高考数学圆锥曲线的经典性质50条
高考数学圆锥曲线的经典性质50条
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角， 则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆， 除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上， 则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ， 则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2， 则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7.椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1， F 2， 点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=， 则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点， 连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点， 则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点， A 1P 和A 2Q 交于点M ， A 2P 和A 1Q 交于点N ， 则MF ⊥NF. 11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦， M ),(00y x 为AB 的中点， 则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。
高考数学圆锥曲线的经典性质50条
For pers onal use only in study and research; not for commercial use1.2.3.4.5.6.7.8 .For pers onal use only in study and research; not for commercialuse椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论)椭圆点P处的切线PT平分△ PF1F2在点P处的外角.PT平分△ PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.若F0(X若P0(X02x,y0)在椭圆一亍a2、x,y0)在椭圆一2a2222y-by-b=1上，则过P0的椭圆的切线方程是一0厂•辔=1.a b=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦2 x 椭圆一2 a2x 椭圆一2 a2222yby-b=1 (a>b> 0)的左右焦点分别为F1, F2,点P为椭圆上任意一点一RPF2 -=1 ( a > b> 0)的焦半径公式：P1P2的直线方程是°2 - =1.a b戈，则椭圆的焦点角形的面积为S A：1PF2 = b2tan—|MF i |=a ex o ,|MF 2p a-( Fj-c,0) , F 2(c,0) M (心 y °)).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点，贝U MF 丄NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A i 、A 2为椭圆长轴上的顶点，A i P 和A 2Q 交于点M , A 2P 和A i Q 交于点N ，则MF 丄NF.2 2 22-2y ^ = 1内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是一2y^ - ―02-a ba b a b双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线 相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P 在右支；外切：P 在左支)2 25.若F 0(x 0, y 0)在双曲线 令-占=1( a > 0,b > 0)上，则过F 0的双曲线的切线方程是 彎一呼 =1.a ba b2 26.若i =0(x 0, y 0)在双曲线—~2^2 -1(a >0,b >0)外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P2，则切点弦P 1P 2的直线方程是■X 0，__y°y=11. AB 是椭圆即KAB22a 2b 2b 2X 0—2 。
高考数学圆锥曲线的经典性质50条
x2 y 2 a2 b2 1.
2
2
2.
x 过椭圆 a 2
y b2
1 (a＞0, b＞ 0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于
B,C 两点，则直线 BC 有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
（常
数） .
2
2
xy
3. 若 P 为椭圆 a2 b 2 1（ a＞b＞ 0）上异于长轴端点的任一点 ,F1, F 2 是焦点 , PF1F2
当 M ( x0, y0 )在右支上时， | MF1 | ex0 a , | MF2 | ex0 a .
当 M ( x0, y0 )在左支上时， | MF1 | ex0 a ,| MF 2 | ex0 a
9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点， 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M 、N 两点，
.）
17. 椭圆焦三角形中 , 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.
18. 椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项 .
椭圆与双曲线的对偶性质 -- （会推导的经典结论）
高三数学备课组
双曲线
x2 y2 1. 双曲线 a 2 b2 1 （a＞ 0,b＞ 0）的两个顶点为 A1 ( a,0) , A2 ( a ,0) ，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2 时 A 1P1 与 A 2P2 交点的轨迹方
, PF2 F1
ac
，则
tan co t
.
ac
22
4.
x2 设 椭 圆 a2
y2 b2
1 （ a ＞ b ＞ 0 ） 的 两 个 焦 点 为 F1 、 F2,P （ 异 于 长 轴 端 点 ） 为 椭 圆 上 任 意 一 点 ， 在 △ PF1F2 中 ， 记
高考数学圆锥曲线的经典性质50条
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=. 7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上随意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b +=+. 双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b -=. 7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上随意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFS b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB=。
高考数学圆锥曲线的经典性质50条(20200618183942)
4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切 .
