，F 2为其上、下焦点，则|PF 1||PF 2|的最大值是__________．答案 9解析 由已知a ＝3，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 1||PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝9.当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝3时，式中等号成立． 故|PF 1||PF 2|的最大值为9. 三、解答题9．点P (x ，y )到定点A (0，－1)的距离与到定直线y ＝－14 的距离之比为1414，求点P 的轨迹方程．解 根据题意得x 2＋y ＋12|y ＋14|＝1414.将上式两边平方，并化简，得14x 2＋13y 2＝14×13，即x 213＋y 214＝1为所求．10．已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图)．求△PF 1F 2的面积．解 由已知得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. 从而|F 1F 2|＝2c ＝2. 在△PF 1F 2中， 由勾股定理可得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4， 所以|PF 2|＝4－|PF 1|. 从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4. 解得|PF 1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12·|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32，即△PF 1F 2的面积是32.。
19-20人教A版数学选修1-1(导学案课时分层作业)：第2章 2.1 2.1.1 椭圆及其标准方程
2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？[提示](1)点的轨迹是线段F1F2.(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程1．下列说法中正确的是()A．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆B．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆D．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆C[结合椭圆的定义可知选项C满足椭圆的定义，故选C.]2．已知椭圆x2m＋y216＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m等于()A．10B．5C．15 D．25D[由题意知2a＝3＋7＝10，∴a＝5，∴m＝a2＝25.]3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为()A.x2100＋y236＝1 B.y2400＋x2336＝1C.y2100＋x236＝1 D.y220＋x212＝1C[由题意知c＝8,2a＝20，∴a＝10，∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为y2100＋x236＝1.](1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点A(3，－2)和点B(－23，1)．[解](1)由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∴a ＝2，b ＝1. 故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. (3)法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (3)2a 2＋(－2)2b 2＝1，(－23)2a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1. ②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b 2＝1，1a 2＋(－23)2b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝5，b 2＝15，因为a ＞b ＞0，所以无解．所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎨⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.1．利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b 的值，代入所设方程．2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点． [解] 设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2， 故a 2－b 2＝16.①又点(3，－5)在椭圆上， 所以(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b 2＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.12F2的直线与C交于A，B两点．|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1 B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1 D.x25＋y24＝1(2)已知椭圆x24＋y23＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．[思路点拨](1)椭圆定义列方程求a，b余弦定理(2)椭圆定义和余弦定理→建立关于|PF1|，|PF2|的方程→联立求解|PF1|→求三角形的面积(1)B(2)335[(2)由x24＋y23＝1，可知a＝2，b＝3，所以c＝a2－b2＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|①由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4②由①②联立可得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|sin ∠PF 1F 2＝12×65×2×32＝335.]1．椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a .2．椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2，称为焦点三角形．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF 1|＋|MF 2|＝2a 及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．2．已知椭圆的方程为x2a2＋y225＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为()A．10B．20C．241 D．441D[∵a>5，∴椭圆的焦点在x轴上．又c＝4，∴a2－25＝42，∴a＝41.由椭圆的定义知△ABF2的周长＝|BA|＋|F2B|＋|F2A|＝|BF1|＋|BF2|＋|AF1|＋|AF2|＝4a＝441.故选D.]与椭圆有关的轨迹问题1．如图所示，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？如何求其方程？提示：线段PD的中点M的轨迹是椭圆．设M(x，y)，易知P(x,2y)，所以x2＋4y2＝4，即x24＋y2＝1.2．如图所示，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A的坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，则点Q的轨迹是什么？提示：连接AQ(图略)，易知|AQ|＝|PQ|，又|BQ|＋|PQ|＝|BP|＝6，∴|QA|＋|QB|＝6>|AB|＝4，∴点Q的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．【例3】(1)已知P是椭圆x24＋y28＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为______________．(2)一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．[思路点拨](1)点Q为OP的中点⇒点Q与点P的坐标关系⇒代入法求解．(2)由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹．(1)x2＋y22＝1[设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又x204＋y208＝1.所以(2x)24＋(2y)28＝1，即x2＋y22＝1.](2)[解]由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，r1＝1；Q2(3,0)，r2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，如图．由题设有|MQ1|＝1＋r，|MQ2|＝9－r，所以|MQ1|＋|MQ2|＝10>|Q1Q2|＝6.由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3.所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，故动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法,用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义.若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可.(2)相关点法,有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法.3．如图，设点A，B的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－34，求点M的轨迹方程．[解]设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(－2,0)，所以直线AM的斜率k AM＝yx＋2(x≠－2)；同理，直线BM的斜率k BM＝yx－2(x≠2)．由已知得yx＋2×yx－2＝－34(x≠±2)，化简，得点M的轨迹方程为x24＋y23＝1(x≠±2)．1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的．1．判断正误(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆．( )(2)已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹为圆．( ) (3)方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)表示的曲线是椭圆． ( )[答案] (1)× (2)√ (3)×2．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B[椭圆方程可化为x 2＋y24k ＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4k >1，4k －1＝1，解得k ＝2.]3．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________.48 [由题意知⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝14 ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝100 ② ①2－②得2|PF 1||PF 2|＝96. 所以|PF 1||PF 2|＝48.]4．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．[解] 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)．∵F 1A ⊥F 2A ， ∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c,3)， F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32 ＝10＋90＝410. ∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. ∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.