高一数学上册知识点训练题13

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人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(48)

人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1. 已知 a =1.70.3，b =0.31.7，c =log 0.31.7，则 a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A ． a <b <c B ． c <b <a C ． c <a <b D ． b <a <c2. 已知 m ∈R ，“函数 y =2x +m −1 有零点”是“函数 y =log m x 在 (0,+∞) 上为减函数”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知 sin (α+β)=14，sin (α−β)=13，则 tanα:tanβ= ( )A ． −17B ． 17C ． −7D ． 74. 根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 f (x )=√x x <A√Ax ≥A （A ，c为常数），已知工人组装第 4 件产品用时 30 min ，组装第 A 件产品用时 15 min ，那么 c 和 A 的值分别是 ( ) A ． 75，25 B ． 75，16 C ． 60，25 D ． 60，165. 已知函数 f (x )={ln (x +1)+m,x ≥0ax −b +1,x <0(m <−1)，对于任意 s ∈R ，且 s ≠0，均存在唯一实数 t ，使得 f (s )=f (t )，且 s ≠t ，若关于 x 的方程 ∣f (x )∣=f (m2) 有 4 个不相等的实数根，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (−4,−2) B ． (−1,0)C ． (−2,−1)D ． (−4,−1)∪(−1,0)6. 已知 a >0 且 a ≠1，下列说法中正确的是 ( ) ①若 M =N ，则 log a M =log a N ； ②若 log a M =log a N ，则 M =N ； ③若 log a M 2=log a N 2，则 M =N ； ④若 M =N ，则 log a M 2=log a N 2． A ．①③B ．②④C ．②D ．①②③④7.定义在(−1,1]上的函数f(x)满足f(x)+1=1f(x+1)，当x∈[0,1]时，f(x)=x，若函数g(x)=∣∣f(x)−12∣∣−mx−m+1在(−1,1]内恰有3个零点，则实数m的取值范围是( )A．(32,+∞)B．(32,258)C．(32,2516)D．(23,34)8.实数α，β为方程x2−2mx+m+6=0的两根，则(α−1)2+(β−1)2的最小值为( )A．8B．14C．−14D．−2549.若a>b>0，c<d<0，则一定有( )A．ac −bd>0B．ac−bd<0C．ad>bcD．ad<bc10.一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积为( )A．12R2B．12R2Ssin1cos1C．12(1−sin1cos1)R2D．(1−sin1cos1)R2二、填空题（共10题）11.已知△ABC中，sin(A+B)=45，cosB=−23，则sinB=，cosA=．12.函数y=lg(x2+2x−a)的定义域为R，则实数a的取值范围是．13.已知函数y=f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间(0,6)内零点的个数的最小值是个．14.一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过小时才能开车．（精确到1小时，参考数据lg2≈0.30，lg3≈0.48）15.将函数y=√4+6x−x2−2(x∈[0,6])的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0≤θ≤α)，得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则tanα的最大值为．16.设集合A为含有三个元素的集合，集合B={z∣z=x+y,x,y∈A,x≠y}，若B={log 26,log 210,log 215}，则集合 A = ．17. 已知 p:∣x −4∣>6，q:x 2−2x +1−a 2>0(a >0)，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a的取值范围为．18. 已知 α 为第二象限角，sinα+cosα=12，则 cos2α= ．19. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (x +2)=f (x )−2，当 x ∈(0,2] 时，f (x )={x 2−x −6,x ∈(0,1]−2x−1−5,x ∈(1,2]，若 x ∈(−6,−4] 时，关于 x 的方程 af (x )−a 2+2=0(a >0) 有解，则实数 a 的取值范围是．20. 已知函数 f (x )={x +2x −3,x ≥1lg (x 2+1),x <1，则 f(f (−3))= ，f (x ) 的最小值是．三、解答题（共10题）21. 已知一扇形的周长为 40 cm ，当它的半径和圆心角取何值时，能使扇形的面积最大，最大面积是多少？22. 已知实数 a ，b 是常数，函数 f (x )=(√1+x +√1−x +a)(√1−x 2+b)．(1) 求函数 f (x ) 的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；(2) 若 a =−3，b =1，设 t =√1+x +√1−x ，记 t 的取值组成的集合为 D ，则函数 f (x )的值域与函数 g (t )=12(t 3−3t 2)(t ∈D ) 的值域相同．试解决下列问题：（i ）求集合 D ；（ii ）研究函数 g (t )=12(t 3−3t 2) 在定义域 D 上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明：若没有，请说明理由．并利用你的研究结果进一步求出函数 f (x ) 的最小值．23. 对于定义域为 R 的函数 g (x )，若存在正常数 T ，使得 cosg (x ) 是以 T 为周期的函数，则称g (x ) 为余弦周期函数，且称 T 为其余弦周期．已知 f (x ) 是以 T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 R ．设 f (x ) 单调递增，f (0)=0，f (T )=4π． (1) 验证 g (x )=x +sin x3 是以 6π 为周期的余弦周期函数；(2) 设 a <b ，证明对任意 c ∈[f (a ),f (b )]，存在 x 0∈[a,b ]，使得 f (x 0)=c ；(3) 证明：“u 0 为方程 cosf (x )=1 在 [0,T ] 上的解，”的充要条件是“u 0+T 为方程 cosf (x )=1 在区间 [T,2T ] 上的解”，并证明对任意 x ∈[0,T ]，都有 f (x +T )=f (x )+f (T )．24. 已知函数 f (x )=(sinx +cosx )2+2cos 2x −1．(1) 求 f (x ) 的最小正周期；(2) 求 f (x ) 在 [0,π2] 上的单调区间．25. 已知函数 f (x )=a +b x (b >0,b ≠1) 的图象过点 (1,4) 和点 (2,16)．(1) 求 f (x ) 的表达式； (2) 解不等式 f (x )>(12)3−x2；(3) 当 x ∈(−3,4] 时，求函数 g (x )=log 2f (x )+x 2−6 的值域．26. 已知函数 f (x ) 的定义域为 D ，若对任意的 x 1∈D ，都存在 x 2∈D ，满足 f (x 1)=1f (x 2)，则称函数 f (x ) 为“L 函数”．(1) 判断函数 f (x )=sinx +32，x ∈R 是否为“L 函数”，并说明理由；(2) 已知“L 函数”f (x ) 是定义在 [a,b ] 上的严格增函数，且 f (a )>0，f (b )>0，求证：f (a )⋅f (b )=1．27. 记函数 f (x ) 的定义域为 D ，如果存在实数 a ，b 使得 f (a −x )+f (a +x )=b 对任意满足a −x ∈D 且 a +x ∈D 的 x 恒成立，则称 f (x ) 为 Ψ 函数． (1) 设函数 f (x )=1x −1，试判断 f (x ) 是否为 Ψ 函数，并说明理由； (2) 设函数 g (x )=12x +t ，其中常数 t ≠0，证明 g (x ) 是 Ψ 函数；(3) 若 ℎ(x ) 是定义在 R 上的 Ψ 函数，且函数 ℎ(x ) 的图象关于直线 x =m （m 为常数）对称，试判断 ℎ(x ) 是否为周期函数？并证明你的结论．28. 已知函数 f (x ) 和 g (x ) 的图象关于原点对称，且 f (x )=x 2+2x ．(1) 求函数 g (x ) 的解析式；(2) 若 ℎ(x )=g (x )−λf (x )+1 在区间 [−1,1] 上是增函数，求实数 λ 的取值范围．29. 解答题．(1) 已知 cosα=17，cos (α+β)=−1114，α，β 都是锐角，求 cosβ 的值；(2) 已知 π2<β<α<34π，cos (α−β)=1213，sin (α+β)=−35，sin2α．30.用五点法作出下列函数在[−2π,0]上的图象．(1) y=1−sinx；(2) y=sin(π+x)−1．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质2. 【答案】B【解析】若函数 y =f (x )=2x +m −1 有零点，则 f (0)=1+m −1=m <1，当 m ≤0 时，函数 y =log m x 在 (0,+∞) 上为减函数不成立，即充分性不成立，若 y =log m x 在 (0,+∞) 上为减函数，则 0<m <1，此时函数 y =2x +m −1 有零点成立，即必要性成立，故“函数 y =2x +m −1 有零点”是“函数 y =log m x 在 (0,+∞) 上为减函数”的必要不充分条件．【知识点】指数函数及其性质、充分条件与必要条件、对数函数及其性质3. 【答案】C【解析】 sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=14，sin (α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=13，所以 sinαcosβ=724，cosαsinβ=−124，所以 tanα:tanβ=sinαcosβcosαsinβ=−7．【知识点】两角和与差的正切4. 【答案】D【知识点】函数的模型及其实际应用5. 【答案】A【解析】由题意可知 f (x ) 在 [0,+∞) 上单调递增，值域为 [m,+∞)，因为对于任意 s ∈R ，且 s ≠0，均存在唯一实数 t ，使得 f (s )=f (t )，且 s ≠t ，所以 f (x ) 在 (−∞,0) 上是减函数，值域为 (m,+∞)，所以 a <0，且 −b +1=m ，即 b =1−m ．因为 ∣f (x )∣=f (m2) 有 4 个不相等的实数根，所以 0<f (m2)<−m ，又 m <−1，所以 0<am 2<−m ，即 0<(a2+1)m <−m ，所以 −4<a <−2，所以则 a 的取值范围是 (−4,−2)．【知识点】对数函数及其性质、函数的零点分布6. 【答案】C【解析】对于①，当 M =N ≤0 时，log a M ，log a N 都没有意义，故不成立；对于②，log a M =log a N ，则必有 M >0，N >0，M =N ，故成立；对于③，当 M ，N 互为相反数且不为 0 时，也有 log a M 2=log a N 2，但此时 M ≠N ，故不成立；对于④，当 M =N =0 时，log a M 2，log a N 2 都没有意义，故不成立．综上，只有②正确．【知识点】对数的概念与运算7. 【答案】C【解析】当 x ∈(−1,0) 时，x +1∈(0,1)，f (x )=1f (x+1)−1=1x+1−1，若函数 g (x )=∣∣f (x )−12∣∣−mx −m +1 在 (−1,1] 内恰有 3 个零点，即方程 ∣∣f (x )−12∣∣−mx −m +1=0 在 (−1,1] 内恰有 3 个根，也就是函数 y =∣∣f (x )−12∣∣ 与 y =mx +m −1 的图象有三个不同交点，作出函数图象如图：由图可知，过点 (−1,−1) 与点 (−13,0) 的直线的斜率为 32；设过点 (−1,1)，且与曲线 y =1x+1−1−12=−3x−12(x+1) 相切的切点为 (x 0,y 0)，则 yʹ∣x=x 0=−1(x 0+1)2=y 0−1x0−(−1)，又因为 y 0=−3x 0−12(x 0+1)，解得 {x 0=−15,y 0=−14,则切点为 (−15,−14)．所以切线的斜率为 k =1+14−1−(−15)=−2516，由对称性可知，过点 (−1,−1) 与曲线 ∣∣f (x )−12∣∣ 在 (−1,0) 上相切的切线的斜率为 2516．所以使函数 y =∣∣f (x )−12∣∣与 y =mx +m −1 的图象有三个不同交点的 m 的取值范围为(32,2516)．【知识点】函数的零点分布、利用导数求函数的切线方程8. 【答案】A【解析】因为 Δ=(2m )2−4(m +6)≥0，所以 m 2−m −6≥0，所以 m ≥3 或 m ≤−2．而(α−1)2+(β−1)2=α2+β2−2(α+β)+2=(α+β)2−2αβ−2(α+β)+2=(2m )2−2(m +6)−2(2m )+2=4m 2−6m −10=4(m −34)2−494,因为 m ≥3，或 m ≤−2，所以当 m =3 时，(α−1)2+(β−1)2 的最小值为 8，故选A ．【知识点】函数的最大（小）值9. 【答案】D【解析】因为 c <d <0，所以 0<−d <−c ，又 0ac ，又因为 cd >0，所以 bdcd >accd ，即 bc >ad ．【知识点】不等式的性质10. 【答案】D【解析】 l =4R −2R =2R ，α=lR =2R R=2，可得：S 扇形=12lR =12×2R ×R =R 2，可得：S 三角形=12×2Rsin1×Rcos1=sin1⋅cos1⋅R 2，可得：S弓形=S扇形−S三角形=R2−sin1⋅cos1⋅R2 =(1−sin1cos1)R2.【知识点】弧度制二、填空题（共10题）11. 【答案】√53；6+4√515【知识点】两角和与差的余弦12. 【答案】a<−1【知识点】函数的定义域的概念与求法、对数函数及其性质13. 【答案】7【知识点】函数的零点分布、函数的周期性14. 【答案】5【解析】设经过n小时后才能开车，由题意得0.3(1−0.25)n≤0.09，所以(34)n≤0.3，所以nlg34≤lg310<0，所以n≥lg3−1lg3−2lg2=0.48−10.48−0.6=133，解得n≥133，故至少经过5小时才能开车．故答案为：5．【知识点】函数模型的综合应用15. 【答案】23【解析】将函数变形为方程，可得(x−3)2+(y+2)2=13,x∈[0,6],y≥0，其图象如图所示．过点O作该图象所在圆M的切线OA，将该函数的图象绕原点逆时针旋转时，其最大的旋转角为∠AOy，此时曲线C都是一个函数的图象，因为k OA=−1k OM =32，所以tan∠AOy=23．【知识点】函数的相关概念16. 【答案】 {1,log 23,log 25}【解析】设 A ={a,b,c }(a <b <c )，则 {a +b =log 26,b +c =log 215,c +a =log 210,所以 a +b +c =log 230，所以 a =1，b =log 23，c =log 25，所以 A ={1,log 23,log 25}．【知识点】元素和集合的关系17. 【答案】 0<a ≤3【知识点】充分条件与必要条件18. 【答案】 −√74【解析】因为 sinα+cosα=12，所以 1+2sinαcosα=14，所以 2sinαcosα=−34，则 (cosα−sinα)2=1−2sinαcosα=74．又因为 α 为第二象限角，所以 cosα<0，sinα>0，则 cosα−sinα=−√72，所以cos2α=cos 2α−sin 2α=(cosα+sinα)(cosα+sinα)=12×(−√72)=−√74. 【知识点】二倍角公式19. 【答案】 1≤a ≤√2【解析】因为函数 f (x ) 满足 f (x +2)=f (x )−2，所以若 x ∈(−6,−4] 时，则 x +2∈(−4,−2]，x +4∈(−2,0]，若 x +6∈(0,2]，即若 x ∈(−6,−5] 时，则 x +2∈(−4,−3]，x +4∈(−2,−1]，若 x +6∈(0,1]，则f (x )=2+f (x +2)=4+f (x +4)=6+f (x +6)=6+(x +6)2−(x +6)−6=x 2+11x +30,若 x ∈(−5,−4] 时，则 x +2∈(−3,−2]，x +4∈(−1,0]，若 x +6∈(1,2]，则 f (x )=2+f (x +2)=4+f (x +4)=6+f (x +6)=6−2x+6−1−5=1−2x+5,由 af (x )−a 2+2=0(a >0) 得 af (x )=a 2−2(a >0)，即 f (x )=a −2a (a >0)．作出函数 f (x ) 在 x ∈(−6,−4] 的图象如图．在函数的值域为 −1≤f (x )≤0，由 −1≤a −2a≤0，得 {a −2a ≥−1,a −2a ≤0,即 {a 2+a −2≥0,a 2−2≤0, 即 {a ≥1 或 a ≤−2,−√2≤a ≤√2,因为 a >0，所以 1≤a ≤√2．【知识点】函数的零点分布20. 【答案】 0 ； 2√2−3【解析】因为 f (−3)=lg [(−3)2+1]=lg10=1，所以 f(f (−3))=f (1)=1+2−3=0．当x ≥1 时，x +2x −3≥2√x ⋅2x −3=2√2−3，当且仅当 x =2x ，即 x =√2 时等号成立，此时 f (x )min =2√2−3<0；当 x <1 时，lg (x 2+1)≥lg (02+1)=0，此时 f (x )min =0．所以f(x)的最小值为2√2−3．【知识点】函数的最大（小）值、分段函数三、解答题（共10题）21. 【答案】设扇形的圆心角为θ(0<θ<2π)，半径为r，弧长为l，面积为S，则l+2r=40，所以l=40−2r．S=12lr=12(40−2r)r=20r−r2=−(r−10)2+100．所以当r=10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，此时θ=lr =40−2×1010=2．【知识点】弧度制22. 【答案】(1) 因为实数a，b是常数，函数f(x)=(√1+x+√1−x+a)(√1−x2+b)，所以由{1+x≥0,1−x≥0,1−x2≥0.解得−1≤x≤1．所以函数的定义域是[−1,1]．对于任意x∈[−1,1]，有−x∈[−1,1]，且f(−x)=(√1+(−x)+√1−(−x)+a)(√1−(−x)2+b)=(√1−x+√1+x+a)(√1−x2+b)=f(x),即f(−x)=f(x)对x∈[−1,1]都成立．（又f(x)不恒为零）所以，函数f(x)是偶函数．（该函数是偶函数不是奇函数也可以）(2) 因为a=−3，b=1，所以f(x)=(√1+x+√1−x−3)(√1−x2+1)．设t=√1+x+√1−x(−1≤x≤1)，则t2=2+2√1−x2．所以0≤√1−x2≤1，2≤t2≤4(t≥0)，即√2≤t≤2．所以D=[√2,2]．于是，g(t)=12(t3−3t2)的定义域为D=[√2,2]．对于任意的t1,t2∈D，且t1<t2，有g(t1)−g(t2)=12[t13−3t12−(t23−3t22)]=12[(t1−t2)(t12+t1t2+t22)−3(t1−t2)(t1+t2)]=12(t1−t2)[(t12−2t1)+(t22−2t2)+(12t1t2−t1)+(12t1t2−t2)]=12(t1−t2)[t1(t1−2)+t2(t2−2)+12t1(t2−2)+12t2(t1−2)].又t1>0，t2>0，t1−t2<0，且t1−2≤0，t2−2≤0（这里二者的等号不能同时成立），所以12(t1−t2)[t1(t1−2)+t2(t2−2)+12t1(t2−2)+12t2(t1−2)]>0，即g(t1)−g(t2)>0，g(t1)>g(t2)．所以函数g(t)在D上是减函数．所以(g(t))min =g(2)=12×(23−3×22)=−2.又因为函数f(x)的值域与函数g(t)=12(t3−3t2)的值域相同，所以函数f(x)的最小值为−2．【知识点】函数的值域的概念与求法、函数的奇偶性23. 【答案】(1) g(x)=x+sin x3，所以cosg(x+6π)=cos(x+6π+sin x+6π3)=cos(x+sin x3)=cosg(x)，所以g(x)是以6π为周期的余弦周期函数．(2) 因为f(x)的值域为R；所以存在x0，使f(x0)=c；又c∈[f(a),f(b)]，所以f(a)≤f(x0)≤f(b)，而f(x)为增函数；所以a≤x0≤b；即存在x0∈[a,b]，使f(x0)=c；(3) 若u0+T为方程cosf(x)=1在区间[T,2T]上的解；则：cosf(u0+T)=1，T≤u0+T≤2T；所以cosf(u0)=1，且0≤u0≤T；所以u0为方程cosf(x)=1在[0,T]上的解；所以“u0为方程cosf(x)=1在[0,T]上得解”的充分条件是“u0+T为方程cosf(x)=1在区间[T,2T]上的解”；下面证明对任意x∈[0,T]，都有f(x+T)=f(x)+f(T)：①当x=0时，f(0)=0，所以显然成立；②当x=T时，cosf(2T)=cosf(T)=1；所以f(2T)=2k1π，(k1∈Z)，f(T)=4π，且2k1π>4π，所以k1>2；（1）若k1=3，f(2T)=6π，由（2）知存在x0∈(0,T)，使f(x0)=2π；cosf(x0+T)=cosf(x0)=1⇒f(x0+T)=2k2π，k2∈Z；所以f(T)<f(x0+T)<f(2T)；所以4π<2k2π<6π；所以2<k2<3，无解；（2）若k1≥5，f(2T)≥10π，则存在T<x1<x2<2T，使得f(x1)=6π，f(x2)=8π；则T，x1，x2，2T为cosf(x)=1在[T,2T]上的4个解；但方程cosf(x)=1在[0,2T]上只有f(x)=0，2π，4π，3个解，矛盾；（3）当k1=4时，f(2T)=8π=f(T)+f(T)，结论成立；③当x∈(0,T)时，f(x)∈(0,4π)，考查方程cosf(x)=c在(0,T)上的解；设其解为f(x1)，f(x2)，⋯，f(x n)，(x1<x2<⋯<x n)；则f(x1+T)，f(x2+T)，⋯，f(x n+T)为方程cosf(x)=c在(T,2T)上的解；又f(x+T)∈(4π,8π)；而f(x1)+4π,f(x2)+4π,⋯,f(x n)+4π∈(4π,8π)为方程cosf(x)=c在(T,2T)上的解；所以f(x i+T)=f(x i)+4π=f(x i)+f(T)；所以综上对任意x∈[0,T]，都有f(x+T)=f(x)+f(T)．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、二倍角公式24. 【答案】(1) 由已知得，f(x)=sin2x+cos2x+1=√2sin(2x+π4)+1．函数的最小正周期T=2π2=π．(2) 由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2（k∈Z）得，kπ−3π8≤x≤kπ+π8（k∈Z），又x∈[0,π2]，所以x∈[0,π8]，所以f(x)的单调递增区间为[0,π8]，由2kπ+π2−≤2x+π4≤2kπ+3π2（k∈Z）得，kπ+π8≤x≤kπ+5π8（k∈Z），又x∈[0,π2]，所以x∈[π8,π2 ]，所以f(x)的单调递减区间为[π8,π2 ]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质25. 【答案】(1) 由题意知 {4=a +b,16=a +b 2,解得 {a =0,b =4 或 {a =7,b =−3（舍去），所以 f (x )=4x ． (2) f (x )>(12)3−x2，所以 4x>(12)3−x2，所以 22x >2x 2−3，所以 2x >x 2−3，解得 −1<x <3，所以不等式的解集为 (−1,3)． (3) 因为g (x )=log 2f (x )+x 2−6=log 24x +x 2−6=2x +x 2−6=(x +1)2−7,因为 x ∈(−3,4]，所以当 x =−1 时，g (x )min =−7，当 x =4 时，g (x )max =18，所以函数 g (x )=log 2f (x )+x 2−6 的值域为 [−7,18]．【知识点】函数的解析式的概念与求法、指数函数及其性质、函数的值域的概念与求法26. 【答案】(1) 不是； (2) 反证法，略．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质27. 【答案】(1) f (x ) 的定义域为 {x∣ x ≠0}．设 f (x )=1x −1 是为 Ψ 函数，则存在实数 a ，b ，使得 f (a −x )+f (a +x )=b 对任意满足 a −x ∈D 且 a +x ∈D 的 x 恒成立，即 1a−x +1a+x −2=b ，所以 (b +2)(a 2−x 2)=2a 恒成立，所以 a =0，b =−2．所以存在 a =0，b =−2，使得 f (a −x )+f (a +x )=b 对任意 x ≠±a 恒成立．所以 f (x )=1x −1 是 Ψ 函数．(2) 若 g (a +x )+g (a −x )=12a−x +t +12a+x +t =b 恒成立，则 2a+x +2a−x +2t =b (2a+x +t )(2a−x +t ) 恒成立，即 (1−bt )(2a+x +2a−x )=b (22a +t 2)−2t 恒成立，所以 1−bt =0，b (22a +t 2)−2t =0，又 t ≠0，所以 b =1t ，a =log 2∣t∣．所以存在实数 a ，b 使得 g (x ) 是 Ψ 函数．(3) 因为函数 ℎ(x ) 的图象关于直线 x =m （m 为常数）对称，所以 ℎ(m −x )=ℎ(m +x )，所以当 m ≠a 时， ℎ(x +2m −2a )=ℎ[m +(x +m −2a )]=ℎ[m −(x +m −2a )]=ℎ(2a −x )=ℎ(a +(a −x )),又 ℎ(a +x )+ℎ(a −x )=b ，所以 ℎ(a +(a −x ))=b −ℎ[a −(a −x )]=b −ℎ(x )，所以 ℎ(x +2m −2a )=b −ℎ(x )，ℎ(x )=b −ℎ(x +2m −2a )=ℎ(x +2m −2a +2m −2a )=ℎ(x +4m −4a )．所以 ℎ(x ) 为周期函数，周期为 4m −4a ．若 m =a ，则 ℎ(a −x )=ℎ(a +x )，且 ℎ(a −x )=b −ℎ(a +x )，所以 ℎ(a +x )=b2，显然 ℎ(x ) 是周期函数．综上，ℎ(x ) 是周期函数．【知识点】函数的对称性、函数的周期性、幂函数及其性质、指数函数及其性质28. 【答案】(1) g (x )=−x 2+2x ，(2) ℎ(x )=−(1+λ)x 2+2(1−λ)x +1，当 λ=−1 时，ℎ(x )=4x +1 在 [−1,1] 上显然为增函数，当 λ≠−1 时，可得 {1+λ>0,1−λ1+λ≥1, 或 {1+λ>0,1−λ1+λ≤−1,⇒−1<λ≤0 或 λ<−1，综上所述，所求 λ 的取值范围是 λ=−1 或 −1<λ≤0 或 λ<−1，即 λ≤0．【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的单调性29. 【答案】(1) 由题知，sinα=4√37，sin (α+β)=5√314，所以，cosβ=cos (α+β−α)=cos (α+β)cosα+sin (α+β)sinα=12． (2) 因为 0<α−β<π4，cos (α−β)=1213，所以 sin (α−β)=513，因为 π<α+β<3π2，sin (α+β)=−35，所以 cos (α+β)=−45，所以 sin2α=sin [(α−β)+(α+β)]=sin (α−β)cos (α+β)+cos (α−β)sin (α+β)=−5665．【知识点】两角和与差的正弦、两角和与差的余弦30. 【答案】(1) 找出关键的五个点，列表如下： x −2π−3π2−π−π2y =sinx 010−10y =1−sinx10121描点作图，如图所示．(2) 由于 y =sin (x +π)−1=−sinx −1，找出关键的五个点，列表如下： x −2π−3π2−π−π20y =sinx 010−10y =−sinx −1−1−2−10−1描点作图，如图所示．【知识点】正弦函数的图象。

