北京市延庆县2014-2015学年高二下学期期末考试数学文试题

延庆县2014—2015学年度第二学期期末考试 高二数学（文科） 2015.7本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡内） 1. 设集合2{1,0,1},{|}M N x x x =-==,则M N =A ．{1,0,1}- B. {0,1} C.{1}D.{0}3.已知()f x 是R 上的奇函数，且当(],0x ∈-∞时，()lg(3)f x x x =--，则(1)f = A ．0B ．lg 3C ．lg 3-D ．lg 4-4. 下列说法正确的是A ．0.50.5log 6log 4>B ．0.50.60.6log 0.5>C ．0 2.512.5()2< D.0.90.48927> 5. 命题:p 20x x -<是命题:02q x <<的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 若变量y 与x 之间的相关系数0.9362r =-，则变量y 与x 之间 A.不具有线性相关关系 B. 具有线性相关关系 C.它们的线性相关关系还需要进一步确定 D.不确定7.“指数函数(1)xy a a =>是增函数，(1)y x αα=>是指数函数，所以(1)y x αα=>是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的是A ．推理完全正确 B.大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．推理形式不正确 8.想沏壶茶喝.洗烧开水的壶、灌入凉水需2分钟，洗茶壶、茶杯需2分钟，拿茶叶需1分钟，烧开水需15分钟，沏茶需1分钟. 最省时的操作时间是A.17分钟B.18分钟C.19分钟D.20分钟 9.把函数sin y x =(x R ∈)的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 A.sin(2)3y x π=+，x R ∈ B.sin()26x y π=+，x R ∈C.sin(2)3y x π=-，x R ∈ D.sin(2)32y x π=+，x R ∈10.已知)(x f '是奇函数)(x f 的导函数，0)1(=-f ，当0>x 时，0)()(>+'x f x f x ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是A ．)1,0()1,( --∞B ．),1()0,1(+∞-C ．)1,0()0,1( -D ．),1()1,(+∞--∞二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案涂在答题卡上） 11. =+ 75sin 15sin .2612.函数()2452ln f x x x x =-+-的零点个数为 .2 13.已知)0,(π-∈x 且53cos -=x ，则=x 2sin . 2524 14.若函数,1,()(4)2, 1.2x a x f x ax x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩为R 上的增函数，则实数a 的取值范围是 ．)8,4[15.若存在0x R ∈,使20020ax x a ++<,则实数a 的取值范围是 . )1,(-∞16.已知“整数对”按如下规律排成一列: (1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1), (1,4),(2,3),(3,2),(4,1),……,则第50个数对是 . )6,5(三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分） （Ⅰ）证明：sin 1cos 1cos sin αααα-=+. 证明：欲证sin 1cos 1cos sin αααα-=+， 只需证2sin (1cos )(1cos )ααα=-+， 即证22sin 1cos αα=-， 上式显然成立，故原等式成立．……5分（Ⅱ）已知圆的方程是222x y r +=，则经过圆上一点00(,)M x y 的切线方程为200x x y y r +=，类比上述性质，试写出椭圆22221x y a b+=类似的性质．解：圆的性质中，经过圆上一点00(,)M x y 的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y分别用00(,)M x y 的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆22221x y a b +=类似的性质为：过椭圆22221x y a b +=一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y ya b+=. ……10分 18.（本小题满分10分）铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法为：行李质量不超过50kg ，按0.25元/kg 计算；超过50kg 而不超过100kg 时，其超过部分按0.35元/kg 计算，超过100kg 时，其超过部分按0.45元/kg 计算. 设行李质量为xkg ，托运费用为y 元. （Ⅰ）写出函数()y f x =的解析式；（Ⅱ）若行李质量为56kg ，托运费用为多少？