课时分层作业(六)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标为( ) A ．(5,0)，(－5,0) B ．(0,5)，(0，－5) C ．(0,12)，(0，－12)D ．(12,0)，(－12,0)C [c 2＝169－25＝144，c ＝12，故选C.]2．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( )A ．x 2＋y 225＝1B ．x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C ．x 225＋y 2＝1 D ．以上都不对A [设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝125.∴椭圆的方程为x 2＋y 225＝1.]3．若椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值为( ) A ．5 B ．3 C ．5或3D ．8C [由题意可知m －4＝1或4－m ＝1，即m ＝3或5.]4．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．1B [由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2，可知△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.]5．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D ．(3，＋∞)∪(－6，－2) D [由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎨⎧ a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，即⎩⎨⎧(a ＋2)(a －3)＞0，a ＞－6.解得a ＞3或－6＜a ＜－2，故选D.] 二、填空题6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________．x 24＋y 23＝1 [由题意知⎩⎨⎧ a ＋c ＝3，a －c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.]7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.3[依题意，有⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|·|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3.]8．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为________．x 225＋y 29＝1 [如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2的面积最大，∴12×8b ＝12，∴b ＝3.又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.]三、解答题9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点．设椭圆C 上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．[解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4， ∴2a ＝4，a 2＝4，∵点⎝⎛⎭⎪⎫3，32是椭圆上的一点，∴(3)24＋⎝⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，∴b 2＝3，∴c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．10．已知点A (0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM |＝|P A |，求动点P 的轨迹方程．[解] 因为|PM |＝|P A |，|PM |＋|PO 1|＝4， 所以|PO 1|＋|P A |＝4， 又因为|O 1A |＝23<4，所以点P 的轨迹是以A ，O 1为焦点的椭圆，所以c ＝3，a ＝2，b ＝1. 所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1.[能力提升练]1．若△ABC 的两个顶点坐标为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0)D.y 216＋x 29＝1(y ≠0)A [因为|AB |＝8，|CA |＋|CB |＝18－8＝10，所以顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(去掉长轴的两个端点)．因2a ＝10,2c ＝8，所以b 2＝9.所以顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．]2．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3C [设M (x 0，y 0)，由F 1(－3，0)，F 2(3，0)得MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，由MF 1→·MF 2→＝0得x 20＋y 20＝3， 又x 204＋y 20＝1，解得y 0＝±33. 即点M 到x 轴的距离为33，故选C.]3．椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为________．4 [如图所示．|ON |＝12|MF 2|＝12(2×5－|MF 1|)＝4.] 4．如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________.23 [设正三角形POF 2的边长为c ，则34c 2＝3， 解得c ＝2，从而|OF 2|＝|PF 2|＝2，连接PF 1(图略)，由|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |知，PF 1⊥PF 2， 则|PF 1|＝|F 1F 2|2－|PF 2|2＝42－22＝23， 所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝23＋2，即a ＝3＋1， 所以b 2＝a 2－c 2＝(3＋1)2－4＝2 3.]5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点(如图所示)，∠F 1F 2B ＝2π3，△F 1F 2A 的面积是△F 1F 2B 面积的2倍．若|AB |＝152，求椭圆C 的方程．[解] 由题意可得S △F 1F 2A ＝2S △F 1F 2B ， 所以|F 2A |＝2|F 2B |， 由椭圆的定义得|F 1B |＋|F 2B |＝|F 1A |＋|F 2A |＝2a ，设|F2A|＝2|F2B|＝2m，在△F1F2B中，由余弦定理得(2a－m)2＝4c2＋m2－2·2c·m·cos 2π3，所以m＝2(a2－c2)2a＋c.在△F1F2A中，同理可得m＝a2－c2 2a－c，所以2(a2－c2)2a＋c＝a2－c22a－c，解得2a＝3c，可得m＝5c8，|AB|＝3m＝15c8＝152，c＝4.由ca＝23，得a＝6，b2＝20，所以椭圆C的方程为x236＋y220＝1.21/21。
高中数学2.2.1椭圆及其标准方程课时作业含解析人教A版选修2_1.doc
第二章 2.2 2.2.1请同学们认真完成练案[11]A 级 基础巩固一、选择题1．设F 1、F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( D ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆D ．线段[解析] ∵|MF 1|＋|MF 2|＝6，|F 1F 2|＝6， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2.2．过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程是( A )A ．x 215＋y 210＝1B ．x 2225＋y 2100＝1C ．x 210＋y 215＝1D ．x 2100＋y 2225＝1[解析] 将点(－3,2)代入验证，只有A 的方程满足，故选A ．3．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为( D ) A ．x 24＋y 22＝1B ．y 24＋x 22＝1C ．y 216＋x 24＝1D ．x 216＋y 24＝1[解析] 解法一：验证排除：将点(4,0)代入验证可排除A 、B 、C ，故选D ． 解法二：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧16m ＝14n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝116n ＝14，故选D ．4．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O为坐标原点，那么线段ON 的长是( B )A ．2B ．4C ．8D ．32[解析] 设椭圆左焦点F ，右焦点F 1，∵2a ＝10，|MF |＝2，∴|MF 1|＝8，∵N 为MF 中点，O 为FF 1中点，∴|ON |＝12|MF 1|＝4.5．(2019－2020学年房山区期末检测)“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件是( A )A ．m ＞n ＞0B ．n ＞m ＞0C ．mn ＞0D ．mn ＜0[解析] 若方程表示椭圆，则m ，n ≠0，则方程等价为x 21m ＋y 21n ＝1，若方程表示焦点在y 轴上椭圆，则等价为1n ＞1m＞0，解得：m ＞n ＞0，故选A ．6．(2019－2020学年湖南省长沙市湖南师大附中高二期中)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△MF 1F 2为等腰三角形，则△MF 1F 2的面积为( D )A ．53B ．103C ．215D ． 415[解析] 设M (m ，n )，m ，n ＞0，则m ∈(0,6)，n ∈(0，25)， 椭圆C ：x 236＋y 220＝1的a ＝6，b ＝25，c ＝4.设F 1，F 2分别为椭圆C 的左右焦点，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得|MF 1|＞|MF 2|，|F 1F 2|＝2c ＝8， 因为|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝12，所以|MF 1|＞6，|MF 2|＜6， △MF 1F 2为等腰三角形，只能|MF 2|＝2c ＝8，则|MF 2|＝4， 由勾股定理得|MF 2|2＝(4－m )2＋n 2＝16， 又m 236＋n 220＝1，联立并消去n 得 m 2－18m ＋45＝0，且m ∈(0,6)，解得m ＝3，则n ＝15. 则△MF 1F 2的面积为12×8×15＝415.故选D ．二、填空题7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为__x 24＋y 23＝1__.[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3a －c ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1.故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 8．(福州市2019－2020学年高二期末)若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长轴长的最小值为[解析] 由题意可知，因为椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，即可知bc ＝1，因为a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋1b2≥2，所以a ≥2，故长轴长的最小值为22，答案为2 2.三、解答题9．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)a ：c ＝13：5，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.