人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(52)

人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1. 已知 a 1，a 2，b 1，b 2 均为非零实数，不等式 a 1x +b 1<0 与不等式 a 2x +b 2<0 的解所组成的集合分别为集合 M 和集合 N ，则“a 1a 2=b 1b 2”是“M =N ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充要条件D ．必要不充分条件2. 下面各组角中，终边相同的是 ( ) A ． 390∘，690∘ B ． −330∘，750∘ C ． 480∘，−420∘D ． 3000∘，−840∘3. 若对于任意实数 x 总有 f (−x )=f (x )，且 f (x ) 在区间 (−∞,−1] 上是增函数，则 ( ) A ． f (−32)<f (−1)<f (2) B ． f (−1)<f (−32)<f (2) C ． f (2)<f (−1)<f (−32)D ． f (2)<f (−32)<f (−1)4. 函数 f (x )=(x +sinx )cosx 的部分图象大致为 ( )A ．B ．C．D．5.集合A={x∣ −1<x<3}，B={x∣ x2+x−6<0,x∈Z}，则A∩B=( )A．(−1,2)B．(−3,3)C．{0,1}D．{0,1,2}6.已知集合A={x∣ 1≤x<3}，B={x∣ x2≤4}，则A∩B=( )A．{x∣ 1≤x<2}B．{x∣ −2≤x<1}C．{x∣ 1≤x≤2}D．{x∣ 1<x≤2}7.已知cos(π2+α)=√33(−π2<α<π2)，则sin(α+π3)=( )A．3√2−√36B．3√2+√36C．√6−36D．√6+368.设集合M={x∈R∣ 0≤x≤2}，N={x∈R∣ −1<x<1}，则M∩N=( )A．{x∣ 0≤x≤1}B．{x∣ 0≤x<1}C．{x∣ 1<x≤2}D．{x∣ −1<x≤2}9. 式子 a√−1a 经过计算可得 ( ) A ． √−a B ． √a C ． −√a D ． −√−a10. 设集合 A ={x∣ −1<x ≤1}，B ={−1,0,1,2}，则 A ∩B = ( )A ． {−1,0,1}B ． {−1,0}C ． {0,1}D ． {1,2}二、填空题（共10题）11. 已知集合 A =(−2,3)，B =[−1,4]，则集合 A ∩B = ．12. 已知 a >0，b >0，则 a 2+4+4ab+4b 2a+2b的最小值为．13. 若 (3−2m )12>(m +1)12，则实数 m 的取值范围为．14. 若 cosα=13，则 sin (α−π2)= ．15. 若角 α 终边经过点 P (−1,2)，则 tanα= ．16. 二次函数 y =ax 2+bx +c (x ∈R ) 的部分对应值如表：x−3−2−101234y 60−4−6−6−406则不等式 ax 2+bx +c >0 的解集是．17. 已知 a >b >0，则 a +4a+b +1a−b 的最小值为．18. 若 π2<α<π 且 cosα=−13，则 tanα= ．19. 如果 α∈(π2,π)，且 sinα=45，那么 sin (α+π4)+cos (α+π4)= ．20. 已知函数 f (x )=1+∣x∣−x 2(−2<x ≤2)．用分段函数的形折表示该函数为；该函数的值域为．三、解答题（共10题）21.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数y=f(x)的单调区间及在每一单调区间上的单调性．(1) y=x2−5x−6；(2) y=9−x2．22.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．(1) 对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．对数运算性质的推导有很多方法．请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，那么log a M n=nlog a M(n∈R)．(2) 请你运用上述对数运算性质计算lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)的值．(3) 因为210=1024∈(103,104)，所以210的位数为4（一个自然数数位的个数，叫做位数）．请你运用所学过的对数运算的知识，判断20192020的位数．（注：lg2019≈3.305）．23.回答下列问题：(1) 将log232=5化成指数式；(2) 将3−3=127化成对数式；(3) 已知log4x=−32，求x；(4) 已知log2(log3x)=1，求x．24.写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：(1) p：不论m取何实数，方程x2+mx−1=0必有实根；(2) ∀x,y∈R，x2+y2+2x−4y+5=0．25.已知集合A={x∣2−a≤x≤2+a}，B={x∣∣x≤1或x≥4}．(1) 当a=3时，求A∩B；(2) 若A∩B=∅，求实数a的取值范围．26.已知函数f(x)=log a(x+2)−1，其中a>1．(1) 若f(x)在[0,1]上的最大值与最小值互为相反数，求a的值．(2) 若f(x)的图象不经过第二象限，求a的取值范围．27.求2π3的六个三角比的值．28.子集（1）对于两个集合A和B，如果集合A中都属于集合B（若a∈A，则a∈B），那么集合A叫做集合B的子集，记作或，读作“ ”或“ ”．可用文氏图表示为（2）子集的性质：①A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集；②∅⊆A，即空集是任何集合的子集．问题：集合A是集合B的子集的含义是什么？,b}，Q={0,a+b,b2}，且P=Q．求a2018+b2019的值．29.已知集合P={1,ab30.已知集合A={x∣ 1≤x≤2}，B={x∣ 1≤x≤a,a≥1}．(1) 若A⫋B，求a的取值范围；(2) 若B⊆A，求a的取值范围．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】取 a 1=b 1=1，a 2=b 2=−1，则可得 M =(−∞,−1)，N =(−1,+∞)，M ≠N ，因此不是充分条件，而由 M =N ，显然可以得到 a 1a 2=b 1b 2，所以是必要条件．故选D ．【知识点】充分条件与必要条件2. 【答案】B【解析】因为 390∘=360∘+30∘，690∘=720∘−30∘，所以 390∘ 与 690∘ 终边不同，A 错误；因为 −330∘=−360∘+30∘，750∘=720∘+30∘，所以 −330∘ 与 750∘ 终边相同，B 正确；因为 480∘=360∘+120∘，−420∘=−360∘−60∘，所以 480∘ 与 −420∘ 终边不同，C 错误；因为 3000∘=2880∘+120∘，−840∘=−720∘−120∘，所以 3000∘ 与 −840∘ 终边不同，D 错误．故选B ．【知识点】任意角的概念3. 【答案】D【解析】由 f (−x )=f (x ) 可得 f (x ) 为偶函数，且在 (−∞,1] 上单增，由偶函数性质可知其在区间 [1,+∞) 上，因为 f (−32)=f (32)，f (−1)=f (1)，所以 f (2)<f (−32)<f (−1)．【知识点】函数的单调性4. 【答案】D【解析】因为函数 f (x ) 为奇函数，故排除B ，又因为当 x ∈(0,π2) 时，f (x )>0，当 x ∈(π2,π)时，f (x )<0，故排除C ，A ．【知识点】函数的奇偶性、函数图象5. 【答案】C【解析】 B ={x∣ x 2+x −6<0,x ∈Z }={x∣ −3<x <2,x ∈Z }={−2,−1,0,1}，又 A ={x∣ −1<x <3}，所以 A ∩B ={0,1}，故选C ．【知识点】交、并、补集运算6. 【答案】C【知识点】二次不等式的解法、交、并、补集运算7. 【答案】A【解析】因为cos(π2+α)=−sinα=√33，所以sinα=−√33，所以−π2<α<0，所以cosα=√63，所以sin(α+π3)=sinαcosπ3+cosαsinπ3 =−√33×12+√63×√32=3√2−√36,故选A．【知识点】两角和与差的正弦8. 【答案】B【解析】因为M={x∈R∣ 0≤x≤2}，N={x∈R∣ −1<x<1}，所以M∩N={x∣ 0≤x<1}．【知识点】交、并、补集运算9. 【答案】D【解析】因为√−1a 成立，所以a<0，所以a√−1a=−√−a2a=−√−a．故选D．【知识点】幂的概念与运算10. 【答案】C【解析】A∩B={0,1}．【知识点】交、并、补集运算二、填空题（共10题）11. 【答案】[−1,3)【知识点】交、并、补集运算12. 【答案】 4【解析】由a 2+4+4ab+4b 2a+2b=(a+2b )2+4a+2b=(a +2b )+4a+2b ，因为 a >0，b >0，所以 a +2b >0，4a+2b >0，所以 (a +2b )+4a+2b≥2√(a +2b )⋅4a+2b=4，当且仅当 a +2b =2 时取等号，即a 2+4+4ab+4b 2a+2b的最小值为 4．【知识点】均值不等式的应用13. 【答案】 [−1,23)【知识点】幂函数及其性质14. 【答案】 −13【知识点】诱导公式15. 【答案】 −2【知识点】任意角的三角函数定义16. 【答案】 (−∞,−2)∪(3,+∞)【知识点】二次不等式的解法17. 【答案】 3√2【解析】 4a+b +1a−b =22a+b +12a−b ≥(2+1)2(a+b )+(a−b )=92a ，所以 a +4a+b +1a−b≥a +92a≥2√a ⋅92a=3√2，当且仅当 {2a+b=1a−b,a =92a,即 a =3√22，b =√22时等号成立．【知识点】均值不等式的应用18. 【答案】 −2√2【知识点】同角三角函数的基本关系19. 【答案】 −3√25【知识点】两角和与差的余弦、两角和与差的正弦20. 【答案】 f(x)={1−x,−2<x ≤01,0<x ≤2； [1,3)【解析】 f (x )=1+∣x∣−x 2(−2<x ≤2)，当 −2<x ≤0 时，f (x )=1−x ；当 0<x ≤2 时，f (x )=1．所以函数 f (x )={1−x,−2<x ≤01,0<x ≤2，函数 f (x ) 的图象如图所示：根据图象，得函数 f (x ) 的值域为 [1,3)．【知识点】分段函数、函数的值域的概念与求法三、解答题（共10题） 21. 【答案】(1) 图略．函数 y =x 2−5x −6 在 (−∞,52] 上单调递减，在 [52,+∞) 上单调递增． (2) 函数 y =9−x 2 在 (−∞,0] 上单调递增，在 [0,+∞) 上单调递减．【知识点】函数的单调性22. 【答案】(1) (a m )n =a mn ， log a (a m )n =log a a mn ， log a (a m )n =mn ，令 a m =M ，则 m =log a M ，则 log a M n =nlog a M ．(2) lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)=lg32lg2(3lg22lg3+4lg23lg3)=34+23=1712． (3) lg20192020=2020lg2019≈2020×3.305=6676.1，所以20192020≈106676.1∈(106676,106677)，所以20192020位数为6677．【知识点】对数的概念与运算23. 【答案】(1) 因为log232=5，所以25=32．(2) 因为3−3=127，所以log3127=−3．(3) 因为log4x=−32，所以x=4−32=22×(−32)=2−3=18．(4) 因为log2(log3x)=1，所以log3x=2，即x=32=9．【知识点】对数的概念与运算24. 【答案】(1) ¬p：存在一个实数m，使方程x2+mx−1=0没有实数根．因为该方程的判别式Δ=m2+4>0恒成立，所以¬p为假命题．(2) ¬p：∃x,y∈R，x2+y2+2x−4y+5≠0．因为x2+y2+2x−4y+5=(x+1)2+(y−2)2，当x=0，y=0时，x2+y2+2x−4y+5≠0成立，所以¬p为真命题．【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断、全（特）称命题的否定、复合命题的概念与真假判断25. 【答案】(1) 当a=3时，A={x∣−1≤x≤5}，B={x∣∣x≤1或x≥4}，所以A∩B={x∣∣−1≤x≤1或4≤x≤5}．(2) ①若A=∅，则2−a>2+a，解得a<0，满足A∩B=∅；②若A≠∅，则2−a≤x≤2+a，所以a≥0．因为A∩B=∅，所以{2−a>1,2+a<4,解得0≤a<1．综上，实数a的取值范围是(−∞,1)．【知识点】交、并、补集运算26. 【答案】(1) 函数f(x)=log a(x+2)−1的定义域是(−2,+∞)．因为a>1，所以f(x)=log a(x+2)−1是[0,1]上的增函数．所以f(x)在[0,1]上的最大值是f(1)=log a3−1；最小值是f(0)=log a2−1．依题意，得log a3−1=−(log a2−1)，解得a=√6．(2) 由（1）知，f(x)=log a(x+2)−1是(−2,+∞)上的增函数．在f(x)的解析式中，令x=0，得f(0)=log a2−1，所以，f(x)的图象与y轴交于点(0,log a2−1)．依题意，得f(0)=log a2−1≤0．解得a≥2．【知识点】函数的最大（小）值、对数函数及其性质27. 【答案】sin2π3=√32，cos2π3=−12，tan2π3=−√3，cot2π3=−√33，sec2π3=−2，csc2π3=23√3．【知识点】任意角的三角函数定义28. 【答案】（1）任何一个元素；A⊆B；B⊇A；A包含于B；B包含A（2）集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B．例如{0,1}⊆{−1,0,1}，则由0∈{0,1}能推出0∈{−1,0,1}．【知识点】包含关系、子集与真子集29. 【答案】−1．【知识点】集合相等30. 【答案】(1) 若A⫋B，由下图可知，a>2．(2) 若B⊆A，由下图可知，1≤a≤2．【知识点】包含关系、子集与真子集11。

人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(39)