5.
x2 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 a2
y2 b2
1上，
则过 P0 的椭圆的切线方程是
x0x a2
y0 y b2
1.
6.
x2 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 a2
y2 b2
1外 ， 则过 Po 作椭圆的两条切线切点为
PF1F2
, PF2 F1
ac
，则
tan
co t
.
ac
22
x2 y2
4. 设椭圆 2
2 1 （ a＞ b＞ 0 ）的两个焦点为
ab
F1 、 F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，
在△ PF1F2 中， 记 F1PF2
,
PF1F2
, F1F2 P
sin
， 则有
sin sin
c e. a
x2 y2 5. 若椭圆 a 2 b 2 1（a＞ b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2， 左准线为 L， 则当 0＜ e≤ 2 1 时， 可在椭圆上求一点 P， 使得 PF1 是 P
x2 y2
11. AB 是双曲线 2
2 1（a＞ 0,b＞ 0）的不平行于对称轴的弦，
ab
M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点， 则 K OM K AB
b 2x0 a2 y0
，
即 K AB
x2 y2 12. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 2 1 （a＞ 0,b＞ 0）内， 则被 Po 所平分的中点弦的方程是
1 a2
1 b2
（;
2）|OP|2+|OQ| 2
高考数学圆锥曲线的经典性质50条
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角， 则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆， 除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上， 则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ， 则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2， 则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7.椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1， F 2， 点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=， 则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点， 连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点， 则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点， A 1P 和A 2Q 交于点M ， A 2P 和A 1Q 交于点N ， 则MF ⊥NF. 11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦， M ),(00y x 为AB 的中点， 则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。
(完整版)高考数学圆锥曲线的经典性质50条.doc
椭圆与双曲线的对偶性质-- （必背的经典结论）椭圆1.点 P 处的切线 PT 平分△ PF1F2在点 P 处的外角 .2. PT 平分△ PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离 .4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若 P0 ( x0 , y0 )x2 y2 x0 x y0 y 1. 在椭圆b21上，则过 P0的椭圆的切线方程是b2 a2 a26. 若 P0 ( x0 , y0 )x2 y21外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦在椭圆b2a27.x2 y2 1(a＞b＞ 0)的左右焦点分别为F1， F 2，点 P 为椭圆上任意一点F1 PF2 椭圆8.x2 y21 （a＞b＞0）的焦半径公式：椭圆2b2a|MF1| a ex0, | MF 2 | a ex0( F1 ( c,0) , F2(c,0) M ( x0, y0) ).x0 x y0 y 1.P1P2的直线方程是b2a2，则椭圆的焦点角形的面积为 S F1PF2 b2 tan .29. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交P、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点，则 MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A 1、 A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M ，A2P 和 A 1Q 交于点 N，则 MF⊥ NF.11. AB 是椭圆x2 y2 b2，a2 b21的不平行于对称轴的弦，M (x0 , y0 ) 为AB的中点，则 k OM k AB2a即K ABb 2 x0a 2 。
y012. 若P0 ( x0x2 y2 1内，则被Po所平分的中点弦的方程是x0 x y0 y x02 y0 2., y0 ) 在椭圆b2 a2 b2 a2 b2 a213. 若 P0 ( x0 x2 y21内，则过Po的弦中点的轨迹方程是x2 y2 x0 x y0 y, y0 ) 在椭圆 2b 2a2 2a2b2.a b双曲线1.点 P 处的切线 PT 平分△ PF1F2在点 P 处的内角 .2. PT 平分△ PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交 .4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P 在左支）5.x2 y2 1（a＞0,b＞0）上，则过 P0x0 x y0 y 1. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线b2 的双曲线的切线方程是b2a2 a26.x2 y21（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线b2a27. 双曲线x2 y21 （a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1， F2 ，点P为双曲线上任意一点F1 PF2 a2 b2SFPF b2co t .1 2 28. 双曲线x2 y21（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( F1 ( c,0) , F2(c,0) a2 b2当M ( x0 , y0 ) 在右支上时， | MF1 | ex0 a , | MF2 | ex0 a .当M ( x0 , y0 ) 在左支上时， | MF1 | ex0 a , | MF2 | ex0 ax0 x y0 y1. P1P2的直线方程是2b2a，则双曲线的焦点角形的面积为9.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于M 、N 两点，则 MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点P、 Q, A1、A 2为双曲线实轴上的顶点， A 1P 和 A 2Q 交于点 M ，A 2P 和 A 1Q 交于点 N，则 MF ⊥ NF.11. AB 是双曲线x2 y2 1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M (x0 , y0 ) 为AB的中点，则K OM K ABb2x0 ，即K AB b 2 x0。
高考数学圆锥曲线的经典性质50条
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角, 则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆, 除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上, 则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 , 则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2, 则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1, F 2, 点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=, 则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点, A 为椭圆长轴上一个顶点, 连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点, 则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点, A 1P 和A 2Q 交于点M, A 2P 和A 1Q 交于点N, 则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦, M ),(00y x 为AB 的中点, 则22OM AB b k k a ⋅=-,即0202y a x b K AB -=。
高考数学圆锥曲线的经典性质50条(优选.)
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭 圆1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFS b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。
高考数学圆锥曲线的经典性质50条(20200618133325)
a2 ,
即 K AB
b 2 x0 a2 y0 。