[解析] (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又a c ＝135，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.10．已知点A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．[解析] 如图所示，由题意知，|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2， ∴|P A |＋|PF |＝2，且|P A |＋|PF |>|AF |， ∴动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆， ∴a ＝1，c ＝12，b 2＝34.∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1，即x 2＋43y 2＝1. B 级 素养提升一、选择题1．已知椭圆x 225＋y 29＝1，F 1、F 2分别在其左、右焦点，椭圆上一点M 到F 1的距离是2，N是MF 1的中点，则|ON |的长为( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由椭圆定义得|MF 2|＋|MF 1|＝2a ＝10， 因为|MF 1|＝2，所以|MF 2|＝8. 因为N 是MF 1的中点，所以|ON |＝|MF 2|2＝4.故选D ． 2．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( D )A ．x 225＋y 29＝1B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0)C ．x 216＋y 29＝1(y ≠0)D ．x 225＋y 29＝1(y ≠0)[解析] ∵|AB |＝8，△ABC 的周长为18，∴|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D ．3．(多选题)若方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围可以是( AD )A ．a >3B ．a <－2C ．－2<a <3D ．－6<a <－2[解析] 由题意得a 2>a ＋6>0， 解得a >3或－6<a <－2，故选AD ．4．(多选题)直线2x ＋by ＋3＝0过椭圆10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 的值可以为( AB ) A ．－1 B ．1 C ．－12D ．12[解析] 椭圆方程化为标准形式为x 2＋y 210＝1，∴焦点坐标为(0，±3)，当直线过焦点(0,3)时，b ＝－1；当直线过焦点(0，－3)时，b ＝1.故选AB ．二、填空题5．下列命题是真命题的是__③__.①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆；②到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；③若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和等于点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和，则点P 的轨迹为椭圆．[解析] ①2<2，故点P 的轨迹不存在；②到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)；③点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为410>8，故点P 的轨迹为椭圆．故填③.6．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为__15__.[解析] 由椭圆的方程可得a ＝5，b ＝4，c ＝3. ∴F 1(－3,0)，F 2(3,0)，如图所示，由椭圆的定义可得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2a －|PF 2|＝10＋(|PM |－|PF 2|)≤10＋|MF 2|＝10＋32＋42＝15，∴|PM |＋|PF 1|的最大值为15. 三、解答题7．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程．[解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b2＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为x29＋y2＝1.当焦点在y轴上时，设其方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知0a2＋9b2＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为y281＋x29＝1.故椭圆的标准方程为y281＋x29＝1或x29＋y2＝1.8．如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．[解析]如图所示，连接MA，由题知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.又点M在AQ的垂直平分线上，所以|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，故a＝52，b2＝a2－c2＝254－1＝214.故点M的轨迹方程为x2254＋y2214＝1.。
人教A版选修1-1教案：2.1.1椭圆定义及其标准方程2(含答案)
§2.1.1椭圆的定义及其标准方程2
【学情分析】：
学生已经学过了轨迹方程、椭圆的定义及其标准方程的概念。
本节课将主要通过例题、练习明确求轨迹方程的步骤，进一步加强学生对于知识的掌握。
【三维目标】：
1、知识与技能：
①使学生进一步掌握椭圆的定义；掌握焦点、焦点位置、焦距与方程关系；
②进一步强化学生对求轨迹方程的方法、步骤的掌握。
2、过程与方法：
通过例题、习题的评练结合，促使学生掌握求椭圆轨迹方程的方法。
3、情感态度与价值观：
通过讲解求椭圆轨迹方程，使学生认识到辨证联系地看问题，学会在解题过程中抓住题目中条件与结论的联系。
【教学重点】：
知识与技能①、②
【教学难点】：
知识与技能②
【课前准备】：
课件
【教学过程设计】：。
2021-2022高二人教版数学选修1-1练习：2.1.1椭圆及其标准方程 Word版含答案
►基础梳理1．椭圆的定义及标准方程．(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的标准方程(请同学们自己填写表中空白的内容)：焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)焦点 (±c ，0) (0，±c )a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 22.只有当||PF 1＋||PF 2＝2a >||F 1F 2时，点P 的轨迹才是椭圆； 当||PF 1＋||PF 2＝2a ＝||F 1F 2时，点P 的轨迹是线段F 1F 2； 当||PF 1＋||PF 2＝2a <||F 1F 2时，点P 的轨迹不存在． 3．正确理解椭圆的两种标准形式． (1)要熟记a ，b ，c 三个量的关系．椭圆方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离和的一半，正数a ，b ，c 恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a ＞b ，a ＞c ，且a 2＝b 2＋c 2，其中c 是焦距的一半，叫做半焦距．(2)通过标准方程可以推断焦点的位置，其方法是：看x 2，y 2的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．4．用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作推断：依据条件推断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程：①依据上述推断设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或x 2b 2＋y 2a2＝1．②在不能确定焦点位置的状况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． (3)找关系，依据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求．,►自测自评1．到两定点F 1(－4，0)和F 2(4，0)的距离之和为8的点M 的轨迹是线段F 1F 2．2．椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1． 3．已知a ＝4，c ＝3，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为x 27＋y 216＝1．4．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)．1．已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 是平面上一动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝6，则点P 的轨迹是(C ) A ．圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．线段2．若椭圆的两焦点为(－2，0)，(2，0)，且过点⎝⎛⎭⎫52，－32，则该椭圆的方程是(D ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210＝1 解析：由题意知，所求椭圆的焦点在x 轴上，可以排解A 、B ；再把点⎝⎛⎭⎫52，－32代入方程，可知应选D. 3．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点F 2构成△ABF 2，那么△ABF 2的周长是______．答案：2 24．写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a ＝4，b ＝3焦点在x 轴上； (2)a ＝5，c ＝2焦点在y 轴上；(3)求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点⎝⎛⎭⎫63，3和点⎝⎛⎭⎫223，1.答案：(1)x 216＋y 29＝1；(2)y 225＋x 221＝1；(3)x 2＋y 29＝1.5．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1，(a ＞b ＞0)的左右两焦点，若椭圆C上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1、F 2两点的距离之和为4，求椭圆C 的方程及焦点坐标．解析：椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上， ∴122＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，解得b 2＝3. ∴c 2＝a 2－b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F (±1，0)．。
高中数学选修1-1课时作业4：2.1.1 椭圆及其标准方程