人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1. 设函数 f (x ) 的定义城为 A ，如果对于任意的 x 1∈A ，都存在 x 2∈A ，使得 f (x 1)+f (x 2)=2m （其中 m 为常数）成立，则称函数 f (x ) 在 A 上“与常数 m 相关联”．给定函数：① y =1x ；② y =x 3；③ y =(12)x；④ y =lnx ；⑤ y =cosx +1，则在其定义域上与常数 1 相关联的所有函数是 ( ) A ．①②⑤ B ．①③ C ．②④⑤ D ．②④2. 设全集为 R ，A ={x ∣x 2−5x −6>0}，B ={x ∣−2<x <12}，则 ( ) A ． (∁R A )∪B =R B ． A ∪(∁R B )=R C ． (∁R A )∪(∁R B )=RD ． A ∪B =R3. 已知函数 f (x )={log 2(x +1),x ≥11,x <1，则满足 f (2x +1)<f (3x −2) 的实数 x 的取值范围是( ) A ． (−∞,0] B ． (3,+∞) C ． [1,3) D ． (0,1)4. 已知函数 f (x )={x 2+4a,x >01+log a ∣x −1∣,x ≤0（a >0，且 a ≠1）在 R 上单调递增，若关于 x 的方程 ∣f (x )∣=x +3 恰好有两个互异的实数解，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (34,1316]B ． (0,34]∪{1316}C ． [14,34)∪{1316}D ． [14,34]∪{1316}5. 已知 cosα+cosβ=12，sinα+sinβ=√32，则 cos (α−β)= ( ) A ． −12B ． −√32C ． 12D ． 16. 已知函数 f (x )=m 2x 2−2mx −√x +1−m 区间 [0,1] 上有且只有一个零点，则正实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (0,1]∪[2√3,+∞) B ． (0,√2]∪[3,+∞)C ． (0,√2]∪[2√3,+∞)D ． (0,1]∪[3,+∞)7. 已知函数 f (x )=sin2x ，x ∈[a,b ]，则“b −a ≥π2”是“f (x ) 的值域为 [−1,1]”的 ( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8. 已知函数 f (x )={(2a −1)x +a,x ≥2log a (x −1),1<x <2 是 (1,+∞) 上的减函数，则实数 a 的取值范围是( ) A ． [25,12)B ． (0,25]C ． (0,12)D ． (0,15]9. 函数 f (x )=lnx +2x −6 的零点一定位于区间 ( ) A ． (1,2) B ． (2,3) C ． (3,4) D ． (4,5)10. 已知 a =log 0.92019，b =20190.9，c =0.92019，则 ( ) A ． a <c <b B ． a <b <c C ． b <a <c D ． b <c <a二、填空题（共10题） 11. 已知函数 f (x )=3x −13x +1，若不式 f (kx 2)+f (2x −1)<0 对任意 x ∈R 恒成立，则实数 k 的取值范围是．12. 已知函数 f (x )=lg 1−x 1+x ，若 f (a )=b ，则 f (−a )= ．13. 已知一次函数 f (x ) 满足 f [f (x )]=4x +3，且 f (x ) 在 R 上为单调递增函数，则 f (1)= ．14. 已知 f (x ) 是以 2e 为周期的 R 上的奇函数，当 x ∈(0,e )，f (x )=lnx ，若在区间 [−e,3e ]，关于 x 的方程 f (x )=kx 恰有 4 个不同的解，则 k 的取值范围是．15. 已知函数 f (x )={∣x 2+5x +4∣,x ≤0,2∣x −2∣,x >0,若函数 y =f (x )−a∣x∣ 恰有 4 个零点，则实数 a 的取值范围为．16. 用二分法求函数 y =f (x ) 在区间 [2,4] 上零点的近似解，经验证有 f (2)f (4)<0．取区间的中点 x 1=2+42=3，计算得 f (2)f (x 1)<0，则此时零点 x 0∈ （填区间）．17. 函数 f (x )=2x 与 g (x )=x 2 的图象交点个数是个．18. 若某种参考书每本 2.5 元，则购书 x 本这种参考书的费用 y 关于 x 的函数表达式为．19.已知13≤k<1，函数f(x)=∣2x−1∣−k的零点分别为x1，x2（x1<x2），函数g(x)=∣2x−1∣−k2k+1的零点分别为x3，x4（x3<x4），则(x4−x3)+(x2−x1)的最小值为．20.已知函数f(x)=∣∣x+1x∣∣，给出下列命题：①存在实数a，使得函数y=f(x)+f(x−a)为奇函数；②对任意实数a，均存在实数m，使得函数y=f(x)+f(x−a)关于x=m对称；③若对任意非零实数a，f(x)+f(x−a)≥k都成立，则实数k的取值范围为(−∞,4]；④存在实数k，使得函数y=f(x)+f(x−a)−k对任意非零实数a均存在6个零点．其中的真命题是．（写出所有真命题的序号）三、解答题（共10题）21.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为单位圆与x轴正半轴的交点，点P为单位圆上的一点，且∠AOP=π4，点P沿单位圆按逆时针方向旋转角θ后到点Q(a,b)．(1) 当θ=π6时，求ab的值；(2) 设θ∈[π4,π2]，求b−a的取值范围．22.化简：(1) 1+sin(α−2π)sin(π+α)−2cos2(−α)；(2) sin(−1071∘)sin99∘+sin(−171∘)sin(−261∘)．23.已知f(x)=e x−ae x是奇函数（e为自然对数的底数）．(1) 求实数a的值；(2) 求函数y=e2x+e−2x−2λf(x)在[0,+∞)上的值域；(3) 令g(x)=f(x)+x，求不等式g((log2x)2)+g(2log2x−3)≥0的解集．24. 已知 α，β 为锐角，tanα=43，cos (α+β)=−√55． (1) 求 cos2α 的值； (2) 求 tan (α−β) 的值．25. 设函数 f (x )=∣x −a ∣，a ∈R ．(1) 当 a =2 时，解不等式：f (x )≥6−∣2x −5∣；(2) 若关于 x 的不等式 f (x )≤4 的解集为 [−1,7]，且两正数 s 和 t 满足 2s +t =a ，求证：1s+8t ≥6．26. 已知 a ≥1，函数 f (x )=sin (x +π4)，g (x )=−sinxcosx −1+√2af (x )．(1) 若 f (x ) 在 [−b,b ] 上单调递增，求正数 b 的最大值； (2) 若函数 g (x ) 在 [0,3π4] 内恰有一个零点，求 a 的取值范围．27. 对于函数 f (x )=ax 2+(b +1)x +b −2，(a ≠0)，若存在实数 x 0，使 f (x 0)=x 0 成立，则称x 0 为 f (x ) 的不动点．(1) 当 a =2，b =−2 时，求 f (x ) 的不动点；(2) 当 a =2 时，函数 f (x ) 在 (−2,3) 内有两个不同的不动点，求实数 b 的取值范围； (3) 若对于任意实数 b ，函数 f (x ) 恒有两个不相同的不动点，求实数 a 的取值范围．28. 用适当的方法表示下列集合：(1) 二次函数 y =x 2−4 的函数值组成的集合； (2) 反比例函数 y =2x 的自变量组成的集合； (3) 不等式 3x ≥4−2x 的解集．29. 已知定义在 R 上的奇函数 f (x )，当 x ≤0 时，f (x )=x 2+4x ．(1) 求出 f (x ) 的解析式，并直接写出 f (x ) 的单调区间． (2) 求不等式 f (x )>3 的解集．30. 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2016 年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量 p 万件与促销费用 x 万元满足 p =3−2x+1（其中 0≤x ≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本10+2p万元（不含促销费用），每一件产品的)元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．销售价格定为(4+20p(1) 将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2) 促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】若在其定义域上与常数 1 相关联，则满足 f (x 1)+f (x 2)=2． ① y =1x 的定义域为 {x∣ x ≠0}，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 1x 1+1x 2=2，即 1x 2=2−1x 1，当 x 1=12 时，2−1x 1=2−2=0，此时 1x 2=0 无解，不满足条件；② y =x 3 的定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 (x 1)3+(x 2)3=2，即 x 2=√2−x 133唯一，满足条件；③ y =(12)x 定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 (12)x 1+(12)x 2=2，即 (12)x 2=2−(12)x 1，当 x 1=−2 时，(12)x 2=2−(12)x 1=2−4=−2，无解，不满足条件；④ y =lnx 定义域为 {x∣ x >0}，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 lnx 1+lnx 2=2，得 lnx 1x 2=2，即 x 1x 2=e 2，x 2=e 2x 1，满足唯一性，满足条件；⑤ y =cosx +1 的定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 cosx 1+cosx 2=2，得 cosx 2=2−cosx 1，当 x 1=π3 时，cosx 2=2−cosx 1=2−0=2，无解，不满足条件．故满足条件的函数是②④．【知识点】余弦函数的性质、对数函数及其性质、幂函数及其性质、指数函数及其性质2. 【答案】D【知识点】交、并、补集运算3. 【答案】B【解析】法一：由 f (x )={log 2(x +1),x ≥11,x <1可得当 x <1 时，f (x )=1；当 x ≥1 时，函数 f (x ) 在 [1,+∞) 上单调递增，且 f (1)=log 22=1，要使得 f (2x +1)<f (3x −2)，则 {2x +1<3x −2,3x −2>1, 解得 x >3，即不等式 f (2x +1)<f (3x −2) 的解集为 (3,+∞)．法二：当 x ≥1 时，函数 f (x ) 在 [1,+∞) 上单调递增，且 f (x )≥f (1)=1，要使 f (2x +1)<f (3x −2) 成立，需 {2x +1≥1,2x +1<3x −2 或 {2x +1<1,3x −2>1,解得 x >3．【知识点】函数的单调性4. 【答案】D【解析】由函数的解析式可知函数在区间(0,+∞)上单调递增，当x≤0时，函数y=∣x−1∣单调递减，由复合函数的单调性法则可知：0<a<1，且函数在x=0处满足：02+4a≥1+log a∣0−1∣，解得：a≥14，故14≤a<1，方程∣f(x)∣=x+3恰有两个不相等的实数解，则函数∣f(x)∣与函数y=x+3的图象有且仅有两个不同的交点，绘制函数∣f(x)∣的图象如图中虚线所示，令1+log a∣x−1∣=0可得：x=1±1a，由14≤a<1可知1+1a>1，1−1a≥−3，则直线y=x+3与函数∣f(x)∣的图象在区间(−∞,0]上存在唯一的交点，原问题转化为函数y=x+3与二次函数y=x2+4a(14≤a<1)在区间(0,+∞)上存在唯一的交点，很明显当4a≤3，即a≤34时满足题意，当直线与二次函数相切时，设切点坐标为(x0,x02+4a)，亦即(x0,x0+3)，由函数的解析式可得：yʹ=2x，故2x0=1，x0=12，则x0+3=72，故切点坐标(12,72)，从而x02+4a=72，即14+4a=72，a=1316．据此可得：a的取值范围是[14,34]∪{1316}．【知识点】函数的零点分布5. 【答案】A【解析】由 cosα+cosβ=12，sinα+sinβ=√32，两边平方相加得，(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2=(12)2+(√32)2=1，所以 2+2cosαcosβ+2sinαsinβ=1，即 2(cosαcosβ+sinαsinβ)=−1，所以 cos (α−β)=−12．故选A ．【知识点】两角和与差的余弦6. 【答案】D【解析】由 f (x )=m 2x 2−2mx −√x +1−m =0，得 m 2x 2−2mx +1=√x +m ，令 g (x )=m 2x 2−2mx +1=(mx −1)2，ℎ(x )=√x +m ，问题等价于函数 g (x )=(mx −1)2 和 ℎ(x )=√x +m 的图象在区间 [0,1] 上有且只有一个交点．又函数 g (x )=(mx −1)2 的图象为经过点 (0,1)，对称轴为 x =1m 的抛物线，函数 ℎ(x )=√x +m 在区间 [0,1] 上单调递增，且图象经过点 (0,m ) 和 (1,1+m )． ①当 0<m ≤1 时，1m ≥1，所以函数 g (x )=(mx −1)2 在区间 [0,1] 上单调递减，又当 0<m ≤1 时，g (1)=(m −1)2<1，ℎ(1)=1+m >1，所以 g (1)<ℎ(1)，所以函数 g (x )=(mx −1)2 和 ℎ(x )=√x +m 的图象在区间 [0,1] 上有且只有一个交点． ②当 m >1 时，0<1m<1，在同一坐标系内做出两个函数的图象，如图所示．由图形可得，要使两个函数的图象有且只有一个交点，则需满足当 m >1 时，g (1)≥ℎ(1)，即 {m >1,m 2−3m ≥0,解得 m ≥3．综上，正实数 m 的取值范围是 (0,1]∪[3,+∞)．【知识点】函数的零点分布7. 【答案】B【解析】 f (x ) 的最小正周期 T =2π2=π，所以当 x ∈[a,b ] 时，f (x )∈[−1,1]，则 b −a ≥π2 恒成立，而当 a =0，b =π2时，a −b ≥π2，此时 f (x )∈[0,1]，故“b −a ≥π2”是“f (x ) 的值域为 [−1,1]”的必要而不充分条件．故B 选项符合题意．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】B【解析】因为函数 f (x )={(2a −1)x +a,x ≥2log a (x −1),1<x <2 是 (1,+∞) 上的减函数，所以 {2a −1<0,0<a <1,log a 1≥2(2a −1)+a,即 {a <12,0<a <1,a ≤25,解得 0<a ≤25．【知识点】函数的单调性9. 【答案】B【知识点】零点的存在性定理10. 【答案】A【解析】因为 a <0，b >1，0<c <1，所以 a <c <b ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质二、填空题（共10题） 11. 【答案】 (−∞,−1)【解析】易证 f (x )=3x −13x +1 为奇函数，所以 f (kx 2)+f (2x −1)<0⇒f (kx 2)<f (1−2x )．因为 f (x )=3x −13x +1=1−23x +1，所以 f (x ) 在 R 上单调递增，所以 f (kx 2)<f (1−2x )⇒kx 2<1−2x ⇒kx 2+2x −1<0 在 R 上恒成立，所以 {k <0,Δ=4+4k <0, 解得 k <−1，所以实数 k 的取值范围是 (−∞,−1)．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性12. 【答案】 −b【解析】由 1−x1+x >0，得 {1−x >0,1+x >0, 或 {1−x <0,1+x <0,所以 −1<x <1．故 f (x ) 的定义域为 (−1,1)，而 f (−x )=lg 1+x1−x =lg (1−x 1+x )−1=−lg 1−x1+x =−f (x )，所以 f (x ) 为奇函数，所以 f (−a )=−f (a )=−b ．【知识点】对数函数及其性质13. 【答案】 3【解析】根据题意，函数 f (x ) 是一次函数，设 f (x )=ax 十b ，则 f [f (x )]=a (ax +b )+b =a 2x +ab +b =4x +3，则有 {a 2=4,ab +b =3.解得：{a =2,b =1, 或 {a =−2,b =−3.又由 f (x ) 在 R 上为单调递增函数，则 f (x )=2x +1，故 f (1)=2+1=3．【知识点】函数的单调性14. 【答案】 (−∞,−1e]∪[13e ,1e)【知识点】函数的零点分布15. 【答案】(1,2)【解析】考查函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象的交点的情况，根据图象，得 a >0．当 a =2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 3 个交点；当 y =a ∣x ∣(x ≤0) 图象与 y =∣x 2+5x +4∣ 图象相切时，在整个定义域内，函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象有 5 个交点，此时，由 {y =−ax,y =−x 2−5x −4, 得 x 2+(5−a )x +4=0．由 Δ=0，解得 a =1 或 a =9（舍去）．故当 1<a <2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 4 个交点．【知识点】函数零点的概念与意义、函数图象16. 【答案】 (2,3)【解析】因为 x 1=3，且 f (2)⋅f (3)<0，所以 x 0∈(2,3)．【知识点】零点的存在性定理17. 【答案】 3【知识点】函数的零点分布18. 【答案】 y =2.5x ，x ∈N ∗【知识点】函数的解析式的概念与求法19. 【答案】log23【解析】f(x)=∣2x−1∣−k=0⇒2x1=1−k，2x2=1+k⇒x1=log2(1−k)，x2=log2(1+k)，g(x)=∣2x−1∣−k2k+1=0⇒2x3=k+12k+1，2x4=3k+12k+1⇒x3=log2k+12k+1，x4=log23k+12k+1，由（1）（2）得(x4−x3)+(x2−x1)=log23k+11−k =log2(41−k−3)，因为13≤k<1，故(x4−x3)+(x2−x1)≥log23．【知识点】函数的零点分布20. 【答案】②③④【知识点】函数的零点分布三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) 由三角函数的定义，可得P(cosπ4,sinπ4)，Q(cos(π4+θ),sin(π4+θ))．当θ=π6时，Q(cos5π12,sin5π12)，即a=cos5π12，b=sin5π12，所以ab=cos5π12sin5π12=12×2×cos5π12sin5π12=12×sin5π6=14．(2) 因为Q(cos(π4+θ),sin(π4+θ))，所以a=cos(π4+θ)，b=sin(π4+θ)，由三角恒等变换的公式，化简可得：b−a=sin(π4+θ)−cos(π4+θ)=√2[sin(π4+θ)cosπ4−cos(π4+θ)sinπ4]=√2sinθ,因为θ∈[π4,π2]，所以1≤√2sinθ≤√2．即b−a的取值范围为[1,√2]．【知识点】任意角的三角函数定义、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质22. 【答案】(1) −cos2a．(2) 0．【知识点】诱导公式23. 【答案】(1) 因为f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，所以f(0)=0，故1−a=0，即a=1．经检验，满足题意．(2) 设e x−1e x =t（t≥0），则e2x+1e2x=t2+2，设y=ℎ(t)=t2−2λt+2=(t−λ)2+2−λ2，t∈[0,+∞)．①当λ≤0时，ℎ(t)≥ℎ(0)，所以函数的值域为[2,+∞)；②当λ>0时，ℎ(t)≥ℎ(λ)，所以函数的值域为[2−λ2,+∞)．(3) 因为g(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，所以g(−x)=f(−x)+(−x)=−f(x)−x=−(f(x)+x)=−g(x)，故g(x)为奇函数．任取x1，x2，且x1<x2，则g(x1)−g(x2)=(e x1−e x2)−(1e x1−1e x2)+(x1−x2)=(e x1−e x2)(1+1e x1+x2)+(x1−x2),因为x1<x2，所以(e x1−e x2)(1+1e x1+x2)<0，x1−x2<0，所以g(x1)−g(x2)<0，所以g(x1)<g(x2)，故g(x)在R上单调递增．由g((log2x)2)+g(2log2x−3)≥0，得g((log2x)2)≥−g(2log2x−3)，即g((log2x)2)≥g(−2log2x+3)，所以(log2x)2≥−2log2x+3，所以(log2x)2+2log2x−3≥0，解得log2x≥1或log2x≤−3，故x≥2或0<x≤18．故原不等式的解集为(0,18]∪[2,+∞)．【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性、函数的奇偶性24. 【答案】(1) 因为 tanα=43，tanα=sinαcosα，所以 sinα=43cosα，因为 sin 2α+cos 2α=1，所以 cos 2α=925，因此，cos2α=2cos 2α−1=−725．(2) 因为 α，β 为锐角，所以 α+β∈(0,π)，因为 cos (α+β)=−√55，所以 sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=2√55．因此 tan (α+β)=−2，因为 tanα=43，所以 tan2α=2tanα1−tan 2α=−247，因此tan (α−β)=tan [2α−(α+β)]=tan2α−tan (α+β)1+tan2αtan (α+β)=−211.【知识点】两角和与差的正切、二倍角公式25. 【答案】(1) 当 a =2 时，不等式：f (x )≥6−∣2x −5∣，可化为 ∣x −2∣+∣2x −5∣≥6． ① x ≥2.5 时，不等式可化为 x −2+2x −5≥6，所以 x ≥133；② 2≤x <2.5，不等式可化为 x −2+5−2x ≥6，所以 x ∈∅； ③ x <2，不等式可化为 2−x +5−2x ≥6，所以 x ≤13，综上所述，不等式的解集为 (−∞,13]∪[133,+∞)．(2) 不等式 f (x )≤4 的解集为 [a −4,a +4]=[−1,7]，所以 a =3，所以 1s +8t =13(1s +8t )(2s +t )=13(10+ts +16s t)≥6，当且仅当 s =12，t =2 时取等号．【知识点】绝对值不等式的求解、均值不等式的应用26. 【答案】(1) 由2kπ−π2≤x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，得2kπ−3π4≤x≤2kπ+π4，k∈Z．因为f(x)在[−b,b]上单调递增，令k=0，得−3π4≤x≤π4是f(x)的一个单调递增区间，所以{b≤π4,−b≥−3π4,解得b≤π4，可得正数b的最大值为π4．(2) g(x)=−sinxcosx+√2af(x)−1=−sinxcosx+a(sinx+cosx)−1，设t=sinx+cosx+√2sin(x+π4)，当x∈[0,3π4]时，t∈[0,√2]．它的图形如图所示．又sinxcosx=12(t2−1)，则−sinxcosx+a(sinx+cosx)−1=12t2+at−12，t∈[0,√2]，令ℎ(t)=−12t2+at−12，则函数g(x)在[0,3π4]内恰有一个零点，转化为ℎ(t)=−12t2+at−12在[0,√2]内恰有一个零点．①当t=0时，ℎ(t)无零点．②当t=√2时，由√2a−32=0，得a=3√24，把a=3√24代入−12t2+at−12=0中，得−12t2+3√24t−12=0，解得t1=√2，t2=√22，不符合题意．③当0<t<√2时，若Δ=a2−1=0，得a=1，此时t=1，由t=√2sin(x+π4)的图象可知不符合题意；若Δ=a2−1>0，即a>1，设−12t2+at−12=0的两根分别为t1，t2，由t1t2=1，且抛物线的对称轴为t=a≥1，要使ℎ(t)=−12t2+at−12在[0,√2]内恰有一个零点，则两同时为正，且一个根在(0,1)内，另一个根在(√2,+∞)内，所以{ℎ(1)>0,ℎ(√2)>0,解得a>3√24．综上，a的取值范围为(3√24,+∞)．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质27. 【答案】(1) 当a=2，b=−2时，f(x)=2x2−x−4，所以由 f (x )=x 得 x 2−x −2=0，所以 x =−1 或 x =2，所以 f (x ) 的不动点为 −1，2．(2) 当 a =3 时，f (x )=2x 2+(b +1)x +b −2，由题意得 f (x )=x 在 (−2,3) 内有两个不同的不动点，即方程 2x 2+bx +b −2=0 在 (−2,3) 内的两个不相等的实数根，设 g (x )=2x 2+bx +b −2，所以只须满足 {g (−2)=8−2b +b −2>0,g (3)=18+3b +b −2>0,−2<−b4<3,b 2−8(b −2)>0, 所以 {b <6,b >−4,−120,所以 b 2−4ab +8a >0 对 b ∈R 恒成立，所以 16a 2−32a <0，所以 0<a <2．【知识点】函数的零点分布28. 【答案】(1) {y∣ y ≥−4}． (2) {x∣ x ≠0}． (3) {x∣ x ≥45}．【知识点】集合的表示方法29. 【答案】(1) 当 x >0 时，−x <0，f (−x )=(−x )2+4(−x )=x 2−4x ，因为 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，所以 f (x )=−f (x )=−x 2+4x ，所以 f (x )={x 2+4x,x ≤0−x 2+4x,x >0，f (x ) 的单调减区间为 (−∞,−2) 和 (2,+∞)，单调增区间为 (−2,2)．(2) 当 x ≤0 时，x 2+4x >3，即 x 2+4x −3>0，即 x <−2−2√7 或 x >−2+2√7，因为 x ≤0，所以 x <−2−2√7，当 x >0 时，−x 2+4x >3，即 x 2−4x +3<0，即 (x −1)(x −3)<0，解得 1<x <3．综上，不等式f(x)>3的解集为(−∞,−2−2√7)∪(1,3)．【知识点】函数的奇偶性、函数不等式的解法30. 【答案】(1) 由题意知，t=(4+20p)p−x−(10+2p)，将p=3−2x+1代入化简得：y=16−4x+1−x(0≤x≤a)．(2) y=17−(4x+1+x+1)≤17−2√4x+1×(x+1)=13，当且仅当4x+1=x+1，即x=1时，上式取等号，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a<1时，y=17−(4x+1+x+1)在[0,a]上单调递增，所以x=a时，函数有最大值，即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a<1时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．【知识点】均值不等式的实际应用问题、建立函数表达式模型。

高一知识点训练数学

高一知识点训练数学在高一学年，数学是一门非常重要的学科，它不仅是一种工具，还是一种逻辑思维的训练方法。

通过学习数学，我们可以培养自己的逻辑思维能力，提高解决问题的能力。

下面，我将通过对高一数学的知识点进行训练，来巩固我们的数学基础。

一、整式与分式1. 整式的定义整式是指只包含有限项的多项式，其中项是由常数和变量的积组成。

2. 整式的分类整式可分为单项式、多项式和常数。

3. 分式的定义分式是指由两个整式通过除法运算得到的式子。

4. 分式的性质- 分式的分母不能为0。

- 分式的分子和分母可以进行约分。

- 分式可以进行加、减、乘、除运算。

二、函数与方程1. 函数的定义函数是一种关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。

2. 函数的性质- 函数可以表示为映射图、列表、公式等形式。

- 函数的定义域和值域是它的重要属性。

- 函数的图像可以通过绘制函数的关系来表示。

3. 方程的定义方程是指在等式中含有未知数的代数式。

4. 方程的解与解集解是使方程成立的未知数的值。

解集是所有解的集合。

三、三角函数1. 三角函数的定义三角函数是描述角度与边长之间关系的函数。

2. 常用三角函数常用的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

3. 三角函数的性质- 三角函数的定义域是所有实数。

- 三角函数是周期函数，其周期为2π。

四、数列与数列求和1. 数列的定义数列是按照一定规律排列的一组数。

2. 等差数列等差数列是指数列中相邻项之差为常数的数列。

3. 等差数列的性质- 等差数列可以通过公式an = a1 + (n-1)d来表示。

- 等差数列的前n项和可以通过公式Sn = (a1 + an) * n/2来计算。

五、平面解析几何1. 平面直角坐标系平面直角坐标系由两个相互垂直的数轴组成，分别称为x轴和y轴。

2. 点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置可以用坐标表示。

3. 直线的表示直线可以通过点斜式、一般式和截距式来表示。

4. 圆的表示圆可以通过圆心坐标和半径来表示。

【必刷题】2024高一数学上册集合运算规律专项专题训练(含答案)

【必刷题】2024高一数学上册集合运算规律专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 若集合M={1, 2, 3}，N={x|x=2a, a∈M}，则集合N中的元素个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 已知集合P={x|2<x≤3}，Q={x|1≤x<4}，则P∩Q为（）A. {x|2<x<1}B. {x|1<x≤3}C. {x|2<x<4}D. {x|1≤x≤3}4. 若集合A={x|x²x6=0}，B={x|x²4x+3=0}，则A∪B的结果为（）A. {1, 2, 3}B. {1, 3, 4}C. {1, 2, 3, 4}D. {2, 3}5. 设集合C={x|x²+x=0}，D={x|x²5x+6=0}，则C∩D的结果为（）A. ∅B. {0}C. {0, 1}D. {0, 2}6. 若集合E={x|x²6x+8=0}，F={x|x²7x+12=0}，则E∩F的结果为（）A. {2, 3}B. {2, 4}C. {3, 4}D. {2, 3, 4}7. 已知集合G={x|x²5x+6=0}，H={x|x²3x+2=0}，则G∪H的结果为（）A. {2, 3}B. {2, 3, 4}C. {1, 2, 3}D. {1, 2, 3, 4}8. 若集合I={x|x²4x+3=0}，J={x|x²2x3=0}，则I∩J的结果为（）A. ∅B. {1}C. {2}D. {3}9. 设集合K={x|x²3x+2=0}，L={x|x²4=0}，则K∪L的结果为（）A. {1, 2}B. {1, 2, 3}C. {1, 2, 2}D. {1, 2, 2, 2}10. 若集合M={x|x²x6=0}，N={x|x²2x3=0}，则M∩N的结果为（）A. {2}B. {3}C. {2, 3}D. ∅二、判断题：1. 集合A={x|x²x6=0}与集合B={x|x²4x+3=0}的交集为空集。

集合数学知识点高一及例题

集合数学知识点高一及例题数学作为一门科学，包含了许多不同的分支和知识点，其中之一就是集合论。

集合论是数学中的一个重要学科，它研究的是元素的集合和它们之间的关系。

高中数学教学中也会涉及一些集合论的基础知识和例题。

本文将整理高一阶段的集合数学知识点，并附上例题进行说明。

一、集合的定义与表示集合是由一些确定的元素构成的整体，用大写字母表示。

常用的集合符号有{}和∅，分别表示非空集和空集。

例如，A = {1, 2, 3}表示集合A包含元素1, 2和3。

例题1：设A = {x | x是自然数且1 ≤ x≤ 5}，求集合A的元素个数。

解析：根据题目给出的条件可知，集合A包含了自然数1、2、3、4、5。

所以集合A的元素个数为5。

二、集合的运算集合论中常用的集合运算包括并集、交集、差集和补集。

1. 并集（∪）：将两个或多个集合中的所有元素合并在一起，重复的元素只保留一个。

例题2：设A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，求集合A和B的并集。

解析：集合A和B的并集是A∪B = {1, 2, 3, 4, 5}。

2. 交集（∩）：取两个集合中共有的元素组成的集合。

例题3：设A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，求集合A和B的交集。

解析：集合A和B的交集是A∩B = {3}。

3. 差集（-）：从一个集合中去掉另一个集合中的相同元素的集合。

例题4：设A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，求集合A和B的差集。

解析：集合A和B的差集是A - B = {1, 2}。

4. 补集：一个集合在另一个全集中除去它自己的元素。

例题5：设全集为U = {1, 2, 3, 4, 5}，A = {1, 2, 3}，求集合A 的补集。

解析：集合A的补集是A' = {4, 5}。

三、集合的关系集合与集合之间可以有包含关系、相等关系和不相交关系。

1. 包含关系：若一个集合中的所有元素都属于另一个集合，则前者被包含于后者。

高一数学必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (13)-200708(解析版)

