2016届龙泉驿区0.5次诊断性检测

2015年成都市龙泉驿区高2013级统一模拟考试（高三0.5诊）
数学（理科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1~2页，第Ⅱ卷3~8页。

考试结束后将答题卡交回。

全卷满分150分，完成时间120分钟。

参考公式：
球的表面积公式， 24s R π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式 ， 34
3
V R π=
其中R 表示球的半径 第Ⅰ卷 选择题（60分）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合}5,4,3,2,1,0{=U ，}2,1{=A ，}086|{2≤+-∈=x x Z x B ，则=⋃)(B A C U （ ） A ．}4,3,2,1{ B ．}5,4{ C ．}5,0{ D ．}5,4,0{ 2．已知复数i
i
Z +=
22016
，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．设R a ∈，则"01
1
"
2<+--a a a 是"1"<a 成立的（ ）
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既非充分也非必要条件
4．已知a ，b
均为单位向量，它们的夹角为︒60，则b a 2+=（ ）
A ．7
B ．
10 C ．13 D ．5
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ． 32
B ．35
C ． 3
4
D ．1
6．若函数x x x f ωωcos sin 3)(+=的图像向右平移3
π
个单位后所得的图像关于y 轴对称，则ω的值可以是（ ）
A ．7
B ． 8
C ． 9
D ．10
7．已知数列}{n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若1322a a a =⋅，且4a 与72a 的等差中项为4
5
，则5S =（ ） A ． 35 B ．33 C ．31 D ．29
8．甲、乙两人各自独立随机地从区间[-1,1]任取一数，分别记为y x ,，则满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥+≥-10022y x y x y x 的概率P=（ ）
A ． 161
B ． 41
C ． 16π
D ．16
1π-
9．若
22
)
4
sin(2cos -
=+π
θθ
，则)cos (sin log 2θθ-的值为（ ）
A. 21-
B ． 2
1
C ． -2
D ．2
10．曲线y=x 2+1在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆x 2+y 2+4x+3=0上的任意点Q 之间的最近距离是（ ） A ．﹣1 B ．
﹣1 C ．
﹣1 D ．2
11．已知函数f （x ）=|cosx|，⎪⎩⎪
⎨⎧<->=)0(1)0(lg )(x x
x x x g ，则函数F （x ）=f （x ）﹣g （x ）在区间[﹣，
]内的零点个数
为（ ）
A ．5
B ． 7
C ．9
D ．10
12．已知二次函数f （x ）=ax 2
+bx+c 的导数为f′（x ），f′（0）＞0，并且函数)(x f y =的定义域为R ，则
的最小值为（ ） A ． B ． C ．3 D ．2
第Ⅱ卷 非选择题部分（共90分）
注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.
2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知f （x ）=
，则f[f （π）]= ．
14．已知2
)1)(1(x ax -+的展开式中3
x 的系数为5，则a 等于 ．
15．如图是一个算法的流程图，当n 是 时运算结束．
16． 给出下列四个命题：
①△ABC 中，A ＞B 是sinA ＞sinB 成立的充要条件； ②当x ＞0且x≠1时，有
；
③已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＞S 5，则S 9＞S 3； ④若函数
为R 上的奇函数，则函数y=f （x ）的图象一定关于点
成中心对称．
⑤函数f （x ）=cos 3
x+sin 2
x ﹣cosx （x ∈R ）有最大值为2，有最小值为0． 其中所有正确命题的序号为 ．
三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在ABC ∆中，2
3
2sin
=
∠ABC ,2=AB 点D 在线段AC 上，且DC AD 2=,97cos =∠C . （I ）求ABC ∠cos ；
（II ）求AC 和BD 的长．
18．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60° （I ）求证：PB ⊥AD ；
（II ）若PB=，求二面角A ﹣PD ﹣C 的余弦值．
19．某灯具厂分别在南方和北方地区各建一个工厂，生产同一种灯具（售价相同），为了了解北方与南方这两个工厂
所生产的灯具质量状况，分别从这两个工厂个抽查了25件灯具进行测试，结果如下：
（I）根据频率分布直方图，请分别求出北方、南方两个工厂灯具的平均使用寿命；
（Ⅱ）某学校欲采购灯具，同时试用了南北两工厂的灯具各两件，试用500小时后，若北方工厂生产的灯具还能正常使用的数量比南方工厂多，该学校就准备采购北方工厂的灯具，否则就采购南方工厂的灯具，试估计该学校采购北方工厂的灯具的概率．（视频率为概率）20．已知椭圆)0
(1
:
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
E的离心率
3
6
=
e，并且经过定点)
2
1
,
2
3
(P.
（Ⅰ）求曲线E的方程；；
（Ⅱ）直线2
:+
=kx
y
l交椭圆E于不同的B
A,两点，O是坐标原点，求AOB
∆面积的最大值．
21．已知函数)(,ln 22
)(2
R a x ax x x f ∈++=
（Ⅰ）若)(x f 在2=x 处取得极值，求a 的值及此时曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论)(x f 的单调性.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22．如图△ABC 内接于⊙O ，且AB=AC ，过点A 的直线交⊙O 于点P ，交BC 的延长线于点D ．
（Ⅰ）求证：AC 2
=AP•AD ； （Ⅱ）若∠ABC=60°，⊙O 的半径为1，且P 为弧AC 的中点，求AD 的长．
23． 选修4﹣4：坐标系与参数方程 已知直线的极坐标方程为
，圆M 的参数方程为
（其中θ为参数）．
（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求圆M 上的点到直线的距离的最小值．
24．已知函数f （x ）=|x ﹣1|+|x+3|﹣m （m ∈R ），不等式f （x ）＜5的解集为（﹣4，2）． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）实数a ，b ，c 满足a 2
+
+=m ，求证：a+b+c≤．。