第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．1.1椭圆及其标准方程一、基础达标1．设F1，F2是椭圆x225＋y29＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为()A．16 B．18C．20 D．不确定[[答案]] B[[解析]]△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c.因为2a＝10，c＝25－9＝4，所以周长为10＋8＝18.2．椭圆x225＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为()A．5 B．6C．7 D．8[[答案]] D[[解析]]由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是10－2＝8.3．“1<m<3”是“方程x2m－1＋y23－m＝1表示椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[[答案]] B[[解析]]当方程x2m－1＋y23－m＝1表示椭圆时，必有⎩⎪⎨⎪⎧m－1>0，3－m>0，所以1<m<3；但当1<m <3时，该方程不一定表示椭圆，例如当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．4．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形[[答案]] B[[解析]] 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8. 又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3. 又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．5．(2013·新课标Ⅰ，理改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________． [[答案]] x 218＋y 29＝1[[解析]] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1x 22a 2＋y 22b 2＝1，相减得x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b 2＝0，所以x 1＋x 2a 2＋y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2b 2＝0.因为x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－1－01－3＝12.所以2a 2＋12×－2b 2＝0，化为a 2＝2b 2，又c ＝3＝a 2－b 2，解得a 2＝18，b 2＝9.所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.6．P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，它到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍，则P 点的坐标是________． [[答案]] (259，±8914)[[解析]] c 2＝a 2－b 2＝25－16＝9，∴c ＝3，椭圆的左焦点为(－3,0)、右焦点为(3,0)．设P 点坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x 225＋y 216＝1，(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝259，y ＝±8914.7．已知椭圆两焦点为F 1、F 2，a ＝32，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，求△ABF 2的周长．解 如图所示，设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，又∵a ＝32.∴△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝6. 二、能力提升8．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－6，－2)∪(3，＋∞)[[答案]] D[[解析]] 由于椭圆焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>a ＋6，a ＋6>0.即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)>0，a >－6，⇔a >3或－6<a <－2.故选D. 9．若α∈(0，π2)，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是________． [[答案]] (π4，π2)[[解析]] 方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.∵椭圆的焦点在y 轴上，∴1cos α＞1sin α＞0. 又∵α∈(0，π2)，∴sin α＞cos α＞0，∴π4＜α＜π2.10．椭圆x 212＋y 23＝1的两个焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍． [[答案]] 7[[解析]] 依题意，不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为F 1(－3,0)，F 2(3,0)，设P 点的坐标为(x 1，y 1)，由线段PF 1的中点的横坐标为0，知x 1－32＝0，∴x 1＝3.把x1＝3代入椭圆方程x212＋y23＝1，得y1＝±32，即P点的坐标为(3，±32)，∴|PF2|＝|y1|＝32.由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝43，∴|PF1|＝43－|PF2|＝43－32＝732，即|PF1|＝7|PF2|.11．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A ⊥F2A，求椭圆的标准方程．解设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．∵F1A⊥F2A，∴F1A→·F2A→＝0，而F1A→＝(－4＋c,3)，F2A→＝(－4－c,3)，∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5,0)，F2(5,0)．∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32＝10＋90＝410.∴a＝210，∴b2＝a2－c2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x240＋y215＝1.12．如图，已知椭圆的方程为x24＋y23＝1，P点是椭圆上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．解由已知得a＝2，b＝3，所以c＝a2－b2＝4－3＝1，∴|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，∴4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 60°，∴4＝16－3|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝4，∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sin 60°＝12×4×32＝ 3.三、探究与创新13．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝22，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|P A|＋|PB|的值不变，求曲线E的方程．解如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，在Rt△ABC中，BC＝AC2＋AB2＝32 2，∵|P A|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝22＋322＝22，且|P A|＋|PB|>|AB|，∴由椭圆定义知，动点P的轨迹E为椭圆，且a＝2，c＝1，b＝1.＋y2＝1.∴所求曲线E的方程为x22。
(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：2-1-2《椭圆的简单几何性质》
2 A. 2 C．2－ 2
2－1 B. 2 D. 2－1
()
[答案] D
[解析] 设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)如图， ∵F1(－c,0)，∴P(－c，yP)代入椭圆方程得 ac22＋yb2P2＝1，∴y2P＝ba42， ∴|PF1|＝ba2＝|F1F2|，即ba2＝2c， 又∵b2＝a2－c2，∴a2－a c2＝2c， ∴e2＋2e－1＝0， 又 0<e<1，∴e＝ 2－1.
[点评] 所谓求椭圆的离心率e的值，即求 的值，所以， 解答这类题目的主要思路是将已知条件转化为a、b、c之间 的关系．如特征三角形中边边关系、椭圆的定义、c2＝a2 －b2等关系都与离心率有直接联系，同时，a、b、c之间是 平方关系，所以，在求e值时，也常先考查它的平方值．
设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过 F1 作椭圆长轴 的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角形，则 椭圆的离心率为
[点评] 已知椭圆的几何性质，求其标准方程的方法步 骤：(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆方程的形式，(2) 确立关于a、b、c的关系方程(组)，求出参数a、b、c，(3)写 出标准方程．
求适合下面条件的椭圆的标准方程． (1)经过点P(－5,0)、Q(0，－3)． (2)长轴的长为10，离心率等于
已知 A(4,0)、B(2,2)是椭圆2x52 ＋y92＝1 内的两个点， M 是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|的最大值和最小值．
[解析] 如下图所示，由2x52 ＋y92＝1，得 a＝5，b＝3， c＝4.
所以点 A(4,0)为椭圆一个焦点，记另一个焦点为 F(－ 4,0)．
又因为|MA|＋|MF|＝2a＝10， 所以|MA|＋|MB|＝10－|MF|＋|MB|， 又|BF|＝2 10， 所以－2 10＝－|FB|≤|MB|－|MF|≤|FB|＝2 10.
高中数学人教A版选修1-1课件：2.1.1《椭圆及其标准方程》课时2
B．椭圆
C．线段
D．直线
解析：连 OP，MF2，则 OP∥MF2, |PO|＝21|MF2|，又|PF1|
＝12|MF1|，所以|PO|＋|PF1|＝12(|MF1|＋|MF2|)＝a，由题意
的定义知，点 P 的轨迹是椭圆．故选 B.
答案：B
1．求椭圆的标准方程常用待定系数法． 首先，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的 位置，可用两种方法来解决问题．
案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必备习惯
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完整过程
消化
固化
模式
拓展
小思考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道； TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
方程中 a＞b 这个条件，当 a＝b 时，方程并不表示椭圆．
【防范措施】 椭圆标准方程中，分母都大于零且 不相等，在解题时，不仅要注意分母都大于零，还要注 意分母相等时该方程就变成了圆的方程．
【正解】
5－k＞0， 由题意可知 k－3＞0，
5－k≠k－3，
解得 3＜k＜5 且 k≠4.
1．到两定点 F1(－2,0)和 F2(2,0)的距离之和为 4 的
2．若将第 1 题中“点 M 在 PP′上，并且P→M＝2M→P′”改为“点 M 在直线 PP′上，并且P′→M＝λP′→P(λ＞0)”，则 M 点的轨迹是
高中数学人教A版选修1-1课件：2.1.1《椭圆及其标准方程》
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
（问题：下面怎样化简？）
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
移项，再平方
(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
即：a2 cx a (x c)2 y2
焦点坐标
相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
平于面常内数到（两大个于定F1F点2）F椭系1的，圆数点F2方为的的距轨程正离迹有加的特相和等点连
y 分母较大焦点y 定
P
右边数“1”F2记心P间
F1 O F2
x
O
x
F1
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
F1 -c , 0，F2 c , 0
条件的点都在曲线上（完备性）。
(证明一般省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)
2.如何求椭圆的方程？
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
M
F1 O O OF2 x x x
y
M
F2
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁”
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平 分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
“天宫一号”与“神八” 将实现两次对接
压扁
椭圆的定义 自己动手试试看:取出课前准备好的一条定长为6cm的 细绳，把它的两端固定在画板上的F 1 和F 2 两点，用铅 笔尖把细绳拉紧,使铅笔尖在图板上缓慢移动,仔细观察, 你画出的是一个什么样的图形呢?