高一数学必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (13)一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 定义运算：∣∣∣ab cd ∣∣∣=ad −bc.若不等式∣∣∣2k kx +3−1x 2∣∣∣<0的解集是空集，则实数k 的取值范围是( )A. {0}∪[24,+∞)B. [0,24]C. (0,24]D. (−∞,0]∪[24,+∞)2. 已知三个互不相等的负数a ，b ，c 满足2b =a +c ，设M =1a +1c ，N =2b ，则( )A. M >NB. M ≥NC. M <ND. M ≤N3. 已知函数f(x)={x +1(x <0)−x −1(x ≥0)，则不等式(x +1)⋅f(x −1)≤3−x 的解集是( )A. [−3,+∞)B. [1,+∞)C. [−3,1]D. (−∞,−3]∪[1,+∞)4. 若函数f(x)=x 2+x +ax 在(12,+∞)上是增函数，则a 的取值范围( )A. (−∞,12)B. (12,+∞)C. [12,+∞)D. (−∞,12]5. 若函数f(x)=(k −3)x 2+2kx +1在(−∞,0]上为增函数，则k 的取值范围是( )A. [0,3)B. [0,3]C. (0,3]D. [3,+∞) 6. 已知a =log 52，b =log 0.50.2，c =ln(ln2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a 0.若p ∨q 为真，p ∧q 为假，则实数m 的取值范围为( ) A. (−∞,−2)∪[3，+∞) B. (−∞,−2)∪(1,2]∪[3,+∞) C. (1,2]∪[3,+∞) D. (−∞,−2)∪(1,2] 8. 若a <0，则关于x 的不等式x 2−4ax −5a 2>0的解是( )A. x >5a 或x <−aB. x >−a 或x <5aC. 5a <x <−aD. −a <x <5a 二、填空题（本大题共8小题，共40.0分） 9. 不等式−x 2−x +6≥0的解集为______． 10. 函数y =−x 2的单调递增区间为______．11. 若函数f(x)={1x ,x >03x ,x ≤0，则不等式f(x)≥13的解集为______．12. 若函数f(x)=log a x(a >0,a ≠1)在区间[14,2]上的最大值为1，最小值为m ，且函数g(x)=(m +1)x 2在区间[0,+∞)上是增函数，则a =______．13. 若不等式ax 2+2ax −1<0解集为R ，则a 的范围是______．14. 对于0≤m ≤4的m ，不等式x 2+mx >4x +m −3恒成立，则x 的取值范围是______． 15. 不等式3x 2−7x ≤10的解集为______． 16. 函数y =√6−x −x 2的定义域是______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17.解关于x的不等式：x2+2x−3−x2+x+6<0．18.已知f(x)=x2+6x+9x+1(x>−1)．(1)解不等式f(x)≥9；(2)求f(x)的最小值．19.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b，c∈R)对任意实数x，都有f(x)≥x，且当x∈[1,3)时，有f(x)≤18(x+2)2成立．(1)证明：f(2)=2；(2)若f(−2)=0，求f(x)的表达式；(3)在题(2)的条件下设g(x)=f(x)−mx2，x∈[0,+∞)，若g(x)图象上的点都位于直线y=14的上方，求实数m的取值范围．20.已知不等式ax2−3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}．(1)求a，b的值；(2)已知m∈R，解关于x的不等式(x−m)(ax−b)<0．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：根据题意得，不等式2kx 2+kx +3<0的解集为空集， ①k =0时，3<0，满足题意；②k ≠0时，{k >0△=k 2−24k ≤0，解得0<k ≤24， ∴综上得，实数k 的取值范围是[0,24]．故选：B ．根据题意即可得出不等式2kx 2+kx +3<0的解集是空集，从而讨论k ：k =0时，显然满足题意；k ≠0时，{k >0△=k 2−24k ≤0，从而可得出k 的取值范围．本题考查了分类讨论的思想，一元二次不等式解的情况，考查了计算能力，属于基础题． 2.答案：A解析：解：由三个互不相等的负数a ，b ，c 满足2b =a +c ，且M =1a +1c =c+a ac=2bac =2ac b，N =2b ，所以ac b −b =ac−b 2b=ac−(a+c 2)2b=−(a−c)24b<0，即ac b 2b ，即M >N ．故选：A ．化简M =2ac b，利用作差法比较acb <b ，从而得出M 与N 的大小．本题考查了不等式大小比较问题，也考查了转化思想，是基础题． 3.答案：A解析：解：∵函数f(x)={x +1(x <0)−x −1(x ≥0)，则对于不等式(x +1)⋅f(x −1)≤3−x ，当x −1<0即x <1时，f(x −1)=x −1+1=x ，则(x +1)⋅x ≤3−x ，解得−3≤x ≤1，∴−3≤x <1．当x −1≥0时，即x ≥1，f(x −1)=1−x −1=−x ，则(x +1)(−x)≤3−x ，即x 2≥−3，∴x ≥1． ∴原不等式的解集为{x|−3≤x <1，或x ≥1}={x|x ≥−3}，故选：A ．分别考虑x −1<0即x <1时；x −1≥0时，即x ≥1时，原不等式的解集，最后求并集．本题考查分段函数的应用，考查分段函数值应考虑自变量对应的情况，属于中档题． 4.答案：D解析：解：根据题意，函数f(x)=x 2+x +ax ，其导数f′(x)=2x +1−a x 2=2x 3+x 2−ax 2，若函数f(x)=x 2+x +ax 在(12,+∞)上是增函数，则f′(x)=2x3+x 2−ax 2≥0在(12,+∞)上恒成立，设g(x)=2x 3+x 2−a ，则有g(x)=2x 3+x 2−a ≥0在(12,+∞)上恒成立，而g′(x)=6x 2+2x ，在(12,+∞)上，有g′(x)>0恒成立，即函数g(x)在(12,+∞)上为增函数，若g(x)=2x 3+x 2−a ≥0在(12,+∞)上恒成立，必有g(12)≥0，即2×(12)3+(12)2−a =12−a ≥0恒成立，则a ≤12，即a 的取值范围为(−∞,12]；故选：D ．根据题意，求出函数f(x)的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得：若函数f(x)在(12,+∞)上是增函数，必有f′(x)=2x 3+x 2−ax 2≥0在(12,+∞)上恒成立，进而设g(x)=2x 3+x 2−a ，求出g(x)的导数，分析可得g(x)在(12,+∞)上为增函数，据此可得g(12)≥0，即2×(12)3+(12)2−a =12−a ≥0恒成立，解可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查利用导数分析函数单调性的判断，注意函数的导数与函数单调性的关系，属于基础题． 5.答案：B解析：解：若函数f(x)=(k −3)x 2+2kx +1在(−∞,0]上为增函数， ①当k =3时，f(x)=6x +1，显然f(x)在(−∞,0]上为增函数，②当k ≠3时，由f(x)在(−∞,0]上为增函数，有{k −3<0−2k 2(k−3)≥0，∴{k <30≤k <3，∴0≤k <3，∴k 的取值范围为[0,3]．故选：B ．利用函数图象与单调性的关系，结合二次函数的图象分析开口方向即可．本题考查函数的图象与性质的应用，一元二次函数单调性问题一定要结合图象，考虑图象开口方向，体现数形结合和分类讨论的思想． 6.答案：D解析：解：∵0=log 51<log 52<log 55=1，log 0.50.2>log 0.50.5=1，0<ln2<1，ln(ln2)<0， ∴c <a 1，ln(ln2)<0，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了对数的运算，对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：∵p ∨q 为真，p ∧q 为假 ∴p ，q 中一个真命题一个假命题，由p ：函数f(x)=x 2+mx +1有两个零点，得△=m 2−4>0，解得m >2或m <−2．由q ：∀x ∈R ，4x 2+4(m −2)x +1>0 得△=16(m −2)2−16<0，解得1<m <3，当p 真q 假时，有{m >2或m <−2m ≥3或m ≤1即m ≥3或m <−2 当p 假q 真，有{−2≤m ≤21<m <3即1<m ≤2∴实数m 的取值范围为(−∞,−2)∪(1,2]∪[3,+∞)．故选：B ．由p ∨q 为真，p ∧q 为假，知p ，q 有一个真命题一个假命题，由p 得△=m 2−4>0，解得m >2或m <−2.由q ，得△=16(m −2)2−16<0，解得1<m <3，分两种情况求出实数m 的取值范围．本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用． 8.答案：B解析：解：∵x 2−4ax −5a 2>0 ∴(x +a)(x −5a)>0，等价于{x +a >0x −5a >0或{x +a <0x −5a <0又∵a <0∴x <5a 或x >−a 故选：B ．写出等价不等式组，根据a <0，解不等式组即可本题考查一元二次不等式的解法，注意等价关系．属简单题 9.答案：[−3,2]解析：解：不等式−x 2−x +6≥0可化为x 2+x −6≤0，即(x +3)(x −2)≤0，解得−3≤x ≤2，所以不等式的解集为[−3,2]．故答案为：[−3,2]．把不等式化为一般形式，再求解即可．本题考查了一元二次不等式的解法，是基础题． 10.答案：(−∞,0]解析：解：画出函数函数y =−x 2的草图；如图所示；易知，函数y =−x 2的单调递增区间为(−∞,0]，故答案为(−∞,0]画出函数y =−x 2的图象，由图象容易得到解答．本题考查了一元二次函数的图象和性质． 11.答案：{x|−1≤x ≤3}解析：解：函数f(x)={1x,x >03x,x ≤0，则不等式f(x)≥13，即{x >01x ≥13①，或 {x ≤03x ≥13②，解①求得0<x ≤3；解②求得−1≤x ≤0，故原不等式的解集为{x|−1≤x ≤3}，故答案为：{x|−1≤x ≤3}．由题意原不等式即{x >01x ≥13①，或 {x ≤03x ≥13②，分别求出①②的解集，再取并集，即得所求．本题主要考查分段函数的应用，指数不等式、分式不等式的应用，属于基础题．12.答案：14解析：解：∵函数g(x)=(m +1)x 2在区间[0,+∞)上是增函数，∴m +1>0，解得m >−1．①当a >1时，函数f(x)=log a x(a >0,a ≠1)在区间[14,2]上单调递增，由已知可得{log a 2=1log a 14=m，解得{a =2m =−2，与m >−1矛盾，故应舍去；②当0<a <1时，函数f(x)=log a x(a >0,a ≠1)在区间[14,2]上单调递减，由已知可得{log a 14=1log a 2=m，解得{a =14m =−12，满足m >−1，故a =14．故答案为14．利用二次函数的单调性、对数函数的单调性、分类讨论即可得出．熟练掌握二次函数的单调性、对数函数的单调性、分类讨论的方法是解题的关键． 13.答案：−1<a ≤0解析：解：a =0时，不等式ax 2+2ax −1<0化为−1<0，解集为R ； a ≠0时，不等式ax 2+2ax −1<0解集为R 时，应满足{a <0△=4a 2−4a ×(−1)<0，解得−1<a <0；所以实数a 的取值范围是−1<a ≤0．故答案为：−1<a ≤0．讨论a =0和a ≠0时，求出不等式ax 2+2ax −1<0解集为R 时a 的取值范围．本题考查了不等式恒成立问题，也考查了分类讨论思想，是基础题． 14.答案：x >3或x <−1解析：解：若不等式x 2+mx >4x +m −3恒成立则m(x −1)+x 2−4x +3>0在0≤m ≤4时恒成立．令f(m)=m(x −1)+x 2−4x +3．则{f(0)>0f(4)>0⇒{x 2−4x +3>0x 2−1>0⇒{x <1或x >3x <−1或x >1.∴x <−1或x >3．故答案为：x >3或x <−1由对于0≤m ≤4的m ，不等式x 2+mx >4x +m −3恒成立，可变形为m(x −1)+x 2−4x +3>0在0≤m ≤4时恒成立．由于该函数为关于m 的一次函数估可转化为{f(0)>0f(4)>0,即{x 2−4x +3>0x 2−1>0，解不等式组，即可得到结论．解不等式恒成立问题，通常借助于函数思想或方程思想转化为求函数的最值或利用函数的图象或判别式的方法求解．15.答案：[−1,103]解析：解：不等式3x 2−7x ≤10可化为3x 2−7x −10≤0，即(x +1)(3x −10)≤0，解得−1≤x ≤103；所以不等式的解集为[−1,103]. 故答案为：[−1,103].不等式化为3x 2−7x −10≤0，求出不等式的解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法，是基础题． 16.答案：(−3,2)解析：解：∵函数y =√6−x −x 2， ∴6−x −x 2≥0，即x 2+x −6≤0； ∴(x +3)(x −2)≤0，解得−3≤x ≤2，∴函数y 的定义域是(−3,2)．故答案为：(−3,2)．根据函数的解析式，二次根式的被开方数大于或等于0，列出不等式，求出解集即可．本题考查了求函数定义域的问题，解题时应化为求一元二次不等式的解集的问题，是基础题．17.答案：解；不等式x 2+2x−3−x 2+x+6<0可化为x 2+2x−3x 2−x−6>0，即(x+3)(x−1)(x+2)(x−3)>0，各因式对应的一次方程的实数根为−3，−2，1和3，如图，由图可知，该不等式的解集为(−∞,−3)∪(−2,1)∪(3,+∞)．解析：把不等式化为几个一次因式的积(或商)的形式，求出各因式对应方程的实数根，然后利用数轴标根法求出不等式的解集．本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．18.答案：解：(1)由x>−1可得x+1>0，故x2+6x+9x+1≥9可得，x2+6x+9≥9x+9，解可得，−1<x≤0或x≥3，故原不等式的解集(−1,0]∪[3,+∞)，(2)由x>−1可得x+1>0，由基本不等式可得，f(x)=x2+6x+9x+1=(x+3)2x+1=[(x+1)+2]2x+1=x+1+4x+1+4，≥2√(x+1)⋅4x+1+4=8，当且仅当x+1=4x+1集集x=1时取等号，因此函数f(x)取得最小值8．解析：(1)由已知把分式不等式可转化为二次不等式，即可进行求解；(2)由f(x)=x2+6x+9x+1=(x+3)2x+1=[(x+1)+2]2x+1=x+1+4x+1+4然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了不等式的求解及利用基本不等式求解最值，属于基础试题．19.答案：解：(1)证明：由题意可得f(2)≥2，且f(2)≤18(2+2)2=2，即有f(2)=2；(2)由f(−2)=0，可得4a−2b+c=0，f(2)=2，即为4a+2b+c=2，两式相减可得，b=12，4a+c=1即c=1−4a，f(x)=ax2+12x+1−4a，对任意实数x，都有f(x)≥x，即为ax2−12x+1−4a≥0恒成立，即有a>0，△=14−4a(1−4a)≤0，即有(8a−1)2≤0，即有a=18，c=12，则f(x)=18x2+12x+12；(3)g(x)=f(x)−mx2=18(x+2)2−mx2，当x=0时，g(0)=12>14成立；当x>0时，18(x+2)2−mx2>14，即有4m<x2+4x+2x =x+2x+4，由x +2x ≥2√x ⋅2x =2√2，当且仅当x =√2时，取得最小值．即有4m <2√2+4，解得m <1+√22．综上可得，m 的范围是(−∞,1+√22).解析：(1)令x =2，求得f(2)≥2，且f(2)≤2，即可得证；(2)由f(−2)=0，f(2)=2，求得b =12，4a +c =1即c =1−4a ，再由二次不等式恒成立的条件为a >0，判别式非正，即可得到a ，c ，进而得到解析式； (3)g(x)=f(x)−mx 2=18(x +2)2−mx 2，讨论x =0，x >0，不等式恒成立，注意运用参数分离和基本不等式求得最小值，即可得到m 的范围．本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用二次不等式恒成立的条件，同时考查不等式恒成立的解法，注意运用参数分离和基本不等式，属于中档题．20.答案：解：(1)由不等式ax 2−3x +6>4的解集为{x|x <1或x >b}知， 1和b 是方程ax 2−3x +6=4的两个实数根，且a >0，b >1，又方程可化为ax 2−3x +2=0，所以由根与系的关系得{1+b =3a1×b =2a ，解得a =1，b =2；(2)由(1)，知a =1且b =2，则不等式(x −m)(ax −b)<0可化为(x −m)(x −2)<0； ①当m >2时，不等式(x −m)(x −2)<0的解集为{x|2<x <m}； ②当m <2时，不等式(x −m)(x −2)<0的解集为{x|m <x <2}； ③当m =2时，不等式(x −m)(x −2)<0的解集为⌀．解析：(1)由不等式ax 2−3x +6>4的解集得出对应方程的根，再由根与系数的关系求出a 、b 的值； (2)将a =1且b =2代入不等式(x −m)(ax −b)<0中，可得(x −m)(x −2)<0，然后讨论m 的取值，求出对应不等式的解集．本题考查了一元二次不等式的解法，也考查了运算与转化能力，是基础题．。

人教A版(2019)高一上册数学：1.3 集合基本运算同步训练 word版,含答案

人教A 版（2019）高一上册数学：1.3 集合基本运算同步训练一、选择题1．设全集{1,A =2，3，4}，{|21,}B y y x x A ==-∈，则A B ⋃等于( ) A ．{}1,3 B ．{}2,4C ．{2,4，5，7}D ．{1,2，3，4，5，7}2．设集合{}{}0,2,A B m ==,且{}1,0,2A B ⋃=-,则实数m 等于 A ．1-B ．1C ．0D ．23．已知集合{|26}A x x =∈-<<R ，{|2}B x x =∈<R ，则()C R A B ⋃=（） A ．{|6}x x -D ．{|26}x x ≤≤4．若全集{}1,2,3,4U =，集合{}2430M x x x =-+=，{}2560N x x x =-+=，则()UM N =．A ．{}4B ．{}1,2C ．{}1,2,4D ．{}1,3,45．已知全集U Z =，{31,}A x x n n Z ==-∈，{3,}B x x x Z =>∈，则()U A C B ⋂中元素的个数为 A ．4B ．3C ．2D ．16．已知集合{}0,1,2,3A =，{}=02,B x x x R ≤≤∈，则A B 的子集个数为（）A ．2B ．4C ．7D ．87．若集合A =｛0，1，2，3｝，B =｛1，2，4｝，则集合A B =A ．｛0，1，2，3，4｝B ．｛1，2，3，4｝C ．｛1，2｝D ．｛0｝8．设M 、P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为{M P x x M -=∈且}x P ∉，则()M M P --等于（） A ．P B ．MC ．MPD ．M P ⋃9．设{|210},{|350}Sx x T x x ，则S TA ．∅B ．1|2x xC ．3|5x x D ．15|23x x10．设全集U ={x |x 是小于5的非负整数}，A ={2，4}，则∁U A = A ．{1，3}B ．{1，3，5}C ．{0，1，3}D ．{0，1，3，5}11．已知集合{}1A x x =≤，{}12B x x =-<<则()R A B =A ．{}12x x <C ．{}12x x ≤<D ．{}1x x ≥12．已知集合{}A x x a =<，{}2B x x =<，且()RA B =R ，则a 满足A ．2a ≥B ．2a >C ．2a <D ．2a ≤13．已知M,N 都是U 的子集,则图中的阴影部分表示( )A ．M∁NB ．∁U (M∁N)C ．(∁U M)∩ND ．∁U (M∩N)14．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()UM P S ⋂⋂D ．()()UM P S ⋂⋃二、填空题15．设全集{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,9A a =-，{}5,7UA =，则a =_____.16．已知集合{}0A x x a =->，{}20B x x =-<，且A B B ⋃=，则实数a 满足的条件是______. 17．设集合{}0,1,2,3U =，集合{}2|0A x U x mx =∈+=，若{}1,2U C A =，则实数m =_____.18．设集合{}24A x x =≤<，{}12B x x m =≤-，若AB =∅，则实数m 的取值范围为______.19．已知全集为R ，集合()(){}620A x x x =-->，{}44B x a x a =-≤≤+，且A B ⊆R，则实数a的取值范围是______．20．已知{}{}|12M x x N x x a =≤-=-，，若M N ≠∅，则a 的范围是________.三、解答题21．设{4,5,6,8}A =，{3,5,7,8}B =，求A B .22．设{}3,5,6,8A =，{4,5,7,8}B =，求A B ，A B .23．已知集合22{|190}A x x ax a =-+-=，2{|560}B x x x =-+=，2{|280}C x x x =+-=. （1）若A B ⋂≠∅与A C ⋂=∅同时成立，求实数a 的值；（2）若()A B C ⊆⋂，求实数a 的取值范围.24．已知{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5}A =，{1,3,5,7}B =，求()U A B ，()()U U A B .25．图中U 是全集，A ，B 是U 的两个子集，用阴影表示：（1）()()UU A B ；（2）()()U U A B ⋃.26．若A ＝{3,5}，B ＝{x |x 2＋mx ＋n ＝0}，A ∁B ＝A ，A ∩B ＝{5}，求m ，n 的值．27．设全集I R =,已知集合(){}{}22|30,|60M x x N x x x =+≤=+-=（1）求()I C M N ⋂；（2）记集合(),I A C M N =⋂已知集合{}|15,,B x a x a a R =-≤≤-∈若A B A ⋃=,求实数a 的取值范围.参考答案1．D 【解析】【分析】先求出集合A ，B ，再利用并集定义能求出结果．【详解】全集{1,A =2，3，4}，{|21,}{1,B y y x x A ==-∈=3，5，7}， {1,A B ∴⋃=2，3，4，5，7}．故选D ．【点睛】本题考查并集的求法，是基础题． 2．A 【分析】根据,A B ,以及A 与B 的并集,确定出m 的值即可. 【详解】{}{}0,2,A B m ==,且{}1,0,2A B ⋃=-，所以1B -∈，1m ∴=-，故选A.【点睛】本题主要考查并集的定义，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题. 3．C 【分析】先由补集的概念，求出C R B ，再和集合A 求交集，即可得出结果. 【详解】由{|2}B x x =∈<R ，得C {|2}R B x x =∈≥R .又{|26}A x x =∈-<<R ，所以()C {|2}R A B x x ⋃=>-.故选：C. 【点睛】本题主要考查集合的交集与补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型. 4．C 【分析】先根据一元二次方程的解表示出集合,M N ，然后再求解出M N ⋂的结果，最后求解出()UM N 的结果. 【详解】2430x x -+=的解为1x =或3，{}1,3M ∴=，2560x x -+=的解为2x =或3，{}2,3N ∴=，∁{}3M N ⋂=，∁(){}1,2,4UM N =，故选C ．【点睛】本题考查集合的交集、补集混合运算，难度较易.()UM N 的计算除了按本题的方法外，还可以由()()()UUUMN M N =来计算.5．C 【分析】先求出U C B ，然后求出()U A C B ⋂，即可得到答案．【详解】{3,}U C B x x x Z =≤∈，{31,}A x n n Z ==-∈，则(){}12U A C B ⋂=-，.故答案为C. 【点睛】本题考查了集合的运算，主要涉及交集与补集，属于基础题． 6．D 【分析】先求出A B ⋂集合元素的个数，再根据求子集的公式求得子集个数．【详解】因为集合{}0,1,2,3A =，{}=02,B x x x R ≤≤∈ 所以{}0,1,2A B ⋂= 所以子集个数为328= 个所以选D 【点睛】本题考查了集合交集的运算，集合子集个数的求解，属于基础题． 7．A 【详解】因为集合A =｛0，1，2，3｝，B =｛1，2，4｝，所以由并集的定义可得，故选A.8．C 【分析】根据题意，分M P ⋂=∅和M P ⋂≠∅两种情况，结合集合的基本运算，借助venn 图，即可得出结果. 【详解】当M P ⋂=∅，由于对任意x M ∈都有x P ∉，所以M P M -=，因此()M M P M M M P --=-=∅=⋂；当M P ⋂≠∅时，作出Venn 图如图所示，则M P -表示由在M 中但不在P 中的元素构成的集合，因而()M M P --表示由在M 中但不在M P -中的元素构成的集合，由于M P -中的元素都不在P 中，所以()M M P --中的元素都在P 中，所以()M M P --中的元素都在M P ⋂中，反过来M P ⋂中的元素也符合()M M P --的定义，因此()M M P M P --=⋂.故选：C. 【点睛】本题主要考查集合的应用，熟记集合的基本运算即可，属于常考题型. 9．D 【分析】先分别求解出集合,S T 中表示元素的范围，然后利用数轴表示出交集，从而求解出S T 的结果.【详解】 ∁1{|210}|2Sx x x x，5{|350}|3T x x x x，如图所示，∁15|23S T x x，故选D. 【点睛】本题考查集合的交集运算，难度较易.集合的交集运算结果可通过数轴来直观表示，具体做法为：将相应集合对应的解集表示在数轴上，然后求解公共部分范围即为交集运算结果. 10．C 【分析】全集U ={x |x 是小于5的非负整数}={0，1，2，3，4}，由集合的补集的概念得到结果. 【详解】全集U ={x |x 是小于5的非负整数}={0，1，2，3，4}，A ={2，4}，∁∁U A ={0，1，3}．故选C ．【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算． 11．A 【分析】根据()RA B ⋂可知，应先求解A R ，再求解B ，最终根据交集运算进行求解即可【详解】因为集合{}1A x x =≤，所以{}1RA x x =>，则(){}12R AB x x ⋂=<<.答案选A 【点睛】本题考查集合的混合运算，在运算法则中应遵循有括号先算括号的基本原则，易错点为将A R错解为{}1RA x x =≥12．A 【分析】可先求出B R，再根据()RAB =R 进行求解即可【详解】{}2RB x x =，则由()RA B =R ，得2a ≥，故选A.【点睛】本题考查并集与补集的混合运算，易错点为求解时忽略端点处2a =能取得到的情况，为了提升准确率，建议对范围理解陌生的考生最好辅以数轴图进行求解 13．B 【分析】观察图形可知，图中非阴影部分所表示的集合是A B ，从而得出图中阴影部分所表示的集合.【详解】由题意，图中非阴影部分所表示的集合是A B ，所以图中阴影部分所表示的集合为A B 的补集，即图中阴影部分所表示的集合为()U C A B ，故选B.【点睛】本题主要考查集合的venn 图的表示及应用，其中venn 图既可以表示一个独立的集合，也可以表示集合与集合之间的关系，熟记venn 图的含义是解答的关键. 14．C 【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ．【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题． 15．2或8 【分析】根据题意得出53a -=，解出该方程即可得出实数a 的值. 【详解】全集{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,9A a =-，{}5,7UA =，53a ∴-=，解得2a =或8.故答案为2或8. 【点睛】本题考查利用补集的结果求参数，根据题意得出方程是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题. 16．2a ≥ 【分析】根据A B B ⋃=可得A B ⊆，分别化简集合A 与B ，进行求解即可【详解】{}{}0A x x a x x a =->=>，{}{}202B x x x x =-<=>.A B B =，A B ⊆，则2a ≥. 【点睛】本题考查根据集合的并集结果求参数问题，易错点为忽略端点处元素2的存在，需注意若A B ⊆，其中也包括A B =的情况下 17．-3 【详解】因为集合{}0,1,2,3U =， {}1,2U C A =，A={0,3}，故m= -3.18．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据A B =∅可判断212m >-，求出m 即可【详解】因为A B =∅，所以212m >-，所以1,2m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查根据空集的概念求解参数问题，属于基础题19．{|10a a ≥或}2a ≤-【分析】先求解出R B ，根据A B ⊆R 得到集合,A B 的端点值之间的不等式关系，从而求解出a 的取值范围. 【详解】由题可知{}26A x x =<<，{4R B x x a =<-或}4x a >+，因为A B ⊆R ，所以64a ≤-或24a ≥+，即10a ≥或2a ≤-．故答案为{|10a a ≥或}2a ≤-.【点睛】本题考查根据集合的包含关系确定参数范围以及补集运算，难度一般.除了直接分析出不等式组，通过数轴根据解集的位置关系列出不等式组求解亦可.20．1a <【分析】表示出N 中不等式的解集，根据M 与N 交集不为空集，即可确定出a 的范围．【详解】集合{}{}|12M x x N x x a =≤-=-，，MN ≠∅，则21a -<-,解得：1a <故填1a <.【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．21．{3,4,5,6,7,8}【解析】【分析】根据并集定义直接求解即可.【详解】由并集定义可知：{}3,4,5,6,7,8AB = 【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.22．{}5,8A B =，{}3,4,5,6,7,8A B =【分析】根据交集和并集定义直接求解即可.【详解】由交集定义知：{}5,8AB =；由并集定义知：{}3,4,5,6,7,8A B = 【点睛】本题考查集合运算中的交集和并集运算，属于基础题.23．（1）2a =-（2）a >a < 【分析】（1）先化简集合B 与集合C ，再根据A B ⋂≠∅，A C ⋂=∅，得到3是方程22190x ax a -+-=的解，求出2a =-或5a =，再检验，即可得出结果；（2）先由（1）得到{}2B C ⋂=，根据()A B C ⊆⋂，得到A =∅或{}2A =，分别讨论这两种情况，即可得出结果.【详解】（1）由题意可得{}2{|560}2,3B x x x =-+==，{}2{|280}2,4C x x x =+-==-， ∁A B ⋂≠∅，A C ⋂=∅，集合A 中的元素有3，即3是方程22190x ax a -+-=的解；把3x =代入方程得23100a a --=，解得2a =-或5a =.当2a =-时，{}5,3A =-，满足题意；当5a =时，{}2,3A =，此时A C ⋂≠∅，故5a =不满足题意，舍去.综上知2a =-.（2）由（1）可知{}2B C ⋂=，若()A B C ⊆⋂，则A =∅或{}2A =.当A =∅时，()224190a a ∆=--<，解得a >或a <. 当{}2A =时，方程22190x ax a -+-=有两个相等的实数根2，由根与系数的关系得222,1922,a a =+⎧⎨-=⨯⎩解得a ∈∅.综上可得，实数a 的取值范围是3a >或3a <-. 【点睛】本题主要考查由集合交集的结果求参数，以及由集合间的包含关系求参数，熟记集合交集的概念，以及集合间的基本关系即可，属于常考题型.24．(){}2,4U A B =，()(){}6U U A B =.【分析】根据补集定义首先求得U A 和U B ，由交集定义可求得结果. 【详解】{}1,3,6,7U A =，{}2,4,6U B =(){}2,4U A B ∴=，()(){}6U U A B =【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，属于基础题.25．（1）图象见解析；（2）图象见解析.【分析】根据补集、交集和并集的定义，利用Venn 图表示出来即可.【详解】如下图阴影部分所示.【点睛】本题考查Venn 图表示集合，涉及到集合的交集、并集和补集运算，属于基础题.26．10,{25.m n =-=【分析】由题意，A∁B ＝A ，A∩B ＝{5}，求得B ＝{5}，进而得到方程x 2＋mx ＋n ＝0只有一个根为5，列出方程组，即可求解.【详解】解：∁A ∁B ＝A ，A ∩B ＝{5}，A ＝{3,5}，∁B ＝{5}．∁方程x 2＋mx ＋n ＝0只有一个根为5，∁2255040m n m n ++=⎧⎨∆=-=⎩∁解得10,25.m n =-⎧⎨=⎩【点睛】本题主要考查了集合的交集、并集的应用，其中解答中熟记集合的交集、并集的基本运算，转化为方程的根求解是解答的关键，着重考查了转化思想的应用，以及推理与运算能力.27．（1）{}2；（2）{}|3a a ≥．【分析】（1）通过解不等式和方程求得集合M,N ，再进行集合的补集、交集运算；（2）由（1）知集合{}2A =，根据集合关系B A A ⋃=，得B φ=或{}2B =，利用分类讨论求出a 的范围.【详解】（1）∁(){}{}2|303,M x x =+≤=- {}2{|60)3,2,N x x x =+-==- {|I C M x x R ∴=∈且3},x ≠-(){}12C M N ∴⋂=（2）由题意得(){}2I A C M N =⋂=．∁,A B A ⋃=B A ∴⊆,∁B =∅或{}2,B =∁当B =∅时, 15a a ->-,得3a >;∁当{}2B =时,解得3a =．综上所述,所求a 的取值范围为{}|3a a ≥．【点睛】该题考查的是与集合相关的参数的取值范围的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有集合的交集，集合的补集，以及集合之间的包含关系，正确得出其满足的式子是解题的关键.。