解：（Ⅰ）（1）若050x <≤，则0.25y x =； ……2分（2）若50100x <≤，则()12.5500.35y x =+-⨯； ……4分 （3）若100x >，则()300.45100y x =+⨯-. ……6分 所以，由（1）（2）（3）可知0.2505012.50.35(50),50100300.45(100),100x y x x x x <≤⎧⎪=+⨯-<≤⎨⎪+⨯->⎩……8分（Ⅱ）因为50kg 56kg <100kg ≤，所以12.560.3514.6y =+⨯=（元）. …10分 19.（本小题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x a =，31(,)2b =，函数()1f x a b =⋅+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()fx 的单调递增区间. 解：（Ⅰ）1()(cos ,sin ))12f x x x=⋅+ 1sin 12x x =++……2分sin()13x π=++ ……4分所以，()f x 的最小正周期为2π. ……6分（Ⅱ）由22232k x k πππππ-+≤+≤+ ……8分得52266k x k ππππ-+≤≤+ ……10分 所以，()f x 的单调递增区间为5[2,2]()66k k k Z ππππ-++∈. ……12分20.（本小题满分12分）已知函数3211()()32f x x a x a a =-+∈R . （Ⅰ）若1,a =求函数()f x 在[0,2]上的最大值；（Ⅱ）若对任意[)0,∈+∞x ，有()0f x >恒成立，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）()21(1)(1)f x x x x '=-=+-令()120,1,1f x x x '==-=……2分当x 变化时，(),()f x f x '的取值情况如下：()170,(2)26f f ==，()max 76f x ∴=.……5分（Ⅱ）()()()f x x a x a '=+-,令()120,,f x x a x a '==-= ……6分 （1）当0a =时，()f x 在[0,)+∞上为增函数，()min (0)0f x f ∴==不合题意；……7分（2）当0a >时，()f x 在(0,)a 上是减函数，在(,)a +∞上为增函数，()min ()0f x f a ∴=>，得0a <<； ……9分（3）当0a >时，()f x 在(0,)a -上是减函数，在(,)a -+∞上为增函数，()min ()(0)0f x f a f ∴=-<<，不合题意.……11分综上，0a <<. ……12分21.（本小题满分13分）已知函数()f x =. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若()2f x =，求x 的取值集合及sin 2x 的值. 解：（Ⅰ）由sin 0x =，得()x k k Z π=∈，……2分所以，函数()f x 的定义域为{|,}()x x R x k k Z π∈≠∈. ……3分（Ⅱ）由()2f x =，得2=)2sin x x x ++=，sin cos x x -=，……（*） ……5分 2(sin cos )2x x -=，22sin 2sin cos cos 2x x x x -+=，所以，sin 21x =-.……8分由sin 21x =-，得22()2x k k Z ππ=-+∈，则()4x k k Z ππ=-+∈，……10分当21()k n n Z =-∈时，代入（*），矛盾，舍去； 当2()k n n Z =∈时，代入（*），成立. 所以，x 的取值集合是{|2}()4x x n n Z ππ=-+∈.……13分22.（本小题满分13分） 已知函数1()(2)ln 2 f x a x ax x=-++． (Ⅰ)当2a =时，求函数()f x 的极值； (Ⅱ)当0<a 时，讨论)(x f 的单调性；(Ⅲ)若对任意的[]12(3,2),, 1.3a x x ∈--∈恒有12(ln 3)2ln 3()()m a f x f x +->-成立，求实数m 的取值范围．解：(Ⅰ)函数)(x f 的定义域为(0,)+∞.21() 4 f x x '=-+，令21() 4 =0f x x '=-+， 得112x =；212x =-（舍去）.……2分当x 变化时，(),()f x f x '的取值情况如下：所以，函数()f x 的极小值为.……4分(Ⅱ) 22211)(1)()2 a ax f x a x x x -+'=-+=， 令()0f x '=，得112x =，21x a=-， ……5分当2a =-时，()0f x '≥，函数)(x f 的在定义域(0,)+∞单调递增； ……6分 当20a -<<时，在区间1(0,)2，1(,)a-+∞，上()0f x '<，)(x f 单调递减， 在区间11(,)2a -，上()0f x '>，)(x f 单调递增； ……7分当2a <-时，在区间1(0,)a -，1(,)2+∞，上()0f x '<，)(x f 单调递减，在区间11(,)2a -，上()0f x '>，)(x f 单调递增. ……8分(Ⅲ)由(Ⅱ)知当(3,2)a ∈--时，函数)(x f 在区间[]1.3单调递减； 所以，当[]1.3x ∈时，max ()(1)12f x f a ==+，min 1()(3)(2)ln 363f x f a a ==-++ ……10分问题等价于：对任意的(3,2)a ∈--，恒有1(ln 3)2ln 312(2)ln 363m a a a a +->+---- 成立，……11分 即14114,4a am a m a a->-<=-，……12分因为，9113423a-<-<-，所以，实数m的取值范围是9(,]2-∞-．……13分。