高中数学选修1-1课时作业5：2.1.1 椭圆及其标准方程(二)
2.1.1 椭圆及其标准方程(二)一、选择题1.设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝10，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( )A.椭圆B.不存在C.圆D.线段2.椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( ) A.32B.3C.72D.4 3.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.线段D.直线4.已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.线段D.不存在5.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 6.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A.(1，＋∞)B.(1,3)∪(3，＋∞)C.(3，＋∞)D.(0,3)∪(3，＋∞)二、填空题7.已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆和圆C 1内切，和圆C 2外切，则动圆圆心的轨迹方程为________________.8.设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A 、B 两点，若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆的方程为________________.9.曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________. 三、解答题10.已知动圆与定圆C ：x 2＋y 2＋4y －32＝0内切，且过定圆内的一个定点A (0,2)，求动圆圆心P 的轨迹方程.11.如图，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程.12.在一段笔直的国道同侧有相距120米的A ，C 两处，点A 、C 到国道的距离分别是119米、47米，拟规划建设一个以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的临时仓库，且四周围墙总长为400米，根据公路法及省公路管理条例规定：建筑物离公路距离不得少于20米，若将临时仓库面积建到最大，该规划是否符合规定？[[答案]]精析1.B2.C [不妨设F 1的坐标为(3，0)，P 点坐标为(x 0，y 0)，∵PF 1与x 轴垂直，∴x 0＝ 3.把x 0＝3代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得y 20＝14.∴|PF 1|＝12. ∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝72.] 3.B [设右焦点为F 2，由题意知|PO |＝12|MF 2|，|PF 1|＝12|MF 1|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义知P 点的轨迹是椭圆.]4.A5.D [由椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，得b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，因为过点F 的直线与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝－1， 又b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2①，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2②，由①－②得b 2(x 21－x 22)＋a 2(y 21－y 22)＝0，化简得b 2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋a 2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.2b 2(x 1－x 2)－2a 2(y 1－y 2)＝0，y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2， 又直线的斜率为k ＝0－(－1)3－1＝12，即b 2a 2＝12，因为b 2＝a 2－c 2＝a 2－9，所以a 2－9a 2＝12， 解得a 2＝18，b 2＝9，故椭圆方程为x 218＋y 29＝1.]6.B7.x 264＋y 248＝1 [[解析]] 如图所示，设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r .由题意得动圆M 内切于圆C 1，∴|MC 1|＝13－r .动圆M 外切于圆C 2，∴|MC 2|＝3＋r .∴|MC 1|＋|MC 2|＝16>|C 1C 2|＝8，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48，故所求椭圆方程为x 264＋y 248＝1. 8.x 2＋32y 2＝1 [[解析]] 由题意，AF 2⊥x 轴，∴|AF 2|＝b 2，∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴B ⎝⎛⎭⎫－53c ，－13b 2， 代入椭圆方程可得⎝⎛⎭⎫－53c 2＋⎝⎛⎭⎫－13b 22b 2＝1，∵1＝b 2＋c 2，∴b 2＝23，c 2＝13， ∴椭圆方程为x 2＋32y 2＝1. 9.②③[[解析]] 设曲线C 上任一点P (x ，y )，由|PF 1|·|PF 2|＝a 2，可得(x ＋1)2＋y 2·(x －1)2＋y 2＝a 2 (a >1)，将原点(0,0)代入等式不成立，故①不正确.∵点P (x ，y )在曲线C 上，∴点P 关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，将P ′代入曲线C 的方程等式成立，故②正确.设∠F 1PF 2＝θ，则S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ ＝12a 2sin θ≤12a 2，故③正确. 10.解 如图所示.由定圆C ：x 2＋(y ＋2)2＝36知圆心C (0，－2)，半径r ＝6.设动圆圆心P 的坐标为(x ，y )，半径为|P A |.∵圆P 与圆C 内切，∴|PC |＝r －|P A |，即|P A |＋|PC |＝r ＝6.∴动圆圆心P 到两定点A (0,2)，C (0，－2)的距离之和为6，且6>4.故动圆圆心P 的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆，且2a ＝6,2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，∴b 2＝5.∴所求动圆圆心P 的轨迹方程为x 25＋y 29＝1. 11.解 由题意知点M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |.又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA |＝|MQ |，∴|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5>|AC |＝2.∵A (1,0)，C (－1,0)，∴点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5，故a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.故点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1. 12.解 由题意，|AB |＋|CB |＝|DA |＋|DC |＝200＞120，所以平行四边形基地的另两个顶点B ，D 在以A ，C 为焦点的椭圆上，以AC 所在直线为x 轴，AC 中点为原点建立直角坐标系，可得椭圆方程为x 21002＋y 2802＝1(y ≠0)，设公路所在直线l 与x 轴相交于点E ，且CE ＝x 米，则47119＝x 120＋x， ∴x ＝2353，即点E ⎝⎛⎭⎫4153，0， ∴直线l 的方程为：3x －4y －415＝0.当B ，D 分别为椭圆短轴的两个端点时，临时仓库占地面积最大，此时D (0，－80)，点D 到直线l 的距离为d ＝|320－415|5＝19＜20， ∴该规划不符合规定.。
人教新课标版(A)高二选修1-1 2.1.2椭圆及其标准方程(二)同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.1.2 椭圆及其标准方程（二）同步练习题【基础演练】题型一：椭圆中的基本运算在椭圆中，a 2|PF ||PF |21=+，0b a >>，222c b a +=等都存在相互的关系，从方程的角度分析，可得方程（组）去求解，注意，在标准形式下，哪个表示a （或2a ），哪个表示b （或2b ），请用以上知识解决以下1~4题。
1. 已知椭圆的方程是125y ax 222=+（5a >），它的两个焦点分别为1F 、2F ，且8|F F |21=，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为A. 10B. 20C. 412D. 4142. 点P 是椭圆19y 25x 22=+上一点，以点P 以及焦点1F 、2F 为顶点的三角形的面积等于4，则P 点的坐标是A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±3210,1B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±±3210,1C. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛±±1,3210D. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,3210 3. “2k >”是方程“1k5y 2k x 22=-+-”表示的曲线是椭圆的 A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 椭圆115y m x 22=+的焦距等于2，则m 的值是 A. 5或3 B. 16或14 C. 5 D. 16题型二：求椭圆的方程 求椭圆的方程的常用方法有：待定系数法、直译法、定义法、相关点法、几何法等，请根据以上知识解决以下5~9题。
5. 已知椭圆过点P ⎪⎭⎫⎝⎛-4,53和点Q （3,54-），则此椭圆的标准方程是A. 1x 25y 22=+B. 1y 25x 22=+ C. 1y 25x 22=+或125y x 22=+ D. 以上都不对6. 椭圆的两焦点为（-2，0）和（2，0），且椭圆过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,25，则椭圆的方程是A. 14x 8y 22=+ B.16x 10y 22=+ C. 18x 4y 22=+D.16y 10x 22=+ 7. 已知A 、B 两点的坐标分别为（0，-5）和（0，5），直线MA 与MB 的斜率之积为94-，则M 的轨迹方程是A. 19100y 25x 22=+B. ()5x 19100y 25x 22±≠=+C. 125y 4225x 22=+D. ()0x 125y 4225x 22≠=+8. 与椭圆4y 4x 22=+有公共的焦点，且经过点A （2，1）的椭圆的方程为_________。
高中数学人教A版选修(1-1) 2.1 教学课件 《2.1.1 椭圆及其标准方程》(人民教育出版社)
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
【自主解答】 (1)由于动点到F1、F2的距离之和恰巧等于 F1F2的长度，故此动点的轨迹是线段F1F2.