人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(33)

人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1. 如果函数 f (x )=12(m −2)x 2+(n −8)x +1(m ≥0,n ≥0) 在区间 [12,2] 上单调递减，那么 mn 的最大值为 ( ) A ．16 B ．18 C ．25D ．8122. 若 a 为实数，则“a <1”是“1a >1”的 ( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3. 若函数 f (x )=x 2−4x +8，x ∈[1,a ]，它的最大值为 f (a )，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ． (1,2] B ． (1,3) C ． (3,+∞) D ． [3,+∞)4. 已知函数 f (x )=√3sinωx −cosωx (ω>0)，y =f (x ) 的图象与直线 y =2 的两个相邻交点的距离等于 π，则 f (x ) 的一条对称轴是 ( ) A ． x =−π12B ． x =π12C ． x =−π3D ． x =π35. 已知函数 f (x )={ln (x +1),0<x ≤21−2x ,−2≤x ≤0，若函数 y =∣f (x )∣ 图象与直线 y =kx +k 有 3 个交点，则实数 k 的取值范围是 ( ) A ．(0,1e )B ．(0,12e )C ．[ln33,12e )D ．[ln33,1e )6. 如果 a 1bB ．1a−b>1bC ． √−a >√−bD ． ∣a∣>−b7. 若函数 f (x )={1−x 2,x ≤1x 2−x −3,x >1，则 f (1f (3)) 的值为 ( )A ．1516B ． −2716C ． 89D ． 188. 设函数 f (x ) 的定义域为 R ，有下列三个命题：（1）若存在常数 M ，使得对任意 x ∈R ，有 f (x )≤M ，则 M 是函数 f (x ) 的最大值；（2）若存在 x 0∈R ，使得对任意 x ∈R ，且 x ≠x 0，有 f (x )<f (x 0)，则 f (x 0) 是函数 f (x ) 的最大值；（3）若存在 x 0∈R ，使得对任意 x ∈R ，有 f (x )≤f (x 0)，则 f (x 0) 是函数 f (x ) 的最大值．这些命题中，真命题的个数是 ( ) A ． 0 个 B ． 1 个 C ． 2 个 D ． 3 个9. 已知函数 f (x )=6x −log 2x 在下列区间中，包含 f (x ) 零点的区间是 ( )A ． (0,1)B ． (1,2)C ． (2,4)D ． (4,+∞)10. 函数 f (x ) 满足是 f (x +2)=4f (x )，且 x ∈R ，当 x ∈[0,2]，f (x )=x 2−4x +16，则当 x ∈[−4,−2] 时，f (x ) 的最小值为 ( ) A ． −18B ． 18C ． −34D ． 34二、填空题（共10题）11. 能说明“若 a >b ，则 1a <1b ”为假命题的一组 a ，b 的值依次为．12. 已知函数 f (x )=x 2−2(a +2)x +a 2，g (x )=−x 2+2(a −2)x −a 2+8．设 H 1(x )=max {f (x ),g (x )}，H 2(x )=min {f (x ),g (x )}（max {p,q } 表示 p ，q 中的较大值，min {p,q } 表示 p ，q 中的较小值）．记 H 1(x ) 的最小值为 A ，H 2(x ) 的最大值为 B ，则 A −B = ．13. 已知 θ∈(0,π)，且 sin (θ+π4)=√210，则 cos (θ−π4)= ，tanθ= ．14. 已知函数 f (x ) 的定义域为 R ，且 f (x )⋅f (−x )=1 和 f (1+x )⋅f (1−x )=4 对任意的 x ∈R都成立．若当 x ∈[0,1]，f (x ) 的值域为 [1,2]，则当 x ∈[−100,100] 时，函数 f (x ) 的值域为．15. 对一定义域为 D 的函数 y =f (x ) 和常数 c ，若对任意正实数 ξ，∃x ∈D 使得 0<∣f (x )−c ∣<ξ 成立，则称函数 y =f (x ) 为“敛 c 函数”，现给出如下函数：① f (x )=x (x ∈Z )；② f (x )=(12)x+1(x ∈Z )；③ f (x )=log 2x ；④ f (x )=x−1x．其中为“敛 1 函数”的有．（填序号）16. 设函数 f (x )={√x,x ≥0(12)x,x <0，则 f(f (−4))= ，f (f(f (−4))) ．17. 某卡车在同一时间段里速度 v (km/h ) 与耗油量 Q (kg/h ) 之间近似地满足函数表达式 Q =0.0025v 2−0.175v +4.27，要使卡车的耗油量最少，则车速为．18. 定义在 R 上的奇函数 f (x ) 满足 f (x +4)=f (x ) 上，且在区间 [2,4) 上，f (x )={2−x,2≤x <3x −4,3≤x <4，则函数 y =f (x )−log 5∣x ∣ 的零点的个数为．19. 已知 a >0，函数 f (x )={x 2+2ax +a,x ≤0−x 2+2ax −2a,x >0．若关于 x 的方程 f (x )=ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是．20. 已知 cos (508∘−α)=1213，则 cos (212∘+α)= ．三、解答题（共10题）21. 已知 f (x )=mx +3，g (x )=x 2+2x +m ．(1) 求证：关于 x 的方程 f (x )−g (x )=0 有解；(2) 设 G (x )=f (x )−g (x )−1，求函数 y =G (x ) 在区间 [0,+∞) 上的最大值；(3) 对于（2）中的 G (x )，若函数 y =∣G (x )∣ 在区间 [−1,0] 上是严格减函数，求实数 m 的取值范围．22. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x >0 时，f (x )=1−2−x ，(1) 写出 f (x ) 的单调区间； (2) 求不等式 f (x )<−12 的解集．23. 求证：1cos2θ−tanθtan2θ=1．24. 已知集合 A ={x∣ ∣ x −2∣ <a }，集合 B ={x∣ 2x−1x+2≤1}，且 A ⊆B ，求实数 a 的取值范围．25. 求函数 y =tan (2x −π4) 的周期和单调区间．26. 已知函数 f (x )=x∣x −a∣+2x (a ∈R )．(1) 若函数 f (x ) 在 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围；(2) 若存在实数a∈[−4,4]使得关于x的方程f(x)−tf(a)=0恰有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．−x)−√3sin2x+sinxcosx．27.已知函数f(x)=2cosxcos(π6(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，得到函数y=2g(x)的图象，求函数g(x)在(0,π)上的取值范围．4(p>0)的单调性．28.判断函数f(x)=x+px29.已知函数f(x)的定义域为[0,2]，且f(x)的图象连续不间断．若函数f(x)满足：对于给定的实数m且0<m<2，存在x0∈[0,2−m]，使得f(x0)=f(x0+m)，则称f(x)具有性质P(m)．)，并说明理由；(1) 已知函数f(x)=√1−(x−1)2，判断f(x)是否具有性质P(12(2) 求证：任取m∈(0,2)，函数f(x)=(x−1)2，x∈[0,2]具有性质P(m)；(3) 已知函数f(x)=sinπx，x∈[0,2]，若f(x)具有性质P(m)，求m的取值范围．30.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15−0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价-供货价格．问：(1) 每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2) 每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】当m=2时，f(x)=(n−8)x+1，要使其在区间[12,2]上单调递减，则n−8<0⇒n<8，于是mn<16，则mn无最大值．当m∈[0,2)时，f(x)的图象开口向下，要使f(x)在区间[12,2]上单调递减，需−n−8m−2≤12，即2n+m≤18，又n≥0，则mn≤m(9−m2)=−12m2+9m．而g(m)=−12m2+9m在[0,2)上为增函数，所以m∈[0,2)时，g(m)<g(2)=16，故m∈[0,2)时，mn无最大值．当m>2时，f(x)的图象开口向上，要使f(x)在区间[12,2]上单调递减，需−n−8m−2≥2，即2m+n≤12，而2m+n≥2√2m⋅n，所以mn≤18，当且仅当{2m+n=12,2m=n.即{m=3,n=6.时，取“=”，此时满足m>2．故(mn)max=18．【知识点】二次函数的性质与图像、函数的最大（小）值、函数的单调性2. 【答案】B【知识点】充分条件与必要条件3. 【答案】D【知识点】函数的最大（小）值4. 【答案】D【解析】由题，得f(x)=√3sinωx−cosωx=2sin(ωx−π6)，因为y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，所以函数y=f(x)的最小正周期T=π，则ω=2πT=2，所以f(x)=2sin(2x−π6)，当x=π3时，2x−π6=π2，所以x=π3是函数f(x)=2sin(2x−π6)的一条对称轴．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质5. 【答案】D【解析】因为函数 y =∣f (x )∣ 图象与直线 y =kx +k 有 3 个交点，所以 f (x )={ln (x +1),0<x ≤21−2x ,−2≤x ≤0，与 y =k (x +1) 有 3 个不同交点，作 y =f (x ) 与 y =k (x +1) 的图象如下，易知直线 y =k (x +1) 过定点 A (−1,0)，斜率为 k ．当直线 y =k (x +1) 与 y =ln (x +1) 相切时是一个临界状态，设切点为 (x 0,y 0)，则 {k =yʹ=1x0+1,k (x 0+1)=ln (x 0+1),解得，x 0=e −1，k =1e ，又函数过点 B (2,ln3)，k AB =ln32−(−1)=ln33，故ln33≤k <1e ．【知识点】函数的零点分布6. 【答案】B【知识点】不等式的性质7. 【答案】C【解析】因为 f (x )={1−x 2,x ≤1x 2−x −3,x >1，所以 f (3)=32−3−3=3，所以 f (1f (3))=f (13)=1−(13)2=89．【知识点】分段函数8. 【答案】C【解析】对于（1），M 不一定是函数 f (x ) 中的值，可能“=”不能取到，故其不正确；因为函数最大值的定义是存在一个函数值不小于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值，故（2）（3）正确．综上可知正确的有 2 个．【知识点】函数的最大（小）值9. 【答案】C【解析】因为f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(1)=6−log21=6>0，f(2)=3−log22=2>0，f(4)=32−log24=−12<0，所以由函数零点存在定理知函数f(x)在区间(2,4)内必存在零点．【知识点】零点的存在性定理10. 【答案】D【解析】因为x∈[0,2]时，f(x)的对称轴为x=2，所以f(x)在[0,2]单调递减，所以f(x)min=f(2)=12，所以x∈[−4,−2]时，f(x)min=116f(2)=34．故选D．【知识点】函数的最大（小）值二、填空题（共10题）11. 【答案】1，−1（答案不唯一）【知识点】命题的概念与真假判断12. 【答案】−16【解析】f(x)=[x−(a+2)]2−4−4a，g(x)=−[x−(a−2)]2+12−4a．由f(x)=g(x)，解得x=a+2或x=a−2．又H1(x)=max{f(x),g(x)}，H2(x)=min{f(x),g(x)}，所以H1(x)的最小值A=−4−4a，H2(x)的最大值B=12−4a，所以A−B=(−4−4a)−(12−4a)=−16．【知识点】二次函数的性质与图像13. 【答案】√210；−43【解析】由诱导公式sinα=cos(π2−α)，cos(−α)=cosα．所以sin(θ+π4)=cos[π2−(θ+π4)]=cos(π4−θ)=cos(θ−π4)，即sin(θ+π4)=cos(θ−π4)，所以cos(θ−π4)=sin(θ+π4)=√210．由sin(θ+π4)=√210，利用正弦和角公式展开可得 sinθcos π4+cosθsin π4=√210．即 sinθ+cosθ=15，两边同时平可得 2sinθcosθ=125−1=−2425．则 sinθ 与 cosθ 异号，且 sinθ+cosθ=15>0，由 θ∈(0,π)，所以 sinθ>0，cosθ<0，且 ∣sinθ∣>∣cosθ∣．由 sinθ+cosθ=15，可知 sinθ=15−cosθ．由同角三角函数关系式 sin 2θ+cos 2θ=1 代入可得 (15−cosθ)2+cos 2θ=1．化简可得 25cos 2θ−5cosθ−12=0，即 (5cosθ+3)(5cosθ−4)=0．解得 cosθ=−35，cosθ=45（舍）．所以 sinθ=15−(−35)=45．所以 tan =sinθcosθ=45−35=−43．【知识点】两角和与差的正弦14. 【答案】 [2−100,2100]【解析】由 f (x )⋅f (−x )=1 可得，f (x )=1f (−x )，由 f (1+x )⋅f (1−x )=4 可得 f (1+x )=4f (1−x )，令 1−x =t 可得 f (t )=4f (2−t ), ⋯⋯①由 f (x )⋅f (−x )=1 可得，f (x )=1f (−x )，所以 f (t )=1f (−t ), ⋯⋯② ①② 联立可得 f (t +2)=4f (t )，所以 f (x +2)=4f (x )，因为当 x ∈[0,1]，f (x ) 的值域为 [1,2]，设 x ∈[−1,0] 时，−x ∈[0,1]，则 f (x )=1f (−x)∈[12,1]，所以 x +2∈[1,2] 时，f (x +2)=4f (x )∈[2,4]，以此类推，区间每增加 2 个长度，值域变为上个区间的 4 倍，且 x ∈[−1,1] 时，值域为 [12,2]，则当 x ∈[−100,100] 时，函数 f (x ) 的值域 [2−100,2100]．【知识点】抽象函数、函数的值域的概念与求法15. 【答案】②③④【解析】由新定义知，对任意正实数 ξ，∃x ∈D 使得 0<∣f (x )−c ∣<ξ 成立，即 0<∣f (x )−c ∣<ξ 有解．对于函数①解得，1−ξ<x <1+ξ，且 x ≠1，x ∈Z ，因为 ξ 为任意正实数，所以无解，故函数①不是“敛 1 函数”；对于函数②解得，x >−log 2ξ 且 x ∈Z ，故函数 ②是“敛 1 函数”；对于函数③解得，21−ξ<x <21+ξ，且 x ≠2，故函数③是“敛 1 函数”；对于函数④解得，∣x ∣>1ξ，故函数④是“敛 1 函数”．因此正确答案为②③④．【知识点】函数的相关概念16. 【答案】 4 ； 2【解析】因为 x =−4<0，所以 f (−4)=(12)−4=16，因为 x =16>0，所以 f (16)=√16=4，f (4)=2．【知识点】分段函数17. 【答案】 35 km/h【知识点】建立函数表达式模型18. 【答案】 5【知识点】函数的周期性、函数的零点分布、函数的奇偶性19. 【答案】 (4,8)【知识点】函数的零点分布20. 【答案】1213【解析】因为 cos (508∘−α)=cos (360∘+148∘−α)=cos (148∘−α)=1213，所以 cos (212∘+α)=cos (360∘+α−148∘)=cos (α−148∘)=cos (148∘−α)=1213．【知识点】诱导公式三、解答题（共10题） 21. 【答案】(1) f (x )−g (x )=−x 2+(m −2)x +3−m ，令 f (x )−g (x )=0，则 Δ=(m −2)2−4(m −3)=m 2−8m +16=(m −4)2≥0．(2) G(x)=−x2+(m−2)x+(2−m)，当m−22≤0时，即m≤2时，G(x)max=G(0)=2−m，当m−22>0时，即m>2时，G(x)max=G(m−22)=−(m−2)24+(m−2)22+(2−m).G(x)max=(m−2)24+(2−m)=14m2−2m+3.(3) （方法一）G(x)=f(x)−g(x)−1=−x2+(m−2)x+2−m，①令G(x)=0，Δ=(m−2)2−4(m−2)=(m−2)(m−6)，当Δ≤0，即2≤m≤6时，G(x)=−x2+(m−2)x+2−m≤0恒成立，所以∣G(x)∣=x2−(m−2)x+m−2，因为∣G(x)∣在[−1,0]上是减函数，所以m−22≥0．解得m≥2．所以2≤m≤6．当Δ>0，即m<2或m>6时，∣G(x)∣=∣x2−(m−2)x+m−2∣．因为∣G(x)∣在[−1,0]上是减函数，所以方程x2−(m−2)x+m−2=0的两根均大于零或一根大于零另一根小于零且x=m−22≤−1，所以{m−2>0,m−22>0或{m−2<0,m−22≤−1.解得m>2或m≤0．所以m≤0或m>6．综上可得，实数m的取值范围为(−∞,0]∪[2,+∞)．（方法二）G(x)=f(x)−g(x)−1=−x2+(m−2)x+2−m，因为函数∣G(x)∣在[−1,0]上是减函数，所以{m−22≤−1,G(0)≥0或{m−22≥0,G(0)≤0.即{m−22≤−1,2−m≥0或{m−22≥0,2−m≤0.解得m≤0或m≥2．所以实数m的取值范围为(−∞,0]∪[2,+∞)．【知识点】函数的单调性、函数的最大（小）值、二次函数的性质与图像22. 【答案】(1) 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以 f (0)=0．因为 f (x ) 在 [0,+∞) 上是增函数，所以 f (x ) 在 (−∞,+∞) 上是增函数， (2) f (x )<−12=−f (1)=f (−1)，由（1）知 f (x ) 在 R 上是增函数，所以 x <−1，即 f (x )<−12 的解集为 (−∞,−1)．【知识点】指数函数及其性质23. 【答案】左边=1cos2θ−sinθsin2θcosθcos2θ=cosθ−2sin 2θcosθcosθcos2θ=1−2sin 2θcos2θ=cos2θcos2θ=1=右边,所以原等式成立．【知识点】二倍角公式24. 【答案】当 a ≤0 时，A =∅，则 A ⊆B 满足题意，当 a >0 时，A ={x∣ ∣ x −2∣ <a }={x∣ −a <x −2<a }={x∣ 2−a <x <2+a }，由2x−1x+2≤1⇒x−3x+2≤0⇒{(x +2)(x −3)≤0,x +2≠0⇒−2<x ≤3，所以 B ={x∣ −2<x ≤3}，A ⊆B ， {a >0,2−a ≥−2,2+a ≤3⇒0<a ≤1，综上实数 a 的取值范围是 a ≤1．【知识点】包含关系、子集与真子集25. 【答案】 y =tan (2x −π4) 的周期是 π2，单调递增区间是 (−π8+kπ2,3π8+kπ2)(k ∈Z )．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质26. 【答案】(1) f (x )=x∣x −a∣+2x ={x 2+(2−a )x,x ≥a−x 2+(2+a )x,x <a．由 f (x ) 在 R 上是增函数，则 {a ≥−2−a2,a ≤2+a2,即 −2≤a ≤2，则 a 范围为 −2≤a ≤2．(2) 当 −2≤a ≤2 时，f (x ) 在 R 上是增函数，则关于 x 的方程 f (x )−tf (a )=0 不可能有三个不等的实数根．则当 a ∈(2,4] 时，由 f (x )={x 2+(2−a )x,x ≥a−x 2+(2+a )x,x <a ，得 x ≥a 时，f (x )=x 2+(2−a )x 对称轴 x =a−22，则 f (x ) 在 x ∈[a,+∞) 为增函数，此时 f (x ) 的值域为 [f (a ),+∞)=[2a,+∞)； x <a 时，f (x )=−x 2+(2+a )x 对称轴 x =a+22，则 f (x ) 在 x ∈(−∞,a+22] 为增函数，此时 f (x ) 的值域为 (−∞,(a+2)24]，f (x ) 在 x ∈[a+22,+∞) 为减函数，此时 f (x ) 的值域为 (2a,(a+2)24]；由存在 a ∈(2,4]，方程 f (x )=tf (a )=2ta 有三个不相等的实根，则 2ta ∈(2a,(a+2)24)，即存在 a ∈(2,4]，使得 t ∈(1,(a+2)28a) 即可，令 g (a )=(a+2)28a，只要使 t <(g (a ))max 即可，而 g (a ) 在 a ∈(2,4] 上是增函数，g (a )max =g (4)=98，故实数 t 的取值范围为 (1,98)；当 a ∈[−4,−2) 时，由a+22>a−22>a ，则 f (x ) 在 (−∞,a ) 单调递增，值域为 (−∞,2a )；在 (a,a−22) 单调递减，值域为 (−(a−2)24,2a)；在 (a−22,+∞) 单调递增，值域为 (−(a−2)24,+∞)．由存在 a ∈[−4,−2)，方程 f (x )=tf (a )=2ta 有三个不相等的实根，则 2ta ∈(−(a−2)24,2a)，即 t ∈(1,(a−2)28a)，令 ℎ(a )=(a−2)28a，只要使 t <ℎ(a )max 即可，而 ℎ(a ) 在 a ∈[−4,−2) 单调递减，ℎ(a )max =ℎ(−4)=98，所以 t 的取值范围为 (1,98)．综上所述，实数t的取值范围为(1,98)．【知识点】函数的奇偶性、函数的零点分布、函数的单调性27. 【答案】(1) 函数f(x)=2cosxcos(π6−x)−√3sin2x+sinxcosx=√3(cos2x−sin2x)+2sinxcosx=2sin(2x+π3),所以函数的最小正周期为π．(2) 将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，所以g(x)=2sin(4x+π3)．因为x∈(0,π4)，所以4x+π3∈(π3,4π3)，所以g(x)∈(−√3,2]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质28. 【答案】任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x1+px1−(x2+px2)=(x1−x2)+p(x2−x1)x1x2=(x1−x2)⋅x1x2−px1x2. ⋯⋯①当x1,x2∈(0,√p)时，0<x1x2<p，x1−x2<0，所以①式大于0，即f(x1)−f(x2)>0，所以f(x2)<f(x1)，即f(x)在(0,√p)上单调递减；当x1,x2∈[√p,+∞)时，x1x2>p，x1−x2<0，所以①式小于0，即f(x1)−f(x2)<0，所以f(x2)>f(x1)，即f(x)在[√p,+∞)上单调递增．同理可得，当x∈(−√p,0)时，f(x)=x+px单调递减；当x∈(−∞,−√p]时，f(x)=x+px单调递增．综上所述，f(x)=x+px(p>0)在(−∞,−√p]和[√p,+∞)上单调递增，在 (−√p,0) 和 (0,√p) 上单调递减．【知识点】函数的单调性29. 【答案】(1) f (x ) 具有性质 P (12)．设 x 0∈[0,32]，令 f (x 0)=f (x 0+12)，则 (x 0−1)2=(x 0−12)2，解得 x 0=34，又 34∈[0,32]，所以 f (x ) 具有性质 P (12)．(2) 任取 x 0∈[0,2−m ]，令 f (x 0)=f (x 0+m )，则 (x 0−1)2=(x 0+m −1)2，因为 m ≠0，解得 x 0=−m2+1，又 0<m <2，所以 0<−m2+1<1，当 0<m <2，x 0=−m 2+1 时，(2−m )−x 0=(2−m )−(−m 2+1)=1−m 2>0，即 0<−m2+1<2−m ，即任取实数 m ∈(0,2)，f (x ) 都具有性质 P (m )．(3) m ∈(0,1]．首先，若 m ∈(0,1]，取 x 0=1−m 2，则1−m 2≥0 且 2−m −1−m 2=3−m 2>0，故 x 0∈[0,2−m ]．又 f (x 0)=sin (π2−mπ2)，f (x 0+m )=sin (π2+mπ2)=sin (π2−mπ2)=f (x 0)，所以 f (x ) 具有性质 P (m )；假设存在 m ∈(1,2) 使得 f (x ) 具有性质 P (m )，即存在 x 0∈[0,2−m ]，使得 f (x 0)=f (x 0+m )，若 x 0=0，则 x 0+m ∈(1,2)，f (x 0)=0，f (x 0+m )<0，f (x 0)≠f (x 0+m )；若 x 0∈(0,2−m ]，则 x 0+m ∈(m,2]，进而 x 0∈(0,1)， x 0+m ∈(1,2]，f (x 0)>0，f (x 0+m )≤0，f (x 0)≠f (x 0+m )，所以假设不成立，所以 m ∈(0,1]．【知识点】二次函数的性质与图像、函数的相关概念、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质30. 【答案】(1) 每套丛书售价定为 100 元时，销售量为 15−0.1×100=5 (万套)，所以每套丛书的供货价格为 30+105=32 (元)，故书商所获得的总利润为 5×(100−32)=340 (万元)．(2) 每套丛书售价定为 x 元时，由 {15−0.1x >0,x >0, 得 0<x <150 .设单套丛书的利润为 P 元，则 P =x −(30+1015−0.1x )=x −100150−x −30，因为 0<x <150，所以 150−x >0，所以 P =−[(150−x )+100150−x]+120，又 (150−x )+100150−x ≥2√(150−x )⋅100150−x =2×10=20，当且仅当 150−x =100150−x ，即 x =140 时等号成立，所以 P max =−20+120=100 .故每套丛书售价定为 140 元时，单套丛书的利润最大，为 100 元．【知识点】函数的模型及其实际应用、函数的最大（小）值、均值不等式的应用。