x2 12. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 a2
y2 b2
1内, 则被 Po 所平分的中点弦的方程是
x0 x a2
y0y b2
x02 a2
y02 b2
.
x2 13. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 a2
y2
x2 y2
b2 1内, 则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 a 2 b 2
2.
x2 过椭圆 a 2
y2 b2ຫໍສະໝຸດ 1 (a＞0, b＞ 0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于
B,C 两点 , 则直线 BC 有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
（常
数） .
2
2
xy
3. 若 P 为椭圆 a2 b 2 1（ a＞b＞ 0）上异于长轴端点的任一点 ,F1, F 2 是焦点 , PF1F2
x2 11. AB 是双曲线 a 2
y2 b2 1 （ a＞0,b＞ 0）的不平行于对称轴的弦 , M ( x 0 , y0 ) 为 AB 的中点 , 则 K OM K AB
b2 x0 a 2 y0
,
即 K AB
x2 y2 12. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 a 2 b 2 1 （a＞ 0,b＞ 0）内 , 则被 Po 所平分的中点弦的方程是
1 OQ .（1） | OP |2
1 | OQ |2
1 a2
1 b2
; （2）|OP|2+|OQ| 2
的最大值为
4a 2 b2 a2 b2
; （ 3） S
9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点 , A 为双曲线长轴上一个顶点 , 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M 、N 两点 , 则
高考数学圆锥曲线的经典性质50条汇编
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7.椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+. 双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b -=. 6.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即022y a x b K AB=。
高考数学圆锥曲线地经典性质50条
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7.椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b +=+. 双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（切：P 在右支；外切：P 在左支）5.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b -=. 6.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即022y a x b K AB=。
高考数学圆锥曲线的经典性质50条
For personal use only in study and research; not for commercial useFor personal use only in study and research; not for commercial use椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7.椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
高考数学圆锥曲线的经典性质50条
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角, 则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆, 除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上, 则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 , 则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2, 则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1, F 2, 点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=, 则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点, A 为椭圆长轴上一个顶点, 连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点, 则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点, A 1P 和A 2Q 交于点M, A 2P 和A 1Q 交于点N, 则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦, M ),(00y x 为AB 的中点, 则22OM AB b k k a ⋅=-,即0202y a x b K AB -=。
高考数学圆锥曲线的经典性质50条
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）之五兆芳芳创作椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角.2.PT 平分△PF1F2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x x y y a b+=.7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点辨别为F1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 辨别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和A2Q 交于点M ，A2P 和A1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不服行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅=-，即0202y a x b K AB -=.12.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.双曲线1.点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的内角.2.PT 平分△PF1F2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=.6.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x x y y a b-=.7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点辨别为F1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c -,2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 辨别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和A2Q 交于点M ，A2P 和A1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不服行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =.12.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-. 13.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-. 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）高三数学备课组椭 圆1.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.2.过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.3.若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. 4.设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F1、F2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.5.若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点辨别为F1、F2，左准线为L ，则当0＜1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF1是P 到对应准线距离d 与PF2的比例中项.6.P为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.7.椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8.已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. 9.过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF e MN =.10.已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则22220a b a b x a a---<<.11.