(2)由椭圆的定义，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF1|＝2a， ∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝ 20， ∴△ABF1的周长为20. 【答案】 (1)线段F1F2 (2)20
(1)已知 F1(－4,0)，F2(4,0)，则到 F1、F2 两点的距 离之和等于 8 的点的轨迹是________；
(2)椭圆1x62 ＋2y52 ＝1 的两焦点分别为 F1、F2，过 F2 的直线交 椭圆于 A、B 两点，则△ABF1 的周长为________．
【思路探究】 (1)动点的轨迹是椭圆吗？(2)怎样用椭圆 的定义求△ABF1的周长？
【解】 设P(x0，y0)，AP的中点M(x，y)，则
x＝x0－2 5， y＝y20，
即xy00＝ ＝22xy＋ ，5， 代入椭圆方程2x52 ＋1y62 ＝1，
得2x2＋552＋y42＝1， 所以AP中点M的轨迹方程是2x2＋552＋y42＝1.
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
【自主解答】 (1)∵椭圆的焦点在x轴上， ∴设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)， ∴2a＝ 5＋42＋ 5－42＝10， ∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9， 故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
1．定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭圆 的定义可知，集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，a＞0， c＞0，且 a、c 为常数．
人教A版选修1-1教案：2.1.1椭圆定义及其标准方程1(含答案)
§2.1.1椭圆的定义及其标准方程1
【学情分析】：
学生已经学过了轨迹方程。
对于怎样列方程有了一定的了解。
本节课将通过学生的自主探究、总结来进行教学。
【三维目标】：
1、知识与技能：
①使学生掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的推导过程；掌握焦点、焦点位置、焦距与方程关系；
②了解建立坐标系的选择原则。
2、过程与方法：
①通过让学生自己画图探究椭圆上的点应满足的条件；
②通过椭圆的标准方程的推导突破带“两个根号的方程”的化简方法。
.
3、情感态度与价值观：
通过本节课的学习，使学生体会探索、学习的乐趣。
【教学重点】：
知识技能目标①②
【教学难点】：
知识技能目标②
【课前准备】：
课件
【教学过程设计】：。
2017-2018年人教A版选修1-1《2.1-2椭圆》练习含答案
第二章 2.1-2 椭圆A 级 基础巩固、选择题 1．已知椭圆 2y＝ 1 10－ m m － 2的长轴在 y 轴上，若焦距为 4，则 m 等于D)A ．4B ．5C ．7D ．822[解析 ] 由题意知， c ＝2，a 2＝ m －2， b 2＝10－m ，∴m －2－ 10＋m ＝4，∴m ＝8.2． A．C．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率B ．D ．c [ 解析 ] 由题意，得 a ＝ 2c ，∴e ＝ a a12.3．与椭圆 9x 2＋4y 2＝36 有相同焦点，且短轴长为4 5 的椭圆方程是22A ．x 2＋y 2＝1．252022 C ． x 2＋y2＝1C ．20＋45＝12B ． ＋ y＝120 2522D ．x＋y ＝180 8522[解析] 椭圆 9x 2＋4y 2＝36 的焦点为（0， 5）， （0，－5），∵b ＝2 5，∴a 2＝ 25，故选 B ．4．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为(A)A ． 52－1B ． 32－1C ．3C ．25＋1 D ． 52＋1[解析 ] 设椭圆的焦距为 2c ，短轴长为 2b ，长轴长为 2a ，由题意得 22 (2b)2＝ 4ac ，即 b 2＝ac. 2 2 2 2 2又 b ＝a － c ，∴a－ c ＝ ac ，2 x 6．(2017 ·全国Ⅲ文， 11)已知椭圆 C ： 2＋ a 2yb 2＝1(a>b>0) 的左、右顶点分别为 A 1，A 2，以线段 A 1A 2为直径的圆与直线 bx －ay ＋2ab ＝0 相切，则 C 的离心率为 ( A )A ． 36C ．2 C ．3[解析 ] 由题意知以 A 1A 2 为直径的圆的圆心为 (0,0)，半径为 a.又直线 bx －ay ＋2ab ＝0 与圆相切，二、填空题7．已知椭圆的中心在原点，若长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆2 2 2 2 标准方程为 8x 1＋7y 2＝1 或7x 2＋8y1＝1 .[ 解析 ] ∵椭圆长轴长为 18，∴a ＝ 9.又两个焦点将长轴三等分，222∴a － c ＝ 2c ，∴c ＝ 3，∴b ＝ a － c ＝ 72.－ 1± 52 ∴e ＋ e － 1＝ 0，∴e ＝25－1∵e ∈ (0,1)，∴e ＝ 25．椭圆 x 2＋my 2＝1的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为 ( A1 A ．4B ．C ．2D ．[解析]2由题意 y 1 ＋ x ＝1，且m＝2，1∴m ＝41.故选 A ．B ．33D ．13解得 a ＝ 3b ，∴b a ＝ 3，∴圆心到直线的距离＝a ，6. 3.∵焦点位置不确定，2 2 2 2x y x y ∴方程为8x 1＋7y 2＝1或7x2＋8y1＝1.x 2 y 3 1x 4＋ y m＝1的离心率为 24，则 m ＝ ［解析］∴m ＝3.三、解答题229．(2016 ·江苏苏州高二检测 )已知椭圆 4x 9＋2y 4＝1上一点 P 与椭圆的两个焦点 F 1、F 2的连线互相垂直(1)求椭圆的离心率； (2)求△ PF 1F 2 的面积．［解析 ］ (1)由题意可知 a 2＝49，b 2＝ 24，222c ＝ a － b ＝ 25，∴c ＝5，2 2 2(2)由椭圆定义 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14，由题意可知在 Rt △PF 1F 2 中有：|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c)2＝100，2 2 2 2 ∴2|PF 1||PF 2|＝ (|PF 1|＋ |PF 2|)2－ (|PF 1|2＋ |PF 2|2)＝142－100＝96， ∴|PF 1||PF 2|＝48. ∴S △PF 1F 2＝21|PF 1||PF 2|＝24.3或1368．椭圆∴a ＝7，b ＝ 2 6， 1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为 13，长轴长为 12 ，则椭圆方程为 ( C )A ．22xy ＋ ＝ 1 144 128 22或1x 28＋1y 44＝1 B ．22x 62＋y 42＝1 C ． 22xy＋ ＝136 3222或3x 2＋3y6＝1当焦点在 x 轴上时，当焦点在 y 轴上时，16 ∴m ＝ 352 2 2 2D ．