2020高考数学刷题首秧专题突破练1函数的综合问题文含解析

专题突破练(1) 函数的综合问题一、选择题1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．7D ．0 答案 B解析 解法一：由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e ．因此函数f (x )共有2个零点．解法二：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．故选B ．2．已知A (2，5)，B (4，1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则y2x的最大值为( )A ．18B ．1C ．54D ．72 答案 C解析 由题意，得线段AB ：y －1＝5－12－4(x －4)⇒y ＝－2x ＋9(2≤x ≤4)，所以y2x＝－2x ＋92x ＝－1＋92x ≤54，当x ＝2时等号成立，即y 2x 的最大值为54．故选C ． 3．若变量x ，y 满足|x |－ln 1y＝0，则y 关于x 的函数图象大致是( )答案 B解析 由|x |－ln 1y ＝0得y ＝1e |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x(x ≥0)，e x(x <0)画出图象可知选B ．4．(2018·贵阳模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(2＋x )－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4 答案 C解析 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．而在x ≥0时，f (x )＝log 2(2＋x )－1，所以f (－6)＝－f (6)＝－[log 2(2＋6)－1]＝－(log 28－1)＝－2．故选C ．5．(2018·唐山模拟)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (－2)＝0，则满足xf (x )＞0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(0，2)B ．(－2，0)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2，0)∪(0，2) 答案 A解析 因为f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在(－∞，0]上单调递增，又f (－2)＝0，所以f (2)＝0，即在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上，f (x )＜0；在区间(－2，2)上，f (x )＞0，所以xf (x )＞0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f (x )>0和⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f (x )<0，即得x <－2或0<x <2．故选A ．6．(2018·广东潮州模拟)设函数f (x )＝x1＋|x |，则使得f (x 2－2x )>f (3x －6)成立的x的取值范围是( )A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(2，3) C ．(－∞，2) D ．(3，＋∞) 答案 A解析 易得函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 1＋x ＝1－11＋x为单调增函数，故函数f (x )在R 上为增函数，依题意得x 2－2x >3x －6，解得x <2或x >3．故选A ．7．(2018·佛山质检一)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，则下列函数为奇函数的是( )A ．f (sin x )B ．f (cos x )C ．xf (sin x )D ．x 2f (cos x ) 答案 C解析 易知f (x )为偶函数，即满足∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )恒成立．研究g (x )＝xf (sin x )，g (－x )＝－xf [sin(－x )]＝－xf (－sin x )＝－xf (sin x )＝－g (x )，故g (x )＝xf (sin x )为奇函数．故选C ．8．(2019·青岛质检)已知a ＞b ＞1，则下列结论正确的是( ) A ．a a ＜b bB ．a ln b ＞b ln aC ．a ln a ＞b ln bD ．a b ＜b a答案 C解析 取a ＝e ，b ＝e ，则B 项明显错误；对于D 项，若a b ＜b a 成立，则ln a b ＜ln b a，则b ln a ＜a ln b ，由B 项错误得D 项错误；因为a ＞b ＞1，所以ln a ＞ln b ＞0，由同向不等式相乘得a ln a ＞b ln b ，进一步得ln a a ＞ln b b ，所以a a ＞b b，所以A 项错误，C 项正确．故选C ．9．若x ，y ∈R ，且满足⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋4)3＋2018(x ＋4)13＝－4，(y －1)3＋2018(y －1)13＝4，则x ＋y ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4 答案 B解析 函数f (t )＝t 3＋2018t 13(t ∈R )是奇函数，且在R 上是增函数，故若f (u )＋f (v )＝0，则必有u ＋v ＝0，本题中，u ＝x ＋4，v ＝y －1，∴x ＋4＋y －1＝0⇒x ＋y ＝－3．故选B ．10．(2018·长沙统考)函数f (x )＝2x＋xx ＋1的图象大致为( )答案 A 解析 f (x )＝2x＋xx ＋1＝2x－1x ＋1＋1，其定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．令u (x )＝2x，v (x )＝－1x ＋1．由于u (x )和v (x )都在(－∞，－1)和(－1，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，－1)上和(－1，＋∞)上单调递增，排除C ，D ；又当x 趋向负无穷时，2x 趋近于0，－1x ＋1趋近于0，所以f (x )接近于1，所以选A ． 11．