设P点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)122tan2PF FS b γ∆=.12.设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 辨别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2)2tan tan 1e αβ=-.(3)22222cot PABa b S b aγ∆=-.13.已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点辨别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分红定比e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）高三数学备课组双曲线1.双曲线22221x ya b-=（a＞0,b＞0）的两个顶点为1(,0)A a-,2(,0)A a，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221x ya b+=.2.过双曲线22221x ya b-=（a＞0,b＞o）上任一点00(,)A x y任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且202BCb x k a y =-（常数）.3.若P为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c aαβ-=+（或tan t 22c a co c aβα-=+）.4.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F1、F2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.5.若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点辨别为F1、F2，左准线为L ，则当1＜e1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF1是P 到对应准线距离d 与PF2的比例中项.6.P为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤.8.已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -. 9.过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF e MN =. 10.已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则220a b x a+≥或220a b x a +≤-.11.设P 点是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2)122cot 2PF F S b γ∆=.12. 设A 、B 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 辨别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-. (2)2tan tan 1e αβ=-.(3)22222cot PAB a b S b a γ∆=+.13. 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点辨别称为内、外点).17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分红定比e.18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.。
高考数学圆锥曲线的经典性质50条
1. 点 P 处的切线 PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的 外角 .
椭圆
2. PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点
.
3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离 .
2
2
3.
x 若 P 为椭圆 a2
y b 2 1（ a＞b＞ 0）上异于长轴端点的任一点 ,F1, F 2 是焦点 ,
PF1F2
, PF2 F1
ac
，则
tan
co t
.
ac
22
4.
x2 设 椭 圆 a2
y2 b2
1 （ a ＞ b ＞ 0 ） 的 两 个 焦 点 为 F1 、 F2,P （ 异 于 长 轴 端 点 ） 为 椭 圆 上 任 意 一 点 ， 在 △ PF1F2 中 ， 记
x0 x a2
y0 y b2
.
双曲线
1. 点 P 处的切线 PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的 内角 .
2. PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点
.
3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相交 .
4. 以焦点半径 PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切 .（内切： P 在右支；外切： P 在左支）
4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切 .
5.
x2 若 P0( x0 , y0 ) 在椭圆 a2
y2 b2
1上，则过 P0 的椭圆的切线方程是
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7.椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+. 双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b -=. 6.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即022y a x b K AB=。
12.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b -=-.13.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b-=-. 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）高三数学备课组椭 圆1.椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=. 2.过椭圆22221x y a b += (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）. 3.若P 为椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+.4. 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.5.若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6.P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P三点共线时，等号成立.7.椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 8.已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.9.过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =.10.已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.11. 设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)122tan2PF F S b γ∆=.12.设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=-. 13.已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）高三数学备课组双曲线1.双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.2.过双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.3. 若P为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点,12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）.4.设双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.5.若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e 1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6.P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC -≤.8. 已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -. 9.过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =.10.已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a +≥或220a b x a+≤-.11.设P 点是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2)122cot2PF F S b γ∆=.12.设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-.(2)2tan tan 1eαβ=-.(3)22222cot PABa b S b a γ∆=+.13.已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.。