高一数学上册第一章函数及其表示知识点及练习题(含答案)(可编辑修改word版)

(x +1)(x -1)x2函数及其表示（一）知识梳理1.映射的概念设A、B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素 x，在集合B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射,记作 f(x).2.函数的概念 (1)函数的定义：设A、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意数x，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y=f(x),x∈A(2)函数的定义域、值域在函数y =f (x), x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，对于的函数值的集合值域。

所有的集合构成(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则3.函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析考点 1：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。

考点2：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数f [g(x)] 的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出f (x)一、选择题1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ C ）⑴y1=(x + 3)(x - 5)，yx + 3 2=x - 5 ；⑵y1= x +1x -1，y2=；⑶ f (x) =x ，g(x) =；⑷ f (x) = F (x) =⑸ f1(x) = ( 2x - 5)2 ，f 2 (x) = 2x - 5 .A. ⑴、⑵B. ⑵、⑶C. ⑷D. ⑶、⑸3 ⎨ ⎩⎨ f [ f (x + 6)],(x < 10) 2. 函数 y = f (x ) 的图象与直线 x = 1 的公共点数目是（ C ）A. 1B. 0C. 0 或1D. 1或23. 已知集合 A = {1, 2, 3, k }, B = {4, 7, a 4 , a 2 + 3a }，且 a ∈ N *, x ∈ A , y ∈ B使 B 中元素 y = 3x +1 和 A 中的元素 x 对应，则 a , k 的值分别为（D ） A. 2, 3 B. 3, 4 C. 3, 5 D. 2, 5 ⎧x + 2(x ≤ -1) 4. 已知 f (x ) = ⎪x 2 (-1 < x < 2) ，若 f (x ) = 3 ，则 x 的值是（D ） ⎪2x (x ≥ 2) A. 1 B. 1或 3 2 C. 1， 3 或± D.2f (x ) = ⎧x - 2,(x ≥ 10) 5. 设 ⎩ 则 f (5)的值为（ B ）A 10B 11C 12D 136 . 函数f (x )＝的定义域是（ A ） A ．－∞，0]B ．[0，＋∞C ．（－∞，0）D ．（－∞，＋∞） 7. 若函数f(x) =+ 2x + log 2x 的值域是 {3, 5 + , 20}，则其定义域是( B ) (A) {0，1，2，4}(B) {1，2，4} (C) {0，2，4} (D) {1，2，4，8}8.反函数是（ B ） A.B. C. D.二、填空题(x -1)09 . 函数 y = 的定义域是.x - x 310 函数 f (x ) = x 2 + x - 1的最小值是 .11. 若二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与x 轴交于 A (-2, 0), B (4, 0) ，且函数的最大值为9 ，则这个二次函数的表达式是 .三、解答题13. 求函数 f (x )=的定义域.14. 求函数 y = 的值域.-15 已知函数 f (x ) = ax 2 - 2ax + 3 - b (a > 0) 在[1, 3] 有最大值5 和最小值2 ，求a 、b 的值.x +1x 2 + x + 1⎨⎪ x - x > 0 ⎩9 . (-∞, 0)⎧⎪x -1 ≠ 0 , x < 0 ⎩ 参考答案（2） 10.- 5 4 f (x ) = x 2 + x -1 = (x + 1 )2 - 5 ≥ - 5 . 2 4 4 11.y = -(x + 2)(x - 4) 设 y = a (x + 2)(x - 4) ，对称轴 x = 1 ，当 x = 1 时， y max = -9a = 9, a = -111.三、 1. 解：∵ x +1 ≠ 0, x +1 ≠ 0, x ≠ -1，∴定义域为{x | x ≠ -1}2. 解： ∵ x 2 + x +1 = (x + 1 )2 + 3 ≥ 3 , ∴ y ≥ 24 4 3，∴值域为[ 2 3 , +∞) 2 30解：对称轴 x = 1 ， [1, 3] 是 f (x ) 的递增区间，f (x )max = f (3) = 5,即3a - b + 3 = 5f (x )⎧3a - b = 2 = f (1) = 2,即- a - b + 3 = 2, ∴ 得a = 3 , b = 1 .min ⎨-a - b = -1 4 4。

【必刷题】2024高一数学上册集合与函数专项专题训练(含答案)

【必刷题】2024高一数学上册集合与函数专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 若集合M={1，2，3}，N={x|x²4x+3=0}，则M∩N的结果是（）A. {1}B. {2}C. {3}D. {1，2}3. 已知函数f(x)=2x+1，那么f(2)的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 84. 下列函数中，哪一个是一对一函数？（）A. f(x)=x²B. f(x)=2xC. f(x)=|x|D. f(x)=x³5. 若函数g(x)=3x2，那么g(1)的值为（）A. 5B. 4C. 3D. 26. 设函数h(x)=x²2x，那么h(x)的最小值是（）A. 1B. 0C. 1D. 27. 若函数f(x)=kx²+2x+1（k≠0），且f(x)是单调递增函数，则k的取值范围是（）A. k>0B. k<0C. k=0D. k≠08. 已知集合P={x|1≤x≤4}，那么不属于P的数是（）A. 0B. 2C. 3D. 59. 若函数f(x)=x²+2x+1，那么f(x)的图像是（）A. 向上开口的抛物线B. 向下开口的抛物线C. 经过原点的直线D. 水平直线10. 已知函数g(x)=|x1|，那么g(x)在x=1处的导数是（）A. 0B. 1C. 1D. 不存在二、判断题：1. 集合{1，2，3}和{3，2，1}是同一个集合。

（）2. 函数f(x)=x²和g(x)=|x|在定义域内都是单调递增的。

（）3. 若函数h(x)=kx²+bx+c（k≠0），则h(x)的图像一定是一个抛物线。

（）4. 对于任意实数x，都有|x|²=x²。

（）5. 函数f(x)=2x+3和g(x)=2x3的图像关于y轴对称。

高一数学上学期基础复习练习题

高中数学高一上学期基础复习练习题一.选择题1.集合{}，，，，5311-=M 集合{}，，，513-=N 则以下选项正确的是 A.M N ∈ B.M N ⊆ C.{}51，=M N D.{}313，，--=M N2.若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（） A 3个 B 5个 C 7个 D 8个3.函数f(x)=log 2(x 2+2x −3)的定义域是( )A. [−3,1]B. (−3,1)C. (−∞,−3]∪[1,+∞)D. (−∞,−3)∪(1,+∞) 4. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（） A ． B. C. D.5. 下面的函数中是幂函数的是( )①； ②； ③； ④； ⑤．A ①⑤B ①②③C ②④D ②③⑤6.设m l 、是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是A.若，，α≠⊂⊥m m l 则α⊥lB.若，，∥αα≠⊂m l 则m l ∥C.若，∥，m l l β⊥则α⊥mD.若，∥，∥ααm l 则m l ∥7.下列函数中，满足“f(x +y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( )A. f(x)=x 12B. f(x)=x 3C. f(x)=(12)xD. f(x)=3x 22y x =+12y x =32y x =34y x =131y x =+8.若tan π12cos 5π12＝sin 5π12－m sin π12，则实数m 的值为( ) A ．2 3 B. 3 C ．2 D ．3二.填空题9. 已知函数满足，且,则= . 10.函数y =2√x 2+2的最小值是______ ．11.有一个半径为4的球是用橡皮泥制作的，现要将该球所用的橡皮泥重新制作成一个圆柱和一个圆锥，使得圆柱和圆锥有相等的底面半径和相等的高，若它们的高为8，则它们的底面圆的半径是_________.三.解答题12、（1）计算：；（2）已知，，用表示13、已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝4x 。

[必刷题]2024高一数学上册函数专项专题训练(含答案)

[必刷题]2024高一数学上册函数专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 设函数f(x) = (x^2 1)/(x + 1)，则f(x)的定义域为（）A. x ≠ 1B. x ≠ 0C. x ≠ 1D. x ≠ 1 且x ≠ 12. 若函数f(x) = 2x + 3在R上单调递增，则f(x)的图像（）A. 经过一、三象限B. 经过二、四象限C. 经过原点D. 经过y轴3. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x^3B. y = x^2C. y = |x|D. y = x^2 + 14. 已知函数f(x) = 2x 3，那么f(2)的值是（）A. 1B. 1D. 25. 若函数f(x) = (1/2)^x，则f(x)在区间（0，+∞）上的单调性是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 增减性不确定D. 先增后减6. 设函数g(x) = |x 1|，那么g(x)在x = 1处的导数是（）A. 1B. 1C. 0D. 不存在7. 下列函数中，既是奇函数又是偶函数的是（）A. y = cos(x)B. y = sin(x)C. y = x^3 xD. y = x^2 + x8. 若函数f(x) = log2(x)，则f(1/2)的值是（）A. 1B. 0C. 1D. 29. 已知函数f(x) = x^2 2x + 1，那么f(x)的最小值是（）B. 1C. 1D. 210. 若函数g(x) = 3x^3 4x^2 + 2x在x = 1处取得极值，则g'(1)的值是（）A. 1B. 5C. 0D. 1二、判断题：1. 函数f(x) = x^3 x是奇函数。

（）2. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，则f'(x) ≥ 0。

（）3. 函数f(x) = |x|在x = 0处的导数不存在。

（）4. 两个单调递增函数的和仍然是单调递增函数。

（）5. 函数f(x) = 1/x在区间(0, +∞)上单调递减。

高一数学上册巩固性训练题13

高一数学巩固性训练（13）1、设0<α<β<2π，sin α=53，cos(α－β)＝1312，则sin β的值为（）（A ）6516 （B ）6533 （C ）6556 （D ）65632、已知α∈(π，π23)，则α2cos 21212121++等于（）（A ）sin 2α （B ）－sin 2α （C ）cos 2α （D ）－cos 2α3,函数y=sin 4x+cos 4x 的周期是（）（A ）2π （B ）π （C ）2π （D ）4π4、下列各关系式中正确的是（）（A ）tan224°<sin136°<cos310° （B ）cos310°<sin136°<tan224°（C ）sin136°<cos310°<tan224° （D ）cos310°<tan224°<sin136°5、如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=－8π对称，则a=（）（A ）1 （B ）－1 （C ）2（C ）－26、下列函数值中：①cos(k π+3π)(k ∈Z)②cos(2k π±3π)(k ∈Z)③cos[(2k+1)π－3ππ] (k ∈Z)④cos[k π+(－1)k ·3π](k ∈Z)其中与cos 3π的值相等的有（）（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④7已知集合A={α|sin α≤22，α∈[0，2π]} ，B={β|cos β≤22，β∈[0，2π]}，则A B ________________。