(2018·安徽合肥一模)已知函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1，3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0 答案 A解析 令x －1＝t ，t ∈[－2，2]，则y ＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，显然函数y ＝(t 2－1)sin t ＋t 为奇函数，其最大值与最小值之和为0，故函数y ＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2的最大值与最小值之和为4，即M ＋m ＝4，故选A ．12．(2018·大庆质检一)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f ′(x )<0．若a ＝f ln 12，b ＝f ln 1e －1e2，c ＝f (e 0．1)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．a <c <b 答案 C解析 依题意，有f (x )在[0，＋∞)上单调递减，而且f (x )是定义在R 上的奇函数，则由其图象知f (x )在(－∞，0]上单调递减，从而奇函数f (x )在R 上单调递减．则由ln 1e －1e 2＝ln 1e 1－1e <ln 1e ＝－1，0>ln 12>ln 1e ＝－1，e 0．1>0，知ln 1e －1e 2<ln 12<e 0．1，从而结合f (x )的单调性，有f ln 1e －1e 2>f ln 12>f (e 0．1)，即c <a <b ．故选C ．二、填空题13．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间[1，4]内有解，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－2)解析 不等式x 2－4x －2－a >0在区间[1，4]内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈[1，4]，∴g (x )≤g (4)＝－2，∴a <－2．14．若存在b ∈[1，2]，使得2b(b ＋a )≥4，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－1，＋∞)解析 由题可得2b(a ＋b )≥4⇒a ＋b ≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ⇒a ≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －b ，即存在b ∈[1，2]使得a ≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －b ，因为y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x 在R 是单调递减的，所以4⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －b 在区间[1，2]上的范围为[－1，1]，则a ≥－1，故填[－1，＋∞)．15．已知函数g (x )的图象与函数f (x )＝log 3x (x >0)的图象关于直线y ＝x 对称，若g (a )·g (b )＝3(其中a >0且b >0)，则1a ＋4b的最小值为________．答案 9解析 依题意可知g (x )＝3x，∴g (a )·g (b )＝3a·3b＝3a ＋b＝3即a ＋b ＝1，∴1a ＋4b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝5＋b a ＋4a b ≥9当且仅当a ＝13，b ＝23取“＝”． 16．如图，在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝32x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标是2，则点D 的坐标是________．答案 12，916解析 由2＝log22x 可得点A 12，2，由2＝x 12可得点B (4，2)，因为324＝916，所以点C 的坐标为4，916，所以点D 的坐标为12，916．三、解答题17．(2018·湖北荆州摸底)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )，满足f (mn )＝f (m )＋f (n )(m ，n >0)，且当x >1时，有f (x )>0．(1)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m n＝f (m )－f (n )；(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (3)比较f ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 2与f (m )＋f (n )2的大小．解 (1)证明：∵f (m )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m n·n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m n ＋f (n )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m n＝f (m )－f (n )．(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x1．∵0<x 1<x 2，∴x 2x 1>1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)f ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 2－f (m )＋f (n )2＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2＋12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2－f (m )＋f (n )2 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2－f (m )＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2－f (n ) ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2m ＋12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2n ＝12f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(m ＋n )24mn ∵(m ＋n )24mn ≥1，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(m ＋n )24mn ≥0， 故f ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 2≥f (m )＋f (n )2．