x 42＋y 62＝1或x 62＋y 42＝14 6 6 4c 12 2 2[解析 ] 由条件知 a ＝6，e ＝a ＝ 3，∴c ＝ 2，∴b ＝a －c ＝32，故选 C ．x a 2＋y b 2＝1（a>b>0）的左、右焦点为 F 1、F 2，离心率为 33，过 F 2 的直线若△ AF 1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为 （ C ）2x 2 B ．x 3＋y 2＝1 22xy D ． ＋ ＝112 4 c3[ 解析 ] 根据条件可知 a ＝ 3 ，且 4a ＝ 4 3，22 ∴a ＝ 3，c ＝1，b 2＝2，椭圆的方程为 x 3＋y 2 ＝1.y 23．若直线 y ＝ x ＋ 6与椭圆 x 2＋m y 2＝1（m>0 且 m ≠ 1）只有一个公共点，则该椭圆的长轴 长为 （ D ）A ．1B ． 5C ．2y ＝ x ＋ 6D ． 2 5[解析 ] 由x 2＋m y 22＝1，得（1＋m 2）x 2＋ 2 6x ＋ 6－m 2＝ 0，由已知 Δ＝24－4（1＋m 2）（6－m 2）＝ 0，解得 m 2＝5， ∴椭圆的长轴长为 2 5.224．已知直线 l 过点（3，－ 1），且椭圆 C ：2x 5＋3y 6＝1，则直线 l 与椭圆 C 的公共点的个数为 （ C ）A ． 1B ． 1 或 2C ．2D ． 0[解析] 因为直线过定点 （3，－1）且2352＋－361<1，所以点 （3，－ 1）在椭圆的内部，故直线 l 与椭圆有 2 个公共点．2 2 2 25．（2015 ·江西八校联考 ）已知圆C 1： x 2＋2cx ＋y 2＝0，圆 C 2：x 2－2cx ＋y 2＝0，椭圆2． 已知椭圆 C ：l 交C 于 A 、 B 两点，22xyA ． ＋ ＝ 1A ．3＋ 2＝122xyC：22 x a 2＋y b 2＝1（a>b>0），若圆 C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是 （ B ）C 2 的右顶点 （2c,0），上顶点 （c ，c ）在椭圆内部，2c ≤ a ，c1 ∴只需 c 2 c 2 ? 0<ac ≤ 21.∴只需a c 2＋cb 2≤ 1 a ≤2.二、填空题6．若椭圆的一个焦点将其长轴分成 3︰ 2两段，则椭圆的离心率为 5－2 6 .∴( 3－ 2)a ＝ ( 3＋ 2)c ，227．（2017 全·国Ⅰ文， 12）设 A ，B 是椭圆 C ： x 3 ＋ y m ＝ 1长轴的两个端点．若 C 上存在点3mM 满足∠ AMB ＝120°，则 m 的取值范围是 __（0,1] ∪ [9，＋∞ ）[解析 ] 方法 1：设焦点在 x 轴上，点 M （x ， y ）．过点 M 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 N ， 则 N(x,0) ．故 tan ∠AMB ＝ tan(∠AMN ＋∠BMN)3＋x 3－ x |y| ＋|y| ＝ 2 3|y|3＋x 3－x ＝x 2＋ y 2－ 3 1－ 又tan ∠AMB ＝ tan 120 ＝－° 3，2 2 2且由x 3＋y m ＝1可得 x 2＝3－3m y ，A ． 1 ，121 B ． 0，2 C ． 22，1D ．0， 22[解析] 圆 C 1， C 2都在椭圆内等价于圆 [解析 ] 椭圆的一个焦点将其长轴分成 a ＋c 与 a －c 两段，a ＋c ＝ 3， a － c 2|y| |y|即椭圆离心率的取值范围是解得 |y|＝ 2m3－m2m0< ≤ m ，结合 0<m<3 解得 0<m ≤ 1. 3－m对于焦点在 y 轴上的情况，同理亦可得 m ≥ 9. 则 m 的取值范围是 (0,1]∪[9，＋ ∞)． 方法 2：当 0<m<3 时，焦点在 x 轴上，要使 C 上存在点 M 满足∠AMB ＝120 °， 则 b a ≥ tan 60 °＝ 3，即 3 ≥ 3， 解得0<m ≤ 1.当 m>3 时，焦点在 y 轴上，要使 C 上存在点 M 满足∠AMB ＝120 °，故 m 的取值范围为 (0,1]∪[9，＋ ∞)． 三、解答题8．(2017 ·北京文， 19)已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(－2,0)，B(2,0)，焦点在 x 轴上，离心率为 23.(1)求椭圆 C 的方程；(2)点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M ，N ，过 D 作 AM的垂线交 BN 于点 E.求证：△ BDE 与△ BDN 的面积之比为 4︰5.22[解析] (1)设椭圆 C 的方程为 x a 2＋ y b 2＝ 1(a>b>0) ，a ＝ 2，由题意得 c 3 解得 c ＝ 3 ， a ＝ 2 ，所以 b 2＝ a 2－ c 2＝ 1，则3－32m y 2＋3|y y |2－3 12－33|y|y 2＝－ 3.1－m y 2又 0<|y|≤ m ，即 则a ≥tan 60 °＝ 3， b即 m ≥ 3 ，解得 m ≥9.2 21．已知 B 1、B 2 为椭圆短轴的两个端点， F 1、 F 2是椭圆的两个焦点，若四边形 B1F 1B 2F 2 2 所以椭圆 C 的方程为 x＋ y 2＝ 1.4（2）设 M （m ，n ），则 D （m,0）， N （m ，－ n ），由题设知 m ≠±2，且 n ≠ 0. 直线 AM 的斜率 k AM ＝ n ，m ＋2m ＋2所以直线 DE 的方程为 y ＝－ n （x － m ），直线 BN 的方程为 y ＝ n （x － 2）．2－mm ＋2y ＝－ x － mn2 n 4－ m 解得点 E 的纵坐标 y E ＝－ 2 24－ m ＋ n22 由点 M 在椭圆 C 上，得 4－ m 2＝4n 2，4 所以 y E ＝－ 5n.又 S △BDE ＝21|BD| ·|y E |＝52|BD| |·n|，S △BDN ＝ 21|BD | |·n|，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为 4︰5.C 级 能力提高故直线 DE 的斜率 k DE ＝－ m ＋2[解析 ] 如图，由已知得 b ＝c ＝ a ，联立ny ＝2－n m x －2，∴e ＝ c ＝ 2. ∴e ＝ a ＝2 .2 x 22．（2017 全·国Ⅱ文， 20）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C ： 2＋y 2＝1上，过 M 作 x轴的垂线，垂足为 N ，点 P 满足 N →P ＝ 2 N →M.（1）求点 P 的轨迹方程；（2）设点 Q 在直线 x ＝－ 3上，且O →P ·P →Q ＝1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的 左焦点 F.[解析 ] （1）设 P （x ，y ），M （x 0，y 0），则 N （x 0,0），N →P ＝（x －x 0，y ），N →M ＝（0，y 0）． → → 2由 NP ＝ 2 NM ，得 x 0＝x ，y 0＝ 2 y.22因为 M （x 0， y 0）在 C 上，所以 x 2＋y 2＝1. 22 因此点 P 的轨迹方程为 x 2＋y 2＝ 2.（2）由题意知 F （－1,0）．设 Q （－3，t ）， P （m ，n ），则 O →Q ＝（－3，t ），P →F ＝（－1－m ，－ n ），O →Q ·P →F ＝3＋3m －tn ， →→ OP ＝（m ，n ），PQ ＝（－3－m ， t －n ）． 由O →P ·P →Q ＝1 得－ 3m －m 2＋tn －n 2＝1，22又由 （1）知 m 2＋n 2＝2，故 3＋3m － tn ＝ 0. 所以O →Q ·P →F ＝ 0，即 O →Q ⊥ P →F .又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点F.B 级 素养提升、选择题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时作业11