8、函数y=2sin(x+10°)+cos(x+55°)的最大值是。

9、已知函数y=－cos(3x+1)，则它的递增区间是。

高一上期末数学考点专练 (常考122题29类) 详解版

高一上期末考点专练(常考122题29类)【题型1】集合的概念【题型2】集合间的基本关系【题型3】集合的基本运算【题型4】充分性与必要性【题型5】全称量词与存在量词【题型6】基本不等式【题型7】二次函数与一元二次方程、不等式【题型8】函数的概念及其表示【题型9】函数的基本性质【题型10】分段函数模型【题型11】指数与对数运算【题型12】指数(对数)函数过定点【题型13】指数(对数)函数图象问题【题型14】指数(对数)型复合函数的值域问题【题型15】对数型复合函数单调区间【题型16】指数(对数)型复合函数借助单调性奇偶性比较大小【题型17】根据不同函数增长差异选择适当的函数模型【题型18】函数零点(方程的根)问题【题型19】二分法【题型20】任意角与弧度制【题型21】三角函数定义【题型22】同角三角函数基本关系【题型23】诱导公式化简问题【题型24】三角函数的图象与性质【题型25】三角函数图象变化【题型26】求三角函数解析式【题型27】生活中的三角函数模型【题型28】三角函数中的零点问题【题型29】三角函数中的恒成立问题01集合的概念1.(2023下·广西北海·高二统考期末)用列举法可将集合x ,y ∣x ∈0,1 ,y ∈1,2 表示为()A.0,1B.1,2C.0,1 ,1,2D.0,1 ,0,2 ,1,1 ,1,2【答案】D【解析】x =0,y =1;x =0,y =2;x =1,y =1;x =1,y =2.∴集合x ,y ∣x ∈0,1 ,y ∈1,2 表示为0,1 ,0,2 ,1,1 ,1,2 .故选：D .2.(2022上·山西忻州·高三校考期末)设集合M ={m |m =5n +2n ,n ∈N *,且m <100}，则集合M 中所有元素的和为．【答案】231【解析】因为m =5n +2n <100且n ∈N *，所以n =1时，m =7<100，符合题意；n =2时，m =14<100，符合题意；n =3时，m =23<100，符合题意；n =4时，m =36<100，符合题意；n =5时，m =57<100，符合题意；n =6时，m =94<100，符合题意；n =7时，m =163>100，则n ≥7时不符合题意；所以集合M 共有6个元素，元素之和为231.故答案为：231.3.(2022上·新疆阿克苏·高一校考期末)已知集合A ={2,3},B ={1,m }，若3-m ∈A ，则实数m =.【答案】0【解析】若3-m =2，则m =1，而B ={1,m }，不满足集合元素的互异性；若3-m =3，则m =0，故B ={1,0}，满足题设，所以m =0．故答案为：04.(2022上·西藏林芝·高一校考期末)集合M =x ax 2-3x -2=0,a ≠0 中只有一个元素，则实数a 的值是.【答案】-98【解析】因为集合M =x ax 2-3x -2=0,a ≠0 中只有一个元素，则Δ=-3 2+8a =8a +9=0，解得a =-98．故答案为：-98.02集合间的基本关系1.(2022上·云南文山·高二校考期末)下列式子表示正确的是()A.∅⊊0B.2 ∈2,3C.∅∈1,2D.0⊆0,2,3【答案】A【解析】对于选项A ，由空集的定义可得：空集是任意非空集合的真子集，即∅⊊0 ，正确；对于选项B ，根据集合的关系知2 ⊆2,3 ，错误；对于选项C ，根据集合的关系知∅⊆1,2 ，错误；对于选项D ，根据元素与集合的关系知0∈0,2,3 ，错误.故选：A .2.(2021·陕西西安·校考模拟预测)已知集合A =x |x <-1 或x ≥3 ，B =x |ax +1≤0 ，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为()A.a -13≤a <1B.a -13≤a ≤1 C.a |a <-1 或a ≥0 D.a -13≤a <0 或0<a <1 【答案】A【解析】当B =∅时，ax +1≤0无解，此时a =0，满足题意；当B ≠∅时，ax +1≤0有解，即a ≠0，若a >0，则B =x ∣x ≤-1a ，所以要使B ⊆A ，需满足a >0-1a <-1，解得0<a <1；若a <0，则B =x ∣x ≥-1a ，所以要使B ⊆A ，需满足a <0-1a≥3，解得-13≤a <0.综上，实数a 的取值范围为a ∣-13≤a <1 ．故选：A .3.(多选)(2021上·福建福州·高一校联考期中)已知集合M =2,4 ，集合M ⊆N ⊊1,2,3,4,5 ，则集合N 可以是()A.2,4B.2,3,4C.1,2,3,4D.1,2,3,4,5【答案】ABC【解析】因为集合M =2,4 ，对于A ：N =2,4 满足M ⊆N ⊊1,2,3,4,5 ，所以选项A 符合题意；对于B ：N =2,3,4 满足M ⊆N ⊊1,2,3,4,5 ，所以选项B 符合题意；对于C ：N =1,2,3,4 满足M ⊆N ⊊1,2,3,4,5 ，所以选项C 符合题意；对于D ：N =1,2,3,4,5 不是1,2,3,4,5 的真子集，故选项D 不符合题意，故选：ABC .03集合的基本运算1.(2022上·新疆阿克苏·高一校考期末)设集合A =-1,0,1,2,3 ,B =2,3,4,5 ，则A ∩B =()A.{2}B.{4,5}C.{3,4}D.{2,3}【答案】D【解析】由题设A ∩B ={-1,0,1,2,3}∩{2,3,4,5}={2,3}.故选：D2.(2022上·云南临沧·高二校考期末)集合A =x 2x +3<7 ，B =x ∈N x <3 ，则A ∩B =()A.1B.0,1C.1,2D.0,1,2【答案】B【解析】集合A =x 2x +3<7 =x x <2 ，B =x ∈N x <3 =0,1,2 ，则A ∩B =0,1 ，故选：B .3.(2022上·新疆阿克苏·高一校考期末)已知集合A =x 1≤x ≤4 ，B ={x |3-a ≤x ≤3+a ,a >0}.(1)当a =4时，求A ∩B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的范围.【答案】(1)x 1≤x ≤4 (2)2,+∞【解析】(1)当a =4时，B =x -1≤x ≤7 ，∴A ∩B =x 1≤x ≤4 .(2)∵A ⊆B ，则3-a ≤14≤3+a，解得a ≥2,所以实数a 的取值范围为2,+∞ .4.(2023上·江苏徐州·高一徐州高级中学校考期中)已知A =x 1≤x ≤4 ，B =x m ≤x ≤m +2 ，其中m ∈R .(1)当m =3时，求A ∩B 和A ∪B ；(2)若A ∩B =B ，求实数m 的取值范围.【答案】(1)A ∩B =x 3≤x ≤4 ，A ∪B =x 1≤x ≤5 ，(2)1,2 【解析】(1)当m =3时，B =x 3≤x ≤5 ，所以A ∩B =x 3≤x ≤4 ，A ∪B =x 1≤x ≤5 .(2)若A ∩B =B ，则B ⊆A ，则m ≥1m +2≤4 ，解得1≤m ≤2.故实数m 的取值范围是1,2 .5.(2021上·江苏常州·高一校联考期中)设m 为实数，集合A ={x |-2≤x ≤4}，B =x |m ≤x ≤m +2 .(1)若m =3，求A ∪B ，∁R (A ∩B )；(2)若A ∩B =∅，求实数m 的取值范围.【答案】(1)A ∪B ={x |-2≤x ≤5}，∁R (A ∩B )={x |x <3或x >4}(2)-∞,-4 ∪4,+∞ 【解析】(1)集合A ={x |-2≤x ≤4}，m =3时，B =x |3≤x ≤5 ，所以A ∪B =x |-2≤x ≤5 ，又因为A ∩B =x |3≤x ≤4 ，所以∁R (A ∩B )=x |x <3 或x >4 ，(2)由A ∩B =∅，得m +2<-2或m >4，即m <-4或m >4，所以实数m 的取值范围是-∞,-4 ∪4,+∞ .6.(2017上·辽宁大连·高一庄河高中校考期末)已知全集U =R ，集合A =x |2<x <9 ,B =x |-2≤x ≤5 ．(1)求A∩B,B∪(∁U A)；(2)已知集合C=x|a≤x≤2-a，若C∪(∁U B)=R，求实数a的取值范围．【答案】(1)A∩B=x|2<x≤5，B∪(∁U A)=x|x≤5,或x≥9；(2)a≤-3【解析】(1)∵全集U=R，集合A=x|2<x<9,B=x|-2≤x≤5；∴A∩B=x|2<x≤5；∵∁U A=x|x≤2或x≥9，∴B∪(∁U A)=x|x≤5,或x≥9；(2)∵∁U B=x|x<-2或x>5，又集合C=x|a≤x≤2-a，且C∪(∁U B)=R，∴a≤2-aa≤-22-a≥5，解得a≤-3，∴实数a的取值范围是a≤-3．04充分性与必要性1.(2022上·贵州黔西·高二校考期末)设x∈R，则“x≤2”是“x-1≤1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先说充分性：当x≤2，比如x=-2，此时：x-1=-2-1=3≤1不成立，所以“x≤2”不是“x-1≤1”的充分条件；再说必要性：x-1≤1⇒-1≤x-1≤1⇒0≤x≤2，所以x≤2成立，所以“x≤2”是“x-1≤1”的必要条件.故“x≤2”是“x-1≤1”的必要不充分条件.故选：B2.(2023下·辽宁·高二校联考期末)“a≥-14”是“方程x +x2=a有实数解”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当a=-14时，此时的方程为x2+x +14=0，即x +122=0无解，所以a≥-14⇏x +x2=a有实数解；因为x ≥0，所以a=x +x2=x +1 22-14≥0，即a≥0⇒a≥-14，所以方程x +x2=a有实数解⇒a≥-1 4；所以“a≥-14”是“方程x +x2=a有实数解”的必要不充分条件．故选：B.3.(多选)(2023上·四川凉山·高一统考期末)若关于x的方程x2+m-1x+1=0至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是()A.-1<m<3B.-2<m<4C.m<4D.-1≤m<2【答案】BC【解析】因为方程x2+m-1x+1=0至多有一个实数根，所以方程x2+m-1x+1=0的判别式Δ≤0，即：(m-1)2-4≤0，解得-1≤m≤3，利用必要条件的定义，结合选项可知，-1≤m≤3成立的必要条件可以是选项B和选项C.故选：BC.4.(2023下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末)已知1x-2≥1是x-a<2的充分非必要条件，则实数a的取值范围是．【答案】1,4【解析】由1x-2≥1，解得2<x≤3，记A=x2<x≤3，由x-a<2，解得a-2<x<a+2，记B=x a-2<x<a+2，∵“1x-2≥1”是“x-a<2”的充分非必要条件，∴A真包含于B，即a-2≤2a+2>3，解得1<a≤4.故答案为：1,405全称量词与存在量词1.(2022上·江西宜春·高二校考期末)已知命题p:∀x∈[1,2]，都有x2∈[1,4]，则¬p为()A.∀x∉[1,2]，都有x2∉[1,4]B.∃x∉[1,2]，使得x2∉[1,4]C.∀x∈[1,2]，都有x2∈(-∞,1)∪(4,+∞)D.∃x∈[1,2]，使得x2∈(-∞,1)∪(4,+∞)【答案】D【解析】命题p:∀x∈[1,2]，都有x2∈[1,4]，所以¬p为∃x∈[1,2]，使得x2∈(-∞,1)∪(4,+∞)，故选：D.2.(多选)(2023上·安徽·高一安徽省颍上第一中学校联考期末)命题p：∃x∈R，x2+bx+1≤0是假命题，则实数b的值可能是()A.-74B.-32C.2D.52【答案】AB【解析】因为命题p：∃x∈R，x2+bx+1≤0是假命题，所以命题：∀x∈R，x2+bx+1>0是真命题，也即对∀x∈R，x2+bx+1>0恒成立，则有Δ=b2-4<0，解得：-2<b<2，根据选项的值，可判断选项AB符合，故选：AB.3.(2020上·江苏扬州·高二扬州市江都区丁沟中学校考期末)命题p：“∀x>0，都有x2-x≥0”的否定：.【答案】∃x>0，都有x2-x<0【解析】由全称命题的否定，得命题p：“∀x>0，都有x2-x≥0”的否定为：∃x>0，都有x2-x<0.故答案为：∃x>0，都有x2-x<0.4.(2016上·安徽合肥·高二统考期末)命题“∃x∈R,ax2+ax+1<0”为假命题，则实数a的取值范围是.【答案】0，4【解析】解：命题“∃x∈R,ax2+ax+1<0”的否定为：“∀x∈R，ax2+ax+1≥0”，因为原命题为假命题，则其否定为真，所以当a=0时，1≥0恒成立，满足题意；当a≠0时，只需a>0Δ=a2-4a≤0，解得：0<a≤4.所以实数a的取值范围是0，4.故答案为：0，4.06基本不等式1.(2023上·重庆·高一统考期末)若正实数x，y满足2x+8y-xy=0，则2x+y的最大值为()A.25B.16C.37D.19【答案】D【解析】∵x>0,y>0,2x+8y-xy=0,∴2y+8x=1,x+y=x+y2y+8x=2x y+8+2+8y x≥22x y×8y x+10=18,∴2x+y≤218=19.故选:D.2.(2021上·陕西延安·高二校考期末)已知a>0，b>0，且12a+1b=1，则a+2b的最小值为()A.92B.52C.52+2D.42【答案】A【解析】因为12a+1b=1，所以a+2b=a+2b12a+1b=a b+b a+52≥2a b⋅b a+52=92，当且仅当ab=ba时，即a=b=32取等号，所以a+2b的最小值为92.故选：A.3.(多选)(2022上·重庆巫山·高一校考期末)下列说法正确的有()A.若xy>0，则yx+xy≥2yx⋅xy=2B.因为y=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+4≥2，所以x2+5x2+4min=2C.x+1x≥2(x∈R且x≠0)D.若正数x，y满足x+2y=3xy，则2x+y的最小值为3【答案】ACD【解析】对于A，由xy>0可得yx>0,xy>0，所以yx+xy≥2yx⋅xy=2，当且仅当x=y时等号成立，故A正确；对于B，由y=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+4≥2可知当且仅当x2+4=1x2+4时，等号成立，而x2+4≥2，显然等号不成立，所以x2+5x2+4min=2错误，可知B错误；对于C，当x>0时，x+1 x=x+1x≥2x⋅1x=2，当且仅当x=1时，等号成立；当x<0时，x+1 x=-x+1-x≥2-x⋅1-x=2，当且仅当x=-1时，等号成立；即可得x+1 x≥2成立，所以C正确；对于D，由x+2y=3xy可得1y+2x=3，则2x+y=132x+y1y+2x=132x y+4+1+2y x≥135+22y x⋅2x y=3，当且仅当2yx=2xy，即x=y=1时，等号成立；即D正确.故选：ACD4.(2020下·浙江宁波·高一校联考期末)已知正实数x，y满足x+y=1，则1x+1+4y+2的最小值．【答案】94因为x+y=1,x>0,y>0，所以x+1+y+2=4，【解析】则1x+1+4y+2=141x+1+4y+2x+1+y+2=14y+2x+1+4x+1y+2+5≥142y+2x+1⋅4x+1y+2+5=94，当且仅当y+2x+1=4x+1y+2时，即x=13,y=23时，等号成立，所以1x+1+4y+2的最小值为94.07二次函数与一元二次方程、不等式1.(多选)(2020上·浙江温州·高一温州中学校考阶段练习)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为x|x≤3或x≥4 ，则下列结论中，正确结论的序号是()A.a>0B.不等式bx+c<0的解集为x|x<-4C.不等式cx2-bx+a<0的解集为x x<-14或x>13D.a+b+c>0【答案】AD【解析】对于A项，由不等式的解集范围为两边，即可得出二次函数开口向上，即a>0，故A项正确；对于B项，由已知可得，3、4即为ax2+bx+c=0的两个解.由韦达定理可得，-b a =3+4=7c a=12，解得b =-7ac =12a ，代入可得-7ax +12a <0.又a >0，所以x >127，所以解集为x x >127，故B 项错误；对于C 项，由B 知，b =-7a ，c =12a ，a >0，代入不等式可得12ax 2+7ax +a <0，化简可得12x 2+7x +1<0，解得-13<x <-14，所以，不等式cx 2-bx +a <0的解集为x -13<x <-14，故C 项错误；对于D 项，由已知可得，当x =1时，有a +b +c =a -7a +12a =6a >0，故D 项正确.故选：AD .2.(2022上·新疆哈密·高一校考期末)已知关于x 的不等式-x 2+4x ≥a 2-3a 在x ∈[1,4]上有解，则实数a 的取值范围是．【答案】-1,4【解析】设f x =-x 2+4x ，则f x =-x 2+4x 在x ∈[1,4]的最大值为4，因为关于x 的不等式-x 2+4x ≥a 2-3a 在x ∈[1,4]上有解，即4≥a 2-3a ，解得-1≤a ≤4，故答案为：-1,4 .3.(2023下·湖南长沙·高二统考期末)设关于x 的函数f x =ax 2-2a +1 x +b (a ≠0)，其中a ，b 都是实数.(1)若f (x )<0的解集为{x |1<x <2}，求出a 、b 的值；(2)若b =4，求不等式f (x )>0的解集.【答案】(1)a =2,b =4(2)当a <0时，解集为2a ,2；a ≥1时，解集为-∞2a∪(2,+∞);a <1时，解集为(-∞,2)∪2a ,+∞ .【解析】(1)f (x )<0的解集为{x |1<x <2}，则f x =ax 2-2a +1 x +b 的开口向上，1,2是对应方程的两根，则a >03=2a +2a 2=ba，即a =2b =4 ；(2)若b =4，则f x =ax 2-2a +1 x +4=(ax -2)(x -2)，x 1=2a ,x 2=2，当a <0时，2a <2，则f (x )>0的解集为2a,2 当a >0时，若2a ≤2，即a ≥1时，f (x )>0的解集为-∞,2a∪(2,+∞)；当a <1时，2a >2，f (x )>0的解集为(-∞,2)∪2a,+∞ ；综上：当a <0时，解集为2a ,2 ；a ≥1时，解集为-∞,2a∪(2,+∞)a <1时，解集为(-∞,2)∪2a,+∞ .4.(2021上·云南曲靖·高一校考期末)设f x =x 2-a -1 x +a -2.(1)若不等式f x ≥-2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式f x <0a ∈R .【答案】(1)3-22≤a ≤3+22(2)答案见解析【解析】(1)由题意，不等式f (x )≥-2对于一切实数x 恒成立，等价于x 2-(a -1)x +a ≥0对于一切实数x 恒成立.所以Δ≤0⇔(a -1)2-4a ≤0⇔3-22≤a ≤3+2 2.(2)不等式f (x )<0等价于x 2-(a -1)x +a -2<0⇔[x -(a -2)](x -1)<0.当a -2>1即a >3时，不等式可化为1<x <a -2，不等式的解集为x 1<x <a -2 ；当a -2=1即a =3时，不等式可化为(x -1)2<0，不等式的解集为∅；当a -2<1即a <3时，不等式可化为a -2<x <1，此时x a -2<x <1 .综上所述：当a <3时，不等式的解集为x a -2<x <1 ；当a =3时，不等式的解集为∅；当a >3时，不等式的解集为x 1<x <a -2 .08函数的概念及其表示1.(2023上·江苏徐州·高一统考期末)已知函数f x 满足：对任意的非零实数x ，y ，都f x +y =1x +1y f x f y 成立，f 1 =2.若f n =f n +1 ，n ∈Z ，则n =()A.-3 B.-2C.2D.3【答案】B【解析】由题意可得，f 1+n =1+1n f 1 f n =n +1n×2f n ，又f n =f n +1 ，所以n +1n×2=1，而n ∈Z ，可得n =-2.故选：B2.(2023上·甘肃临夏·高一校考期末)下列两个函数相等的是()A.f (x )=x 2和g (x )=3x 3 B.f (x )=1和g (x )=x 0C.f (x )=x 12和g (x )=x D.f (x )=2lg x 和g (x )=lg x 2【答案】C【解析】对于A ，f (x )=x 2，g (x )=3x 3定义域为R ，f (x )=x 2=x ，g (x )=3x 3=x ，故A 不正确；对于B ，f (x )=1定义域为R ，g (x )=x 0定义域为x |x ≠0 ，故B 错误；对于C ，f (x )=x 12=x ，g (x )=x 的定义域为x |x ≥0 ，故C 正确；对于D ，f (x )=2lg x 定义域为x |x >0 ，g (x )=lg x 2的定义域为x |x ≠0 ，故D 错误；故选：C .3.(2020上·陕西延安·高一校考期末)已知函数f x -1 =2x 2+3x ，则f x =()A.2x 2+7x +3B.2x 2+x -1C.2x 2-7x +5D.2x 2+7x +5【答案】D【解析】由f x -1 =2x 2+3x ，设x -1=t ，则x =t +1所以f t =2t +1 2+3t +1 =2t 2+7t +5，所以f x =2x 2+7x +5,故选：D4.(2023上·天津红桥·高一天津市瑞景中学校考期末)已知函数f (x )=log 3x ,x >02x,x ≤0，则f f 13=.【答案】12因为f (x )=log 3x ,x >02x ,x ≤0，所以f 13 =log 313=-1<0，【解析】故f f 13 =f (-1)=2-1=12，故答案为：12.5.(2023下·辽宁铁岭·高二校联考期末)已知函数f x ，g x 满足f 2x -1 +g x +1 =4x 2-2x -1．(1)求f 3 +g 3 的值；(2)若g x =2x ，求f x 的解析式与最小值．【答案】(1)11；(2)f (x )=x 2-4，-4.【解析】(1)因为函数f x ，g x 满足f 2x -1 +g x +1 =4x 2-2x -1，所以当x =2时，f 3 +g 3 =4×22-2×2-1=11.(2)由g x =2x ，得g x +1 =2x +2，于是f 2x -1 +2x +2=4x 2-2x -1，即f 2x -1 =4x 2-4x -3=(2x -1)2-4，因此f (x )=x 2-4，当x =0时，f (x )min =-4，所以f x 的解析式是f (x )=x 2-4，最小值为-4.09函数的基本性质1.(2022上·新疆乌鲁木齐·高一新疆农业大学附属中学校考期末)f x 是定义在-4,2b 上的偶函数，且在-2b ,0 上单调递增，则f x +1 ≤f -1 的解集为()A.-2,0B.-5,3C.-5,-2 ∪0,3D.-∞,-2 ∪0,+∞【答案】C【解析】因为f x 是定义在-4,2b 上的偶函数，所以-4+2b =0，解得b =2，所以f x 的定义域为-4,4 ，又因为f x 在-4,0 上单调递增，所以f x 在0,4 上单调递减，又因为f x +1 ≤f -1 ，则f x +1 ≤f -1 ，所以x +1 ≥1-4≤x +1≤4，解得-5≤x ≤-2或0≤x ≤3，所以f x +1 ≤f -1 的解集为-5,-2 ∪0,3 ．故选：C ．2.(2023上·广东深圳·高一深圳大学附属中学校考期末)已知函数y =f x 的图象关于y 轴对称，且对于y=f x x ∈R ，当x 1,x 2∈-∞,0 时，f x 1 -f x 2x 1-x 2<0恒成立，若f (2ax )<f 2x 2+1 对任意的x ∈R恒成立，则实数a 的取值范围可以是下面选项中的()A.-2,-1B.-12,1C.0,2D.2,+∞【答案】ABC【解析】由题意得y =f x 为偶函数，且在-∞,0 上，y =f x 单调递减，故y =f x 在0,+∞ 上单调递增，因为f (2ax )<f 2x 2+1 ，故f 2ax <f 2x 2+1 ，所以2ax <2x 2+1，当x =0时，0 <1恒成立，满足要求，当x ≠0时，2a <2x 2+1x =2x +1x在x ∈-∞,0 ∪0,+∞ 上恒成立，其中2x +1x ≥22x ⋅1x =22，当且仅当2x =1x ，即x =22时，等号成立，故2a <22，解得-2<a <2，综上，a 的取值范围为-2<a <2A 选项，由于-2,-1 ⊆-2,2 ，A 正确；B 选项，-12,1 ⊆-2,2 ，B 正确；C 选项，0,2 ⊆-2,2 ，C 正确；D 选项，2,+∞ 显然不是-2,2 的子集，D 错误.故选：ABC 3.(2022上·江西宜春·高二校考期末)已知定义在R 上的函数f x 满足f -x =f x ,f x +2 =f 2-x ，当x ∈0,1 时，f x =x 3-3x ，则f 2023 =．【答案】-2【解析】由已知可知f x 是偶函数，且f -x =f x f x +2 =f 2-x⇒f -x +2 =f x -2 =f x +2 ⇒f x +4 =f x ，故f 2023 =f -1 =f 1 =1 3-3×1=-2.故答案为：-24.(2022上·云南临沧·高一校考期末)已知函数f x 是定义在区间-1,1 上的奇函数，且在-1,1 上是单调递增的，若实数a 满足f 1-a +f 1-2a <0，求实数a 的取值范围．【答案】23,1【解析】由题意可得f 1-a +f 1-2a <0⇔f 1-a <-f 1-2a =f 2a -1 ，则-1<1-a <2a -1<1⇒a ∈23,1，故实数a 的取值范围为23,1．5.(2022上·新疆哈密·高一校考期末)函数f (x )=ax -b 4-x2是定义在(-2,2)上的奇函数，且f (1)=13．(1)确定f (x )的解析式；(2)判断f(x)在(-2,2)上的单调性，并证明你的结论；(3)解关于t的不等式f(t-1)+f(t)<0．【答案】(1)f(x)=x4-x2；(2)f(x)在(-2,2)上是增函数，证明见解析；(3)-1,12．【解析】(1)由题意f(0)=-b4=0f(1)=a-b4-1=13，解得a=1b=0，此时f(x)=x4-x2，满足f(-x)=-f(x)，所以f(x)=x4-x2；(2)f(x)在(-2,2)上是增函数，证明如下：设任意的x1,x2∈(-2,2)且x1<x2，f(x1)-f(x2)=x14-x21-x24-x22=(x1-x2)(4+x1x2)(4-x21)(4-x22)，又-2<x1<x2<2，则x1-x2<0，4+x1x2>0，4-x21>0，4-x22>0，所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(-2,2)上是增函数；(3)不等式f(t-1)+f(t)<0化为f(t-1)<-f(t)，又f(x)是奇函数，则f(t-1)<f(-t)，再由(2)得-2<t-1<-t<2，解得-1<t<12．即解集为-1,12．6.(2023上·安徽合肥·高一校联考期末)已知函数f x =ax2+bx+c a≠0，不等式f x <0的解集为0,2，且f3 =9.(1)求函数f x 的解析式；(2)设函数f x 在x∈t,t+1上的最小值为g t ，求g t 的表达式.【答案】(1)f x =3x2-6x(2)答案见解析【解析】(1)因为函数f x =ax2+bx+c a≠0，不等式f x <0的解集为0,2，所以a>0且0和2为方程ax2+bx+c=0的两个根，则有0+2=-b a0×2=c a，解得b=-2a，c=0，又因为f3 =9，则9a+3b=9，可得a=3，b=-6，所以f x =3x2-6x.(2)因为f x =3x2-6x=3x-12-3，图象开口向上，对称轴为x=1，①当t≥1时，函数f x 在t,t+1上单调递增，所以g t =f x min=f t =3t2-6t；②当t<1<t+1，即0<t<1时，函数f x 的对称轴在区间t,t+1内，故g t =f x min=f1 =-3；③当t +1≤1，即t ≤0时，函数f x 在t ,t +1 上单调递减，所以g t =f x min =f t +1 =3t 2-3；综上所述：g t =3t 2-6t ,t ≥1-3,0<t <13t 2-3,t ≤0.7.(2023上·河北邯郸·高一校考期末)已知定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足：①对任意的x ,y ∈(0,+∞)，都有f (xy )=f (x )+f (y )；②当且仅当x >1时，f (x )<0成立．(1)求f (1)；(2)用定义证明f (x )的单调性；【答案】(1)0；(2)见解析.【解析】(1)令x =y =1，则由题意可得f (1×1)=f (1)+f (1)=f 1 ⇒f 1 =0，(2)任取x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2，即x 2x 1>1，由题意可得f x 1 +f x 2x 1=f x 2 ⇒f x 2 -f x 1 =f x 2x 1 ，而当且仅当x >1时，f (x )<0，所以f x 2 -f x 1 <0，即f x 2 <f x 1 ，所以函数f (x )在(0,+∞)单调递减.10分段函数模型1.(2020上·广东汕尾·高一海丰县彭湃中学校考期末)已知函数f (x )=log a x ,x >1,(2a -1)x +3a ,x ≤1 在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是()A.0,12B.0,15C.15,+∞D.15,12【答案】D【解析】函数f (x )=log a x ,x >1,(2a -1)x +3a ,x ≤1在R 上为减函数所以满足0<a <1,2a -1<0,(2a -1)⋅1+3a ≥0,解不等式组可得15≤a <12.故选:D2.(多选)(2022上·贵州毕节·高一统考期末)已知函数f x =x +3,x ≤-1x 2,-1<x <3，关于函数f x 的结论正确的是()A.f x 的定义域为RB.f x 的值域为-∞,9C.f 1 =1D.若f x =4，则x 的值是2【答案】BCD【解析】对A ：由题意知函数f x 的定义域为-∞,3 ，故A 错误；对B ：当x ≤-1时，f x =x +3≤2；当-1<x <3时，f x =x 2∈0,9 ；则f x 的值域为-∞,9 ，故B 正确；对C ：当x =1时，f 1 =12=1，故C 正确；对D ：当x ≤-1时，f x =x +3=4，解得x =1>-1，不合题意；当-1<x<3时，f x =x2=4，解得x=2或x=-2(舍去)；综上所述：若f x =4，则x的值是2，故D正确；故选：BCD．3.(2019下·江苏宿迁·高二统考期末)设函数f x =12 x-3,x≤0x2-2,x>0，若f m >f-2，则实数m的取值范围是.【答案】-∞,-2∪3,+∞【解析】作出函数f(x)=12 x-3,x≤0x2-2,x>0的图象如图，由图可知，满足f m>f-2的实数m的取值范围是-∞,-2∪3,+∞．故答案为：-∞,-2∪3,+∞．4.(2020上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末)已知函数f x =1-2ax+3a，x<12x-1，x≥1的值域为R，则实数a的取值范围是.【答案】0,12【解析】当x≥1时,f x =2x-1,此时值域为1,+∞若值域为R,则当x<1时.f x =1-2ax+3a为单调递增函数,且最大值需大于等于1即1-2a>01-2a+3a≥1,解得0≤a<12故答案为:0,125.(2021上·浙江·高一期末)f(x)=13-ax+1,x<1,a x,x≥1满足：对任意x1≠x2都有f x1 -f x2x1-x2<0成立，a的取值范围．【答案】13,23【解析】因为对任意x1≠x2都有f x1-f x2x1-x2<0成立，不妨设x1<x2，则有f x1>f x2，所以y=f x 为减函数，所以需满足：13-a<00<a<113-a×1+1≥a1，解得：13<a≤23.则a的取值范围13,23.故答案为：13,236.(2023上·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末)高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称.函数y=[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如 2.3=2，-0.5= -1，当x∈-1.5,2时，函数y=x x的值域为.【答案】[0,2)∪(2,3)【解析】依题意，当-1.5<x<-1时，[x]=-2，则y=-2x∈(2,3)，当-1≤x<0时，[x]=-1，则y=-x∈(0,1]，当0≤x<1时，[x]=0，则y=0，当1≤x<2时，[x]=1，则y=x∈[1,2)，所以当x∈-1.5,2时，函数y=x x的值域为[0,2)∪(2,3).故答案为：[0,2)∪(2,3)7.(2022上·天津滨海新·高一校考期末)已知λ∈R，函数f x =x-3,x>λx2-3x+2,x≤λ，当λ=2时，不等式则f x <0的解集是；若函数f x 的图象与x轴恰有2个交点，则λ的取值范围是.【答案】1,2∪2,31,2∪3,+∞【解析】λ=2，f x =x-3,x>2x2-3x+2,x≤2，则当x>2，f x =x-3<0得2<x<3；当x≤2，f x =x2-3x+2<0得1<x<2；综上，当λ=2时，不等式则f x <0的解集是1,2∪2,3.函数f x 的图象与x轴恰有2个交点等价于f x =0恰有两个根，又x-3=0⇒x=3，x2-3x+2=0⇒x∈1,2.故当λ≥3，f x =0根为1、2，符合题意；当2≤λ<3，f x =0根为1、2、3，不合题意；当1≤λ<2，f x =0根为1、3，符合题意；当λ<1，f x =0根为3，不合题意；故λ的取值范围是1,2∪3,+∞.故答案为：1,2∪2,3；1,2∪3,+∞.8.(2020上·广东深圳·高一统考期末)已知函数f(x)=2x-1,x≤13-2x,x>1，则f(f(3))=.若存在a<b<c，使得f(a)=f(b)=f(c)，则2a+2b+1+2c=.【答案】31 326【解析】(1)f(f(3))=f(3-23)=f(-5)=|2-5-1|=31 32；(2)作出函数的图象，可得a<0,0<b<1,c>1，∵f(a)=f(b)=f(c)，∴2a-1=2b-1=3-2c⇒1-2a=2b-1=3-2c，∴2a +2b =2,2b +2c =4，∴2a +2b +1+2c =6；故答案为：3132；6.9.(2020上·浙江湖州·高一统考期末)已知函数f (x )=x 2-2x +4,x ≤32+log ax ,x >3(a >0，且a ≠1)，则f (f (1))=，若函数f (x )的值域为[3,+∞)，则实数a 的取值范围是.【答案】7.(1,3].【解析】解：∵f (x )=x 2-2x +4,x ≤32+log ax ,x >3，∴f 1 =1-2+4=3，∴f (f (1))=f (3)=7；当x ≤3时，f (x )=(x -1)2+3≥3，要函数的值域是[3,+∞)，只要a >12+log a 3≥3即可，解得1<a ≤3，故答案为：7，1,3 ．11指数与对数运算1.(2022上·新疆昌吉·高一校考期末)(1)2a -3⋅b -23⋅-3a-1b ÷4a -4b-53；(2)计算：log 49-log 212+10-lg 52.【答案】(1)-32b 2；(2)-85.【解析】(1)原式=2⋅-3 ÷4 ·a -3⋅a -1⋅a 4⋅b-23⋅b ⋅b53=-32b 2.(2)原式=log 23-log 23+log 24 +10lg 25=log 23-log 23-2+25=-85.2.(2022上·云南曲靖·高一校考期末)计算下列各式的值：(1)e 0-(-3)2-43-13×29-13+5-log 52(2)log 23-log 26+log 227×log 34【答案】(1)-3(2)5【解析】(1)原式=1-3-43×29 -13+5log 512=1-3-32+12=-3.(2)原式=log 236+3log 23 ×2log 32 =-1+6=5.3.(2022上·吉林·高一校考期末)计算下列各式的值(1)4-32+9412-3-1 0+3-278(2)log 25⋅log 54-ln ln e +21+log 24【答案】(1)-78(2)10【解析】(1)4-32+9412-3-1 0+3-278=18+32-1-32=-78.(2)log 25⋅log 54-ln ln e +21+log 24=2-0+8=10.4.(2022上·广东深圳·高一校考期末)(1)化简214 12-1813+2-1 -1-π0；(2)12lg25+lg2+lg 1100-log 29×log 32．【答案】2+1;-3.【解析】(1)214 12-18 13+2-1 -1-π0=94 12-12 3 13+12-1-1=32-12+2+12-1 2+1 -1=32-12+2+1-1=2+1，(2)12lg25+lg2+lg 1100-log 29×log 32=12lg52+lg2+lg10-2-log 232×log 32=lg5+lg2-2-2log 23×log 32=1-2-2=-3.12指数(对数)函数过定点1.(2022上·云南红河·高一校考期末)函数f (x )=log a (2x -3)+5 0<a <1 ，a ≠1 的图象过定点A ，则A 的坐标为()A.1,0B.1,5C.2,5D.2,6【答案】C【解析】由log a 1=0 0<a <1 ，a ≠1 可得，当x =2时，有f 2 =log a 1+5=5，故其过定点A 2,5 .故选：C .2.(2023上·广东东莞·高一东莞市东莞中学松山湖学校校考期中)函数f x =log a 4x -3 +1(a >0且a ≠1)的图象定点A m ,n ，若对任意正数x ,y ，都有mx +ny =3，则1x +1+1y的最小值为()A.4B.2C.12D.1【答案】D【解析】由f x =log a 4x -3 +1(a >0且a ≠1)，令4x -3=1，则x =1,f (1)=log a 1+1=1，即f (x )的图象恒过定点A 1,1 ，则m =1,n =1，由mx +ny =3，所以x +y =3，x +1+y4=1，又x +1>0,y >0，则1x +1+1y =14(x +1+y )1x +1+1y=141+1+x +1y +y x +1 ≥142+2x +1y ⋅y x +1 =1，当且仅当x +1y =y x +1，即x =1y =2 时，等号成立.故选：D .3.(2023上·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校联考期中)实数a >0且a ≠1，则函数y =a x -1+3的图象恒过定点．【答案】1,4【解析】令x -1=0，则x =1,y =4，所以函数y =a x -1+3的图象恒过定点1,4 .故答案为：1,4 .4.(2023上·江苏苏州·高一苏州中学校考期中)已知幂函数f x =a 2-a -1 x a 在区间0,+∞ 上单调递减，则函g x =b x +a -1b >1 的图象过定点【答案】1,0【解析】由函数f x =a 2-a -1 x a 为幂函数，可得a 2-a -1=1，即a 2-a -2=0，解得a =2或a =-1，当a =2时，可得f x =x 2在0,+∞ 单调递增，不符合题意，舍去；当a =-1时，可得f x =x -1在0,+∞ 单调递减，符合题意，此时函数g x =b x -1-1，令x -1=0，即x =1，可得g x =b 0-1=0，所以函数g x 的图象恒过定点1,0 .故答案为：1,0 .13指数(对数)函数图象问题1.(2022上·河北邯郸·高一统考期末)函数f x =x x 2-1 2x的图象大致是()A. B.C. D.【答案】C【解析】∵f -x =-x -x 2-1 2|-x |=-x x 2-1 2|x |=-f x ，∴f x 为奇函数，A 不正确；很显然f x =x x 2-1 2|x |有三个零点分别为0，±1，f 12 =1214-1 212 =-38⋅212<0，只有C 符合.故选：C .2.(2021上·陕西渭南·高一统考期末)若定义运算f a ⊗b =a ,a ≤b b ,a >b则函数f log 2x ⊗2-x 的值域是()A.-1,0B.-1,1C.0,1D.1,+∞【答案】C【解析】由题意可得：f log 2x ⊗2-x=log 2x ,log 2x ≤2-x2-x ,log 2x >2-x，作函数y =log 2x 与函数y =2-x 的图象，如下图所示：由图可知：f log 2x ⊗2-x =log 2x ,x ∈x 1,x 22-x ,x ∈0,x 1 ∪x 2,+∞ ，易知其值域为0,1 .故选：C .3.(2019上·浙江金华·高三校联考期末)在同一直角坐标系中，函数y =x a ，y =log |a |(x -a )(a ≠0)的图象不可能的是()A. B.C. D.【答案】A【解析】对于A 来说：幂函数中0<a <1，而对数函数平移后的图象应该还在y 轴右侧(定义域为a ,+∞ )，所以A 是不可能的；对于B 来说：幂函数中a >1，而对数函数平移后的图象应该还在直线x =a 右侧(定义域为a ,+∞ )，所以B 是可能的；对于C 来说：幂函数中a <0，选择a <-1，而对数函数平移后的图象应该还在直线x =a 右侧(定义域为a ,+∞ )，所以C 是可能的；对于D 来说：幂函数中a <0，选择-1<a <0，而对数函数平移后的图象应该还在直线x =a 右侧(定义域为a ,+∞ )，所以D 是可能的.故选：A .4.(2023上·陕西西安·高一统考期末)在同一平面直角坐标系中，函数y =a -x ，y =log a x +a a >0 且a ≠1 的图象可能是()A. B.C. D.【答案】A【解析】对于AB ，若y =a -x =1ax图象正确，则0<a <1，∴y =log a x +a 单调递减，又x =1时，y =log a 1+a =a >0，A 正确，B 错误；对于CD ，若y =a -x =1ax图象正确，则a >1，∴y =log a x +a 单调递增，CD 错误.故选：A .5.(2023上·湖南益阳·高一校联考期末)函数g (x )=log a (x +1) (a >0且a ≠1)的图像大致为()A. B.C. D.【答案】C【解析】g (x )=log a (x +1) ，函数定义域为-1,+∞ ，有g (0)=0，函数图像过原点，AD 选项不符合，g (x )=log a (x +1) ≥0，B 选项不符合.故选：C .6.(多选)(2022上·广西百色·高一统考期末)函数f x =a x -1 (a >0，且a ≠1)与g x =a -x 在同一坐标系中的图像可能是()A..B.C. D.【答案】BD【解析】由题意得，f x =a x -1 中若x →+∞，f x →+∞，则a >1，若x →-∞，f x →+∞，则0<a <1；g x =a -x 中a 表示纵截距.对于A ，f x =a x -1 图像中a >1，g x =a -x 图像中0<a <1，故A 错误；对于B ，f x =a x -1 图像中a >1，g x =a -x 图像中a >1，故B 正确；对于C ，f x =a x -1 图像中0<a <1，g x =a -x 图像中a >1，故C 错误；对于D ，f x =a x -1 图像中0<a <1，g x =a -x 图像中0<a <1，故D 正确；故选：BD14指数(对数)型复合函数的值域问题1.(2021上·广西南宁·高一上林县中学校考期末)若2x ≥3，则函数f (x )=4x -2x +1+1的最小值为()A.4B.0C.5D.9【答案】A【解析】设t =2x ≥3，则f (t )=t 2-2t +1=t -1 2(t ≥3)，对称轴为t =1，所以f (t )在3,+∞ 上单调递增，所以f (t )min =f (3)=32-2×3+1=4.故选：A .2.(2022上·云南楚雄·高三统考期末)已知奇函数f x =a x +b ⋅a -x 在-1,1 上的最大值为32，则a =()A.13或3 B.12或2 C.2D.3【答案】B【解析】由已知可得，f -x =a -x +b ⋅a x .因为f x 是奇函数，所以f -x =-f x ，所以f -x +f x =0，即b +1 a x +a -x =0，解得b =-1，即f x =a x -a -x .当a >1时，则0<1a <1，所以函数y =a x 在-1,1 上单调递增，函数y =a -x =1ax在-1,1 上单调递减，所以函数y =-a -x 在-1,1 上单调递增，所以函数f x =a x -a -x在-1,1 上单调递增.所以f x =a x -a -x 在x =1处有最大值，所以f 1 =a -a -1=32，整理可得2a 2-3a -2=0，解得a =2或a =-12(舍去)，所以a =2；同理，当0<a <1时，函数f x =a x -a -x 在-1,1 上单调递减，所以f x =a x -a -x 在x =-1处有最大值，所以f -1 =a -1-a =32，整理可得2a 2+3a -2=0，解得a =12或a =-2(舍去)，所以a =12.综上所述，a =2或a =12.故选：B .3.(2022上·广东深圳·高一校考期末)已知函数y =log 24x -a ⋅2x +a 的值域为R ，则实数a 的取值范围是．【答案】(-∞,0]∪[4,+∞)【解析】由函数y =log 24x -a ⋅2x +a ，令f x =4x -a ⋅2x +a ，令t =2x >0，可得g t =t 2-a ⋅t +a ，要使得函数y =log 24x -a ⋅2x +a 的值域为R ，则g t =t 2-a ⋅t +a ,t >0的值域能取遍一切正实数，当a >0时，则满足Δ=(-a )2-4a ≥0，解得a ≥4；当a =0时，可得g t =t 2≥0，符合题意；当a <0时，则满足g 0 =a <0，此时函数g t 的值域能取遍一切正实数，符合题意，综上可得，实数a 的取值范围为(-∞,0]∪[4,+∞).故答案为：(-∞,0]∪[4,+∞).4.(2023上·重庆九龙坡·高一重庆市铁路中学校校考期末)函数y =ln a -1 x 2+x +2 的值域为R ，则实数a 的取值范围为.【答案】1≤a ≤98【解析】由函数y =ln a -1 x 2+x +2 的值域为R 及对数函数的图像和性质可得，(0,+∞)是y =a -1 x 2+x +2值域的子集，当a -1=0即a =1时，y =a -1 x 2+x +2的值域为R ，显然成立；当a -1≠0即a ≠1时，二次函数的对称轴为x =12-2a，所以由一元二次函数的图像可得a -1>0a -1 12-2a 2+12-2a +2≤0，解得1<a ≤98，.综上1≤a ≤98，故答案为：1≤a ≤985.(2020下·江苏盐城·高一统考期末)设函数f (x )=a ⋅2x -2-x (a ∈R )．(1)若函数y =f (x )的图象关于原点对称，求函数g (x )=f (x )+32的零点x 0；(2)若函数h (x )=f (x )+4x +2-x 在x ∈[0，1]的最大值为-2，求实数a 的值．【答案】(1)-1(2)-3【解析】(1)解：∵f (x )的图象关于原点对称，∴f (x )为奇函数，∴f (-x )+f (x )=0，∴a ⋅2-x -2-x +a ⋅2x -2x =0，即∴(a -1)⋅(2-x +2x )=0，∴a =1．所以f (x )=2x -2-x ，所以g (x )=2x -2-x +32，令g (x )=2x -2-x +32=0，则2⋅(2x )2+3⋅(2x )-2=0，∴(2x +2)⋅(2⋅2x -1)=0，又2x >0，∴2⋅2x -1=0，解得x =-1，即x 0=-1，所以函数g (x )的零点为-1．(2)解：因为h (x )=a ⋅2x -2-x +4x +2-x ，x ∈0,1 ，令2x =t ，则t ∈1,2 ，h t =t 2+at ，t ∈1,2 ，对称轴t =-a2，当-a 2≤32，即a ≥-3时，h t max =h 2 =4+2a =-2，∴a =-3；②当-a 2>32，即a <-3时，h t max =h 1 =1+a =-2，∴a =-3(舍)；综上：实数a 的值为-3．6.(2023上·山东枣庄·高一山东省滕州市第五中学校考期末)求函数y =log 2x 2+log 2x ,x ∈12,2的值域.【答案】-14,2【解析】当12≤x ≤2时，-1≤log 2x ≤1，令t =log 2x ∈-1,1 ，则y =t 2+t -1≤t ≤1 ，这是一个开口向上的二次函数，对称轴为t =-12，所以当t =-12时，y =t 2+t -1≤t ≤1 取得最小值为-122-12=-14；当t =1时，y =t 2+t -1≤t ≤1 取得最大值为12+1=2.所以函数y =t 2+t -1≤t ≤1 的值域为-14,2，也即函数y =log 2x 2+log 2x ,x ∈12,2 的值域为-14,2 .15对数型复合函数单调区间1.(2023下·江西赣州·高二统考期末)函数f x =log 3(3x 2-2x -1)的单调递减区间为()A.-∞,13B.13,+∞C.-∞,-13D.(1，+∞)【答案】C【解析】令t =3x 2-2x -1，由t =3x 2-2x -1>0，可得x <-13或x >1，所以t =3x 2-2x -1=3x -132-43在-∞,-13单调递减，在(1,+∞)单调递增，又y =log 3t 单调递增.由复合函数“同增异减”可得：f x =log 3(3x 2-2x -1)在-∞,-13单调递减.故选：C .2.(2016上·上海杨浦·高一复旦附中校考期末)函数f x =log 12x 2-2x -3 的单调递增区间是．【答案】-∞,-1【解析】令t =x 2-2x -3且t >0，即x 2-2x -3=(x +1)(x -3)>0，则x <-1或x >3，所以f (x )定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞)，由t =x 2-2x -3开口向上，对称轴为x =1，则t 在(-∞,-1)上递减，在(3,+∞)上递增，而y =log 12t 在定义域上递减，故f (x )的增区间为(-∞,-1)，减区间为(3,+∞).故答案为：(-∞,-1)3.(2023上·福建莆田·高一莆田一中校考期末)函数f (x )=ln (1+x )+ln (1-x )的单调递减区间为．【答案】(0,1)【解析】由解析式x +1>01-x >0，则-1<x <1，即定义域为(-1,1)，又f (x )=ln (1-x 2)，而t =1-x 2在(-1,0)上递增，在(0,1)上递减；y =ln t 在定义域上递增；所以f (x )在(-1,0)上递增，(0,1)上递减.故答案为：(0,1)16指数(对数)型复合函数借助单调性奇偶性比较大小1.(2022上·江西上饶·高三校考期末)设函数f (x )=a x -(k -1)a -x (a >0且a ≠1)，是定义域为R 的奇函数．(1)求k 的值；。