18．(2018·浙江宁波统考)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，g (x )＝x |x －a |． (1)若g (x )为奇函数，求a 的值并判断g (x )的单调性(单调性不需证明)；(2)对任意x 1∈[1，＋∞)，总存在唯一的x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求正实数a 的取值范围．解 (1)∵g (x )为奇函数，∴g (x )＋g (－x )＝x (|x －a |－|x ＋a |)＝0恒成立． ∴a ＝0．此时g (x )＝x |x |，在R 上单调递增． (2)x 1∈[1，＋∞)，f (x )＝log 2(x ＋1)，∴f (x 1)∈[1，＋∞)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x <a .①当a ≤2时，g (x 2)在[2，＋∞)上单调递增， ∴g (2)＝4－2a ≤1，a ≥32，∴32≤a ≤2．②当2<a <4时，g (x 2)在[2，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增． ∴g (2)＝－4＋2a <1，a <52，∴2<a <52．③当a ≥4时，g (x 2)在2，a 2上单调递增，在a2，a 上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增．∴g a 2＝－a 22＋a 22<1，－2<a <2，不成立．综上可知32≤a ＜52．19．(2018·福建四校联考)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x (万件)之间满足关系：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧16－x ，1≤x ≤c ，23，x >c(其中c 为小于6的正常数)．(注：次品率＝次品数/生产量，如P ＝0．1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品．)已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T (万元)表示为日产量x (万件)的函数； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ 解 (1)当x >c 时，P ＝23，∴T ＝13x ·2－23x ·1＝0；当1≤x ≤c 时，P ＝16－x，∴T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16－x ·x ·2－⎝ ⎛⎭⎪⎫16－x ·x ·1＝9x －2x 26－x ．综上，日盈利额T (万元)与日产量x (万件)的函数关系为T ＝⎩⎪⎨⎪⎧9x －2x 26－x，1≤x ≤c ，0，x >c .(2)由(1)，当x >c 时，每天的盈利额为0，∴1≤x ≤c ，①当3≤c <6时，T ＝9x －2x 26－x ＝15－2(6－x )＋96－x ≤15－12＝3(当且仅当x ＝3时取等号)，T max ＝3，此时x ＝3；②当1≤c <3时，由T ′＝2x 2－24x ＋54(6－x )2＝2(x －3)(x －9)(6－x )2知函数T ＝9x －2x26－x在[1，3]上递增，∴当x ＝c 时，∴T max ＝9c －2c26－c．综上，若3≤c <6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润； 若1≤c <3，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润． 20．(2019·广州模拟)已知a ∈R ，函数f (x )＝log 21x＋a ．(1)当a ＝5时，解不等式f (x )>0；(2)若关于x 的方程f (x )－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；(3)设a >0，若对任意t ∈12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝5时，f (x )＝log 21x＋5，由f (x )>0得log 21x＋5>0，∴1x ＋5>1，即1x ＋4＝4x ＋1x>0，解得x >0或x <－14，∴不等式的解集为xx >0或x <－14．(2)由f (x )－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0，得 log 21x＋a －log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0，即1x＋a ＝(a －4)x ＋2a －5>0，①∴(a －4)x 2＋(a －5)x －1＝0， 即(x ＋1)[(a －4)x －1]＝0．②当a ＝4时，方程②的唯一解为x ＝－1，满足①式； 当a ＝3时，方程②有两个相等的实数解， 即x ＝－1，满足①式；当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x ＝－1或x ＝1a －4， 若x ＝－1满足①式，则－1＋a ＝a －1>0，即a >1， 若x ＝1a －4满足①式，则a －4＋a ＝2a －4>0，即a >2，∴要使满足①式的解有且仅有一个，则1<a ≤2．综上，若方程f (x )－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是{a |1<a ≤2或a ＝3或a ＝4}．(3)∵函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减， ∴f (t )－f (t ＋1)≤1， 即log 21t ＋a －log 21t ＋1＋a ≤1，∴log 21t ＋a ≤log 21t ＋1＋a ＋1，∴1t ＋a ≤21t ＋1＋a ， ∴a ≥1t －2t ＋1＝1－t t (t ＋1)在区间12，1上恒成立，∴a ≥1－t t (t ＋1)max ，t ∈12，1．设1－t ＝r ，即t ＝1－r ，则0≤r ≤12，∴1－t t (t ＋1)＝r (1－r )(2－r )＝rr 2－3r ＋2，当r ＝0时，rr 2－3r ＋2＝0．当0<r ≤12时，rr 2－3r ＋2＝1r ＋2r－3， ∴y ＝r ＋2r在(0，2)上递减，∴y ＝r ＋2r 在r ＝12时最小，∴r ＋2r ≥12＋4＝92，∴r r 2－3r ＋2＝1r ＋2r －3≤192－3＝23，∴实数a 的取值范围是aa ≥23．。