一、选择题
1．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )
A.x 212＋y 29
＝1 B.x 29＋y 212
＝1 C.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212
＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248
＝1 解析：由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，
∴c ＝ 3.
又2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43，
∴a ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝9.
故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212
＝1. 答案：C 2．若方程x 2m ＋9＋y 2
25－m
＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( ) A. －9<m <25
B. 8<m <25
C. 16<m <25
D. m >8
解析：依题意，有⎩⎨⎧ 25－m >0
m ＋9>0
m ＋9>25－m
，
解得8<m <25.
答案：B
3．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：将方程mx 2＋ny 2＝1转化为x 21m ＋y 2
1n
＝1，根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上，则有1m >0，1n >0，且1n >1m
，即m >n >0.反之，m >n >0时，方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．故选C.
答案：C
4．[2014·安徽省合肥六中月考]设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24
＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 1 解析：本题考查椭圆定义的综合应用．由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又
|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2可知，△F 1PF 2是直角
三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12
×4×2＝4，故选B. 答案：B
二、填空题
5．[2013·北京东城区检测]已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29
＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.
解析：本题主要考查椭圆的定义．由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a .又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.
答案：8
6．椭圆x 29＋y 22
＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．
解析：∵a 2＝9，b 2＝2，
∴c ＝a 2－b 2＝9－2＝7，
∴|F 1F 2|＝27.又|PF 1|＝4，
|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，
∴|PF 2|＝2.由余弦定理得
cos ∠F 1PF 2＝22＋42－ 27 22×2×4＝－12
， ∴∠F 1PF 2＝120°.
答案：2 120°
7．设P 为椭圆x 24＋y 29
＝1上的任意一点，F 1，F 2为其上、下焦点，则|PF 1||PF 2|的最大值是__________．
解析：由已知a ＝3，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，
∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2
)2＝9. 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝3时，式中等号成立．
故|PF 1|·|PF 2|的最大值为9.
答案：9 三、解答题
8．已知椭圆8x 281＋y 2
36
＝1上一点M 的纵坐标为2. (1)求M 的横坐标；
(2)求过M 且与x 29＋y 2
4＝1共焦点的椭圆的方程． 解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236
＝1得 8x 281＋436
＝1，即x 2＝9. ∴x ＝±3，
即M 的横坐标为3或－3.
(2)对于椭圆x 29＋y 24
＝1， 焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5， 故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
a 2－5
＝1. 把M 点的坐标代入得9a 2＋4a 2－5
＝1， 解得a 2＝15.
故所求椭圆的方程为x 215＋y 210
＝1. 9．在直线l ：x －y ＋9＝0上取一点P ，过点P 以椭圆x 212＋y 23
＝1的焦点为焦点作椭圆． (1)P 点在何处时，所求椭圆长轴最短；
(2)求长轴最短时的椭圆方程．
解：(1)由题意知椭圆两焦点坐标分别为F 1(－3,0)、F 2(3,0)．
设点F 1(－3,0)关于直线l 的对称点F ′1的坐标为(x 0，y 0)，当P 在F 2F ′1与直线l 的交点处时，椭圆长轴最短． 则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0x 0＋3＝－1，
x 0－32－y 02＋9＝0，解之得⎩⎨⎧
x 0＝－9，y 0＝6， ∴F ′1(－9,6)．
则过F ′1和F 2的直线方程为
y －6－6＝x ＋9
3＋9
， 整理得x ＋2y －3＝0
联立⎩⎨⎧ x ＋2y －3＝0，x －y ＋9＝0，解之得⎩⎨⎧
x ＝－5，y ＝4，
即P 点坐标为(－5,4)
(2)由(1)知2a ＝|F ′1F |＝180，
∴a 2＝45.
∵c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝36.
∴所求椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.。