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1．若集合M＝{0,1}，I＝{0,1,2,3,4,5}，则∁I M等于()．
A．{0,1}B．{2,3,4,5}
C．{0,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
解析由题意，得∁I M＝{2,3,4,5}，故选B.
答案 B
2．设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有()．
A．3个B．4个C．5个D．6个
解析∵A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，
∴∁U(A∩B)＝{3,5,8}，故选A.
也可用∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)来求解．
答案 A
3．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S＝{1,3,5}，T＝{3,6}，则∁U(S∪T)等于()．A．∅B．{2,4,7,8}
C．{1,3,5,6} D．{2,4,6,8}
解析直接观察(或画出Venn图)，得S∪T＝{1,3,5,6}，则∁U(S∪T)＝{2,4,7,8}．答案 B
4．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁U C)＝________.
解析A∪B＝{2,3,4,5}，∁U C＝{1,2,5}，故(A∪B)∩∁U C＝{2,5}．
答案{2,5}
5．如右图所示，U是全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分表示的集合是________．
解析观察图可以看出，阴影部分满足两个条件：一是不在集合S内；二是在集合M、P的公共部分内．因此阴影部分表示的集合是集合S的补集与集合M、P
的交集的交集，即(∁U S)∩(M∩P)．
答案(∁U S)∩(M∩P)
6．已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x＜－1}，B＝{x|－1≤x＜1}．求∁U A，∁U B，(∁U A)∩(∁U B)，(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∩B)，∁U(A∪B)，并指出其中相等的集合．
解∁U A＝{x|－1≤x≤3}，
∁U B＝{x|－5≤x＜－1或1≤x≤3}，
(∁U A)∩(∁U B)＝{x|1≤x≤3}，
(∁U A)∪(∁U B)＝{x|－5≤x≤3}，
∁U(A∩B)＝{x|－5≤x≤3}，
∁U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}，
相等的集合：(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)，
(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)．
综合提高(限时25分钟)
7．设集合A、B都是U＝{1,2,3,4}的子集，已知(∁U A)∩(∁U B)＝{2}，(∁U A)∩B＝{1}，则A等于()．
A．{1,2}B．{2,3}C．{3,4}D．{1,4}
解析如图所示．
由于(∁U A)∩(∁U B)＝{2}，(∁U A)∩B＝{1}，则有∁U A＝{1,2}．
∴A＝{3,4}．
答案 C
8．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为()．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，B＝{x|x＝2a，a∈A}＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4}．∴∁U(A∪B)＝{3,5}．
答案 B
9．设y ＝x 2＋ax ＋b ，A ＝{x |y ＝x }＝{a }，设M ＝{(a ，b )}，则M ＝________. 解析由A ＝{a }，得x 2＋ax ＋b ＝x 的两个根x 1＝x 2＝a ，
即x 2＋(a －1)x ＋b ＝0的两个根x 1＝x 2＝a ，
∴x 1＋x 2＝1－a ＝2a ，得a ＝13，x 1x 2＝b ＝19，
∴M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝
⎛⎭⎪⎫13，19. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝
⎛⎭⎪⎫13，19 10．集合A ＝{x |x 2－3x －4＝0}，B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∪B ＝A ，则实数m ＝________.
解析集合B 是关于x 的方程mx －1＝0的解集，
∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .∴B ＝∅或B ≠∅.
当B ＝∅时，关于x 的方程mx －1＝0无解，则m ＝0；
当B ≠∅时，x ＝1m ∈A ，则有⎝ ⎛⎭
⎪⎫1m 2－3m －4＝0，即4m 2＋3m －1＝0.解得m ＝－1，14.
答案－1,0，14
11．已知集合A ＝{x |2a －2＜x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜2}，且A ∁R B ，求实数a 的取值范围．
解 ∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}≠∅，
∵A ∁R B ，
∴分A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论．
①若A ＝∅，此时有2a －2≥a ，
∴a ≥2.
②若A ≠∅，则有⎩⎨⎧ 2a －2＜a ，a ≤1或⎩
⎨⎧ 2a －2＜a ，2a －2≥2. ∴a ≤1.
综上所述，a ≤1或a ≥2.
12．(创新拓展)设全集U ＝{不大于20的素数}，且A ∩(∁U B )＝{3,5}，(∁U A )∩B
＝{7,19}，(∁U A)∩(∁U B)＝{2,11}，求集合A、B.
解法一由题目知，U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
∵A∩(∁U B)＝{3,5}，∴3,5∈A,3,5∉B.
∵(∁U A)∩B＝{7,19}，∴7,19∉A，且7,19∈B.
∵(∁U A)∩(∁U B)＝{2,11}，
∴2,11∉A，且2,11∉B.检验元素13,17.若13∈A，且13∉B，
则13∈A∩(∁U B)，与已知A∩(∁U B)＝{3,5}矛盾．
若13∈B，且13∉A，则13∈B∩(∁U A)，与已知B∩(∁U A)＝{7,19}矛盾．
若13∉A，且13∉B，则13∈(∁U A)∩(∁U B)，与已知(∁U A)∩(∁U B)＝{2,11}矛盾．∴13∈A，且13∈B.同理可知，17∈A,17∈B.
∴A＝{3,5,13,17}，B＝{7,13,17,19}．
法二根据题意作Venn图如图．
∴A＝{3,5,13,17}，B＝{7,13,17,19}．。